4688

Загальна фізика. Механіка, молекулярна фізика і термодинаміка, електрика

Конспект

Физика

Вступ Фізика є основною наукою про природу. Вона вивчає найбільш загальні властивості і форми руху матерії. Одним із видів руху є механічний рух, під яким розуміють зміну положення тіла в просторі з часом. Механіка Галілея-Ньютона вивчає рух макроск...

Украинкский

2014-12-21

3.84 MB

64 чел.

Вступ

Фізика є основною наукою про природу. Вона вивчає найбільш загальні властивості і форми руху матерії.

Одним із видів руху є механічний рух, під яким розуміють зміну положення тіла в просторі з часом. Механіка Галілея-Ньютона вивчає рух макроскопічних тіл з швидкістю значно меншою за швидкість світла. Релятивістська механіка вивчає рухи тіл, швидкості яких близькі до швидкості світла. Квантова механіка описує рух мікрочастинок.

Вивчення фізики має велике значення для формування наукового уявлення про явища і процеси, які відбуваються у природі.

Фізика є основою сучасного науково-технічного прогресу. Це та база, без якої неможлива успішна діяльність інженера в області сучасної техніки. Технічний рівень виробництва визначається розвитком фундаментальних наук. На базі нових фізичних відкриттів були створені такі технічні галузі як: електронна та обчислювальна техніка, космічна техніка і приладобудування, ядерна енергетика і лазерна техніка, мікро- і нанотехнології і т. д.

Загалом можна сформулювати роль курсу фізики у технічному вузі:

а) фізика має велике загальнонаукове значення. Вона формує сучасне світосприйняття та світорозуміння, дає уявлення про фізичну картину світу;

б) фізика є базовою дисципліною для багатьох загальноінженерних та спеціальних дисциплін;

в) будь-яка галузь сучасного виробництва тісно переплітається з фізикою, тому інженер повинен володіти фізикою в такій мірі, щоб бути у змозі зі знанням справи застосовувати фізичні знання у своїй виробничій діяльності.

Перша частина конспекту лекцій з курсу загальної фізики для студентів інженерно-технічних спеціальностей містить у собі такі розділи: механіка(доц. Заячківський В. П., ст. викл. Шляховий В. Л.); молекулярна фізика і термодинаміка(доц. Мороз В. М., доц. Олексин Д. І.); електрика(доц. Бялик М. В.).

Автори конспекту бажають успіху майбутнім інженерам-водникам у вивчені курсу фізики. Відвідуйте заняття, думайте і читайте, будьте активні на практичних заняттях. Неодмінно консультуйтесь з викладачами. Не шкодуйте час на здобуття фундаментальних знань. Ми впевненні – ви вивчите цей складний і цікавий курс.


РОЗДІЛ 1. МЕХАНІКА

§ 1.1. Кінематика механічного руху

Перш ніж переходити до розгляду окремих питань механіки, введемо ряд основних понять.

Матеріальна точка – це тіло, розмірами і формою якого в даній задачі можна знехтувати.

Система відліку – це система координат з годинником, яка зв’язана з абсолютно твердим тілом, по відношенню до якого визначається положення інших тіл в різні моменти часу.

Якщо в деякій системі відліку тіло не може вважатись матеріальною точкою, то його можна подумки розбити на ряд дрібних частин, що взаємодіють між собою, кожна з яких може вважатись матеріальною точкою.

Поступальний рух – це такий рух, при якому будь-яка пряма, що проведена через дві довільні точки тіла, залишається паралельною сама до себе. При поступальному русі траєкторії всіх точок тіла однакові.

Обертовий рух – це такий рух, при якому всі точки рухаються по колах, центри яких перебувають на осі обертання. У загальному випадку довільний механічний рух можна представити як поєднання поступального та обертового рухів. Положення матеріальної точки в системі відліку XOYZ (рис.1.1) можна задати через радіус-вектор цієї точки, тобто вектор, що з’єднує початок координат з точкою простору, де перебуває матеріальна точка в даний момент часу.

Якщо відомий закон зміни радіуса-вектора з часом, то можна записати кінематичне рівняння руху матеріальної точки в даній системі відліку у векторній формі.

                                            (1.1)

Спроектувавши кінець радіуса-вектора на координатні вісі, векторне рівняння (1.1) можна представити у вигляді трьох скалярних рівнянь руху

                                        (1.2)

§ 1.2. Швидкість і прискорення

Скалярну величину, яка рівна довжині траєкторії  називають шляхом. Вектор, що з’єднує початкове положення матеріальної точки з її положенням  в даний момент часу називають вектором переміщення .

.                                                    (1.3)

При прямолінійному русі вектор переміщення співпадає з відповідною ділянкою траєкторії, тобто його модуль рівний пройденому шляху. У випадку криволінійного руху вектор переміщення є січною, що проходить через дві точки траєкторії, які відповідають двом різним моментам часу.

Швидкість – це векторна величина, яка характеризує зміну радіуса-вектора рухомої точки з часом. Вектор середньої швидкості рівний відношенню приросту радіуса-вектора  рухомої точки до часу , за який він відбувся

                                              .                     (1.4)

Якщо перейти до границі при , то отримаємо вираз для миттєвої швидкості

                                         .                                   (1.5)

Таким чином, миттєва швидкість – це швидкість в даний момент часу або в даній точці траєкторії. Вектор миттєвої швидкості дорівнює  першій похідній радіуса-вектора рухомої точки по часу і напрямлений вздовж дотичної до траєкторії в будь-якій її точці. Врахувавши, що при  , отримаємо:

                                              .                                                                         (1.6)

В загальному випадку з (1.6) випливає, що шлях може бути обчислений за формулою

                                                .                                          (1.7)

Швидкість можна представити через її проекції на координатні вісі

,                          (1.8)

  ,                                     (1.9)

де                     ,                          .              (1.10)

Швидкість може змінюватись як за модулем так і за напрямком. Для характеристики зміни швидкості вводять вектор прискорення, який описує зміну швидкості з часом. Середнє прискорення рівне відношенню зміни швидкості до проміжку часу, за який вона відбулася

                       .                              (1.11)

Миттєве прискорення – це прискорення в даний момент часу і воно визначається як границя до якої прямує середнє значення прискорення, якщо проміжок часу прямує до нуля

                                 .                             (1.12)

Таким чином, миттєве прискорення дорівнює першій похідній швидкості по часу або другій похідній радіуса-вектора по часу.

В проекціях на координатні вісі

                                     ,                                    (1.13)

                                 ,                                   (1.14)

де       .       (1.15)

Коли матеріальна точка рухається по криволінійній траєкторії (рис.1.2), і вектор її швидкості змінюється як за напрямком  так і за модулем , то           

  .                                 (1.16)

Знайдемо миттєве прискорення матеріальної точки, скориставшись формулами (1.12) та (1.16)

.    (1.17)

Отже, повне прискорення рівне сумі нормального  і тангенціального  прискорень. Нормальне прискорення характеризує зміну швидкості за напрямком і напрямлене вздовж радіуса до центра кривизни траєкторії. Тангенціальне прискорення характеризує зміну швидкості за модулем і напрямлене вздовж дотичної до траєкторії. Числові значення цих прискорень рівні

                                                                                         (1.18)

та           .                     (1.19)

З рис.1.3 маємо

                                                   (1.20)

та                                                .                                 (1.21)

§ 1.3. Кінематика обертового руху матеріальної точки

Нехай матеріальна точка рухається по коловій траєкторії радіусом R з центром в т.0. За час  радіус-вектор точки повернеться на деякий кут  (рис. 1.4). Кутовою швидкістю називають величину, яка є першою похідною кута повороту радіуса-вектора по часу

                             (1.22)

Кутова швидкість – це вектор, напрям якого визначається за правилом свердлика.

Крім кутової швидкості, рух тіла по колу ще описують лінійною швидкістю, яка рівна відношенню довжини дуги, що її описує кінець радіуса-вектора, до часу, за який вона пройдена.

.                                                       (1.23)

Лінійна швидкість напрямлена по дотичній до дуги кола в кожній її точці. При рівномірному русі по колу використовують поняття періода Т та частоти . Період – це час одного повного оберту, а частота – кількість обертів за одиницю часу. Кутову та лінійну швидкості можна виразити через період або частоту

                                                                                             (1.24)

та                                                 .                              (1.25)

Звідси                                      або  .                                          (1.26)

У векторній формі                                                 (1.27)

Кутове прискорення  рівне першій похідній кутової швидкості по часу

 .                  (1.28)

Вектор кутового прискорення напрямлений вздовж вісі обертання і співпадає з напрямком , якщо кутова швидкість зростає, і протилежний до напрямку , якщо кутова швидкість зменшується (рис.1.5).

Продиференціювавши вираз (1.27) по t і пам’ятаючи, що матеріальна точка рухається по колу (рис.1.6), тобто R=cost, отримаємо   

Оскільки  то .     (1.29)

§ 1.4 Закони динаміки. Поняття маси, сили, імпульсу, імпульсу сили. Інерціальні системи відліку

Динаміка – це розділ механіки, в якому вивчають механічний рух з врахуванням діючих сил. В основі динаміки лежать закони Ньютона, які є результатом багатовікового досвіду.

Перший закон Ньютона: існують такі системи відліку в яких матеріальна точка (тіло) перебуває в стані спокою або рухається рівномірно і прямолінійно доти, поки дія з боку інших тіл не змусить її змінити цей стан.

Перший закон Ньютона називають законом інерції, а системи відліку, відносно яких виконується даний закон – інерціальними системами відліку. Якщо відома хоча б одна інерціальна система відліку, то всі інші системи відліку, які перебувають відносно неї в спокої або рухаються рівномірно і прямолінійно теж будуть інерціальними. Дослідним шляхом встановлено, що інерціальною системою відліку можна вважати систему відліку зв’язану з Сонцем.

Властивість тіла зберігати стан спокою або рівномірного прямолінійного руху без дії на нього інших тіл називають інертністю. Фізичну величину, яка є мірою інертності тіла, називають інертною масою. Разом з тим маса тіла характеризує здатність його взаємодіяти з іншими тілами згідно з законом всесвітнього тяжіння. в цьому випадку маса є мірою гравітаційної взаємодії і її називають гравітаційною масою. В сучасній фізиці з високою точністю встановлено, що інертна та гравітаційні маси рівні між собою для швидкостей значно менших від швидкості світла. Отже, маса – це міра інертних і гравітаційних властивостей тіла.

Сила – це векторна величина, яка є мірою взаємодії між тілами внаслідок чого тіла отримують прискорення або змінюють свою форму та розміри.

Другий закон Ньютона: прискорення, що його набуває матеріальна точка (тіло), прямо пропорційне рівнодійній всіх діючих сил, співпадає з нею за напрямком і обернено пропорційне масі матеріальної точки (тіла)

                                                       .                                                       (1.30)

При розв’язуванні задач часто використовують таку форму запису:

                             .                            (1.31)

Добуток маси матеріальної точки на її швидкість називають імпульсом матеріальної точки

                                             .                                                      (1.32)

Підставивши (1.32) в (1.31), отримаємо більш загальний вираз для другого закону Ньютона

                                            .                                                        (1.33)

Останнє співвідношення можна сформулювати так: швидкість зміни імпульсу матеріальної точки рівна діючій на неї силі.

Добуток сили на час її дії називають імпульсом сили. Переписавши (1.33) у вигляді

                                          ,                                            (1.34)

Отримаємо: зміна імпульсу тіла рівна імпульсу сили.

Третій закон Ньютона: сили, з якими взаємодіють дві матеріальні точки, рівні за модулем і протилежні за напрямком, діючи вздовж прямої, що з’єднує ці матеріальні точки

                                           .                                           (1.35)

де - сила, що діє на перше тіло з боку другого , а - сила, що діє на друге тіло з боку першого.

Ці сили прикладені до різних тіл, тому не врівноважують одан одну. Третій закон динаміки справедливий лише в випадку контактних взаємодій, тобто при безпосередньому дотику та при взаємодії на відстані між нерухомими тілами.

§ 1.5. Імпульс системи. Закон збереження імпульсу

Розглянемо деяку сукупність матеріальних точок, яку називають механічною системою. Сили, з якими окремі елементи системи взаємодіють між собою, називають внутрішніми силами, а сили, з якими на елементи системи діють зовнішні тіла, називають зовнішніми.

Запишемо другий закон Ньютона у вигляді (1.33) для кожного з n елементів (матеріальних точок) системи

                           (1.36)

де  – внутрішня сила взаємодії і-ої та k-ої точок системи,  – сумарна зовнішня сила, що діє на і-ту точку системи.

