4650

Численные методы. Лабораторный практикум

Книга

Математика и математический анализ

Численные методы Лабораторный практикум. Учебное пособие по курсу Численные методы включает тематику курса лекций, практических и лабораторных занятий, контрольных работ содержит список вопросов выносимых на самостоятельное изуче...

Русский

2012-11-23

3.77 MB

495 чел.

Численные методы

Лабораторный практикум

Раздел 1. Введение.

Учебное пособие по курсу Численные методы включает тематику курса лекций, практических и лабораторных занятий, контрольных работ; содержит список вопросов выносимых на самостоятельное изучение, а так же темы, которые могут быть изучены в рамках вычислительного практикума и выполнены как курсовые работы. Предлагаются возможные формы отчета по выполняемым лабораторным и домашним контрольным работам, вычислительного практикума.

Дается перечень основной литературы.

Цель курса: ознакомление с различными методами численного решения классических модельных задач прикладной математики и математической физики, с оценками погрешностей вычисления результатов. Построение математической модели, сведение поставленной задачи к модельной задаче с известными методами решения, реализация алгоритма решения на языке программирования, проведение численного эксперимента является необходимым для широкого круга специалистов, в том числе и учителям математики, физики, информатики.

Задачи курса.

Студент должен изучить:

  •  основные проблемы и задачи прикладной математики, математического моделирования и численных методов;
  •  этапы математического моделирования и численного решения задачи на ЭВМ;
  •  вопросы применимости численных методов к поставленным задачам (теорема существования и единственности решения, устойчивость решения к малым возмущениям, корректность и некорректность постановки задачи);
  •  методы численного решения основных модельных задач прикладной математики и математической физики;
  •  способы оценки погрешности метода и численного решения в соответствии с правилами теории погрешностей;
  •  вопросы построения численного алгоритма и его программная реализация на ЭВМ;
  •  правила проведения численного эксперимента и проверки адекватности полученного численного результата с изучаемым явлением;

Темы лекционного курса

Введение. Математические модели и численные методы. Решение задач с использованием ЭВМ. Приближенное решение, причины возникновения погрешностей и их классификация. Проблема нахождения приближенного решения, устойчивость и корректность.

Глава 1. Элементы теории погрешностей.

Тема 1.1. Абсолютная и относительная погрешности. Значащая цифра, число верные знаков.

Тема 1.2. Округление чисел. Правило округления по дополнению. Связь относительной погрешности и числа верных знаков.

Тема 1.3. Погрешность суммы, разности, произведения и частного. Общая формула для погрешности.

Тема 1.4. Определение относительных погрешностей степени, корня, предельных абсолютных погрешностей элементарных функций.

Глава 2. Приближенное решение нелинейных уравнений.

Тема 2.1. Методы приближенного решения нелинейных уравнений. Методы отделения изолированных корней уравнения, оценка погрешности.

Тема 2.2. Метод половинного деления, хорд, метод касательных, комбинированный метод. Оценка погрешности приближения.

Тема 2.3. Метод итерации. Графическая интерпретация метода итерации. Теорема о сходимости итерационного процесса. Оценка погрешности решения. Алгоритм численного решения нелинейных уравнений.

Глава 3. Решение систем линейных уравнений.

Тема 3.1. Точные и приближенные методы решения систем линейных уравнений. Метод квадратного корня, метод Халецкого.

Тема 3.2. Метод итерации. Теорема о сходимости итерационного процесса. Метод Зейделя. Оценка погрешности приближения.

Тема 3.3. Метод итерации.

Глава 4. Приближение функций.

Тема 4.1. Приближение функции. Метод наименьших квадратов.

Тема 4.2. Приближение функции. Сплайны. Кубические сплайны.

Глава 5. Интерполирование функций.

Тема 5.1. Интерполирование функций. Постановка задачи. Конечные разности. Центральные разности.

Тема 5.2. Интерполяционные формулы Ньютона. Оценка погрешности.

Тема 5.3. Интерполяционная формула Лагранжа. Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа.

Тема 5.4. Обратное интерполирование.

Глава 6. Приближенное дифференцирование.

Тема 6.1. Приближенное дифференцирование. Постановка задачи. Методы приближенного дифференцирования.

Глава 7. Приближенное интегрирование.

Тема 7.1. Приближенное интегрирование. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.

Тема 7.2 Приближенное интегрирование. Формулы прямоугольников (правых, левых и средних). Оценки погрешностей.

Тема 7.3. Формулы трапеции и Симпсона. Остаточный член.

Тема 7.4. Метод Монте-Карло. Оценка погрешности.

Глава 8. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Тема 8.1. Постановка задачи. Задача Коши. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Пикара.

Тема 8.2. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера, модификации этого метода. Оценка погрешности приближенного решения.

Тема 8.3. Семейство методов Рунге-Кутта. Оценка погрешности метода на шаге. Порядок метода. Классические варианты метода Рунге-Кутта.

Тема 8.4. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Постановка задачи. Задача Коши. Приближенное решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта.

Глава 9. Решение граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Тема 9.1. Постановка задачи. Сведение граничных задач к задачам Коши.

Тема 9.2. Метод Галеркина и метод моментов.

Тема 9.3. Сетки и сеточные функции. Разностные уравнения.

Тема 9.4. Метод сеток решения граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод прогонки.

Глава 10. Решение дифференциальных уравнений в частных производных.

Тема 10.1. Основные понятия разностных схем. Построение разностной схемы. Погрешность аппроксимации дифференциального уравнения разностным уравнением. Сходимость и устойчивость разностных схем.

Тема 10.2. Консервативные разностные схемы. Методы построения разностных схем.

Тема 10.3. Численное решение дифференциальных уравнений эллиптического типа. Метод сеток решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

Тема 10.4. Численное решение дифференциальных уравнений параболического типа. Метод сеток решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности.

Тема 10.5. Численное решение дифференциальных уравнений гиперболического типа. Метод сеток решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа.

Темы спецкурсов.

Тема 1. Приближение функций.

Часть 1. Равномерное приближение.

§ 1.Постановка задачи. Теоремы Вейерштрасса об аппроксимации.

§ 2. Наилучшее приближение функции многочленами.

§ 3. Многочлены Чебышева и Бернштейна.

Часть 2. Интерполирование функций.

§ 1. Интерполирование функции. Постановка задачи.

§ 2. Интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя, Эверетта.

§ 3. Интерполирование периодических функций тригонометрическими полиномами.

§ 4. Интерполирование с кратными узлами.

Часть 3. Приближение функций сплайнами.

§ 1. Постановка задачи. Интерполяционные кубические сплайны.

§ 2. Сглаживающие кубические сплайны.

§ 3. Сплайновые кривые. Кривые Безье.

§ 4. В - сплайновые и Бета - сплайновые кривые.

§ 5. Сплайновые поверхности.

Часть 4. Квадратичное приближение

§ 1. Приближение функций по методу наименьших квадратов.

§ 2. Квадратичное приближение периодических функций тригонометрическими многочленами.

§ 3. Квадратичное приближение методом Чебышева.

Тема 2. Методы минимизации функций.

