4583

Використання методу Монте-Карло для вирішення стохастичних і детермінованих задач

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Використання методу Монте-Карло для вирішення стохастичних і детермінованих задач. Мета роботи:Ознайомитись з методом статистичних випробувань (метод Монте-Карло), та його застосуванням для вирішення стохастичних та детермінованих задач. Метод...

Украинкский

2012-11-22

80 KB

16 чел.

Використання методу Монте-Карло для вирішення стохастичних і детермінованих задач.

Мета роботи: Ознайомитись з методом статистичних випробувань (метод Монте-Карло), та його застосуванням для вирішення стохастичних та детермінованих задач.

Метод Монте-Карло

Метод Монте-Карло, як сказано у Вікіпедії, - це загальна назва групи чисельних методів, що базуються на одержанні великої кількості реалізацій стохастичного (випадкового) процесу, який формується у той спосіб, щоб його імовірнісні характеристики співпадали з аналогічними величинами задачі, яка вирішується.

Отже, метод Монте-Карло - це метод імітації для імовірнісного відтворення реальних явищ. Він об'єднує аналіз чутливості (сприйнятливості) і аналіз розподілення ймовірностей вхідних змінних. Цей метод дає змогу побудувати модель, мінімізуючи кількість даних, що використовуються в моделі. Побудова моделі починається з визначення функціональних залежностей у реальній системі. Після чого можна одержати кількісне рішення, використовуючи теорію ймовірності й таблиці чи генератори випадкових чисел.

Метод Монте-Карло широко використовується у більшості випадків імітаційного моделювання на ЕОМ.

Проілюструємо суть методу Монте-Карло відносно простими прикладами.

 

Приклад 1

Нехай потрібно оцінити середній час безвідмовної роботи системи, зображеної на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Блочна структура системи.

 

Система виконує свою функцію, якщо працюють послідовності блоків: 1,2,5,7; 1,3,5,7; 1,4,6,7.

Певні блоки можуть відмовити. Кожен блок характеризується часом безвідмовної роботи . Нехай задана густина розподілу імовірності . Яка надійність системи в цілому?

Розглянемо випадкову величину

де  - час безвідмовної роботи системи.

У одному досліді розігруються значення всіх , відповідно до .

Використовуючи отримані реалізації  , по вищенаведеній формулі обчислюємо реалізацію . Один дослід дає одну реалізацію (одне вибіркове значення) . Проводимо М дослідів (випробувань), отримуємо “статистичний” матеріал (вибірку). Беремо середнє арифметичне часу безвідмовної роботи системи  з р в якості оцінки надійності системи. При необхідності можна побудувати закон розподілу імовірності випадкової величини  у вигляді відповідної гістограми.

 

Приклад 2

Застосування методу статистичних випробувань для обчислення площі круга заданого радіусу.

Дане завдання відноситься до класу детермінованих, оскільки складно уявити собі випадкові фактори, під впливом яких площа нерухомої геометричної фігури могла б змінюватися.

Нехай круг має радіус r=5, і його центр знаходиться в точці з координатами (1,2). Рівняння відповідного кола має вигляд:

(x-1)2+(y-2)2=25.

Для вирішення завдання методом Монте-Карло впишемо круг в квадрат. Його вершини матимуть координати (-4,-3), (6,-3), (-4,7) і (6,7). Будь-яка точка всередині квадрата або на його межі повинна задовольняти нерівностям (-4<x<6) і (-3<y<7).

При вирішенні даної задачі природно виходити з того, що всі точки в цьому квадраті можуть з'являтися з однаковою імовірністю, тобто x і y розподілені рівномірно з густиною імовірності: 

Провівши деяку кількість випробувань (тобто отримавши множину випадкових точок, що належать квадрату), підрахуємо число точок, що потрапили всередину круга або на коло. Якщо вибірка складається із n спостережень і mточок потрапили всередину круга або на коло, то оцінку площі круга можна отримати із співвідношення:

.