Знайдемо суму лівих і правих частин рівностей (1.36), врахувавши, що

                          або         .          (1.37)

Якщо система буде замкнутою, тобто матеріальні точки (елементи) системи взаємодіють тільки між собою, то , а це означає, що

                       .                  (1.38)

Отже, в замкнутій системі сума імпульсів всіх матеріальних точок (елементів) системи є величина стала – закон збереження імпульсу.

Отримати замкнуту систему важко, але можна досягнути рівності нулю суми проекцій зовнішніх сил на деякий напрям або осі.

Закон збереження імпульсу справедливий не тільки в класичній механіці, але і для замкнутої системи мікрочастинок. Тому він є фундаментальним законом природи. Він є наслідком властивості симетрії простору – його однорідності.

§ 1.6. Центр мас (інерції) системи. Закон руху центра мас

При розгляді руху тіл інколи використовують поняття центра мас. Центром мас називають таку уявну точку, радіус-вектор якої визначається як

.                           (1.39)

Переписавши останній вираз у вигляді , продиференціюємо його по часу

                  ,            або            

Отриманий результат продиференціюємо ще раз

.                                                                       (1.40)

Отже, центр мас системи рухається так, як матеріальна точка, в якій зосереджена вся маса системи, і на яку діє рівнодійна всіх зовнішніх сил. В замкнутій системі центр мас буде рухатись рівномірно і прямолінійно або перебувати в стані спокою. Це означає, що внутрішні сили не можуть змінити положення центра мас.

У випадку однорідного гравітаційного поля центр мас системи співпадає з центром тяжіння.

§ 1.7. Межі застосування класичного опису частинок

В класичній механіці стан  матеріальної точки в будь-який момент часу характеризується її розташуванням (координатами) та швидкістю. Замість швидкості можна використовувати імпульс. Образом матеріальної точки є геометрична точна, яка описує з часом неперервну траєкторію. В квантовій механіці такий спосіб опису руху має принципові межі застосування. Там не можна стан частинки в кожний момент часу характеризувати точним значенням координати та імпульсу. Якщо в деякий момент часу координата визначається з невизначеністю , а імпульс з невизначеністю , то обидві величини одночасно не можуть бути визначені так, щоб їх невизначеності бути як завгодно малими, так як вони пов’язані між собою співвідношенням

                                            ,                                                                  (1.41)

де h стала Планка. Цей вираз називають співвідношенням невизначеності Гейзенберга. Воно визначає межу точності одночасного вимірювання координати та імпульсу, яка не може бути перевершена ніяким вдосконаленням приладів і методів спостереження.

Класична картина руху по неперервних траєкторіях лише приблизно відображає закони природи. Межі застосування визначаються співвідношеннями невизначеностей. Для макроскопічних тіл застосування класичного способу опису руху не викликає сумніву. Зовсім по іншому ведуть себе мікрочастинки. Отже, класична механіка – це механіка великих мас та малих швидкостей.

§ 1.8. Основний закон динаміки поступального руху твердого тіла

Твердим тілом називають таке тіло, віддалі між будь-якими двома його точками залишаються незмінними.

Тверде тіло – це система з шістьма ступенями вільності і для опису його руху потрібно шість незалежних рівнянь які можна замінити двома незалежними векторними рівняннями одне з яких стосується поступального руху а інше – обертового. Будь-який рух твердого тіла може бути представлений як накладання двох рухів: поступального та обертового.

Подумки розділимо тіло на велике число частин, кожну з яких можна вважати матеріальною точкою і для кожної з них запишемо другий закон Ньютона

                                                                                                              (1.42)

де  – зовнішня сила,  – внутрішня сила що діє на і-ту матеріальну точку,  - швидкість поступального руху тіла.

Знайдемо суму всіх рівнянь для всіх точок тіла, врахувавши, що сума всіх внутрішніх сил  рівна нулю

                                    .                                                                      (1.43)

Останнє рівняння – це рівняння руху центра мас

                                          ,                                                                           (1.44)

де m –маса тіла, Fзовн – рівнодійна всіх зовнішніх сил.

Отже, при поступальному русі центр мас твердого тіла рухається так, як би рухалась матеріальна точка масою, рівною масі тіла, під дією всіх прикладених до тіла сил. Рівняння (1.44) є основним рівнянням динаміки поступального руху твердого тіла.

§ 1.9. Динаміка обертового руху твердого тіла відносно осі. Поняття моменту інерції, моменту сили та моменту імпульсу твердого тіла.

Для опису обертового руху потрібно задати положення осі обертання та кутову швидкість обертання точок тіла в кожний момент часу. При поступальному русі мірою інертних властивостей матеріальної точки (тіла) є маса, а при обертовому русі її аналогом буде момент інерції, який рівний добутку маси матеріальної точки на квадрат віддалі до центра або осі обертання

                                            .                                                                                  (1.45)

У випадку системи матеріальних точок або твердого тіла, що обертається навколо деякої осі OZ, момент інерції буде рівний сумі моментів інерції всіх матеріальних точок, з яких складається дана система

                                   .                                                                  (1.46)

де  – віддаль і-ої матеріальної точки від осі обертання OZ. Коли ж маса рівномірно розподілена по всьому об’єму тіла, то від суми можна перейти до інтеграла

                                                                                                                         (1.47)

Шляхом інтегрування можна визначити момент інерції тіл правильної геометричної форми відносно осі, що проходить через центр мас (інерції) даних тіл

Таблиця 1.1

Тіло

Положення осі обертання

Момент інерції

Пустотілий тонкостінний циліндр радіусом R

Вісь симетрії

   

Суцільний циліндр радіусом R

Вісь симетрії

 

Куля радіусом R

Вісь симетрії проходить через центр мас

 

Прямий тонкий стержень довжиною l

Вісь перпендикулярна до стержня і проходить через його середину

Прямий тонкий стержень довжиною l

Вісь перпендикулярна до стержня і проходить через один з його кінців

 

У випадку, коли вісь обертання OZ не проходить через центр інерції С, а віддалена від неї на деяку відстань a (рис.1.7), то для визначення моменту інерції тіла І відносно довільної осі OZ використовують теорему Штейнера: момент інерції тіла І відносно довільної осі OZ рівний моменту його інерції І0 відносно паралельної осі, що проходить через центр мас тіла С, плюс добуток маси тіла m на квадрат віддалі а між осями

.                                           (1.48)

Обертаюча дія сили визначається деякою векторною величиною, яку називають моментом сили. Момент сили  відносно центра обертання О рівний векторному добутку радіуса-вектора , проведеного від центра обертання до точки прикладання сили, на силу .

           .                                                        (1.49)

Напрям вектора моменту сили  (рис.1.8) визначається за правилом правого гвинта, обертаючи вектор  по найкоротшому шляху до суміщення з вектором . Вектор  перпендикулярний до площини, в якій лежать вектори  та , а його модуль рівний

.                                        (1.50)

Як видно з (рис.1.8) добуток  – це найкоротша віддаль від напрямку дії сили  до центра обертання О, яку називають плечем сили d. Моментом сили відносно нерухомої осі OZ (рис.1.9) є скалярна величина , яка рівна проекції вектора , відносно точки О на дану вісь.

Нехай точка О є центром обертання деякого тіла (рис.1.10). вона може бути як в самому тілі, так і поза його межами. Запишемо другий закон Ньютона для і-ої точки даного тіла

,                                              (1.51)

де  – імпульс і-ої точки,  – рівнодійна всіх зовнішніх сил, які діють на і-ту точку тіла,  – сума всіх внутрішніх сил, які діють на і-ту точку тіла з боку всіх інших його точок.

Після певних перетворень отримаємо

,                                  (1.52)

Введемо головний момент зовнішніх сил твердого тіла відносно точки                               ,                                              (1.53)

а також момент імпульсу твердого тіла відносно точки

                                           .                                                                        (1.54)

Тепер маємо                                                       .                                                                                 (1.55)

Рівняння (1.55) - основний закон динаміки обертового руху тіла відносно центра О: швидкість зміни моменту імпульсу тіла рівна головному моменту всіх зовнішніх сил відносно центра обертання.

Коли тверде тіло обертається навколо деякої нерухомої осі OZ (рис.1.11), що закріплена в двох точках, то основне рівняння динаміки обертового руху твердого тіла запишеться у вигляді

,                                                             (1.56)

де Lz - момент імпульсу твердого тіла відносно осі

Mz - головний момент сил твердого тіла відносно осі (компоненти              Mx=My=0)

При обертанні твердого тіла відносно осі обертання лінійні швидкості  всіх його точок пов’язані з кутовою швидкістю  cпіввідношенням

                                                  .                                                                   (1.57)

Тому момент імпульсу можна записати як

                       .                                                   (1.58)

Тоді основний закон динаміки обертового руху відносно осі OZ запишеться у вигляді

                                    або     ,                                                     (1.59)

де  – кутове прискорення при обертовому русі тіла відносно осі OZ.

Таким чином, головний момент зовнішніх сил твердого тіла відносно осі дорівнює добутку моменту інерції твердого тіла на його кутове прискорення.

§ 1.10. Закон збереження моменту імпульсу твердого тіла відносно осі

В замкнутій системі головний момент зовнішніх сил відносно осі Mz рівний нулю і тому (1.59) матиме вигляд               , звідси слідує, що , тобто

                                        Iz= const                                                                                 (1.60)

Маємо вираз закону збереження моменту імпульсу твердого тіла відносно осі: якщо головний момент зовнішніх сил Mz відносно осі рівний нулю, то момент імпульсу твердого тіла відносно тієї ж осі зберігається.

Закон збереження моменту імпульсу є фундаментальним законом природи. Він пов’язаний з властивістю симетрії простору – його ізотропністю, тобто інваріантністю законів природи відносно вибору напрямку осей координат системи відліку.

§ 1.11. Поняття енергії і роботи. Робота сили. Потужність.

Невід’ємною властивістю матерії є рух. Рухи матерії відрізняються один від одного за формою (якістю). Наприклад, механічний, тепловий, електромагнітний та інші рухи за своєю формою різні.

У явищах природи здійснюються перетворення одних форм руху в інші. Дуже важливо, що в усіх перетвореннях руху змінюється лише якість руху, а кількість руху залишається незмінною. Отже, можна говорити про спільну для усіх форм руху кількісну міру.

Універсальною кількісною мірою усіх форм руху і взаємодій матерії є енергія. З різними формами руху матерії зв’язують різні форми енергії: механічну, теплову, електромагнітну, ядерну і інші.

При взаємодії тіл їхня енергія змінюється. Процес зміни енергії називається роботою, а робота як величина є мірою зміни енергії.

Для характеристики механічної взаємодії тіл була введена така величина як сила. Дія сили є причиною зміни енергії, або виконання роботи. Отже, для кількісної характеристики процесу зміни енергії можна використати таку фізичну величину як робота сили.

Елементарною роботою сили  називається величина, що дорівнює скалярному добутку вектора сили  на вектор елементарного переміщення .

,

де  – кут між векторами  і ,  – елементарний шлях.

Роботу сили на ділянці траєкторії від точки 1 до точки 2 можна знайти за допомогою криволінійного інтеграла

                       ,                                                          (1.61)

– проекція сили на напрямок переміщення.

Якщо, наприклад, тіло рухається прямолінійно, сила  і , то дістаємо

                             ,                                                                 (1.62)

де  – пройдений тілом шлях.

Для прикладу, знайдемо роботу сили тертя. Величина сили тертя визначається формулою , де  – коефіцієнт тертя. За формулою (1.62) маємо

                        .                                                         (1.63)

Отже, робота сил тертя відємна (до цієї формули ми ще повернемось).

Нехай залежність  від шляху  представлена графічно (рис.1.12).

Тоді робота  дорівнює площі заштрихованої площадки.

Одиниця вимірювання роботи – джоуль (Дж): 1 Дж – робота, яку виконує сила в 1Н на шляху в 1м. (1Дж = 1Н·м).

Для характеристики швидкості виконання роботи, введена така фізична величина як потужність (). Її визначають формулою     ,

де  – кут між векторами  і .

Одиниця вимірювання потужності – ват (Вт): 1Вт – потужність, при якій за час 1с. виконується робота в 1Дж.

Рис. 1.12

§ 1.12. Кінетична енергія. Теорема про зміну кінетичної енергії.

Розглянемо матеріальну точку масою , на яку з боку інших тіл діє сила . За другим законом Ньютона

.

Знайдемо роботу сили

(при виведенні враховувалось, що ).

Вже згадувалось, що виконувана над тілом робота є мірою зміни його енергії

.

Прирівняємо праві частини останніх рівностей

.

