45464

Системы базисных функций

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Системы базисных функций Один и тот же сигнал может быть разложен по различным СБФ или что одно и то же рассмотрен в различных системах координат. Системы единичных функций. Система таких функций будет полна для любого непрерывного сигнала при Dt 0 и N . Система функций {ut} является полной ортогональной системой.

Русский

2013-11-17

457.5 KB

33 чел.

3.3. Системы базисных функций

Один и тот же сигнал может быть разложен по различным СБФ или, что одно и то же, рассмотрен в различных системах координат. При этом внутренние закономерности сигналов не могут нарушаться при изменении системы координат. Однако спектральному анализу в различных СБФ соответствует различная физическая интерпретация и, что особенно важно, различная практическая реализация. Так, например, технические характеристики (точность, быстродействие, затраты памяти и оборудования) цифровых фильтров, построенных в спектральной области, зависят от применяемых СБФ и для различных систем существенно различны. В соответствии с этим, при решении практических задач целесообразно подбирать наиболее подходящие СБФ. Выбор базиса во многом обусловлен спецификой решаемых задач и требованиями, предъявляемыми при их решении.

Полных и ортогональных СБФ существует бесчисленное множество. Дадим краткий обзор некоторых известных СБФ, применяемых в настоящее время в теории и практике обработки сигналов.

 Системы единичных функций. Два прямоугольных импульса, не перекрывающие друг друга, ортогональны. Поэтому система прямоугольных импульсов (рис. 3.6), приставленных друг к другу и заполняющих интервал [t0, tN], будет ортогональной системой.

Рис. 3.6

Такая система полна только для подмножества ступенчатых сигналов с шириной ступени Dt, где Dt - длительность импульсов, N = T / Dt - число импульсов на рассматриваемом интервале. Система таких функций будет полна для любого непрерывного сигнала при Dt ® 0 и N ® ¥. В этом случае она превращается в систему единичных импульсов {ua(t)}, имеющих единичную амплитуду и бесконечно малую длительность, положение которых определяется сдвигом по оси aDt = t при Dt ® 0, a ® ¥. Система функций {ua(t)} является полной ортогональной системой.

Из нее дискретизацией можно получить систему дискретных единичных функций {ua(i)}, каждая из которых имеет вид единичного импульса бесконечно малой длительности и аналитически записывается в виде

  (3.17)

Такая система определена на целочисленном интервале [0, N). Для N=8 она приведена на рис. 3.7.

Рис. 3.7

Система {ua(i)} в форме (3.17) является ненормированной, и ее норма (корень квадратный из мощности)

.    (3.18)

Эта система представляет собой полную СБФ, служащую для разложения дискретных сигналов произвольной формы.

Система дискретных единичных функций обладает тем свойством, что ее спектральный коэффициент с номером a совпадает со значением сигнала в точке i = a его интервала определения, т.е.

ca = x(a).    (3.19)

Подобным свойством обладает и непрерывная система {ua(t)}. Это свойство единичной системы позволяет проиллюстрировать взаимосвязь между представлением сигнала в области аргументов и спектральной области. В соответствии с ним представление в области аргумента можно рассматривать как частный случай спектрального представления в единичном базисе. Это позволяет получать результаты в области аргументов, используя более общие результаты в спектральной области.

 Системы тригонометрический базисных функций. Система тригонометрических функций {cos(kx) , sin(kx)} = { 1, sin(x), cos(x), sin(2x), cos(2x), ...} является полной ортогональной системой с интервалом ортогональности [-p, p], либо [0, 2p]. Система является периодической с периодом 2p и ненормированной (норма равна 1/). Проведя нормирование на ее основе, можно получить полную ортонормированную систему { 1, sin(x), cos(x), sin(2x), cos(2x), ...}.

Дискретный аналог этой СБФ - полная ортонормированная система дискретных тригонометрический функций

определенная на интервале [-N/2, N/2) или [0, N).

В качестве примера на рис.3.8 приведена система из восьми функций с интервалом определения [-4, 4).

Рис. 3.8

 Системы комплексных экспоненциальных функций. Полной ортогональной системой на интервале [-p, p] или любом другом интервале длительностью 2p является система комплексных экспоненциальных функций . Это нормированная периодическая система с периодом 2p. Для нее характерно свойство мультипликативности, заключается в том, что произведение двух любых ее функций является также функцией этой системы:

,    (3.20)

где  l = k + m.

