45455

Устойчивость систем управления

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения ищется в виде: yt = yвынt yсвt. Здесь yсвt общее решение однородного дифференциального уравнения то есть уравнения с нулевой правой частью: oyn 1yn1 . Поэтому решение данного уравнения называется свободной составляющей общего решения. yвынt частное решение неоднородного дифференциального уравнения под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью.

Русский

2013-11-17

57.5 KB

0 чел.

  1.  Устойчивость систем управления.

Понятие устойчивости системы

  

Под устойчивостью системы понимается способность ее возвращаться к состоянию установившегося равновесия после снятия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система непрерывно удаляется от равновесного состояния или совершает вокруг него колебания с возрастающей амплитудой.

Устойчивость линейной системы определяется не характером возмущения, а структурой самой системы (рис.61). Говорят, что система устойчива "в малом", если определен факт наличия устойчивости, но не определены ее границы. Система устойчива "в большом", когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы.

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения ищется в виде:

 

y(t) = yвын(t) + yсв(t).

 

Здесь yсв(t) - общее решение однородного дифференциального уравнения, то есть уравнения с нулевой правой частью:

 

aoy(n) + a1y(n-1) + ... + a(n-1)y’ + a(n)y = 0.

 

Физически это означает, что все внешние воздействия сняты и система абсолютно свободна, ее движения определяются лишь собственной структурой. Поэтому решение данного уравнения называется свободной составляющей общего решения. yвын(t) - частное решение неоднородного дифференциального уравнения, под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью. Физически это означает, что к системе приложено внешнее воздействие u(t). Поэтому вторая составляющая общего решения называется вынужденный. Она определяет вынужденный установившийся режим работы системы после окончания переходного процесса.

Можно провести аналогию между САУ и пружиной, колебания которой описываются аналогичным дифференциальным

уравнением (рис.62). Оттянем пружину, а затем отпустим, предоставив ее самой себе. Пружина будет колебаться в соответствии со свободной составляющей решения уравнения, то есть характер колебаний будет определяться только структурой самой пружины. Если в момент времени t = 0 подвесить к пружине груз, то на свободные колебания наложится внешняя сила Р. После затухания колебаний, описываемых только свободной составляющей общего решения, система перейдет в новый установившийся режим, характеризуемый вынужденной составляющей yвын = y(t ). Если внешнее воздействие само будет изменяться по синусоидальному закону P = Posin(t + ), то после затухания переходного процесса система будет совершать вынужденные колебания с той же частотой, что и вынуждающая сила, то есть yвын = ymaxsin(t + y).

Каждая составляющая общего решения уравнения динамики ищется отдельно. Вынужденная составляющая ищется на основе решения уравнения статики для данной системы для времени t . Свободная составляющая представляет собой сумму из n отдельных составляющих: , где pi корни характеристического уравнения D(p) = a0pn + a1pn-1 + a2pn-2 + ... + an = 0. Корни могут быть либо вещественными pi = ai, либо попарно комплексно сопряженными pi = ai ± ji. Постоянные интегрирования Аi определяются исходя из начальных и конечных условий, подставляя в общее решение значения u, y и их производные в моменты времени t = 0 и t .

Каждому отрицательному вещественному корню соответствует экспоненциально затухающая во времени составляющая yсв(t)i, каждому положительному - экспоненциально расходящаяся, каждому нулевому корню соответствует yсв(t)i = const (рис.63). Пара комплексно сопряженных корней с отрицательной вещественной частью определяет затухающие колебания с частотой i, при положительной вещественной части - расходящиеся колебания, при нулевой - незатухающие (рис.64).

 

 

Так как после снятия возмущения yвын(t) = 0, то устойчивость системы определяется только характером свободной составляющей yсв(t). zПоэтому условие устойчивости систем по Ляпунову формулируется так: в устойчивой системе свободная составляющая решения уравнения динамики, записанному в отклонениях, должна стремиться к нулю, то есть затухать.

Исходя из расположения на комплексной плоскости корни с отрицательными вещественными частями называются левыми, с положительными - правыми (рис.65).

Поэтому условие устойчивости линейной САУ можно сформулировать следующим образом: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми. Если хотя бы один корень правый, то система неустойчива. Если один из корней равен нулю (в системах, где an = 0), а остальные левые, то система находится на границе апериодической устойчивости. Если равны нулю вещественные части одной или нескольких пар комплексно сопряженных корней, то система находится на границе колебательной устойчивости.

