43496

Исследование и программная реализация методов алгоритмов теории графов

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Реализовать выбранный алгоритм на языке Pscl желательно использовать представление графа списками. Пояснительная записка включает в себя 23 страницы текста рисунок исходного графа рисунок МОД схему алгоритма 2 использованных источника. Данная программа позволяет: Ввести граф используя матрицу длин дуг; Получить матрицу задающую минимальное остовное дерево; Провести тестирование алгоритма; Введение Во многих прикладных задачах теории графов важно иметь возможность сопоставить ребрам графа определенные числа которые соответствуют...

Русский

2013-11-06

115 KB

24 чел.

10

PAGE  17

Министерство образования Российской Федерации

ГОУВПО «Сибирский государственный технологический университет»

Кафедра: системотехники

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

ИСЛЕДОВАНИЕ

МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ ТЕОРИИ ГРАФОВ

Курсовая работа

Пояснительная записка

(ИТ. 000000.000 КР)

                                                                          Руководитель:                     

                                        Иванилова Т.Н.

                                                                                                                ______________________________

                                                                                                                     дата                      оценка                 роспись

                             Выполнил:

                                               Студент группы 21-6

                                       Идельсон  С.Е.                                                                                                                                                        

                                                                                                              ______________________________   

                                                                                                                     дата сдачи                                   роспись

Сибирский государственный технологический университет

Кафедра: системотехники

ЗАДАНИЕ

НА КУРСОВУЮ РАБОТУ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Студент       Идельсон Сергей Евгеньевич

Факультет  ФАИТ Группа 21-6

Тема:  Исследование и программная реализация методов алгоритмов теории графов.

Вариант 6   

   Иметься n городов, соединенных сетью дорог. Заданы длины участков дорог между парами городов. Спроектировать структуру телефонной сети с минимальной стоимостью затрат на ее строительство, если считать что стоимость  участка сети между двумя городами пропорциональна расстоянию между ними.

Предложенную задачу сформулировать в терминах теории графов и подобрать соответствующий алгоритм.

Реализовать выбранный алгоритм на языке Pascal, желательно использовать представление графа списками. Предусмотреть возможность ввода разнообразных входных данных.

Окончательный вариант программы должен отображать смысловую постановку задачи.

Приложить распечатки экранов.

Содержание

Реферат

Введение

1 Деревья в теории графов. Минимальное остовное дерево

2 Решение задачи

2.1 Входная и выходная информация

2.2 Схема алгоритма

2.3 Текст программы

2.4 Протокол контрольного расчета

3 Инструкция по работе с программой

Заключение

Список использованных источников

Реферат

Расчетно-графическая работа представляет собой решение задачи по расчету минимального остовного дерева. Расчет выполнен с помощью языка программирования  Turbo Pascal 7.0 на ПК AMD Athlon XP 1900+.

Пояснительная записка включает в себя 23 страницы текста, рисунок исходного графа, рисунок МОД, схему алгоритма, 2 использованных источника.

Ключевые слова: граф, дерево, минимальное остовное дерево.

Цель работы: овладеть навыками работы  с алгоритмом построения минимального остовного дерева.

Метод исследования – теория графов, алгоритмизация, язык программирования Pascal.

Данная программа позволяет:

  1.  Ввести граф, используя матрицу длин дуг;
  2.  Получить матрицу, задающую  минимальное остовное дерево;
  3.  Провести тестирование алгоритма;

Введение

Во многих прикладных задачах теории графов важно иметь возможность сопоставить ребрам графа определенные числа, которые соответствуют определенным физическим свойствам. Например, если мы желаем использовать граф для представления электрической  цепи, то может быть уместным сопоставлять каждому ребру графа соответствующие сопротивление. Или как в нашем случае, граф может представлять собой сеть городов соединенных дорогами.

1 Деревья в теории графов. Минимальное остовное дерево

Дерево – это связный графа, который не содержит циклов.

