467

Градієнтний метод числової оптимізації задач нелінійного програмування

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Застосування градієнтного методу, коли обмеження на область зміни змінних х відсутні. Застосування градієнтного методу, коли наявні обмеження на область зміни змінних х. ознайомлення з градієнтним методом числової оптимізації, набуття навиків розв’язку та аналізу задач нелінійного програмування градієнтним методом.

Украинкский

2013-01-06

1.16 MB

113 чел.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ  УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”

Кафедра АСУ

Звіт

із лабораторної роботи №13

«Градієнтний метод числової оптимізації                                                                                          задач нелінійного програмування»

з дисципліни

“Математичні методи дослідження операцій”

Виконав:

студент групи КН – 22

Приступа Олег

Прийняв:

старший викладач Балич Б.І.

Львів – 2012


Мета роботи: ознайомлення з градієнтним методом числової оптимізації, набуття навиків  розв’язку та аналізу задач нелінійного програмування градієнтним методом.

  1.  Короткі теоретичні відомості

Градієнтні методи належать до наближених числових методів розв’язування задач нелінійного програмування, оскільки дають точний розв’язок за нескінченне і лише в окремих випадках за скінченне число кроків. З їх використанням  можна розв’язувати будь-яку задачу нелінійного програмування, знаходячи, як правило, лише локальний екстремум. Тому застосування цих методів дає найбільший ефект для розв’язування задач випуклого програмування, де локальний екстремум є одночасно і глобальним.

1.1.  Застосування градієнтного методу, коли обмеження на область зміни змінних х відсутні

Розглянемо задачу максимізації функції f(х), коли обмеження на область зміни змінних х відсутні. Пошук екстремального значення функції f(х) можна починати з будь-якого допустимого розв’язку, наприклад, з точки хk = (x1k; ...; хпk).

Градієнтом f(x) функції f(х) в точці хk називається вектор, координатами якого є значення в цій точці частинних похідних першого порядку відповідної змінної, тобто

                                          

Градієнт функції в цій точці вказує напрямок найшвидшого зростання функції  f (х).

Переміщення з точки хk вздовж градієнту в нову точку хk+1 відбувається по прямій, рівняння якої

                                         .                                           (1)

де k  числовий параметр, від величини якого залежить довжина кроку переміщення . Величина k, при якій досягається найбільший приріст функції, може бути визначена з необхідної умови екстремуму функції

                                                                                    (2)

Чергову точку   хk+1  визначаємо після обчислення параметру  k  (для цього підставляємо значення  k     в формулу (1) на пошуковій траєкторії). В цій ( хk+1 ) точці знову знаходимо градієнт, а рух відбувається далі по прямій хk+2 = хk+1 + k+1f(xk+1) у напрямку нового градієнту f (xk+2) до точки хk+2, в якій досягається найбільше значення функції f(х) в цьому напрямку і т.д. Розв’язування триватиме доти, поки не буде досягнута точка х*, в якій градієнт функції дорівнює нулю. В цій точці х* цільова функція f(х*) і буде набувати максимального значення.

Приклад 1. Нехай потрібно визначити точку максимуму функції , коли процес розв’язування розпочинається з точки x0 = (4;4).

Розв’язування. Знайдемо частинні похідні функції  f(x)

; .

Градієнт функції в точці х0 буде

.

Перемістимось з точки  х0  вздовж градієнту  f(х0) в нову точку х1:

х1 = x0 + λ0 f (х0) = (4; 4) + 0 (–6; –4) = (4 – 6 0; 4 – 4 0).

Градієнт функції в точці х1 дорівнює

f (х1) = [2 – 2 (4 – 60); 4 – 2 (4 – 40)] = (– 6 +120; – 4 + 80).

З необхідної умови екстремуму одержуємо рівняння

,

звідки = 0,5.

Оскільки   ,    то знайдене значення х1 є точкою максимуму функції f (х1).

Враховуючи = 0,5, визначимо координати точки х1 на пошуковій траєкторії

х1 = (4 – 6·0,5; 4 – 4·0,5) = (1; 2)

та градієнт f (х1) в цій точці х1        f (х1) = (2 – 2·1; 4 – 2·2) = (0; 0).

Оскільки градієнт f (x1) має нульові координати, робимо висновок про те, що х1 = (1; 2) є точкою, в якій цільова функція досягає максимального значення  f(х1) = 2·1+ 4·2 – 1– 4 = 5                               ( в початковій точці f(x0) = – 8 ).

На мал. 1 наведена графічна інтерпретація даної задачі.

Мал. 1.

1.2.  Застосування градієнтного методу, коли наявні обмеження на область зміни змінних х

Тепер розглянемо випадок розв’язування задачі нелінійного програмування з обмеженнями. Припустимо, що задача полягає в наступному: необхідно знайти максимум функції  f(х) за обмежень

                                                                     ,  ,                                                         (3)

,.

