45464

Системы базисных функций

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Системы базисных функций Один и тот же сигнал может быть разложен по различным СБФ или что одно и то же рассмотрен в различных системах координат. Системы единичных функций. Система таких функций будет полна для любого непрерывного сигнала при Dt 0 и N . Система функций {ut} является полной ортогональной системой.

Русский

2013-11-17

457.5 KB

33 чел.

3.3. Системы базисных функций

Один и тот же сигнал может быть разложен по различным СБФ или, что одно и то же, рассмотрен в различных системах координат. При этом внутренние закономерности сигналов не могут нарушаться при изменении системы координат. Однако спектральному анализу в различных СБФ соответствует различная физическая интерпретация и, что особенно важно, различная практическая реализация. Так, например, технические характеристики (точность, быстродействие, затраты памяти и оборудования) цифровых фильтров, построенных в спектральной области, зависят от применяемых СБФ и для различных систем существенно различны. В соответствии с этим, при решении практических задач целесообразно подбирать наиболее подходящие СБФ. Выбор базиса во многом обусловлен спецификой решаемых задач и требованиями, предъявляемыми при их решении.

Полных и ортогональных СБФ существует бесчисленное множество. Дадим краткий обзор некоторых известных СБФ, применяемых в настоящее время в теории и практике обработки сигналов.

 Системы единичных функций. Два прямоугольных импульса, не перекрывающие друг друга, ортогональны. Поэтому система прямоугольных импульсов (рис. 3.6), приставленных друг к другу и заполняющих интервал [t0, tN], будет ортогональной системой.

Рис. 3.6

Такая система полна только для подмножества ступенчатых сигналов с шириной ступени Dt, где Dt - длительность импульсов, N = T / Dt - число импульсов на рассматриваемом интервале. Система таких функций будет полна для любого непрерывного сигнала при Dt ® 0 и N ® ¥. В этом случае она превращается в систему единичных импульсов {ua(t)}, имеющих единичную амплитуду и бесконечно малую длительность, положение которых определяется сдвигом по оси aDt = t при Dt ® 0, a ® ¥. Система функций {ua(t)} является полной ортогональной системой.

Из нее дискретизацией можно получить систему дискретных единичных функций {ua(i)}, каждая из которых имеет вид единичного импульса бесконечно малой длительности и аналитически записывается в виде

  (3.17)

Такая система определена на целочисленном интервале [0, N). Для N=8 она приведена на рис. 3.7.

Рис. 3.7

Система {ua(i)} в форме (3.17) является ненормированной, и ее норма (корень квадратный из мощности)

.    (3.18)

Эта система представляет собой полную СБФ, служащую для разложения дискретных сигналов произвольной формы.

Система дискретных единичных функций обладает тем свойством, что ее спектральный коэффициент с номером a совпадает со значением сигнала в точке i = a его интервала определения, т.е.

ca = x(a).    (3.19)

Подобным свойством обладает и непрерывная система {ua(t)}. Это свойство единичной системы позволяет проиллюстрировать взаимосвязь между представлением сигнала в области аргументов и спектральной области. В соответствии с ним представление в области аргумента можно рассматривать как частный случай спектрального представления в единичном базисе. Это позволяет получать результаты в области аргументов, используя более общие результаты в спектральной области.

 Системы тригонометрический базисных функций. Система тригонометрических функций {cos(kx) , sin(kx)} = { 1, sin(x), cos(x), sin(2x), cos(2x), ...} является полной ортогональной системой с интервалом ортогональности [-p, p], либо [0, 2p]. Система является периодической с периодом 2p и ненормированной (норма равна 1/). Проведя нормирование на ее основе, можно получить полную ортонормированную систему { 1, sin(x), cos(x), sin(2x), cos(2x), ...}.

Дискретный аналог этой СБФ - полная ортонормированная система дискретных тригонометрический функций

определенная на интервале [-N/2, N/2) или [0, N).

