46139

Математика народов Средней Азии, Ближнего и Среднего Востока

Лекция

Математика и математический анализ

Теория отношений и действительные числа. Арабские купцы часто записывали числа словами. Дроби записывали на индийский манер: знаменатель над числителем а целую часть числа писали над числителем. Александрийские астрономы применяли смешанную десятичную – шестидесятиричную систему: целые числа в том числе числители дробей они писали по десятичной системе.

Русский

2013-11-19

279.86 KB

50 чел.

Лекция 8

Тема: Математика народов Средней Азии, Ближнего и Среднего Востока.

План:

1. Арабская нумерация.

2. Арифметические действия, дроби и задачи.

3. Алгебра и квадратные уравнения.

4. Геометрические построения.

5. Тригонометрия.

6. Теория отношений и действительные числа.

В VII в.в Аравии возникла новая религия ислам (буквально – «покорность»), основанная Мухаммедом (Магометом). Новая религия, приверженцы которой называется мусульманами (от слова «муслим» - покорный), впитала традиции старых религий – иудейства и христианства. Мухаммед был объявлен пророком, шестым после Адама, Ноя, Авраама, Моисея и Иисуса.

Арабская  нумерация

В странах ислама были распространены два типа нумерации: буквенная и десятичная позиционная (заимствованная у индийцев).

Буквенная нумерация арабов содержит 28 букв, и все они получили числовые значения, поэтому в буквенной арабской нумерации имеются специальные значения для 1, 2, …, 9, 10, 20, …, 90, 100, 200, …, 900, 1000.

Введение десятичной позиционной нумерации было одной из важнейших заслуг багдадской школы. Эта нумерация появилась впервые в книге Мухаммеда  ал-Хорезми (787 – ок. 850) «Об индусском счете», где  он пишет: «Когда увидел я, что индийцы составляли из девяти букв любое свое число, благодаря расположению, какое они установили, я пожелал раскрыть, если будет угодно богу, что получается из этих букв, для облегчения изучающему»… (Мухаммед ал-Хорезми. Математические трактаты. Перевод Б.А. Розенфельда и Ю.Х. Копелевич. Ташкент, 1964, стр.9).

В западных странах ислама индийские цифры применялись при вычислении на счетной доске, покрытой пылью.

Арабские купцы  часто записывали числа словами. Из словесной записи чисел впоследствии выработалась применяющаяся до сих пор торговцами многих стран Востока числовая скоропись – сийак.

Арифметические действия.

Первое руководство по арифметике, основанное на позиционном принципе, было написано в первой трети 9 в. Мухаммедом ал-Хорезми. Сведений о жизни этого ученого сохранилось крайне мало. Имя ал-Хорезми указывает на его родину – среднеазиатское государство Хорезм.

Он был хорошо знаком с наукой Индии и  эллинистических стран Ближнего Востока. Кроме арифметического трактата ал-Хорезми, сохранились его трактаты по алгебре, содержащий также главу по геометрии, астрономические таблицы, включающие раздел, посвященный тригонометрии, таблицы  широт и долгот городов, составлены не ранее 836 г, и трактат о календаре.

Ал-Хорезми подробно описывает сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение квадратного корня с помощью индийских цифр. Действия производились на доске, покрытой песком или пылью, и на каждом этапе выкладки использованные цифры стирались и заменялись новыми. Эта индийская процедура, непригодная при письме на бумаге, сохранялась долгое время.  Рассмотрим пример умножения 2326 ∙ 214 = 497764 (множители, после умножения на каждую его цифру, сдвигаются на одно место вправо).

   2  326

214

428       326

     214

 

4992    26

     2 1 4

496   486

  2 1 4

497764

Руководство ал-Хорезми сыграло очень большую роль в развитии арифметики. Имя автора в латинизированной форме Algorismus и Algorithsmus стало в  средневековой Европе обозначать всю систему десятичной позиционной арифметики. В последствии  и термин «алгоритм» приобрел более широкий смысл всякого регулярного вычислительного процесса, в конечное число шагов дальнейшего решения определенного класса задач.

Дроби.

Арабский язык не имеет специальных терминов для выражения долей единицы (аликвотных дробей), меньших 1/10, все остальные доли назначаются «Одна часть из n», а  их кратные – «m частей из n». Такому словоупотреблению соответствовало понятие конкретной дроби, выражающей одну или несколько частей величины, предполагаемой делимой. Но существовала и другая концепция дроби как отношения двух отвлеченных целых чисел, восходящая к античной теории пропорции. Эта последняя теория явилась основой арабской арифметики. Так, умножение целых чисел определяли в первую очередь как повторное сложение, но такое определение неприменимо в случае двух дробей. Трудность преодолевалась с помощью другого определения: умножить а  на  в  значит найти число q, удовлетворяющее пропорции: q : а = в : 1 или q : в = а : 1; такая дефиниция применима в равной мере к целым и дробям. Аналогично определяли деление.

