45781

Элементы кристаллографии

Лекция

Физика

Постоянная решётки, или, что то же самое, параметр решётки - размеры элементарной кристаллической ячейки кристалла. В общем случае, элементарная ячейка представляет собой параллелепипед с различными длинами рёбер, обычно эти длины обозначают как a, b, c. Но, в некоторых частных случаях кристаллической структуры, длины этих рёбер совпадают

Русский

2014-10-12

159 KB

10 чел.

Лекция 3

Элементы кристаллографии.

1.1. Параметры решетки, базис, координационное число.

Постоянная решётки, или, что то же самое, параметр решётки - размеры элементарной кристаллической ячейки кристалла. В общем случае, элементарная ячейка представляет собой параллелепипед с различными длинами рёбер, обычно эти длины обозначают как a, b, c. Но, в некоторых частных случаях кристаллической структуры, длины этих рёбер совпадают. Если к тому же, выходящие из одной вершины рёбра равны и взаимно перпендикулярны, то такую структуру называют кубической, структуру с двумя равными рёбрами, находящимися под углом 120 градусов, и третьим ребром, перпендикулярным им, называют гексагональной.

Вообще говоря, параметры элементарной ячейки описывается 6-ю числами: 3-мя длинами рёбер и 3-мя углами между рёбрами, принадлежащими одной вершине параллелепипеда.

Например, элементарная ячейка алмаза - кубическая, и имеет параметр решётки 0,357 нм при температуре 300 К.

В литературе обычно не приводят все шесть параметров решетки, только среднюю длину рёбер ячейки и тип решётки.

Размерность параметров решётки a, b, c в СИ - метры, величину, ввиду малости, обычно приводят в нм или ангстремах (1 A = 0,1 нм).

Параметры решётки могут быть экспериментально определены методами ренгеноструктурного анализа (исторически первый метод, развитый в начале XX века) или, начиная с конца XX века, - атомно-силовой микроскопией.

Параметры решётки важны при эпитаксиальном выращивании тонких монокристаллических слоев другого материала на поверхности иного монокристалла - подложки. При значительной разнице параметров решётки материалов трудно получить монокристалличность и бездислокационность наращиваемого слоя . Например, в полупроводниковой технологии, для выращивания эпитаксиальных слоёв монокристаллического кремния, в качестве гетероподложки обычно используют сапфир (монокристалл оксида алюминия), так как оба имеют практически равные постоянные решётки, у кремния - кубическая типа алмаза, у сапфира - тригональная.

Определение параметров элементарной кристаллической ячейки в виде параллелепипеда с параметрами длины рёбер a, b, c и с углами между рёбрами α,β,γ

Постоянство параметров решётки разнородных материалов позволяет получить слоистые, с толщиной слоев в единицы нм сэндвичи разных полупроводников. Этот метод обеспечивает получение широкой запрещённой зоны во внутреннем слое полупроводника и используется при производстве высокоэффективных светодиодов и полупроводниковых лазеров.

Обыкновенно, параметры решётки подложки и наращиваемого слоя выбирают так, чтобы обеспечить минимум напряжений в слое плёнки.

Другим способом согласования параметров решёток является метод формирования переходного слоя между плёнкой и подложкой, в котором параметр решётки изменяется плавно (например, через слой твёрдого раствора с постепенным замещением атомов вещества подложки атомами выращиваемой плёнки, так чтобы параметр решётки слоя твёрдого раствора у самой пленки совпадал с этим параметром плёнки).

Например, слой фосфида индия-галлия с шириной запрещённой зоны 1,9 эВ может быть выращен на пластине арсенида галлия с помощью метода промежуточного слоя.

1.2. Плотность упаковки атомов в решетке.

Принцип плотной упаковки атомов

Атомы и ионы большинства химических элементов обладают сферической симметрией. Если атомы представить в виде малых твердых несжимаемых шаров, между которыми действуют силы взаимного притяжения и отталкивания, то особенности строения большинства кристаллов можно условно рассматривать как пространственную упаковку таких шаров. Шары укладываются так, чтобы упаковка обладала наибольшей симметрией и компактностью. Это условие выполняется, если каждый шар соприкасается с шестью шарами. При этом в плоском слое каждый шар окружен шестью треугольными лунками (пустотами), а каждая из лунок − тремя шарами (рис. 1.15) [54, 74]. Обозначим шары буквами А, а пустоты − буквами В и С.

 

Рис. 1.15. Плотная упаковка шаров:

а − плоский слой шаров одинакового радиуса; б − тот же слой, представленный в виде сетки, узлами которой являются центры треугольных пустот,
образуемых шарами А

 

Каждая из пустот типа В и С окружена тремя шарами, следовательно, каждому из этих трех шаров она принадлежит на одну треть. Значит, на каждый шар приходится  пустоты. Если укладывать следующий слой шаров, то их можно располагать так, чтобы каждый шар следующего слоя лег бы в лунку, образованную тремя соседними шарами. Поскольку треугольных пустот в два раза больше, чем шаров, то следующий слой можно расположить двумя способами: либо в углублениях В, либо С. Такая ситуация возникает при укладке каждого следующего слоя, следовательно, существует бесконечное число возможностей упаковывать шары, причем каждой из них должна соответствовать одна и та же плотность заполнения пространства шарами, равная 74,05 %.

