46150

Первые математические теории в Древней Греции

Лекция

Математика и математический анализ

В это время ученые пришли к мысли к которой возвращались затем не раз что математика является универсальным языком для выражения законов природы что все есть число. Проходит немного времени и начинается исследование законов самой логики что находит блестящее завершение в системе Аристотеля. В этой школе впервые была высказана гипотеза что земля имеет форму цилиндра и весит посередине вселенной Анаксиманур. Ионийцы...

Русский

2013-11-19

212.45 KB

20 чел.

Лекция 7

Тема: Первые математические теории в Древней Греции.

План:

  1.  Фалес. Школа Пифагора.
  2.  Арифметика целых чисел, дробей. Первая теория отношений.
  3.  Первые иррациональности.
  4.  Геометрическая алгебра. Алгебра древних и геометрия циркулей и линейки.
  5.  Первые неразрешимые задачи.
  6.  Парадоксы бесконечности.
  7.  Евклид. Аксиоматика.

 

Математика  на  крайнем  востоке  развивалась  крайне  медленно.  На  таком  же  уровне  были  и  математические  знания  в  Греции   (VIIIVII вв.  до  н.э). В  VI в.  положение  резко  меняется.  Математика  преобразуется  в  абстрактную  дедуктивную  науку,  в  которой  основным  методом  установления  истины  и  исследования  связи  между  предложениями  становится  логическое  доказательство.  Как  сказал  Аристотель,  доказательство  выявляет  сущность  вещей.

В  VI  в.  до  н.э.  были  построены  не  только  первые  математические  теории,  но  и  первые  математические  модели  мира.  В  это  время  ученые  пришли  к  мысли,  к  которой  возвращались  затем  не  раз,  что  математика  является  универсальным   языком  для  выражения  законов  природы,  что  «все  есть  число».

В  течение  следующих  трех  веков  (VII-  Xвв.)  создаются  теории,  точность  и  глубина  которых  были  поняты  и  оценены  только  в  XIX в.,  а иногда  лишь  в  XX в. При  этом  стиль  математических  произведений  того  времени  не  отличался  от  современного. Теория  строилась  исходя  из  конечного  числа  посылок,  и  ее   положения  выводились  из  них  с  помощью конечной  цепочки  логических  умозаключений  или  эффективных  конструкций.  Такой  метод  изложения  греки  нашли  впервые,  показав,  как  можно  и  как  нужно  строить  науку.

Почему  же  стал  возможен  такой  скачок?  Догматы  религии  были  поколеблены.  Появились  первые  натурфилософские  школы,  которые  создали  модели  мира,  основываясь  на  наблюдениях  и  логических  рассуждениях.  Проходит  немного  времени  и  начинается  исследование  законов  самой  логики,  что  находит  блестящее  завершение  в  системе  Аристотеля.

Фалес

VI в  до н.э.  был  временем  знаменитых  натурфилософских  школ:  ионийской  и  пифагорейской. Основателем  ионийской  школы  натурфилософии (I половина VI в. до  н.э)  был  “ отец  греческой  науки”  Фалес -  купец,  политический  деятель,  философ,  астроном  и  математик.  Они  пытались  объяснить  все  многообразие  мира,  исходя  из  единого  материального  начала.  Сам  Фалес  первоосновой  всего  сущего  считал  воду.  В  этой  школе  впервые  была  высказана  гипотеза,  что  земля  имеет  форму  цилиндра  и  весит  посередине  вселенной  (Анаксиманур).  По  сообщениям  очевидцев  Фалес  предсказал  солнечное  затмение (речь  шла  о  солнечном  затмении  585г.  до  н.э.).

Ионийцы  занялись  геометрией,  причем  Фалес  1) доказал,  что  диаметр  делит  круг  пополам; 2)нашел  предложение  о  равенстве  углов  при  основании  равнобедренного  треугольника; 3) открыл,  что  при  пресечении  двух  прямых  получаются  равные  углы; 4) доказал  теорему  о  равенстве  двух  треугольников,  имеющих  равную  сторону  и  два  угла.  К  сожалению,  ничего  не  известно  о  доказательствах  Фалеса.  Видимо  он  широко  пользовался  перегибанием  и  наложением  фигур.  Это  подтверждается  и  словами  Прокла:  «Иногда  он (Фалес И.Б.)  рассматривал  вопрос  несколько  общо,  иногда  более  опираясь  на  наглядность».

Школа  Пифагора

Коренное  преобразование  математики   по  традиции  единодушно  присваивают  Пифагору. Ему  принадлежит  первое  построение  геометрии  как  дедуктивной  науки.  К  сожалению,  до  нас  не дошли  не только  отрывки  из  математических  сочинений,  но  даже  их  переложения  другими  авторами.

Пифагор  родился  на  богатом  торговом  острове  Самос.

В  их  школе  возникло  представление  о  шарообразности  земли  и  существовании  множественности  миров.  Содержание  их  геометрии  сводилось в  основном к  планиметрии  (изучались  свойства  треугольников,  прямоугольников,  параллелограммов,  сравнивались  их  площади  и  т.д.).  Венчало  их  систему  доказательство  знаменитой  «теоремы  Пифагора»,  которая  до  этого  была  известна  только  для  частных  случаев.