Дроби записывали на индийский манер: знаменатель над числителем, а целую часть числа писали над числителем. Разделительная черта появляется около 1200 г.

У чиновников, землемеров, торговцев было издавна в ходу исчисление дробей, схожее с тем, которое применяли египетские чиновники..

Дроби представляли в виде суммы долей единицы 1/n, n≤10. Ученые усовершенствовали такое исчисление и выработали целую систему правил для представления любых дробей с помощью аликвотных дробей.

Александрийские астрономы применяли смешанную десятичную – шестидесятиричную систему: целые числа в том числе числители дробей, они писали по десятичной системе.

Арабские ученые восстановили древний вавилонский счет и распространили шестидесятиричный принцип на целые числа.

Действия в этой системе, употреблявшейся при астрономических расчетах, производятся, как в нашей десятичной системе целых и дробей. Первое подробное описание такой системы встречается в «Книге о Началах арифметики индийцев» (ок. 1000) Кушьяра ибн Лаббана, в «Ключе арифметики» (1427) Гияс ад-Дина Джемшида  ал-Каши.

Выдающимся достижением ал-Каши явилось введение десятичных дробей. Он формулирует основные правила действий с  десятичными дробями, способы перевода шестидесятиричных дробей в десятичные и обратно; в его трудах многие величины выражаются с помощью десятичных дробей. Десятичная дробь записывалась в одной строке с целой частью числа; для ее обозначения ал-Каши отделял дробь от целого вертикальной чертой или писал другим цветом или надписывал над цифрами названия разрядов, чаще всего называя только низший разряд, определяющий все остальные.

Десятичные дроби издавна применялись в Китае. Возможно, что до ал-Каши доходили об этом сведения, однако сам он считал десятичные дроби своим собственным изобретением. Во всяком случае, регулярное их применение и подробное описание операций принадлежит ему.

Систематическим же ведением десятичных дробей мы обязаны голландцу С. Стевину (1585).

Арифметические задачи.

Теория пропорций получила практические применения в решении многих арифметических задач, возникших в торговом деле, распределение налогов, разделе наследств …. Из Индии было заимствовано тройное правило. Наряду с ним в ходу было правило двух ложных положений (возможно заимствованной из Китая) и применявшееся для механического решения задач, представляемых линейным уравнением с одним неизвестным или системой линейных уравнений с несколькими неизвестными.

Теоретическое обоснование правила двух ложных положений средствами геометрической алгебры греков дал Коста ибн Лука ал-Ба Лабакки (ум. 912) в «Книге о доказательстве действия исчисления двух ошибок».

Он исследует уравнения ах = в и два значении , . Пусть . Коста  ибн Лука строит отрезки на прямои АЕ (Рис 1.)

Рис 1.

, , . Откладывает перпендикулярно этой прямой отрезок DO = b, проводит прямую АО и восстанавливает перпендикуляры GJ и EQ до пересечения с прямой АО. Тогда в силу пропорциональности перпендикуляры GJ и EQ изображают значения левой части уравнения при и . Так как дано ложное положение AG, то даны GJ и «первая ошибка» JX, и аналогично даны EQ и «вторая ошибка» PQN. Поэтому известны прямоугольники PC и RX, равные произведениям первой ошибки на второе ложное положение и второй ошибки на первое ложное положение. Прямоугольники NO и PK равны, поэтому сумма прямоугольников PC и RX равна прямоугольнику RK, который также  известен. Но прямоугольник RK равен произведению неизвестной AD на сумму ошибок JX и XN. Если обозначить ошибки и , то получим искомое правило в виде

.

Правило двух ошибок приобрело большую популярность и перешло затем в европейскую математику; оно применяется и теперь в приближенных вычислениях как средства линейной интерполяции.

Алгебра и квадратные уравнения.

Автором арабского трактата по алгебре «Краткой книге об исчислении ал-джабра и ал-мукабалы», в латинских переводах, оказавшего большое влияние на средневековую европейскую науку, является ал-Хорезми.

Рассматривающееся решение шести канонических классов уравнений первой и второй степени, которые он, как его приемники в странах арабского Востока записывали без всякой символики:

Например, уравнение четвертого класса он выражал так: «квадраты и корни равны числу».

