43496

Исследование и программная реализация методов алгоритмов теории графов

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Реализовать выбранный алгоритм на языке Pscl желательно использовать представление графа списками. Пояснительная записка включает в себя 23 страницы текста рисунок исходного графа рисунок МОД схему алгоритма 2 использованных источника. Данная программа позволяет: Ввести граф используя матрицу длин дуг; Получить матрицу задающую минимальное остовное дерево; Провести тестирование алгоритма; Введение Во многих прикладных задачах теории графов важно иметь возможность сопоставить ребрам графа определенные числа которые соответствуют...

Русский

2013-11-06

115 KB

23 чел.

10

PAGE  17

Министерство образования Российской Федерации

ГОУВПО «Сибирский государственный технологический университет»

Кафедра: системотехники

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

ИСЛЕДОВАНИЕ

МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ ТЕОРИИ ГРАФОВ

Курсовая работа

Пояснительная записка

(ИТ. 000000.000 КР)

                                                                          Руководитель:                     

                                        Иванилова Т.Н.

                                                                                                                ______________________________

                                                                                                                     дата                      оценка                 роспись

                             Выполнил:

                                               Студент группы 21-6

                                       Идельсон  С.Е.                                                                                                                                                        

                                                                                                              ______________________________   

                                                                                                                     дата сдачи                                   роспись

Сибирский государственный технологический университет

Кафедра: системотехники

ЗАДАНИЕ

НА КУРСОВУЮ РАБОТУ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Студент       Идельсон Сергей Евгеньевич

Факультет  ФАИТ Группа 21-6

Тема:  Исследование и программная реализация методов алгоритмов теории графов.

Вариант 6   

   Иметься n городов, соединенных сетью дорог. Заданы длины участков дорог между парами городов. Спроектировать структуру телефонной сети с минимальной стоимостью затрат на ее строительство, если считать что стоимость  участка сети между двумя городами пропорциональна расстоянию между ними.

Предложенную задачу сформулировать в терминах теории графов и подобрать соответствующий алгоритм.

Реализовать выбранный алгоритм на языке Pascal, желательно использовать представление графа списками. Предусмотреть возможность ввода разнообразных входных данных.

Окончательный вариант программы должен отображать смысловую постановку задачи.

Приложить распечатки экранов.

Содержание

Реферат

Введение

1 Деревья в теории графов. Минимальное остовное дерево

2 Решение задачи

2.1 Входная и выходная информация

2.2 Схема алгоритма

2.3 Текст программы

2.4 Протокол контрольного расчета

3 Инструкция по работе с программой

Заключение

Список использованных источников

Реферат

Расчетно-графическая работа представляет собой решение задачи по расчету минимального остовного дерева. Расчет выполнен с помощью языка программирования  Turbo Pascal 7.0 на ПК AMD Athlon XP 1900+.

Пояснительная записка включает в себя 23 страницы текста, рисунок исходного графа, рисунок МОД, схему алгоритма, 2 использованных источника.

Ключевые слова: граф, дерево, минимальное остовное дерево.

Цель работы: овладеть навыками работы  с алгоритмом построения минимального остовного дерева.

Метод исследования – теория графов, алгоритмизация, язык программирования Pascal.

Данная программа позволяет:

  1.  Ввести граф, используя матрицу длин дуг;
  2.  Получить матрицу, задающую  минимальное остовное дерево;
  3.  Провести тестирование алгоритма;

Введение

Во многих прикладных задачах теории графов важно иметь возможность сопоставить ребрам графа определенные числа, которые соответствуют определенным физическим свойствам. Например, если мы желаем использовать граф для представления электрической  цепи, то может быть уместным сопоставлять каждому ребру графа соответствующие сопротивление. Или как в нашем случае, граф может представлять собой сеть городов соединенных дорогами.

1 Деревья в теории графов. Минимальное остовное дерево

Дерево – это связный графа, который не содержит циклов.

Одна из причин, по которой деревья имеют большое значение в прикладных задачах теории графов, связана с тем, что любой связный граф содержит в себе дерево, которое называется деревом покрытия или покрывающим деревом, которое связывает все вершины графа. Помимо этого дерево покрытия обеспечивает удобное множество путей, связывающих любые пары вершин графа.

