4601

Основы булевой алгебры. Построение комбинационных схем по структурной формуле на однотипных базовых элементах

Контрольная

Математика и математический анализ

Основы булевой алгебры Для описания работы схем вычислительной техники и автоматики используют булеву алгебру. Булевой функцией называют функцию f(x1, x2, х3,…, xn), аргументы которой x1, x1, x2, xn и сама функция принимают значение 0 или 1. Табл...

Русский

2012-11-23

163 KB

31 чел.

Основы булевой алгебры

Для описания работы схем вычислительной техники и автоматики используют булеву алгебру.

Булевой функцией называют функцию f(x1, x2, х3,…, xn), аргументы которой x1, x1, x2, …, xn и сама функция принимают значение 0 или 1.

Таблицу, показывающую, какие значения принимает булева функция при всех сочетаниях значений её аргументов, называют таблицей истинности. Таблица истинности булевой функции n аргументов содержит 2n строк, n столбцов значений аргументов и 1 столбец значений функций. Например, таблицей 1 задана булева функция Y=f(x1, х2, х3) от трех переменных х1, x2, х3. Она содержит 23 = 8 строк и четыре столбца.

Таблица №1

X1

X2

X3

Y

0

0

1

1

1

1

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

Булеву функцию y=f(x1, x2), определенную таблицей истинности 2, называют логическим сложением или дизъюнкцией и обозначают символом, т. е. используют такую запись: у=x1x2. На основании таблицы 2 можно записать таблицу 3 логического сложения. Она отличается от обычного сложения только тем, что 1+1 принимают равным 1.

Булеву функцию y=f(x12), определенную таблицей истинности 4, называют логическим умножением или конъюнкцией и обозначают символом, т. е. используют запись у=х1х2. На основании таблицы истинности 4 можно записать таблицу 5 логического умножения. Она полностью совпадает с таблицей умножения для чисел 0, 1.

Логическое сложение обозначают также знаком «+», а логическое умножениезнаком «∙».

Булеву функцию у=f(x), определенную таблицей 6, называют отрицанием и обозначают её чертой, т. е. записывают у=.


Таблица №2       Таблица №3   Таблица №4       Таблица №5        Таблица №6

x1

x2

y

00=0

01=1

10=1

11=1

x1

x2

y

00=0

01=0

10=0

11=1

x

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

На основании таблиц логического сложения, умножения и отрицания можно записать:

а) 1+ x = 1,  в) x + =1,   д) ,  ж) ,

б) 0 + x = x,  г) x + = x,   е) ,  З) .

Для конъюнкции, дизъюнкции и отрицания справедливы следующие законы:

1) переместительный:

x1+ x2 = x2 + x1

2) сочетательный:

,

( x1+ x2) + x3 = x1+ (x2 + x3).

3) первый распределительный закон:

;

второй распределительный:

;

4) инверсный:

,

.

Любой из законов легко проверить путём составления таблиц истинности для обеих частей равенства. Например, проверим правильность закона . Составим таблицы №7 и №8.

Таблица №7      Таблица №8

x1

x2

x1

x2

0

0

0

1

0

0

1

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

0

0

0

Сравнивая столбцы значений функций для левой и правой частей равенства, видим, что эти значения совпадают, а следовательно, левая и правая часть равенства равна правой.

Структурная формула

Булево выражение y=f(x1, х2, ...,xn) можно рассмотреть как структурную формулу, определяющую структуру логического устройства, цепь которого состоит из элементов И, ИЛИ, НЕ.

Обычно булева функция задается таблицей истинности, структурная формула которой записывается либо в так называемой совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ), либо совершенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ).

СДНФ представляет собой логическую сумму (дизъюнкцию) нескольких логических произведений (конъюнкций), каждое из которых содержит все переменные или их отрицания. СДНФ булевой функции записывается на основании таблицы истинности следующим образом:

1. Число конъюнкций равно числу строк таблицы истинности, в которых функция равна 1 ( y=1).

2. Знак инверсии ставится над переменными, которые в соответствующих строках равны 0.

Например, для таблицы 1 СДНФ булевой функции будет содержать четыре конъюнкции, соединенные между собой логическим сложением:

Таблица №1

x3

x2

x1

y

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

СКНФ представляет собой конъюнкцию нескольких дизъюнкций, каждая из которых содержит все переменные или их отрицания. СКНФ булевой функции на основании таблицы истинности записывается следующим образом:

1. Число дизъюнкций равно числу строк таблицы истинности, в которых функция равна 0 == 0).

