44400

Дослідження математичних моделей інвестиційного аналізу

Дипломная

Математика и математический анализ

Потім серед багатьох показників що мають відношення до аналізу цієї спроможності виділяються чистий приведений прибуток NPV внутрішня норма прибутковості IRR дисконтний термін окупності DPM індекс прибутковості рентабельності PI та коефіцієнти ефективності інвестицій RR. Чиста приведена вартість NPV чистий наведений ефект. Net present vlue загальноприйняте скорочення NPV це сума дисконтованих значень потоку платежів приведених до сьогоднішнього дня.

Украинкский

2013-11-11

1.13 MB

2 чел.

Міністерство освіти і науки України

Одеський національний університет ім. І.І.Мечникова

Інститут математики, економіки та механіки

Кафедра оптимального керування та економічної кібернетики

Дипломна робота

на тему:

"Дослідження математичних моделей інвестиційного аналізу"

Студента V курсу групи ОКЕК

напряму підготовки 0802

спеціальності 6.0802.02 – Прикладна математика

Гурєєва Сергія Олеговича

                                      Керівник                                                                              .             

        кандидат фіз.-мат. наук, доц. Васильєв О.Б.

                                                                 Рецензент

                                                                                                                   

ОДЕСА - 2012
ПЛАН

РОЗДІЛ  І  

1.  Вступ – 3с. ;

2.  Історія фінансової математики – 6с. ;

3.  Фінансова ефективність капіталовкладень – 8с. ;

4.   Показники фінансової ефективності:

4.1.   NPV  12с. ;

4.2    Індекс рентабельності   14с. ;

4.3.   Коефіцієнти ефективності 14с. ;

4.4.  Строк окупності інвестицій – 15с. ;

4.5.  Внутрішня норма прибутковості – 17с. ;

5.  Розвязання тестових прикладів – 21с. ;

РОЗДІЛ II 

6. Облігації, їх види і основні характеристики – 24 с.;

7. Вартість облігацій – 25с.;

8. Доходність облігацій:

8.1 Накопичений купонний дохід26с.;

8.2 Поточна доходність27с.;

8.3 Прибутковість до погашення – 28с.;

8.4 Дюрація, модифікована дюрація, опуклість – 31с.;

8.5 Прибутковість портфеля облігацій33с.;

РОЗДІЛ III

9. Визначення інвестиційного ризику – 35с.;

9. Методи аналізу ризику

9.1 Метод коректування норми дисконту – 36с.;

9.2 Метод достовірних еквівалентів – 37с.;

9.3 Аналіз чутливості показників ефективності – 38с.;

9.4 Аналіз запасу безпеки інвестиційних проектів – 44с.;

11. Додатки – 49с.;


1. ВСТУП

1) Поняття фінансів та фінансової математики.

Фінанси - один з ключових чинників економіки. Органи державного управління, ділові фірми і підприємства, домашні господарства - усі вони незалежно від масштабів своєї діяльності для її успішного ведення повинні цей чинник враховувати і приділяти йому первинну увагу. Це повною мірою відноситься і до управлінських кадрів, які у своїй професійній діяльності мають справу з грошовими потоками підприємства і можуть впливати на його фінансовий стан. Як кількісна основа фінансового аналізу, а також рішення по фінансуванню, інвестиціям, кредитам, позикам і т. д. виступають правила і методи фінансової математики : арифметики, алгебра, оптимізації, у тому числі при рисці і невизначеності. Її вивчення, як і вивчення математики взагалі, неможливе без рішення певних завдань.

У наш час важко переоцінити роль фінансового аналізу в діяльності підприємств, банків, та ін. Фінанси - кров будь-якого підприємства. Саме гроші - загальний еквівалент вартості товарів і послуг, а також витрачених на їх виробництво  ресурсів (чинників виробництва). Тому, планування, прогнозування, оптимізація і контроль фінансових потоків - життєво важливі завдання фінансової служби підприємств.

Під фінансовою математикою розуміються, передусім, моделі і алгоритми фінансових розрахунків. При цьому, базова операція - кредитування. Автор багатьох книг з фінансової математики, Е. М. Четиркін відмічав, що фінансова математика є сукупністю методів визначення зміни вартості грошей, що відбувається внаслідок їх поворотного руху  в процесі відтворення.

Тобто, фінансова математика - розділ  кількісного аналізу фінансових операцій, предметом  якого є вивчення функціональних залежностей між параметрами комерційних угод або фінансово-банківських операцій і розробка на їх  основі  методів рішення фінансових завдань.

Об'єкт вивчення - фінансові операції в яких необхідність обчислень виникає у разі, коли в умовах угод виникає (прямо або побічно) чинник часу (терміни виплат, дати, періодичність платежів та ін.). Часто буває, що чинник часу грає важливішу роль, ніж вартісні характеристики оскільки саме він зрештою визначає результат.

Одним з ключових завдань фінансової математики є завдання побудови адекватних, з точки зору певних імовірнісних характеристик, математичних моделей цінового ряду. Для того, щоб здійснити перехід від практичних завдань до завдання математичного моделювання цінових рядів, потрібна певна ідеалізація ринку цінних паперів. Нижче наведений приклад такої ідеалізації, відомий як основа сучасного технічного аналізу. Ідеальний ринок грунтується на трьох аксіомах :

Аксіома 1. Рухи ринку враховують усі чинники. Суть аксіоми полягає в тому, що будь-який чинник, що впливає на ціну, - економічний, політичний, психологічний, заздалегідь врахований і відбитий в її ціновому ряду.

Аксіома 2. Ціни рухаються напрямлено. Це припущення стало основою для створення багатьох методик технічного аналізу. Термін тренд означає певний напрям руху цінового ряду. Одним з головних завдань технічного аналізу є своєчасне визначення трендів. Існує три основні типи трендів : бичачий (bullish) - рух ціни вгору, ведмежий (bearish) - рух ціни вниз, бічний (sideways) - ціна практично не міняється.

Аксіома 3. Історія повторюється. Технічний аналіз займається саме історією певних подій, пов'язаних з ринком. З точки зору технічного аналізу, розуміння майбутнього лежить у вивченні минулого.

Вважаючи істиною аксіоми технічного аналізу, більшість прикладних завдань теорії фінансів зводяться до завдання математичного моделювання цінових рядів.

Тому, Фінансова Математика (ФМ) - розділ прикладної математики, що має справу з математичними завданнями, пов'язаними з фінансовими розрахунками.

2) Основні напрями ФМ:

  •  класична фінансова математика або математика кредиту (проведення процентних розрахунків; питання, пов'язані з різними борговими інструментами, : векселями, депозитними сертифікатами, облігаціями; аналіз потоків платежів, вживаний в банківській справі, кредитуванні, інвестуванні);
  •  Стохастична фінансова математика, що включає розрахунок без арбітражної (чи "справедливої") ціни фінансових інструментів;
  •  проведення актуарних розрахунків (що становлять математичну основу страхування);
  •  эконометрические розрахунки, пов'язані з прогнозуванням поведінки фінансових ринків.

Фінансовий ринок є сукупністю грошових і валютних ринків, ринків цінних (благородних) металів, ринок фінансових інструментів, включаючи  цінні папери.

Фінансові інструменти бувають 2-х типів:

1) основні  - банківський рахунок, облігації, акції;

2) похідні (побудовані на базі основних) -опціони, ф'ючерсні/форвардні контракти, варранты, свопи,  комбінації, сперды, поєднання, та ін.

3) Чинник часу

На даний момент сучасний стан світової комп'ютерної мережі Інтернет дає можливість величезній кількості фізичних і юридичних осіб брати участь в біржовій торгівлі цінними паперами, наприклад, акціями. Як відомо, учасники ринку цінних паперів підрозділяються на інвесторів і спекулянтів. Для останніх характерна велика кількість угод купівлі і продажу за досить короткий час. Спекулятивна торгівля є основою біржової торгівлі і дозволяє інвесторам здійснювати великі торговельні операції в будь-який час. Цей вид торгівлі доступний тільки висококваліфікованим фахівцям з торгівлі акціями і неможливий без комп'ютерної підтримки. Для забезпечення такої підтримки створена велика кількість комп'ютерних торговельних програм, які видають сигнали на купівлю і продаж, грунтуючись на числових даних, що поступають з бірж, в режимі реального часу. Кожна така програма має деякий набір параметрів, варіюючи які, можна добитися певних характеристик торгівлі, наприклад, високої річної прибутковості, мінімального ризику, мінімальної тривалості ряду збиткових угод. Зазвичай параметри підбираються шляхом тестування програм на історичних цінових рядах за певний період часу. Проте практика показує, що частенько навіть оптимальна програма дає абсолютно збиткову реальну торгівлю. Тому тестування торговельних програм бажано проводити на ансамблі траєкторій. З іншого боку, насправді ми маємо історичні дані, представлені однією траєкторією. Таким чином, ансамбль траєкторій може бути отриманий тільки шляхом статистичного моделювання цінового ряду. Для цього можна використовувати параметричну модель, коли динаміка ціни визначається стохастичним диференціальним рівнянням. Для таких моделей імовірнісні характеристики модельної ціни залежать від вибраних значень вільних параметрів диференціального рівняння. Також можна моделювати ціновий ряд в повній відповідності з імовірнісними характеристиками історичного цінового ряду. Такий підхід відноситься до імовірнісних підходів, для нього характерний малий набір вільних параметрів.

Отже, за наявності адекватної моделі цінового ряду з'являється можливість якісно поліпшити роботу торговельних програм в порівнянні з тестуванням програм на історичних даних, оскільки з'являється можливість моделювання ансамблю цінових траєкторій з однаковими імовірнісними характеристиками.


2. ІСТОРІЯ ФІНАНСОВОЇ МАТЕМАТИКИ

Перш ніж переходити до постановки завдань, що вирішуються в цій роботі, проведемо невеликий екскурс в історію фінансової математики.

На початку свого становлення, в 20-х роках XX століття, теорія фінансів як математичного апарату використовувала лише формулу складних відсотків, а її основний інтерес був пов'язаний з питаннями адміністрування і збільшення фондів. Наступний розвиток теорії йшов в двох напрямах: в припущенні умов повної визначеності і умов невизначеності. Для розвитку першого напряму важливу роль зіграли роботи Ірвінга Фішера, а також роботи Франка Модільяни і Мертон Міллера ("Скільки коштує фірма"?, "Теорема ММ", 1963), в яких розглядалося питання вибору оптимальних рішень для учасників ринку.

Історично першою роботою в другому напрямі стала дисертація Л. Башелье ("Theorie de la speculation", 1900), в якій автор зробив спробу описати зміну вартості акцій на паризькому ринку цінних паперів як випадковий процес. Систематичному узагальненню теорія уперше піддалася в статті А.Н.Колмогорова (1931 р.). Хоча витоки теорії лежали в області економіки, після Л.Башелье дуже довгий час більшість її методів використовувалися, в основному, при дослідженнях в галузі теоретичної фізики, головним чином, в молекулярній фізиці і радіофізиці.

Лише на початку п'ятдесятих років XX століття стохастична математика знову стала застосовуватися у фінансових обчисленнях. У 1952 році Г. Марковиц публікує статтю з короткою назвою "Вибір портфеля". Ця робота стала початковою точкою нового етапу розвитку фінансової математики. Головна ідея Марковица - рахувати прибутковість операцій купівлі-продажу кожного цінного паперу випадковими величинами. Ці величини заздалегідь невідомі, але передбачається, що для них задані очікувані значення, а також величини, що характеризують відхилення доходностей від очікуваних, - так звані варіації і коваріації. Таким чином, Марковиц змусив говорити фінансовий ринок на мові теорії вірогідності.

