44519

Векторы и функции

Шпаргалка

Математика и математический анализ

Векторы и называются ортогональными, если угол между ними равен. Условие ортогональности векторов и если их скалярное произведение равно нулю. Векторы образуют ортонормированный базис линейного пространства, если эти векторы взаимно ортогональны и их длины равны единице.

Русский

2014-03-28

849.9 KB

3 чел.

  1. Математика
    Вопрос 1. Базис и координаты вектора. Операции над векторами в координатной форме.

Вектором называется направленный отрезок и обозначается или . Вектор характеризуется направлением и модулем (длиной) или координатами.

Пусть в ортонормированном базисе начало вектора находится в точке , а конец в точке . Тогда координаты вектора определяются по формуле:

.                                            (2.1)

Модуль вектора в базисе вычисляется по формуле

.                                                                                   (2.2)

Над векторами и можно совершать следующие линейные операции:

– сложение (вычитание): ;

– умножение вектора на число: , где – некоторое число.

Вопрос 2. Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина вектора и угол между векторами. Условие ортогональности векторов. Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе

Скалярным произведением двух векторов и называется число, обозначаемое символом , и удовлетворяющее условиям:

1)  Скалярное произведение обладает переместительным свойством

2) ;Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя.

3) Скалярное произведение обладает распределительным свойством

4)

Длиной или нормой любого вектора называют арифметическое значение корня квадратного из скалярного квадрата :

.

Угол между векторами определяется как угол, изменяющийся в пределах от 0 до радиан (от до ). Косинус угла между векторами и вычисляется по  формуле

откуда следует: .

        Векторы и называются ортогональными, если угол между ними равен . Условие ортогональности векторов и : если их скалярное произведение равно нулю:

        Векторы образуют ортонормированный базис линейного пространства, если эти векторы взаимно ортогональны и их длины равны единице.

Пусть векторы образуют ортонормированный базис линейного пространства. Тогда координаты векторов и в этом ортонормированном базисе записывают в виде

,

а их скалярное произведение и длины векторов принимают наиболее простую форму:

,    (2.4)

Косинус угла между векторами и в произвольном ортонормированном базисе вычисляется по формуле

         

  1.  Вопрос 3 Векторное произведение векторов и его свойства. Векторное произведение векторов в координатной форме. Коллинеарные векторы. Условие коллинеарности двух векторов. Геометрический смысл векторного произведения векторов.

Векторным произведением векторов и называется вектор , обозначаемый как , который удовлетворяет следующим трем условиям:

1);                                                                             (2.6)

2) и ;

3) тройка векторов , , – правая.

Если заданы координаты векторов и в ортонормированном базисе , то их векторное произведение вычисляется по формуле

                                    (2.7)

Свойства векторного произведения:

1) ;

2) , где – некоторое число;

3) .

Коллинеарные векторы это векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой). Коллинеарные векторы могут иметь одно и тоже направление(равнонаправленные вектора) или противоположные.

  1.  Два вектора коллинеарные, если отношения их координат равны.
  2.  Два вектора коллинеарные, если их векторное произведение равно нулю.

Так в случае плоской задачи вектора (вектор а)=

и (вектор b)=, коллинеарные если  

 Так в случае пространственной задачи вектора (вектор а)=

и (вектор b)=, коллинеарные если   =  

Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения векторов и численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах:                    

.                                                                            

  1.  Вопрос 4 Смешанное произведение трех векторов и его свойства. Смешанное произведение в координатной форме. Компланарные векторы, условие компланарности трех векторов. Геометрический смысл смешанного произведения векторов.

Смешанным произведением трех векторов а, b, с называется число, равное скалярному произведению вектора [а; bна вектор с.

Смешанное произведение векторов a, b и с обозначается (а; b; с). Следовательно,

(а; b;с) = | [а; b] | • |с | • cos ψ,                   

где ψ — угол между векторами [а; b] и с

Теорема 1. Модуль смешанного произведения трех некомпланарных векторов а, b и сравен объему параллелепипеда, построенного на векторах-множителях.

Теорема 2. Смешанное произведение трех векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны.

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.

Условия компланарности векторов

  1.  Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.
  2.  Три вектора компланарны если они линейно зависимы.

Геометрический смысл смешанного произведения: модуль смешанного произведения векторов ,, численно равен  объему параллелепипеда, построенного на векторах ,, как на сторонах:

.          

