45044

Решение задачи линейного программирования графическим методом

Контрольная

Информатика, кибернетика и программирование

Порядок выполнения: Составить математическую модель задачи. Проверить ограничение задачи. При Или Границы области допустимых решений Пересечением полуплоскостей будет являться область координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.

Русский

2013-11-15

451 KB

8 чел.

Задание 1

Решение задачи линейного программирования графическим методом.

Требуется: Найти оптимальный ( по критерию максимума доходов) план загрузки судна.

Порядок выполнения:

  1.  Составить математическую модель задачи.
  2.  Построить многоугольник допустимых решений .
  3.  Найти оптимальное решение :

- сравнением значений целевой функции  во всех вершинах многоугольника допустимых решений;

- построением иперемещением линии уровня целевой функции.

4.  Проверить ограничение задачи.

5.  Сравнить полученные решение в заданиях 1 и 2  и сделать выводы.

Вариант

Регистров.

Грузоподъёмность

Судна

Объём перевозок

Удельные

Погрузочные объёмы

Время погрузки одной тонны груза

Наличие груза в порту

Плановое время погрузки судна

Доходная ставка

17

2100

2150

0.45

1.3

0.9

2.3

1110

3000

40

140

150

Решение:

  1.  Составим математическую модель .  Пусть    количество первого груза (т.) по условию  Плановое время погрузки судна 40 часов (2400 минут) , при этом время погрузки 1 т. , первого груза  0,9 мин/т. , второго 2,3 мин/т.     ,  далее объем трюмов судна = 2150 , а удельные погрузочные объемы грузов : первого груза  0,45   , второго 1,3     , а так же следуя из того что грузоподъёмность судна равна 2100 т. , а имеем в наличии первого груза 1110 т. , второго 3000 т.   . Теперь введем целевую функцию – по критерию max доходов , которая составляет    , то есть получаем целевую функцию и систему ограничений:                                                                                          .                                                                                                                                                                                                  .
  2.     Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).       

При          

  

При        

 

  

Или

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений:

                       

  1.     

а)  При     

    При     

    При     

б)  Рассмотрим целевую функцию задачи F = 140x1+150x2 → max. 
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 140x
1+150x2 = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

 

Равный масштаб

Область допустимых решений представляет собой треугольник.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (4) и (1), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
x
2=0
1110x
1+3000x2≤2100

Решив систему уравнений, получим: x
1 = 1.89, x2 = 0
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

  1.  Проверим ограничение задачи.

Составим двойственную задачу к прямой задаче.

    

Решение двойственной задачи дает оптимальную систему оценок ресурсов.
Для решения двойственной задачи используем вторую теорему двойственности.
Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели:
1110*1.89 + 3000*0 = 2100 = 2100
1-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y
1>0).
0.45*1.89 + 1.3*0 = 0.85 < 2150
2-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 2-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y
2 = 0
0.9*1.89 + 2.3*0 = 1.7 < 2400
3-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 3-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y
3 = 0
С учетом найденных оценок, новая система примет вид:

    

Решая систему  графическим способом , находим оптимальный план двойственной задачи :

Область допустимых решений представляет собой многоугольник.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке A. Так как точка A получена в результате пересечения прямых (3) и (1), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
x
2=0
1110x
1≥140

Решив систему уравнений, получим: x
1 = 0.1261, x2 = 0
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = 2100*0.1261 + 0*0 = 264.86
Поскольку функция цели F(x) параллельна прямой
 (1), то на отрезке AA функция F(x) будет принимает одно и тоже минимальное значение.
Для определения координат точки A решим систему двух линейных уравнений:
x
2=0
1110x
1≥140

Решив систему уравнений, получим: x
1 = 0.1261, x2 = 0
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = 2100*0.1261 + 0*0 = 264.86
y
1 = 0.13
Z(Y) = 2100*0.13 = 264.86
Таким образом, отличную от нуля двойственные оценки имеют лишь те виды ресурсов, которые полностью используются в оптимальном плане. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность ресурсов.

  1.  Решим прямую задачу линейного программирования   симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 140x1+150x2 при следующих условиях-ограничений.

1110x1+3000x2≤2100

0.45x1+1.3x2≤2150

0.9x1+2.3x2≤2400

1110x1 + 3000x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 = 2100

0.45x1 + 1.3x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 = 2150

0.9x1 + 2.3x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 = 2400

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

x3, x4, x5,

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,2100,2150,2400)

Базис

В

x1

x2

x3

x4

x5

x3

2100

1110

3000

1

0

0

x4

2150

0.45

1.3

0

1

0

x5

2400

0.9

2.3

0

0

1

F(X0)

0

-140

-150

0

0

0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация №0.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2

и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (3000) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис

В

x1

x2

x3

x4

x5

min

x3

2100

1110

3000

1

0

0

0.7

x4

2150

0.45

1.3

0

1

0

1653.85

x5

2400

0.9

2.3

0

0

1

1043.48

F(X1)

0

-140

-150

0

0

0

0

 

После преобразований получаем новую таблицу:

Базис

В

x1

x2

x3

x4

x5

x2

0.7

0.37

1

0.0003

0

0

x4

2149.09

-0.031

0

-0.0004

1

0

x5

2398.39

0.049

0

-0.0008

0

1

F(X1)

105

-84.5

0

0.05

0

0

Итерация №1.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1

и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (0.37) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис

В

x1

x2

x3

x4

x5

min

x2

0.7

0.37

1

0.0003

0

0

1.89

x4

2149.09

-0.031

0

-0.0004

1

0

-

x5

2398.39

0.049

0

-0.0008

0

1

48946.73

F(X2)

