45465

Модели сигналов

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Модели сигналов Результаты обработки информации существенно зависят от выбора рациональной модели анализируемого сигнала. Первые модели сигналов выражаются аналитическим описанием непосредственно самого изучаемого колебания или функции а вторые описываются теми или иными вероятностными характеристиками и используются при анализе случайных процессов. Отличительная особенность таких моделей сигналов состоит в том что по их параметрам можно однозначно восстановить сигнал с заданной точностью по выбранному критерию. Детерминированные модели...

Русский

2013-11-17

296.5 KB

35 чел.

3.1. Модели сигналов

Результаты обработки информации существенно зависят от выбора рациональной модели анализируемого сигнала. При этом необходимо учитывать условия решаемой задачи, количество и длину зарегистрированных реализаций, форму записи (непрерывную, дискретную) и т.д. В зависимости от априорной информации о сигналах  используются либо детерминированные, либо стохастические модели. Первые модели сигналов выражаются аналитическим описанием непосредственно самого изучаемого колебания (или функции), а вторые - описываются теми или иными вероятностными характеристиками и используются при анализе случайных процессов. По своей природе физические процессы носят статистический характер, обусловленный множеством как учитываемых, так и неучитываемых факторов, в частности действием помех. Кроме того, результаты измерений сопровождаются неустранимыми искажениями. Поэтому, чем лучше учитываются эти факторы, тем выше степень адекватности модели реальному сигналу.

Отличительная особенность таких моделей сигналов состоит в том, что по их параметрам можно однозначно восстановить сигнал с заданной точностью по выбранному критерию. Обычно в качестве детерминированных моделей используются следующие элементарные колебания: d-импульс, функция включения (скачок) (t)=1(t), треугольный импульс, гармонические функции sin(wt), cos(wt), отрезок гармонической функции, экспоненциальная функция exp(at), комплексно-экспоненциальная функция exp(jwt), функция sin(wt)/wt и другие. Детерминированные модели сигналов более сложного вида могут быть сформированы из элементарных путем линейных комбинаций.

В зависимости от формы представления детерминированных сигналов - непрерывной или дискретной - используются те или иные информационные параметры. Так, для непрерывного детерминированного сигнала в виде постоянного тока, ими будут: величина, полярность, моменты включения и выключения; для гармонического колебания - амплитуда, частота и начальная фаза. Дискретный сигнал, например  из последовательности прямоугольных импульсов, можно описать временным положением, амплитудой, полярностью и длительностью каждого импульса (рис.3.1)

Рис.3.1

Одна из важных характеристик случайного процесса - это его частотная полоса. По этому признаку случайные процессы можно условно разделить на узкополосные и широкополосные. Пример узкополосного случайного процесса приведен на рис. 3.2.

Рис.3.2

Рис.3.3

Полагая реализацию случайного процесса как колебания, близкие к монохроматическим, с медленно изменяющимися амплитудой и фазой, характер подобного процесса можно описать математической моделью

x(t) = x(t) cos[w0t + q(t)],

где амплитуда x(t) и фаза q(t) - случайные функции времени. В противоположность этому, для широкополосных случайных процессов нельзя указать простую аналитическую запись. Поэтому при их описании обычно используется спектральное представление (рис.3.3).

В радиотехнике и связи широко используются сигналы с модуляцией различного типа: амплитудной (АМ), частотной (ЧМ), фазовой (ФМ). Их вид показан на рис. 3.4.

Рис.3.4

Амплитудно-модулированный сигнал описывается выражением:

,

где m(t) - глубина модуляции; w0 - частота несущих колебаний. В спектральной области это соответствует переносу спектра S(w) исходного процесса x(t) в области частот w0+w и w0-w (рис.3.5), в которых техническое выполнение преобразова-

ний с сигналом становится более простым.

                                                                                        0                                                           

Рис. 3.5

В задачах кодирования и передачи информации, при построении систем автоматического управления также находят применение частотно- и фазомодулированные процессы, описываемые соответственно в виде:

;  .

Чаще всего сигналы рассматривают как функции, заданные в определенных физических координатах. В этом смысле различают одномерные (например, зависящие от времени),  двумерные, заданные на плоскости (примером могут служить различного рода изображения), трехмерные (характеризующие, например, пространственные объекты) сигналы. Математически такие сигналы описываются соответственно функциями одной, двух и трех переменных. Удобно применять и более сложные модели - комплексные и векторные функции.

