4457

Геометрические характеристики координатных осей

Реферат

Математика и математический анализ

Геометрические характеристики координатных осей. Главные оси и главные моменты инерции При повороте осей координат центробежный момент инерции меняет знак, а следовательно, существует такое положение осей, при котором центробежный момент равен нулю....

Русский

2012-11-20

46 KB

8 чел.

Геометрические характеристики координатных осей.

Главные оси и главные моменты инерции

При повороте осей координат центробежный момент инерции меняет знак, а следовательно, существует такое положение осей, при котором центробежный момент равен нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения обращается в нуль, называются главными осями, а главные оси, проходящие через центр тяжести сечения - главными центральными осями инерции сечения.

Моменты инерции относительно главных осей инерции сечения называются главными моментами инерции сечения и обозначаются через I1 и I2 причем I1>I2. Обычно, говоря о главных моментах, подразумевают осевые моменты инерции относительно главных центральных осей инерции.

Предположим, что оси u и v главные. Тогда

.

Отсюда

.

(6.32)

Уравнение (6.32) определяет положение главных осей инерции сечения в данной точке относительно исходных осей координат. При повороте осей координат изменяются также и осевые момента инерции. Найдем положение осей, относительно которых осевые моменты инерции достигают экстремальных значений. Для этого возьмем первую производную от Iu по α и приравняем ее нулю:

,

отсюда

.

К тому же результату приводит и условие dIv /dα. Сравнивая последнее выражение с формулой (6.32), приходим к заключению, что главные оси инерции являются осями, относительно которых осевые моменты инерции сечения достигают экстремальных значений.

Для упрощения вычисления главных моментов инерции формулы (6.29) - (6.31) преобразовывают, исключая из них с помощью соотношения (6.32) тригонометрические функции:

.

(6.33)

Знак плюс перед радикалом соответствует большему I1, а знак минус - меньшему I2 из моментов инерции сечения.

Укажем на одно важное свойство сечений, у которых осевые моменты инерции относительно главных осей одинаковы. Предположим, что оси y и z главные (Iyz=0), а Iy=Iz. Тогда согласно равенствам (6.29) - (6.31) при любом угле поворота осей α центробежный момент инерции Iuv=0, а осевые Iu=Iv.

Итак, если моменты инерции сечения относительно главных осей одинаковы, то все оси, проходящие через ту же точку сечения, являются главными и осевые моменты инерции относительно всех этих осей одинаковы: Iu=Iv=Iy=Iz. Этим свойством обладают, например, квадратные, круглые, кольцевые сечения.

Формула (6.33) аналогична формулам (3.25) для главных напряжений. Следовательно, и главные моменты инерции можно определять графическим способом методом Мора.

Изменение моментов инерции при повороте осей координат

Предположим, что задана система осей координат и известны моменты инерции Iz, Iy и Izy фигуры относительно этих осей. Повернем оси координат на некоторый угол α против часовой стрелки и определим моменты инерции той же фигуры относительно новых осей координат u и v.

Рис. 6.8.

Из рис. 6.8 следует, что координаты какой-либо точки в обеих системах координат связаны между собой соотношениями

Момент инерции

.

Следовательно,

.

(6.29)

.

(6.30)

Центробежный момент инерции

.

(6.31)

Из полученных уравнений видно, что

,

т. е. сумма осевых моментов инерции при повороте осей координат остается величиной постоянной. Поэтому, если относительно какой-либо оси момент инерции достигает максимума, то относительно перпендикулярной ей оси он имеет минимальное значение.

Список литературы:

Наумова Ж.Л. Начертательная геометрия.: Учебное пособие для самостоятельной работы – Хабаровск: Изд-во Хабар. , 2003

Кузнецов Н.С. Начертательная геометрия. М. "Высшая школа",1969


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7751. Педагогика в системе современного человекознания 207.5 KB
  Педагогика в системе современного человекознания. Возникновение и развитие педагогической науки. Свое название педагогика получила от функции, которую в Древней Греции исполняли рабы, специально приставленные к молодым людям из аристократическ...
7752. Методология педагогики и методы педагогических исследований 82 KB
  Методология педагогики и методы педагогических исследований 1. Методология педагогики, её уровни и функции Понятие методология педагогической науки. Термин методология в научной лексике используется в нескольких смыслах: 1) методология - это у...
7753. Целеполагание в педагогике 178.5 KB
  Целеполагание в педагогике. Понятие цели воспитания Проблема научного обоснования цели воспитания обуславливается объективной зависимостью между осознанием личностью цели деятельности и достижением ее результатов. Чтобы добиться успеха,...
7754. Общие закономерности развития личности 101.5 KB
  Общие закономерности развития личности. 1. Закон развития высших психических функций человека по Л.С.Выготскому. Л.С.Выготский: Общий генетический закон развития высших психических функций человека, который является основой культурно-историчес...
7755. Современное состояние образования 175 KB
  Современное состояние образования 1. Анализ состояния современной системы образования Основными целями функционирования системы образования в обществе выступают: подготовка подрастающего поколения к самостоятельной жизни и труду в условиях быс...
7756. Дидактика как теория обучения 148.5 KB
  Дидактика как теория обучения. Общее понятие о дидактике, ее предмет, основные категории Отрасль научного знания, которая изучает и исследует проблемы образования и обучения, называется дидактикой. В дидактике научно обосновываются закономерности...
7757. Процесс обучения как целостная система 117 KB
  Процесс обучения как целостная система. Двусторонний характер процесса обучения. Процесс обучения является разновидностью человеческой деятельности, которая носит двусторонний характер. Этот процесс обязательно предполагает взаимодействие преподав...
7758. Научные основы содержания образования в современной школе 62 KB
  Научные основы содержания образования в современной школе. Понятие содержания образования, его сущность. Концепция содержания образования по И.Я. Лернеру, В.В. Краевскому, М.Н. Скаткину. Обучение - это социально обусловленный процесс, вызванный...
7759. Методы обучения. Понятие и сущность метода, приема и средств обучения 230 KB
  Методы обучения 1. Понятие и сущность метода, приема и средств обучения Метод (в переводе с греческого языка означает буквально путь к чему-либо) обозначает способ деятельности, направленной на достижение определённой цели. В педагогической ли...