43404

Моделирование полосно-пропускающего фильтра Чебышева методом инвариантного преобразования

Курсовая

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Теория моделирования систем фильтрации сигналов.3 Моделирование передаточной функции аналогового фильтра низких частот.33 Приложения А Текст исходной программы Б Simulink – модель цифрового полосно-пропускающего фильтра В Графики АЧХ ФЧХ и времени задержки ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра Робототехника...

Русский

2013-11-05

12.84 MB

57 чел.

Содержание

Введение...............................................................................................................3

1 Теория моделирования систем фильтрации сигналов.

1.1 Назначение и типы фильтров.......................................................................5

1.2 Аппроксимация характеристик фильтров.................................................8

1.3 Моделирование передаточной функции аналогового

фильтра низких частот......................................................................................14

1.4 Расчет дискретных фильтров с бесконечной импульсной

характеристикой……........................................................................................16

2. Описание программы

2.1 Функционально назначение .......................................................................23

2.2 Описание логической структуры...............................................................24

2.3 Используемые технические средства.......................................................29

2.4 Вызов и загрузка..........................................................................................30

2.5 Входные и выходные данные ....................................................................31

Заключение........................................................................................................32

Список использованной литературы..............................................................33

Приложения  

А  Текст исходной программы

Б  Simulink – модель цифрового полосно-пропускающего фильтра

В  Графики АЧХ, ФЧХ, и времени задержки                                         



ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Робототехника и мехатроника».

УТВЕРЖДАЮ

Зав. кафедрой                     РиМ

Д.т.н., профессор Тугенгольд А.К.

«     »                                2008г.

Задание

 на курсовую работу

Студент    Шкарупа А.А.                          Код___________Группа УР-31

Тема: «Моделирование полосно-пропускающего фильтра Чебышева методом инвариантного преобразования»

Срок представления работы к защите      «____»_________________2008 г.

Исходные данные для проектирования: b = 1.4256;    c = 1.5162;   

fн = 1000;   fв = 3000.

1. Содержание пояснительной записки курсовой работы:

1. 1.Введение.

1.2. Теория моделирования систем фильтрации сигналов.

1.3. Описание программы.

1.4. Заключение.

1.5.  Список использованной литературы.

1.6. Приложения.

2. Перечень графического материала:

Руководитель работы           Харченко В.А.               _______________________

Задание принял к исполнению

Шкарупа А.А.   _________________                           ______________________

(подпись)    (дата)

Введение

Одна из важнейших задач теории управления заключается в следующем: требуется наилучшим образом извлечь информацию об изучаемом процессе из измерений некоторых его характеристик, измерений – часто косвенных и проведенных с погрешностями. Это необходимо для принятия правильных решений по наблюдению за исследуемым процессом или выработке оптимального (в некотором смысле) управления. Возникновение такой проблемы, называемой задачей фильтрации или оценивания, связано с тем, что в любой системе связи или управления не все характеристики процессов (сигналов) заданы точно.

Фильтрация представляет собой одну из самых распространенных операций обработки сигналов. Цель фильтрации состоит в подавлении помех, содержавшихся в сигнале, или выделении отдельных составляющих сигнала, соответствующих тем или иным свойствам исследуемого процесса.

В электрических и электронных измерительных устройствах уже давно находят применение различные типы RLC-фильтров. С появлением доступных и дешевых интегральных операционных усилителей получили широкое распространение активные фильтры. Теория этих фильтров разработана достаточно хорошо, сформулированы четкие рекомендации по их расчету и проектированию. Прогресс в развитии цифровых интегральных схем, повсеместное применение микропроцессоров для цифровой обработки измерительной аппаратуры к цифровым фильтрам. Теория этих фильтров сформировалась относительно недавно, вопросами их анализа и синтеза посвящено большое число книг, в которых неискушенному читателю разобраться подчас весьма не просто.

Активные фильтры и цифровые фильтры – это устройства, которые используются в различных областях техники. В последние десятилетия интенсивно развивались также методы фильтрации, специфичные именно для измерительной техники. Это методы, основанные на реализации специальных весовых функций. Получаемые при этом фильтры очень близки по своим свойствам к цифровым фильтрам, но могут быть установлены как в цифровой, так и в аналоговой части средства измерения.

У аналоговой фильтрации есть некоторые преимущества по сравнению с цифровой: отсутствие погрешности квантования, сокращение части измерительного канала, для которой необходимо предусматривать расширенный диапазон измерения сигнала, учитывающий возможную помеху.

атомиздата.

СРАВНЕНИЕ ЦИФРОВЫХ И АНАЛОГОВЫХ ФИЛЬТРОВ

Цифровые фильтры

Высокая точность

Линейная фаза (КИХ фильтр)

Нет дрейфа вследствие изменения

параметров компонентов

Гибкость, возможна адаптивная фильтрация

Легки в моделировании и проектировании

Ограничения при работе в реальном масштабе времени вычисление должно быть завершено

в течение интервала дискретизации

Аналоговые фильтры

Низкая точность из-за допуска на элементы

Нелинейная фаза

Дрейф вследствие изменения

параметров компонентов

Реализация адаптивных фильтров затруднена

Сложны в моделировании и проектировании

Аналоговые фильтры требуются на

высоких частот и для устранения

эффекта наложения спектра

                                             

Цель курсовой работы:

1. Разработать на языке MATLAB программу моделирования, выполнить моделирование и построить график амплитудно-частотной характеристики, график фазо-частотной характеристики и времени задержки аналогово полосно-пропускающего фильтра, используя частотные преобразования фильтров с бесконечной импульсной характеристикой  и дополнение для расчета амплитудно-частотной характеристики и  фазо-частотной характеристики аналоговых фильтров.