Часть 1. Методы минимизации функций (МФ) одной переменной.

§ 1. Постановка задачи. Глобальные и локальные минимумы (максимумы). Унимодальные функции.

§ 2. Классический метод МФ. Метод деления отрезка пополам.

§ 3. Симметричные методы. Метод золотого сечения.

§ 4. Оптимальные методы. Метод Фибоначчи.

§ 5. Метод ломаных. Метод покрытий.

§ 6. Методы минимизации выпуклых функций. Метод касательных.

§ 7. Методы поиска глобального минимума. Метод парабол.

§ 8. Стохастический метод минимизации.

Часть 2. Методы минимизации функций многих переменных.

§ 1. Постановка задачи минимизации. Теорема Вейерштрасса.

§ 2. Классический метод.

§ 3. Градиентный метод. Методы проекции градиента и субградиента, условного градиента.

§ 4. Метод возможных направлений, сопряженных направлений.

§ 5. Методы Ньютона и Стеффенсена.

§ 6. Метод покоординатного спуска.

§ 7. Метод поиска глобального минимума.

§ 8. Метод модифицированных функций Лагранжа.

§ 9. Метод штрафных функций.

§ 10. Метод барьерных функций, нагруженных функций.

§ 11. Метод случайного поиска.

Тема 3. Численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений специального вида.

§ 1. Введение в дискретные методы решения задачи Коши. Вопросы реализации алгоритмов.

§ 2. Одношаговые методы типа Рунге-Кутты. Условия порядка. Способы оценки погрешностей одношаговых методов. Распространение одношаговых методов на системы ОДУ.

§ 3. Многошаговые методы и их реализация. Переменный порядок и шаг. Распространение многошаговых методов на системы ОДУ.

§ 4. Экстраполяционные методы.

§ 5. Явление жесткости и его влияние на выбор методов решения задачи Коши.

§ 6. Неявные одношаговые (типа Рунге-Кутты) и многошаговые методы. Вопросы их реализации.

§ 7. Структурный метод интегрирования систем ОДУ. Алгоритмы конструирования и реализации его расчетных схем.

§ 8. Современные численные методы интегрирования, наиболее распространенных в задачах моделирования, систем ОДУ специального вида

Список необходимой литературы дан в конце пособия.


Раздел 2. Тематика лабораторных работ

Форма отчёта:

  1.  Постановка задач. Краткая теория (метод решения). Геометрическая интерпретация.
  2.  Алгоритм решения поставленной задачи. (Блок-схема).
  3.  Текст программы.
  4.  Тестовый пример.
  5.  Численный расчёт по данным исходной задачи с оценкой погрешности результата. Протокол работы программы.
  6.  Анализ полученного результата.

Пояснения к отдельным пунктам отчета.

Постановка задачи включает краткую математическую формулировку задачи с пояснением отдельных моментов, а также необходимые графики и/или рисунки. Должны быть приведены основные моменты применяемых методов.

Алгоритм решения задачи может быть оформлен или в виде блок-схемы, или в словесной форме. Допускается описание алгоритма осмысленными частями (блоками).

Текст программы численного решения задачи должен быть написан на предлагаемом языке программирования, который может быть изменен по согласованию с преподавателем данного курса.

Под тестовым примером или тестом понимается задача (аналогичная по постановке искомой задаче) у которой известно точное решение, что позволяет сравнить численные результаты (приближенное и точное решения) и оценить допускаемую погрешность. По результатам тестирования должен быть сделан вывод.

Протокол работы программы должен включать результаты как по тестовому примеру, так и численного расчета искомой задачи. Результаты численных расчетов должны быть оформлены по всем правилам записи приближенных чисел, т.е. запись приближенного решения только с верными значащими цифрами и допускаемой погрешностью.

Анализ численных результатов должен дать ответ на вопрос, соответствуют ли полученные результаты искомому решению поставленной задачи и почему.


Краткая теория к лабораторным и контрольным работам

Приближенное решение нелинейного уравнения

  1.  Метод половинного деления.

Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение , где функция  определена и непрерывна для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка, т.е. .

Найти приближенное решение данного уравнения  с точностью , а так же необходимое для этого число разбиений отрезка .

Приближенное решение  и погрешность приближения  находятся по следующей схеме:

, , ;

где , удовлетворяет условиям , ; из последнего определяется число разбиений отрезка .

  1.  Метод хорд.

Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение , где функция  определена и непрерывно-дифференцируема для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка, т.е. .

Найти приближенное решение данного уравнения  с точностью .

Приближенное решение  и погрешность приближения  находятся по следующей схеме:

если  на , то , , ;

если  на , то , , .

Приближенное решение  и погрешность приближения :

, .

  1.  Метод Ньютона (метод касательных).

Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение , где функция  определена и непрерывно-дифференцируема для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка, т.е. .

Найти приближенное решение данного уравнения  с точностью .

Приближенное решение  и погрешность приближения  находятся по следующей схеме:

, ;

если  на , то ;

если  на , то .

Приближенное решение  и погрешность приближения :

, .

  1.  Метод итерации.

Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение, где функция  определена и непрерывно-дифференцируема для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка, т.е. .

Найти приближенное решение данного уравнения  с точностью .

Приближенное решение  и погрешность приближения  находятся по следующей схеме:

  •  уравнение  приводится к виду , где функция  удовлетворяет условиям: , дифференцируема на данном отрезке и ;
  •  строится итерационная последовательность вида , , где  выбирается произвольно из данного отрезка, например, ;
  •  полагая  приближенное значение корня , для погрешности получим , а так как по условию , то итерационный процесс продолжим до выполнения условия , при этом приближенное значение корня определяется как .

Приближенное решение  и погрешность приближения :

, .

  1.  Метод хорд и касательных.

Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение, где функция  определена и непрерывно-дифференцируема для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка, т.е. .

Найти приближенное решение данного уравнения  с точностью .

 Приближенное решение  и погрешность приближения  находятся по следующей схеме:

если  на , то

 , ,

, ,   ;

если  на , то

, ,

, ,   .

Приближенное решение  и погрешность приближения :

, .

Приближенное решение системы линейных алгебраических

уравнений

Постановка задачи. Найти приближенное решение системы линейных алгебраических уравнений , где , , , , .

Если , то система имеет единственное решение.

Явный метод итерации. Представим данную систему в виде приведенной системы

,

где , , , , , ;.

Приближенное решение ищем по следующей итерационной схеме

,  или , , .

Для сходимости итерационной последовательности  необходимо выполнение следующего условия: . Где  канонические нормы:

; ; .

Итерационная последовательность продолжается до выполнения условия

, , .

Тогда за приближенное решение можно взять

, .

Явный метод Зейделя. По данному методу приближенное решение ищется по следующей схеме

, .

Определение сходимости и оценка погрешности производится так же, как и для метода итерации.

Интерполирование функций полиномом.

Постановка задачи. Функция  определена на отрезке , задана своими значениями  в равноотстоящих узлах , т.е. . Определить значение функции  в точке .

