43678

Уравнения и системы уравнений

Контрольная

Математика и математический анализ

Уравнения и системы уравнений. Общая часть областей определения функций F1 и F2 называется областью определения уравнения F или множеством допустимых систем значений аргументов. z=c некоторая система значений аргументов из области определения уравнения; возможен один из следующих случаев. с называется решением уравнения F если значения функций F1 и F2 при х = а у = b .

Русский

2013-11-06

177.84 KB

0 чел.

§1.                                  Уравнения и системы уравнений.

    Пусть F1(x, уу ..., г) и F2(xy у, ..., z)— функции, рассматриваемые совместно в общей части их областей определения (эта общая часть предполагается непустой).

    Определение. Уравнением называется равенство

                                              F1(x, y, . . ., z) = F2(x,y, . . ., z), (F)

выражающее следующее суждение:

значение функции F1(x, у, ..., z) равно значению функции F2(x, у, ..., z).

    Общая часть областей определения функций F1 и F2 называется областью определения уравнения (F) или множеством допустимых систем значений аргументов.

   Пусть х = а, у = b,..., z=c  некоторая система значений аргументов из области определения уравнения; возможен один из следующих случаев.

   Случай 1°. При системе значений аргументов (а, b, ..., с) данное суждение истинно, т. е. в точке (а, Ь, ..., с) значения функций F1 и F2 равны:

                                   F1(a, b, . . .,c)=F2(a, b, . . ., с).

      Определение. Система чисел (a, b, ..., с) называется решением уравнения (F), если значения функций F1 и F2 при х = а, у = b, ..., z = с равны.

Говорят также, что данная система чисел удовлетворяет уравнению (F).

    Случай 2°. При системе значений аргументов (а, b, ..., с)данное суждение ложно, т. е. значения функций F1 и F2 в точке (а,b , ..., с) различны:

F1(a, b, . . ., с)≠ F2{a,b, . . ., с).

      В этом случае говорят, что система чисел (а, b, ..., с) не удовлетворяет уравнению (F).

     Функция F1 называется левой частью уравнения (F), а функция F2 называется правой частью уравнения.

      Аргументы х, у, ..., z называются неизвестными.

      Для уравнения с одним неизвестным

                                           F1(x)=F2(x)

всякое его решение х = а называется также корнем.

         Примечание. В частных случаях правая или левая часть уравнения может быть числом, тогда она рассматривается как постоянная функция, имеющая одно и то же значение при всех значениях аргументов. Так, например, в уравнении х + у = 2 правая часть постоянна.

          Случай I. Существует хотя бы одно решение уравнения (F), однако, значения функций F1 и F2 равны не при всех (допустимых) системах значений аргументов. 

     В этом случае множество решений уравнения образует правильную часть области определения уравнения.

      Случай II. Не существует ни одной системы значений неизвестных, при которых значения правой и левой частей равны.

      В этом случае уравнение называется противоречивым. Противоречивое уравнение не имеет решений. Чтобы не исключать этот случай из рассмотрения, говорят, что множество решений противоречивого уравнения является пустым.

    Случай III. Всякая (допустимая) система значений неизвестных является решением уравнения, иными словами, значения функций F1 и F2 равны по всей области определения уравнения.

      В этом случае говорят, что уравнение (F) удовлетворяется тождественно.

        Примечание. Уравнение, удовлетворяющееся тождественно, мы не называем тождеством. Понятия уравнения и тождества существенно различны. Тождество есть равенство, выражающее имеющее место соотношение тождественности двух выражений .Уравнение же есть равенство, выражающее суждение о равенстве численных значений двух функций.

        Решить уравнение — это значит найти множество всех его решений.

       Множество всех решений уравнения может быть как конечным, так и бесконечным.

       Элементарная математика ограничивается изучением лишь частного вида уравнений, в которых правая и левая части являются элементарными функциями. Иными словами, левая и правая части уравнений задаются формулами, содержащими элементарные математические операции .

      Решением уравнения является система чисел х = а, у = bу,.., z = с, при подстановке которых в аналитические выражения F1(x, у , ..., z) и F2(x, у , ..., z) получается одно и то же число.

       Уравнения, изучаемые в элементарной математике, рассматриваются обычно над некоторым числовым полем, т. е. указывается (либо подразумевается), какому числовому полю должны принадлежать допустимые значения неизвестных и числа, входящие в состав аналитических выражений. Множества решений одного и того же уравнения, рассматриваемого над различными числовыми полями, могут быть различными.

     Уравнения, рассматриваемые в элементарной математике, классифицируются пo характеру математических операций, выполняемых над неизвестными.

  Уравнение

                  F1(x,y, . . . ,z) = F2(x,y, . . .,z) (F)

называется целым алгебраическим или, кратко, алгебраическим, если F1 и F2 — многочлены.                 

        Уравнение (F) .называется дробным (дробным алгебраическим или рациональным), если (F1) и (F2) являются рациональными функциями, но хотя бы одна из них не является многочленом.

         Уравнение (F) называется иррациональным (иррациональным алгебраическим), если F1 и F2 являются алгебраическими выражениями, причем хотя бы одна из функций F1 и F2 не является рациональной (содержит действие извлечение корня из выражений от неизвестных).

       Элементарная теория 'перечисленного вида уравнений изложена в главах V и VI 

       В частности уравнение F(x, у, .., z) = 0 называется алгебраическим уравнением степени n, если F(x, y, ..., z) есть многочлен степени n.

        Уравнение называется трансцендентным, если в правой или левой его части (кроме алгебраических) содержатся трансцендентные операции над неизвестными.

Примеры

1. Система чисел х=0, y=0 есть решение уравнения

так как при х=у = 0 значения правой и левой части равны. Система чисел x=2, у=1 не есть решение этого уравнения, так как при х=2, у=1

    Определение. Системой k уравнений с неизвестными х,у,..., ..., z  называется множество k равенств

выражающих следующее суждение: при данной системе значений неизвестных удовлетворяется каждое из заданных уравнений (F).

     При этом всегда правые и левые части всех уравнений системы рассматриваются совместно в общей части их областей определения, называемой областью определения системы (F). Область определения системы предполагается  непустым множеством.

Пусть ('а, b, ..., с) — данная (допустимая) система значений неизвестных, тогда при х = а, у = b, ..., z = c имеет место один из следующих случаев:

     1°. Данное суждение истинно; в этом случае значение левой части каждого из уравнений системы (F) равно значению правой части; система чисел х = а, у = b, ..., z = с называется решением системы уравнений (F).

    2°. Данное суждение ложно, в этом случае хотя бы для одного уравнения системы (F) значение левой части не равно значению правой части.

        Решить систему уравнений — значит найти множество всех ее решений.

    Система, не имеющая решений, называется противоречивой.

     Каждое уравнение системы, рассматриваемое в отдельности, имеет некоторое вполне определенное множество решений (в частности, быть может, пустое); всякое решение системы содержится в множестве решений каждого из уравнений, рассматриваемого в отдельности. Пусть множества решений каждого из уравнений (в отдельности) системы (F), тогда множество всех решений системы есть общая часть этих множеств.

      Следствие. Если хотя бы одно из уравнений системы (F) противоречиво, то и данная система является противоречивой. 