Первоначально  пифагорейцы  полагали,  что  все  отрезки   соизмеримы       т.е., что  отношение  любых  двух  отрезков  (а  значит  и  площадей  прямолинейных  фигур)  можно выразить  отношением  целых  чисел,  таким образом,   метрическая  геометрия  сводилась,  по  их  мнению,  к арифметике  рациональных   чисел.

Занимаясь  гармонией  пифагорейцы  пришли  к  выводу,  что  и  качестве  отличия  звуков  обуславливаются  чисто  количественными  различиями  длин  струн  или  флейт.  Так  если  длины  струн  относятся,  как 1:2,  3:2,  4:3,  т.е.  разница  в  тонах  будет  октавой  квинтой  или  квартой,  музыкальные  интервалы  благозвучны,  в  других случаях  эти  интервалы  неблагозвучны.  Т.о.,   здесь  дело  сводилось  к  целым  числам  и  их  отношениям.

Это  привело  пифагорейцев  к  мысли,  все  закономерности  мира  можно  выразить  с  помощью  чисел,  что»элементы  чисел  являются  элементами  всех  вещей  и,  что  весь  мир  в  целом  является  гармонией  и числом». Отсюда  исключительный  интерес  пифагорейцев  к  основе  основ – арифметике,  с  помощью  которой  можно  выразить  все  отношения  между  вещами  и  построить  модель  мира.

Арифметика  целых  чисел

Число  для  пифагорейцев – собрание  единиц,  т.е.  только  целое  положительное  число.  Единицы,  составляющие  число,  считались  неделимыми,  и  изображались  точками,  которые  пифагорейцы располагали  в  виде  правильных  геометрических  тел,  получая  ряды  «треугольных»,  «квадратных»,  «пятиугольных»  и  других «фигурных»  чисел.  Каждый   такой  ряд  представляет  последовательные  суммы  арифметической  прогрессии  с  разностями  1,  2,  3,  и  т.д.

  Рис. 1                                                Рис. 2                                                          Рис. 3

 

На  рисунке  1  изображены  «треугольные»  числа:  1,  1+2=3,  1+2+3=6,  1+2+3+4=10  (общее  выражение  этих  чисел  1+2+3+…+n=(n+1)).

На  рисунке  2  показаны  «квадратные»  числа   1,  1+3=4, 1+3+5=9  (общее  выражение  этих  чисел:  1+3+5+…+ (2n – 1) = n2,  является  пережитком  пифагорейской  терминологии).

На  рисунке  3  изображены  «пятиугольные»  числа:  1,  1+4=5, 1+4+7 = 12, (общее  выражение  этих  чисел;  1+4+7+…+(3n – 2) =n(3n-1)).                                                                                                            Пифагорийцы   определили  также  «кубические»  числа  1, 8, 27,…(откуда  наше  выражение  «куб»  для  n3); «пирамидальные»  числа – суммы  треугольных  чисел  1, 1+3=4 , 1+3+6=10 , ... , 1+3+6+...+=.

Они,  изучая  свойства  чисел,  разбили  все  числа  на  четные  и  нечетные,  на  простые  и  составные. Пифагорейцы  называли  простые  числа,  представленные  в  виде  произведения  двух  сомножителей,  «плоскими» числами  и  изображали  их  в  виде  прямоугольников,  а  составные  числа,  представленные  в  виде  произведения  трех  сомножителей, - «телесными  числами»  и изображали  их  в  виде  параллелепипедов.  Простые  числа,  которые нельзя  представить  в  виде  произведений  они  называли  «линейными  числами».  Это  учение  пифагорейцев  о  четных  и  нечетных числах  с  современной  точки зрения  является  теорией  делимости  на  2.

Они  занимались нахождением  совершенных  чисел,  т.е. таких,  которые  равны  сумме  своих  делителей  (исключая  само число),  как  например, 6=1+2+3  или   28=1+2+4+7+14.  

После  изложения  о  четных  и  нечетных  числах  в  «Началах»  доказывается, 1+2+3+…+2n = p – простое  число, то  2n *p будет  числом  совершенным.  Доказательство  которого можно  провести  опираясь  на  учение  о  четных  и  нечетных  числах.

Пифагорийцы  исследовали  неопределенной  уравнение   x2+y2=z2,  целые  решения  которого  называют  «пифагоровыми  тройками» и  нашли  бесконечно  много  таких  троек,  имеющих  вид x=(m2-1) , y=m , z=(m2+1).

Арифметика  дробей  и  первая  теория  отношений

В  Греции  начали  оперировать  с  дробями  вида причем  умели  производить  с   ними  все  действия  с  тем  ограничением,  что  вычитать  можно  было  лишь  из  большего  меньшее.  Сложение  и  вычитание  производились  путем  приведения  к  общему  знаменателю,  дроби  умели  сокращать,  умножать,  и  делить.

