46191

Решение систем линейных дифференциальных уравнений матричным методом

Доклад

Математика и математический анализ

Часто в физике при решении определенных задач приходится сталкиваться с системами из 3 или 4 линейных дифференциальных уравнений. При решений таких систем удобно использовать матричный метод решения систем линейных дифференциальных уравнений. Часто матрица коэффициентов этих систем уравнений имеет симметричный вид.

Русский

2013-11-19

78 KB

42 чел.

Решение систем линейных дифференциальных уравнений матричным методом

М.В. Дубина (МГПУ им. И.П. Шамякина)

Научный руководитель – В.В. Шепелевич, доктор ф.-м. наук, профессор

Часто в физике при решении определенных задач приходится сталкиваться  с системами из 3 или 4 линейных дифференциальных уравнений. При решений таких систем удобно использовать матричный метод решения систем линейных дифференциальных уравнений. Часто матрица коэффициентов этих систем уравнений имеет симметричный вид.

Использование этого метода сводится к следующему алгоритму:

1.Приведение системы уравнений к виду:

2.Нахождение собственных значений  матрицы .

3.Осуществляем спектральное разложение , составляем систему матричных уравнений относительно  и решаем ее.

4.Решение в общем виде имеет вид:

В частных случаях компоненты матрицы можно выразить в отдельности и избежать решения системы матричных уравнений.

В физических задачах зачастую матрица коэффициентов имеет симметричный вид.

Теорема 1: Если матрица  симметрична, то симметрична и матрица , где  произвольные числа.

Доказательство: Для элементов матрицы имеем:

где  порядок матрицы. При  получаем .

Теорема 2: Если матрица  симметрична, то симметрична и матрица , где  произвольные числа.

Доказательство: Для элементов матрицы имеем:

где  порядок матрицы.

При  получаем  (поскольку  и ), отсюда .

Лемма 1: Если матрица коэффициентов  системы 2,3 или 4 дифференциальных уравнений симметричная, то и компоненты  матрицы  будут также симметричными матрицами.

Доказательство: Выразив каждый компонент матрицы  отдельно, для всех возможных случаев, получим либо:, либо . Тогда согласно теореме 1 лемма 1 является верной.

1. Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука,1982. – С.148 – 174.

2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: - С.124 – 133.

3. Матвеев Н.В. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие. 5-е изд., доп. – СПб.: Лань,2003 – С.653 – 782.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78182. Разработка алгоритмов и программ с подключением модулей CRT, DOS 83.5 KB
  Изучить основные приемы программирования по написанию программ, обрабатывающих прерывания, проверяющих статус дисков, управляющих программной средой, организующих работу с каталогами и их элементами реализующих процедуры и функции стандартного модуля DOS.
78183. Разработка алгоритмов и программ с подключением модуля GRAPH 81.5 KB
  Получить индивидуальное задание у преподавателя и разобрать программу в соответствии с поставленной задачей. Показать работающую программу преподавателю. Индивидуальные задания: Создайте программу вывода изображений двух туч. Создайте программу вывода на экран текстовой информации в форме бегущей строки...
78184. Разработка алгоритмов и программ с анализом организации данных 89.5 KB
  Индивидуальные задания Постройте с помощью массива стек из 6 строковых элементов. Разместите в стеке шесть элементов: ‘nme ‘fio ‘ves ‘ge ‘rost ‘dlin. Удалите из стека два элемента ‘dlin и ‘fio и добавьте новый элемент ‘size. После этого добавьте в список шесть элементов 1357911 затем найдите указатель на элемент 9 и удалите этот элемент.
78185. Разработка алгоритмов и программ с использованием указателей 75 KB
  Организация динамической памяти и структур данных. Получить индивидуальное задание у преподавателя и разобрать программу с использованием выделения динамической памяти и создания указателей. Использовать динамическое выделение памяти. Использовать динамическое выделение памяти.
78186. Разработка программ обработки одномерных массивов 80.5 KB
  В качестве элементов массива можно использовать и любой другой ранее описанный тип поэтому вполне правомерно существование массивов записей массивов указателей массивов строк массивов и т. Элементами массива могут быть данные любого типа включая структурированные. Тип элементов массива называется базовым. Особенностью языка Паскаль является то что число элементов массива фиксируется при описании и в процессе выполнения программы не меняется.
78187. Разработка программ обработки двумерных массивов 70.5 KB
  Доступ к каждому отдельному элементу осуществляется путем индексирования элементов массива. Индексы представляют собой выражения любого скалярного типа, кроме вещественного. Тип индекса определяет границы изменения значений индекса. Для описания массива предназначено словосочетание: array of (массив из).
78188. Разработка программ с использованием процедур и функций 101 KB
  Dos включает средства позволяющие реализовывать различные функции DOS. Функции в Паскале Функция это независимая именованная часть программы которую можно вызвать по имени для выполнения определенных действий. Структура функции повторяет структуру программы. Особенности использования функции: функция передает в точку вызова скалярное значение; имя функции может входить в выражение как операнд.
78189. Основные комбинаторные алгоритмы 169 KB
  Контрольные вопросы Введение Комбинаторные алгоритмы с их акцентом на разработку анализ и реализацию практических алгоритмов являются продуктом века вычислительных машин. Предмет теории комбинаторных алгоритмов вычисления на дискретных математических структурах.
78190. Графы. Алгоритмы на графах 224.61 KB
  Геометрическое - графом называется фигура, состоящая из точек (называемых вершинами) и отрезков, соединяющих некоторые из этих вершин. Соединяющие отрезки могут быть направленными (дугами), ненаправленными (ребрами)