45465

Модели сигналов

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Модели сигналов Результаты обработки информации существенно зависят от выбора рациональной модели анализируемого сигнала. Первые модели сигналов выражаются аналитическим описанием непосредственно самого изучаемого колебания или функции а вторые описываются теми или иными вероятностными характеристиками и используются при анализе случайных процессов. Отличительная особенность таких моделей сигналов состоит в том что по их параметрам можно однозначно восстановить сигнал с заданной точностью по выбранному критерию. Детерминированные модели...

Русский

2013-11-17

296.5 KB

37 чел.

3.1. Модели сигналов

Результаты обработки информации существенно зависят от выбора рациональной модели анализируемого сигнала. При этом необходимо учитывать условия решаемой задачи, количество и длину зарегистрированных реализаций, форму записи (непрерывную, дискретную) и т.д. В зависимости от априорной информации о сигналах  используются либо детерминированные, либо стохастические модели. Первые модели сигналов выражаются аналитическим описанием непосредственно самого изучаемого колебания (или функции), а вторые - описываются теми или иными вероятностными характеристиками и используются при анализе случайных процессов. По своей природе физические процессы носят статистический характер, обусловленный множеством как учитываемых, так и неучитываемых факторов, в частности действием помех. Кроме того, результаты измерений сопровождаются неустранимыми искажениями. Поэтому, чем лучше учитываются эти факторы, тем выше степень адекватности модели реальному сигналу.

Отличительная особенность таких моделей сигналов состоит в том, что по их параметрам можно однозначно восстановить сигнал с заданной точностью по выбранному критерию. Обычно в качестве детерминированных моделей используются следующие элементарные колебания: d-импульс, функция включения (скачок) (t)=1(t), треугольный импульс, гармонические функции sin(wt), cos(wt), отрезок гармонической функции, экспоненциальная функция exp(at), комплексно-экспоненциальная функция exp(jwt), функция sin(wt)/wt и другие. Детерминированные модели сигналов более сложного вида могут быть сформированы из элементарных путем линейных комбинаций.

В зависимости от формы представления детерминированных сигналов - непрерывной или дискретной - используются те или иные информационные параметры. Так, для непрерывного детерминированного сигнала в виде постоянного тока, ими будут: величина, полярность, моменты включения и выключения; для гармонического колебания - амплитуда, частота и начальная фаза. Дискретный сигнал, например  из последовательности прямоугольных импульсов, можно описать временным положением, амплитудой, полярностью и длительностью каждого импульса (рис.3.1)

Рис.3.1

Одна из важных характеристик случайного процесса - это его частотная полоса. По этому признаку случайные процессы можно условно разделить на узкополосные и широкополосные. Пример узкополосного случайного процесса приведен на рис. 3.2.

Рис.3.2

Рис.3.3

Полагая реализацию случайного процесса как колебания, близкие к монохроматическим, с медленно изменяющимися амплитудой и фазой, характер подобного процесса можно описать математической моделью

x(t) = x(t) cos[w0t + q(t)],

где амплитуда x(t) и фаза q(t) - случайные функции времени. В противоположность этому, для широкополосных случайных процессов нельзя указать простую аналитическую запись. Поэтому при их описании обычно используется спектральное представление (рис.3.3).

В радиотехнике и связи широко используются сигналы с модуляцией различного типа: амплитудной (АМ), частотной (ЧМ), фазовой (ФМ). Их вид показан на рис. 3.4.

Рис.3.4

Амплитудно-модулированный сигнал описывается выражением:

,

где m(t) - глубина модуляции; w0 - частота несущих колебаний. В спектральной области это соответствует переносу спектра S(w) исходного процесса x(t) в области частот w0+w и w0-w (рис.3.5), в которых техническое выполнение преобразова-

ний с сигналом становится более простым.