Легко переконатись способом підстановки, що дане рівняння задовольняє функція

,

де  – довільна стала величина.

Сталу  виберемо такою, щоб при швидкості  енергія  була рівною нулю. За такою умовою маємо . Звідки . Тоді

                                              .                                                                (1.64)

Таким чином, всяке рухоме тіло має енергію, що виражається формулою (4). Таку енергію, тобто енергію механічного руху називають кінетичною

.

При переході до системи з  взаємодіючих між собою матеріальних точок маємо виділити роботи як зовнішніх, так і внутрішніх сил. Тоді для якоїсь тої матеріальної точки будемо мати

,

де  і  – відповідно роботи зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на ту матеріальну точку.

Провівши в цьому рівнянні сумування по індексу і від 1 до , дістанемо

                                     ,                                                 (1.65)

де , , , .

Рівняння (1.65) виражає зміст теореми про зміну кінетичної енергії системи: зміна кінетичної енергії системи дорівнює роботі всіх (як зовнішніх, так і внутрішніх) сил прикладених до системи.

§ 1.13. Потенціальні і непотенціальні сили

Знайдемо роботу сил тяжіння зокрема сили тяжіння Землі, при переміщенні матеріальної точки масою  вздовж деякої траєкторії, наприклад з точки 1 в точку 2 (рис.1.13).

За законом всесвітнього тяжіння

.

Згідно (1.61) маємо

.

Знак мінус беремо тому, що сила тяжіння і переміщення мають проти- лежні напрямки. З рис.1.13 бачимо, що .

Тоді .

 Рис. 1.13

Підставивши границі інтегрування, приходимо до формули

                                      .                                   (1.66)

Тепер, звернувшись до формули (1.63), проведемо порівняння виразів робіт сили тертя і сили тяжіння. Бачимо, що робота сили тертя залежить від довжини шляху, а робота сили тяжіння не залежить, тобто робота сил тяжіння не залежить від форми траєкторії. Це значить, що для різних форм траєкторій вирази робіт сили тяжіння будуть ідентичними. Сили, робота яких не залежить від форми траєкторії, а залежить тільки від координат початкової і кінцевої точок траєкторії називаються потенціальними.

Крім сили тяжіння, прикладами потенціальних сил можуть бути сили пружності і сили електростатичної взаємодії.

Сили, робота яких залежить від форми траєкторії називають непотенціальними. Характерним прикладом непотенціальних сил є сила тертя.

§ 1.14. Потенціальна енергія та її зв’язок з потенціальними силами

Нехай деяке тіло рівномірно піднімається над Землею. Рівномірне піднімання тіла можливе за рахунок дії зовнішньої сили, що зрівноважує силу тяжіння.

Кінетична енергія тіла не змінюється, бо піднімання тіла здійснюється при сталій швидкості. Виконувана зовнішньою силою робота тратиться на збільшення енергії взаємодії в системі тіло – Земля. Таку частину механічної енергії називають потенціальною .

Робота А сили тяжіння дорівнює роботі зовнішньої сили взятій зі знаком мінус. Отже, можна написати, що

                           .                      (1.67)

Зміст цієї рівності полягає в тому, що робота консервативних сил дорівнює зменшенню потенціальної енергії. Вона позволяє за відомим виразом консервативної сили знайти вираз потенціальної енергії з точністю до деякої довільної сталої. Зауважимо, що універсальної формули для вираження потенціальної енергії не має; її вираз залежить від характеру взаємодії.

Елементарна робота потенціальних сил дорівнює елементарному зменшенню потенціальної енергії

або .

Для переміщення матеріальної точки вздовж осі  маємо

.

Звідки  (, ).

Для компоненти сил по осях  і  отримуються аналогічні вирази. Отже,

; ; ,

або

; ; ,

(, ,  – орти координатних осей).

Додавши почленно ліві і праві частини цих рівностей, отримуємо

.

Вектор  називається градієнтом потенціальної енергії і позначається .

Таким чином,

grad En.

За отриманою формулою розв’язують обернену задачу, тобто за відомою потенціальною енергією знаходять потенціальну силу.

§ 1.15. Потенціальна енергія гравітаційної взаємодії

Повертаючись до формул (1.66), (1.67) прирівняємо їх праві частини

.

Це рівняння перетворює в тотожність функція

                                        .                               (1.68)

Довільну сталу  у виразі (1.68) виберемо такою, щоб при  енергія  була рівною нулю. За такої умови . Звідки . Отже, потенціальна енергія гравітаційної взаємодії має вираження

                                           .                                      (1.69)

Формулу (1.69) застосовують у механіці космічних польотів. В задачах про рух тіл біля Землі користуються наближеним виразом потенціальної енергії.

Для його виведення запишемо (1.68) в дещо іншому вигляді

,

де  і  – відповідно радіус Землі і висота піднімання тіла, також бралось до уваги, що прискорення вільного падіння біля поверхні Землі .

Біля поверхні Землі

.

Тоді

.

Довільну сталу  виберемо такою, щоб при  енергія . За такої умови . Звідки . Отже, для потенціальної енергії тіла біля поверхні Землі, тобто в однорідному полі сил тяжіння можна користуватись формулою

.

§ 1.16. Потенціальна енергія пружної взаємодії

У разі повздовжнього розтягу або стиску тіла (наприклад, пружини вздовж осі ) сила пружності

,

де  – коефіцієнт пружності,  – вектор деформації ( орт осі ).

Робота сили пружності

.

За формулою (1.67) маємо

.

Розв’язком цього рівняння є функція , де  – довільна стала. Її вибирають такою, щоб енергія недеформованого  тіла була рівною нулю. Така умова дає, що .

Отже, потенціальна енергія пружної взаємодії виражається формулою

.

§ 1.17. Повна механічна енергія. Закон збереження повної механічної енергії.

Звернемось до теореми про зміну кінетичної енергії системи, формула (1.65)

.

Нагадаємо, що  робота внутрішніх сил.

Припустимо, що внутрішні і частина зовнішніх сил є потенціальними. Згідно (1.67) робота таких сил дорівнює зменшенню потенціальної енергії системи

,

де  – робота зовнішніх потенціальних сил.

Тоді вихідну формулу можна записати у вигляді

або

                            ,                   (1.70)

де  – робота зовнішніх непотенціальних сил.

Енергію , що дорівнює сумі кінетичної і потенціальної  називають повною механічною енергією.

Із (1.70) слідує, що

або .

Отже, зміна повної механічної енергії системи дорівнює роботі зовнішніх непотенціальних сил.

Якщо зовнішні непотенціальні сили відсутні, то

                         або .                 (1.71)

Рівність (1.71) виражає закон збереження повної механічної енергії: в системі тіл, між якими діють лише потенціальні сили, повна механічна енергія зберігається, тобто не змінюється з часом.

Механічні системи, на тіла яких діють лише потенціальні сили, називаються консервативними.

Існує ще один вид систем – дисипативні системи, в яких діють непотенціальні сили. Характерним прикладом дисипативних систем є системи, в яких діють сили тертя. Робота сил тертя від’ємна . Тоді , тобто повна механічна енергія системи, в якій діють сили тертя, зменшується – механічна енергія перетворюється в теплову.

При зменшенні повної механічної енергії завжди виникає еквівалентна кількість енергії іншого виду. Енергія ніколи не зникає і появляється знову, вона лише перетворюється із одного виду в інший. В цьому і полягає фізична суть закону збереження і перетворення енергії.

§ 1.18. Графічне представлення енергії

В багатьох практичних задачах береться, що потенціальна енергія є функцією лиш однієї змінної (наприклад, координати ), тобто . Якщо система консервативна, то для неї справедливий закон збереження повної механічної енергії .

Графік залежності  від  називається потенціальною кривою (рис.1.14).

Повна механічна енергія визначається прямою  паралельною до осі абсцис. Потенціальна енергія  ви-значається відрізком вертикалі між точкою на осі абсцис і графіком . Кінетична енергія  визначається відрізком вертикалі між графіком  і прямою .

Аналіз потенціальних кривих позволяє визначити характер руху тіла. Якщо  – задана повна механічна енергія, то тіло

  Рис.1.14           може рухатися тільки там, де , тобто в областях II і 

IV. В області I і III тіло проникнути не може, так як потенціальна енергія не може стати більшою за повну (бо кінетична енергія не може бути відємною). Область II називають потенціальною ямою. Область III називають потенціальним бар’єром, через який тіло не може проникнути, маючи даний запас повної енергії. Рухаючись в області IV тіло може віддалитися на нескінченність. Такий рух називають інфінітним. Рухаючись в області потенціальної ями, тіло не може віддалитись на нескінченність; такий рух називають фінітним.

Повернемось до формули , яка виражає зв’язок між консервативною силою і потенціальною енергією. В одновимірному русі вона приймає вигляд .

Якщо , то , що дає умову рівноваги тіла. Рівновага може бути стійкою або нестійкою. Рівновага буде стійкою, коли потенціальна енергія мінімальна (наприклад, точка В) і нестійкою, коли потенціальна енергія максимальна (наприклад, точка Д).

§ 1.19. Перетворення координат Галілея

Закони Ньютона були встановлені у системах відліку, які вважались нерухомими. Сам Ньютон допускав, що існує абсолютно нерухома система відліку.

У свій час було поставлено питання про справедливість законів Ньютона в рухомих системах відліку. Поставлене питання важливе і для науки і для практики. Часто в практичних задачах зручно користуватись рухомими системами відліку і характер їх руху може бути різним.

Розглянемо дві системи відліку  і . Будемо вважати, що система відліку  нерухома, а система  рухається відносно першої прямолінійно і рівномірно із швидкістю  (рис.1.15) і . Відлік часу почнемо з моменту, коли початки координат обох систем збігаються.

Знайдемо зв’язок між координатами довільної точки А в обох системах відліку. З рис.5.1 видно, що , або в проекціях на координатні осі:

; ; ; .      (1.72)

Для вимірювання моментів часу, коли рухома точка займає те чи інше положення, в системах відліку встановлюють годинники. У класичній механіці передбачається, що хід часу не залежить від відносного руху систем відліку і тому .

Співвідношення (1.72) називають перетвореннями координат Галілея. Вони зв’язують координати однієї і тієї ж точки в системах відліку, що рухаються одна відносно одної прямолінійно і рівномірно.

Зауважимо, що записані вище співвідношення мають місце лише в класичній механіці ().

          Рис. 1.15

§ 1.20. Інерціальні системи відліку. Механічний принцип відносності

Інерціальними називаються системи відліку, відносно яких виконується перший закон Ньютона. Дослідження показують, що інерціальною є система відліку зв’язана з центром Сонця (геліоцентрична система). Система відліку зв’язана з центром мас замкнутої системи тіл (за законом збереження імпульсу) також інерціальна. Всі інші системи відліку, які рухаються відносно них прямолінійно і рівномірно будуть інерціальними. Розглянемо питання про справедливість законів Ньютона в інерціальних системах відліку.

Очевидно, що перший закон Ньютона в інерціальних системах відліку. виконується, бо саме формулювання першого закону Ньютона розглядають як означення інерціальної системи відліку.

Повернемося до векторної рівності . Візьмемо похідну по часу від обох частин цієї рівності, враховуючи, що

.

Звідки

.                                           (1.73)

Зауважимо, що формулу (1.73) називають правилом додавання швидкостей в класичній механіці. Із (1.73) бачимо, що швидкість  залежить від швидкості , тобто швидкість тіла в різних інерціальних системах відліку різна; швидкість відносна.

Візьмемо похідну по часу від обох частин рівності (1.73)

.

Звідки

                                                  .                                    (1.74)

Отже, прискорення тіла в різних інерціальних системах відліку однакове; прискорення абсолютне.

Сили взаємодії між тілами залежать від взаємного розміщення тіл і від їх відносної швидкості. Із того, що  і  маємо

.

Бачимо, що взаємне розміщення тіл і їх відносна швидкість в обох системах відліку однакові. Отже, сили взаємодії між тілами в різних інерціальних системах відліку однакові, тобто

                                                  .                                             (1.75)

Із (1.74) і (1.75) слідує, що рівняння другого і третього законів Ньютона у системі відліку  матимуть вигляд

;.

Маса також однакова у всіх інерціальних системах відліку.

Таким чином, вигляд рівнянь законів Ньютона не змінюється при переході від однієї інерціальної системи відліку до іншої, тобто є інваріантними відносно перетворень координат Галілея.

Із інваріантності законів Ньютона і інших законів (таких як закон збереження імпульсу, закон збереження енергії) можна зробити такий важливий висновок: у всіх інерціальних системах відліку всі механічні явища при одних і тих же умовах протікають однаково. Це твердження носить назву механічного принципу відносності.

