4457

Геометрические характеристики координатных осей

Реферат

Математика и математический анализ

Геометрические характеристики координатных осей. Главные оси и главные моменты инерции При повороте осей координат центробежный момент инерции меняет знак, а следовательно, существует такое положение осей, при котором центробежный момент равен нулю....

Русский

2012-11-20

46 KB

7 чел.

Геометрические характеристики координатных осей.

Главные оси и главные моменты инерции

При повороте осей координат центробежный момент инерции меняет знак, а следовательно, существует такое положение осей, при котором центробежный момент равен нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения обращается в нуль, называются главными осями, а главные оси, проходящие через центр тяжести сечения - главными центральными осями инерции сечения.

Моменты инерции относительно главных осей инерции сечения называются главными моментами инерции сечения и обозначаются через I1 и I2 причем I1>I2. Обычно, говоря о главных моментах, подразумевают осевые моменты инерции относительно главных центральных осей инерции.

Предположим, что оси u и v главные. Тогда

.

Отсюда

.

(6.32)

Уравнение (6.32) определяет положение главных осей инерции сечения в данной точке относительно исходных осей координат. При повороте осей координат изменяются также и осевые момента инерции. Найдем положение осей, относительно которых осевые моменты инерции достигают экстремальных значений. Для этого возьмем первую производную от Iu по α и приравняем ее нулю:

,

отсюда

.

К тому же результату приводит и условие dIv /dα. Сравнивая последнее выражение с формулой (6.32), приходим к заключению, что главные оси инерции являются осями, относительно которых осевые моменты инерции сечения достигают экстремальных значений.

Для упрощения вычисления главных моментов инерции формулы (6.29) - (6.31) преобразовывают, исключая из них с помощью соотношения (6.32) тригонометрические функции:

.

(6.33)

Знак плюс перед радикалом соответствует большему I1, а знак минус - меньшему I2 из моментов инерции сечения.

Укажем на одно важное свойство сечений, у которых осевые моменты инерции относительно главных осей одинаковы. Предположим, что оси y и z главные (Iyz=0), а Iy=Iz. Тогда согласно равенствам (6.29) - (6.31) при любом угле поворота осей α центробежный момент инерции Iuv=0, а осевые Iu=Iv.

Итак, если моменты инерции сечения относительно главных осей одинаковы, то все оси, проходящие через ту же точку сечения, являются главными и осевые моменты инерции относительно всех этих осей одинаковы: Iu=Iv=Iy=Iz. Этим свойством обладают, например, квадратные, круглые, кольцевые сечения.

Формула (6.33) аналогична формулам (3.25) для главных напряжений. Следовательно, и главные моменты инерции можно определять графическим способом методом Мора.

Изменение моментов инерции при повороте осей координат

Предположим, что задана система осей координат и известны моменты инерции Iz, Iy и Izy фигуры относительно этих осей. Повернем оси координат на некоторый угол α против часовой стрелки и определим моменты инерции той же фигуры относительно новых осей координат u и v.

Рис. 6.8.

Из рис. 6.8 следует, что координаты какой-либо точки в обеих системах координат связаны между собой соотношениями

Момент инерции

.

Следовательно,

.

(6.29)

.

(6.30)

Центробежный момент инерции

.

(6.31)

Из полученных уравнений видно, что

,

т. е. сумма осевых моментов инерции при повороте осей координат остается величиной постоянной. Поэтому, если относительно какой-либо оси момент инерции достигает максимума, то относительно перпендикулярной ей оси он имеет минимальное значение.

Список литературы:

Наумова Ж.Л. Начертательная геометрия.: Учебное пособие для самостоятельной работы – Хабаровск: Изд-во Хабар. , 2003

Кузнецов Н.С. Начертательная геометрия. М. "Высшая школа",1969


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66689. Виховання у кельтів 66 KB
  Кельти войовничі племена у першій половині І тисячоліття до н. Ці племена говорили мовами кельтської групи споруджували круглі похоронні кургани використовували в бою важкі мечі. Інша хвиля завойовників досягла Британських островів де окремі племена кельтів відомі як бритти...
66690. Виховання у скіфів 271 KB
  Вождь Скіфів повноправний глава клану що вирішує найважливіші питання. сприяючи розвитку клану. Вождь це просто глава клану. Стежить за порядком у клані при необхідності може відрахувати скіфа з кланучи покарати чи нагородити.
66691. Техническое регулирование в сфере услуг 39 KB
  Фактически он был принят в целях гармонизации с международными требованиями в преддверии вступления в ВТО однако с точки зрения государственного регулирования качества и безопасности услуг он принес больше вопросов чем решений.
66692. Особенности управления качеством образовательных услуг 51 KB
  Государственное регулирование в области качества образования основано на механизме лицензирования аттестации и государственной аккредитации образовательных учреждений. В ее ходе устанавливается соответствие содержания уровня и качества подготовки выпускников требованиям государственных образовательных стандартов.
66693. Лицензирование программного обеспечения 46.26 KB
  Защита авторских прав распространяется на все виды программного обеспечения в том числе и на операционные системы и программные комплексы независимо от того на каком языке они написаны и в какой форме выражены включая исходный текст и объектный код ГК РФ часть 4 гл.
66694. А.С. Макаренко 142 KB
  Одну з кращих своїх статей, написану для ювілейного збірника з приводу п'ятиліття комуни імені Ф.Э.Дзержинського, Антон Семенович так і назвав «Педагоги знизують плечима». Ці люди не розуміли, що вже давно наступив момент, коли без теорії не можна стати гарним практиком...
66695. МАТРИЧНЫЕ (ИГОЛЬЧАТЫЕ) ПРИНТЕРЫ 105.5 KB
  В зависимости от технологии печати различают матричные струйные лазерные светодиодные сублимационные принтеры. От их количества зависит качество печати – в основном на рынке представлены матричные принтеры печатающая головка которых имеет 24 иголки плотность печати до 180 dpi.
66696. Технология и организация междугордных перевозок 92.5 KB
  За последние 10 лет парк автомобилей в России вырос почти в 25 раза. В 1999 году произошло существенное на 61 увеличение количества грузовых автомобилей в экономическом комплексе и впервые за последние годы зафиксирован рост объема грузовых автомобильных перевозок....
66697. Жизнь и научная деятельность Бориса Борисовича Полынова 376.55 KB
  Крупную роль в советском почвоведении играл Борис Борисович Полынов 1877 1952 гг. вышла в свет его книга Кора выветривания в которой были глубоко и всесторонне охарактеризованы основные фазы и главные типы кор выветривания Полынов 1934. Полынов одна из самых ярких личностей в советском почвоведении.