                  

  1.  Вопрос 5 Понятие об уравнениях поверхности и линии. Канонические уравнения сферы, эллипсоида, цилиндра, конуса, однополостного и двуполостного гиперболоида, эллиптического и гиперболического параболоида. Канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы, их геометрические свойства: директриса, фокус, эксцетриситет.

Поверхность в пространстве, как правило, можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в точке О1 есть геометрическое место всех точек пространства, находящихся от точки О1 на расстоянии R.

Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей или как геометрическое место точек, общих двум поверхностям.Если F1(x; y; z)=0 и F2(x; y; z)=0 – уравнения двух поверхностей, определяющих линию L, то координаты точек этой линии удовлетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными

Каноническое уравнение сферы:

Сфера радиуса R с центром в начале координат 

x2+y2+z2=R2.  

Элипсоид

+ +=1 (a>0, b>0, c>0).

Конус

+ +=0

Однополостный гиперболоид

 + +=1

Двуполостный гиперболоид

+ +=-1

Эллиптического параболоида

+ =2z

 Гиперболического параболоида

- =2z

Окружность 

     Окружность радиуса R с центром в начале координат:

     Уравнение касательной к окружности в произвольной точке 

     Параметрические уравнения: 

     Окружность радиуса R с центром в точке C(a; b):

Эллипс

     Каноническое уравнение: 

     Эксцентриситет: 

Уравнения директрис: 

Гипербола

Каноническое уравнение: 

 Эксцентриситет: 

  Уравнения директрис: 

Парабола

Каноническое уравнение: 

     Эксцентриситет: 

    Уравнение директрисы: 

  

Вопрос 6Уравнения прямой на плоскости и в пространстве: векторное и скалярное параметрические уравнения прямой, каноническое уравнение прямой и уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Параметрическое уравнение прямой:

       

Каноническое уравнение прямой:

                                                                              

 Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

                                                            

 Уравнение прямой, проходящей через две точки

    Вопрос 7 Уравнение плоскости с заданным вектором нормали; векторное и скалярное параметрические уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках и нормированное уравнение плоскости.

        

Уравнение плоскости с заданным  вектором ее нормали  и проходящей через точки , :   

Общее уравнение плоскости:

                                                              

Уравнение плоскости, проходящей через три точки , , :

        

Уравнение плоскости в «отрезках»:

                                                                                      

где a, b, c – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат   

 

Вопрос 8 Угол между плоскостями, между прямой и плоскостью, между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, плоскостей и прямой и плоскости.

Угол между плоскостями:

Угол между прямой и плоскостью:

Угол между двумя прямыми:

Пусть на плоскости заданы две прямые:

1

   A1x+By1+C1=0

2

   A2x+By2+C2=0

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны, т.е.

1= ℓ2 ↔k1=k2 или

 =

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку, т.е.

1┴ℓ2k1=―

=

 Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:

.

Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны: .

Это условие выполняется, если: .

Вопрос 9 Расстояние от точки до прямой и от точки до плоскости. Расстояние между непараллельными прямыми.

                 Расстояние от точки до прямой на плоскости

- уравнение прямой на плоскостиРасстояние от точки до прямой в пространстве

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние между непараллельными прямыми

           Вопрос 10 Матрицы. Действия над матрицами и их свойства. Примеры

Матрицей размера называется совокупность элементов некоторого множества , расположенных в виде прямоугольной таблицы, состоящей из n строк и m столбцов.

Если , то матрица называется квадратной порядка . Элемент таблицы имеет два индекса, где i – номер строки, в которой находится элемент,  j – номер столбца.

Диагональ, содержащая элементы , , …, , называется главной диагональю квадратной матрицы , а диагональ, содержащая элементы , , …, побочной диагональю.

Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали, равны нулю.

Единичной называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице. Единичную матрицу обозначают буквой .

Треугольной называется квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Транспонированной к матрице называется матрица , полученная заменой каждой строки исходной матрицы столбцом с тем же номером.

Матрица содержащая в себе один столбец или строку называется вектор столбцом вектор строкой.

Действия, выполняемые над матрицами:

1) сложение (вычитание) определено только для матриц одинаковых размерностей. Если , то каждый элемент матрицы вычисляется по формуле: . 

2) умножение матрицы А на число состоит в умножении каждого элемента матрицы A на это число: .

3) умножение матриц определено только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, т. е. , при этом элемент i-й строки j-го столбца матрицы C равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B: .

