43496

Исследование и программная реализация методов алгоритмов теории графов

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Реализовать выбранный алгоритм на языке Pscl желательно использовать представление графа списками. Пояснительная записка включает в себя 23 страницы текста рисунок исходного графа рисунок МОД схему алгоритма 2 использованных источника. Данная программа позволяет: Ввести граф используя матрицу длин дуг; Получить матрицу задающую минимальное остовное дерево; Провести тестирование алгоритма; Введение Во многих прикладных задачах теории графов важно иметь возможность сопоставить ребрам графа определенные числа которые соответствуют...

Русский

2013-11-06

115 KB

32 чел.

10

PAGE  17

Министерство образования Российской Федерации

ГОУВПО «Сибирский государственный технологический университет»

Кафедра: системотехники

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

ИСЛЕДОВАНИЕ

МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ ТЕОРИИ ГРАФОВ

Курсовая работа

Пояснительная записка

(ИТ. 000000.000 КР)

                                                                          Руководитель:                     

                                        Иванилова Т.Н.

                                                                                                                ______________________________

                                                                                                                     дата                      оценка                 роспись

                             Выполнил:

                                               Студент группы 21-6

                                       Идельсон  С.Е.                                                                                                                                                        

                                                                                                              ______________________________   

                                                                                                                     дата сдачи                                   роспись

Сибирский государственный технологический университет

Кафедра: системотехники

ЗАДАНИЕ

НА КУРСОВУЮ РАБОТУ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Студент       Идельсон Сергей Евгеньевич

Факультет  ФАИТ Группа 21-6

Тема:  Исследование и программная реализация методов алгоритмов теории графов.

Вариант 6   

   Иметься n городов, соединенных сетью дорог. Заданы длины участков дорог между парами городов. Спроектировать структуру телефонной сети с минимальной стоимостью затрат на ее строительство, если считать что стоимость  участка сети между двумя городами пропорциональна расстоянию между ними.

Предложенную задачу сформулировать в терминах теории графов и подобрать соответствующий алгоритм.

Реализовать выбранный алгоритм на языке Pascal, желательно использовать представление графа списками. Предусмотреть возможность ввода разнообразных входных данных.

Окончательный вариант программы должен отображать смысловую постановку задачи.

Приложить распечатки экранов.

Содержание

Реферат

Введение

1 Деревья в теории графов. Минимальное остовное дерево

2 Решение задачи

2.1 Входная и выходная информация

2.2 Схема алгоритма

2.3 Текст программы

2.4 Протокол контрольного расчета

3 Инструкция по работе с программой

Заключение

Список использованных источников

Реферат

Расчетно-графическая работа представляет собой решение задачи по расчету минимального остовного дерева. Расчет выполнен с помощью языка программирования  Turbo Pascal 7.0 на ПК AMD Athlon XP 1900+.

Пояснительная записка включает в себя 23 страницы текста, рисунок исходного графа, рисунок МОД, схему алгоритма, 2 использованных источника.

Ключевые слова: граф, дерево, минимальное остовное дерево.

Цель работы: овладеть навыками работы  с алгоритмом построения минимального остовного дерева.

Метод исследования – теория графов, алгоритмизация, язык программирования Pascal.

Данная программа позволяет:

  1.  Ввести граф, используя матрицу длин дуг;
  2.  Получить матрицу, задающую  минимальное остовное дерево;
  3.  Провести тестирование алгоритма;

Введение

Во многих прикладных задачах теории графов важно иметь возможность сопоставить ребрам графа определенные числа, которые соответствуют определенным физическим свойствам. Например, если мы желаем использовать граф для представления электрической  цепи, то может быть уместным сопоставлять каждому ребру графа соответствующие сопротивление. Или как в нашем случае, граф может представлять собой сеть городов соединенных дорогами.

1 Деревья в теории графов. Минимальное остовное дерево

Дерево – это связный графа, который не содержит циклов.

Одна из причин, по которой деревья имеют большое значение в прикладных задачах теории графов, связана с тем, что любой связный граф содержит в себе дерево, которое называется деревом покрытия или покрывающим деревом, которое связывает все вершины графа. Помимо этого дерево покрытия обеспечивает удобное множество путей, связывающих любые пары вершин графа.

Остовное дерево (ОД) – любой связный подграф связного графа , содержащий все вершины и являющийся деревом.

Минимальное остовное дерево (МОД) – остовное дерево нагруженного графа с минимальной суммой длин дуг содержащихся в нем.