Решение какого-либо уравнения первой или второй степени сводится к одному из этих типов, не содержащих вычитаемые члены. Для этого применяются операции, давшие названия как трудам по алгебре, так и самой этой науке. Операция ал-джабр (воспоминания) есть перенос вычитаемых членов уравнения в другую часть в виде прибавляемых членов; ал-мукабала (противопоставления) есть сокращение равных членов в обеих частях. Кроме того, требовалось привести коэффициент а при квадрате к единице, так как правило решения формулировались для этого случая. Так, например, уравнение с помощью ал-джабра преобразуется в и после деления на 2 с помощью ал-мукабалы в уравнение пятого класса .

Ал-Хорезми формулирует правила, дающие положительные корни уравнения, на конкретных примерах с числовыми коэффициентами, но вполне общим образом. Обосновал ал-Хорезми правило для четвертого и шестого классов с помощью некоторых геометрических преобразований прямоугольных фигур, соответствующих нашим алгебраическим преобразованием.

Например, правило решения уравнения доказывается следующим образом. Неизвестная величина x изображается линией, -квадратом, построенным на этой линии, а произведение - суммой двух прямоугольников со сторонами и 5 (рис.2)

25

5

х

х

Рис 2.

5

Эти прямоугольники вместе с квадратом образовывали Г-образную фигуру с площадью 39. Далее Г-образная фигура дополняется квадратом со стороной 5 до полного квадрата с площадью 64. Сторона полного квадрата одновременно есть и 8; следовательно =3.

В алгебраическом трактате  ал-Хорезми встречаются также краткие сведения о действиях с алгебраическими выражениями, примеры алгебраического решения треугольников и ограничения некоторых задач на раздел наследств, выражающихся уравнениями первой степени.

Доказательствами правил решения квадратных уравнений занимались и другие ученые, в частности Сабит ибн Корра. Ибн Корра автор многих сочинений по математике, астрономии и механике. Имеются у него переводы и редакции с греческого и сирийского. Именно в его переводах сохранились не дошедшие до нас по-гречески книги «Конические сечения» Апполония, «Книга лемм»; «Книга о семиугольнике» и другие мемуары Архимеда. Все позднейшие ученые востока пользовались его переводом  «Алмагеста» и «Началами» Евклида в его редакции. Известен трактат ибн Корры, посвященный квадратным уравнениям «Рассуждение об установлении задач алгебры с помощью геометрических доказательств».

Решение квадратного уравнения.

Из «Краткой книги об исчислении алгебры и ал-мукабалы» Мухаммеда ал-Хорезми. Рассмотрим уравнение, которое обошло все средневековые руководства алгебры.

Что касается квадратов и корней, равных числу, то если, например, ты скажешь: квадрат и десять его корней равны 39 дирхемам (дирхем от греческого – драхма – денежная единица, здесь это просто единица), то это означает, что если добавить к некоторому квадрату то, что равно 10 корням, получится 39. Правило таково: раздвой (число) корней, получится в этой задачи 5, умножь это на равное ему, будет 25. А прибавь это к 39 будет 64. Извлеки из этого корень, будет 8, и вычти из этого половину (числа) корней, т.е. 5, останется 3: это и будет корень квадрата, который ты искал, а квадрат есть 9.

Надо сказать, что правило поясняются на примерах,  но формулируются общим образом.

Имеется чертеж, передающий смысл этого. Это плоская фигура АВ, являющаяся квадратом (рис.3). Чтобы прибавить к ней равное десяти ее корням, нужно раздвоить десять (корней), получается 5, строим (полученные) две плоские фигуры на двух сторонах фигуры АВ, это фигуры С, и D. Причем длина каждой из этих фигур  - 5, т.е. половина десяти корней, а ширина их равна стороне фигуры АВ. Остается квадратная фигура в одном из углов фигуры АВ (размерами) 5 на 5, а 5 – половина десяти корней, построенных на сторонах первой фигуры. Первая фигура – квадрат и что две фигуры на его сторонах составляют 10 корней. Все это вместе составляет 39. До полной самой фигуры остается квадратная фигура (размерами) 5 на 5, т.е. 25. Прибавим это к 39, чтобы дополнить, большую фигуру, т.е. фигуру GЕ. Все это вместе составляет 64. Извлечем корень, это 8. Это одна сторона самой большой фигуры.        

С

А

 Е

G

25

В

D

Рис. 3

Если мы вычтем из нее равное тому, что мы прибавляли, т.е. 5, останется 3. Эта сторона фигуры АВ, являющейся квадратом, т.е. корень, а квадрат его есть 9.

Как видно, доказательство также имеет общий характер, хотя и проведено на примере уравнения . Приведенное доказательство встречается у ал-Хорезми впервые.

Геометрические построения.

