44978

Случайные процессы

Доклад

Математика и математический анализ

В ряде систем для изучения отдельных звеньев системы применяется специальный ввод в систему случайных воздействий. Среднее значение mft и myt являются не случайными значениями и они связаны между собой через передаточную функцию системы. Ry = M[ytyt] Чтобы получить искомое выражение для искомой функции выходные величины по искомой функции входные воздействия – воспользуемся связью между входной и выходной величиной системы через её весовую функцию. Эту связь можно выразить через передаточную функцию системы.

Русский

2013-11-15

269.5 KB

10 чел.

26. Случайные процессы

Методы описания в случайных процессах. Для того чтобы наиболее точно исследовать САУ необходимо располагать как можно более достоверными данными о приложенных системах воздействия. Предельно точное описание этих воздействий является задание их в виде детерминированных функций времени. Однако этого не всегда удаётся достичь либо в следствии недостатка информации, либо в связи с природой этих воздействий. В этом случае воздействие на систему рассматривается как случайная функция времени и в этом случае их описывают статически. Шумы в усилителях так же носят случайный характер. При наличии случайных входных воздействий выходная величина так же будет случайной функцией времени. Случайными функциями описывается как полезные воздействия так и помехи. В ряде систем для изучения отдельных звеньев системы применяется специальный ввод в систему случайных воздействий. В этих случаях ставится вопрос о синтезе сигналов, которые должны обладать свойствами случайных функций, но при этом сами сигналы могут быть детерминированы. Такие сигналы называют псевдослучайными. Методы описания случайных процессов можно разделить на две группы:

  1.  Методы усреднения по множеству.
  2.  Методы усреднения по времени (В результате усреднения по времени получаются корреляционные функции и спектральные плотности)

Рассмотрим применение псевдослучайных сигналов:

  1.  Независящая от времени случайная величина х = а
  2.  Синусоидальный сигнал со случайной фазой х = хмsin(0t + )
  3.  Одиночный импульс заданной продолжительности в случайный момент времени х = а[1.(t-t0)-1.(t-T0-t0)]
  4.  Идеальный импульс, действующий в случайный момент времени  х = (t-t0)
  5.  Двоичный белый шум.

6.   Псевдослучайный двоичный белый шум          

При наличии двух и более случайных сигналов необходимо знать связь между этими сигналами. Эта взаимосвязь может быть выражена либо совместной плотностью распределения, либо взаимной спектральной плотностью  Sxy. Если взаимная корреляционная функция Rxy двух случайных сигналов равна 0, то сигналы называют не корреляционными. В противном случае – корреляционными.

Прохождение случайного сигнала через линейную систему.

Стационарное случайное воздействие f(t) вызывает соответственно стационарное изменение выходной величины y(t). В общем случае случайное воздействие состоит из среднего значения и центрированной случайной части: f(t) = mf(t) + f 0(t)       y(t) = my(t) + y 0(t)

my(t) – среднее значение              y 0(t) – центрированная случайная часть.

Для линейных систем на основании принципа суперпозиции каждая из этих систем может быть найдена раздельно. Среднее значение mf(t) и my(t) являются не случайными значениями и они связаны между собой через передаточную функцию системы.  my(t) = Фf(0)* mf(t)

Для стационарного случайного процесса mf(t) и my(t) представляют собой постоянные величины и поэтому связь между ними записывается через уравнение статики: my = Фf(0)* mf  (2).

Теперь перейдём к нахождению через f 0(t). Входное воздействие f 0(t) может быть заданно либо корреляционной функцией либо спектральной плотностью.       f 0(t) Rf 0(t),  Sf0(). 

Эти характеристики могут быть получены в результате обработки экспериментально снятых кривых f(t).

Выходная величина: .       y0(t) Ry 0(t),  Sy0().

Ry() = M[y(t),y(t-)]

Чтобы получить искомое выражение для искомой функции, выходные величины по искомой функции, входные воздействия – воспользуемся связью между входной и выходной величиной системы через её весовую функцию.

Введём в уравнение новую переменную 2 :

Отсюда корреляционная функция, как среднее значение этого выражения

 

Выражение (4) позволяет связать корреляционную функцию на выходе с корреляционной функцией входного воздействия через весовую функцию.

Каждая из записей – интеграл свёртки. Корреляционная функция выходного воздействия получается двухкратным взятием интеграла свёртки от корреляционной функции входного воздействия. Выражения (4) и (5) устанавливают связь между корреляционными функциями входного и выходного сигнала в интегральной форме. Эту связь можно выразить через передаточную функцию системы.

Ry() = Фf(S)*Фf(-S)*Rf()    (6)

Выведем соотношение, позволяющее находить спектральную плотность на выходе по спектральной плотности  входного сигнала. Функция спектральной плотности является изображением Фурье корреляционной функции.

Если в (7) подставить найденное значение для y(), то получим:

Sy() = Фf(S)* Фf(-S)* Sf() =  Фf(S)2* Sf()    (8)

Квадратно-амплитудное:     Sy() =  Аз2()*Sf()

Таким образом спектральная плотность стационарного излучения процесса на выходе системы = спектральной плотности входного воздействия, умноженное на квадрат амплитуды частотной характеристики системы.

Спектральная плотность есть частная характеристика для средних значений квадратов амплитуд гармоник.

