45456

Математические модели объектов управления в системах управления

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Применять интегральный закон регулирования нельзя так как это приводит к повышению порядка астатизма системы второй порядок ибо сам объект является интегрирующим звеном. Системы с астатизмом второго порядка построить можно но требуется сложное корректирующее звено обладающее дифференцирующими свойствами. Часто системы с регуляторами рассматриваются как системы с встречнопараллельными корректирующими цепями. не учитывать некоторые особенности характеристик исследуемых элементов а также не учитывать отдельные связи если они не...

Русский

2013-11-17

1.07 MB

19 чел.

  1.  Математические модели объектов управления в системах управления.

Наиболее часто встречаются объекты регулирования следующих видов:

  1.  Объекты с самовыравниванием:

- объект со свойствами апериодического звена первого порядка,

- объект со свойствами колебательного звена,

- объект со свойствами апериодического звена второго порядка,

где - передаточная функция объекта,

- передаточный коэффициент,

- постоянные времени,

 - коэффициент затухания.

Характерное свойство этих объектов – выходная координата принимает установившееся значение, если входное воздействие становится постоянным, причём после прекращения входного воздействия выходная координата стремится к нулю.

Управление такими объектами возможно по пропорциональному (П-регулятор) или пропорционально-интегральному (ПИ-регулятор) законам регулирования. В последнем случае статическая ошибка равна нулю при постоянном входном воздействии. Если объект второго порядка, то применяют пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД-регулятор) закон регулирования.

  1.  Объекты без самовыравнивания.

Здесь после прекращения действия входного воздействия выходная координата не восстанавливает своего первоначального значения.

- объект обладает свойствами апериодического и интегрирующего звеньев (реальное интегрирующее звено).

Применять интегральный закон регулирования нельзя, так как это приводит к повышению порядка астатизма системы (второй порядок), ибо сам объект является интегрирующим звеном.

Системы с астатизмом второго порядка построить можно, но требуется сложное корректирующее звено, обладающее дифференцирующими свойствами. Обычно применяют регуляторы типа П или ПД.

  1.  Объекты с запаздыванием.

Чаще других встречаются объекты с запаздыванием, описываемые передаточной функцией .

Регуляторы для этих объектов обязательно содержат дифференцирующую часть в законе регулирования, чтобы компенсировать запаздывание, вносимое в САУ объектом.

Расчет систем управления с типовыми регуляторами проводят по методам, излагаемым ниже.

Часто системы с регуляторами рассматриваются как системы с встречно-параллельными корректирующими цепями.

В структурной схеме:

Wпр(p) - передаточная функция прямой цепи регулятора,

Wос(p) - передаточная функция местной отрицательной обратной связи.

Математическое описание САУ

Анализ и синтез САУ проводят по дифференциальным или интегродифференциальным уравнениям, определяющим поведение систем в переходном процессе при действии возмущающих сил или после прекращения их действий.

Уравнения называются уравнениями динамики, если они описывают изменения входящих в них переменных во времени. Из уравнений динамики обычно можно получить уравнения статики, если положить все входящие в них производные и воздействия равными нулю или некоторым постоянным величинам. Уравнения статики описывают поведение систем в установившемся режиме.

Обычно САУ разбивают на отдельные элементы и для каждого из них записывают дифференциальное уравнение, которое составляется на основании физических законов, определяющих протекание процесса в изучаемом элементе. Чаще всего исходными являются законы сохранения вещества и энергии, записанные применительно к рассматриваемому явлению.

Для большого диапазона изменения регулируемой величины уравнение статики обычно нелинейно. Для малых отклонений регулируемой величины можно пользоваться линеаризованными уравнениями, а для больших отклонений – нелинейными уравнениями.

Реальные элементы САУ почти всегда имеют нелинейные характеристики, обусловленные ограничением мощности, ограничением координат, зазорами, гистерезисом и т. д. Очевидно, что и связь между отдельными координатами элементов с нелинейными характеристиками будет описываться нелинейными дифференциальными уравнениями. Поэтому при составлении уравнений отдельных элементов систем приходится идеализировать их характеристики, т. е. не  учитывать некоторые особенности характеристик исследуемых элементов, а также не учитывать отдельные связи, если они не оказывают существенного влияния на работу всей системы. При такой идеализации обычно удаётся упростить дифференциальные уравнения элементов и всей системы и заменить нелинейную связь между координатами линейной связью.