У таблиці приведені оцінки Sкр, отримані для різних значень n, причому для кожного виконувалося 5 прогонів (точне значення Sкр = 78,54 см):

Таблиця 1.1 Результати оцінки площі круга методом статистичних випробувань

 

Номер

прогону

Оцінка площі круга (Sкр)

Число випробувань (n)

100

200

1000

5000

10000

1

78

79,5

78

79,5

78,2

2

70

77

79

77,88

78,8

3

81

77,3

80,2

79,5

79,1

4

70

79,12

79,29

78,22

78,6

5

79

77,72

77,76

79

78,26

Середнє

75,6

78,3

78,85

78,23

78,59

Дисперсія

21,84

0,9982

0,789

0,44

0,11

 

Прогони відрізняються один від одного послідовностями випадкових чисел, з яких формувалися координати точок.

 

Завдання.

Реалізувати в програмному середовищі MATLAB® метод Монте-Карло:

  1.  для обчислення площі круга заданого радіусу (методом статистичних випробувань);
  2.  для блочної структури, наведеної на рис. 1.1. Обчислити час безвідмовної роботи системи, якщо густина розподілу імовірності  носить рівномірний та нормальний характер.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23995. Выживание в экстремальных ситуациях. Перечень вопросов для определения дальнейших действий 15.52 KB
  Всё снаряжение тоже отнести безопасное место. если ваше место положения не известно то придерживались ли вы маршрута если обнаружат ваше отсутствие то будут искать на том маршруте по которому вы шли хорошо ли виден ваш лагерь с воздуха или окружающихся возвышенностей. знаете ли вы точно своё место нахождение если да то насколько оно близко к населённому пункту. Решение оставаться на месте: сигналы бедствия переданы место происшествия точно не определено местность не знакомая и трудно проходимая неизвестно расстояние до...
23996. Сооружение временного укрытия 18.84 KB
  Направление ударов должно быть таким чтобы искры попадали на трут легковоспламеняющийся или тлеющий материал. Поэтому трут можно заготовить заранее и носить с собой в герметической упаковке. Сделать трут несложно пропитав концентрированным раствором калиевой селитры и хорошо просушив кусок медицинской ваты. Трут можно изготовить также из куска чистошерстяной или хлопчатобумажной ткани.
23997. Обеспечение водой 23 KB
  Обеззараживающим эффектом обладают и некоторые растения и травы. Многие старые растения способны накапливать в себе токсичные вещества поэтому надо стараться выбирать свежую молодую растительность. В целях предупреждения отравлений не рекомендуется: употреблять в пищу растения выделяющие на изломе Млечный сок; луковицы растений не имеющие характерного луковичного и чесночного запаха; косточки и семена растений; фрукты которые делятся на пять долек; растения покрытые волосками; траву и растения имеющие на корне листьях крошечные...
23998. Положение об организации слётов и соревнований 15.36 KB
  Туристические соревнования учащихся в значительной мере отличаются от соревнований взрослых т. туристические слёты и соревнования в учреждениях образования 2. муниципальные слёты и соревнования 3. областные краевые слёты и соревнования 4.
23999. Организация питания 15.62 KB
  Чаще всего продукты вывозятся к месту соревнований какимлибо продовольственным магазином определенным управлением торговли и имеющим набор необходимых продуктов. Но это не исключает развертывания на месте соревнований магазина в котором продают хлеб овощи и фрукты кондитерские изделия фруктовую воду и другие продукты. Если недалеко есть столовая можно готовить пищу там и привозить ее в термосах к месту соревнований. Во время соревнований когда судьи не могут покинуть свой пост необходимо организовать доставку питания в термосах прямо...
24000. Место проведения соревнований 16.37 KB
  Материально техническая база За 2 3 месяца до начала соревнований все службы и главная судебная коллегия подают свои заявки на необходимые снаряжения и инвентарь в организацию проводящую соревнования. После окончания соревнований нужно собрать всё имущество и снаряжение и проверить его на допуск замены и сдачи не просушенного. на лекции и 24 час на практические занятия по следующим темам: физическая куль тура и спорт в СССР Положение о судьях и судейских коллегия; по туристским соревнованиям организация и проведение туристских слетов и...