44989

Устойчивость систем управления. Первый метод Ляпунова

Доклад

Математика и математический анализ

Устойчивость систем управления. Устойчивость – свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какоголибо воздействия. когда установившийся режим вообще отсутствует дается общее определение устойчивости: Система устойчива если её выходная величина остаётся ограниченной в условиях действия на систему ограниченных по величине возмущений. Если в характеристическом уравнении системы имеется хотя бы один нулевой корень или хотя бы одна пара чисто мнимых корней λii1 =...

Русский

2013-11-15

87.5 KB

20 чел.

7. Устойчивость систем управления. Первый метод Ляпунова.

Устойчивость – свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия. Это свойство затухания переходного процесса с течением времени.

Для тех объектов, которые работают в условиях непрерывно меняющихся воздействий, т.е. когда установившийся режим вообще отсутствует, дается общее определение устойчивости:

Система устойчива, если её выходная величина остаётся ограниченной в условиях действия на систему ограниченных по величине возмущений.

Yсв →0  при t→∞ , если все корни характеристического уравнения λ обладают отрицательной вещественной частью.

Если хотя бы один вещественный корень λi будет положительным или хотя бы одна пара комплексно-сопряженных корней будет иметь положительную вещественную часть, то в этом случае процесс будет расходящийся.

Если в характеристическом уравнении системы имеется хотя бы один нулевой корень или хотя бы одна пара чисто мнимых корней λi,i+1 = + , то система будет находиться на границе устойчивости.

Метод Ляпунова. Он дал первое определение устойчивости:

В качестве возмущения Ляпунов рассматривал любое отклонение от установившегося режима, т.е. он рассматривал устойчивость как св-во свободного движения.

Пусть y*(t) – обозначает некоторый установив-ся режим, а действительное текущее знач. yy(t).  y(t) – соответствует возмущенному движению.

Отклонение возм-го движ-ия от невозм-го обозн-м через xi(t)

xi(t)= yi(t)- yi*(t)

(*)- диж ур-ие в форме Коши в отклонениях.

Невоз-ое движение х*=0, xi можно принять за координаты состояния системы.

Если мы смогли бы найти все решения этого ур-ия, то мы могли бы найти все возм-ие возействия.

В общем случае конкретное выражение зависит от y*, т.е. при рассмотрении устойчивости необходимо указать об уст-ти какого режима идет речь.

Геометрическая трактование уст-ти Ляпунова.

Невозмущенное движение х*=0 называется устойчивым если задав трубку сколь угодно малого n-мерного сечения Е можно подобрать в нач-ный мом. вр. t0 такую обл-ть нач-х условий d завис-ая от Е, что в дальнейшем увеличение t возмущ-ое движ-ие x(t) не выйдет из заданной трубки Е.

Аналитический критерий уст-ти Ляпунова.

Невоз-ое дв-ие х*=0 наз-ся уст-вым, если при заданном Е>0 сколь угодно мало оно не было сущ-ет такое d>0 зав-ее от Е, что при нач-х услов-ях если xi(t0)< d, то при дальнейшем движении  |xi(t)|< Е.

Если данное условие не выполняется хотя бы для одного xi, то сис-ма неустойчива. Если при выполнении данных условий xi ->0 при t->¥ то невозм-ое движение – асимптотически устойчивое. Если x(t)->0 при любых нач-х отклонениях, то сис-ма наз-ся уст-ой в целом.

Ляпунов рассматривал в общем случае не линейную сис-му, а ее линеаризованный вариант. Он предположил теорему уст-ти, кот-ая позволяет судить об уст-ти нелин-ой сис-мы по ее линеаризованному варианту. Если ур-ие (*) разложить в ряд Тейлора:

-Линейное ур-ие 1-го приближения для него можно составить хар-ое ур-ие.

Для нелинейных сис-м к которым применимо разложение (**) сущ-ет 3 теоремы Ляпунова об исследовании уст-ти по 1-му приближению.

Т.1. Невозм-ое движ-ие х*=0 устойчиво не зависимо от вида малых нелинейностей jI, если все корни хар-го ур-ия D(l)  имеют ориц-ые вещественные корни.

Т.2. Невозм-ое движ-ие х*=0 не устойчиво не зависимо от вида малых нелинейностей jI, если хотя бы один корень  хар-го ур-ия D(l) имеет полож-ую вещест-ую часть.

Т.3. В случае наличия в каких-либо корнях хар-го ур-ия нулевой вещ-ой части при всех остальных отрицательных ничего нельзя сказать об уст-ти невозм-го движения х*=0 по 1-му приближению, т.е. без спец-ого исследования ур-ия (**).

