45493

Регрессионные модели

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Линейная одномерная модель: y =0 1 x Ei = Yi 0 1 Xi i = 1n где n число снятых экспериментально точек. Ошибки всех точек i от 1 до n следует сложить. Найдем значение sigm по формуле: Если в интервал Yэ Yт Yэ попадает 67 точек и более то выдвинутая нами гипотеза принимается. Если требуется большая уверенность в результате то используют дополнительное условие: в интервал Yэ 2 Yт Yэ 2 должны попасть 95 экспериментальных точек.

Русский

2013-11-17

85.5 KB

1 чел.

Регрессионные модели

По степени информированности исследователя об объекте существует деление объектов на три типа "ящиков".

  •  Черный (ничего об объекте неизвестно).
  •  Серый (известна внешняя структура объекта, неизвестны количественные значения параметров).
  •  Белый (об объекте известно все).

Вход и выход можно наблюдать и измерять. Содержимое ящика неизвестно. Задача - построить модель, зная вход и выход, то есть определить содержимое ящика.

  1.  Исследователь вносит гипотезу о структуре "ящика". 

Рассматривая экспериментально полученные данные, предположим, что они подчиняются линейной гипотезе, то есть выход y зависит от входа x линейно. Тогда:
y =A1 x + A0

  1.  Определим неизвестные коэффициенты модели A0 и A1. 

a) Линейная одномерная модель:

y =A0+ A1 x 

Ei = Yi - A0 - A1 Xi,   i = 1,n      , где n - число снятых экспериментально точек.

Ei- ошибка между теоретическим значением функции (A0 + A1 x) и экспериментальным Y у точки i. Ошибки всех точек (i от 1 до n) следует сложить. Чтобы положительные ошибки не компенсировали в сумме отрицательные, каждую из ошибок возводят в квадрат и складывают их значения в суммарную уже одного знака. Данный метод поэтому называется Методом наименьших квадратов.

Таким образом, F - суммарная ошибка. F является функцией двух переменных A0 и A1, так как меняя эти величины можно влиять на величину ошибки. Естественно, что суммарную ошибку следует минимизировать . Для этого найдем производные от F по каждой переменной и приравняем их нулю.

Получим систему из двух уравнений

Надо найти коэффициенты A0 и A1, для этого решаем систему методом Крамера, построив предварительно определитель следующего вида:

  1.  Проверка. 

Чтобы определить, принимается гипотеза или нет, нужно рассчитать ошибку между теоретической и экспериментальной зависимостями.



Найдем значение "sigma" по формуле:

Если в интервал (Yэ - Yт Yэ + ) попадает 67% точек и более, то выдвинутая нами гипотеза принимается. В противном случае, выбирают более сложную гипотезу или проверяют исходные данные. Если требуется большая уверенность в результате, то используют дополнительное условие: в интервал (Yэ - 2 Yт Yэ +2 ) должны попасть 95% экспериментальных точек.

Условие принятия гипотезы выведено из нормального распределения случайных ошибок.

b) Множественная линейная модель.

Предположим, что функциональная структура "ящика" имеет линейную зависимость, но количество входных сигналов, действующих одновременно, равно m.
Y = A0+ A1X1 + ... + Am Xm

Так как мы имеем экспериментальные данные о всех входах и выходах "черного" ящика, то можно вычислить ошибку между теоретическим значением Y и экспериментальным:


Ei = Yi - A0- A1X1 - ... - Am Xm,
тогда суммарная ошибка будет

Ошибку минимизируем. Ошибка зависит от выбора параметров
A0 , A1 , ..., Am . Для нахождения экстремума приравняем все частные производные F по неизвестным A0 , A1 , ..., Am к нулю:

Получим систему из (m+1) уравнения с (m+1) неизвестной, которую следует решить для определения A0 , A1 , ..., Am . Для решения системы уравнений построим определители:

Вычисляем коэффициенты A0 , A1 , ..., Am .