В качестве примера на рис.3.8 приведена система из восьми функций с интервалом определения [-4, 4).

Рис. 3.8

 Системы комплексных экспоненциальных функций. Полной ортогональной системой на интервале [-p, p] или любом другом интервале длительностью 2p является система комплексных экспоненциальных функций . Это нормированная периодическая система с периодом 2p. Для нее характерно свойство мультипликативности, заключается в том, что произведение двух любых ее функций является также функцией этой системы:

,    (3.20)

где  l = k + m.

Дискретный аналог этой системы - система дискретных комплексных экспоненциальных функций , обладающая свойствами полноты, нормированности, ортогональности и мультипликативности на интервале, содержащим N отсчетов. Зависимости (3.12) и (3.16) ряда и коэффициентов Фурье при использовании в качестве базиса системы дискретных комплексных экспоненциальных функций называются дискретными преобразованиями Фурье[3]:

;    (3.21)

,    (3.22)

где - система комплексно-сопряженных экспоненциальных функций, определенных на интервале в N точках.

Спектр ca в базисе  является комплексной функцией. Системы комплексных экспоненциальных функций широко применяются при решении различных технических и научных задач и достаточно подробно описаны в литературе [1,2,3].

 Полиномиальные базисные системы. К ним относят системы, построенные на основе ортогональных полиномов [4]. Рассмотрим две такие системы, определенные на конечных интервалах.

 Полиномы Чебышева. На интервале [-1, 1] можно построить полную ортонормальную систему

, n=0,1,2,...,  (3.23)

где Tn(x) - полиномы Чебышева, задаваемые следующим образом:

T0(x)=1, .             (3.24)

Полиномы Чебышева обладают тем важным свойством, что из всех полиномов n-ой степени, имеющих коэффициент при x n, равный единице, полином Чебышева Tn(x) наименее отклоняется от нуля на интервале [-1, 1]. При n³3 значение Tn(x) можно вычислять по рекуррентной формуле

.  (3.25)

 Полиномы Лежандра. Нормированные и ортогональные функции ,  ,  образуют полную систему базисных функций на отрезке [-1,1]. Здесь {Pn(x)} - полиномы Лежандра, определяемые по формуле по формуле

  (3.26)

или по рекуррентной зависимости

nPn(x) = (2n - 1)xPn-1(x) - (n - 1)Pn-2(x).  (3.27)

Непосредственная дискретизация непрерывных СБФ, построенных на основе ортогональных полиномов, образует системы дискретных функций с неравноотстоящими отсчетами. В этом смысле непрерывные полиномы не имеют решетчатых аналогов. Однако в классе полиномиальных функций можно построить решетчатые полиномы, используя непосредственное представление их аргумента в виде дискретной переменной. Среди таких функций конечный интервал определения имеют функции дискретных систем Чебышева, Кравчука, Шарлье и Мейкснера.

Функции систем этого класса ортогональны на интервале [0, N) и являются ненормированными. Для каждой системы известны рекуррентные соотношения, позволяющие строить аналитические описания функций при различных значениях номера функции a и числа отсчетов N. Данные аналитические описания можно представить в форме обобщенных степенных полиномов

,   (3.28)

где ak - коэффициенты, зависящие от конкретного типа системы.

От типа системы зависят и нормы базисных функций, поскольку эти системы не являются нормированными. Например, для системы Чебышева коэффициенты и норма записываются как [3]

;  (3.29)

. (3.30)

Проведя нормирование, можно построить нормированные системы дискретных полиномов. Для нормированного базиса Чебышева первые три его функции представляются следующим образом:

(3.31)

и для N=8 приведены на рис. 3.9.

