46191

Решение систем линейных дифференциальных уравнений матричным методом

Доклад

Математика и математический анализ

Часто в физике при решении определенных задач приходится сталкиваться с системами из 3 или 4 линейных дифференциальных уравнений. При решений таких систем удобно использовать матричный метод решения систем линейных дифференциальных уравнений. Часто матрица коэффициентов этих систем уравнений имеет симметричный вид.

Русский

2013-11-19

78 KB

42 чел.

Решение систем линейных дифференциальных уравнений матричным методом

М.В. Дубина (МГПУ им. И.П. Шамякина)

Научный руководитель – В.В. Шепелевич, доктор ф.-м. наук, профессор

Часто в физике при решении определенных задач приходится сталкиваться  с системами из 3 или 4 линейных дифференциальных уравнений. При решений таких систем удобно использовать матричный метод решения систем линейных дифференциальных уравнений. Часто матрица коэффициентов этих систем уравнений имеет симметричный вид.

Использование этого метода сводится к следующему алгоритму:

1.Приведение системы уравнений к виду:

2.Нахождение собственных значений  матрицы .

3.Осуществляем спектральное разложение , составляем систему матричных уравнений относительно  и решаем ее.

4.Решение в общем виде имеет вид:

В частных случаях компоненты матрицы можно выразить в отдельности и избежать решения системы матричных уравнений.

В физических задачах зачастую матрица коэффициентов имеет симметричный вид.

Теорема 1: Если матрица  симметрична, то симметрична и матрица , где  произвольные числа.

Доказательство: Для элементов матрицы имеем:

где  порядок матрицы. При  получаем .

Теорема 2: Если матрица  симметрична, то симметрична и матрица , где  произвольные числа.

Доказательство: Для элементов матрицы имеем:

где  порядок матрицы.

При  получаем  (поскольку  и ), отсюда .

Лемма 1: Если матрица коэффициентов  системы 2,3 или 4 дифференциальных уравнений симметричная, то и компоненты  матрицы  будут также симметричными матрицами.

Доказательство: Выразив каждый компонент матрицы  отдельно, для всех возможных случаев, получим либо:, либо . Тогда согласно теореме 1 лемма 1 является верной.

1. Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука,1982. – С.148 – 174.

2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: - С.124 – 133.

3. Матвеев Н.В. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие. 5-е изд., доп. – СПб.: Лань,2003 – С.653 – 782.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65434. МЕТОДИ Й ЗАСОБИ ІДЕНТИФІКАЦІЇ ТА АНАЛІЗУ СИГНАЛІВ В ІНФОРМАЦІЙНО-ВИМІРЮВАЛЬНИХ КОМПОНЕНТАХ КОМП’ЮТЕРНИХ СИСТЕМ 348 KB
  Ситуація при транспортуванні ОМ ускладнюється можливістю зміни маси або коефіцієнту поверхневого тертя ОМ під впливом внутрішніх або зовнішніх факторів що потребує своєчасної корекції величини стискального зусилля з забезпеченням мінімального проковзування ОМ в захватному пристрої ЗП комплексу.
65435. ВЛАСТИВОСТІ І ТЕХНОЛОГІЯ ПІНОБЕТОНУ, МОДИФІКОВАНОГО ОКСИДАМИ ЗАЛІЗА 234.5 KB
  Метою досліджень є одержання пінобетону з високою міцністю при стиску і зниженими усадкою та проникністю шляхом удосконалювання його структури складу властивостей і параметрів виробництва за рахунок застосування комплексної добавки що складається із поліспирту та речовини що містить залізо.
65436. БАНКІВСЬКІ ВАЛЮТНІ ОПЕРАЦІЇ ПРИ ОБСЛУГОВУВАННІ СУБ’ЄКТІВ АГРАРНОЇ СФЕРИ 828 KB
  Ринкова економіка розширила горизонти здійснення валютних та експортноімпортних операцій які в якісно нових економічних реаліях набувають особливої вагомості та виняткового значення не лише на макро а й на мікрорівні.
65437. УДОСКОНАЛЕННЯ МЕХАНІЗМІВ ДЕРЖАВНОГО УПРАВЛІННЯ МІГРАЦІЙНИМИ ПРОЦЕСАМИ 548.5 KB
  Участь України в світових міграційних процесах є надзвичайно активною. Загальновідомо, що вона є одним з найбільших донорів трудової міграції в сучасному світі та країною транзиту, через яку проходять більше 10 маршрутів міграції.
65438. УДОСКОНАЛЕННЯ ТЕХНІКО-ТАКТИЧНИХ ДІЙ ВИСОКОКВАЛІФІКОВАНИХ ФЕХТУВАЛЬНИКІВ НА ШПАГАХ З ВИКОРИСТАННЯМ КОМП’ЮТЕРНОГО МОДЕЛЮВАННЯ 361 KB
  Проблема удосконалення технікотактичної підготовки фехтувальників на сучасному етапі вивчалася багатьма авторами й по даному питанню накопичений достатньо великий обсяг інформації. Турецький 1983 запропоновані програми техніко тактичного удосконалення...
65439. Закономірності гідромеханічних процесів утилізації твердих відходів содового виробництва 4.99 MB
  Вирішенням проблеми позбавлення шкідливої дії відходів содових виробництв може стати їх накопичування у підземних порожнинах які утворюються в процесі вилуговування солі у відпрацьованих розсільних свердловинах.
65440. ПРОФЕСІЙНА ПІДГОТОВКА МАГІСТРІВ ІНФОРМАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ В СИСТЕМІ ДИСТАНЦІЙНОЇ ОСВІТИ США 232.5 KB
  Стрімкий розвиток інформаційних та телекомунікаційних технологій, активізація інтеграційних процесів у вищій освіті, глобалізація світової економіки, модернізація виробництва, динамічні зміни на ринку праці зумовлюють потребу у фахівцях-професіоналах...
65441. БІОЛОГІЧНЕ ОБГРУНТУВАННЯ ВАЖЛИВІШИХ ЕЛЕМЕНТІВ ТЕХНОЛОГІЇ ВИРОЩУВАННЯ НАСІННЯ КОРІАНДРУ СОРТУ НЕКТАР В КРИМУ 877 KB
  Індивідуальний розвиток ефіроолійних рослин і зокрема коріандру є загально відомим проте циклічна схема онтогенезу і вегетаційного періоду для коріандру не розроблені не досліджені закономірності формування насіння що не дає можливості...
65442. ПІДВИЩЕННЯ ПРОДУКТИВНОСТІ ОБРОБКИ ДЕТАЛЕЙ У ВІБРУЮЧИХ КОНТЕЙНЕРАХ ШЛЯХОМ ВИБОРУ ФОРМИ ІНСТРУМЕНТУ 323 KB
  Відповідно до цього актуальною науковопрактичною задачею стосовно вібраційної обробки є розробка рекомендацій що сприяють підвищенню її продуктивності за рахунок розробки та дослідження інструменту одиничних абразивних...