46191

Решение систем линейных дифференциальных уравнений матричным методом

Доклад

Математика и математический анализ

Часто в физике при решении определенных задач приходится сталкиваться с системами из 3 или 4 линейных дифференциальных уравнений. При решений таких систем удобно использовать матричный метод решения систем линейных дифференциальных уравнений. Часто матрица коэффициентов этих систем уравнений имеет симметричный вид.

Русский

2013-11-19

78 KB

42 чел.

Решение систем линейных дифференциальных уравнений матричным методом

М.В. Дубина (МГПУ им. И.П. Шамякина)

Научный руководитель – В.В. Шепелевич, доктор ф.-м. наук, профессор

Часто в физике при решении определенных задач приходится сталкиваться  с системами из 3 или 4 линейных дифференциальных уравнений. При решений таких систем удобно использовать матричный метод решения систем линейных дифференциальных уравнений. Часто матрица коэффициентов этих систем уравнений имеет симметричный вид.

Использование этого метода сводится к следующему алгоритму:

1.Приведение системы уравнений к виду:

2.Нахождение собственных значений  матрицы .

3.Осуществляем спектральное разложение , составляем систему матричных уравнений относительно  и решаем ее.

4.Решение в общем виде имеет вид:

В частных случаях компоненты матрицы можно выразить в отдельности и избежать решения системы матричных уравнений.

В физических задачах зачастую матрица коэффициентов имеет симметричный вид.

Теорема 1: Если матрица  симметрична, то симметрична и матрица , где  произвольные числа.

Доказательство: Для элементов матрицы имеем:

где  порядок матрицы. При  получаем .

Теорема 2: Если матрица  симметрична, то симметрична и матрица , где  произвольные числа.

Доказательство: Для элементов матрицы имеем:

где  порядок матрицы.

При  получаем  (поскольку  и ), отсюда .

Лемма 1: Если матрица коэффициентов  системы 2,3 или 4 дифференциальных уравнений симметричная, то и компоненты  матрицы  будут также симметричными матрицами.

Доказательство: Выразив каждый компонент матрицы  отдельно, для всех возможных случаев, получим либо:, либо . Тогда согласно теореме 1 лемма 1 является верной.

1. Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука,1982. – С.148 – 174.

2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: - С.124 – 133.

3. Матвеев Н.В. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие. 5-е изд., доп. – СПб.: Лань,2003 – С.653 – 782.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54702. Небезпека від вогню 87 KB
  Складання плану уроку: Історія вогню Що таке пожежа Причини виникнення пожежі Невідкладні дії під час пожежі Як поводитися під час пожежі ІІ. Вчитель: Ця група нагадала нам телефон пожежної служби яка прибуває на допомогу під час пожежі але пожежники кажуть: Пожежі краще запобігти ніж її гасити. Тому передаємо слово групі Юні пожежні які нагадають вам причини виникнення пожежі. Вона показує нам основні джерела займання та причини виникнення пожежі.
54703. Основы генетики, урок 71.5 KB
  Урок: освоение нового материала. Вильгельм Швебель немецкий ученый и публицист Слайд 2 Ход урока: Организационный момент Актуализация знаний. Слайд 3 Генетика рассматривает носители наследственности хромосомы и гены. Учащиеся записывают в тетради Слайд 4 Наследственностью обладают все живые организмы.
54705. Сценарій Останнього уроку 123 KB
  Шановні гості Ми сьогодні зібралися в цій залі щоб вирядити на широку дорогу дорослого життя наших випускників.її життя починається світанком душі дитинством. Це справді найкраща пора життя людини і проходить вона у школі. Дороги дороги Тернисті і рівні Із пристані школа ведуть у життя.
54706. Открываем новые земли 60 KB
  Цель игры: сплочение коллектива развитие эмпатии и сопереживания между детьми и учителями; приобретение опыта совместного прохождения препятствий и принятия групповых решений формирование доверительного отношения между участниками игрового процесса.
54707. Математический КВН «Остров сокровищ» 33.5 KB
  Математический КВН Остров сокровищ Конкурс Приветствие команд Команда Пираты Наш девиз: Возьмём соперников на абордаж Весь остров знаний будет наш Команда капитана Флинта Наш девиз: Мы всех пиратов обойдём И клад мы первыми найдём Мы фору соперникам быстро дадим И в КВНе непременно победим Команда Джека Воробья Наш девиз: Наш Джек всегда непобедим К победе быстро мы летим. Бойко Остров сокровищ Пират: О Есть у математики священный клад Рассказывал товарищам пират. Несметные богатства в нём заключены Мы непременно взять...
54708. Освітній округ – крок у майбутнє. Інноваційний проект 296 KB
  Провести маркетингове дослідження з метою вияву кількісноякісного складу потреб в освітніх послугах та систематизувати результати у вигляді Програми Маркетингова діяльність школи у наданні якісно нових освітніх послуг через роботу освітнього округу. Створити модель Профільна та допрофільна освіта округу № 7 м. Скласти план менеджменту діяльності освітнього округу на стратегічному та оперативному тактичному рівнях.
54709. Формування інноваційної освітньої культури 41 KB
  Отже актуальним є визначення та подолання суперечності між оновленням парадигми сучасної освіти переходом на новий тип гуманістичноінноваційної освіти який передбачає інноваційну діяльність всіх учасників навчальновиховного процесу і неготовністю значної частини вчителів до відповідних змін. Важливо визначити роль інноваційної діяльності в системі науковометодичної роботи вчителя і висвітлити процес формування інноваційної освітньої культури педагога на різних етапах навчальновиховного процесу. Інноваційна діяльність в системі...
54710. ДОПРОФІЛЬНА ОСВІТА В ОСНОВНІЙ ШКОЛІ – ЗАПОРУКА УСПІШНОСТІ ДІТЕЙ СТАРШОЇ ШКОЛИ 125 KB
  Допрофільна та профільна освіта учнів загальноосвітньої школи представляє собою органічну частину системи виховання молоді її підготовки до самостійного трудового життя. Професійна орієнтація є науково практичною системою підготовки учнів до вільного та свідомого вибору професії. Професійна інформація необхідна для учнів та передбачає засвоєння учнями конкретною сукупністю знань про соціальноекономічні та психофізичні умови правильного вибору професії. Допрофільне навчання засіб диференціації та індивідуалізації навчання коли за...