2. Разработать Simulink – модель, выполнить моделирование и построить график амплитудно-частотной характеристики, график фазо-частотной характеристики и времени задержки цифрового полосно-пропускающего фильтра, используя частотные преобразования фильтров с бесконечной импульсной характеристикой  и дополнение для расчета амплитудно-частотной характеристики и  фазо-частотной характеристики аналоговых фильтров.     

 

1  ТЕОРИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ ФИЛЬТРАЦИИ СИГНАЛОВ.

1.1  Назначение и типы фильтров.

Фильтры -  это устройства, целенаправленным образом изменяющие спектры сигналов. Фильтрация сигнала, т. е. изменение его спектра, обычно предпринимается с целью увеличить отношение, полезного сигнала к шумам и помехам или подчеркнуть (усилить) какие-нибудь полезные качества сигнала. Например, при измерении сигналов, получаемых от термопар, чаще всего приходится применять фильтры, ослабляющие сетевые помехи. Выходной полезный сигнал термопар составляет, как правило, несколько милливольт, и помеха от силовой сети, имеющая частоту 50 Гц, может быть сравнимой с полезным сигналом или даже превосходить его. Другой пример -  фильтрация сигнала, получаемого от  датчика момента, развиваемого двигателем некоторого транспортного средства. Выделяя с помощью фильтра постоянную составляющую этого сигнала, мы получаем информацию о средней мощности двигателя. Если же выделить и проанализировать высокочастотные составляющие сигнала, то можно сделать вывод о качестве работы системы регулирования, о вибрации, обусловленной работающим двигателем, и т. п.

Классификация  фильтров  может быть  проведена по различным признакам. Мы   будем   использовать при разделении фильтров по группам четыре различных признака, указанные ниже.

Первый признак - вид входного и выходного сигнала фильтра. Если эти   сигналы аналоговые, то фильтр называется аналоговым, если же сигналы представлены цифровым кодом, то фильтр называется цифровым. Возможны и промежуточные варианты: аналого-цифровой фильтр (вход аналоговый, выход цифровой) и цифроаналоговый (вход цифровой, выход аналоговый).                

Второй признак вид частотной   характеристики. По этому признаку фильтры делятся на следующие группы: фильтры нижних частот (фильтры низких частот) пропускают низкочастотные составляющие спектра и задерживают высокочастотные; фильтры верхних частот (ФВЧ) пропускают только высокочастотные составляющие; фильтры полосно-пропускающие (ФПП) пропускают составляющие сигнала только в определенной полосе частот; фильтры полосно-заграждающие (ФПЗ) пропускают все составляющие сигнала, за исключением тех, частоты которых входят в определенную полосу; фильтра все пропускающие (ФВП) пропускают все без исключения, составляющие сигнала, но изменяют фазовые соотношения между ними.

Графики амплитудно-частотных характеристик упомянутых видов фильтров показаны на рисунок 1, а, б, в, г, д. Кроме перечисленных, основных по этому признаку, групп, есть и другие разновидности. Например, резонансный фильтр представляет собой частный случай полосно-пропускающего фильтра, но сочень узкой полосой пропускания (штриховая амплитудно-частотная характеристика на рисунке 1, в). Фильтр-пробка на определенную частоту - это   фильтр полосно-заграждающий   с   узкой   полосой   заграждения это такой фильтр, который имеет несколько полос пропускания (рисунок 1, е).

В название фильтра входит обычно та частотная полоса, которую фильтр пропускает. Так, фильтр нижних частот  - это фильтр, пропускающий нижние частоты сигнала. Поэтому не совсем корректны встречающиеся иногда словосочетания типа «фильтрация помех». Фильтруется, т. е. проходит через фильтр, полезный сигнал, а помеха задерживается, не пропускается.

Рисунок 1. Амплитудно-частотные характеристики различных фильтров.

Отметим, что в качестве базового при анализе и синтезе фильтров обычно принимается фильтр нижних частот. Именно фильтр нижних частот, как правило, рассматривается в различных публикациях, для него разрабатываются   методики   синтеза.

 Остальные   же   виды фильтров могут быть построены на основе фильтра нижних частот. Так, если из полного сигнала вычесть выходной сигнал фильтра нижних частот, то в итоге мы получим фильтр высоких частот (рисунок 2, а).  Полосно-заграждающий фильтр можно построить, если включить параллельно фильтр нижних частот и фильтр высших частот с разными частотами среза (рисунок 2,б).

Для построения полосно-пропускающего фильтра достаточно соединить последовательно  соответствующим образом рассчитанные фильтр нижних частот и фильтр высших частот.

Рисунок 2. Возможные структуры фильтра верхних частот (а) и

полосно-заграждающего фильтра (б).

Третий признак, по которому различают разные типы фильтров, -  это вид их импульсных характеристик. Непрерывный фильтр - это фильтр с непрерывной импульсной характеристикой, дискретный фильтр - это фильтр, импульсная характеристика которого представлена набором δ-импульсов. Наконец, импульсный фильтр имеет импульсную характеристику, состоящую из последовательности одинаковых по форме импульсов конечной длительности разной амплитуды. В принципе возможны фильтры, при классификации которых; поданному признаку возникают некоторые затруднения, но такие фильтры на практике встречаются редко.

Если импульсная характеристика финитна, т. е. ограничена во времени, то такие фильтры называют фильтрами с конечной импульсной характеристикой или коротко КИХ-фильтрами. Если импульсная характеристика, хотя и затухает со временем, но имеет теоретически не ограниченную во времени протяженность, то соответствующий   фильтр   называют   БИХ-фильтром, т. е. фильтром   с   бесконечной   импульсной     характеристикой. На рисунке 3 в качестве примера показаны импульсные характеристики двух видов фильтров: импульсного КИХ-фильтра (рисунок 3, а ) и дискретного БИХ-фильтра  (рисунок 3, б).

