4583

Використання методу Монте-Карло для вирішення стохастичних і детермінованих задач

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Використання методу Монте-Карло для вирішення стохастичних і детермінованих задач. Мета роботи:Ознайомитись з методом статистичних випробувань (метод Монте-Карло), та його застосуванням для вирішення стохастичних та детермінованих задач. Метод...

Украинкский

2012-11-22

80 KB

16 чел.

Використання методу Монте-Карло для вирішення стохастичних і детермінованих задач.

Мета роботи: Ознайомитись з методом статистичних випробувань (метод Монте-Карло), та його застосуванням для вирішення стохастичних та детермінованих задач.

Метод Монте-Карло

Метод Монте-Карло, як сказано у Вікіпедії, - це загальна назва групи чисельних методів, що базуються на одержанні великої кількості реалізацій стохастичного (випадкового) процесу, який формується у той спосіб, щоб його імовірнісні характеристики співпадали з аналогічними величинами задачі, яка вирішується.

Отже, метод Монте-Карло - це метод імітації для імовірнісного відтворення реальних явищ. Він об'єднує аналіз чутливості (сприйнятливості) і аналіз розподілення ймовірностей вхідних змінних. Цей метод дає змогу побудувати модель, мінімізуючи кількість даних, що використовуються в моделі. Побудова моделі починається з визначення функціональних залежностей у реальній системі. Після чого можна одержати кількісне рішення, використовуючи теорію ймовірності й таблиці чи генератори випадкових чисел.

Метод Монте-Карло широко використовується у більшості випадків імітаційного моделювання на ЕОМ.

Проілюструємо суть методу Монте-Карло відносно простими прикладами.

 

Приклад 1

Нехай потрібно оцінити середній час безвідмовної роботи системи, зображеної на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Блочна структура системи.

 

Система виконує свою функцію, якщо працюють послідовності блоків: 1,2,5,7; 1,3,5,7; 1,4,6,7.

Певні блоки можуть відмовити. Кожен блок характеризується часом безвідмовної роботи . Нехай задана густина розподілу імовірності . Яка надійність системи в цілому?

Розглянемо випадкову величину

де  - час безвідмовної роботи системи.

У одному досліді розігруються значення всіх , відповідно до .

Використовуючи отримані реалізації  , по вищенаведеній формулі обчислюємо реалізацію . Один дослід дає одну реалізацію (одне вибіркове значення) . Проводимо М дослідів (випробувань), отримуємо “статистичний” матеріал (вибірку). Беремо середнє арифметичне часу безвідмовної роботи системи  з р в якості оцінки надійності системи. При необхідності можна побудувати закон розподілу імовірності випадкової величини  у вигляді відповідної гістограми.

 

Приклад 2

Застосування методу статистичних випробувань для обчислення площі круга заданого радіусу.

Дане завдання відноситься до класу детермінованих, оскільки складно уявити собі випадкові фактори, під впливом яких площа нерухомої геометричної фігури могла б змінюватися.

Нехай круг має радіус r=5, і його центр знаходиться в точці з координатами (1,2). Рівняння відповідного кола має вигляд:

(x-1)2+(y-2)2=25.

Для вирішення завдання методом Монте-Карло впишемо круг в квадрат. Його вершини матимуть координати (-4,-3), (6,-3), (-4,7) і (6,7). Будь-яка точка всередині квадрата або на його межі повинна задовольняти нерівностям (-4<x<6) і (-3<y<7).

При вирішенні даної задачі природно виходити з того, що всі точки в цьому квадраті можуть з'являтися з однаковою імовірністю, тобто x і y розподілені рівномірно з густиною імовірності: 

Провівши деяку кількість випробувань (тобто отримавши множину випадкових точок, що належать квадрату), підрахуємо число точок, що потрапили всередину круга або на коло. Якщо вибірка складається із n спостережень і mточок потрапили всередину круга або на коло, то оцінку площі круга можна отримати із співвідношення:

.