Однако среди большого числа реальных кристаллических структур число таких упаковок ограничено. Чаще всего встречаются плотнейшая гексагональная (рис. 1.16) и плотнейшая кубическая (рис. 1.17) упаковки. В гексагональной плотноупакованной (ГПУ) структуре слой В повернут на 60о относительно слоя А. Последовательность укладки в этой структуре АВАВАВ… или АСАСАС... В кубической упаковке слои располагаются перпендикулярно направлению [111] в гранецентрированной кубической (ГЦК) решетке и чередование слоев имеет вид АВСАВСАВС...

 

Рис. 1.16. Гексагональная
плотнейшая упаковка1

 

Рис. 1.17. Кубическая плотная упаковка:

а − упаковка шаров в ГЦК структуре;
б − кубическая гранецентрированная
элементарная ячейка

 

Для использования принципа плотной упаковки в качестве модели структуры кристаллов необходимо учитывать число и вид пустот, окружающих каждый атом. В плоском слое на шар приходится две треугольные пустоты, в пространстве каждый шар окружают пустоты двух сортов: тетраэдрические и октаэдрические.

Если треугольную пустоту плоского слоя прикрыть сверху третьим шаром, то пустота в обоих слоях оказывается окружена четырьмя шарами, центры которых образуют правильный тетраэдр. Такая пустота называется тетраэдрической (рис. 1.18, а). Если же треугольная пустота второго слоя шаров находится над пустотой первого слоя, тогда возникающая при этом пустота окружена шестью шарами, располагающимися по вершинам октаэдра. Соответственно пустоту называют октаэдрической (рис. 1.18, б).

Число тетраэдрических пустот в плотнейшей упаковке в два раза больше числа октаэдрических. Докажем это утверждение. Каждая октаэдрическая пустота окружена в пространстве шестью атомами, а каждый атом окружен шестью октаэдрическими пустотами. Таким образом, каждая такая пустота принадлежит данному атому на  и, следовательно, на каждый атом приходится  октаэдрическая пустота. С другой стороны, каждый атом одновременно окружен восемью тетраэдрическими пустотами, а каждая из них окружена четырьмя атомами. Следовательно, на каждый атом приходится  тетраэдрические пустоты.

 

Рис. 1.18. Пустоты в плотной упаковке шаров:

а – тетраэдрическая; б – октаэдрическая пустоты (шары нижнего слоя заштрихованы) [74]

 

Доля пространства, занимаемого атомами элементарной ячейки от объема ячейки называется коэффициентом упаковки  [%], где  - объем, занимаемый атомом,  -  количество атомов, приходящихся на элементарную ячейку,  - объем элементарной ячейки.

Важной характеристикой кристаллической структуры является координационное число n, которое равно числу ближайших соседей, окружающих данный атом. Например, в кубической и гексагональной плотных упаковках , а коэффициент упаковки  %. В кубической объемноцентрированной структуре ,  %.

В модели плотноупакованной структуры существует возможность размещения между основными атомами атомов меньшего размера так, чтобы они касались окружающих атомов. Если принять радиус основного шара за единицу, то радиусы шаров, которые можно разместить в тетраэдрических и октаэдрических пустотах составляют соответственно 0,22 и 0,41.

Принцип плотной упаковки атомов играет важную роль в определении типа кристаллических структур различных классов веществ. Этот принцип определяет конфигурацию частиц в тех случаях, когда между ними действуют ненасыщенные и ненаправленные связи. В этих случаях энергетически более выгодны структуры с возможно большими координационными числами. С точки зрения плотнейшей упаковки, например, особенно просто описываются структуры окислов сульфидов и галогенидов, основу плотнейшей упаковки в которых составляют крупные анионы кислорода, серы и галогенов. Катионы, входящие в кристалл, распределяются в пустотах плотнейшей упаковки по определенному симметричному узору.

1.3. и 1.4. Индексация кристаллографических плоскостей и направлений.

 

    Упорядоченность кристаллического строения в пространственной решетке позволяет выделить отдельные кристаллографические направления и плоскости.

    Кристаллографические направления - это характерные прямые линии, выходящие из точки отсчета, вдоль которых в кристаллической решетке располагаются атомы. Точками отсчета, могут служить вершины куба, а кристаллографическими направлениями - его ребра и диагонали, а также диагонали граней (рис. 1.4, а).

 

Рис. 1.4. Кристаллографические направления и плоскости в кристаллической решетке: а) - основные направления и их обозначение; б), в), г) - основные плоскости и их обозначение

    Кристаллографическими плоскостями являются, например, плоскости граней кубов (рис. 1.4, б), а также их различные диагональные плоскости вместе с находящимися на них атомами (рис. 1.4, в, г). Для ГПУ-решеток кристаллографическими плоскостями могут быть плоскости оснований (рис. 1.2, г).