  1.  Полином Ньютона. Если функция  определена на отрезке и задана своими значениями  в равноотстоящих узлах , , , то задача интерполяции решается в двух случаях.
    1.  Когда точка  находится в начале таблицы значений  используется первая интерполяционная формула Ньютона

,

, , , .

Тогда , , .

  1.  Когда точка  находится в конце таблицы значений  используется вторая интерполяционная формула Ньютона

,

.

Тогда , , .

  1.  Интерполяционная формула Лагранжа. Если функция  определена на отрезке  и дана своими значениями  в не равноотстоящих узлах , , , то задача интерполяции решается с помощью полинома Лагранжа

, , , .

Приближенное решение обратной задачи интерполирования

Постановка задачи. Пусть функция  определена на отрезке  и задана своими значениями  в точках . Необходимо найти значение аргумента  по известному значению функции в этой точке .

Предположим, что  монотонна на отрезке  и , где , .

Задача обратного интерполирования решается для двух случаев: для равноотстоящих и не равноотстоящих узлов.

  1.  Случай равноотстоящих узлов, т.е. , , ; предположим так же, что  и  достаточно мал.

Тогда задача решается использованием первого интерполяционного полинома Ньютона

,

где необходимо определить , чтобы найти . Выделив из полинома  получим уравнение , где

.

Решение данного уравнения можно искать например методом половинного деления или методом итерации по схеме , полагая , , и так далее. То предел  будет решением уравнения.

Тогда  будет решением обратной задачи интерполирования. Погрешность полученного решения будет состоять из погрешностей интерполяционной формулы и метода итерации.

  1.  Случай не равноотстоящих узлов, т.е. , , .

В этом случае используется формула Лагранжа, считая  независимой переменной, выражая  через :

, ,

, .

Приближенное дифференцирование

Постановка задачи. Пусть функция  определена на отрезке  и задана своими значениями  в точках . Для приближенного дифференцирования функцию  заменяют интерполирующей функцией  и полагают

, , ;

с погрешностью , , .

Тогда при  получим

,

при

.

Если , то

, ,

, .

Численное интегрирование

Постановка задачи. Пусть функция  определена и интегрируема на отрезке . Необходимо найти значение определенного интеграла , когда первообразная ,  неизвестна или ее трудно найти, или  задана своими значениями , , .

Общий подход в численном интегрировании заключается в следующем:

  1.  Для функции  строится аппроксимирующая функция , так чтобы  на отрезке , при этом класс аппроксимирующей функции  может зависеть от свойств функции , от необходимой точности вычисления интеграла, от числа арифметических действий, от времени работы алгоритма и т.д.;
    1.  Функция  выбирается так, чтобы интеграл  легко считался;
      1.  Функция  выбирается так, чтобы  или , где  - задаваемая точность вычисления интеграла.

Для применения методов численного интегрирования делят отрезок  системой равноотстоящих точек , , , ,  на отрезки ,  и рассматривают сумму интегралов .

Исходя из этих соображений и допущений обычно используют следующие формулы численного интегрирования.

  1.  Формула левых прямоугольников. В этом случае  на отрезке  заменяется функцией , тогда

,

, .

  1.  Формула правых прямоугольников. В этом случае  на отрезке  заменяется функцией , тогда

,

, .

  1.  Формула средних прямоугольников. В этом случае  на отрезке  заменяется функцией , тогда

,

, .

  1.  Формула трапеций. В этом случае  на отрезке  заменяется функцией , тогда

,

, .

  1.  Формулы Ньютона-Котеса. Если  на отрезке  заменить интерполирующим полиномом Лагранжа , то получим формулы Ньютона-Котеса

, , .

 При  получим из этих соотношений формулу трапеции.

  1.  Формула Симпсона. Получается из формул Ньютона-Котеса при четном числе разбиений  отрезка  и рассмотрении интерполяции функции  на трех точках, т.е.  приближается квадратичным трехчленом вида :

, .

Приближенное решение задачи Коши обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Постановка задачи. Найти приближенные значения решения  обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ)  на отрезке  с шагом  при начальном условии  

  1.  Метод Эйлера:

  1.  Усовершенствованный метод ломаных:

  1.  Метод Эйлера-Коши:

  1.  Метод Эйлера с уточнением:

.

  1.  Метод Рунге-Кутта четвертого порядка

,

.


Лабораторная работа № 1

Тема: Решение нелинейных уравнений. Метод половинного деления.

Задание: 1) Отделить корни уравнения графически и программно .

2) Уточнить корни (все!) уравнения методом половинного деления с точностью , указать число разбиений отрезка.

Вопросы самоконтроля.

  1.  Как отделяются корни уравнения?
  2.  Какой должна быть величина шага при отделении корней?
  3.  Какие условия должны быть выполнены для применения метода половинного деления отрезка?
  4.  Какова идея метода половинного деления отрезка? Геометрическая иллюстрация.
  5.  Как вычисляется приближенный корень уравнения и какова его погрешность?
  6.  Как зависит погрешность результата от выбора приближенного решения?

Вариант

Уравнение

Вариант

Уравнение

1

31

2

32

3

33

4

34

5

35

6

36

7

37

8

38

9

39

10

40

11

41

12

42

13

43

14

44

15

45

16

46

17

47

18

48

19

49

20

50

21

51

22

52

23

53

24

54

25

55

26

56

27

57

28

58

29

59

30

60

Образец выполнения лабораторной работы № 1

(Решение нелинейных уравнений. Метод половинного деления.)

Постановка задачи. Найти корень нелинейного уравнения  методом итерации с точностью .

Решение задачи. Отделим корень уравнения на отрезке  графическим методом. Для этого табулируем функцию  на данном отрезке.

Имеем , , , ,

 Выделим отрезок , содержащий изолированный корень, для уточнения которого применим метод половинного деления по схеме , , , где , . Полагая , , а так же условие остановки деления отрезка пополам , составим таблицу

корень

погрешность

Усл.ост.

1,00000000

3,00000000

2,00000000

1,29583687

-1,17168626

0,15888308

1,00000000

нет

2,00000000

3,00000000

2,50000000

0,15888308

-1,17168626

-0,48776781

0,50000000

нет

2,00000000

2,50000000

2,25000000

0,15888308

-0,48776781

-0,15924305

0,25000000

нет

2,00000000

2,25000000

2,12500000

0,15888308

-0,15924305

0,00119806

0,12500000

нет

2,12500000

2,25000000

2,18750000

0,00119806

-0,15924305

-0,07868831

0,06250000

нет

2,12500000

2,18750000

2,15625000

0,00119806

-0,07868831

-0,03866032

0,03125000

нет

2,12500000

2,15625000

2,14062500

0,00119806

-0,03866032

-0,01870977

0,01562500

нет

2,12500000

2,14062500

2,13281250

0,00119806

-0,01870977

-0,00875050

0,00781250

нет

2,12500000

2,13281250

2,12890625

0,00119806

-0,00875050

-0,00377488

0,00390625

нет

2,12500000

2,12890625

2,12695313

0,00119806

-0,00377488

-0,00128807

0,00195313

нет

2,12500000

2,12695313

2,12597656

0,00119806

-0,00128807

-0,00004492

0,00097656

нет

2,12500000

2,12597656

2,12548828

0,00119806

-0,00004492

0,00057659

0,00048828

нет

2,12548828

2,12597656

2,12573242

0,00057659

-0,00004492

0,00026584

0,00024414

нет

2,12573242

2,12597656

2,12585449

0,00026584

-0,00004492

0,00011046

0,00012207

нет

2,12585449

2,12597656

2,12591553

0,00011046

-0,00004492

0,00003277

2,12591553

0,00006104

да

2,12591553

2,12597656

2,12594604

0,00003277

-0,00004492

-0,00000608

2,12594604

0,00003052

да

2,12591553

2,12594604

2,12593079

0,00003277

-0,00000608

0,00001335

2,12593079

0,00001526

да

Приближенное решение , погрешность , число итераций .