Дискретный аналог этой системы - система дискретных комплексных экспоненциальных функций , обладающая свойствами полноты, нормированности, ортогональности и мультипликативности на интервале, содержащим N отсчетов. Зависимости (3.12) и (3.16) ряда и коэффициентов Фурье при использовании в качестве базиса системы дискретных комплексных экспоненциальных функций называются дискретными преобразованиями Фурье[3]:

;    (3.21)

,    (3.22)

где - система комплексно-сопряженных экспоненциальных функций, определенных на интервале в N точках.

Спектр ca в базисе  является комплексной функцией. Системы комплексных экспоненциальных функций широко применяются при решении различных технических и научных задач и достаточно подробно описаны в литературе [1,2,3].

 Полиномиальные базисные системы. К ним относят системы, построенные на основе ортогональных полиномов [4]. Рассмотрим две такие системы, определенные на конечных интервалах.

 Полиномы Чебышева. На интервале [-1, 1] можно построить полную ортонормальную систему

, n=0,1,2,...,  (3.23)

где Tn(x) - полиномы Чебышева, задаваемые следующим образом:

T0(x)=1, .             (3.24)

Полиномы Чебышева обладают тем важным свойством, что из всех полиномов n-ой степени, имеющих коэффициент при x n, равный единице, полином Чебышева Tn(x) наименее отклоняется от нуля на интервале [-1, 1]. При n³3 значение Tn(x) можно вычислять по рекуррентной формуле

.  (3.25)

 Полиномы Лежандра. Нормированные и ортогональные функции ,  ,  образуют полную систему базисных функций на отрезке [-1,1]. Здесь {Pn(x)} - полиномы Лежандра, определяемые по формуле по формуле

  (3.26)

или по рекуррентной зависимости

nPn(x) = (2n - 1)xPn-1(x) - (n - 1)Pn-2(x).  (3.27)

Непосредственная дискретизация непрерывных СБФ, построенных на основе ортогональных полиномов, образует системы дискретных функций с неравноотстоящими отсчетами. В этом смысле непрерывные полиномы не имеют решетчатых аналогов. Однако в классе полиномиальных функций можно построить решетчатые полиномы, используя непосредственное представление их аргумента в виде дискретной переменной. Среди таких функций конечный интервал определения имеют функции дискретных систем Чебышева, Кравчука, Шарлье и Мейкснера.

Функции систем этого класса ортогональны на интервале [0, N) и являются ненормированными. Для каждой системы известны рекуррентные соотношения, позволяющие строить аналитические описания функций при различных значениях номера функции a и числа отсчетов N. Данные аналитические описания можно представить в форме обобщенных степенных полиномов

,   (3.28)

где ak - коэффициенты, зависящие от конкретного типа системы.

От типа системы зависят и нормы базисных функций, поскольку эти системы не являются нормированными. Например, для системы Чебышева коэффициенты и норма записываются как [3]

;  (3.29)

. (3.30)

Проведя нормирование, можно построить нормированные системы дискретных полиномов. Для нормированного базиса Чебышева первые три его функции представляются следующим образом:

(3.31)

и для N=8 приведены на рис. 3.9.

Рис. 3.9

 Двоично-ортогональные системы базисных функций. Под этим условным названием объединены системы функций меандрового типа Радемахера, Уолша и Хаара, интервал ортогональности которых при их построении представляется совокупностью двоично-рационального числа равных подынтервалов. Эти системы имеют важное значение для практики спектральной обработки, поскольку принимают только значения ±1 (функция Радемахера и Уолша) либо ±1 и 0 (функция Хаара) и легко могут быть получены с помощью цифровых устройств.

Все эти системы взаимосвязаны друг с другом и каждую из них можно получить из другой, образуя соответствующую линейную комбинацию.

Базисные функции представляют собой функции различных физических аргументов с различными интервалами ортогональности. Сигнал, в свою очередь, может быть также функцией другой переменной с интервалом определения, отличающимся от интервала ортогональности базисных функций. При спектральном представлении таких сигналов необходимо привести оси и интервал ортогональности аргумента базисных функций к оси и интервалу изменения переменной сигнала.

В общем случае, если сигнал является функцией переменной x с интервалом [xmin, xmax), а функции базисной системы зависят от аргумента g и ортогональны на интервале [gmin, gmax), преобразование оси g в ось x и совмещение интервалов можно осуществить подстановкой:

.  (3.32)

Например, если gÎ[-1, 3), а xÎ[-T, 2T), то в соответствии с преобразованием (3.32)

.

Проверим записанную взаимосвязь g и x на граничных значениях x. При x = -T значение . При x = 2T значение . Полученные значения совпадают с заданными. Если интервалы разносторонние, например gÎ[-p, p),  то, исходя из (3.32), найдем

.

Проверка подтверждает справедливость и этой формулы.

Преобразование осей и приведение интервалов необходимо учитывать при использовании спектральной формы представления сигналов.

