44989

Устойчивость систем управления. Первый метод Ляпунова

Доклад

Математика и математический анализ

Устойчивость систем управления. Устойчивость свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какоголибо воздействия. когда установившийся режим вообще отсутствует дается общее определение устойчивости: Система устойчива если её выходная величина остаётся ограниченной в условиях действия на систему ограниченных по величине возмущений. Если в характеристическом уравнении системы имеется хотя бы один нулевой корень или хотя бы одна пара чисто мнимых корней λii1 =...

Русский

2013-11-15

87.5 KB

20 чел.

7. Устойчивость систем управления. Первый метод Ляпунова.

Устойчивость – свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия. Это свойство затухания переходного процесса с течением времени.

Для тех объектов, которые работают в условиях непрерывно меняющихся воздействий, т.е. когда установившийся режим вообще отсутствует, дается общее определение устойчивости:

Система устойчива, если её выходная величина остаётся ограниченной в условиях действия на систему ограниченных по величине возмущений.

Yсв →0  при t→∞ , если все корни характеристического уравнения λ обладают отрицательной вещественной частью.

Если хотя бы один вещественный корень λi будет положительным или хотя бы одна пара комплексно-сопряженных корней будет иметь положительную вещественную часть, то в этом случае процесс будет расходящийся.

Если в характеристическом уравнении системы имеется хотя бы один нулевой корень или хотя бы одна пара чисто мнимых корней λi,i+1 = + , то система будет находиться на границе устойчивости.

Метод Ляпунова. Он дал первое определение устойчивости:

В качестве возмущения Ляпунов рассматривал любое отклонение от установившегося режима, т.е. он рассматривал устойчивость как св-во свободного движения.

Пусть y*(t) – обозначает некоторый установив-ся режим, а действительное текущее знач. yy(t).  y(t) – соответствует возмущенному движению.

Отклонение возм-го движ-ия от невозм-го обозн-м через xi(t)

xi(t)= yi(t)- yi*(t)

(*)- диж ур-ие в форме Коши в отклонениях.

Невоз-ое движение х*=0, xi можно принять за координаты состояния системы.

Если мы смогли бы найти все решения этого ур-ия, то мы могли бы найти все возм-ие возействия.

В общем случае конкретное выражение зависит от y*, т.е. при рассмотрении устойчивости необходимо указать об уст-ти какого режима идет речь.

Геометрическая трактование уст-ти Ляпунова.

Невозмущенное движение х*=0 называется устойчивым если задав трубку сколь угодно малого n-мерного сечения Е можно подобрать в нач-ный мом. вр. t0 такую обл-ть нач-х условий d завис-ая от Е, что в дальнейшем увеличение t возмущ-ое движ-ие x(t) не выйдет из заданной трубки Е.

Аналитический критерий уст-ти Ляпунова.

Невоз-ое дв-ие х*=0 наз-ся уст-вым, если при заданном Е>0 сколь угодно мало оно не было сущ-ет такое d>0 зав-ее от Е, что при нач-х услов-ях если xi(t0)< d, то при дальнейшем движении  |xi(t)|< Е.

Если данное условие не выполняется хотя бы для одного xi, то сис-ма неустойчива. Если при выполнении данных условий xi ->0 при t->¥ то невозм-ое движение – асимптотически устойчивое. Если x(t)->0 при любых нач-х отклонениях, то сис-ма наз-ся уст-ой в целом.

Ляпунов рассматривал в общем случае не линейную сис-му, а ее линеаризованный вариант. Он предположил теорему уст-ти, кот-ая позволяет судить об уст-ти нелин-ой сис-мы по ее линеаризованному варианту. Если ур-ие (*) разложить в ряд Тейлора:

-Линейное ур-ие 1-го приближения для него можно составить хар-ое ур-ие.

Для нелинейных сис-м к которым применимо разложение (**) сущ-ет 3 теоремы Ляпунова об исследовании уст-ти по 1-му приближению.

Т.1. Невозм-ое движ-ие х*=0 устойчиво не зависимо от вида малых нелинейностей jI, если все корни хар-го ур-ия D(l)  имеют ориц-ые вещественные корни.

Т.2. Невозм-ое движ-ие х*=0 не устойчиво не зависимо от вида малых нелинейностей jI, если хотя бы один корень  хар-го ур-ия D(l) имеет полож-ую вещест-ую часть.