Следовательно, приближенное значение корня равно .

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Имеем , , . Округлим  до . Получим , , .

Найдем число верных знаков для . Имеем , , . Так как , то получим приближенное значение корня с числом верных знаков .

Ответ:

Лабораторная работа № 2

Тема: Решение нелинейных уравнений. Метод итерации.

Задание: 1) Отделить корни уравнения графически и программно.

2) Уточнить один из корней уравнения методом итерации с точностью , указать число итераций.

3) Нарисовать схему применения метода итерации к данному корню уравнения.

Вопросы самоконтроля.

  1.  Как отделяются корни уравнения?
  2.  Какой должна быть величина шага при отделении корней?
  3.  Какие условия должны быть выполнены для применения метода итерации?
  4.  Какова идея метода итерации? Геометрическая иллюстрация.
  5.  Какое условие должно выполняться для сходимости итерационной последовательности?
  6.  Как находится равносильное уравнение, применяемое для итерационного процесса? Критерий выбора равносильного уравнения.
  7.  Как определяется погрешность метода итерации при заданной точности?
  8.  Какие положительные и отрицательные стороны метода итерации (сравнить с методом деления отрезка пополам)?

Вариант

Уравнение

Вариант

Уравнение

1

31

2

32

3

33

4

34

5

35

6

36

7

37

8

38

9

39

10

40

11

41

12

42

13

43

14

44

15

45

16

46

17

47

18

48

19

49

20

50

21

51

22

52

23

53

24

54

25

55

26

56

27

57

28

58

29

59

30

60

Образец выполнения лабораторной работы № 2

(Решение нелинейных уравнений. Метод итерации.)

Постановка задачи. Найти корень нелинейного уравнения  методом итерации с точностью .

Решение задачи. Отделим корень уравнения на отрезке  графическим методом. Для этого табулируем функцию  на данном отрезке.

0,0001,

-1,

20,

4,

0,25.

-1

-4,274412954

1,620906918

-0,75

-3,79491628

2,195066607

-0,5

-3,188276616

2,632747686

-0,25

-2,492211878

2,906737265

0

-1,75

3

0,25

-1,007788122

2,906737265

0,5

-0,311723384

2,632747686

0,75

0,29491628

2,195066607

1

0,774412954

1,620906918

1,25

1,096953858

0,945967087

1,5

1,24248496

0,212211605

1,75

1,201957841

-0,534738167

2

0,97789228

-1,24844051

2,25

0,584219591

-1,884520868

2,5

0,045416432

-2,403430847

2,75

-0,605017024

-2,772907136

3

-1,326639976

-2,96997749

3,25

-2,074585404

-2,982389028

3,5

-2,802349683

-2,809370062

3,75

-3,464683956

-2,461678072

4

-4,020407486

-1,960930863

Выделим отрезок , где находится корень, и уточним его методом итерации.

Получим равносильное уравнению  уравнение . Функцию  будем искать в виде , где .

0,

1,620906918

3,

1,

,

1,620906918,

3.

При таком выборе функция  удовлетворяет условию сходимости итерационной последовательности , , где .

Тогда получим следующее значение , условие остановки итерационной последовательности , при выборе приближенного решения с погрешностью приближенного решения .

Если свести результаты в таблицу получим

Условие остановки

итерации

0,5

0,603908

0,603908

0,10390779

0,08840638

нет

0,619378

0,619378

0,01546994

0,01316207

нет

0,622182

0,622182

0,00280474

0,00238631

нет

0,622706

0,622706

0,00052329

0,00044523

нет

0,622804

0,622804

0,00009814

0,00008350

да

0,622822

0,622822

0,00001842

0,00001568

да

0,622826

0,622826

0,00000346

0,00000294

да

0,622826

0,00000065

0,00000055

да

Приближенное решение , погрешность , число итераций .

Следовательно, приближенное значение корня равно .

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Имеем , , . Округлим  до . Получим , , .

Найдем число верных знаков для . Имеем , , . Так как , то получим приближенное значение корня с числом верных знаков .

Ответ:

Лабораторная работа № 3

Тема: Решение нелинейных уравнений. Метод хорд.

Задание: 1) Отделить корни уравнения графически и программно.

2) Уточнить корни уравнения методом хорд с точностью .

3) Нарисовать схему применения метода к каждому корню уравнения.

Вариант

Уравнение

Вариант

Уравнение

1

31

2

32

3

33

4

34

5

35

6

36

7

37

8

38

9

39

10

40

11

41

12

42

13

43

14

44

15

45

16

46

17

47

18

48

19

49

20

50

21

51

22

52

23

53

24

54

25

55

26

56

27

57

28

58

29

59

30

60

Лабораторная работа № 4

Тема: Решение нелинейных уравнений. Метод касательных (Ньютона).

Задание: 1) Отделить корни уравнения графически и программно.

2) Уточнить корни уравнения методом касательных с точностью .

3) Нарисовать схему применения метода к каждому корню уравнения.

Вариант

Уравнение

Вариант

Уравнение

1

31

2

32

3

33

4

34

5

35

6

36

7

37

8

38

9

39

10

40

11

41

12

42

13

43

14

44

15

45

16

46

17

47

18

48

19

49

20

50

21

51

22

52

23

53

24

54

25

55

26

56

27

57

28

58

29

59

30

60

Лабораторная работа № 5

Тема: Решение нелинейных уравнений. 

Комбинированный метод хорд и касательных.

Задание: 1) Отделить корни уравнения графически и программно.

2) Уточнить корни уравнения данным методом с точностью .

3) Нарисовать схему применения метода к каждому корню уравнения.

Вариант

Уравнение

Вариант

Уравнение

1

31

2

32

3

33

4

34

5

35

6

36

7

37

8

38

9

39

10

40

11

41

12

42

13

43

14

44

15

45

16

46

17

47

18

48

19

49

20

50

21

51

22

52

23

53

24

54

25

55

26

56

27

57

28

58

29

59

30

60

Образцы выполнения заданий лабораторных работ №3-5

(Приближенное решение нелинейных уравнений.

Метод хорд, касательных (Ньютона), комбинированный метод).

I). Найти приближенные решения уравнения  методом хорд с точностью .

Отделим корни этого уравнения графически (можно и программно). Для этого построим графики функций ,  и найдем абсциссы точек пересечения графиков этих функций: , .

