46060

Кинематика и динамика вращательного движения АТТ

Лекция

Физика

Кинематические характеристики частицы (поступательного движения АТТ) – перемещение , скорость и ускорение не могут служить характеристиками АТТ, участвующего во вращательном движении (для разных точек АТТ они разные). Нужны другие характеристики.

Русский

2014-10-12

500.5 KB

7 чел.

ЛЕКЦИЯ  № 4

Гл. 2. Кинематика и динамика вращательного движения АТТ

1. Центр инерции (центр масс)

механической системы частиц

Центр инерции (центр масс) АТТ – это такая точка, радиус-вектор которой определяется соотношением:

    (4-1)

общая масса АТТ (аддитивность массы).

В проекциях на координатные оси:

;  ; . (4-1а)

Продифференцировав (4-1) по времени, получим:

       (4-2)

 скорость центра инерции (центра масс) АТТ.

Продифференцировав еще раз по времени, получим:

    (4-3)

 закон движения центра инерции (центра масс) АТТ.

Для отдельной частицы АТТ имеем:

Продифференцировав это выражение по времени, получим:

Если   т. е. каждая точка АТТ движется со скоростью центра инерции (центра масс) АТТ – это поступательное движение АТТ.

Если , но  (АТТ), тогда  меняется только по направлению (а это связано с поворотом АТТ) это вращательное движение АТТ.

Связав ИСО с центром инерции (центром масс) АТТ, будем рассматривать только вращательное движение АТТ.

2. Кинематические характеристики

Кинематические характеристики частицы (поступательного движения АТТ) – перемещение , скорость  и ускорение  не могут служить характеристиками АТТ, участвующего во вращательном движении (для разных точек АТТ они разные). Нужны другие характеристики.

Угол поворота   = рад.

  элементарное угловое перемещение – псевдовектор, направленный вдоль оси вращения тела по правилу «правого винта» или «буравчика» (при вращении тела вокруг неподвижной оси Oz) и численно равный малому углу поворота, совершенному телом за время dt.

Быстроту вращательного движения тела характеризует угловая скорость – это векторная физическая величина, равная угловому перемещению тела за единицу времени (или первая производная от углового перемещения тела по времени):

= рад/с = с1.    (4-4)

Вектор  направлен вдоль оси вращения в сторону углового перемещения ().

 

Для нахождения углового перемещения (угла поворота) тела по известной угловой скорости необходимо вычислить интеграл:

           (4-5)

где N – количество оборотов, совершенных телом за время t.

Если z = const, то формула (4-5) будет описывать равномерное вращение тела вокруг неподвижной оси Oz. Тогда

,          (4-5а)

т. е. тело за равные промежутки времени поворачивается на одинаковый угол.

Часто для описания вращательного движения тела используют понятия «частота вращения» и «период вращения».

Частотой вращения n называется физическая величина, равная количеству оборотов, которое совершило тело за единицу времени. [n] = об/с.

Периодом вращения Т называется время одного оборота тела. [T] = с.

Угловая скорость, частота и период вращения связаны между собой соотношением:

       (4-6)

Если , то тело вращается с угловым ускорением

Угловое ускорение – это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости и равная изменению угловой скорости за единицу времени (или первая производная от угловой скорости по времени):

  рад/с2= с2      (4-7)

Вектор  направлен в сторону изменения угловой скорости ().

Для нахождения угловой скорости вращения тела по известному угловому ускорению следует вычислить интеграл:

    (4-8)

Если  = const, то формула (4-8) будет описывать равнопеременное вращательное движение тела вокруг неподвижной оси. Тогда из уравнений (4-8) и (4-5) получим:

;

;

;

.

При равнопеременном вращательном движении модуль угловой скорости тела за равные промежутки времени изменяется на одинаковую величину.

Если ось Oz направлена вдоль угловой скорости, то при > 0 вращение будет равноускоренным, при < 0 – равнозамедленным.

Если   const, то для вычисления угловых скорости тела и перемещения тела необходимо пользоваться общими формулами (4-5) и (4-8):

Между кинематическими характеристиками поступательного и вращательного движений существует связь:

   (4-9)

где R  кратчайшее расстояние от неподвижной оси вращения тела до отдельной частицы данного тела.

Связь между кинематическими характеристиками поступательного и вращательного движений при вращении АТТ вокруг неподвижной оси:

3. Момент силы. Момент импульса

Для каждой частицы АТТ, участвующей во вращательном движении относительно неподвижной оси, проходящей через центр инерции (центр масс) тела, можно записать основное уравнение динамики в виде:

где равнодействующая всех внешних и внутренних сил, действующих на частицу.

Домножим обе части этого уравнения векторно слева на радиус-вектор частицы относительно точки О:

     (*)

В уравнении со (*)

     (4-10)

 момент силы относительно точки О – векторное произведение радиус-вектора, проведенного в точку приложения силы на вектор силы.

Нм.  Направление  определяется правилом векторного произведения или правилом «буравчика».

