45455

Устойчивость систем управления

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения ищется в виде: yt = yвынt yсвt. Здесь yсвt общее решение однородного дифференциального уравнения то есть уравнения с нулевой правой частью: oyn 1yn1 . Поэтому решение данного уравнения называется свободной составляющей общего решения. yвынt частное решение неоднородного дифференциального уравнения под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью.

Русский

2013-11-17

57.5 KB

0 чел.

  1.  Устойчивость систем управления.

Понятие устойчивости системы

  

Под устойчивостью системы понимается способность ее возвращаться к состоянию установившегося равновесия после снятия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система непрерывно удаляется от равновесного состояния или совершает вокруг него колебания с возрастающей амплитудой.

Устойчивость линейной системы определяется не характером возмущения, а структурой самой системы (рис.61). Говорят, что система устойчива "в малом", если определен факт наличия устойчивости, но не определены ее границы. Система устойчива "в большом", когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы.

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения ищется в виде:

 

y(t) = yвын(t) + yсв(t).

 

Здесь yсв(t) - общее решение однородного дифференциального уравнения, то есть уравнения с нулевой правой частью:

 

aoy(n) + a1y(n-1) + ... + a(n-1)y’ + a(n)y = 0.

 

Физически это означает, что все внешние воздействия сняты и система абсолютно свободна, ее движения определяются лишь собственной структурой. Поэтому решение данного уравнения называется свободной составляющей общего решения. yвын(t) - частное решение неоднородного дифференциального уравнения, под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью. Физически это означает, что к системе приложено внешнее воздействие u(t). Поэтому вторая составляющая общего решения называется вынужденный. Она определяет вынужденный установившийся режим работы системы после окончания переходного процесса.

Можно провести аналогию между САУ и пружиной, колебания которой описываются аналогичным дифференциальным

уравнением (рис.62). Оттянем пружину, а затем отпустим, предоставив ее самой себе. Пружина будет колебаться в соответствии со свободной составляющей решения уравнения, то есть характер колебаний будет определяться только структурой самой пружины. Если в момент времени t = 0 подвесить к пружине груз, то на свободные колебания наложится внешняя сила Р. После затухания колебаний, описываемых только свободной составляющей общего решения, система перейдет в новый установившийся режим, характеризуемый вынужденной составляющей yвын = y(t ). Если внешнее воздействие само будет изменяться по синусоидальному закону P = Posin(t + ), то после затухания переходного процесса система будет совершать вынужденные колебания с той же частотой, что и вынуждающая сила, то есть yвын = ymaxsin(t + y).

Каждая составляющая общего решения уравнения динамики ищется отдельно. Вынужденная составляющая ищется на основе решения уравнения статики для данной системы для времени t . Свободная составляющая представляет собой сумму из n отдельных составляющих: , где pi корни характеристического уравнения D(p) = a0pn + a1pn-1 + a2pn-2 + ... + an = 0. Корни могут быть либо вещественными pi = ai, либо попарно комплексно сопряженными pi = ai ± ji. Постоянные интегрирования Аi определяются исходя из начальных и конечных условий, подставляя в общее решение значения u, y и их производные в моменты времени t = 0 и t .

Каждому отрицательному вещественному корню соответствует экспоненциально затухающая во времени составляющая yсв(t)i, каждому положительному - экспоненциально расходящаяся, каждому нулевому корню соответствует yсв(t)i = const (рис.63). Пара комплексно сопряженных корней с отрицательной вещественной частью определяет затухающие колебания с частотой i, при положительной вещественной части - расходящиеся колебания, при нулевой - незатухающие (рис.64).

 

 

Так как после снятия возмущения yвын(t) = 0, то устойчивость системы определяется только характером свободной составляющей yсв(t). zПоэтому условие устойчивости систем по Ляпунову формулируется так: в устойчивой системе свободная составляющая решения уравнения динамики, записанному в отклонениях, должна стремиться к нулю, то есть затухать.

Исходя из расположения на комплексной плоскости корни с отрицательными вещественными частями называются левыми, с положительными - правыми (рис.65).

Поэтому условие устойчивости линейной САУ можно сформулировать следующим образом: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми. Если хотя бы один корень правый, то система неустойчива. Если один из корней равен нулю (в системах, где an = 0), а остальные левые, то система находится на границе апериодической устойчивости. Если равны нулю вещественные части одной или нескольких пар комплексно сопряженных корней, то система находится на границе колебательной устойчивости.