На практиці механічний принцип відносності проявляється, наприклад, в тому, що пасажир у вагоні із закритими вікнами не зможе встановити чи вагон знаходиться в стані спокою, чи в стані прямолінійного і рівномірного руху.

§ 1.21. Неінерціальні системи відліку. Сили інерції

Неінерціальними називаються системи відліку, які рухаються з деяким прискоренням відносно інерціальних. Наприклад, в задачах про рух тіл на поверхні Землі користуються системами відліку пов’язаними з поверхнею Землі. Такі системи відліку неінерціальні, бо Земля здійснює добове обертання.

Зясуємо питання про справедливість законів Ньютона в неінерціальних системах відліку. Для цього розглянемо дві системи відліку: інерціальну  і неінерціальну .

Повернемось до векторної рівності . Взявши від цієї рівності другу похідну по часу, отримуємо

Звідки

де – прискорення неінерціальної системи відліку.

Нехай на тіло з боку інших тіл діє сила . За другим законом Ньютона прискорення тіла в інерціальній системі відліку

.

Тоді

                       , або .                (1.76)

Проведемо аналіз рівняння (1.76). Бачимо, що при  прискорення . Отже, в неінерціальних системах відліку перший закон Ньютона не виконується.

Із рівняння (1.76) бачимо також, що  а другий закон Ньютона вимагає, щоб прискорення тіла було рівним . Отже, в неінерціальних системах відліку другий закон Ньютона не виконується.

При  тіло рухається так ніби на нього діє сила, що дорівнює . Силу  називають силою інерції. Сили інерції не можна ставити в один ряд з силами тяжіння, силами пружності, або силами тертя. Останні є результатом взаємодії тіл. Сила інерції – це не результат взаємодії тіл, а властивість системи відліку. Для сили інерції не існує протидіючої сили. Отже, і третій закон Ньютона в неінерціальних системах відліку не виконується.

Ввівши поняття сили інерції, рівняння (1.76) можна записати у вигляді

                                    .                                      (1.77)

Воно є основним рівнянням динаміки в неінерціальних системах відліку.

Що стосується законів збереження імпульсу, енергії і момента імпульсу, то в неінерціальних системах відліку вони не виконуються, бо в неінерціальних системах відліку не існує замкнутих систем – для будь-якої системи тіл сила інерції є зовнішньою.

Приклади сил інерції

1. Сили інерції при прискореному поступальному русі систем відліку.

На дні кабіни ліфту знаходиться деяке тіло (рис.1.16).

Нехай ліфт опускається вниз з прискоренням . Система відліку  зв’язану з поверхнею Землі, нехтуючи її добовим обертанням, будемо вважати інерціальною. За другим законом Ньютона

                                            .                                  (1.78)

Система відліку  зв’язану з ліфтом є неінерціальною. В системі  тіло

перебуває в стані спокою, тобто . Згідно (1.77)

                                              .                            (1.79)

     Рис.1.16            

Із порівняння (1.78) і (1.79) маємо, що .

В проекції на вісь  рівняння даєВага тіла  чисельно дорівнює . Тоді

.

Якщо ліфт нерухомий, то  і вага тіла . У ліфті, що прискорено опускається вниз, вага тіла частково компенсується силою інерції.

При  сила інерції  і повністю компенсує вагу тіла . Такий стан називається станом “невагомості”.

1. Відцентрова сила інерції.

Диск рівномірно обертається навколо вертикальної осі з кутовою швидкістю  (рис.1.17).

На виділену на ободі диску матеріальну точку з боку інших матеріальних точок діє сила пружності, нехай . Система відліку  нерухома (інерціальна). За другим законом Ньютона

                    .             (1.80)

Система відліку  обертається разом з диском (неінерціальна). Тоді згідно (1.77)

                      .           (1.81)

Порівнюючи (1.80) і (1.81), отримуємо  ( – одиничний вектор). Таку силу інерції називають відцентровою.

2. Коріолісова сила інерції.

На тіло, що рухається з швидкістю  в обертальній системі відліку, крім відцентрової сили інерції діє ще і коріолісова сила інерції  або .

Коріолісова сила інерції проявляє себе при русі тіл на поверхні Землі (наприклад, при русі тіла вздовж меридіану (рис. 1.18)).

Із рис. 1.18 видно, що незалежно від напряму руху тіла (на Пн. або на Пд.), у північній півкулі коріолісова сила інерції напрямлена вправо відносно напряму руху тіла, а у південній півкулі – вліво (напрям  знаходиться за правилом правого гвинта).

Дія коріолісової сила інерції приводить до того, що в ріках

північної півкулі більше руйнується правий берег, а в ріках південної півкулі – лівий. Для прикладу можна сказати, що ріка Волга з часів Івана Грозного (XVI ст.) змістилася на 8 км.

Рис. 1.18

§ 1.22. Властивості простору і часу у класичній механіці

Як вже згадувалось, класична механіка описує рухи, швидкості яких значно менші за швидкість світла у вакуумі . Для опису рухів, швидкості яких близькі до швидкості світла, Ейнштейн створив релятивістську механіку. Релятивістською називають механіку, яка враховує вимоги спеціальної теорії відносності.

Основними поняттями теорії простору і часу є довжина відрізка і проміжок часу між двома подіями.

Поставимо питання про те, як змінюються довжина відрізка і проміжок часу при переході від однієї інерціальної системи відліку до іншої. У класичній фізиці відповідь на це питання дають перетворення координат Галілея

; ; ;

(співвідношення записані для випадку, коли осі  і співпадають (рис. 1.19.)).

Із першого рівняння маємо, що

, тобто довжина відрізка в обох системах  відліку  однакова.

 Із четвертого рівняння маємо, що , тобто

Рис. 1.19              проміжок часу в обох системах відліку однаковий  

.

Отже, простір і час незалежні один від одного, простір і час не залежать від швидкості руху систем відліку, простір і час абсолютні.

§ 1.23. Постулати спеціальної теорії відносності (СТВ). Перетворення Лоренца

  1.  Швидкість світла і правило додавання швидкостей.

До середини XIX ст. швидкість світла була виміряна вже досить точно. Її значення у вакуумі складає 3·108 м/с. Виникло питання про те, до якої інерціальної системи відноситься це значення швидкості. І виникло воно тому, що згідно з правилом додавання швидкостей у класичній фізиці

                                                  .                                       (1.82)

Швидкість руху, в тому числі і швидкість руху світла, в різних інерціональних системах відліку різна.

Експериментальні дослідження в цьому напрямі показали, що швидкість руху світла в різних інерціональних системах відліку однакова, що суперечить (1.82). Отже, перетворення Галілея, з яких слідує правило (1.82), мають обмежену область застосування; вони застосовні, коли .

І так виникла необхідність переглянути ті основні положення, які лежать в основі перетворень Галілея, зокрема положення про абсолютність простору і часу. Цю задачу в 1905 році розв’язав Ейнштейн.

  1.  Постулати СТВ.

За основу своєї теорії Ейнштейн вибрав два положення, які називають постулатами спеціальної теорії відносності:

1). В усіх інерціональних системах відліку всі фізичні явища (механічні, електричні, магнітні, оптичні) при одних і тих же умовах протікають однаково (принцип відносності).

2). Швидкість світла у вакуумі однакова в усіх інерціональних системах відліку і не залежить від руху джерела світла (принцип інваріантності швидкості світла).

    3. Перетворення Лоренца.

Виходячи з цих положень, Ейнштейн показав, що зв’язок між координатами і часом у двох інерціональних системах відліку (і) виражається не перетвореннями Галілея, а перетвореннями Лоренца.

У випадку, коли координатні осі  і  систем відліку (і) співпадають, перетворення Лоренца мають вигляд:

; ; ;,

де  ( – відносна швидкість систем відліку;  швидкість світла у вакуумі).

Звернемо увагу на першу і останню формули. Вони наочно вказують на те, що не тільки координата залежить від часу, але й час залежить від координати, тобто між простором і часом є взаємозв’язок. Координата і час залежать також від швидкості системи відліку, тобто властивості простору і часу залежать від характеру руху матеріальних об’єктів – простір і час є якостями існування матерії.

Дуже істотно, що при  формули Лоренца переходять у формули перетворень Галілея, де маємо:

; ; ; .

§ 1.24. Властивості простору і часу в релятивістській механіці (наслідки із перетворень Лоренца)

  1.  Поняття одночасності подій. Нехай у системі  в точках з координатами  і  в моменти часу  і  відбуваються дві події. В системі , яка рухається відносно  з швидкістю , вздовж осі , цим подіям відповідають координати  і  в моменти часу  і .

Якщо події в системі  відбуваються в одній точці () і є одночасними (), то згідно з перетвореннями Лоренца

і ,

тобто ці події є одночасними і такими, що просторово збігаються для довільної інерціональної системи відліку.

Якщо події в системі  просторово рознесені (), але одночасні (), то в системі

;,

;.

Бачимо, що

і .

Отже, в системі  ці події, залишаючись просторово рознесеними, виявляються неодночасними. Знак різниці  визначається знаком виразу , тому в різних точках системи  різниця  буде неоднаковою за величиною і за знаком.

  1.  Відносність довжини. Нехай деяке тіло (наприклад, стержень), розміщене вздовж осі , рухається разом з системою відліку  і має в цій системі довжину , де  і  – координати початку і кінця стержня.

За першою формулою перетворень Лоренца маємо

.

Різниця  – дає довжину стержня в системі .

Тоді  або .

Оскільки , то .

Отже, довжина стержня, яка виміряна в системі, відносно якої він рухається, є меншою від довжини, виміряної в системі, відносно якої стержень знаходиться у стані спокою. Лінійні розміри стержня в системі відліку, відносно якої він не рухається, є найбільшими. Ці найбільші розміри називають власними розмірами.

Зауважимо, що твердження про скорочення лінійних розмірів тіл у напрямі руху не означає якогось фізичного процесу в стержні, подібного деформації системи; мова йде про значення вимірювання стержня в різних системах відліку.

  1.  Відносність проміжку часу. Нехай у деякій точці, яка нерухома в системі , відбувається подія, тривалість якої .

За четвертою формулою перетворень Лоренца маємо

Різниця  – дає тривалість події в системі . Різниця  - дає зміщення точки, де відбувається подія, в системі відліку .

Тоді                                            або .                                                   (1.83)

Оскільки , то .

Отже, проміжок часу між двома подіями в різних інерціальних системах відліку різний; проміжок часу відносний. Він найменший в тій системі відліку, відносно якої точка, де відбувається подія, нерухома. Цей найменший проміжок часу називається власним часом.

Формула (1.83) знайшла своє експериментальне підтвердження. В космічних променях є такі елементарні частинки як  – мезони. Ці частинки нестабільні – вони розпадаються на інші елементарні частинки. Час життя  – мезонів, коли вони знаходяться у стані спокою, складає с. За такий час, навіть рухаючись зі швидкістю світла,  – мезони могли би пролетіти шлях 600 м. В той же час дослідження показують, що мезони утворюються на висоті 20-30 км. і встигають долетіти до Землі. Пояснюється це тим, що час с. це власний час життя мезонів, тобто час виміряний по годиннику, який рухається разом з частинкою. Час виміряний по годиннику в системі відліку, зв’язаною із Землею більший і частинка встигає пролетіти більшу відстань.

  1.  Поняття інтервалу між двома подіями. З назви теорії і її попередніх результатів може скластися хибна думка про те, що “все в світі відносне”. Насправді, теорія відносності точніше, ніж класична фізика, відображує поняття абсолютного і відносного в розвитку матеріального світу та його пізнанні.

З приводу СТВ Планк у свій час писав: “Її привабливість для мене полягає в тому, що я прагнув з усіх її положень вивести те абсолютне, інваріантне, що лежить в її основі”. І такі абсолютні, інваріантні величини були знайдені.

Взаємозв’язок між простором і часом показує, що для математичного відображення будь-якої події слід користуватися чотиривимірною системою відліку, де роль четвертої координати відіграє час. Точку в такій системі відліку, яка визначає певну подію, називають світовою точкою.

Розглянемо дві події. Нехай в системі відліку одна з них визначається координатами , а друга – координатами .

Величину  називають інтервалом між двома подіями.

Неважко показати, що інтервал є інваріантом відносно перетворень Лоренца. Квадрат інтервалу в системі  можна записати у вигляді

,

а відповідний квадрат інтервалу між двома подіями в системі

                          .                                             (1.84)

Використавши формули

; ; ;

та підставивши їх у вираз (1.84), дістанемо .

