45044

Решение задачи линейного программирования графическим методом

Контрольная

Информатика, кибернетика и программирование

Порядок выполнения: Составить математическую модель задачи. Проверить ограничение задачи. При Или Границы области допустимых решений Пересечением полуплоскостей будет являться область координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.

Русский

2013-11-15

451 KB

8 чел.

Задание 1

Решение задачи линейного программирования графическим методом.

Требуется: Найти оптимальный ( по критерию максимума доходов) план загрузки судна.

Порядок выполнения:

  1.  Составить математическую модель задачи.
  2.  Построить многоугольник допустимых решений .
  3.  Найти оптимальное решение :

- сравнением значений целевой функции  во всех вершинах многоугольника допустимых решений;

- построением иперемещением линии уровня целевой функции.

4.  Проверить ограничение задачи.

5.  Сравнить полученные решение в заданиях 1 и 2  и сделать выводы.

Вариант

Регистров.

Грузоподъёмность

Судна

Объём перевозок

Удельные

Погрузочные объёмы

Время погрузки одной тонны груза

Наличие груза в порту

Плановое время погрузки судна

Доходная ставка

17

2100

2150

0.45

1.3

0.9

2.3

1110

3000

40

140

150

Решение:

  1.  Составим математическую модель .  Пусть    количество первого груза (т.) по условию  Плановое время погрузки судна 40 часов (2400 минут) , при этом время погрузки 1 т. , первого груза  0,9 мин/т. , второго 2,3 мин/т.     ,  далее объем трюмов судна = 2150 , а удельные погрузочные объемы грузов : первого груза  0,45   , второго 1,3     , а так же следуя из того что грузоподъёмность судна равна 2100 т. , а имеем в наличии первого груза 1110 т. , второго 3000 т.   . Теперь введем целевую функцию – по критерию max доходов , которая составляет    , то есть получаем целевую функцию и систему ограничений:                                                                                          .                                                                                                                                                                                                  .
  2.     Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).       

При          

  

При        

 

  

Или

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений:

                       

  1.     

а)  При     

    При     

    При     

б)  Рассмотрим целевую функцию задачи F = 140x1+150x2 → max. 
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 140x
1+150x2 = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

 

Равный масштаб

Область допустимых решений представляет собой треугольник.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (4) и (1), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
x
2=0
1110x
1+3000x2≤2100

Решив систему уравнений, получим: x
1 = 1.89, x2 = 0
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

  1.  Проверим ограничение задачи.

Составим двойственную задачу к прямой задаче.

    

Решение двойственной задачи дает оптимальную систему оценок ресурсов.
Для решения двойственной задачи используем вторую теорему двойственности.
Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели:
1110*1.89 + 3000*0 = 2100 = 2100
1-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y
1>0).
0.45*1.89 + 1.3*0 = 0.85 < 2150
2-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 2-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y
2 = 0
0.9*1.89 + 2.3*0 = 1.7 < 2400
3-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 3-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y
3 = 0
С учетом найденных оценок, новая система примет вид:

    

Решая систему  графическим способом , находим оптимальный план двойственной задачи :

Область допустимых решений представляет собой многоугольник.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке A. Так как точка A получена в результате пересечения прямых (3) и (1), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
x
2=0
1110x
1≥140

Решив систему уравнений, получим: x
1 = 0.1261, x2 = 0
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = 2100*0.1261 + 0*0 = 264.86
Поскольку функция цели F(x) параллельна прямой
 (1), то на отрезке AA функция F(x) будет принимает одно и тоже минимальное значение.
Для определения координат точки A решим систему двух линейных уравнений:
x
2=0
1110x
1≥140

Решив систему уравнений, получим: x
1 = 0.1261, x2 = 0
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = 2100*0.1261 + 0*0 = 264.86
y
1 = 0.13
Z(Y) = 2100*0.13 = 264.86
Таким образом, отличную от нуля двойственные оценки имеют лишь те виды ресурсов, которые полностью используются в оптимальном плане. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность ресурсов.

  1.  Решим прямую задачу линейного программирования   симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 140x1+150x2 при следующих условиях-ограничений.

1110x1+3000x2≤2100

0.45x1+1.3x2≤2150

0.9x1+2.3x2≤2400

1110x1 + 3000x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 = 2100

0.45x1 + 1.3x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 = 2150

0.9x1 + 2.3x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 = 2400

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

x3, x4, x5,

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,2100,2150,2400)

Базис

В

x1

x2

x3

x4

x5

x3

2100

1110

3000

1

0

0

x4

2150

0.45

1.3

0

1

0

x5

2400

0.9

2.3

0

0

1

F(X0)

0

-140

-150

0

0

0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация №0.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2

и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (3000) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис

В

x1

x2

x3

x4

x5

min

x3

2100

1110

3000

1

0

0

0.7

x4

2150

0.45

1.3

0

1

0

1653.85

x5

2400

0.9

2.3

0

0

1

1043.48

F(X1)

0

-140

-150

0

0

0

0

 

После преобразований получаем новую таблицу:

Базис

В

x1

x2

x3

x4

x5

x2

0.7

0.37

1

0.0003

0

0

x4

2149.09

-0.031

0

-0.0004

1

0

x5

2398.39

0.049

0

-0.0008

0

1

F(X1)

