45464

Системы базисных функций

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Системы базисных функций Один и тот же сигнал может быть разложен по различным СБФ или что одно и то же рассмотрен в различных системах координат. Системы единичных функций. Система таких функций будет полна для любого непрерывного сигнала при Dt 0 и N . Система функций {ut} является полной ортогональной системой.

Русский

2013-11-17

457.5 KB

40 чел.

3.3. Системы базисных функций

Один и тот же сигнал может быть разложен по различным СБФ или, что одно и то же, рассмотрен в различных системах координат. При этом внутренние закономерности сигналов не могут нарушаться при изменении системы координат. Однако спектральному анализу в различных СБФ соответствует различная физическая интерпретация и, что особенно важно, различная практическая реализация. Так, например, технические характеристики (точность, быстродействие, затраты памяти и оборудования) цифровых фильтров, построенных в спектральной области, зависят от применяемых СБФ и для различных систем существенно различны. В соответствии с этим, при решении практических задач целесообразно подбирать наиболее подходящие СБФ. Выбор базиса во многом обусловлен спецификой решаемых задач и требованиями, предъявляемыми при их решении.

Полных и ортогональных СБФ существует бесчисленное множество. Дадим краткий обзор некоторых известных СБФ, применяемых в настоящее время в теории и практике обработки сигналов.

 Системы единичных функций. Два прямоугольных импульса, не перекрывающие друг друга, ортогональны. Поэтому система прямоугольных импульсов (рис. 3.6), приставленных друг к другу и заполняющих интервал [t0, tN], будет ортогональной системой.

Рис. 3.6

Такая система полна только для подмножества ступенчатых сигналов с шириной ступени Dt, где Dt - длительность импульсов, N = T / Dt - число импульсов на рассматриваемом интервале. Система таких функций будет полна для любого непрерывного сигнала при Dt ® 0 и N ® ¥. В этом случае она превращается в систему единичных импульсов {ua(t)}, имеющих единичную амплитуду и бесконечно малую длительность, положение которых определяется сдвигом по оси aDt = t при Dt ® 0, a ® ¥. Система функций {ua(t)} является полной ортогональной системой.

Из нее дискретизацией можно получить систему дискретных единичных функций {ua(i)}, каждая из которых имеет вид единичного импульса бесконечно малой длительности и аналитически записывается в виде

  (3.17)

Такая система определена на целочисленном интервале [0, N). Для N=8 она приведена на рис. 3.7.

Рис. 3.7

Система {ua(i)} в форме (3.17) является ненормированной, и ее норма (корень квадратный из мощности)

.    (3.18)

Эта система представляет собой полную СБФ, служащую для разложения дискретных сигналов произвольной формы.

Система дискретных единичных функций обладает тем свойством, что ее спектральный коэффициент с номером a совпадает со значением сигнала в точке i = a его интервала определения, т.е.

ca = x(a).    (3.19)

Подобным свойством обладает и непрерывная система {ua(t)}. Это свойство единичной системы позволяет проиллюстрировать взаимосвязь между представлением сигнала в области аргументов и спектральной области. В соответствии с ним представление в области аргумента можно рассматривать как частный случай спектрального представления в единичном базисе. Это позволяет получать результаты в области аргументов, используя более общие результаты в спектральной области.

 Системы тригонометрический базисных функций. Система тригонометрических функций {cos(kx) , sin(kx)} = { 1, sin(x), cos(x), sin(2x), cos(2x), ...} является полной ортогональной системой с интервалом ортогональности [-p, p], либо [0, 2p]. Система является периодической с периодом 2p и ненормированной (норма равна 1/). Проведя нормирование на ее основе, можно получить полную ортонормированную систему { 1, sin(x), cos(x), sin(2x), cos(2x), ...}.

Дискретный аналог этой СБФ - полная ортонормированная система дискретных тригонометрический функций

определенная на интервале [-N/2, N/2) или [0, N).

В качестве примера на рис.3.8 приведена система из восьми функций с интервалом определения [-4, 4).