                                                                                        0                                                           

Рис. 3.5

В задачах кодирования и передачи информации, при построении систем автоматического управления также находят применение частотно- и фазомодулированные процессы, описываемые соответственно в виде:

;  .

Чаще всего сигналы рассматривают как функции, заданные в определенных физических координатах. В этом смысле различают одномерные (например, зависящие от времени),  двумерные, заданные на плоскости (примером могут служить различного рода изображения), трехмерные (характеризующие, например, пространственные объекты) сигналы. Математически такие сигналы описываются соответственно функциями одной, двух и трех переменных. Удобно применять и более сложные модели - комплексные и векторные функции.

Реальные сигналы всегда являются функциями с ограниченным интервалом определения, поскольку их наблюдение, регистрация и обработка не могут выполняться бесконечно долго. Так, например, одномерный сигнал, являющийся функцией времени t, с ограниченным интервалом определения можно записать в виде x(t), tÎ[tmin, tmax], где tmin и tmax - соответственно нижняя и верхняя границы интервала определения.

Если tmin и tmax - величины одного знака, то интервал определения будет односторонним, в противном случае интервал называется двусторонним. При tmin = - tmax интервал называется симметричным. Наряду с ограниченными по области определения сигналами в теории информационно-вычислительных систем рассматриваются также сигналы, заданные на полубесконечном и бесконечном интервалах определения.

Сигнал называется каузальным, если он имеет начало во времени. Все реальные сигналы являются каузальными. При их описании удобно совмещать начало отсчета аргумента с началом сигнала и считать, что он равен нулю при значениях аргумента, меньших нуля. Сигнал называется периодическим, если любое его значение повторяется через интервалы, равные периоду. Финитным называется сигнал, равный нулю вне некоторого ограниченного интервала его определения. Все реальные сигналы могут рассматриваться как финитные.

 Непериодическим детерминированным сигналом называется любой детерминированный сигнал, для которого не выполняется условие:

x(t) = x(t + kT),

где период T является конечным отрезком, а k - любое целое число.

Как правило, непериодический сигнал ограничен во времени. Примерами таких сигналов могут служить импульсы, пачки импульсов,  «обрывки» гармонических колебаний и т.д.

 Квазидетерминированный  сигнал - это сигнал, закон изменения которого известен, но один или несколько параметров этого закона являются случайными величинами или процессами.

В зависимости от формы представления сигналы могут быть непрерывными, квантованными по уровню, дискретными и цифровыми (см. табл.3.1)

Таблица 3.1

Формы представления сигнала

Множество значений

Наименование

Изображение

времени {t}

сигнала {x}

Непрерывное

Непрерывное

Непрерывный (аналоговый, континуальный)

Непрерывное

Дискретное

Квантованный по уровню (ступенчатая функция)

Дискретное

Непрерывное

Дискретный (решетчатая функция, последовательность вещественных чисел)

Дискретное

Дискретное

Цифровой (последовательность целых чисел

 По характеру протекания во времени сигналы разделяются на два вида:

постоянные во времени;

переменные во времени.

 Переменные во времени - это сигналы, значение которых изменяется во времени.

Сигнал называется случайным, если его значение в каждый момент времени есть случайная величина.

Случайные сигналы делятся на: стационарные и нестационарные. У стационарных сигналов вероятностные характеристики не зависят от времени (постоянны), что позволяет значительно упростить их математическое описание.

Во множестве стационарных сигналов выделяется подмножество эргодических сигналов, не совсем строгое определение которых можно дать следующим образом. Вероятностные характеристики случайных сигналов могут быть получены либо усреднением во времени, т.е. путем рассмотрения всех значений одной реализации сигнала, либо усреднением по множеству (ансамблю) реализаций, т.е. путем рассмотрения значений всех реализаций случайного сигнала в один и тот же момент времени. Сигналы, для которых вероятностные характеристики не зависят от способа усреднения (по времени и ансамблю) называются эргодическими.

