4583

Використання методу Монте-Карло для вирішення стохастичних і детермінованих задач

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Використання методу Монте-Карло для вирішення стохастичних і детермінованих задач. Мета роботи:Ознайомитись з методом статистичних випробувань (метод Монте-Карло), та його застосуванням для вирішення стохастичних та детермінованих задач. Метод...

Украинкский

2012-11-22

80 KB

16 чел.

Використання методу Монте-Карло для вирішення стохастичних і детермінованих задач.

Мета роботи: Ознайомитись з методом статистичних випробувань (метод Монте-Карло), та його застосуванням для вирішення стохастичних та детермінованих задач.

Метод Монте-Карло

Метод Монте-Карло, як сказано у Вікіпедії, - це загальна назва групи чисельних методів, що базуються на одержанні великої кількості реалізацій стохастичного (випадкового) процесу, який формується у той спосіб, щоб його імовірнісні характеристики співпадали з аналогічними величинами задачі, яка вирішується.

Отже, метод Монте-Карло - це метод імітації для імовірнісного відтворення реальних явищ. Він об'єднує аналіз чутливості (сприйнятливості) і аналіз розподілення ймовірностей вхідних змінних. Цей метод дає змогу побудувати модель, мінімізуючи кількість даних, що використовуються в моделі. Побудова моделі починається з визначення функціональних залежностей у реальній системі. Після чого можна одержати кількісне рішення, використовуючи теорію ймовірності й таблиці чи генератори випадкових чисел.

Метод Монте-Карло широко використовується у більшості випадків імітаційного моделювання на ЕОМ.

Проілюструємо суть методу Монте-Карло відносно простими прикладами.

 

Приклад 1

Нехай потрібно оцінити середній час безвідмовної роботи системи, зображеної на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Блочна структура системи.

 

Система виконує свою функцію, якщо працюють послідовності блоків: 1,2,5,7; 1,3,5,7; 1,4,6,7.

Певні блоки можуть відмовити. Кожен блок характеризується часом безвідмовної роботи . Нехай задана густина розподілу імовірності . Яка надійність системи в цілому?

Розглянемо випадкову величину

де  - час безвідмовної роботи системи.

У одному досліді розігруються значення всіх , відповідно до .

Використовуючи отримані реалізації  , по вищенаведеній формулі обчислюємо реалізацію . Один дослід дає одну реалізацію (одне вибіркове значення) . Проводимо М дослідів (випробувань), отримуємо “статистичний” матеріал (вибірку). Беремо середнє арифметичне часу безвідмовної роботи системи  з р в якості оцінки надійності системи. При необхідності можна побудувати закон розподілу імовірності випадкової величини  у вигляді відповідної гістограми.

 

Приклад 2

Застосування методу статистичних випробувань для обчислення площі круга заданого радіусу.

Дане завдання відноситься до класу детермінованих, оскільки складно уявити собі випадкові фактори, під впливом яких площа нерухомої геометричної фігури могла б змінюватися.

Нехай круг має радіус r=5, і його центр знаходиться в точці з координатами (1,2). Рівняння відповідного кола має вигляд:

(x-1)2+(y-2)2=25.

Для вирішення завдання методом Монте-Карло впишемо круг в квадрат. Його вершини матимуть координати (-4,-3), (6,-3), (-4,7) і (6,7). Будь-яка точка всередині квадрата або на його межі повинна задовольняти нерівностям (-4<x<6) і (-3<y<7).

При вирішенні даної задачі природно виходити з того, що всі точки в цьому квадраті можуть з'являтися з однаковою імовірністю, тобто x і y розподілені рівномірно з густиною імовірності: 

Провівши деяку кількість випробувань (тобто отримавши множину випадкових точок, що належать квадрату), підрахуємо число точок, що потрапили всередину круга або на коло. Якщо вибірка складається із n спостережень і mточок потрапили всередину круга або на коло, то оцінку площі круга можна отримати із співвідношення:

.

