4457

Геометрические характеристики координатных осей

Реферат

Математика и математический анализ

Геометрические характеристики координатных осей. Главные оси и главные моменты инерции При повороте осей координат центробежный момент инерции меняет знак, а следовательно, существует такое положение осей, при котором центробежный момент равен нулю....

Русский

2012-11-20

46 KB

8 чел.

Геометрические характеристики координатных осей.

Главные оси и главные моменты инерции

При повороте осей координат центробежный момент инерции меняет знак, а следовательно, существует такое положение осей, при котором центробежный момент равен нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения обращается в нуль, называются главными осями, а главные оси, проходящие через центр тяжести сечения - главными центральными осями инерции сечения.

Моменты инерции относительно главных осей инерции сечения называются главными моментами инерции сечения и обозначаются через I1 и I2 причем I1>I2. Обычно, говоря о главных моментах, подразумевают осевые моменты инерции относительно главных центральных осей инерции.

Предположим, что оси u и v главные. Тогда

.

Отсюда

.

(6.32)

Уравнение (6.32) определяет положение главных осей инерции сечения в данной точке относительно исходных осей координат. При повороте осей координат изменяются также и осевые момента инерции. Найдем положение осей, относительно которых осевые моменты инерции достигают экстремальных значений. Для этого возьмем первую производную от Iu по α и приравняем ее нулю:

,

отсюда

.

К тому же результату приводит и условие dIv /dα. Сравнивая последнее выражение с формулой (6.32), приходим к заключению, что главные оси инерции являются осями, относительно которых осевые моменты инерции сечения достигают экстремальных значений.

Для упрощения вычисления главных моментов инерции формулы (6.29) - (6.31) преобразовывают, исключая из них с помощью соотношения (6.32) тригонометрические функции:

.

(6.33)

Знак плюс перед радикалом соответствует большему I1, а знак минус - меньшему I2 из моментов инерции сечения.

Укажем на одно важное свойство сечений, у которых осевые моменты инерции относительно главных осей одинаковы. Предположим, что оси y и z главные (Iyz=0), а Iy=Iz. Тогда согласно равенствам (6.29) - (6.31) при любом угле поворота осей α центробежный момент инерции Iuv=0, а осевые Iu=Iv.

Итак, если моменты инерции сечения относительно главных осей одинаковы, то все оси, проходящие через ту же точку сечения, являются главными и осевые моменты инерции относительно всех этих осей одинаковы: Iu=Iv=Iy=Iz. Этим свойством обладают, например, квадратные, круглые, кольцевые сечения.

Формула (6.33) аналогична формулам (3.25) для главных напряжений. Следовательно, и главные моменты инерции можно определять графическим способом методом Мора.

Изменение моментов инерции при повороте осей координат

Предположим, что задана система осей координат и известны моменты инерции Iz, Iy и Izy фигуры относительно этих осей. Повернем оси координат на некоторый угол α против часовой стрелки и определим моменты инерции той же фигуры относительно новых осей координат u и v.

Рис. 6.8.

Из рис. 6.8 следует, что координаты какой-либо точки в обеих системах координат связаны между собой соотношениями

Момент инерции

.

Следовательно,

.

(6.29)

.

(6.30)

Центробежный момент инерции

.

(6.31)

Из полученных уравнений видно, что

,

т. е. сумма осевых моментов инерции при повороте осей координат остается величиной постоянной. Поэтому, если относительно какой-либо оси момент инерции достигает максимума, то относительно перпендикулярной ей оси он имеет минимальное значение.

Список литературы:

Наумова Ж.Л. Начертательная геометрия.: Учебное пособие для самостоятельной работы – Хабаровск: Изд-во Хабар. , 2003

Кузнецов Н.С. Начертательная геометрия. М. "Высшая школа",1969


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6876. Створення геоприв’язаної карти 3.87 MB
  Створення геоприв'язаної карти Однією з базових задач в роботі із супутниковими знімками, є прив'язка їх до існуючої карти, чи створення нової карти на основі супутникових зображень. В даній роботі ми розглянемо процес створення геоп...
6877. Ефект Холла. Визначення знаку носіїв струму, їх концентрації і рухливості у напівпровідниках і напівметалах за допомогою ефекту Холла 262.5 KB
  Ефект Холла Мета роботи: визначення знаку носіїв струму, їх концентрації і рухливості у напівпровідниках і напівметалах за допомогою ефекту Холла. Зміст роботи і завдання Ознайомитись із приладами, які використовуються в роботі. Виміряти...
6878. Дослідження характеристик дуги постійного струму 405 KB
  Дослідження характеристик дуги постійного струму 1 Мета роботи Метою роботи є ознайомлення з електричною дугою постійного струму, її статичними вольт-амперними і регулювальними характеристиками, умовами існування стаціонарного дугового розряду і виб...
6879. Дослідження діелектричних властивостей сегнетоелектриків 226.5 KB
  Дослідження діелектричних властивостей сегнетоелектриків Мета роботи: дослідження процесів, що відбуваються при поляризації сегнетоелектриків та визначення їх діелектричних характеристик. Зміст роботи і завдання. Ознайомитись з експериментальною у...
6880. Головне меню програми та MDI інтерфейс 74.18 KB
  Головне меню програми та MDI інтерфейс Хід роботи 1)Створив новий проект, додав 2 форми, розмістив необхідні компоненти на формах. Далі вказав головну батьківську форму...
6881. Побудова 3D-моделі рельєфа 1.21 MB
  Побудова 3D-моделі рельєфа. Одночасно відкриті в ENVI знімок та карта Використаємо створені на попередній лабораторній роботі файли карти для побудови тривимірної моделі поверхні. Для цього нам потрібна карта висот відповідної області...
6882. Магнітна індукція у феромагнетиках 215 KB
  Магнітна індукція у феромагнетиках Мета роботи: вивчення процесів, що відбуваються при намагнічуванні та перемагнічуванні тороидального феромагнітного сердечника. Зміст роботи і завдання 1. Ознайомитися з лабораторним макетом для зняття петель перем...
6883. Робота із мультиспектральними знімками. Класифікація 2.5 MB
  Робота із мультиспектральними знімками. Класифікація Більшість супутників, що проводять фотозйомку земної поверхні постачають дані не у вигляді кольорового зображення, а у вигляді декількох (інколи декількох десятків) монохромних зображень - по...
6884. Справочно-библиографический аппарат библиотеки 41.41 KB
  Справочно-библиографический аппарат библиотеки. Определение, состав и задачи справочно-библиографического аппарата (СБА) Согласно ГОСТ 7.26-80 Библиотечное дело. Основные термины и определения справочно-библиографический аппарат (СБА) библи...