      Пусть, например, уравнение  противоречиво, тогда и вся система (F) «не имеет ни одного решения. В самом деле, в противном случае, всякое решение системы (F) было бы решением i-го уравнения, но последнее, по предположению, не имеет решений.

Геометрическая интерпретация

В частности система уравнений

                                           F1 (x,y) = 0,  F2 = (x,y) = 0

изображает множество точек пересечения линий *

F1(x,y,) = 0 и F2(x,y,) = 0

    Система уравнений,

 F1(х, у, z) = 0, F2(x,y,z) = 0

изображает линию пересечения поверхностей F1 = 0 и F2 = 0 (в предположении, что поверхности действительно пересекаются по линии). 

      Если множество всех решений уравнения (или системы урав- нений) можно задать при помощи одной или нескольких (конечного числа) формул, то совокупность этих формул называют общим решением данного уравнения (системы).

§2  Эквивалентность уравнений и систем уравнений

Определение. Уравнения (или системы)

                                           =  (F)

                                          = (Ф)

с одними и теми же неизвестными х, у, ..., z называются эквивалентными над некоторым числовым полем, если множество всех решений в данном числовом поле первого уравнения (системы) и множество всех решений второго уравнения (системы) в том же числовом поле одинаковы.      

   Следовательно, если всякое решение уравнения (или системы) уравнений (F) является решением уравнения (или системы) (Ф), и обратно — всякое решение уравнения (или системы) (ф) является решением уравнения (или системы) (F), то данные уравнения (или системы) эквивалентны над тем числовым полем, над которым они рассматриваются.

       Противоречивые уравнения (системы) эквивалентны, так как множество их решений в данном поле пусто: уравнения (системы) не имеют решений.

      Примечание. Для алгебраических уравнений возможно учитывать также кратности корней и считать уравнения

 =  =

эквивалентными лишь в том случае, когда всякий корень одного уравнения является корнем той же кратности другого уравнения. Во избежание неясностей следует делать специальную оговорку в рассуждениях, в которых учитываются кратности корней. Если не сделано никаких оговорок, то будем считать, что кратности корией не учитываются.

   При решении уравнений (или систем уравнений) возможно данное уравнение (систему) заменить эквивалентным уравнением (системой), ибо при такой замене множество решений уравнения (системы) остается неизменным.

   Понятие эквивалентности является относительным, так как данная пара уравнений (систем), рассматриваемая над, одним полем, может быть, а над другим полем может ие быть

эквивалентной.

Геометрически замена системы уравнений

                                 (1)

                                          Эквивалентной системой 

   (2)

означает замену двух линий, заданных уравнениями (1), двумя другими линиями, заданными уравнениями (2), причем лини (2) пересекаются между собой в тех же точках, в которых пересекаются между собой линии (1).

   Определение. Уравнение (или система уравнений) (ф) называется следствием уравнения (системы) (F), если множество всех решений уравнения (системы) (F) есть часть множества всех решений уравнения (системы) (Ф).

          Иными словами, если уравнение (система) (Ф) есть следствие уравнения (системы) (F), то всякое решение уравнения (ситемы) (F) есть решение уравнения системы (Ф). Таким образом, все решения данного уравнения (системы) удовлетворяют всякому его следствию.

Пусть есть множество всех решений уравнения (системы) (F),— множество всех решений уравнения (системы) (Ф). Если (Ф) есть следствие (F), то множество может быть более широким, чем множество  (схематическое пояснение см. черт.), в этом случае уравнение (система) (Ф) имеет решения, не являющиеся решениями (F). Такие решения называются посторонними для уравнения (системы) (F).

   Может оказаться, что множество  совпадает с множеством  *, в этом случае уравнения (системы) (F) и (Ф)эквивалентны.

                Обычно, «а практике уравнение (систему) (Ф) получают из  уравнения (системы) (F) при помощи некоторых математических операций и общих свойств равенств. Тогда уравнение (систему) (Ф) называют также в ыводным уравнением (систе-мой).

  Если найдены все решения уравнения (системы) (Ф), выведенного в качестве следствия из уравнения (системы) (F), то для нахождения решений уравнения (системы) (F) достаточно подвергнуть испытанию решения (Ф) посредством подстановки в (F) и затем отбросить все посторонние решения.

                                   § 3   Преобразование уравнений

 При решении уравнений широко применяются тождественные преобразования левой и правой частей данного уравнения. Если тождественные преобразования не изменяют область определения уравнения, то данное и преобразованные уравнения экбивалентны. Если тождественные преобразования изменяют область определения уравнения, то может измениться и множество всех его решений. Следовательно, выполнение тождественных преобразований частей уравнения может привести к уравнению, не эквивалентному данному.

        В частности, если в результате преобразования область определения уравнения расширяется, то может расшириться и множество всех его решений. Посторонними (для данного уравнения) будут решения преобразованного уравнения, принадлежащие множеству систем значений неизвестных, на которое расширилась область определения уравнения; если таких решений не окажется, то данное и преобразованное уравнения эквивалентны.

                   Если тождественное преобразование сужает область определения уравнения, то возможна потеря решений. Потерянными окажутся решения данного уравнения, принадлежащие множеству систем значений неизвестных, на которое сужается область его определения. Если ни одна из систем значений неизвестных, исключающихся из области определения данного уравнения, не удовлетворяет этому уравнению, то преобразованное уравнение эквивалентно данному.

         Так, например уравнения

над полем действительных чисел в общем случае не эквивалентны, так как для первого уравнения допустимые значения неизвестного должны удовлетворять условиям f(x)  0, (х)0, а для второго лишь одному условию f(x)(х) 0.

То же относится и к уравнениям

                                   

для первого уравнения функции f(x) и(х) должны удовлетворять условиям f(x) > 0 и  (х) > 0, а для второго — условию  f(x)  (х) >0.

Пример. Уравнения

над полем действительных чисел не эквивалентны: первое уравнение имеет единственное решение х = 3, второе уравнение имеет два решения  = —3 и  = 3. Область определения уравнения (1) есть полусегмент  1x<+, область определения уравнения (2) состоит из двух промежутков  —<x —1 и 1 х< +. Корень  — —3 принадлежит полуинтервалу —  < х—1, на который расширилась область определения уравнения. При переходе от уравнения B) к уравнению A) область определения сужается и происходит потеря корня  = —3.

В практике решения уравнений обычно из данного уравнения (системы) в качестве следствий выводят другие уравнения (системы) так, чтобы получить уравнение (систему), решения которого известны. Поэтому, существенно установить в общем виде, какие операции приводят к уравнению (системе), эквивалентному либо >не эквивалентному данному уравнению (системе).

Общий признак. Если уравнение (система)

= (Ф)

есть следствие уравнения (системы)

= (F)

a (F) есть следствие (Ф), то уравнения (системы) (F) и (Ф) эквивалентны.

           Этот признак является лишь иным словесным выражением определения понятия эквивалентности, так как по условию вся- кое решение уравнения (системы) (F) должно быть решением (Ф) и обратно, всякое решение (Ф) должно быть решением (F).

