46191

Решение систем линейных дифференциальных уравнений матричным методом

Доклад

Математика и математический анализ

Часто в физике при решении определенных задач приходится сталкиваться с системами из 3 или 4 линейных дифференциальных уравнений. При решений таких систем удобно использовать матричный метод решения систем линейных дифференциальных уравнений. Часто матрица коэффициентов этих систем уравнений имеет симметричный вид.

Русский

2013-11-19

78 KB

39 чел.

Решение систем линейных дифференциальных уравнений матричным методом

М.В. Дубина (МГПУ им. И.П. Шамякина)

Научный руководитель – В.В. Шепелевич, доктор ф.-м. наук, профессор

Часто в физике при решении определенных задач приходится сталкиваться  с системами из 3 или 4 линейных дифференциальных уравнений. При решений таких систем удобно использовать матричный метод решения систем линейных дифференциальных уравнений. Часто матрица коэффициентов этих систем уравнений имеет симметричный вид.

Использование этого метода сводится к следующему алгоритму:

1.Приведение системы уравнений к виду:

2.Нахождение собственных значений  матрицы .

3.Осуществляем спектральное разложение , составляем систему матричных уравнений относительно  и решаем ее.

4.Решение в общем виде имеет вид:

В частных случаях компоненты матрицы можно выразить в отдельности и избежать решения системы матричных уравнений.

В физических задачах зачастую матрица коэффициентов имеет симметричный вид.

Теорема 1: Если матрица  симметрична, то симметрична и матрица , где  произвольные числа.

Доказательство: Для элементов матрицы имеем:

где  порядок матрицы. При  получаем .

Теорема 2: Если матрица  симметрична, то симметрична и матрица , где  произвольные числа.

Доказательство: Для элементов матрицы имеем:

где  порядок матрицы.

При  получаем  (поскольку  и ), отсюда .

Лемма 1: Если матрица коэффициентов  системы 2,3 или 4 дифференциальных уравнений симметричная, то и компоненты  матрицы  будут также симметричными матрицами.

Доказательство: Выразив каждый компонент матрицы  отдельно, для всех возможных случаев, получим либо:, либо . Тогда согласно теореме 1 лемма 1 является верной.

1. Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука,1982. – С.148 – 174.

2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: - С.124 – 133.

3. Матвеев Н.В. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие. 5-е изд., доп. – СПб.: Лань,2003 – С.653 – 782.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

51478. Определение отклика на гармоническое воздействие при подключении и отключении источника 305 KB
  В лабораторной работе определен отклик цепи при подключении и отключении источника, построены необходимые графические изображения и таблицы
51479. Определение отклика на периодическое негармоническое воздействие 346.5 KB
  Построить спектр амплитуд и спектр фаз отклика. Определить действующее и среднее значение отклика мощность выделяемую на сопротивлении нагрузки. Определение отклика цепи Определим отклик.
51480. Кинематика материальной точки 287 KB
  Рассмотрим участок АВ: Согласно II закону Ньютона При проектировании на оси координат получаем величина непостоянная а переменная то ускорение непостоянно. Получаем где выражение это определение скорости. Подставляя полученные значения в исходное выражение получаем. Интегрируем обе части выражения получаем.
51481. Динамика вращательного движения вокруг горизонтальной оси 263 KB
  Система состоящая из диска массой m и радиуса R с прикрепленными к нему тонкими стержнями общей массой m может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси. Через обод на диске переброшена тонкая невесомая нерастяжимая нить к концам которой привязаны грузы массой каждый. На ободе диска прикреплен шарик массой пренебрежимо малого размера. На какой наибольший угол повернётся система если на один из висящих на нити грузов положить перегрузок массой .
51482. Отклонить тело из положения равновесия и написать уравнение колебаний 210.5 KB
  Найдем центры масс каждого тела отдельно а затем и всей системы: ; Центр массы стержня 1 лежит на его середине: Центр массы стержня 2 лежит на его середине: Центр массы большого диска 3 лежит в его центре а центр находится на оси OX: Центр массы большой пластины 4 лежит на пересечении ее диагоналей: Центр массы малого диска 5 лежит в его центре: Центр массы малой пластины 6 лежит на пересечении ее диагоналей: Найдем центр масс всей системы: Координаты центра масс: С0.14 Угол на который отклонится центр масс системы от нормали: где ...
51485. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ 114 KB
  В данной работе был рассмотрен метод наименьших квадратов для интерполяции функции, заданной при помощи выборки ее значений в нескольких точках