46191

Решение систем линейных дифференциальных уравнений матричным методом

Доклад

Математика и математический анализ

Часто в физике при решении определенных задач приходится сталкиваться с системами из 3 или 4 линейных дифференциальных уравнений. При решений таких систем удобно использовать матричный метод решения систем линейных дифференциальных уравнений. Часто матрица коэффициентов этих систем уравнений имеет симметричный вид.

Русский

2013-11-19

78 KB

42 чел.

Решение систем линейных дифференциальных уравнений матричным методом

М.В. Дубина (МГПУ им. И.П. Шамякина)

Научный руководитель – В.В. Шепелевич, доктор ф.-м. наук, профессор

Часто в физике при решении определенных задач приходится сталкиваться  с системами из 3 или 4 линейных дифференциальных уравнений. При решений таких систем удобно использовать матричный метод решения систем линейных дифференциальных уравнений. Часто матрица коэффициентов этих систем уравнений имеет симметричный вид.

Использование этого метода сводится к следующему алгоритму:

1.Приведение системы уравнений к виду:

2.Нахождение собственных значений  матрицы .

3.Осуществляем спектральное разложение , составляем систему матричных уравнений относительно  и решаем ее.

4.Решение в общем виде имеет вид:

В частных случаях компоненты матрицы можно выразить в отдельности и избежать решения системы матричных уравнений.

В физических задачах зачастую матрица коэффициентов имеет симметричный вид.

Теорема 1: Если матрица  симметрична, то симметрична и матрица , где  произвольные числа.

Доказательство: Для элементов матрицы имеем:

где  порядок матрицы. При  получаем .

Теорема 2: Если матрица  симметрична, то симметрична и матрица , где  произвольные числа.

Доказательство: Для элементов матрицы имеем:

где  порядок матрицы.

При  получаем  (поскольку  и ), отсюда .

Лемма 1: Если матрица коэффициентов  системы 2,3 или 4 дифференциальных уравнений симметричная, то и компоненты  матрицы  будут также симметричными матрицами.

Доказательство: Выразив каждый компонент матрицы  отдельно, для всех возможных случаев, получим либо:, либо . Тогда согласно теореме 1 лемма 1 является верной.

1. Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука,1982. – С.148 – 174.

2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: - С.124 – 133.

3. Матвеев Н.В. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие. 5-е изд., доп. – СПб.: Лань,2003 – С.653 – 782.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12414. Измерение постоянной Планка 83 KB
  Отчет. К лабораторной работе 6.2. Измерение постоянной Планка. Цель работы: Определить постоянную Планка. Приборы и инструменты № Название Предел измерения Цена деления Аб
12415. Изучение закона интегральной светимости нагретого тела 86 KB
  Отчет. К лабораторной работе 6.3. Изучение закона интегральной светимости нагретого тела. Цель работы: . Приборы и инструменты № Название Предел измерения Цена деления Абсолю...
12416. Изучение термоэлектронной эмиссии и определение работы выхода электронов из металла 181.5 KB
  Отчет. К лабораторной работе 6.4. Изучение термоэлектронной эмиссии и определение работы выхода электронов из металла. Цель работы: Вычисление работы выхода вольфрама различными методами а так же проверка закона БогуславскогоЛенгмюра. Приборы и инстр...
12417. Определение термического коэффициента сопротивления и ширины запретной зоны полупроводника 100 KB
  Отчет. К лабораторной работе 6.6. Определение термического коэффициента сопротивления и ширины запретной зоны полупроводника. Цель работы: Определить ширину запретной зоны полупроводника и коэффициенты β для полупроводника и металла. Приборы и инструменты ...
12418. Изучение внешнего фотоэффекта, лабораторная работа 267.5 KB
  Отчет. К лабораторной работе 6.12. Изучение внешнего фотоэффекта. Цель работы: изучить внешний фотоэффект. Приборы и инструменты № Название Предел измерения Цена деления Аб...
12419. Интеллектуальные информационные системы 339.5 KB
  Методические указания к лабораторным работам и семинарским занятиям по дисциплине Интеллектуальные информационные системы Содержание Методические указания к лабораторным работам 3 Лабораторная работа №1. Семантические сети 4 Последовательность в...
12420. Исследование явления интерференции света при помощи бипризмы Френеля 309.5 KB
  Отчет. К лабораторной работе 7.1. Исследование явления интерференции света при помощи бипризмы Френеля. Цель работы: Определение длины световой волны. Приборы и инструменты № Название Пр
12421. Исследование явления интерференции света при помощи колец Ньютона 69 KB
  Отчет. К лабораторной работе 7.2. Исследование явления интерференции света при помощи колец Ньютона. Цель работы: Определение радиуса линзы при помощи колец Ньютона. Приборы и инструменты № Название ...
12422. Определение концентрации водного раствора сахара с помощью поляриметра 347 KB
  Отчет. К лабораторной работе 7.4. Определение концентрации водного раствора сахара с помощью поляриметра. Цель работы: Ознакомиться с явлением поляризации света и его применением на примере измерения концентрации раствора сахара Используя раствор с известно...