45455

Устойчивость систем управления

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения ищется в виде: yt = yвынt yсвt. Здесь yсвt общее решение однородного дифференциального уравнения то есть уравнения с нулевой правой частью: oyn 1yn1 . Поэтому решение данного уравнения называется свободной составляющей общего решения. yвынt частное решение неоднородного дифференциального уравнения под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью.

Русский

2013-11-17

57.5 KB

0 чел.

  1.  Устойчивость систем управления.

Понятие устойчивости системы

  

Под устойчивостью системы понимается способность ее возвращаться к состоянию установившегося равновесия после снятия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система непрерывно удаляется от равновесного состояния или совершает вокруг него колебания с возрастающей амплитудой.

Устойчивость линейной системы определяется не характером возмущения, а структурой самой системы (рис.61). Говорят, что система устойчива "в малом", если определен факт наличия устойчивости, но не определены ее границы. Система устойчива "в большом", когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы.

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения ищется в виде:

 

y(t) = yвын(t) + yсв(t).

 

Здесь yсв(t) - общее решение однородного дифференциального уравнения, то есть уравнения с нулевой правой частью:

 

aoy(n) + a1y(n-1) + ... + a(n-1)y’ + a(n)y = 0.

 

Физически это означает, что все внешние воздействия сняты и система абсолютно свободна, ее движения определяются лишь собственной структурой. Поэтому решение данного уравнения называется свободной составляющей общего решения. yвын(t) - частное решение неоднородного дифференциального уравнения, под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью. Физически это означает, что к системе приложено внешнее воздействие u(t). Поэтому вторая составляющая общего решения называется вынужденный. Она определяет вынужденный установившийся режим работы системы после окончания переходного процесса.

Можно провести аналогию между САУ и пружиной, колебания которой описываются аналогичным дифференциальным

уравнением (рис.62). Оттянем пружину, а затем отпустим, предоставив ее самой себе. Пружина будет колебаться в соответствии со свободной составляющей решения уравнения, то есть характер колебаний будет определяться только структурой самой пружины. Если в момент времени t = 0 подвесить к пружине груз, то на свободные колебания наложится внешняя сила Р. После затухания колебаний, описываемых только свободной составляющей общего решения, система перейдет в новый установившийся режим, характеризуемый вынужденной составляющей yвын = y(t ). Если внешнее воздействие само будет изменяться по синусоидальному закону P = Posin(t + ), то после затухания переходного процесса система будет совершать вынужденные колебания с той же частотой, что и вынуждающая сила, то есть yвын = ymaxsin(t + y).

Каждая составляющая общего решения уравнения динамики ищется отдельно. Вынужденная составляющая ищется на основе решения уравнения статики для данной системы для времени t . Свободная составляющая представляет собой сумму из n отдельных составляющих: , где pi корни характеристического уравнения D(p) = a0pn + a1pn-1 + a2pn-2 + ... + an = 0. Корни могут быть либо вещественными pi = ai, либо попарно комплексно сопряженными pi = ai ± ji. Постоянные интегрирования Аi определяются исходя из начальных и конечных условий, подставляя в общее решение значения u, y и их производные в моменты времени t = 0 и t .

Каждому отрицательному вещественному корню соответствует экспоненциально затухающая во времени составляющая yсв(t)i, каждому положительному - экспоненциально расходящаяся, каждому нулевому корню соответствует yсв(t)i = const (рис.63). Пара комплексно сопряженных корней с отрицательной вещественной частью определяет затухающие колебания с частотой i, при положительной вещественной части - расходящиеся колебания, при нулевой - незатухающие (рис.64).

 

 

Так как после снятия возмущения yвын(t) = 0, то устойчивость системы определяется только характером свободной составляющей yсв(t). zПоэтому условие устойчивости систем по Ляпунову формулируется так: в устойчивой системе свободная составляющая решения уравнения динамики, записанному в отклонениях, должна стремиться к нулю, то есть затухать.

Исходя из расположения на комплексной плоскости корни с отрицательными вещественными частями называются левыми, с положительными - правыми (рис.65).

Поэтому условие устойчивости линейной САУ можно сформулировать следующим образом: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми. Если хотя бы один корень правый, то система неустойчива. Если один из корней равен нулю (в системах, где an = 0), а остальные левые, то система находится на границе апериодической устойчивости. Если равны нулю вещественные части одной или нескольких пар комплексно сопряженных корней, то система находится на границе колебательной устойчивости.