С нуждами землемерия, архитектуры, техники связаны разработки методов геометрических построений. Внук Сабита ибн Коры Ибрагим ибн Синан (908-946) в «Книге о построении трех (конических) сечений» рассматривает семь способов построения эллипса, гиперболы и параболы по точкам с помощью циркуля и линейки.

Рис. 4

Абу Саид ас-Сиджизи (X-XI вв.) в «Трактате об описании конических сечений» применял для непрерывного построения всех трех конических сечений так называемый совершенный циркуль, одна из ножек которого при вращении может вытягиваться и сокращаться по длине отрезка прямоугольной образующей конуса от его вершины до точек сечения. На рис.4 изображен совершенный циркуль, ножка АВ которого закреплена под углом α к плоскости бумаги, а ножка ВС переменной длины вращается вокруг ножки АВ под углом β.

При α > β сечение является эллипсом, при α =β – параболой, а при α < β – ветвью гиперболы.

Непрерывному построению эллипса с помощью нити, закрепленной в его фокусах (так называемый способ садовника), посвящен написанный в IX в. Трактат одного из братьев Бану Мусса ал-Хасана «Об удлиненном круге». На рис.5 изображено построение, таким образом, эллипса с фокусами  и В.

А

В

Рис. 5

Большое число геометрических построений изложено в «Книге о том, что необходимо ремесленнику из геометрических представлений» Абу-л-Вафы ал-Бузджани (недавно выяснилось, что большая часть этой книги текстуально совпадает с написанной на 50 лет ранее книги знаменитого философа Абу Насыра ал-Фараби (ок 870 - 950)).

Из геометрических задач Абу-л-Вафы отметим остроугольное построение квадрата, равновеликого трем равным квадратам, путем раскроя этих квадратов: два из них делятся диагонально пополам, полученные треугольники приставляются к сторонам третьего квадрата.

С

D

В

А

Е

G

F

H

G

H

F

E

K

C

D

A

B

Рис. 6

Тогда фигура EFGH-искомый квадрат, который получается отрезанием выступающих частей треугольников и вставлением их на место равных им частей квадрата EFGH, незаполненных треугольниками (Рис.6).

Из других методов решения Абу-л-Вафом этой задачи следует отметить построение стороны утроенного квадрата как диагонали куба, построенного на одном из малых квадратов. Особенно важно замечание его к последнему методу: «точно так же обстоит дело, если мы хотим построить квадрат, состоящий более чем из трех или менее чем из трех квадратов», который для n>3 квадратов означает мысленное построение диагонали n-мерного куба, построенного на данном квадрате. Именно в эту эпоху на востоке получили распространение геометрические названия степеней выше третьей: квадрато-квадрат, квадрато-куб, кубо-куб …, являющиеся переводами терминов Диофанта и их обобщениями. Эти термины были известны Абу-л-Вафе, которому принадлежит комментарий к «Арифметике» Диофанта.

Используются вычислительные методы, тригонометрические приемы. С большой точностью вычисляются правильные многоугольники и многогранники.

Ярким примером искусного применения вычислительной техники служит «Трактат об окружности» ал-Каши, в котором длина окружности вычислена как среднее арифметическое периметров вписанного и описанного правильных многоугольников с числом сторон . При этом им получено значение числа , где неверна последняя цифра 5, а надо поставить вместо нее число 38.

Подобная точность была вновь достигнута лишь 150 лет спустя А. ван Рооменом, который воспользовался вписанным и описанным 230-угольниками.

Заметим, что математики стран ислама уже высказывали мысль об иррациональности числа  -факт, доказанный только в XVIII в. Ламбертом и Лежандром.

Вычисление стороны правильного пятиугольника.

Из «Измерения пятиугольника и десятиугольника Абу Камила (ок 900г.)».

Рассмотрим в качестве образца применения алгебры к решению задач геометрии вычисление стороны правильного пятиугольника, вписанного в данную окружность. Правильные 5-ти и 10-ти угольники были изучены еще в древней Греции. Я начинаю с определения меры (хорды) одно пятой окружности, диаметр которой известен. Пусть дан круг и пусть его диаметр 10 в числах. АВСDЕ – вписанный 5-ти угольник с равными сторонами и углами. Если ты хочешь знать меру каждой стороны этого пяти угольника, то проведем линию СHD, отсекаемую две пятые окружности. Будем считать линию ED вещью (неизвестная). Так как квадрат ED равен плоской фигуре EH на EF (т.е. прямоугольник на отрезках EH и EF), то EH равна 1/10 квадрата и CH равна корню из квадрата без квадрато-квадрата. Но CH равна ½ CD, поэтому CD равна корню из 4 квадратов без 2/5 от 1/10 квадрато-квадрата. Действительно, так как и EF = 10, из равенства ED2=EHEF получаем EH=x2/10, откуда CD=2CH= .