Что  понимали  греки  под  ?  Греки  исходили  из  того,  что  е  неделима,  поэтому  они  говорили  не  о  долях  единицы ,  а  об  отношениях =,  т.е.  имели  в  виду  пары  целых  чисел. Пифагорейцы  знали,  что  отношение  пропорциональности  транзитивно,  т.е.  из  пропорциональности   пар (A,B)  и  (C,D)  и  пропорциональности пар (C,D)  и (E,F)  вытекает  пропорциональность  пар  (A,B)  и (E,F)  и  следовательно,  отношение  пропорциональности  является отношением  типа  равенства.  И  так,  все  пары  целых  чисел  разбивались  на  пересекающиеся  классы  пар  имеющих  одно  и  тоже  отношение: A1:B1= A2:B2=A3:B3=… Древние  выбирали  из  множества  пар,  имеющих  одинаковое  отношение,  наименьшую  пару  А00,  относительно  которой  доказывали:

  1.  Если  А:В=А00,  то  А= kA0,  B=kB0;
  2.  Если  А0, B0  взаимно  просты,  то  они  составляют  наименьшую  пару  из  всех,  имеющих  с  ней  одинаковое  отношение;
  3.  Если  А0, В0  составляют  наименьшую  пару,  то  они  между  собой  взаимно  просты.

Заметили,  что  понятие  наименьшей  пары  соответствует  нашему  понятию  несократимой  дроби

Несоизмеримость

Открытие  несоизмеримых  отрезков  явилось  поворотным  пунктом  в  развитии  математики,  которое  разрушило  раннюю  систему  пифагорейцев  и  привело  к  созданию  новых,  очень  тонких  и  глубоких  теорий. Доказательство  пифагорийцев. Пусть  диагональ  квадрата  АС  и  его  сторона  АВ соизмеримы, т.е. их  отношение  равно  отношению  двух целых  чисел:  АС:АВ = m:n  (1).  Здесь  m и n,  не являются  оба  четными,  иначе  дробь  можно  было  бы сократить  на два.  АС2:АВ2=m2:n2. Но по теореме Пифагора АС2=2АВ2, следовательно, m2=2n2  (2)  значит,  m2 - четно  что  и  m  четно  (т.к. произведение двух нечетных чисел  нечетно). Но тогда n- нечетно. Поскольку  m – четно,  то  m=2t.  Подставляя  в (2), получим  4t2=2n2,  или  n2=2t2,  т.е. n2 - четно, следовательно  и n должно быть четным, что приводит к противоречию.  Открытие  несоизмеримости означало, что  целых  чисел и их отношений  не  достаточно  для  выражения  отношений  любых  двух  отрезков, что с  помощью одних  только рациональных  чисел нельзя  строить метрическую  геометрию.

В  диалоге   Платона  «Законы»  Афинянин  говорит,  что  поздно  узнал  о  несоизмеримости  и  что  до  этого  он  был  подобен  неразумному  животному.

Первые  иррациональности

Таким  образом,  вскоре  обнаружилось,  что  диагональ  и  сторона  квадрата  несоизмеримы.

Согласно  диалогу  Платона  «Теэтет»,  пифагориец  Феодор  из  Кирены  доказал, что  стороны  квадратов  с  площадями  3, 5, 6, 7,…,  17  несоизмеримы  со  стороной  единичного  квадрата. Нам  неизвестно,  как  доказывал  Феодор,  но  вне  сомнения,  что  он  рассматривал  каждый  случай  отдельно.

Согласно  Платону,  первое  учение  об  иррациональностях принадлежит  юному  ученику  Феодора – Теэтету.  Беседуя  о  нем  с  Сократом,  Феодор  говорит: «Из  всех  молодых  людей,  с  которыми  мне  когда – либо  приходилось  встречаться (а их  довольно  много  бывало  у  меня),  я не  знал  ни  одного  такой  удивительной  одаренности.  Легко  воспринимает  учение,  как  редко  кто  другой,  при  этом  необыкновенной  мягкости  характера  и  вместе  с  тем  мужественен,  как  никто…» (Платон.  Теэтет.  Перевод  в.  Сережникова. М.- Л., 1936;  стр.12 –13).  Теэтет  сумел  общим  образом  охарактеризовать   первый  бесконечный  класс  иррациональностей,  а  именно  таких  которые  мы  теперь  обозначаем,  где  N – целое  число, не  являющееся  полным  квадратом.  Предполагают,  что  ему  принадлежит  следующая  замечательная  теорема:  если  площадь  квадрата  выражается  целым  не квадратным  числом,  то  его  сторона  несоизмерима  со  стороной  единичного  квадрата.

Доказательство  этой  теоремы  на  основе  предложения  теории  делимости:  произведение  двух  целых  чисел  АВ  делится  на простое  число  р тогда  и  только  тогда,  когда  по  крайней  мере  один  из  сомножителей  делится  на  р.  на  основании  этого  предложения   иррациональность  если  N  не  является  полным  квадратом,  доказывается  точно  также,  как и  иррациональность.

Геометрическая  алгебра

Открытие  несоизмеримости  явилось  причиной  пересмотра  соотношений  между  геометрией  и  арифметикой.  Арифметика  базировалась  на  понятии  целого  числа.  Рациональные  числа   мыслились,  как  пары  целых. Установление того,  что   двух  отрезков  не  может  быть  выражено  с  помощью  отношения  целых  чисел,  привело  к  разрушению  математической  системы  пифагорийцев.