4) возведение  матрицы в степень определено только для квадратной матрицы. Целой положительной степенью квадратной матрицы A называется произведение k матриц, каждая из которых равна A.

Вопрос 11 Определители и их основные свойства. Примеры вычисления определителей.

Определитель (или детерминант) есть число, которое ставится в соответствие квадратной матрице A порядка n и вычисляется по определенному правилу. Обозначения: detA, , ∆.

Минором некоторого элемента aij  определителя n-го порядка наз-ся  определитель (n–1)-го порядка,  полученный из исходного путём вычёркивания строки и столбца, на пересечении которых нах-ся выбранный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента aij определителя наз-ся его минор, взятый со знаком «+»,  если сумма i+j чётное число, и со знаком «-», если эта сумма неч.

Вычисл. опред. разложением по 1-ой стр.

 det = = a11 a22 - a12 a21,

=-+

Правило треугольников

Свойства определителей

  1.  Определитель матрицы не меняется при ее транспонировании.
  2.  При перестановке двух соседних строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.
  3.  Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.
  4.  Определитель, у которого элементы одной строки (столбца) соответственно пропорциональны элементам другой строки (столбца), равен нулю. В частности, определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.
  5.  Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умножив их на один и тот же множитель.

Вопрос 12 Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные, определенные и  неопределенные системы. Обратная матрица и матричный способ решения невырожденной системы. Решение невырожденной системы по формулам Крамера. Примеры.

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называют систему вида:

   

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Матрицей, обратной квадратной матрице A, называется квадратная матрица , удовлетворяющая равенствам .                                                                                   

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной. Всякая невырожденная квадратная матрица имеет единственную обратную матрицу .

Метод Крамера также можно применять только для систем, у которых число уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля. Решение такой системы находится по формулам Крамера:

                                                                            

где – определитель матрицы , – определитель, полученный из заменой его i-го столбца столбцом свободных членов.

Вопрос 13 Метод Гаусса. Пример. Базисный минор и  ранг матрицы. Теорема

     Кронекера-Капелли.

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных и состоит из двух этапов: прямой ход – посредством эквивалентных преобразований система приводится к треугольному виду; обратный ход  решается полученная треугольная система, начиная с последнего уравнения. Эквивалентными преобразованиями системы являются:

 умножение любого уравнения системы на произвольное отличное от нуля число;

– замена местами строк системы;

 прибавление к какому-либо уравнению системы любого другого уравнения системы, умноженного на некоторое число.

Т. Кронекера-Капелли: сист. линейных ур-ий совместна тогда и только тогда когда ранг расширенной матрицы равен рангу системы (необходимо достаточно)

Вопрос 14 Линейный оператор и его матрица в данном базисе. Матрица линейного оператора  в различных базисах. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. 

Линейный оператор действует из n-мерного линейного пространства в m-мерное линейное пространство .

В этих пространствах определены базисы e = {e1, ..., en} и f = {f1, ..., fm}.

Пусть A(ei ) = a1i·f1 + a2i·f2 + ...+ ami·fm — разложение образа i-го базисного вектора базиса e пространства X по базису fпространства Y, i = 1, 2, ..., n.

Матрицей линейного оператора в базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f , A = {aij}{A(ej )i}:

Координаты образа y = A(x) и прообраза x связаны соотношеннием:

y = A· x, 

 Ненулевой вектор  называется собственным вектором линейного оператора , если  ( для комплексного ), такое, что  Число  называется собственным числом (собственным значением) оператора f, соответствующим этому собственному вектору.

     Если в некотором базисе оператор f имеет матрицу А и в том же базисе вектор  имеет координатный столбец X, то или 

     Собственные числа  линейного оператора  - корни характеристического уравнения , где  - матрица оператора f - символ Кронекера.

     Для каждого собственного значения  соответствующие собственные векторы могут быть найдены из матричного уравнения  или соответствующей ему системы линейных уравнений

     Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид

где  - соответствующие собственные значения.

Вопрос 15 Комплексные числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Формула Эйлера. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы  комплексного числа. Действия над комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в целую и дробную степени. Примеры.

Комплексные числа  записываются в виде:  a+ bi. Здесь  a и  b – действительные числа, а  i – мнимая единица, т.e.  i = –1. Число  a называется абсциссой, a  b – ординатой комплексного числа  a+ bi. Два комплексных числа  a+ bi и  a – bi называютсясопряжёнными комплексными числами.


Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем комплексного числа. Модуль любого комплексного числа, не равного нулю, есть положительное число. Модуль комплексного числа a + b·i обозначается |a + b·i|, а также буквой r. Из чертежа видно, что: 
r= | a+b·i |= a2+b2 

Модуль действительного числа, совпадает с его абсолютным значением. Сопряженные комплексные числа a + b·i и a - b·i имеют один и тотже модуль. 

Угол φ между осью абсцисс и вектором OM, изображающим комплексное число a + b·i, называется аргументом комплексного числа a + b·i 

, где  — основание натурального логарифма, i — мнимая единица.

Тригонометрическая форма комплексного числа:

Для всякого  комплексного числа z=x+iy справедливо равенство

z=|z|(cosφ+isinφ)

Здесь |z|= , φ удовлетворяет условиям:

 cosφ=  sinφ=  

Показательная форма комплексного числа:

Символом  обозначается комплексное число cosφ+isinφ. С помощью этого обозначения всякое комплексное число z=|z|(cosφ+isinφ) может быть представлено в показательной форме

z=|z|

Сложение комплексных чисел
Правило сложения: при сложении комплексных чисел складываются действительные и мнимые части соответственно.

Найти сумму чисел  и  и , где .

        z1+z2=(3-2i)+(5+2i)=(3+5)+i(-2+2)=8

z2+z3=(5+2i)+(1-i)=6+i

Вычитание комплексных чисел

Правило вычитания. При нахождении разности  из действительной и мнимой частей уменьшаемого вычитаются соответственно действительная и мнимая части вычитаемого:

Найти разность   где .

        z1-z2=(3-2i)-(5+2i)=(3-5)+(-2i-2i)=-2-4i

z2-z3=(5+2i)-(1-i)=4+3i

Умножение комплексных чисел

Правило умножения. Комплексные числа перемножаются, как двучлены, при этом учитывается, что .

Найти произведение комплексных чисел  и .

z1*z2=(1-2i)(3+4i)=1*3+1*4i-3*2i+4i*(-2i)=3-2i-8i2=11-2i

Деление комплексных чисел

Правило деления. Чтобы разделить число  на  следует числитель и знаменатель дроби  умножить на число , сопряженное знаменателю.

Найти частное от деления комплексного числа   на   

 ==

Вопрос 16 Предел функции в точке и в бесконечности.  Односторонние пределы функции. Теоремы о пределах: предел суммы, произведения и частного.  Первый и второй замечательный пределы.

Пусть функция определена на некотором множестве Х и пусть точка. Возьмем из Х последовательность точек, отличных от х0:
х1, х2, х3,…, хn,…, 
Сходящиеся к
 х0 (предполагается, что такая последовательность существует). Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
 
и можно ставить вопрос о существовании её предела.

Пусть на некотором числовом множестве  задана числовая функция  и число  — предельная точка области определения . Существуют различные определения для односторонних пределов функции  в точке , но все они эквивалентны.

1)Предел суммы двух функций равен сумме их пределов:2)Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:.

2)Предел частного двух функций равен пределу делимого, деленного на предел делителя, если предел делителя не равен:.

1)Первый замечательный предел: 

2)Второй замечательный предел: 

Вопрос 17 Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва функции.

Определение.Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х= a, если = F(a) (lim значения функции в точке x = a равен ее частному значению F(a))

Так как =a, то = F(), то есть знак функции F и знак предела lim можно менять местами, если функция F(x) непрерывна в точке x = a.

Классификацияточекразрыва:

  1.  Точки устранимого разрыва.

Точка x = aназывается точкой устранимого разрыва, если существует , но не равный F(a) или F(a) не определено.

  1.  Точки разрыва 1- го рода.

Точка x = aназывается точкой разрыва 1- го рода, если существует не равные друг другу.

  1.  Точки разрыва 2 – го рода

Точка x = aназывается точкой разрыва 2- го рода, если хотя бы один из ее односторонних пределов не существует или равен

Следствие.

Если функция F(x) непрерывна слева и справа от точки x = a, то она непрерывна в этой точке.

Функция, непрерывная в любом x из некоторого множества xназывается непрерывной на {x}. Точки, в которых функция не является непрерывной называются точками разрыва функций.

Вопрос 18 Понятие обратной и сложной функций. Теорема о непрерывности сложной функции.

Понятие о сложной функции
Пусть даны две функции  z = f(y)  и  у = g(x). Сложной функцией (или композицией функций  f  и  g) называется функция z = h(x), значения которой вычисляются по правилу  h(x) = f(g(x))  (т. е. сначала вычисляется g(x), при этом получается некоторое число у, а затем вычисляется значение в точкеу).