F

D

E

A

B

C

H

Рис. 7

Но плоская фигура АС на BD равна квадрату CD. Но квадрат СD равен 4квадратам без 2/5  1/10 квадрато-квадрата, если вычесть отсюда плоскую фигуру AD на BC, равную квадрату ED, т.е. квадрату, то останется плоская фигура АВ на CD равная 3 квадратам без 2/5  1/10 квадрато-квадрата. Раздели это на АВ, то есть вещь, в частном получим: СD равна 3 вещам без 2/5 1/10 кубов. Умножь это на себя, получится: квадрат CD = 9 квадратам и 1/625 кубо-куба без 6/25 квадрато-квадрата, но это равно 4 квадратам без 2/5  1/10 квадрато-квадрата. Вспомни это, получится 5/25  квадрато-квадрата равны 5 квадратам и 1/625 кубо-куба. Раздели все это на квадрат, получится 1/5 квадрата, равная 5 и 1/625 квадрато-квадрата; вспомни это так, чтобы получился квадрато-квадрата, для чего умножь это на 625, получится квадрато-квадрат и 3125 равны 125 квадратам.

Действительно, равенство ABCDDBС=CD2 можно записать в виде:

 , откуда (*)

Далее говорится: раздвой квадраты, получится 62 1/2, умножь это на себя, получится 3906 1/4, вычти из этого 3125, останется 781 ¼, корень из этого вычти из 62 ½, корень из остатка линия ED, являющаяся одной из сторон пятиугольника.

Действительно из (*) найдем :  

Теория параллельных.

Теорией параллельных на протяжении IX-XIV веков занимались многие арабские математики. Напомним постулат параллельных Евклида (если прямая образует с двумя другими прямыми, лежащими в одной плоскости, внутренние односторонние углы, в сумме меньше двух прямых, то эта прямая при достаточном продолжении пересекается с той стороны, где эта сумма меньше 2-х прямых).

Ал-Джаухари в «Совершенной книге «Начала»» опирался на неявно предполагаемое допущение, равносильное доказываемому постулату: если при пересечении двух прямых какой либо третьей накрест лежащие углы равны, то тоже имеет место при пересечении тех же двух прямых любой другой прямой. Он доказал в качестве теоремы предложение: через любую точку внутри любого данного угла можно провести прямую пересекающую обе его стороны.

Два трактата, посвященные доказательству пятого постулата, принадлежит Сабиту ибн Корре. В «Книге о доказательстве известного постулата Евклида» он основывается на предположении, что если две прямые удаляются друг от друга с одной стороны, они обязательно приближаются с другой стороны. С помощью этого утверждения он доказывает существование параллелограмма, после чего доказывается пятый постулат. Другой трактат его называется в «Книге о том, что две линии, проведенные под углами, меньшими двух прямых, встретятся», в котором он исходит из существования равноотстоящих прямых, с помощью чего доказывает начало существования прямоугольника. Но существование равноотстоящих прямых на плоскости не постулируется и пытается вывести его из представления о «простом движении», т.е. о равномерном поступательном движении вдоль прямой. Он (ибн Корра) считает при таком движении все движущиеся точки описывают прямые линии.

Ибн ал-Хайсам  в трактате «О разрешении сомнений в книге Евклида «Начала»», исходит из того, что две пересекающиеся прямые не могут быть параллельны одной прямой, т.е. что из одной точки нельзя провести двух параллелей к одной прямой. В «Книге комментариев к введениям книги» Евклида «Начала» Ибн ал-Хайсам использует тоже представление о простом «движении». С помощью которого он устанавливает, что конец отрезка, перпендикулярного к прямой, вдоль которой происходит движение, описывает прямую, которая, т.о., является равноотстоящей от данной прямой. Далее доказывается существование прямоугольника для чего рассматривается четырехугольник с тремя прямыми углами и три гипотезы о четвертом угле этого четырех угольника: либо этот угол острый, либо тупой, либо прямой (Рис.8).            

С

D

A

B

B

C

D

A

C

B

D

A

Рис.8

Теперь мы знаем, что гипотеза острого угла имеет место в геометрии Лобачевского, в котором выполняются все аксиомы геометрии Евклида, кроме пятого постулата. Гипотеза тупого угла выполняется в неевклидовой геометрии Римана (Эллиптическая геометрия) и на сфере, если считать большие круги сферы прямыми линиями.

Гипотеза прямого угла имеет место в геометрии Евклида. Ибн-ал-Хайсам опровергает первые две гипотезы с помощью «доказанного» им существованием равноотстоящих прямых.

