4457

Геометрические характеристики координатных осей

Реферат

Математика и математический анализ

Геометрические характеристики координатных осей. Главные оси и главные моменты инерции При повороте осей координат центробежный момент инерции меняет знак, а следовательно, существует такое положение осей, при котором центробежный момент равен нулю....

Русский

2012-11-20

46 KB

7 чел.

Геометрические характеристики координатных осей.

Главные оси и главные моменты инерции

При повороте осей координат центробежный момент инерции меняет знак, а следовательно, существует такое положение осей, при котором центробежный момент равен нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения обращается в нуль, называются главными осями, а главные оси, проходящие через центр тяжести сечения - главными центральными осями инерции сечения.

Моменты инерции относительно главных осей инерции сечения называются главными моментами инерции сечения и обозначаются через I1 и I2 причем I1>I2. Обычно, говоря о главных моментах, подразумевают осевые моменты инерции относительно главных центральных осей инерции.

Предположим, что оси u и v главные. Тогда

.

Отсюда

.

(6.32)

Уравнение (6.32) определяет положение главных осей инерции сечения в данной точке относительно исходных осей координат. При повороте осей координат изменяются также и осевые момента инерции. Найдем положение осей, относительно которых осевые моменты инерции достигают экстремальных значений. Для этого возьмем первую производную от Iu по α и приравняем ее нулю:

,

отсюда

.

К тому же результату приводит и условие dIv /dα. Сравнивая последнее выражение с формулой (6.32), приходим к заключению, что главные оси инерции являются осями, относительно которых осевые моменты инерции сечения достигают экстремальных значений.

Для упрощения вычисления главных моментов инерции формулы (6.29) - (6.31) преобразовывают, исключая из них с помощью соотношения (6.32) тригонометрические функции:

.

(6.33)

Знак плюс перед радикалом соответствует большему I1, а знак минус - меньшему I2 из моментов инерции сечения.

Укажем на одно важное свойство сечений, у которых осевые моменты инерции относительно главных осей одинаковы. Предположим, что оси y и z главные (Iyz=0), а Iy=Iz. Тогда согласно равенствам (6.29) - (6.31) при любом угле поворота осей α центробежный момент инерции Iuv=0, а осевые Iu=Iv.

Итак, если моменты инерции сечения относительно главных осей одинаковы, то все оси, проходящие через ту же точку сечения, являются главными и осевые моменты инерции относительно всех этих осей одинаковы: Iu=Iv=Iy=Iz. Этим свойством обладают, например, квадратные, круглые, кольцевые сечения.

Формула (6.33) аналогична формулам (3.25) для главных напряжений. Следовательно, и главные моменты инерции можно определять графическим способом методом Мора.

Изменение моментов инерции при повороте осей координат

Предположим, что задана система осей координат и известны моменты инерции Iz, Iy и Izy фигуры относительно этих осей. Повернем оси координат на некоторый угол α против часовой стрелки и определим моменты инерции той же фигуры относительно новых осей координат u и v.

Рис. 6.8.

Из рис. 6.8 следует, что координаты какой-либо точки в обеих системах координат связаны между собой соотношениями

Момент инерции

.

Следовательно,

.

(6.29)

.

(6.30)

Центробежный момент инерции

.

(6.31)

Из полученных уравнений видно, что

,

т. е. сумма осевых моментов инерции при повороте осей координат остается величиной постоянной. Поэтому, если относительно какой-либо оси момент инерции достигает максимума, то относительно перпендикулярной ей оси он имеет минимальное значение.