Одна из причин, по которой деревья имеют большое значение в прикладных задачах теории графов, связана с тем, что любой связный граф содержит в себе дерево, которое называется деревом покрытия или покрывающим деревом, которое связывает все вершины графа. Помимо этого дерево покрытия обеспечивает удобное множество путей, связывающих любые пары вершин графа.

Остовное дерево (ОД) – любой связный подграф связного графа , содержащий все вершины и являющийся деревом.

Минимальное остовное дерево (МОД) – остовное дерево нагруженного графа с минимальной суммой длин дуг содержащихся в нем.

Для нахождения МОД в программе был использован алгоритм Крускала:

1. Сортируем ребра графа по возрастанию весов.
2. Полагаем, что каждая вершина относится к своей компоненте связности.
3. Проходим ребра в "отсортированном" порядке. Для каждого ребра выполняем:

Если вершины, соединяемые данным ребром, лежат в разных компонентах связности, то объединяем эти компоненты в одну, а рассматриваемое ребро добавляем к минимальному остовному дереву.

Если вершины, соединяемые данным, ребром лежат в одной компоненте связности, то исключаем ребро из рассмотрения.
4. Если есть еще нерассмотренные ребра и не все компоненты связности объединены в одну, то переходим к шагу 3, иначе выход.

2 Решение задачи

2.1. Входная и выходная информация

Для задания нагруженного графа используется матрица длин дуг графа. Размер матрицы задается автоматически при указании количества вершин.  Максимальное количество вершин восемь. Выходная информация это матрица МОД. Она представляет собой квадратную матрицу N x N (где N количество вершин). На пересечении строк и столбцов стоит ноль если вершина не достижима в МОД из вершины определяемой строкой и вес ребра если достижима.

2.3 Текст программы

…………………………………

2.4 Протокол контрольного расчета

Возьмем 7 городов, а длинны дорого зададим матрицей длин дуг. 

0

120

30

25

190

0

170

120

0

0

80

0

0

200

30

0

0

0

180

65

0

25

80

0

0

0

0

80

190

0

180

0

0

75

100

0

0

65

0

75

0

0

170

200

0

80

100

0

0

В результате получим следующий граф

в результате получили матрицу задающую МОД

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

30

0

0

0

0

65

0

25

80

0

0

0

0

80

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

75

0

0

0

0

0

0

0

0

0

МОД:

3 Инструкция по работе с программой

Для работы программы необходимо вводить количество вершин больше одной, но не больше восьми. Для корректной работы программы необходимо вводить не отрицательную длину дорог. Расстояние вводиться в километрах. Если расстояние это не целое число, то округление проводить в большую сторону.

Работа с алгоритмом:

  1.  Ввести количество городов.
  2.  Заполнить последовательно матрицу длин дуг, обращая внимание на номер ячейки, т.к. матрица автоматически вводиться симметрично.
  3.   После появления экрана с графом нажимаем Enter.
  4.  После просмотра матрицы задающей МОД нажимаем Enter.
  5.  Просмотр МОД.
  6.  После нажатия Enter’а выход из программы.

Необходимое программное обеспечение для работы программы:

MS-DOS, MS Windows95/98/Me/2000/XP

Заключение

Программа работает достаточно быстро. Приведенный алгоритм решения поставленной задачи иногда в результате работы программы не всегда дает полностью оптимальное МОД.

В качестве путей развития рассматривается вторая версия программы, которая будет реализована на языке программирования Delphi.  

Список использованных источников

  1.  Иванилова Т.Н. Дискретная математика: Сборник заданий для курсовых работ с примерами выполнения. – Красноярск: СибГТУ, 2004.
  2.  Логинов Б.М. Введение в дискретную математику. – Калуга 1998.