Для нахождения МОД в программе был использован алгоритм Крускала:

1. Сортируем ребра графа по возрастанию весов.
2. Полагаем, что каждая вершина относится к своей компоненте связности.
3. Проходим ребра в "отсортированном" порядке. Для каждого ребра выполняем:

Если вершины, соединяемые данным ребром, лежат в разных компонентах связности, то объединяем эти компоненты в одну, а рассматриваемое ребро добавляем к минимальному остовному дереву.

Если вершины, соединяемые данным, ребром лежат в одной компоненте связности, то исключаем ребро из рассмотрения.
4. Если есть еще нерассмотренные ребра и не все компоненты связности объединены в одну, то переходим к шагу 3, иначе выход.

2 Решение задачи

2.1. Входная и выходная информация

Для задания нагруженного графа используется матрица длин дуг графа. Размер матрицы задается автоматически при указании количества вершин.  Максимальное количество вершин восемь. Выходная информация это матрица МОД. Она представляет собой квадратную матрицу N x N (где N количество вершин). На пересечении строк и столбцов стоит ноль если вершина не достижима в МОД из вершины определяемой строкой и вес ребра если достижима.

2.3 Текст программы

…………………………………

2.4 Протокол контрольного расчета

Возьмем 7 городов, а длинны дорого зададим матрицей длин дуг. 

0

120

30

25

190

0

170

120

0

0

80

0

0

200

30

0

0

0

180

65

0

25

80

0

0

0

0

80

190

0

180

0

0

75

100

0

0

65

0

75

0

0

170

200

0

80

100

0

0

В результате получим следующий граф

в результате получили матрицу задающую МОД

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

30

0

0

0

0

65

0

25

80

0

0

0

0

80

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

75

0

0

0

0

0

0

0

0

0

МОД:

3 Инструкция по работе с программой

Для работы программы необходимо вводить количество вершин больше одной, но не больше восьми. Для корректной работы программы необходимо вводить не отрицательную длину дорог. Расстояние вводиться в километрах. Если расстояние это не целое число, то округление проводить в большую сторону.

Работа с алгоритмом:

  1.  Ввести количество городов.
  2.  Заполнить последовательно матрицу длин дуг, обращая внимание на номер ячейки, т.к. матрица автоматически вводиться симметрично.
  3.   После появления экрана с графом нажимаем Enter.
  4.  После просмотра матрицы задающей МОД нажимаем Enter.
  5.  Просмотр МОД.
  6.  После нажатия Enter’а выход из программы.

Необходимое программное обеспечение для работы программы:

MS-DOS, MS Windows95/98/Me/2000/XP

Заключение

Программа работает достаточно быстро. Приведенный алгоритм решения поставленной задачи иногда в результате работы программы не всегда дает полностью оптимальное МОД.

В качестве путей развития рассматривается вторая версия программы, которая будет реализована на языке программирования Delphi.  

Список использованных источников

  1.  Иванилова Т.Н. Дискретная математика: Сборник заданий для курсовых работ с примерами выполнения. – Красноярск: СибГТУ, 2004.
  2.  Логинов Б.М. Введение в дискретную математику. – Калуга 1998.


Начало
Zmat

i:=1 ton

j:=1 ton

m[i,j]:=0;

Конец Zmat

Начало Readmat

i:=1 ton

Конец Readmat

:=1

j<=n

да

j=i

inc(j)

m[i,j]

m[j,i]:=m[i,j];              inc(j);

да

Начало Pmat

flag and i<=n-1

Sum:=0

j:=1 to n-1

sum:=sum+m[i,j];

flag:=(sum<>0); inc(i);

да

Конец Pmat

Начало процедуры minot

m:=1; i:=1

i<=n

j:=1

да

j<=n

да

m[i,j]<>gm

inc(w);    E[w,1]:=i;          E[w,2]:=j;

ew[w]:=m[i,j];

mot[i,j]:=gm;   inc(j);

inc(i);

i:=1;

i<m

j:=1

да

j<=m-1

да

ew[j]>=ew[j+1]

t:=ew[j];   ew[j]:=ew[j+1];   ew[j+1]:=t;          k:=e[j,1]; e[j,1]:=e[j+1,1];    e[j+1,1]:=k;          k:=e[j,2]; e[j,2]:=e[j+1,2];    e[j+1,2]:=k;

inc(j);

inc(i);

да

i:=1;

i<=n

q:=n-1;   i:=1;

да

v[i]:=i;  inc(i);

i<=w and q<>0

v[e[i,1]]<>v[e[i,2]]

да

да

t:=v[e[i,2]];  mot[e[i,1],e[i,2]]:=ew[i];   j:=1;             

j<=n

да

v[j]=t

v[j]:=v[e[i,1]];

inc(j);

q:=q-1;

inc(i);