Начались  интенсивные  поиски  путей  выхода  из  кризиса:

  1.  расширить  понятие  числа  так,  чтобы  с  помощью  новых  чисел  можно было  бы характеризовать  отношение  любых  двух  отрезков;
  2.  строить  математику  не  на  основе  арифметики  рациональных  чисел,  а  на  основе  геометрии,  определив  непосредственно  для  геометрических  величин  все  операции  алгебры;
  3.  отказаться от  строго  логического построения  учения  о  несоизмеримых  величинах,  и  перейти  к  нестрогому  оперированию  с  иррациональными  (как  это  делалось  впоследствии  в  Индии  и  средневековой  Европе).

Третий  путь  был  неприемлемым  для  греков – он означал  отказ  от  основной  идеи  дедуктивного  построения  математики.

Первый  путь  на  столь  ранней  стадии  развития   представлял  громадные  трудности  и  практически  он  был  закрыт  для  ранних  пифагорейцев.

И  они  пошли  по  второму  пути.  Построение  алгебры  на  основе геометрии  впервые  позволило  обосновывать  в  общем  виде  некоторые  теоремы  и  правили  алгебры,  однако  при  дальнейшем  развитии  геометрическое  облачение как панцирь,  сковало  живое  тело  античной  математики.  Это  мешало  гармоничному  развитию  отдельных  частей  математики,  делало  ее  громоздкой   малоподвижной.  Итак,  в  пифагорийской  школе  началось  построение  алгебры   на  основе  геометрии – так  называемой  геометрической  алгебры.  Геометрический  язык  стал  применяться  в  теории  чисел.  Изображение  чисел  точками  расположенными  в  виде  правильных  фигур  было  оставлено,  теперь  все  числа  представлялись  отрезками,  полученными  повторением  конечное  число  раз  отрезка,  принятого  аз  единицу.  На  этой  же  основе  получил  развитие  и  математический  анализ  древних.

Основными  объектами  геометрической  алгебры были  отрезки  и  прямоугольники,  и  параллелепипеды.  Сложение  отрезков  осуществлялось    путем  приставления  одного  к  другому,  вычитание  путем  выкидывания  из  большего    отрезка  части,  равной  меньшему. Операция  вычитания  была  возможна  лишь  тогда,  когда  вычитаемое  не превосходило  уменьшаемого.

Произведением  двух  отрезков  назывался  построенный  на них  прямоугольник.  Не  имело  смысла  говорить  а  сложении  прямоугольников  и  отрезков. Поэтому  исчисление  определенное  в  геометрической  алгебре,  было  ступенчатым.

Геометрическая  алгебра  изложена  во  второй  книге  «Начал»  Евклида  и  в  произведениях  Архимеда  и  Аполлония,  которые пользовались  ею,  и также, как  и  мы  буквенной  алгеброй.

а1           а2              а3

в

а

Рис. 1

Во  второй  книге  «Начал»  доказывается,  что  прямоугольник  заключенный  между  двумя  отрезками,  будет  равен  сумме  прямоугольников,  заключенных  между  одним  из  этих  отрезков  и частями,  на  которые  рассечен  второй  (рис.1), т.е.  если  a=a1+a2+a3, то b(a1+a2+a3) =ba1+ba2+ba3..

Это  предложение  устанавливает дистрибутивность умножения  по отношению  к  сложению. Это одно  из  преимуществ геометрической  алгебры.

Доказательство  происходит  независимо  от  того,  будут  ли  отрезки   a и b   или  части  а1, а2, а3  соизмеримыми  или  несоизмеримыми и    независимо  от  конкретных  величин  этих  отрезков.  Геометрическая  алгебра  позволила  впервые  доказать  и  притом  общим  образом  некоторые  свойства  алгебраических  операций. Так,  например,  было  установлено  тождество:

Рис. 2

b

a

ab

b2

ab

a2

(a+b)2=a2+b2+2ab (рис.2). Отметим, что  все  эти  тождества  устанавливались только  для  величин  двух  измерений. Для представления   произведения   трех  величин  нужно  было  пользоваться  пространственными фигурами, а  произведение  четырех  и  более отрезков  не  могло  быть представлено в рамках трехмерного пространства. Геометрическая алгебра  основывалась  на  античной планиметрии,  представляет  собой  геометрию циркуля  и  линейки. Поэтому  она  была  максимально  приспособлена  для  исследования  тождеств,  обе  части  которых  являлись квадратичными  формами,  и для  решения  квадратных  уравнений.

Рис. 3

А1

С1

В1

Рис. 3

Рассмотрим  три  типа  задач,  эквивалентных  квадратным  уравнениям,  и  легко  формулируемых  геометрически.

  1.   Преобразовать  заданный  прямоугольник  в  квадрат (т.е.  решить  уравнение  x2=ab ).
  2.   Приложить  к  заданному отрезку  а прямоугольник  данной  площади S так, чтобы  «недостаток»  был  квадратом, т.е. нужно  построить   на  отрезке  АВ  прямоугольник  АА1С1С,  равный  S, так, чтобы  «недостаток»  СВВ1С1  был  квадратом (рис.3). Если  принять  СВ = x,  то  придем  к  квадратному  уравнению  x(a-x)=S. В «Началах» отмечается, что  задача  возможна  приS,  поскольку Sу(a-x)=. 
  3.   К  данному  отрезку  а  надо  приложить  прямоугольник  с  заданной  площадью  S  так, чтобы  «избыток»  был  квадратом  (рис.4).

