44501

Визначений інтеграл та його застосування

Книга

Математика и математический анализ

Значний внесок у розв’язання проблеми про площу круга зробив видатний грецький математик IV ст. до н.е. Євдокс Книдський. Він вписував в круг правильний многокутник, а потім доводив, що за рахунок збільшення кількості сторін многокутника (відповідно зменшенням їх довжин) можна добитися того

Украинкский

2014-03-28

3.14 MB

77 чел.

Визначений інтеграл та його застосування.

1. Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла.

    У багатьох сферах людської діяльності з давнини виникала необхідність обчислювати метричні характеристики різних геометричних фігур, як то довжини дуг ліній, площі фігур, об’єми тіл тощо. Такі задачі легко розв’язувалися для простих геометричних фігур, таких як квадрати, трикутники, паралелограми, трапеції. Площу многокутника можна було обчислити розбиттям його на трикутники і знаходженням суми площ цих трикутників. Всі ці фігури утворювались за допомогою відрізків прямих ліній. Але задача набагато ускладнюється, якщо мова йдеться про обчислення площ криволінійних фігур, наприклад площі круга. Давні єгиптяни наближено обчислювали цю площу за допомогою формули:

,                                                                                                              де – діаметр круга, а –його радіус (порівняйте з тепер відомою точною формулою ; ). Греки зводили обчислення площі круга до побудови квадрата, який має ту саму площу. Але за допомогою циркуля та лінійки ця задача ніяк не розв’язувалася. І лише наприкінці XIX століття (у 1882 році) німецьким математиком Карлом Ліндеманом було доведено, що ця задача не має розв’язку.

               Рис. 1.

     Значний внесок у розв’язання проблеми про площу круга зробив видатний грецький математик IV ст. до н.е. Євдокс Книдський. Він вписував в круг правильний многокутник, а потім доводив, що за рахунок збільшення кількості сторін многокутника (відповідно зменшенням їх довжин) можна добитися того, щоб його площа як завгодно мало відрізнялась від шуканої площі круга (рис. 8.1). Цей метод отримав назву метода вичерпання. В цьому доведенні нібито вичерпується простір між многокутником та колом, яке обмежує круг. По суті справи Євдокс підійшов до поняття границі – основи всієї вищої математики.

    Дуже важливий крок далі зробив славнозвісний Архімед (287–212 рр. до н.е.). Він знайшов загальні методи відшукання площ криволінійних фігур і застосував їх до обчислення кругових, параболічних та багатьох інших фігур. Основа всіх цих методів полягала все у тому ж – а саме шукана площа криволінійної фігури знаходилась як границя площ вписаних в неї прямолінійних фігур.

     Потім зясувалось, що аналогічний підхід можна застосувати не тільки для розвязання геометричних задач, а й задач з області механіки, фізики тощо. Свій подальший розвиток ця теорія отримала у працях Й.Кеплера (1598–1647), П.Ферма (1601–1665), Дж.Валліса (1616–1703), Б.Паскаля (1623–1662) та деяких інших вчених. Цікаво, що Кеплер зіткнувся з цими проблемами, коли йому треба було обчислювати обєми бочок для вина. Не треба тем не менш звідси робити висновок, що алкоголь сприяє розвитку науки.

    Спільним для всіх цих робіт було те, що шукана величина наближено замінювалась сумою великого числа малих величин, кожна з яких обчислювалась легко. Це було поступове створення інтегрального зчислення, яке набуло свого основного завершення у працях І.Ньютона (1643–1727) і Г.Лейбніца (1646–1716).

     Перейдемо тепер до точних математичних формулювань.

1.  Задача про площу криволінійної трапеції.

     Нехай на відрізку задано функцію . Фігура, яка обмежена графіком даної функції і відрізками прямих називається криволінійною трапецією (рис. 2).

 

                     Рис. 2.

                                             
    Треба обчислити площу
цієї трапеції. Зауважимо, що у загальному випадку ця трапеція – саме криволінійна фігура, і лише у частинних випадках, коли функція стала, або лінійна (тобто її графіком є пряма лінія) ця фігура прямолінійна, і ми можемо використати відомі з елементарної геометрії формули для площ прямокутника та трапеції.

    Розібємо відрізок за допомогою довільно обраних точок

 

на частинних відрізків . На кожному з них  візьмемо довільну точку і побудуємо прямокутник, основою якого є відповідний частинний відрізок, а висота дорівнює     (рис.3).

 

Рис. 3.

З рис. 3 ми бачимо, що шукана площа наближено дорівнює сумі площ всіх отриманих прямокутників. Знайдемо цю суму. Очевидно, вона дорівнює:

,                                                                                                                                      де – довжина відрізка . Тобто . За рахунок чого можна було б збільшити точність цієї формули? Здавалось би за рахунок збільшення кількості частинних відрізків, тобто числа . Але справа в тому, що кількість прямокутників можна збільшувати не на всьому відрізку , а тільки на деякій його частині (наприклад половині його), залишаючи кількість частинних відрізків на решті відрізка незмінним. І тоді очевидно, що ми не отримаємо підвищення точності. Тому треба йти іншим шляхом. А саме зменшувати всі величини .  Фактично можна зменшувати . Зрозуміло, що тоді автоматично буде збільшуватися. І за площу криволінійної трапеції природно вважати границю послідовності площ ступінчатих фігур, якщо максимальна з довжин частинних відрізків прямує до нуля:

.                                                                (1.1)

      1. Задача про роботу змінної сили.

     Нехай вздовж осі діє сила , напрям якої сталий і збігається з напрямком .  Крім того сила може змінюватись за величиною. Нехай під дією сили матеріальна точка перемістилася вздовж осі з точки у точку .  Треба обчислити роботу цієї сили на відрізку .

     Відомо, що якщо сила стала () і діє у напрямку переміщення, то робота дорівнює добутку величини сили на величину переміщення:

 .

Але сила змінна, і ми не маємо права користуватися цією формулою. Тому розіб’ємо відрізок точками   на частинні відрізки і припустимо, що кожний частинний відрізок настільки малий, що сила   не встигає на цьому відрізку суттєво змінитися, та її можна на ньому вважати сталою. Оберемо на кожному з відрізків довільну точку , тоді  на виконано: . Робота, що виконана цією силою на відрізку ,   дорівнює  ,  де  .  Тоді робота на всьому відрізку наближено дорівнює:

 .

Ця наближена рівність тим точніша, чим менші довжини  . Тому природно за роботу сили   на шляху вважати границю:

 .

Звернемо увагу на те, що ми отримали формулу, яка повністю аналогічна формулі (1.1). Таким чином дві задачі з різних галузей науки привели до однієї математичної формули. Таку особливість математики ми вже відмічали вище.

2. Означення та умови існування визначеного інтеграла.

    Оскільки ми побачили, що дві різні задачі приводять до однієї математичної моделі, ми тепер не будемо привязуватись до конкретної задачі з навколишньої дійсності, а розглянемо проблему в абстрактному сенсі. Отже нехай ми маємо деяку функцію , яка визначена на відрізку . Розібємо цей відрізок на частин довільно обраними точками ділення:

.

На кожному з частинних відрізків    довільним чином оберемо точку і побудуємо суму:

,                                                                                   (2.1)                                                                                                                                                                                                                                                     де – довжина відрізка . Сума (2.1) називається інтегральною сумою функції , яка відповідає даному розбиттю відрізка на частинні та даному вибору проміжних точок .

    Легко помітити, що з геометричної точки зору інтегральна сума у випадку, коли , дорівнює площі ступінчатої фігури (рис. 3).

    Позначимо і назвемо цю величину рангом розбиття. Це буде означати, що жоден з частинних відрізків за довжиною не перевищує величини .

    Означення. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми (2.1) при , яка не залежить від засобу розбиття відрізка на частинні і не залежить від засобу обрання проміжних точок , то ця границя називається визначеним інтегралом функції на відрізку і позначається символом:

.

Тобто:

.                                                                     (2.2)                                                                   

    Наведене означення інтеграла належить Бернгарду Ріману (1826–1866), він же сформулював умови його існування. Тому таким чином введений інтеграл називається інтегралом Рімана.

    Якщо границя (2.2) існує, то функція називається інтегровною на відрізку . Числа і називаються відповідно нижньою та верхнею межею інтегрування. Функція називається підінтегральною функцією, а вираз називається підінтегральним виразом. Змінна називається змінною інтегрування, а проміжок проміжком інтегрування.

    Повертаючись до розглянутих у п. 1 задач, тепер можна сказати, що

  1.  площа криволінійної трапеції, обмеженої прямими

і графіком функції , дорівнює визначеному інтегралу від цієї функції на відрізку :

.

У цьому полягає геометричний зміст інтеграла.

  1.  робота змінної сили , що діє вздовж відрізка , дорівнює

визначеному інтегралу від сили:

.

У цьому полягає фізичний зміст інтеграла.

    Виникає питання, які умови повинна задовольняти інтегровна на відрізку функція ? Відповідь на це питання дають наступні теореми.

    Теорема 1 (необхідна умова інтегровності). Якщо функція  інтегровна на відрізку , то вона обмежена на цьому відрізку.

    Доведення. Припустимо протилежне, тобто, що функція необмежена на відрізку . Тоді для будь якого розбиття відрізка на частинні функція буде необмеженою хоча б на одному з них. Без обмеження загальності вважатимемо, що функція необмежена на відрізку . Обравши на решті відрізків точки довільним чином, позначимо:

 .

Візьмемо тепер довільне і оберемо точку на відрізку так, щоб було виконано:

 ,                                                                                          

що завжди можна зробити внаслідок необмеженості функції на відрізку . Тоді

 .

Складемо інтегральну суму:

 .

Матимемо:

 ,                    

тобто інтегральну суму за рахунок вибору точки можна за абсолютною величиною зробити більше, ніж будь яке наперед задане число. Тому у інтегральної суми не існує скінченної границі при , а тоді функція не є інтегровною на відрізку всупереч умові теореми. Теорему доведено.

    Зауваження. Обернене твердження до цієї теореми несправедливе, тобто з обмеженості функції на відрізку не випливає її інтегровність на цьому відрізку. Класичним прикладом такої функції є так звана функція Діріхле2.

 

Ця функція на відрізку обмежена, оскільки . Доведемо, що вона не інтегровна на відрізку . Розібємо відрізок довільним чином на частинні відрізки і складемо інтегральну суму

 .

Якщо обрати точки раціональними, то і тоді

 ,   .

Якщо обрати точки ірраціональними, то і тоді

 ,   .