Омар Хайям в «Комментариях к трудностям во введениях книги Евклида» считает, что в геометрию нельзя вводить движение. Он исходит из принципа: две сходящиеся прямые пересекаются и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые расходились в направлении схождения. Он рассматривает четырехугольник с двумя равными сторонами, перпендикулярными к основанию. Углы, прилегающие к четвертой стороне равны между собой. Рассматриваются три гипотезы о величине этих углов.

Рис. 9

Омар Хайям так же приходит к существованию прямоугольника. Арабские математики сделали несколько выдающихся открытий: установили двустороннюю зависимость между этим постулатом и величиной суммы углов четырехугольника, треугольника; установили логическую эквивалентность ряда предложений теории параллельных; применили для опровержения гипотез острого и тупого углов способ приведения к противоречию и т. д. О.Хайям получил некоторые предложения, по существу принадлежащие к первым теоремам неевклидовых геометрий Лобачевского и Римана.

Тригонометрия.

Знакомство с индийскими учениями позволило арабским математикам значительно продвинуть разработку тригонометрии, которая благодаря им стала разветвленной самостоятельной наукой.

Первоначально арабы называли линию синуса словом «джайб» (джива – тетива, хорда).

На рубеже 9 и 10 веков, например в «Книге о науке звезд» Сабия Ау Абдаллаха ал-Баттани (ок 850-929) учение о тригонометрических функциях, представляющихся в виде отрезков, связанных с кругом определенного радиуса, достигло довольно высокого развития. Были найдены простейшие соотношения между ними, разработаны приемы составления тригонометрических таблиц и установлен ряд основных теорем, служащих для решения плоских и сферических треугольников.

Извлечение корней и «бином Ньютона».

Ал-Хорезми описал прием извлечения квадратных корней, а Кушьяр ибн Лаббана – прием извлечения кубических корней. Дальнейшая разработка приемов извлечения корней принадлежит одному из крупнейших математиков Средних веков Омару Хайяму (1048-1131), особенно прославившемуся своими блестящими четверостишиями, которые переведены ныне на все языки мира.

В своей книге по алгебре Хайям, упомянув «методы индийцев» извлечения квадратного и кубических корней, основанные на правилах:

и сообщает, что в специальном сочинении он обобщил эти методы на случай извлечения корней с любым целым показателем. «Мы показали, - пишет О. Хайям, - как определять основания квадрато-квадратов, квадрато-кубов, кубо-кубов и т.д. сколь угодно, чего раньше не было» (О. Хайям. Трактаты. Перевод Б.А. Розенфельда под редакцией В.С. Cегаля и А.П. Юшкевича. М., 1962, с. 74-75). Однако сочинения Хайяма, в котором изложено это открытие, пока не найдено.

Первое дошедшее до нас описание извлечение корня любой степени из целого числа встречается в «Сборнике по арифметике с помощью доски и пыли» (1265) Насир ад-Дина ат-Туси (1201-1274). Ему принадлежат труды по математике и астрономии, по физике, минералогии, логике, этике и другим наукам. В «Сборнике по арифметике» ат-Туси подробно описал прием извлечения корней на примере . Отыскание целой части корня следует схеме, которая была известна ранее Китайцам и совпадает по существу с методом, предложенным в начале 19 в. Горнером и Руффини. Дробная часть корня   , где а, n и r – целые числа и находятся в приближенном виде , так что в его примере .

Ат-Туси словесно излагает правило образования разности:

и приводит таблицы биноминальных коэффициентов до в форме треугольника, почти не отличающейся от той, которую называем «Треугольником Паскаля». Ему была известна и зависимость между элементами таблицы.

.

Очень подробно изложен весь этот круг вопросов у ал-Каши.

Предполагается, что эти общие результаты не дошли в свое время до Европы и здесь пришлось их получать заново.

Теория отношений и действительные числа.

С самого начала развития математики в арабских странах большое место в ней занимают приближенные вычисления, необходимые для составления тригонометрических и астрономических таблиц, определения различных геометрических величин (длины окружности, элементов правильных многоугольников и многогранников и т.д.). Быстрое развитие числовой алгебры и ее геометрических приложений вели к тому, что иррациональные числа все чаще и чаще входили в употребления и становились предметом исследования. Например, простейшие операции с радикалами вида или производил ал-Хорезми. Вскоре известными становятся  более общие правила, которые записываем в виде формул:  .

