45044

Решение задачи линейного программирования графическим методом

Контрольная

Информатика, кибернетика и программирование

Порядок выполнения: Составить математическую модель задачи. Проверить ограничение задачи. При Или Границы области допустимых решений Пересечением полуплоскостей будет являться область координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.

Русский

2013-11-15

451 KB

8 чел.

Задание 1

Решение задачи линейного программирования графическим методом.

Требуется: Найти оптимальный ( по критерию максимума доходов) план загрузки судна.

Порядок выполнения:

  1.  Составить математическую модель задачи.
  2.  Построить многоугольник допустимых решений .
  3.  Найти оптимальное решение :

- сравнением значений целевой функции  во всех вершинах многоугольника допустимых решений;

- построением иперемещением линии уровня целевой функции.

4.  Проверить ограничение задачи.

5.  Сравнить полученные решение в заданиях 1 и 2  и сделать выводы.

Вариант

Регистров.

Грузоподъёмность

Судна

Объём перевозок

Удельные

Погрузочные объёмы

Время погрузки одной тонны груза

Наличие груза в порту

Плановое время погрузки судна

Доходная ставка

17

2100

2150

0.45

1.3

0.9

2.3

1110

3000

40

140

150

Решение:

  1.  Составим математическую модель .  Пусть    количество первого груза (т.) по условию  Плановое время погрузки судна 40 часов (2400 минут) , при этом время погрузки 1 т. , первого груза  0,9 мин/т. , второго 2,3 мин/т.     ,  далее объем трюмов судна = 2150 , а удельные погрузочные объемы грузов : первого груза  0,45   , второго 1,3     , а так же следуя из того что грузоподъёмность судна равна 2100 т. , а имеем в наличии первого груза 1110 т. , второго 3000 т.   . Теперь введем целевую функцию – по критерию max доходов , которая составляет    , то есть получаем целевую функцию и систему ограничений:                                                                                          .                                                                                                                                                                                                  .
  2.     Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).       

При          

  

При        

 

  

Или

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений:

                       

  1.     

а)  При     

    При     

    При     

б)  Рассмотрим целевую функцию задачи F = 140x1+150x2 → max. 
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 140x
1+150x2 = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

 

Равный масштаб

Область допустимых решений представляет собой треугольник.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (4) и (1), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
x
2=0
1110x
1+3000x2≤2100

Решив систему уравнений, получим: x
1 = 1.89, x2 = 0
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

  1.  Проверим ограничение задачи.

Составим двойственную задачу к прямой задаче.

    

Решение двойственной задачи дает оптимальную систему оценок ресурсов.
Для решения двойственной задачи используем вторую теорему двойственности.
Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели:
1110*1.89 + 3000*0 = 2100 = 2100
1-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y
1>0).
0.45*1.89 + 1.3*0 = 0.85 < 2150
2-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 2-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y
2 = 0
0.9*1.89 + 2.3*0 = 1.7 < 2400
3-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 3-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y
3 = 0
С учетом найденных оценок, новая система примет вид:

    

Решая систему  графическим способом , находим оптимальный план двойственной задачи :

Область допустимых решений представляет собой многоугольник.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке A. Так как точка A получена в результате пересечения прямых (3) и (1), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
x
2=0
1110x
1≥140

Решив систему уравнений, получим: x
1 = 0.1261, x2 = 0
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = 2100*0.1261 + 0*0 = 264.86
Поскольку функция цели F(x) параллельна прямой
 (1), то на отрезке AA функция F(x) будет принимает одно и тоже минимальное значение.
Для определения координат точки A решим систему двух линейных уравнений:
x
2=0
1110x
1≥140

Решив систему уравнений, получим: x
1 = 0.1261, x2 = 0
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = 2100*0.1261 + 0*0 = 264.86
y
1 = 0.13
Z(Y) = 2100*0.13 = 264.86
Таким образом, отличную от нуля двойственные оценки имеют лишь те виды ресурсов, которые полностью используются в оптимальном плане. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность ресурсов.

  1.  Решим прямую задачу линейного программирования   симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 140x1+150x2 при следующих условиях-ограничений.

1110x1+3000x2≤2100

0.45x1+1.3x2≤2150

0.9x1+2.3x2≤2400

1110x1 + 3000x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 = 2100

0.45x1 + 1.3x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 = 2150

0.9x1 + 2.3x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 = 2400

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

x3, x4, x5,

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,2100,2150,2400)

Базис

В

x1

x2

x3

x4

x5

x3

2100

1110

3000

1

0

0

x4

2150

0.45

1.3

0

1

0

x5

2400

0.9

2.3

0

0

1

F(X0)

0

-140

-150

0

0

0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация №0.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2

и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (3000) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис

В

x1

x2

x3

x4

x5

min

x3

2100

1110

3000

1

0

0

0.7

x4

2150

0.45

1.3

0

1

0

1653.85

x5

2400

0.9

2.3

0

0

1

1043.48

F(X1)

