45455

Устойчивость систем управления

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения ищется в виде: yt = yвынt yсвt. Здесь yсвt общее решение однородного дифференциального уравнения то есть уравнения с нулевой правой частью: oyn 1yn1 . Поэтому решение данного уравнения называется свободной составляющей общего решения. yвынt частное решение неоднородного дифференциального уравнения под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью.

Русский

2013-11-17

57.5 KB

0 чел.

  1.  Устойчивость систем управления.

Понятие устойчивости системы

  

Под устойчивостью системы понимается способность ее возвращаться к состоянию установившегося равновесия после снятия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система непрерывно удаляется от равновесного состояния или совершает вокруг него колебания с возрастающей амплитудой.

Устойчивость линейной системы определяется не характером возмущения, а структурой самой системы (рис.61). Говорят, что система устойчива "в малом", если определен факт наличия устойчивости, но не определены ее границы. Система устойчива "в большом", когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы.

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения ищется в виде:

 

y(t) = yвын(t) + yсв(t).

 

Здесь yсв(t) - общее решение однородного дифференциального уравнения, то есть уравнения с нулевой правой частью:

 

aoy(n) + a1y(n-1) + ... + a(n-1)y’ + a(n)y = 0.

 

Физически это означает, что все внешние воздействия сняты и система абсолютно свободна, ее движения определяются лишь собственной структурой. Поэтому решение данного уравнения называется свободной составляющей общего решения. yвын(t) - частное решение неоднородного дифференциального уравнения, под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью. Физически это означает, что к системе приложено внешнее воздействие u(t). Поэтому вторая составляющая общего решения называется вынужденный. Она определяет вынужденный установившийся режим работы системы после окончания переходного процесса.

Можно провести аналогию между САУ и пружиной, колебания которой описываются аналогичным дифференциальным

уравнением (рис.62). Оттянем пружину, а затем отпустим, предоставив ее самой себе. Пружина будет колебаться в соответствии со свободной составляющей решения уравнения, то есть характер колебаний будет определяться только структурой самой пружины. Если в момент времени t = 0 подвесить к пружине груз, то на свободные колебания наложится внешняя сила Р. После затухания колебаний, описываемых только свободной составляющей общего решения, система перейдет в новый установившийся режим, характеризуемый вынужденной составляющей yвын = y(t ). Если внешнее воздействие само будет изменяться по синусоидальному закону P = Posin(t + ), то после затухания переходного процесса система будет совершать вынужденные колебания с той же частотой, что и вынуждающая сила, то есть yвын = ymaxsin(t + y).

Каждая составляющая общего решения уравнения динамики ищется отдельно. Вынужденная составляющая ищется на основе решения уравнения статики для данной системы для времени t . Свободная составляющая представляет собой сумму из n отдельных составляющих: , где pi корни характеристического уравнения D(p) = a0pn + a1pn-1 + a2pn-2 + ... + an = 0. Корни могут быть либо вещественными pi = ai, либо попарно комплексно сопряженными pi = ai ± ji. Постоянные интегрирования Аi определяются исходя из начальных и конечных условий, подставляя в общее решение значения u, y и их производные в моменты времени t = 0 и t .

Каждому отрицательному вещественному корню соответствует экспоненциально затухающая во времени составляющая yсв(t)i, каждому положительному - экспоненциально расходящаяся, каждому нулевому корню соответствует yсв(t)i = const (рис.63). Пара комплексно сопряженных корней с отрицательной вещественной частью определяет затухающие колебания с частотой i, при положительной вещественной части - расходящиеся колебания, при нулевой - незатухающие (рис.64).

 

 

Так как после снятия возмущения yвын(t) = 0, то устойчивость системы определяется только характером свободной составляющей yсв(t). zПоэтому условие устойчивости систем по Ляпунову формулируется так: в устойчивой системе свободная составляющая решения уравнения динамики, записанному в отклонениях, должна стремиться к нулю, то есть затухать.

Исходя из расположения на комплексной плоскости корни с отрицательными вещественными частями называются левыми, с положительными - правыми (рис.65).

Поэтому условие устойчивости линейной САУ можно сформулировать следующим образом: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми. Если хотя бы один корень правый, то система неустойчива. Если один из корней равен нулю (в системах, где an = 0), а остальные левые, то система находится на границе апериодической устойчивости. Если равны нулю вещественные части одной или нескольких пар комплексно сопряженных корней, то система находится на границе колебательной устойчивости.

