45493

Регрессионные модели

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Линейная одномерная модель: y =0 1 x Ei = Yi 0 1 Xi i = 1n где n число снятых экспериментально точек. Ошибки всех точек i от 1 до n следует сложить. Найдем значение sigm по формуле: Если в интервал Yэ Yт Yэ попадает 67 точек и более то выдвинутая нами гипотеза принимается. Если требуется большая уверенность в результате то используют дополнительное условие: в интервал Yэ 2 Yт Yэ 2 должны попасть 95 экспериментальных точек.

Русский

2013-11-17

85.5 KB

0 чел.

Регрессионные модели

По степени информированности исследователя об объекте существует деление объектов на три типа "ящиков".

  •  Черный (ничего об объекте неизвестно).
  •  Серый (известна внешняя структура объекта, неизвестны количественные значения параметров).
  •  Белый (об объекте известно все).

Вход и выход можно наблюдать и измерять. Содержимое ящика неизвестно. Задача - построить модель, зная вход и выход, то есть определить содержимое ящика.

  1.  Исследователь вносит гипотезу о структуре "ящика". 

Рассматривая экспериментально полученные данные, предположим, что они подчиняются линейной гипотезе, то есть выход y зависит от входа x линейно. Тогда:
y =A1 x + A0

  1.  Определим неизвестные коэффициенты модели A0 и A1. 

a) Линейная одномерная модель:

y =A0+ A1 x 

Ei = Yi - A0 - A1 Xi,   i = 1,n      , где n - число снятых экспериментально точек.

Ei- ошибка между теоретическим значением функции (A0 + A1 x) и экспериментальным Y у точки i. Ошибки всех точек (i от 1 до n) следует сложить. Чтобы положительные ошибки не компенсировали в сумме отрицательные, каждую из ошибок возводят в квадрат и складывают их значения в суммарную уже одного знака. Данный метод поэтому называется Методом наименьших квадратов.

Таким образом, F - суммарная ошибка. F является функцией двух переменных A0 и A1, так как меняя эти величины можно влиять на величину ошибки. Естественно, что суммарную ошибку следует минимизировать . Для этого найдем производные от F по каждой переменной и приравняем их нулю.

Получим систему из двух уравнений

Надо найти коэффициенты A0 и A1, для этого решаем систему методом Крамера, построив предварительно определитель следующего вида:

  1.  Проверка. 

Чтобы определить, принимается гипотеза или нет, нужно рассчитать ошибку между теоретической и экспериментальной зависимостями.



Найдем значение "sigma" по формуле:

Если в интервал (Yэ - Yт Yэ + ) попадает 67% точек и более, то выдвинутая нами гипотеза принимается. В противном случае, выбирают более сложную гипотезу или проверяют исходные данные. Если требуется большая уверенность в результате, то используют дополнительное условие: в интервал (Yэ - 2 Yт Yэ +2 ) должны попасть 95% экспериментальных точек.

Условие принятия гипотезы выведено из нормального распределения случайных ошибок.

b) Множественная линейная модель.

Предположим, что функциональная структура "ящика" имеет линейную зависимость, но количество входных сигналов, действующих одновременно, равно m.
Y = A0+ A1X1 + ... + Am Xm

Так как мы имеем экспериментальные данные о всех входах и выходах "черного" ящика, то можно вычислить ошибку между теоретическим значением Y и экспериментальным:


Ei = Yi - A0- A1X1 - ... - Am Xm,
тогда суммарная ошибка будет

Ошибку минимизируем. Ошибка зависит от выбора параметров
A0 , A1 , ..., Am . Для нахождения экстремума приравняем все частные производные F по неизвестным A0 , A1 , ..., Am к нулю:

Получим систему из (m+1) уравнения с (m+1) неизвестной, которую следует решить для определения A0 , A1 , ..., Am . Для решения системы уравнений построим определители:

Вычисляем коэффициенты A0 , A1 , ..., Am .

Дальше вычисляется ошибка и находится по аналогии с одномерной моделью. К линейной множественной модели приводятся многие нелинейные модели подстановками и переобозначениями

  1.  Проведем эксперимент - возьмем несколько точек например так 

  1.  Далее выбираем гипотезу допустим, для нашего примера 

Возьмем линейную функцию y = a x + b 

  1.  Теперь запишем уранение ошибки эксперимента 

  1.  Далее необходимо найти все коэффициенты уравнения

Для нахождения экстремума приравняем частные производные

функции F по переменным а и b к нулю:

По имеющимся экспериментальным данным построим следующую таблицу:

i

Xi

Yi

Xi2 

XiYi

1

2

3

4

6

2

5

4

25

20

3

7

7

49

49

4

8

4

64

32

5

10

8

100

80

6

11

7

121

77

7

14

9

196

126

Далее из таблицы берем данные для построения определителя:

Решая систему уравнений:
5 b + 57 a = 42
57 b + 559 a = 390

получим следующие коэффициенты а и b:
a = 0.51; b = 1.84

Таким образом, мы получили следующее линейное уравнение:

y = 0.51 x + 1.84

  1.  И теперь определяем, принимается гипотеза или нет.