Реальные сигналы всегда являются функциями с ограниченным интервалом определения, поскольку их наблюдение, регистрация и обработка не могут выполняться бесконечно долго. Так, например, одномерный сигнал, являющийся функцией времени t, с ограниченным интервалом определения можно записать в виде x(t), tÎ[tmin, tmax], где tmin и tmax - соответственно нижняя и верхняя границы интервала определения.

Если tmin и tmax - величины одного знака, то интервал определения будет односторонним, в противном случае интервал называется двусторонним. При tmin = - tmax интервал называется симметричным. Наряду с ограниченными по области определения сигналами в теории информационно-вычислительных систем рассматриваются также сигналы, заданные на полубесконечном и бесконечном интервалах определения.

Сигнал называется каузальным, если он имеет начало во времени. Все реальные сигналы являются каузальными. При их описании удобно совмещать начало отсчета аргумента с началом сигнала и считать, что он равен нулю при значениях аргумента, меньших нуля. Сигнал называется периодическим, если любое его значение повторяется через интервалы, равные периоду. Финитным называется сигнал, равный нулю вне некоторого ограниченного интервала его определения. Все реальные сигналы могут рассматриваться как финитные.

 Непериодическим детерминированным сигналом называется любой детерминированный сигнал, для которого не выполняется условие:

x(t) = x(t + kT),

где период T является конечным отрезком, а k - любое целое число.

Как правило, непериодический сигнал ограничен во времени. Примерами таких сигналов могут служить импульсы, пачки импульсов,  «обрывки» гармонических колебаний и т.д.

 Квазидетерминированный  сигнал - это сигнал, закон изменения которого известен, но один или несколько параметров этого закона являются случайными величинами или процессами.

В зависимости от формы представления сигналы могут быть непрерывными, квантованными по уровню, дискретными и цифровыми (см. табл.3.1)

Таблица 3.1

Формы представления сигнала

Множество значений

Наименование

Изображение

времени {t}

сигнала {x}

Непрерывное

Непрерывное

Непрерывный (аналоговый, континуальный)

Непрерывное

Дискретное

Квантованный по уровню (ступенчатая функция)

Дискретное

Непрерывное

Дискретный (решетчатая функция, последовательность вещественных чисел)

Дискретное

Дискретное

Цифровой (последовательность целых чисел

 По характеру протекания во времени сигналы разделяются на два вида:

постоянные во времени;

переменные во времени.

 Переменные во времени - это сигналы, значение которых изменяется во времени.

Сигнал называется случайным, если его значение в каждый момент времени есть случайная величина.

Случайные сигналы делятся на: стационарные и нестационарные. У стационарных сигналов вероятностные характеристики не зависят от времени (постоянны), что позволяет значительно упростить их математическое описание.

Во множестве стационарных сигналов выделяется подмножество эргодических сигналов, не совсем строгое определение которых можно дать следующим образом. Вероятностные характеристики случайных сигналов могут быть получены либо усреднением во времени, т.е. путем рассмотрения всех значений одной реализации сигнала, либо усреднением по множеству (ансамблю) реализаций, т.е. путем рассмотрения значений всех реализаций случайного сигнала в один и тот же момент времени. Сигналы, для которых вероятностные характеристики не зависят от способа усреднения (по времени и ансамблю) называются эргодическими.

Все случайные сигналы в конечном итоге классифицируются по виду закона распределения плотности вероятности, который является полной и исчерпывающей характеристикой любого случайного сигнала.

3.2.Формы аналитического описания сигналов

Возможна форма представления сигналов с помощью спектров. Рассмотрим ее для непрерывных одномерных сигналов общего вида x(x) (x - некоторый аргумент, в частном случае время t).

При этом сигнал на заданном интервале его определения [xmin, xmax] рассматривается как совокупность элементарных сигналов ja(x), умноженных на коэффициенты ca и составляющих систему функций {ja(x)} определенного типа:

.    (3.1)

При этом система функций {ja(x)} называется базисной, а представление сигнала в виде (3.1) - его разложением по системе базисных функций или обобщенным рядом (многочленом). Если сигнал x(x) является комплексным, то и коэффициенты ca и система базисных функций {ja(x)} также будут являться комплексными.

Если система функций выбрана, то сигнал полностью характеризуется набором (вектором) спектральных коэффициентов {ca} - его спектром.

В общем случае ряд (3.1) для непрерывных сигналов содержит бесконечное число членов. При практических расчетах такой ряд обычно ограничивают (усекают). В этом случае представление сигнала будет приближенным

   (3.2)

и имеет место аппроксимация сигнала x(x) конечным рядом (3.2).

