4457

Геометрические характеристики координатных осей

Реферат

Математика и математический анализ

Геометрические характеристики координатных осей. Главные оси и главные моменты инерции При повороте осей координат центробежный момент инерции меняет знак, а следовательно, существует такое положение осей, при котором центробежный момент равен нулю....

Русский

2012-11-20

46 KB

9 чел.

Геометрические характеристики координатных осей.

Главные оси и главные моменты инерции

При повороте осей координат центробежный момент инерции меняет знак, а следовательно, существует такое положение осей, при котором центробежный момент равен нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения обращается в нуль, называются главными осями, а главные оси, проходящие через центр тяжести сечения - главными центральными осями инерции сечения.

Моменты инерции относительно главных осей инерции сечения называются главными моментами инерции сечения и обозначаются через I1 и I2 причем I1>I2. Обычно, говоря о главных моментах, подразумевают осевые моменты инерции относительно главных центральных осей инерции.

Предположим, что оси u и v главные. Тогда

.

Отсюда

.

(6.32)

Уравнение (6.32) определяет положение главных осей инерции сечения в данной точке относительно исходных осей координат. При повороте осей координат изменяются также и осевые момента инерции. Найдем положение осей, относительно которых осевые моменты инерции достигают экстремальных значений. Для этого возьмем первую производную от Iu по α и приравняем ее нулю:

,

отсюда

.

К тому же результату приводит и условие dIv /dα. Сравнивая последнее выражение с формулой (6.32), приходим к заключению, что главные оси инерции являются осями, относительно которых осевые моменты инерции сечения достигают экстремальных значений.

Для упрощения вычисления главных моментов инерции формулы (6.29) - (6.31) преобразовывают, исключая из них с помощью соотношения (6.32) тригонометрические функции:

.

(6.33)

Знак плюс перед радикалом соответствует большему I1, а знак минус - меньшему I2 из моментов инерции сечения.

Укажем на одно важное свойство сечений, у которых осевые моменты инерции относительно главных осей одинаковы. Предположим, что оси y и z главные (Iyz=0), а Iy=Iz. Тогда согласно равенствам (6.29) - (6.31) при любом угле поворота осей α центробежный момент инерции Iuv=0, а осевые Iu=Iv.

Итак, если моменты инерции сечения относительно главных осей одинаковы, то все оси, проходящие через ту же точку сечения, являются главными и осевые моменты инерции относительно всех этих осей одинаковы: Iu=Iv=Iy=Iz. Этим свойством обладают, например, квадратные, круглые, кольцевые сечения.

Формула (6.33) аналогична формулам (3.25) для главных напряжений. Следовательно, и главные моменты инерции можно определять графическим способом методом Мора.

Изменение моментов инерции при повороте осей координат

Предположим, что задана система осей координат и известны моменты инерции Iz, Iy и Izy фигуры относительно этих осей. Повернем оси координат на некоторый угол α против часовой стрелки и определим моменты инерции той же фигуры относительно новых осей координат u и v.

Рис. 6.8.

Из рис. 6.8 следует, что координаты какой-либо точки в обеих системах координат связаны между собой соотношениями

Момент инерции

.

Следовательно,

.

(6.29)

.

(6.30)

Центробежный момент инерции

.

(6.31)

Из полученных уравнений видно, что

,

т. е. сумма осевых моментов инерции при повороте осей координат остается величиной постоянной. Поэтому, если относительно какой-либо оси момент инерции достигает максимума, то относительно перпендикулярной ей оси он имеет минимальное значение.