Задача  эквивалентна  уравнению  x(a+x) = S. При  построении  геометрической  алгебры  учение  об  отношениях  не  предполагалось  известным.  Поэтому  задачи  1-3 решались путем  преобразования  произведений  ab,   x(a-x)  и x(a+x) в  разность  квадратов, для  чего  применялось  тождество:

ab=-,

Рис. 4

В              С

В1              С1

В

которое  устанавливалось  геометрически.  После  такого  преобразования  неизвестная  величина  находилась  по  теореме  Пифагора.  Для  первого  случая,  например,

x2=-.

есть  катет  прямоугольного  треугольника   гипотенуза  которого  равна  ,  а  другой  катет  .  Аналогично  решались  задачи  2, 3.

x(a-x) =S,  -=S-(x-)2=S-()2=(x-)2.

Алгебра  древних  и  геометрия  циркуля  и  линейки  

В  античной  математике  задачи,  эквивалентные  квадратным  уравнениям,  решались  с  помощью  циркуля  и  линейки.  И, наоборот.  Все  задачи  на  построение  с  помощью  циркуля  и  линейки  алгебраически  эквивалентны  решению  конечной  цепочки  квадратных  уравнений.  Все  такие  построения  состоят  из  следующих  элементов: 1) проведение  прямой  через  две точки; 2) нахождение  точки  пересечения  двух  прямых; 3) прямой  и окружности; 4) двух  окружностей.  Все  эти  точки пересечения  можно  найти  решением  либо  линейного, либо  квадратного  уравнения.  

Решение  линейного  уравнения  выполняются  в  некотором  поле  К.  При  решении  квадратного  уравнения x2+ax=b   (1) получаются  величины, не принадлежащие  исходному  полю:  

.

Будем  обозначать  такое  поле  К1=К()   и  называют  его  расширением  поля,  полученным  присоединением  к  нему  элемента . При  дальнейших  построениях  будем  оперировать  с  элементами  из  К1.  Если  снова  решить  квадратное  уравнение  x2+a1x=b1, (2) где , , из , то корни его не будут лежать в :  . Присоединяя к получим  новое  минимальное  поле ,  в  котором  лежат  корни  (2) и т.д.  Таким образом, каждому построению в геометрии  Евклида  будет  отвечать  конечная  цепочка  квадратных  уравнений (линейные  можно  не  учитывать):

, ,

, ,

...................................,

, ,

причем  коэффициенты  каждого  последующего  уравнения  принадлежат  полю,  содержащему  корни  предыдущего. Полагается, что  корни  всех  уравнений  действительны. Такую  цепочку  называют    нормальной. К нормальным  цепочкам  сводится  построение  ребер  всех  правильных  многогранников, а также  сторон  правильных  n-угольников  при  n= 3, 3.2k, 4,  4.2k, 5,  5.2k,  15,  рассмотренных  в  «Началах». Можно  ли  любую  задачу,  сформулированную  в  терминах  геометрии  Евклида,  решить  с  помощью  циркуля  и  линейки, или, что  то же,  можно  ли  свести  ее  к  нормальной  цепочке  квадратных  уравнений?  Скоро  появились  первые  задачи  для  которых  это  сделать  не  удавалось.

Первые  неразрешаемые  задачи

В  V в.  до  н.э.  были  поставлены  три  задачи,  получившие  большую  известность.  Это  удвоение  куба,  трисекция  угла, и  квадратура  круга. Первые  две  были  решены  только  в  30-х  годах  19  века,  а  третья  в  конце  его.  Все  три  оказались  неразрешимыми  средствами  классической  геометрической  алгебры,  и их  исследование  потребовало   создания  новых  методов. Первая  из  них  формулируется  так:  построить  куб,  объем  которого  был  бы  в  два  раза  больше  объема  заданного  куба. Если а  ребро  заданного  куба,  х – ребро  искомого  куба, то  х3=2а3. С  помощью  циркуля  и  линейки  задача не  разрешалась.  Тогда  Гиппократ  Хиосский   свел  задачу  к  вопросу  об отыскании  двух  средних пропорциональных  между  заданными  величинами. Пусть  дан  прямоугольный  параллелепипед  а2b,  требуется  преобразовать  его  в  куб х3=2а3. Решение  задачи  как  показал  Гиппокрит  эквивалентно  нахождению  данных  двух  величин  x и y,  что ==. 

При  b = 2a, х  и равняется  ребру  удвоенного  куба.

Попытка  решения  этой  задачи как  пересечение  трех  поверхностей  рассматривается  Архитом  Тарентским,  Менехмом.

Таким  образом,  ученые  древности  убедились  в  неразрешимости  (в  общем  случае)  задач,  эквивалентных  кубическим  уравнениям,  с  помощью  циркуля  и  линейки.

Леонардо Пизанский сделал  первую  попытку  доказать  неразрешимость  кубического  уравнения в  частном  случае   x3+2x2+10x = 20  c  помощью  квадратных  иррациональностей.  Позже  Декарт  сформулировал  в  общем  виде,  что  корни  кубического  уравнения  с рациональными    коэффициентами  могут  быть  построены  с  помощью  циркуля  и  линейки  тогда  и только  тогда,   когда  это  уравнение  приводимо, т.е.  имеет  по  крайней  мере  один  рациональный  корень. Декарт  нашел  аналогичный  критерий  и  для  уравнения  четвертой  степени,  однако  не  обосновал  их. Первые  строгие  доказательства  их  были  даны  в  1837г.  П.Ванцелем.