Рисунок 3. Примеры импульсных характеристик импульсов (а) и

дискретного (б) фильтров.

Теория фильтрации сигналов и методы построения фильтров в настоящее время весьма развиты. Существует очень большое число различных видов фильтров. В частности, мы не будем рассматривать нелинейные фильтры, т. е. фильтры, для которых не выполняется принцип суперпозиции. Не будут также рассмотрены нестационарные фильтры, особенностью которых является то, что их импульсная характеристика представляет со бой функцию двух аргументов: реакция фильтра на входной δ-импульс зависит не только от времени, прошедшего с момента приложения этого δ-импульса, но также и от момента прихода этого импульса, определяемого относительно некоторого начала отсчета. В ряде простых случаев нестационарные фильтры могут быть сведены к стационарным. Например, усредняющий фильтр, производящий однократное интегрирование сигнала за некоторый ограниченный промежуток времени, может рассматриваться как вариант фильтра со скользящим усреднением.

1.2  Аппроксимация характеристик фильтров.

Активные фильтры состоят из активных элементов - операционных усилителей и пассивных элементов - резисторов и конденсаторов. Катушки индуктивности вследствие их не технологичности и больших потерь в таких фильтрах обычно не применяют. В соответствии с приведенной классификацией активные фильтры — это аналоговые непрерывные БИХ-фильтры.

Как уже указывалось, в качестве базового фильтра при анализе обычно используют фильтр нижних частот. Идеальный фильтр нижних частот имеет постоянный конечный коэффициент передачи в полосе частот от нуля до частоты среза fc и равный нулю коэффициент передачи при частотах, лежащих выше частоты среза. Однако идеальный фильтр физически нереализуем: его импульсная характеристика простирается во времени от t =- ∞ до t = ∞.

Передаточные функции активных фильтров представляют собой в общем случае отношение двух операторных полиномов. Аппроксимация характеристик активных фильтров сводится к выбору таких коэффициентов этих полиномов, которые обеспечивают наилучшее в том или ином смысле приближение к желаемой амплитудно-частотной (АЧХ) или фазо-частотной (ФЧХ) характеристике фильтра.

Наиболее широко применяются следующие типы активных фильтров, отличие которых друг от друга обусловлено различным подходом к нахождению наилучшей аппроксимации: фильтры Баттерворта, Чебышева, инверсный Чебышева, Кауэра (эллиптический), Бесселя.

Фильтр Баттерворта имеет амплитудно-частотную характеристику, квадрат которой определяется  простым соотношением

                                                 (1)

где  f '=f/fc - относительная частота; fc - частота среза; n - порядок фильтра.

Все производные функции (1) по частоте f ’ от первой до (2n-1)-й включительно в точке  f ’= 0 равны нулю. Поэтому фильтр Баттерворта называют фильтром с максимально плоской (или  максимально гладкой) амплитудно-частотной характеристикой.

Фильтр Чебышева имеет амплитудно-частотную характеристику, которая в полосе пропускания характеризуется пульсациями одинаковой амплитуды, поэтому его часто называют фильтром равноволновых пульсаций. За пределами полосы пропускания амплитудно-частотная характеристика этого фильтра монотонно уменьшается, причем крутизна спада амплитудно-частотная характеристика в этой области у фильтра Чебышева больше, чем у фильтра Баттерворта такого же порядка.

Квадрат амплитудно-частотной характеристики фильтра Чебышева определяется соотношением

                                    (2)

где  Тn(f ’) -полином Чебышева первого рода n-го но рядка, ε - некоторый постоянный   коэффициент, задающий амплитуду пульсаций амплитудно-частотной характеристики.

Полином   Чебышева   n-го    порядка    может    быть найден  па   основе  рекуррентного соотношения

Тn(x)=2xTn-1(x)-Tn-2(x),                                                    (3)

причем

То(х)=1, Т1(х)=х.                                                            (4)

В промежутке  -1 < х < 1 значения полинома Чебышева волнообразно изменяются между уровнями - 1 и +1. При этом число полуволн на графике полинома на единицу меньше порядка полинома. При |х|=1 всегда имеем |Tn(x)|=1. При |х|> 1 модуль полинома Чебышева монотонно и неограниченно возрастает.

Инверсный фильтр Чебышева имеет амплитудно-частотную характеристику, которая монотонно изменяется в пределах полосы пропускания и пульсирует в полосе заграждения. Эта амплитудно-частотная характеристика описывается соотношением

                                        (5)

Фильтр Кауэра (эллиптический фильтр) имеет амплитудно-частотную   характеристику, пульсирующую как в полосе пропускания, так и в полосе заграждения. Квадрат амплитудно-частотной характеристики этого фильтра имеет вид.

 ,                                 (6)

где Rn(f’) - рациональная функция, определяемая при четных n соотношением

                   (7)

где k = n/2. При нечетных n в числитель правой части (7) добавляется множитель x, а k принимается равным (n - 1)/2. Функция Rn(x) обладает следующим свойством:

Rn(1/x)=1/Rn(x).

Параметры х1, х2, …Хk имеют значения больше нуля и меньше единицы и выбираются таким образом, что в промежутке 0 ≤ xxc (где хс<1) обеспечиваются равноволновые пульсации функции Rn(x) между нулем и некоторым значением Δ. При этом в полосе пропускания квадрат амплитудно-частотная характеристика эллиптического фильтра (6) пульсирует между значениями  1 и 1/(1+ ε2Δ2), а в полосе заграждения - между значениями 0 и 1/(1 + е22).