Таким чином границя інтегральної суми залежить від вибору точок , а це означає, що функція не є інтегровною на .

    Отже обмеженість функції на відрізку є необхідною умовою інтегровності, але не є достатньою. Наступна теорема, яку ми наводимо без доведення, дає достатню умову інтегровності.

    Теорема 2 (достатня умова інтегровності). Якщо функція неперервна на відрізку , то вона інтегровна на цьому відрізку.

    Обернене твердження до цієї теореми також несправедливе – інтегровними можуть бути і деякі розривні функції. Тобто теорема 2 тільки достатня умова інтегровності, але не необхідна.

    Разом з цим існує критерій (тобто необхідна і достатня умова) інтегровності функції на відрізку. Для цього введемо наступні поняття. Розібємо відрізок на частинні довільно обраними точками ділення:

 .

Позначимо:  ,  . Складемо суми:

 ,  .

Ці суми називаються відповідно нижньою та верхньою сумами Дарбу3. Зокрема, якщо функція неперервна на відрізку (отже, й на кожному з частинних відрізків), суми Дарбу є найменшою та найбільшою з інтегральних сум, що відповідають даному розбиттю. Справді, у цьому випадку функція досягає на кожному з частинних відрізків свого найбільшого та найменшого значень, отже точку на відрізку можна обрати так, щоб, за бажанням, було , або . У загальному випадку:

 .

Домножаючи всі частини цієї нерівності на та, підсумовуючи за індексом , матимемо:

 ,                                                                                                      

де – інтегральна сума (2.1). При фіксованому розбитті суми та будуть сталими числами, що не залежать від точок , в той час, як сума від цих точок залежить. Але за рахунок обрання точок значення можна зробити як завгодно близьким як до , так й до , отже суму можна зробити як завгодно близькою як до , так й до . А тоді для даного розбиття суми та є точними нижньою та верхньою межами для інтегральних сум.

    Суми Дарбу мають наступні властивості:

    Властивість 1. Якщо до тих точок ділення, що є, додати нові точки, то нижня сума Дарбу може лише збільшитися, а нижня – лише зменшитися.

    Доведення. Можна обмежитися додаванням лише однієї точки ділення . Нехай ця точка потрапить між точками   та , тобто . Нехай – нова верхня сума Дарбу, яка отримується внаслідок такого додавання. Вона буде відрізнятися від суми тим, що в сумі проміжку   відповідав доданок , а в сумі цьому проміжку відповідає сума двох доданків:

 ,                                                                         

де , – точні верхні межі функції у проміжках та . Оскільки ці проміжки є частинами проміжку , то , , отже

 ,  .

Отже

 

,                                                   

звідки випливає, що . Аналогічно доводиться і нерівність для нижньої суми Дарбу.

    Властивість 2. Кожна нижня сума Дарбу не більше кожної верхньої суми, навіть якщо ця верхня сума відповідає іншому розбиттю.

    Доведення. Розібємо відрізок довільним чином на частинні відрізки і складемо для цього розбиття суми Дарбу та . Розглянемо тепер інше розбиття відрізку і для нього також складемо відповідні суми Дарбу та .

    Покажемо, що . Об’єднаємо обидва розбиття, тоді отримаємо третє розбиття, якому відповідатимуть суми та . На підставі Властивості 1 маємо: та . Але оскільки , то , що й треба було довести.

    З доведеного випливає, що вся множина нижніх сум Дарбу обмежена зверху, наприклад, будь якою верхньою сумою. Тому множина має точну верхню межу

 ,                                                                                                     

і, крім того, для будь якої верхньої суми . Тоді множина верхніх сум обмежена знизу, отже існує

 ,                                                                                                

причому . Таким чином, для будь якої нижньої та для будь якої верхньої суми Дарбу маємо:

 .                                                                                         (2.3)

Числа та називають відповідно нижнім та верхнім інтегралом Дарбу.

    Теорема 3. (необхідна і достатня умова інтегровності функції). Для інтегровності функції  на відрізку необхідно і достатньо, щоб

 .                                                                                            (2.4)

    Доведення. Необхідність. Нехай функція інтегровна на , тобто існує

 ,                                                                                  

де – інтегральна сума (2.1). Ц означає, що для будь якого знайдеться таке , що, як тільки , то буде виконано:

                                                                                                      

для будь якого вибору точок . Або:

 .

Але суми Дарбу та є точними нижньою та верхньою межами для , тому:

 ,                                                                                    

отже

 ,                                                                                         

звідки й випливає рівність (2.4).

    Достатність. Нехай виконано умову (2.4). Тоді з (2.3) випливає, що   , і якщо позначити   , то

   .

    Нехай інтегральна сума   відповідає тому ж розбиттю, що й суми та . Тоді

     .

Згідно з (2.4) для будь якого   існує таке  , що, як тільки  , то виконується  . Але тоді і  , оскільки    та   знаходяться між   та . А це означає, що

  ,                                                                                                  

тобто функція інтегровна на .

    Теорему доведено.   


  1.  Приклади обчислення визначеного інтеграла.

за означенням.

                                                              

    Наведемо приклади обчислення визначеного інтеграла, як кажуть, за означенням, тобто як границі інтегральних сум.

   Приклад 1. Обчислити:

.

    Розібємо відрізок довільним чином на частинні відрізки і складемо інтегральну суму:

.

Незалежно від обрання точок буде виконано: , тому:

 .

І отже:

 .

    Приклад 2. Обчислити:

 .

    Оскільки функція неперервна на всій числовій прямій, вона інтегровна на відрізку . Розібємо відрізок на рівних частинних відрізків точками ділення  , де . Очевидно, що ,  , . За точки візьмемо  . Складемо інтегральну суму:

 

.

Тут ми скористалися формулою:

 .

Тоді

 .

Отже

 .

    Приклад 3. Обчислити:

 .

    Оскільки функція неперервна на всій числовій прямій, вона інтегровна на відрізку . Розібємо відрізок на рівних частинних відрізків точками ділення  , де . Очевидно, що ,  , . Таким чином у даному випадку умова (або ) еквівалентна умові . За точки візьмемо  . Складемо інтегральну суму:

 

.

Тут скористалися формулами:

 ,   ,   .

З урахуванням рівності тепер маємо:

 .

Звідси

 .

Отже

  .

    Вже ці приклади показують, що обчислення інтегралів за означенням досить складна задача, навіть для відносно простих функцій. Тому таким методом користуються рідко. Нижче ми наведемо формулу, за якою інтеграл обчислюється набагато простіше. Щоправда, ця формула виводиться у припущенні, що функція неперервна на відрізку .

 

4. Властивості визначеного інтеграла.

    Тут ми сформулюємо деякі важливі властивості визначеного інтеграла, які нам будуть потрібні у подальшому.

    1.  Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування.

.

    2.  Якщо верхня межа інтегрування співпадає з нижньою, то інтеграл дорівнює нулю.

.

     3.  Від переставлення місцями меж інтегрування отримується інтеграл, який дорівнює даному з протилежним знаком.

.

    4.  Якщо функція    інтегровна на максимальному з відрізків , , то справедлива рівність:

.                                                      (4.1)

    Доведення. Припустимо спочатку, що . Розібємо відрізок на частинні так, щоб точка була точкою розбиття, наприклад . Тоді

    

    .

Цей факт добре ілюструється геометрично (рис. 4).

          Рис. 4.

.

   Формула (4.1) зберігає справедливість і у випадку, коли . Припустимо, наприклад що . Тоді згідно за попереднім:

.

На підставі властивості 3 маємо:

,                                                                                  і тоді:

,                                                                 а звідси і випливає формула (4.1). Випадок розглядається аналогічно.

    5.  Сталий множник можна виносити за знак визначеного інтеграла:

.

    6.  Якщо функції та   інтегровні на відрізку , то функції  , також інтегровні на відрізку , причому:

.

   7.  Якщо функції та   інтегровні на відрізку , то функція також інтегровна на відрізку .

   8.  Якщо , то

.

    9.  Якщо , то

 .

    10.   Якщо функція інтегровна на , то функція також інтегровна на відрізку , причому:

.

    11.   Якщо , то

.

Дійсно

.

    12. Теорема (про середнє значення функції). Нехай функція неперервна на відрізку , а функція інтегровна на відрізку , і на відрізку   зберігає свій знак, тобто при , або при . Тоді на відрізку існує точка така, що виконуватиметься рівність:

.

    Доведення. Нехай для визначеності при . Оскільки функція неперервна на відрізку , то згідно з 2-ю теоремою Вейєрштрасса ця функція досягає на цьому відрізку свого найменшого та найбільшого значень . Тоді:

.

Внаслідок неперервності функції   на відрізку вона на цьому відрізку інтегровна, а, оскільки функція на відрізку також інтегровна, то інтегровною на буде й функція . А тоді

 .                                               (4.2)

Якщо , то з (4.2) випливає, що , і тоді твердження теореми доведено. Нехай , тоді , оскільки . Тому:

 ,                                                                                                     

де

  .

Внаслідок неперервності функції на відрізку на підставі 2-ї теореми Больцано–Коші на відрізку існує точка така, що , тобто

  ,                                                                               

звідки й випливає твердження теореми.

    Наслідок. Якщо, зокрема на , то для неперервної на функції   існує таке, що:

 ,                                                                            

оскільки     (див. п.3).                                                                   

Величина називається середнім значенням функції на відрізку .

    Теорема про середнє значення та наслідок з неї дає можливість оцінювати величини інтегралів без їх безпосереднього обчислювання.

    Приклад. Оцінити величину інтеграла:

 .

Покладемо в теоремі про середнє значення , . Тоді :

                               

(тут скористалися рівністю – див. п.3).

5. Інтеграл зі змінною верхньою межею.

Формула Ньютона–Лейбніца.

    Нехай функція інтегровна на відрізку . Візьмемо довільне , тоді функція буде інтегровна на відрізку , тобто існує інтеграл

.

    Якщо змінюється, то відповідним чином буде змінюватись і цей інтеграл, тобто він являється функцією змінної . Позначимо цю функцію через :

.                                                                                      (5.1)

Інтеграл (5.1) називається інтегралом зі змінною верхньою межею.

    Теорема 1. Якщо функція інтегровна на відрізку , то функція   неперервна на цьому відрізку. 

    Доведення. Нехай , . Покажемо, що

 .

Внаслідок формули (4.1) маємо:

 .

Оскільки функція  інтегровна на відрізку , то вона обмежена на цьому відрізку, тобто

 .

