4457

Геометрические характеристики координатных осей

Реферат

Математика и математический анализ

Геометрические характеристики координатных осей. Главные оси и главные моменты инерции При повороте осей координат центробежный момент инерции меняет знак, а следовательно, существует такое положение осей, при котором центробежный момент равен нулю....

Русский

2012-11-20

46 KB

7 чел.

Геометрические характеристики координатных осей.

Главные оси и главные моменты инерции

При повороте осей координат центробежный момент инерции меняет знак, а следовательно, существует такое положение осей, при котором центробежный момент равен нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения обращается в нуль, называются главными осями, а главные оси, проходящие через центр тяжести сечения - главными центральными осями инерции сечения.

Моменты инерции относительно главных осей инерции сечения называются главными моментами инерции сечения и обозначаются через I1 и I2 причем I1>I2. Обычно, говоря о главных моментах, подразумевают осевые моменты инерции относительно главных центральных осей инерции.

Предположим, что оси u и v главные. Тогда

.

Отсюда

.

(6.32)

Уравнение (6.32) определяет положение главных осей инерции сечения в данной точке относительно исходных осей координат. При повороте осей координат изменяются также и осевые момента инерции. Найдем положение осей, относительно которых осевые моменты инерции достигают экстремальных значений. Для этого возьмем первую производную от Iu по α и приравняем ее нулю:

,

отсюда

.

К тому же результату приводит и условие dIv /dα. Сравнивая последнее выражение с формулой (6.32), приходим к заключению, что главные оси инерции являются осями, относительно которых осевые моменты инерции сечения достигают экстремальных значений.

Для упрощения вычисления главных моментов инерции формулы (6.29) - (6.31) преобразовывают, исключая из них с помощью соотношения (6.32) тригонометрические функции:

.

(6.33)

Знак плюс перед радикалом соответствует большему I1, а знак минус - меньшему I2 из моментов инерции сечения.

Укажем на одно важное свойство сечений, у которых осевые моменты инерции относительно главных осей одинаковы. Предположим, что оси y и z главные (Iyz=0), а Iy=Iz. Тогда согласно равенствам (6.29) - (6.31) при любом угле поворота осей α центробежный момент инерции Iuv=0, а осевые Iu=Iv.

Итак, если моменты инерции сечения относительно главных осей одинаковы, то все оси, проходящие через ту же точку сечения, являются главными и осевые моменты инерции относительно всех этих осей одинаковы: Iu=Iv=Iy=Iz. Этим свойством обладают, например, квадратные, круглые, кольцевые сечения.

Формула (6.33) аналогична формулам (3.25) для главных напряжений. Следовательно, и главные моменты инерции можно определять графическим способом методом Мора.

Изменение моментов инерции при повороте осей координат

Предположим, что задана система осей координат и известны моменты инерции Iz, Iy и Izy фигуры относительно этих осей. Повернем оси координат на некоторый угол α против часовой стрелки и определим моменты инерции той же фигуры относительно новых осей координат u и v.

Рис. 6.8.

Из рис. 6.8 следует, что координаты какой-либо точки в обеих системах координат связаны между собой соотношениями

Момент инерции

.

Следовательно,

.

(6.29)

.

(6.30)

Центробежный момент инерции

.

(6.31)

Из полученных уравнений видно, что

,

т. е. сумма осевых моментов инерции при повороте осей координат остается величиной постоянной. Поэтому, если относительно какой-либо оси момент инерции достигает максимума, то относительно перпендикулярной ей оси он имеет минимальное значение.

Список литературы:

Наумова Ж.Л. Начертательная геометрия.: Учебное пособие для самостоятельной работы – Хабаровск: Изд-во Хабар. , 2003

Кузнецов Н.С. Начертательная геометрия. М. "Высшая школа",1969


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18517. Логистика запасов 55.5 KB
  Лекция 9. Логистика запасов. 1. Понятие сущность и необходимость в материальных запасах. 2. Классификация запасов. 3. Основные системы управления запасами. 4. Стратегии управления запасами. 1. Понятие сущность и необходимость в материальных запасах. Материальные
18518. Логистика складирования 83 KB
  Лекция 10. Логистика складирования. Понятие роль складов в логистике. Виды и функции складов. Процесс складирования. Формирование системы складирования. Оценка работы складов. Понятие роль складов в логистике. Под складом понимаются з
18519. Сервис в логистике 53 KB
  Лекция 11. Сервис в логистике. Понятие сервиса в логистике. Формирование системы логистического сервиса. Уровень логистического обслуживания. Критерии качества логистического обслуживания. Послепродажное логистическое обслуживание. 1. Понятие
18520. Расчет технико-экономических показателей и определение экономического эффекта программного продукта 359.5 KB
  Рахматуллин Р.Р. Расчет техникоэкономических показателей и определение экономического эффекта программного продукта: методические указания к расчетнографическому заданию курсовому и дипломному проектированию / Р.Р. Рахматуллин Л.Ф. Давлетбаева. – Оренбург: ООО Аге
18521. Современные программы схемотехнического проектирования ИС 47.5 KB
  Лекция 1 Целью данного курса является знакомство с методами и алгоритмами на основе которых разработаны современные программы схемотехнического проектирования ИС а также поддержка определенного уровня знаний языков программирования. Процесс проектирования ИС мо
18522. Методы формирования математической модели схемы 301.5 KB
  Лекция 2 Методы формирования математической модели схемы Математическая модель далее будет использоваться сокращение ММ – это совокупность объектов в виде чисел векторов и связей между ними которая отражает существенные с точки зрения проектировщика свойства
18523. Алгоритмы решения математической модели БИС по постоянному току 301.5 KB
  Лекция 3 Алгоритмы решения математической модели БИС по постоянному току Существует несколько способов решения задачи анализа по постоянному току: Первый способ заключается в решении систем уравнений вида: F x = 0
18524. Методы решения ММ БИС во временной области. (динамический анализ) 122.5 KB
  Лекция 4 Методы решения ММ БИС во временной области. динамический анализ Задача Коши Пусть t = ft 1 при условии xa=x0 при . Основное предположение относит...
18525. Анализ многошаговой формулы интегрирования Метод простых итераций. Метод ускоренных итераций Итерации Ньютона-Рафсона 108.5 KB
  Лекция 5 Анализ многошаговой формулы интегрирования Метод простых итераций. Метод ускоренных итераций Итерации НьютонаРафсона. Обратные итерации При неявных методах интегрирования ОДУ возникают нелинейные алгебраические уравнения. Возвратимся к общему виду лине...