46738

Разностные схемы: явная и неявная схемы

Доклад

Математика и математический анализ

Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи. Характеристика неявной разностной схемы Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с начальным и граничными условиями: 4.7 записана на n 1ом шаге по времени для удобства последующего изложения метода и алгоритма решения неявной разностной схемы 4. В разделе Порядок аппроксимации разностной схемы было отмечено что разностная схема 4.

Русский

2013-11-25

28.1 KB

124 чел.

8 вопрос: Разностные схемы: явная и неявная схемы:

Разностная схема — это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой-либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное распределение). Таким образом, разностные схемы применяются для сведения дифференциальной задачи, имеющей континуальный характер, к конечной системе уравнений, численное решение которых принципиально возможно на вычислительных машинах. Алгебраические уравнения, поставленные в соответствие дифференциальному уравнению получаются применением разностного метода, что отличает теорию разностных схем от других численных методов решения дифференциальных задач (например проекционных методов, таких как метод Галёркина).

Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи.

  Характеристика неявной разностной схемы

     Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с начальным и граничными условиями:

 

(4.5)

Запишем для уравнения (4.5) неявную разностную схему:

 

(4.6)

Запишем аппроксимацию начального и граничных условий:

 

(4.7)

Аппроксимация граничных условий (4.7) записана на (n + 1)-ом шаге по времени для удобства последующего изложения метода и алгоритма решения неявной разностной схемы (4.6). 
     В разделе "
Порядок аппроксимации разностной схемы" было отмечено, что разностная схема (4.6) имеет такой же порядок аппроксимации, как и соответствующая ей явная разностная схема (4.2), а именно:

 

В разделе "Доказательство абсолютной устойчивости неявной разностной схемы" было доказано, что неявная разностная схема (4.6) абсолютно устойчива, т.е. вне зависимости от выбора интервала деления на разностной сетке (или, иначе говоря, выбора расчётного шага по независимым переменным) погрешность решения неявной разностной схемы в процессе вычислений возрастать не будет. Отметим, что это, безусловно, является достоинством неявной разностной схемы (4.6) по сравнению с явной разностной схемой (4.2), которая устойчива только при выполнения условия (3.12). В то же время явная разностная схема имеет достаточно простой метод решения, а метод решения неявной разностной схемы (4.6), называемый методом прогонки, более сложен. Прежде чем перейти к изложению метода прогонки, необходимо вывести ряд соотношений, используемых этим методом.

Характеристика явной разностной схемы.

     Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с начальным и граничными условиями:

 

(4.1)

Запишем для уравнения (4.1) явную разностную схему:

 

(4.2)

Запишем аппроксимацию начального и граничных условий:

 

(4.3)

Аппроксимация граничных условий (4.3) записана на (n + 1)-ом шаге по времени для удобства последующего изложения метода и алгоритма решения явной разностной схемы (4.2). 
     В разделе "
Порядок аппроксимации разностной схемы" было доказано, что разностная схема (4.2) имеет порядок аппроксимации:

 

В разделе "Доказательство условной устойчивости явной разностной схемы" было получено условие устойчивости данной разностной схемы, накладывающее ограничение на выбор интервала деления при создании разностной сетки (или, иначе говоря, ограничение на выбор расчётного шага по одной из независимых переменных):

 

Отметим, что это, безусловно, является недостатком явной разностной схемы (4.2). В то же время она имеет достаточно простой метод решения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27929. Подготовка новых АКБ 81.5 KB
  4Лизинговые системы и методы расчета по ним В лизинговые платежи включаются: амортизация лизингового имущества за весь срок действия договора лизинга компенсация платы лизингодателя за использованные им заемные средства комиссионное вознаграждение плата за дополнительные услуги лизингодателя предусмотренные договором лизинга а также стоимость выкупаемого имущества если договором предусмотрены выкуп и порядок выплат указанной стоимости в виде долей в составе лизинговых платежей. При согласовании метода начисления лизингового платежа...
27930. Надёжность, как одно из основных свойств, составляющих качество. Определение показателя качества. Св-ва и показатели надёжности 85 KB
  4 Показатели использования ОПФ АТП Показатель фондоотдачи рассчитывается в натуральных и стоимостных единицах измерения. Величина показателя ФО показывает объем транспортной работы или сумму доходов получаемую предприятием с одного рубля стоимости ОПФ.; Sсред – среднегодовая стоимость ОПФ руб. Показатель фондоемкости показывает стоимость ОПФ необходимую предприятию для получения 1го рубля дохода.