Тоді на підставі властивостей 10, 11 інтеграла (див. п. 4) звідси випливає, що

 ,

звідки отримуємо, що при , тобто функція неперервна в точці . Оскільки – довільна точка відрізку , то функція неперервна на всьому відрізку .

    Теорема 2. Похідна інтеграла зі змінною верхньою межею від неперервної функції дорівнює значенню підінтегральної функції для цієї межі, тобто:

.

    Доведення. Нехай функція неперервна на відрізку . Тоді вона інтегровна на цьому відрізку. За означенням похідної маємо:

.

    Згідно з теоремою про середнє значення, внаслідок неперервності функції на відрізку існує така точка , що справджується рівність:

.

Тоді

.

Оскільки , то , і тому внаслідок неперервності функції :

,                                                             

і теорему доведено.

    Ця теорема має дуже важливе значення. Вона стверджує існування первісної у будь якої неперервної функції і встановлює зв’язок між невизначеним і визначеним інтегралами. Функція є первісною для функції , отже

.

    На підставі доведеної теореми легко отримується славнозвісна формула Ньютона–Лейбніца4*.

    Нехай – будь яка первісна функції на відрізку . Оскільки також первісна для функції , то

.

Покладемо тут . Оскільки

,

то , звідки , тобто

.

Покладемо тут . Дістанемо:

,                                                                             

або, що те ж саме:

.                                                                        (5.2)

Це й є формула Ньютона–Лейбніца, яку називають основною формулою інтегрального зчислення. Її значення важко переоцінити, тому що вона дає зручний засіб обчислення інтегралів без використання інтегральних сум. Правда те, що вона справедлива лише для неперервних функцій, дещо звужує її можливості. Крім того, слід пам’ятати, що існують функції, первісні від яких не виражаються елементарними функціями. Тоді можливості застосування формули Ньютона–Лейбніца також обмежуються.

 6. Приклади використання формули Ньютона–Лейбніца.

    На практиці формулу (5.2) записують так:

.

    Розглянемо відповідні приклади.

  1.  .
  2.  .
  3.  .
  4.  .
  5.  

.

  1.  .

    А тепер наведемо приклад того, як не можна використовувати фор-

мулу Ньютона–Лейбніца. Розглянемо інтеграл.

.

Оскільки , то за властивістю 7 (п. 3) цей інтеграл повинен бути додатним. В той же час формальне використання формули (5.2) дає:

.

Протиріччя виникло з того, що функція є розривною на відрізку (розрив у точці ), і ми не маємо права користуватися формулою (5.2).


7. Заміна змінної та інтегрування за частинами у визначеному інтегралі.

 

    Як і у випадку невизначеного інтеграла, у визначеному інтегралі також можна застосовувати формули заміни змінної та інтегрування за частинами. Але тут вони мають певні особливості, до розгляду яких ми зараз й перейдемо.

    Теорема. Нехай функція  неперервна на відрізку , а функція задовольняє наступні умови:

  1.   визначена і неперервна на деякому проміжку і відо-

бражає проміжок на проміжок ,

  1.  ,
  2.   неперервно диференційовна на .

Тоді справедлива формула заміни змінної:

.                                                      (7.1)

    Доведення. Маємо:

 ,                                                                          

де – первісна функції на відрізку . Легко переконатися у тому, що функція є первісною для функції на відрізку . Дійсно, оскільки , то за формулою для похідної складеної функції  матимемо:

 .

Отже можемо записати:

 .

    Теорему доведено.

    Розглянемо приклади використання цієї теореми.

     1.  Обчислити інтеграл

.

    Зробимо заміну змінної , де .

Відповідність інтервалів відносно і відносно зручно зображувати за допомогою таблички:

0

 

Отже матимемо:

 

.

     2.  У багатьох випадках підстановку зручніше брати не у вигляді залежності від (), а у вигляді залежності від (). Розглянемо інтеграл:

.

Використаємо заміну . Тоді , ,

0

0

 2

Отже

.

    Зауважимо, що на відміну від метода заміни змінної у невизначеному

інтегралі, тут нема необхідності повертатися до старої змінної, оскільки межі інтегрування змінюються водночас зі змінною інтегрування. Нові межі підставляються до нової змінної.

    Встановимо за допомогою заміни змінної наступні корисні твердження.

    1). Якщо функція є непарною, тобто , то виконано:

.

Тобто інтеграл в симетричних межах від непарної функції дорівнює нулю. Дійсно, розібємо цей інтеграл на два:

 .

У першому інтегралі зробимо підстановку , тоді ,

 

Матимемо:

 .

І тому

,                                                  

що й треба було довести.

    Наприклад без обчислень можна одразу стверджувати рівності:

 ,

 .

    2). Якщо функція парна, тобто , то :

 .

Це твердження доводиться аналогічно попередньому, зробіть це самостійно.

     3). Якщо функція періодична з періодом , тобто , то :

.

Тобто інтеграли по будь якому проміжку, довжина якого дорівнює періоду функції, співпадають. Дійсно, розібємо інтеграл на три інтеграли:

 .                                  (7.2)

У останньому з цих інтегралів зробимо заміну , тоді ,

0

 

Матимемо:

.

Таким чином третій інтеграл у формулі (7.2) дорівнює першому з протилежним знаком. Звідси й випливає потрібне твердження.

     Для визначеного інтеграла має місце формула інтегрування за частинами:

 .                                               (7.3)

Всі рекомендації щодо вибору функцій , які були сформульовані для невизначеного інтеграла, зберігаються і для визначеного. Розглянемо приклади.

  1.  

.

  1.  

.

  1.  Невласні інтеграли I роду.

Поняття визначеного інтеграла Рімана, як ми бачили, має зміст для скінченного проміжку і для обмеженої на цьому проміжку функції. Якщо хоч би одна з цих умов не виконана, то інтеграла у власному розумінні не існує. Тому виникає необхідність поширити поняття інтеграла на випадки нескінченного проміжку та необмеженої функції. Відповідно виникають інші поняття – так званих невласних інтегралів I роду (у випадку нескінченного проміжку) та II роду (у випадку необмеженої на проміжку функції). Ми почнемо з поняття невласного інтеграла I роду.

Нехай функція визначена на проміжку і інтегровна на будь якому відрізку , де .

 Означення. Невласним інтегралом I роду від функції на проміжку називається границя

.                                                                           (8.1)

Якщо ця границя існує та скінченна, інтеграл (8.1) називається збіжним, у протилежному випадку – розбіжним.

     Таким чином невласний інтеграл I роду не є границею інтегральних сум, а є границею визначеного інтеграла зі змінною верхньою межею. З геометричної точки зору він виражає площу необмеженої області (рис. 5).

Рис. 5.

Аналогічно означається невласний інтеграл I роду на проміжку :

                                                                         (8.2)

А також можливі невласні інтеграли з обома нескінченними межами:

,                                                        (8.3)   де – довільне число. Інтеграл у лівій частині формули (8.3)  збігається тоді і тільки тоді, коли незалежно один від одного збігаються обидва інтеграли у правій частині цієї формули.

     Приклади.

  1.  Дослідити на збіжність та у випадку збіжності обчислити інтеграл?

.

Маємо:

.

Отже інтеграл збіжний, і його значення дорівнює .

  1.  Дослідити на збіжність інтеграл

.

Маємо:

.

Відомо, що функція не має границі при . Отже даний інтеграл розбіжний.

  1.  Дослідити на збіжність інтеграл

.

Маємо:

.

Отже даний інтеграл розбіжний (границя існує, але вона нескінченна).

  1.  .

Даний інтеграл збіжний, і його значення дорівнює 1.

  1.  Визначимо, для яких значень параметра збігається інтеграл:

     .

    У випадку маємо:

    ,                     тобто інтеграл розбіжний.

   Якщо , то

   ,     отже інтеграл збіжний.

Якщо , то

,                                                                           і інтеграл розбіжний. Таким чином є збіжним, коли , і розбіжним, коли .

 

9. Невласні інтеграли II  роду.

     Розглянемо тепер функцію  , яка визначена на півінтервалі , і нехай виконана умова:

                                                                                                 (9.1)

Точку будемо називати особливою точкою функції . У цій точці графік функції має вертикальну асимптоту (рис. 6).

 

       Рис. 6.

     Нехай функція інтегровна на будь якому проміжку  , де .

      Означення. Невласним інтегралом II роду від функції називається границя:

 .                                                                          (9.2)

     Якщо границя (9.2) існує і скінченна, то інтеграл називається збіжним, у протилежному випадку – розбіжним.

     Якщо особливою точкою функції є точка , то:

 .                                                                                       при умові, що функція інтегровна на проміжку , де також .

     Нарешті, якщо особливою точкою є деяка точка всередині проміжку , то за означенням покладають:

 .                                                                 (9.3)

     Якщо існують окремо скінченні границі

                                                                            то інтеграл у лівій частині рівності (8.8.3) називається збіжним, а якщо хоч би одна з цих границь не існує, або нескінченна – розбіжним.

     Якщо особливими являються точки і , то за означенням:

 

,                                                                            де – довільна точка інтервалу . Інтеграл у лівій частині рівності буде збіжним тоді і тільки тоді, коли збіжні обидва інтеграли у правій частині рівності.

     З геометричної точки зору інтеграл II роду (9.2) також, як і невласний інтеграл I роду, виражає площу нескінченної фігури (рис. 7).

Рис. 7.

Але якщо у випадку інтеграла I роду нескінченність, так кажучи, відносно осі (рис. 5), то тут – відносно осі . Фактично це така ж сама нескінченна криволінійна трапеція, тільки повернута на кут 90 градусів. А це свідчить про те, що між невласними інтегралами I та II роду існує певний зв’язок. Дійсно, нехай, наприклад, особливою точкою функції є точка . Тоді

  .

У останньому інтегралі позначимо:

 .

Якщо , то очевидно , і ми отримуємо:

 .

Таким чином звели невласний інтеграл II роду до невласного інтегралу I роду.

    Приклади. Дослідити на збіжність і у випадку збіжності обчислити інтеграли.

    1) .

     У даному прикладі особливою є точка . Маємо:

 .

 Отже інтеграл збіжний, і його значення дорівнює .

      2) .

     Особливою є точка , оскільки . Маємо:

 

Отже інтеграл розбіжний.

     3)  Встановити, для яких значень параметра інтеграл збігається, а дл яких розбігається:

.

    Якщо , то інтеграл не є невласним, оскільки підінтегральна функція буде обмеженою на відрізку . Отже залишилось дослідити випадок . Тоді особливою точкою буде точка . Нехай спочатку . Маємо:

 ,                                                      отже інтеграл розбіжний. Нехай тепер . Тоді:

    

 Отже інтеграл збігається, якщо , і розбігається, якщо .