Дифференциальное уравнение общего вида для трёхкоординатной системы имеет вид

Если нелинейная функция F и все её производные однозначны и непрерывны, то при малых отклонениях координат она может быть разложена в ряд Тейлора в окрестности произвольно выбранной точки (n+m+k+3)-мерного пространства (для САР эта точка соответствует установившемуся режиму):

где

так как выбранная точка (y0, u0, 0) – установившийся режим работы, где и производные координат равны нулю, для приращений начальные условия будут нулевыми.  

Ф –  сумма членов ряда Тейлора высшего порядка малости и ими можно пренебречь (для устойчивых САУ отклонения переменных малы, ибо этого требует сама идея работы замкнутой автоматической системы).

Уравнение установившегося режима

    (2)

есть уравнение статического равновесия системы.

Для того чтобы получить линеаризованное уравнение первого приближения для системы, необходимо из уравнения возмущённого состояния (1) вычесть уравнение установившегося состояния (2) и отбросить нелинейные члены Ф ряда Тейлора. Опустим знак , считая y, u и отклонениями от их установившихся значений, и запишем линеаризованное дифференциальное уравнение системы для окрестности точки (y0, u0, 0): ,  (3) где в левой части записаны выходная  функция и её производные, в правой – входное и возмущающее воздействия и их производные.

Из этого дифференциального уравнение можно получить уравнения установившегося режима для приращений переменных (уравнение статики для приращений переменных).

Условия линеаризации дифференциального уравнения:

  1.  Функция F аналитическая, т. е. имеет непрерывные производные по всем аргументам;
  2.  Система автономна, т. е. время t не входит в функцию F явно;
  3.  Система стационарна (коэффициенты дифференциального уравнения не изменяются во времени);
  4.  Функция F не имеет разрывов непрерывности и неоднозначности по каким-либо из переменных.

Если нелинейная связь между координатами элемента задана в виде графической зависимости y = (u), показанная на рис.1,  то при линеаризации нелинейная характеристика заменяется характеристикой в виде касательной, проведенной через рабочую точку А, соответствующую установившемуся значению координат до возмущения. Тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс определяет частную производную функцию (ui) в рабочей точке, т. е.

Рис. 1.

В следящих системах используется большое число различных элементов и поэтому не представляется возможным вывести заранее уравнения для всех элементов, встречающихся на практике. Появление новых элементов в системах и учёт ряда дополнительных факторов, оказывающих влияние на систему, требует каждый раз заново решать задачу составления уравнений тех или иных элементов. Поэтому вывод исходных уравнений элементов всегда остаётся творческой задачей, которую необходимо решать при исследовании систем автоматического регулирования.

Пример. Составить дифференциальное уравнение генератора постоянного тока с независимым возбуждением.

При =const eггФ. Электрические машины, как правило, работают в области насыщения: . Вблизи рабочей точки О может быть записано линейное уравнение в приращениях  где

Запишем уравнения для контуров рассматриваемой системы:

Совместное решение системы уравнений дает аналитическую зависимость выходной координаты от входной:

Обозначим   - постоянная времени обмотки возбуждения,

  - передаточный коэффициент.

Опустим знак , подразумевая под переменными приращения.

Тогда - дифференциальное уравнение генератора.

          Пример 1.

Гидравлический резервуар.

                         Q - расход воды (управляющее

             воздействие U)

H                H - уровень воды в резервуаре

            (управляемая величина y)

  G - расход воды (внешнее

       возмущение       )

Между переменными Q, H и G может быть написана следующая зависимость:

- математическое описание объекта, где S - площадь поперечного сечения резервуара.

преобразуем по Лапласу это дифференциальное уравнение: , тогда

Поэтому структурная схема имеет вид

Рассматриваемый объект нейтрален, так как при Q=0, G=0 и H=H0. Кратковременное увеличение расхода Q после снижения его до нуля приводит к повышению уровня H и переходу к новому состоянию Н0'>H0.

Нейтральными объектами (без самовыравнивания) называются такие, в которых по окончанию воздействия устанавливается новое состояние равновесия, отличное от первоначального и зависящее от произведенного воздействия.

Объект устойчив, если после кратковременного внешнего воздействия он с течением времени возвратится к исходному состоянию или близкому к нему.

В неустойчивом объекте по окончании воздействия, как бы мало оно ни было, управляемая координата продолжает изменяться.

