46191

Решение систем линейных дифференциальных уравнений матричным методом

Доклад

Математика и математический анализ

Часто в физике при решении определенных задач приходится сталкиваться с системами из 3 или 4 линейных дифференциальных уравнений. При решений таких систем удобно использовать матричный метод решения систем линейных дифференциальных уравнений. Часто матрица коэффициентов этих систем уравнений имеет симметричный вид.

Русский

2013-11-19

78 KB

41 чел.

Решение систем линейных дифференциальных уравнений матричным методом

М.В. Дубина (МГПУ им. И.П. Шамякина)

Научный руководитель – В.В. Шепелевич, доктор ф.-м. наук, профессор

Часто в физике при решении определенных задач приходится сталкиваться  с системами из 3 или 4 линейных дифференциальных уравнений. При решений таких систем удобно использовать матричный метод решения систем линейных дифференциальных уравнений. Часто матрица коэффициентов этих систем уравнений имеет симметричный вид.

Использование этого метода сводится к следующему алгоритму:

1.Приведение системы уравнений к виду:

2.Нахождение собственных значений  матрицы .

3.Осуществляем спектральное разложение , составляем систему матричных уравнений относительно  и решаем ее.

4.Решение в общем виде имеет вид:

В частных случаях компоненты матрицы можно выразить в отдельности и избежать решения системы матричных уравнений.

В физических задачах зачастую матрица коэффициентов имеет симметричный вид.

Теорема 1: Если матрица  симметрична, то симметрична и матрица , где  произвольные числа.

Доказательство: Для элементов матрицы имеем:

где  порядок матрицы. При  получаем .

Теорема 2: Если матрица  симметрична, то симметрична и матрица , где  произвольные числа.

Доказательство: Для элементов матрицы имеем:

где  порядок матрицы.

При  получаем  (поскольку  и ), отсюда .

Лемма 1: Если матрица коэффициентов  системы 2,3 или 4 дифференциальных уравнений симметричная, то и компоненты  матрицы  будут также симметричными матрицами.

Доказательство: Выразив каждый компонент матрицы  отдельно, для всех возможных случаев, получим либо:, либо . Тогда согласно теореме 1 лемма 1 является верной.

1. Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука,1982. – С.148 – 174.

2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: - С.124 – 133.

3. Матвеев Н.В. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие. 5-е изд., доп. – СПб.: Лань,2003 – С.653 – 782.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69891. Алгоритми і форми його представлення. Основні структури алгоритмів 572.12 KB
  Мета: набуття навичок побудови блоксхем при розв’язуванні алгоритмічних задач. Блоксхеми. Побудувати блоксхему. Теоретичні відомості Основні форми представлення алгоритмів: словесний опис алгоритму; графічне представлення алгоритму блоксхема; мова псевдокодів...
69892. Дослідження ефективності алгоритму 3.19 MB
  Мета: набуття навичок визначення часової складності алгоритму. Теоретичні питання план Функція складності алгоритму. Види функції складності алгоритмів. Часова функція складності.
69893. Алгоритми сортування даних в оперативній пам’яті 59.5 KB
  Під сортуванням розуміють процес перестановки об’єктів даної множини в певному порядку. Мета сортування – полегшити подальший пошук елементів у відсортованій множині. В цьому значенні сортування присутнє майже у всіх задачах обробки інформації.
69894. Програмування задач обробки структур даних, розташованих на зовнішніх носіях 94 KB
  Мета: ознайомитися з поняттям файлу навчитися створювати і читати файли. Теоретичні питання план Поняття файлу. Основні типи файлових структур. Особливості роботи з текстовими файлами.
69895. Циклические вычислительные процессы 145 KB
  Вычислить значения функции a=1.6x3-1.5 на интервале (-1,1) с шагом изменения аргумента 0.25. Выдать на печать отрицательные значения функции с соответствующими им значениями аргумента. Вычислить и вывести на печать таблицу значений функции
69896. Создание псевдонима базы данных 1.11 MB
  При работе с таблицами локальных БД или СУБД сама база размещается либо в каталоге на диске и хранится в виде отдельного набора файлов, либо на удаленном сервере. Обращение к базе данных происходит по ее псевдониму (Database Alias).
69897. ЭЛЕКТРОННАЯ ТАБЛИЦА EXCEL. ЭЛЕМЕНТЫ ОКНА.НАСТРОЙКА ПАНЕЛИ ИНСТРУМЕНТОВ. ВВОД И РЕДАКТИРОВАНИЕ ДАННЫХ 465.5 KB
  Создайте электронные таблицы для расчета оплаты труда рабочих строительной бригады пропорционально отработанному времени, разряду и тарифам. Данные для расчетов разместить на разных листах.