Інтервал між подіями можна виразити через такі дві компоненти: квадрат просторової відстані

та квадрат проміжку часу .

Тоді                                                             .                                                                 (1.85)

З виразу (6.4) видно, що хоч обидві компоненти мають відносний характер, інтервал, як і швидкість світла, інваріантні відносно перетворень Лоренца. Останні в теорії відносності належать до абсолютних величин.

§ 1.25. Правила додавання швидкостей в релятивістській механіці

Спираючись на перетворення Лоренца, знайдемо зв’язок між швидкостями тіла в двох інерціальних системах відліку ( і ). Розглянемо простий випадок, коли тіло рухається паралельно до осі  (або

). Тоді ; ; , відповідно ; ; .

За означенням швидкості , .

Продиференціюємо перше і четверте рівняння перетворень Лоренца

; .

Поділимо почленно ліві і праві частини отриманих рівнянь

.

Замінивши похідні відповідними компонентами швидкості, дістанемо

.

Отже,  або .

Отримані формули виражають правило додавання швидкостей в релятивістській механіці.

Нехай  і . Тоді

.

Бачимо, що результуюча швидкість  не перевищує швидкості світла у вакуумі. Отже, швидкість світла у вакуумі є граничною швидкістю. І ніякі дослідні факти в сучасній фізиці не заперечують висновку про те, що швидкість світла у вакуумі є межею можливих швидкостей в природі.

§ 1.26. Маса, імпульс і основний закон динаміки в релятивістській механіці

Ейнштейн показав, що маса одного і того ж тіла в двох інерціальних системах відліку неоднакова. Зв’язано це з тим, що маса тіла залежить від швидкості його руху. Ця залежність виражається формулою

,

де .

При  маса , масу  називають масою спокою тіла; вона вимірюються в системі відліку, відносно якої тіло не рухається. Масу  називають релятивістською.

Звернемось до основного рівняння динаміки матеріальної точки

                                              .                                                                            (1.86)

У класичній фізиці приймається, що маса тіла є сталою величиною. Тоді

                                       або .                                                            (1.87)

Принцип відносності Ейнштейна вимагає, щоб рівняння, які виражають фізичні закони, були інваріантними відносно перетворень Лоренца. Рівняння (1.87) не задовольняє цій вимозі.

Підставимо у рівняння (1.86) вираз релятивістської маси

                                    або ,                                                 (1.88)

де  – релятивістський імпульс.

Можна переконатись, що рівняння (1.88) інваріантне відносно перетворень Лоренца. Його називають основним рівнянням динаміки в релятивістській механіці.

§ 1.27. Закон взаємозв’язку між масою і енергією

Помножимо основне рівняння динаміки (1.86) скалярно на вектор елементарного переміщення

,

(в лівій частині рівняння враховано, що ).

Проведемо інтегрування цього рівняння вздовж траєкторії, наприклад, від точки 1 до точки 2

.

Зауважимо, що інтеграл справа дає роботу  і перетворимо підінтегральний вираз зліва до іншого вигляду

                         (1.89)

(в ході перетворень бралось до уваги, що ; ).

Тепер продиференціюємо вираз для маси

або                                                  .                                                                              (1.90)

Порівнюючи формули (1.89) і (1.90), бачимо, що підінтегральний вираз зліва дорівнює .

Отже,

.

Звідки                      .

За загальним законом збереження і перетворення енергії

.

Тоді

.

Легко переконатись способом підстановки, що останнє рівняння перетворюється в тотожність при

, де  – довільна стала величина.

Покладемо тимчасово, що  і перетворимо формулу  до іншого вигляду:

.

Зауваживши, що величина  дає релятивістський імпульс , маємо

або

(отримані формули виражають зв’язок між енергією  і імпульсом  в релятивістській механіці).

Тепер запишемо першу формулу дещо по-іншому

.

Права частина цього виразу є інваріантною величиною, тобто однаковою в усіх інерціальних системах відліку. Отже, і ліва частина має бути інваріантною. Експериментальні дослідження над швидкими частинками підтвердили інваріантність згаданого виразу. І тому відповідно до досліду константу інтегрування  мусимо брати рівною нулю.

Таким чином,

                          або .                                                         (1.91)

Якщо тіло нерухоме , то . Бачимо, що енергія  не зводиться до кінетичної і тому її називають повною або релятивістською енергією. Енергію  називають енергією спокою тіла; вона є внутрішньою енергією тіла.

Рівняння (1.91) виражає один із фундаментальних законів природи – закон взаємозв’язку маси і енергії: повна енергія тіла дорівнює добутку релятивістської маси тіла на квадрат швидкості світла у вакуумі.

Зауважимо, що експериментальні підтвердження закону взаємозв’язку маси і енергії дають ядерні реакції. Характерним наслідком їх є так званий дефект маси  (див. розділ “Ядерна фізика”).

Кінетичну енергію  в релятивістській механіці визначають як різницю  і

.

У випадку малих швидкостей  цю формулу можна перетворити таким чином:

,

тобто ми приходимо до класичного виразу кінетичної енергії.

§ 1.28. Про єдиний закон збереження маси, імпульсу і енергії

За виразом  знайдемо власну масу якоїсь тої частинки

                                       .                                                           (1.92)

Поширимо цей вираз на ізольовану систему невзаємодіючих частинок. Енергія і імпульс системи дорівнюють відповідно

; ,

де  – кількість частинок у системі.

Підставивши ці величини у вираз (1.92), знайдемо власну масу системи

.

Для ізольованої системи справджується закон збереження імпульсу та закон збереження енергії

; ,

то відповідно буде зберігатись також власна маса системи

                                    .                                                         (1.93)

У релятивістській механіці рівняння (1.93) виражає зміст закон збереження маси, імпульсу і енергії. У класичній механіці, як відомо, розглядаються три окремі закони збереження маси, імпульсу і енергії.

На закінчення повернемось до сил інерції, які діють в неінерціальних системах відліку. Характерною властивістю сил інерції є те, що вони пропорційні масам тіл . Тому в полі сил інерції усі тіла рухаються з одним і тим же прискоренням. Таку ж властивість мають і сили тяжіння .

Із аналізу явищ в неінерціальних системах відліку Ейнштейн вивів положення, яке отримало назву принципу еквівалентності сил інерції і сил тяжіння.

Слід зауважити, що це положення не відносить сили тяжіння до розряду фіктивних. Згадаємо, що сили інерції є фіктивними. Тут мова йде лише про те, що властивості простору і часу і в полі сил інерції і в полі сил тяжіння однакові.

Принцип еквівалентності сил інерції і сил тяжіння позволив перейти до розгляду неінерціальних систем відліку, тобто до створення загальної теорії відносності або точніше релятивістської теорії тяжіння.

§ 1.29. Гідростатика нестисливої рідини. Закон Паскаля. Гідростатичний тиск. Закон Архімеда

Розділ фізики, в якому вивчають закони рівноваги та руху рідких та газоподібних тіл та їх взаємодію з твердими тілами називають гідроаеромеханікою. Рідини і гази розглядаються як суцільне середовище, що рівномірно заповнює деякий об’єм. Нестисливою рідиною називають таку рідину, густина якої не залежить від зовнішнього тиску.

Взаємодія окремих шарів газу або рідини між собою або з твердим тілом визначається тиском. Тиск – це скалярна величина, яка рівна нормальній складовій сили, яка діє на одиницю площі

                                                      (1.94)

Тиск вимірюється в паскалях (Па). Один паскаль – це тиск, який створюється силою в 1Н, що діє нормально до площадки 1м2.

У випадку рівноваги тиск рідин та газів підлягає закону Паскаля: тиск у всіх частинах об’єму рідини або газу однаковий і без змін передається у всі точки об’єму.

Якщо рідина густиною  перебуває в полі сили тяжіння, то на деякій глибині h тиск буде рівний сумі

деякого зовнішнього тиску Р0 та гідростатичного – (рис. 1.20).

                  (1.95)

Завдяки різниці тисків на верхню та нижню поверхні тіла, що занурене в рідину або газ (Рис.1.20), виникає сила Архімеда, яка напрямлена вертикально вгору, прикладена в центрі тяжіння витисненої рідини або газу і чисельно рівна вазі витисненої рідини або газу

                                                          (1.96)

де  – густина рідини або газу,  – об’єм витисненої рідини або газу.

§ 1.30. Рух ідеальної рідини. Рівняння нерозривності. Рівняння Бернуллі

Щоб описати рух частинок рідини або газу можна для кожної точки простору задати вектор швидкості як функцію часу. Сукупність векторів, заданих для всіх точок простору, утворює поле вектора швидкості. Якщо провести лінії, дотичні до яких співпадають з напрямком вектора швидкості в кожній точці, то ми отримаємо лінії течії. Поверхню, утворену лініями течії, що проведені через усі точки малого замкнутого контура, називають трубкою течії.

Розрізняють ломінарну або шарувату течію та турбулентну. Ломінарною називають течію, в якій окремі шари при своєму русі не перемішуються (Рис.1.21а). в турбулентній течії відбувається перемішування окремих шарів, утворення завихрень в результаті виникнення нормальної (поперечної) складової швидкості (Рис.1.21б).

В реальних рідинах між окремими шарами рідини виникають сили в’язкого (внутрішнього) тертя. В окремих випадках вплив внутрішнього тертя невеликий і ним можна знехтувати. Абсолютно нестисливу і нев’язку рідину називають – ідеальною.

Розглянемо трубку течії, настільки тонку, що в кожному її перерізі швидкість можна вважати однаковою у всіх точках перерізу (Рис.1.22). Можна показати, що

або                                                                                      (1.97)

Рівняння (1.97) називають рівнянням нерозривності, з якого слідує, що чим більша площа перерізу трубки течії, тим менша швидкість течії і навпаки.

Коли рідина рухається по трубі змінного перерізу і різної висоти(Рис. 1.23), то для деякого її об’єму змінюється як кінетична так і потенціальна енергії об’єму рідини. Ця зміна обумовлена дією деяких зовнішніх сил, робота яких рівна зміні потенціальної і кінетичної енергії рідини

      .

Після підстановок і перетворень в лівій та правій частинах останнього співвідношення отримаємо вираз

                                      (1.98)

або для довільного перерізу

                                                             (1.99)

де  – динамічний тиск,  – гідростатичний тиск, р – статичний тиск.

Рівняння (1.99) вивів Бернуллі і воно носить його ім’я. Це рівняння виражає закон збереження енергії при стаціонарній течії ідеальної рідини. Для горизонтальної трубки течії  і рівняння Бернуллі приймає вигляд

                                                                               (1.100)

Звідси випливає, що в тих місцях труби, де більша швидкість течії, тиск буде меншим і навпаки (Рис.1.24). Якщо рідину налити в посудину площею перерізу , в бічній поверхні якої є отвір площею , то швидкість витікання рідини через отвір  визначається за формулою Торічеллі

     (1.101)

Струмінь води, що витікає з бічного отвору посудини створює реактивну тягу, і якщо посудину поставити на візок, то останній почне рухатись разом з посудиною під дією цієї сили

                                                                  (1.102)

§ 1.31. Гідродинаміка в’язкої рідини. Сила Стокcа

Для всіх реальних рідин в тій чи іншій мірі властиве внутрішнє тертя або в’язкість, що проявляється в протидії при переміщенні одного шару рідини (газу) відносно іншого. Змінюючи швидкість  руху верхньої пластини(Рис. 1.25), можна експериментально встановити співвідношення

   ,         (1.103)

де  – коефіцієнт в’язкості (динамічна в’язкість) рівний силі в’язкого тертя, яке виникає при градієнті швидкості  на 1м, на поверхні    - градієнт швидкості, S - площа шару рідини

Коефіцієнт в’язкості залежить від температури, причому для рідин він зменшується з підвищенням температури, а для газів - збільшується, що вказує на різний механізм внутрішнього тертя в рідинах і газах.

При русі у в’язкому середовищі тіл кулястої форми сила в’язкого тертя визначається за формулою Стокса

                                                                                     (1.104)

де r – радіус тіла,  – коефіцієнт в’язкого тертя,  – швидкість руху тіла кулястої форми у в’язкому середовищі.

РОЗДІЛ 2. ОСНОВИ МОЛЕКУЛЯРНОЇ ФІЗИКИ І ТЕРМОДИНАМІКИ

§ 2.1. Статистичний і термодинамічний методи дослідження. Тепловий рух. Основні поняття

Молекулярна фізика вивчає фізичні властивості і агрегатні стани тіл в залежності від їх молекулярної будови, сил взаємодії між складовими частинками тіл і характеру теплового руху цих частинок. Термодинаміка або наука про теплоту теж вивчає властивості тіл і зміни станів речовини. Названі розділи фізики відрізняються лише використовуваними методами дослідження, що взаємно доповнюють один одного.

