46738

Разностные схемы: явная и неявная схемы

Доклад

Математика и математический анализ

Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи. Характеристика неявной разностной схемы Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с начальным и граничными условиями: 4.7 записана на n 1ом шаге по времени для удобства последующего изложения метода и алгоритма решения неявной разностной схемы 4. В разделе Порядок аппроксимации разностной схемы было отмечено что разностная схема 4.

Русский

2013-11-25

28.1 KB

126 чел.

8 вопрос: Разностные схемы: явная и неявная схемы:

Разностная схема — это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой-либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное распределение). Таким образом, разностные схемы применяются для сведения дифференциальной задачи, имеющей континуальный характер, к конечной системе уравнений, численное решение которых принципиально возможно на вычислительных машинах. Алгебраические уравнения, поставленные в соответствие дифференциальному уравнению получаются применением разностного метода, что отличает теорию разностных схем от других численных методов решения дифференциальных задач (например проекционных методов, таких как метод Галёркина).

Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи.

  Характеристика неявной разностной схемы

     Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с начальным и граничными условиями:

 

(4.5)

Запишем для уравнения (4.5) неявную разностную схему:

 

(4.6)

Запишем аппроксимацию начального и граничных условий:

 

(4.7)

Аппроксимация граничных условий (4.7) записана на (n + 1)-ом шаге по времени для удобства последующего изложения метода и алгоритма решения неявной разностной схемы (4.6). 
     В разделе "
Порядок аппроксимации разностной схемы" было отмечено, что разностная схема (4.6) имеет такой же порядок аппроксимации, как и соответствующая ей явная разностная схема (4.2), а именно:

 

В разделе "Доказательство абсолютной устойчивости неявной разностной схемы" было доказано, что неявная разностная схема (4.6) абсолютно устойчива, т.е. вне зависимости от выбора интервала деления на разностной сетке (или, иначе говоря, выбора расчётного шага по независимым переменным) погрешность решения неявной разностной схемы в процессе вычислений возрастать не будет. Отметим, что это, безусловно, является достоинством неявной разностной схемы (4.6) по сравнению с явной разностной схемой (4.2), которая устойчива только при выполнения условия (3.12). В то же время явная разностная схема имеет достаточно простой метод решения, а метод решения неявной разностной схемы (4.6), называемый методом прогонки, более сложен. Прежде чем перейти к изложению метода прогонки, необходимо вывести ряд соотношений, используемых этим методом.

Характеристика явной разностной схемы.

     Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с начальным и граничными условиями:

 

(4.1)

Запишем для уравнения (4.1) явную разностную схему:

 

(4.2)

Запишем аппроксимацию начального и граничных условий:

 

(4.3)

Аппроксимация граничных условий (4.3) записана на (n + 1)-ом шаге по времени для удобства последующего изложения метода и алгоритма решения явной разностной схемы (4.2). 
     В разделе "
Порядок аппроксимации разностной схемы" было доказано, что разностная схема (4.2) имеет порядок аппроксимации:

 

В разделе "Доказательство условной устойчивости явной разностной схемы" было получено условие устойчивости данной разностной схемы, накладывающее ограничение на выбор интервала деления при создании разностной сетки (или, иначе говоря, ограничение на выбор расчётного шага по одной из независимых переменных):

 

Отметим, что это, безусловно, является недостатком явной разностной схемы (4.2). В то же время она имеет достаточно простой метод решения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82136. Пересопницьке Євангеліє – скарб минулого, святиня сьогодення 183.5 KB
  Мета: формувати в учнів повагу і бережливе ставлення до творчих надбань українського народу, розкрити значення Пересопницького Євангелія як визначної рукописної пам’ятки староукраїнської літературної мови і мистецтва, національної реліквії та державної святині; показати важливість Православ’я...
82137. Підведення підсумків осінніх спостережень, з’ясування змін, що відбуваються в живій та неживій природі, прихід Зими 412 KB
  Мета. Дати поняття про зміни, які відбуваються в природі восени та на початку зими; розширити знання учнів про характерні ознаки зими серед рослин, тварин; розвивати спостережливість, творчу уяву, мислення; виховувати дбайливе ставлення до природи, любов до прекрасного.
82138. Історична сторінка 299.5 KB
  Скільки часу потрібно П’ятачку Вінні Пуха під дубом чекати Щоб Вінні Пух 49 метрів зміг здолати І дупла дуба яке міститься на цій висоті дістатися Та справжні чи ні бджоли які в ньому проживають дізнатися. Скільки стовпчиків потрібно Джері підготувати Щоб зводячи паркан всі ями використати.
82139. НАШІ ДРУЗІ – ДИТЯЧІ ЖУРНАЛИ 38.5 KB
  Ознайомити учнів із дитячими журналами розвивати пізнавальні інтереси розширювати читацький кругозір сприяти вихованню доброзичливості товариськості шани до рідного слова. Ми прийшли, малята, щоб вас привітати, Щастя, успіху усім радо побажати! Ви не можете, малята, все про все на світі знати.
82140. Журнали для дітей (Бібліотечний урок для 3-4 класи) 41.5 KB
  Обладнання: Сумка листоноши; виставка З поштової скриньки дитячі газети та журнали; словники папір олівці. Девіз уроку: Читай журнали та газети І подолай усі тенета Дізнаєшся про Всесвіт гарний Труди твої не будуть марні Хід уроку: Бібліотекар: Добрий день діти Сьогодні у нас незвичайний урок.
82141. ВЕЛИКА ВІТЧИЗНЯНА ВІЙНА 177.5 KB
  Учні заздалегідь готують фломастер або олівець і чистий аркуш паперу, розкреслений на декілька пронумерованих прямокутників. У кожному прямокутнику учасники повинні по порядку замалювати асоціативні тлумачення. Можуть бути запропоновані, наприклад, такі слова: відплата, смуток, горе, жах, сльози, печаль...
82142. Шкідливі звички 89.5 KB
  Мета: Дати поняття про погані звички і про їх наслідки розвивати бажання не вживати їх а якщо вони виникли то позбутися; виховувати культуру поведінки старанне ставлення й дбайливе ставлення до свого здоров’я. Життєздатність і здоров’я людей великою мірою залежить від самої людини.
82143. КОРИСНІ ТА ШКІДЛИВІ ЗВИЧКИ 53.5 KB
  Мета: Викликати прагнення у дітей зберігати й зміцнювати здоров’я. Довести до їх відома інформацію, що шкідливі звички є основною причиною порушення здоров’я. Формувати вміння піклуватися про своє здоров’я. Виховувати бажання підтримувати тпрадиції здорового способу життя.
82144. Голосні та приголосні звуки. Зимовий малюнок 140 KB
  Обладнання: Предметні картинки сніжинки різної форми таблиці для читання склади на картинках гірлянди у формі зірочок зошити ручки магнітофон. До дітей спускаєтся сніжинка Логопед: Ось і завітала перша сніжинка використовувати фон для розглядання сніжинки. Роздати дітям сніжинки з позначеннями...