43496

Исследование и программная реализация методов алгоритмов теории графов

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Реализовать выбранный алгоритм на языке Pscl желательно использовать представление графа списками. Пояснительная записка включает в себя 23 страницы текста рисунок исходного графа рисунок МОД схему алгоритма 2 использованных источника. Данная программа позволяет: Ввести граф используя матрицу длин дуг; Получить матрицу задающую минимальное остовное дерево; Провести тестирование алгоритма; Введение Во многих прикладных задачах теории графов важно иметь возможность сопоставить ребрам графа определенные числа которые соответствуют...

Русский

2013-11-06

115 KB

24 чел.

10

PAGE  17

Министерство образования Российской Федерации

ГОУВПО «Сибирский государственный технологический университет»

Кафедра: системотехники

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

ИСЛЕДОВАНИЕ

МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ ТЕОРИИ ГРАФОВ

Курсовая работа

Пояснительная записка

(ИТ. 000000.000 КР)

                                                                          Руководитель:                     

                                        Иванилова Т.Н.

                                                                                                                ______________________________

                                                                                                                     дата                      оценка                 роспись

                             Выполнил:

                                               Студент группы 21-6

                                       Идельсон  С.Е.                                                                                                                                                        

                                                                                                              ______________________________   

                                                                                                                     дата сдачи                                   роспись

Сибирский государственный технологический университет

Кафедра: системотехники

ЗАДАНИЕ

НА КУРСОВУЮ РАБОТУ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Студент       Идельсон Сергей Евгеньевич

Факультет  ФАИТ Группа 21-6

Тема:  Исследование и программная реализация методов алгоритмов теории графов.

Вариант 6   

   Иметься n городов, соединенных сетью дорог. Заданы длины участков дорог между парами городов. Спроектировать структуру телефонной сети с минимальной стоимостью затрат на ее строительство, если считать что стоимость  участка сети между двумя городами пропорциональна расстоянию между ними.

Предложенную задачу сформулировать в терминах теории графов и подобрать соответствующий алгоритм.

Реализовать выбранный алгоритм на языке Pascal, желательно использовать представление графа списками. Предусмотреть возможность ввода разнообразных входных данных.

Окончательный вариант программы должен отображать смысловую постановку задачи.

Приложить распечатки экранов.

Содержание

Реферат

Введение

1 Деревья в теории графов. Минимальное остовное дерево

2 Решение задачи

2.1 Входная и выходная информация

2.2 Схема алгоритма

2.3 Текст программы

2.4 Протокол контрольного расчета

3 Инструкция по работе с программой

Заключение

Список использованных источников

Реферат

Расчетно-графическая работа представляет собой решение задачи по расчету минимального остовного дерева. Расчет выполнен с помощью языка программирования  Turbo Pascal 7.0 на ПК AMD Athlon XP 1900+.

Пояснительная записка включает в себя 23 страницы текста, рисунок исходного графа, рисунок МОД, схему алгоритма, 2 использованных источника.

Ключевые слова: граф, дерево, минимальное остовное дерево.

Цель работы: овладеть навыками работы  с алгоритмом построения минимального остовного дерева.

Метод исследования – теория графов, алгоритмизация, язык программирования Pascal.

Данная программа позволяет:

  1.  Ввести граф, используя матрицу длин дуг;
  2.  Получить матрицу, задающую  минимальное остовное дерево;
  3.  Провести тестирование алгоритма;

Введение

Во многих прикладных задачах теории графов важно иметь возможность сопоставить ребрам графа определенные числа, которые соответствуют определенным физическим свойствам. Например, если мы желаем использовать граф для представления электрической  цепи, то может быть уместным сопоставлять каждому ребру графа соответствующие сопротивление. Или как в нашем случае, граф может представлять собой сеть городов соединенных дорогами.

1 Деревья в теории графов. Минимальное остовное дерево

Дерево – это связный графа, который не содержит циклов.

Одна из причин, по которой деревья имеют большое значение в прикладных задачах теории графов, связана с тем, что любой связный граф содержит в себе дерево, которое называется деревом покрытия или покрывающим деревом, которое связывает все вершины графа. Помимо этого дерево покрытия обеспечивает удобное множество путей, связывающих любые пары вершин графа.

Остовное дерево (ОД) – любой связный подграф связного графа , содержащий все вершины и являющийся деревом.