Рассмотрим в качестве примера первый корень. Уточним его методом хорд. Для этого определим знаки функции  и второй ее производной  на этом отрезке .

,

;

,; так как , то , .

Поскольку , то применяем формулу

,

где неподвижная точка , а начальная точка .Получим следующую таблицу

-2

-0,362357754

0,5

-0,398816882

-2,101183118

-0,043988132

0,398816882

-0,386900836

0,011916

0,101183

-2,113099164

-0,004912162

0,386900836

-0,38557473

0,001326

0,011916

-2,11442527

-0,000543307

0,38557473

-0,385428113

0,000147

0,001326

-2,114571887

-0,000060028

0,385428113

-0,385411914

1,62E-05

0,000147

-2,114588086

-0,000006632

0,385411914

-0,385410125

1,79E-06

1,62E-05

-2,5

-2

1,428246056

Где , ,.

Схема применения метода хорд.

Оценим погрешность приближения. Так как  не меняет свой знак на данном отрезке, то  достигает своего наибольшего и наименьшего значения на концах отрезка , поэтому  для .

А) Тогда используя оценку погрешности

,

получим, .

Следовательно, приближенное значение корня равно

.

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Имеем , , . Округлим  до . Получим , , .

Найдем число верных знаков для . Имеем , , . Так как , то получим приближенное значение корня с числом верных знаков .

Ответ: .

Б) Верна так же следующая формула оценки погрешности приближенного значения корня:

,   .

Для нашего уравнения имеем , .

Тогда полагая , получим

.

Следовательно, приближенное значение корня равно .

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Имеем , , . Округлим  до . Получим , , .

Найдем число верных знаков для . Имеем , , .

Так как , то получим приближенное значение корня  с числом верных знаков .

Ответ: .

  1.  Найти приближенные решения уравнения  методом касательных (методом Ньютона) с точностью .

Отделим корни этого уравнения графически (можно и программно). Для этого построим графики функций ,  и найдем абсциссы точек пересечения графиков этих функций: , .

В качестве примера рассмотрим второй корень. Уточним его методом касательных. Для этого определим знаки функции  и второй ее производной  на этом отрезке : , ; , ; так как , то ,.

Поскольку , то применяем формулу ,  .

0,5

1,229205172

4,099762141

0,29982354

 

0,200176466

0,096960102

3,433435582

0,028239965

0,299823534

0,171936501

0,000967890

3,364722863

0,000287658

0,028239965

0,171648863

0,000000101

3,364017852

0,000000030

0,000287658

0,171648813

0,000000000

3,364017778

0,000000000

0,000000030

0

0,5

-0,54030231

1,229205172

2,65376579

2,02516174

Схема применения метода касательных.

Оценим погрешность приближения. Так как  не меняет свой знак на данном отрезке, то  достигает своего наибольшего и наименьшего значения на концах отрезка , поэтому   для .

А) Тогда используя оценку погрешности

,

получим , .

Следовательно, приближенное значение корня равно

.

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Имеем , , . Округлим  до . Получим , с погрешностью округления , .

Найдем число верных знаков для .

Имеем , , . Так как , то получим приближенное значение корня с числом верных знаков .

Ответ: .

Б) Верна так же следующая формула оценки погрешности приближенного значения корня:

, .

Для нашего уравнения имеем , . Тогда полагая , получим

.

Следовательно, приближенное значение корня равно .

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Имеем , ,.

Округлим  до . Получим , ,   

Найдем число верных знаков для . Имеем , ,. Так как , то получим приближенное значение корня с числом верных знаков .

Ответ: .

Замечание. Из сравнения результатов пунктов А) и Б) метода касательных видно, что оценка во втором пункте позволяет получить приближенный результат за меньшее число приближений и может быть получен округлением из результата пункта А).

  1.  Найти приближенные решения уравнения  комбинированным методом с точностью .

Отделим корни этого уравнения графически (можно и программно). Для этого построим графики функций ,  и найдем абсциссы точек пересечения графиков этих функций: , .

Рассмотрим второй корень в качестве примера. Уточним его комбинированным методом. Для этого определим знаки функции  и второй ее производной  на этом отрезке : , ; , ; , так как , то , .

Тогда применяем формулы

, , .

Процесс продолжаем до выполнения условия , тогда за приближенное значение корня можно взять значение

.

0,00000000

0,50000000

-0,54030231

-0,15267025

1,22920517

0,29982353

0,15267025

0,20017647

-0,06340140

-0,01878232

0,09696010

0,02823997

0,17145257

0,17193650

-0,00066012

-0,00019622

0,00096789

0,00028766

0,17164879

0,17164884

-0,00000007

-0,00000002

0,00000010

0,00000003

4,09976214

0,50000000

0,25000000

0,25000000

3,43343558

0,04750621

0,17642336

0,02375311

3,36472286

0,00048393

0,17169453

0,00024197

3,36401785

0,00000005

0,17164882

0,00000003

Схема применения комбинированного метода.

Найдем число верных знаков у приближенного корня . Так как , то получим . Округлим до верных знаков , при этом погрешность округления будет , а погрешность приближенного решения . Найдем число верных знаков , .

Округлим до верных знаков , при этом погрешность округления будет , а погрешность приближенного решения .

Найдем число верных знаков , . Так как , то прекращаем округление.

Ответ: .

Лабораторная работа № 6

Тема: Решение системы линейных уравнений методом итерации и методом Зейделя.

Задание:

  1.  Решить систему линейных уравнений методом итерации и методом Зейделя с точностью ;
    1.  Найти погрешности полученных приближенных решений;
    2.  Сравнить полученные приближенные решения и их погрешности.

Вопросы самоконтроля.

  1.  Постановка задачи.
  2.  Основная идея метода итерации.
  3.  Какое условие должно выполняться для сходимости итерационной процесса?
  4.  Сформулировать канонические нормы, используемые в методе итерации.
  5.  Как находится равносильная система уравнений, применяемая для итерационного процесса? Критерий выбора равносильной системы уравнений.
  6.  Как определяется погрешность метода итерации при заданной точности?
  7.  В чем отличие метода Зейделя от метода итерации?

Вариант

Система уравнений

Вариант

Система уравнений

1

31

2

32

3

33

4

34

5

35

6

36

7

37

8

38

9

39

10

40

11

41

12

42

13

43

14

44

15

45

16

46

17

47

18

48

19

49

20

50

21

51

22

52

23

53

24

54

25

55

26

56

27

57

28

58

29

59

30

60

Образец выполнения лабораторной работы № 6

(Приближенное решение систем уравнений)

Дана система линейных уравнений , где , , . Найти приближенное решение данной системы  с точностью .

Рассмотрим пример решения следующей системы уравнений методами итераций и Зейделя

, точное решение которой .

Так как определитель системы , то система имеет единственное решение.

Приведем данную систему к виду , где ,  ;

решение будем искать в виде итерационной последовательности , , .   Найдем канонические нормы матрицы .

, , .

Минимальной нормой является норма . Поэтому все действия будем производить по этой норме. Итерационный процесс будем продолжать до тех пор, пока не будет выполняться условие  , .

А) По методу итерации получим , , .