Пример:     Ф(S) = k/(TS+1)

Sf() = Sf = Const = спектральная плотность, т.е. входной сигнал представляет собой белый шум, Используя (8) находи выражение для плотности на выходе системы:

В результате прохождения через инерционную систему бесконечный спектр входного воздействия ограничивается в соответствии с АХ системы.

Синтез

Задача синтеза САУ по усл обеспечение требуемой точности в стационарном случ режиме сводится к опред-ю передаточной ф-ии системы при к-ой выполн-ся неравенство:    

Если при синтезе системы по усл обеспечение требуемой точности в детерминированном стационарном режиме задача сводится к опред-ию порядка астатизма и коэфф-та передач, то при наличии случ воздействий точность системы опред-ся всей передаточной функцией системы.

Общий порядок синтеза ЧХ сводится к след-му:

  1.  Прежде всего находится ЧХ известной части системы (объект управления, датчики, исполнительный механизм)
  2.  Затем по заданным значениям спектральной плоскости входного воздействия и величине Dyдоп выходного сигнала определяется как надо скорректировать ЧХ известной части системы, чтобы обеспечить требуемую точность. На основе этого определяется ЧХ неизвестной части системы и затем определяется передаточная функция
  3.  Если все приложенные к системе случ воздействия явл-ся либо помехами, либо задающими воздействиями, то теоретически соответствующим выбором передаточной функции можно обеспечить любую точность системы.

Если к системе одновременно приложены оба вида воздействия(возмущение и задание), то в этом случае существует оптимальное выражение для передаточной функции, к-ая обеспечивает допустимое значение D на выходе. Эта передаточная функция однозначно определяется спектральными плотностями внешних воздействий. Эта оптимальная функция обеспечивает минимум D, меньше к-го нельзя получить не выходя за рамки линейной системы.

Wоpt(jw) - Dymin

В этом случае не всякие требования по точности могут быть практически реализованы в лин САУ, поэтому если требования по точности достаточно жёсткие, то задача синтеза должна решаться как задача определения оптимальной передаточной функции.

Задача нахождения оптимальной передаточной фун-ии обеспечивающей максимум дисперсии выходной величины при воздействии задающего и возмущающего воздействия была решена Колмогоровым и Винером. Оптимальная передаточная фун-ия искалась при условии преобразования сигнала y0(s)*x, где Ф0(s) заданная желаемая передат фун-ия, при этом решалась задача обеспечения минимума отклонения y-y0.

Полученное выражение для оптим-ой передат фун-ии в большинстве практических задач дает физически не реализуемые выражения. Из получ-го выражения выделяют физически реализуемое слагаемое и далее рассматривают только его. Нахождение опт передат ф-ии не явл-ся ещё полным решением задачи синтеза. Найденное выражение передат ф-ии следует рассматривать как предел к которому необходимо стремиться. Для завершения задачи синтеза после нахождения опт передат ф-ии надо опред-ть как выполняются и др требования предъявляемые к системе.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3613. CASE-средства: этапы становление, современное состояния 93.5 KB
  CASE-средства: этапы становление, современное состояния Техническими предпосылками CASE-технологий являются средства машинной графики, большие объемы используемой памяти ЭВМ, высокая производительность и т.п. В настоящее время можно выделить три пок...
3614. Понятие темперамента 85 KB
  Понятие о темпераменте Темперамент является одним из наиболее значимых свойств личности. Интерес к данной проблеме возник более двух с половиной тысяч лет тому назад. Он был вызван очевидностью существования индивидуальных различий, которые обуслов...
3615. Начертательная геометрия и инженерная графика 2.3 MB
  Содержание и объем контрольных работ находятся в соответствии с программой Министерства образования Российской Федерации. Пособие включает методические указания, рабочую программу и варианты заданий для контрольных работ. В нем кратко изложен теорет...
3616. Разработка технологического процесса механической обработки детали «Клапан» 579.5 KB
  Основные направления в развитии технического прогресса, которые характеризуются не только непрерывным появлением принципиально новых технологических процессов производства, но и непрерывной заменой существующих процессов более точными
3617. Проектування металоконструкцій 550.5 KB
  Методичні вказівки до виконання розрахунково-графічної роботи з курсу “Проектування металоконструкцій” для студентів спеціальності 7.090214 - “Підйомно-транспортні, будівельні, дорожні, меліоративні машини і обладнання” і 6.0...
3618. Технологічні комплекси для виробництва будівельних матеріалів 928 KB
  Методичні вказівки до виконання практичних вправ, курсового та дипломного проектів з курсу “Технологічні комплекси для виробництва будівельних матеріалів” розділ: “Дробарно-сортувальні комплекси” для студентів спеціальності 7...
3619. Инновационно-инвестиционный процесс в переходной экономике России 447 KB
  Россия вступила в 2011 г. в условиях заметного оживления экономики, преодолев наиболее острые последствия финансового и экономического кризиса 1998 г. Этому способствовали усилия правительства по стабилизации экономики и финансов в посткриз...
3620. Аккумуляторы и аккумуляторные батареи 35 KB
  Особенности работы батарей При включении отдельных элементов в батареи необходимо решить ряд тривиальных вопросов: а) выбор межэлементных соединений, рассчитанных на максимально возможный для данной батареи ток, но вместе с тем не слишком тяжёлых б...
3621. Проект массового взрыва на карьере 234 KB
  Содержание расчетной части проекта. 1. Определение относительного показателя трудности бурения породы по В.В. Ржевскому: Пб = 0,07...