45807

Распределение Максвелла

Лекция

Физика

При выводе основного уравнения МКТ молекулам задавали различные скорости. В результате многократных соударений скорость каждой молекулы изменяется по модулю и направлению. Однако из-за хаотического движения молекул все направления движения равновероятны

Русский

2014-10-12

122 KB

6 чел.

ЛЕКЦИЯ  № 11

4. Распределение Максвелла

При выводе основного уравнения МКТ молекулам задавали различные скорости. В результате многократных соударений скорость каждой молекулы изменяется по модулю и направлению. Однако из-за хаотического движения молекул все направления движения равновероятны, т.е. в любом направлении в среднем движется одинаковое число молекул.

По МКТ, как бы ни изменялись скорости молекул при столкновении, средняя квадратичная скорость молекул массой m0 в газе, находящемся в термодинамическом равновесии при T = const, остается постоянной и равной

Это объясняется тем, что в газе, находящемся в состоянии равновесия, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется определенному статистическому закону. Этот закон теоретически вывел Дж. Максвелл.

При выводе закона распределения молекул по скоростям Максвелл предполагал, что газ состоит из очень большого числа N тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре. Предполагалось также, что силовые поля на газ не действуют.

Закон Максвелла описывается некоторой функцией f(), называемой функцией распределения молекул по скоростям.

Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, равные d, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул dN(), имеющих скорость, находящуюся в этом интервале.

Значит, функция распределения молекул по скоростям определяет относительное число (долю) молекул dN()/N идеального газа, абсолютные значения скорости которых лежат в интервале от  до + d, или определяет плотность вероятности того, что данная молекула идеального газа обладает абсолютным значением скорости из интервала от  до + d:

 .           (11-1)

Применяя методы теории вероятностей, Максвелл получил функцию f() – закон о распределении молекул идеального газа по абсолютным значениям скоростей:

   (11-2)

Из (11-2) видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы) и от параметров состояния (от температуры Т).

График функции (11-2) представлен на рисунке:

Площадь заштрихованной полоски на рисунке определяет долю молекул dN()/N, абсолютные значения скоростей которых лежат в интервале от  до + d,

Площадь под всей кривой, определяющая полное число частиц, равна единице.

Из графика видно, что молекул, имеющих очень маленькие и очень большие скорости, немного.

Небольшая доля молекул имеет скорости 11 км/с – вторая космическая скорость. Это объясняет медленное рассеяние Земной атмосферы.

Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью н.в..

Значение н.в. можно получить, продифференцировав выражение (11-2) по аргументу и приравняв к нулю.

Значения = 0 и = соответствуют минимуму выражения (11-2), а

    (11-3)

Из формулы (11-3) следует, что при повышении температуры максимум функции распределения молекул по скоростям сместится вправо. Однако площадь под кривой остается неизменной, поэтому при повышении температуры кривая распределения будет смещаться вправо и вниз.

Из формулы (11-3) также следует, что для газа с более тяжелыми молекулами максимум функции распределения молекул по скоростям сместится влево.

И вновь, так как площадь под кривой остается неизменной, то для более тяжелых молекул кривая распределения сместится влево и вверх.

Экспериментальная проверка распределения Максвелла была проведена в опыте Штерна:

Демонстрация №13: Распределение Максвелла.

5. Распределение Больцмана

При выводе основного уравнения МКТ и распределения Максвелла для молекул по скоростям предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, поэтому молекулы равномерно распределены по всему объему.

Однако молекулы любого газа находятся в потенциальном поле силы тяжести Земли. Притяжение к Земле, с одной стороны, и тепловое движение – с другой, приводит к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает.

,         (11-4)

где h – высота относительно уровня моря;

 P0 – нормальное давление на уровне моря;

 P – давление на высоте h.

Выражение (11-4) называется барометрической формулой. Она позволяет найти атмосферное давление на любой высоте или, измерив давление, найти высоту.

    (11-5)

Прибор для определения высоты над земной поверхностью называется высотомером (или альтиметром). Его работа основана на использовании формулы (10-4). Из этой формулы следует, что давление с высотой убывает тем быстрее, чем тяжелее газ.

Это объясняет кислородное голодание при подъеме над Землей.

При повышении температуры газа молекулы получают дополнительную энергию и поднимаются вверх, несколько уменьшая концентрацию у поверхности (общая площадь под кривой, определяющее общее количество частиц, остается неизменной).

Воспользовавшись выражениями , можно записать:

,         (11-6)

где п0 и 0 – концентрация и плотность газа на высоте h = 0.

Так как   потенциальная энергия молекул в поле силы тяжести, тогда если разбить диапазон высоты на малые интервалы, равные dh, то на каждый интервал высоты будет приходиться некоторое число молекул dN(h) из общего числа N, которое можно вычислить, используя функцию распределения Больцмана для молекул идеального газа, находящихся в потенциальном поле:

   (11-7)

где С – некоторая константа, значение которой определяется из условия нормировки

    (11-7а)

Из (11-7) следует, что при T = const плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана справедливо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле силы тяжести.