Правила, позволяющие судить о знаках корней характеристического уравнения без его решения, называются критериями устойчивости. Их можно разделить на алгебраические (основаны на составлении по данному характеристическому уравнению по определенным правилам алгебраических выражений, по которым можно судить об устойчивости САУ) и частотные (основаны на исследовании частотных характеристик).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31783. Роль финансового анализа в аудиторской деятельности 29 KB
  Значимость аудиторской проверки с точки зрения собственника инвестора заключается не только в получении информации о достоверности финансовых результатов предприятия и соответствии учетной политики действующему законодательству но и в овладении следующей аналитической информацией для обоснованности принятия решения по управлению инвестициями: динамика предприятия рост стабильность спад; структура капитала предприятия: предполагает ли данная структура риск для вложенного капитала; место предприятия среди других предприятий данной отрасли...
31784. Рынок: сущность, условия и причины возникновения, субъекты, структура, инфраструктура, функции 43 KB
  Существует обыденное и экономическое понятие рынка. В сфере обмена рынка выступают два собственника собственник товара и собственник денег. При этом реализуются две основные стороны рынка: удовлетворение платежеспособного спроса потребителей и возмещение в денежной форме стоимости произведенной и доставленной на рынок продукции. Поэтому экономическое определение рынка Самуэльсон характеризует так: Рынок это упорядоченная структура посредство которой взаимодействуют продавцы и покупатели товара чтобы определить его цену и...
31785. СЕГМЕНТИРОВАНИЕ БУХГАЛТЕРСКОЙ ИНФОРМАЦИИ 31.5 KB
  Формулируются задачи которые должны быть решены в ходе проверки каждого сегмента устанавливаются совокупности элементов натуральных единиц или документов которые должны быть подвергнуты проверке для решения указанных задач. Задачи проверки соответствующего сегмента вытекают из критериев существования возникновения прав и обязанностей полноты оценки точности представления и раскрытия. Указанные критерии определены федеральным правилом стандартом аудиторской деятельности № 5 Аудиторские доказательства и обеспечивают достаточные...
31786. Система межбюджетных отношений в Российской Федерации 41.5 KB
  Межбюджетные отношения это отношения между органами государственной власти на различных уровнях а также органами местного самоуправления по поводу формирования и использования бюджетных средств и обеспечения бюджетного процесса. Для того чтобы правильно раскрыть сущность межбюджетных отношений необходимо раскрыть понятие бюджетного федерализма как их определенного типа. Под бюджетным федерализмом понимают форму организации межбюджетных отношений в федеративном государстве.
31787. Система нормативного регулирования аудиторской деятельности в РФ. Федеральный закон «Об аудиторской деятельности» 37.5 KB
  Федеральный закон Об аудиторской деятельности. К правовым и законодательным документам по аудиторской деятельности в РФ относятся: Гражданский кодекс РФ; Федеральный закон Об аудиторской деятельности N 307 от 30122008 в ред. N 80 О вопросах государственного регулирования аудиторской деятельности в РФ ; Положение о лицензировании аудиторской деятельности утвержденное Постановлением Правительства РФ от 29 марта 2002 г.
31788. Система нормативного регулирования бухгалтерского учета и отчетности в России 30.5 KB
  Целью нормативного регулирования бухучета является обеспечение доступа всем заинтересованным пользователям к информации предоставляющей объективную картину финансового положения и результатов хозяйственной деятельности предприятия. Рыночная экономика потребовала разработки новой системы нормативных документов регламентирующих вопросы организации и ведения бухгалтерского учета в организации а также определения роли государственных органов в ее создании. Все вопросы организации бухучета регламентируются Министерством финансов РФ.
31789. Система «стандарт-кост» 36.5 KB
  традиционный учет по полной себестоимости принятый в отечественной промышленности или стандарткост принятый в зарубежной практике; Система неполного ограниченного включения затрат в себестоимость по какомулибо признаку например по признаку зависимости расходов от объемов производства то есть система директкостинг. Отличия системы нормативных затрат стандарткост и нормативного метода учета затрат лежат в нескольких плоскостях: 1 В способе калькулирования себестоимости продукции и определения прибыли: в нормативном учете в...
31790. Особенности организации системы внутреннего контроля в субъектах малого бизнеса 37.5 KB
  Особенности организации системы внутреннего контроля в субъектах малого бизнеса Аннотация:В малом бизнесе внутренний контроль организуется на средства хозяйствующего субъекта по решению руководства для повышения эффективности управления. Определяя необходимость функционирования внутрихозяйственного контроля целесообразно рассмотреть элементы системы внутреннего контроля. Определяя необходимость функционирования внутрихозяйственного контроля целесообразно рассмотреть элементы системы внутреннего контроля. В научной и учебной литературе...
31791. Системы управленческого учета 41.5 KB
  Финансовый учет это система сбора и обработки информации о финансовом состоянии организации он включает в себя бухучет. На микроуровне к финансовому учету относится отчетность предприятия перед вышестоящим предприятием. Управленческий учет это система сбора и обработки информации в целях принятия управленческих решений на всех уровнях управления предприятия.