Наступним важливим етапом в теорії фінансів стала робота В. Шарпа (1964), в якої ідеї Марковица отримали втілення в широко відомій моделі, що пояснює поведінку інвесторів на ринку, що знаходиться в рівноважному стані. Далі в 1965 П. Самуэльсон для опису динаміки зміни вартості акції вводить, так званий, геометричний броунівський рух. У 1972 році С. Рос для опису рівноважності стану ринку уперше використовував ідеї арбітражу. Затверджувалося, зокрема, що ринок, що знаходиться в рівноважному стані, не повинен допускати арбітражних ситуацій, тобто можливості витягання прибули без ризику.

У сучасній теорії і практиці торгівлі опціонами знаменну роль зіграв 1973 рік, коли в Чикаго (США) була відкрита біржа по ув'язненню стандартних контрактів з опціонами. У тому ж році були опубліковані дві роботи, що зробили революцію у фінансових розрахунках, пов'язаних з опціонами. Це статті Ф. Блэка і М. Шоулса "Розрахунок ціни опціонів і зобов'язання корпорацій" (1973) і Р. Мертона "Теорія розрахунку раціональної ціни опціону" (1973). У цих роботах було показано, що для розрахунку вартості опціону необхідно притягнути теорію випадкових процесів, зокрема, теорію стохастичних диференціальних рівнянь. Ця модель дозволила організувати роботу опційних бірж, проте пізніше багато дослідників відмічали неадекватність цієї моделі історичним ціновим рядам.

Вивчення цієї проблематики в Україні  пов'язане з розвитком ринкових стосунків в країні на початку 90-х років XX століття.


3.
ФІНАНСОВА  ЕФЕКТИВНІСТЬ  КАПІТАЛОВКЛАДЕНЬ

Термін “інвестиції” походить від латинського “invest”, що означає “вкладати”. В більш широкому трактуванні інвестиції виражають вкладення капіталу в активи підприємства , інфрастуктуру, соціальні та природоохоронні програми з метою наступного його збільшення. При цьому приріст капіталу, який отриманий в результаті інвестування, повинен бути достатнім, щоб відшкодувати інвестору відмову від використання власних коштів на споживання в поточному періоді, нагородити його за ризик та компенсувати втрати від інфляції в майбутньому періоді.

Інвестиції виражають всі види майнових та інтелектуальних цінностей, які вкладаються в об’єкти підприємницької діяльності, в результаті якої утворюється прибуток або досягається соціальний ефект.

Інвестиціі можуть здійснюватись у формі:

  •  рухомого і нерухомого майна;
  •  майнових прав,нематеріальних активів;
  •  коштів, кредитів, цінних паперів;
  •  права на користування землею та ін. природими ресурсами.

Спочатку в у цьому розділі розглядається певний підхід, який світова фінансова практика виробила для оцінки так званих комерційних, підприємницьких або просто ділових проектів. Потім, серед багатьох показників, що мають відношення до аналізу цієї спроможності виділяються чистий приведений прибуток (NPV), внутрішня норма прибутковості (IRR), дисконтний термін окупності (DPM), індекс прибутковості (рентабельності) (PI) та коефіцієнти ефективності інвестицій (ARR).

Грошовий потік та ставка дисконтування.

Грошовий потік або потік готівки (англ. Cash Flow; CF) - це абстрагований від його економічного змісту чисельний ряд, що складається з послідовності розподілених у часі платежів. Використовується для розрахунку показників економічної ефективності інвестицій, а також для аналізу руху грошових коштів економічного суб'єкта в часі.

Загальноприйняте позначення потоку платежів — CF. Позначення чисельного ряду — CF0,CF1,...,CFn. Окремий елемент такого ряду може мати як додатне, так і відємне значення.

Чисельне значення грошового потоку характеризує величину надходжень грошей, якщо вона більше нуля, або велечину вітрат (інвестицій), якщо вона менше нуля. Позитивний грошовий потік формують грошові кошти, що залишилися у економічного суб'єкта у підсумку за відповідний період. Негативний грошовий потік формують грошові кошти, що витрачаються економічним суб'єктом у відповідний період, наприклад, інвестиції, повернення кредиту, витрати на сировину, енергію, матеріали та ін.

Виходячи з теорії тимчасової вартості грошей, для отримання суми потоку платежів, приведеної до справжнього моменту часу, використовується метод дисконтування. Таким чином усі суми грошового потоку приводяться до справжньої вартості.

Дисконтування - це приведення усіх грошових потоків (потоків платежів) до єдиного моменту часу. Дисконтування є базою для розрахунків вартості грошей з урахуванням чинника часу. Приведення до моменту в майбутньому називають нарощуванням .

Нарощування до певного моменту в майбутньому виконується шляхом множення минулих грошових потоків (потоків платежів) на коефіцієнт нарощування ::

Дисконтування виконується шляхом множення майбутніх грошових потоків (потоків платежів) на коефіцієнт дисконтування ::

Традиційно склалося, що фінансова привабливість будь-яких капіталовкладень, у тому числі і комерційних проектів, в основному оцінюється за грошовим потоком, який вони породжують. Причому починається цей потік зазвичай з так званого первинного внеску, за яким слідують переважно прибуткові надходження. На підставі його аналізу мі можемо зрозуміти, чи виправдаються зусилля із його реалізації з фінансової точки зору. Саме тому ГП і можна назвати основною характеристикою проекту.

Будь-який підприємницький проект характеризують:

-  період його реалізації Т;

- два типи грошових надходжень (чи відрахувань) на рахунок проекту, тобто на рахунок, скажімо, компанії, що реалізовує цей проект.

Тобто, ми можемо розглядатимемо ГП виду:

a=(at, a(t))0≤tT                         

или на интервале времени [О, Т], где Т ≤ ∞ ,

  1.  at дискретна складова потоку, тобто at0 при деякій кінцевій або рахунковій кількості моментів часу Про = to < t1 < t2 < .. < tn, що належать інтервалу [О, Т], величини atk можуть набувати значень будь-якого знаку (tn = Т, якщо a(t) = 0 при t > tn),
  2.  а(t) - неперервна складова потоку, тобто функція a(t) визначена на [О, Т] і означає інтенсивність нарахування грошей на рахунок проекту у момент t (відємна інтенсивність означає відрахування грошей).

Якщо по рахунку проекту в деякий момент проходять не-сколько вступів і декілька відрахувань, то at, - сума алгебри усіх цих операцій.

Приклад  :

Спроектовано будівництво супермаркету з метою одержання прибутку від його експлуатації. Проект розрахований на 10 років і припускає внесення первинного внеску в  50 000 у.о. під будівництво і внеску через рік у розмірі 20 000 у.о. з метою облаштування та наступної експлуатації. Нехай прибутки почнуть надходити через 2 року і матимуть постійну інтенсивність 10 000 в рік протягом 8 років. Нарешті,  через 10 років магазин може бути проданий за ціною 20 000.

а0 = -50 000,

а1 = -20 000,

а10 = 20 000;

a(t}= 10 000,   2 < t < 10.

Проекти бувають двох типів: в першому випадку можна цікавитися прибутковістю проекту, в іншому - його собівартістю. Ці два типи можна назвати симетричними, тому що фактично будь-якому потоку, що породжується проектом першого типу, можна поставити у відповідність деякий потік проекту другого типу, який відрізнятиметься лише знаком складових елементів потоку, і навпаки. Наприклад, розглядаючи операцію купівлі цінних паперів з точки зору покупця, ми автоматично цікавимося її прибутковістю. Але ту ж саму фінансову операцію можна розглядати і з точки зору продавця або позичальника. Тоді складові ГП просто поміняють знаки, і ми будемо вимушені цікавитися собівартістю операції. Зрозуміло, що досить уміти аналізувати потоки якого-небудь одного типу. А висновки відносно іншого неважко буде зробити аналогічно.

Прибутковість проекту  охарактеризувати неважко, оскільки очевидно, що ре-ализующая проект компанія повинна спочатку вкладати свої гроші і лише потім отримувати віддачу від них. Іншими словами, на деякому початковому інтервалі часу витрати повинні переважати над прибутками. Але в той же час загальний потік протягом усього періоду реалізації проекту має бути додатнім. Це записується за допомогою функції:

                             


Показники фінансової ефективності та методи їх обчислення

1. Чиста приведена вартість (NPV, чистий наведений ефект) .

Чиста поточна вартість(англ. Net present value, загальноприйняте скорочення - NPV ) - це сума дисконтованих значень потоку платежів, приведених до сьогоднішнього дня. Показник NPV є різницею між усіма грошовими надходженнями і очікуваними витратами, приведеними до теперішнього моменту часу (моменту оцінки інвестиційного проекту). Він показує величину грошових коштів, яку інвестор чекає отримати від проекту, після того, як грошові надходження окуплять його первинні інвестиційні витрати і періодичні грошові затрати, пов'язані із здійсненням проекту. Оскільки грошові платежі оцінюються з урахуванням їх тимчасової вартості і ризиків, NPV можна інтерпретувати, як вартість, що додається проектом. Її також можна інтерпретувати як загальний прибуток інвестора. Інакше кажучи, для потоку платежів CF (Cash Flow), де Рk - платіж через k років (k = 1,.., n) і початкової інвестиції IC (Invested Capital) у розмірі IC = − P0 чистий дисконтований дохід NPV розраховується по формулі:

                                                    

де r – ставка приведення (дисконтування).  

Якщо відповідно до проекту інвестиціі  здійснюються не одноразово, а постійно протягом М років, то :       

де і – прогнозований середній рівень інфляціі.

NPV має дуже важливу властивість – аддитивність , тобто:

Якщо NPV > 0, то реалізація даного проекту сприятиме підвищенню громадського або приватного добробуту. Тобто, інвестор (підприємець) зацікавлений в здійсненні такого проекту.

Якщо NPV = 0, то добробут інвестора,  що вкладає гроші в проект не зміниться, оскільки витрати дорівнюватимуть прибуткам за проектом. Тобто, прибутку такий проект не принесе, але він не збитковий. Проте, у разі прийняття проекту з NPV = 0 зростуть обсяги виробництва, а значить компанія  збільшиться в масштабах. Оскільки нерідко збільшення розмірів компанії розглядається як позитивна тенденція, проект все - таки приймається.

Якщо NPV < 0 те реалізація такого проекту припускатиме збитки. Значить, від такого проекту необхідно відмовитися.

При порівнянні декількох  інвестиційних проектів необхідно дотримуватися деяких правил:

- серед альтернативних проектів слід вибирати той, який забезпечує найбільше NPV .

- не приймати жоден проект, який не забезпечує позитивного значення NPV .

Можливо, що після завершення проекту обладнання, яке відпрацювало запланований період, буде продане за своєю залишковою вартістю. У такому разі необхідно використовувати формулу:

                                            

де RC —ліквідаційна вартість обладнання (Ліквідаційна вартість - сума коштів або вартість інших активів, яку підприємство очікує отримати від реалізації (ліквідації) об'єкта після закінчення терміну його корисного використання (служби), за відрахуванням витрат, що пов'язані з продажем (ліквідацією)).

Позитивні якості ЧПВ :

  1.  чіткі критерії ухвалення рішень;
  2.  показник враховує вартість грошей в часі (використовується коефіцієнт дисконтування у формулах).

Негативні якості ЧПВ :

  1.  показник не враховує ризик.
  2.  Хоча усі грошові потоки (NPV  може включати інфляцію) є прогнозними значеннями, формула не враховує вірогідність результату події (платежу).


