4601

Основы булевой алгебры. Построение комбинационных схем по структурной формуле на однотипных базовых элементах

Контрольная

Математика и математический анализ

Основы булевой алгебры Для описания работы схем вычислительной техники и автоматики используют булеву алгебру. Булевой функцией называют функцию f(x1, x2, х3,…, xn), аргументы которой x1, x1, x2, xn и сама функция принимают значение 0 или 1. Табл...

Русский

2012-11-23

163 KB

27 чел.

Основы булевой алгебры

Для описания работы схем вычислительной техники и автоматики используют булеву алгебру.

Булевой функцией называют функцию f(x1, x2, х3,…, xn), аргументы которой x1, x1, x2, …, xn и сама функция принимают значение 0 или 1.

Таблицу, показывающую, какие значения принимает булева функция при всех сочетаниях значений её аргументов, называют таблицей истинности. Таблица истинности булевой функции n аргументов содержит 2n строк, n столбцов значений аргументов и 1 столбец значений функций. Например, таблицей 1 задана булева функция Y=f(x1, х2, х3) от трех переменных х1, x2, х3. Она содержит 23 = 8 строк и четыре столбца.

Таблица №1

X1

X2

X3

Y

0

0

1

1

1

1

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

Булеву функцию y=f(x1, x2), определенную таблицей истинности 2, называют логическим сложением или дизъюнкцией и обозначают символом, т. е. используют такую запись: у=x1x2. На основании таблицы 2 можно записать таблицу 3 логического сложения. Она отличается от обычного сложения только тем, что 1+1 принимают равным 1.

Булеву функцию y=f(x12), определенную таблицей истинности 4, называют логическим умножением или конъюнкцией и обозначают символом, т. е. используют запись у=х1х2. На основании таблицы истинности 4 можно записать таблицу 5 логического умножения. Она полностью совпадает с таблицей умножения для чисел 0, 1.

Логическое сложение обозначают также знаком «+», а логическое умножениезнаком «∙».

Булеву функцию у=f(x), определенную таблицей 6, называют отрицанием и обозначают её чертой, т. е. записывают у=.


Таблица №2       Таблица №3   Таблица №4       Таблица №5        Таблица №6

x1

x2

y

00=0

01=1

10=1

11=1

x1

x2

y

00=0

01=0

10=0

11=1

x

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

На основании таблиц логического сложения, умножения и отрицания можно записать:

а) 1+ x = 1,  в) x + =1,   д) ,  ж) ,

б) 0 + x = x,  г) x + = x,   е) ,  З) .

Для конъюнкции, дизъюнкции и отрицания справедливы следующие законы:

1) переместительный:

x1+ x2 = x2 + x1

2) сочетательный:

,

( x1+ x2) + x3 = x1+ (x2 + x3).

3) первый распределительный закон:

;

второй распределительный:

;

4) инверсный:

,

.

Любой из законов легко проверить путём составления таблиц истинности для обеих частей равенства. Например, проверим правильность закона . Составим таблицы №7 и №8.

Таблица №7      Таблица №8

x1

x2

x1

x2

0

0

0

1

0

0

1

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

0

0

0

Сравнивая столбцы значений функций для левой и правой частей равенства, видим, что эти значения совпадают, а следовательно, левая и правая часть равенства равна правой.

Структурная формула

Булево выражение y=f(x1, х2, ...,xn) можно рассмотреть как структурную формулу, определяющую структуру логического устройства, цепь которого состоит из элементов И, ИЛИ, НЕ.

Обычно булева функция задается таблицей истинности, структурная формула которой записывается либо в так называемой совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ), либо совершенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ).

СДНФ представляет собой логическую сумму (дизъюнкцию) нескольких логических произведений (конъюнкций), каждое из которых содержит все переменные или их отрицания. СДНФ булевой функции записывается на основании таблицы истинности следующим образом:

1. Число конъюнкций равно числу строк таблицы истинности, в которых функция равна 1 ( y=1).

2. Знак инверсии ставится над переменными, которые в соответствующих строках равны 0.

Например, для таблицы 1 СДНФ булевой функции будет содержать четыре конъюнкции, соединенные между собой логическим сложением:

Таблица №1

x3

x2

x1

y

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

СКНФ представляет собой конъюнкцию нескольких дизъюнкций, каждая из которых содержит все переменные или их отрицания. СКНФ булевой функции на основании таблицы истинности записывается следующим образом:

1. Число дизъюнкций равно числу строк таблицы истинности, в которых функция равна 0 == 0).