Теорема. Уравнения

и F(x, у, ..., z) = (x, у, ..., z)                (F)

F (х, у, ..., z)+ (х, у, ,.., z) = x (x, y,..., z) + (х, у, ... , г)

(F + )

эквивалентны, если функция со (я, у, ..., z) имеет смысл в области определения уравнения (F).

           Эту теорему формулируют в виде правила: к обеим частяч уравнения можно прибавить одно и то же слагаемое.

                Доказательство. Если при некоторых значениях неизвестных значения выражений F и Fx одинаковы, то одинаковы также и значения выражений F + со и F\ + со, поэтому всякое решение уравнения (F) является решением (F + со), т. е. уравнение (F + co) является следствием уравнения (F). Обратно, уравнение (F) есть следствие (F + со), так как, чтобы получить (F),

достаточно к обеим частям уравнения (F + со) прибавить

— со(х, у, ..., z). Следовательно, уравнения (F) и (F + со) эквива-

лентны, ч. т. д.

Следствие. Прибавив к обеим частям уравнения

F (х, У, .. ., z) -f а (л:, //, ..., г) = Ф (х, у, ... , г)

одно и то же выражение—а(х, у,...,г), получим эквивалентное

уравнение:

F (х, у, ... , г) = Ф (х, у, ..., г) — а (х, у, ..., z),

в котором слагаемое а находится с противоположным знаком

в другой части. Правило переноса формулируют так: слагаемое

можно перенести из одной части уравнения в другую с противо-

положным знаком. В частности, всякое уравнение

13 С. И. Новоселов 193

мож,но заменить эквивалентным уравнением вида

В самом деле, для этого достаточно перенести функцию F2 в

левую часть:

F.-F^O.

Если область определения функции со(л:, у, ..., г) уже области

определения данного уравнения, т. е. если слагаемое со имеет

смысл не при всех допустимых системах значений неиз-

вестных, то при переходе от уравнения (F) к уравнению (F + со)

произойдет сужение области определения. Потеря решений про-

изойдет, если слагаемое со(л:, у, ..., г) теряет смысл при каких-

либо системах значений неизвестных, являющихся решениями

данного уравнения. Уравнения (F) и (F + со) эквивалентны, если

слагаемое со(л:, у, ..., z) имеет смысл при всех системах значении

неизвестных, удовлетворяющих данному уравнению.

Примеры

1. Уравнения х + 1 = 0 и log х + х + 1 = log x не эквивалентны. В самом

деле, единственное решение первого уравнения х = —1 не удовлетворяет

второму, так как log (—1) не имеет смысла.

2. Уравнения х2 = 1 и .х2 -4- = 1 4 эквивалентны, так как при

х—2 х—2

переходе от первого уравнения ко второму из области определения исклю-

чается число 2, не удовлетворяющее первому уравнению.

3. Прибавив к обеим частям уравнения jc + = — слагаемое ——>

XX X

получим х = 0, что не является решением данного уравнения.

Причиной появления постороннего решения является выполнение тож-

дественных преобразований. Прибавив к обеим частям данного уравнения

слагаемое — —', получим уравнение

х

эквивалентное данному с той же областью определения, состоящей из всех

чисел (данного поля), отличных от нуля; выполнив тождественные преобра-

зования, получим уравнение х — 0, областью определения которого служит

множество всех чисел (данного поля).

Теорема. У равнения

F{x, у, ..., г)- Fx(x, у, ...,г) (F)

и

ю(х, у, ..., z)F(x, у, ..., г)= ш(х, у, ..., z)FL(x, у, ..., z) (coF)

эквивалентны, если функция co(x, у, ..., z) имеет смысл и от-

лична от нуля при всех системах значений аргументов, допусти-

мых для уравнения (F).

194

Эту теорему формулируют в виде правила: уравнение можно

умножить на любое неравное нулю выражение.

Доказательство. Если значения обеих частей уравне-

ния (F) равны, то равны и значения обеих частей уравнения

(coF). Поэтому уравнение (coF) есть следствие (F). Обратно,

уравнение (F) есть следствие уравнения (coF). В самом деле,

выражение — имеет смысл при всех допустимых системах зна-

чений неизвестных, ибо со(х, у, ..., г) Ф 0; умножив (coF) почлен-

iKO на —, получим в качестве следствия (F), ч. т. д.

Следствие. Обе части уравнения можно умножить на

произвольное, отличное от нуля, число.

Если множитель (o(x, у, ..., г) может обращаться в нуль при

некоторых допустимых значениях неизвестного, то в общем слу-

чае уравнения (F) и (coF) неэквивалентны. В самом деле, урав-

нению (coF) удовлетворяют все числа, обращающие в нуль о>,

т. е. все корни уравнения со = 0. Но среди корней последнего

уравнения могут быть числа, не являющиеся корнями уравне-

ния (F).

Так, например, уравнение Зх + 1 = 2х имеет корень х = —I,

•но уравнение

(х — 2)C* + \) = (х — 2). 2х9

кроме х = —1, имеет корень х = 2.

При переходе от уравнения (F) к уравнению (coF), где

о (л:, у у ..., z) Ф 0, произойдет потеря решений, если множитель о)

теряет смысл при некоторых системах значений неизвестных, яв-

ляющихся решениями уравнения (F); потери решений не про*

изойдет, если множитель со не теряет смысла ни при каких систе-

мах значений неизвестных, удовлетворяющих уравнению (V).

В практике решения уравнений существенно иметь в виду

следующее положение: при выполнении над обеими частями

уравнения некоторой операции, для которой обратная операция

не является однозначной, может получиться уравнение, не экви-

валентное данному.

Поясним сказанное на нижеследующих двух примерах.

I. Если обе части уравнения возвести в некоторую (целую

положительную) степень, то в общем случае получится уравне-

ние, не эквивалентное данному. В самом деле, уравнение

[F, (*, у, ..., z)]n = [F2 (х, у, ..., г)\п (Fn)

есть следствие уравнения

Fi(x, У, .... ^) = F2(xy у, ..., zl (F)

Но, кроме решений уравнений (F), уравнению (Fn) удовлет-

воряют решения любого из уравнений.

Fi(x, У, ..., z)=BF2(xfy, _,*), (*F)

13* 195

где е — произвольное значение корня п-й степени из 1. В самом

деле, по возведении обеих частей уравнения (eF) в п-ю степень

получим в качестве следствия уравнение (Fn ).

Обратно, всякое решение (в данном числовом поле) уравне-

ния (Fn ) удовлетворяет уравнению (eF), где е некоторое, впол-

1не определенное (в общем случае) значение корня из 1 (е при-

надлежит тому полю, над которым рассматривается уравнение).

В самом деле, если при данной системе значений неизвестных

Fn ( F \n F

рп __ рпф§ то имеем——= I —— I ¦= 1; следовательно, —— = г

Fn \ F I Fn

и F\ = eF2 (где е одно из значений у 1 ).

Если е Ф 1, то рассматриваемое решение уравнения (Fn) яв-

ляется посторонним для уравнения (F).

Если F\ = F2 = 0, то уравнение (eF) удовлетворяется при лю-

бом е (из данного поля).

Над полем действительных чисел при нечетном п уравнения

п/

(F) и (Fn) эквивалентны. В самом деле, У 1 при нечетном п

имеет лишь одно действительное значение. При п четном V 1

имеет два действительные значения ±1, поэтому все решения

уравнения (Fn) удовлетворяют одному из уравнений (F) и

Fx = ~F2.