 Рис. 5

Задача  трисекции  угла, в  которой  требуется  разделить   данный  угол  на  три  равные  части  не  сводилась  древними    к  кубическому  уравнению (с помощью  тригонометрии  задачу  можно  свести  к  решению  уравнения 3x–4x3=a,  где a =sin, x=sin , что  удалось  математикам  стран  ислама). В  истории античной  математики  эта  задача  замечательна  тем,  что для  ее  решения  были  применены «вставки»  и  введена  первая  трансцендентная кривая – квадратриса.  Рассмотрим  эту  кривую,  которую  ввел  Гиппий  из  Элиды.  Она  определялась  механически. Пусть  отрезки  ОА  и  АВ (рис.5) начинают  двигаться  одновременно,  причем  ОА  равномерно  вращается по  часовой  стрелке  вокруг  точки  О,  а  АВ  равномерно  опускается  вниз, оставаясь  параллельным  самому себе,  так,  что  оба они  достигают  положения ОС  одновременно. Геометрическое  место  точки  М  пересечения  обоих  отрезков  и  образует  квадратрису.  Из  определения   следует, что    ординаты  кривой  пропорциональны  соответствующим  углам.

почленно  делим =, или  =.

Кривая  может  быть  применена  для  деления угла  на  любое  число  равных  частей.

Задача о квадратуре круга, то есть о построении квадрата,  равновеликого  данному кругу, равносильная  построению  отрезка,  равного  ,  не  сводится  к  алгебраическому  уравнению.

Парадоксы  бесконечного

Вместе  с  открытием  несоизмеримости  величин  в  математику  вошло  понятие  бесконечности. Но  теперь  дело  шло  уже  об  изучении  свойств  самих бесконечных множеств и об исследовании бесконечных  последовательностей. К этим вопросам приводили  две  основные  проблемы,  стоящие  пред античной математикой, проблема  действительного  числа  и  проблема меры.  Не  ясным  становился  вопрос  о  строении  отрезка  и  других  непрерывных  величин. Трудности, связанные  с  понятиями  бесконечного  и  непрерывного,  привели  к  глубокому  кризису  основ  античной  математики.  

Проблемы  действительного  числа  и меры  занимали  умы  философов, (Анаксагор,  Демокрит, Аристотель  и  др.).

Вскрыть  действительные  трудности,  лежащие  в  основе  понятий  непрерывного  и  бесконечного,  и  показать,  сколь  не  совершенны  представления  о них, удалось  Зенону  Элейскому,  в  Vв.  до  нашей  эры. Он  придал  своим  рассуждениям  острую и  красочную  форму  парадоксов, которые  уже  более  25  веков  не  перестают  привлекать  внимание  математиков   и  философов.  Каждая  эпоха  предлагала  свое  решение  этих  парадоксов,  или  апорий (трудность),  интерес  к  ним  не  ослабел  и  в  наши  дни.

Элеаты (ученики школы, возглавляемой Парменидом) отрицали  множественность  вещей  и движение.  Они  считали,  что не следует  обращать  внимания  на  фактическую  действительность,  а  только  на  последовательность  рассуждений.

Элеаты  систематически  пользовались  доказательствами  путем  приведения  к  абсурду: для  обоснования  предложения  А  они  доказывали,  что  отрицание  его ложно.  Так  поступал  и  Зенон,  чтобы  логически  обосновать  утверждение  элеатов,  он  предположил  существование  множественности  и  движения  и показал,  какие  противоречия  таятся  в  этих  концепциях.  Наиболее  знамениты  апории  движения.

Рассмотрим  апории  движения. «Дихотомия» (рассечение  пополам). Движущееся  тело  никогда  не  достигнет  конца  пути,  потому что  оно  должно  дойти  сначала  до середины длины пути,  затем  до  середины  остатка  и  т.д. Пусть  АВ  отрезок  длины  1  и  точка  М  движется  из  А  в  В.  Прежде  чем  дойти  до  В,  она  должна  «отсчитать»  бесконечное  множество  «середин» А1, А2,…Аn…,  значит  точка М  В  никогда не  будет  достигнута.

«Ахиллес  и  черепаха».  Быстроногий  Ахиллес  никогда  не  догонит  черепахи,  если  в  начале  движения  черепаха  находилась  на  некотором  расстоянии  впереди  него.  Пусть начальное  расстояние  есть  а  и  пусть  Ахиллес  бежит  в  k  раз  быстрее  черепахи.  Когда  Ахиллес  пройдет  расстояние  а,  черепаха  отползет  на  ,  когда  Ахиллес  пройдет  это  расстояние, черепаха отползет  на  ,  и  тд.  То есть всякий  раз  между  состязающимися  будет  оставаться  отличное  от  нуля  расстояние.  

Здесь  как  в  и  случае  первой  апории  трудность  заключается  пользовании  актуальной бесконечностью. Допустимо ли, например, рассмотреть  весь  натуральный  ряд  уже  построенным  и  ввести  некоторое  новое  число, следующее  за  всеми  натуральными?

Кроме того,  имеется  еще  одно  затруднение. Пусть  в  некоторый  момент  времени t Ахиллес  догонит  черепаху.