Рис. 3.8

 Системы комплексных экспоненциальных функций. Полной ортогональной системой на интервале [-p, p] или любом другом интервале длительностью 2p является система комплексных экспоненциальных функций . Это нормированная периодическая система с периодом 2p. Для нее характерно свойство мультипликативности, заключается в том, что произведение двух любых ее функций является также функцией этой системы:

,    (3.20)

где  l = k + m.

Дискретный аналог этой системы - система дискретных комплексных экспоненциальных функций , обладающая свойствами полноты, нормированности, ортогональности и мультипликативности на интервале, содержащим N отсчетов. Зависимости (3.12) и (3.16) ряда и коэффициентов Фурье при использовании в качестве базиса системы дискретных комплексных экспоненциальных функций называются дискретными преобразованиями Фурье[3]:

;    (3.21)

,    (3.22)

где - система комплексно-сопряженных экспоненциальных функций, определенных на интервале в N точках.

Спектр ca в базисе  является комплексной функцией. Системы комплексных экспоненциальных функций широко применяются при решении различных технических и научных задач и достаточно подробно описаны в литературе [1,2,3].

 Полиномиальные базисные системы. К ним относят системы, построенные на основе ортогональных полиномов [4]. Рассмотрим две такие системы, определенные на конечных интервалах.

 Полиномы Чебышева. На интервале [-1, 1] можно построить полную ортонормальную систему

, n=0,1,2,...,  (3.23)

где Tn(x) - полиномы Чебышева, задаваемые следующим образом:

T0(x)=1, .             (3.24)

Полиномы Чебышева обладают тем важным свойством, что из всех полиномов n-ой степени, имеющих коэффициент при x n, равный единице, полином Чебышева Tn(x) наименее отклоняется от нуля на интервале [-1, 1]. При n³3 значение Tn(x) можно вычислять по рекуррентной формуле

.  (3.25)

 Полиномы Лежандра. Нормированные и ортогональные функции ,  ,  образуют полную систему базисных функций на отрезке [-1,1]. Здесь {Pn(x)} - полиномы Лежандра, определяемые по формуле по формуле

  (3.26)

или по рекуррентной зависимости

nPn(x) = (2n - 1)xPn-1(x) - (n - 1)Pn-2(x).  (3.27)

Непосредственная дискретизация непрерывных СБФ, построенных на основе ортогональных полиномов, образует системы дискретных функций с неравноотстоящими отсчетами. В этом смысле непрерывные полиномы не имеют решетчатых аналогов. Однако в классе полиномиальных функций можно построить решетчатые полиномы, используя непосредственное представление их аргумента в виде дискретной переменной. Среди таких функций конечный интервал определения имеют функции дискретных систем Чебышева, Кравчука, Шарлье и Мейкснера.

Функции систем этого класса ортогональны на интервале [0, N) и являются ненормированными. Для каждой системы известны рекуррентные соотношения, позволяющие строить аналитические описания функций при различных значениях номера функции a и числа отсчетов N. Данные аналитические описания можно представить в форме обобщенных степенных полиномов

,   (3.28)

где ak - коэффициенты, зависящие от конкретного типа системы.

От типа системы зависят и нормы базисных функций, поскольку эти системы не являются нормированными. Например, для системы Чебышева коэффициенты и норма записываются как [3]

;  (3.29)

. (3.30)

Проведя нормирование, можно построить нормированные системы дискретных полиномов. Для нормированного базиса Чебышева первые три его функции представляются следующим образом:

(3.31)

и для N=8 приведены на рис. 3.9.

Рис. 3.9

 Двоично-ортогональные системы базисных функций. Под этим условным названием объединены системы функций меандрового типа Радемахера, Уолша и Хаара, интервал ортогональности которых при их построении представляется совокупностью двоично-рационального числа равных подынтервалов. Эти системы имеют важное значение для практики спектральной обработки, поскольку принимают только значения ±1 (функция Радемахера и Уолша) либо ±1 и 0 (функция Хаара) и легко могут быть получены с помощью цифровых устройств.