II. Уравнения

Р1^= F2 и sin Fi ~ sin F2

в общем случае не эквивалентны. В самом деле, из равенства

значений синусов следует, что

/4 = (-!)"• ^2 + 1* (!)

(где п — любое целое число). Кроме решений первого уравнения,

второму уравнению удовлетворяют решения каждого из уравне-

ний A), которые получаются при п = +1, +2, ±3, ...

Никакой общей теорией невозможно предусмотреть многообразие преоб-

разований, выполнение которых мэжет привести к уравнению, не эквивалент-

ному данному. В каждом конкретном случае должно производиться спе-

циальное исследование. Ниже в качестве образца рассмотрен ряд конкрет-

ных примеров преобразования уравнений. Этими примерами не исчерпывают-

ся различные преобразования, применяющиеся в практике решения уравне-

ний.

1°. Если обе части данного уравнения

IWJiW- m

заменить обратными по величине выражениями, то получится уравнение

Область определения находится из условий: для уравнения (I)

196

для уравнения (II)

fW^O; П(х)фО (b)

(кроме подразумевающегося условия: все функции /, fb ф, ф! должны иметь

смысл). Всякое значение х (если оно существует), при котором выполнено

условие (Ь) и

Ч(х)=ъ(х) = 0*,

служит корнем уравнения (II), но не является корнем уравнения (I). Всякое

значение х, при котором выполнено условие (а) и

f(x) = fk(x) = O,

служит корнем уравнения (I), но не является корнем уравнения (II). Следо-

вательно, уравнения (I) и (II) могут не быть эквивалентными.

Так, например, заменим уравнение —=—— уравнением х = х2. Послед*

X X

нее уравнение имеет два решения Х\ = 1 и х2 = О, однако, данному уравне-

нию удовлетворяет лишь первый корень хх = 1, а второй является посторон-

ним.

2°. Составим из равенства (I) следующую производную пропорцию:

f (*) + ?(*) _ fl (*)+?!(*)

Для уравнения (III) область определения находится из условий

f(x)*4(xY, П(х)Ф ?i W. (с)

Всякое значение х, для которого выполнено условие (с), и

служит корнем уравнения (III), но не является корнем уравнения (I). Всякое

значение jc, для которого выполнено условие (а) и

f (х) = <р (х) и fx (х) — срх (л:),

служит корнем уравнения (I), но не является корнем уравнения (III) **.

Рассмотрим, например, уравнение

х2 ~х + 2 х + \

х* + х + 2 ~ Зх+1 A)

Составив указанным способом производную пропорцию, получим:

2х2 + 4 \х + 2

-2х = -2х в B)

Для последнего уравнения х == 0 не есть допустимое значение неизвест-

ного. Умножив обе части на —2х, получим

2х2 + 4 = 4х + 2,

откуда

2 (х IJ = 0 и х = 1

Кроме корня * = 1, данное уравнение имеет корень х = 0.

* Заметим, что значения х, при которых ф! (х) =0, но ф1(*) =?0 или

ф1 = 0, ф=г 0, или f = 0, fi т^ 0, или f ^ 0, /i = 0, не могут служить решения-

ми ни уравнения (I), ни уравнения (II).

** Следует заметить, что значения х, при которых ф = 0, ф^О или ф^0,

Ф1 = 0, или f — ф Ф 0, f 1 — ф! = 0, или f — ф = 0, f 1 — ф Ф 0, не могут слу-

жить решениями чи уравнения (I), ни уравнения (III).

197

3°. Уравнения

над полем действительных чисел в общем случае не эквивалентны, так как

для второго уравнения допустимые зна^ -ния неизвестного должны удовлет-

ворять дополнительным условиям

/(х)>0, <р(х)>0.

Аналогичное замечание относится к уравнениям (основание логарифмов

произвольное)

для второго уравнения допустимые значения неизвестного цолжпы удовлетво-

рять дополнительным условиям f (х) > 0 и ф(я) > 0.

Так, например, логарифмируя обе части уравнения

хъ = х, получим: 31og х = log х,

откуда 21og х=0 и х=\. Кроме этого, данное уравнение имеет еще два

решения х = 0 и х = —1, не являющиеся решениями второго уравнения.

§ 50. Совокупность уравнений

Определение. Совокупностью k уравнений

Fi{*> У, •... *)'¦= Фх(*, у, ..., г),

^2 (*, 0, ...,*)-= Ф2 (х, у, ..., г),

*¦*(*, У, .... г) = Фл(х, у, ..., г)

называется следующее суждение: при данной системе значе-

ний неизвестных удовлетворяется хотя бы одно из уравнений

данной совокупности.

Систему чисел (а, Ъ, ..., с), при которой высказанное сужде-

ние истинно, будем называть решением данной совокупности

уравнений; при подстановке х = а, у = Ь, ..., z = с хотя бы

одно (но не обязательно все) из данных равенств окажется

верным.

Чтобы решить совокупность уравнений, достаточно решить

каждое из уравнений Fl = Ф1 в отдельности, а затем объеди-

нить в одно множество все полученные решения. Таким образом,

если УЯЪ ЗЯ2> • • • > 3W* суть множества всех уравнений F\ = Фь

F2 = ф2, ..., Fk = Ф^ (соответственно), то множество ^Я всех

решений данной совокупности есть сумма (в теоретико-множес'1-

венном смысле) этих множеств:

В предыдущих рассуждениях предполагается, что левые и

правые части всех данных уравнений рассматриваются совмест-

но в общей части их областей определения. Если (некоторая систе-

ма чисел удовлетворяет какому-либо из уравнений данной сово-

купности, например, первому, но при этом теряют смысл левая

198

или правая часть, хотя бы одного из прочих уравнений совокуп-

ности, то такая система чисел не считается решением совокупно-

сти.

Геометрическая ин-

терпретация. Совокуп-

ность уравнений F\(x, y)=0,

^2(*, У) = 0 изображает па-

ру линий, т. е. линию, со-

ставленную из точек обеих

данных линий.

Теорема.. Если левая

часть уравнения

F (#, у, ..., z) = О (F)

разлагается на множители:

F(xy у, ..., z) =Fx(x9 */,...,

..., г) - F2(x, у, ..., г) ...

• -.Fk(x, у, ..., г),

то уравнение (F) эквивалент- Черт. 43

но совокупности уравнений,

полученной поочередным приравниванием нулю сомножителей

левой части:

F, = О, F2 = 0,

Fk = 0.

Доказательство. Всякое решение уравнения (F) удов-

летворяет хотя бы одному из уравнений совокупности (F/) так

как для равенства произведения нулю необходимо, чтобы хотя

бы один из сомножителей был равен нулю. Обратно, всякое ре-

шение совокупности уравнений (F^ есть решение уравнения (F),

так как, если хотя бы один из сомножителей равен нулю, то и

произведение равно нулю, ч. т. д.

Примеры

1. Решить уравнение (х— 1) (х + IJ (х2 + 1) = 0.

Решение. Приравняв поочередно нулю сомножители, получим сово-

купность уравнений:

х— 1=0, (jt-f 1J = 0, х2+1=0.