Правила, позволяющие судить о знаках корней характеристического уравнения без его решения, называются критериями устойчивости. Их можно разделить на алгебраические (основаны на составлении по данному характеристическому уравнению по определенным правилам алгебраических выражений, по которым можно судить об устойчивости САУ) и частотные (основаны на исследовании частотных характеристик).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18165. НАБУТТЯ ПРАВА ВЛАСНОСТІ НА ЗЕМЕЛЬНІ ДІЛЯНКИ ЗА ЦИВІЛЬНО - ПРАВОВИМИ УГОДАМИ 81 KB
  Лекція 7. НАБУТТЯ ПРАВА ВЛАСНОСТІ НА ЗЕМЕЛЬНІ ДІЛЯНКИ ЗА ЦИВІЛЬНО ПРАВОВИМИ УГОДАМИ План: 1. Загальні положення. 2. Купівля продаж. 3. Міна. 4. Дарування. 5. Спадкування. 6. Рента. Питання для самоконтролю: Питання для самостійного опрацювання: 1. Загальні ...
18166. ПРИПИНЕННЯ ПРАВА ПРИВАТНОЇ ВЛАСНОСТІ 84 KB
  Лекція 8 ПРИПИНЕННЯ ПРАВА ПРИВАТНОЇ ВЛАСНОСТІ План: Припинення права приватної власності як санкція за вчинене правопорушення. Викуп земельних ділянок приватної власності для суспільних потреб Примусове припинення права власності. Викуп земельних...
18167. ПРАВО ЗЕМЛЕКОРИСТУВАННЯ 95 KB
  Лекція 9. ПРАВО ЗЕМЛЕКОРИСТУВАННЯ План: Поняття права землекористування Особливості підстав виникнення права землекористування Особливості підстав припинення права землекористування Захист права землекористування Питання для самоконтро
18168. ОСОБЛИВОСТІ ОРЕНДНОГО ЗЕМЛЕКОРИСТУВАННЯ 79 KB
  Лекція 10. ОСОБЛИВОСТІ ОРЕНДНОГО ЗЕМЛЕКОРИСТУВАННЯ План: Загальна характеристика оренди землі та договору оренди землі Порядок укладання договорів оренди землі Умови договору оренди землі Зміна припинення поновлення договорів оренди землі Субо
18169. ОБМЕЖЕННЯ ТА ОБТЯЖЕННЯ ПРАВ НА ЗЕМЛЮ 66.5 KB
  Лекція 11. ОБМЕЖЕННЯ ТА ОБТЯЖЕННЯ ПРАВ НА ЗЕМЛЮ План: Поняття обмежень та обтяжень прав на землю Загальна характеристика обмежень прав на землю Загальна характеристика обтяжень прав на землю Питання для самоконтролю: Питання на самостійну підгото
18170. ЗЕМЕЛЬНИЙ СЕРВІТУТ ЯК ОКРЕМИЙ РІЗНОВИД ОБТЯЖЕНЬ ПРАВ НА ЗЕМЛЮ 60.5 KB
  Лекція 12. ЗЕМЕЛЬНИЙ СЕРВІТУТ ЯК ОКРЕМИЙ РІЗНОВИД ОБТЯЖЕНЬ ПРАВ НА ЗЕМЛЮ План: Поняття земельного сервітуту Види земельних сервітутів Встановлення земельних сервітутів: підстави та порядок Підстави та порядок припинення земельних сервітутів П...
18171. Структуры языка ANSI C, операции над структурами 1.07 MB
  Задача лабораторной работы состоит в практическом освоении объявления и работы с структурами, написание приложения по индивидуальному варианту.
18172. ПРАВО НА ЗЕМЕЛЬНУ ЧАСТКУ (ПАЙ) 83.5 KB
  Лекція 13 ПРАВО НА ЗЕМЕЛЬНУ ЧАСТКУ ПАЙ План: Правова природа права на земельну частку пай Право на земельну частку пай у землях що були передані у колективну власність сільськогосподарських підприємств Співвідношення права на земельну частку пай із...
18173. ВИНИКНЕННЯ ТА РЕАЛІЗАЦІЯ ПРАВА НА ЗЕМЕЛЬНУ ЧАСТКУ (ПАЙ), У ЗЕМЛЯХ ПЕРЕДАНИХ У КОЛЕКТИВНУ ВЛАСНІСТЬ 81.5 KB
  Лекція 14 ВИНИКНЕННЯ ТА РЕАЛІЗАЦІЯ ПРАВА НА ЗЕМЕЛЬНУ ЧАСТКУ ПАЙ У ЗЕМЛЯХ ПЕРЕДАНИХ У КОЛЕКТИВНУ ВЛАСНІСТЬ План: Виникнення права на земельну частку пай Виділення земельних часток паївв натурі із земель передану у колективну власність Оренда земельн...