43333

Интеграл Лебега-Стилтьеса, функции с ограниченным изменение

Лекция

Математика и математический анализ

Рассмотрим подробнее заряды на -алгебре, порожденной полуинтервалами на отрезке. Каждому заряду (как и мере) поставим в соответствие функцию g. Опишем класс функций на , которые соответствуют зарядам. Построение заряда аналогично построению меры Лебега-Стилтьеса по неубывающей функции.

Русский

2014-09-21

551 KB

25 чел.

Тема 5. Интеграл Лебега-Стилтьеса, функции с ограниченным изменение

1. Заряды. Функции с ограниченным изменением.

Пусть задано измеримое пространство (X, ). Отображение : R называется зарядом (или знакопеременной мерой), если () = 0 и функция счётно-аддитивна, т. е. из разложения , , , следует, что .

Мы рассматриваем заряды, принимающие лишь конечные значения.

Пример 1. Пусть  – пространство с мерой , -кольцо измеримых подмножеств из X,  – функция, интегрируемая на X. Тогда функция множества

      (1)

является зарядом.

Пример 2. Пусть на X заданы две меры 1 и 2 их разность,  очевидно, является зарядом.

Пусть  – заряд, заданный по формуле (1). Обозначим  . Получаем представление

     (2)

Так как на множестве  функция f положительна, то  и, значит,  – мера. Аналогично  является мерой. Получаем представление заряда  в виде разности двух мер.

Измеримое множество  называется положительным (отрицательным) относительно заряда , если для любого измеримого подмножества ,  . Пустое множество является и положительным и отрицательным. Положительные (отрицательные) множества образуют – алгебру.

Теорема 1. Для любого заряда , заданного на -алгебре  существуют такие непересекающиеся множества  и , что , где  – положительное,  – отрицательное множества.

Следствие. Для любого заряда существуют меры 1 и 2, обладающие свойством , называемым сингулярностью, что

Рассмотрим подробнее заряды на -алгебре, порожденной полуинтервалами на отрезке . Каждому заряду (как и мере) поставим в соответствие функцию g. Опишем класс функций на , которые соответствуют зарядам. Построение заряда аналогично построению меры Лебега-Стилтьеса по неубывающей функции.

Функция  называется функцией ограниченной вариации (ограниченного изменения), если существует , что для любого разбиения отрезка   справедливо неравенство

Наименьшая из констант c, при которых справедливо неравенство, называется вариацией функции g на  и обозначается . По определению

,

где верхняя грань берется по множеству разбиений.

Основные свойства функций ограниченной вариации

  1.  сумма и произведение двух функций ограниченной вариации являются также функциями ограниченной вариации;
  2.  если , то
  3.  функция f имеет ограниченную вариацию на отрезке [a,b] тогда и только тогда, когда она представима на этом отрезке в виде разности двух неубывающих функций.
  4.  множество точек разрыва для функции ограниченной не более чем счетно.

Теорема 2. Функция  соответствует некоторому заряду  по формуле g(t)=(a, t) тогда и только тогда, когда а) g – функция ограниченной вариации; б) ; в) g – непрерывна слева.

Определение. Заряд  называется абсолютно непрерывным относительно меры , если из  следует .

Заряд, заданный формулой (1), является абсолютно непрерывным.

Теорема (Радона-Никодима). Если заряд  абсолютно непрерывен относительно меры , то существует интегрируемая по мере  функция f такая, что  для всех . Эта функция называется производной заряда  по мере .

2. Интеграл Лебега-Стилтьеса. Связь с интегралом Римана-Стилтьеса

Пусть задано измеримое пространство  и заряд . Поскольку заряд можно представить в виде разности двух конечных мер  и , то функция интегрируемая по каждой из мер будет интегрируема по заряду. Этот интеграл обладает всеми свойствами обычного интеграла Лебега.

Рассмотрим пример интеграла по заряду.

Пусть на отрезке  задана неубывающая непрерывная слева функция g. Тогда эта функция на -алгебре множеств  определяет конечную меру Лебега-Стилтьеса. Интеграл Лебега, построенный по этой мере, называют интегралом Лебега-Стилтьеса и обозначают

Рассмотрим частные случаи:

  1.  Функция g – функция скачков (т.е.  – дискретная мера), тогда
  2.  Функция g – абсолютно непрерывна, тогда

т.е. обычный интеграл Лебега.

  1.  Функция g, непрерывная слева на [a,b], функция с ограниченным изменением. Тогда ее можно представить в виде разности двух неубывающих функций  непрерывных слева. Поэтому

Ясно, что это интеграл Лебега по заряду , построенному по функции с ограниченным изменением. В общем случае он не сводится к интегралу Лебега.