  1.  Функции Радемахера

Для того чтобы кусочно-постоянные базисные ортогональные функции могли использоваться при обработке информации, нужно, чтобы так же, как синусоиды и косинусоиды, они принимали не только положительные, но и отрицательные значения.

Этому требованию удовлетворяют описываемые ниже кусочно-постоянные ортогональные функции Радемахера. Если принять за основу синусоидальные колебания sin(2mpq), где m - целое положительное число, и принять для произвольной величины x, что sing(x)=1 при x>0 и sign(x)=-1 при x<0, то функции Радемахера

rad(m,q) = sign[sin(2mpq)].   (3.33)

По формуле (3.33) определяются функции Радемахера для m=1,2,... Для m=0 функция Радемахера rad(0,q)=1.

На рис. 3.10 показаны функции Радемахера при значениях m от 0 до 5. Они показаны при задании q в интервале 0£q <1.

Рис. 3.10

Вообще же эти функции являются периодическими функциями с периодом 1: rad(m,q)=rad(m,q+1). Рис. 3.10 показывает, что функции Радемахера с номерами m от 2 и выше периодичны также и на меньших интервалах, число которых зависит от величины m.

Формула (3.33) позволяет сравнить функции Радемахера с синусоидами и дает наглядное представление о процедуре их получения.

На рисунке были показаны непрерывные функции Радемахера. Дискретные функции Радемахера, для которых принято обозначение Rad(m,q), получаются путем выборки их из непрерывных функций при дискретных значениях q в интервале 0£q <1. Например, при отсчетах, сделанных для восьми точек этого интервала, получаем значения Rad(2,q), равные 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1.

В отличие от полного набора синусоид и косинусоид, все функции Радемахера нечетные. Это препятствует аппроксимации их с помощью четных функций (они образуют, как говорят, неполный набор функций). Поэтому их применение ограничено.

Полными ортогональными системами базисных кусочно-постоянных функций являются системы функций Уолша и Хаара.

3.5. Функции Уолша

Для нормированных функций Уолша принято обозначение wal(n,q), где n - номер функции, а q находится в интервале 0£q <1. Обычно рассматривается множество функций Уолша wal(n,q) при n=0,1,...,N-1, где N=2i и i=1,2,3,...

Первые восемь функций Уолша изображены на рис. 3.11[5].

Рис. 3.11

Функции Уолша различают по их порядку и рангу. Под порядком имеют ввиду максимальный из содержащих единицу номеров разрядов при двоичном представлении числа n, рангом называют число единиц в двоичном выражении n. Например, порядок и ранг функции wal(5,q) равны соответственно 3 и 2, так как двоичным выражением числа 5 является 101 (имеется ввиду обычное двоичное кодирование чисел; см. второй столбец табл. 3.2). Функции Уолша могут быть представлены в виде произведений функций Радемахера (см. табл. 3.3). Номера функций Радемахера, образуюших функции Уолша wal(n,q) определяются по номерам последних, выраженных в двоичном коде Грея. Для чисел n от 0 до 15 их нумерация кодом Грея дана в последнем столбце табл.3.2. Номера перемножаемых функций Радемахера отвечают номерам разрядов, в которых имеются единицы, закодированного кодом Грея числа n. Разряды отсчитываются, начиная с младшего разряда. Так определяются как произведение функций Радемахера функции wal(n,q) для любых n.

Код Грея связан следующим образом с обычным двоичным кодом. Если в обычной двоичной системе исчисления число n=ak-1ak-2...a0, то в коде Грея n=bk-1bk-2...b0, где b0=a0Åa1, b1=a1Åa2,...,bk-1=ak-1; Å - знак суммирования по модулю два (0Å0=0; 0Å1=1; 1Å0=1; 1Å1=0). Например, n=2 в обычном двоичном коде записывается как 10. Здесь a1=1, a0=0. Следовательно, b0=a0Åa1=0Å1=1, b1=a1=1. Следовательно, число n=2 представляется как 11, что и указано в табл.3.2.

Функции Уолша могут быть упорядочены по Уолшу. На практике широко используется также и другие способы упорядочивания функций Уолша. Имеется упорядочивание функций Уолша по Пэли, упорядочивание функций Уолша по Адамару. На рис. 3.12. показаны первые восемь функций Уолша-Адамара had(n,q).

