45493

Регрессионные модели

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Линейная одномерная модель: y =0 1 x Ei = Yi 0 1 Xi i = 1n где n число снятых экспериментально точек. Ошибки всех точек i от 1 до n следует сложить. Найдем значение sigm по формуле: Если в интервал Yэ Yт Yэ попадает 67 точек и более то выдвинутая нами гипотеза принимается. Если требуется большая уверенность в результате то используют дополнительное условие: в интервал Yэ 2 Yт Yэ 2 должны попасть 95 экспериментальных точек.

Русский

2013-11-17

85.5 KB

1 чел.

Регрессионные модели

По степени информированности исследователя об объекте существует деление объектов на три типа "ящиков".

  •  Черный (ничего об объекте неизвестно).
  •  Серый (известна внешняя структура объекта, неизвестны количественные значения параметров).
  •  Белый (об объекте известно все).

Вход и выход можно наблюдать и измерять. Содержимое ящика неизвестно. Задача - построить модель, зная вход и выход, то есть определить содержимое ящика.

  1.  Исследователь вносит гипотезу о структуре "ящика". 

Рассматривая экспериментально полученные данные, предположим, что они подчиняются линейной гипотезе, то есть выход y зависит от входа x линейно. Тогда:
y =A1 x + A0

  1.  Определим неизвестные коэффициенты модели A0 и A1. 

a) Линейная одномерная модель:

y =A0+ A1 x 

Ei = Yi - A0 - A1 Xi,   i = 1,n      , где n - число снятых экспериментально точек.

Ei- ошибка между теоретическим значением функции (A0 + A1 x) и экспериментальным Y у точки i. Ошибки всех точек (i от 1 до n) следует сложить. Чтобы положительные ошибки не компенсировали в сумме отрицательные, каждую из ошибок возводят в квадрат и складывают их значения в суммарную уже одного знака. Данный метод поэтому называется Методом наименьших квадратов.

Таким образом, F - суммарная ошибка. F является функцией двух переменных A0 и A1, так как меняя эти величины можно влиять на величину ошибки. Естественно, что суммарную ошибку следует минимизировать . Для этого найдем производные от F по каждой переменной и приравняем их нулю.

Получим систему из двух уравнений

Надо найти коэффициенты A0 и A1, для этого решаем систему методом Крамера, построив предварительно определитель следующего вида:

  1.  Проверка. 

Чтобы определить, принимается гипотеза или нет, нужно рассчитать ошибку между теоретической и экспериментальной зависимостями.



Найдем значение "sigma" по формуле:

Если в интервал (Yэ - Yт Yэ + ) попадает 67% точек и более, то выдвинутая нами гипотеза принимается. В противном случае, выбирают более сложную гипотезу или проверяют исходные данные. Если требуется большая уверенность в результате, то используют дополнительное условие: в интервал (Yэ - 2 Yт Yэ +2 ) должны попасть 95% экспериментальных точек.

Условие принятия гипотезы выведено из нормального распределения случайных ошибок.

b) Множественная линейная модель.

Предположим, что функциональная структура "ящика" имеет линейную зависимость, но количество входных сигналов, действующих одновременно, равно m.
Y = A0+ A1X1 + ... + Am Xm

Так как мы имеем экспериментальные данные о всех входах и выходах "черного" ящика, то можно вычислить ошибку между теоретическим значением Y и экспериментальным:


Ei = Yi - A0- A1X1 - ... - Am Xm,
тогда суммарная ошибка будет

Ошибку минимизируем. Ошибка зависит от выбора параметров
A0 , A1 , ..., Am . Для нахождения экстремума приравняем все частные производные F по неизвестным A0 , A1 , ..., Am к нулю:

Получим систему из (m+1) уравнения с (m+1) неизвестной, которую следует решить для определения A0 , A1 , ..., Am . Для решения системы уравнений построим определители:

Вычисляем коэффициенты A0 , A1 , ..., Am .

Дальше вычисляется ошибка и находится по аналогии с одномерной моделью. К линейной множественной модели приводятся многие нелинейные модели подстановками и переобозначениями

  1.  Проведем эксперимент - возьмем несколько точек например так 

  1.  Далее выбираем гипотезу допустим, для нашего примера 

Возьмем линейную функцию y = a x + b 

  1.  Теперь запишем уранение ошибки эксперимента 

  1.  Далее необходимо найти все коэффициенты уравнения

Для нахождения экстремума приравняем частные производные

функции F по переменным а и b к нулю:

По имеющимся экспериментальным данным построим следующую таблицу:

i

Xi

Yi

Xi2 

XiYi

1

2

3

4

6

2

5

4

25

20

3

7

7

49

49

4

8

4

64

32

5

10

8

100

80

6

11

7

121

77

7

14

9

196

126

Далее из таблицы берем данные для построения определителя:

Решая систему уравнений:
5 b + 57 a = 42
57 b + 559 a = 390

получим следующие коэффициенты а и b:
a = 0.51; b = 1.84

Таким образом, мы получили следующее линейное уравнение:

y = 0.51 x + 1.84

  1.  И теперь определяем, принимается гипотеза или нет.