Начало
Zmat

i:=1 ton

j:=1 ton

m[i,j]:=0;

Конец Zmat

Начало Readmat

i:=1 ton

Конец Readmat

:=1

j<=n

да

j=i

inc(j)

m[i,j]

m[j,i]:=m[i,j];              inc(j);

да

Начало Pmat

flag and i<=n-1

Sum:=0

j:=1 to n-1

sum:=sum+m[i,j];

flag:=(sum<>0); inc(i);

да

Конец Pmat

Начало процедуры minot

m:=1; i:=1

i<=n

j:=1

да

j<=n

да

m[i,j]<>gm

inc(w);    E[w,1]:=i;          E[w,2]:=j;

ew[w]:=m[i,j];

mot[i,j]:=gm;   inc(j);

inc(i);

i:=1;

i<m

j:=1

да

j<=m-1

да

ew[j]>=ew[j+1]

t:=ew[j];   ew[j]:=ew[j+1];   ew[j+1]:=t;          k:=e[j,1]; e[j,1]:=e[j+1,1];    e[j+1,1]:=k;          k:=e[j,2]; e[j,2]:=e[j+1,2];    e[j+1,2]:=k;

inc(j);

inc(i);

да

i:=1;

i<=n

q:=n-1;   i:=1;

да

v[i]:=i;  inc(i);

i<=w and q<>0

v[e[i,1]]<>v[e[i,2]]

да

да

t:=v[e[i,2]];  mot[e[i,1],e[i,2]]:=ew[i];   j:=1;             

j<=n

да

v[j]=t

v[j]:=v[e[i,1]];

inc(j);

q:=q-1;

inc(i);

Конец процедуры minot

Начало

N

n>=2 and n<=8

да

Zmat (n,m);

ReadMat (n,m);

Pmat(n,m,f);

not(f)

да

i:=1 ton

j:=1 ton

minot (n,m,mot)

mot[i,j],'  '

WriteLn

DrawGraph(n,mot);

Конец

DrawGraph(n,m);

1

3

5

6

4

2

7

1

3

5

6

4

2

7


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9893. Итерационные методы оптимизации функций одной переменной 124 KB
  Итерационные методы оптимизации функций одной переменной Методы деления интервала С помощью численных (итерационных) методов можно, например, определять минимум функции в некотором интервале , в котором, как предполагается, лежит точка минимума. При...
9894. Оптимизация функций многих переменных 127 KB
  Оптимизация функций многих переменных Разнообразные методы многомерной оптимизации различают обычно по виду информации, которая необходима им в процессе работы: - методы прямого поиска (методы нулевого порядка), которым нужны только значения целевой...
9895. Градиентные методы 87.5 KB
  Градиентные методы Градиентные методы безусловной оптимизации используют только первые производные целевой функции и являются методами линейной аппроксимации на каждом шаге, т.е. целевая функция на каждом шаге заменяется касательной гиперплоскостью ...
9896. Примеры простейших задач вариационного исчисления 214.5 KB
  Примеры простейших задач вариационного исчисления Исторически первой задачей, известной в глубокой древности и отнесенной впоследствии к задачам вариационного исчисления, явилась так называемая задача Дидо. Легенда говорит, что Дидо - царица од...
9897. Вариация функционала 278.5 KB
  Вариация функционала Вариация одно из центральных понятий при изучении нелинейных функционалов, оно играет ту же роль, что понятие дифференциала при изучении нелинейных функций. Дифференциал нелинейной функции равен главной линейно...
9898. Вторая вариация и достаточные условия экстремума 178 KB
  Вторая вариация и достаточные условия экстремума Вспоминая о глубокой аналогии между дифференциальным и вариационным исчислениями, естественно ожидать, что при переходе к достаточным условиям экстремума функционалов будет введено понятие, иг...
9899. Классификация задач оптимизации 70 KB
  Классификация задач оптимизации оптимизируемая функция (целевая функция, целевой функционал, критерий качества и т.п.), численно выражает степень достижения целей функционирования оптимизиру...
9900. Динамическая оптимизация 97 KB
  Динамическая оптимизация Статическая задача распределения ограниченных ресурсов для достижения комплекса конкурирующих целей в некоторый определенный момент времени математически формализуется в виде математической задачи выбора из заданного до...
9901. Динамическое программирование 224 KB
  Динамическое программирование Динамическое программирование является еще одним из двух современных направлений в теории задач управления. Метод динамического управления может применяться непосредственно при решении общей задачи управления...