2
. Індекс рентабельності інвестицій PI (Profitability Index)

Метод розрахунку чистого наведеного ефекту допомагає розраховувати його абсолютний розмір. Але абсолютний розмір NPV далеко не завжди дає правильне уявлення про економічну ефективність інвестиції. Об'єктивніше ситуацію можна оцінити, якщо зіставити NPV декількох проектів з сумою початкових інвестицій у них. Саме порівняння чистого наведеного ефекту та початкових інвестицій і лежить в основі розрахунку індексу рентабельності інвестиції. Формула його розрахунку така:

З цієї формули випливає, якщо:

РІ>1, інвестиції рентабельні;

РІ<1, інвестиції збиткові;

РІ=1, інвестиції не збиткові і не рентабельні.

Таким чином, інвестиції виправдані лише тоді, коли їхня рентабельність вища за ціну цих інвестицій, а ефективність капіталовкладень тим більша,  чим більше значення РІ.

3. Метод розрахунку коефіцієнтів ефективності

В основу цього методу покладено зіставлення чистого прибутку та початкових інвестицій. Формула його розрахунку має такий вигляд:

де АRR—коефіцієнт ефективності інвестицій;

RV—ліквідаційна вартість обладнання ;

ІС —середня величина початкових інвестицій;

PN— середньорічний прибуток за час дії проекту.

Формула розрахунку коефіцієнта ефективності інвестицій має окремі особливості. Перша із них полягає в тому, що як економічний ефект тут використовують чистий прибуток, а не грошовий потік. Друга особливість — чистий прибуток беруть без урахування його поточної вартості. Це, безумовно, з одного боку, спрощує розрахунки, але, з іншого, може призвести до неправильного тлумачення одержаних результатів.

4. Визначення строку окупності інвестицій (РР, DPP)

Аналіз інвестицій з використанням вищевикладених методів дає можливість у цілому оцінити їхню ефективність. Але всі вони залишають поза увагою один важливий аспект — час, упродовж якого буде досягнута окупність початкових вкладень. У фінансовому аналізі цей показник має назву строку окупності інвестицій (РР). Формула його розрахунку має такий вигляд:

PP = min n , при якому :

                                                           

Як видно з наведеної формули, зіставлення інвестицій роблять з грошовим потоком від проекту. Як тільки він перевищить їх, період, у якому це сталося, і буде вважатися кінцевим у визначенні строку окупності інвестицій. Строки окупності інвестицій важливо знати, тому що це пов'язано з можливістю реінвестування доходів та одержання відповідно додаткових прибутків. Капітал завжди віддаватиме перевагу тим проектам, які забезпечать найкоротший термін його окупності за інших рівних умов.

Формула має й окремі недоліки. Так, вона залишає поза увагою суми грошових потоків, які будуть одержані поза строком окупності інвестицій. Крім цього, аналіз строків окупності інвестицій роблять, враховуючи недисконтовані грошові потоки. Це теж може значно викривити одержані результати.

Модифікацією методу періоду окупності є дисконтний метод  (DPP). Його сутність полягає у визначенні моменту, коли дисконтовані грошові потоки, які генеруються проектом, зрівняються з дисконтованими потоками інвестиційних витрат (дисконтований період окупності - DPP). Тобто :

DPP = min n , при якому :

                                                    

Цей метод базується на концепції грошових потоків, отже його перевагою є урахування впливу фактора часу на ціну грошей, він є обов’язковим, коли інвестування здійснюється у декілька прийомів. Тому величина періоду окупності двох інвестиційних проектів, які мали однакове значення без урахування змін вартості грошей в часі, може мати різне значення при використанні дисконтного методу.

Очевидно, що у випадку дисконтування період окупності збільшується, тобто завжди DPP > PP. Іншими словами, проект, прийнятний за критерієм PP, може виявитися неприйнятним за критерієм DPP.

В оцінці проектів за критеріями PP і DPP слід дотримуватись вимог:

а) проект приймається, якщо окупність має місце;

б) проект приймається тільки в тому випадку, якщо період окупності не перевищує встановленого деякого ліміту.

Таблиця - Період окупності інвестиційних проектів

Рік

Грошові потоки за проектами

А

В

С

А і С

В і С

0

-10

-10

-10

-20

-20

1

0

10

0

0

10

2

20

0

0

20

0

3

5

15

15

20

30

Період окупності

1,5

1

2,66

2

2,33

Проекти А і В є взаємовиключними, а проект С – незалежним. Тобто, підприємець може вибрати не тільки один з наведених проектів, а і їх комбінації (проекти А і С або проекти В і С). Якщо розглядати кожний проект окремо з точки зору показнику PP, можна зробити висновок, що більш прийнятним є проект В. Однак якщо розглядати комбінації проектів, слід віддати перевагу комбінації з «гірших» проектів А і С.

Існує ряд ситуацій, при яких застосування методу, заснованого на розрахунку періоду окупності затрат, є доцільним і необхідним. Наприклад, ситуація, коли керівництво підприємства більш стурбоване рішенням проблеми ліквідності, а не прибутковості проекту, тобто, головне, щоб інвестиції мали окупність і якомога скоріше. Метод також придатний в ситуації, коли інвестиції супроводжуються високим ступенем ризику, тому чим коротший термін окупності, тим менш ризикованим є проект. Така ситуація характерна для галузей або видів діяльності, яким притаманна більша імовірність достатньо швидких технологічних змін.

Таким чином, на відміну від показників NPV, IRR та PI, показник PP (DPP) дозволяє отримати оцінки, хоч і грубі, про ліквідність і ступінь ризику проекту. Поняття ліквідності проекту застосовано умовно: вважається, що з двох проектів більш ліквідний той, в якого найменший період окупності.

5. Методи визначення  внутрішньої норми прибутковості (IRR)

Перед тим як здійснити інвестиціі, необхідно визначити джерело їхнього фінансування. Існує два можливих джерела цього фінансування: власні та запозичені кошти. Вартість власних джерел визначають рівнем одержуваних акціонерами дивідендів, вартість запозичених — відсотками з кредитів банків, облігацій. Тобто виникає потреба в зіставленні рентабельності інвестиції та ціни їхнього залучення.

Внутрішня норма прибутковості (внутрішня норма рентабельності інвестицій) – норма приведення (дисконту) r = IRR, при якій дисконтова на вартість надходжень проекту дорівнює дисконтованій вартості витрат (інвестицій), тобто ставка, при якій NPV = f(r) = 0:

або

   

Зміст цього рівняння у тому, що приведені на момент t0 = 0 початку проекту значення потоків витрат і надходжень рівні, тобто проект є безприбутковим. Неважко зрозуміти, що у загальному випадку f(r) нелінійна функція. Тому при визначенні IRR потрібно буде застосовувати наближене обчислення.

Коли грошовий потік не являється постійною величиною, тоді необхідно використовувати таку формулу:

r1 — значення табульованого коефіцієнта дисконтування, за якого NPV1>0 (NPV1<0);

г2 — значення табульованого коефіцієнта дисконтування, за якого NPV2<0(NPV2>0).

Тобто, по таблицям беруться такі значення r1 і г2 , при яких NPV має різні знаки. Точність розрахунку за цією формулою буде тим більша, чим менша різниця між r1та г2. При цьому необхідною умовою є min NPV1>0 при r1, та max NPV2<0 при r2, тобто мають різні знаки. 

Норму рентабельності інвестицій можна також визначити за допомогою графічного методу. Для цього по осі абсцис відкладають значення NPV, а по осі ординат — значення коефіцієнта дисконтування (рис. 1).

Рис. 1. Графічне визначення норми рентабельності

Оскільки значення NPV-прямопропорційне ставці дисконтування, то залежність між ними матиме вигляд прямої. З курсу елементарної математики відомо, що необхідно мати дві точки на площині XY, щоб побудувати пряму. В цьому конкретному випадку це означає, що необхідно мати дані про два значення NPV при двох значеннях коефіцієнта дисконтування. Як правило, прийнято брати такі значення цього коефіцієнта, щоб одна величина NPV була додатною, а інша — від'ємною. Розглядаючи проблему визначення норми рентабельності, слід також зазначити, що сьогодні дедалі частіше використовують модифіковану норму рентабельності (MIRR).

Модифікована норма рентабельності (MIRR) — значення табульованого коефіцієнта дисконтування, за якого поточна вартість (PV) проекту дорівнює його кінцевій вартості, деостання перебуває як сума майбутніх вартостей грошових прибутків, компаудированих під вартість капіталу фірми.

Якщо заданий неперервний потік платежів р(t) при t [0; Т],

Тоді, якщо рівняння  f(i) = 0 має єдиний додатній корінь, то це буде IRR за одиницю часу. Тобто задача приводиться до суто математичної – знаходження кореня рівняння f(i) = 0.

Якщо потік платежів заданий, то f(0) – недисконтована сумма  нетто-платежів за термін проекту. Суто з єкономічної точки зору, необхідно відкинути усі значення f(0) ≤ 0 и розглядати випадок, коли  f(0) > 0.  При великих значеннях і отримаємо, що      ,

де C0  - початкова інвестиція.

Теорема (достатня умова існування IRR):

Нехай t0 < t1 < … < tn і , m= 1, 2, …, n. – загальна сумма усіх платежів від моменту 0 до tm.  

Тоді, якщо С0 ≠ 0 , С1 ≠ 0, і, якщо виключення нульових значень з інвестицій Сі, , має лише одну зміну знаку, то рівняння f(i) = 0 має єдиний додатній корінь.

У разі, коли інвестиції здійснюються миттєво, а прибутки нараховуються регулярно у вигляді постійної обмеженої ренти постнумерандо NPV можна розрахувати так:

NPV = P * PVIFA  (n ; r) – K = R*an |  i C0.

PVIFA (n ; r) = an | i = коефіцієнт приведення постійної ренти (обчислюється по таблиці); K = C0 - миттєві інвестиційні витрати; P - член потоку прибутків; r - ставка, приведення (дисконтування); n - тривалість періоду надходження доходу.

Тоді IRR обчислюється за формулою :

.

Для оцінки і застосовується інтерполяційна формула :

ан, ав – табличні значення коефіцієнтів нарощення (приведення) відповідно до верхньго та нижньго рівня ставок ін та ів , а – значення коефіцієнта приведення , для якого визначається розмір ставки.   

Для оцінки інвестиційних проектів IRR частіше за всього порівнюють зі значенням показника СС (ціна капіталу).

Ціна (вартість) капіталу (Cost of Capital, СС) - загальна сума коштів, яку треба сплатити за використання певного об'єму фінансових ресурсів, виражена у відсотках до цього об'єму. Тобто вартість капіталу – це відношення суми коштів, яку треба сплатити за використання фінансових ресурсів з певного джерела, до загального об'єму засобів з цього джерела, виражене у відсотках.

Якщо джерело фінансування не ідентифіковане, то використовується показник WACC.     Цей показник розраховується як середньоарифметична зважена величина вартості окремих елементів капіталу. "Вагами" кожного елементу виступає його питома вага в    загальній сумі сформованого (використовуваного) або намічаного до формування капіталу.

де ССj - вартість (ціна) j -го джерела засобів; dj - питома вага j -го джерела засобів в загальній їх сумі (Σdj=1).

Отже , якщо :
-    
IRR > CC, то проект варто прийняти, так як він забезпечує прибуток;

  •  IRR<CC , то від проекту необхідно відмовитись, оскільки він завдає збитків;
  •  IRR=CC, то проект не прибутковий, але й не збитковий.