2. Над теми переменными, которые в соответствующих строках равны 1, ставят знак инверсии.

Например, для таблицы 1 СКНФ булевой функции будет содержать четыре дизъюнкции соединенные между собой логическим умножением:

y =()()()()

Структурные формулы могут быть упрощены по законам алгебры логики. Такими преобразованиями пользуются для упрощения (минимизации) числа логических операций. Например, упростим структурную формулу:

y=

=

=

==.

Построение комбинационных схем по структурной формуле на однотипных базовых элементах

Рассмотрим логическую функцию , используя инверсный закон получим . Полученное выражение представляет собой логическую функцию элемента ИЛИНЕ на входы которого поданы переменные  и . Переменную  можно представить, как  тогда исходную функцию можно записать . То есть заданная функцию можно собрать на двух логических элементах ИЛИНЕ рис. 1.

Рис. 1

Элементы И-НЕ часто используются в качестве элементов других типов. На рисунке 2 показано как элементы И-НЕ могут быть использованы для создания других функций.

Рисунок 2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66723. Разработка комплексной диагностики системы управления таможенного органа 309 KB
  Хозяйствующий субъект является открытой системой, взаимодействующей с внешней средой. Внешняя среда оказывает влияние как на эффективность организации в целом, так и на его ключевые подсистемы.
66724. Перевозки грузов автомобильным транспортом 123.5 KB
  За последнее десятилетие существенно изменились экономические связи в стране. Директивные методы управления уступают рыночным отношениям. Грузовой транспорт стал работать в условиях развивающейся конкуренции. Повышаются требования к срокам доставки грузов, что влияет и на процессы подготовки и приемку грузов.
66725. АЛЕКСЕЙ АНДРЕЕВИЧ РОДЕ 246 KB
  Труды А.А. Роде — не просто источник исчерпывающей информации по многим конкретным проблемам почвоведения. По ним можно учиться глубокому творческому подходу к познанию сложнейших проблем мироздания, высокой принципиальности в отстаивании своих убеждений...
66726. ЛАЗЕРНЫЕ ПРИНТЕРЫ 242.5 KB
  Лазерные принтеры менее требовательны к бумаге, чем, например, струйные, а стоимость печати одной страницы текстового документа у них в несколько раз ниже. При этом недорогие модели лазерных и светодиодных монохромных принтеров уже способны конкурировать...
66727. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений 220 KB
  Часто приходится находить корни уравнений вида, где f(x) определена и непрерывна на некотором интервале. Если f(x) представляет собой многочлен, то уравнение - алгебраическое, если в функцию входят функции типа: тригонометрических, логарифмических, показательных и т.п., то уравнение называется трансцендентным.
66728. Либеральные реформы 60-70гг. XIX в., их противоречивость 34 KB
  Городская реформа 1870 создала городское самоуправление: городскую думу и управу решавшие коммунальные вопросы борьба с пожарами контроль за санитарией проблемы школ приютов лечебниц и др. Судебная реформа стала историческим фактом. Реформа школы в основном была осуществлена двумя актами: 14 июня 1864 г.
66729. Сущность лизинга 59 KB
  Существует множество определений лизинга: Лизинг это приобретение оборудования с предоставлением его в аренду организациям лизингополучателю в обмен на лизинговые платежи. Лизинг предусматривает возможность выкупа оборудования по истечении срока действия лизингового договора или досрочно по остаточной стоимости.
66730. Ивент-менеджеры как профессиональная группа: процесс формирования в современной России 1.37 MB
  Кардинальные экономические, социальные, культурные преобразования конца XX века способствовали трансформации профессиональной структуры российского общества. Так, изменение статусных позиций традиционных профессий, распространение новых форм занятости...
66731. Исследование действия препарата «Байкал ЭМ1» на параметры роста и развития пшеницы на ранних этапах развития в условиях слабого засоления субстрата 428 KB
  Современный мир с растущим населением предъявляет природе всё больше требований. Плодородных земель становится всё меньше. Некогда здоровые плодоносящие земли, в результате неграмотного применения орошения засоляются и становятся непригодными для выращивания важных...