4457

Геометрические характеристики координатных осей

Реферат

Математика и математический анализ

Геометрические характеристики координатных осей. Главные оси и главные моменты инерции При повороте осей координат центробежный момент инерции меняет знак, а следовательно, существует такое положение осей, при котором центробежный момент равен нулю....

Русский

2012-11-20

46 KB

7 чел.

Геометрические характеристики координатных осей.

Главные оси и главные моменты инерции

При повороте осей координат центробежный момент инерции меняет знак, а следовательно, существует такое положение осей, при котором центробежный момент равен нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения обращается в нуль, называются главными осями, а главные оси, проходящие через центр тяжести сечения - главными центральными осями инерции сечения.

Моменты инерции относительно главных осей инерции сечения называются главными моментами инерции сечения и обозначаются через I1 и I2 причем I1>I2. Обычно, говоря о главных моментах, подразумевают осевые моменты инерции относительно главных центральных осей инерции.

Предположим, что оси u и v главные. Тогда

.

Отсюда

.

(6.32)

Уравнение (6.32) определяет положение главных осей инерции сечения в данной точке относительно исходных осей координат. При повороте осей координат изменяются также и осевые момента инерции. Найдем положение осей, относительно которых осевые моменты инерции достигают экстремальных значений. Для этого возьмем первую производную от Iu по α и приравняем ее нулю:

,

отсюда

.

К тому же результату приводит и условие dIv /dα. Сравнивая последнее выражение с формулой (6.32), приходим к заключению, что главные оси инерции являются осями, относительно которых осевые моменты инерции сечения достигают экстремальных значений.

Для упрощения вычисления главных моментов инерции формулы (6.29) - (6.31) преобразовывают, исключая из них с помощью соотношения (6.32) тригонометрические функции:

.

(6.33)

Знак плюс перед радикалом соответствует большему I1, а знак минус - меньшему I2 из моментов инерции сечения.

Укажем на одно важное свойство сечений, у которых осевые моменты инерции относительно главных осей одинаковы. Предположим, что оси y и z главные (Iyz=0), а Iy=Iz. Тогда согласно равенствам (6.29) - (6.31) при любом угле поворота осей α центробежный момент инерции Iuv=0, а осевые Iu=Iv.

Итак, если моменты инерции сечения относительно главных осей одинаковы, то все оси, проходящие через ту же точку сечения, являются главными и осевые моменты инерции относительно всех этих осей одинаковы: Iu=Iv=Iy=Iz. Этим свойством обладают, например, квадратные, круглые, кольцевые сечения.

Формула (6.33) аналогична формулам (3.25) для главных напряжений. Следовательно, и главные моменты инерции можно определять графическим способом методом Мора.

Изменение моментов инерции при повороте осей координат

Предположим, что задана система осей координат и известны моменты инерции Iz, Iy и Izy фигуры относительно этих осей. Повернем оси координат на некоторый угол α против часовой стрелки и определим моменты инерции той же фигуры относительно новых осей координат u и v.

Рис. 6.8.

Из рис. 6.8 следует, что координаты какой-либо точки в обеих системах координат связаны между собой соотношениями

Момент инерции

.

Следовательно,

.

(6.29)

.

(6.30)

Центробежный момент инерции

.

(6.31)

Из полученных уравнений видно, что

,

т. е. сумма осевых моментов инерции при повороте осей координат остается величиной постоянной. Поэтому, если относительно какой-либо оси момент инерции достигает максимума, то относительно перпендикулярной ей оси он имеет минимальное значение.

Список литературы:

Наумова Ж.Л. Начертательная геометрия.: Учебное пособие для самостоятельной работы – Хабаровск: Изд-во Хабар. , 2003

Кузнецов Н.С. Начертательная геометрия. М. "Высшая школа",1969


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13791. Экономика Общий курс 3.32 MB
  Экономика Общий курс Учебник Фундаментальной теории экономики по дисциплинам: экономика введение основы общая теория рыночная экономика экономическая теория теоретическая экономика политэкономия микроэкономика макроэкономика Войтов А. Г. Э...
13792. Обществознание на «отлично»: основные понятия, персоналии, образцы эссе 673 KB
  Обществознание на отлично: основные понятия персоналии образцы эссе Справочнометодическое пособие для выпускников школ и преподавателей Волкова Т.И. Заслуженный учитель республики Хакасии Почетный работник общего образования РФ Предлагаемое уч...
13793. Обществознание в таблицах 1.09 MB
  Тема 1 Обществознание. Обществознание – это сводный учебный курс содержащий основные выводы современных наук об обществе о законах его развития о человеке. Система наук об обществе: Социальная философия Частные социальн...
13794. Метод найменших квадратів 27.64 KB
  Метод найменших квадратів 1. Розглянемо однофакторну модель: y=b0b1x1. Якщо б не було похибки викликаної через дві причини: похибка експерименту; неадекватність моделі. То було б справедливо: yib0bixi≡0 2.На практиці: нев’язка. 3.Використов...
13796. Ортогональное разложение матриц и его применения 4.29 MB
  Пояснительная записка к курсовому проекту по дисциплине Методы численного анализа на тему Ортогональное разложение матриц и его применения Оглавление Оглавление Теоретические сведения Преобразование Хаусхол...
13797. Сингулярное правопреемство и легаты 21.97 KB
  Сингулярное правопреемство и легаты Наряду с назначением наследника в завещании могли содержаться отказы: распоряжения о выдаче наследником известных сумм или вещей определенным лицам о выполнении наследником определенных действий в пользу третьих лиц. Таким образо
13798. СИНГУЛЯРНЫЕ ТЕРМЫ 210 KB
  Вендлер СИНГУЛЯРНЫЕ ТЕРМЫ 1. Аналитическая философия издавна стремилась постигнуть природу сингулярных термов а теорию дескрипций часто называют наивысшим ее достижением. Поскольку мы не раз читали Б. Рассела У. Куайна П. Гича П. Стросона и других философов которые у...
13799. Методические рекомендации по подготовке учащихся к написанию эссе по обществознанию 102 KB
  Методические рекомендации по подготовке учащихся к написанию эссе по обществознанию. Новая форма итоговой аттестации учащихся вызывает бурю споров. Мнение сторонников считающих что это наиболее объективный способ проверки знаний сталки