Все случайные сигналы в конечном итоге классифицируются по виду закона распределения плотности вероятности, который является полной и исчерпывающей характеристикой любого случайного сигнала.

3.2.Формы аналитического описания сигналов

Возможна форма представления сигналов с помощью спектров. Рассмотрим ее для непрерывных одномерных сигналов общего вида x(x) (x - некоторый аргумент, в частном случае время t).

При этом сигнал на заданном интервале его определения [xmin, xmax] рассматривается как совокупность элементарных сигналов ja(x), умноженных на коэффициенты ca и составляющих систему функций {ja(x)} определенного типа:

.    (3.1)

При этом система функций {ja(x)} называется базисной, а представление сигнала в виде (3.1) - его разложением по системе базисных функций или обобщенным рядом (многочленом). Если сигнал x(x) является комплексным, то и коэффициенты ca и система базисных функций {ja(x)} также будут являться комплексными.

Если система функций выбрана, то сигнал полностью характеризуется набором (вектором) спектральных коэффициентов {ca} - его спектром.

В общем случае ряд (3.1) для непрерывных сигналов содержит бесконечное число членов. При практических расчетах такой ряд обычно ограничивают (усекают). В этом случае представление сигнала будет приближенным

   (3.2)

и имеет место аппроксимация сигнала x(x) конечным рядом (3.2).

Выбирая приближенное описание сигнала, естественно, стремятся к тому, чтобы оно, в определенном смысле, наилучшим образом соответствовало оригиналу. При этом каждый раз необходимо формулировать критерий приближения, так как в выражение «наилучшее приближение» можно вкладывать различный смысл.

Приведем наиболее широко применяемые критерии приближения (сходимости).

  1.  Можно потребовать, чтобы максимальное значение погрешности аппроксимации

    (3.3)

было минимальным на заданном интервале определения функции x(x). Этот вид аппроксимации, при котором минимизируется величина , называется равномерным приближением.

  1.  В качестве критерия приближения можно выбрать среднюю погрешность

,   (3.4)

 где T = xmax - xmin.

 Такая аппроксимация называется приближением в среднем.

  1.  Если в качестве меры представления принимается минимум среднеквадратичной погрешности

,   (3.5)

то такой вид аппроксимации называется приближением в среднеквадратическом.

Существуют и другие критерии приближения [1,2].  В большинстве технических применений преимущественное распространение получил среднеквадратический критерий, учитывающий интегральный эффект - ошибку, накопленную на всем интервале определения сигнала, и в большинстве случаев лучше соответствующий физическому смыслу исследуемых явлений. Кроме того, что тоже немаловажно, теория, основанная на этом критерии, имеет наиболее простой и удобный для практики вид.

Все рассмотренные критерии приближения взаимосвязаны. Если ряд (3.2) сходится к x(x) равномерно, то он тем более сходится среднеквадратически. Из среднеквадратической сходимости вытекает сходимость в среднем.

Для того, чтобы разложение сигнала в форме (3.1) было возможным, система базисных функций (СБФ) должна удовлетворять ряду требований:

  1.  Быть упорядоченной системой линейно независимых функций.
  2.  Быть полной, для того, чтобы по выбранной системе функций можно было разложить любой сигнал из заданного множества.
  3.  Число линейно независимых функций в полной системе должно быть равным размерности рассматриваемого множества сигналов, т.е. количеству чисел, с помощью которых можно выбрать любой сигнал из этого множества. Когда рассматривается множество непрерывных сигналов произвольной формы, то их размерность бесконечно велика и в этом случае СБФ должна содержать также бесконечно большое число линейно независимых функций.

Наиболее удобно производить разложение сигналов, если базисная система {ja(x)} является ортогональной на интервале определения сигнала [xmin, xmax]. Условие ортогональности двух различных базисных функций заключается в равенстве нулю их взаимной мощности:

Q,   (3.6)

где символ Кронекера и мощность a-й базисной функции

    (3.7)

Q.     (3.8)

Интервал определения ортогональных базисных функций называется также интервалом ортогональности.