105

-84.5

0

0.05

0

0

0

 

После преобразований получаем новую таблицу:

Базис

В

x1

x2

x3

x4

x5

x1

1.89

1

2.7

0.0009

0

0

x4

2149.15

0

0.0838

-0.0004

1

0

x5

2398.3

0

-0.13

-0.0008

0

1

F(X2)

264.86

0

228.38

0.13

0

0

Конец итераций: индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис

В

x1

x2

x3

x4

x5

x1

1.89

1

2.7

0.0009

0

0

x4

2149.15

0

0.0838

-0.0004

1

0

x5

2398.3

0

-0.13

-0.0008

0

1

F(X3)

264.86

0

228.38

0.13

0

0

Оптимальный план можно записать так:

x1 = 1.89

x4 = 2149.15

x5 = 2398.3

F(X) = 140*1.89 = 264.86 руб.

Вывод:  При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получим:
1-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-ый ресурс экономически выгодно использовать, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x
1>0)
1110*0.13 + 0*0 + 0*0 = 140 = 140
3000*0.13 + 0*0 + 0*0 = 378.38 > 150
2-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 2-го вида использовать экономически не выгодно. И действительно в оптимальном плане прямой задачи x
2 = 0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30468. Основные модели организации публичной власти на местах в зарубежных странах 14.74 KB
  Для первых характерно избрание местной администрации местными представительными органами из своего состава причем нередко глава администрации мэр и т. но и главы местной администрации а также некоторых других должностных лиц исполнительной и судебной власти казначея прокурора мирового судьи вплоть до шерифа начальника полиции. Оно предполагает наличие у местной единицы собственной компетенции охватывающей вопросы местного значения; гарантированной конституцией и законом самостоятельности па отношению к государственной власти в...
30469. Договоры и конституционные процедуры разрешения конфликтов между федерацией и ее субъектами в зарубежных странах 15.77 KB
  Следует отметить возможность федеральной интервенции в случае конфликта между федеральной властью и властями субъектов федерации или в случае когда по каким либо причинам власть субъекта федерации не может функционировать нормально. Если земля не выполняет федеральные обязанности возложенные на нее Основным законом или иным федеральным законом то...
30470. Конституционная ответственность, ее субъекты и виды в зарубежных странах 14.2 KB
  В последнее время в литературе стали признавать наличие особого вида ответственности “конституционной†хотя до сих пор многие ее положения остаются дискуссионными. Так трудно согласиться с тем что конституционная ответственность является разновидностью политической ответственности а равно с тем что конституционная ответственностью объединяет в себе политическую моральную и юридическую ответственность. Конституционная ответственность это самостоятельный вид...
30471. Особенности Конституции и конституционного права США 14.92 KB
  Особенности Конституции и конституционного права США. Ныне действующая конституция США была принята 17 сентября 1787 г. Конституция США является выдающимся политикоправовым актом. Конституция США первая в истории писаная конституция крупного государства.
30472. Порядок выборов Президента и Конгресса США 14.83 KB
  Высшим органом законодательной власти является Конгресс США состоящий из двух палат: Палаты представителей и Сената. Палата представителей представляет интересы народа в целом. Выборы в Палату представителей проходит в первый вторник после первого понедельника ноября каждого четного года. Члены Палаты представителей избираются по мажоритарной системе относительного большинства без требования кворума.
30473. Система сдержек и противовесов в форме правления США 15.06 KB
  Влиятельная фигура в ранней Америке Джон Адамс говорил что целью конституционного правительства является создание правительства законов а не правительства людей. Для Адамса великой идеей к наделению широкими полномочиями правительства и в то же время подчинению его букве закона стал принцип разделения правительственных полномочий. Эта концепция разделения властей исторически ассоциируемая со школой французского философа Монтескье предотвратила злоупотребление властью путем отказа от концентрации власти в одной ветви или одном...
30474. Особенности конституционного права Соединенного королевства 16.64 KB
  Британский конституционализм представляет собой весьма своеобразное явление правовой действительности. Древние и крепкие корни парламентаризма англосаксонская правовая система монархическая форма правления все это делает фактическую и юридическую конституцию Великобритании уникальной. Эта страна по сей день не имеет в качестве основного закона единого писаного нормативного правового акта. Возводимое в течение многих столетий здание британского конституционализма имеет в качестве прочного и надежного фундамента общее право...
30475. Британский парламент, его взаимоотношения с Королевой и Правительством 16.23 KB
  Законодательная власть в Великобритании принадлежит парламенту но по точному смыслу британской конституции парламент триединое учреждение: оно включает главу государства монарха палату лордов исторически палату знати и высшего духовенства и палату общин исторически палату простолюдинов. Это понятие связано с тем что закон становится таковым если он принят двумя палатами есть некоторые исключения из этого правила в пользу нижней палаты и подписан монархом. Теоретически монарх в Великобритании считается...
30476. Реформа политико-территориального устройства Соединенного Королевства 14.64 KB
  Поэтому для других трех регионов в большей или меньшей степени всегда были свойственны стремление к усилению самоуправления или даже сепаратизм. право первичного законодательства в сферах здравоохранения образования местного самоуправления и политикоадминистративного деления жилищного и коммунального хозяйства окружающей среды и т. В каждой Местной единице действуют органы местного самоуправления: выборные непосредственно населением советы и исполнительные органы. Компетенция органов местного самоуправления традиционна однако...