45455

Устойчивость систем управления

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения ищется в виде: yt = yвынt yсвt. Здесь yсвt общее решение однородного дифференциального уравнения то есть уравнения с нулевой правой частью: oyn 1yn1 . Поэтому решение данного уравнения называется свободной составляющей общего решения. yвынt частное решение неоднородного дифференциального уравнения под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью.

Русский

2013-11-17

57.5 KB

0 чел.

  1.  Устойчивость систем управления.

Понятие устойчивости системы

  

Под устойчивостью системы понимается способность ее возвращаться к состоянию установившегося равновесия после снятия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система непрерывно удаляется от равновесного состояния или совершает вокруг него колебания с возрастающей амплитудой.

Устойчивость линейной системы определяется не характером возмущения, а структурой самой системы (рис.61). Говорят, что система устойчива "в малом", если определен факт наличия устойчивости, но не определены ее границы. Система устойчива "в большом", когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы.

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения ищется в виде:

 

y(t) = yвын(t) + yсв(t).

 

Здесь yсв(t) - общее решение однородного дифференциального уравнения, то есть уравнения с нулевой правой частью:

 

aoy(n) + a1y(n-1) + ... + a(n-1)y’ + a(n)y = 0.

 

Физически это означает, что все внешние воздействия сняты и система абсолютно свободна, ее движения определяются лишь собственной структурой. Поэтому решение данного уравнения называется свободной составляющей общего решения. yвын(t) - частное решение неоднородного дифференциального уравнения, под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью. Физически это означает, что к системе приложено внешнее воздействие u(t). Поэтому вторая составляющая общего решения называется вынужденный. Она определяет вынужденный установившийся режим работы системы после окончания переходного процесса.

Можно провести аналогию между САУ и пружиной, колебания которой описываются аналогичным дифференциальным

уравнением (рис.62). Оттянем пружину, а затем отпустим, предоставив ее самой себе. Пружина будет колебаться в соответствии со свободной составляющей решения уравнения, то есть характер колебаний будет определяться только структурой самой пружины. Если в момент времени t = 0 подвесить к пружине груз, то на свободные колебания наложится внешняя сила Р. После затухания колебаний, описываемых только свободной составляющей общего решения, система перейдет в новый установившийся режим, характеризуемый вынужденной составляющей yвын = y(t ). Если внешнее воздействие само будет изменяться по синусоидальному закону P = Posin(t + ), то после затухания переходного процесса система будет совершать вынужденные колебания с той же частотой, что и вынуждающая сила, то есть yвын = ymaxsin(t + y).

Каждая составляющая общего решения уравнения динамики ищется отдельно. Вынужденная составляющая ищется на основе решения уравнения статики для данной системы для времени t . Свободная составляющая представляет собой сумму из n отдельных составляющих: , где pi корни характеристического уравнения D(p) = a0pn + a1pn-1 + a2pn-2 + ... + an = 0. Корни могут быть либо вещественными pi = ai, либо попарно комплексно сопряженными pi = ai ± ji. Постоянные интегрирования Аi определяются исходя из начальных и конечных условий, подставляя в общее решение значения u, y и их производные в моменты времени t = 0 и t .

Каждому отрицательному вещественному корню соответствует экспоненциально затухающая во времени составляющая yсв(t)i, каждому положительному - экспоненциально расходящаяся, каждому нулевому корню соответствует yсв(t)i = const (рис.63). Пара комплексно сопряженных корней с отрицательной вещественной частью определяет затухающие колебания с частотой i, при положительной вещественной части - расходящиеся колебания, при нулевой - незатухающие (рис.64).

 

 

Так как после снятия возмущения yвын(t) = 0, то устойчивость системы определяется только характером свободной составляющей yсв(t). zПоэтому условие устойчивости систем по Ляпунову формулируется так: в устойчивой системе свободная составляющая решения уравнения динамики, записанному в отклонениях, должна стремиться к нулю, то есть затухать.