Взяв множество решений всех этих уравнений, получим корни данного урав-

нения х = 1, х = —1 (двукратный корень) и х = ± i.

2. Решить уравнение

Решение. Приравняв поочередно нулю сомножители, получим три

уравнения:

1) х— 1=0, откуда х—\\

2) х2 + 1 = 0, откуда х = i и х = — г,

^ ~~t iT7 = ^» не имеет решений.

199

Решения данного уравнения суть х = i и х = —i. Корень первого урав-

нения х = 1 следует исключить. В самом деле, число 1 не принадлежит мно-

жеству допустимых значений неизвестного, ибо при х = 1 левая часть исход-

ного уравнения теряет смысл.

3. Решить уравнение

Решение. Приравняв нулю по отдельности сомножители, получим:

^-{-1=0, откуда х =%—1; logx=0, откуда х — 1.

Но х = —1 не есть допустимое значение для неизвестного, ибо при

х =—1 теряет смысл log*, а следовательно, и вся левая часть исходного

уравнения.

§ 51. Основные способы решения систем уравнений

Одним из основных методов решения систем уравнений яв-

ляется метод подстановки.

Допустим, что известно общее решение одного из уравнений

системы:

Fi(x9 у, ..., z) = 0

F2 (х, у, .,., z) = 0 (р

Fn(x, у, ...,г)=0

например, уравнения

Предположим, далее, что общее решение уравнения (Fi) за-

дано формулой, выражающей одно неизвестное, например х, че-

рез другие*:

х=х(у, ..., г): (х)

Всякое частное решение уравнения (Fi) получается, если не-

известным у, .. ., z придать некоторую определенную (допусти-

мую) систему численных значений. При всех (допустимых) зна-

чениях у, ..., z имеет место тождество (относительно у, ..., z)

F!(x(y, ..., г), у, .,., z)=0. A)

Теорема 1.Если х = х(у, ..., z) есть общее решение уравне-

ния (Fi), то система (F) эквивалентна систсче:

Fn(x(y, ..., г), г/,..., г) = 0

(F)

* Элементарная математика ограничивается рассмотрением лишь этого

частного случая.

200

Доказательство. Всякое решение системы (F) х — аг

у = Ь, ..., z = c есть решение системы (?'). В самом деле, си-

стема чисел х = а, у = Ь, ..., z = c есть решение уравнения fi = 0,

следовательно, оно (решение) содержится в формуле общего

решения этого уравнения:

а = *(Ь, ..., с).

Итак, последнее уравнение системы (F') удовлетворяется;

подставив в прочие уравнения значения у = Ь, ..., z = c, получим:

F*[x(b, ..., с), 6, ..., c)=F2(a, Ъ, ..., с) = О,

Fn(x(b, .... с), 6, ...,c)=Fn(a,b, ..., с) = 0.

В самом деле F2(a, Ъ> ..., с) = ... = Fn(а, 6, ..., с) = 0, так

как по условию (а, 6, ..., с) есть решение системы (F).

Обратно, всякое решение системы (F') есть решение системы

(F). В самом деле, если система чисел (а, 6, ... , с) удовлетво-

ряет уравнениям (F'), то имеем:

а = х(Ь, ..., с).

Положив в тождестве A) у = Ьу ..., z = c, получим:

Fxixib, ..., с), 6, ..., с) = Л(а, 6, .... с) = 0.

Следовательно, первое уравнение системы (F) удовлетворя-

естся. Так как система чисел у = 6, ..., z = с удовлетворяет пер-

вым п—1 уравнениям (F'), то имеем:

F*[x(b> ..., с\ Ъ, ..., c) = F2(a4 6, ..., с) = О,

Следовательно, удовлетворяются и все прочие уравнения си-

сгемы (F).

Если одна из систем (F) или (F') противоречива, то и дру-

гая противоречива, так как в противном случае всякое решение

непротиворечивой системы оказалось бы решением противоре-

чивой системы.

Из изложенного следует эквивалентность систем (F) и (F/)>

ч. т. д.

Доказанная теорема служит обоснованием способа подста-

новки. Этот способ излагается в виде следующего правила.

Правило. При решении системы уравнений методом под-

становки следует:

1°. Решить одно из уравнений системы относительно

какого-нибудь неизвестного, выразив его через прочие неизвест-

ные (формула (х)).

2°. Исключить это неизвестное, подставив найденное выра-

жение в прочие уравнения системы.

201

После подстановки получится система, в которой число урав-

нений и неизвестных на 1 меньше, чем в первоначальной систе-

ме (первые п— 1 уравнений системы (F)').

3°. Решить полученную систему (относительно неизвестных

У, ...* г).

4°. Для каждого решения последней системы вычислить соот-

ветствующее значение исключенного неизвестного (подстановкой

в формулу (х)). (Примеры применения способа подстановки

см. в следующих параграфах: 69, 70, 74, 88, 90, 95.)

Для решения системы уравнений, о которой говорится в

пункте 3°, в свою очередь, можно применить метод подстановки,

это еще раз понизит на 1 число уравнений и число неизвестных

и т. д.

В практике решения систем уравнений широко применяется

следующий способ: некоторые из уравнений, входящие в состав

системы, умножаются (почленно) на специально подобранные

множители, а затем почленно складываются. Эта операция «ком-

бинирования» может повторяться несколько раз применительно

к разным уравнениям, входящим в состав системы. Множители

подбираются так, чтобы в результате «комбинирования» получи-

лась (как следствие) система уравнений, решающаяся уже изве-

стным методом.

Так, например, складывая и вычитая уравнения

^1 = 0, F2 = 0, } (F)

в качестве следствия из (F) получим систему:

7^ + ^=0, /ч-^ = 0. } (F')

Системы: (F) и (F') эквивалентны. В самом деле, систему

(F) в свою очередь можно вывести в качестве следствия из си-

стемы (F'); для этого достаточно разделить почленно на 2 урав-

нения (F') и затем сложить и вычесть:

-j (/Ч + F2) + ±-(FL-F2) = Fx = 0,

(F+ FJ^iF F)^ F 0

Теорема //. Системы уравнений

Л = 0, Ft=O, ..., Fn = 0 } (F)

и F, = О, }

«мЛ + п?л + «зз^з = О, [ (mF)

^ -I- /и F-4- -l-m F — О

202

эквивалентны, если каждый из «диагональных» множителей

W-22, т>гг, . • • > тПп отличен ui нуля.

Разъяснение. Множители mik могут быть числами или

функциями от неизвестных, в последнем случае условие теоремы

требует, чтобы каждый из множителей т22, я*зз, • • > тпп был

отличным от нуля во всей области определения системы.

Доказательство. Всякое решение системы (F) есть ре-

шение системы (mF), так как при всех значениях неизвестных,

при которых функции Fu F2i ..., Fn обращаются в нуль (каж-

дая), обращаются в нуль и левые части всех уравнений системы

(mF). Обратно, всякое решение системы (mF) есть решение си-

стемы (F). В самом деле, пусть при некоторых значениях неиз-

вестных обращаются в щлъ левые части (mF). Если F± = 0, то

второе равенство системы (mF) принимает вид m^F2 = 0, но

так как т22^0, то F2 = 0. Далее, из равенств /гг = /72 = 0 и из

третьего равенства (mF) следует тъъръ = 0, откуда ^з = 0, и так

далее, и, наконец, из равенств /7i = /72= ••• = /7rt_i =0 вытекает

tnnnFn =0, откуда Fn =0. Итак, всякое решение системы (mF)

есть решение системы (F).

