44989

Устойчивость систем управления. Первый метод Ляпунова

Доклад

Математика и математический анализ

Устойчивость систем управления. Устойчивость свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какоголибо воздействия. когда установившийся режим вообще отсутствует дается общее определение устойчивости: Система устойчива если её выходная величина остаётся ограниченной в условиях действия на систему ограниченных по величине возмущений. Если в характеристическом уравнении системы имеется хотя бы один нулевой корень или хотя бы одна пара чисто мнимых корней λii1 =...

Русский

2013-11-15

87.5 KB

20 чел.

7. Устойчивость систем управления. Первый метод Ляпунова.

Устойчивость – свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия. Это свойство затухания переходного процесса с течением времени.

Для тех объектов, которые работают в условиях непрерывно меняющихся воздействий, т.е. когда установившийся режим вообще отсутствует, дается общее определение устойчивости:

Система устойчива, если её выходная величина остаётся ограниченной в условиях действия на систему ограниченных по величине возмущений.

Yсв →0  при t→∞ , если все корни характеристического уравнения λ обладают отрицательной вещественной частью.

Если хотя бы один вещественный корень λi будет положительным или хотя бы одна пара комплексно-сопряженных корней будет иметь положительную вещественную часть, то в этом случае процесс будет расходящийся.

Если в характеристическом уравнении системы имеется хотя бы один нулевой корень или хотя бы одна пара чисто мнимых корней λi,i+1 = + , то система будет находиться на границе устойчивости.

Метод Ляпунова. Он дал первое определение устойчивости:

В качестве возмущения Ляпунов рассматривал любое отклонение от установившегося режима, т.е. он рассматривал устойчивость как св-во свободного движения.

Пусть y*(t) – обозначает некоторый установив-ся режим, а действительное текущее знач. yy(t).  y(t) – соответствует возмущенному движению.

Отклонение возм-го движ-ия от невозм-го обозн-м через xi(t)

xi(t)= yi(t)- yi*(t)

(*)- диж ур-ие в форме Коши в отклонениях.

Невоз-ое движение х*=0, xi можно принять за координаты состояния системы.

Если мы смогли бы найти все решения этого ур-ия, то мы могли бы найти все возм-ие возействия.

В общем случае конкретное выражение зависит от y*, т.е. при рассмотрении устойчивости необходимо указать об уст-ти какого режима идет речь.

Геометрическая трактование уст-ти Ляпунова.

Невозмущенное движение х*=0 называется устойчивым если задав трубку сколь угодно малого n-мерного сечения Е можно подобрать в нач-ный мом. вр. t0 такую обл-ть нач-х условий d завис-ая от Е, что в дальнейшем увеличение t возмущ-ое движ-ие x(t) не выйдет из заданной трубки Е.

Аналитический критерий уст-ти Ляпунова.

Невоз-ое дв-ие х*=0 наз-ся уст-вым, если при заданном Е>0 сколь угодно мало оно не было сущ-ет такое d>0 зав-ее от Е, что при нач-х услов-ях если xi(t0)< d, то при дальнейшем движении  |xi(t)|< Е.

Если данное условие не выполняется хотя бы для одного xi, то сис-ма неустойчива. Если при выполнении данных условий xi ->0 при t->¥ то невозм-ое движение – асимптотически устойчивое. Если x(t)->0 при любых нач-х отклонениях, то сис-ма наз-ся уст-ой в целом.

Ляпунов рассматривал в общем случае не линейную сис-му, а ее линеаризованный вариант. Он предположил теорему уст-ти, кот-ая позволяет судить об уст-ти нелин-ой сис-мы по ее линеаризованному варианту. Если ур-ие (*) разложить в ряд Тейлора:

-Линейное ур-ие 1-го приближения для него можно составить хар-ое ур-ие.

Для нелинейных сис-м к которым применимо разложение (**) сущ-ет 3 теоремы Ляпунова об исследовании уст-ти по 1-му приближению.