Минимальное остовное дерево (МОД) – остовное дерево нагруженного графа с минимальной суммой длин дуг содержащихся в нем.

Для нахождения МОД в программе был использован алгоритм Крускала:

1. Сортируем ребра графа по возрастанию весов.
2. Полагаем, что каждая вершина относится к своей компоненте связности.
3. Проходим ребра в "отсортированном" порядке. Для каждого ребра выполняем:

Если вершины, соединяемые данным ребром, лежат в разных компонентах связности, то объединяем эти компоненты в одну, а рассматриваемое ребро добавляем к минимальному остовному дереву.

Если вершины, соединяемые данным, ребром лежат в одной компоненте связности, то исключаем ребро из рассмотрения.
4. Если есть еще нерассмотренные ребра и не все компоненты связности объединены в одну, то переходим к шагу 3, иначе выход.

2 Решение задачи

2.1. Входная и выходная информация

Для задания нагруженного графа используется матрица длин дуг графа. Размер матрицы задается автоматически при указании количества вершин.  Максимальное количество вершин восемь. Выходная информация это матрица МОД. Она представляет собой квадратную матрицу N x N (где N количество вершин). На пересечении строк и столбцов стоит ноль если вершина не достижима в МОД из вершины определяемой строкой и вес ребра если достижима.

2.3 Текст программы

…………………………………

2.4 Протокол контрольного расчета

Возьмем 7 городов, а длинны дорого зададим матрицей длин дуг. 

0

120

30

25

190

0

170

120

0

0

80

0

0

200

30

0

0

0

180

65

0

25

80

0

0

0

0

80

190

0

180

0

0

75

100

0

0

65

0

75

0

0

170

200

0

80

100

0

0

В результате получим следующий граф

в результате получили матрицу задающую МОД

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

30

0

0

0

0

65

0

25

80

0

0

0

0

80

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

75

0

0

0

0

0

0

0

0

0

МОД:

3 Инструкция по работе с программой

Для работы программы необходимо вводить количество вершин больше одной, но не больше восьми. Для корректной работы программы необходимо вводить не отрицательную длину дорог. Расстояние вводиться в километрах. Если расстояние это не целое число, то округление проводить в большую сторону.

Работа с алгоритмом:

  1.  Ввести количество городов.
  2.  Заполнить последовательно матрицу длин дуг, обращая внимание на номер ячейки, т.к. матрица автоматически вводиться симметрично.
  3.   После появления экрана с графом нажимаем Enter.
  4.  После просмотра матрицы задающей МОД нажимаем Enter.
  5.  Просмотр МОД.
  6.  После нажатия Enter’а выход из программы.

Необходимое программное обеспечение для работы программы:

MS-DOS, MS Windows95/98/Me/2000/XP

Заключение

Программа работает достаточно быстро. Приведенный алгоритм решения поставленной задачи иногда в результате работы программы не всегда дает полностью оптимальное МОД.

В качестве путей развития рассматривается вторая версия программы, которая будет реализована на языке программирования Delphi.  

Список использованных источников

  1.  Иванилова Т.Н. Дискретная математика: Сборник заданий для курсовых работ с примерами выполнения. – Красноярск: СибГТУ, 2004.
  2.  Логинов Б.М. Введение в дискретную математику. – Калуга 1998.


Начало
Zmat

i:=1 ton

j:=1 ton

m[i,j]:=0;

Конец Zmat

Начало Readmat

i:=1 ton

Конец Readmat

:=1

j<=n

да

j=i

inc(j)

m[i,j]

m[j,i]:=m[i,j];              inc(j);

да

Начало Pmat

flag and i<=n-1

Sum:=0

j:=1 to n-1

sum:=sum+m[i,j];

flag:=(sum<>0); inc(i);

да

Конец Pmat

Начало процедуры minot

m:=1; i:=1

i<=n

j:=1

да

j<=n

да

m[i,j]<>gm

inc(w);    E[w,1]:=i;          E[w,2]:=j;

ew[w]:=m[i,j];

mot[i,j]:=gm;   inc(j);

inc(i);

i:=1;

i<m

j:=1

да

j<=m-1

да

ew[j]>=ew[j+1]

t:=ew[j];   ew[j]:=ew[j+1];   ew[j+1]:=t;          k:=e[j,1]; e[j,1]:=e[j+1,1];    e[j+1,1]:=k;          k:=e[j,2]; e[j,2]:=e[j+1,2];    e[j+1,2]:=k;

inc(j);

inc(i);