Определим число верных знаков в приближенном значении решения. Так как , , то получим  с погрешностью округления . Тогда .

Определим число верных знаков в приближенном решении . Так как , , то получим приближенное решение , с погрешностью .

Ответ: , .

Б) По методу Зейделя получим , , .

Определим число верных знаков в приближенном значении решения. Так как , , то получим  с погрешностью округления . Тогда .

Определим число верных знаков в приближенном решении . Так как , , то получим приближенное решение , с погрешностью .

Ответ: , .

Лабораторная работа № 7

Тема: Интерполирование функции. Полином Лагранжа.

Задание:

  1.  Найти приближенное значение функции при заданном значении аргумента  с помощью интерполяционного полинома Лагранжа, если функция задана в не равноотстоящих узлах; , ; ;
  2.  Оценить погрешность полученного значения.

Вопросы самоконтроля.

  1.  Постановка задачи интерполирования. Геометрическая иллюстрация.
  2.  В чем различие между задачами интерполяции и задачами экстраполяции?
  3.  Привести формулу Лагранжа. Дать оценку погрешности.
  4.  Как выглядит формула Лагранжа для равностоящих узлов?
  5.  От чего зависит точность получаемого формулой Лагранжа результата?
  6.  Когда полином  порядка будет аппроксимирован формулой Лагранжа с наименьшей погрешностью?

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

 

1,0000

6,0100

0,2955

0,8253

0,9553

0,1011

3,6788

0,9689

0,9044

0,1011

3,6788

 

1,1000

6,9066

0,4259

0,8162

0,9460

0,1076

3,6616

1,0587

0,9513

0,1183

4,0277

 

1,2320

8,3884

0,6095

0,8110

0,9325

0,1154

3,5938

1,1740

0,9900

0,1421

4,4276

1,4796

12,1761

0,9142

0,8231

0,9031

0,1279

3,3694

1,3796

0,9813

0,1893

4,9855

 

1,9383

23,2239

0,6753

0,9067

0,8356

0,1453

2,7901

1,7152

0,6555

0,2816

5,4082

 

1,9577

23,8200

0,6283

0,9112

0,8324

0,1459

2,7639

1,7279

0,6332

0,2856

5,4110

 

2,0380

26,4092

0,4031

0,9299

0,8189

0,1483

2,6553

1,7791

0,5343

0,3021

5,4115

1,3

Вариант

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

 

1,8545

20,7751

0,7277

0,8875

0,8492

0,1426

2,9028

1,6588

0,9243

0,2644

3,2300

 

1,5022

12,5914

0,9769

0,8256

0,9002

0,1289

3,3445

1,3975

0,7538

0,1937

3,0144

 

1,1732

7,6850

0,6229

0,8123

0,9387

0,1120

3,6296

1,1231

0,7000

0,1314

2,5550

0,8330

4,9104

0,1928

0,8497

0,9689

0,0891

3,6214

0,8150

0,7411

0,0742

1,8099

 

0,5589

4,0517

-0,0230

0,9073

0,9860

0,0656

3,1961

0,5535

0,8178

0,0367

1,0718

 

0,3354

4,0715

-0,0886

0,9581

0,9949

0,0426

2,3981

0,3342

0,8918

0,0143

0,4825

 

0,1948

4,3493

-0,0789

0,9839

0,9983

0,0260

1,6035

0,1946

0,9386

0,0051

0,1875

0,3

Вариант

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

0,2143

4,3002

-0,0826

0,9809

0,9979

0,0284

1,7298

0,2140

0,9548

0,0061

1,8888

 

0,2572

4,2037

-0,0881

0,9735

0,9970

0,0335

1,9887

0,2567

0,9453

0,0086

1,8466

 

0,3269

4,0830

-0,0892

0,9599

0,9952

0,0416

2,3574

0,3258

0,9297

0,0136

1,7688

0,4282

3,9946

-0,0735

0,9377

0,9918

0,0526

2,7906

0,4258

0,9071

0,0225

1,6415

 

0,5657

4,0603

-0,0194

0,9057

0,9856

0,0663

3,2129

0,5600

0,8771

0,0375

1,4547

 

0,7756

4,6388

0,1357

0,8603

0,9731

0,0845

3,5710

0,7610

0,8366

0,0656

1,1691

 

1,0935

6,8430

0,5139

0,8167

0,9467

0,1072

3,6637

1,0529

0,8014

0,1172

0,7981

0,25

Вариант

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

 

1,0000

3,1000

1,9320

2,1700

0,9553

0,1011

3,6788

0,9689

0,9636

0,1011

3,6788

 

1,1000

3,0131

2,0891

1,9868

0,9460

0,1076

3,6616

1,0587

0,9942

0,1183

4,0277

 

1,2320

2,8473

2,2090

1,7349

0,9325

0,1154

3,5938

1,1740

0,9932

0,1421

4,4276

1,3922

2,5701

2,1119

1,4382

0,9140

0,1238

3,4600

1,3087

0,9200

0,1723

4,8169

 

1,5871

2,1234

1,4772

1,1459

0,8888

0,1326

3,2459

1,4638

0,7166

0,2104

5,1515

 

1,8251

1,4212

0,0390

1,0001

0,8538

0,1416

2,9421

1,6384

0,3119

0,2584

5,3696

 

2,1171

0,3358

-1,0777

1,2810

0,8050

0,1504

2,5485

1,8274

-0,3148

0,3185

5,3956

1,7

Вариант

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

 

2,3289

7,4025

4,1063

0,7875

0,7657

0,1556

2,2685

1,9452

1,2182

0,3624

3,1698

 

2,2147

7,9204

3,2178

0,4896

0,7873

0,1529

2,4181

1,8838

1,1554

0,3387

3,2133

 

2,0597

8,5681

2,9438

0,1833

0,8151

0,1489

2,6259

1,7926

1,0569

0,3066

3,2452

1,8537

9,3255

3,8554

0,0038

0,8493

0,1426

2,9039

1,6582

0,9238

0,2643

3,2298

 

1,6128

10,0558

5,3489

0,1169

0,8852

0,1337

3,2148

1,4834

0,7958

0,2156

3,1108

 

1,3708

10,6117

6,1447

0,4758

0,9166

0,1227

3,4805

1,2911

0,7196

0,1682

2,8627

 

1,1104

11,0022

6,1029

0,9672

0,9450

0,1082

3,6580

1,0679

0,7012

0,1202

2,4370

2,1

Вариант

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

 

1,2214

16,7391

8,1582

0,7551

0,9336

0,1148

3,6009

1,1649

0,8010

0,1402

0,6805

 

1,3802

18,0820

8,3779

0,4592

0,9155

0,1232

3,4716

1,2989

0,8143

0,1700

0,5626

 

1,5872

20,0003

8,2815

0,1457

0,8888

0,1326

3,2457

1,4639

0,8567

0,2105

0,4545

1,8571

22,7888

7,1194

0,0045

0,8488

0,1427

2,8994

1,6605

0,9505

0,2650

0,3847

 

2,2099

26,9367

4,8706

0,4782

0,7882

0,1528

2,4245

1,8811

1,1017

0,3377

0,3926

 

2,6740

33,2783

7,8721

1,7323

0,6951

0,1623

1,8444

2,0984

1,1989

0,4341

0,5204

 

3,2890

43,2810

4,7946

1,2357

0,5514

0,1711

1,2265

2,2384

0,9503

0,5629

0,7898

3

Образец выполнения лабораторной работы № 7

(Интерполирование функций. Полином Лагранжа)

Постановка задачи. Дана функция  своими значениями , где , . Найти интерполирующую функцию определенного класса , такую что , для .

