46060

Кинематика и динамика вращательного движения АТТ

Лекция

Физика

Кинематические характеристики частицы (поступательного движения АТТ) – перемещение , скорость и ускорение не могут служить характеристиками АТТ, участвующего во вращательном движении (для разных точек АТТ они разные). Нужны другие характеристики.

Русский

2014-10-12

500.5 KB

11 чел.

ЛЕКЦИЯ  № 4

Гл. 2. Кинематика и динамика вращательного движения АТТ

1. Центр инерции (центр масс)

механической системы частиц

Центр инерции (центр масс) АТТ – это такая точка, радиус-вектор которой определяется соотношением:

    (4-1)

общая масса АТТ (аддитивность массы).

В проекциях на координатные оси:

;  ; . (4-1а)

Продифференцировав (4-1) по времени, получим:

       (4-2)

 скорость центра инерции (центра масс) АТТ.

Продифференцировав еще раз по времени, получим:

    (4-3)

 закон движения центра инерции (центра масс) АТТ.

Для отдельной частицы АТТ имеем:

Продифференцировав это выражение по времени, получим:

Если   т. е. каждая точка АТТ движется со скоростью центра инерции (центра масс) АТТ – это поступательное движение АТТ.

Если , но  (АТТ), тогда  меняется только по направлению (а это связано с поворотом АТТ) это вращательное движение АТТ.

Связав ИСО с центром инерции (центром масс) АТТ, будем рассматривать только вращательное движение АТТ.

2. Кинематические характеристики

Кинематические характеристики частицы (поступательного движения АТТ) – перемещение , скорость  и ускорение  не могут служить характеристиками АТТ, участвующего во вращательном движении (для разных точек АТТ они разные). Нужны другие характеристики.

Угол поворота   = рад.

  элементарное угловое перемещение – псевдовектор, направленный вдоль оси вращения тела по правилу «правого винта» или «буравчика» (при вращении тела вокруг неподвижной оси Oz) и численно равный малому углу поворота, совершенному телом за время dt.

Быстроту вращательного движения тела характеризует угловая скорость – это векторная физическая величина, равная угловому перемещению тела за единицу времени (или первая производная от углового перемещения тела по времени):

= рад/с = с1.    (4-4)

Вектор  направлен вдоль оси вращения в сторону углового перемещения ().

 

Для нахождения углового перемещения (угла поворота) тела по известной угловой скорости необходимо вычислить интеграл:

           (4-5)

где N – количество оборотов, совершенных телом за время t.

Если z = const, то формула (4-5) будет описывать равномерное вращение тела вокруг неподвижной оси Oz. Тогда

,          (4-5а)

т. е. тело за равные промежутки времени поворачивается на одинаковый угол.

Часто для описания вращательного движения тела используют понятия «частота вращения» и «период вращения».

Частотой вращения n называется физическая величина, равная количеству оборотов, которое совершило тело за единицу времени. [n] = об/с.

Периодом вращения Т называется время одного оборота тела. [T] = с.

Угловая скорость, частота и период вращения связаны между собой соотношением:

       (4-6)

Если , то тело вращается с угловым ускорением

Угловое ускорение – это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости и равная изменению угловой скорости за единицу времени (или первая производная от угловой скорости по времени):

  рад/с2= с2      (4-7)

Вектор  направлен в сторону изменения угловой скорости ().

Для нахождения угловой скорости вращения тела по известному угловому ускорению следует вычислить интеграл:

    (4-8)

Если  = const, то формула (4-8) будет описывать равнопеременное вращательное движение тела вокруг неподвижной оси. Тогда из уравнений (4-8) и (4-5) получим:

;

;

;

.

При равнопеременном вращательном движении модуль угловой скорости тела за равные промежутки времени изменяется на одинаковую величину.

Если ось Oz направлена вдоль угловой скорости, то при > 0 вращение будет равноускоренным, при < 0 – равнозамедленным.

Если   const, то для вычисления угловых скорости тела и перемещения тела необходимо пользоваться общими формулами (4-5) и (4-8):

Между кинематическими характеристиками поступательного и вращательного движений существует связь:

   (4-9)

где R  кратчайшее расстояние от неподвижной оси вращения тела до отдельной частицы данного тела.

Связь между кинематическими характеристиками поступательного и вращательного движений при вращении АТТ вокруг неподвижной оси:

3. Момент силы. Момент импульса

Для каждой частицы АТТ, участвующей во вращательном движении относительно неподвижной оси, проходящей через центр инерции (центр масс) тела, можно записать основное уравнение динамики в виде:

где равнодействующая всех внешних и внутренних сил, действующих на частицу.

Домножим обе части этого уравнения векторно слева на радиус-вектор частицы относительно точки О:

     (*)

В уравнении со (*)

     (4-10)

 момент силы относительно точки О – векторное произведение радиус-вектора, проведенного в точку приложения силы на вектор силы.