Эллиптический фильтр в сравнении со всеми другими типами фильтров имеет наиболее крутой спад амплитудно-частотная характеристика при переходе от полосы пропускания к полосе заграждения.

Фильтр Бесселя отличается от других описанных выше фильтров тем, что имеет хорошую фазо-частотную характеристику. Проходящий через фильтр сигнал не изменит своей формы, если все гармоники сигнала будут задерживаться в фильтре на одно и то же время. Поскольку фазовый сдвиг измеряется в долях периода рассматриваемой гармоники, то постоянство времени задержки равносильно линейной частотной зависимости фазового сдвига сигнала в фильтре.

Фильтр Бесселя обеспечивает наилучшее приближение реальной фазо-частотной характеристики к идеальной линейной зависимости. Зависимость времени запаздывания от частоты для фильтра Бесселя имеет такой же характер, как амплитудно-частотная характеристика для фильтра Баттерворта. Передаточная  функция  фильтра  Бесселя  определяется формулой

                                                   (8)

где  Вп(p) - полином   Бесселя,  который   может  быть найден на основе равенств

                      Вп (x) = (2n - 1) Вп-1 (х) + х*Вп-2 (х);

                    В1(х)=х+1;  B2(x) = x2 + 3x + 3                                          (9)

Соотношение между амплитудно-частотной характеристики различных типов фильтров   можно   наблюдать   на   примере  амплитудно-частотной характеристики  фильтров 4-го порядка, приведенных на рис. 4.

Для фильтров Чебышева, инверсного Чебышева и Кауэра амплитудно-частотная характеристика зависит не только от порядка фильтра, но и от принятых параметров, определяющих пульсации амплитудно-частотной характеристики. В данном случае (рисунок 4) фильтры Чебышева и Кауэра имеют пульсации в полосе пропускания, равные.1 дБ, а в полосе заграждения инверсный фильтр Чебышева и фильтр Кауэра характеризуются колебаниями амплитудно-частотной характеристики в диапазоне от - ∞ до - 40 дБ.

Сравнивая между собой различные типы фильтров следует иметь ввиду, что фильтры характеризующиеся более круглым спадом амплитудно-частотной характеристики в переходной полосе, имеют обычно большее время установления выходного сигнала при скачкообразном изменении входного.

Рисунок 4. Амплитудо-частотные характеристики фильтров нижних частот 4-го порядка (1 - Баттерворта; 2 - Чебышева; 3- Бесселя; 4 – инверсный Чебышева; 5 – Кауэра).

1.3  Моделирование передаточной функции аналогового фильтра нижних частот.

Результатом, аппроксимации характеристики проектируемого фильтра является его передаточная функция (в случае фильтра Чебышева) или его амплитудно-частотная характеристика (в случае фильтров других типов). Существует методика, в соответствии с которой по амплитудно-частотной характеристике линейного звена  можно найти его передаточную функцию.

Очевидно, что следующим этапом в проектировании активных фильтров должен быть выбор электронных цепей, которые бы имели требуемые передаточные функции. При этом обычно передаточные функции фильтров представляют в виде произведения дробно-рациональных сомножителей, содержащих в числителе и знаменателе полиномы не выше 2-го порядка. Соответственно этому для реализации фильтров необходимы типовые звенья, первого и второго порядка. Звено первого порядка - это простая пассивная  RС-цепь. Схема звена второго порядка зависит от вида дробно-рациональной передаточной функции.

Для фильтров Баттерворта, Чебышева и Бесселя, называемых также полиномиальными фильтрами, звено второго порядка должно воспроизводить передаточную функцию вида

                      (10)

Для не полиноминальных фильтров, к которым относятся инверсный фильтр Чебышева и эллиптический фильтр, требуется звено, воспроизводящее функцию вида:

                         (11)

Форма амплитудно-частотной характеристики и фильтров определяется соотношением безразмерных параметров а, b, с входящих в  (10)  и  (11), а частота fс, присутствующая в этих формулах, задает масштаб этих характеристик по частотной оси.

В настоящее время издано достаточно много справочников, в которых приводятся коэффициенты передаточных функций фильтров различных типов. Эти коэффициенты приведены для некоторых фильтров 2-го, 4-го и 6-го порядка, для построения которых требуется соответственно 1, 2 и 3 звена второго порядка.

Рисунок 5. Активные звенья полиноминальных активных фильтров.

Эти данные заимствованы из справочника, где они приведены с большей точностью для существенно большего числа разновидностей фильтров.

Для реализации полиномиальных фильтров чаще других используют звенья, схемы которых показаны на рисунке 5. Для звена на основе не инвертирующего усилителя по схеме рисунок 5, а (звено Саллен - Ки) передаточная функция имеет вид

                           (12)

1.4  Расчет дискретных БИХ-фильтров.

Существует довольно много методов расчета дискретных БИХ-фильтров. Большинство из них основывается на проектировании дискретного варианта соответствующего непрерывного фильтра (прототипа). Существуют также и прямые методы, когда сразу проектируется дискретный БИХ-фильтр. Мы рассмотрим два наиболее употребимых метода: инвариантного преобразования импульсной характеристики (ИХ) и билинейного преобразования. Оба этих метода - непрямые, они предполагают наличие непрерывного фильтра-прототипа.

1.4.1 Метод инвариантного преобразования.

Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики предполагает расчет дискретного фильтра, ИХ которого представляет собой дискретизированную импульсную характеристику фильтра-прототипа. Дискретизация временной функции, как известно, приводит к тому, что спектр функции делается периодическим с периодом, равным частоте дискретизации. Поэтому при переходе от непрерывной импульсной характеристики к дискретной импульсной характеристики, частотная характеристика фильтра начинает периодически повторяться со сдвигом, равным частоте дискретизации f. Если частота f установлена достаточно высокой в сравнении с характерными частотами частотных характеристик фильтра-прототипа, то тогда дискретный фильтр по своим свойствам будет соответствовать непрерывному фильтру-прототипу.

Предположим, что передаточная характеристика фильтра-прототипа представлена в виде суммы простых дробей

                                            (13)

Этой передаточной характеристике соответствует ИХ, состоящая из суммы экспонент,

                                     (14)

Дискретизированная импульсная характеристика g(n) может быть найдена из непрерывной ИХ (14) подстановкой в нее вместо непрерывного времени t дискретного времени tn = πТ2:

                         (15)

Передаточная функция проектируемого дискретного фильтра — это Z-преобразование его дискретной ИХ (15):

                        (16)

Меняя в (16) порядок суммирования и находя сумму бесконечной геометрической прогрессии, получаем

                        (17)

Таким образом, если известна передаточная функция непрерывного фильтра-прототипа, то соответствующий дискретный фильтр будет иметь передаточную функцию (17). По найденной таким путем передаточной функции нетрудно составить схему дискретного БИХ-фильтра.

Выше мы рассматривали варианты аппроксимации, и схемы непрерывных БИХ-фильтров, В качестве типового звена полиномиальных фильтров низких частот было принято звено второго порядка, имеющее передаточную функцию (10):

Как нетрудно показать, при использовании метода инвариантного преобразования ИХ такой передаточной функции непрерывного фильтра будет соответствовать передаточная функция дискретного фильтра, имеющая вид

                                   (18)

здесь

                          

                                                               (19)

Соотношение (18) нормировано так, чтобы для нулевой частоты фильтр имел единичный коэффициент передачи.

1.4.2  Метод билинейного преобразования.

Метод билинейного преобразования позволяет очень просто получить из передаточной функции G(p) непрерывного фильтра-прототипа передаточную функцию G(z) дискретного фильтра. Для этого достаточно сделать подстановку

                           (20)

Физический смысл этой подстановки следующий. Оператор р используемый в преобразовании Лапласа — это символ дифференцирования. В дискретных системах в качестве приближенного значения производной можно использовать конечную разность

Таким образом, выражению рХ(р) в преобразовании Лапласа можно в Z-преобразовании поставить в соответствие выражение [ (1 — z -1)/Т2] X {z). Однако, как показывает анализ, лучшие результаты при проектировании дискретных БИХ-фильтров дает замена  непрерывной  производной  соотношением

Этому   соотношению   и   соответствует   билинейное преобразование (20).

Метод билинейного преобразования приводит   к   некоторому   изменению масштаба по оси частот: у дискретного фильтра спад наступает раньше, чем у непрерывного фильтра-прототипа. Соотношение между частотой f непрерывного фильтра и частотой f д дискретного фильтра можно найти  из равенства   (20).  Подставим в это равенство  и .   После преобразований получим

Данное  соотношение  показывает,   каким  образом деформируется ЧХ фильтра-прототипа при проектировании дискретного фильтра методом билинейного преобразования.

Итак,   метод   инвариантного   преобразования   импульсной характеристики сохраняет масштаб графика амплитудно-частотной характеристики по горизонтальной оси  (оси частот), но дает искажения по вертикальной оси вследствие эффекта наложения. Что же касается метода билинейного преобразования, то здесь картина обратная: по вертикальной оси график не искажается, но происходит деформация графика по горизонтальной оси. Зная характер этой деформации можно внести соответствующие  изменения  в  ЧХ фильтра-прототипа для того, чтобы получить желаемый результат.

1.4.3 Частотные преобразования дискретных БИХ-фильтров.

Частотные преобразования дискретных БИХ-фильтров - это преобразования, позволяющие по передаточной функции дискретного фильтра нижних частот найти передаточные функции других видов фильтров. Такие преобразования выполняются достаточно просто: вместо оператора z в передаточную функцию дискретного фильтра нижних частот подставляется соответствующее выражение. При этом могут выполняться следующие преобразования.

Фильтр нижних частот – фильтр нижних частот, Если фильтр нижних частот с частотой среза fc1 требуется преобразовать в фильтр нижних частот с частотой среза fc2. то можно использовать подстановку

Фильтр нижних частот –  фильтр высших частот. Фильтр нижних частот с частотой среза fc1 преобразуется в фильтр высших частот с частотой среза fc2 с помощью подстановки

Фильтр нижних частот – полосно-пропускающий фильтр. Для преобразования фильтра нижних частот с частотой среза fc в полосно-пропускающий фильтр с частотами среза (верхней и нижней) fв и fн рекомендуется подстановка.

Фильтр нижних частот – полосно-задерживающий фильтр. Исходя из фильтра нижних частот с частотой среза fc можно получить полосно-заграждающий фильтр с частотами среза (верхней и нижней) fв и fн с помощью подстановки

Применяя данные подстановки, можно преобразовать передаточные функции спроектированных выше дискретных  фильтров нижних частот  в передаточные функции дискретных фильтр высших частот, полосно-пропускающий фильтр, полосно-заграждающий фильтр.

2  ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ.

2.1  Функциональное назначение.

Программным средством, посредством которого осуществляется моделирование заданного объекта, является система MATLAB. Система MATLAB (сокращение от MATrix LABarotatory  - МАТричная  ЛАБоратория) разработана фирмой The MathWorks,Inc.(США, г.Нейтик, шт.Массачусетс) и является интерактивной системой для выполнения инженерных и научных расчетов, которая ориентирована на работу с массивами данных. Система использует математический сопроцессор и допускает возможность обращения к программам, написанным на языках Fortran, С и С++.