Т.1. Невозм-ое движ-ие х*=0 устойчиво не зависимо от вида малых нелинейностей jI, если все корни хар-го ур-ия D(l)  имеют ориц-ые вещественные корни.

Т.2. Невозм-ое движ-ие х*=0 не устойчиво не зависимо от вида малых нелинейностей jI, если хотя бы один корень  хар-го ур-ия D(l) имеет полож-ую вещест-ую часть.

Т.3. В случае наличия в каких-либо корнях хар-го ур-ия нулевой вещ-ой части при всех остальных отрицательных ничего нельзя сказать об уст-ти невозм-го движения х*=0 по 1-му приближению, т.е. без спец-ого исследования ур-ия (**).

По Т.3. сис-ма нах-ся на границе устойчивости.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69004. ФІЗИЧНІ ПРОЦЕСИ В р-n ПЕРЕХОДІ ПРИ ДІЇ ЗОВНІШНЬОЇ ЕЛЕКТРИЧНОЇ НАПРУГИ 105.5 KB
  Оскільки концентрація рухомих носіїв заряду в рп переході менша ніж в областях п та р напівпровідника опір рп переходу буде більший ніж опір області п та р тому можна вважати що вся напруга прикладається до рп переходу При дії зовнішньої напруги порушується рівновага між дифузійним і дрейфовим струмами в рп переході...
69005. Фізичні процеси в біполярних транзисторах з декількома p-n переходами 308 KB
  Для забезпечення інжекції вприскування дірок з емітера в базу необхідна пряма емітерна напруга. Це відбувається тому що товщина бази W значно менше дифузійної довжини вільного пробігу дірок LP. Колекторна напруга вибирається зворотною UК тому виникає екстракція втягування дірок із бази...
69006. БУДОВА, ПРИНЦИП РОБОТИ ТА СТАТИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОЛЬОВОГО ТРАНЗИСТОРА З ІНДУКОВАНИМ КАНАЛОМ 141.5 KB
  При відсутності напруги UЗВ і за наявності напруги UСВ опір між стоком і витоком що визначається двома підключеними назустріч рn переходами великий а струм ІС дуже малий 109. З подачею напруги UЗВ 0 в напівпровіднику виникає електричне поле яке вилучає електрони поверхневого шару підложки...
69007. Параметри біполярного транзистора 364.5 KB
  Для оцінки можливостей застосування транзисторів використовують їх параметри. Параметри транзисторів це числа. Числені значення параметри можуть бути виміряні знайдені за статичними характеристиками або розраховані.
69008. Електронні структури з p-n одним переходом 297 KB
  Для отримання великої площі р n переходу використовують сплавну дифузійну і планарну технологію для малої площі точкову. Ємності р n переходу. Варікапи Поняття ємності переходу повязане з нагромадженням обємних зарядів. S площа переходу Рис.
69009. Відомості про електронні прилади апаратури телекомунікацій. Класифікація електронних приладів 113 KB
  До елементів РЕА які найчастіше зустрічаються відносять радіодеталі. Розглянемо основні показники якості електронних елементів. Параметри це величини які характеризують електричні властивості елементів та їх здатність протистояти дії середовища.
69010. Біполярні напівпровідникові структури з одним п/н переходом 211.5 KB
  Сили притягання протонів ядра атома та електронів орбіти урівноважуються силами їх відштовхування. Отже для існування ковалентного зв’язку необхідна пара валентних електронів спільних для двох сусідніх атомів. Однак енергетичні зовнішні впливи на н п призводять до відриву деяких валентних...
69011. Организация строительства жилого дома со встроенными помещениями на Московском проспекте 1.54 MB
  Разработка технологических карт на сложные виды работ, а именно монолитные работы и работы по устройству вентилируемого фасада здания; разработка календарного плана строительства дома на основе расчета нескольких вариантов организации строительства, их сравнения и выбора наилучшего; проектирование строительного генерального плана объекта; разработка комплекса мероприятий по безопасному производству работ...