Дальше вычисляется ошибка и находится по аналогии с одномерной моделью. К линейной множественной модели приводятся многие нелинейные модели подстановками и переобозначениями

  1.  Проведем эксперимент - возьмем несколько точек например так 

  1.  Далее выбираем гипотезу допустим, для нашего примера 

Возьмем линейную функцию y = a x + b 

  1.  Теперь запишем уранение ошибки эксперимента 

  1.  Далее необходимо найти все коэффициенты уравнения

Для нахождения экстремума приравняем частные производные

функции F по переменным а и b к нулю:

По имеющимся экспериментальным данным построим следующую таблицу:

i

Xi

Yi

Xi2 

XiYi

1

2

3

4

6

2

5

4

25

20

3

7

7

49

49

4

8

4

64

32

5

10

8

100

80

6

11

7

121

77

7

14

9

196

126

Далее из таблицы берем данные для построения определителя:

Решая систему уравнений:
5 b + 57 a = 42
57 b + 559 a = 390

получим следующие коэффициенты а и b:
a = 0.51; b = 1.84

Таким образом, мы получили следующее линейное уравнение:

y = 0.51 x + 1.84

  1.  И теперь определяем, принимается гипотеза или нет.

Для этого необходимо рассчитать ошибку между теоретической и экспериментальной зависимостью .

  1.  Далее нужно найти значение "" по формуле: = sqrt(F/n)
    Если в интервал (Y
    э- YT Yэ+) попадает 67% точек и более, то выдвинутая нами гипотеза принимается.

    Для нашего примера. 

E1= 0.14 =>E1 2= 0.02
E
2 = -0.39 => E22 = 0.15
E
3 = 1.59 =>E3 2= 2.53
E
4 = -1.92 => E4 2= 3.69
E
5 = 1.06 =>E52= 1.12
E
6 = -0.45 => E6 2= 0.203
E
7 = 0.02 =>E7 2= 0.0004 

Отсюда:

Исходя из полученных данных сделайте вывод.
Для нашего примера он будет звучать так:
проверив все экспериментальные точки на вхождение в интервал (Yэ-YT Yэ+), мы находим, что около 71.6% точек попали в sigma-интервал. Следовательно наша гипотеза о линейности верна.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

61934. Организация обучения математике учащихся специальной (коррекционной) школы VIII вида: Урок математики 23.25 KB
  Организация обучения математике учащихся специальной коррекционной школы VIII вида: Урок математики. Контроль и учёт состояния математической подготовки учащихся. Домашняя работа по математике содержание объем учет индивидуальных возможностей учащихся ее значение в системе математической подготовки школьников с нарушением интеллекта. готовность учащихся к уроку; четкость указаний учителя; организация внимания учащихся; продолжительность этапа; проверка знаний учащихся домашнее задание: сочетание фронтальной и углубленной проверки...
61936. Народная праздничная одежда 19.59 KB
  Сообщение темы урока Учитель: Красочна и нарядна русская народная одежда. Рассказ учителя и беседа с учениками Учитель: Ребята представьте себе такую картину. Учитель: Какие простые имена вы можете назвать Ответ: Машенька Дуняша Аленушка...
61937. Оркестрова інтермедія написана Миколою Римським-Корсаковим 15.75 KB
  Ласкавинки посилаємо Працювати починаємо Перевірка готовності до уроку Любі діти сьогодні на уроці вам нічого не знадобиться тож відкладіть усе зайве сядьте рівнесенько і налаштуйтесь на плідну працю Повідомлення теми і мети уроку Вступне слово вчителя...
61938. Русская классическая музыка 17.12 KB
  Она ему так понравилась что он ее использовал в своем более крупном произведении который называется Концерт может кто-то скажет что такое концерт ответы детей Это произведение в котором солист и оркестр как бы соревнуются между собой.
61939. Методические особенности использования музыки на уроках физкультуры в школе 14.77 KB
  Лучше всего этим требованиям отвечают учебные задания выполняемые учащимися во время разминки во вводной части урока во время совершенствования ранее изученных упражнений и специальных двигательных навыков в основной части а также во время выполнения...
61940. Формирование общественного мнения отделением информации и общественных связей Управления внутренних дел по Владимирской области 412 KB
  Основная цель дипломной работы заключается в комплексном социологическом исследовании связей с общественностью органов внутренних дел как функции управления, а также выработке научно-практических рекомендаций, направленных на повышение эффективности деятельности пресс-службы органов внутренних дел Владимирской области посредствам формирования развитой системы социальных коммуникации.
61941. На пороге Экологической катастрофы 31.88 KB
  Цели: расширить представление детей о взаимосвязях в природе, о способах сохранения и оказания помощи природе; ознакомить с фактами уничтожения природы в России; способствовать формированию положительной нравственной оценки таких качеств личности, как экологическая культура, экологическая грамотность...