Молекулярно-кінетичний або статистичний метод опису стану системи базується на положенні про молекулярну будову речовини та безперервний тепловий рух молекул, використовує закономірності великого числа частинок, з яких складається розглядувана система. При цьому рухом окремих молекул не цікавляться, а оперують параметрами стану системи, що спостерігаються на досліді: тиском (р), температурою (Т) і об’ємом (V). Зв’язок між цими параметрами для заданої маси речовини називається рівнянням стану системи. Загальна форма запису рівняння стану f (р,V,T) =0,де f – деяка функція.

Термодинамічний метод полягає у вивченні властивостей системи взаємодіючих тіл шляхом аналізу кількісних співвідношень та умов перетворень енергії. При цьому не використовуються ніякі уявлення про внутрішню будову і характер руху мікрочастинок. Вивчаються макроскопічні характеристики системи на основі кількох експериментально встановлених законів – начал термодинаміки.

Термодинамічна система – це сукупність макрооб’єктів (тіл і полів), що обмінюються енергією у формі роботи і тепла як між собою, так із зовнішнім середовищем.

Рівноважним станом системи називають такий стан, при якому всі параметри стану мають певні значення, постійні при незмінних зовнішніх умовах. Перехід системи з одного стану в інший називається процесом. Якщо такий перехід дуже повільний (в ідеальному випадку – безмежно повільний), то процес буде послідовністю рівноважних станів.

Ідеальним газом називається система невзаємодіючих матеріальних точок, що при зіткненні ведуть себе як абсолютно пружні кульки. Практично – це газ, у котрого розміри молекул значно менші від середньої міжмолекулярної відстані.

Моль – це така кількість речовини, число частинок в якій рівне числу атомів у 12 г ізотопу вуглецю 12С.

Число молекул у молі будь-якої речовини однакове і називається сталою Авогадро;   (з досліду).

Кількість речовин () можна виразити через її масу (m) , або через число молекул (N)  , де  – молярна маса. Молярна маса пов’язана з масою однієї молекули        

§ 2.2. Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу має три еквівалентні форми запису (при цьому маса газу m=const!). Перша з них – узагальнення експериментально встановлених законів Бойля-Маріота, Гей-Люсака і Шарля, відоме як рівняння Клапейрона:

                                                                                         (2.1)

(стала різна для різних газів і для різної кількості одного газу).

Окремі випадки:

а) Т=сonst, рівняння ізотерми pV=const;

б) p=const, рівняння ізобари V/T=const;

в) V=const, рівняння ізохори p/T=const.

Закон Авогадро: при однакових тисках і однакових температурах в рівних об’ємах різних газів міститься однакове число молекул. Інше формулювання цього закону: при однакових тисках і однакових температурах молі різних газів займають однакові об’єми. Зокрема, при нормальних умовах () молярний об’єм ідеального газу

Виходячи з закону Авогадро маємо, що в рівнянні (2.1) для  величина сталої однакова для всіх газів. Позначивши її через R, одержимо

                                                                                       (2.2)

Вираз (2.2) – рівняння стану для одного моля ідеального газу. Rуніверсальна газова стала. Числове значення для R знайдемо з рівняння (2.2) при нормальних умовах:

Домножимо праву і ліву частину рівняння (2.2) на кількість речовини (). Врахувавши, що  молів займають об’єм у  разів більший від об’єму одного моля  одержимо

                                                                                         (2.3)

Співвідношення (2.3) – рівняння Менделєєва-Клапейрона. Це – друга форма запису рівняння стану ідеального газу.

Визначаючи з рівняння  масу “m газу і розділюючи одержаний вираз на об’єм, одержимо формулу для розрахунку густини газу

                                                                                               (2.4)

Введемо тепер сталу Больцмана

                                                      .                                              (2.5)

Підставляючи у праву частину (2.5) значення R та , одержимо

Виразимо тепер на основі рівності (2.5) універсальну газову сталу через k та NA і врахуємо, що  (число молекул). Маємо з рівняння (2.3):

За означенням число молекул в одиниці об’єму – це концентрація молекул:

                                                                                                (2.6)

. З урахуванням цього попередня рівність набуде вигляду

                                                                                                      (2.7)

Вираз (2.7) – третя форма запису рівняння стану ідеального газу (через концентрацію).

Відмітимо ще два факти, пов’язані з концентрацією: а) концентрація молекул ідеального газу за нормальних умов  називається сталою Лошмідта; б) густину газу можна розраховувати як добуток концентрації і маси однієї молекули  (це випливає з фізичного змісту величин  та n).

У випадку суміші газів число всіх молекул ,  – число молекул і-го сорту. Тоді рівняння (2.7) з урахуванням (2.6) дає

,

– концентрація молекул і-го сорту.  – парціальний тиск і-ї компоненти суміші, тобто тиск, який створював би даний (і-й) газ, якщо б він сам займав об’єм, рівний об’єму суміші при цій же температурі. Остаточно маємо

                                              (2.8)

тобто тиск суміші газів рівний сумі парціальних тисків (закон Дальтона).

Щоб розрахувати молярну масу суміші газів, розпишемо ліву і праву частину співвідношення (2.8), виходячи з рівняння Менделєєва-Клапейрона:

– відповідно маса та молярна маса і-ї компоненти суміші;  – маса та молярна маса суміші газів. З останнього рівняння маємо

                                                         або                   .                                        (2.9)

§ 2.3. Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії газів

Знайдемо рівняння, що пов’язує параметри стану ідеального газу тиск і об’єм з характеристикою руху його молекул – кінетичною енергією їх поступального руху.

Тиск розрахуємо за означенням як силу, що діє на одиницю площі стінки посудини перпендикулярно до неї за рахунок ударів молекул об стінку при їх хаотичному русі, а силу тиску – на основі 2-го закону Ньютона (через зміну імпульсу).

Нехай газ ідеальний однорідний, удари об стінку абсолютно пружні, число зіткнень молекул між собою зникаюче мале порівняно з числом зіткнень зі стінкою.

Виділимо на стінці малу площадку  (див. рис.2.1). При кожному нормальному пружному ударі молекула масою , що рухається зі швидкістю , змінює імпульс на

Для спрощення розрахунку приймемо, що модулі швидкостей молекул однакові, і замінимо мислено їх хаотичний рух рухом у трьох взаємно перпендикулярних напрямках, так що з усіх N молекул в об’ємі V посудини N частинок рухається в напрямку осі х, перпендикулярної до площадки. З цих 1/6 N молекул за деякий невеликий проміжок часу  до площадки доберуться лише частинок, де  – число молекул, що знаходяться в циліндрі об’ємом  з основою  та висотою  Їх є  бо концентрація молекул n за рахунок хаосу однакова у всіх місцях посудини. Отже  Ці  молекул при зіткненні з площадкою призведуть до зміни її імпульсу, причому

(модулі зміни імпульсу стінки і зміни імпульсу молекул рівні на основі закону збереження імпульсу).

Середня за час  сила тиску .

Тиск              

де  – кінетична енергія поступального руху однієї молекули газу.

Якщо врахувати, що модулі швидкостей молекул різні, то кінцевий результат матиме вигляд

                                                                             (2.10)

(символ  позначає середнє значення відповідної величини). Ця ж формула одержиться, якщо не замінювати хаотичний рух у всіх напрямках рухом у трьох взаємно перпендикулярних напрямках. Співвідношення (2.10) – основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії (м.к.т.) газів.

§ 2.4. Середня квадратична швидкість молекул. Молекулярно-кінетичне тлумачення температури

В основне рівняння м.к.т. газів входить середня кінетична енергія поступального руху однієї молекули газу

                                      ,                         (2.11)

де середній квадрат швидкості молекули

.

Введемо за означенням середню квадратичну швидкість молекули

                                       .                                        (2.12)

З урахуванням останнього вираз (2.11) запишемо так:

                                    .                                   (2.13)

Порівняємо тепер співвідношення (2.10) і (2.7). Маємо

        

або                                   .                         (2.14)

Звідси видно, що  прямопропорційна абсолютній температурі газу і залежить лише від неї. Значить температура є мірою середньої кінетичної енергії поступального руху молекул ідеального газу; саме формула (2.14) дала можливість такого молекулярно-кінетичного трактування абсолютної температури. Оскільки температура – міра середньої величини енергії, то про температуру однієї чи кількох молекул не говорять. При  , тобто при абсолютному нулю температури припиняється поступальний рух молекул, а, отже, зникає тиск газу, що спричиняється ударами молекул об стінки посудини. Однак досягти абсолютного нуля неможливо.

Оскільки величина  не залежить від маси молекули, то стає зрозумілим, чому в суміші газів окремі компоненти створюють незалежно парціальні тиски (див. закон Дальтона).

Знайдемо тепер формулу для розрахунку величини середньої квадратичної швидкості хаотичного теплового руху молекул газу. Для цього прирівняємо праві частини співвідношень (2.13) і (2.14):

                                      ,                  звідки              

                                       .                                           (2.15)

Оскільки , а , то поділивши останнє рівняння на попереднє, маємо . Тоді

                                        .                                          (2.16)

Якщо вираз (2.15) дозволяє розрахувати  через масу молекули газу , то (2.16) – через молярну масу . Розрахунок на основі (2.16), наприклад, для азоту за нормальних умов дає , для водню – 2000м/с.

Виведемо ще одну форму запису основного рівняння м.к.т. газів. Домноживши рівняння (2.10) на об’єм V, маємо

.

Але nV=N (див. означення (2.6)), а згідно з виразом (2.11) з урахуванням означення

       ,      тому

.

У свою чергу  – це кінетична енергія поступального руху і-ї молекули газу, а  – кінетична енергія поступального руху всіх молекул газу , тому остаточно

                                             .                                     (2.17)

§ 2.5. Розподіл Максвела молекул за швидкостями та енергіями

Молекули газу рухаються хаотично, весь час змінюючи при зіткненнях величини і напрямки своїх швидкостей. У зв’язку з величезною кількістю молекул (див., напр., сталу Лошмідта) навіть у малому об’ємі неможливо встановити ні теоретично, ні дослідним шляхом, з якою швидкістю рухається кожна молекула в даний момент часу. Говорять, наприклад, про середню квадратичну швидкість, введену в попередньому параграфі, чи про середню арифметичну швидкість хаотичного теплового руху молекул

(позначення стандартні). При цьому виникає таке питання: чи є середня квадратична або середня арифметична швидкість переважною швидкістю руху? Чи, може, більша частина з усіх N молекул, що знаходяться в деякому об’ємі, характеризується якоюсь іншою переважною швидкістю руху? Таку задачу для ідеального газу розв’язав теоретично Максвел (1860 р.). Він знайшов з допомогою методів теорії ймовірностей такий розподіл молекул за швидкостями:

                       .                 (2.18)

Тут dNчисло молекул газу, швидкості яких лежать в інтервалі від  до .

функція розподілу молекул за швидкостями. Вона показує відносну кількість молекул, швидкості яких при даній температурі перебувають в одиничному інтервалі біля значення швидкості .

Розподіл Максвела можна записати наближено в інтегральній формі (замінивши значки диференціалів d значками скінчених приростів ), але лише для вузького інтервалу  швидкостей, в котрому можна вважати функцію f постійною. Тоді

при ,

– число молекул, що рухаються з швидкостями, модулі яких в інтервалі від  до .

Досліджуючи функцію  на екстремум, одержують, що при деякому значенні  (або ) вона має максимум. Величину називають найімовірнішою швидкістю хаотичного теплового руху молекул газу. З використанням введеного позначення розподіл Максвела (2.18) записується простіше:

.

Функція розподілу  графічно подана на рис.2.2. З ростом температури положення максимуму зміщується вправо (адже ); одночасно крива “осідає” так, що площа під нею залишається постійною (і рівною одиниці, як для всякої функції розподілу ймовірностей).

Користуючись розподілом Максвела, можна розрахувати середню арифметичну швидкість молекул, введену вище:

Аналогічно

і далі на основі означення (2.12) одержуємо вираз (2.15) для розрахунку середньої квадратичної швидкості молекул.

Оскільки  то маємо порівняння швидкостей .

Ще одна форма запису розподілу (2.18), через відносну швидкість :

,         .

Іноді розподіл Максвела записують не через число молекул (N), а через концентрацію (n); оскільки dN/N=dn/n, то  – та ж функція.