По Т.3. сис-ма нах-ся на границе устойчивости.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32960. ТЕОРИЯ НЕРАВНОВЕСНЫХ СТРУКТУР И ПРОБЛЕМА ЕЕ ПРИМЕНИМОСТИ В СФЕРЕ СОЦ.-ГУМАНИТАРНОГО ЗНАНИЯ (И.ПРИГОЖИН. ФИЛОСОФИЯ НЕСТАБИЛЬНОСТИ) 16.32 KB
  ФИЛОСОФИЯ НЕСТАБИЛЬНОСТИ 1. понятие нестабильности было в некоем смысле идеологически запрещено т. феномен нестабильности естественным образом приводит к весьма нетривиальным серьезным проблемам: проблема предсказания проблема детерминизма проблема человек и природа 3. идея нестабильности не только потеснила детерминизм она позволила включить в поле зрения естествознания человеческую деятть дав возможность более полно включить человека в природу.
32961. ТИПЫ НАУЧНОГО РАЦИОНАЛИЗМА. ПРЕДПОСЫЛКИ ПЕРЕХОДА ОТ КЛАССИЧЕСКОГО РАЦИОНАЛИЗМА К НЕКЛАССИЧЕСКОМУ ТИПУ (Н.МОИСЕЕВ. СОВРЕМЕННЫЙ РАЦИОНАЛИЗМ И МИРОВОЗЗРЕНЧЕСКИЕ ПАРАДИГМЫ) 17.9 KB
  Рациональность тип мышления и знания который обладает следующими сввами: языковая выразительность; определенность понятий; системность субординация и координация связи м у понятиями и суждениями; обоснованность существование логических связей; рефлексивность ориентация на образец правило стандарт; открытость для критики; способность к самосовершенствованию.Ленк: Понятие рациональности нужно давать ч з перечисление всех значений употребляемых в жизни уклонение от обобщений: логическое следование аргумента из принятых посылок;...
32962. ФУНКЦИИ НАУКИ. ОБЪЯСНЕНИЕ КАК ФУНКЦИЯ НАУКИ. ФОРМЫ ОБЪЯСНЕНИЯ 16.55 KB
  ОБЪЯСНЕНИЕ КАК ФУНКЦИЯ НАУКИ. ФОРМЫ ОБЪЯСНЕНИЯ min функция науки производство и умножение достоверного знания позволяющего раскрывать и объяснять закономерности окружающего мира.Данная функция науки в современном общве может быть конкретизирована и дифференцирована на ряд более частных тесно связанных м у собою: 1 мировоззренческая функция; 2 технологическая; 3 функция рационализации человеческого поведения и деятти. Функция науки как непосредственной производительной силы; 3.
32963. ЭМПИРИЗМ КАК НАПРАВЛЕНИЕ ЕВРОПЕЙСКОЙ ФИЛОСОФИИ И НАУКИ (Ф.БЭКОН. НОВЫЙ ОРГАНОН. АФОРИЗМЫ ОБ ИСТОЛКОВАНИИ ПРИРОДЫ И ЦАРСТВЕ ЧЕЛОВЕКА) 34.25 KB
  Томас Гоббс 1588 1679 Левиафан или Материя форма и власть госва церковного и гражданского: механический материализм: Природа – совокупность тел dif. Госво – искусственный человек т. Они вручили свои права судьбу и власть главе госва который в договоре не участвовал= ответственности перед договаривавшимися индивидами не несет. В обмен на права граждан госво призвано гарантировать порядок в общве.
32964. Гидравлический расчет сложного трубопровода 195.45 KB
  Трубопроводы нашли широкое распространение во многих областях современной жизни, в том числе и в нефтегазовой отрасли. Поэтому диаметр, длина, шероховатость и другие параметры варьируются в широких пределах. Вследствие этого, существуют различные классификации трубопроводов. Учитывая специфику данной работы, рассмотрим деление на простые и сложные трубопроводы.
32966. INFO ОБЩ-ВО: ИСТОКИ, СУЩНОСТЬ, ПЕРСПЕКТИВЫ ЭВОЛЮЦИИ (М.КАСТЕЛЬС. INFO ЭПОХА: ЭКОНОМИКА, ОБЩ-ВО И КУЛЬТУРА) 17.68 KB
  INFO ОБЩВО: ИСТОКИ СУЩНОСТЬ ПЕРСПЕКТИВЫ ЭВОЛЮЦИИ М. INFO ЭПОХА: ЭКОНОМИКА ОБЩВО И КУЛЬТУРА М.Кастельс: концепция info общва: 1. в постиндустриальный info мир вступили США Япония ведущие европейские страны а также некоторые страны АТР.
32967. ИНДУСТРИАЛЬНОЕ И ПОСТИНДУСТРИАЛЬНОЕ ОБЩ-ВО. СУЩНОСТЬ СОВРЕМЕННОЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ (Д.БЕЛЛ. ГРЯДУЩЕЕ ПОСТИНДУСТРИАЛЬНОЕ ОБЩ-ВО. ОПЫТ СОЦ. ПРОГНОЗИРОВАНИЯ) 17.66 KB
  ИНДУСТРИАЛЬНОЕ И ПОСТИНДУСТРИАЛЬНОЕ ОБЩВО. ГРЯДУЩЕЕ ПОСТИНДУСТРИАЛЬНОЕ ОБЩВО. формируется новое общво: постиндустриальное info посткапиталистическое технотронное технологическое супериндустриальное постмодерное общво знаний и т. Постиндустриальное общво это общво в экономике которого в result НТР и существенного роста доходов населения приоритет перешёл от преимущественного производства товаров к производству услуг.
32968. ИНТЕГРАТИВНЫЙ ХАР-Р СОЦ.-ГУМАНИТАРНОГО ЗНАНИЯ 16.07 KB
  ИНТЕГРАТИВНЫЙ ХАРР СОЦ.ГУМАНИТАРНОГО ЗНАНИЯ В сфере социальногуманитарного знания особое место принадлежит философии. экономисты считают экономическую теорию царицей соц. Философия хозва формирует реальное мысленное пространство которое обеспечивает эффективное научное познание нацеленное на комплексное социоэкономическое объяснение явлений и процессов системный подход учёт конкретной специфики той или иной страны.