Крім того, будемо вважати, що функція  f(х) є  ввігнутою диференційованою функцією.

При розв’язуванні подібних задач трапляються два випадки:

1) цільова функція має єдиний екстремум, і він знаходиться всередині області допустимих розв’язків. Тоді процес розв’язування задачі (пошук оптимальної точки х*) нічим не відрізняється від уже розглянутого;

2) цільова функція набуває свого екстремального значення в точці, що знаходиться на границі допустимої області. В цьому випадку послідовність розв’язування задачі наступна. Якщо початкова точка  хk лежить всередині допустимої області (всі обмеження виконуються як строгі нерівності), то переміщуватися потрібно в напрямку градієнту. Але координати чергової точки  повинні задовольняти обмеженням (3), тобто повинні виконуватись нерівності

                                                             (4)

Розв’язуючи систему (4) лінійних нерівностей, знаходимо проміжок  допустимих значень параметру , при яких точка x1 буде належати допустимій області. Значення , яке одержується в результаті розв’язування рівняння (2)

                                        ,

повинно належати проміжку . Якщо значення  виходить за межі проміжку, то за  приймається . При цьому чергова точка пошукової траєкторії опиняється на граничній гіперплощині, що відповідає нерівності системи (4), виходячи з якої при розв’язанні системи отримано значення .

Якщо початкова точка хk лежить на граничній гіперплощині (або чергова точка пошукової траєкторії опинилась на граничній траєкторії), то напрямок переміщення визначається із розв’язку наступної допоміжної задачі математичного програмування:

                                                                                   (5)

                                                                                                              (6)

для тих і, при яких

                                                ,                                                              (7)

                                                   ,                                                              (8)

де ;  .

Умова (7) визначає належність точки хk границі допустимої області. Умова (6) означає те, що переміщення з точки хk по вектору rk буде відбуватися всередину допустимої області або по її границі, а умова (8) необхідна для обмеження величини rk. Для наступної точки пошукової траєкторії

знаходиться значення параметра . При цьому використовується необхідна умова екстремуму:

.

Процес розв’язування припиняється при досягненні точки, в якій

.

Приклад 2. Максимізувати  за таких обмежень

,

Оптимізаційний пошук почати з точки x0 = (1; 0,5).

Розв’язування. Точка x0 = (1; 0,5) лежить всередині допустимої області, значення функції в точці x0  f(x0) = 8,75. За напрямок переміщення в наступну точку  x1  приймаємо напрямок градієнту  в точці x0 = (1; 0,5).

Градієнт у точці х0 дорівнює . Виходячи з цього, можна записати координати наступної точки

.

Визначимо проміжок допустимих значений для параметру , при яких точка x1 буде належати допустимій області. В цьому випадку система нерівностей (4) має вигляд

З розв’язку цієї системи знаходимо проміжок . Розв’язавши рівняння

,

визначимо значення параметру , при якому приріст функції досягає найбільшої величини. Але значення не належить проміжку, тому приймаємо .

Нова точка x1 = (1,36; 0,95) знаходиться на граничній прямій, яка визначається другим обмеженням–нерівністю (тією нерівністю, якій відповідає значення ). В точці x1 значення функції. Оскільки точка х1 лежить на граничній прямій, то напрямок переміщення в наступну точку х2 визначаємо за вектором r1 (рух в напрямку градієнта виводить з допустимої області). Для визначення координат вектора r1 запишемо допоміжну задачу (5) – (8):

максимізувати

за обмежень

;

.

Система рівнянь цієї задачі має два розв’язки: (0,5568;–0,8352) і (–0,5568; 0,8352). Підставляючи ці розв’язки у функцію , одержуємо, що максимальне значення функції і досягається при (–0,5568; 0,8352), тобто переміщуватися з х1 треба вздовж вектору                               r1 = (–0,5568; 0,8352)  по другій граничній прямій (мал. 2). Координати наступної точки х2 дорівнюють

,

а градієнт

.

Знову визначаємо проміжок допустимих значень параметра , при яких точка х2 буде належати допустимій області.

До системи обмежень, які повинна задовольняти точка х2, не увійде друге обмеження, оскільки ця точка лежить на граничній прямій, визначеній цим обмеженням. Розв’язуючи дану систему, знаходимо проміжок

.

З використанням необхідної умови екстремуму

отримуємо . Але значення  не належить проміжку , тому приймаємо . Нова точка х2 = (1,36-0,557х1.01; 0,95+0,835х1,01)=(0,8; 1,8) лежить на перетині двох граничних прямих, які відповідають першій і другій нерівностям системи обмежень. У цій точці функція набуває значення

.

Визначимо напрямок переміщення з точки х2 – вектор r2 = (r21; r22):

максимізувати

за обмежень

;

.

