4457

Геометрические характеристики координатных осей

Реферат

Математика и математический анализ

Геометрические характеристики координатных осей. Главные оси и главные моменты инерции При повороте осей координат центробежный момент инерции меняет знак, а следовательно, существует такое положение осей, при котором центробежный момент равен нулю....

Русский

2012-11-20

46 KB

8 чел.

Геометрические характеристики координатных осей.

Главные оси и главные моменты инерции

При повороте осей координат центробежный момент инерции меняет знак, а следовательно, существует такое положение осей, при котором центробежный момент равен нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения обращается в нуль, называются главными осями, а главные оси, проходящие через центр тяжести сечения - главными центральными осями инерции сечения.

Моменты инерции относительно главных осей инерции сечения называются главными моментами инерции сечения и обозначаются через I1 и I2 причем I1>I2. Обычно, говоря о главных моментах, подразумевают осевые моменты инерции относительно главных центральных осей инерции.

Предположим, что оси u и v главные. Тогда

.

Отсюда

.

(6.32)

Уравнение (6.32) определяет положение главных осей инерции сечения в данной точке относительно исходных осей координат. При повороте осей координат изменяются также и осевые момента инерции. Найдем положение осей, относительно которых осевые моменты инерции достигают экстремальных значений. Для этого возьмем первую производную от Iu по α и приравняем ее нулю:

,

отсюда

.

К тому же результату приводит и условие dIv /dα. Сравнивая последнее выражение с формулой (6.32), приходим к заключению, что главные оси инерции являются осями, относительно которых осевые моменты инерции сечения достигают экстремальных значений.

Для упрощения вычисления главных моментов инерции формулы (6.29) - (6.31) преобразовывают, исключая из них с помощью соотношения (6.32) тригонометрические функции:

.

(6.33)

Знак плюс перед радикалом соответствует большему I1, а знак минус - меньшему I2 из моментов инерции сечения.

Укажем на одно важное свойство сечений, у которых осевые моменты инерции относительно главных осей одинаковы. Предположим, что оси y и z главные (Iyz=0), а Iy=Iz. Тогда согласно равенствам (6.29) - (6.31) при любом угле поворота осей α центробежный момент инерции Iuv=0, а осевые Iu=Iv.

Итак, если моменты инерции сечения относительно главных осей одинаковы, то все оси, проходящие через ту же точку сечения, являются главными и осевые моменты инерции относительно всех этих осей одинаковы: Iu=Iv=Iy=Iz. Этим свойством обладают, например, квадратные, круглые, кольцевые сечения.

Формула (6.33) аналогична формулам (3.25) для главных напряжений. Следовательно, и главные моменты инерции можно определять графическим способом методом Мора.

Изменение моментов инерции при повороте осей координат

Предположим, что задана система осей координат и известны моменты инерции Iz, Iy и Izy фигуры относительно этих осей. Повернем оси координат на некоторый угол α против часовой стрелки и определим моменты инерции той же фигуры относительно новых осей координат u и v.

Рис. 6.8.

Из рис. 6.8 следует, что координаты какой-либо точки в обеих системах координат связаны между собой соотношениями

Момент инерции

.

Следовательно,

.

(6.29)

.

(6.30)

Центробежный момент инерции

.

(6.31)

Из полученных уравнений видно, что

,

т. е. сумма осевых моментов инерции при повороте осей координат остается величиной постоянной. Поэтому, если относительно какой-либо оси момент инерции достигает максимума, то относительно перпендикулярной ей оси он имеет минимальное значение.

Список литературы:

Наумова Ж.Л. Начертательная геометрия.: Учебное пособие для самостоятельной работы – Хабаровск: Изд-во Хабар. , 2003

Кузнецов Н.С. Начертательная геометрия. М. "Высшая школа",1969


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69161. НОРМЫ ПРОЧНОСТИ САМОЛЕТОВ. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ СЛУЧАИ НАГРУЖЕНИЯ САМОЛЕТА 729 KB
  В странах СНГ в настоящее время эксплуатируется большое количество самолетов, которые проектировались и изготавливались в соответствии с Едиными Нормами летной годности гражданских самолетов (ЕНЛГС). Они действовали до распада СССР.
69162. НАЗНАЧЕНИЕ КРЫЛА И ТРЕБОВАНИЯ К НЕМУ 1.53 MB
  Крыло — несущая поверхность самолета, которая служит для создания аэродинамической подъемной силы, необходимой для обеспечения полета и маневров самолета на всех режимах, предусмотренных ТТТ. Крыло принимает участие в обеспечении поперечной устойчивости и управляемости...
69163. Внешние нагрузки на крыло самолета и их распределение 1.13 MB
  На крыло самолета действуют следующие нагрузки: распределенные аэродинамические силы qаэр; распределенные массовые силы конструкции крыла qкр; сосредоточенные силы от грузов агрегатов находящиеся внутри или вне крыла gгр.
69164. Построение эпюр поперечных сил Q, изгибающих М и крутящих моментов Мz в сечениях крыла 696.5 KB
  Построение эпюр поперечных сил Q изгибающих М И крутящих моментов Мz В СЕЧЕНИЯХ КРЫЛА 8. Уравновешиваются эти нагрузки опорными реакциями rф крыла на фюзеляже рис. Площадь каждой iой трапеции численно равна приращению поперечной силы...
69166. Механизмы инвестирования и реинвестирования. Оценка бизнеса 97 KB
  По формам собственности инвестиции подразделяются: частные средства граждан предприятий негосударственной формы собственности неправительственных организаций; государственные финансируемые за счет бюджетных средств различных уровней государственными предприятиями...
69167. Системы налогообложения 114.5 KB
  Налоги оплата услуг государства за обеспечение гражданских прав и свобод граждан страны. Объект налогообложения событие вещь явление существование которых предполагает уплату соответствующего налога например наличие квартиры или наличие прав на земельный...
69168. Прогнозирование в проектах 181 KB
  Прогноз вполне понятно это продукт прогнозирования. объективная необходимость прогнозирования в условиях рыночной экономики обусловлена: Общественным характером производства; Усложнением межотраслевых и региональных связей...
69169. Механизмы управления рисками 145.5 KB
  Понятием риска характеризуется неопределенность связанная с возможностью возникновения в ходе реализации проекта неблагоприятных ситуаций и последствий. Таким образом четко заметна тесная связь риска вероятности и неопределенности.