Список литературы:

Наумова Ж.Л. Начертательная геометрия.: Учебное пособие для самостоятельной работы – Хабаровск: Изд-во Хабар. , 2003

Кузнецов Н.С. Начертательная геометрия. М. "Высшая школа",1969


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22015. Польские земли до XV вв. 115.5 KB
  В Польше некоторое ограничение крестьянских выходов были узаконено для всей Малой Польши Вислицким статутом Казимира III так как села пустеют то мы устанавливаем чтобы из одного села в другое вопреки желанию господина села в котором они живут могло перебраться не больше чем 12 кметя. Изданный одновременно для Великой Польши Пётрковский статут разрешал выход на рождество если за крестьянином не было недоимок. В христианизации Польши большую роль сыграла Чехия. Мешко в борьбе с Чехией овладел Силезией и частью Малой Польши.
22016. Польша в XVI-XVII вв. 89 KB
  В XVI в. Население Польши росло вплоть до середины XVII в. Судя по данным описей второй половины XVI в.
22017. Скандинавия до XV в. 127.5 KB
  Температура января – в Северной Норвегии 0 7 в Южной и Центральной Швеции – от 1 до 3. Климат морской в Норвегии Дании Исландии умеренно континентальный на большей части Швеции. Это было вызвано тем что доля территории Швеции и Норвегии это не касается Дании на которой можно вести земледельческое хозяйство невелика – в Норвегии – 3 в Швеции – 9 в Исландии – около 1 от площади страны. Полная деревня Швеции – 48 дворов.
22018. Кальциевый насос животной клетки 208.5 KB
  Он выполняет важнейшую функцию активный перенос ионов кальция через мембраны клеток поддерживая тем самым низкую концентрацию этих ионов в клетке 107 М по сравнению с окружающей средой 3103 М. Введение В цитоплазме клеток концентрация ионов кальция составляет всего 50100 нМ 5108 1107 М тогда как в окружающей клетки среде она равна примерно 3 мМ 3103 М. Поддерживает эту разницу в концентрации на четыре порядка величины система активного транспорта ионов кальция главную роль в которой играет кальциевый насос ...
22019. Общая схема реакций 129.5 KB
  Кинетика окисления ионов Fe2 образование продуктов перекисного окисления липидов MDA и хемилюминесценции I в суспензии митохондрий к которой добавлены ионы двухвалентного железа момент введения показан стрелкой Vladimirov Yu. Кинетика окисления ионов Fe2 образование продуктов перекисного окисления липидов MDA и хемилюминесценции I в суспензии митохондрий к которой добавлены ионы двухвалентного железа момент введения показан стрелкой Vladimirov Yu. Кинетика процесса перекисного окисления обладает большой сложностью...
22020. Кинетика химических реакций 144.5 KB
  Зависимость изменения концентрации участников реакции т. субстратов и продуктов от времени называют кинетикой реакции. Итак повторим некоторые определения: Субстраты вещества вступающие в реакцию Продукты вещества образующиеся в результате реакции Промежуточные вещества продукты сразу же вступающие в новую реакцию Скорость реакции изменение концентрации одного из продуктов который рассматривается в качестве главного.
22021. Принцип метода ЭПР 488.5 KB
  Кроме свободнорадикальных состояний методом ЭПРисследуют триплетные состояния возникающие в ходе фотобиологических процессов. Пионерами применения ЭПР в биологических исследованиях в СССР были Л. Характеристики спектров ЭПР Амплитуда сигнала Сигнал ЭПР представляет собой первую производную от линии.
22022. Сила, работа и энергия 219 KB
  Экспериментальная работа с биологическими объектами ставит своей задачей по сути дела моделирование процессов протекающих в живом организме. Сила работа и энергия Из физики мы знаем что сила это причина изменения скорости тела. По определению работа A равна произведению силы F действующей на некоторое тело на перемещение s этого тела в направлении действия силы. И сила и перемещение векторы; работа же скалярная величина равная призведению этих векторов: 1 Будучи скаляром работа рассматривается в термодинамике а...
22023. Реакции окисления-восстановления 126.5 KB
  Атомы цинка могут переходить из металлической решетки в водный раствор в виде ионов цинка Zn2; при этом освободившиеся электроны уходят по электрической цепи т. происходит процесс: Zn Zn2 2e Отрыв электрона от цинка называется процессом его окисления присоединение электронов к ионам цинка называют их восстановлением. Интуитивно мы понимаем что увеличение потенциала будет способствовать восстановлению ионов цинка до металлического цинка тогда как его уменьшение наоборот окислению цинка до ионов см. Для этого рассчитаем количество...