Если система ортогональных функций полная, то к ней нельзя добавить ни одной новой функции, которая была бы ортогональна одновременно ко всем другим функциям данной системы. Известно, что любую систему линейно независимых функций можно ортогонализировать, т.е. преобразовать  в ортогональную систему [1].

Представление сигналов с помощью ортогональных СБФ обладает тем важным свойством, что повышение порядка аппроксимирующего многочлена всегда улучшает аппроксимацию по сравнению с представлением сигналов неортогональными СБФ. Если при N®¥ многочлен  [см. (3.2)] сходится к , то  совпадает с  в рамках выбранного критерия приближения.

Система ортогональных функций называется также нормированной, если мощности всех базисных функций равны единице (в этом случае СБФ называется еще ортонормированной):

.    (3.9)

Любую систему ортогональных функций можно нормировать, если разделить каждую базисную функцию на ее мощность.

При представлении сигналов в форме (3.2) необходимо решать вопрос о способе вычисления спектральных коэффициентов. Он во многом будет зависеть от используемого метода аппроксимации (вида принятого критерия сходимости). В случае применения среднеквадратического критерия коэффициенты ca, выбирают таким образом, чтобы среднеквадратическая ошибка была минимальной. Это достигается с помощью обобщенной формулы Фурье расчета спектра:

[1/(Q)]·.  (3.10)

Очевидно, что среднеквадратическая аппроксимация имеет смысл тогда, когда мощность сигнала и функций ja(x) на интервале аппроксимации имеет конечное значение. В случае комплексных базисных систем в формуле (3.10) расчета спектра должна стоять комплексно-сопряженная функция .

Увеличивая неограниченно число членов в аппроксимирующем многочлене с коэффициентами в форме (3.10), получим в пределе равенство =, выполняемое при  ®¥. При этом аппроксимирующий многочлен примет вид бесконечного ряда, называемого обобщенным рядом Фурье.

В спектральном представлении (3.1) и в формуле расчета спектра (3.10) базисные функции являются функциями двух переменных x и a, а спектральные коэффициенты - функциями переменной a. Это приводит к симметрии выражений (3.1) и (3.10), называемых соответственно прямым и обратным преобразованием Фурье, из которой следует математическое равноправие функций и сa как различных форм представления сигнала. Для рядов Фурье справедливо равенство Парсеваля [3]:

Q.   (3.11)

Так как правая часть этого равенства определяет мощность сигнала при его представлении с помощью спектров, а левая - его мощность при записи в виде математической функции, то равенство Парсеваля отражает эквивалентность двух форм представления сигналов с физической (энергетической) точки зрения. Выполнение равенства Парсеваля свидетельствует также о полноте ортогональной СБФ.

Рассмотрим представление с помощью спектров дискретных сигналов. Решетчатая функция x(i), i Î [0, N] записывается в виде обобщенного дискретного ряда

  (3.12)

по любым полным и ортогональным системам решетчатых базисных функций {ja(i)}. При этом моменты отсчетов базисных функций должны совпадать с моментами отсчетов раскладываемых сигналов.

Условия ортогональности и нормированности дискретных СБФ определяются уравнениями

Q;  (3.13)

Q,   (3.14)

а равенство Парсеваля для дискретных сигналов имеет вид

Q.   (3.15)

Для дискретных функций, удовлетворяющих условию , справедлива следующая формула для определения спектра:

[1/(Q)]·.  (3.16)