      Повернемось до прикладу, який ми розглянули в п. 6, а саме до інтегралу

  .

Ми встановили, що безпосереднє використання формули НьютонаЛейбніца приводить до абсурдного результату – інтеграл дорівнює відємному числу, хоча зобовязаний бути додатним. Тепер ми можемо сказати, що цей інтеграл невласний – особливою є точка , яка належить інтервалу . Розібємо цей інтеграл на два інтеграли

 ,                                                                                                                 де

 ,   .

Оскільки, як було встановлено в прикладі 3), інтеграл розбіжний, то розбіжним буде й інтеграл . Таким чином про його обчислення взагалі не може йти мова.

  1.  . Ознаки збіжності невласних інтегралів. I.

    У багатьох випадках встановлювати збіжність інтеграла шляхом його безпосереднього обчислення досить складна задач. Тому якщо треба встановити тільки сам факт збіжності чи розбіжності, користуються деякими достатніми умовами збіжності.

     Теорема 1. Нехай функція . Тоді для збіжності невласного інтеграла I роду необхідно і достатньо, щоб функція була обмежена зверху, тобто ,: .

     Доведення. Достатність. Нехай обмежена зверху. Оскільки , то є неспадною, тобто монотонною. На підставі теореми про границю монотонної та обмеженої функції, існує , тобто інтеграл збіжний.

     Необхідність. Нехай інтеграл збіжний, тобто існує  . Тоді на підставі тієї ж теореми про існування границі монотонної та обмеженої функції маємо: , і тоді : , тобто функція обмежена зверху.

      Теорема 2. Якщо на проміжку функції та неперервні, та , то зі збіжності інтеграла 

                                                                                                      (10.1)  випливає збіжність інтеграла 

,                                                                                                    (10.2)   а з розбіжності інтеграла (10.2) випливає розбіжність інтеграла (10.1).

     Доведення. I. Оскільки функції   та неперервні на , вони інтегровні на будь якому проміжку  , де . Оскільки , то на підставі властивості 9 інтеграла маємо, що :

 .

 Оскільки інтеграл (10.1) збігається, то за теоремою 1 функція обмежена зверху, а тоді обмежена зверху й функція . Тоді на підставі теореми 1 існує , тобто інтеграл (10.2) збіжний.

     II. Якщо інтеграл (10.2) розбіжний, то розбіжним буде і інтеграл (10.1), оскільки в протилежному випадку на підставі I інтеграл був би збіжним.

    Теорема 3. Якщо ,  , та існує границя

,                                                                                     то інтеграли (10.1), (10.2) водночас обидва збігаються, або водночас розбігаються.

     Доведення. Нехай збігається інтеграл (10.1). З умови теореми маємо:

виконано . Або, що те ж саме: , звідки маємо , якщо тільки .

Оскільки

 ,                                                                           то інтеграл збіжний. Отже збіжний і інтеграл . Тоді за теоремою 2 є збіжним інтеграл , а оскільки

 ,                                                                         то інтеграл (10.2) збіжний.

    Переписавши умову теореми у вигляді:

 ,                                                                             де , отримаємо, що із збіжності інтеграла (10.2) випливає збіжність інтеграла (10.1). Таким чином інтеграли (10.1) та (10.2) збігаються та розбігаються водночас, а отже вони водночас і розбігаються.

    Теореми, аналогічні теоремам 1 – 3, мають місце і для невласних інтегралів II роду.

    Приклади.

  1.  Дослідити на збіжність інтеграл

     .

     Маємо:

     ,                                                                          а оскільки інтеграл

                                                                                                                            збігається (це інтеграл для ), то згідно з теоремою 1 збігається і наш інтеграл.

  1.  Встановимо збіжність дуже важливого інтеграла Пуассона5*:

   .

    Зауважимо, що , де

.

   – це інтеграл від обмеженої функції на скінченному проміжку, і оскільки функція неперервна, інтеграл існує у власному розумінні. Стосовно другого інтеграла маємо: , а оскільки

 ,                                                                 тому цей інтеграл збіжний, отже збіжний за теоремою 1 інтеграл , а звідси випливає збіжність інтеграла .

  1.  Дослідити на збіжність інтеграл

  .

 Маємо:

 ,                                                                і оскільки інтеграл

                                                                                                                           розбіжний (це інтеграл при ), то внаслідок теореми 2 розбіжний і наш інтеграл.

  1.  Дослідити на збіжність інтеграл

 .

 Особливою точкою є точка . Оскільки

 ,                                                                                                        то збіжність даного інтегралу рівносильна збіжності інтегралу . Тому розглянемо:

 

,                                                                                        тобто інтеграл розбіжний. А отже розбіжний і початковий інтеграл.

  1.  Зясувати, при яких значеннях параметрів збігається, а при яких

розбігається інтеграл:

  .

 Розглянемо три можливі випадки: .

  1.  . Тоді , де . Запишемо підінтегральну функцію у ви-

гляді:

 ,  де  .

Оскільки при та , то існує число таке, що виконано: . Тому при : .

 Інтеграл при збіжний, отже за теоремою 2 збіжний й інтеграл , а тоді збіжний й інтеграл .

 Таким чином, якщо , то інтеграл збіжний .

  1.  . Тоді

 .

Цей інтеграл збіжний при і розбіжний при (приклад 5, п. 8).

  1.  . Тоді , . Подамо підінтегральну функцію у вигляді:

, де   .

Маємо:

 ,                                                                                   отже існує число таке, що при : . Тому при : .

 Інтеграл при розбіжний, отже за теоремою 2 розбіжним буде й інтеграл , а тоді розбіжним буде й інтеграл .

 Таким чином інтеграл збігається при ( будь яке), при , , і розбігається при всіх інших .

  1.  Дослідити на збіжність інтеграл:

.

 Цей невласний інтеграл II роду має дві особливі точки та .

Подамо інтеграл у вигляді , де

 ,  ,                                                                       

, і дослідимо окремо збіжність кожного з цих інтегралів.

 а) .

   Зробимо заміну змінної . Тоді, якщо , то , і при : ; ,  , і інтеграл II роду перетворюється на інтеграл I роду:

 .

   Розглянемо інтеграл

 .

При :  . Інтеграл збіжний, він дорівнює . Тоді за теоремою 2 збіжний й інтеграл , отже збіжний й інтеграл .

 б)   .

 При : , тобто . Розглянемо

інтеграл

 ,       

отже за теоремою 3 є розбіжним інтеграл . А тоді інтеграл також розбіжний.


  1.  . Ознаки збіжності невласних інтегралів. II.

   Теорема 4 (критерій Коші). Для збіжності невласного інтеграла

                                                                                                 (11.1)         необхідно і достатньо, щоб для будь якого існувало таке число , щоб при виконувалося нерівність:

 .                                                                                           (11.2)

    Доведення. Вводячи функцію , умову теореми можна переписати так:

 .

А це є критерій Коші існування скінченної границі , тобто інтеграл (11.1) збігається тоді і тільки тоді, коли виконано нерівність (11.2).

    Аналогічні твердження справедливі для невласних інтегралів II роду.

    Теорема 5. Для збіжності невласного інтеграла

 ,                                                                                                 (11.3)        

де –  особлива точка, необхідно і достатньо, щоб для будь якого існувало , що з нерівностей , випливала нерівність

 .

    З теорем 4 та 5 випливає наступна ознака збіжності інтегралів (11.1), (11.3).

Теорема 6. Якщо збігається інтеграл , то збігається інтег-

рал (11.1).

    Доведення. З умови теореми на підставі теореми 4 маємо:  , що , якщо тільки , . Але

 ,                                                                               

отже для тих самих : , звідки внаслідок теореми 4 випливає збіжність інтеграла (11.1).

    Теорема 7. Якщо збігається інтеграл , де точка особлива, то збігається інтеграл (11.3).

    Зауваження. Обернені твердження до теорем 6, 7 несправедливі, а саме із збіжності інтегралів (11.1), (11.3) не випливає відповідно збіжність інтегралів , .

    Означення. Якщо інтеграл збігається, в той час, як інтеграл розбігається, то інтеграл називається умовно збіжним. Якщо разом з інтегралом збігається і інтеграл , то інтеграл називається абсолютно збіжним.

    Аналогічні означення вводяться і для інтегралів II роду. Іншими словами, невласний інтеграл (I чи II роду) від функції називається абсолютно збіжним, якщо збіжний інтеграл від функції .

    Приклади.

    1.  Дослідити на збіжність інтеграл

 .                                                                                   (11.4)

  1.  Нехай ; тоді , і оскільки інтеграл збігаєть-

ся, то збіжним є й інтеграл (11.4).

  1.  Нехай . Покажемо, що інтеграл (11.4) розбігається. Для цього

скористаємось критерієм Коші, а саме покажемо, що існує таке, що такі, що

 .

Нехай . Покладемо , , де натуральне . Тоді, оскільки при , : , то

 

.

Таким чином можемо взяти , і на підставі теореми 4 інтеграл розбіжний.

    2.  Дослідити на абсолютну та умовну збіжність інтеграл

   .

  1.  Нехай . Тоді  , і, оскільки інтеграл збіжний, то

за теоремою 2  збіжним є інтеграл  , отже інтеграл   збіжний абсолютно.

  1.  Нехай . Інтегруючи за частинами, отримаємо:

   .

Оскільки   , а інтеграл   збіжний абсолютно, то   є збіжним.

 Розглянемо інтеграл  при . Маємо: , а інтеграл    при , як встановлено у попередньому прикладі, розбігається, отже розбігається й інтеграл , а це означає, що інтеграл   при збігається умовно.

  1.  Нехай  . Доведемо на підставі критерію Коші, що інтеграл

розбігається.  Задамо   і оберемо так, щоб  . Покладемо:  ,  . Для  виконано , і, крім того, при і   :  . Отже маємо:

    .

    Таким чином, обираючи в критерії Коші  , отримуємо на його підставі, що інтеграл   розбігається.

    Отже інтеграл   збігається абсолютно при  , збігається умовно при і розбігається при .    

  1.  . Ознаки збіжності невласних інтегралів. III.

    Теорема 8 (ознака Діріхле). Нехай функція неперервна, а функція має неперервну похідну на проміжку , і виконано наступні умови:

  1.  функція обмежена на , тобто  : ;
  2.  функція зберігає свій знак на , тобто або ;
  3.  .

Тоді інтеграл збігається.

     Доведення. Скористаємось критерієм Коші, а саме покажемо, що   : . Інтегруючи за частинами, дістанемо:

 .

