44989

Устойчивость систем управления. Первый метод Ляпунова

Доклад

Математика и математический анализ

Устойчивость систем управления. Устойчивость свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какоголибо воздействия. когда установившийся режим вообще отсутствует дается общее определение устойчивости: Система устойчива если её выходная величина остаётся ограниченной в условиях действия на систему ограниченных по величине возмущений. Если в характеристическом уравнении системы имеется хотя бы один нулевой корень или хотя бы одна пара чисто мнимых корней λii1 =...

Русский

2013-11-15

87.5 KB

21 чел.

7. Устойчивость систем управления. Первый метод Ляпунова.

Устойчивость – свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия. Это свойство затухания переходного процесса с течением времени.

Для тех объектов, которые работают в условиях непрерывно меняющихся воздействий, т.е. когда установившийся режим вообще отсутствует, дается общее определение устойчивости:

Система устойчива, если её выходная величина остаётся ограниченной в условиях действия на систему ограниченных по величине возмущений.

Yсв →0  при t→∞ , если все корни характеристического уравнения λ обладают отрицательной вещественной частью.

Если хотя бы один вещественный корень λi будет положительным или хотя бы одна пара комплексно-сопряженных корней будет иметь положительную вещественную часть, то в этом случае процесс будет расходящийся.

Если в характеристическом уравнении системы имеется хотя бы один нулевой корень или хотя бы одна пара чисто мнимых корней λi,i+1 = + , то система будет находиться на границе устойчивости.

Метод Ляпунова. Он дал первое определение устойчивости:

В качестве возмущения Ляпунов рассматривал любое отклонение от установившегося режима, т.е. он рассматривал устойчивость как св-во свободного движения.

Пусть y*(t) – обозначает некоторый установив-ся режим, а действительное текущее знач. yy(t).  y(t) – соответствует возмущенному движению.

Отклонение возм-го движ-ия от невозм-го обозн-м через xi(t)

xi(t)= yi(t)- yi*(t)

(*)- диж ур-ие в форме Коши в отклонениях.

Невоз-ое движение х*=0, xi можно принять за координаты состояния системы.

Если мы смогли бы найти все решения этого ур-ия, то мы могли бы найти все возм-ие возействия.

В общем случае конкретное выражение зависит от y*, т.е. при рассмотрении устойчивости необходимо указать об уст-ти какого режима идет речь.

Геометрическая трактование уст-ти Ляпунова.

Невозмущенное движение х*=0 называется устойчивым если задав трубку сколь угодно малого n-мерного сечения Е можно подобрать в нач-ный мом. вр. t0 такую обл-ть нач-х условий d завис-ая от Е, что в дальнейшем увеличение t возмущ-ое движ-ие x(t) не выйдет из заданной трубки Е.

Аналитический критерий уст-ти Ляпунова.

Невоз-ое дв-ие х*=0 наз-ся уст-вым, если при заданном Е>0 сколь угодно мало оно не было сущ-ет такое d>0 зав-ее от Е, что при нач-х услов-ях если xi(t0)< d, то при дальнейшем движении  |xi(t)|< Е.

Если данное условие не выполняется хотя бы для одного xi, то сис-ма неустойчива. Если при выполнении данных условий xi ->0 при t->¥ то невозм-ое движение – асимптотически устойчивое. Если x(t)->0 при любых нач-х отклонениях, то сис-ма наз-ся уст-ой в целом.

Ляпунов рассматривал в общем случае не линейную сис-му, а ее линеаризованный вариант. Он предположил теорему уст-ти, кот-ая позволяет судить об уст-ти нелин-ой сис-мы по ее линеаризованному варианту. Если ур-ие (*) разложить в ряд Тейлора:

-Линейное ур-ие 1-го приближения для него можно составить хар-ое ур-ие.

Для нелинейных сис-м к которым применимо разложение (**) сущ-ет 3 теоремы Ляпунова об исследовании уст-ти по 1-му приближению.

Т.1. Невозм-ое движ-ие х*=0 устойчиво не зависимо от вида малых нелинейностей jI, если все корни хар-го ур-ия D(l)  имеют ориц-ые вещественные корни.

Т.2. Невозм-ое движ-ие х*=0 не устойчиво не зависимо от вида малых нелинейностей jI, если хотя бы один корень  хар-го ур-ия D(l) имеет полож-ую вещест-ую часть.

Т.3. В случае наличия в каких-либо корнях хар-го ур-ия нулевой вещ-ой части при всех остальных отрицательных ничего нельзя сказать об уст-ти невозм-го движения х*=0 по 1-му приближению, т.е. без спец-ого исследования ур-ия (**).

По Т.3. сис-ма нах-ся на границе устойчивости.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76704. Оздоровительная физическая культура 30.99 KB
  Физическая культура часть образа жизни человека система специальных упражнений и спортивной деятельности направленная на развитие его физических и духовных сил. Физическая культура как часть общей культуры направлена на гармоническое развитие всех природных сущностных сил...
76705. Печёночная долька. Железистый и сосудистый варианты строения 971.38 KB
  Структура и функции печени взаимосвязанные вероятностные сущности. Представления о структуре печени это предмет анатомии печени и гистологии печени. Представления о функциях печени это предмет физиологии печени и биохимии печени.
76706. ПЕРВЫЙ ЭТАП СЕСТРИНСКОГО ПРОЦЕССА 423.5 KB
  Она может быть получена от самого пациента членов его семьи свидетелей случившегося самой медицинской сестры её коллег. Для этого в первую очередь необходимо определить проблемы пациента связанные с актуальным или потенциальным состоянием его здоровья.
76707. Los Angeles 33.76 KB
  Los Angeles officially the City of Los Angeles, often known by its initials L.A., is the most populous city in the U.S. state of California and the second-most populous in the United States, after New York City, with a population at the 2010 United States Census of 3,792,621.
76708. Biography of Winnie the Pooh 29.95 KB
  Like many other characters from Milne, Winnie was given the name of one of the real toys Christopher Robin (1920-1996), son of the writer. In turn, the teddy bear Winnie the Pooh was named for the mother bear named Winnipeg (Winnie) contained in the 1920 at the London Zoo.
76709. Развитие и современное состояние автомобилизации 658.64 KB
  Значение автомобильной промышленности и перспективы её развития определяются тем, какое место занимает автотранспорт в транспортно-энергетической инфраструктуре, и его общей ролью в национальной экономике той или иной страны.
76710. Развитие жизни на Земле 87.5 KB
  Эволюционное развитие организмов исследуется целым рядом наук, рассматривающих разные аспекты этой фундаментальной проблемы естествознания. Ископаемые остатки животных и растений существовавших на Земле в прошедшие геологические эпохи, изучает палеонтология,...
76711. Наркомания. Влияние наркотиков на организм человека 36.46 KB
  Злоупотребление наркотиками, известное с древнейших времен, сейчас распространилось в размерах, тревожащих всю мировую общественность. Даже при сужении, с точки зрения наркологов, границ наркомании до юридически приемлемых, во многих странах наркомания признана социальным бедствием.
76712. Ионизирующие излучения. Источники радиоактивного облучения 55.76 KB
  Человек испытывает облучение двумя способами - внешним и внутренним. Если радиоактивные вещества находятся вне организма и облучают его извне, то в этом случае, говорят о внешнем облучении.