Т.3. В случае наличия в каких-либо корнях хар-го ур-ия нулевой вещ-ой части при всех остальных отрицательных ничего нельзя сказать об уст-ти невозм-го движения х*=0 по 1-му приближению, т.е. без спец-ого исследования ур-ия (**).

По Т.3. сис-ма нах-ся на границе устойчивости.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27495. Общая характеристика судебной власти и в России 27 KB
  Общая характеристика судебной власти и в России В соответствии с принципом разделения властей одной из трёх наряду с законодательной и исполнительной властью ветвей власти является судебная. Органы судебной власти разрешают правовые споры тяжбы между конкретными лицами а также рассматривают дела об оспаривании правовых предписаний на предмет соответствия правилам более высокой силы законов Конституции подзаконных нормативных актов законам так называемый нормоконтроль в отдельных случаях дают толкование правовым нормам в основном...
27496. Общая характеристика типов (моделей) соотношения права и государства 31.5 KB
  Общая характеристика типов моделей соотношения права и государства. Проблема соотношения государства и права достаточно сложна. Согласно первой государство выше и важнее права оно творит право и использует его в качестве инструмента своей политики. Тоталитарная модель соотношения государства и права была широко распространена в советской научной и учебной литературе так как она уходит корнями в учение К.
27497. Общая характеристика феодального государства и права 30 KB
  Общая характеристика феодального государства и права. Типология государства традиционно рассматривают как теория учение о типах государств когдалибо существовавших в истории человеческого общества или существующих в настоящее время. Типология государства это процесс систематизации государств с учетом их сущностных свойств для повышения эффективности в теоретической и практической деятельности по изучению государства и правоприменения. Под типом государства понимаются взятые в единстве общие черты различных государств система их...
27498. Общенаучные и частнонаучные методы теории права и государства 30.5 KB
  Признаками методов теории государства и права являются: способствование углублению знаний о государстве и праве соответствование понятиям права осуществление юридического познания окружающей действительности. Все методы теории государства и права можно расположить в следующей последовательности: всеобщие методы; общенаучные методы; частнонаучные методы. В теории государства и права используется весьма широко.
27499. Определите гипотезу и диспозицию ст. 211 ГК РФ 32 KB
  Нормы права устанавливающие определенный шаблон поведения в той или иной ситуации т. 1 Гипотеза юридической нормы часть юридической нормы указывающая на жизненные обстоятельства при наличии или отсутствии которых реализуется норма. Если в гипотезе указано одно обстоятельство с наличием или отсутствием которого связывается действие юридической нормы то такая гипотеза называется простой. Если гипотеза действие нормы ставит в зависимость от наличия или отсутствия одновременно двух или более обстоятельств то она называется сложной.
27500. Определите структуру пенсионного правоотношения 25 KB
  В структуру правоотношения входят: 1 Субъекты участники. 3 Содержание: Субъективное право право принадлежащее субъекту права т.е управомоченному лицу мера возможного поведения.
27501. Определите структуру страхового правоотношения 30.5 KB
  Определите структуру страхового правоотношения. Страховое правоотношение это отношение урегулированное нормами страхового права и представляющее организационное единство правовой формы и его содержания возникающее действующее изменяющееся и прекращающееся на основе норм страхового права и определяемых ими субъективных прав юридических обязанностей и ответственности страхователя и страховщика. Структура страхового правоотношения состоит из следующих элементов: 1 субъект; 2 объект; 3 содержание. Так например к числу основных прав...
27502. Определите, к какому виду актов относятся: приговор суда, приказ о зачислении на работу, и какова их структура 27 KB
  Определите к какому виду актов относятся: приговор суда приказ о зачислении на работу и какова их структура. Структура: Структурная единица логический элемент правового акта объединяющий сходные в той или иной степени нормы права.
27503. Определите, к какому виду правовых норм относится ст.5 ГК РФ 35 KB
  Нормы бывают исходные и правила поведения. Так же нормы бывают: начала дефиниции принципы коллизионные. 1 Исходные отправные первичные учредительные нормы занимают высшую ступень в законодательстве имеют наиболее общий характер наиболее высокую форму абстрагирования и выполняют особую роль в механизме правового регулирования общественных отношений. Эти нормы определяют исходные начала основы правового регулирования общественных отношений.