Рис. 3.12

Таблица 3.2

n-N0 функции Уолша (упорядоченной по Уолшу)

Выражение n в обычном двоичном коде

Выражение n в коде Грея

0

0000

0000

1

0001

0001

2

0010

0011

3

0011

0010

4

0100

0110

5

0101

0111

6

0110

0101

7

0111

0100

8

1000

1100

9

1001

1101

10

1010

1111

11

1011

1110

12

1100

1010

13

1101

1011

14

1110

1001

15

1111

1000

Таблица 3.3

n-N0 функции Уолша (упорядоченной по Уолшу)

Формулы перехода от функций rad(m,q) к функциям wal(n,q)

0

wal(0,q)=1

1

wal(1,q)=rad(1,q)

2

wal(2,q)=rad(1,q)rad(2,q)

3

wal(3,q)=rad(2,q)

4

wal(4,q)=rad(2,q)rad(3,q)

5

wal(5,q)=rad(1,q)rad(2,q)rad(3,q)

6

wal(6,q)=rad(1,q)rad(3,q)

7

wal(7,q)=rad(3,q)

8

wal(8,q)=rad(3,q)rad(4,q)

9

wal(9,q)=rad(1,q)rad(3,q)rad(4,q)

10

wal(10,q)=rad(1,q)rad(2,q)rad(3,q) rad(4,q)

11

wal(11,q)=rad(2,q)rad(3,q)rad(4,q)

12

wal(12,q)=rad(2,q)rad(4,q)

13

wal(13,q)=rad(1,q)rad(2,q)rad(4,q)

14

wal(14,q)=rad(1,q)rad(4,q)

15

wal(15,q)=rad(4,q)

Система Уолша-Пэли. Масштабирование данных


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75014. Интонационное и исполнительское развитие музыки 152.5 KB
  Тема урока: Интонационное и исполнительское развитие музыки Игра в слова. Разные ребята Цели урока: Обучающие: дать понятие о развитии интонации с помощью каких средств выразительности она развивается введение понятий лад мажор минор работать над чистотой интонирования...
75015. Українські народні думи, Відкритий урок у 4-му класі 118.5 KB
  Українські народні думи. Сьогодні на уроці прозвучать особливі своєрідні вокальні фольклорні твори думи. Боротьба українського народу за свободу і незалежність зумовила виникнення дуже відомого нині жанру народної творчості думи.
75016. Народная песня в симфонической музыке 44 KB
  Углубить представления учащихся о народной песне, определить связь между народным и профессиональным творчеством; определить народно-песенные истоки Второй симфонии...
75017. Мусор – глобальная проблема человечества. Борьба первобытного человека с отходами 32.5 KB
  Борьба первобытных людей с отходами Эколог: На древней планете идиллия была – Наша Земля раем слыла. Эколог: Но однажды в древний век Появился человек. Первобытный человек: Много тысячелетий назад Неандерталец чистой Земле был рад Экологически чистые плоды он собирал Прозрачную водицу из родника он брал. Эколог: Отходы синтетические у современного человека Они не перегнивают лежат в земле три века Пакеты по пятьсот лет планету загрязняют А стеклянные отходы за тысячу лет не исчезают Пещерный человек: Пещерный человек вам Землю чистой...
75018. Не будьте собі ворогом. Конспект уроку здорового способу життя 47 KB
  Мета заходу: Виховувати в учнів негативне ставлення до вживання наркотиків бажання і вміння вести здоровий спосіб життя критично ставитись до своїх негативних вчинків. Що стається з наркоманом а продовжує радіти життю; б постійно шукає де б дістати наркотик; в пригнічений; г життя – муки. Втрачаєш радість життя. Можеш покінчити життя самогубством.
75019. Здоров’я народу - багатство країни. Позакласний захід з народознавства для 6-7-х класів 98.5 KB
  Українське житло мало чотиригранну будову – чотири стіни відповідали чотирьом сторонам світу. Вікна виходили на схід і на південь – до сонця. З північного боку, де панували темні, злі сили, вікон не було.
75020. Дванадцять місяців, народознавчий проект 162 KB
  Чи потрібні сучасній молоді знання про народні свята традиції Чи варто відроджувати їх ці питання визначили проблему. Мета проекту: ознайомлення учнів з багатством культурної спадщини українського народу; формування ціннісного ставлення до скарбів української духовної культури народного мистецтва традицій і звичаїв свого народу...
75021. Структура наукового дослідження, план-конспект уроку 128 KB
  Структура наукового дослідження Мета. Познайомити слухачів із методологією наукової творчості сформувати у них теоретичні знання про основні компоненти структури наукового дослідження та практичні вміння будувати структуру наукового дослідження користуватися одержаними знаннями при написанні наукових робіт стимулювати творчість дослідницькі вміння. Бесіда Яке слово найбільш підходить до поняття структура наукового дослідження Будова схема. Із чого починається наукове дослідження Із обґрунтування актуальності теми дослідження.