Остовное дерево (ОД) – любой связный подграф связного графа , содержащий все вершины и являющийся деревом.

Минимальное остовное дерево (МОД) – остовное дерево нагруженного графа с минимальной суммой длин дуг содержащихся в нем.

Для нахождения МОД в программе был использован алгоритм Крускала:

1. Сортируем ребра графа по возрастанию весов.
2. Полагаем, что каждая вершина относится к своей компоненте связности.
3. Проходим ребра в "отсортированном" порядке. Для каждого ребра выполняем:

Если вершины, соединяемые данным ребром, лежат в разных компонентах связности, то объединяем эти компоненты в одну, а рассматриваемое ребро добавляем к минимальному остовному дереву.

Если вершины, соединяемые данным, ребром лежат в одной компоненте связности, то исключаем ребро из рассмотрения.
4. Если есть еще нерассмотренные ребра и не все компоненты связности объединены в одну, то переходим к шагу 3, иначе выход.

2 Решение задачи

2.1. Входная и выходная информация

Для задания нагруженного графа используется матрица длин дуг графа. Размер матрицы задается автоматически при указании количества вершин.  Максимальное количество вершин восемь. Выходная информация это матрица МОД. Она представляет собой квадратную матрицу N x N (где N количество вершин). На пересечении строк и столбцов стоит ноль если вершина не достижима в МОД из вершины определяемой строкой и вес ребра если достижима.

2.3 Текст программы

…………………………………

2.4 Протокол контрольного расчета

Возьмем 7 городов, а длинны дорого зададим матрицей длин дуг. 

0

120

30

25

190

0

170

120

0

0

80

0

0

200

30

0

0

0

180

65

0

25

80

0

0

0

0

80

190

0

180

0

0

75

100

0

0

65

0

75

0

0

170

200

0

80

100

0

0

В результате получим следующий граф

в результате получили матрицу задающую МОД

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

30

0

0

0

0

65

0

25

80

0

0

0

0

80

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

75

0

0

0

0

0

0

0

0

0

МОД:

3 Инструкция по работе с программой

Для работы программы необходимо вводить количество вершин больше одной, но не больше восьми. Для корректной работы программы необходимо вводить не отрицательную длину дорог. Расстояние вводиться в километрах. Если расстояние это не целое число, то округление проводить в большую сторону.

Работа с алгоритмом:

  1.  Ввести количество городов.
  2.  Заполнить последовательно матрицу длин дуг, обращая внимание на номер ячейки, т.к. матрица автоматически вводиться симметрично.
  3.   После появления экрана с графом нажимаем Enter.
  4.  После просмотра матрицы задающей МОД нажимаем Enter.
  5.  Просмотр МОД.
  6.  После нажатия Enter’а выход из программы.

Необходимое программное обеспечение для работы программы:

MS-DOS, MS Windows95/98/Me/2000/XP

Заключение

Программа работает достаточно быстро. Приведенный алгоритм решения поставленной задачи иногда в результате работы программы не всегда дает полностью оптимальное МОД.

В качестве путей развития рассматривается вторая версия программы, которая будет реализована на языке программирования Delphi.  

Список использованных источников

  1.  Иванилова Т.Н. Дискретная математика: Сборник заданий для курсовых работ с примерами выполнения. – Красноярск: СибГТУ, 2004.
  2.  Логинов Б.М. Введение в дискретную математику. – Калуга 1998.


Начало
Zmat

i:=1 ton

j:=1 ton

m[i,j]:=0;

Конец Zmat

Начало Readmat

i:=1 ton

Конец Readmat

:=1

j<=n

да

j=i

inc(j)

m[i,j]

m[j,i]:=m[i,j];              inc(j);

да

Начало Pmat

flag and i<=n-1

Sum:=0

j:=1 to n-1

sum:=sum+m[i,j];

flag:=(sum<>0); inc(i);

да

Конец Pmat

Начало процедуры minot

m:=1; i:=1

i<=n

j:=1

да

j<=n

да

m[i,j]<>gm

inc(w);    E[w,1]:=i;          E[w,2]:=j;

ew[w]:=m[i,j];

mot[i,j]:=gm;   inc(j);

inc(i);

i:=1;

i<m

j:=1

да

j<=m-1

да

ew[j]>=ew[j+1]

t:=ew[j];   ew[j]:=ew[j+1];   ew[j+1]:=t;          k:=e[j,1]; e[j,1]:=e[j+1,1];    e[j+1,1]:=k;          k:=e[j,2]; e[j,2]:=e[j+1,2];    e[j+1,2]:=k;

inc(j);

inc(i);