Переходячи від швидкостей до кінетичних енергій поступального руху молекул (шляхом заміни змінної  на змінну  ,   , одержують розподіл молекул за їх кінетичними енергіями

,

– число молекул, кінетична енергія поступального руху яких має значення в межах від  до .

Розподіл Максвела надійно підтверджений дослідом. Вперше це було зроблено Штерном (1920 р.). По осі двох коаксіальних циліндрів (див. рис. 2.3) була натягнута платинова нитка, покрита сріблом. По нитці пропускався електричний струм, внаслідок чого атоми Ag випаровувалися і рухалися в різних напрямках зі швидкостями, що відповідали температурі нитки. У внутрішньому циліндрі було зроблено вузьку вертикальну щілину, через яку атоми могли досягати поверхні другого циліндра, де осідали. Всю установку обертали навколо осі з деякою кутовою швидкістю. Пучок атомів відхилявся при цьому (діяла сила Коріоліса в системі відліку, зв’язаній з циліндрами, різна для різних швидкостей атомів). Асиметричний розподіл атомів срібла на стінці зовнішнього циліндра нагадує розподіл Максвела.

§ 2.6. Барометрична формула. Розподіл Больцмана частинок у потенціальному полі

Атмосферний тиск на висоті h над Землею зумовлений вагою шарів повітря, що знаходяться на більших від h висотах. Позначимо тиск на висоті h через р. Тоді

                                              ,                                                  (2.19)

Fвага циліндричного стовпа повітря, Sплоща основи циліндра (див. рис.2.4). На висоті h+dh тиск буде p+dp, причому на основі виразу (2.19)

.

Із збільшенням висоти h вага верхнього стовпа повітря зменшується , а вага нижнього стовпчика (заштрихованого на рис. 2.4) зростає на стільки ж . Тому .

Далі

             ,

де dmмаса молекул повітря в заштрихованому елементарному об’ємі dV, gприскорення вільнопадаючих тіл,  – густина повітря на висоті h. Видно, що при виведенні співвідношення 

                                                                                    (2.20)

зміною  і g в об’ємі dV знехтувано.

Повітря мало відрізняється від ідеального газу при звичайних умовах, тому

                                                                                                (2.21)

(див. формулу (2.4) з відповідними позначеннями). Молярна маса повітря  (визначена на основі співвідношення (2.9) з урахуванням процентного вмісту азоту, кисню та інших газів).

Підставимо вираз (2.21) у рівняння (2.20) і одержане співвідношення розділимо на р. В результаті маємо

.

Будемо вважати нижче величини Т і g незалежними від h (таке допущення годиться для невеликих висот). Тоді останнє рівняння є диференціальним рівнянням з розділеними змінними. Інтегруючи його, маємо

,

с – деяка постійна величина. Потенціюємо тепер одержане співвідношення і одержимо

.

Нехай на поверхні Землі (h=0)  p=p0. Тоді с=р0 і остаточно маємо

                                                   .                 (2.22)

Формула (2.22) називається барометричною. З неї випливає, що тиск газу зменшується з висотою за експоненціальним законом, причому тим швидше, чим важчий газ і чим нижча температура. Залежність атмосферного тиску від висоти графічно відображена на рис.2.5. Оцінка на основі виразу (2.22) дає, що при підйомі на 6 км тиск падає приблизно у два рази.

Виразимо тепер у формулі (2.22) тиск через концентрацію молекул на основі рівняння стану (2.7):

            

( тут концентрація молекул на висоті , а не стала Лошмідта!). Перейдемо також від молярної маси до маси однієї молекули за відомим зв’язком . Тоді матимемо

                                              .                                  (2.23)

Останній вираз дає розподіл концентрації молекул в залежності від висоти над Землею, а саме: із збільшенням висоти концентрація зменшується. Якби абсолютна температура була рівна нулю, то концентрація молекул в атмосфері теж була б рівною нулю, всі вони упали б на Землю під дією сили тяжіння. Саме хаотичний тепловий рух молекул утримує атмосферу.

На висоті h кожна молекула володіє у полі тяжіння потенціальною енергією , тому співвідношення (2.23) можна записати ще так:

                                               .                                      (2.24)

Молекули розміщуються густіше там, де менша їх потенціальна енергія. Больцман довів, що розподіл частинок за їх потенціальними енергіями (2.4) є універсальним, тобто годиться для будь-якого потенціального поля сил, а не лише для поля тяжіння. Тому вираз (2.24) називають розподілом Больцмана.

§ 2.7. Внутрішня енергія системи. Теплота і робота

Під внутрішньою енергією системи розуміють сумарну енергію частинок, з яких складається система. Сюди входить кінетична і потенціальна енергія молекул, енергія коливальних рухів атомів у молекулах, енергія електронних оболонок в атомах та іонах і внутрішньоядерна енергія. До внутрішньої не відноситься енергія системи як цілого, яку вона може мати в результаті механічного руху або взаємодії з іншими системами.

Внутрішня енергія є функцією стану системи, тобто змінюється із зміною стану системи і однозначно визначається тими самими параметрами, що й стан системи. Внутрішня енергія не залежить від способу, яким система переводиться з одного стану в інший. Це випливає із закону збереження і перетворення енергії, бо інакше, якби внутрішня енергія залежала від способу переходу системи з одного стану в інший, це означало б, що можна дістати енергію з нічого.

У термодинаміці практичне значення має не сама енергія, а її зміна з переходом системи зі стану в стан. У межах термодинамічних процесів внутрішня енергія змінюється тільки за рахунок зміни енергії теплового руху (тобто кінетичної енергії) частинок речовини та їх потенціальної енергії взаємодії. Енергія електронних оболонок атомів та іонів і внутрішньоядерна енергія при цьому залишаються незмінними і не становлять будь-якого інтересу. Тому вужче під внутрішньою енергією в термодинаміці розуміють лише сумарну енергію теплового руху частинок речовини та їх потенціальну енергію взаємодії.

Внутрішню енергію системи можна змінювати двома способами: виконанням механічної роботи і шляхом теплообміну. Наприклад, тиск газу в циліндрі під поршнем і, відповідно, енергію газу можна збільшити або переміщенням поршня і виконанням макроскопічної роботи над газом, або нагріванням газу при нерухомому поршні, тобто завдяки теплообміну газу з нагрівником через дно чи стінку циліндра. При теплообміні зміна внутрішньої енергії зумовлена тим, що окремі молекули гарячого тіла виконують роботу (мікроскопічну) над окремими молекулами холодного тіла. Теплообмін може відбуватися і через дотик тіл, і на відстані, за допомогою електромагнітного випромінювання (наприклад, між Сонцем і Землею). В загальному випадку теплообмін – це сукупність мікроскопічних процесів, що призводять до передачі енергії від тіла до тіла. Величина енергії хаотичного теплового руху молекул, що передається від одного тіла до другого шляхом теплообміну, називається кількістю теплоти. Таким чином, кількість теплоти є мірою процесу теплообміну, мірою зміни енергії невпорядкованого руху. Механічна робота (фізична величина) є мірою зміни і енергії впорядкованого руху (механічної енергії), і енергії невпорядкованого руху (внутрішньої енергії) тіл. Як робота, так і кількість теплоти не є функцією стану системи і має зміст лише у процесі перетворення (зміни) енергії.

Часто плутають поняття кількості теплоти з поняттям теплової енергії. Останнє – це сумарна енергія теплового руху частинок у тілі (частина внутрішньої енергії тіла), вона є функцією температури. Наприклад, вода і її пара при температурі кипіння мають однакову теплову енергію, хоча щоб перевести рідину в пару, треба надати їй деякої кількості теплоти. Ця кількість теплоти є мірою збільшення внутрішньої енергії пари, а не теплової енергії системи рідина-пара.

Кількість теплоти і робота, як величини, що визначають зміну внутрішньої енергії системи, у реальних процесах можуть бути взаємно зв’язаними і визначати одна одну.

§ 2.8. Робота розширення (стискання) газу

Розрахуємо роботу, що виконується газом при зміні його об’єму. Нехай газ поміщений в циліндричну посудину під тісно підігнаним поршнем, що може легко рухатися (рис. 2.6). З боку газу на поршень діє сила тиску F=pS, де р – тиск, S – площа основи поршня. Якщо газ, розширюючись, перемістить поршень на відстань , то він виконає елементарну роботу  або . Але  – елементарний приріст об’єму газу, тому остаточно

                                              .                                      (2.25)

Роботу скінченого приросту об’єму газу від  до  знаходимо як суму елементарних робіт

                                                .                                      (2.26)

У випадку стискання газу напрямки сили  та переміщення поршня протилежні і , . Приріст об’єму тепер теж від’ємний. Таким чином, вирази (2.25) та (2.26) годяться і у випадку стискання газу.

Зобразимо графічно залежність тиску газу від об’єму у процесі зміни останнього (діаграма p-V, рис.2.7). Виходячи з геометричного змісту інтегралу маємо, що робота газу, розрахована за формулою (2.26), чисельно рівна площі фігури, заштрихованої на рис. 2.7.

Застосуємо тепер вираз (2.26) до ізопроцесів. У випадку ізохорного процесу А=0, бо dV=0. При ізобарному процесі dp=0 і тиск можна винести з-під знаку інтегралу. Тоді маємо

.

Якщо використати рівняння Менделєєва-Клапейрона  то маємо . Тоді робота ізобаричного розширення 1-го моля ідеального газу матиме вигляд . Звідси .

На основі останньої формули маємо фізичний зміст універсальної газової сталої: універсальна газова стала рівна роботі ізобаричного розширення одного моля ідеального газу при нагріванні його на один кельвін.

У випадку ізотермічного процесу dT=0. Тиск у формулу (2.26) підставимо з рівняння Менделєєва-Клапейрона  і, винісши сталі величини, виконаємо інтегрування:

.

Остаточно                                                .                        (2.27)

Вираз (2.27) можна записати через відношення тисків, якщо скористатися законом Бойля-Маріота :

.

§ 2.9. Перше начало термодинаміки та його застосування до ізопроцесів

В термодинаміці розглядають тільки такі системи для яких механічна енергія системи як цілого не змінюється. За рахунок виконаної над системою роботи  та переданої їй кількості теплоти  змінюється лише внутрішня енергія термодинамічної системи :

                                          .                                         (2.28)

Тут  – приріст внутрішньої енергії  та  – початкове та кінцеве значення внутрішньої енергії). Співвідношення (2.28) відображає закон збереження і перетворення енергії стосовно теплових процесів.

На відміну від механіки, де частіше приходилося обчислювати роботу зовнішніх сил, в термодинаміці, в основному, мають справу з роботою системи проти зовнішніх сил (А). Саме у зв’язку з цим ці величини тут перепозначені. Перейдемо тепер у рівнянні (2.28) від  до  ( на основі третього закону Ньютона) і розв’яжемо одержане рівняння відносно Q:

                                                                                     (2.29)

або в диференціальній формі

                                           .                                     (2.30)

– елементарна кількість теплоти, так само як  – елементарна робота;  – елементарний приріст внутрішньої енергії.

Співвідношення (2.29) (чи (2.30)) є математичним виразом першого начала (закону, принципу) термодинаміки. Формулювання цього принципу: кількість теплоти, наданої системі ззовні, витрачається на роботу системи проти зовнішніх сил і на збільшення внутрішньої енергії системи.

Не треба думати, що завжди за рахунок одержаного тепла внутрішня енергія системи збільшується. Може бути, що ; при цьому на основі (2.29) , тобто система виконує роботу як за рахунок одержаного тепла, так і за рахунок запасу внутрішньої енергії. Як і робота А, так і кількість теплоти Q є величина алгебраїчна: Q<0 означає, що система віддає тепло зовнішньому середовищу (холодильнику), а Q>0 означає, що система одержує тепло від нагрівника. Як і у випадку роботи, для кількості теплоти не можна писати , бо останнє означало б, що значок варіації  еквівалентний значку диференціала d, тобто що Q є функцією стану системи. Правильним є запис  (сума елементарних кількостей теплоти рівна повній кількості теплоти). Тепер є очевидним, що інтегральна форма запису 1-го принципу термодинаміки (2.29) одержується з диференціальної (2.30), якщо останню проінтегрувати для деякого процесу, початок якого формально позначити “1”, а кінець – “2”:

.

Якісне формулювання 1-го принципу термодинаміки: неможливо побудувати періодично діючий двигун, який виконував би роботу більшу, ніж кількість переданої йому ззовні енергії (вічний двигун І-го роду неможливий).