З умови 1) теореми випливає, що:

 

,

 .

Якщо , то , а якщо , то . Тому, якщо , то

 ,

а якщо , то

 .

 Отже

 .

Тому

 .

Згідно з умовою 3) теореми:  : .

Тому, якщо , то

 ,                                                               і таким чином, згідно критерію Коші, інтеграл збігається.

   Теорему доведено.

   Теорема 9 (ознака Абеля). Якщо функція неперервна на проміжку , інтеграл збігається, функція обмежена на , та її похідна зберігає свій знак, то інтеграл збігається.

    Доведення. Оскільки зберігає свій знак, то функція монотонна, і за теоремою про границю монотонної та обмеженої функції існує скінченна границя , тому функція монотонно прямує до нуля при . Оскільки інтеграл збіжний, то функція   обмежена на . Тоді за ознакою Діріхле інтеграл . Але оскільки , то інтеграл також збіжний.

    Аналогічні твердження справджуються для невласних інтегралів II роду.

    Приклад. Дослідити на збіжність інтеграл

 , .

     Оскільки інтеграл при збіжний (п. 11, приклад 2), а функція обмежена та монотонна, то за ознакою Абеля  інтеграл збігається.

 

  1.  Приклади дослідження невласних інтегралів на абсолютну та

умовну збіжність.

                         

        Приклад 1. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність інтеграл

   .

       Зробимо заміну змінної , тоді , , тому

 .                                                                 (13.1)

Функція обмежена, а функції та монотонно прямують до нуля при , отже обидва інтеграли в (13.1) збіжні за ознакою Діріхле, отже інтеграл збіжний. Покажемо, що інтеграл , де , розбіжний. Дійсно, при ;  .

 Розглянемо інтеграл . Перший з цих інтегралів розбіжний, а другий збіжний за ознакою Діріхле, отже інтеграл розбіжний. Тоді за теоремою 2 інтеграл розбіжний, отже інтеграл збігається умовно.

   Приклад 2. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність інтеграл Френеля:

 .

   Маємо: , де , . Інтеграл – звичайний власний інтеграл Рімана, тому питання про збіжність інтеграла рівносильне питанню про збіжність інтеграла . В інтегралі зробимо заміну: . Тоді , , отже

 .

Звідси видно, що цей інтеграл збіжний за ознакою Діріхле (функція   обмежена, а функція монотонно прямує до нуля при ). Покажемо, що він збіжний умовно. Дійсно, оскільки , а інтеграл розбіжний (див. п. 11, приклад 1), то розбіжним є інтеграл , отже інтеграл збіжний умовно, а тоді збіжний умовно й інтеграл .

 Аналогічні висновки стосуються й другого інтеграла Френеля .

 Приклад 3. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність інтеграл

  .

 Пригадаємо (п. 10, приклад 5), що інтеграл

                                                                                                         збігається при та при , і розбіжний при всіх інших .

    Розглянемо окремо випадки.

  1.  . Оскільки ,  а інтеграл збігається, то інтеграл збігається абсолютно.
  2.  . Також інтеграл збігається абсолютно.
  3.  . Оскільки , і функція обме-

жена, то інтеграл збігається за ознакою Діріхле. Розглянемо:

 .

Перший з цих інтегралів розбіжний (обчислюється безпосередньо), а другий збіжний (за ознакою Діріхле). Таким чином інтеграл розбіжний, отже інтеграл збігається умовно.

  1.  . Оскільки , і функція об-

межена, то інтеграл збіжний за ознакою Діріхле. Розглянемо:

 .

Перший з цих інтегралів розбіжний, а другий збіжний (за ознакою Діріхле), отже інтеграл збіжний умовно.

  1.  . Інтеграл збіжний за ознакою Діріхле (функція моно-

тонно прямує до нуля при , функція обмежена).

 Розглянемо:

 .

Перший з цих інтегралів розбіжний, а другий збіжний за ознакою Діріхле, отже інтеграл збіжний умовно.

  1.  . У цьому випадку отримуємо інтеграл , який, оче-

видно, розбіжний.

  1.  . Позначивши , запишемо у вигляді:

.

    Доведемо наступний результат. Нехай функція неперервна та додатна на , . Тоді інтеграл розбіжний.

    Скористаємось критерієм Коші. Покажемо, що існує таке, що для будь якого знайдуться такі, що

 .                                                                                      (13.2)

Візьмемо для довільного натуральне число так, щоб . Тоді , і покладемо , . Оскільки на відрізку функція не змінює знаку та інтегровна, то на підставі теореми про середнє значення існує таке, що

 .

Тоді

 .

Оскільки , , то . Отже завжди можна обрати настільки великим, щоб . І тоді рівність (13.2) виконано, тобто згідно критерію Коші інтеграл розбіжний. З цього результату одразу ж випливає розбіжність інтеграла , оскільки функція при неперервна, додатна, і .

  1.  . Позначивши , запишемо інтеграл у вигляді:

 .

Функція при та неперервна, додатна, і . Тому на підставі того ж твердження, інтеграл розбіжний.

 Отже остаточно, інтеграл

при збігається абсолютно ;

при збігається абсолютно;

при збігається умовно;

при збігається умовно ;

при збігається умовно;

при розбігається;

при розбігається .

    У відомій кінострічці «Зустріч на далекому меридіані» за романом        Мітчела Уїлсона два головних персонажа фізики намагаються зясувати причини розбіжності у своїх дослідженнях між експериментальними даними і теоретичними результатами. І виявилося, що справа в тому, що вони не дослідили на збіжність один з інтегралів, що там виникало. А він оказався розбіжним, чого вони не врахували і працювали з ним як із збіжним. Ось для чого і фізикам доводиться займатися викладеними вище питаннями.

 

 

14. Обчислення площ плоских фігур.

    Визначений інтеграл має чисельні застосування у багатьох галузях знань – у геометрії, фізиці, механіці, хімії, біології, економіці та інших. Тут ми розглянемо застосування визначеного інтеграла для розвязання деяких геометричних задач.

    1.  Обчислення площ плоских фігур у прямокутній декартовій системі 

координат.

    Розглянемо фігуру, яку обмежено графіками функцій

та, де – неперервні на відрізку функції,  на відрізку , а також вертикальними прямими (рис. 8.6).

   Виходячи з геометричного змісту визначеного інтеграла, можемо стверджувати, що площа фігури  ABCD  дорівнює різниці площ двох криволінійних трапецій:   

 

.       (14.1)

Рис. 8.

    

     Приклади.

    1.   Обчислити площу фігури, яку обмежено лініями     (рис. 9).

 

Рис. 9.

На підставі формули (14.1) маємо:

 

.

    2.    Обчислити площу фігури, яку обмежено графіками функцій , (рис. 10).

Рис. 10.

Знайдемо спочатку межі інтегрування, як абсциси точок перетину графіків функцій ,  . Дорівняємо:

 

Або  . Розвязуючи це квадратне рівняння, отримаємо:

 .

Отже

 

.

    2. Обчислення площі фігури, обмеженої лініями, які задані параметрично.

    Нехай криволінійна трапеція обмежена кривою, заданою параметрично:

 ,

де – неперервні і неперервно диференційовні на проміжку функції. Якщо функція монотонна на і , , то площа криволінійної трапеції обчислюється за формулою:

.                                                                                         (14.2)

   Приклад. Обчислити площу, обмежену еліпсом , (рис. 11).

Рис. 11.

Очевидно, що шукана площа може бути знайдена як помножена на 4 площа її частини, що розташована у першому квадранті, адже еліпс – фігура, яка симетрична відносно обох координатних осей. Для цієї частини маємо:

,  . Тому:

.

    3. Обчислення площі фігури у полярній системі координат.

    Розглянемо фігуру , обмежену кривою, заданою у полярній системі координат і променями (рис. 12).

Рис. 12.

Така фігура називається криволінійним сектором. Обчислимо його площу. Розіб’ємо відрізок довільно обраними точками

на частинні відрізкі  . Фактично це означає, що кут ми розбили на частинні куточки. На кожному з відрізків оберемо довільну точку . І на кожному з частинних відрізків (куточків) побудуємо круговий сектор, який обмежено променями і дугою кола (рис. 13).

 

 

           Рис. 13.

Площа цього сектора дорівнює:

,                                                                                                         де . Сума є інтегральною сумою для функції на відрізку . Отже

.

Таким чином площа криволінійного сектора обчислюється за формулою:

.                                                                                           (14.3)

     Приклад. Обчислити площу, обмежену кардіоїдою (рис. 14)

Рис. 14.

    Кардіоїда – це траєкторія точки на колі, яке котиться по іншому колу того ж радіуса. Назва цієї лінії походить від грецького слова – серце, її форма нібито нагадує серце. Правда, декому щось інше.

    Фігура, обмежена кардіоїдою, симетрична відносно осі , тому її площу можна обчислити як подвоєну площу її верхньої частини. Для неї , тому

.

15.  Обчислення довжин дуг кривих ліній.

Нехай задано дугу графіка функції , яку будемо вважати

неперервною та неперервно диференційовною на відрізку (рис. 15)

Рис. 15.

   Розіб’ємо відрізок  довільно обраними точками ділення на частинні :

.

Відмітимо на графіку функції точки з абсцисами відповідно . З’єднаємо їх відрізками прямих ліній. Дістанемо ламану лінію , яку вписано в дугу . Позначимо периметр цієї ламаної через .

    Означення. Якщо існує і не залежить від способу вписування ламаної скінченна границя периметра цієї ламаної, коли найбільший її відрізок прямує до нуля, то крива називається спрямною, а величина цієї границі називається довжиною дуги і позначається

  .                                                                                          (15.1)

     Позначимо , , – довжину відрізка . Очевидно, що

.

    За теоремою Лагранжа на інтервалі   існує точка така, що

.

Тоді

,

.

Це є інтегральна сума для функції . Оскільки неперервна, функція також неперервна, і тоді існує границя (15.1):

.

Отже дістали формулу:

.                                                                                  (15.2)

     Приклад 1. Обчислити довжину дуги напівкубічної параболи на відрізку (рис. 16).

Рис. 16.

  Маємо: . Отже

.

     Приклад 2. Обчислити довжину графіка функції на відрізку .

  Маємо: . Отже

.

     Якщо криву задано параметрично:   , де – неперервно диференційовні на проміжку  функції, то:

.                                                                        (15.3)

     Приклад. Обчислити довжину однієї арки циклоїди, яка має параметричні рівняння:

  .