Из изложенного следует эквивалентность систем (F) и (mF),

ч. т. д. (Примеры применения способа комбинирования уравне-

ний см. в параграфах 70, 71, 74, 90.)

В частности, системы:

эквивалентны. Нижеследующие системы

/4=0,

F2=0 I

Z7! —^2=0,

и т. п. эквивалентны системе

Ft = 0, F2= 0, /-3 = 0.}

Доказанная теорема является частным случаем следующей общей тео-

ремы.

Теорема. Если детерминант

ГП22 ... m2n

тП1 m*2 • • • mnt

отличен от нуля в области определения системы (F), то системы

/г1=0, /72=0> ...yFn — Q \

(F)

203

-+- m2nFn = 0

(mF>

эквивалентны.

Доказательство. При выполнении равенств (F) выполняются так-

же равенства (mF). Обратно, если значения функций F/ удовлетворяют си-

стеме линейных однородных уравнений (mF) с неравным нулю детер-

минантом, то F\ = F2 == ... = Fn = 0. Следовательно, системы (F) и (mF)

эквивалентны, ч. т. д.

Различные частные приемы, применяющиеся при решении

систем уравнений, невозможно предусмотреть общей теорией.

При применении этих приемов вопрос об эквивалентности сис-

тем, получающихся из данной системы, подлежит специальному

исследованию.

Примеры

1. Для решения системы

F1F2 = 0, Ф=0) A)

достаточно решить совокупность двух систем

F9 = 0

В самом деле, всякое решение системы A) удовлетворяет уравнению

F\F2 = 0, откуда F\ = 0, или F2 = 0 и, кроме того, Ф = 0. Следовательно,

удовлетворяется хотя бы одна из систем B) или B'). Обратно, если удовлет-

воряется система B) или B7) то Л = 0 или F2 = 0 и, следовательно, FXF2 — О

и так как Ф = 0, то удовлетворяется система A).

2. Рассмотрим две системы:

F Ф = F, Ф

(i ;

Система B) есть следствие системы A), так как из равенств (I) вытека-

ют равенства B). В общем случае системы A) и B) не эквивалентны. В са-

мом деле, пусть удовлетворяется система B), причем F = F{-? 0, тогда из

первого уравнения B) получим Ф = Фь т. е. удовлетворяется система A).

Если же F — F\ = 0, то удовлетворяются оба уравнения B), однако, урав-

нение Ф = Ф1 может не удовлетворяться, такие решения явятся посторонни*

ми для системы A).

§ 52. Решение уравнений при дополнительных условиях

Нередко на допустимые значения неизвестных налагаются

дополнительные условия; эти дополнительные условия

могут быть различными. Так, например, можно поставить усло-

вие, чтобы некоторые из неизвестных были либо целыми, либо

положительными, либо рациональными числами, чтобы значения

204

неизвестных удовлетворяли .некоторым неравенствам и т. п. Раз-

личные условия обычно возникают при решении задач посредст-

вом составления уравнений, эти условия устанавливаются в со-

ответствии со смыслом задачи. Так, например, если неизвестное

обозначает число людей, то допустимыми его значениями явля-

ются натуральные числа, если неизвестное обозначает длину от-

резка, то его допустимые значения положительны, если неизвест-

ное обозначает цифру в десятичной системе нумерации, то его

допустимые значения суть 0, 1, 2, 3, ... , 9 и т. п.

Не исключена возможность, что выражения, служащие пра-

вой и левой частями уравнения, имеют более широкую область

определения, чем множество допустимых систем значений неиз-

вестных, определяемое условиями задачи. Если

откинуть эти условия, то множество допустимых систем значе-

ний аргументов расширится. Будем рассматривать уравнение

(или систему) при расширенном множестве допустимых значе-

ний неизвестных, а откинутые условия как дополнительные. В

множестве всех решений (без дополнительных условий) уравне-

ния (системы) в частности содержатся все его решения, удовлет-

воряющие дополнительным условиям. Отсюда вытекает следу-

ющее часто применяющееся правило решения уравнений (сис-

тем) при дополнительных условиях.

Правило. Чтобы решить уравнение (систему) при дополни-

тельных условиях, достаточно решить данное уравнение (систе-

му) без этих условий, и из полученного множества всех решений

выбрать решения, удовлетворяющие дополнительным условиям.

Примеры

1. Найти такое число /г, чтобы

1 +2+34- ... +п= 15.

Решение. По смыслу задачи п должно быть натуральным числом. Вы-

полнив суммирование, получим:

( + 0

1.2

следовательно, д должно удовлетворять квадратному уравнению:

п« + п — 30=0. A)

Это последнее уравнение можно рассматривать над полем комплексных

чисел, считая для д допустимыми произвольные комплексные значения. В этом

поле данное квадратное уравнение имеет два решения д = 5 и д = —6, из

которых натуральным является число 5. Итак, д = 5 есть единственное реше-

ние уравнения A) при данном дополнительном условии.

2. Задача. Имеется 32 сосуда двух размеров. Из двух различных со-

судов объем большего на два литра больше объема меньшего. Общий объем

больших и общий объем малых сосудов один и тот же — 60 л. Определить

количество больших и малых сосудов.

Решение. Пусть х — число больших сосудов, тогда

о2 — х — число малых сосудоь,

60

— объем большого сосуда,

60

— — объем малого сосуда.

о2 — х

205

По условию

60 _ 60

х 32 — х ~~

Откуда

х2 — 92л; + 960 = 0.

По смыслу задачи неизвестное х должно удовлетворять следующим до-

полнительным условиям:

a) х — натуральное число;

b) х<32.

Решив квадратное уравнение без учета дополнительных условий, по-

лучим два решения:

Xi = 12, х2=^80.

Из этих двух чисел условию а) удовлетворяют оба, условию Ь) удовле-

творяет первое.

Следовательно, больших сосудов было 12, малых сосудов было

32-12 = 20.

3. Вычислить углы А, В и С треугольника, выраженные в градусах, если

А + В = 120° и А — С - 130°.

Решение. Для А, В к С имеем систему уравнений

Л+? = 120; Л —С = 130; Л + Б+С=180

при дополнительных условиях Л > 0, В > 0, С > 0. Решив систему без учета

дополнительных условий, получим единственное решение Л = 190, В — —70,

С = 60. Задача не имеет решений, так как полученное решение не удовлет-

воряет дополнительным условиям.

§ 53. Уравнения, содержащие параметры

Рассмотрим уравнение

F(x, у, ..., г; а, р, ..., т) = 0 (F)

с неизвестными х, у, ..., z и с параметрами а, ?$, ..., т*> при

всякой допустимой системе значений параметров сю, Ро, • • •, уо

уравнение (F) обращается в уравнение

F(x, У, ..., г\ сс0, р0, ..., to) = 0 (Fo)

с неизвестными х> у, . . ., z, не содержащее параметров. Урав-

нение (Fo) имеет .некоторое вполне определенное множества

(быть может, пустое) решений.