Устойчивый

объект

Неустойчивый

объект

Нейтральный

объект

Механическая аналогия:

Шар в лунке   Шарик на вершине   Шарик на горизонтальной                                   холма    плоскости

        (трение 0)

Формы представления моделей объектов в системах управления.

1.3. Различные формы представления линейных математических моделей 

Математическая модель системы управления является основой для анализа и синтеза систем. Поэтому в зависимости от особенностей исследуемой системы и характера решаемых задач используют различные формы представления математических моделей систем управления.

Наиболее широко используются два вида математического описания систем, или два вида математических моделей, - это математические модели систем в пространстве состояний, и математические модели "вход - выход" или структурированные модели.

В первом случае все переменные системы представляются в виде пространственных векторов, и поведение системы рассматривается в евклидовых пространствах управляющих, управляемых и возмущающих переменных, а также в пространстве состояний внутренних переменных или просто в пространстве состояний.

Как правило, не все обобщенные координаты объекта х используются для формирования управляющих воздействий, поэтому в рассмотрение вводится вектор управляемых или регулируемых величин объекта у, размерность которого меньше или равна размерности вектора х.

Функциональная взаимосвязь между у и х линейных и линеаризованных объектов задается выражением

(1.17)

Y=Cx

где С - квадратная или прямоугольная матрица.

Выражение (1.17) показывает, что любая регулируемая величина у является линейной комбинацией от обобщенных координат объекта хi

Для получения полной математической модели системы управления необходимо ввести уравнения, описывающие поведение устройства управления. Для линейных систем такое управление задается в виде

U = - Lx

U = - My

(1.18)

где L, М - прямоугольные или квадратные матрицы управления.

18

Уравнение (1.18) реализует фундаментальный принцип управления - принцип обратной связи. Причем знак минус перед правой частью уравнений (1.18) указывает, что обратная связь является отрицательной и управляющий сигнал всегда стремится возвратить систему к ее установившемуся состоянию, из которого она выходит под действием возмущений.

В технике впервые принцип обратной связи был использован в регуляторах Ползунова И. И. и Уатта Д.

Объединяя в единую систему уравнений выражения (1.16), (1.17) и (1.18), получим математическую модель системы управления, описывающую ее свойства в пространстве состояний:

       

       y = Cx

              

       u = - Lx

(1.19)

Исключая и третье уравнение из системы, получим:

       

        y = Cx

(1.20)

Отсюда следует, что математическая модель системы управления представляет собой систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, записанных в форме Коши.

Наряду с математическими моделями в пространстве состояний широко используются математические модели "вход-выход", у которых вместо обобщенных координат вводятся входная u (управляющая) и выходная у (управляемая) координаты.

Такие математические модели целесообразно использовать для одномерных систем, когда и и у являются скалярами. В этом случае дифференциальное уравнение, связывающее выходную и входную переменные, будет выглядеть следующим образом:

где a0, a1,..., an; b0, b1,..., bm - постоянные коэффициенты; п - порядок системы.

Для реальных физически реализуемых систем управления т < п. 

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка (1.21) эквивалентно системе n линейных уравнений первого порядка (1.20). Для того, чтобы установить правила перехода от (1.19) к (1.21), примем в (1.20) хп = y; f1 = f2 = fk = 0 и ограничимся рассмотрением системы второго порядка без учета третьего уравнения системы (1.19)

Продифференцируем второе уравнение (1.22)

Подставим сюда

dx1

dt

  из первого уравнения системы (1.22). После преобразований получим

Выразим х1 из второго уравнения системы (1.22) и подставим его в (1.23). Окончательно будем иметь линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых производных, получим соотношения между коэффициентами уравнений (1.21) и (1.24):

20

Выражения (1.25) позволяют установить, что обратный переход от (1.21) к (1.19) неоднозначен, так как часть коэффициентов матриц А и В можно выбирать произвольно.

Исследование системы (1.19) или уравнения (1.21) сводится, в первую очередь, к их решению или к задаче Коши. Решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений рассматриваются в специальных курсах математики, поэтому приведем здесь лишь основные методы решения.