Система поддерживает выполнение операции с векторами, матрицами и массивами данных, реализует сингулярное и спектральное разложения, вычисление ранга и чисел обусловленности матриц, поддерживает работу с алгебраическими полиномами, решение нелинейных уравнений и задач оптимизации, интегрирование в квадратурах, решение дифференциальных и разностных уравнений, построение различных видов графиков, трехмерных поверхностей и линий уровня. В системе реализована удобная операционная среда, которая позволяет формулировать проблемы и получать решения в привычной математической форме, не прибегая к рутинному программированию.

Наиболее известные области применения системы MATLAB: математика и вычисления; разработка алгоритмов; вычислительный эксперимент, имитационное моделирование; анализ данных, исследование и визуализация результатов; научная и инженерная графика; разработка приложений, включая графический интерфейс пользователя.

Объектом моделирования данной работы является ФПП Чебышева. Написание алгоритма моделирования, анализ полученных данных, построение графиков осуществляется в системе MATLAB.

Процесс взаимодействия пользователя  с программным средством осуществляется с помощью интерфейса системы MATLAB. Операционная среда MATLAB – это множество интерфейсов, которые поддерживают связь этой системы с внешним миром. Сюда входят диалог с пользователем через командную строку или графический интерфейс, просмотр рабочей области и путей доступа, редактор и отладчик М-файлов, работа с файлами и оболочкой DOS, экспорт и импорт данных, интерактивный доступ к справочной информации, динамическое взаимодействие с внешними системами, такими, как Microsoft Word, Excel и др.

Реализуются эти интерфейсы через командное окно, инструментальную панель, подсистемы просмотра рабочей области и путей доступа, редактор/отладчик М- файлов, специальные меню.

2.2  Описание логической структуры.

Для описания структуры данной программы приведём  её упрощённую блок схему. И рассмотрим работу программы по блокам в блок-схеме.

 

 

 

 

Рисунок 6.  Блок-схема программы

В блоке 1 вводятся начальные параметры фильтра, задаются ограничивающие частоты входящего сигнала – fv = 3000 и  fn = 1000; параметры фильтра с = 1.5162, b  = 1.4256; частота среза аналогового фильтра нижних частот – прототипа fc=1кГц и частотой дискретизации  Т2= 0.1e-3.

В блоке 2 находятся из формул коэффициенты дискретного фильтра b1 и b2, и z .

Используются формулы:

              

                                                                          

Часть программы, где происходит вычисление формулы:

b1 = -2*exp(-pi*b*fc*T2)*cos(pi*fc*T2*sqrt(4*c -b.^2))

b2 = exp(-2*pi*b*fc*T2)

f = 0:100:8000;

z = exp(i*2*pi.*f*T2);

В блоке 3 строим аналоговый полосно-пропускающий фильтр.

Gz1 = 1 + b1 + b2;

Gz2 = 1 + b1.*(1 ./z) + b2.*(1 ./z.^2);

Gz3 = Gz1 ./Gz2;      

В блоке 4 находим значения для амплитудно-частотной характеристики, фазо-частотной характеристики и времени задержки.

modGz = abs(Gz3);

faza_Gz3 = angle(Gz3);        

tzad_Gz = -gradient(faza_Gz3,f);       

faza_Gz = faza_Gz3*180/pi;

В блоке 5 строим дискретный полосно-пропускающий фильтр.

Находим коэффициенты фильтра А и В по следующим формулам:

A = cos(pi*T2*(fv+fn))/cos(pi*T2*(fv-fn));   

B = tan(pi*T2*fc)/tan(pi*T2*(fv-fn));    

Преобразуем фильтр нижних частот с частотой среза fc в полосно-пропускающий фильтр с частотами среза (верхней и нижней) fв и fн, и делаем подстановку. Используем формулу:

Часть программы в которой  происходит вычисление этой формулы:

A = cos(pi*T2*(fv+fn))/cos(pi*T2*(fv-fn));  

B = tan(pi*T2*fc)*tan(pi*T2*(fv-fn));         

z_chisl = 1./(z.^2)-2*(A*B/(B+1)).*(1 ./z)+(B-1)/(B+1);      

z_znam = ((B-1)/(B+1)).*(1./z.^2)-2*(A*B/(B+1)).*(1 ./z)+1;     

z_1 = z_chisl ./z_znam;           

z = 1 ./z_1;            

В блоке 6 находим значения для построения графиков амплитудно-частотной характеристики, фазо-частотной характеристики и времени задержки.

Gz_1 = 1 + b1 + b2;

Gz_2 = 1 + b1.*(1 ./z11) + b2.*(1 ./z11.^2);

Gz_3 = Gz_1 ./Gz_2;

modGz_o = abs(Gz_3);

faza_Gz_3 = angle(Gz_3);       

tzad_Gz_o = -gradient(faza_Gz_3,f);       

faza_Gz_o = faza_Gz_3*180/pi;

В блоке 7 строим цифровой полосно-пропускающий фильтр.

 Методом инвариантного преобразования импульсных характеристик  предполагает расчет дискретного фильтра по формуле:

p = i*2*pi.*f;

Gp = (c*4*pi*pi*fc*fc) ./(p.*p + 2*pi*p*b*fc + c*4*pi*pi*fc*fc);

Находим значения для построения графиков амплитудно-частотной характеристики, фазо-частотной характеристики и времени задержки.

modGp = abs(Gp);

faza_Gp = angle(Gp);       

tzad_Gp = -gradient(faza_Gp,f);      

faza_Gp = faza_Gp*180/pi;

Строим графики амплитудно-частотной характеристики, фазо-частотной характеристики и времени задержки для аналогового прототипа полосно-пропускающего фильтра и цифрового полосно-пропускающего фильтра.