Демонстрация № 14: Распределение Больцмана.

PAGE   \* MERGEFORMAT6


f(
)

d

EMBED Equation.DSMT4  

f()

н.в.

2 > Т1

f()

Т1

F()

m2 > m1

m1

R1

R2

S

h

P

P0

h

Р

N2

O2

T2 > T1

h

n

n01

n02

T1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74432. ПОЛОВОЕ РАЗМНОЖЕНИЕ СЕМЕННЫХ РАСТЕНИЙ 31 KB
  Для рассеивания распространения растения служат следовательно не споры как у типичных споровых растений а семена; бесполого размножения спорами нет чередование поколений выражено неясно и выявляется лишь путем сравнительноморфологических и цитологических исследований. Спорофиллы покрытосеменных растений тесно скученные на концах побегов и у большинства окруженные еще метаморфизированными верхушечными листьями образуют вместе с ними цветок; мы можем охарактеризовать его как укороченный побег листья которого метаморфизированы в связи с...
74433. СТЕБЕЛЬ ДВУДОЛЬНЫХ И ГОЛОСЕМЕННЫХ 39 KB
  Из особенностей ее в стеблях отметим что клетки кожицы здесь обычно имеют мало извилистые очертания вытянуты в направлении параллельном продольной оси стебля и что частота устьиц сравнительно низка. Механическая ткань первичной коры и колленхима располагаются под кожицей в виде тяжей в углах стебля как например у губоцветных или в его ребрах у зонтичных реже в виде кольца у тыквенных пасленовых и др. В некоторых стеблях и многих корневищах этот слой представлен типичной эндодермой с поясками Каспари см. Некоторые авторы...
74434. Новизна теоретических исследований: понятия, закономерности, дефиниции понятий, теория 17.81 KB
  Работа претендующая на роль теоретической должна содержать положения выводы благодаря которым происходит развитие наличных достоверных знаний по предмету соответствующей отрасли правовой науки. При этом новизна может охватывать предмет науки с разной полнотой. Второй уровень новизны образуют оригинальные решения отдельных проблем науки. Одна из распространенных в правовой науке форм теоретической новизны сводится к развитию совершенствованию понятийного аппарата науки.
74435. Новизна эмпирических юридических исследований: единичные и обобщенные факты, эмпирический закон 17.37 KB
  Новизна эмпирических юридических исследований: единичные и обобщенные факты эмпирический закон Исследование новизна которого ограничивается эмпирическим уровнем знаний представляет собой эмпирическое исследование. Итак эмпирическое исследование проводится с применением теоретических знаний для описания и оценки исследуемых фактов но в нем нет новых теоретических положений сформулированных лично автором иначе исследование относилось бы к теоретическому уровню познания. Эмпирическое юридическое исследование в полной мере соответствует...
74436. Общие принципы научного познания: объективность, всесторонность, системность, конкретно-исторический подход 16.87 KB
  Общие принципы научного познания: объективность всесторонность системность конкретноисторический подход В российской философской и юридической литературе в числе всеобщих принципов научного познания чаще всего называют принципы объективности познаваемости объективного мира всесторонности познания исторического и конкретноисторического подходов познания отдельного явления через выделение противоречивых его сторон и др. Принцип объективности означает что в процессе познания нужно подходить к исследуемым явлениям и предметам так как...
74437. Виды методологии правовых исследований 20.23 KB
  Методология догматических правовых исследований Догматическое правовое исследование является наиболее распространенным в правовой науке поскольку именно оно обеспечивает правоведов достоверными и полными знаниями о системе действующего права ее отдельных отраслях институтах и нормах права. Понимается как исследование норм права в целях выявления воли правотворческого органа выраженной в исследуемых источниках права общих и особенных черт признаков свойственных исследуемым нормам права и допущенных правотворческих ошибок. Методология...
74438. История западноевропейской правовой науки 18.62 KB
  История западноевропейской правовой науки. Порожденная практическими потребностями общества правовая наука вырабатывала представления об идеальном государстве и о справедливом праве характерные для конкретноисторических особенностей соответствующей эпохи и формулировала свои предложения о путях совершенствования политикоправовой практики. Поэтому историю правовой науки как и историю общества можно подразделить на четыре большие по времени эпохи: Древний мир Средневековье Новое время и современный период. Начало западноевропейской...
74440. Классификация как процедура научного исследования 17.46 KB
  При этом каждый обособленный класс образуют явления представляющие собой какую-либо одну форму признака взятого основанием классификации. Объектом классификации всегда выступает определенное множество однородных предметов явлений а не какой-либо единичный предмет или отдельное событие. Основание классификации представляет собой какой-либо признак присущий объекту исходя их которого производится классифицирование. Компоненты классы классификации это группы предметов явлений и т.