У таблиці приведені оцінки Sкр, отримані для різних значень n, причому для кожного виконувалося 5 прогонів (точне значення Sкр = 78,54 см):

Таблиця 1.1 Результати оцінки площі круга методом статистичних випробувань

 

Номер

прогону

Оцінка площі круга (Sкр)

Число випробувань (n)

100

200

1000

5000

10000

1

78

79,5

78

79,5

78,2

2

70

77

79

77,88

78,8

3

81

77,3

80,2

79,5

79,1

4

70

79,12

79,29

78,22

78,6

5

79

77,72

77,76

79

78,26

Середнє

75,6

78,3

78,85

78,23

78,59

Дисперсія

21,84

0,9982

0,789

0,44

0,11

 

Прогони відрізняються один від одного послідовностями випадкових чисел, з яких формувалися координати точок.

 

Завдання.

Реалізувати в програмному середовищі MATLAB® метод Монте-Карло:

  1.  для обчислення площі круга заданого радіусу (методом статистичних випробувань);
  2.  для блочної структури, наведеної на рис. 1.1. Обчислити час безвідмовної роботи системи, якщо густина розподілу імовірності  носить рівномірний та нормальний характер.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44809. Тhe purpose of grammar as a linguistic discipline 25 KB
  Lаnguаge is mens of forming nd storing ides s reflections of relity nd exchnging them in the process of humn intercourse. Lnguge is socil by nture; Lnguge incorportes the three constituent prts sides ech being inherent in it by virtue of its socil nture. Only the unity of these three elements forms lnguge; without ny one of them there is no humn lnguge in the bove sense. The phonologicl system is the subfoundtion of lnguge; it determines the mteril phoneticl ppernce of its significtive units.
44810. Предмет, содержание и задачи экономического анализа 38.5 KB
  ЭА осуществляемый на уровне отдельной фирмы предприятия называется обычно анализом хозяйственной деятельности. Предмет любой науки это часть или сторона объективной действительности которая изучается только данной наукой; это хозяйственные процессы предприятий объединений ассоциаций социально-экономическая эффективность и конечные финансовые результаты их деятельности складывающиеся под воздействием объективных и субъективных факторов получающие отражение через систему экономической информации. Как видно из определения ЭА имеет...
44811. Анализ школьных учебников и методической литературы по химии 21.71 KB
  Анализ школьных учебников и методической литературы по химии. B сложной системе обучения химии учебник занимает важное место. В нем присутствуют все структурные элементы которые присущи обучению химии в целом: содержание предмета химии методы обучения средства обучении и организация учебной деятельности учащегося. Межпредметные связи в преподавании химии.
44812. Модель. Моделирование баз 41 KB
  При предметном моделировании строят физическую модель которая соответствующим образом отражает основные физические свойства и характеристики моделируемого объекта при этом модель и реальный объект мотуг иметь разную физическую природу. Если же модель и объект одной и той же физической природы то моделирование будет физическим. Абстрактное моделирование связана с построением абстрактной модели которая представляет собой математические диаграммы и т.
44813. Системы пакетной обработки 28.86 KB
  Например одна часть приложения выполняющаяся на компьютере пользователя может поддерживать специализированный графический интерфейс вторая работать на мощном выделенном компьютере и заниматься статистической обработкой введенных пользователем данных а третья заносить полученные результаты в базу данных на компьютере с установленной стандартной СУБД. Разделение данных:Разделение данных предоставляет возможность доступа и управления базами данных с периферийных рабочих мест нуждающихся в информации. Разделение ресурсов...
44815. Работа с файловой системой Linux 37.82 KB
  Аналогичным образом можно поступать и с другими символами, перечисленными выше, т. е. их можно включать в имена файлов, если имя файла взять в двойные кавычки или отменить специальное значение символа с помощью обратного слэша.
44816. Современный русский литературный язык, характеристика, соотношение с общенародным РЯ 27 KB
  Современный русский язык это национальный язык русского народа форма русской национальной культуры. Он представляет собой исторически сложившуюся языковую общность и объединяет всю совокупность языковых средств русского народа в том числе все русские говоры и наречия а также различные жаргоны. Русский язык выполняет три функции: 1 национального русского языка; 2 одного из языков межнационального общения народов России; 3 одного из важнейших мировых языков.