Нм.  Направление  определяется правилом векторного произведения или правилом «буравчика».

Численное значение М

,   

  плечо силыкратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы.

.  (4-10а)

В системе центра инерции при вращении АТТ вокруг неподвижной оси пользуются понятием момента сил относительно неподвижной оси Mz – это скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора момента силы , определенного относительно произвольной точки О.

Значение Mz не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Вектор силы  можно представить в виде суммы трех взаимно перпендикулярных составляющих

,

где  составляющая силы , направленная перпендикулярно оси Оz;

составляющая силы , направленная параллельно оси Оz;

составляющая силы , направленная перпендикулярно плоскости чертежа, по касательной к траектории частицы, на которую действует сила .

,     , ,

где   плечо силы – кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия тангенциальной составляющей силы .

если вращательный момент силы;

если тормозящий момент силы.

В левой части уравнения со (*) производную можно вынести за знак векторного произведения

Тогда

     (4-11)

 момент импульса (момент количества движения, кинетический момент) частицы относительно точки О – векторное произведение радиус-вектора, частицы на вектор ее импульса.

кгм2/с  Направление  определяют правилом векторного произведения или правилом «буравчика».

Численное значение

,    

  плечо импульса

В системе центра инерции при вращении АТТ вокруг неподвижной оси пользуются понятием момента ипульса относительно неподвижной оси Lz – это скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора момента импульса , определенного относительно произвольной точки О.

При вращении АТТ вокруг неподвижной оси каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса c некоторой скоростью . Скорость  и импульс  перпендикулярны этому радиусу, т.е. радиус является плечом вектора .

Тогда для отдельной частицы можно записать

.

А для АТТ, вращающегося вокруг неподвижной оси

.

Подставив введенные обозначения  и  в уравнение со (*), получим:

     (**)

 теорема об изменении момента импульса частицы.

Просуммировав (**) по всем частицам, получим:

       (4-12)

  момент импульса АТТ,

  суммарный момент всех внешних сил, действующих на АТТ  (по третьему закону Ньютона ).

(4-12)  теорема об изменении момента импульса АТТ.

PAGE   \* MERGEFORMAT10


у

O

х

z

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

z

z

   

С

O

z


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9726. Технический анализ рынка ценных бумаг (фондового рынка) 26.5 KB
  Сначала отметим, что слово технический означает изучение самого фондового рынка, а не внешних по отношению к нему факторов. Взгляд технических аналитиков обращен в прошлое, и поэтому они редко задумываются над вопросами о величинах будущих доходов и...
9727. Технический анализ рынка ценных бумаг. 26.5 KB
  Несмотря на то, что технический анализ используют многие инвесторы, более распространенным является фундаментальный анализ. Фундаментальные аналитики исследуют закономерности, которые будут действовать в будущем. При этом они концентрируют свое вним...
9728. Шкалы риска и характеристика их градации 26.5 KB
  При выработке стратегии поведения и в процессе принятия конкретного решения предпринимателю целесообразно различать и выделять определенные области (зоны риска) в зависимости от уровня возможных (ожидаемых) потерь. Как и к большинству других вопросо...
9729. 3аключение договора 55 KB
  Заключение договора. Заключение договора, кроме мелких бытовых сделок, проходит обычно несколько стадий, каждая из которых влечет для будущих контрагентов определенные правовые последствия. Различен и порядок заключения договоров: наряду с общими пр...
9730. Договор в пользу третьего лица 23.5 KB
  Договор в пользу третьего лица. Договором в пользу третьего лица признается договор, в котором стороны установили, что должник обязан произвести исполнение не кредитору, а указанному или не указанному в договоре третьему лицу, имеющему право требова...
9731. Договор комиссии 32 KB
  Договор комиссии. По договору комиссии одна сторона (комиссионер) обязуется по поручению другой стороны (комитента) за вознаграждение совершить одну или несколько сделок от своего имени, но за счет комитента. По сделке, совершенной комиссионером с т...
9732. Договор контрактации. Доклад 31.5 KB
  Договор контрактации. По договору контрактации производитель сельскохозяйственной продукции обязуется передать выращенную (произведенную) им сельскохозяйственную продукцию заготовителю - лицу, осуществляющему закупки такой продукции для переработки ...
9733. Договор купли-продажи: понятие, элементы, содержание 29.5 KB
  Договор купли-продажи: понятие, элементы, содержание. По договору купли-продажи одна сторона (продавец) обязуется передать вещь (товар) в собственность другой стороне (покупателю), а покупатель обязуется принять этот товар и уплатить за него определ...
9734. Договор мены. Доклад 28.5 KB
  Договор мены. По договору мены каждая из сторон обязуется передать в собственность другой стороны один товар в обмен на другой. К договору мены применяются соответственно правила о купле-продаже, если это не противоречит существу мены. При этом кажд...