4583

Використання методу Монте-Карло для вирішення стохастичних і детермінованих задач

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Використання методу Монте-Карло для вирішення стохастичних і детермінованих задач. Мета роботи:Ознайомитись з методом статистичних випробувань (метод Монте-Карло), та його застосуванням для вирішення стохастичних та детермінованих задач. Метод...

Украинкский

2012-11-22

80 KB

16 чел.

Використання методу Монте-Карло для вирішення стохастичних і детермінованих задач.

Мета роботи: Ознайомитись з методом статистичних випробувань (метод Монте-Карло), та його застосуванням для вирішення стохастичних та детермінованих задач.

Метод Монте-Карло

Метод Монте-Карло, як сказано у Вікіпедії, - це загальна назва групи чисельних методів, що базуються на одержанні великої кількості реалізацій стохастичного (випадкового) процесу, який формується у той спосіб, щоб його імовірнісні характеристики співпадали з аналогічними величинами задачі, яка вирішується.

Отже, метод Монте-Карло - це метод імітації для імовірнісного відтворення реальних явищ. Він об'єднує аналіз чутливості (сприйнятливості) і аналіз розподілення ймовірностей вхідних змінних. Цей метод дає змогу побудувати модель, мінімізуючи кількість даних, що використовуються в моделі. Побудова моделі починається з визначення функціональних залежностей у реальній системі. Після чого можна одержати кількісне рішення, використовуючи теорію ймовірності й таблиці чи генератори випадкових чисел.

Метод Монте-Карло широко використовується у більшості випадків імітаційного моделювання на ЕОМ.

Проілюструємо суть методу Монте-Карло відносно простими прикладами.

 

Приклад 1

Нехай потрібно оцінити середній час безвідмовної роботи системи, зображеної на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Блочна структура системи.

 

Система виконує свою функцію, якщо працюють послідовності блоків: 1,2,5,7; 1,3,5,7; 1,4,6,7.

Певні блоки можуть відмовити. Кожен блок характеризується часом безвідмовної роботи . Нехай задана густина розподілу імовірності . Яка надійність системи в цілому?

Розглянемо випадкову величину

де  - час безвідмовної роботи системи.

У одному досліді розігруються значення всіх , відповідно до .

Використовуючи отримані реалізації  , по вищенаведеній формулі обчислюємо реалізацію . Один дослід дає одну реалізацію (одне вибіркове значення) . Проводимо М дослідів (випробувань), отримуємо “статистичний” матеріал (вибірку). Беремо середнє арифметичне часу безвідмовної роботи системи  з р в якості оцінки надійності системи. При необхідності можна побудувати закон розподілу імовірності випадкової величини  у вигляді відповідної гістограми.

 

Приклад 2

Застосування методу статистичних випробувань для обчислення площі круга заданого радіусу.

Дане завдання відноситься до класу детермінованих, оскільки складно уявити собі випадкові фактори, під впливом яких площа нерухомої геометричної фігури могла б змінюватися.

Нехай круг має радіус r=5, і його центр знаходиться в точці з координатами (1,2). Рівняння відповідного кола має вигляд:

(x-1)2+(y-2)2=25.

Для вирішення завдання методом Монте-Карло впишемо круг в квадрат. Його вершини матимуть координати (-4,-3), (6,-3), (-4,7) і (6,7). Будь-яка точка всередині квадрата або на його межі повинна задовольняти нерівностям (-4<x<6) і (-3<y<7).

При вирішенні даної задачі природно виходити з того, що всі точки в цьому квадраті можуть з'являтися з однаковою імовірністю, тобто x і y розподілені рівномірно з густиною імовірності: 

Провівши деяку кількість випробувань (тобто отримавши множину випадкових точок, що належать квадрату), підрахуємо число точок, що потрапили всередину круга або на коло. Якщо вибірка складається із n спостережень і mточок потрапили всередину круга або на коло, то оцінку площі круга можна отримати із співвідношення:

.