     Циклоїда – це лінія, яку описує точка на колі радіуса , яке котиться вздовж прямої лінії. У якості параметра виступає кут поворота кола (рис. 17).

Рис. 17.

     За формулою (15.3) маємо:

  

.

     Якщо криву задано у полярній системі координат , де – неперервно диференційовна на функція, то можна довести, що

 .                                                                       (15.4)

     Приклад. Обчислити довжину дуги логарифмічної спіралі   за умовою (рис. 18).   

                   Рис. 18.

    Внаслідок того, що  , дістаємо: , отже за формулою (15.4) матимемо:

 

через те, що . Зауважимо, що інтеграл, який тут виникає – невласний 1-го роду.

16. Обчислення обємів тіл.

    Розглянемо деяке тіло (рис. 19). Позначимо через площу перерізу цього тіла площиною, яка проходить перпендикулярно деякій осі через точку з координатою на цій осі .  

  Розіб’ємо відрізок на частинні відрізки точками:

 

Рис. 19.

і проведемо через ці точки площини, перпендикулярні відрізку . На кожному з частинних відрізків оберемо довільну точку . Площини розбивають наше тіло на елементарні циліндри . Площа основи циліндра дорівнює , а висота . Сумарний об’єм всіх циліндрів:

    .

    Границя цієї суми при (якщо вона існує) називається об’ємом даного тіла. Очевидно, що – це інтегральна сума для функції , отже об’єм тіла :

  .

     Таким чином доведено формулу:

     .                                                                                           (16.1)

     Розглянемо, зокрема, об’єм тіла, яке утворено обертанням фігури, обмеженої графіком функції , відрізком осі та прямими та   , навколо осі (рис. 20).  

Рис. 20.

  Тоді площа перерізу , і згідно з формулою (16.1):

  .                                                                                       (16.2)

   

     Якщо така ж сама фігура обертається навколо осі , то можна довести, що обєм утвореного тіла дорівнює:

 .                                                                                       (16.3)

    Нехай тепер рівняння лінії, що обмежує нашу фігуру, задано у параметричній формі: , , , причому функція припускається неперервно диференційовною, а функція   – неперервною на відрізку . Тоді, якщо фігура обертається навколо осі , то об’єм утвореного тіла дорівнює:

 .                                                                                   (16.4)

 Якщо та ж сама фігура обертається навколо осі , то об’єм утвореного тіла дорівнює:

 .                                                                            (16.5)

 Нарешті розглянемо у полярній системі координат фігуру, яку обмежено променями , () та графіком функції . Тоді об’єм тіла, утвореного обертанням цієї фігури навколо полярної осі, дорівнює:

 .                                                                             (16.6)

    Приклади.

   1.    Знайти об’єм еліпсоїда

.

У перерізі еліпсоїда площиною, паралельною площині на відстані

від неї утворюється еліпс:

  ,

або:

  .

  Півосі цього еліпса , і його площа дорівнює (див. приклад після формули (14.2)):

  .

  Тому за формулою (16.1) маємо:

  

(перевірте самостійно). Зокрема, якщо , дістаємо формулу об’єму кулі:

  .

   2.   Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням графіка функції навколо відрізка осі .

  За формулою (16.2) маємо:

  .

     3.   Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої графіком функції , відрізком осі , та прямими , : а) навколо осі ; б) навколо осі .

     Обєм тіла, утвореного обертанням даної фігури навколо осі , знайдемо за формулою (16.2):

 .

    Обєм тіла, утвореного обертанням тієї ж фігури навколо осі , знайдемо за формулою (16.3):

   .

   4.   Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої аркою циклоїди , , навколо: а) осі ; б) осі .

    Обєм тіла, утвореного обертанням навколо осі , знайдемо за формулою (16.4):

  .

    Обєм тіла, утвореного обертанням навколо осі , знайдемо за формулою (16.5):

                                                           (обчислення інтегралів перевірте самостійно).

    5.  Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої кардіоїдою , , навколо полярної осі.

   Внаслідок симетрії кардіоїди відносно полярної осі (рис. 14), тіло, яке утворено обертанням всієї кардіоїди навколо полярної осі, співпаде з тілом, яке утворено обертанням тільки верхньої половини кардіоїди, яка відповідає зміні кута від до . Тоді, користуючись формулою (16.6), дістанемо:

  .

17. Обчислення площ поверхонь тіл обертання.

      Нехай графік неперервної та неперервно диференційовної функції обертається навколо відрізка осі . Тоді площа поверхні утвореного таким чином тіла знаходиться за формулою:

  .                                                              (17.1)

  Якщо криву задано в параметричній формі , де – неперервно диференційовні на відрізку функції, причому , то

  .                                                   (17.2)

    Якщо криву задано рівнянням у полярній системі координат , , то площа поверхні тіла, яке утворено обертанням фігури, обмеженої графіком функції та променями , навколо полярної осі, дорівнює:

 .                                               (17.3)

     Приклади.

    1.  Знайти площу поверхні параболоїда, утвореного обертанням навколо осі дуги параболи (рис. 21).  

Рис. 21.

  Маємо:

  ,

і згідно з формулою (17.1):

  

   .

    2.  Знайти площу поверхні еліпса з півосями і ().

    Запишемо рівняння еліпса в параметричній формі: , . Введемо до розгляду ексцентриситет еліпса: . Шукану площу можна отримати як подвоєну площу поверхні тіла, утвореного обертанням чверті еліпса, розташованої у 1-му квадранті, навколо осі . Отже згідно з формулою (17.2) маємо:

 

.

Зокрема, з цієї формули при () отримується формула площі поверхні сфери радіуса :.

   3.  Знайти площу поверхні тіла, утвореного обертанням лемніскати Бернуллі навколо полярної осі.

   Шукану площу знайдемо як подвоєну площу поверхні тіла, утвореного обертанням чверті лемніскати, розташованої у 1-му квадранті, тобто . Згідно з формулою (17.3) маємо:

 

.

 

18. Фізичні застосування визначеного інтеграла.

   Припустимо, що треба визначити деяку сталу величину (геометричну, фізичну, або якусь іншу), яка пов’язана з проміжком . При цьому припускається наступне.

   Розіб’ємо відрізок точками ділення на частинні відрізки  . Тоді відповідним чином розбивається і величина , тобто кожному з відрізків   відповідає величина  , і виконана рівність:

    .

  Легко помітити, що всі величини, які ми обчислювали у п.8 (площа фігури, довжина дуги, об’єм тіла) задовольняють це припущення.

  Така властивість величини називається адитивністю.

   Схема застосування визначеного інтеграла до задач механіки і фізики (як, власне, і геометрії) полягає у наступному: розглянемо деякий елементарний відрізок довжини , що належить відрізку . Цьому проміжку відповідає елемент величини . Виходячи з умов задачі, намагаються знайти для наближений вираз , який лінійний відносно , тобто віділяють з його головну частину – диференціал .

  

Відносна помилка цієї наближеної рівності, а саме величина прямує до нуля разом з .

Тоді кожному з частинних проміжків буде відповідати наближене значення , . І шукана величина наближено буде дорівнювати:

  .

Права частина цієї рівності – інтегральна сума для функції . Отже точне значення величини може бути подано інтегралом

  .                                                                                              (18.1)

Можна виходити також з рівностей , інтегруючи останню рівність у межах від до , отримаємо (18.1).

   Слід в той же час відмітити, що у реальних фізичних задачах розбиття відрізку на як завгодно малі відрізки принципово неможливо. Справа у тому, що величини цих відрізків залежать від конкретних умов. Наприклад, внаслідок атомістичної структури речовини ця величина не може бути зробленою меншою, ніж деяка задана величина. А тому граничний перехід при не може бути виконано до кінця. Це означає, що точна рівність (18.1) – деяка ідеалізація. Фактично в фізичних задачах під інтегралом розуміється не границя послідовності інтегральних сум, а сума великого числа достатньо малих доданків.

   1.  Обчислення пройденого шляху. 

   Нехай точка рухається вздовж деякої осі, і миттєва швидкість цієї точки у момент часу дорівнює . Треба знайти шлях, який пройде точка від моменту часу до моменту .

   Якби швидкість була сталою величиною (), така задача розв’язувалась би дуже просто: . Але – змінна величина.

   Розіб’ємо відрізок на частинні   і в кожному з них оберемо довільну точку (момент часу) . Відрізки ці можна обрати настільки малими, що швидкість за цей малий проміжок часу не встигає суттєво змінитися, і тоді на кожному з відрізків швидкість наближено можна вважати сталою. І тоді шлях, пройдений точкою за цей проміжок часу наближено дорівнює , а весь шлях:

  .

  Переходячи тепер до границі при , отримаємо:

  .                                                                                                  (18.2)

    Приклад. Миттєва швидкість точки . Знайти шлях, який точка пройшла від моменту часу до .

      Згідно з формулою (18.2) маємо:

  .

   2.  Обчислення роботи сили.

   У п. 2 ми визначили, що робота сили , що діє вздовж напряму руху на відрізку , обчислюється за формулою

  .                                                                                              (18.3)

    Приклад 1. Обчислити роботу, яку треба затратити, щоб тіло маси підняти з поверхні Землі вертикально вгору на висоту , якщо середній радіус Землі дорівнює .

    Згідно з законом Ньютона, сила притягання тіла Землею дорівнює:

  ,

де – маса Землі, – гравітаційна стала, – відстань від центра тіла до центра Землі (рис. 22).   

      

 

 

Рис. 22.

 

      Якщо , тобто тіло знаходиться на поверхні Землі, то – вага тіла, тобто:

  .

Звідси:

  .

За формулою (18.3) маємо:

  .

   Приклад 2. Знайти роботу, яку треба витратити, щоб викачати воду з резервуару, що має форму прямого кругового циліндра з радіусом основи та висотою .  

  За один цикл роботи насосу рівень води, що знаходиться на відстані від верхньої основи резервуару під дією сили тяжіння знизився на величину (рис. 23).

                         Рис. 23.

При переміщенні шару води товщиною на відстань виконується робота:

    .

Інтегруючи цю рівність у межах від 0 до , отримаємо шукану роботу:

    .

    Приклад 3. Знайти роботу, яку треба витратити, щоб викачати воду з конічного резервуару, оберненого вершиною вниз. Радіус основи конуса , а висота .

    Задача відрізняється від попередньої лише тим, що інакше буде обчислюватися елемент об’єму . У цьому випадку (рис. 24):

                              Рис. 24.

    ,                                                                                                         де

     .

Тоді аналогічно попередній задачі маємо:

    .

Інтегруючи цю рівність у межах від 0 до , отримуємо:

    .