У таблиці приведені оцінки Sкр, отримані для різних значень n, причому для кожного виконувалося 5 прогонів (точне значення Sкр = 78,54 см):

Таблиця 1.1 Результати оцінки площі круга методом статистичних випробувань

 

Номер

прогону

Оцінка площі круга (Sкр)

Число випробувань (n)

100

200

1000

5000

10000

1

78

79,5

78

79,5

78,2

2

70

77

79

77,88

78,8

3

81

77,3

80,2

79,5

79,1

4

70

79,12

79,29

78,22

78,6

5

79

77,72

77,76

79

78,26

Середнє

75,6

78,3

78,85

78,23

78,59

Дисперсія

21,84

0,9982

0,789

0,44

0,11

 

Прогони відрізняються один від одного послідовностями випадкових чисел, з яких формувалися координати точок.

 

Завдання.

Реалізувати в програмному середовищі MATLAB® метод Монте-Карло:

  1.  для обчислення площі круга заданого радіусу (методом статистичних випробувань);
  2.  для блочної структури, наведеної на рис. 1.1. Обчислити час безвідмовної роботи системи, якщо густина розподілу імовірності  носить рівномірний та нормальний характер.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71310. Судебная психология 240 KB
  Судебное разбирательство как стадия уголовного процесса следует за предварительным следствием. В ходе судебного разбирательства суд должен в полном объеме проанализировать версию предварительного следствия, а также все возможные взаимосвязи событий и обстоятельств дела.
71311. Психология юридического труда 313 KB
  В кабинете следователя ничто не должно отвлекать допрашиваемого. Кабинет следователя должен быть хорошо освещен. Процессуальная самостоятельность следователя прокурора судьи в пределах определяемых законом предполагает высокий уровень ответственности волевых качеств и организаторских способностей.
71312. Основы обеспечения информационной безопасности в ОВД 153.5 KB
  Основной проблемой информационного общества сегодня является проблема защиты информации от ее утечки искажения блокирования систем и средств передачи информации а так же защита сведений конфиденциального характера и государственной тайны.
71313. Государственная политика в сфере информатизации общества и информационной безопасности 141.5 KB
  Необходимо так же сказать, что федеральный орган исполнительной власти в сфере внутренних дел обеспечивает полиции возможность использования информационно-телекоммуникационной сети Интернет, автоматизированных информационных систем, интегрированных банков данных...
71314. Нормативно-правовое обеспечение информационной безопасности 184.5 KB
  Имеет право обрабатывать данные о гражданах необходимые для выполнения возложенных на нее обязанностей с последующим внесением полученной информации в банки данных о гражданах далее банки данных. Полиция обеспечивает защиту информации содержащейся в банках данных...
71315. Мифы в современном искусстве 13.92 KB
  Зато очень активно использовался язык жестов звуков мимики. Так маленькие дети рожденные от немца русского и даже нигерийца легко найдут общий язык сидя в песочнице. Они умудрились создать свою систему общения не понимая чужой язык.
71316. Логические операции с объемом и содержанием понятия 49.5 KB
  Логический (контекстный) анализ деления понятия направлен на выявление скрытых элементов языковых конструкций в данном случае на формулирование основания когнитивной операции классифицирования на моделирование экспертной оценки речевой коммуникативной ситуации формируются аналитические...
71317. Понятие – смысловая единица речевой коммуникации 48.5 KB
  Логические характеристики понятия как формы мысли: объем и содержание понятия. Владение опытом логического анализа терминологии Умение выявлять в текстовой информации семантические единицы логического анализа Умение различать конкретные абстрактные собирательные понятия...
71318. Предмет и семантические категории логики 68.5 KB
  Предмет и семантические категории логики Содержание История появления логики Предмет логики Язык и логика в системе коммуникации Понятие семантической категории знаковой системы Семантические категории логики Результаты освоения темы дисциплины Формирование представлений о формах...