2. обратные функции
Определение. Функция  называется обратимой, если для любых двух различных чисел  и , принадлежащих , числа и  также различны.

Теорема о непрерывности сложной функции.

Если функция z=f(y) непрерывна в точке , а функция  непрерывна в точке  , причём  , то в некоторой окрестности точки  определена сложная функция , и эта функция непрерывна в точке  .

Вопрос 19.Бесконечно большие и бесконечно малые функции и их сравнение. Ограниченные функции. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел. Теорема о представлении функции, имеющей предел.  

Определение.  Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .

            Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.

   Определение. Функция называется бесконечно большой при ха, где а – чосли или одна из величин , + или -, если , где А – число или одна из величин , + или -.

Сравнение бесконечно малых функций.

            Пусть (х), (х) и (х) – бесконечно малые функции при х  а. Будем обозначать эти функции  и  соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.

            Например, функция f(x) = x10 стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.

 Вопрос 20 Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Правила дифференцирования: (С)′; (СU)′; (U±V)′; (UV)′; (U/V)′. Производные сложной и обратной функций. Таблица производных.

Производной функции f(x) (f'(x0)) в точке x0  называется число, к которому стремится разностное отношение , стремящемся к нулю.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y=f(x) в этой точке

Физический смысл производной.

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону  x(t), то мгновенная скорость точки: 

(с) ' = 0, (cu) ' = cu';(u+v)' = u'+v'

(u-v)' = u'-v'; ( uv )' = u'v+v'u; (u/v)' = (u'v-v'u)/v 2;

Вопрос 21

Вопрос 22 Производные функций, заданных неявно и параметрически. Примеры.

1.Если зависимость между переменными и задана уравнением , то говорят, что функция задана неявно. Для нахождения производной такой функции дифференцируют обе части данного уравнения по и получают уравнение относительно. Затем из этог Найти производную неявной функции, заданной уравнением  .          

Пример:   

Функция называется заданной параметрически, если x и y заданы как функции параметра t:

2.Если и – дифференцируемые функции и , то производная может быть найдена по формуле:

                                                                              

Пример:  

   

Вопрос 23 Теоремы Роля, Лагранжа и Коши.

Теорема Ролля.

Если функция f(x) непрерывна на заданном промеж/ [a,b] деффер. на интервале (a,b)  f(a)=f(b) то существует т. с из интерв. (a,b), такая, что f’(c)=0.

Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и дефференцирована на (a,b), то сущест. т. с(a,b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

Доказательство: применим т.Коши, взяв только g(x)=x, тогда g’(x)=10.

Теорема Коши.

Если f(x), g(x) удовл. трем условиям:

1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b]

2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a,b)

3). g’(x)0 на интер. (a,b), то сущ. т. с

g(b)g(a) (неравны по теореме Ролля).

1). F(x) – непрерывна на [a,b]

2). F(x) – деффиренцирована на (a,b)

3). F(a)=0 ; F(b)=0

по теореме Ролля сущ. с(a,b); F’(с)=0

Вопрос 24 Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя. Примеры.

Пусть и – дифференцируемые функции. Если и являются бесконечно большими или бесконечно малыми при , тогда                                                                      

при условии, что предел отношения производных существует. Когда отношение производных приводит снова к неопределенности вида или , то правило Лопиталя применяют повторно. Перед его повторным применением рекомендуется произвести все допустимые упрощения.

Вопрос 25 Формулы Тейлора и Маклорена. Примеры разложений

, , .

Вопрос 27 Локальный экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Критические точки. Достаточные условия экстремума (теоремы).

Необходимое условие экстремума: если функция имеет локальный экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю или не существует: .

Внутренние точки области определения функции , в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками: .

Первое достаточное условие экстремума: если функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки , кроме, может быть, самой точки , а ее производная при переходе через эту точку меняет знак с «+» на «–» (с «–» на «+»), то в точке функция имеет локальный максимум (минимум).

Второе достаточное условие экстремума: если в критической точке функция дважды дифференцируема () и  , то в этой точке функция имеет локальный максимум (минимум).

Вопрос 28 Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба. Достаточное условие выпуклости и вогнутости функции.

График функции имеет на интервале выпуклость, направленную вверх (выпуклый), если все точки графика функции лежат не выше любой своей касательной на этом интервале; график функции имеет на интервале выпуклость, направленную вниз (вогнутый), если все точки графика функции лежат не ниже любой своей касательной на этом интервале.