Исходя из расположения на комплексной плоскости корни с отрицательными вещественными частями называются левыми, с положительными - правыми (рис.65).

Поэтому условие устойчивости линейной САУ можно сформулировать следующим образом: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми. Если хотя бы один корень правый, то система неустойчива. Если один из корней равен нулю (в системах, где an = 0), а остальные левые, то система находится на границе апериодической устойчивости. Если равны нулю вещественные части одной или нескольких пар комплексно сопряженных корней, то система находится на границе колебательной устойчивости.

Правила, позволяющие судить о знаках корней характеристического уравнения без его решения, называются критериями устойчивости. Их можно разделить на алгебраические (основаны на составлении по данному характеристическому уравнению по определенным правилам алгебраических выражений, по которым можно судить об устойчивости САУ) и частотные (основаны на исследовании частотных характеристик).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73423. Дорожні знаки як технічні засоби організації дорожнього руху 36 KB
  Дорожні знаки ставляться до технічних засобів організації дорожнього руху і є обов’язковою приналежністю всіх доріг і вулиць населених пунктів. Усі дорожні знаки діляться на вісім груп: попереджуючі знаки; знаки пріоритету; заборонні знаки; знаки що пропонують...
73424. Сигнальні стовпці та розмітка 302 KB
  Використання стовпців та розмітки Застосування і типи стовпців Вимоги до використання стовпців Вимоги до сучасної розмітки Дорожні стовпчики маркіровані светоотражающими елементами призначені для позначення узбіч автомобільних доріг відповідають гос.
73425. Штучні нерівності на дорозі 577.5 KB
  Довжина кожної нерівності повинна бути не менш ширини проїзної частини. Припустиме відхилення — не більш 0,2 м з кожної сторони дороги. На ділянці дороги для обладнання нерівностей повинен бути забезпечений водовідвід із проїзної частини дороги.
73426. Облаштування доріг об’єктами дорожнього сервісу 57 KB
  Транспортний процес не може здійснюватися без сучасних автомобільних доріг так само, як і без їхньої облаштованості об’єктами дорожнього сервісу. З кожним роком збільшується дальність як вантажних, так і пасажирських перевезень.
73427. Розміщення й планування майданчиків відпочинку, автобусних зупинок 372.5 KB
  Призначення майданчиків відпочинку та автобусних зупинок Норми проектування майданчиків відпочинку та автобусних зупинок Забезпечення інформацією учасників дорожнього руху У водіїв транспортних засобів при русі по дорогах поступово в міру стомлення збільшується час реакції...
73428. Проблеми збереження природного середовища при будівництві доріг 28.05 KB
  Умови проектування автомобільних доріг Екологія та автомобільні дороги Принципова схема прогнозованої екологічної оцінки проектованої автомобільної дороги Проблеми збереження природного середовища в її природній різноманітності й багатстві визначають сьогодні практично всі сторони життя...
73429. Еколгічна сумісність із навколишнім середовищем 29.5 KB
  На етапі прокладки траси майбутньої дороги особливу роль відіграє ландшафтне проектування що враховує не тільки вимоги земельного законодавства по вилученню земельних ділянок під будівництво дороги подолання контурних і висотних перешкод але й вимоги по захисту навколишнього середовища.
73430. Захист населення від екологічного забруднення придорожнього природного середовища 73.5 KB
  Технічні снігозахисні посадки захист від ерозії протиерозійне озеленення піщаних заметів пескозащитное озеленення сильних вітрів і курних бур; забезпечення безпеки руху й зорового орієнтування тобто вказівка напрямку дороги за межами видимості покриття підкреслення...
73431. Захист тварин і рослин 39 KB
  Проектування автомобільних доріг через ліси лісопитомники заповідники Основні методи зменшення впливу автотранспорту на тварин Дороги особливо швидкісні автомагістралі являють загрозу дикою тваринам у двох відносинах: погіршенні якості середовища проживання й небезпеки зіткнення...