46738

Разностные схемы: явная и неявная схемы

Доклад

Математика и математический анализ

Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи. Характеристика неявной разностной схемы Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с начальным и граничными условиями: 4.7 записана на n 1ом шаге по времени для удобства последующего изложения метода и алгоритма решения неявной разностной схемы 4. В разделе Порядок аппроксимации разностной схемы было отмечено что разностная схема 4.

Русский

2013-11-25

28.1 KB

116 чел.

8 вопрос: Разностные схемы: явная и неявная схемы:

Разностная схема — это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой-либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное распределение). Таким образом, разностные схемы применяются для сведения дифференциальной задачи, имеющей континуальный характер, к конечной системе уравнений, численное решение которых принципиально возможно на вычислительных машинах. Алгебраические уравнения, поставленные в соответствие дифференциальному уравнению получаются применением разностного метода, что отличает теорию разностных схем от других численных методов решения дифференциальных задач (например проекционных методов, таких как метод Галёркина).

Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи.

  Характеристика неявной разностной схемы

     Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с начальным и граничными условиями:

 

(4.5)

Запишем для уравнения (4.5) неявную разностную схему:

 

(4.6)

Запишем аппроксимацию начального и граничных условий:

 

(4.7)

Аппроксимация граничных условий (4.7) записана на (n + 1)-ом шаге по времени для удобства последующего изложения метода и алгоритма решения неявной разностной схемы (4.6). 
     В разделе "
Порядок аппроксимации разностной схемы" было отмечено, что разностная схема (4.6) имеет такой же порядок аппроксимации, как и соответствующая ей явная разностная схема (4.2), а именно:

 

В разделе "Доказательство абсолютной устойчивости неявной разностной схемы" было доказано, что неявная разностная схема (4.6) абсолютно устойчива, т.е. вне зависимости от выбора интервала деления на разностной сетке (или, иначе говоря, выбора расчётного шага по независимым переменным) погрешность решения неявной разностной схемы в процессе вычислений возрастать не будет. Отметим, что это, безусловно, является достоинством неявной разностной схемы (4.6) по сравнению с явной разностной схемой (4.2), которая устойчива только при выполнения условия (3.12). В то же время явная разностная схема имеет достаточно простой метод решения, а метод решения неявной разностной схемы (4.6), называемый методом прогонки, более сложен. Прежде чем перейти к изложению метода прогонки, необходимо вывести ряд соотношений, используемых этим методом.

Характеристика явной разностной схемы.

     Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с начальным и граничными условиями:

 

(4.1)

Запишем для уравнения (4.1) явную разностную схему:

 

(4.2)

Запишем аппроксимацию начального и граничных условий:

 

(4.3)

Аппроксимация граничных условий (4.3) записана на (n + 1)-ом шаге по времени для удобства последующего изложения метода и алгоритма решения явной разностной схемы (4.2). 
     В разделе "
Порядок аппроксимации разностной схемы" было доказано, что разностная схема (4.2) имеет порядок аппроксимации:

 

В разделе "Доказательство условной устойчивости явной разностной схемы" было получено условие устойчивости данной разностной схемы, накладывающее ограничение на выбор интервала деления при создании разностной сетки (или, иначе говоря, ограничение на выбор расчётного шага по одной из независимых переменных):

 

Отметим, что это, безусловно, является недостатком явной разностной схемы (4.2). В то же время она имеет достаточно простой метод решения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34049. Правовой режим особо охраняемых территорий, в т.ч. земель лечебно-оздоровительных местностей и курортов 27 KB
  К землям особо охраняемых природных территорий относятся земли государственных природных заповедников в т. биосферных государственных природных заказников памятников природы национальных парков природных парков дендрологических парков ботанических садов территорий традиционного природопользования коренных малочисленных народов Севера Сибири и Дальнего Востока Российской Федерации а также земли лечебнооздоровительных местностей и курортов.Земли особо охраняемых природных территорий относятся к объектам общенационального достояния и...
34050. Охрана земель в Российской Федерации: понятие, цели, содержание 34.5 KB
  Охрана земель в Российской Федерации: понятие цели содержание. Охрана земель. Охрана и защита земель – разные понятия. Законодатель отказался от легального определения охраны земель.
34051. Возмещение потерь сельскохозяйственного производства и потерь лесного хозяйства 54 KB
  57 ЗК РФ убытки в полном объеме в том числе упущенная выгода возмещаются землепользователям землевладельцам и арендаторам земельных участков:1 при изъятии земельных участков для государственных или муниципальных нужд;2 в связи с ухудшением качества земель в результате деятельности других лиц;3 при временном занятии земельных участков;4 при ограничении прав собственников земельных участков землепользователей землевладельцев арендаторов.Собственникам земельных участков убытки возмещаются во всех названных случаях кроме случаев изъятия...
34052. Правовой режим земельных участков, на которых находятся объекты недвижимости 128.5 KB
  При этом правовой режим того или иного земельного участка определяется тем для какой цели предназначен данный земельный участок. С этим утверждением не всегда согласны юристы специализирующиеся в области земельного права. В частности основанием для изъятия земельного участка могут например служить факт грубого нарушения правил рационального использования земель или использования земель не по целевому назначению либо случаи когда его использование приводит к существенному снижению плодородия сельскохозяйственных земель либо значительному...
34053. Земля как объект земельных отношений 69 KB
  Земля как объект земельных отношений. Перевод земель или земельных участков – это процедура изменения категории земель или земельных участков урегулированная специальными нормативноправовыми актами ФЗ от 21. â€œО переводе земель или земельных участков из одной категории в другую†Земельный кодекс иные федеральные законы и законы субъектов РФ. Решение о переводе земель или земельных участков принимают следующие органы: 1.
34054. Предмет земельного права. Конституционные основы земельного права 27.5 KB
  Предмет земельного права. Конституционные основы земельного права. Предмет метод земельного права. Предмет земельного права В 1917 г.
34055. Принципы земельного права 26 KB
  Принципы земельного права. Принципы земельного права. Принципы – это объективно обусловленные характером земельных отношений основополагающие идеи положения отражающие сущность земельного права. Принципы земельного законодательства прямо закреплены в ст.
34056. Понятие, состав и особенности земель ных правоотношений 29.5 KB
  Земельные правовые отношения. Земельноправовые отношения – это общественные отношения возникающие в сфере управления использования и охраны земель урегулированные нормами земельного права состоящие во взаимной связи взаимных субъективных прав и юридических обязанностей участников этих отношений. и публичные образования наделенные законодательством юридическим свойством позволяющим им участвовать в земельных правоотношениях. Три группы субъектов в зависимости от единства их правового статуса: Физические и юридические лица – они...
34057. Метод и система земельного права 25 KB
  Перечень правовых институтов: институт права собственности на земельные участки; институт землепользования – институт иных видов прав на землю помимо права собственности существует иные 5 прав: пожизненное наследственное владение постоянное бессрочное пользование сервитут аренда безвозмездное срочное пользование; институт управления в области использования и охраны земли; институт охраны земель и защиты прав на землю собственников землевладельцев землепользователей арендаторов. В России 7 категорий земель: правовой режим...