Аналогично рассматриваются системы уравнений, содер-

жащих параметры. Допустимыми системами значений парамет-

ров считаются системы, допустимые для каждого уравнения в

отдельности.

Определение. Решить уравнение (или систему), содержащее-

параметры, это значит, для каждой допустимой системы значе-

ний параметров найти множество всех решений данного урав-

нения (системы).

Понятие эквивалентности применительно к уравнению, со-

держащим параметры, устанавливается следующим образом1.

206

Определение. Два уравнения (системы)

F(x9 у, . . . ,z; а, ?, . . . Т) = О, (F)

Ф(*. у, . . . ,?; а, В, . . ., Т) = О (Ф)

с неизвестным х, y,,..f z и с параметрами а, C,..., у называются

эквивалентными, если для обоих уравнений (систем) множество

допустимых систем значений параметров одно и то же и при вся-

кой допустимой системе значений параметров оба уравнения

(системы уравнений) эквивалентны.

Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой

системе значений параметров имеют одно и то же множество

решений.

Преобразование уравнения, изменяющее множество допусти-

мых систем значений параметров, приводит к уравнению, не

эквивалентному данному уравнению.

Предположим, что каждое из неизвестных, содержащихся в

уравнении

F(x, у,. . .,*; О, . . ., T) = 0 (F)

задано в виде некоторой функции от параметров:

Говорят, что сист'ема функций (X), заданных совместно, удов-

летворяет уравнению (F), если при подстановке этих функций

вместо неизвестных х, у,..., z в уравнение (Р) левая его часть

обращается в нуль тождественно при всех допустимых значениях

параметров:

Р, • • -Л), 0(«, ?, • • .,7). • • ., 2(а, р, . . .,Т);

а, ?, • • . , 7^ 0.

При всякой допустимой сист'еме численных значений парамет-

ров а = с*о, р = Cо,—, 7 = 7о соответствующие значения функций (X)

образуют решение уравнения

F(x, у, . . . , г; а0, %, . . . д0) = 0.

Примеры

1. Уравнение

V 1 — а2х* + (Ь - а) х + ]/* б2 — а* ,= 0,

рассматриваемое над полем действительных чисел, содержит два параметра

а и Ь. Допустимые значения параметров определяются из условий:

М<1 И |6|>|а|.

Так, например, системы а = 0, 6=1; а——, 6= — ];

а = — —-, 6 = —- — допустимые.

3 2

207

Положив а — О, 6 =¦ 1, получим уравнение _л? + х + 1 =* 0; положив

1 и 1 "^ з )/"з

= —, 6 = — 1, получим —-— х2 — — х + —-— = U,

Системы а — 2 6 = 0; а = *—, 6 = — не являются допустимыми.

" 2 4

2. Для уравнения

а* + х + 1 = О

допустимые значения а определяются условием а > 0, так как функция а

в элементарной математике рассматривается лишь при положительном осно-

вании.

Черт. 44

3. Для уравнения

т— 1

-4-1=0.

A)

множество допустимых значений параметра т определяется условием т ф 1.

Умножив уравнение нат-1, получим:

jc -{- ш — 1 = 0. (^j

Для последнего уравнения т = 1 является допустимым значением пара-

метра. При этом значении левая часть уравнения A) теряет смысл, а урав-

нение B) имеет решение х = 0. Уравнения A) и B) не эквивалентны.

4. Рассмотрим два уравнения:

lgx-\-\gy=\ga П) и ху=а. B)

Для первого уравнения допустимые значения неизвестных и параметра

определяются из условий

х>0, у>0, а>0.

Для второго уравнения допустимыми являются произвольные значения

неизвестных и параметра. Урвнения A) и B) не эквивалентны. На чертеже 44

208

показаны линии (гиперболы), изображающие данные уравнения при различ-

ных значениях параметра.

5. При решении квадратного уравнения.

ах2 + Ьх т- с = О

в общем виде коэффициенты а, Ь и с рассматриваются как параметры.

6 Задача. Разделать данный отрезок, равный а, на две части так,

чтобы большая часть была средней пропорциональной между всем отрез-

ком и меньшей частью.

Решение. Пусть х— длина большей части, тогда а — х длина мень-

шей части.

По условию х2 = а(а — х), откуда

х2+ях — а2 = 0. A)

Согласно смыслу задачи для параметра а допустимым является произ-

вольное положительное значение, а неизвестное х должно удовлетворять до-

полнительному условию 0<х<а. Решив уравнение A) без учета дополни-

тельного условия для неизвестного, получим:

у -l), x<,= _-|-(j/JF+ 1);

условию 0<х<а удовлетворяет первое решение, оно и дает ответ на вопрос

задачи.

7. Функция параметра х = а2 удовлетворяет уравнению

*3 — rte = o.

В поле действительных чисел эта функция дает общее решение уравне-

ния. В поле комплексных чисел общее решение уравнения может быть задано

следующими функциями:

х = а2, х = га2, х = г2а2 (где е и е2 — мнимые кубические корни из 1).

8. Функции

— m — V m2 + n2 — m+Vm2 + n2

х ^ и у2 = A)

п п

удовлетворяют уравнению (как легко проверить):

пх2 + 2пгх — п = 0 B)

и при п т^ 0 дают все решения уравнения B). Однако эти функции не дают

общего решения уравнения B), так как при п = 0 и тф 0 уравнение имеет

решение х = 0, при т = п = 0 уравнение удовлетворяется тождественно,

тогда как при п = 0 формулы A) теряют смысл.

§ 54. Об исследовании уравнений

Необходимо различать два вида исследования уравнений:

основное исследование и дополнительное исследование.

Основным исследованием будем называть всякое исследование,

входящее в процесс решения уравнения в качестве составной

его части. Таким образом, основное исследование вытекает

из требования «решить уравнений». Например, к основному ис-

следованию относятся следующие вопросы: выявить посторонние

решения, найти множество допустимых значений параметров,

исследовать, дают ли найденные функции от параметров общее

14 С. И. Новоселов 209

решение, при всех ли значениях параметров эти функции удовле-

творяют уравнению.

К дополнительному исследованию будем относить всякое

исследование не вытекающее из требования «решить уравнение».

В отличие от основного, дополнительное исследование не имеет

определенного содержания, если не указано, какие именно свой-

ства уравнений и их решений подлежат исследованию. К допол-

нительному исследованию относятся, например, такие вопросы:

выделить решения, удовлетворяющие дополнительным условиям;

установить те или иные свойства функций, удовлетворяющих

уравнению (системе); при решении задач посредством составле-

ния уравнений установить дополнительные условия, которым

должны удовлетворять допустимые значения неизвестных и пара-

метров, исходя из их конкретного смысла. (Примеры исследова-

ния уравнений даны в следующих параграфах: 73, 78, 86, 87, 88,

90, 93, 95, 106) *.