Выбирая приближенное описание сигнала, естественно, стремятся к тому, чтобы оно, в определенном смысле, наилучшим образом соответствовало оригиналу. При этом каждый раз необходимо формулировать критерий приближения, так как в выражение «наилучшее приближение» можно вкладывать различный смысл.

Приведем наиболее широко применяемые критерии приближения (сходимости).

  1.  Можно потребовать, чтобы максимальное значение погрешности аппроксимации

    (3.3)

было минимальным на заданном интервале определения функции x(x). Этот вид аппроксимации, при котором минимизируется величина , называется равномерным приближением.

  1.  В качестве критерия приближения можно выбрать среднюю погрешность

,   (3.4)

 где T = xmax - xmin.

 Такая аппроксимация называется приближением в среднем.

  1.  Если в качестве меры представления принимается минимум среднеквадратичной погрешности

,   (3.5)

то такой вид аппроксимации называется приближением в среднеквадратическом.

Существуют и другие критерии приближения [1,2].  В большинстве технических применений преимущественное распространение получил среднеквадратический критерий, учитывающий интегральный эффект - ошибку, накопленную на всем интервале определения сигнала, и в большинстве случаев лучше соответствующий физическому смыслу исследуемых явлений. Кроме того, что тоже немаловажно, теория, основанная на этом критерии, имеет наиболее простой и удобный для практики вид.

Все рассмотренные критерии приближения взаимосвязаны. Если ряд (3.2) сходится к x(x) равномерно, то он тем более сходится среднеквадратически. Из среднеквадратической сходимости вытекает сходимость в среднем.

Для того, чтобы разложение сигнала в форме (3.1) было возможным, система базисных функций (СБФ) должна удовлетворять ряду требований:

  1.  Быть упорядоченной системой линейно независимых функций.
  2.  Быть полной, для того, чтобы по выбранной системе функций можно было разложить любой сигнал из заданного множества.
  3.  Число линейно независимых функций в полной системе должно быть равным размерности рассматриваемого множества сигналов, т.е. количеству чисел, с помощью которых можно выбрать любой сигнал из этого множества. Когда рассматривается множество непрерывных сигналов произвольной формы, то их размерность бесконечно велика и в этом случае СБФ должна содержать также бесконечно большое число линейно независимых функций.

Наиболее удобно производить разложение сигналов, если базисная система {ja(x)} является ортогональной на интервале определения сигнала [xmin, xmax]. Условие ортогональности двух различных базисных функций заключается в равенстве нулю их взаимной мощности:

Q,   (3.6)

где символ Кронекера и мощность a-й базисной функции

    (3.7)

Q.     (3.8)

Интервал определения ортогональных базисных функций называется также интервалом ортогональности.

Если система ортогональных функций полная, то к ней нельзя добавить ни одной новой функции, которая была бы ортогональна одновременно ко всем другим функциям данной системы. Известно, что любую систему линейно независимых функций можно ортогонализировать, т.е. преобразовать  в ортогональную систему [1].

Представление сигналов с помощью ортогональных СБФ обладает тем важным свойством, что повышение порядка аппроксимирующего многочлена всегда улучшает аппроксимацию по сравнению с представлением сигналов неортогональными СБФ. Если при N®¥ многочлен  [см. (3.2)] сходится к , то  совпадает с  в рамках выбранного критерия приближения.

Система ортогональных функций называется также нормированной, если мощности всех базисных функций равны единице (в этом случае СБФ называется еще ортонормированной):

.    (3.9)

Любую систему ортогональных функций можно нормировать, если разделить каждую базисную функцию на ее мощность.

При представлении сигналов в форме (3.2) необходимо решать вопрос о способе вычисления спектральных коэффициентов. Он во многом будет зависеть от используемого метода аппроксимации (вида принятого критерия сходимости). В случае применения среднеквадратического критерия коэффициенты ca, выбирают таким образом, чтобы среднеквадратическая ошибка была минимальной. Это достигается с помощью обобщенной формулы Фурье расчета спектра:

[1/(Q)]·.  (3.10)

Очевидно, что среднеквадратическая аппроксимация имеет смысл тогда, когда мощность сигнала и функций ja(x) на интервале аппроксимации имеет конечное значение. В случае комплексных базисных систем в формуле (3.10) расчета спектра должна стоять комплексно-сопряженная функция .

Увеличивая неограниченно число членов в аппроксимирующем многочлене с коэффициентами в форме (3.10), получим в пределе равенство =, выполняемое при  ®¥. При этом аппроксимирующий многочлен примет вид бесконечного ряда, называемого обобщенным рядом Фурье.