Список литературы:

Наумова Ж.Л. Начертательная геометрия.: Учебное пособие для самостоятельной работы – Хабаровск: Изд-во Хабар. , 2003

Кузнецов Н.С. Начертательная геометрия. М. "Высшая школа",1969


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23402. Імітаційне моделювання 78 KB
  Етапи процесу побудови математичної моделі складної системи Формулируются основные вопросы о поведении системы ответы на которые мы хотим получить с помощью модели. Из множества законов управляющих поведением системы выбираются те влияние которых существенно при поиске ответов на поставленные вопросы. В пополнение к этим законам если необходимо для системы в целом или отдельных ее частей формулируются определенные гипотезы о функционировании. Трудности при построении математической модели сложной системы: Если модель содержит много...
23403. Імітаційне моделювання систем масового обслуговування 162.5 KB
  вчена ступінь та звання прізвище та ініціали автора Обговорено на засіданні кафедри ПМК Протокол № __________ ____ _____________ 2011 року Київ Навчальні цілі: Вивчення основних понять моделювання ознайомлення з поняттями системи та моделі співвідношенням між моделлю та системою класифікацією моделей видами моделей технологію моделювання; Виховні цілі: Формування у студентів інженернотехнічного кругозору методами імітаційного моделювання для побудови компютерних систем та мереж вміння ставити та вирішувати складні...
23404. Етапи розробки комп’ютерної імітаційної моделі системи 162 KB
  НАВЧАЛЬНОМАТЕРІАЛЬНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ наочні посібники схеми таблиці ТЗН та інше Діапроектор дидактичні слайди НАВЧАЛЬНІ МАТЕРІАЛИ Етапи розробки імітаційної моделі системи Независимо от способа исходного описания исследуемой системы и внешней среды следует выделить следующие этапы создания ИМ в обобщенном виде представленные на рис. Составление содержательного описания объекта моделирования включая: определение объекта имитации как системы; определение целей моделирования; установление перечня количественных показателей эффективности...
23405. Мови та інструментальні засоби ІМ і CASE-технології 79 KB
  НАВЧАЛЬНОМАТЕРІАЛЬНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ наочні посібники схеми таблиці ТЗН та інше Діапроектор дидактичні слайди НАВЧАЛЬНІ МАТЕРІАЛИ Універсальні мови високого рівня Современные ЭВМ вычислительные комплексы и сети являются мощными средствами исследования сложных систем с использованием технологий имитационного моделирования. Соответствующим образом осуществляется развитие и инструментальных программных средств обеспечивающих решение широкого спектра задач методами имитационного моделирования. Эти средства можно условно разделить на три...
23406. Імітаційне моделювання 87.5 KB
  Імітаційне моделювання це метод конструювання моделі системи та проведення експериментів. Термін моделювання відповідає англійському тобто побудова моделі та її аналізу. Перш за все слід подати в моделі структуру системи тобто загальний опис елементів і звязків між ними потім визначити засоби відтворення в моделі поведінки системи.Розроблення концептуальної моделі.
23407. Імітаційна модель ПК 77 KB
  Формування у студентів інженерно-технічного кругозору, методами імітаційного моделювання для побудови комп’ютерних систем та мереж, вміння ставити та вирішувати складні інженерні задачі, проводити аналіз, аргументовано робити висновки.
23408. Етапи розробки комп’ютерної імітаційної моделі системи 106 KB
  Такие системы являются продуктом мышления человека. Примером абстрактных систем могут служить формальные математические модели системы математических уравнений системы счисления теории системы принципов и взглядов в той или иной области т. Закрытых систем в природе не существует и в этом плане они могут рассматриваться как абстрактные системы. Такие модели весьма удобны и эффективны но не все реальные системы строго могут описываться в рамках абстрактных математических моделей.
23409. Мови та інструментальні засоби ІМ і CASE-технології 160.5 KB
  Вивчення основних понять моделювання комп’ютерних мереж, ознайомлення з поняттями системи та моделі, співвідношенням між моделлю та системою, класифікацією моделей, видами моделей, технологію моделювання
23410. Сучасні інструментальні засоби ІМ 229.5 KB
  Одним из наиболее эффективных современных инструментов имитационного моделирования является средство Arena разработчик компания Systems Modeling. Пакет Arena позволяет строить ИМ систем проигрывать их и анализировать результаты имитации. Arena снабжена удобным объектноориентированным интерфейсом и обладает возможностями адаптации к различным предметным областям. Основа технологий применяемых в Arena язык SIM AN и система Cinema Animation [10].