    

  3. Обчислення маси і координати центру ваги неоднорідного стрижня.

    Розглянемо неоднорідний стрижень, розташований на відрізку осі (рис. 25) .

 

Рис. 25.

    Нехай – лінійна густина стрижня у точці з координатою  . Треба знайти масу стрижня.

    Виділимо на елементарний відрізок . Тоді елемент маси на цьому відрізку наближено дорівнює

    .

    Інтегруючи в межах від до , дістаємо:

    .                                                                                           (18.4)

    Для обчислення координати центра ваги стрижня користуються формулою:

     .                                                                                       (18.5)

    Приклад. Обчислити масу і координату центра ваги стрижня, розташованого на відрізку , якщо його лінійна густина  

     .

    Згідно з формулою (18.4) маємо:

    .

    Згідно з формулою (18.5):

    

.

  1.  Обчислення тиску рідини на вертикально занурену пластину.

    Розглянемо вертикальну пластину, яку занурено у рідину на глибині . Введемо систему координат , причому вісь напрямимо горизонтально по поверхні рідини, а вісь – вертикально вниз. Пластину будемо вважати плоскою фігурою, обмеженою лініями і графіками функцій (рис. 26).   

    Треба знайти повний гідростатичний тиск на пластину. Згідно з законом Паскаля6  тиск рідини на горизонтальну площадку дорівнює:

    ,

де – густина рідини, – глибина занурення, – прискорення вільного падіння, – площа пластини. Якщо пластина вертикальна, то її різні точки лежатимуть на різних глибинах, і цією формулою безпосередньо користува-

тися не можна. Виділимо елементарну площадку шириною , яка лежить на глибині ; наближено її можна вважати прямокутною за рахунок малості величини , тоді її елементарна площа:

.

    Елементарний тиск на цю площадку дорівнює

    .

Інтегруючи в межах від до , дістаємо шуканий тиск на всю пластину:

  .                                                                  (18.6)

        Рис. 26.

     Розглянемо приклади.

    Приклад 1. Нехай пластина має формі напівкруга радіуса , і діаметр круга знаходиться на поверхні рідини (рис. 27).

    

 

                           Рис. 27.

    Легко дістаємо: ,  ,  , і згідно з формулою (18.6):

    

(обчислення інтеграла перевірте самостійно).

    Приклад 2. Нехай пластина має форму рівнобедреного трикутника з основою і бічними сторонами, довжина яких дорівнює , причому основа знаходиться на поверхні рідини (рис. 28).  

                             Рис. 28.

    Легко зрозуміти, що у цьому випадку , де

    .

    Далі:

    ,

і згідно з формулою (18.6) матимемо:

    

(обчислення інтеграла перевірте самостійно).

2.  Обчислення часу витікання рідини з отвору.

    Розглянемо резервуар, що має форму тіла, утвореного обертанням графіка функції навколо відрізку осі , причому вісь напрямимо вертикально вниз,а вісь – горизонтально вправо (рис. 29). В дні цього резервуару є круглий отвір радіусу . Треба обчислити, за який час рідина, яка цілком заповнює резервуар, вся витече через цей отвір.

   Скористаємось формулою Торрічеллі7, яка виражає швидкість витікання рідини з отвору в резервуарі, що знаходиться на відстані нижче рівня рідини:

 ,                                                                                                             де – прискорення вільного падіння, а – коефіцієнт, який залежить від властивостей рідини (для води ).

Рис. 29.

     Нехай – довільна точка відрізку . Припустимо, що за час рівень рідини у резервуарі за рахунок витікання з отвору змінився з на величину . Знайдемо обєм рідини, що витекла за час . З одного боку цей обєм наближено дорівнює обєму циліндра висотою і радіусом :

 .

    З іншого боку цей самий об’єм дорівнює об’єму циліндра радіусом і висотою (шлях, пройдений рідиною, що витікає з отвору, за час ):

 .

Тоді з урахуванням формули Торрічеллі, з точністю до величин порядку :

 .

Або:

  .

Інтегруючи цю рівність у межах від 0 до , отримуємо шуканий час:

  .                                                                             (18.7)

   Помітимо, що інтеграл у правій частині формули (18.7) є невласним інтегралом II роду, особлива точка . Треба, щоб цей інтеграл був збіжним.

   Приклад. За який час вода витече з резервуару, що має форму півкулі радіусу через круглий отвір радіусу у його дні?

    У даному випадку маємо: , . Згідно з формулою (18.7):

 

.

19. Наближене обчислення визначених інтегралів.

    У багатьох випадках для обчислення визначеного інтеграла ми не маємо можливості користуватися формулою Ньютона–Лейбніца, оскільки первісні від підінтегральних функцій не завжди можна виразити в елементарних функціях, наприклад, первісні таких функцій:

    ,

В таких випадках (і не тільки в таких) інтеграли обчислюють наближено. Існує велика кількість так званих квадратурних формул, тобто формул для наближеного обчислення інтегралів. Познайомимось з деякими з них. Ідея їх використання полягає у тому, що графік підінтегральної функції замінюється новою лінією, більш простою, але близькою до заданої. І замість криволінійної трапеції, яку обмежено графіком функції , ми отримуємо іншу фігуру, «близьку» до неї, але площа якої обчислюється простіше.

  1.  Формула прямокутників.

    Нехай треба обчислити інтеграл

                                                                                                      (19.1)

від неперервної на відрізку функції .

    Поділимо відрізок на рівних частин точками , де , ,  . Позначимо . На кожному з частинних відрізків побудуємо прямокутник, основою якого є цей частинний відрізок, а висота дорівнює – значенню функції у лівій межі частинного відрізка (рис. 30).

    Рис. 30.

    Площа цього прямокутника дорівнює:  

    .

    Внаслідок такої побудови дістанемо ступінчату фігуру, площа якої наближено дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції . Таким чином площа цієї фігури і буде наближеним значенням інтеграла (19.1):  

    .                                                 (19.2)

    Формула (19.2) називається формулою лівих прямокутників.  

    Побудуємо тепер на кожному відрізку прямокутник, висота якого дорівнює значенню функції у правій межі відрізку , тобто (рис. 31):

Рис. 31.

Тоді дістанемо формулу правих прямокутників:

    .                                                      (19.3)

    Нарешті, якщо висотами прямокутників будуть значення функції у серединах відрізків, тобто (рис. 32), то дістанемо формулу середніх прямокутників:

                                  Рис. 32.

    .                                                         (19.4)

  1.  Формула трапецій.

    Замінимо тепер графік функції ламаною лінією, з’єднавши точки з координатами відрізками прямих (рис.33).  

                            Рис. 33.

    Тоді на кожному частинному відрізку буде побудовано трапецію. Площа трапеції, побудованої на відрізку , дорівнює:

    .

    За наближене значення інтеграла (19.1) беремо суму площ всіх трапецій, тобто:

    .                                (19.5)

    Формула (19.5) називається формулою трапецій.

  1.  Формула парабол (Сімпсона8).

    У формулах прямокутників і трапецій ми замінювали графік функції відрізками прямих ліній. Щоб підвищити точність, використаємо криву лінію, наприклад, параболу.

    Спочатку доведемо, що через три різні точки , , , які не лежать на одній прямій, можна провести параболу   і лише одну.

    Дійсно, підставляючи координати точок у рівняння параболи, дістанемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно коефіцієнтів , , :

    

                                                                                    (19.6)

    Визначник цієї системи

    

є визначником Вандермонда, і він дорівнює . Тому система (19.6) має єдиний розв’язок, а це означає, що коефіцієнти параболи визначаються однозначно.

    Розв’яжемо систему (19.6) для точок , , . Дістанемо:

    .      

    Знайдемо площу криволінійної трапеції, обмеженої параболою, що проходить через точки , і прямими (рис. 34).

Рис. 34.

    

.

    Розглянемо тепер криволінійну трапецію, обмежену кривою . Якщо через точки

провести параболу, то по доведеному:

     ,                                                         (19.7) де . Але якщо відрізок досить великий, то формула (19.7) буде давати значну похибку. Тоді розіб’ємо відрізок на парне число однакових частин, а криволінійну трапецію на частинних криволінійних трапецій і до кожної з них застосуємо формулу (19.7).

    Додаючи почленно отримані таким чином наближені рівності, дістанемо формулу Сімпсона:

 

.                                                                             (19.8)

    Можна довести, що якщо функція має другу неперервну похідну, і , то похибка формул (19.2) – (19.5) не перевищує величини

     ,

а похибка формули (19.8) – величини

     .

 

    Приклади.

  1.  Продемонструємо спочатку застосування формул (19.2) , (19.5), (19.8) на прикладі інтеграла, який обчислюється точно:

         

(перевірте самостійно), що наближено (з 5 знаками після коми) дорівнює 0.60948.

    Розіб’ємо відрізок на 10 рівних частин точками   і складемо таблицю, до якої занесемо та  .

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0

0,10050

0,20396

0,31321

0,43081

0,55902

0,69971

0,85446

1,02450

1,21083

1,41421

    Застосування формули лівих прямокутників (19.2) дає результат:

    .

    Застосування формули трапецій (19.5) дає результат:

    .

    Застосування формули Сімпсона (19.8) дає результат:

    .

    Як бачимо, з розглянутих формул найточніший результат дає формула Сімпсона.

  1.  Розглянемо тепер інтеграл від функції, первісна від якої не виражається в елементарних функціях:

       .   

    Розіб’ємо відрізок на 10 рівних частин точками   і складемо таблицю, до якої занесемо та  :

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1

1,00005

1,00080

1,00404

1,01272

1,03078

1,06283

1,11360

1,18727

1,28690

1,41421

    Застосування до цього інтеграла формули Сімпсона дає результат

    .

    Помилка цього результату не перевищує 0,000012.


    
Контрольні питання.

  1.    Які задачі приводять до поняття визначеного інтеграла?
  2.    Чи можна визначити визначений інтеграл як границю інтегральної

суми при прямування числа частинних відрізків до нескінченності?

  1.    Чи є обмеженість підінтегральної функції на проміжку інтегрування

достатньою умовою існування визначеного інтеграла?

  1.    Чи є неперервність підінтегральної функції на проміжку інтегрування

достатньою умовою існування визначеного інтеграла?

  1.    Що таке верхня і нижня суми Дарбу. У чому полягає критерій інте-

  ровності функції на відрізку?

  1.    Які основні властивості визначеного інтеграла?
  2.    У чому полягає теорема про середнє значення для визначеного інте-

грала?

