44989

Устойчивость систем управления. Первый метод Ляпунова

Доклад

Математика и математический анализ

Устойчивость систем управления. Устойчивость – свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какоголибо воздействия. когда установившийся режим вообще отсутствует дается общее определение устойчивости: Система устойчива если её выходная величина остаётся ограниченной в условиях действия на систему ограниченных по величине возмущений. Если в характеристическом уравнении системы имеется хотя бы один нулевой корень или хотя бы одна пара чисто мнимых корней λii1 =...

Русский

2013-11-15

87.5 KB

20 чел.

7. Устойчивость систем управления. Первый метод Ляпунова.

Устойчивость – свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия. Это свойство затухания переходного процесса с течением времени.

Для тех объектов, которые работают в условиях непрерывно меняющихся воздействий, т.е. когда установившийся режим вообще отсутствует, дается общее определение устойчивости:

Система устойчива, если её выходная величина остаётся ограниченной в условиях действия на систему ограниченных по величине возмущений.

Yсв →0  при t→∞ , если все корни характеристического уравнения λ обладают отрицательной вещественной частью.

Если хотя бы один вещественный корень λi будет положительным или хотя бы одна пара комплексно-сопряженных корней будет иметь положительную вещественную часть, то в этом случае процесс будет расходящийся.

Если в характеристическом уравнении системы имеется хотя бы один нулевой корень или хотя бы одна пара чисто мнимых корней λi,i+1 = + , то система будет находиться на границе устойчивости.

Метод Ляпунова. Он дал первое определение устойчивости:

В качестве возмущения Ляпунов рассматривал любое отклонение от установившегося режима, т.е. он рассматривал устойчивость как св-во свободного движения.

Пусть y*(t) – обозначает некоторый установив-ся режим, а действительное текущее знач. yy(t).  y(t) – соответствует возмущенному движению.

Отклонение возм-го движ-ия от невозм-го обозн-м через xi(t)

xi(t)= yi(t)- yi*(t)

(*)- диж ур-ие в форме Коши в отклонениях.

Невоз-ое движение х*=0, xi можно принять за координаты состояния системы.

Если мы смогли бы найти все решения этого ур-ия, то мы могли бы найти все возм-ие возействия.

В общем случае конкретное выражение зависит от y*, т.е. при рассмотрении устойчивости необходимо указать об уст-ти какого режима идет речь.

Геометрическая трактование уст-ти Ляпунова.

Невозмущенное движение х*=0 называется устойчивым если задав трубку сколь угодно малого n-мерного сечения Е можно подобрать в нач-ный мом. вр. t0 такую обл-ть нач-х условий d завис-ая от Е, что в дальнейшем увеличение t возмущ-ое движ-ие x(t) не выйдет из заданной трубки Е.

Аналитический критерий уст-ти Ляпунова.

Невоз-ое дв-ие х*=0 наз-ся уст-вым, если при заданном Е>0 сколь угодно мало оно не было сущ-ет такое d>0 зав-ее от Е, что при нач-х услов-ях если xi(t0)< d, то при дальнейшем движении  |xi(t)|< Е.

Если данное условие не выполняется хотя бы для одного xi, то сис-ма неустойчива. Если при выполнении данных условий xi ->0 при t->¥ то невозм-ое движение – асимптотически устойчивое. Если x(t)->0 при любых нач-х отклонениях, то сис-ма наз-ся уст-ой в целом.

Ляпунов рассматривал в общем случае не линейную сис-му, а ее линеаризованный вариант. Он предположил теорему уст-ти, кот-ая позволяет судить об уст-ти нелин-ой сис-мы по ее линеаризованному варианту. Если ур-ие (*) разложить в ряд Тейлора:

-Линейное ур-ие 1-го приближения для него можно составить хар-ое ур-ие.

Для нелинейных сис-м к которым применимо разложение (**) сущ-ет 3 теоремы Ляпунова об исследовании уст-ти по 1-му приближению.

Т.1. Невозм-ое движ-ие х*=0 устойчиво не зависимо от вида малых нелинейностей jI, если все корни хар-го ур-ия D(l)  имеют ориц-ые вещественные корни.

Т.2. Невозм-ое движ-ие х*=0 не устойчиво не зависимо от вида малых нелинейностей jI, если хотя бы один корень  хар-го ур-ия D(l) имеет полож-ую вещест-ую часть.

Т.3. В случае наличия в каких-либо корнях хар-го ур-ия нулевой вещ-ой части при всех остальных отрицательных ничего нельзя сказать об уст-ти невозм-го движения х*=0 по 1-му приближению, т.е. без спец-ого исследования ур-ия (**).

По Т.3. сис-ма нах-ся на границе устойчивости.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

51662. Shopping for clothes 65.5 KB
  Общеобразовательные: активизировать лексические навыки по теме «Одежда» и «Покупки»; совершенствовать навыки диалогической речи; совершенствовать навыки аудирования и чтения.
51665. Математика. Я і Україна. Природознавство 566.5 KB
  Що таке РУХ Якими величинами характеризується рух Відстань це простір що розділяє два пункти; проміжок між чим небудь. Одиниці вимірювання хв сек год доба ШВИДКІСТЬ це відстань яку подолано за одиницю часу за якийсь час годину хвилину секунду. Реактивний літак пролетів відстань 6000км за 3 години. Вертоліт за 3 години подолав відстань 400 км.