Рис. 3.9

 Двоично-ортогональные системы базисных функций. Под этим условным названием объединены системы функций меандрового типа Радемахера, Уолша и Хаара, интервал ортогональности которых при их построении представляется совокупностью двоично-рационального числа равных подынтервалов. Эти системы имеют важное значение для практики спектральной обработки, поскольку принимают только значения ±1 (функция Радемахера и Уолша) либо ±1 и 0 (функция Хаара) и легко могут быть получены с помощью цифровых устройств.

Все эти системы взаимосвязаны друг с другом и каждую из них можно получить из другой, образуя соответствующую линейную комбинацию.

Базисные функции представляют собой функции различных физических аргументов с различными интервалами ортогональности. Сигнал, в свою очередь, может быть также функцией другой переменной с интервалом определения, отличающимся от интервала ортогональности базисных функций. При спектральном представлении таких сигналов необходимо привести оси и интервал ортогональности аргумента базисных функций к оси и интервалу изменения переменной сигнала.

В общем случае, если сигнал является функцией переменной x с интервалом [xmin, xmax), а функции базисной системы зависят от аргумента g и ортогональны на интервале [gmin, gmax), преобразование оси g в ось x и совмещение интервалов можно осуществить подстановкой:

.  (3.32)

Например, если gÎ[-1, 3), а xÎ[-T, 2T), то в соответствии с преобразованием (3.32)

.

Проверим записанную взаимосвязь g и x на граничных значениях x. При x = -T значение . При x = 2T значение . Полученные значения совпадают с заданными. Если интервалы разносторонние, например gÎ[-p, p),  то, исходя из (3.32), найдем

.

Проверка подтверждает справедливость и этой формулы.

Преобразование осей и приведение интервалов необходимо учитывать при использовании спектральной формы представления сигналов.

  1.  Функции Радемахера

Для того чтобы кусочно-постоянные базисные ортогональные функции могли использоваться при обработке информации, нужно, чтобы так же, как синусоиды и косинусоиды, они принимали не только положительные, но и отрицательные значения.

Этому требованию удовлетворяют описываемые ниже кусочно-постоянные ортогональные функции Радемахера. Если принять за основу синусоидальные колебания sin(2mpq), где m - целое положительное число, и принять для произвольной величины x, что sing(x)=1 при x>0 и sign(x)=-1 при x<0, то функции Радемахера

rad(m,q) = sign[sin(2mpq)].   (3.33)

По формуле (3.33) определяются функции Радемахера для m=1,2,... Для m=0 функция Радемахера rad(0,q)=1.

На рис. 3.10 показаны функции Радемахера при значениях m от 0 до 5. Они показаны при задании q в интервале 0£q <1.

Рис. 3.10

Вообще же эти функции являются периодическими функциями с периодом 1: rad(m,q)=rad(m,q+1). Рис. 3.10 показывает, что функции Радемахера с номерами m от 2 и выше периодичны также и на меньших интервалах, число которых зависит от величины m.

Формула (3.33) позволяет сравнить функции Радемахера с синусоидами и дает наглядное представление о процедуре их получения.

На рисунке были показаны непрерывные функции Радемахера. Дискретные функции Радемахера, для которых принято обозначение Rad(m,q), получаются путем выборки их из непрерывных функций при дискретных значениях q в интервале 0£q <1. Например, при отсчетах, сделанных для восьми точек этого интервала, получаем значения Rad(2,q), равные 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1.

В отличие от полного набора синусоид и косинусоид, все функции Радемахера нечетные. Это препятствует аппроксимации их с помощью четных функций (они образуют, как говорят, неполный набор функций). Поэтому их применение ограничено.

Полными ортогональными системами базисных кусочно-постоянных функций являются системы функций Уолша и Хаара.

3.5. Функции Уолша

Для нормированных функций Уолша принято обозначение wal(n,q), где n - номер функции, а q находится в интервале 0£q <1. Обычно рассматривается множество функций Уолша wal(n,q) при n=0,1,...,N-1, где N=2i и i=1,2,3,...

Первые восемь функций Уолша изображены на рис. 3.11[5].