Для этого необходимо рассчитать ошибку между теоретической и экспериментальной зависимостью .

  1.  Далее нужно найти значение "" по формуле: = sqrt(F/n)
    Если в интервал (Y
    э- YT Yэ+) попадает 67% точек и более, то выдвинутая нами гипотеза принимается.

    Для нашего примера. 

E1= 0.14 =>E1 2= 0.02
E
2 = -0.39 => E22 = 0.15
E
3 = 1.59 =>E3 2= 2.53
E
4 = -1.92 => E4 2= 3.69
E
5 = 1.06 =>E52= 1.12
E
6 = -0.45 => E6 2= 0.203
E
7 = 0.02 =>E7 2= 0.0004 

Отсюда:

Исходя из полученных данных сделайте вывод.
Для нашего примера он будет звучать так:
проверив все экспериментальные точки на вхождение в интервал (Yэ-YT Yэ+), мы находим, что около 71.6% точек попали в sigma-интервал. Следовательно наша гипотеза о линейности верна.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53000. Застосування методу колового тренування на уроках фізичної культури 495.5 KB
  Анотація Методична розробка комплексів колового тренування на уроках фізичної культури у 511 класах яка містить основні вимоги та набір фізичних вправ для комплексів колового тренування. Одним із сучасних методів організації і навчання учнів на уроці є метод колового тренування який запроваджується в школах нашої країни з 1966 – 1967 років. Колове тренування виникло як організаційнометодичний метод виконання фізичних вправ що спрямовані на комплексний розвиток рухових якостей учнів.
53001. Использование инновационных технологий на уроках физкультуры 409 KB
  Данное упражнение развивает: скоростно-силовые качества мышцы и связки ног укрепляет мышечно-связочный аппарат голеностопного сустава. Упражнение воспитывает: а организованность; б синхронность; в групповую совместимость командные качества. На уроках физической культуры практикуем как подготовительное разминочное прыжковое упражнение легкая атлетика гимнастика спортивные игры. Упражнение развивает: а ловкость.
53003. ФИЗКУЛЬТУРА В МИРЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 286.5 KB
  Играть можно как внутри класса разбивая его на команды так и между классами. В игре участвуют две команды. Выполнив правильно задание команды набирают баллы которые фиксируются на магнитной доске табло. После завершения игры подводятся итоги и команды награждаются.
53004. Фізкультхвилинки і рухливі ігри на уроках та в позаурочній діяльності молодших школярів 41 KB
  Я називаю предмет який є в нашому класі а ви показуєте на нього рукою коли я скажу розплющити очі ви побачите чи правильно показали Гра Гойдалки Стати прямо ноги нарізно руки в поясі. Гра Косар Встати зза парт випростатися ноги нарізно руки перед собою. Виконувати у середньому темпі 56 разів Гра Потягти канат Стати прямо руки нарізно підняти руки вгору вдихнути повітря робити такі рухи ніби тримаєшся за канат і тягнеш його трохи згинаючи коліна видихати повітря до рахунку 78. А як спить...
53006. Фізкультурні паузи як психофізіологічні аспекти уроку іноземної мови 29 KB
  Комплексність уроку іноземної мови, а також характер функцій видів мовленнєвої діяльності - бути метою або засобом навчання - створюють сприятливі умови для врахування зазначених вище даних у межах кожної навчальної задачі, що планується.
53007. ФИЗКУЛЬТМИНУТКИ НА УРОКАХ 113 KB
  Упражнения способствующие развитию мышц пальцев руки предплечья. Действия на счет 1 Действия на счет 2 Действия на счет 3 Действия на счет 4 Основная стойка руки вниз Руки к плечам Руки вверх Руки к плечам И. Руки в стороны Руки вверх Руки в стороны И. Руки в стороны Руки к плечам Руки в стороны И.
53008. ВИНИКНЕННЯ ФІЗИЧНОЇ КУЛЬТУРИ В СТАРОДАВНЬОМУ СВІТІ 63 KB
  Австралійцям широко були відомі різноманітні ігри та розваги. У первісних народів Америки індіанців ескімосів та ін були відомі ігри з киданням мяча в ціль. Первісні племена Африки широко застосовували у вихованні дітей підлітків та юнаків фехтування на палицях боротьбу ігри з бігом і стрибками стрільбу з лука вправи з розгойдуванням на ліанах з подальшими стрибками. Самою ранньою формою фізичного виховання були колективні ігри.