  1.    Що таке інтеграл зі змінною верхньою межею?
  2.    Чи завжди похідна від інтегралу зі змінною верхньою межею буде

  дорівнювати підінтегральній функції?

  1.     Чи можна формулу Ньютона-Лейбніца прийняти за означення виз-

       наченого інтеграла, як це іноді робиться у шкільних підручниках?

  1.     Які особливості застосування методу заміни змінної для визначеного

  інтеграла порівняно з невизначеним інтегралом?

  1.    Що таке невласні інтеграли I роду? Що таке невласні інтеграли II 

роду? Який між ними звязок?

  1.    Що таке абсолютна та умовна збіжність невласних інтегралів?
  2.    Які існують ознаки збіжності невласних інтегралів?
  3.    У чому полягає основний принцип застосування визначеного інтег-

  рала до задач геометрії та фізики?

  1.  .  Які існують геометричні застосування визначеного інтеграла?

     17.  Які існують фізичні застосування визначеного інтеграла?

     18.  Які існують методи наближеного обчислення визначених інтегралів?
    
Вправи для самостійної роботи.

  1.  Обчислити інтеграл за допомогою формули Ньютона–Лейбніца.

1) ,   2) ,   3) ,   4)  ,

5) ,   6) ,   7) ,   8) ,

9) ,     10) ,     11) ,      12) ,

13) ,   14) ,   15) ,   16) .

17) ,   18) ,   19) ,   20) ,

21) ,   22) ,   23) ,

24) ,   25) ,   26) ,   27) .

   2. Обчислити визначений інтеграл за допомогою метода заміни змінної.

1) ,       2) ,        3) ,       4) ,

5) ,   6) ,   7) ,   8) ,

9) ,   10) ,  11)   ,  12) ,

13) ,   14) ,   15) ,   16) .

   3. Обчислити визначений інтеграл методом інтегрування за частинами.

 1) ,     2) ,     3) ,    4) ,

5) ,     6) ,     7) ,      8) ,

9) ,   10) .   11) ,   12) ,

13) ,   14) ,   15) ,   16) .

4. Обчислити невласний інтеграл I роду або встановити його розбіжність.

1) ,  2) ,  3) ,  4) ,  5) ,

6) ,  7) ,  8) ,  9) ,

10) ,  11) ,  12) ,  13) ,

14) ,  15)  ,  16) ,  17) .

  5. Обчислити невласний інтеграл II роду або встановити його розбіжність.

  1) ,   2) ,   3) ,  4) ,  5) ,

  6)   ,  7) ,   8) ,  9) , 10)  ,

 11) ,  12) ,  13) ,  14) ,

 15) ,  16) ,  17) ,  18) .

  6. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність невласний інтеграл.

 1) ,  2) ,  3) ,  4) .

 5) ,  6) ,  7) ,  8) ,

 9) ,  10) ,  11) ,  12) ,

 13) ,  14) ,  15) ,  16) .

7. Обчислити площу фігури, обмеженої графіками функцій в прямокутній декартовій системі координат.

1) ,    2) ,  3) ,

4) ,      5) ,

6) ,   7) ,  8) ,

9) ,    10) ,  11) .

 8. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями, заданими рівняннями в параметричній формі.

1) , , ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) .

 9. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями, заданими рівняннями в полярній системі координат.

1) ,  2) ,  3) ,   4)  ,  

5) ,  6)  ,  ,

7) ,      8) ,   ,

9) ,  10) .

 10. Обчислити довжину дуги кривої, заданої в прямокутній декартовій системі координат.

1) ,  2) ,  3) ,

4) ,    5) ,  

6) ,  7) ,

8) ,  9) ,

10) .

 11. Обчислити довжину дуги кривої, заданої рівнянням в параметричній формі.

1) ,

2) ,

3) ,  4) ,

 5) ,   6) ,

7) ,

8) ,

9) ,  10) .

 12. Обчислити довжину дуги кривої, заданої рівнянням в полярній системі координат.

1) ,  2) ,  3) ,

4)  ,  5) , 6) ,

7) ,  8) ,

9) ,  10) .

      13. Знайти площу поверхні тіла, утвореного обертанням навколо осі кривої, заданої рівнянням в прямокутній декартовій системі координат.

  1.  ,  2) ,

3)  ,  4) ,

5) ,  6) ,

7) ,   8) ,

9) ,   10) .

 14. Знайти площу поверхні тіла, утвореного обертанням навколо осі кривої, заданої рівнянням у параметричній формі.

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .

 15. Знайти площу поверхні тіла, утвореного обертанням навколо полярної осі кривої, заданої рівнянням в полярній системі координат.

1) ,  2) ,  3) ,

4) ,  5) ,

6) ,  7) ,

8) ,  9) ,  10) .

 16. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо вказаної осі фігури, обмеженої лініями, заданими рівняннями в прямокутній декартовій системі координат.

1) навколо осі ,

2)   навколо осі ,

3)  навколо осі ,

4)  навколо осі ,

5)     навколо осі ,

6)   навколо осі ,

7)   навколо осі ,

8)   навколо осі ,

9)  навколо осі ,

10) навколо осі .

 17. Знайти масу і координату центра ваги стрижня, розташованого на заданому відрізку осі , якщо відома його лінійна густина у кожній точці відрізку.

1) ,  ,  2) ,  3) ,

4) ,   5) .

 18. Знайти шлях, пройдений матеріальною точкою від моменту до моменту , якщо відома її миттєва швидкість .

 1) ,   2) ,

3) ,  4) .

 19. Знайти тиск рідини на вертикально занурену в неї платівку, якщо задано форму платівки.

1) півкруг, діаметр якого і знаходиться на поверхні рідини;

2) рівнобічна трапеція, менша основа якої дорівнює і лежить на поверхні рідини, більша основа дорівнює , висота ;

3) рівнобічна трапеція, більша основа якої дорівнює і лежить на поверхні рідини, менша основа дорівнює , висота ;

4) рівнобедрений трикутник з основою і бічними сторонами, довжина кожної з яких дорівнює , причому вершина трикутника знаходиться на поверхні рідини, а основа паралельна поверхні;

5) рівнобедрений трикутник з основою і бічними сторонами, довжина кожної з яких дорівнює , причому основа знаходиться на поверхні рідини.

20. Резервуар, який має форму циліндра, радіус основи якого , а висота , цілком заповнений водою. Знайти час, на протязі якого вся вода витече з резервуару через круглий отвір у його дні, площа якого дорівнює .

21. Резервуар, що має форму параболоїда обертання, утвореного обертанням параболи навколо відрізка осі , цілком заповнений водою. Знайти час, за який вся вода витече з резервуару через круглий отвір у його дні, площа якого дорівнює 4 кв. од.

 22. Обчислити інтеграл наближено за формулою Сімпсона, розбиваючи відрізок інтегрування на 10 рівних частин. Оцінити похибку. Порівняти знайдене наближене значення з його точним значенням.

1) ,  2) ,   3) ,  4)  .

 

Рекомендована література.

Базова.

  1.  Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа. М.: Наука, 1988.
  2.  Зорич В. А. Математический анализ. Ч.I. М.: Фазис, 1997.
  3.  Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 1.

М.: Наука, 1978.

  1.  Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Астрель, 2004.

Допоміжна

  1.  Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчис-

ления. Т. 2. М.: Наука, 1970.

 2. Ильин В. А. Позняк Э. Г. Основы математического анализа.

    Т. 1. М.: Наука, 1982.

3. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 1. М.: ВШ, 1988.

2 Діріхле Петер Густав Лежен (1805–1859) – німецький математик.

3 Дарбу Жан Гастон (1842–1917) – французький математик.

4* Ньютон Ісаак (1643–1727) – видатний англійський математик і фізик.

 Лейбніц Готфрід Вільгельм (1646–1716) – німецький математик, філософ і дипломат.

5* Пуассон Сімеон Дені (1781–1840) – французький математик, механік і фізик.

6  Паскаль Блез (1623–1662) – французький математик, фізик і філософ, один з творців інтегрального зчислення, а також теорії ймовірностей.

7 Торрічеллі Еванджеліста (1608–1647) – італійський фізик та математик.

8 Сімпсон Томас (1710–1761) – англійський математик.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4297. Явление дифракции электромагнитных волн 118 KB
  Цель работы. Исследовать явление дифракции электромагнитных волн. С помощью дифракционной решетки проходящего света измерить длины электромагнитных волн видимого диапазона. Основные теоретические сведения Дифракцией называется совокупность явлений...
4298. Кинематическая схема привода конвейера 341 KB
  Введение В данном курсовом проекте рассматривается кинематическая схема привода конвейера. В первой части курсового проекта производится кинематический расчет и построение планов скоростей и ускорений (первый лист). Во втором части производится кине...
4299. Проектирование токарного станка с ЧПУ на базе модели 16К20Ф3 57.29 KB
  Введение Данная работа предполагает проектирование токарного станка-аналога на базе станка 16К20ФЗ. Проектируемый станок должен отвечать всем требованиям современного станкостроения, основными из которых являются: повышение производительности ...
4300. Жилое 9 – ти этажное здание в застройке микрорайона г. Самара 73 KB
  Архитектурно-строительная часть Исходные данные для проектирования Настоящий проект разработан на основании задания преподавателя и предусматривает строитель...
4301. Язык СИ++ Учебное пособие 2.73 MB
  Предисловие Язык программирования Си++ был разработан на основе языка Си Бьярном Страуструпом и вышел за пределы его исследовательской группы в начале 80-х годов. На первых этапах разработки (1980 г.) язык носил условное назв...
4302. Разработка блок-схемы алгоритма решения задачи 312 KB
  Разработка блок-схемы алгоритма решения задачи Цель работы: изучение графического способа описания алгоритма решения задачи. Задачи работы: ознакомиться с основными способами представления алгоритмов освоить графический способ опи...
4303. Разработка простейшей программы на языке С++ 140 KB
  Разработка простейшей программы на языке С++ Цель работы: получение начальных знаний и практических навыков по разработке программ на языке С++. Задачи работы: ознакомиться с понятием системы программирования и возможностями различных ин...
4304. Программная реализация алгоритмов линейной структуры 224.5 KB
  Программная реализация алгоритмов линейной структуры Цель работы: изучение основных средств языка программирования С++, необходимых для кодирования алгоритма линейной структуры, реализующего вычисления по математическим формулам. Задачи ...
4305. Программная реализация разветвляющихся алгоритмов 311.5 KB
  Программная реализация разветвляющихсяалгоритмов Цель работы: изучение основных средств языка программирования С++, необходимых для кодирования алгоритма с разветвляющейся структурой. Задачи работы: изучить написание ло...