46738

Разностные схемы: явная и неявная схемы

Доклад

Математика и математический анализ

Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи. Характеристика неявной разностной схемы Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с начальным и граничными условиями: 4.7 записана на n 1ом шаге по времени для удобства последующего изложения метода и алгоритма решения неявной разностной схемы 4. В разделе Порядок аппроксимации разностной схемы было отмечено что разностная схема 4.

Русский

2013-11-25

28.1 KB

145 чел.

8 вопрос: Разностные схемы: явная и неявная схемы:

Разностная схема — это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой-либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное распределение). Таким образом, разностные схемы применяются для сведения дифференциальной задачи, имеющей континуальный характер, к конечной системе уравнений, численное решение которых принципиально возможно на вычислительных машинах. Алгебраические уравнения, поставленные в соответствие дифференциальному уравнению получаются применением разностного метода, что отличает теорию разностных схем от других численных методов решения дифференциальных задач (например проекционных методов, таких как метод Галёркина).

Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи.

  Характеристика неявной разностной схемы

     Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с начальным и граничными условиями:

 

(4.5)

Запишем для уравнения (4.5) неявную разностную схему:

 

(4.6)

Запишем аппроксимацию начального и граничных условий:

 

(4.7)

Аппроксимация граничных условий (4.7) записана на (n + 1)-ом шаге по времени для удобства последующего изложения метода и алгоритма решения неявной разностной схемы (4.6). 
     В разделе "
Порядок аппроксимации разностной схемы" было отмечено, что разностная схема (4.6) имеет такой же порядок аппроксимации, как и соответствующая ей явная разностная схема (4.2), а именно:

 

В разделе "Доказательство абсолютной устойчивости неявной разностной схемы" было доказано, что неявная разностная схема (4.6) абсолютно устойчива, т.е. вне зависимости от выбора интервала деления на разностной сетке (или, иначе говоря, выбора расчётного шага по независимым переменным) погрешность решения неявной разностной схемы в процессе вычислений возрастать не будет. Отметим, что это, безусловно, является достоинством неявной разностной схемы (4.6) по сравнению с явной разностной схемой (4.2), которая устойчива только при выполнения условия (3.12). В то же время явная разностная схема имеет достаточно простой метод решения, а метод решения неявной разностной схемы (4.6), называемый методом прогонки, более сложен. Прежде чем перейти к изложению метода прогонки, необходимо вывести ряд соотношений, используемых этим методом.

Характеристика явной разностной схемы.

     Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с начальным и граничными условиями:

 

(4.1)

Запишем для уравнения (4.1) явную разностную схему:

 

(4.2)

Запишем аппроксимацию начального и граничных условий:

 

(4.3)

Аппроксимация граничных условий (4.3) записана на (n + 1)-ом шаге по времени для удобства последующего изложения метода и алгоритма решения явной разностной схемы (4.2). 
     В разделе "
Порядок аппроксимации разностной схемы" было доказано, что разностная схема (4.2) имеет порядок аппроксимации:

 

В разделе "Доказательство условной устойчивости явной разностной схемы" было получено условие устойчивости данной разностной схемы, накладывающее ограничение на выбор интервала деления при создании разностной сетки (или, иначе говоря, ограничение на выбор расчётного шага по одной из независимых переменных):

 

Отметим, что это, безусловно, является недостатком явной разностной схемы (4.2). В то же время она имеет достаточно простой метод решения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80276. ОБОЛОНКА LabVIEW 82 KB
  ВСТУП LbVIEW Lbortory Virtul Instrument Engineering Workbench Середовище розробки лабораторних віртуальних приладів додаток розробки програми дуже схожий на C або Бейсик або NI LbWindows. Однак LbVIEW відрізняється від тих додатків в одному важливому відношенні. Інші системи програмування використовують: текстово засновані мови щоб створити рядок програми програмний код у той час як LbVIEW використовує графічну мову програмування GДжей щоб створювати програми у формі блоксхеми алгоритм створюється в графічній іконній...
80277. ПАЛІТРИ LABVIEW 86 KB
  Зображення елементів Палітри Інструментів Tools та пояснення щодо їх використання Інструмент керування. Використовується для роботи з передньою панеллю керування й індикаторами. Палітра керування Controls Палітра керування призначена для відтворення передньої панелі віртуального приладу.
80278. Палітра Функції - Functions 72 KB
  Палітра Функції Functions За допомогою палітри Функції Functions. Якщо палітра Функції Functions не відображена на екрані необхідно викликати палітру вибравши рядок Показати палітру Функції Show Functions Plette у меню Вікна Windows. Палітра Функції Functions може бути пришпилена до робочого стола за допомогою кнопки в лівому куті палітри або прибрана кнопкою хрестик . Палітра Функції Functions доступна тільки якщо активно вікно Діаграма Digrm.
80281. ПРОЕКТУВАННЯ ВІРТУАЛЬНОГО ПРИЛАДУ ДОСДІДЖЕННЯ ТЕМПЕРАТУРИ 395 KB
  Усі середовища складаються з атомів і молекул. Молекули знаходяться у хаотичному русі. При великій кількості часток у системі (вуглеводневі енергоносії, гірські породи, водні середовища) нема змоги детально описати поведінку кожної окремої часточки. Однак загальні риси поведінки системи в цілому є опосередкованим відображенням руху окремих часточок
80282. Методи оцінки і аналізу тіньової економічної діяльності в сфері підприємництва 123.5 KB
  Однією з причин перманентної економічної кризи в якій перебуває Україна є безпрецедентні розміри тінізації та криміналізації її економіки. Необхідно виробити нові підходи у протидії тонізації та криміналізації економіки. Безпосередні фрагментарні дослідження іллегального сектору полягають у визначенні розмірів тіньової економіки у конкретному секторі наприклад у виробництві товарів і послуг у розрізі асортиментних позицій у обміні валюти з урахуванням кількості офіційних пунктів обміну банків туристичних агентств реального курсу...
80283. Удосконалення управління процесами детінізації економічної діяльності 140.5 KB
  Роль і функції держави у зниженні тіньової економічної діяльності в Україні. Механізми запобігання розвитку тіньової економічної діяльності у сфері фінансово грошових відносин. Основні принципи розроблення комплексу заходів запобіжного характеру спрямованих на зниження рівня тіньової економічної діяльності. Методологічні підходи до визначення послідовності реалізації заходів спрямованих на запобігання розвитку тіньової економіки.
80284. Особливості розвитку тіньової економіки в України 65.5 KB
  Тіньовий ринок тіньова економіка істотно впливають на всі сторони економічної діяльності на політичне і суспільне життя кожної країни. Вже на такому рівні вплив державно нерегульованих факторів стає настільки відчутним що суперечності між легальним і тіньовим секторами спостерігаються практично в усіх сферах життєдіяльності суспільства. Труднощі які виникають в результаті внутрішньої неузгодженості регуляторноправового механізму та безсистемної беззмістовної зміни концептуальних орієнтирів розвитку економіки створюють необґрунтовані...