Общее решение линейных неоднородных уравнений (1.19)-(1.21) равно сумме общего решения хсв (t) соответствующего однородного уравнения и частного решения хв(t) неоднородного уравнения

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами записывается в виде

где сi - постоянные интегрирования, pi - корни характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение получается путем приравнивания к нулю определителя, получаемого из матриц А или D = A - BL системы уравнений (1.19), (1.20), следующим образом:

В случае использования уравнения (1.21) характеристическое уравнение получается после подстановки в него какого-либо частного решения у = ciept. После преобразований получим

21

Нетрудно убедиться, что уравнения (1.22) и (1.24), представленные в различной форме записи имеют одно и то же характеристическое уравнение.

Для вычисления частного решения применяют либо метод вариации произвольных постоянных, либо метод Коши [3].

В теории автоматического регулирования наиболее распространен операторный метод решения дифференциальных уравнений, основанный на преобразовании Лапласа [3,4].

Используя свойства преобразования Лапласа, можно решить систему (1.20). Для этого запишем ее в развернутом виде

Начальные значения обобщенных координат заданы в виде х1(0), x2(0)...хn(0).

Подвергая систему уравнений преобразованию Лапласа, получим систему линейных алгебраических уравнений:

Решения этой системы х1 (р)...хn(р) должны быть затем подвергнуты обратному преобразованию Лапласа для того, чтобы получить решение x1(t)...xn(t) исходной задачи Коши.

Отметим, что, приравнивая к нулю главный определитель системы алгебраических уравнений (1.31), получим характеристическое уравнение системы дифференциальных уравнений (1.29).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76672. Соціально-політичне і економічне становище українських земель у XIV – першій половині XVII століття 47 KB
  Невтомною працею селян підвищувалась урожайність землі її продуктивність. У них пан примушував навколишніх селян молоти зерно беручи за помел побори. Працею сотень селян у яких пан забирав землю в фільварках будували млини комори хліви спиртогорілчані підприємства заводи пивоварні...
76673. Б. А. ТАРАШКЕВІЧ – АЎТАР ПЕРШАЙ “БЕЛАРУСКАЙ ГРАМАТЫКІ” 93 KB
  Мова – гэта не толькі сродак зносін людзей, але і важнейшы элемент нацыянальнай культуры кожнага народа. Гэта і выклікае цікавасць носьбітаў мовы да самой мовы, да яе гісторыі, да вытокаў яе фарміравання і гістарычных умоў функцыянавання...
76674. Тождество исков 48.21 KB
  Внешнее тождество исков подразумевает под собой сравнение двух и более исков на предмет того чтобы не допустить рассмотрение одного и того же иска повторно. Вопрос о тождественности исков в литературе обычно рассматривают в контексте вопроса об элементах иска так как именно...
76675. Гломерулонефриты. ХПН. Стоматологический статус. Тактика стоматолога 76 KB
  Диспепсические нарушения проявляются потерей аппетита отвращением к еде жаждой сухостью в полости рта тошнотой рвотой. Изменения слизистой оболочки полости рта являются следствием вторичных нарушений обменного характера нередко изменения обусловлены явлениями диспепсии.
76676. Формы и виды обучения 42.94 KB
  Отсутствие первой части превращает деятельность в хаотическое скопление отдельных действий без ясной и осознанной цели, когда человек не видит личностного смысла в совершаемых действиях, не воспринимает их как значимые, важные, необходимые для себя.
76677. Права и обязанности младшего и среднего медицинского персонала. Дисциплинарная, административная, гражданско –правовая, уголовная ответственность в деятельности медработника 68 KB
  Пенсионные гарантии Обязанности и ограничения налагаемые на медицинских работников Запреты налагаемые на медицинских работников Ограничения налагаемые на медицинских работников Обязанности медицинских работников Основные права и гарантии медицинских работников...
76678. From track and field athletics history 34.42 KB
  In an extreme antiquity the person needed to be able to run quickly, dexterously to overcome various obstacles, to throw any shells. From ability to catch up with the person and neatly to strike production, from ability to be resistant and tempered in fight against...
76679. Законодавство з охорони праці 343.5 KB
  У своєму розвитку охорона праці пройшла великий історичний шлях але інтенсивного розвитку набула з початком машинного виробництва яке поруч з полегшенням праці підвищенням її продуктивності становило...
76680. Психологічний аналіз уроку 88.5 KB
  Вихідним є положення, що аналіз будь-якого уроку являє собою комплексний розгляд, у якому психологічний, педагогічний, методичний і предметний аспекти тісно пов’язані одна з одною. Виділення одного з цих аспектів, наприклад, психологічного, носить умовний характер...