З усього цього можна зробити висновок: не зважаючи на ті, з чим порівнюють IRR, проект може принести прибуток, лише, коли IRR більше деякій порогової величини. Чим більше IRR, тим проект прийнятніший.


5.
Тестові приклади

Приклад  1.

Інвестор вкладає 20 ум. од. в момент часу 0, потім ще 8 ум. од. через 2 роки і отрумує прибуток через 5 років 40 ум. од. Знайти IRR проекту.

Розв’язок:

Рівняння вартості виглядає наступним чином:

f(i) = -20 +8 (1+i)-2+40 (1+i)-5 = 0.

Таблиця значень f(i) для різних процентних ставок :

i

0.00

0.02

0.04

0.06

0.07

0.08

0.09

0.01

f(i)

12

8.54

5.48

2.77

1.53

0.36

-0.74

-1.77

В силу достатньої умови існування IRR, рівняння має один додатній корінь. Так як f(0.08) > 0 і  f(0.09) < 0, використаємо лінійну інтерполяцію з кроком 0.01:

 

Приклад 2.

Знайти IRR  проекту, який розрахований на 4 роки.  Спочатку в проект  інвестується 15 ум.од.  Грошові надходження за проектом  3, 4, 8 і 7 ум. од.

 Розв’язок:

Візьмемо два довільних значення і1  = 0.1, i2 = 0.2. Розрахуємо для них

f(i) = -15 + 3 (1+i)-1 + 4 (1+i)-2 + 8 (1+i)-3+ 7 (1+i)-4. 

i

0.1

0.2

f(i)

1.82

-1.72

 0.1514

Приклад 3.

Інвестиційному проекту відповвідає таблиця поток платежів:

t

0

1

2

3

4

C(t)

-4

-2

4

-1

5

 Знайти IRR.

 Розв’язок

 Таблиця нарощеного потока  платежів за 4 роки :

T

0

1

2

3

4

C(t)

-4

-6

-2

-3

2

В силу достатньої умови існування IRR, рівняння має один додатній корінь

Застосувавши обчислене наближення , знайдемо, що при і1 =0.10 та і2 = 0.12 функція f(і) змінює знак. f(i1) = 0.1514, f(i2) = -0.1311. Обчислимо тепер значення IRR:

Приклад 4.

 Інвестицій проект розрахован на 10 років. Початкова інвестиція 30 ум.од., інвестиція через 3 роки 10 ум.од. і  4 ум.од. через 7 років. Грошові надходження черз 5 років 20 ум.од., і в кінці проекту 40 ум.од. Проект також характеризується неперервним платежем в період з 2 по 10 рік: р(t) = 2,   2 ≤ t ≤ 10. Знайти IRR проекту.

 Розв’язок

 Рівняння вартості проекту має  вигляд :

 

  f(0)=-30-10+20-4+40+2*8 = 32.

 Так як функція f(i) монотонно спадає, то рівняння f(i) =0 має єдиний корінь. Лінійна інтерполяція між f(0.08) та f(0.09) дає корінь IRR = 0.08245.


Приклад
5.

Оцінка ефективності інветицій в обєкт ЄВРО-2012 – НСК  «Олімпійський»:

Націона́льний спорти́вний ко́мплекс «Олімпі́йський» (далі НСК) —універсальна спортивна споруда у Києві, головна спортивна арена України, один з найбільших стадіонів Європи. У 20082011 роках відбувалась реконструкція стадіону з метою підготовки до проведення Чемпіонату Європи з футболу 2012 року. Під час реконструкції було затрачено 4590,32 млн грн (тут та далі – офіційні дані за проектно-кошторисною документацією). Дані інвестицій за роками у млн грн.:

2008

2009

2010

2011

247,36

605,7

1816,09

1921,17

Проект стадіону розрахований на період Т = 30 років.

Щорічні видатки на утримання стадіону, починаючи з 2012 р. – 13 млн грн.

Щорічні прибутки від проведення матчів ФК Динамо Київ, зб. України, концертів , виставок та ін. в 2012 р. – 200 млн грн, з 2013 року планують – 12 млн грн і щорічно збільшуватись на суму близько 0,5 млн грн.Дані щодо щорічних витрат на використання НСК та доходів за наведені оціночно згідно оптимістичної стратегії використання НСК.

Ставка дисконтування і = 12 %.

Значення ЧПВ вираховане за допомогою програми:

NPV = -3 080,78 млн грн.

Песимістична оцінка прибутків від НСК (витрати переважають доходи на 1 млн грн.):

NPV = -3218,43 млн грн.

Зрозуміло що в даній ситуації не може бути мови про окупністо проекту. Отже, проект стадіону НСК обійдеться країні у неймовірно веику кількість збитків (за найліпшим прогнозом, близько 3 млрд грн), доцільніше було би побудувати новий стадіон, це мінімум у 2 рази зменшило б витрати та залучити частину коштів приватних інвесторів.

РОЗДІЛ II

Аналіз ефективності цінних паперів

Цінний папір - документ, що засвідчує дотримання встановленої форми і обов'язкових реквізитів майнові права, здійснення або передача яких можливі тільки при його пред'явленні. Цінні папери як економічна категорія  - це право на долю сукупного капіталу, отриманого в результаті первинного розміщення цих паперів, а також на розподіл і перерозподіл прибутку, який дає такий капітал.

    У цьому розділі розглянуті методи оцінки купонних і  бескупонних облігацій.

Облігації, їх види і основні характеристики

Облігація(лат. obligatio - зобов'язання; англ. bond - довгострокова, note - короткострокова) - емісійний борговий цінний папір, власник якого має право отримати від емітента облігації в обумовлений термін її номінальну вартість грошима або у вигляді іншого майнового еквіваленту. Облігація може також передбачати право власника на отримання фіксованого відсотка(купона) від її номінальної вартості або інші майнові права.

Загальним доходом по облігації є сума виплачуваних відсотків(купонів) і розмір дисконту при купівлі.

Облігації служать додатковим джерелом засобів для емітента. Часто їх випуск носить цільовий характер - для фінансування конкретних програм або об'єктів, доход від яких надалі служить джерелом для виплати доходу по облігаціях.

Економічна суть облігацій дуже схожа на кредитування. Облігації дозволяють планувати як рівень витрат для емітента, так і рівень доходів для покупця, але не вимагає оформлення запоруки і спрощує процедуру переходу права вимоги до нового кредитора.

Основні параметри облігації : номінальна вартість (face value), викупна ціна (redemption value) або правило іі визначення, дата погашення (date of maturity), норма прибутку або купонна процентна ставка (coupon rate), дата виплати процентів.

Види:

1. За формою виплати доходу :

а) Купонна облігація - різновид облігації з проміжними виплатами. Вона припускає отримання вами грошового потоку в майбутньому з певною періодичністю. Купонна ставка(процентна ставка за купоном) облігації - щорічні процентні до номінальної вартості виплати по облігації. Це ставка відсотка виплачувана емітентом облігаційної позики власникові облігації.

б) Облігації з нульовою купонною ставкою передбачають виплату доходу у вигляді різниці між ціною розміщення(випуску) облігації і номінальною вартістю(ціною погашення). Оскільки такі облігації розміщуються з дисконтом по відношенню до номінальної вартості вони називаються дисконтними облігаціями.

2.За терміном звернення :

а) короткострокові(до 1  р.);

б) середньострокові(від 1 до 5 років);

в) довгострокові(більше 5 років);

г) безстрокові.

3. Залежно від емітента - державні, муніципальні, корпоративні і так далі.

У біржових котируваннях облігацій ринкова ціна зазвичай вказується у відсотках від номінала.

Ціна дисконтної облігації звичайний менше номінала і може перевищувати номінал лише у випадках, коли погашення передбачається робити не грошима, а деяким активом, вартість якого вже вище за номінал облігації.

Ціна процентної облігації може бути як нижче, так і вище за номінал.

Якщо ціна вища за номінал, то говорять, що облігація продається з премією(з ажіо). Якщо нижче - з дисконтом(з дизажіо).

Для зручності зіставлення ринкових цін облігацій із різною номінальною вартістю використовують такий показник як курсова вартість або курс облігації:

Зміна ціни облігації можна пояснити однією або декількома з наведених нижче причин:

1. Спостерігається зміна доходності, пов'язана зі зміною кредитної якості емітента

2. Вартість облігації, що продається із премією чи із дисконтом, змінюється не через вплив доходності, (тобто за умови, що доходність не змінюється), а через наближення (або навпаки віддалення) часу погашення.

3. Спостерігається зміна доходності, пов'язана зі зміною доходності інших облігацій зі схожими характеристиками. (Зміна доходності, якої потребує ринок).

Вартість облігацій

Для оцінки поточної вартості облігацій застосовується метод дисконтування грошових потоків. Поточна вартість дисконтної облігації(zero coupon bond) може бути розрахована як:

 , де

PV - поточна вартість облігації,

CT - номінал облігації,

y - ставка дисконтування(ставка альтернативних вкладень),

T - час(кількість тимчасових періодів), що залишилися до дати погашення облігації.     Відповідно ставка y повинна вказуватися на один період.

Майбутня вартість дисконтної облігації розраховується як:

де T - час(кількість періодів) до дати, на яку розраховується майбутня вартість.

Для процентних облігацій доход виходить у вигляді купонів, тобто має місце потік платежів Ct, розподілений в часі. В цьому випадку поточна вартість розраховується таким чином:

N - номінал облігації. Тобто для процентних облігацій підсумовується дисконтована сума основного боргу(номінала) і кожного з непогашених купонів.

Єврооблігації (інша назва — «євробонди» — від англ. eurobonds) — облігації, випущені в валюті, що є іноземною для емітента (як правило), що розміщуються за допомогою міжнародного синдикату андеррайтерів серед зарубіжних інвесторів, для яких дана валюта також, як правило, є іноземною.

В основному позичальниками, що випускають євробонди, виступають уряди, корпорації, міжнародні організації, зацікавлені в одержанні коштів на тривалий термін (від 7 до 40 років). Розміщуються євробонди інвестиційними та комерційними банками. Вони є одним з найбільш надійних фінансових інструментів. Тому основними їхніми покупцями є інституційні інвестори: страхові та пенсійні фонди, інвестиційні компанії.

Доходність облігацій

1) Накопичений купонний дохід (НКД) - це частина купонного процентного доходу по облігації, що розраховується пропорційно кількості днів, що пройшли від дати випуску купонної облігації або дати виплати попереднього купонного доходу.

Формула розрахунку НКД має на увазі необхідність обчислення кількості календарних днів від однієї дати до іншої або тривалості періоду, визначуваного двома датами. Залежно від типу облігації, існує декілька базисів для розрахунку цих показників, наприклад "365/366", коли тривалість періоду від дати T1 до дати T2 визначається як різницю дат : T2 - T1.

Розмір накопиченого купонного доходу можна виразити через розмір купона в грошових одиницях або через ставку купона у відсотках і номінал.

Стандартна формула для розрахунку НКД по російських облігаціях від ставки виглядає таким чином:

  , де:

N - номінал

C - ставка поточного купона(у відсотках річних)

T - число днів з моменту початку купонного періоду по поточну дату

B - база розрахунку(365, 366 або 360 днів).

m - число виплат за рік .

2)   Поточна доходність купонної облігації характеризує відношення надходженя по купонам до ціни купівлі облігації, тобто,  це сума купонних платежів за рік, ділена на поточну ринкову вартість облігації.

Приклад 1.