да

i:=1;

i<=n

q:=n-1;   i:=1;

да

v[i]:=i;  inc(i);

i<=w and q<>0

v[e[i,1]]<>v[e[i,2]]

да

да

t:=v[e[i,2]];  mot[e[i,1],e[i,2]]:=ew[i];   j:=1;             

j<=n

да

v[j]=t

v[j]:=v[e[i,1]];

inc(j);

q:=q-1;

inc(i);

Конец процедуры minot

Начало

N

n>=2 and n<=8

да

Zmat (n,m);

ReadMat (n,m);

Pmat(n,m,f);

not(f)

да

i:=1 ton

j:=1 ton

minot (n,m,mot)

mot[i,j],'  '

WriteLn

DrawGraph(n,mot);

Конец

DrawGraph(n,m);

1

3

5

6

4

2

7

1

3

5

6

4

2

7


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73488. Английские фразеологизмы как отражение английской национальной культуры 195.5 KB
  Рассмотреть фразеологию как самостоятельную дисциплину английского языка. Осветить предмет и основные задачи фразеологии. Рассмотреть понятие идиома и идиоматическое выражение. Исследовать специфику английских фразеологизмов, отражающих особенности английской национальной культуры.
73489. ДОКУМЕНТУВАННЯ ТРУДОВОЇ ДІЯЛЬНОСТІ. ВІДРЯДЖЕННЯ ТА ВІДПУСТКИ ПРАЦІВНИКІВ 195 KB
  Механізм прийняття працівника на роботу звільнення та переведення. Оформлення праці найважливіший етап працевлаштування від якого залежить майбутнє будьякого працівника. З іншого боку трудові відносини творяться у разі фактичного припущення працівника на роботу з відома...
73490. Совершенствование цепи поставок 194 KB
  Несмотря на общее признание роли управления цепями поставок и взаимодействием с поставщиками в исследовательской литературе до сих пор отсутствует четкое понимание значения и статуса поставок на предприятии их влияния на результаты деятельности предприятия.
73491. Выбор основного оборудования и определение показателей тепловой экономичности ТЭЦ 190 KB
  Годовой отпуск теплоты от ТЭЦ определяем отдельно для производственно-технологических и коммунально-бытовых потребителей. Нужды производственно-технологических потребителей покрываются технологическим паром, а коммунально-бытовых потребителей – сетевой (горячей) водой.
73492. Современное развитие бухгалтерской отчетности в России и мире 189.5 KB
  Исследование исторического развития бухгалтерской отчетности необходимо проводить по всем историческим эпохам, с отслеживанием изменений в методологической базы в разных странах мира, обнаружения исторических предпосылок, необходимых и достаточных условий возникновения...
73493. Конфликтное взаимодействие федеральной и региональной власти 187.5 KB
  Местное самоуправление одна из фундаментальных демократических основ конституционного строя Российской Федерации и всего мира в целом. Понятие федеральной власти Политическая система Российской Федерации определена Конституцией принятой всенародным голосованием 12 декабря 1993 года.
73494. Терминология сферы книжного бизнеса в лексической системе современного русского языка 186.5 KB
  Исследование различных терминосистем способствует совершенствованию русской терминологии в целом выявлению общих закономерностей развития терминологических единиц в системе современного русского языка. Объектом исследования стала терминология сферы книжного бизнеса в русском языке.
73495. Система технико-экономических и финансовых показателей инвестиционной деятельности промышленного предприятия 186 KB
  В связи с этим существенно возрастает приоритетность и роль анализа основным содержанием которого является комплексное системное изучение технико-экономических и финансовых показателей инвестиционной деятельности промышленного предприятия с целью оценки степени финансовых рисков...
73496. Педагогическое мышление инженера 183 KB
  В связи со сложившимися условиями возникает острая необходимость усилить деятельность по развитию профессионального мышления инженера-педагога так как только профессионально мыслящий инженер-педагог способен компетентно интегрировать психолого-педагогические...