    Для определения индекса какого-либо направления необходимо найти индекс ближайшего к данной точке отсчета атома, находящегося на данном направлении. Например, индекс ближайшего атома вдоль оси ОХ обозначается цифрами 100 (рис. 1.4,а). Эти цифры представляют собой координаты упомянутого атома относительно точки О, выраженные через количество параметров вдоль осей OX, OY и OZ соответственно.

    Индексы направления ОХ и параллельных ему направлений обозначаются [100]. Соответственно направления OY и OZ обозначаются [010] и [001]. Кристаллографические направления вдоль диагоналей граней XOZ, XOY и YOZ обозначают [101], [110] и [011]. Пользуясь указанной методикой, можно определить индекс любого направления. Например, индекс направления вдоль диагонали куба выразится так: [111].

    Для определения индекса кристаллографической плоскости необходимо вначале найти координаты ближайших точек ее пересечения с осями координат, проведенными из точки отсчета О. Затем взять обратные им величины и записать их в круглых скобках в обычной последовательности. Например, координатами точек пересечения с осями координат ближайшей плоскости, параллельной плоскости XOY, выраженными через параметры решеток, являются числа Ґ, Ґ, 1 (см. рис. 1.4, б). Поэтому индекс этой плоскости можно записать в виде (001).

    Индексами плоскостей, параллельных плоскостям XOZ и YOZ, окажутся выражения (010) и (100) (рис. 1.4, б). Индекс вертикальной диагональной плоскости куба выразится через (110), (рис. 1.2, в), а индекс наклонной плоскости, пересекающейся со всеми тремя осями координат на удалении одного параметра, примет вид (111) (см. рис. 1.4, г).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74562. Ризик у відносному вираженні 775.5 KB
  Для підприємства за базу визначення відносної величини ризику як правило беруть вартість основних фондів та оборотних засобів або плановані сумарні затрати на даний вид ризикованої діяльності маючи на увазі як поточні затрати так і капіталовкладення чи розрахунковий прибуток.
74563. Цілочислове програмування 639 KB
  Геометрична інтерпретація розв’язків цілочислових задач лінійного програмування на площині. Загальна характеристика методів розв’язування цілочислових задач лінійного програмування.
74564. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем 910 KB
  Основні труднощі розв’язування задач нелінійного програмування. Раніше було розглянуто методи розв’язування задач лінійного програмування. Галузі об’єднання та окремі підприємства народного господарства функціонують і розвиваються за умов невизначеності а тому адекватно їх можна описати нелінійними стохастичними динамічними моделями. Зауважимо що сучасний рівень розвитку комп’ютерної техніки і методів математичного моделювання створює передумови для застосування нелінійних методів а це може суттєво підвищити якість розроблюваних планів...
74565. Квадратичне програмування 597.5 KB
  Метод розв’язування задач квадратичного програмування. Система має ненульовий розв’язок якщо. Метод розв’язування задач квадратичного програмування Зазначимо що відомим з теорії аналізу функцій є таке твердження: від’ємно означена квадратична форма є угнутою а додатно означена – опуклою...
74566. Научное знание в Древней Греции 60 KB
  Определение математики как универсального языка способствовало развитию принципов рационального типа мышления. Важнейшей вехой на пути создания математики как теоретической науки были работы пифагорейской школы. Греческие ученые развили прежде всего процедурную и операционную стороны математики выработав понятие доказательства утверждений. Связи между этими двумя областями возникающей математики были двухсторонними.
74567. Научное знание в эпоху Средневековья 43.63 KB
  Все это методологически подготовило формирование опытной науки. На ранних этапах средневековья центрами научнофилософской мысли были монастыри и храмы но с появлением университетов именно они стали центрами развития философии и науки. Их деятельность объективно способствовала развитию науки в экспериментальном направлении. В целом он обосновывал идею опытной науки.
74568. Развитие науки в период Нового времени 98.15 KB
  Предпосылки развитию науки формировались во всех сферах жизни общества. Обществу становилась все более ясной практическая польза науки как и взаимная заинтересованность научных исследований в новых общественных отношениях. Этот период можно с полным правом назвать веком науки и научной революции.
74569. Современный этап в развитии науки 38.56 KB
  Как известно XIX век – это период дисциплинарного оформления науки. Дифференциация научного знания приведшая к появлению новых научных дисциплин со своим предметом и специфическими средствами познания продолжала оставаться ведущей тенденцией развития науки того времени. Сформировались образ науки как дисциплинарно организованного знания и дисциплинарный подход ориентированный на изучение специфических частных закономерностей и явлений.
74570. Возникновение науки, основные стадии её исторической 36.5 KB
  Наука была всегда с момента зарождения человеческого общества т. Наука начинает отсчет с египетской цивилизации. Наука возникла в Древней Греции т. Наука возникла в Западной Европе в 1214 веках поскольку появился интерес к опытному знанию и математике.