46738

Разностные схемы: явная и неявная схемы

Доклад

Математика и математический анализ

Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи. Характеристика неявной разностной схемы Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с начальным и граничными условиями: 4.7 записана на n 1ом шаге по времени для удобства последующего изложения метода и алгоритма решения неявной разностной схемы 4. В разделе Порядок аппроксимации разностной схемы было отмечено что разностная схема 4.

Русский

2013-11-25

28.1 KB

131 чел.

8 вопрос: Разностные схемы: явная и неявная схемы:

Разностная схема — это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой-либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное распределение). Таким образом, разностные схемы применяются для сведения дифференциальной задачи, имеющей континуальный характер, к конечной системе уравнений, численное решение которых принципиально возможно на вычислительных машинах. Алгебраические уравнения, поставленные в соответствие дифференциальному уравнению получаются применением разностного метода, что отличает теорию разностных схем от других численных методов решения дифференциальных задач (например проекционных методов, таких как метод Галёркина).

Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи.

  Характеристика неявной разностной схемы

     Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с начальным и граничными условиями:

 

(4.5)

Запишем для уравнения (4.5) неявную разностную схему:

 

(4.6)

Запишем аппроксимацию начального и граничных условий:

 

(4.7)

Аппроксимация граничных условий (4.7) записана на (n + 1)-ом шаге по времени для удобства последующего изложения метода и алгоритма решения неявной разностной схемы (4.6). 
     В разделе "
Порядок аппроксимации разностной схемы" было отмечено, что разностная схема (4.6) имеет такой же порядок аппроксимации, как и соответствующая ей явная разностная схема (4.2), а именно:

 

В разделе "Доказательство абсолютной устойчивости неявной разностной схемы" было доказано, что неявная разностная схема (4.6) абсолютно устойчива, т.е. вне зависимости от выбора интервала деления на разностной сетке (или, иначе говоря, выбора расчётного шага по независимым переменным) погрешность решения неявной разностной схемы в процессе вычислений возрастать не будет. Отметим, что это, безусловно, является достоинством неявной разностной схемы (4.6) по сравнению с явной разностной схемой (4.2), которая устойчива только при выполнения условия (3.12). В то же время явная разностная схема имеет достаточно простой метод решения, а метод решения неявной разностной схемы (4.6), называемый методом прогонки, более сложен. Прежде чем перейти к изложению метода прогонки, необходимо вывести ряд соотношений, используемых этим методом.

Характеристика явной разностной схемы.

     Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с начальным и граничными условиями:

 

(4.1)

Запишем для уравнения (4.1) явную разностную схему:

 

(4.2)

Запишем аппроксимацию начального и граничных условий:

 

(4.3)

Аппроксимация граничных условий (4.3) записана на (n + 1)-ом шаге по времени для удобства последующего изложения метода и алгоритма решения явной разностной схемы (4.2). 
     В разделе "
Порядок аппроксимации разностной схемы" было доказано, что разностная схема (4.2) имеет порядок аппроксимации:

 

В разделе "Доказательство условной устойчивости явной разностной схемы" было получено условие устойчивости данной разностной схемы, накладывающее ограничение на выбор интервала деления при создании разностной сетки (или, иначе говоря, ограничение на выбор расчётного шага по одной из независимых переменных):

 

Отметим, что это, безусловно, является недостатком явной разностной схемы (4.2). В то же время она имеет достаточно простой метод решения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15890. Что такое мироощущение опыт осмысления 381.55 KB
  В.К. Шрейбер к. филос. н. доц. Челябинский государственный университет ЧТО ТАКОЕ МИРООЩУЩЕНИЕ: ОПЫТ ОСМЫСЛЕНИЯ Мироощущение относят к феноменам мировоззренческого круга. Но что подразумевается под мироощущением Ощущение о каких бы его типах не говорить...
15891. Механизмы интерпретации классического текста в «Чайке» Б. Акунина 44.5 KB
  Механизмы интерпретации классического текста в Чайке Б. Акунина Н. А. Кузьмина Омский государственный университет Интерпретация вторичный текст римейк прототекст Summary. The article deals with the specific genre of postmodernistic fiction – remake – and peculiarities of interpretation classic literary prototexts. Аксиомой...
15892. ПРИМЕРНЫЕ СХЕМЫ АНАЛИЗА ЛИТЕРАТУРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 83 KB
  ПРИМЕРНЫЕ СХЕМЫ АНАЛИЗА ЛИТЕРАТУРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ Анализ художественного произведения Анализ прозаического литературного произведения Концептуальный уровень художественного произведения Уровень организации произведения как художественного целого Урове...
15893. «СВОЕ» И «ЧУЖОЕ» В ЭПИЧЕСКОМ ТЕКСТЕ К вопросу о «родовых» структурных признаках 86 KB
  Н.Д.ТАМАРЧЕНКО СВОЕ И ЧУЖОЕ В ЭПИЧЕСКОМ ТЕКСТЕ К вопросу о родовых структурных признаках Слово эпос в русской культурной традиции обозначает и литературный род и один из жанров относимых к этому роду – эпопею иногда в этом случае употребляется термин
15894. Структура художественного произведения и ее анализ 48.5 KB
  Структура художественного произведения и ее анализ Художественное произведение – сложноорганизованное целое. Необходимо познать его внутреннюю структуру то есть выделить отдельные его составляющие и осознать связи между ними. В современном литературоведении с
15895. Бахтин как парадигма мышления 71.5 KB
  В.И. Тюпа Бахтин как парадигма мышления To the 100 birth anniversary of Michael Bakhtin we publish Valery Tjupa's paper Bakhtin as a Paradigm of Mentality with the author`s attempt to reconstruct the axiomatics of Bakhtin discourses of scientific and philosophical nature. Three axiomatic complexes discovered by the author: personalism eventfulness responsibility can be subdivided into three more special axioms. Бахтин теперь моден....
15896. Эстетический анализ художественного текста (Часть первая: Сюжет Фаталиста М.Лермонтова) 73.5 KB
  В.И. Тюпа Эстетический анализ художественного текста Часть первая: Сюжет Фаталиста М.Лермонтова Конечная цель преподавания литературы в школе формирование культуры художественного восприятия. В этом собственно говоря и состоит общественное назначение литератур...
15897. Природа художественной целостности комедий А.П. Чехова Чайка и Вишнёвый сад 87 KB
  О.С. Рощина Природа художественной целостности комедий А.П. Чехова Чайка и Вишнёвый сад Olga Roschina in her work The Nature of Artistic Integrity of Chekhov`s Comedies Seagull and Cherry Orchard treats them from the point of aesthetic analises of the text. The ironical nature of Chekhov`s texts is proved which are often interpreted in a pseudoChekhov`s elegical way. В чеховедении доста
15898. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ПОЭТИКА: понятия и определения 2.04 MB
  Цель предлагаемой хрестоматии — предоставить в распоряжение преподавателя и студента отобранные из различных, не связанных друг с другом источников и в то же время систематизированные определения основных понятий теоретической поэтики