45455

Устойчивость систем управления

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения ищется в виде: yt = yвынt yсвt. Здесь yсвt общее решение однородного дифференциального уравнения то есть уравнения с нулевой правой частью: oyn 1yn1 . Поэтому решение данного уравнения называется свободной составляющей общего решения. yвынt частное решение неоднородного дифференциального уравнения под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью.

Русский

2013-11-17

57.5 KB

0 чел.

  1.  Устойчивость систем управления.

Понятие устойчивости системы

  

Под устойчивостью системы понимается способность ее возвращаться к состоянию установившегося равновесия после снятия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система непрерывно удаляется от равновесного состояния или совершает вокруг него колебания с возрастающей амплитудой.

Устойчивость линейной системы определяется не характером возмущения, а структурой самой системы (рис.61). Говорят, что система устойчива "в малом", если определен факт наличия устойчивости, но не определены ее границы. Система устойчива "в большом", когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы.

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения ищется в виде:

 

y(t) = yвын(t) + yсв(t).

 

Здесь yсв(t) - общее решение однородного дифференциального уравнения, то есть уравнения с нулевой правой частью:

 

aoy(n) + a1y(n-1) + ... + a(n-1)y’ + a(n)y = 0.

 

Физически это означает, что все внешние воздействия сняты и система абсолютно свободна, ее движения определяются лишь собственной структурой. Поэтому решение данного уравнения называется свободной составляющей общего решения. yвын(t) - частное решение неоднородного дифференциального уравнения, под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью. Физически это означает, что к системе приложено внешнее воздействие u(t). Поэтому вторая составляющая общего решения называется вынужденный. Она определяет вынужденный установившийся режим работы системы после окончания переходного процесса.

Можно провести аналогию между САУ и пружиной, колебания которой описываются аналогичным дифференциальным

уравнением (рис.62). Оттянем пружину, а затем отпустим, предоставив ее самой себе. Пружина будет колебаться в соответствии со свободной составляющей решения уравнения, то есть характер колебаний будет определяться только структурой самой пружины. Если в момент времени t = 0 подвесить к пружине груз, то на свободные колебания наложится внешняя сила Р. После затухания колебаний, описываемых только свободной составляющей общего решения, система перейдет в новый установившийся режим, характеризуемый вынужденной составляющей yвын = y(t ). Если внешнее воздействие само будет изменяться по синусоидальному закону P = Posin(t + ), то после затухания переходного процесса система будет совершать вынужденные колебания с той же частотой, что и вынуждающая сила, то есть yвын = ymaxsin(t + y).

Каждая составляющая общего решения уравнения динамики ищется отдельно. Вынужденная составляющая ищется на основе решения уравнения статики для данной системы для времени t . Свободная составляющая представляет собой сумму из n отдельных составляющих: , где pi корни характеристического уравнения D(p) = a0pn + a1pn-1 + a2pn-2 + ... + an = 0. Корни могут быть либо вещественными pi = ai, либо попарно комплексно сопряженными pi = ai ± ji. Постоянные интегрирования Аi определяются исходя из начальных и конечных условий, подставляя в общее решение значения u, y и их производные в моменты времени t = 0 и t .

Каждому отрицательному вещественному корню соответствует экспоненциально затухающая во времени составляющая yсв(t)i, каждому положительному - экспоненциально расходящаяся, каждому нулевому корню соответствует yсв(t)i = const (рис.63). Пара комплексно сопряженных корней с отрицательной вещественной частью определяет затухающие колебания с частотой i, при положительной вещественной части - расходящиеся колебания, при нулевой - незатухающие (рис.64).

 

 

Так как после снятия возмущения yвын(t) = 0, то устойчивость системы определяется только характером свободной составляющей yсв(t). zПоэтому условие устойчивости систем по Ляпунову формулируется так: в устойчивой системе свободная составляющая решения уравнения динамики, записанному в отклонениях, должна стремиться к нулю, то есть затухать.

Исходя из расположения на комплексной плоскости корни с отрицательными вещественными частями называются левыми, с положительными - правыми (рис.65).

Поэтому условие устойчивости линейной САУ можно сформулировать следующим образом: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми. Если хотя бы один корень правый, то система неустойчива. Если один из корней равен нулю (в системах, где an = 0), а остальные левые, то система находится на границе апериодической устойчивости. Если равны нулю вещественные части одной или нескольких пар комплексно сопряженных корней, то система находится на границе колебательной устойчивости.