Конец процедуры minot

Начало

N

n>=2 and n<=8

да

Zmat (n,m);

ReadMat (n,m);

Pmat(n,m,f);

not(f)

да

i:=1 ton

j:=1 ton

minot (n,m,mot)

mot[i,j],'  '

WriteLn

DrawGraph(n,mot);

Конец

DrawGraph(n,m);

1

3

5

6

4

2

7

1

3

5

6

4

2

7


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20143. Контрольные испытания по методу последовательного анализа 392 KB
  Если говорить о испытаниях основанных на обработке некоторого заранее запланированного объема информации то там результат обработки сравнивают с заданным показателем надежности и на основании сравнения делается вывод либо о соответствии либо о несоответствии полученных и требуемых результатов. есть основания считать что изделие удовлетворяет требования по надежности; б прекратить испытания т. есть основания считать что изделие не удовлетворяет требованиям по надежности; в продолжить испытания т. нет основания для вывода по...
20144. Методы исследовательских испытаний на надёжность 27 KB
  для исследования надёжности приборов значение имеют неразрушающие методы испыт: метод акустической эмиссии кот. методы базир. методы базир. методы ультразвук.
20145. Определение оптимального уровня надежности 324.5 KB
  С=СрСпСэ Ср затраты на разработку; Сп затраты на производство; Сэ затраты на эксплуатацию. Из приведенного графика видно что с ростом безотказной работы увеличиваются затраты на эксплуатацию.
20146. ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ТОЧНОСТИ 34 KB
  Многообразие направлений рассмотрения вопросов точности измерительных устройств в значительной мере определяющих погрешность измерения можно отнести к трем стадиям: Проектирование Производство Эксплуатация При проектировании осуществляется обеспечение точности при котором решаются прямая или обратная задача теории точности. Задачи теории точности: Прямая задача синтеза выбор структуры устройства определение номинальных значений параметров пределов их допустимых значений номинальных отклонений т. Изучение методов решения прямой и...
20147. Однокоординатные механические приборы, работающие по принципу сравнения со штриховой мерой 125 KB
  Объединяет все штангенприборы единая конструкция отсчетных устройств основанных на применении линейного нониуса. Принцип действия нониуса состоит в совмещении соответствующих штрихов двух линейных шкал интервалы деления которых отличаются на определенную величину. Конструкция нониуса использует то обстоятельство что невооруженный человеческий глаз не способный непосредственно количественно оценивать малые значения несовмещения штрихов в то же время способен фиксировать наличие весьма малых смещений двух штрихов от их симметричного...
20148. Оптико-механические однокоординатные приборы, работающие по принципу сравнения со штриховой мерой 696.5 KB
  Длинномеры Окулярные длинномеры Спилярный окулярный микрометр В спиральном окулярном микрометре вместо микрометрической пары используется спиральная сетка с помощью которой определяются доли интервалов основной шкалы. Отсчетная часть Поток лучей от источника 1 с изображением штрихов основной шкалы 6 проходит объектив 7 проходит неподвижную пластину 8 со шкалой имеющей интервал 01мм. В месте изображения штрихов основной шкалы 6 и неподвижной шкалы 8 круговой шкалы 10 и витков двойной спирали поток лучей попадает в окуляр 11. В эту...
20149. Электрические и оптоэлектронные приборы, работающие по принципу сравнения со штриховой мерой 138.5 KB
  Длинномеры с аналоговым преобразованием. Длинномеры обеспечивают дискретность перемещения порядка 001002 мм за счет электронного интерполирования. Для линейных измерений преимущественное применение находят дифференциальные индуктивные длинномеры. Такие длинномеры содержат уже 2 сердечника 1 и 2 которые смещены относительно друг друга на величину Т 22к1 где к=1234 Тогда при перемещении якоря 3 относительно сердечников полное сопротивление Z и Zкатушек будут изменяться по закону близкому к синусоидальному причем эти зависимости...
20150. Однокоординатные механические приборы, работающие по принципу сравнения с концевой мерой 285 KB
  i=l2 l1 зубчатые головки шаг t=πm радиус R=mz 2 i=z2 z12Rстр mz3 погрешность колеблется 816 мкм. Если растягивать ленточку сечением 8x100 мкм на 1 мкм то стрелка повернётся на 30; если 5x80 мкм то на 70. Стрелочка стеклянная трубочка у основания 60 мкм а у вершины 20 мкм на конце находится стрелочный указатель из алюминиевой фольги. Погрешность приборов: 08 мкм.