2. Над теми переменными, которые в соответствующих строках равны 1, ставят знак инверсии.

Например, для таблицы 1 СКНФ булевой функции будет содержать четыре дизъюнкции соединенные между собой логическим умножением:

y =()()()()

Структурные формулы могут быть упрощены по законам алгебры логики. Такими преобразованиями пользуются для упрощения (минимизации) числа логических операций. Например, упростим структурную формулу:

y=

=

=

==.

Построение комбинационных схем по структурной формуле на однотипных базовых элементах

Рассмотрим логическую функцию , используя инверсный закон получим . Полученное выражение представляет собой логическую функцию элемента ИЛИНЕ на входы которого поданы переменные  и . Переменную  можно представить, как  тогда исходную функцию можно записать . То есть заданная функцию можно собрать на двух логических элементах ИЛИНЕ рис. 1.

Рис. 1

Элементы И-НЕ часто используются в качестве элементов других типов. На рисунке 2 показано как элементы И-НЕ могут быть использованы для создания других функций.

Рисунок 2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36334. Классификация САПР по типу и разновидности объектов проектирования 12.38 KB
  Классификация САПР по типу и разновидности объектов проектирования. САПР классифицируются по ГОСТ 23 501. Основные признаки характеризующие САПР: Тип. Число уровней в структуре технического обеспечения САПР.
36335. Методы измерения температуры, бесконтактный метод 56.5 KB
  О температуре нагретого тела можно судить на основании измерения параметров его теплового излучения представляющего собой электромагнитные волны различной длины. Термометры действие которых основано на измерении теплового излучения называются пирометрами. Физические тела характеризуются либо непрерывным спектром излучения твердые и жидкие вещества либо избирательным газы. Эта связь описывается законом Планка: где М0λТ плотность мощности излучения испускаемого телом находящимся при температуре Т на длине волны λ Т ...
36336. Методы измерения температуры 12.61 KB
  Методы измерения температуры. Существует два метода измерения температуры: контактный метод и бесконтактный. Из всего многообразия методов измерения температуры и измерительных средств в металлургии широкое распространение получили термопреобразователи сопротивления термоэлектрические преобразователи и пирометры излучения. Первые две разновидности датчиков используются для контроля температуры охлаждающей воды подогретых газов и воздуха поступающих к горелочным устройствам отходящих продуктов сгорания футеровки агрегатов жидких металлов...
36337. Назначение и правила выполнения структурной схемы комплекса технических средств автоматизации 54.21 KB
  Назначение и правила выполнения структурной схемы комплекса технических средств автоматизации. В самом общем виде структурная схема системы автоматизации представлена на рисунке 9. Система автоматизации состоит из объекта автоматизации и системы управления этим объектом. Благодаря определенному взаимодействию между объектом автоматизации и системой управления система автоматизации в целом обеспечивает требуемый результат функционирования объекта характеризующийся параметрами х1 х2хn Работа комплексного объекта автоматизации...
36338. Поясните понятие устойчивости линейной САУ. Дайте классификацию методов определения устойчивости и поясните их 41.01 KB
  Дайте классификацию методов определения устойчивости и поясните их. Устойчивость СУ по начм условиям по Ляпунову это свво системы без которого она не работоспособна. устойчива то затухают все составляющее свободных движений вызванных любыми ненулми начми условиями.
36340. Функциональная схема САР развернутым способом с изображением технологического оборудования. 37.53 KB
  Развернутый способ как правило применяют для наиболее сложных объектов автоматизации. Упрощенный способ применяют в основном для несложных объектов автоматизации. Изображение приборов и средств автоматизации при этом способе производят непосредственно на изображении технологического оборудования и трубопроводах. Приборы и средства автоматизации осуществляющие сложные функции контроль регулирование сигнализацию и т.
36341. Приведите классификацию, формулировки критериев устойчивости и поясните их 46.57 KB
  Для более сложных случаев разработаны критерии устойчивости т. Алгебраические позволяют судить об устойчивости по коэффициентам Ар. Критерий Гурвица: Для асимптотической устойчивости необходимо чтобы все миноры данной матрицы были положительными.
36342. SCADA-система iFIX 71.9 KB
  Такие системы обеспечивают получение данных в реальном времени как персоналом предприятия так и прикладным программным обеспечением установленным на предприятии. Представление данных в реальном времени является ключевым для более эффективного использования ресурсов и персонала и для большей степени автоматизации . Для сбора данных системе iFIX не требуется уникальное оборудование. Основой программного обеспечения iFIX является база данных процесса.