Правила, позволяющие судить о знаках корней характеристического уравнения без его решения, называются критериями устойчивости. Их можно разделить на алгебраические (основаны на составлении по данному характеристическому уравнению по определенным правилам алгебраических выражений, по которым можно судить об устойчивости САУ) и частотные (основаны на исследовании частотных характеристик).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76745. Отечественная анатомия Древней Руси 183.52 KB
  Анатомические знания получали при вскрытиях трупов животных и людей оказании помощи раненым и больным. С развитием иконографии анатомические знания о пропорциях тела его пластике потребовались художникам иконописцам. Некоторые анатомические сведения излагались в Люцидарии Вepтограде переводных рекомендациях древнегреческих и древнеримских ученых и врачей.
76746. Н.И Пирогов и его вклад в анатомию человека 181.28 KB
  И Пирогов и его вклад в анатомию человека Николай Иванович Пирогов 18101881 обучался медицине в Московском и Дерптском университетах выезжал в научные командировки в германские французские университеты и клиники работал руководителем хирургической клиники в СанктПетербургской медикохирургической академии где основал Анатомический институт. Пирогова которое хранится в настоящее время в музее г. Пирогов предложил новый способ по изучению взаимного расположения синтопии органов сосудов нервов; проекции их на кости скелетотопии и...
76747. П.Ф. Лесгафт - представитель функциональной анатомии 183.2 KB
  Лесгафт представитель функциональной анатомии П. Лесгафт как представитель функционального направления в анатомии и значение его работ для теории предмета и развития физического воспитания. П Петр Францевич Лесгафт 1837-1909 гг. Лесгафт считал что в жизнедеятельности всех органов и систем эффективная работа функция соотносится с рациональным устройством т.
76748. Отечественные анатомы XX века 185.74 KB
  Открылись новые кафедры анатомии человека лаборатории и институты морфологии. Большую роль в обмене опытом и консолидации морфологов сыграл журнал Архив анатомии гистологии эмбриологии основанный в 1916 г. Целая плеяда выдающихся российских ученыханатомов заняла лидерские позиции и сделала огромный вклад в развитие анатомии советского периода.
76749. Индивидуальная изменчивость органов 186.7 KB
  При этом индивидуальный соматотип и характер реактивности окончательно складываются в пубертатном периоде что по В. Возрастная периодизация человека Внутриутробное антенатальное развитие. Зародышевый эмбриональный период 02 месяца: период оплодотворения дробления и образования бластоцисты имплантация в стенку матки первая неделя 67 дней; период гаструляции и формирования трех первичных зародышевых листков: экто энто и мезодермы 24я недели; период обособления тела зародыша с развитием органов и тканей и образованием...
76750. Кость как орган: ее развитие, строение, рост 186.52 KB
  Как орган кость обеспечена сосудами и нервами находящимися в надкостнице а вглубь кости проникающими через питательные отверстия. На 68 неделе эмбрионального развития из соединительной ткани начинает формироваться костная например в костях свода черепа такие кости называют первичными покровными. При хрящевом остеогенезе в соединительной ткани появляется хрящ а потом в нем развивается костная ткань что характерно для большинства костей скелета и такие кости называют вторичными. Разрастание костной ткани в хряще осуществляется...
76751. Позвонки: их строение в различных отделах 191.33 KB
  Отростки processi: поперечные: правый и левый processus trnsversus для прикрепления мышц и связок; суставные верхние и суставные нижние processus rticulre superiores et inferiores для образования межпозвоночных суставов; остистый processus spinlis для прикрепления связок и мышц. Атлант tls первыйшейный позвонок отличительные признаки передняя и задняя дуга rcus nterior et rcus posterior для прикрепления мембран и связок; борозды позвоночной артерии на задней дуге сверху sulci . vertebrle; передний и задний...
76752. Позвоночный столб в целом 188.39 KB
  Грудной отдел 12 позвонков наличие реберных ямок на телах для суставов головки ребра и суставных поверхностей на поперечных отростках для ребернопоперечных суставов Поясничный отдел 5 позвонков массивность тела специфическое положение отростков сосцевидные бугорки на верхних суставных отростках. Величина изгибов меняется в зависимости от массы тела и его отдельных частей физической нагрузки мышечного напряжения возраста пола наконец от положения тела при вертикальном она увеличивается горизонтальном уменьшается. С...
76753. Ребра и грудина. Грудная клетка в целом 184.3 KB
  На позвоночном конце ребра находятся: головка с гребнем у IIX ребер и верхней нижней суставными поверхностями покрытыми гиалиновым хрящом у I XI и XII ребер гребень отсутствует; шейка переходящая углом в тело; на переходе бугорок на 10 верхних ребрах с двумя возвышениями: медиальнонижнее имеет суставную ямку для сочленения с поперечным отростком позвонка к другому возвышению прикрепляется связка; последние два ребра бугорка не имеют у первого ребра бугорок совпадает с вершиной угла. Тело ребра изогнутое у позвоночного конца...