Правила, позволяющие судить о знаках корней характеристического уравнения без его решения, называются критериями устойчивости. Их можно разделить на алгебраические (основаны на составлении по данному характеристическому уравнению по определенным правилам алгебраических выражений, по которым можно судить об устойчивости САУ) и частотные (основаны на исследовании частотных характеристик).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14910. ХРИСТИАНДЫҚ 25.43 KB
  ХРИСТИАНДЫҚ Христиан діні – әлемдегі ең көп тараған діндердің бірі қазіргі таңда оның 2 миллиардқа жуық ұстанушылары бар. Христиандық православие католицизм протестанттық болып үш негізгі бағытқа жіктеледі. €œХристос€ сөзі грек тілінен алынған мессия құтқарушы де
14911. АЛАШ ИДЕЯСЫ – ҚАЗАҚ ИДЕЯСЫ 68.5 KB
  АЛАШ ИДЕЯСЫ – ҚАЗАҚ ИДЕЯСЫ Алаш қозғалысының тарихи негізгі Ресей отаршылдығының қазақ жеріндегі аса асқынған кезеңінен басталды десек те Алаш идеясы одан әлдеқайда бұрын өмірге келіп күні бүгінге дейін елім жерім деп ұлт болашағын ойлаған әрбір қазақ ...
14912. «АЛАШ» ИДЕЯСЫ ЖӘНЕ ХАЛЫҚАРАЛЫҚ «ҚАЗАҚ ТІЛІ» ҚОҒАМЫ 41.5 KB
  АЛАШ ИДЕЯСЫ ЖӘНЕ ХАЛЫҚАРАЛЫҚ ҚАЗАҚ ТІЛІ ҚОҒАМЫ Қазақ халқының тарихында әр ғасырдың басы аласапыран оқиғаларға толы болды. Бұл өз кезегінде тарих сахнасына іріірі тұлғалар мен қайраткерлерді шығарып түбірлі өзгерістерге алып келіп отырды. Әсіресе ХХ ғасырд
14913. АЛАШ ҚАЙРАТКЕРЛЕРІ ЖӘНЕ ҚАЗІРГІ ТІЛ МӘСЕЛЕСІ 50.5 KB
  АЛАШ ҚАЙРАТКЕРЛЕРІ ЖӘНЕ ҚАЗІРГІ ТІЛ МӘСЕЛЕСІ Қазақ халқының тарихында Алаш қайраткерлерінің алар орны ерекше. Олар өз ұлтының бостандығы жолында басын бәйгеге тіккен туған елін отаршылдықтың бұғауынан босатып тәуелсіз мемлекет құру үшін ақтық демі қалғанша күреск...
14914. АЛАШ ҚОЗҒАЛЫСЫ ЖӘНЕ АТБАСАР ӨҢІРІ 40.5 KB
  АЛАШ ҚОЗҒАЛЫСЫ ЖӘНЕ АТБАСАР ӨҢІРІ Алаш қозғалысына қатысты әрбір дерек біз үшін маңызды болуы тиіс. Өйткені бұл ұлтазаттық қозғалыс халқымызды ұйыстыруға дербес мемлекет құруға ең бастысы – ұлтымыздың рухын көтеруге арналған ұлы шара еді. Тәуелсіздік алған жылдан
14915. «АЛАШ» ҚОЗҒАЛЫСЫ ЖӘНЕ НАРМАНБЕТ ОРМАНБЕТҰЛЫ 49.5 KB
  АЛАШ ҚОЗҒАЛЫСЫ ЖӘНЕ НАРМАНБЕТ ОРМАНБЕТҰЛЫ Қоғамдық өмірге белсене араласқан Н.Орманбетұлы Ресей империясының отаршылдық саясатына қарсы халықтық үн көтерілген 1905 жылғы Қоянды жәрмеңкесіндегі атақты Қарқаралы петициясына қатысушылардың бірі болды. Патша өкімет...
14916. АЛАШ МҰРАТЫ – ОТАНДЫҚ БІЛІМ МЕН ҒЫЛЫМДЫ НЕГІЗДЕУШІ КҮШ 73 KB
  АЛАШ МҰРАТЫ – ОТАНДЫҚ БІЛІМ МЕН ҒЫЛЫМДЫ НЕГІЗДЕУШІ КҮШ Алаш тарихы – жаңаруға ұмтылған тарихи сабақтастықты үзбеген білім мен елшілдікті басым бағыт еткен ұлттық серпілудің тарихы. Сондықтан біз Алашты ауызға алған сайын осыдан 90 жыл бұрынғы саяси қозғалыс пен күре
14917. АЛАШ ТАҒЫЛЫМЫ ЖӘНЕ ҚАЗІРГІ ҚАЗАҚ РУХАНИЯТЫ 45 KB
  АЛАШ ТАҒЫЛЫМЫ ЖӘНЕ ҚАЗІРГІ ҚАЗАҚ РУХАНИЯТЫ Ұлт тарихы тек қана саяси әлеуметтік қоғамдық оқиғалардан ғана емес сонымен қатар ұрпақтар жалғастығынан өміршең дәстүрлерден құралатыны да белгілі. Сол игі дәстүрлерден тағылым ала отырып мемлекет әлеумет жеке адам к
14918. АЛАШ ТҰЛҒАЛАРЫНЫҢ КӨЗҚАРАСЫНДАҒЫ ҮНДЕСТІК 46.5 KB
  АЛАШ ТҰЛҒАЛАРЫНЫҢ КӨЗҚАРАСЫНДАҒЫ ҮНДЕСТІК XIX ғасырдың екінші жартысынан басталған қазақ ішіндегі күрестартыстардың басында болған қайраткерлер халқын орыс езгісінен азат етуді көздеді. Олар елін отарлаудан құтқарып ашық түрде күреске бастады. Олардың алға қойға