4457

Геометрические характеристики координатных осей

Реферат

Математика и математический анализ

Геометрические характеристики координатных осей. Главные оси и главные моменты инерции При повороте осей координат центробежный момент инерции меняет знак, а следовательно, существует такое положение осей, при котором центробежный момент равен нулю....

Русский

2012-11-20

46 KB

8 чел.

Геометрические характеристики координатных осей.

Главные оси и главные моменты инерции

При повороте осей координат центробежный момент инерции меняет знак, а следовательно, существует такое положение осей, при котором центробежный момент равен нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения обращается в нуль, называются главными осями, а главные оси, проходящие через центр тяжести сечения - главными центральными осями инерции сечения.

Моменты инерции относительно главных осей инерции сечения называются главными моментами инерции сечения и обозначаются через I1 и I2 причем I1>I2. Обычно, говоря о главных моментах, подразумевают осевые моменты инерции относительно главных центральных осей инерции.

Предположим, что оси u и v главные. Тогда

.

Отсюда

.

(6.32)

Уравнение (6.32) определяет положение главных осей инерции сечения в данной точке относительно исходных осей координат. При повороте осей координат изменяются также и осевые момента инерции. Найдем положение осей, относительно которых осевые моменты инерции достигают экстремальных значений. Для этого возьмем первую производную от Iu по α и приравняем ее нулю:

,

отсюда

.

К тому же результату приводит и условие dIv /dα. Сравнивая последнее выражение с формулой (6.32), приходим к заключению, что главные оси инерции являются осями, относительно которых осевые моменты инерции сечения достигают экстремальных значений.

Для упрощения вычисления главных моментов инерции формулы (6.29) - (6.31) преобразовывают, исключая из них с помощью соотношения (6.32) тригонометрические функции:

.

(6.33)

Знак плюс перед радикалом соответствует большему I1, а знак минус - меньшему I2 из моментов инерции сечения.

Укажем на одно важное свойство сечений, у которых осевые моменты инерции относительно главных осей одинаковы. Предположим, что оси y и z главные (Iyz=0), а Iy=Iz. Тогда согласно равенствам (6.29) - (6.31) при любом угле поворота осей α центробежный момент инерции Iuv=0, а осевые Iu=Iv.

Итак, если моменты инерции сечения относительно главных осей одинаковы, то все оси, проходящие через ту же точку сечения, являются главными и осевые моменты инерции относительно всех этих осей одинаковы: Iu=Iv=Iy=Iz. Этим свойством обладают, например, квадратные, круглые, кольцевые сечения.

Формула (6.33) аналогична формулам (3.25) для главных напряжений. Следовательно, и главные моменты инерции можно определять графическим способом методом Мора.

Изменение моментов инерции при повороте осей координат

Предположим, что задана система осей координат и известны моменты инерции Iz, Iy и Izy фигуры относительно этих осей. Повернем оси координат на некоторый угол α против часовой стрелки и определим моменты инерции той же фигуры относительно новых осей координат u и v.

Рис. 6.8.

Из рис. 6.8 следует, что координаты какой-либо точки в обеих системах координат связаны между собой соотношениями

Момент инерции

.

Следовательно,

.

(6.29)

.

(6.30)

Центробежный момент инерции

.

(6.31)

Из полученных уравнений видно, что

,

т. е. сумма осевых моментов инерции при повороте осей координат остается величиной постоянной. Поэтому, если относительно какой-либо оси момент инерции достигает максимума, то относительно перпендикулярной ей оси он имеет минимальное значение.

Список литературы:

Наумова Ж.Л. Начертательная геометрия.: Учебное пособие для самостоятельной работы – Хабаровск: Изд-во Хабар. , 2003

Кузнецов Н.С. Начертательная геометрия. М. "Высшая школа",1969


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13737. История отечества. Тест. Вариант 4 124.5 KB
  Вариант №4 Часть 1 А1. Что из указанного относится к XII в. 1 приглашение Владимира Мономаха на княжение в Киев 2 походы Святослава на печенегов 3 княжение Ярослава Мудрого 4 борьба Александра
13738. История отечества. Тест. Вариант 5 131 KB
  Вариант №5 Часть 1 А1. Какое из указанных событий произошло раньше других 1 битва на реке Воже 3 Куликовская битва 2 разорение Москвы ханом Тохтамышем 4 Грюнвальдская битва А2. Кто из назва...
13739. История отечества. Тест. Вариант 6 130.5 KB
  Вариант №6 Часть 1 А1. Позже других событий произошло 1 воцарение династии Романовых 3 крещение Руси 2 начало феодальной раздробленности 4 введение опричнины А2. Начало государственности ...
13740. История отечества. Тест. Вариант 7 128.5 KB
  Вариант №7 Часть 1 А1. Позже других событий произошло 1 начало Смутного времени 2 первое упоминание о Москве в летописи 3 установление монголотатарского ига 4 завершение образования Российс
13741. История отечества. Тест. Вариант 9 126 KB
  Вариант №9 Часть 1 А1. Кто из перечисленных князей правил позднее других 1 Игорь Старый 3 Владимир Мономах 2 Василий Темный 4 Александр Невский А2. В Новгородской боярской республике высш
13742. История отечества. Тест. Вариант 10 123 KB
  Вариант №10 Часть 1 А1. Какое из перечисленных событий произошло позднее других 1 битва на Калке 3 первое упоминание о Москве в летописях 2 восстание древлян 4 поход князя Игоря Святославича на половце
13743. История отечества. Тест. Вариант 11 121 KB
  Вариант №11 Часть 1 А1. Какое событие древнейшая русская летопись Повесть временных лет относит к 945 г. 1 восстание древлян 3 призвание варягов в Новгород 2 крещение князя Владимира 4 поход князя Олег
13744. История отечества. Тест. Вариант 12 123.5 KB
  Вариант №12 Часть 1 А1.Установление монголотатарского ига на Руси произошло в 1 XI в. 2 XII в. 3 XIII в. 4 XIV в. А2. Соседями восточных славян в период Древней Руси являлись ...
13745. История отечества. Тест. Вариант 13 128.5 KB
  Вариант №13 Часть 1 А1. Какое из названных событий произошло в XV в. 1 основание славяногреколатинской академии 2 церковнообрядовая реформа патриарха Никона 3 издание печатной книги Апостол ...