Для этого необходимо рассчитать ошибку между теоретической и экспериментальной зависимостью .

  1.  Далее нужно найти значение "" по формуле: = sqrt(F/n)
    Если в интервал (Y
    э- YT Yэ+) попадает 67% точек и более, то выдвинутая нами гипотеза принимается.

    Для нашего примера. 

E1= 0.14 =>E1 2= 0.02
E
2 = -0.39 => E22 = 0.15
E
3 = 1.59 =>E3 2= 2.53
E
4 = -1.92 => E4 2= 3.69
E
5 = 1.06 =>E52= 1.12
E
6 = -0.45 => E6 2= 0.203
E
7 = 0.02 =>E7 2= 0.0004 

Отсюда:

Исходя из полученных данных сделайте вывод.
Для нашего примера он будет звучать так:
проверив все экспериментальные точки на вхождение в интервал (Yэ-YT Yэ+), мы находим, что около 71.6% точек попали в sigma-интервал. Следовательно наша гипотеза о линейности верна.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1342. Разработка корпоративной мультисервисной сети передачи данных филиала компании ООО Скартел 521.5 KB
  Обоснование необходимости создания мультисервисной корпоративной сети. Проектирование мультисервисной корпоративной сети. Расчет характеристик пропускной способности мультисервисных пакетных сетей при реализации метода инжиниринга трафика. Обоснование выбора оборудования на основе метода расстановки приоритетов. Расчет срока окупаемости проекта.
1343. Дослідження страхів у дітей старшого дошкільного віку 441.5 KB
  Емпіричне вивчення проблеми страху у дітей дошкільного віку. Загальнi уявлення про природу страху. Огляд використаних діагностичних методик при вивченні страху у дітей старшого дошкільного віку. Психолого-педагогічні рекомендації щодо позбавлення дитини від почуття страху.
1344. Вопросы и ответы к госэкзамену для механиков 361 KB
  Система ремонта автомобиля. Мойка и очистка деталей перед ремонтом. Восстановление деталей методами ремонтных размеров и дополнительной ремонтной детали. Технологический процесс нанесения лакокрасочных покрытий. Сборка резьбовых, прессовых соединений, зубчатых передач, соединений с подшипниками качения. Восстановление размеров изношенных поверхностей деталей методом пластической деформации.
1345. Экономический расчет показателей по производству и реализации детали Вас-шестерня 318 KB
  Краткая характеристика предприятия. План мероприятий, направленных на повышение эффективности производственно-хозяйственной деятельности предприятия в целях обеспечения выполнения показателей прогноза социально-экономического развития на год. Прогнозирование финансово-хозяйственной деятельности.
1346. Инженерная геология 794.5 KB
  Строение Земли и Земной коры. Размеры Земли. Ядро, мантия, земная кора. Их размеры и строение. Строение Земной коры. Оболочки Земли. Элементы геологической среды. Генетическая классификация горных пород. Характеристика магматических, метаморфических и осадочных пород. Принципы классифицирования в каждой группе. Магматические горные породы, условия образования, классификация. Структура, текстура. Описание характерных (из лотка).
1347. Ленточный транспортер. 409.5 KB
  Кинематический расчет привода. Определение частот вращения и вращающих моментов на валах. Выбор типа и схемы установки подшипников. Подшипники тихоходного вала (7111А). Подшипники приводного вала. Расчет на динамическую грузоподъемность.
1348. Методы решения дифференциальных уравнений. Метод Эйлера-Коши и усовершенствованный метод Эйлера 6.12 MB
  Численное дифференцирование. Усовершенствованный метод Эйлера. Решение задачи усовершенствованным методом Эйлера. Блок-схема алгоритма к усовершенствованному методу Эйлера. Реализация на ЭВМ тестового примера усовершенствованного метода Эйлера.
1349. Метод вузлових потенціалів 113 KB
  Визначити струми у всіх гілках схеми методом вузлових потенціалів. За нульовий потенціал прийняти потенціал вузла b.
1350. Разработка объемного гидропривода поступательного действия 148.5 KB
  Разработка принципиальной гидравлической схемы. Расчет и выбор силовых гидродвигателей, насоса и рабочей жидкости. Расчет и выбор гидроаппаратов. Расчет гидролиний. Тепловой расчет гидропривода. Расчет внешней характеристики гидропривода.