Формулы (3.12) и (3.16) представляют собой дискретные преобразования Фурье.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37262. Креслення засобами прогарми AutoCAD 229.5 KB
  Також можна набрати з клавіатури: line У відповідь система видасть: Specify first point: Вводимо координати першої точки: 1010. Далі вводяться координати наступних точок: Specify next point or [Undo]:30.20 Specify next point or [Undo]:35.50 Для завершення побудови можна тиснути клавішу ENTER або скористатися ключами с close чи u undo: Specify next point or[Close Undo]:close Тут ключ close автоматично замикає проведені сегменти ключ undo – відміняє проведення останнього сегмента.
37263. Микросхема ПЗУ и система BIOS 46.5 KB
  Комплект программ находящихся в ПЗУ образует базовую систему вводавывода BIOS Bsic Input Output System. Программы входящие в BIOS позволяют нам наблюдать на экране диагностические сообщения сопровождающие запуск компьютера а также вмешиваться в ход запуска с помощью клавиатуры. BIOS в общем случае представляет собой набор правил определяющих как происходит конфигурирование компонент компьютера при его включении как его устройства взаимодействуют друг с другом как осуществляется простейший ввод вывод данных.
37264. Гуманітарна підготовка в ЗС України 125 KB
  Розкрити роботу щодо організації гуманітарної підготовки в частинах та підрозділах ЗС України. Проаналізувати основні вимоги порядок підготовки і проведення занять з гуманітарної підготовки . Основна частина 70 Заслуховування доповіді 10 Обговорення відпрацювання першого питання: Організація гуманітарної підготовки в частинах та підрозділах ЗС України. 30 Обговорення відпрацювання другого питання: Основні вимоги порядок підготовки і проведення занять з гуманітарної підготовки 30 3.
37265. Техніка комунікабельності офіцера 172.5 KB
  Оголосити тему заняття, її актуальність та зв'язок з іншими темами, мету та навчальні питання, які будуть розглянуті. Особливу увагу на занятті необхідно звернути на те, що існує об'єктивна потреба в оволодінні всім офіцерським складом загальними поняттями про психологію спілкування у військовому колективі, а також розкрити сутність, функції та структура спілкування
37266. Методика виховного впливу на військовослужбовців в арміях НАТО 153 KB
  Заняття №20: Методика виховного впливу на військовослужбовців в арміях НАТО. Основна частина 70 Обговорення питання №1 “Форми методи і техніки виховання військовослужбовців в арміях провідних країн світу †35 Обговорення питання №2 “ Аналіз відео інформаційних матеріалів з мережі Інтернет щодо вирішення офіцерами проблемних питань щодо виховання підлеглих в арміях провідних країн світу †35 3. Головною метою його роботи є оптимізація спільної військової діяльності міжособистісних взаємин а також моральнопсихологічного стану...
37267. Осветительные приборы автомобиля на основе светодиодов 3.83 MB
  Можно утверждать, что ни один из известных вариантов исполнения приборов системы освещения не решает всего комплекса проблем внешних осветительных приборов транспортных средств, при относительно невысокой стоимости изделий этого класса.
37268. Історія та традиції військового виховання в Україні 193.5 KB
  Спільне життя й діяльність людей передбачає регулювання та спрямування їхніх взаємодій. Універсальним засобом такого регулювання виступає спілкування. Через це воно є одним із центральних проблем у психологічній науці. Соціальна функція спілкування полягає в тому, що воно є засобом передавання суспільного досвіду
37269. Особистість військовослужбовця як вихованця 289.5 KB
  Проблема особистості  одна з центральних у курсі філософії, соціології, педагогіки, психології та ряду інших наук. Але кожна наука вивчає особистість згідно свого предмету дослідження. Педагогіка досліджує педагогічні закономірності формування й розвитку особистості.
37270. Військове середовище та його виховні функції 181 KB
  Охарактеризуємо більш глибоко проблему взаємозв’язку соціального середовища й особистості. В історії проблема взаємозв’язку суспільства та особистості вирішувалася порізному.Гельвецій визнавали визначальний вплив умов суспільного життя на розвиток особистості. Суспільство по відношенню до особистості індивіда проявляє себе як зовнішня незалежна примусова сила.