45493

Регрессионные модели

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Линейная одномерная модель: y =0 1 x Ei = Yi 0 1 Xi i = 1n где n число снятых экспериментально точек. Ошибки всех точек i от 1 до n следует сложить. Найдем значение sigm по формуле: Если в интервал Yэ Yт Yэ попадает 67 точек и более то выдвинутая нами гипотеза принимается. Если требуется большая уверенность в результате то используют дополнительное условие: в интервал Yэ 2 Yт Yэ 2 должны попасть 95 экспериментальных точек.

Русский

2013-11-17

85.5 KB

1 чел.

Регрессионные модели

По степени информированности исследователя об объекте существует деление объектов на три типа "ящиков".

  •  Черный (ничего об объекте неизвестно).
  •  Серый (известна внешняя структура объекта, неизвестны количественные значения параметров).
  •  Белый (об объекте известно все).

Вход и выход можно наблюдать и измерять. Содержимое ящика неизвестно. Задача - построить модель, зная вход и выход, то есть определить содержимое ящика.

  1.  Исследователь вносит гипотезу о структуре "ящика". 

Рассматривая экспериментально полученные данные, предположим, что они подчиняются линейной гипотезе, то есть выход y зависит от входа x линейно. Тогда:
y =A1 x + A0

  1.  Определим неизвестные коэффициенты модели A0 и A1. 

a) Линейная одномерная модель:

y =A0+ A1 x 

Ei = Yi - A0 - A1 Xi,   i = 1,n      , где n - число снятых экспериментально точек.

Ei- ошибка между теоретическим значением функции (A0 + A1 x) и экспериментальным Y у точки i. Ошибки всех точек (i от 1 до n) следует сложить. Чтобы положительные ошибки не компенсировали в сумме отрицательные, каждую из ошибок возводят в квадрат и складывают их значения в суммарную уже одного знака. Данный метод поэтому называется Методом наименьших квадратов.

Таким образом, F - суммарная ошибка. F является функцией двух переменных A0 и A1, так как меняя эти величины можно влиять на величину ошибки. Естественно, что суммарную ошибку следует минимизировать . Для этого найдем производные от F по каждой переменной и приравняем их нулю.

Получим систему из двух уравнений

Надо найти коэффициенты A0 и A1, для этого решаем систему методом Крамера, построив предварительно определитель следующего вида:

  1.  Проверка. 

Чтобы определить, принимается гипотеза или нет, нужно рассчитать ошибку между теоретической и экспериментальной зависимостями.



Найдем значение "sigma" по формуле:

Если в интервал (Yэ - Yт Yэ + ) попадает 67% точек и более, то выдвинутая нами гипотеза принимается. В противном случае, выбирают более сложную гипотезу или проверяют исходные данные. Если требуется большая уверенность в результате, то используют дополнительное условие: в интервал (Yэ - 2 Yт Yэ +2 ) должны попасть 95% экспериментальных точек.

Условие принятия гипотезы выведено из нормального распределения случайных ошибок.

b) Множественная линейная модель.

Предположим, что функциональная структура "ящика" имеет линейную зависимость, но количество входных сигналов, действующих одновременно, равно m.
Y = A0+ A1X1 + ... + Am Xm

Так как мы имеем экспериментальные данные о всех входах и выходах "черного" ящика, то можно вычислить ошибку между теоретическим значением Y и экспериментальным:


Ei = Yi - A0- A1X1 - ... - Am Xm,
тогда суммарная ошибка будет

Ошибку минимизируем. Ошибка зависит от выбора параметров
A0 , A1 , ..., Am . Для нахождения экстремума приравняем все частные производные F по неизвестным A0 , A1 , ..., Am к нулю:

Получим систему из (m+1) уравнения с (m+1) неизвестной, которую следует решить для определения A0 , A1 , ..., Am . Для решения системы уравнений построим определители:

Вычисляем коэффициенты A0 , A1 , ..., Am .