Рис. 3.11

Функции Уолша различают по их порядку и рангу. Под порядком имеют ввиду максимальный из содержащих единицу номеров разрядов при двоичном представлении числа n, рангом называют число единиц в двоичном выражении n. Например, порядок и ранг функции wal(5,q) равны соответственно 3 и 2, так как двоичным выражением числа 5 является 101 (имеется ввиду обычное двоичное кодирование чисел; см. второй столбец табл. 3.2). Функции Уолша могут быть представлены в виде произведений функций Радемахера (см. табл. 3.3). Номера функций Радемахера, образуюших функции Уолша wal(n,q) определяются по номерам последних, выраженных в двоичном коде Грея. Для чисел n от 0 до 15 их нумерация кодом Грея дана в последнем столбце табл.3.2. Номера перемножаемых функций Радемахера отвечают номерам разрядов, в которых имеются единицы, закодированного кодом Грея числа n. Разряды отсчитываются, начиная с младшего разряда. Так определяются как произведение функций Радемахера функции wal(n,q) для любых n.

Код Грея связан следующим образом с обычным двоичным кодом. Если в обычной двоичной системе исчисления число n=ak-1ak-2...a0, то в коде Грея n=bk-1bk-2...b0, где b0=a0Åa1, b1=a1Åa2,...,bk-1=ak-1; Å - знак суммирования по модулю два (0Å0=0; 0Å1=1; 1Å0=1; 1Å1=0). Например, n=2 в обычном двоичном коде записывается как 10. Здесь a1=1, a0=0. Следовательно, b0=a0Åa1=0Å1=1, b1=a1=1. Следовательно, число n=2 представляется как 11, что и указано в табл.3.2.

Функции Уолша могут быть упорядочены по Уолшу. На практике широко используется также и другие способы упорядочивания функций Уолша. Имеется упорядочивание функций Уолша по Пэли, упорядочивание функций Уолша по Адамару. На рис. 3.12. показаны первые восемь функций Уолша-Адамара had(n,q).

Рис. 3.12

Таблица 3.2

n-N0 функции Уолша (упорядоченной по Уолшу)

Выражение n в обычном двоичном коде

Выражение n в коде Грея

0

0000

0000

1

0001

0001

2

0010

0011

3

0011

0010

4

0100

0110

5

0101

0111

6

0110

0101

7

0111

0100

8

1000

1100

9

1001

1101

10

1010

1111

11

1011

1110

12

1100

1010

13

1101

1011

14

1110

1001

15

1111

1000

Таблица 3.3

n-N0 функции Уолша (упорядоченной по Уолшу)

Формулы перехода от функций rad(m,q) к функциям wal(n,q)

0

wal(0,q)=1

1

wal(1,q)=rad(1,q)

2

wal(2,q)=rad(1,q)rad(2,q)

3

wal(3,q)=rad(2,q)

4

wal(4,q)=rad(2,q)rad(3,q)

5

wal(5,q)=rad(1,q)rad(2,q)rad(3,q)

6

wal(6,q)=rad(1,q)rad(3,q)

7

wal(7,q)=rad(3,q)

8

wal(8,q)=rad(3,q)rad(4,q)

9

wal(9,q)=rad(1,q)rad(3,q)rad(4,q)

10

wal(10,q)=rad(1,q)rad(2,q)rad(3,q) rad(4,q)

11

wal(11,q)=rad(2,q)rad(3,q)rad(4,q)

12

wal(12,q)=rad(2,q)rad(4,q)

13

wal(13,q)=rad(1,q)rad(2,q)rad(4,q)

14

wal(14,q)=rad(1,q)rad(4,q)

15

wal(15,q)=rad(4,q)