Система рівнянь задачі має розв’язок r2 = (0; 0). Підставляючи одержаний розв’язок у функцію T, дістаємо, що максимум T = 0, а це означає те, що х2 є точкою максимуму цільової функції в допустимій області, тобто х2 = х* і max f (х*) = 12,68. Як видно з мал. 2, лінія рівня f(х)дотикається до границі допустимої області в точці х2.

Мал. 2

  1.  Порядок роботи:

Номер завдання відповідає порядковому номеру студента в деканатському журналі старости.

  1.   Розв’язати аналітично задану задачу нелінійного програмування, супроводжуючи розв’язок графічною ілюстрацією.
  2.   Побудувати блок-схему алгоритму рішення задачі.
  3.  Реалізувати алгоритм на одній з мов програмування та відшукати оптимальний розв’язок задачі.

Індивідуальне завдання:

Варіант 20

 


Розвязування задачі аналітично

Блок схема алгоритму:

Лістинг програми на С#:

using System;

using System.Collections.Generic;

using System.ComponentModel;

using System.Data;

using System.Drawing;

using System.Linq;

using System.Text;

using System.Windows.Forms;

namespace Gradient

{

   public partial class Form1 : Form

   {

       public Form1()

       {

           InitializeComponent();

       }

       private void button1_Click(object sender, EventArgs e)

       {

           gradient();

       }

       

       double[] x1= new double[1000];

       double[] x2 = new double[1000];

       double err = 0.0001;

       double ak = 0.05;

       double func(double x1, double x2)

       {

        return 4*x1*x1 + x2*x2 - 4*x1 + 2*x2;

       }

       double funcdx1(double x1, double x2)

       {

        return 8*x1 - 4;

       }

       double funcdx2(double x1 ,double x2)  

       {

        return 2*x2 + 2;

       }

       void gradient()

       {

        double xpr1 = 0, xpr2 = 0, funpro = 0;

        int i = 0;

           double xnt1 = double.Parse(textBox1.Text);

           double xnt2 = double.Parse(textBox2.Text);

           richTextBox1.Text = "№ " + "\t X1  " + "\t   X2 " + "\t   F( X1; X2)" + "\n";

           do

        {

         i++;

         xnt1 = xpr1-ak*funcdx1(xpr1, xpr2);

         xnt2 = xpr2-ak*funcdx2(xpr1, xpr2);

         funpro = funcdx1(xnt1, xnt2)+funcdx2(xnt1, xnt2);

         xpr1 = xnt1;

         xpr2 = xnt2;

               richTextBox1.Text += i.ToString("") +

                  "      " + xnt1.ToString("0.000000") + "      " + xnt2.ToString("0.000000")

                  + "      " + func(xnt1, xnt2).ToString("0.000000") + "\n";

               

        } while( Math.Abs(funpro) > err);

           label6.Text = "Minimum in:  ( " + xnt1.ToString("0.00") + " ; " + xnt2.ToString("0.00") + " )"+ "\n      F(x1,x2)=   " + func(xnt1, xnt2).ToString("0.00");

       }

       private void вихідToolStripMenuItem_Click(object sender, EventArgs e)

       {

           this.Close();

       }

       private void проПрограмуToolStripMenuItem_Click(object sender, EventArgs e)

       {

           AboutBox1 a = new AboutBox1();

           a.Show();

       }

   }

}

Форма Form1.cs

Форма AboutBox1.cs

Реалізація:


СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Барінський А.Ф. і ін. Математичне програмування та дослідження операцій. – Л.: Інтелект- Захід, 2008. – 588с.: іл.

2. Барінський А.Ф. і ін. Математичне програмування. – Л.: Інтелект-Захід, 2004. – 448с.: іл.

3. Зайченко Ю.П. Дослідження операцій. – К.: ДМК Пресс, 2006. – 576с.: іл.

4. Долженков В.А., Колесников Ю.В. Microsoft Excel 2000. – СПб.: БХВ-Петербург, 2001. – 1088с.

5. Кудрявцев Е.М. Mathcad 2000 Pro. – М.: ДМК Пресс, 2001. – 576с.

6. Таха Хэмди А. Введение в исследование операций, 6-е издание: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2001. – 912с.: ил.

7. Наконечний С. І., Савіна С. С. Математичне програмування: Навч. посіб. — К.: КНЕУ, 2003. — 452 с.

