46738

Разностные схемы: явная и неявная схемы

Доклад

Математика и математический анализ

Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи. Характеристика неявной разностной схемы Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с начальным и граничными условиями: 4.7 записана на n 1ом шаге по времени для удобства последующего изложения метода и алгоритма решения неявной разностной схемы 4. В разделе Порядок аппроксимации разностной схемы было отмечено что разностная схема 4.

Русский

2013-11-25

28.1 KB

147 чел.

8 вопрос: Разностные схемы: явная и неявная схемы:

Разностная схема — это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой-либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное распределение). Таким образом, разностные схемы применяются для сведения дифференциальной задачи, имеющей континуальный характер, к конечной системе уравнений, численное решение которых принципиально возможно на вычислительных машинах. Алгебраические уравнения, поставленные в соответствие дифференциальному уравнению получаются применением разностного метода, что отличает теорию разностных схем от других численных методов решения дифференциальных задач (например проекционных методов, таких как метод Галёркина).

Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи.

  Характеристика неявной разностной схемы

     Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с начальным и граничными условиями:

 

(4.5)

Запишем для уравнения (4.5) неявную разностную схему:

 

(4.6)

Запишем аппроксимацию начального и граничных условий:

 

(4.7)

Аппроксимация граничных условий (4.7) записана на (n + 1)-ом шаге по времени для удобства последующего изложения метода и алгоритма решения неявной разностной схемы (4.6). 
     В разделе "
Порядок аппроксимации разностной схемы" было отмечено, что разностная схема (4.6) имеет такой же порядок аппроксимации, как и соответствующая ей явная разностная схема (4.2), а именно:

 

В разделе "Доказательство абсолютной устойчивости неявной разностной схемы" было доказано, что неявная разностная схема (4.6) абсолютно устойчива, т.е. вне зависимости от выбора интервала деления на разностной сетке (или, иначе говоря, выбора расчётного шага по независимым переменным) погрешность решения неявной разностной схемы в процессе вычислений возрастать не будет. Отметим, что это, безусловно, является достоинством неявной разностной схемы (4.6) по сравнению с явной разностной схемой (4.2), которая устойчива только при выполнения условия (3.12). В то же время явная разностная схема имеет достаточно простой метод решения, а метод решения неявной разностной схемы (4.6), называемый методом прогонки, более сложен. Прежде чем перейти к изложению метода прогонки, необходимо вывести ряд соотношений, используемых этим методом.

Характеристика явной разностной схемы.

     Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с начальным и граничными условиями:

 

(4.1)

Запишем для уравнения (4.1) явную разностную схему:

 

(4.2)

Запишем аппроксимацию начального и граничных условий:

 

(4.3)

Аппроксимация граничных условий (4.3) записана на (n + 1)-ом шаге по времени для удобства последующего изложения метода и алгоритма решения явной разностной схемы (4.2). 
     В разделе "
Порядок аппроксимации разностной схемы" было доказано, что разностная схема (4.2) имеет порядок аппроксимации:

 

В разделе "Доказательство условной устойчивости явной разностной схемы" было получено условие устойчивости данной разностной схемы, накладывающее ограничение на выбор интервала деления при создании разностной сетки (или, иначе говоря, ограничение на выбор расчётного шага по одной из независимых переменных):

 

Отметим, что это, безусловно, является недостатком явной разностной схемы (4.2). В то же время она имеет достаточно простой метод решения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44341. Изучение особенностей формирования и описания личных фондов 197 KB
  Описание же и все другие виды информации о составе и содержании документальных материалов могут опираться лишь на столь же качественную экспертизу фондирование и систематизацию документов фонда. Государственное краевое учреждение Государственный архив Пермского края является крупнейшим хранилищем документов Пермского края в котором наряду с архивными фондами учреждений организаций и предприятий хранится большое количество фондов личного происхождения. Это фонды и коллекции документов деятелей науки здравоохранения образования...
44342. Монтаж противопожарных систем «Гранит-4» 908 KB
  Познание прибора. Устройство и работа прибора. Перезапуск прибора можно осуществить либо сняв все питание либо трехкратным нажатием кнопки Управление в режиме снятия с охраны.к это может привести к выходу прибора из строя.
44343. Державне управління в окремих сферах суспільного життя 20.39 KB
  Функції визначають стратегічні орієнтири інновацій у системі державного управлін- ня. Головна мета інноваційної стратегії - повне та ефективне використання наявного в органах державної влади потенціалу для забезпечення як системних змін
44344. Система санкционированного доступа 1.46 MB
  Исходя из функционального назначения устройства санкционированного доступа должна соответствовать группе по механическим воздействиям – М3 (на дверях городских квартир и на стационарных объектах, закрытых от прямого воздействия атмосферных осадков и повышенной относительной влажности).
44345. СОЦИАЛЬНАЯ РЕАБИЛИТАЦИЯ ЛИЦ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ФИЗИЧЕСКИМИ ВОЗМОЖНОСТЯМИ 421.5 KB
  Социальная реабилитация инвалидов актуальная проблема современности. Принцип комплексного подхода в социальной реабилитации инвалидов. Социально медицинские услуги как один из факторов социальной реабилитации инвалидов. Роль социального работника в реабилитации инвалидов.
44347. Изучение теоретических основ компенсационного менеджмента и разработка практических рекомендаций по его совершенствованию в АНО «Цент Развития Современного Дизайна» 853 KB
  Теория краткосрочных и долгосрочных стимулов Анализ компенсационной политики в АНО Центр Развития Современного Дизайна Краткая характеристика АНО Центр Развития Современного Дизайна Анализ организации и регулирования оплаты труда в АНО Центр Развития Современного Дизайна Анализ формирования поощрительного фонда в АНО Центр Развития Современного Дизайна Совершенствование организации компенсационной системы в АНО Центр Развития Современного Дизайна Рекомендации по формированию компенсационного пакета АНО Центр...
44348. Разработка мер по совершенствованию системы обязательного социального страхования в Российской Федерации 1.36 MB
  Обязательное социальное страхование появилось в Росси несколько позже, чем в западных странах. В 1889 году в Государственный совет был предложении проект закона, в котором предлагалось нести ответственность владельцам промышленных предприятий за причиненное увечье вплоть до случаев со смертельным исходом