4583

Використання методу Монте-Карло для вирішення стохастичних і детермінованих задач

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Використання методу Монте-Карло для вирішення стохастичних і детермінованих задач. Мета роботи:Ознайомитись з методом статистичних випробувань (метод Монте-Карло), та його застосуванням для вирішення стохастичних та детермінованих задач. Метод...

Украинкский

2012-11-22

80 KB

16 чел.

Використання методу Монте-Карло для вирішення стохастичних і детермінованих задач.

Мета роботи: Ознайомитись з методом статистичних випробувань (метод Монте-Карло), та його застосуванням для вирішення стохастичних та детермінованих задач.

Метод Монте-Карло

Метод Монте-Карло, як сказано у Вікіпедії, - це загальна назва групи чисельних методів, що базуються на одержанні великої кількості реалізацій стохастичного (випадкового) процесу, який формується у той спосіб, щоб його імовірнісні характеристики співпадали з аналогічними величинами задачі, яка вирішується.

Отже, метод Монте-Карло - це метод імітації для імовірнісного відтворення реальних явищ. Він об'єднує аналіз чутливості (сприйнятливості) і аналіз розподілення ймовірностей вхідних змінних. Цей метод дає змогу побудувати модель, мінімізуючи кількість даних, що використовуються в моделі. Побудова моделі починається з визначення функціональних залежностей у реальній системі. Після чого можна одержати кількісне рішення, використовуючи теорію ймовірності й таблиці чи генератори випадкових чисел.

Метод Монте-Карло широко використовується у більшості випадків імітаційного моделювання на ЕОМ.

Проілюструємо суть методу Монте-Карло відносно простими прикладами.

 

Приклад 1

Нехай потрібно оцінити середній час безвідмовної роботи системи, зображеної на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Блочна структура системи.

 

Система виконує свою функцію, якщо працюють послідовності блоків: 1,2,5,7; 1,3,5,7; 1,4,6,7.

Певні блоки можуть відмовити. Кожен блок характеризується часом безвідмовної роботи . Нехай задана густина розподілу імовірності . Яка надійність системи в цілому?

Розглянемо випадкову величину

де  - час безвідмовної роботи системи.

У одному досліді розігруються значення всіх , відповідно до .

Використовуючи отримані реалізації  , по вищенаведеній формулі обчислюємо реалізацію . Один дослід дає одну реалізацію (одне вибіркове значення) . Проводимо М дослідів (випробувань), отримуємо “статистичний” матеріал (вибірку). Беремо середнє арифметичне часу безвідмовної роботи системи  з р в якості оцінки надійності системи. При необхідності можна побудувати закон розподілу імовірності випадкової величини  у вигляді відповідної гістограми.

 

Приклад 2

Застосування методу статистичних випробувань для обчислення площі круга заданого радіусу.

Дане завдання відноситься до класу детермінованих, оскільки складно уявити собі випадкові фактори, під впливом яких площа нерухомої геометричної фігури могла б змінюватися.

Нехай круг має радіус r=5, і його центр знаходиться в точці з координатами (1,2). Рівняння відповідного кола має вигляд:

(x-1)2+(y-2)2=25.

Для вирішення завдання методом Монте-Карло впишемо круг в квадрат. Його вершини матимуть координати (-4,-3), (6,-3), (-4,7) і (6,7). Будь-яка точка всередині квадрата або на його межі повинна задовольняти нерівностям (-4<x<6) і (-3<y<7).

При вирішенні даної задачі природно виходити з того, що всі точки в цьому квадраті можуть з'являтися з однаковою імовірністю, тобто x і y розподілені рівномірно з густиною імовірності: 

Провівши деяку кількість випробувань (тобто отримавши множину випадкових точок, що належать квадрату), підрахуємо число точок, що потрапили всередину круга або на коло. Якщо вибірка складається із n спостережень і mточок потрапили всередину круга або на коло, то оцінку площі круга можна отримати із співвідношення:

.

У таблиці приведені оцінки Sкр, отримані для різних значень n, причому для кожного виконувалося 5 прогонів (точне значення Sкр = 78,54 см):

Таблиця 1.1 Результати оцінки площі круга методом статистичних випробувань

 

Номер

прогону

Оцінка площі круга (Sкр)

Число випробувань (n)

100

200

1000

5000

10000

1

78

79,5

78

79,5

78,2

2

70

77

79

77,88

78,8

3

81

77,3

80,2

79,5

79,1

4

70

79,12

79,29

78,22

78,6

5

79

77,72

77,76

79

78,26

Середнє

75,6

78,3

78,85

78,23

78,59

Дисперсія

21,84

0,9982

0,789

0,44

0,11

 

Прогони відрізняються один від одного послідовностями випадкових чисел, з яких формувалися координати точок.