В спектральном представлении (3.1) и в формуле расчета спектра (3.10) базисные функции являются функциями двух переменных x и a, а спектральные коэффициенты - функциями переменной a. Это приводит к симметрии выражений (3.1) и (3.10), называемых соответственно прямым и обратным преобразованием Фурье, из которой следует математическое равноправие функций и сa как различных форм представления сигнала. Для рядов Фурье справедливо равенство Парсеваля [3]:

Q.   (3.11)

Так как правая часть этого равенства определяет мощность сигнала при его представлении с помощью спектров, а левая - его мощность при записи в виде математической функции, то равенство Парсеваля отражает эквивалентность двух форм представления сигналов с физической (энергетической) точки зрения. Выполнение равенства Парсеваля свидетельствует также о полноте ортогональной СБФ.

Рассмотрим представление с помощью спектров дискретных сигналов. Решетчатая функция x(i), i Î [0, N] записывается в виде обобщенного дискретного ряда

  (3.12)

по любым полным и ортогональным системам решетчатых базисных функций {ja(i)}. При этом моменты отсчетов базисных функций должны совпадать с моментами отсчетов раскладываемых сигналов.

Условия ортогональности и нормированности дискретных СБФ определяются уравнениями

Q;  (3.13)

Q,   (3.14)

а равенство Парсеваля для дискретных сигналов имеет вид

Q.   (3.15)

Для дискретных функций, удовлетворяющих условию , справедлива следующая формула для определения спектра:

[1/(Q)]·.  (3.16)

Формулы (3.12) и (3.16) представляют собой дискретные преобразования Фурье.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10371. АДЛЕР (Adler) Альфред 33.73 KB
  АДЛЕР Adler Альфред 7.2.1870 Вела 28.5.1937 Абердин Шотландия австр. врач и психолог создатель индивидуальной психологии. Примыкал сначала к сторонникам 3. Фрейда затем основал собств. школу получившую наибольшее влияние в 20х гг. с созданием Междунар. ассоциации инд
10372. ФОМА АКВЙНСКИЙ, (Thomas Aquinas) 47.64 KB
  ФОМА АКВЙНСКИЙ Thomas Aquinas 1225 или 122i замок Роккасекка близ Акуино Юж. Италия 7. 3. 1274 монастырь Фоссануова Юж. Италия ср.век философ и теолог систематизатор ортодоксальной схоластики основатель томизма; монахдоминиканец с 1244. В 1567 признан пятым учителем ...
10373. Предмет и задачи политологии. Методы изучения политических явлений 55.5 KB
  Предмет и задачи политологии. Методы изучения политических явлений. Политология это наука о политической власти и управлении о закономерностях развития политических отношений и процессов функционирования политических систем и институтов политического поведения и...
10374. Основные понятия категории науки о политике 61.5 KB
  Всякий раз, когда мы ставим перед собой задачу вычленить какую-либо научную дисциплину из всей совокупности научных дисциплин, мы сталкиваемся с вопросом о ее понятийно-категоричном аппарате. Политика зачастую представляет собой не только четко очерченную, раз и навсегда...
10375. Место политологии среди других обществоведческих дисциплин 29 KB
  Место политологии среди других обществоведческих дисциплин. Политики представляя собой очевидную сторону общественной жизни детерминируется множеством явных и скрытых от глаз мене ощутимых факторов и процессов в совокупности составляющих ее социологические основ...
10376. История развития политической мысли. Основные тенденц 35.5 KB
  История развития политической мысли. Основные тенденции. Чрезвычайно огромный объём материалов по истории развития политической мысли включающий в себя исторические правовые политические географические философские и другие источники не позволяют авторам подробн
10377. Сущность и особенности внешней политики России на современном этапе 30 KB
  Сущность и особенности внешней политики России на современном этапе. Проблемы формирования новой государственности в России с точки зрения ее роли в мировом политическом процессе нельзя рассматривать без учета взаимозависимости основных субъектов международных о
10378. Теория разделения властей: возникновение и развитие 33.5 KB
  Теория разделения властей: возникновение и развитие. Основными функциями политической власти являются: руководство в целом страной государством и каждой его сферой политической экономической духовной социальной и др.: оптимизация самой политической системы прис
10379. Разработка идей естественного права в трудах мыслителей эпохи просвещения 36.5 KB
  Разработка идей естественного права в трудах мыслителей эпохи просвещения. Уже в XIX в. нормативно ценностный подход дал повод для критического к нему отношения. С одной стороны политической мыслью был сформулирован ряд идей которые выражали постепенное движение обще