4583

Використання методу Монте-Карло для вирішення стохастичних і детермінованих задач

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Використання методу Монте-Карло для вирішення стохастичних і детермінованих задач. Мета роботи:Ознайомитись з методом статистичних випробувань (метод Монте-Карло), та його застосуванням для вирішення стохастичних та детермінованих задач. Метод...

Украинкский

2012-11-22

80 KB

16 чел.

Використання методу Монте-Карло для вирішення стохастичних і детермінованих задач.

Мета роботи: Ознайомитись з методом статистичних випробувань (метод Монте-Карло), та його застосуванням для вирішення стохастичних та детермінованих задач.

Метод Монте-Карло

Метод Монте-Карло, як сказано у Вікіпедії, - це загальна назва групи чисельних методів, що базуються на одержанні великої кількості реалізацій стохастичного (випадкового) процесу, який формується у той спосіб, щоб його імовірнісні характеристики співпадали з аналогічними величинами задачі, яка вирішується.

Отже, метод Монте-Карло - це метод імітації для імовірнісного відтворення реальних явищ. Він об'єднує аналіз чутливості (сприйнятливості) і аналіз розподілення ймовірностей вхідних змінних. Цей метод дає змогу побудувати модель, мінімізуючи кількість даних, що використовуються в моделі. Побудова моделі починається з визначення функціональних залежностей у реальній системі. Після чого можна одержати кількісне рішення, використовуючи теорію ймовірності й таблиці чи генератори випадкових чисел.

Метод Монте-Карло широко використовується у більшості випадків імітаційного моделювання на ЕОМ.

Проілюструємо суть методу Монте-Карло відносно простими прикладами.

 

Приклад 1

Нехай потрібно оцінити середній час безвідмовної роботи системи, зображеної на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Блочна структура системи.

 

Система виконує свою функцію, якщо працюють послідовності блоків: 1,2,5,7; 1,3,5,7; 1,4,6,7.

Певні блоки можуть відмовити. Кожен блок характеризується часом безвідмовної роботи . Нехай задана густина розподілу імовірності . Яка надійність системи в цілому?

Розглянемо випадкову величину

де  - час безвідмовної роботи системи.

У одному досліді розігруються значення всіх , відповідно до .

Використовуючи отримані реалізації  , по вищенаведеній формулі обчислюємо реалізацію . Один дослід дає одну реалізацію (одне вибіркове значення) . Проводимо М дослідів (випробувань), отримуємо “статистичний” матеріал (вибірку). Беремо середнє арифметичне часу безвідмовної роботи системи  з р в якості оцінки надійності системи. При необхідності можна побудувати закон розподілу імовірності випадкової величини  у вигляді відповідної гістограми.

 

Приклад 2

Застосування методу статистичних випробувань для обчислення площі круга заданого радіусу.

Дане завдання відноситься до класу детермінованих, оскільки складно уявити собі випадкові фактори, під впливом яких площа нерухомої геометричної фігури могла б змінюватися.

Нехай круг має радіус r=5, і його центр знаходиться в точці з координатами (1,2). Рівняння відповідного кола має вигляд:

(x-1)2+(y-2)2=25.

Для вирішення завдання методом Монте-Карло впишемо круг в квадрат. Його вершини матимуть координати (-4,-3), (6,-3), (-4,7) і (6,7). Будь-яка точка всередині квадрата або на його межі повинна задовольняти нерівностям (-4<x<6) і (-3<y<7).

При вирішенні даної задачі природно виходити з того, що всі точки в цьому квадраті можуть з'являтися з однаковою імовірністю, тобто x і y розподілені рівномірно з густиною імовірності: 

Провівши деяку кількість випробувань (тобто отримавши множину випадкових точок, що належать квадрату), підрахуємо число точок, що потрапили всередину круга або на коло. Якщо вибірка складається із n спостережень і mточок потрапили всередину круга або на коло, то оцінку площі круга можна отримати із співвідношення:

.

У таблиці приведені оцінки Sкр, отримані для різних значень n, причому для кожного виконувалося 5 прогонів (точне значення Sкр = 78,54 см):

Таблиця 1.1 Результати оцінки площі круга методом статистичних випробувань

 

Номер

прогону

Оцінка площі круга (Sкр)

Число випробувань (n)

100

200

1000

5000

10000

1

78

79,5

78

79,5

78,2

2

70

77

79

77,88

78,8

3

81

77,3

80,2

79,5

79,1

4

70

79,12

79,29

78,22

78,6

5

79

77,72

77,76

79

78,26

Середнє

75,6

78,3

78,85

78,23

78,59

Дисперсія

21,84

0,9982

0,789

0,44

0,11

 

Прогони відрізняються один від одного послідовностями випадкових чисел, з яких формувалися координати точок.

 

Завдання.

Реалізувати в програмному середовищі MATLAB® метод Монте-Карло:

  1.  для обчислення площі круга заданого радіусу (методом статистичних випробувань);
  2.  для блочної структури, наведеної на рис. 1.1. Обчислити час безвідмовної роботи системи, якщо густина розподілу імовірності  носить рівномірний та нормальний характер.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45114. Do you have any arguments in favor of a universal language? Could Esperanto become a common language? 15.08 KB
  Such lnguge would help promote understnding nd better feeling mong ntions. universl lnguge lso would increse culturl nd economic ties mong vrious countries. Through the yers t lest 600 universl lnguges hve been proposed.
45115. The United Kingdom of Great Britain and Northern Ireland 26 KB
  Great Britain is situated on the British Isles. They lie to the west of the continent of Europe. The larger of the two big islands is known as Great Britain. The smaller island is Ireland, with Northern Ireland and the Irish Republic
45116. Тhe most important factors for you in choosing or keeping a job 14.81 KB
  For exmple its the stisfction of job welldone the sense of chievement behind the clinching of n importnt del. So in my opinion my chrcter ttrcts me to right kind of job. This fctor is very importnt for me in choosing job becuse without it I lose ppetite for life.
45117. What do you think people work for? What are your reasons for work? 15.37 KB
  Its true tht work is power nd sense of sttus sy those who hve either ttined these elusive gols. From my point of view work is possibility to express the ledership qulities. I gree tht we would lso prefer work to be useful plesnt nd interesting nd lso well pid .
45118. Russia 23 KB
  The country is multintion stte. It consist of two chmbers: the Council of the Federtion nd the Stte Dum. The Stte Dum includes 450 deputies. t first bills re introduced in the Stte Dum.
45119. If being a teacher is not prestigious nowadays, why do people teach? 15 KB
  People tech becuse teching is built on chnge. People tech becuse they like freedom to mke their own mistkes to lern their own lessons to stimulte their self nd their students. People tech becuse they like helping students who hs problem.
45121. Law profession in Great Britain 23 KB
  For instnce the solicitors dels with petty crimes nd some mtrimonil mtters in mgistrtes courts. He my represent his client in the court when the cse is one of divorce or recovering with other mtters. Brristers re expects in the interprettion of the lw nd dvoccy the rt of the presenting cses in court. They dvice on relly difficult points nd conduct legl proceedings in the higher courts.
45122. What are your food tastes and preferences? Do you eat nutritionally sound food? 15.46 KB
  Eаting blnced diet mens choosing wide vriety of foods nd drinks from ll food groups. The key to helthy blnced diet is not to bn or omit ny foods or food groups but to blnce wht you et by consuming vriety of foods from ech food group in the right proportions for good helth. For some people is food is source of plesure for others source of energy.