Путь  Ахиллеса: SA=a+++….

Путь  черепахи: Sч=++….

Каждому  отрезку  пути  ,  пройденному Ахиллесом,  соответствует  отрезок  пути  черепахи. Поэтому  к моменту  встречи  Ахиллес должен  пройти  «столько  же»  отрезков  пути,  сколько  и  черепаха. С другой  стороны, каждому  отрезку ,  пройденному  черепахой,  можно  сопоставить  равный  ему  по  величине  отрезок  пути  Ахиллеса.  Но  Ахиллес  должен  еще  пробежать  один  отрезок  длины  а, т.е. он должен  пройти  на единицу  больше  отрезков,  чем  черепаха. Если  количество  отрезков,  пройденное  черепахой, есть , то  получим  1+ =. Это  затруднение  выражается  так:  часть  равна  целому.

Но  ведь  движение  тел  происходит  ежедневно  на  наших  глазах. В  чем  же  здесь  дело? Вопрос  этот  касается  соотношения  математической  модели  и  реального  физического  пространства.

В  апориях  Зенона  считается, что  пространство  в  малом  устроено  также  как  и  в  большом,  факты  из области  движения величин   определенного  порядка переносятся  на  все  величины. Между  тем  согласно  современным  физическим  взглядам  физические  величины  вовсе  не являются  делимыми  до  бесконечности.  Подробное  исследование    показывает, что  бесконечность  вовсе  не  была  нам  дана.

Евклид

Ничего не известно о нем: откуда он был родом, где и у кого учился. Тем не менее, нет оснований сомневаться в его существовании. Принципиальность Евклида подчеркивают один анекдот о нем.

Как-то царь Птолемей I спросил Евклида, нет ли более короткого пути для изучения геометрии, чем штудирование «начал». На это он смело ответил, что «в геометрии нет царской дороги».

Евклид является автором «Начал», по которым учились математики всего мира. Его глубоко занимали вопросы логических основ математики, и одно из его сочинений, которое до нас не дошло, называлось «Ложные заключения». В книге «Данные» он исследовал вопрос о том, каково должно быть минимальное число заданных величин, чтобы сделать некоторую задачу определенной. Он еще до Аполлония   написал трактат о конических сечениях – наиболее полное и систематическое изложение учения об этих кривых. Он, как и другие великие греческие геометры занимался астрономией, оптикой и теорией музыки.

«Начала» Евклида

Эта книга пережила более 2-х тысячелетий, но до сих пор не утратила своего значения не только в истории науки, но и в самой математике. Система евклидовой геометрии и теперь изучается во всех школах мира и лежит в основе почти всей практической деятельности людей. На геометрии Евклида базируется классическая механика. Последующие математики  ссылались на предложения «Начал», как на нечто окончательно установленное.

Заметим, что идея составления «Начал» не принадлежит самому Евклиду. Как сообщает Прокл, и  до Евклида были сочинения  такого рода, т.е. и до него сложились определенные традиции, определенные, схемы, по которым писались книги. Но «Начала» Евклида оказались намного совершеннее своих предшественников.

Аксиоматика

«Начала» Евклида состоят из 13 книг. Каждая книга начинается с определений. Кроме того, первой книге предшествует 5 постулатов и 5 аксиом.

Постулаты «Начал»:

  1.  «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
  2.  Ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой.
  3.  Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.
  4.  Все прямые углы равны между собой.
  5.  Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».

Первые три постулата описывают простейшие построения, которые можно осуществить с помощью циркуля и линейки. 4-й постулат обеспечивает единственность продолжения прямой. Пятый постулат – знаменитый постулат о параллельных прямых. Он обеспечивает существование точки пересечения  у 2-х прямых, удовлетворяющих сформулированным условиям. Пятый постулат  удивлял ученых сложностью своей формулировки. Уже в древности его пытались заменить другим более очевидным предложением. Так, у Прокла (V в. н.э.) встречается формулировка постулата о параллельных прямых, которая вошла во все школьные курсы.

Предполагают, что Евклиду должны быть известны различные формы постулата о параллельных прямых. Почему же он выбрал из них такую сложную?

Аксиомы «Начал» описывают общие свойства равенства и неравенства величин. Все аксиомы, кроме 4-й, относятся не только к геометрическим величинам, но и к числам вообще. 4-ая аксиома – «совмещающиеся равны» является единственной, в которой говорится о возможности движения – совмещения.

Аксиомы:  

  1.  «Равные одному и тому же равны между собой.
  2.  И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
  3.  И если от равных отнимаются равные, то и остатки будут равны.
  4.  И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
  5.  И целое больше части».

Выбор постулатов и аксиом очень удачен. Почти все они вошли в современную аксиоматику. Однако постулатов и аксиом «Начал» недостаточно для дедуктивного построения геометрии. Евклид не сформулировал многого из того, чем он пользуется в дальнейшем. Так, в «Началах» нет стереометрических постулатов. За исключением 4-й аксиомы, там нет и аксиом движения. Между тем в геометрии Евклида изучаются по существу инварианты движений твердого тела.

В 1-ой книге излагается планиметрия  прямолинейных фигур (треугольники, прямоугольники, трапеции).

В 2-ой книге излагаются элементы геометрической алгебры.

