4457

Геометрические характеристики координатных осей

Реферат

Математика и математический анализ

Геометрические характеристики координатных осей. Главные оси и главные моменты инерции При повороте осей координат центробежный момент инерции меняет знак, а следовательно, существует такое положение осей, при котором центробежный момент равен нулю....

Русский

2012-11-20

46 KB

8 чел.

Геометрические характеристики координатных осей.

Главные оси и главные моменты инерции

При повороте осей координат центробежный момент инерции меняет знак, а следовательно, существует такое положение осей, при котором центробежный момент равен нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения обращается в нуль, называются главными осями, а главные оси, проходящие через центр тяжести сечения - главными центральными осями инерции сечения.

Моменты инерции относительно главных осей инерции сечения называются главными моментами инерции сечения и обозначаются через I1 и I2 причем I1>I2. Обычно, говоря о главных моментах, подразумевают осевые моменты инерции относительно главных центральных осей инерции.

Предположим, что оси u и v главные. Тогда

.

Отсюда

.

(6.32)

Уравнение (6.32) определяет положение главных осей инерции сечения в данной точке относительно исходных осей координат. При повороте осей координат изменяются также и осевые момента инерции. Найдем положение осей, относительно которых осевые моменты инерции достигают экстремальных значений. Для этого возьмем первую производную от Iu по α и приравняем ее нулю:

,

отсюда

.

К тому же результату приводит и условие dIv /dα. Сравнивая последнее выражение с формулой (6.32), приходим к заключению, что главные оси инерции являются осями, относительно которых осевые моменты инерции сечения достигают экстремальных значений.

Для упрощения вычисления главных моментов инерции формулы (6.29) - (6.31) преобразовывают, исключая из них с помощью соотношения (6.32) тригонометрические функции:

.

(6.33)

Знак плюс перед радикалом соответствует большему I1, а знак минус - меньшему I2 из моментов инерции сечения.

Укажем на одно важное свойство сечений, у которых осевые моменты инерции относительно главных осей одинаковы. Предположим, что оси y и z главные (Iyz=0), а Iy=Iz. Тогда согласно равенствам (6.29) - (6.31) при любом угле поворота осей α центробежный момент инерции Iuv=0, а осевые Iu=Iv.

Итак, если моменты инерции сечения относительно главных осей одинаковы, то все оси, проходящие через ту же точку сечения, являются главными и осевые моменты инерции относительно всех этих осей одинаковы: Iu=Iv=Iy=Iz. Этим свойством обладают, например, квадратные, круглые, кольцевые сечения.

Формула (6.33) аналогична формулам (3.25) для главных напряжений. Следовательно, и главные моменты инерции можно определять графическим способом методом Мора.

Изменение моментов инерции при повороте осей координат

Предположим, что задана система осей координат и известны моменты инерции Iz, Iy и Izy фигуры относительно этих осей. Повернем оси координат на некоторый угол α против часовой стрелки и определим моменты инерции той же фигуры относительно новых осей координат u и v.

Рис. 6.8.

Из рис. 6.8 следует, что координаты какой-либо точки в обеих системах координат связаны между собой соотношениями

Момент инерции

.

Следовательно,

.

(6.29)

.

(6.30)

Центробежный момент инерции

.

(6.31)

Из полученных уравнений видно, что

,

т. е. сумма осевых моментов инерции при повороте осей координат остается величиной постоянной. Поэтому, если относительно какой-либо оси момент инерции достигает максимума, то относительно перпендикулярной ей оси он имеет минимальное значение.

Список литературы:

Наумова Ж.Л. Начертательная геометрия.: Учебное пособие для самостоятельной работы – Хабаровск: Изд-во Хабар. , 2003

Кузнецов Н.С. Начертательная геометрия. М. "Высшая школа",1969


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50814. Программирование в Delphi. Разработка интерфейса 1.69 MB
  Цель: Получить первичные навыки работы в визуальной среде программирования Delphi. При этом становится активным окно редактора кода и Delphi автоматически создает ОБРАБОТЧИК СОБЫТИЯ процедуру выполняющуюся при нажатии кнопки В окне редактора кода ввести соответствующие команды Прежде всего необходимо научиться сохранять свои программы.
50816. Язык гипертекстовой разметки HTML 85.5 KB
  На самом деле содержимое контейнера mrquee не ограничивается строками и позволяет перемещать скролировать любые элементы вебстраницы изображения текст таблицы элементы форм и т. Таблицы Элемент tble служит контейнером для элементов определяющих содержимое таблицы. Параметры lign Определяет выравнивание таблицы. bgcolor Цвет фона таблицы.
50817. Определение теплоёмкости металлов методом охлаждения 154.5 KB
  Металлический образец, имеющий температуру более высокую, чем температура окружающей среды, в этой среде охлаждается. Кол-во теплоты q , теряемой образцом металла за единицу времени t может быть записано в виде...
50818. Каскадные листы стилей CSS 330.5 KB
  Значение 0 соответствует полной прозрачности элемента а 1 наоборот его непрозрачности.2 Oper 9 border позволяет одновременно установить толщину стиль и цвет рамки вокруг элемента.
50819. Построение и экспериментальная проверка статической характеристики замкнутой системы 868 KB
  Освоить методику аналитического построения статической характеристики замкнутой САР по статическим характеристикам отдельных элементов. Под статической характеристикой замкнутой САР понимают функциональную зависимость регулируемой величины от задающего и возмущающих воздействий снятую на установившихся режимах. Если регулируемая величина на установившемся режиме не зависит от возмущающих воздействий то такая система называется астатической а если зависит то статической.
50820. Определение теплоёмкости методом Клемана и Дезорма 58.5 KB
  Эта величина, в частности, определяет скорость распространения звука в газах; от неё зависит течение газов по трубам со звуковыми скоростями и достижение сверхзвуковых скоростей в трубах, сначала суживающихся, а затем резко расширяющихся (сопла Лаваля). Основная идея метода Клемана и Дезорма состоит в следующем.
50821. DHTML и JavaScript на web-страницах 560 KB
  Цель работы: ознакомиться с основными возможностями языка JavaScript, синтаксисом, встроенными объектами, событиями DHTML, получить практические навыки программирования на языке JavaScript.
50822. Экспериментальное определение характеристик объекта регулирования, выбор закона регулирования и расчет параметров настроек регулятора 804 KB
  Изучить инженерный метод выбора закона регулирования и расчета параметров настроек регуляторов непрерывного действия. Характеристики объектов регулирования Большинство промышленных объектов можно представить в виде элементов которые являются аккумуляторами вещества или энергии. Динамические и статические свойства объекта регулирования описываются дифференциальными уравнениями.