В этой части программы происходит вывод на экран графиков. На одной координатной плоскости выводятся графики для цифрового и аналогового прототипа полосно-пропускающего фильтра.

- вывод амплитудно-частотной характеристики фильтров:

plot(f,modGz,'-k',f,modGp,'o'),grid,pause

- вывод фазо-частотной характеристики фильтров:

plot(f,faza_Gz,'-k',f,faza_Gp,'o'),grid,pause

- вывод графика времени задержки:

plot(f,tzad_Gz,'-k',f,tzad_Gp,'o'),grid,pause 

2.3 Используемые технические средства.

В качестве технических средств моделирования были применены:

1. Персональный компьютер.

Общие характеристики:

- Система Windows XP Professional версия 2002 SP 2;

- процессор Intel Pentium (R) CPU 1,1 GHz;

- ОЗУ 256 МB;

- HDD 120 GB;

- видеокарта  nVideo GeForce2;

- монитор LG LX40 N 1680х1060;

- клавиатура;

- мышь.

2.4 Вызов и загрузка.

Для загрузки программы необходимо сделать следующие шаги:

  1.  Запустить MatLab v6.5 или более поздней версии.
  2.  На панели задач нажать пиктограмму открыть (или нажать следующие кнопки file и open).
  3.  В появившемся окне найти директорию, где находится программа, и открыть её.
  4.  Запустить  программу щёлкнув, левой кнопкой мыши по кнопке открыть.
  5.  На панели задач появившегося окна нажать пиктограмму запуска или клавишу F5. Программа работает. Для просмотра всех графиков необходимо каждый раз нажимать клавишу ENTER.

При запуске программы в командном окне MatLab появляются следующие сообщения:

1. Using Toolbox Path Cache.  Type "help toolbox_path_cache" for more info.

  To get started, select "MATLAB Help" from the Help menu.

2. >> kur

fc =

       1000

T2 =

 1.0000e-004

b1 =

  -1.1580

b2 =

   0.4112

2.5  Входные и выходные данные.

Входными данными данной программы, являются:

- частоты верхняя fв = 3000 и нижняя  fн = 1000;

- параметры фильтра b = 1.4256 и  c = 1.5162;   

Выходными данными являются:

- параметры фильтра b1 и b2;

- графики амплитудно-частотной характеристики, фазо-частотной характеристики и времени задержки;

Контроль входных и выходных данных осуществляется визуально с помощью выводимых на экран значений параметров и графиков.

Сбои и аварийные ситуации при работе донного программного средства не могут возникнуть, так как программа, поступившая к пользователю, предварительно проходит тестирование и отладку.

Заключение.

В данной курсовой работе была разработана модель аналогового полосно-пропускающего фильтра Чебышева. И было произведено его сравнение с цифровым прототипом полосно-пропускающего фильтра. Из графиков видно, что сильных отличий между аналоговым полосно-пропускающим фильтром и цифровым  полосно-пропускающего фильтра нет. И, следовательно, сильно габаритный цифровой фильтр можно заменить более компактным аналоговым фильтром без потерь полезной части сигнала. Что позволит выполнить его в виде микросхемы и с легкостью использовать в любой сфере электроники.

Цель работы курсовой работы полностью выполнена: 1. Разработана на языке MATLAB программа моделирования, выполнено моделирование и построен график амплитудно-частотной характеристики, график фазо-частотной характеристики и времени задержки аналогово полосно-пропускающего фильтра, используя частотные преобразования фильтров с бесконечной импульсной характеристикой  и дополнение для расчета амплитудно-частотной характеристики и  фазо-частотной характеристики аналоговых фильтров.

2. Разработана Simulink – модель, выполнено моделирование и построен график амплитудно-частотной характеристики, график фазо-частотной характеристики и времени задержки цифрового полосно-пропускающего фильтра, используя частотные преобразования фильтров с бесконечной импульсной характеристикой  и дополнение для расчета амплитудно-частотной характеристики и  фазо-частотной характеристики аналоговых фильтров.  


Список использованной литературы

1. Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. Примеры и задачи. Уч. пособие для вузов / Под ред. В.И. Тихонова.-2-е изд., перераб. и доп.-М.: Сов. Радио, 1980.-544 с.

2. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Учебник для вузов. – 4-е издание дополненное и переработанное. Радио и связь,1986. – 512с.

3.Юкио Сато. Обработка сигналов. Первое знакомство. Серия «Механотроника». Учебное пособие. 2002. Москва. – 175с.

4. Стандарт предприятия. Курсовые и дипломные проекты (работы). Правила оформления…ДГТУ, 2001.

5.  Гутников В.С. Фильтрация измерительных  сигналов.-Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. Отд-ние, 1990.-192 с.

Приложение А

Текст исходной программы

Format compact

b=1.4256;

c=1.5162;

fc = 1000

T2 = 0.1e-3

fn=1000;        

fv=3000;

%Коэф. фильтра b1, b2%

b1 = -2*exp(-pi*b*fc*T2)*cos(pi*fc*T2*sqrt(4*c - b.^2))

b2 = exp(-2*pi*b*fc*T2)

f = 1:100:8000;

z = exp(i*2*pi.*f*T2);

%ФНЧ%

Gz1 = 1 + b1 + b2;

Gz2 = 1 + b1.*(1 ./z) + b2.*(1 ./z.^2);

Gz3 = Gz1 ./Gz2;       

%АЧХ, ФЧХ, время задержки%

modGz = abs(Gz3);

faza_Gz3 = angle(Gz3);        

tzad_Gz = -gradient(faza_Gz3,f);       

faza_Gz = faza_Gz3*180/pi;