Розрахунок  поточної  доходності  облігації  номіналом  $ 100,  ставкою  купона  5.00 % і ринковою вартістю $ 95.00 (чиста ціна,що не включає НКД):

Показник поточної прибутковості не враховує другу складову надходжень від облігації – курсову різницю між ціною купівлі й погашення (зазвичай, рівну номіналу). Саме тому він не придатний для порівняння ефективності операцій  з різними віхідними умовами.

3) Прибутковість до погашення(англ. Yield to maturity; YTM) — це ставка грошового потоку по облігації при наміру покупця утримувати облігацію до погашення.Тобто:

Розрахунок цього показника дозволяє інвесторові розрахувати справедливу вартість облігації. Розрахунок YTM аналогічний розрахунку IRR(ставки внутрішньої доходності).

- Якщо поточна доходність менша, ніж YTM, то облігація повинна продаватися з дисконтом.

- Якщо поточна доходність рівна YTM, то облігація повинна продаватися за номіналом.

- Якщо поточна доходність більша, ніж YTM, тоді облігація продається з премією(ціна облігації > 100%).

Також для визначення YTM для облігацій використовують наближену «купецьку» формулу:

де:

N - номінал облігації;

P - поточна ринкова ціна облігації;

f – річна купонна ставка (у %);

Т – термін до погашення (років).

У літературі показник YTM  частіше називають повна доходність або ставка розміщення.

Приклад 2.  (Обчислення прибутковості до погашення (YTM ))

Нехай ми взяли облігації з терміном 25 років. Річна ставка купона 6% . Номінал облігації  100 грн.

В таблиці нижче подані значення YTM  залежно від ринкової ціни облігації.  Обчислення були проведені за допомогою наближеної формули та програми методу січних :

Ринкова ціна, Р, грн.

YTM, %, набл. формула

YTM, %,метод січних

1

180

2 %

1.934 %

2

170

2.37 %

2.2909 %

3

160

2.77 %

2.6771 %

4

150

3.2 %

3.0974 %

5

140

3.67 %

3.5578 %

6

130

4.17 %

4.0661 %

7

120

4.37 %

4.6327 %

8

110

5.33 %

5.2711 %

9

100

6 %

5.9999 %

10

90

6.74 %

6.8462 %

11

80

7.56 %

7.8496 %

12

70

8.47 %

9.082 %

13

60

9.5 %

10.6175 %

14

50

10.67 %

12.6757 %

15

40

12 %

15.6374 %

16

30

13.54 %

20.4592 %

17

20

15.33 %

30.1659 %

18

10

17.45 %

60.0043 %

19

5

18.67 %

120.0000 %

Тоді залежність  YTM облігації від її ціни Р буде мати вигляд:

 

Як видно за малюнком, залежність обернена . Можна сформулювати загальні правила,  що відображають зв’язок між ставкою купона k та поточною прибутковістю Y , прибутковістю до погашення YTM  та ціною облігації :

 

   В цілому, показник YTM   можна розуміти як очікувану прибутковість до погашення. YTM є одним з найбільш використовуваних показників, що вживають на практиці.

3)   Дюрація(середньозважена тривалість платежів)

- PVi - це поточна вартість майбутніх надходжень(купони і основний борг) по облігації,

- T - період вступу i-го доходу,

- Price - ціна облігації.

З цієї формули виходять наступні закономірності зміни дюрації :

a) За інших рівних умов, чим триваліше термін погашення облігації, тим більше дюрація.

b) За інших рівних умов, при підвищенні ставки дисконтування дюрація купонних облігацій зменшується.

c) За інших рівних умов, чим вище ставка купонних платежів по облігації, тим менше дюрація.

- Дюрація облігації з нульовим купоном завжди дорівнює терміну її погашення;

- дюрація купонної облігації завжди менше терміну погашення: при k> 0, D < Т ;

- із зростанням прибутковості (процентної ставки на ринку) дюрація купонної облігації зменшується і назад.

Дюрацію часто інтерпретують як середній строк зобов'язання, з урахуванням його поточної величини, або іншими словами, як точку рівноваги термінів дисконтованих платежів.

Модифікована дюрація:

де D - дюрація,

r – ринкова процентна ставка;

k – кількість виплат процентів за рік;

Дюрація використовується зокрема для оцінки процентного ризику і ризику реінвестування по купонних облігаціях. Як правило, інвестори намагаються підтримувати середньозважену дюрацію портфеля, рівну горизонту інвестування. Модифікована дюрація дозволяє оцінити зразкову зміну ціни облігації(у %) у відповідь на малу зміну ринкових процентних ставок(чи доходності). Тобто, MD є показником еластичності ціни облігації до ринкової процентної ставки :

, звідки  

Цю формулу застосовують на практиці для оцінювання коливань ринкової ціни облігаціі при  незначних (<1%) змінах ринкової процентної ставки.

Реакція ціни облігації на значні зміни ринкової процентної ставки вимірюється за допомогоюпоказника , який   отримав назву опуклістьх) :

Величина M2 - дисперсія показників часу платежу. Тобто:

, тоді отримаємо :  

Зміна в ціні облігації в результаті значної зміни ринкової % визначається як :

 ( виражено у %)

4)  Прибутковість портфеля облігацій :

Портфель облігацій може включати різні облігації з відмінними показниками (ставка купону, ринкова ціна та номінал, дюрація).

Найпростішим способом оцінки прибутковості портфеля облігацій є знаходження середньозваженої величини поточної прибутковості портфеля :

, де

i — доходність портфеля,

m — кількість «різних» облігацій,

YTMm — прибутковість m-ої облігації до погашення,

Qm — кількість m-ої облигації у портфелі.


Приклад 3

9 березня 1998 р Україна здійснила другий вихід на міжнародний фінансовий ринок з облігаціями державної зовнішньої позики, номіновані в євро.

Механізм випуску таких облігацій допускав, що до введення в обіг єдиної європейської валюти євро вони будуть котируватися в ЕКЮ (від 1 січня 1999 року запроваджено євро за курсом 1 екю = 1 євро).

Під час презентацій, що передували підписці на облігації, виявилося, що попит на ці папери був надто великий. Завдяки цьому обсяг емісії було збільшено з 200 млн. ЕКЮ до 500 млн. ЕКЮ.

Основні параметри емісії:

Дата оплати - 17 березня 1998,

Дата погашення - 17 березня 2000,

Відсоткова ставка по купону - 14,75% річних,

Ціна розміщення - 99,5% від номіналу облігації.

Розрахунок прибутковості до погашення єврообігацій :

Вхідні дані :

ринкова ціна облігації у момент розміщення – Р = 995 екю,

номінал облігації – N = 1000 екю,

ставка купону F = 147,5 екю виплачується  2 рази -  17.03.1999 та 17.03.2000

погашення облігації по номіналу – 1000 екю.

Потік платежів по облігації :

-995

17.03.1998

147,5

17.03.1999

1147,5

17.03.2000

Таким чином , прибутковість к погашенню єврооблігацій YTM точне = 15%

Використовуючи наближену формулу обчислення YTM набл. = 15,0376%

Дюрація D = 1,873;

Модифікована дюрація  D = 1,629.

Визначимо тепер зміну ціни на зміну ринкової процентної ставки з 14,5% до 14,7% :

= -3,24171, звідки очікуване значення ціни будет складати

Р = 995 – 3,24171 = 991,75829 (екю).

Результати обчислення наведені за допомогою програми з використанням методу січних, (див. дод. 3).
                                                                                 
РОЗДІЛ III

Ризик. Методи оцінки й аналізу ризику

інвестиційних проектів.

У загальному випадку під ризиком розуміють можливість настання деякої несприятливої події, що спричиняє за собою виникнення різного роду втрат. Ризик бізнесу в умовах ринку - своєрідна плата за свободу підприємницької діяльності. Залежно від міри деталізації і вибраного підходу можуть бути сформульовані різні визначення підприємницької ризику. Одне з найбільш поширених визначень ризику - можливість відхилення фактичних результатів операцій, що проводяться, від очікуваних (прогнозованих). Чим ширше діапазон можливих відхилень, тим вище ризик даної операції. При цьому під результатом фінансової операції зазвичай розуміють її прибутковість (норму доходу), тобто суму отриманих доходів, обчислену в процентному відношенні до суми витрат. Розглянутий підхід дозволяє сформулювати найважливіше правило, на якому базуються стратегії ухвалення рішень в умовах ризику у сфері бізнесу: ризик і прибутковість змінюються в одному напрямі: чим вище прибутковість, тим, як правило, вище ризик операції.

У найбільш загальному випадку можна виділити такі види ризику:

•   виробничий, або діловий, ризикпов'язаний з виробництвом товарів і послуг;

•  комерційний ризик — пов'язаний з реалізацією товарів і послуг (падіння попиту, зміна кон'юнктури ринку, зростанняоборотних витрат і так далі);

•  фінансовий ризик — пов'язаний із структурою капіталу підприємства і його здатністю своєчасно виконувати зобов'язання перед різними кредиторами;

•  економічний ризик — пов'язаний із загальною економічною ситуацією в країні (кризи, падіння ділової активності, зростання інфляції, зниження купівельної спроможності населення та ін.).

Розглядаючи методи аналізу ефективності довгострокових інвестиційних проектів, було передбачено, що значення  потоків платежів СF, відомі або можуть бути точно визначені для кожного періоду І. Проте в реальній практиці подібні випадки швидше виключення, ніж норма. В умовах ринку, при коливаннях цін на сировину і матеріали, попиту на продукцію, процентних ставок, курсів валют і акцій, напрями руху грошових коштів в ході реалізації проекту можуть істотно відхилятися від запланованих.

Тому  виникає необхідність в прогнозуванні не лише часової структури і конкретних сум потоків платежів, але і вірогідності їх можливих відхилень від запланованих. Можливість відхилення результатів фінансової операції від очікуваних характеризує міру її ризика. Таким чином, оцінка ризиків — найважливіша і невід'ємна частина аналізу ефективності інвестиційних проектів.

У загальному випадку реалізація інвестиційних проектів спричиняє за собою виникнення трьох видів риски:

власний ризик проекту — ризик того, що реальні надходження грошових коштів (а отже, і очікувана прибутковість) в ході його реалізації будуть сильно відрізнятися від запланованих;

корпоративний, або внутрішньофірмовий, ризик пов'язаний з впливом, який може надати хід реалізації проекту на фінансовий стан даної господарської одиниці;

 ринковий ризик характеризує вплив, який може надати реалізація проекту на зміну вартості акцій фірми (тобто її ринковій вартості).

У даній главі розглянуто аналіз власного ризику інвестиційних проектів.

У загальному випадку можна виділити дві складові власного ризику інвестиційного проекту:

1) чутливість його чистої приведеної вартості (NPV) до змін значень ключових показників;

2) величину діапазону можливих змін ключових показників, що визначає їх імовірнісні розподіли.

Тому всі описані методи кількісного аналізу інвестиційних ризиків базуються на концепції тимчасової вартості грошей і імовірнісних основах.

Методи аналізу ризику

1) Метод коректування норми дисконту із урахуванням ризику (risk adjusted discount rate approach — RAD) — найбільш простий і внаслідок цього найбільш вживаний на практиці. Основна ідея методу полягає в коректуванні деякої базової норми дисконту, яка вважається безризиковою або мінімально прийнятною (наприклад, ставка прибутковості по державним цінним паперам, гранична або середня вартість капіталу для фірми). Коректування здійснюється шляхом збільшення величини необхідної премії за ризик, після чого здійснюється розрахунок критеріїв ефективності інвестиційного проекту -NPV, IRR, PI, DPP.