да

i:=1;

i<=n

q:=n-1;   i:=1;

да

v[i]:=i;  inc(i);

i<=w and q<>0

v[e[i,1]]<>v[e[i,2]]

да

да

t:=v[e[i,2]];  mot[e[i,1],e[i,2]]:=ew[i];   j:=1;             

j<=n

да

v[j]=t

v[j]:=v[e[i,1]];

inc(j);

q:=q-1;

inc(i);

Конец процедуры minot

Начало

N

n>=2 and n<=8

да

Zmat (n,m);

ReadMat (n,m);

Pmat(n,m,f);

not(f)

да

i:=1 ton

j:=1 ton

minot (n,m,mot)

mot[i,j],'  '

WriteLn

DrawGraph(n,mot);

Конец

DrawGraph(n,m);

1

3

5

6

4

2

7

1

3

5

6

4

2

7


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18119. Вступ до технології Enterprise JavaBeans 50 KB
  Тема 4: Вступ до технології Enterprise JavaBeans Java Platform Enterprise Edition чи Java EE раніше відома як Java 2 Platform Enterprise Edition чи J2EE до версії 1.5 це програмна платформа частина Javaплатформи для розробки і запуску розподілених Javaпрограм з багаторівневою архітектурою що базуються на ком
18120. Транзакції в мові SQL 88.5 KB
  Тема 5: Транзакції в мові SQL Що таке транзакція Транзакція transaction може бути визначена як логічна послідовність операцій над даними яка розглядається як окрема цілісна частина роботи. У транзакції робляться або всі зміни або жодної. Транзакції підтримують ACIDвластиво
18121. Збережені процедури в Interbase/Firebird 52.5 KB
  Тема 6: Збережені процедури в Interbase/Firebird Збережені процедури Stored procedures це програми які зберігаються в метаданих бази даних і виконуються на сервері. Прикладні програми можуть викликати stored procedure для виконання заданих в них операцій. Є два види збережених процеду
18122. Java Persistence API 77.5 KB
  PAGE 1 Тема 7: Java Persistence API Java Persistence API забезпечує object/relational mapping для роботи з реляційними даними в Javaпрограмах. Java Persistence складається з трьох частин: Java Persistence API Мови запитів Query language Метаданих для object/relational mapping Entities Entity це легковісний ...
18123. JavaServer Faces (JSF) 174 KB
  Тема 8: JavaServer Faces JSF Технологія JavaServer Faces це серверний framework для webпрограм що розробляються на Java. Основні компоненти JavaServer Faces такі: API для представлення UIкомпонентів і керування їх станом; обробки подій; серверної валідації; конверсії даних; визначення навігації по
18124. Spring Framework 86 KB
  Тема 9: Spring Framework Spring є Java framework який надає розробнику сукупність сервісів для побудови масштабованих J2EE програм. Spring реалізує в собі концепцію MVC. Inversion of Control IoC Іноді можна почути терміни Inversion of Control та Dependency Injection як взаємозамінні але це не зовсім вірно. Inversion of Co...
18125. Struts Framework 175 KB
  Тема 10: Struts Framework Apache Struts це opensource framework для розробки Java EE web програм. В ньому використовується і розширюється Java Servlet API та надається базова інфраструктура для реалізації програми на основі шаблону проектування design pattern MVC. Базова платформа для використання Struts 2 вклю...
18126. Предмет та задачі фізичної електроніки 246.27 KB
  Предмет та задачі фізичної електроніки Що таке фізична електроніка Що за розділ фізики Так от: це наука котра займається вивченням властивостей електронів та іонів при швидкостях набагато менших швидкості світла. Фізична електроніка вивчає рух електронів та іонів у в...
18127. Розподіл електронів в твердому тілі за енергіями 879.5 KB
  Розподіл електронів в твердому тілі за енергіями Спочатку цей розподіл було знайдено чисто експериментально Фермі та Діраком. Задача полягає в тому щоб знайти число електронів що мають енергії в інтервалі Е Е dE тобто знайти функціюзакон розподілу електронів за е