Правила, позволяющие судить о знаках корней характеристического уравнения без его решения, называются критериями устойчивости. Их можно разделить на алгебраические (основаны на составлении по данному характеристическому уравнению по определенным правилам алгебраических выражений, по которым можно судить об устойчивости САУ) и частотные (основаны на исследовании частотных характеристик).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81765. Своеобразие композиции романа А.С.Пушкина «Евгений Онегин» 33.37 KB
  Чтение наизусть отрывка из романа Евгений Онегин . В годы создания романа Пушкину пришлось пережить ссылку потерять многих друзей испытать горечь от гибели лучших людей России того времени. Ее духовный и нравственный облик представлен в героях романа Евгении Онегине и Ленском.
81766. Социальная и философская проблематика пьесы М. Горького «На дне» 32.62 KB
  изображением дна являющегося изнанкой современного буржуазного строя Горький утверждал мысль о необходимости решительного обновления этого строя во имя освобождения человека. Горький поновому показал босяка дав строго реалистический анализ бродяжного люда ни разу не отрываясь от трезвого взгляда на босячество как на явление в основе своей антисоциальное. Горький усилил и художественно обобщил одну черту босяка его презрение к мещанским предрассудкам к мещанской морали к мещанскому фетишизму вещей и понятий. Горький использовал эту...
81767. Роль пейзажа в произведениях отечественной литературы 31.46 KB
  В рассказе Хорь и Калиныч Калиныча более трогали природа горы водопад. чутко воспринял тему человек и природа В рассказе того же цикла Бежин луг описание природы начинает повествование. Это рассказ о том что природа сильнее человека и поэтому надо с уважением к ней относиться. Главный герой романа Евгений Базаров так выражает свои отношения с природой: Природа пустяки Природа не храм а мастерская и человек в ней работник Но далее читаем: Солнце жгло изза тонкой завесы сплошных беловатых облаков.
81768. Татьяны «милый идеал» в романе А.С.Пушкина «Евгений Онегин». Роль сна Татьяны в развитии сюжета 37.82 KB
  Точными деталями Пушкин напоминает о характере жизни крепостной деревни крестьянства. На этом широком фоне воссоздана в Евгении Онегине драматическая судьба лучших людей пушкинского времени передовой дворянской интеллигенции эпохи декабристов. Образ Евгения Онегина обобщает собой все что Пушкин стремился воплотить в образах кавказского пленника и Алеко. Пушкинский герой порождение этого общества но вместе с тем он и чужд ему.
81769. Герои и проблематика одного из произведений А. Платонова 47.7 KB
  Платонова. Платонов Наше узнавание Платонова было длительным: с 20х годов до сегодняшнего дня. Почему многие произведения Андрея Платонова совсем не были опубликованы при его жизни а те что были напечатаны вызывали резко критическое отношение Почему Сталин прочитав бедняцкую хронику Впрок не пожалел самых ругательных выражений а Горький высоко оценив Чевенгур считал что роман этот опубликован не будет Попробуем ответить на эти вопросы. Все это в той или иной степени отразилось в творчестве Платонова от первого сборника стихов ...
81770. Мотивы преступления и возмездия в произведениях отечественной литературы 45.61 KB
  В художественном арсенале Достоевского можно обнаружить множество средств к которым он прибегает при обрисовке Раскольникова. Портрет Раскольникова набросан лаконично: Кстати он был замечательно хорош собою с прекрасными темными глазами темнорус роста выше среднего тонок строен. Особенно обстоятельно Достоевский рассматривает мотивы преступления Раскольникова. В раскрытии безмерности издевательств над людьми и поругания всего живого большое значение приобретает символический сон Раскольникова из V главы где предстаёт зверское...
81771. Образ Маши Мироновой и смысл названия романа 32.62 KB
  И к Екатерине Маша обращается с прошением о помиловании о милости а не о просьбе соблюсти закон. Маша обращается к Екатерине как к матери Отечества мотив материнства и отцовства очень важен для Пушкина. Маша Миронова и Петр Гринев заслужили свое счастье т. Маша и Гринев преодолевая трудности все испытания которые выпали на их долю спасаются любовью.
81772. Тема героя и толпы в произведениях отечественной литературы 31.76 KB
  Горький Старуха Изергиль Герои притч старухи Изергиль Ларра и Данко являются по сути вариациями на одну и ту же тему: оба они герои байронического типа сильные личности противопоставленные толпе посредственностей. И толпа губит и положительного Данко и отрицательного Ларру. Геройромантик либо гибнет как Данко либо замыкается в своем страдании и одиночестве отвергнутый обществом против условностей которого протестовал как Ларра. Свобода Данко напротив это свобода взять на себя ответственность за коллектив свобода...
81773. Основные мотивы и образы лирики М.Ю.Лермонтова ( на примере 3 – 4 стихотворений). Чтение наизусть и разбор одного стихотворения 34.41 KB
  Мотив одиночества возникает у Л. в трактовку темы одиночества это прежде всего его абсолютный и глубоко личный характер связанный с неприятием лермонтовским героем мира коренных основ миропорядка. В этой благодарности за все чем я обманут в жизни был обнажается двойственная природа лермонтовского одиночества; враждебный человеку мир с отъединенностью от врагов и друзей и волевое гордое непримиренное Я поэта не желающее пойти на какойлибо компромисс с этим миром ни перед чем не останавливающееся в противостоянии ему...