45493

Регрессионные модели

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Линейная одномерная модель: y =0 1 x Ei = Yi 0 1 Xi i = 1n где n число снятых экспериментально точек. Ошибки всех точек i от 1 до n следует сложить. Найдем значение sigm по формуле: Если в интервал Yэ Yт Yэ попадает 67 точек и более то выдвинутая нами гипотеза принимается. Если требуется большая уверенность в результате то используют дополнительное условие: в интервал Yэ 2 Yт Yэ 2 должны попасть 95 экспериментальных точек.

Русский

2013-11-17

85.5 KB

0 чел.

Регрессионные модели

По степени информированности исследователя об объекте существует деление объектов на три типа "ящиков".

  •  Черный (ничего об объекте неизвестно).
  •  Серый (известна внешняя структура объекта, неизвестны количественные значения параметров).
  •  Белый (об объекте известно все).

Вход и выход можно наблюдать и измерять. Содержимое ящика неизвестно. Задача - построить модель, зная вход и выход, то есть определить содержимое ящика.

  1.  Исследователь вносит гипотезу о структуре "ящика". 

Рассматривая экспериментально полученные данные, предположим, что они подчиняются линейной гипотезе, то есть выход y зависит от входа x линейно. Тогда:
y =A1 x + A0

  1.  Определим неизвестные коэффициенты модели A0 и A1. 

a) Линейная одномерная модель:

y =A0+ A1 x 

Ei = Yi - A0 - A1 Xi,   i = 1,n      , где n - число снятых экспериментально точек.

Ei- ошибка между теоретическим значением функции (A0 + A1 x) и экспериментальным Y у точки i. Ошибки всех точек (i от 1 до n) следует сложить. Чтобы положительные ошибки не компенсировали в сумме отрицательные, каждую из ошибок возводят в квадрат и складывают их значения в суммарную уже одного знака. Данный метод поэтому называется Методом наименьших квадратов.

Таким образом, F - суммарная ошибка. F является функцией двух переменных A0 и A1, так как меняя эти величины можно влиять на величину ошибки. Естественно, что суммарную ошибку следует минимизировать . Для этого найдем производные от F по каждой переменной и приравняем их нулю.

Получим систему из двух уравнений

Надо найти коэффициенты A0 и A1, для этого решаем систему методом Крамера, построив предварительно определитель следующего вида:

  1.  Проверка. 

Чтобы определить, принимается гипотеза или нет, нужно рассчитать ошибку между теоретической и экспериментальной зависимостями.



Найдем значение "sigma" по формуле:

Если в интервал (Yэ - Yт Yэ + ) попадает 67% точек и более, то выдвинутая нами гипотеза принимается. В противном случае, выбирают более сложную гипотезу или проверяют исходные данные. Если требуется большая уверенность в результате, то используют дополнительное условие: в интервал (Yэ - 2 Yт Yэ +2 ) должны попасть 95% экспериментальных точек.

Условие принятия гипотезы выведено из нормального распределения случайных ошибок.

b) Множественная линейная модель.

Предположим, что функциональная структура "ящика" имеет линейную зависимость, но количество входных сигналов, действующих одновременно, равно m.
Y = A0+ A1X1 + ... + Am Xm

Так как мы имеем экспериментальные данные о всех входах и выходах "черного" ящика, то можно вычислить ошибку между теоретическим значением Y и экспериментальным:


Ei = Yi - A0- A1X1 - ... - Am Xm,
тогда суммарная ошибка будет

Ошибку минимизируем. Ошибка зависит от выбора параметров
A0 , A1 , ..., Am . Для нахождения экстремума приравняем все частные производные F по неизвестным A0 , A1 , ..., Am к нулю:

Получим систему из (m+1) уравнения с (m+1) неизвестной, которую следует решить для определения A0 , A1 , ..., Am . Для решения системы уравнений построим определители:

Вычисляем коэффициенты A0 , A1 , ..., Am .