Частое оперирование алгебраическими иррациональностями в их арифметической форме подготавливало почву для выделения понятия об иррациональном числе. Иррациональное число начинает представляться более простым объектом, чем античные несоизмеримые отрезки. Так, иррациональные величины и их преобразования поясняются с помощью соответствующих арифметических иррациональностей. Например, ибн ал-Багдади (ок. 1100г) дает следующие иллюстрации примеров на преобразование величин, выраженных формулами

или  ;     

и и др.

Постепенно числовая иррациональность становится иррациональным числом; вместе с тем любые отношения величин воспринимаются как число. Такое расширение понятия о числе могло явится лишь результатом теоретического исследования.

О.Хайям выражает определение пропорций как равенство двух отношений через равенство всех соответствующих искомых частных разложений этих отношений в непрерывные дроби

и и т.д.,

т.е. если для всех

Он пытается доказать принцип существования четвертой пропорциональной к трем данным величинам. Далее О.Хайям развивает учение об умножении и делении отношений, необходимых в приложениях к практическим вычислениям.

В заключении он подходит к обобщению понятия числа на любые положительные действительные числа.

Что касается понятия об отрицательных числах, возникшем в Китае и Индии то, оно не  нашло сколько-нибудь заметного применения в арабской науке. У самаркандского математика Ал-Кушчи (ум. 1474) в «Мухамедовом трактате по арифметике» встречается термин мусбат и манори употребляемые в значении «прибавляемое» и «отнимаемое». Математики западной Европы, познакомившиеся с сочинением Ал-Кушчи через византийцев перевели эти термины на латынь как positivus и negativus и стали обозначать ими положительные и отрицательные числа (в этом смысле термины Кушчи применяются и ныне в Турции, Иране, Азербайджане и средней Азии).

Достижения в теории чисел были менее значительны. Все же следует отметить решение неопределенных уравнений первой степени и их систем в целых числах, требовавшие терпеливых расчетов. Так, Абу Камил в «Книге редкостей в арифметике» нашел все 2676 целых решений системы.

,

.

Были рассмотрены и некоторые задачи на решение в целых числах уравнений второй степени. Замечательно то, что математики стран ислама впервые высказали утверждение, составляющие первый частный случай великой теоремы Ферма, именно, что уравнение неразрешимо в рациональных числах (кроме тривиального случая, когда хотя бы одна из неизвестных равна нулю). В свою очередь, это утверждение связано с предположением о неразрешимости в рациональных числах задач об удвоении куба , которое должно было возникнуть еще у древних греков.

Предполагают, что известный математик и астроном Абу Махмуд Хамид ал-Ходжанди (Как показывает это имя, ал-Ходжанди происходит из города Ходжента  - г. Ленинабада). Доказал неразрешимость уравнения в рациональных числах. Но доказательство не сохранилось.

Сабит ибн Корра посвятил «Книгу о нахождении дружественных чисел легким способом» изложению способа образования дружественных чисел, т.е. пар чисел, каждое из которых равно сумме делителей другого. Этот способ, обращающий пифагорейский способ образования совершенных чисел, изложенный в «Началах» Евклида, состоит в следующем: если и - простые числа, то числа и - дружественные числа (при n = 2 получаем М = 220 и N=284).

Математика стран Ислама оказала исключительное влияние на развитие математики, как на Востоке, так и на Западе. В 13 веке появились исследования по сферической тригонометрии. С начала 11 века в течение 100 лет распространение сведений, полученных с Востока, имело в развитии математики в Европе решающее значение. В 12 веке в Испании достигает расцвета деятельность переводчиков арабских и переведенных с греческого сочинений. Переводятся ряд сочинений Ал-Хорезми, Бану Муса, Ибн Корры, и других математиков Востока и по существу создается латинский вариант арабской математической литературы. В эти районы Испании приезжают многие ученые Европы познакомиться с математикой и естественными науками. Европейцы изучали арабскую литературу не только в Испании. Итальянец Леонардо Пизанский обучался математике в Северной Африке и объехал многие страны Востока. Переводы с арабского продолжали играть существенную роль и позже, когда в Европе наметились собственные оригинальные направления.

Начиная с XIV века основным путем влияния ученых стран ислама на Европу становится Византия. В результате взятия Константинополя турками византийские ученые знакомились с открытиями ученых самаркандской школы, о чем свидетельствуют многие рукописи византийских ученых.

О влиянии науки стран ислама на науку Европы говорят такие наши термины как «арабские цифры», «алгебра», «алгоритм», «цифра», «корень», «синус». Арабского происхождения также многие астрономические термины большинство названий звезд.