§ 55. Особые случаи решения уравнений

Рассмотрим уравнение

?(*), @

в котором правая и левая части заданы при помощи аналитиче-

ских выражений. Пусть при значении х = а хотя бы одно из

выражений f(x) или <р(я) теряет смысл. Если основываться не-

посредственно на определении корня уравнения, как такого зна-

чения аргумента ху при котором значения функций f(x) и ср(л')

равны, то число а нельзя считать принадлежащим множеству

допустимых значений неизвестного, а значит, нельзя его считать

корнем уравнения. Принцип продолжения функции по непрерыв-

ности (см. § 6) позволяет расширить понятие корня уравнения.

Дополнитель ное определение. Если в точке х = а, хотя

бы одно из выражений f(x) и у(х) теряет смысл, и если предел

разности f(x) —<р(Х) в точке а равен нулю:

то число а считается корнем (особым) уравнения ({).

Определение распространяется на уравнения с несколькими

неизвестными, а именно, если предел /—ср в точке (а, 6,..., с) ра-

вен нулю:

1if(*,y, . . . , z) — ср (х, #, . . . ,z)]-=0,

* К сожалению в учебной литературе (особенно в старой) основное ис-

следование не разграничивается от дополнительного и постановка вопроса оО

исследовании уравнений делается неопределенной. Так, например, в учебнике

алгебры Киселева в исследование упорно включаются случаи «положитель-

ных, отрицательных и нулевых корней». Однако исследование этих случае»

никак не вытекает из требования «решить уравнение».

210

то х = а, у = Ь, .,., z = с считается решением (особым) уравнения'

/=Ф.

Понятие особого решения может вводиться, может и не вво-

диться, это зависит от того, принимается или нет принцип про-

должения по непрерывности (подробности см. стр. 22), в зависи-

мости от этого на особые решения возможны две точки зрения.

I. Согласно п'ервой точке зрения дополнительное определение

решения в особом случае не принимается, а потому х = а не счи-

тается корнем уравнения (f).

II. Согласно второй точке зрения сформулированное дополни-

тельное определение принимается, и число а считается корнем

уравнения (f).

Возможно придерживаться как той, так и другой точек зре-

ния, но, во избежание недоразумений (там, где они могут воз-

никнуть) надо указывать, какая из этих точек зрения прини-

мается.

В школьном курсе математики обычно принимается пер-

вая точка зрения, т. е. особые решения не рассматрива-

ются.

Примечание. Следует иметь в виду, что связанное

с особыми случаями решений уравнений наивное протаски-

вани'е (характерное для старых учебников) всякого рода

«раскрытия неопределенностей, «бесконечных корней* и

т. п. как чего-то очевидного само по себе», есть глубоко

ошибочная, антинаучная точка зрения.

Примеры

1. Согласно дополнительному определению, число х = 0 следует считать

корнем уравнения

в

о

V

самом деле,

х-* 0

П п

Решить уравнение

1

V

V

1 -

+ х2

1 + Х

1+х

- cos 2x

-V

X

2

X

2 +

1-

V 1

1/ 1

sin

X2

— X2

— X2

=0.

2 sin л: 1 + cos 2л: ^

Решение. После преобразований получим:

sin 2х • sin х (cos л: — 1) = 0, B)

откуда

х = п —^ , х =. пъ и х = 2м 7г.

14* 211

Две последние формулы решений содержатся в первой, поэтому формула

те

х = п— дает общее решение уравнения B). Переход от уравнения A) к

уравнению B) был связан с расширением области определения, поэтому воз-

можно появление посторонних решений. Подстановка х = п—в уравнение A)

показывает, что здесь имеет место особый случай. Именно, при четном

п = 2k теряет смысл левая часть, а при нечетном п — 2k + 1 — правая.

Имеем (при х =/= п —):

1 — cos 2x sin 2x

sinx — tg*.

f(x) y(x) =

2 sm x 1 + cos 2x

При нечетном п получим:

lim |f (x) — ^ (x)\ — lim Isin x — tg x\ = oo .

2k + 1

7T

Следовательно, числа B/г+1)~- не являются корнями уравнения.

При четном п имеем:

lim (sin x — tg x) — 0.

X-> k n

Следовательно, числа х = kn являются особыми решениями уравне-

ния A). Согласно первой точке зрения уравнение A) не имеет решений.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18859. Брутализм, необрутализм 20.48 KB
  Брутализм необрутализм от англ. brutal грубый направление современной архитектуры зародившееся в 1950х гг. в Великобритании архитекторы А. и П. Смитсон и затем распространившееся в Западной Европе США и Японии. Характерно стремление к обнажению конструктивной схемы по
18860. Русская иконопись XII – XVII в. Домонгольская икона, Андрей Рублёв, Дионисий, Симон Ушаков 24.83 KB
  Русская иконопись XII – XVII в. Домонгольская икона Андрей Рублёв Дионисий Симон Ушаков. Все основные иконографические типы Русь унаследовала от Византии. Поэтому для людей не особо искушенных в искусстве русская икона мало чем отличается от византийской. Те же типы Бого...
18861. Европейский классицизм 20.97 KB
  Европейский классицизм. Настало время и высокий мистицизм готики пройдя через испытания ренессанса уступает место новым идеям основанным на традициях древних демократий. Стремление к имперскому величию и демократическим идеалам трансформировалась в ретроспекцию п
18862. Уильям Моррис и «Движение искусств и ремёсел» 26.64 KB
  Уильям Моррис и Движение искусств и ремёсел. Движение искусств и ремёсел Arts Crafts английское художественное движение викторианской эпохи кон. 19 в. участники которого занимались ручной выработкой предметов декоративноприкладного искусства стремясь к сближению
18863. Микеланджело Буонарроти (Michelangelo Buonarroti; иначе Микеланьоло ди Лодовико ди Лионардо ди Буонаррото Симони) 24.74 KB
  Микеланджело Буонарроти Michelangelo Buonarroti; иначе Микеланьоло ди Лодовико ди Лионардо ди Буонаррото Симони 1475-1564 итальянский скульптор живописец архитектор и поэт. В искусстве Микеланджело с огромной выразительной силой воплотились как глубоко человечные полные героиче
18864. Русское барокко. Окно в Европу 29.03 KB
  Русское барокко. Окно в Европу. Барокко стиль зародившийся в конце XVI в. в Италии в Европе был распространен до начала XVIII в. в Латинской Америке отчасти в Северной Америки и Азии в XVII XVIII вв. Основополагающая черта синтетичность. Искусство барокко отличается динами
18865. Немецкое Возрождение. А.Дюрер, Г.Гольбейн 24.43 KB
  Немецкое Возрождение. А.Дюрер Г.Гольбейн. Развитие немецких городов запаздывало даже по отношению к Нидерландам и немецкий Ренессанс сформировался в сравнении с итальянским на целое столетие позже. На примере творчества многих художников XV в. можно проследить как фор
18866. Скандинавская традиция Алвар Аалто 22.6 KB
  Скандинавская традиция Алвар Аалто. Годы жизни: 1898-1976 Основная информация: Выдающийся финский архитектор. Представитель функционализма близкого органической архитектуре. Его постройки общественные промышленные сооружения жилые дома церкви и выставочные павиль
18867. Русская архитектура Х-ХVII 23.49 KB
  Русская архитектура ХХVII. Крестовокупольный храм архитектурный тип христианского храма сформировавшийся в Византии и в странах христианского востока в V VIII вв. Стал господствующим в архитектуре Византии с IX века и был принят христианскими странами православно...