 

Завдання.

Реалізувати в програмному середовищі MATLAB® метод Монте-Карло:

  1.  для обчислення площі круга заданого радіусу (методом статистичних випробувань);
  2.  для блочної структури, наведеної на рис. 1.1. Обчислити час безвідмовної роботи системи, якщо густина розподілу імовірності  носить рівномірний та нормальний характер.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37184. Современные коммерческие банки 34.5 KB
  Коммерческие банки выступают основным звеном банковской системы. Независимо от формы собственности коммерческие банки являются самостоятельными субъектами экономики. Таким образом коммерческие банки осуществляют должны осуществлять комплексное обслуживание клиентов что отличает их от специальных кредитных организаций небанковского типа выполняющих ограниченный круг финансовых операций и услуг.
37185. Денежная система 44.5 KB
  В зависимости от вида денег деньги как товар выполняющий роль всеобщего эквивалента или деньги как знак стоимости различают денежные системы двух типов:1 система металлического обращения которая базируется на действительных деньгах серебро золото выполняющих все пять функций а образующиеся банкноты беспрепятственно обмениваются на действительные деньги;2 система бумажнокредитного обращения при которой действительные деньги вытесняются знаками стоимости а в обращении находятся бумажные казначейские векселя либо кредитные...
37186. Эми́ссия денег 33.5 KB
  Граница кредита предел допустимая форма. Норма выдачи кредита. Это граница ресурсов кредита т. Границы ресурсов кредита определяются размерами ссуд фонда.
37187. Денежная масса 93.5 KB
  Вместе с тем денежная масса включает в себя такие компоненты которые нельзя непосредственно использовать как покупательное или платежное средство. Как правило денежная политика страны выходящей из политического или экономического кризиса начинается с восстановления доверия населения путем индексации таких “замороженных вкладов†и привлечения таким образом средств для оживления инвестиционной активности в экономике. Чаще всего используют следующие агрегаты[1]: М0 = наличные деньги в обращении М1 = М0 чеки вклады до востребования...
37188. Инфляция и причины ее возникновения 35.5 KB
  Инфляция связана с “заболеванием†денег но причины инфляции очень глубинные. Инфляция – это обесценение денег всвязи с нарушением закона денежного обращения. инфляция – вздутие т.
37189. Необходимость и сущность кредита. Структура кредита 31 KB
  Структура кредита Кредит выступает как передача во временное пользование определенных стоимостей которые могут быть либо в виде материальных ценностей либо денежных средств. Необходимость кредита определяется двумя группами причин: 1. Общие объясняют необходимость кредита во всех общественноэкономических формациях: а наличие товарного производства и товарного обращения б функционирование денег как средства платежа в продажа товаров в кредит с отсрочкой платежа.
37190. Природа ссудного процента и его экономическая роль. Норма ссудного процента 28.5 KB
  хозрасчетной деятельностью предприятий и организаций: проценты уплачиваемые предприятиями должны стимулировать рациональное использование кредита и своевременное погашение ссуд. виды Проценты основной доход лиц делающих сбережения. Лицо делающее сбережения получает проценты в обмен на размещение на счете свободных средств. Для делающего сбережения лица проценты полученные в течение данного периода являются текущим доходом за этот период.
37191. Понятие банковской системы, ее элементы. Банк как элемент банковской системы 32 KB
  Банк как элемент банковской системы Банковская система совокупность банковских учреждений. Различия в понимании банка как исходного элемента банковской системы. в странах с развитой банковской системой банки осуществляют страховые ипотечные операции трастовое обслуживание используют закладные приобретают биржевые и маклерские конторы.
37192. Основы организации безналичных расчетов. Каналы движения денег безналичного оборота 34 KB
  На Центральный банк РФ как главный регулирующий орган платежной системы возложены обязанности по установлению правил сроков и стандартов осуществления расчетов с соблюдением следующих принципов их организации: 1. Правовой режим осуществления расчетов и платежей. Общий порядок осуществления расчетов на территории Российской Федерации регулируется Гражданским кодексом РФ ст.