Основная литература:

  1.  Математическая энциклопедия.  Книги 1-5. - М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.
  2.  Рыбников К.А.  История математики. Уч.пособие для судентов математических специальностей университетов и пед.институтов. 2-е изд. -М.: Изд-во МГУ, 1974.
  3.  Стройк Д.Я.   Краткий очерк истории математики. – Москва: Наука, 1969.
  4.  Юшкевич А.П.  История математики в средние  века. - М.: Наука, 1961.
  5.  История математики с древнейших времен до начала ХІХ столетия. В 3-х томах. Под.ред А.П.Юшкевича.-М.: Наука, 1970-1972.
  6.  Нейгебауэр О.  Точные науки в древности – М: Наука, 1968.

Дополнительная литература:

  1.  Хрестоматия по истории математики.  Под.ред. А.П.Юшкевича. – М.: Просвещение, 1976, 1977.
  2.  Глейзер Г.И.   История математики  в средней школе в 3-х кн. .-М.: Просвещение, 1981-1983.
  3.  Депман И.Я., Виленкин Н.Я.   «За  страницами учебника». - М.: Просвещение, 2002.
  4.  Стройк Д.Я.   Краткий очерк истории математики. – Москва: Наука, 1969.

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48190. ІСТОРІЯ СЕРЕДНЬОВІЧНОГО СХОДУ КУРС ЛЕКЦІЙ 2.42 MB
  ІНДІЯ ПІСЛЯ ІСЛАМСЬКОГО ЗАВОЮВАННЯ. Встановивши східну деспотію в СРСР вожді від “диктатури пролетаріату†не бажали залишати в умах підданих зайвих асоціацій і хоча після смерті Й. Інші річки Хуайхе Чжуцзян Хайхе Ляохе теж відігравали певну роль у природногосподарській системі традиційного Китаю а після завершення будівництва Великого каналу VII ст. Для тогочасних китайців було характерним міняти особисте ім'я людини протягом життя: в дитинстві всім давалося “молочне ім'я†жумін після повноліття основне мін нарешті...
48191. ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ПРАВА. КУРС ЛЕКЦИЙ 2.87 MB
  Кожевников ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ПРАВА КУРС ЛЕКЦИЙ Второе издание переработанное и дополненное Нижний Новгород 2008 УДК 340 ББК 67. Проблемы теории права: Курс лекций: Право: понятие сущность система; правотворчество и правовое регулирование. Нормы права правоотношения правосознание и правовая культура действие права. Вопервых на основе обобщения материала последних лет по правоведению и сохранения всего ценного накопленного в прошлые годы доступно изложить достаточно сложные и объемные вопросы относящиеся к природе права его...
48192. Джерела з історії середньовічної Європи (V-XV ст.) 145.5 KB
  На території власне германських областей панували місцеві діалекти зокрема законодавчі документи перекладалися цими діалектами. В Англії латина була мовою церкви документи та історичні твори писалися місцевою мовою. Поодинокі документи збереглися лише через те що знаходилися за межами імперії. Це варварські правди для раннього середньовіччя потім королівське законодавство правові документи феодального звичаєвого права парламентське законодавство.
48193. Лісові культури для Літинського лісництва «ДП Хмільницьке ЛГ» 938 KB
  Для задоволення потреб у садивному матеріалі дерев і чагарників, в лісовому господарстві створена і функціонує ціла сітка спеціалізованих лісових розсадників по вирощуванню потрібного садивного матеріалу, головним чином, з відкритою кореневою системою із застосуванням при цьому широкої та комплексної механізації і хімізації робіт (гербіцидів, міндобрив, отрутохімікатів).
48194. Мікроекономіка 22.13 MB
  Цей опорний конспект лекцій створено з метою надання допомоги студентам в процесі вивчення дисципліни. Інформація в опорному конспекті лекцій розташована в порядку викладання тем дисципліни у відповідності з навчальною програмою
48195. Соціальна профілактика як аспект соціальної політики держави 403 KB
  Соціальна профілактика як аспект соціальної політики держави Сутність соціальної профілактики. Предмет об’єкти та суб’єкти чинники соціальної профілактики. Рівні профілактики. Нормативноправова база держави в напрямку профілактики негативних явищ у дитячому та молодіжному середовищі.
48196. СОЦІАЛЬНЕ СТРАХУВАННЯ. КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ 1.47 MB
  050104 ФІНАНСИ усіх форм навчання та слухачів ЦПО Суми Видавництво СумДУ 2009 МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ СОЦІАЛЬНЕ СТРАХУВАННЯ КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ для студентів напряму підготовки 0501 спеціальності 7.050104 ФІНАНСИ усіх форм навчання та слухачів ЦПО Затверджено на засіданні кафедри фінансів як конспект лекцій з дисципліни “Соціальне страхуванняâ€. Суми Видавництво СумДУ 2009 Соціальне страхування: Конспект лекцій Укладачі: П.