Дальше вычисляется ошибка и находится по аналогии с одномерной моделью. К линейной множественной модели приводятся многие нелинейные модели подстановками и переобозначениями

  1.  Проведем эксперимент - возьмем несколько точек например так 

  1.  Далее выбираем гипотезу допустим, для нашего примера 

Возьмем линейную функцию y = a x + b 

  1.  Теперь запишем уранение ошибки эксперимента 

  1.  Далее необходимо найти все коэффициенты уравнения

Для нахождения экстремума приравняем частные производные

функции F по переменным а и b к нулю:

По имеющимся экспериментальным данным построим следующую таблицу:

i

Xi

Yi

Xi2 

XiYi

1

2

3

4

6

2

5

4

25

20

3

7

7

49

49

4

8

4

64

32

5

10

8

100

80

6

11

7

121

77

7

14

9

196

126

Далее из таблицы берем данные для построения определителя:

Решая систему уравнений:
5 b + 57 a = 42
57 b + 559 a = 390

получим следующие коэффициенты а и b:
a = 0.51; b = 1.84

Таким образом, мы получили следующее линейное уравнение:

y = 0.51 x + 1.84

  1.  И теперь определяем, принимается гипотеза или нет.

Для этого необходимо рассчитать ошибку между теоретической и экспериментальной зависимостью .

  1.  Далее нужно найти значение "" по формуле: = sqrt(F/n)
    Если в интервал (Y
    э- YT Yэ+) попадает 67% точек и более, то выдвинутая нами гипотеза принимается.

    Для нашего примера. 

E1= 0.14 =>E1 2= 0.02
E
2 = -0.39 => E22 = 0.15
E
3 = 1.59 =>E3 2= 2.53
E
4 = -1.92 => E4 2= 3.69
E
5 = 1.06 =>E52= 1.12
E
6 = -0.45 => E6 2= 0.203
E
7 = 0.02 =>E7 2= 0.0004 

Отсюда:

Исходя из полученных данных сделайте вывод.
Для нашего примера он будет звучать так:
проверив все экспериментальные точки на вхождение в интервал (Yэ-YT Yэ+), мы находим, что около 71.6% точек попали в sigma-интервал. Следовательно наша гипотеза о линейности верна.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35980. Личность в системе межличностных отношений 40 KB
  Процесс обучения его сущность функции виды 2. Процесс обучения его сущность функции виды Дидактика это наука об обучении и образовании их целям содержании методах средствах и организационных формах. Дидактика это область педагогики исследующая закономерности процесса обучения. Предмет дидактики закономерности и принципы обучения его цели научные основы содержания образования методы формы средства.
35981. Мотивационная сфера личности. Содержание образования как фундамент культуры личности 40 KB
  Содержание образования как фундамент культуры личности Образова́ние целенаправленный процесс воспитания и обучения в интересах человека общества государства сопровождающийся достижения гражданином обучающимся установленных государством образовательных уровней Культура это предпосылка и результат образованности человека. Под содержанием образования следует понимать: 1 систему научных знаний практических умений и навыков; 2 систему мировоззренческих и нравственноэстетических идей которые необходимо приобрести учащимся в процессе...
35982. Принципы научной лексикографии и фразеологии. Словари РЯ 45 KB
  Словари РЯ. Лингвистические словари бывают одноязычными двуязычными и многоязычными. К числу одноязычных лингвистических словарей относятся: словари синонимов омонимов антонимов паронимов исторические этимологические диалектологические фразеологические словари иностранных слов нормативные и др. Различаются словари академического типа и словарисправочники.
35984. Этапы развития PR в США 44.5 KB
  Общепринято выделять два основных этапа развития PR в США до конца 19 века и 20 век. Начало 17 века 10е годы 19 века. 10е годы 19 века конец 19 века. Начало 20 века середина 40х годов 20 века.
35985. Абстрактный экспрессионизм 44.38 KB
  Портрет и мечта Portrit nd Drem 1953 Пасха и тотем Ester nd the Totem 1953 Серость океана Ocen Greyness 1953 Глубина The Deep Марк Ротко Эмиграция в США Глава семейства Ротковичей опасаясь того что детей заберут на службу в царскую армию решил эмигрировать в США следуя примеру многочисленных еврейских семей бежавших от погромов. В Америку уже уехали двое братьев Якова Ротковича которые обосновались в Портленде штат Орегон и занялись производством одежды. Раннее творчество...