Висновок: на цій лабораторній роботі я ознайомився з градієнтним методом числової оптимізації, набув навиків розв’язку та аналізу задач нелінійного програмування градієнтним методом та розробив конкурентоспроможну програму оптимізації градієнтним способом.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42169. Регістри. Принципи побудови та часові діаграми регістрів 133.5 KB
  Допуском на лабораторну роботу є виписані часові діаграми регістра вказаного в стовбці Тип регістра таблиці 6.1 а також схема та часові діаграми роботи трьох розрядного регістра тип якого вказаний в таблиці 6. Зібрати в пакеті Qurtus II схему перевірки стандартного регістра тип якого вказаний в стовбці Аналог таблиці 6. Побудувати часові діаграми для перевірки регістра і порівняти їх з діаграмами виписаними в п.
42170. ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА 151.5 KB
  Измерить и проверить расчетом потенциалы точек контура сложной электрической цепи. Для расчета простых электрических цепей используют закон Ома для участка цепи не содержащего ЭДС. Например если между двумя точками а и b в электрической цепи включены только пассивные элементы – резисторы то закон Ома для этого участка цепи запишется: .
42171. ИССЛЕДОВВАНИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ АКТИВНОГО И ЕМОСТНОГО СОПРОТИВЛЕНИЙ 247 KB
  Экспериментальное исследование характера изменения тока мощности и падений напряжений на участках последовательной цепи состоящей из активного и емкостного сопротивлений а также построение круговой диаграммы. При прохождении синусоидального тока по цепи изображенной на рис.1а следует иметь ввиду что ток в любом сечении цепи один и тот же а общее напряжение согласно второму закону Кирхгофа равно геометрической сумме...
42172. ИССЛЕДОВВАНИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ АКТИВНОГО И ИНДУКТИВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЙ 299.5 KB
  Экспериментальное исследование характера изменения тока мощности и падений напряжений на участках последовательной цепи состоящей из активного и индуктивного сопротивлений а также построение круговой диаграммы. При прохождении синусоидального тока по цепи изображенной на рис.1б ток в любом сечении цепи один и тот же а общее напряжение согласно второму закону Кирхгофа равно геометрической сумме падений напряжений на...
42173. ИССЛЕДОВАНИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ АКТИВНОГО, ИНДУКТИВНОГО И ЕМКОСТНОГО СОПРОТИВЛЕНИЙ. РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ 271.5 KB
  РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ Цель работы: Исследование явления резонанса напряжений построение резонансных кривых и векторных диаграмм.1 следует иметь в виду что ток в любом элементе схемы один и тот же а питающее напряжение согласно второму закону Кирхгофа равно алгебраической сумме мгновенных значений напряжений на отдельных элементах схемы: 4.2 приведены векторные диаграммы напряжений и токов схемы рис. Ток совпадает по фазе с напряжением угол  = 0 cos = 1 и этот режим называется резонансом напряжений.
42174. ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИИ ФОРМАТИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ ПО ФОРМАТУ ДОКУМЕНТОВ 654.5 KB
  Рукописные работы дипломные работы курсовые работы рефераты отчёты и пр. Основная часть рукописной работы Раздел 2 следует за титульным листом начинается со страницы № 2 обычно имеет оглавление. Заголовок 1 для глав работы Заголовок 2 для параграфов. Например для форматирования реквизитов Название организации Исполнитель Руководитель работ Название специальности Тема дипломной работы и пр.
42175. ИССЛЕДОВАНИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ АКТИВНОГО И ЕМКОСТНОГО СОПРОТИВЛЕНИЙ 203 KB
  Общие теоретические сведения В схеме рис.1 Векторная диаграмма этой схемы представлена на рис. Рис. Диаграмма представленная на рис.Ток совпадает по фазе с напряжением . Из точки О1 откладываем отрезок О1К = I2k /mI , по направлению вектора . Отрезок О1К является хордой круговой диаграммы . В масштабе mz откладываем по направлению отрезка О1К отрезок О1А = R2 /mz и из точки А под углом 900 к линии О1К проводим линию изменяющегося параметра AN’. Перпендикуляр, к линии изменяющегося параметра, опущенный из точки О1 совпадает по направлению с хордой.
42176. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ АКТИВНОГО, ИНДУКТИВНОГО И ЕМКОСТНОГО СОПРОТИВЛЕНИЙ. РЕЗОНАНС ТОКОВ 182.5 KB
  Общие теоретические сведения В схеме рис.1 Векторные диаграммы этой схемы при различных значениях емкости С представлена на рис.9 Рис. Если емкость C конденсатора подобрать так чтобы ток полностью компенсировал реактивную составляющую то общий ток будет совпадать по направлению с напряжением рис.
42177. Прилади і методи контролю метеорологічних умов на робочих місцях 99 KB
  Теоретичний вступ До показників які характеризують метеорологічні умови мікроклімат належать: температура відносна вологість швидкість руху повітря теплове випромінювання. Дійсну температуру повітря в робочій зоні визначають за формулою 1: де tч і t0 показники чорного та посрібленого термометрів 0С. Вимірювання температури повітря в приміщенні можна також проводити з допомогою сухого термометра аспіраційного психометра Ассмана. Вимірювання вологості повітря.