Задача интерполяции заключается в нахождении значения функции  при , для чего полагают, что .

А) Рассмотрим решение задачи интерполяции для функции заданной таблично, используя метод Лагранжа для не равноотстоящих узлов.

0,200000

0,306000

0,468180

0,716315

1,095963

1,676823

2,565539

1,020067

1,047184

1,111613

1,267713

1,663140

2,767751

6,542271

Найти , при .

0,200000

0,306000

0,468180

0,716315

1,095963

1,676823

2,565539

1,020067

1,047184

1,111613

1,267713

1,663140

2,767751

6,542271

2,10

Замечание. В дальнейшем промежуточные значения будут представлены в тексте с четырьмя знаками после запятой, хотя все вычисления будут проводиться с шестью знаками после запятой.

1,9000

1,7940

1,6318

1,3837

1,0040

0,4232

-0,4655

Таблица разностей

0,2000

0,3060

0,4682

0,7163

1,0960

1,6768

2,5655

0,2000

1

0,1060

0,2682

0,5163

0,8960

1,4768

2,3655

0,3060

-0,1060

1

0,1622

0,4103

0,7900

1,3708

2,2595

0,4682

-0,2682

-0,1622

1

0,2481

0,6278

1,2086

2,0974

0,7163

-0,5163

-0,4103

-0,2481

1

0,3796

0,9605

1,8492

1,0960

-0,8960

-0,7900

-0,6278

-0,3796

1

0,5809

1,4696

1,6768

-1,4768

-1,3708

-1,2086

-0,9605

-0,5809

1

0,8887

2,5655

-2,3655

-2,2595

-2,0974

-1,8492

-1,4696

-0,8887

1

Таблица значений

1

-16,9245

-6,0848

-2,6799

-1,1206

-0,2865

0,1968

-17,4407090

-17,7906917

-17,9245

1

-10,0618

-3,3723

-1,2710

-0,3087

0,2060

49,1657194

51,4855547

-7,0848

11,0618

1

-5,5763

-1,5993

-0,3501

0,2220

-54,3186589

-60,3813274

-3,6799

4,3723

6,5763

1

-2,6447

-0,4406

0,2517

31,0373295

39,3464261

-2,1206

2,2710

2,5993

3,6447

1

-0,7285

0,3168

-10,5296185

-17,5122296

-1,2865

1,3087

1,3501

1,4406

1,7285

1

0,5238

2,9651590

8,2068217

-0,8032

0,7940

0,7780

0,7483

0,6832

0,4762

1

0,1207786

0,7901663

4,1447200

Графическая интерпретация исходных значений и результата дают следующую картину, где точкой показан получаемый результат . Из данного рисунка можно сказать, что полученное приближенное решение задачи интерполяции вполне отвечает исходным данным.

Оценка погрешности приближения .

Оценим погрешность приближения с помощью выражения , . Одним из возможных способов оценки погрешности является способ сведения задачи интерполяции в не равноотстоящих точках к задаче на равноотстоящих точках, что позволит оценить  с помощью выражения . Для этого необходимо найти конечные разности в равноотстоящих узлах , , , . С помощью интерполирующего многочлена Лагранжа найдем , , затем составим конечные разности:

0,2000

0,5943

0,9885

1,3828

1,7770

2,1713

2,5655

1,0201

1,1819

1,5297

2,1184

3,0407

4,4423

6,5423

1,0201

0,1618

0,1860

0,0549

0,0378

0,0152

0,0052

1,1819

0,3478

0,2409

0,0927

0,0530

0,0204

1,5297

0,5887

0,3336

0,1457

0,0734

2,1184

0,9223

0,4793

0,2191

3,0407

1,4016

0,6984

4,4423

2,1000

6,5423

Если обозначить через , где , то .

-1,1808

-0,1808

0,8192

1,8192

2,8192

3,8192

0,00002474

Получим решение:  , 0,00002474.

Определим число верных знаков. Так как 0,00005, то при  имеем . После округления получим , , . Так как , то . Следовательно, в полученном результате все знаки верные.

Ответ: .

Лабораторная работа № 8

Тема: Интерполирование функции. Полиномы Ньютона.

Задание:

  1.  Найти приближенное значение функции при заданном значении аргумента  с помощью соответствующего интерполяционного полинома Ньютона, если функция задана в равноотстоящих узлах;

  1.  Оценить погрешность полученного значения.

 

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

 

1

0,9950

0,9988

0,9512

0,3679

0,3679

0,4311

0,6664

1,7151

1,0806

6,8621

 

1,15

1,1424

1,1481

1,0857

0,3064

0,2317

0,3044

0,4329

1,7834

1,0805

7,4816

 

1,3

1,2890

1,2973

1,2182

0,2399

0,1419

0,2198

0,2406

1,8803

0,9042

8,0055

 

1,45

1,4348

1,4462

1,3486

0,1771

0,0842

0,1635

0,0903

1,9696

0,5067

8,4128

 

1,6

1,5796

1,5949

1,4770

0,1237

0,0483

0,1263

-0,0178

1,9978

-0,1495

8,6805

 

1,75

1,7233

1,7433

1,6034

0,0819

0,0267

0,1021

-0,0861

1,9035

-1,0918

8,7858

 

1,9

1,8658

1,8914

1,7278

0,0514

0,0142

0,0872

-0,1185

1,6344

-2,3342

8,7075

 

 =

1,23

1,47

1,52

1,16

1,23

1,47

1,52

1,48

1,18

1,25

 

Вариант

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

 

1

0,2955

0,8408

0,6694

0,7358

1,0000

1,1651

0,6670

1,7552

1,6829

2,9736

 

1,13

0,3758

0,9499

0,5508

0,4936

1,0250

1,0929

0,4623

1,9088

2,3097

3,2084

 

1,26

0,4650

1,0589

0,4532

0,3245

1,1013

1,0797

0,2885

2,0362

3,0231

3,4131

 

1,39

0,5630

1,1678

0,3729

0,2084

1,2371

1,1206

0,1459

2,1352

3,8012

3,5816

 

1,52

0,6694

1,2767

0,3069

0,1306

1,4502

1,2181

0,0352

2,2035

4,6148

3,7078

 

1,65

0,7838

1,3854

0,2525

0,0797

1,7713

1,3812

-0,0443

2,2392

5,4279

3,7850

 

1,78

0,9060

1,4940

0,2078

0,0473

2,2520

1,6261

-0,0948

2,2407

6,1986

3,8070

 

 =

1,23

1,47

1,35

1,16

1,20

1,47

1,60

1,48

1,18

1,25

 