Наприклад, фірма може встановити премію за ризик в 10% при розширенні уже успішно діючого проекту, 15% — у випадку, якщо реалізується новий проект, пов'язаний з основною діяльністю фірми і 20%, — якщо проект пов'язаний з випуском продукції, виробництво і реалізація якої вимагають освоєння нового вигляду діяльності і ринків. Припустимо, що гранична вартість капіталу для фірми дорівнює 8%. Тоді для вищезгаданих типів проектів норма дисконту буде відповідно рівна - 18%, 23% і 28%.

Приклад 1

Фірма розглядає інвестиційний проект, початкові витрати за яким складають 100 000. Очікувані надходження від реалізації проекту дорівнюють 50 000, 60 000 і 40 000. Необхідно зробити оцінку проекту, якщо його реалізація повязана із освоєнням нових видів діяльності для фірми.

Рішення:

Так як проект пов’язан із освоєнням нових видів діяльності та ринків, доцільно встановити максимальну надбавку за ризик — 20 %. З урахуванням граничної вартості капиталу для корпорації (8%) скорегована норма дисконту буде рівна: 8% + 20% = 28%.

Результат NPV (20) = -5242,92.

Оскільки NPV відємний, то проект є неприйнятним. При проведенні розрахунку по нормі дисконту, рівною 8%, тобто без урахування надбавки за ризик), проект будек мати додатній NPV (0) =  29489,92.

Наведемо результати розрахунків по нормі дисконту із надбавкою за ризик в 10% та 15%:

NPV (10) = 9809,18; NPV (15) =  1804,70.

Суттєві недоліки методу в тому, що метод не дає жодної інформації про міру ризику, не дозволяє отримати оцінку потоків платежів і істотно обмежує можливості моделювання різних варіантів.  Не дивлячись на це, метод коректування норми дисконту широко застосовується на практиці.

2)  Метод достовірних еквівалентів (коефіцієнтів визначеності)

На відміну від  методу RAD в цьому випадку здійснюється коректування не норми дисконту, а очікуваних значень потоку платежів CFi, шляхом введення спеціальних понижуючих коефіцієнтів аt, для кожного періоду реалізації проекту. Теоретично значення коефіцієнтів аt, можуть бути визначені із співвідношення:

деССFt— величина чистих надходжень від безризикової операції в період t (наприклад, періодичний платіж по довгостроковій державній облігації, щорічна сума відсотків по банківському депозиту та ін.); RFC — очікувана (запланована) величина чистих надходжень від реалізації проекту в період t. Тоді достовірний еквівалент очікуваного платежу може бути визначений як:

Таким чином здійснюється приведення очікуваних (запланованих) надходжень до величин платежів, отримання яких практично не викликає сумнівів і значення яких можуть бути визначені абсолютно точно (достовірно). Але в реальній практиці для визначення at частіше використовують метод експертних оцінок – коефіцієнти відображають міру упевненості експертів в достовірності їх величини. Множники at   називаються коефіцієнтами достовірності (визначеності). Тоді критерій :

, де r – безризикова ставка дисконтування.

Коефіцієнти аt називають коефіцієнтами достовірності (визначеності).

Цей метод дозволяє оцінювати ризик больш коректно в порівнянні з попереднім, так як він не має на увазі збільшення ризику протягом часу.

3) Аналіз чутливості показників ефективності інвестицій (NPV, IRR, PI, DPP) – “What ifanalysis.

Аналіз чутливості показників ефективності  широко використовується в практиці фінансового менеджменту. Його мета – виявити найважливіші чинники («ключові параметри») проекту, які здатні серйозно вплинути  на проект.  У загальному випадку він зводиться до дослідження залежності деякого результуючого показника від варіації значень показників, що беруть участь в його визначенні. Як правило, проведення подібного аналізу передбачає виконання наступних кроків:

1. Задається взаємозв'язок між початковими і результуючим показниками у вигляді математичного рівняння або нерівності.

2. Визначаються найбільш вірогідні значення для вхідних показників і можливі діапазони їх змін.

3. Шляхом зміни значень вхідних показників досліджується їх вплив на остаточний результат.

Проект с найменшою чутливістю NPV (IRR, PI, та ін.) вважається менш ризиковим.

Аналіз чутливості передбачає в більшості випадків зміну одного вхідного показника, тоді як значення інших вважаються постійними величинами.

Для визначеності, будемо вважати, що інвестування  пов'язане з виробництвом, тобто випуском деякого продукту. У такому разі, при оцінюванні інвестицій у виробництво враховуються багато характеристик: обсяги виробництва, ціна на одиницю продукції, змінні й постійні витрати,  амортизація, податок на прибуток і ін. Показник NPV в результаті можна визначити як:

  , де:

Q – обсяг випуску продукції;

P – ціна за од. ;

V – змінні витрати на одиницю продукції;

F – сукупні постійні витрати ;

A – амортизаційні витрати ;

T – податок на прибуток ;

r – норма дисконту  або вартість капіталу інвестиційного проекту;

n – термін проекту ;

S – залишкова (ліквідаційна) вартість ;

I0 –початкові інвестиції ;

Очевидно, що вибір проекту потрібно робити на користь того, у якого чутливість NPV є меншою.

Можна  розглядати два випадки виробництва :

1) Виробництво, починаючи з першого ж року, починає працювати у повному обсязі, тобто  

2) Нарощування обсягів виробництва відбувається поступово.  В такому разі:

  …    …

a1a2 ≤ … ≤ ak ≤ 1 .

Припустимо, що різниця між ціною та змінними витратами (PV) постійна величина (тобто, при збільшенні змінних витрат ціна збільшується).

Розглянемо застосування  аналізу чутливості на прикладах.

Приклад 1.

Фірма розглядає інвестиційний проект, пов’язаний із виробництвом деякої продукції. Початкові інвестиції I0 = 2000. Постійні витрати на виробництво продукції (використання кредиту, аренда приміщення, )  F = 500.  Різниця між ціною продажу товару та змінними витратами (витрати на заробітну платню, сировину) з кожної одиниці продукції: P – V = 20.  Амортизаційні витрати A = 100 на рік. Податок на прибуток за чинним законодавством  T = 23%.  Залишкова вартість S0 = 0.

Проаналізуємо чутливість зміни об’ємів виробництва  на зміну ставки дисконтування   та зміну терміну проекту n.

В цьому випадку, для знаходження  необхідно буде розвязувати рівняння

 =  0 .

Тобто значення  - мінімально допустимий обсяг випуску продукції, нижче якого проект за термін n буде збитковий.

Будемо розглядати терміни проекту n = 6, 9, 12, 15 років, та ставки дисконтування    r =  5%, 12%, 15%, 20%, 30%.

Автоматизуємо процес розвязання рівняння NPV = 0 программою з використання методу січних.

I)

n =

6 р.

Норма дисконту

, r

Мінімальний обсяг,

r

1

5 %

49.09

5 %

58.76

2

12 %

55.09

12 %

67.52

3

15 %

57.82

15 %

71.58

4

20 %

62.56

20 %

78.72

5

30 %

72.65

30 %

94.34

n = 9 p.

Норма дисконту, r

Мінімальний обсяг,

r

1

5 %

41.78

5 %

47.33

2

12 %

47.88

12 %

55.81

3

15 %

50.72

15 %

59.847

4

20 %

55.72

20 %

  67.09

5

30 %

66.52

30 %

83.291

n = 12 p.

Норма дисконту, r

Мінімальний обсяг,

r

1

5 %

38.16

5 %

42.13

2

12 %

44.47

12 %

50.66

3

15 %

47.47

15 %

54.82

4

20 %

52.76

20 %

62.35

5

30 %

64.21

30 %

79.32

n = 12 p.

Норма дисконту, r

Мінімальний обсяг,

r

1

5 %

36.02

5 %

39.17

2

12 %

42.57

12 %

47.9

3

15 %

45.71

15 %

52.21

4

20 %

51.28

20 %

60.05

5

30 %

63.24

30 %

77.69

 

У першому випадку ()  мінімально допустимий обсяг продукції () менш чутливий на зміну  ставки дисконтуваня , але все ріно є доволі відчутний, у другому ризик такого проекту є більший, бо незначна зміна умов виробництва (наприклад, ріст інфляції) приводить до різкого підвищення  мінімальної межі обсягу випуску продукта.

Приклад 2.

II) будемо використовувати  дані  попередньої задачі:

A = 200,  P – V = 20; T  = 23 %; F = 500;  I0 = 2000.

Тепер розглянемо чутливість показника ефективності IRR на зміну терміну проекту. Нехай кількість вироблених товарів  Q*  = 60.  

n = 6, 7, …, 15.

n,

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

IRR, %

17.33

20.47

22.59

24.06

25.11

25.86

26.41

26.82

27.12

27.35

Мірою ризику будемо вважати коефіціент варіації значень IRR.

;  M (IRR) = 24,312.

D (IRR) = 600,811 - (24,312)2 = 9,738

Тоді величина ризику буде :

 

n,

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

IRR, %

6.4

10.22 

13.08

15.11

16.58

17.67

18.49

19.11

19.59

19.97

D (IRR) = 262,157 - (15,662)2 = 16,858

Суттєвими є перші 7-8 років  проекту,  які дають досить значний прибуток. Надалі треба підвищувати ціну товару або модернізовувати виробництво, адже проект майже не буде приносити прибутку.  

III)

Тепер для розрахунку будемо вважати, що виросли змінні  витрати (наприклад, ціна на сировину виросла, а ціну не можемо вище зробити, тому що товар не буду конкурентноспроможний на ринку). Тобто, зменшилася різниця (P – V) .  Оцінимо тепер зміну IRR , дивлячись на нові дані.

P – V = 15.

У першому випадку () :

n,

9

12

15

IRR 

8.8. %

12.54 %

14.33 %

Якщо     :

n,

9

12

15

IRR 

2.83 %

7.5 %

9.85 %

Як бачимо, не досить значна зміна умов виробництва суттєво впливає на результат. Наприклад, у хімічній промисловості постійно дорожчає сировина та паливні матеріали, внаслідок чого необхідно підвищувати ціну на продукцію. Але , тоді продукція стає менш конкурентно спроможньою на ринку адже існують більш сучасні методи виробництва з меншими затратами праці й ресурсів.

 

Приклад 3.

IV )    Тепер будемо розглядати чутливість NPV на зміну терміну періоду проекту n та зміну ставки дисконтування r.  Будемо використовувати ті ж дані: 

A = 200,  PV = 20; T  = 23 %; F = 500;  I0 = 2000.

Q* = 100.

R = 5, 10, 30 %.      

n = 6, 9, 12, 15 р.

Для цього кожного разу будемо знаходити NPV відносно n та r.

n1, р.

NPV1, гр.од.

n2, р.

NPV2, гр.од.

r = 5 %

6

3744

6

2485

9

5935

9

4649

12

7827

12

6542

15

9462

15

8176

r = 10 %

6

2944

6

1746

9

4457

9

3259

12

5594

12

4396

15

6448

15

5251

r = 30 %

6

1031

6

94.72

9

1436

9

500.32

12

1621

12

684.93

15

1705

15

768.97

a) При r = 5 %

;   

b) При r = 10 %

;   

c) При r = 30 %

;  

4) Аналіз запасу безпеки інвестиційних проектів та аналіз беззбиктовості (CVP-analysis, break-even analysis).

Нехай інвестуваня фірми пов’язане з виробництвом продукта А. Тоді чистий наведений ефект визначається за формулою:

1. Розрахунок статичної точки беззибтковості (break-even point):

Точка беззбитковості може бути визначена як об’єм продаж, при якому дохід дорівнює сумарним витратам ;

Запишемо основне рівняння моделі, яке показує, що прибуток до виплати податків NI визначається сумарним доходом мінус усі постійні та змінні витрати:

Точка беззбитковості по означенню відповідає умові NI = 0, звідки:

Тобто, точка беззбитковості ВЕР – такий обсяг виробництва,при якому прибуток до виплати податків рівний 0, або сукупні витрати рівні виторгу.