Система Уолша-Пэли. Масштабирование данных


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78957. Инновации в традиционном и техногенном обществах 29.5 KB
  Инновации в традиционном и техногенном обществах Традиционные общества является исторически первыми. Данный тип общества возник в глубокой древности распространен он и сейчас. Некоторые традиционные общества были поглощены техногенными другие приобрели гибридные черты балансируя между техногенными и традиционными ориентациями. При характеристике традиционных типов общества очевиден тот факт что они обладая замедленным темпом развития придерживаются устойчивых стереотипов своего функционирования.
78958. Ценности классической, неклассической, постнеклассической науки 39.5 KB
  Существуют социальные и внутренние ценности. Социальные ценности делятся на материальные и духовные. удовлетворение своих материальных потребностей научные ценности – истина добро зло итд Социальные ценности: частная собственность рыночная экономика деньги итд социальнополитические: свобода слова собраний критики различные права эстетические и философские ценности Внутри научные 1. Социальные и внутринаучные ценности диалектически связаны между собой.
78959. Социальная оценка техники 29 KB
  Социальная оценка техники Введение Узкий смысл понятия техники: под техникой понимается техническое устройство артефакт созданное человеком из элементов природы для решения конкретных культурных задач. Широкий смысл понятия техники: искусственный или организованный прием усиливающий улучшающий или облегчающий действие техника письма техника плавания техника вопросов и т. При изучении вопроса о последствия техники и технологии следует иметь в виду двойственный характер техники. Общая часть Проблемы негативных социальных и других...
78960. Техника и этика. Этика и профессиональная ответственность инженера 41 KB
  Это относится не только к использованию техники для целенаправленного уничтожения людей но также к повседневной эксплуатации инженернотехнических устройств. Проблемы негативных социальных и других последствий техники проблемы этического самоопределения инженера возникли с самого момента появления инженерной профессии. Однако сегодня человечество находится в принципиально новой ситуации когда невнимание к проблемам последствий внедрения новой техники и технологии может привести к необратимым негативным результатам для всей цивилизации и...
78961. Сущность и перспективы современной техногенной цивилизации 36.5 KB
  Сущность и перспективы современной техногенной цивилизации Мировая общечеловеческая цивилизация в нашем представлении – не унифицированное о безличное сообщество людей сформировавшееся на базе западной экономической системы а многообразная общность сохраняющая самобытность и уникальность в составляющих ее рядах. Человечество обремененное духовным кризисом в конце второго тысячелетия оказалось перед лицом труднейшего выбора социокультурных ценностей которые должны составить ядро новой цивилизации. Чтобы ответить на эти вопросы...
78962. Особенности современного научно-технического прогресса 29.5 KB
  Возникновение машинного производства в конце 18 в. было подготовлено результатами предшествующего научно-технического творчества большой армии математиков, механиков, физиков, изобретателей, умельцев. Паровая машина Дж. Уатта явилась «плодом науки», а не только конструкторско-технической деятельности. Машинное производство, в свою очередь, открыло новые, практически неограниченные возможности для технологического применения науки
78963. Анализ форм правления и их роли в современном государстве 181 KB
  Узнать какой способ лежит в основе организации высших органов государственной власти; каким субъектом права осуществляется верховная власть; какова структура высших органов государственной власти; каким образом разграничена компетенция между высшими органами государственной власти...
78964. Естетичне виховання учнів у процесі вивчення іноземної мови 203.5 KB
  Актуалізації в змісті навчального предмета усвідомленого сприйняття і розуміння школярами естетичних цінностей (краса, мир, мистецтво, природа); впровадження у навчально-виховний процес активних форм і методів (театралізація, твір віршів, створення ілюстрованих словників, музичні імпровізації, та ін.) художньо-естетичної діяльності...
78965. Разработка базы данных отдела кадров строительно-монтажного предприятия 1.4 MB
  База данных – это совокупность сведений о реальных объектах, процессах, событиях или явлениях, относящихся к определённой теме или задаче, организованная таким образом, чтобы обеспечить удобное представление этой совокупности, как в целом, так и любой её части