46191

Решение систем линейных дифференциальных уравнений матричным методом

Доклад

Математика и математический анализ

Часто в физике при решении определенных задач приходится сталкиваться с системами из 3 или 4 линейных дифференциальных уравнений. При решений таких систем удобно использовать матричный метод решения систем линейных дифференциальных уравнений. Часто матрица коэффициентов этих систем уравнений имеет симметричный вид.

Русский

2013-11-19

78 KB

42 чел.

Решение систем линейных дифференциальных уравнений матричным методом

М.В. Дубина (МГПУ им. И.П. Шамякина)

Научный руководитель – В.В. Шепелевич, доктор ф.-м. наук, профессор

Часто в физике при решении определенных задач приходится сталкиваться  с системами из 3 или 4 линейных дифференциальных уравнений. При решений таких систем удобно использовать матричный метод решения систем линейных дифференциальных уравнений. Часто матрица коэффициентов этих систем уравнений имеет симметричный вид.

Использование этого метода сводится к следующему алгоритму:

1.Приведение системы уравнений к виду:

2.Нахождение собственных значений  матрицы .

3.Осуществляем спектральное разложение , составляем систему матричных уравнений относительно  и решаем ее.

4.Решение в общем виде имеет вид:

В частных случаях компоненты матрицы можно выразить в отдельности и избежать решения системы матричных уравнений.

В физических задачах зачастую матрица коэффициентов имеет симметричный вид.

Теорема 1: Если матрица  симметрична, то симметрична и матрица , где  произвольные числа.

Доказательство: Для элементов матрицы имеем:

где  порядок матрицы. При  получаем .

Теорема 2: Если матрица  симметрична, то симметрична и матрица , где  произвольные числа.

Доказательство: Для элементов матрицы имеем:

где  порядок матрицы.

При  получаем  (поскольку  и ), отсюда .

Лемма 1: Если матрица коэффициентов  системы 2,3 или 4 дифференциальных уравнений симметричная, то и компоненты  матрицы  будут также симметричными матрицами.

Доказательство: Выразив каждый компонент матрицы  отдельно, для всех возможных случаев, получим либо:, либо . Тогда согласно теореме 1 лемма 1 является верной.

1. Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука,1982. – С.148 – 174.

2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: - С.124 – 133.

3. Матвеев Н.В. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие. 5-е изд., доп. – СПб.: Лань,2003 – С.653 – 782.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45998. СЕРТИФІКАЦІЯ СИСТЕМ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ЯКОСТІ 120.5 KB
  Зміни стосовно впровадження систем якості в Україні відбиваються у кількісній формі: підприємств, які бажають проводити роботи з сертифікації систем якості, вже сотні, а не одиниці, як це було раніше. Проте Україна значно відстає від розвинених держав
45999. Эффективный диаметр молекул 266 KB
  Молекулы газов – это, как правило, нейтральные частицы. Но в своем составе они содержат атомы, в которых есть и положительные и отрицательные заряды. Поэтому при приближении двух молекул друг к другу начинает все больше сказываться электростатическое отталкивание.
46002. Коммуникационный менеджмент организации: цели, функции, структуры, процессы, управление 31 KB
  Коммуникационный менеджмент организации: цели функции структуры процессы управление. Коммуникации в организации. Коммуникация это функция управления позволяющая при помощи правильно организованной передачи информации обеспечить надежное соединение всех звеньев предприятия и их взаимодействие Коммуникационный менеджмент теория и практика управления социальными коммуникациями как внутри организации так и между организацией и ее средой с целью проведения оптимально благоприятных для организации коммуникационных процессов...
46003. Значение конкуренции в современной экономике 28 KB
  Значение конкуренции в современной экономике. Основными методами конкуренции являются: повышение качества продукции снижение цен война цен реклама развитие до и послепродажного обслуживания создание новых товаров и услуг с использованием достижений НТР и т. конкуренции: активизация инновационного процесса гибкое приспособление к спросу высокое качество продукции высокая производительность труда минимум издержек реализация принципом оплаты по количеству и качеству труда возможность регулировки со стороны государства....
46005. Особенности работы PR-структур в условиях кризиса 59.5 KB
  Особенности работы PRструктур в условиях кризиса. Для этого в компании должен быть заранее подготовленный список возможных проблем и план действий в случае кризиса. Особенности работы PRструктур в условиях кризиса. Блэку проанализировать все возможные источники и направления развития кризиса в зависимости от того чем занимается ваша организация в какой среде находится кто её конкуренты и проч.