Якщо стоїть задача у визначенні цільового об’єму продаж QT, тобто. такого значення, яке відповідає заданому значенню прибутка NIT, то використаємо аналогічне співвідношення:

,   звідки.

2. Динамічна точка беззибтковості:

Припустимо, що фірма збирається придбати нову виробничу лінію, яка потребує первинних додаткових інвестицій F в сумі 2млн. дол., прогнозна ціна за одиницю продукції – 8 дол, змінні витрати на одиницю – 6 дол, термін життя проекту -10 років. Класична точка беззбитковості, розрахована для цих даних, показує обсяг виробництва N=1 млн. од., проте це статична картина, "малюнок" процесу, яка не відображає тимчасових аспектів виробництва, що триває 10 років, і не враховує цінність продукту відносно часу, щоб окупити початкові інвестиції.

У таких випадках використаємо формулу динамічної точки беззбитковості:

Перетворимо цю формулу:

,

де   

В інвестиційних розрахунках залишкову вартість S частіше приймають рівною нулю. Тоді отримаємо:

3. Запас безпеки інвестиційних проектів:

Нехай нам відомо значення NPV (Qt)  - цільове (те, яке відповідає заданому обсягу виробництва Qt). Будемо вважати, що проект прибутковий , тобто NPV (Qt) > 0.

Розв’яжемо рівняння NPV (Q0) = 0  відносно невідомого Q0. Та знайдемо Q0.

Отже, Q0мінімально допустиме значення обсягу виробництва, нижче якого проект буде приносити збитки.

Важливою характеристикою успішних капіталовкладень є запас безпеки проекту. Абсолютний динамічний запас безпеки проекту визначається як:

.

Тобто, як різниця між цільовим значення обсягу виробництва та мінімально допустимим. Очевидно, що > 0.

Відносний динамічний запас безпеки проекту :

4. Динамічний аналіз беззбитковості виробництва багатономенклатурної продукції:

Якщо локалізувати постійні витрати по видам продукції та розглянути прибутковість та запас безпеки для кожної окремої продукції можно найти динамічну точку беззбитковості для кожного виду за формулою :

де i-го виду продукції,  

m – число видів продукції.

Але,  як правило, локалізувати постійні витрати достатьно важко (так як здебільшого майже неможливо визначити всі вхідні дані проекту). Тому доцільніше використовувати точку беззбитковості – як обсяг сукупної виручки від продажу всіх видів продукції, при яких сумарний NPV = 0. Тобто , таким чином :

, звідки отримаємо :

Виразимо через сукупну виручку:

Тобто, точка беззбитковості буде мати вигляд :


Приклад 4.

Візьмемо умову задачі з приклада 1:

I0 = 2000.

F = 500.  

P – V = 20.

A = 100 .

T = 23%.  

Ставка дисконтування r = 12%. Знайдемо запас безпеки для проекту при теміну:

n = 6, 9, 12 ,15.

Нехай  :

n, p.

6

9

12

15

NPVt

2432

3744

4678

5342

, цільове

93.5

, мінім.допустиме

55.09

47.88

44.47

42.57

38.41

45.62

49.03

50.93

41 %

48.79 %

52.44 %

54.47 %

  :

n, p.

6

9

12

15

NPVt

1507

2819

3752

4417

, цільове

95.8

, мінім.допустиме

67.52

55.81

50.66

47.9

28.28

39.99

45.14

47.9

29.52 %

41.74 %

47.12 %

50 %

Як бачимо , проект  першого типу більш надійніший в декілька перших років. Потім запас безпеки проектів вирівнюється.


Додаток 1.

Програма обчислення IRR (внутрішньої норми прибутковості) проекту за допомогою методу половинного ділення.

using System;

using System.Collections.Generic;

using System.Text;

namespace IRR_bisek

{

   class Program

   {

       public static int j, n, z;

       public static double a, b, c, d, t, f1, f2, f3, e;

       public static double[] p = new double[100];

       public static double[] v = new double[3];

       public static double[] q = new double[100];

       public static bool flag;

       public static double f(double d)

       {

           double s = d / 100 + 1;

           t = 0;

           for (int i = 0; i < n + 1; i++)

           {

               t = t + p[i] / (Math.Exp((i - 1) * Math.Log(s)));

           }

           t = t + v[0] / (Math.Log(s)) * (1 / (Math.Exp(v[1] * Math.Log(s))) - 1 / (Math.Exp(v[2] * Math.Log(s))));

           return t;

       }

       public static void root()

       {

           j = 1;

           for (int k = 0; k < 100; k++)

           {

               q[k] = f(j);

               j = j + 5;

           }

           z = 0;

           for (int k = 0; k < 99; k++)

           {

               if (((q[k] < 0) && (q[k + 1] > 0)) || ((q[k] > 0) && (q[k + 1] < 0)))

               { z = z + 1; }

           }

       }

       public static void bisek()

       {

           while (!flag)

           {

               c = (a + b) / 2;

               f1 = f(a);

               f2 = f(b);

               f3 = f(c);

               if (b-a<e)

               {

                   flag = true;

                   Console.WriteLine(String.Format("IRR =  {0} \n", b));

                   break;

               }

               else

               {

                   if (f1 * f3 < 0)

                   { b = c; }

                   else

                   { a = c; }

               }

           }

       }

       static void Main()

       {

           Console.WriteLine("VVedi srok proekta");

           n = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());

           Console.WriteLine("Vvedi investicii");

           for (int k = 0; k < n + 1; k++)

           {

               p[k] = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

           }

           Console.WriteLine("Esli kus.nepr. potok platejey - vvedi summu,na4alo i konec");

           for (int k = 0; k < 3; k++)

           {

               v[k] = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

           }

           e = 0.001;

           a = 1;

           b = 5;

           bisek();

           root();

           if (z > 2)

           {

               a = 300;

               b = 310;

               bisek();

           }

           Console.ReadLine();

       }

   }

}


Додаток 2.

Програма обчислення IRR (внутрішньої норми прибутковості) проекту за допомогою методу січних.

using System;

using System.Collections.Generic;

using System.Text;

namespace IRR_sek

{

   class Program

   {

       public static int j, n, z;

       public static double a, b, x1, x2, x3, t, e;

       public static double[] p = new double[100];

       public static double[] v = new double[3];

       public static double[] q = new double[100];

       public static bool flag;

       public static double f(double d)

       {

           double s = d / 100 + 1;

           t = 0;

           for (int i = 0; i < n+1 ; i++)

           {

               t = t + p[i] / (Math.Exp((i - 1) * Math.Log(s)));

           }

           t = t + v[0] / (Math.Log(s)) * (1 / (Math.Exp(v[1] * Math.Log(s))) - 1 / (Math.Exp(v[2] * Math.Log(s))));

           return t;

       }

       public static void root()

       {

           j = 1;

           for (int k = 0; k < 100; k++)

           {

               q[k] = f(j);

               j = j + 5;

           }

           z = 0;

           for (int k = 0; k < 99; k++)

           {

               if (((q[k] < 0) && (q[k + 1] > 0)) || ((q[k] > 0) && (q[k + 1] < 0)))

               { z = z + 1; }

           }

       }

       public static void sek()

       {

           x1 = a;

           x2 = b;

           while (!flag)

           {

               x3 = x1 - (f(x1) * (x2 - x1)) / (f(x2) - f(x1));

               if (Math.Abs(x2 - x3) < e)

               {

                   flag = true;

                   Console.WriteLine(String.Format("IRR =  {0} \n", x3));

                   break;

               }

               else

               {

                   x1 = x2;

                   x2 = x3;

               }

           }

       }

       static void Main()

       {           

           Console.WriteLine("VVedi srok proekta");

           n = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());

           Console.WriteLine("Vvedi investicii");

           for (int k = 0; k < n+1 ; k++)

           {

               p[k] = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

           }

           Console.WriteLine("Esli kus.nepr. potok platejey - vvedi summu,na4alo i konec");

           for (int k = 0; k < 3; k++)

           {

               v[k] = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

           }

           e = 0.001;

           a = 1;

           b = 5;

           sek();

           root();

           if (z > 2)

           {

               a = 300;

               b = 310;

               sek();

           }

           Console.ReadLine();

       }

           }

       }


Результати обчислень IRR за  допомогою программи з методом січних
:

1) VVedit' termin  proekta

5

Vvedit' investicii

-20

0

-8

0

0

40

kuso4no.neper. potik platejiv - vvedit' summu,na4alo i kinec'

0

0

0

IRR = 8,3247954935484

2) VVedit' termin  proekta

4

Vvedit' investicii

-15

3

4

8

7

kuso4no.neper. potik platejiv - vvedit' summu,na4alo i kinec'

0

0

0

IRR = 14,704942330788.

3) VVedit' termin  proekta

4

Vvedit' investicii

-4

-2

4

-1

5

kuso4no.neper. potik platejiv - vvedit' summu,na4alo i kinec'

0

0

0

IRR = 11,0507041582152

4) VVedit' termin  proekta

10

Vvedit' investicii

-30

0

0

-10

0

20

0

-4

0

0

40

kuso4no.neper. potik platejiv - vvedit' summu,na4alo i kinec'

2

2

10

IRR = 8,54258754906807


Додаток 3.

i

j

Проект А

Проект В

Вибір

NPV

PI

DPP

IRR

NPV

PI

DPP

IRR

1

1

14396,30

0,2360

3,8

20,006

15108,89

0,2477

4,3

17,763

B

2

14874,66

0,2399

3,7

20,150

15444,13

0,249

4,3

17,799

B

3

15353,02

0,2437

3,7

20,289

15779,38

0,2505

4,3

17,834

B

4

15831,38

0,2464

3,6

20,423

16114,62

0,2518

4,2

17,868

B

5

16309,73

0,2509

3,5

20,554

16449,86

0,2530

4,2

17,901

B

6

16788,09

0,2544

3,4

20,6797

16785,11

0,2543

4,1

17,932

A

7

17266,45

0,2577

3,2

20,802

17120,35

0,2555

4,1

17,963

A

8

17744,81

0,2610

3,2

20,921

17455,59

0,2567

4,1

17,992

A

2

1

9746,987

0,1373

4,5

17,407

10314,21

0,1453

4,7

16,130

B

2

10188,90

0,1415

4,4

17,570

10604,91

0,1473

4,7

16,185

B

3

10630,81

0,1456

4,4

17,728

10895,62

0,1493

4,7

16,239

B

4

11072,72

0,1496

4,3

17,881

11186,32

0,1512

4,6

16,291

B

5

11414,63

0,1535

4,3

18,031

11477,02

0,1530

4,6

16,3412

B

6

11956,54

0,1573

4,2

18,176

11767,72

0,1548

4,5

16,3904

A

7

12398,45

0,161

4,2

18,317

12058,42

0,1566

4,5

16,4383

A

8

12840,36

0,1646

4,1

18,455

12349,12

0,1583

4,5

16,4849

A

3

1

4820,443

0,0595

4,9

15,4125

5124,645

0,0595

4,9

14,8650

B

2

5227,335

0,0637

4,8

15,5823

5372,829

0,0655

4,9

14,9302

B

3

5634,2278

0,0679

4,8

15,7479

5642,135

0,0676

4,9

14,9937

B

4

6041,1203

0,0719

4,8

15,9091

5869,195

0,0699

4,9

15,0557

A

5

6448,013

0,0759

4,7

16,0664

6117,378

0,07197

4,9

15,1611

A

6

6854,905

0,0797

4,7

16,2198

6365,562

0,07402

4,8

15,1751

A

7

7261,798

0,0835

4,7

16,3695

6613,745

0,07602

4,8

15,2326

A

8

7668,69

0,0871

4,6

16,5156

7000,538

0,07955

4,8

15,3346

A

ЗАВДАННЯ  :

Підприємство повинно зробити вибір між двома інвестиційними проектами А та В :

  •  початкові інвестиції – (50+10і+j)*1000 грн. і ідентичні для обох проектів;
  •  доходи за проектом А : (180+20і+4j)*100 кожний рік протягом 5 років, за В : 1-й рік – W,  2-й рік - 2W , третій - 3W, четвертий  - 5W, пятий - 9W,

W = (50+6і+j)*100 грн.