%Инвариантное преобразование, передаточная функция%

p = i*2*pi.*f;

p_new = (2*pi*fc*(p .*p + 2*pi*2*pi*fn*fv)) ./(p .*(fv - fn)*2*pi);

Gp_o = (c*4*pi*pi*fc*fc) ./( p_new.* p_new + 2*pi* p_new *b*

*fc + c*4*pi*pi*fc*fc);

modGp = abs(Gp_o);

faza_Gp_o = angle(Gp_o);       

tzad_Gp = -gradient(faza_Gp_o,f);      

faza_Gp = faza_Gp_o*180/pi;       

%Расчет коэф. и преобразование ФНЧ в ФПП%

A = cos(pi*T2*(fv+fn))/cos(pi*T2*(fv-fn));       

B = tan(pi*T2*fc)*tan(pi*T2*(fv-fn));        

z_chisl = 1./(z.^2)-2*(A*B/(B+1)).*(1 ./z)+(B-1)/(B+1);      

z_znam = ((B-1)/(B+1)).*(1./z.^2)-2*(A*B/(B+1)).*

*(1 ./z)+1;     

z_1 = z_chisl ./z_znam;           

z = 1 ./z_1;             

%АЧХ, ФЧХ, время задержки%

Gz_1 = 1 + b1 + b2;

Gz_2 = 1 + b1.*(1 ./z) + b2.*(1 ./z.^2);

Gz_3 = Gz_1 ./Gz_2;

modGp = abs(Gp);

faza_Gp = angle(Gp);        %

tzad_Gp = -gradient(faza_Gp,f);       %

faza_Gp = faza_Gp*180/pi;       %            

%Построение графиков%

plot(f,modGp,'-k'),grid,pause

plot(f,faza_Gp,'-k'),grid,pause

plot(f,tzad_Gp,'-k'),grid

Приложение Б

Simulink – модель цифрового полосно-пропускающего фильтра

Приложение В

Графики АЧХ, ФЧХ, и времени задержки                                         

 Рисунок 1. Совмещение АЧХ аналогового ФПП с  цифровым АЧХ      

     

   

 Рисунок 2. Совмещение ФЧХ аналогового ФПП с  цифровым ФЧХ

 Рисунок 3. Совмещение времени задержки аналогового ФПП с  цифровым

 


Вывод

графиков

Строим

цифровой ФПП

Находим

значения для АЧХ и ФЧХ

Находим

коэффициенты фильтра

Ввод

начальных

параметров

Пуск

Останов.

Строим

аналоговый ФПП

Находим

значения для АЧХ и ФЧХ

 

ДГТУ

кафедра РиМ

Харченко

Шкарупа

Листов 

Лист

Лит.

Утв.

Н.контр.

Пров.

Разраб.

Дата

Подп.

№ докум.

Лист

Изм..


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19878. Доказування та докази в кримінальному процесі 139.5 KB
  ТЕМА 5: Доказування та докази в кримінальному процесі 1. Поняття кримінальнопроцесуального доказування та його значення. Предмет доказування. 2. Класифікація доказів та їх джерел.іяіііі 3. Способи збирання перевірки й оцінки доказів та їх процесуальних джерел. 1. П...
19879. Цивільний позов у кримінальному процесі 107 KB
  ТЕМА 6: Цивільний позов у кримінальному процесі План 1. Суб'єкти цивільного позову в кримінальному процесі. 2. Предмет підстави і доказування цивільного позову в кримінальній справі. 1. Суб'єкти цивільного позову в кримінальному процесі Основними суб'єктами прова
19880. Процесуальні строки і судові витрати 98 KB
  Тема 7: Процесуальні строки і судові витрати. План 1. Строки провадження слідчих і процесуальних дій та порядок їх обчислення. 2. Продовження строків досудового слідства. 3. Поняття і склад судових витрат. 1. Строки провадження слідчих і процесуальних дій та порядо
19881. Порушення кримінальної справи 123.5 KB
  ТЕМА 8: Порушення кримінальної справи План 1. Поняття значення і завдання стадії порушення кримінальної справи. 2. Приводи і підстави для порушення кримінальної справи. 3. Процесуальний порядок порушення кримінальної справи. 4. Оскарження рішень слідчого і прокурор
19882. Відмова в порушенні кримінальної справи 119 KB
  ТЕМА 9: Відмова в порушенні кримінальної справи 1. Поняття і значення відмови в порушенні кримінальної справи. 2. Обставини що виключають можливість порушення кримінальної справи. 3. Процесуальний порядок відмови в порушенні кримінальної справи. 4. Оскарження рішен
19883. Основні положення досудового слідства 140 KB
  ТЕМА 10: Основні положення досудового слідства 1. Поняття значення і завдання досудового слідства. 2. Форми досудового слідства. 3. Поняття і характеристика основних положень досудового слідства. 1. Поняття значення і завдання досудового слідства Правосуддя в Укр
19884. Провадження слідчих дій 212 KB
  ТЕМА 11: Провадження слідчих дій 1. Поняття і сутність слідчих дій 2. Загальна характеристика слідчих дій 1. Поняття і сутність слідчих дій При розслідуванні кримінальної справи слідчий виконує дії та ухвалює рішення передбачені або зумовлені кримінальнопроцесуа
19886. Притягнення як обвинуваченого 149 KB
  ТЕМА 12: Притягнення як обвинуваченого План 1. Поняття і підстави притягнення особи як обвинуваченого. 2. Процесуальне оформлення притягнення особи як обвинуваченого. 3. Пред'явлення обвинувачення. Допит обвинуваченого. 4. Притягнення як обвинувачених окремих посадо...