Условие выпуклости (вогнутости):  если функция на интервале дважды дифференцируема и () всюду на этом интервале, то график функции выпуклый (вогнутый) на .

Точка, отделяющая промежутки выпуклости и вогнутости кривой друг от друга, называется точкой перегиба.

Достаточное условие существования точки перегиба: если при вторая производная функции не существует или равна нулю () и при переходе через точку вторая производная меняет знак, то точка с абсциссой есть точка перегиба графика функции .

Вопрос 29 Асимптоты кривой. Общая схема исследования функции.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33489. Помилка в кримінальному праві 27 KB
  Юридична помилка полягає в неправильному уявленні особи про юридичні властивості вчиненого, його правову характеристику
33490. Класифікація злочинів 27.5 KB
  Формальний критерій певний вид і розмір покарання типовий такий що найбільш повно відображає тяжкість конкретної групи категорії злочинів. Так для злочинів невеликої тяжкості закон передбачає як граничний критерій покарання у виді позбавлення волі на строк не більше двох років або інше більш м'яке покарання; для злочинів середньої тяжкості покарання у виді позбавлення волі на строк не більше п'яти років; для тяжких злочинів покарання у виді позбавлення волі на строк не більше десяти років а для особливо тяжких покарання у...
33491. Кримінальна відповідальність 31 KB
  Кримінальній відповідальності підлягає лише особа винна у вчинені злочину або така що умисно або з необережності вчинила передбачене кримінальним законом суспільне небезпечне діяння ч. Ознаки кримінальної відповідальності: 1 це особливий елемент у механізмі кримінальноправового регулювання в межах якого здійснюється реагування держави на вчинений особою злочин; 2 офіційна оцінка поведінки особи як злочину а її самої як злочинця може здійснюватись лише судом в обвинувальному вироку ч. Кримінальну правовідносини що знаменує собою...
33492. Наука кримінального права 30 KB
  Науку кримінального права як систему кримінальноправових поглядів ідей уявлень і понять слід відрізняти від кримінального права як системи сукупності юридичних норм галузі права. Саме наука кримінального права вивчаючи кримінальне законодавство з'ясовуючи його соціальне призначення характер усіх його інститутів їх ефективність виявляє практичне значення кожної норми прогалини в правовому регулюванні досліджує проблеми вдосконалення кримінальноправових норм. Предметом науки кримінального права є такі соціальні явища як злочин і...
33493. Незакінчений злочин 32 KB
  Незакінченим злочином є готування до злочину та замах на злочин ч. У літературі незакінчений злочин нерідко називають: попередньою злочинною діяльністю розпочатим незавершеним злочином невдалою діяльністю у вчиненні злочину. Незакінчений злочин готування до злочину і замах на злочин це не здійснена можливість завдання шкоди об'єкту посягання.
33494. Необхідна оборона 27.5 KB
  підстава необхідної оборони складається з двох елементів а саме: 1 суспільно небезпечного посягання і 2 необхідності е його негайному відверненні чи припиненні Ознаки необхідної оборони визначені в ст. 36 КК характеризують: 1 мету оборони; 2 спрямованість об'єкт заподіяння шкоди; 3 характер дій того хто захищається; 4 своєчасність і 5 співрозмірність оборони. Мета необхідної оборони. 36 КК метою необхідної оборони є захист охоронюваних законом прав та інтересів особи яка захищається або іншої особи а також суспільних...
33495. Обєкт злочину 44 KB
  Об‘єкт як елемент складу злочину – це цінності що охороняються кримінальним законом проти яких спрямоване злочинне діяння і яким воно може заподіяти або спричинити шкоду. Структура об‘єкта злочину та функціональне значення його компонентів: Охоронювані кримінальним законом цінності: 1.ПредметиНа що діє суб‘єкт злочину посягаючи на блага.
33496. Обєктивна сторона 30 KB
  Обєктивна сторона злочину — це зовнішня сторона (зовнішнє вираження) злочину, що характеризується суспільна небезпечним діянням (дією чи бездіяльністю), суспільна небезпечними наслідками, причинним
33497. Обмеження волі 25 KB
  Обмеження волі (ст. 61 КК) — це основний вид покарання, який полягає в триманні засудженого в кримінально-виконавчій установі відкритого типу — виправному центрі (статті 11, 16, 56 КВК) без ізоляції від суспільства