Численное значение М

,   

  плечо силыкратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы.

.  (4-10а)

В системе центра инерции при вращении АТТ вокруг неподвижной оси пользуются понятием момента сил относительно неподвижной оси Mz – это скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора момента силы , определенного относительно произвольной точки О.

Значение Mz не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Вектор силы  можно представить в виде суммы трех взаимно перпендикулярных составляющих

,

где  составляющая силы , направленная перпендикулярно оси Оz;

составляющая силы , направленная параллельно оси Оz;

составляющая силы , направленная перпендикулярно плоскости чертежа, по касательной к траектории частицы, на которую действует сила .

,     , ,

где   плечо силы – кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия тангенциальной составляющей силы .

если вращательный момент силы;

если тормозящий момент силы.

В левой части уравнения со (*) производную можно вынести за знак векторного произведения

Тогда

     (4-11)

 момент импульса (момент количества движения, кинетический момент) частицы относительно точки О – векторное произведение радиус-вектора, частицы на вектор ее импульса.

кгм2/с  Направление  определяют правилом векторного произведения или правилом «буравчика».

Численное значение

,    

  плечо импульса

В системе центра инерции при вращении АТТ вокруг неподвижной оси пользуются понятием момента ипульса относительно неподвижной оси Lz – это скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора момента импульса , определенного относительно произвольной точки О.

При вращении АТТ вокруг неподвижной оси каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса c некоторой скоростью . Скорость  и импульс  перпендикулярны этому радиусу, т.е. радиус является плечом вектора .

Тогда для отдельной частицы можно записать

.

А для АТТ, вращающегося вокруг неподвижной оси

.

Подставив введенные обозначения  и  в уравнение со (*), получим:

     (**)

 теорема об изменении момента импульса частицы.

Просуммировав (**) по всем частицам, получим:

       (4-12)

  момент импульса АТТ,

  суммарный момент всех внешних сил, действующих на АТТ  (по третьему закону Ньютона ).

(4-12)  теорема об изменении момента импульса АТТ.

PAGE   \* MERGEFORMAT10


у

O

х

z

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

z

z

   

С

O

z


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68795. Анализ реализации продукции для улучшения деятельности предприятия (на примере ОАО «Новогрудский маслодельный комбинат») 335.5 KB
  Согласно Закону о предприятиях в Республике Беларусь предприятия самостоятельно планируют свою деятельность на основе договоров заключенных с потребителями продукции и поставщиками материально-технических ресурсов и определяют перспективы...
68796. Реконструкция зданий и сооружений 55.5 KB
  Единственной рациональной альтернативной сносу являются модернизация и реконструкция рассматриваемых зданий методами градостроительного преобразования и переустройства которые должны быть произведены с учётом экономических социально функциональных технических эстетических и экологических...
68797. Прибыль предприятия как цель его функционирования 188.5 KB
  Использование средств производства работниками материальной сферы обеспечивает выпуск промышленной продукции. Для выявления финансового результата необходимо сопоставить выручку с затратами на производство и реализацию которые принимают форму себестоимости продукции.
68798. Технология изготовления металлических деталей светильника и его сборка 204.5 KB
  Для изготовления настольной лампы необходимы листы трубки и провода. Холодная штамповка нашла широкое применение на светотехнических заводах и различают следующие ее виды: 1 вырубку когда из листовой заготовки вырезается деталь заданного контура; 2 пробивку когда в заготовке детали производится...
68800. Маркетинговое исследование рынка сахара в городе Омске 189.26 KB
  Целью данного маркетингового исследования является изучение рынка сахара в городе Омске, ассортимента и предпочтений потребителей. Для достижения этой цели, необходимо решить следующие задачи: Изучить сущность маркетинговых исследований; Разработать опросный лист и провести опрос...
68801. Расчет передающего устройства магистральной радиосвязи 6.62 MB
  Мощность сигнала в нагрузке – 18 кВт Диапазон рабочих частот – 3 – 9 МГц Нагрузка – несимметричная, широкополосная сопротивлением 50 Ом Модуляция – А3J – однополосная телефония с подавленной несущей. Передача одноканальная. В возбудителе содержится синтезатор с шагом рабочих частот – 60 Гц.
68802. Устройства генерирования и формирования сигналов 4.71 MB
  Мощность которую должен обеспечивать один модуль выходного каскада можно оценить по формуле: ; Вт где КПД выходной колебательной системы и КПД систем сложения мощностей; M – число модулей в выходном каскаде. Каждый двухтактный ГВВ модуля выходного каскада должен выделять мощность 1235 4 = 30875 Вт.
68803. Механизация погрузо-разгрузочных работ 1.62 MB
  Время очистки полувагона от остатков сыпучего груза с помощью накладного вибратора ВРШ2 tоч=6мин. м; αn−коэффициент амортизации эстакады αn=003; γ – коэффициент учитывающий эффективность капиталовложений γ=01; tм− время выполнения маневров tм=03 ч.− подготовительно-заключительное время tп.=015 часа...