Дальше вычисляется ошибка и находится по аналогии с одномерной моделью. К линейной множественной модели приводятся многие нелинейные модели подстановками и переобозначениями

  1.  Проведем эксперимент - возьмем несколько точек например так 

  1.  Далее выбираем гипотезу допустим, для нашего примера 

Возьмем линейную функцию y = a x + b 

  1.  Теперь запишем уранение ошибки эксперимента 

  1.  Далее необходимо найти все коэффициенты уравнения

Для нахождения экстремума приравняем частные производные

функции F по переменным а и b к нулю:

По имеющимся экспериментальным данным построим следующую таблицу:

i

Xi

Yi

Xi2 

XiYi

1

2

3

4

6

2

5

4

25

20

3

7

7

49

49

4

8

4

64

32

5

10

8

100

80

6

11

7

121

77

7

14

9

196

126

Далее из таблицы берем данные для построения определителя:

Решая систему уравнений:
5 b + 57 a = 42
57 b + 559 a = 390

получим следующие коэффициенты а и b:
a = 0.51; b = 1.84

Таким образом, мы получили следующее линейное уравнение:

y = 0.51 x + 1.84

  1.  И теперь определяем, принимается гипотеза или нет.

Для этого необходимо рассчитать ошибку между теоретической и экспериментальной зависимостью .

  1.  Далее нужно найти значение "" по формуле: = sqrt(F/n)
    Если в интервал (Y
    э- YT Yэ+) попадает 67% точек и более, то выдвинутая нами гипотеза принимается.

    Для нашего примера. 

E1= 0.14 =>E1 2= 0.02
E
2 = -0.39 => E22 = 0.15
E
3 = 1.59 =>E3 2= 2.53
E
4 = -1.92 => E4 2= 3.69
E
5 = 1.06 =>E52= 1.12
E
6 = -0.45 => E6 2= 0.203
E
7 = 0.02 =>E7 2= 0.0004 

Отсюда:

Исходя из полученных данных сделайте вывод.
Для нашего примера он будет звучать так:
проверив все экспериментальные точки на вхождение в интервал (Yэ-YT Yэ+), мы находим, что около 71.6% точек попали в sigma-интервал. Следовательно наша гипотеза о линейности верна.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5698. Охорона праці. Системи управління охороною праці 373.27 KB
  Міжнародні норми в галузі охорони праці Соціальне партнерство (соціальний діалог) в охороні праці. Соціальне партнерство як принцип законодавчого та нормативно-правового забезпечення охорони праці. Соціальний діалог у Європейському Союзі (ЄС...
5699. Гроші та кредит. Роль грошей в економіці, їх необхідність, сутність та функції 1.32 MB
  Тема 1. Роль грошей в економіці, їх необхідність, сутність та функції. Питання, які необхідно розглянути. Необхідність та еволюція грошей Сутність грошей. Функції грошей. Сутність раціонування. Грошові потоки в кругообігу продуктів і ...
5700. Інтелектуальна власність. Поняття про систему інтелектуальної власності та авторського права 374.5 KB
  Вступ У всьому світі дедалі більшого значення набуває інтелектуальна власність, тому що питома вага прав на інтелектуальні продукти у внутрішньому і зовнішньому товарному обігу не припиняє збільшуватись. Практично будь-який товар і будь яка послуга,...
5701. Бухгалтерський облік. Загальна теорія 348.5 KB
  Тема 1. Господарський облік, його суть і характеристика Мета лекції – сформувати систему знань про поняття та суть бухгалтерського обліку. План 1.1. Поняття та суть бухгалтерського обліку. Користувачі бухгалтерської інформації. Бухгалтерський о...
5702. Философия. Лекционный курс. Предварительное определение предмета философии 431.84 KB
  Введение в предмет философского знания 1.Предварительное определение предмета философии Философия –переводится с греческого на русский как любовь к мудрости. По преданию этот термин возник благодаря Пифагору...
5703. Методологічні засади статистики 134.5 KB
  Методологічні засади статистики План Загальне уявлення про статистику та короткі відомості із її історії Предмет статистики Основні категорії статистики Організація і завдання статистики Загальне уявлення про статистику та ко...
5704. Поняття, предмет, метод, система і функції конституційного права 103.5 KB
  Поняття, предмет, метод, система і функції конституційного права Для нормального життя люди постійно повинні їсти, пити, мати одяг, взуття, задовольняти свої духовні потреби. Тільки на цій основі вони можуть брати участь у виробництві. При цьому слі...
5705. Поняття професійної етики та її категорії 56.5 KB
  Поняття професійної етики та її категорії План Поняття про етику як науку. Основні категорії етики. Мораль як суспільне явище. Поняття про етикет та професійну етику. Етичний бізнес - це чесність, порядність, повага до п...
5706. Редагування текстів в MS Word 40.5 KB
  Редагування текстів Автозаміна Автозаміна - це автоматичне виправлення помилок і неправильних слів. Крім того, автозаміна дає змогу за допомогою кількох символів вставити великий текстовий фрагмент. Для настроювання механізму автозаміни потрібн...