Все эти системы взаимосвязаны друг с другом и каждую из них можно получить из другой, образуя соответствующую линейную комбинацию.

Базисные функции представляют собой функции различных физических аргументов с различными интервалами ортогональности. Сигнал, в свою очередь, может быть также функцией другой переменной с интервалом определения, отличающимся от интервала ортогональности базисных функций. При спектральном представлении таких сигналов необходимо привести оси и интервал ортогональности аргумента базисных функций к оси и интервалу изменения переменной сигнала.

В общем случае, если сигнал является функцией переменной x с интервалом [xmin, xmax), а функции базисной системы зависят от аргумента g и ортогональны на интервале [gmin, gmax), преобразование оси g в ось x и совмещение интервалов можно осуществить подстановкой:

.  (3.32)

Например, если gÎ[-1, 3), а xÎ[-T, 2T), то в соответствии с преобразованием (3.32)

.

Проверим записанную взаимосвязь g и x на граничных значениях x. При x = -T значение . При x = 2T значение . Полученные значения совпадают с заданными. Если интервалы разносторонние, например gÎ[-p, p),  то, исходя из (3.32), найдем

.

Проверка подтверждает справедливость и этой формулы.

Преобразование осей и приведение интервалов необходимо учитывать при использовании спектральной формы представления сигналов.

  1.  Функции Радемахера

Для того чтобы кусочно-постоянные базисные ортогональные функции могли использоваться при обработке информации, нужно, чтобы так же, как синусоиды и косинусоиды, они принимали не только положительные, но и отрицательные значения.

Этому требованию удовлетворяют описываемые ниже кусочно-постоянные ортогональные функции Радемахера. Если принять за основу синусоидальные колебания sin(2mpq), где m - целое положительное число, и принять для произвольной величины x, что sing(x)=1 при x>0 и sign(x)=-1 при x<0, то функции Радемахера

rad(m,q) = sign[sin(2mpq)].   (3.33)

По формуле (3.33) определяются функции Радемахера для m=1,2,... Для m=0 функция Радемахера rad(0,q)=1.

На рис. 3.10 показаны функции Радемахера при значениях m от 0 до 5. Они показаны при задании q в интервале 0£q <1.

Рис. 3.10

Вообще же эти функции являются периодическими функциями с периодом 1: rad(m,q)=rad(m,q+1). Рис. 3.10 показывает, что функции Радемахера с номерами m от 2 и выше периодичны также и на меньших интервалах, число которых зависит от величины m.

Формула (3.33) позволяет сравнить функции Радемахера с синусоидами и дает наглядное представление о процедуре их получения.

На рисунке были показаны непрерывные функции Радемахера. Дискретные функции Радемахера, для которых принято обозначение Rad(m,q), получаются путем выборки их из непрерывных функций при дискретных значениях q в интервале 0£q <1. Например, при отсчетах, сделанных для восьми точек этого интервала, получаем значения Rad(2,q), равные 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1.

В отличие от полного набора синусоид и косинусоид, все функции Радемахера нечетные. Это препятствует аппроксимации их с помощью четных функций (они образуют, как говорят, неполный набор функций). Поэтому их применение ограничено.

Полными ортогональными системами базисных кусочно-постоянных функций являются системы функций Уолша и Хаара.

3.5. Функции Уолша

Для нормированных функций Уолша принято обозначение wal(n,q), где n - номер функции, а q находится в интервале 0£q <1. Обычно рассматривается множество функций Уолша wal(n,q) при n=0,1,...,N-1, где N=2i и i=1,2,3,...

Первые восемь функций Уолша изображены на рис. 3.11[5].