В 3-ей – свойства круга, его касательных и хорд.

В 4-ой книге строятся правильные - угольники (3, 4, 5, 10, 15).

5-ая книга посвящена общей теории отношений величин Евдокса.

6-ая книга – учение о подобии.

7-9 книги посвящены арифметике, т.е. теории целых и рациональных чисел.

10 книга проводит классификацию квадратичных иррациональностей, возникающих при решении цепочек квадратных уравнений.

11 книга посвящена стереометрии.

12 книга рассматривает объемы фигур.

13 книга – построение пяти правильных многогранников – тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра.

Этот краткий обзор позволяет дать общее представление о замечательном богатстве содержания, стройности и монолитности «Начал». Приведем слова Альберта Эйнштейна о «Началах»: «Это удивительнейшее произведение мысли дало  человеческому разуму ту уверенность в себе, которая была необходима для ее последующей деятельности. Тот не рожден для теоретических исследований, кто в молодости не восхищался этим творением» (А.Эйнштейн. Физика и реальность. М., 1965, стр.62).

Влияние «Начал» на развитие математики было колоссальным. Античные математики опирались на них при своих исследованиях по математике и механике. В конце VIII - начале IX вв. появились первые переводы «Начал» на арабский язык, в первой четверти XII в. - на латинский язык. И в странах ислама, и в Европе средних веков, «Начала» служили настольной книгой каждого серьезного математика; их многократно переписывали, переиздавали печатно, комментировали, а также перерабатывали для преподавания.

Первое издание «Начал» на русском языке вышло в 1739 г., последнее - в 1948-50 гг.  

Основная литература:

  1.  Математическая энциклопедия.  Книги 1-5. - М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.
  2.  Рыбников К.А.  История математики. Уч.пособие для судентов математических специальностей университетов и пед.институтов. 2-е изд. -М.: Изд-во МГУ, 1974.
  3.  Стройк Д.Я.   Краткий очерк истории математики. – Москва: Наука, 1969.
  4.  Юшкевич А.П.  История математики в средние  века. - М.: Наука, 1961.
  5.  История математики с древнейших времен до начала ХІХ столетия. В 3-х томах. Под.ред А.П.Юшкевича.-М.: Наука, 1970-1972.
  6.  Нейгебауэр О.  Точные науки в древности – М: Наука, 1968.

Дополнительная литература:

  1.  Хрестоматия по истории математики.  Под.ред. А.П.Юшкевича. – М.: Просвещение, 1976, 1977.
  2.  Глейзер Г.И.   История математики  в средней школе в 3-х кн. .-М.: Просвещение, 1981-1983.
  3.  Депман И.Я., Виленкин Н.Я.   «За  страницами учебника». - М.: Просвещение, 2002.
  4.  Стройк Д.Я.   Краткий очерк истории математики. – Москва: Наука, 1969.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78046. Антидепрессанты и их применение при соматической патологии 22 KB
  На этом основан механизм действия антидепрессантов за счет улучшения проведения по синапсам которое достигается либо инактивацией моноаминооксидазы МАО либо блокированием обратного нейронального захвата.
78047. Правовые основы налогообложения 77.69 KB
  Следующий вид нормативных документов - это подзаконные акты, регулирующие детальный порядок налогообложения конкретных видов налогов. В соответствии с определением Закона о налогах и сборах налоги представляют собой денежные платежи, которые не являются ответными услугой...
78049. ПСИХОЛОГИЯ ЛИЧНОСТИ: НОВЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ 202.5 KB
  Мы видем множество концепций с помощью которых ученые пытаются объяснить поведения человека как в норме так и в патологии. Авторы убеждены в том что философские положения касающиеся природы человека предоставляют собой опору психологии личности.
78050. Особенности переселенческого капитализма 147.5 KB
  Для определения особенностей переселенческого капитализма мы рассмотрим развитие США лидирующего государства в плане развития экономики вооружения влияющего на экономическую ситуацию в других странах.
78051. 3D МОДЕЛИРОВАНИЕ. АНИМАЦИЯ. ВИРТУАЛЬНЫЕ МИРЫ 417.5 KB
  Существует огромное количество областей, где применяется трёхмерное моделирование и анимация. Например, при испытании программы 3D Studio MAX пользователи проделали колоссальную работу, применяя эту программу в различных областях: от создания статической рекламы...
78052. История группы Deep Purple 71 KB
  В своем первоначальном составе Deep Purple собрались в марте 1968 года. Тогда к репетициям в составе Roundabouts (название было именно таким) приступили Джон Лорд на клавишах, Ричи Блэкмор на гитаре, на барабанах играл Иан Пэйс, бас-гитара была у Ника Сэмпера, а фронтменом группы стал Род Эванс.
78053. Анализ романа Ф. Кафки «Процесс» 188 KB
  Но какое же преступление совершили мы, чтобы заслужить подобную кару? Когда мы рождаемся, мы виновны в первородном грехе. Затем нас приговаривают к ученью в школе и там судят, выставляя плохие отметки и приучая к дисциплине.
78054. Керамический гранит 67.5 KB
  В процессе обжига в прессованном теле плитки идут процессы реструкторизации роста кристаллов в спеченной массе. В течение этого процесса плитки приобретают необходимые физико-механические свойства: прочность плотность и т.