Помимо интеграла Лебега-Стилтьеса на прямой можно определить интеграл Римана-Стилтьеса. Он вводится как предел интегральных сумм, аналогичных обычным интегральным суммам Римана. Пусть f – произвольная функция на [a,b], g – непрерывная слева функция с ограниченным изменением.

Рассмотрим некоторое разбиение отрезка [a,b]:,   выберем  и составим интегральную сумму

Если эти интегральные суммы при  имеют конечный предел, не зависящий от способа разбиения отрезка и от выбора точек , то этот предел называют интегралом Римана-Стилтьеса от функции f по функции g.

Теорема 3. Если функция f непрерывна на [a,b], то ее интеграл Римана-Стилтьеса существует и совпадает с соответствующим интегралом Лебега-Стилтьеса.

Основные свойства интеграла Римана-Стилтьеса.

  1.  Теорема о среднем

  1.  Если , то

  1.  Если  почти всюду, то

Теорема 4. Пусть функция  непрерывна [a,b], а функция  имеет на [a,b] всюду, кроме конечного числа точек  интегрируемую производную . тогда существует интеграл Римана-Стилтьеса и выражается формулой:


Примеры решения задач

Задача 1. Пусть функция F(x) порождает меру Лебега-Стилтьеса на [ –2, 2 [. Доказать, что произвольная функция f (x) интегрируема на [–2, 2 [ относительно меры  и

если F(x)=

Решение. Отметим, что все подмножества интервала [-2,2[ измеримы и поэтому каждая функция f(x), x  [-2,2[ измерима относительно меры . Представим полуинтервал [-2,2[ в виде объединения непересекающихся множеств [ –2, 2[ = [–2, –1[ {–1} ]–1,1[ {1} ]1,2[.

Множества [-2,1[, ]-1,1[, ]1,2[ имеют меру нуль, так как функция, порождающая меру , на этих множествах постоянна, а тогда каждая функция f (x) интегрируема и интеграл от неё равен нулю.

На множествах {-1} и {1} функция постоянна, а значит, простая. Поэтому

Следовательно, произвольная функция f (x) интегрируема на [-2,2[ и интеграл равен 2f (1)+f (–1). Данная функция будет интегрируема на всей числовой прямой, если

F(x)= тогда

Задача 2. Вычислить интеграл Римана-Стилтьеса

где F(x)=

Решение. Если функция f (x) непрерывна на [a, b], а функция F (x) имеет на [a, b] всюду, кроме конечного числа точек интегрируемую по Риману производную , то существует интеграл Римана-Стилтьеса и

Тогда

Задача 3. Пусть X=[0,1[, S={[a,b[X}, h(x) – некоторая неотрицательная интегрируемая по Риману на отрезке [0,1] функция;  Вычислить

Решение. Построим последовательность простых интегрируемых функций, равномерно сходящуюся к  Представим  так, что  По теореме о среднем для интеграла Римана  такая, что , т.е. .

Положим  для , тогда   и  равномерно сходится к  т.к. при  

есть интегральная сумма Римана, построенная для непрерывной функции  на отрезке [0,1]. Так как при , , то

Итак,  

Задача 4. Пусть на [0,3[ задана мера Лебега–Стилтьеса, порожденная функцией

F(x) =

Проверить, что F не убывает и непрерывна слева. Найти:

1) меру одноточечного множества;

2) промежутки, на которых эта мера совпадает с мерой Лебега;

3) промежутки,имеющие нулевую меру;

4) промежутки, на которых эта мера абсолютно непрерывна относительно меры Лебега;

5) найти меру канторова множества K и меру множества рациональных чисел на [0,3[.

Для функции

f (x) =

вычислить интеграл по мере Лебега – Стилтьеса, порожденной функций F, если он существует.

Решение. Функция F(x) кусочно непрерывна, имеет одну точку разрыва x = , причем  что означает непрерывность слева функции F. Остановимся на пунктах 1) – 5).

  1.  Известно, что для любого x[0,3[ . В нашем случае

  1.  На промежутке  мера Лебега-Стилтьеса совпадает с мерой Лебега.
  2.  , так как F постоянна.
  3.  Покажем, что на  мера Лебега-Стилтьеса  абсолютно непрерывна относительно меры Лебега . Достаточно рассмотреть промежуток  Поскольку

то

и, следовательно,  – абсолютно непрерывна.

Таким образом, полуинтервал [0,3[ разбивается на четыре части:

и на каждой части мера  описана выше.

  1.  Рассмотрим канторово множество K:

Так как  то  потому что на промежутках абсолютной непрерывности

Q и .