Рис. 3.11

Функции Уолша различают по их порядку и рангу. Под порядком имеют ввиду максимальный из содержащих единицу номеров разрядов при двоичном представлении числа n, рангом называют число единиц в двоичном выражении n. Например, порядок и ранг функции wal(5,q) равны соответственно 3 и 2, так как двоичным выражением числа 5 является 101 (имеется ввиду обычное двоичное кодирование чисел; см. второй столбец табл. 3.2). Функции Уолша могут быть представлены в виде произведений функций Радемахера (см. табл. 3.3). Номера функций Радемахера, образуюших функции Уолша wal(n,q) определяются по номерам последних, выраженных в двоичном коде Грея. Для чисел n от 0 до 15 их нумерация кодом Грея дана в последнем столбце табл.3.2. Номера перемножаемых функций Радемахера отвечают номерам разрядов, в которых имеются единицы, закодированного кодом Грея числа n. Разряды отсчитываются, начиная с младшего разряда. Так определяются как произведение функций Радемахера функции wal(n,q) для любых n.

Код Грея связан следующим образом с обычным двоичным кодом. Если в обычной двоичной системе исчисления число n=ak-1ak-2...a0, то в коде Грея n=bk-1bk-2...b0, где b0=a0Åa1, b1=a1Åa2,...,bk-1=ak-1; Å - знак суммирования по модулю два (0Å0=0; 0Å1=1; 1Å0=1; 1Å1=0). Например, n=2 в обычном двоичном коде записывается как 10. Здесь a1=1, a0=0. Следовательно, b0=a0Åa1=0Å1=1, b1=a1=1. Следовательно, число n=2 представляется как 11, что и указано в табл.3.2.

Функции Уолша могут быть упорядочены по Уолшу. На практике широко используется также и другие способы упорядочивания функций Уолша. Имеется упорядочивание функций Уолша по Пэли, упорядочивание функций Уолша по Адамару. На рис. 3.12. показаны первые восемь функций Уолша-Адамара had(n,q).

Рис. 3.12

Таблица 3.2

n-N0 функции Уолша (упорядоченной по Уолшу)

Выражение n в обычном двоичном коде

Выражение n в коде Грея

0

0000

0000

1

0001

0001

2

0010

0011

3

0011

0010

4

0100

0110

5

0101

0111

6

0110

0101

7

0111

0100

8

1000

1100

9

1001

1101

10

1010

1111

11

1011

1110

12

1100

1010

13

1101

1011

14

1110

1001

15

1111

1000

Таблица 3.3

n-N0 функции Уолша (упорядоченной по Уолшу)

Формулы перехода от функций rad(m,q) к функциям wal(n,q)

0

wal(0,q)=1

1

wal(1,q)=rad(1,q)

2

wal(2,q)=rad(1,q)rad(2,q)

3

wal(3,q)=rad(2,q)

4

wal(4,q)=rad(2,q)rad(3,q)

5

wal(5,q)=rad(1,q)rad(2,q)rad(3,q)

6

wal(6,q)=rad(1,q)rad(3,q)

7

wal(7,q)=rad(3,q)

8

wal(8,q)=rad(3,q)rad(4,q)

9

wal(9,q)=rad(1,q)rad(3,q)rad(4,q)

10

wal(10,q)=rad(1,q)rad(2,q)rad(3,q) rad(4,q)

11

wal(11,q)=rad(2,q)rad(3,q)rad(4,q)

12

wal(12,q)=rad(2,q)rad(4,q)

13

wal(13,q)=rad(1,q)rad(2,q)rad(4,q)

14

wal(14,q)=rad(1,q)rad(4,q)

15

wal(15,q)=rad(4,q)

Система Уолша-Пэли. Масштабирование данных


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63649. УПРАВЛİННЯ ФİНАНСОВИМИ РИЗИКАМИ 420.02 KB
  Ризики у фінансово-господарській діяльності субєктів господарювання Ефективне забезпечення моделі управління фінансовими ризиками передбачає зокрема вирішення таких проблемних питань: аналіз умов виникнення і формування комерційних ризиків...
63652. ГОСУДАРСТВЕННЫЙ И МУНИЦИПАЛЬНЫЙ КРЕДИТ 53 KB
  Государственный и муниципальный кредит – это совокупность экономических отношений между государствами в лице его органов власти и управления, с одной стороны, и физическими и юридическими лицами - с другой, при которых государство выступает в качестве заемщика, кредитора и гаранта.