46191

Решение систем линейных дифференциальных уравнений матричным методом

Доклад

Математика и математический анализ

Часто в физике при решении определенных задач приходится сталкиваться с системами из 3 или 4 линейных дифференциальных уравнений. При решений таких систем удобно использовать матричный метод решения систем линейных дифференциальных уравнений. Часто матрица коэффициентов этих систем уравнений имеет симметричный вид.

Русский

2013-11-19

78 KB

42 чел.

Решение систем линейных дифференциальных уравнений матричным методом

М.В. Дубина (МГПУ им. И.П. Шамякина)

Научный руководитель – В.В. Шепелевич, доктор ф.-м. наук, профессор

Часто в физике при решении определенных задач приходится сталкиваться  с системами из 3 или 4 линейных дифференциальных уравнений. При решений таких систем удобно использовать матричный метод решения систем линейных дифференциальных уравнений. Часто матрица коэффициентов этих систем уравнений имеет симметричный вид.

Использование этого метода сводится к следующему алгоритму:

1.Приведение системы уравнений к виду:

2.Нахождение собственных значений  матрицы .

3.Осуществляем спектральное разложение , составляем систему матричных уравнений относительно  и решаем ее.

4.Решение в общем виде имеет вид:

В частных случаях компоненты матрицы можно выразить в отдельности и избежать решения системы матричных уравнений.

В физических задачах зачастую матрица коэффициентов имеет симметричный вид.

Теорема 1: Если матрица  симметрична, то симметрична и матрица , где  произвольные числа.

Доказательство: Для элементов матрицы имеем:

где  порядок матрицы. При  получаем .

Теорема 2: Если матрица  симметрична, то симметрична и матрица , где  произвольные числа.

Доказательство: Для элементов матрицы имеем:

где  порядок матрицы.

При  получаем  (поскольку  и ), отсюда .

Лемма 1: Если матрица коэффициентов  системы 2,3 или 4 дифференциальных уравнений симметричная, то и компоненты  матрицы  будут также симметричными матрицами.

Доказательство: Выразив каждый компонент матрицы  отдельно, для всех возможных случаев, получим либо:, либо . Тогда согласно теореме 1 лемма 1 является верной.

1. Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука,1982. – С.148 – 174.

2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: - С.124 – 133.

3. Матвеев Н.В. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие. 5-е изд., доп. – СПб.: Лань,2003 – С.653 – 782.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85522. Расчет устойчивости электрической системы 675 KB
  В данной курсовой работе для электрической системы проведены расчеты статической и динамической устойчивости. В частности были рассчитаны идеальные пределы мощности, коэффициенты запаса статической устойчивости в различных случаях регулирования возбуждения.
85523. Численные исследования систем регулирования по отклонению с ПИ-регулятором 85.71 KB
  Цель данной курсовой работы исследовать влияние оптимальных настроек регулятора на критерий точности регулирования системы. Задачи: Исследовать качество системы регулирования по отклонению с ПИрегулятором с настройками по методике В.
85524. Разработка базы данных для учета материальных ценностей в ресторане 25.06 MB
  Программа предназначена для накопления и анализа данных о результатах учета материальных ценностей в ресторане, об их стоимости и количестве. Кроме того, программа должна выдавать справочные данные о МЦ, о контрагентах, о материально-ответственных лицах.
85525. Построение проверяющего и диагностического тестов для непрерывной системы 933 KB
  При изготовлении эксплуатации ремонте и хранении технических объектов необходима проверка их исправности работоспособности правильности функционирования и поиска неисправностей. Таблица функций неисправностей ТФН для функциональной схемы объекта диагноза которая представлена на рисунке...
85526. МНОГОЭТАЖНОЕ ПРОИЗВОДСТВЕННОЕ ЗДАНИЕ 2.06 MB
  В курсовом проекте выполнена разбивка сетки колон. Определены расчетные и нормативные нагрузки на плиту перекрытие. Определена высота поперечного сечения плиты, подобрана арматура. Собраны нагрузки на главную балку, определена высота поперечного сечения балки, подобрана арматура, построена эпюра материалов.
85527. Электрооборудование внутришлифовального станка модели 3225 63.3 KB
  Размыканием нормально открытых контактов 2К отключается привод ПМУ. Магнитные пускатели и контакторы выбираются по следующим условиям: 1 току и напряжению силовых контактов; 2 мощности коммутируемой нагрузки; 3 числу и роду силовых контактов; 4 числу и роду вспомогательных контактов...
85529. Управление конфликтами в ООО РПП «Дважды Два»: анализ и направления совершенствования 1.17 MB
  Методики оценки конфликтности в организации в самом параграфе идет речь о методах управления а не о методиках оценки Способы и стратегии разрешения конфликтов в этом пункте также больше говорится не о самих способах а о том как строится система управления конфликтами в организации добавить...
85530. УСТРОЙСТВА СВЧ И АНТЕННЫ 5.26 MB
  Проектирование микрополосковой линии Преимущества микрополосковой линии рис. Всеми достоинствами присущими симметричной полосковой линии как и другие линии передачи обладает в равной степени и микрополосковая линия кроме одного. В микрополосковой линии существенно сильнее взаимное влияние между соседними проводниками что обусловлено более открытой структурой линии и отсутствием симметрии относительно горизонтальной оси. Поперечное сечениеа и структура поля б в микрополосковой линии Как видно на рис.