- ставка приведення -  (10 + і) % .

Обчислити :

  1.  NPV, IRR, PI, DPP обох проектів;
  2.  Оцінити проект на основі критерію NPV та IRR.

і = 1, …, 8;            j = 1, 2, 3.

Як бачимо, при тому, що у всіх випадках IRR проекту А  вище. Але, враховуючи те, що при одинакових початкових інвестиціях в деяких випадках NPV проекту В вище, слід скоріше прийняти його.

Додаток 4.  Программа для обчислення прибутковості до погашення методом січних.

using System;

using System.Collections.Generic;

using System.Linq;

using System.Text;

namespace Anal_oblig

{

   class Program

   {

       public static int N = 100, P = 5;

       public static int j, n, z;

       public static double a, b, x1, x2, x3, t, e;

       public static double[] p = new double[100];

       public static double[] v = new double[3];

       public static double[] q = new double[100];

       public static bool flag;

       public static double f(double d)

       {

           double s = d / 100 + 1;

           t = 0;

           for (int i = 1; i < n + 1; i++)

           {

               t = t + p[i] / (Math.Exp((i ) * Math.Log(s)));

           }

           t = t + N / (Math.Exp((n ) * Math.Log(s))) - P;

           return t;

       }

       public static void root()

       {

           j = 1;

           for (int k = 0; k < 100; k++)

           {

               q[k] = f(j);

               j = j + 5;

           }

           z = 0;

           for (int k = 0; k < 99; k++)

           {

               if (((q[k] < 0) && (q[k + 1] > 0)) || ((q[k] > 0) && (q[k + 1] < 0)))

               { z = z + 1; }

           }

       }

       public static void sek()

       {

           x1 = a;

           x2 = b;

           while (!flag)

           {

               x3 = x1 - (f(x1) * (x2 - x1)) / (f(x2) - f(x1));

               if (Math.Abs(x2 - x3) < e)

               {

                   flag = true;

                   Console.WriteLine(String.Format("IRR =  {0} \n", x3));

                   break;

               }

               else

               {

                   x1 = x2;

                   x2 = x3;

               }

           }

       }

       static void Main()

       {

           n = 25;

           for (int k = 0; k < n + 1; k++)

           {     p[k] = 6;   }            

           e = 0.001;

           a = 1; b = 5;

           sek();

           root();

           if (z > 2)

           {

               a = 300;

               b = 310;

               sek();

           }

           Console.ReadLine();

       } } }

Додаток 5 .

Программа в Matlab знаходження IRR проекту.

1)    function analiz_IRR

clc;

   Q = 100;

   P_V = 15;

   T = 0.23;

   F = 500;

   Am = 200;

   I = 1000;

   eps = 0.000001;    

   z = fsolve(@VND, 0.5, 0.00001 )

 end

   function res = VND (IRR)

   Q = 60;

   P_V = 15;

   T = 0.23;

   F = 500;

   Am = 100;

   I = 2000;

   NPV = -I;

   NPV = NPV + ((0.5* Q * P_V - F - Am) * (1 - T) + Am) / ((1 + IRR)) ;

   NPV = NPV + ((0.7* Q * P_V - F - Am) * (1 - T) + Am) / ((1 + IRR)^2);

   NPV = NPV + ((0.9* Q * P_V - F - Am) * (1 - T) + Am) / ((1 + IRR)^3);

   for i = 4 : 6

   NPV = NPV + (( Q * P_V - F - Am ) * (1 - T)+Am) / ((1 + IRR)^i);

   end

   res = NPV;

   end

2)  function analiz_IRR

clc;

   Q = 100;

   P_V = 15;

   T = 0.23;

   F = 500;

   Am = 200;

   I = 1000;

   eps = 0.000001;    

   z = fsolve(@VND, 0.5, 0.00001 )

 end

   function res = VND (IRR)

   Q = 60;

   P_V = 15;

   T = 0.23;

   F = 500;

   Am = 100;

   I = 2000;

   NPV = -I;

   for i = 1 : 6

   NPV = NPV + (( Q * P_V - F - Am ) * (1 - T)+Am) / ((1 + IRR)^i);

   end

   res = NPV;

   end

Додаток 6.

Програма Matlab  знаходження NPV проекту:

1)  function analiz_NPV

   clc;

   Q = 100;

   P_V = 20;

   T = 0.23;

   F = 500;

   Am = 100;

   I = 2000;

   IRR = 0.12;

   NPV = -I;

   NPV = NPV + ((0.5*Q * P_V - F - Am) * (1 - T) + Am) / ((1 + IRR)) ;

   NPV = NPV + ((0.7*Q * P_V - F - Am) * (1 - T) + Am) / ((1 + IRR)^2) ;

   NPV = NPV + ((0.9*Q * P_V - F - Am) * (1 - T) + Am) / ((1 + IRR)^3);

   for i = 4 : 15

   NPV = NPV + (( Q * P_V - F - Am ) * (1 - T)) / ((1 + IRR)^i);

   end

   NPV

end

2)  function analiz_NPV

   clc;

   Q = 100;

   P_V = 20;

   T = 0.23;

   F = 500;

   Am = 100;

   I = 2000;

   IRR = 0.12;

   NPV = -I;

   for i = 1 : 15

   NPV = NPV + (( Q * P_V - F - Am ) * (1 - T)) / ((1 + IRR)^i);

   end

   NPV

end

Додаток 7.

Программа для розвязання рівняння NPV (Q) = 0.

using System;

using System.Collections.Generic;

using System.Linq;

using System.Text;

namespace ConsoleApplication3

{

   class Program

   {

       public static int j, n, z;

       public static double a, b, x1, x2, x3, t, e;

       public static double[] p = new double[100];

       public static double[] v = new double[3];

       public static double[] q = new double[100];

       public static bool flag;

        public static double f(double d)

       {

           double Am = 100, T = 0.23, P_V = 20, F = 500, I0 = 2000;

           double IRR = 0.12;

           t = 0;

           t = t - I0;

           t = t + ((0.5*d * P_V - F - Am) * (1 - T) + Am) / (Math.Pow(1 + IRR, 1)); ;

           t = t + ((0.7*d * P_V - F - Am) * (1 - T) + Am) / (Math.Pow(1 + IRR, 2)); ;

           t = t + ((0.9*d * P_V - F - Am) * (1 - T) + Am) / (Math.Pow(1 + IRR, 3)); ;

           for (int i = 4; i < n + 1; i++)

           {

               t = t + ((d * P_V - F - Am) * (1 - T) + Am) / (Math.Pow(1 + IRR, i)); ;

           }

           return t;            

       }

       public static void root()

       {. . . }

       public static void sek()

       {. . . }

       static void Main()

       {

           Console.WriteLine("VVedi srok proekta");

           n = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());

           e = 0.001;

           a = 1;

           b = 5;

           sek();

           root();

           if (z > 2)

           {

               a = 300;

               b = 310;

               sek();

           }

           Console.ReadLine();

       }

   }

}

Перелік використаної літератури:

1.  Жуленев С. В. «Фінансова математика : Введення в класичну теорію» - М., Вид-во МГУ, 2001. - 480 с.

2.  Малихін В. І. «Фінансова математика: Навч. посібник для вузів» - 2-е вид.,   – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. - 237 с.

3.  С.С. Кліменко, В.М. Мацкул, Н.Л. Воропай «Методичні вказівки та завдання до самостійної роботи з курсу «Фінансова математика». – Одеса: ОДЕУ, 2005. – 343 с.

4.  І. Я. Лукасевич. «Аналіз фінансових операцій.» М., ФиС, 1998г. – 402 с.

5. Я. С. Мелкунов. Теоретичний і практичний посібник по фінансовим обчисленням., М., ІНФРА-М, 1996 р.

6. Інтернет-ресурси : http://fin-admin.com ;  http://ru.wikipedia.org  та ін.

 

PAGE  60


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68486. Ставки для резидентов 31.1 KB
  Ставки налога на прибыль. Дивиденды – распределение заработанной прибыли после уплаты налога. Когда налогоплательщик получает дивиденды он экономически платит налог второй раз юридически первый раз так как субъекты другие. Это сделано для того чтобы в холдингах не накручивался налог на налог.
68487. Налог на добавленную стоимость 33.57 KB
  Такая система предполагает развернутую систему вычетов, т.к. платит каждый, на каждом этапе. Устаканиться в бюджете налог должен после покупки потребителем (т.к. НДС – потребительский налог). По сути, все, что было на этапах – забегание вперед, аванс, кредитование государства.
68488. Налог на добавленную стоимость. Объект. Понятие и место реализации как объекта НДС 34.5 KB
  Любая страна, освобождает покидающий товар от НДС. Но, страна, которая принимает товар – собирает так называемый “таможенный НДС” с импортеров. Это способ уровнять зарубежные и наши товары по бремени уплаты косвенных налогов. Если кто-то ввозит товары напрямую в РФ – проблем нет. Ввез – заплатил.
68489. Недоимка. Штраф. Пеня 35.36 KB
  Недоимка неуплаченная или не полностью неуплаченная в срок сумма налога. Недоимка может образоваться если налогоплательщик всё посчитал правильно но денег нет. Иногда недоимка есть но налогоплательщик не виноват уплата налога налоговым агентом.
68491. Финансово-правовые аспекты денежно-кредитных и валютных отношений 31.02 KB
  Правовое положение Центрального банка РФ Валютное регулирование и валютный контроль Деньги в экономическом смысле – ликвидный актив в юридическом законное средство платежа. Деньги наиболее удобная мера обмена. Закон Грешема 16 век плохие деньги вытесняют из обращения хорошие деньги.
68492. Дизайн на французский манер 85 KB
  Выставка моды 1945 года После четырех лет войны британские и американские модельеры сочли что во Франции с высокой модой покончено. Жак Вьено Институт промышленной эстетики Следуя опытом Великобритании где в конце 1940х годах открылись государственные центры дизайна дизайнер и теоретик...
68493. Хроническое продуктивное воспаление 261 KB
  Хроническое воспаление это длительный процесс при котором деструкция и воспаления развиваются одновременно с заживлением. Причины хронического воспаления: персистирующая инфекция например микобактерия туберкулеза вирус гепатита паразиты инородные тела кремний асбест тальк кетгут и...
68494. Цитомегаловирусная инфекция 59.5 KB
  В культуре фибробластов эмбриона человека он образует гигантские клетки цитомегал – отсюда название клетки и болезни. Цитомегалы крупные клетки размером 28 50 м. В ядре клетки видны четко очерченные включения размером 8 – 20 микрон. Микроскопически: отдельные клетки эпителия концевых и секреторных отделов слюнных трубочек превращаются в цитомегалов.