У таблиці приведені оцінки Sкр, отримані для різних значень n, причому для кожного виконувалося 5 прогонів (точне значення Sкр = 78,54 см):

Таблиця 1.1 Результати оцінки площі круга методом статистичних випробувань

 

Номер

прогону

Оцінка площі круга (Sкр)

Число випробувань (n)

100

200

1000

5000

10000

1

78

79,5

78

79,5

78,2

2

70

77

79

77,88

78,8

3

81

77,3

80,2

79,5

79,1

4

70

79,12

79,29

78,22

78,6

5

79

77,72

77,76

79

78,26

Середнє

75,6

78,3

78,85

78,23

78,59

Дисперсія

21,84

0,9982

0,789

0,44

0,11

 

Прогони відрізняються один від одного послідовностями випадкових чисел, з яких формувалися координати точок.

 

Завдання.

Реалізувати в програмному середовищі MATLAB® метод Монте-Карло:

  1.  для обчислення площі круга заданого радіусу (методом статистичних випробувань);
  2.  для блочної структури, наведеної на рис. 1.1. Обчислити час безвідмовної роботи системи, якщо густина розподілу імовірності  носить рівномірний та нормальний характер.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53747. Конструирование из бумаги. Изготовление новогодней елочки 95.5 KB
  Технологии: технология сотрудничества, деятельностный подход, активное обучение, технологии объяснительно-иллюстративного обучения (в основе которых информирование, просвещение учащихся и организация из репродуктивных действий с целью выработки у них общеучебных умений и навыков).
53748. Теорема Виета 95 KB
  Предметные результаты: наблюдать и анализировать связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Формулировать и доказывать теорему Виета, а также обратную теорему, применять теоремы для решения уравнений и задач.
53749. Прогнозирование экономических показателей. Модели финансового планирования 27.5 KB
  Экономический прогноз — это научно обоснованное предвидение возможных направлений и результатов развития субъектов хозяйствования и их структурных подразделений. Методы экономического прогнозирования можно условно объединить в две группы. Наверняка все из вас пускали самолетики лодочки красовались в треуголке из бумаги различных форм фигурок это и есть оригами. Однако независимые традиции складывания из бумаги хоть и не столь развитые как в Японии существовали среди прочего в Китае Корее Германии и Испании.
53750. День святого Валентина 43.5 KB
  Как они называются валентинки А знаете ли вы что согласно легенде в далекие времена жестокий римский император Клавдий II решил что одинокий мужчина без семьи и жены лучше сражается на поле битвы и запретил мужчинам жениться. Сегодня нам предстоит пусть с опозданием но изготовить валентинки для своих родных а может и любимых своими руками потому что мы знаем знаменитую пословицу: Лучше поздно чем ...
53751. Звери в лесу 48.5 KB
  Закрепить навык разметки по шаблонам, вырезание деталей сложной формы в виде встречного реза, выполнение алгоритма изготовления аппликации умение составлять композицию, намазывать детали клеем используя подкладной лист, приклеивать последовательно детали аппликации используя притирочный лист.
53752. Целеполагание в воспитательной работе педагога 62.5 KB
  Сущность цели и целеполагания в воспитательной работе педагога. Особенности цели и целеполагания в воспитательной работе педагога. В педагогической литературе встречаются различные определения цели Рожков М. Важность правильной постановки цели трудно переоценить.
53753. Ordering food 372 KB
  On the slide you see the picture with a lot of fruit and vegetables. You must write the name of them in your card in right column. If you know more words, you can write them too.
53754. Народные движения первой четверти XVIII века 140.5 KB
  Я уроженец станицы Зимовейской под моим командованием небольшая флотилия кораблей разгромила флот иранского шаха в 1671 году меня предала казацкая верхушка хотя именно я поднял восстание с боярами воеводами и другими притеснителями народа . Сейчас ребята мы с вами оказались на Юго Восток России в начале18 веке здесь произошло крупное восстание. Астраханское восстание В 18 веке г Астрахань Рассказ учителя о восстании в Астрахани. Вспыхнув в Астрахани восстание быстро распространилось на...
53755. АЛГОРИТМЫ В НАШЕЙ ЖИЗНИ 108.5 KB
  Формирование умения грамотно излагать свою точку зрения Задачи урока: Развивать логическое и алгоритмическое мышление умение анализировать делать выводы; Ввести понятие алгоритм витражи; Ознакомить с видами алгоритмов; Отработать навык создания орнамента по алгоритму. Разминка Сейчас мы с вами проведем небольшую разминку нам необходимо будет расшифровать слово это и...