105

-84.5

0

0.05

0

0

Итерация №1.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1

и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (0.37) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис

В

x1

x2

x3

x4

x5

min

x2

0.7

0.37

1

0.0003

0

0

1.89

x4

2149.09

-0.031

0

-0.0004

1

0

-

x5

2398.39

0.049

0

-0.0008

0

1

48946.73

F(X2)

105

-84.5

0

0.05

0

0

0

 

После преобразований получаем новую таблицу:

Базис

В

x1

x2

x3

x4

x5

x1

1.89

1

2.7

0.0009

0

0

x4

2149.15

0

0.0838

-0.0004

1

0

x5

2398.3

0

-0.13

-0.0008

0

1

F(X2)

264.86

0

228.38

0.13

0

0

Конец итераций: индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис

В

x1

x2

x3

x4

x5

x1

1.89

1

2.7

0.0009

0

0

x4

2149.15

0

0.0838

-0.0004

1

0

x5

2398.3

0

-0.13

-0.0008

0

1

F(X3)

264.86

0

228.38

0.13

0

0

Оптимальный план можно записать так:

x1 = 1.89

x4 = 2149.15

x5 = 2398.3

F(X) = 140*1.89 = 264.86 руб.

Вывод:  При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получим:
1-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-ый ресурс экономически выгодно использовать, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x
1>0)
1110*0.13 + 0*0 + 0*0 = 140 = 140
3000*0.13 + 0*0 + 0*0 = 378.38 > 150
2-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 2-го вида использовать экономически не выгодно. И действительно в оптимальном плане прямой задачи x
2 = 0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21057. Патофизиология анемий 34 KB
  Этиология патогенез и гематологическая характеристика острой постгеморрагической анемии. Этиология патогенез и гематологическая характеристика В12 и фолиеводефицитной анемии. По типу эритропоэза выделяет нормобластические и мегалобластические анемии. По диаметру эритроцитов выделяют нормоцитарные анемии 7585 мкм; макроцитарные анемии более 85 мкм; микроцитарные анемии менее 75 мкм.
21058. Патологическая физиология лейкоцитозов и лейкопений 27.5 KB
  По лейкограмме устанавливают вид сдвига ядра нейтрофилов при нейтрофильном лейкоцитозе. Существуют пять видов сдвига ядра нейтрофилов: 1. Гипорегенеративный сдвиг влево характеризуется абсолютным и относительным увеличением содержания сегментоядерных нейтрофилов. Регенеративный сдвиг характеризуется увеличением содержания сегментоядерных и палочкоядерных нейтрофилов.
21059. Патофизиология гемобластозов 17 KB
  ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Изучить этиологию патогенез принципы терапии и диагностики гемобластозов. ПЛАН ЛЕКЦИИ: Современные представления об этиологии и патогенезе гемобластозов. Классификация гемобластозов.
21060. Патофизиология сердечно-сосудистой системы 23.5 KB
  Определение и классификация сердечнососудистой недостаточности. Этиология виды и патогенез острой сердечнососудистой недостаточности. При сердечной недостаточности первично страдает функция сердца при сосудистой недостаточности первично страдает сосудистая система. Основными отличиями острой сердечнососудистой недостаточности от хронической являются: сила действия этиологического фактора скорость формирования декомпенсации соотношение явлений повреждения и защитноприспособительных механизмов.
21061. Патофизиология эндокринной системы 33.5 KB
  Это приводит к повышению или понижению выработки тропных гормонов в эденогипофизе. Например: нечувствительность ГТ к повышению концентрации гормонов синдром ИщенкоКушенга. Генетический дефект биосинтеза гормонов. Секреция не нарушена но изменяется его действие на периферии: а нарушается связь гормонов с Prt N98 в связи с белками.
21062. Патофизиология печени, Этиология, патогенез, принципы диагностики и терапии острой печеночной недостаточности 26 KB
  План лекции: Определение и классификация печеночной недостаточности. Этиология патогенез принципы диагностики и терапии острой печеночной недостаточности. Этиология патогенез принципы диагностики и терапии хронической печеночной недостаточности. Этиология и патогенез печеночной энцефалопатии.
21063. Патофизиология системы дыхания 19 KB
  ПЛАН ЛЕКЦИИ: Общая характеристика системы дыхания. Этиология и патогенез нарушений внешнего и внутреннего дыхания. Патофизиология системы дыхания.
21064. Патологическая физиология иммунитета 31.5 KB
  Общая характеристика функционирования иммунной системы. Актуальность: нарушение Im системы является универсальным фактором патогенеза. Нарушение Im системы частая причина многих болезней человека. В феноменах неспецифического иммунитета участвуют очень многие органы и системы.
21065. ПЕРСОНАЛ ПРЕДПРИЯТИЯ, ПРОИЗВОДИТЕЬНОСТЬ И ОПЛАТА ТРУДА 107.5 KB
  Планирование численности работников предприятия Понятие производительности труда и ее измерение Системы и формы оплаты труда на предприятии Понятие персонала предприятия. Профессиональноквалификационная структура кадров складывается под воздействием профессионального и квалификационного разделения труда. Фондовооружённость труда работников.