Для вычисления интеграла построим эквивалентную функцию g(x), которая отличается от f(x) только в точках множества  мера которого равна нулю. Пусть

g(x) =

Итак,

Задача 5. Определить полную вариацию функций F на указанном отрезке, если:

1) F(x) =

2) F(x) =

Решение. 1) Функция F является монотонной на отрезках

Поэтому функция  имеет ограниченное изменение и

.

2) Рассмотрим произвольное разбиение П отрезка  Для этого разбиения

Отсюда следует, что

Кроме того, рассмотрим разбиение В этом случае, поэтому sup т.е. .

Задача 6. Доказать, что функция F(x) =  не имеет ограниченного изменения на отрезке .

Решение. Отметим, что функция F имеет неограниченную производную.

Рассмотрим для произвольного натурального числа n разбиение  отрезка  точками, в которых функция  равна поочередно –1 и 1, т.е.

и вычислим сумму  модулей приращений функций F на отрезках разбиения

Поскольку ряд  расходящийся, то последовательность его частичных сумм не ограничена сверху, т.е.  Следовательно, функция F не имеет ограниченного изменения.

Задание 1. Пусть на [a,b[ задана мера Лебега-Стилтьеса, порожденная функцией g. Проверить, что g не убывает и непрерывна слева. Найти:

  1.  меру каждого одноточечного множества;
  2.  промежутки, на которых эта мера совпадает с мерой Лебега;
  3.  промежутки, имеющие нулевую меру;
  4.  промежутки, на которых эта мера абсолютно непрерывна относительно меры Лебега;
  5.  найти меру канторова множества K и множества рациональных чисел Q.

Для функции f вычислить интеграл по мере Лебега-Стилтьеса, если он

существует, используя следующую формулу:

g =  +  

где x1, x2,…, xn  – точки разрыва функции g.

1.1. f (x) =  g(x) =

1.2. f (x) =  g(x) =

1.3. f (x) =  g(x) =

1.4. f(x) =    g(x)=

1.5. f(x) =  g(x) =

1.6. f(x) =  g(x) =

1.7. f(x) =  g(x) =

1.8. f(x) =         g(x) =

1.9. f(x) =          g(x) =

1.10. f(x) =         g(x) =

1.11. f(x) =           g(x) =

1.12. f(x) =           g(x) =

1.13. f(x) =   g(x) =

1.14. f(x) =   g(x) =

Задание 2. Вычислить интеграл Римана-Стилтьеса.

2.1.   F(x) =

2.2.   F(x) =

2.3.   F(x) =

2.4. , F(x) =

2.5.   F(x) =

2.6.   F(x) = | sin x |.

2.7.  F(x) =

2.8.  F(x) = cos x  sign x.

2.9.   F(x) =

2.10.   F(x) = sin x  sign x.

2.11.  F(x) =

2.12.  F(x) =

2.13.  F(x) = x  sign(cos x).

2.14.  F(x) = sin x  sign(cos x).

Задание 3. Выяснить, ограничена ли вариация у следующих функций. При положительном ответе вычислить вариацию функций f.

  1.  F(x) =
  2.  F(x) =
  3.  F(x) =
  4.  F(x) =
  5.  F(x) =
  6.  F(x) =
    1.  F(x) =
    2.  F(x) =
    3.  F(x) =
    4.  F(x) =
    5.  F(x) =
    6.  F(x) =
    7.  F(x) =
    8.  F(0) = 0; F = 0; F =  и линейна на каждом отрезке.

  1.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47667. Элементы и системы автоматизированного пневмогидропривода 3.55 MB
  В качестве задания даны основные схемы пневматических и гидравлических линейных и поворотных модулей приводов. Представлены инженерные методики расчета конструктивных и динамических параметров привода. Представлена методика построения пневматической системы управления. Приведены основные необходимые для расчетов справочные данные.
47668. Методические указания. Технология бродильных производств и виноделие 228 KB
  Учет и контроль производства Технологическая схема производства Расчетно-пояснительная записка должна включать следующие разделы имеющие примерный объем: Наименование раздела...
47670. Учебно-методическое пособие. Математические методы исследования операций 1.56 MB
  В данном учебно-методическом пособии рассмотрены основные типы задач линейного программирования, даны рекомендации по построению их математических моделей и поиску оптимальных решений средствами табличного редактора Mathcad
47673. Методические указания. Финансовый менеджмент 90.5 KB
  Целью изучения дисциплины является подготовка студентов к применению полученных знаний для рационального управления финансами предприятия. Задачами дисциплины являются: ознакомление с состоянием отечественного и мирового опыта организации управления финансами;...