0

-140

-150

0

0

0

0

 

После преобразований получаем новую таблицу:

Базис

В

x1

x2

x3

x4

x5

x2

0.7

0.37

1

0.0003

0

0

x4

2149.09

-0.031

0

-0.0004

1

0

x5

2398.39

0.049

0

-0.0008

0

1

F(X1)

105

-84.5

0

0.05

0

0

Итерация №1.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1

и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (0.37) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис

В

x1

x2

x3

x4

x5

min

x2

0.7

0.37

1

0.0003

0

0

1.89

x4

2149.09

-0.031

0

-0.0004

1

0

-

x5

2398.39

0.049

0

-0.0008

0

1

48946.73

F(X2)

105

-84.5

0

0.05

0

0

0

 

После преобразований получаем новую таблицу:

Базис

В

x1

x2

x3

x4

x5

x1

1.89

1

2.7

0.0009

0

0

x4

2149.15

0

0.0838

-0.0004

1

0

x5

2398.3

0

-0.13

-0.0008

0

1

F(X2)

264.86

0

228.38

0.13

0

0

Конец итераций: индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис

В

x1

x2

x3

x4

x5

x1

1.89

1

2.7

0.0009

0

0

x4

2149.15

0

0.0838

-0.0004

1

0

x5

2398.3

0

-0.13

-0.0008

0

1

F(X3)

264.86

0

228.38

0.13

0

0

Оптимальный план можно записать так:

x1 = 1.89

x4 = 2149.15

x5 = 2398.3

F(X) = 140*1.89 = 264.86 руб.

Вывод:  При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получим:
1-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-ый ресурс экономически выгодно использовать, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x
1>0)
1110*0.13 + 0*0 + 0*0 = 140 = 140
3000*0.13 + 0*0 + 0*0 = 378.38 > 150
2-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 2-го вида использовать экономически не выгодно. И действительно в оптимальном плане прямой задачи x
2 = 0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67789. ИЗУЧЕНИЕ СИСТЕМНОЙ ШИНЫ. ШИНЫ ISA, EISA 82.5 KB
  Системная шина ISA (Industry Standard Architecture) применяется начиная с процессора i80286. Гнездо для плат расширения включает основной 64-контактный и дополнительный 36-контактный разъемы. Шина 16-разрядная, имеет 24 адресные линии, обеспечивает прямое обращение к 16 Мбайт оперативной памяти.
67791. Дослідження електричних кіл з послідовним, паралельним та змішаним з’єднанням опорів 279.5 KB
  Вивчити експериментальні методи дослідження електричних кіл з послідовним, паралельним і змішаним з’єднанням опорів. Навчитись визначати еквівалентні опори при різних способах їх з’єднання та потужності, що споживають окремі опори та електричні кола.
67792. Дослідження складних кіл постійного струму 275 KB
  Вивчити методи розрахунку складних електричних кіл і експериментально перевірити метод еквівалентного генератора. Використовувати описані вище методи у цьому випадку недоцільно бо розроблено метод еквівалентного генератора метод холостого ходу і короткого...
67793. Дослідження впливу навантаження на режими роботи джерела постійного струму. Нелінійні електричні кола 278.5 KB
  Дослідити вплив навантаження на основні характеристики передачі енергії джерелом постійного струму. Навчитися досліджувати нелінійні електричні кола. Короткі теоретичні відомості Будь-яке електричне коло складається з джерела електричної енергії, споживача та лінії передачі і його можна представити електричною схемою...
67794. Дослідження магнітного кола постійних струмів 576.5 KB
  Вивчити методи та прилади вимірювання магнітної індукції і магнітного потоку та дослідити веберамперні характеристики магнітних кіл постійного струму. Короткі теоретичні відомості Частину електротехнічного пристрою призначеного для створення в його робочому обємі магнітного поля заданої...
67795. Дослідження послідовного кола змінного струму 423 KB
  Перевірка закону Ома при аналізі послідовних кіл змінного струму, які складаються з активного опору, індуктивності і ємності, і вивчення явища резонансу напруг. Короткі теоретичні відомості Змінним називається струм, який періодично змінює свій напрямок. Напруга змінного синусоїдного струму описується функцією...
67796. Дослідження електричного кола змінного струму з паралельним з’єднанням віток 333.5 KB
  Дослідити режим роботи електричного кола з паралельним зєднанням котушки індуктивності і ємності при різних частотах вивчити вплив С і L на явище резонансу струмів та його використання для регулювання коефіцієнта потужності. Короткі теоретичні відомості На відміну від кола...
67797. Дослідження трифазної системи при з’єднанні споживачів зіркою 515.5 KB
  Вивчити основні властивості і застосування трифазних кіл при зєднанні джерела і споживачів зіркою. Дослідити роботу трифазної системи струмів при рівномірному і нерівномірному навантаженні фаз а також роботу системи при обриві фазного і нульового проводів.