Вариант

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

1

0,8896

0,5414

0,7955

1,5576

1,1884

1,2693

0,1034

0,9483

1,6829

1,9093

 

1,08

1,0936

0,5849

0,6732

1,3835

1,2362

1,2220

0,6080

0,8732

2,2220

1,6681

 

1,16

1,3230

0,6284

0,5743

1,2316

1,3132

1,1956

1,0359

0,7750

2,8621

1,4193

 

1,24

1,5786

0,6720

0,4938

1,0982

1,4238

1,1863

1,3901

0,6556

3,6065

1,1620

 

1,32

1,8609

0,7156

0,4276

0,9801

1,5749

1,1914

1,6745

0,5176

4,4560

0,8956

 

1,4

2,1705

0,7593

0,3728

0,8752

1,7765

1,2083

1,8936

0,3640

5,4082

0,6197

 

1,48

2,5077

0,8031

0,3272

0,7815

2,0432

1,2347

2,0529

0,1982

6,4569

0,3345

 

 =

1,23

1,47

1,15

1,16

1,25

1,47

1,10

1,14

1,05

1,25

 

Вариант

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

 

1,5

1,4832

1,4958

1,3916

0,1581

0,0703

0,1493

0,0497

1,9888

0,3183

8,5186

 

1,61

1,5892

1,6048

1,4855

0,1205

0,0465

0,1243

-0,0236

1,9960

-0,2032

8,6928

 

1,72

1,6946

1,7136

1,5783

0,0893

0,0302

0,1061

-0,0754

1,9350

-0,8795

8,7788

 

1,83

1,7994

1,8223

1,6700

0,0643

0,0192

0,0932

-0,1075

1,7840

-1,7167

8,7681

 

1,94

1,9036

1,9309

1,7607

0,0450

0,0120

0,0844

-0,1218

1,5296

-2,7164

8,6532

 

2,05

2,0071

2,0392

1,8503

0,0307

0,0073

0,0791

-0,1199

1,1712

-3,8753

8,4272

 

2,16

2,1098

2,1474

1,9389

0,0203

0,0044

0,0769

-0,1033

0,7241

-5,1853

8,0850

 

 =

1,55

1,65

1,85

1,65

1,90

2,10

1,80

1,55

1,88

2,10

 

Вариант

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

 

2

1,1293

1,6775

0,1494

9,1578

3,6945

2,29858

-0,1223

2,1612

7,2744

3,7024

 

2,14

1,2814

1,7941

0,1211

4,7939

5,3591

2,96157

-0,1070

2,0549

7,7151

3,5343

 

2,28

1,4407

1,9105

0,0981

2,4234

8,1191

3,87202

-0,0693

1,9042

7,8899

3,2825

 

2,42

1,6066

2,0268

0,0796

1,1825

12,8401

5,08455

-0,0112

1,7086

7,7373

2,9456

 

2,56

1,7784

2,1428

0,0645

0,5566

21,1913

6,63426

0,0643

1,4680

7,2005

2,5245

 

2,7

1,9556

2,2586

0,0523

0,2527

36,4794

8,50701

0,1502

1,1826

6,2312

2,0228

 

2,84

2,1374

2,3742

0,0424

0,1106

65,4834

10,6032

0,2343

0,8533

4,7916

1,4468

 

 =

2,10

2,20

2,75

2,50

2,20

2,47

2,30

2,60

2,25

2,80

 

Вариант

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

 

0,5

0,4994

0,4998

0,4877

0,3894

1,5576

1,5737

1,9428

1,8105

0,4388

4,2860

 

1,01

1,0049

1,0087

0,9603

0,3642

0,3570

0,4210

0,6495

1,7183

1,0851

6,9060

 

1,52

1,5025

1,5156

1,4088

0,1508

0,0653

0,1442

0,0347

1,9941

0,2346

8,5564

 

2,03

1,9883

2,0196

1,8341

0,0330

0,0080

0,0798

-0,1214

1,2436

-3,6531

8,4768

 

2,54

2,4585

2,5195

2,2371

0,0040

0,0006

0,0935

0,0523

-0,9994

-10,6379

5,9763

 

3,05

2,9092

3,0146

2,6186

0,0003

0,0000

0,2481

0,3152

-1,9891

-18,5270

1,0712

 

3,56

3,3368

3,5038

2,9795

0,0000

0,0000

1,1933

0,0348

-1,9876

-23,1607

-5,1966

 

 =

0,72

1,40

1,70

1,30

0,70

2,00

2,50

2,48

1,20

3,1

Образец выполнения лабораторной работы №8

(Интерполирование функции. Полиномы Ньютона.)

Постановка задачи. Дана функция  своими значениями , где , , , , . Найти интерполирующую функцию определенного класса , такую что , для .

Задача интерполяции заключается в нахождении значения функции  при , для чего полагают, что .

Рассмотрим решение задачи интерполяции для функции заданной таблично, используя метод Ньютона для  равноотстоящих узлов.

2,00000000

2,14000000

2,28000000

2,42000000

2,56000000

2,70000000

2,84000000

7,274400

7,715100

7,889900

7,737300

7,200500

6,231200

4,791600

Найти , при .

Так как  находится в конце таблицы, то применяем для решения задачи приближения вторую интерполяционную формулу Ньютона

,

.

Тогда , ,

Составим конечные разности

7,7373000

-0,2355480

-0,0657040

-0,0610118

0,0743632

-0,0920959

0,1105114

7,5017520

-0,3012520

-0,1267158

0,0133514

-0,0177327

0,0184155

7,2005000

-0,4279678

-0,1133644

-0,0043813

0,0006828

6,7725322

-0,5413322

-0,1177457

-0,0036985

6,2312000

-0,6590779

-0,1214442

5,5721221

-0,7805221

4,7916000

-1,7143

-0,7143

0,2857

1,2857

2,2857

3,2857

Составим таблицу для вычисления слагаемых во второй интерполяционной формуле Ньютона:

6

3,3782

720,0000

0,004691923

-0,0018000

-8,44546E-06

5

1,028143036

120,0000

0,008567859

0,0020000

1,71357E-05

4

0,449812578

24,0000

0,018742191

0,0105000

0,000196793

3

0,349854227

6,0000

0,058309038

-0,0378000

-0,002204082

2

1,224489796

2,0000

0,612244898

-0,4703000

-0,287938776

1

-1,7143

1,0000

-1,714285714

-1,4396000

2,467885714

0

1

1

4,7916000

4,7916

6,96954834

Графическая интерпретация исходных значений и результата дают следующую картину, где точкой показан полученный результат: . Из данного рисунка можно сказать, что найденное приближенное решение задачи интерполяции вполне отвечает исходным данным.

Оценка погрешности приближения .

Оценим погрешность приближения с помощью выражения , . Для этого оценим  с помощью выражения . Тогда получим следующую погрешность .

Получим решение:  , .

Определим число верных знаков. Так как 0,00005, то при  имеем .

После округления получим , , . Так как , то .

Округлим  до верных знаков. Получим (используя правило четной цифры) , где , . Так как , то .

Округлим  до верных знаков. Получим  , где , . Так как , то .