Тепловий двигун, про який іде мова в якісному формулюванні принципу, це пристрій, що перетворює внутрішню енергію в механічну (“теплоту в роботу”). Основні частини такої установки – робоче тіло (газ, пара), нагрівник і холодильник. Періодично діючий двигун такий, що внаслідок процесу робоче тіло повертається за період до вихідного (початкового) стану; тоді  і  на основі (2.29).

Застосуємо тепер 1-й принцип термодинаміки до ізопроцесів в ідеальному газі. Оскільки для ізохорного процесу , то з рівняння (2.29) маємо, що . Значить, при ізохорному процесі кількість теплоти, одержана газом ззовні, йде на збільшення внутрішньої енергії газу. При цьому температура газу підвищується (в наступному параграфі буде показано, що внутрішня енергія ідеального газу прямопропорційна абсолютній температурі).

У випадку ізобаричного розширення ідеального газу  (див. попередній параграф); оскільки  теж додатнє, бо , то на основі (2.29) . Температура газу зростає. 1-й принцип термодинаміки для ізобаричного процесу формулюється як у загальному випадку.

Для ізотермічного процесу робота газу розраховується за формулою (2.27). Оскільки , то  і вираз 1-го принципу (2.29) зводиться до наступного : . Це означає, що при ізотермічному процесі кількість теплоти, одержана газом ззовні, йде на роботу газу проти зовнішніх сил.

§ 2.10. Середня кінетична енергія молекул. Внутрішня енергія ідеального газу

Найменше число незалежних величин, які визначають положення системи у просторі, називається числом ступенів вільності системи. Наприклад, матеріальна точка має три ступені вільності, бо досить трьох координат x, y, z, щоб задати її положення. Система з N незалежних (або нежорстко зв’язаних) матеріальних точок має 3N ступенів вільності. Система з двох жорстко зв’язаних точок має п’ять ступенів вільності. Всякий жорсткий зв’язок, що закріплює відстань між двома точками, зменшує число ступенів вільності на одиницю. Тому система з трьох і більше жорстко зв’язаних матеріальних точок з нелінійним розміщенням має шість ступенів вільності. Три з них відповідають поступальному руху центра мас і ще три – обертальному руху системи навколо трьох взаємно перпендикулярних осей.

Молекули в першому наближенні можна розглядати як систему з жорстко зв’язаних матеріальних точок-атомів. При цьому число ступенів вільності для одноатомних молекул і=3, для двохатомних – і=5, для трьох і більше атомних – і=6.

У класичній статистичній фізиці Больцманом доведена теорема, що називається законом рівномірного розподілу кінетичної енергії молекул за ступенями вільності. Формулювання цього закону: на кожний ступінь вільності молекули в середньому припадає однакова кінетична енергія, рівна 1/2 kТ. Це означає, що молекула, яка характеризується числом ступенів вільності “і”, має середню кінетичну енергію

                                              .                                         (2.31)

Наприклад, для одноатомної молекули ця величина рівна 3/2 kT, що співпадає з середньою кінетичною енергією поступального руху (див. формулу (2.14)).

Займемося тепер розрахунком внутрішньої енергії ідеального газу. Молекули ідеального газу не взаємодіють між собою, тому для такої системи внутрішня енергія співпадає з сумарною кінетичною енергією молекул. Внутрішня енергія одного моля ідеального газу . Якщо врахувати тепер вираз (2.31) та означення сталої Больцмана (2.5), то одержуємо . Внутрішня енергія довільної кількості ідеального газу . Остаточно

                                             .                                        (2.32)

§ 2.11. Теплоємність газів. Недоліки класичної теорії теплоємностей

Теплоємність тіла – це фізична величина, що чисельно рівна кількості теплоти, яку необхідно надати тілу, щоб підвищити його температуру на один кельвін.

Питома теплоємність – це теплоємність одиниці маси речовини, тобто вона рівна кількості теплоти, яку необхідно надати одиниці маси речовини, щоб підвищити її температуру на один кельвін:

                                              ,                                           (2.33)

– елементарна кількість теплоти, що надається речовині, mмаса речовини, dTелементарний приріст температури. .

Молярна теплоємність – теплоємність одного моля речовини, тобто кількість теплоти необхідна для нагрівання одного моля речовини на один кельвін:

                                              ,                                           (2.34)

– кількість речовини. . Завваживши, що  ( – молярна маса), з порівняння формул (2.33) і (2.34) маємо зв’язок молярної теплоємності з питомою

                                           .                                             (2.35)

Теплоємність (питома чи молярна) є характеристикою речовини. Однак, виявляється, вона залежить ще й від процесу, тобто від умов нагрівання тіла. Покажемо це. Розрахуємо молярну теплоємність ідеального газу при сталому об’ємі . З цією метою запишемо математичний вираз 1-го начала термодинаміки для ізохорного процесу . Приріст внутрішньої енергії знайдемо, продиференціювавши співвідношення (2.32):

.

Тепер формула (2.34) дає

.

Остаточно

                                               .                                       (2.36)

Зазначимо попутно, що тепер вираз (2.32) для внутрішньої енергії ідеального газу можна записати у формі

                                               .                                      (2.37)

У випадку ізобаричного процесу вираз 1-го начала термодинаміки такий:

.

Елементарну роботу  розрахуємо, виходячи з формули (2.25) і продиференціювавши рівняння Менделєєва-Клапейрона (2.3) за умови p=const:

.

Тепер на основі означення (2.34) маємо для молярної теплоємності ідеального газу при сталому тиску

.

Взявши до уваги формулу (2.36), одержуємо

                                          .                                     (2.38)

Співвідношення (2.38) відоме як рівняння Майєра; воно дає зв’язок між молярними теплоємностями ідеального газу при сталому тиску та при сталому об’ємі.

З виразів (2.36) та (2.38) випливає, що: 1) ; 2)  та  не залежать від температури. Такі самі висновки робимо і відносно питомих теплоємностей (з огляду на зв’язок (2.35).

Експерименти показали, що результати розрахунків близькі до істинних лише для одно- і двоатомних газів і то лише в невеликих температурних інтервалах (в області кімнатних температур). На рис.2.8 подано графічно залежність  від Т для водню (число ступенів вільності і=5), одержану дослідним шляхом. Графік свідчить, що класична теорія теплоємностей справджується лише в окремих інтервалах середніх температур. В деякій області низьких температур молекули водню ведуть себе як системи, які мають лише ступені вільності поступального руху (рівень  на рис.). З подальшим зниженням температури поступальний рух молекул стихає (“вимерзає”) і  при . При високих температурах проявляються ступені вільності, пов’язані з коливанням атомів всередині молекул (подана вище теорія цього не враховує). Правильне тлумачення результатів експерименту буде подано у квантовій теорії теплоємностей.

§ 2.12. Адіабатичний процес. Рівняння Пуасона

Адіабатичним (або адіабатним) називається процес, що протікає без теплообміну з навколишнім середовищем. Умова такого процесу:  (або Q=0). Застосовуючи до адіабатичного процесу 1-й принцип термодинаміки (2.29), маємо

                                            ,                                                (2.39)

тобто при адіабатичному розширенні газ виконує роботу за рахунок запасу його внутрішньої енергії. При цьому ідеальний газ охолоджується. Дійсно, взявши до уваги вираз для внутрішньої енергії (2.37), маємо

                                      .                                      (2.40)

Звідси бачимо, що при розширенні газу (A>0) приріст температури , в чому і треба було переконатися. Описане явище –– спосіб отримання низьких температур.

Вираз (2.40) дозволяє розрахувати роботу ідеального газу при адіабатичному процесі. Якщо використати рівняння Менделєєва-Клапейрона, то цю роботу можна виразити через параметри p та V.

Щоб здійснити адіабатичний процес, треба надійно теплоізолювати систему або здійснювати його дуже швидко, щоб теплообмін практично не встигав відбутися. Другий з цих варіантів зустрічається у природі. Наприклад, величезні маси атмосферного повітря, нагріваючись біля поверхні Землі, піднімаються вгору, потрапляють в області нижчих тисків і розширюються. Цей процес адіабатичний, бо через погану теплопровідність повітря теплообміном при цьому можна знехтувати. Виконуючи роботу розширення проти зовнішнього тиску, повітря охолоджується, а водяна пара перетворюється в насичену й конденсується (хмари).

Згущення і розрідження, що утворюються у звуковій хвилі в газах, – це також по суті процеси адіабатичного стиснення і розширення газу. Оскільки швидкість поширення звуку немала (340 м/с при кімнатних температурах), процеси тут відбуваються так швидко, що за цей короткий час теплообміном можна знехтувати.

Приступимо тепер до виведення рівняння адіабати. За основу беремо вираз 1-го принципу термодинаміки для цього процесу (в диференціальній формі (2.30)):

                                        .                                           (2.41)

Розпишемо ліву і праву частину цього рівняння. Елементарну роботу  розрахуємо на основі формули (2.25), причому тиск підставимо, взявши його з рівняння Менделєєва-Клапейрона (2.3):

.

Елементарний приріст внутрішньої енергії dU запишемо, продиференціювавши вираз (2.37):

.

Тепер замість (2.41) маємо

.

Поділимо далі останнє рівняння на добуток  і одержимо

                                          .                               (2.42)

Коефіцієнт  запишемо, виразивши газову сталу через різницю  з рівняння Майєра (2.38):

, 

де введено позначення                                      .                                    (2.43)

Тепер співвідношення (2.42) приймає вигляд

.

Оскільки , то наше рівняння запишеться у формі

або .

Звідси випливає, що

або                                              .                                 (2.44)

Співвідношення (2.44) є рівнянням адіабати або рівнянням Пуасона. Параметр , введений вище, називається показником адіабати або коефіцієнтом Пуасона. Для повітря, наприклад,  (у сухому повітрі 99 % двохатомних молекул!). В загальному випадку , оскільки .

Визначаючи абсолютну температуру з рівняння Менделєєва-Клапейрона і підставляючи одержаний вираз у співвідношення (2.44), одержимо іншу форму запису рівняння Пуасона:

                                          .                                         (2.45)

Згадаємо, що рівняння ізотерми . Порівняння двох останніх виразів приводить до висновку, що адіабата графічно “крутіша” від ізотерми (див. рис.2.9).

Якщо з рівняння Менделєєва-Клапейрона або з рівняння (2.45) визначити об’єм V і підставити одержаний вираз у (2.44), то матимемо третю форму запису рівняння Пуасона

       .         (2.46)

Зауваження: 1) рівняння Пуасона (2.44–46) правильні за умови, що кількість газу  (чи його маса) незмінні під час процесу; 2) величини “const” у всіх виписаних рівняннях різні.

§ 2.13. Оборотні та необоротні процеси. Цикли 

Термодинамічний процес, що є неперервною послідовністю рівноважних станів, називається рівноважним (або квазістатичним). Якщо рівноважні стани на діаграмах (p-V чи p-T, чи V-T) зображають точками, то рівноважному процесу відповідає деяка крива, що проходить через ці точки.

Термодинамічний процес називається оборотним, якщо при виконанні його системою спочатку у прямому, а потім у зворотному напрямку, система і зовнішнє середовище повертаються у вихідний стан. Всякі інші процеси – необоротні. Можна показати, що критерієм оборотності процесу є його рівноважність.

Оборотні процеси – ідеалізовані, до них реальні процеси лише можуть наближатися. Так, механічні процеси були б оборотними, якби не було тертя і не перетворювалася б механічна енергія у внутрішню. Всі реальні процеси, що супроводяться тертям, теплопровідністю або випромінюванням, є необоротними.

Коловим (круговим) процесом або циклом називають таку послідовність процесів, після завершення якої система повертається до початкового стану. На повторенні відповідних циклів грунтується неперервна дія кожної теплової машини (двигуна). Тому в колових процесах нас цікавитиме насамперед робота, яку виконує система в результаті виконання циклу. Речовину, над якою здійснюється коловий процес, називають робочим тілом.

На діаграмі p-V цикл зображається у вигляді деякої замкнутої кривої (на рис. 2.10 крива АВСDА). Першій частині циклу (крива АВС) відповідає розширення робочого тіла, воно виконує позитивну роботу, що чисельно рівна площі фігури , заштрихованій вертикальними лініями. У другій частині циклу, коли робоче тіло стискається, система виконує негативну роботу (робота виконується над системою!), що чисельно дорівнює площі фігури , заштрихованій горизонтальними лініями. Механічна робота А, виконана робочим тілом за цикл, чисельно дорівнює площі фігури АВСDА.

Очевидно, що для циклу зміна внутрішньої енергії робочого тіла рівна нулю. Тому на основі 1-го принципу термодинаміки одержується, що Q=A, тобто робота системи за цикл виконується за рахунок кількості теплоти, одержаної ззовні. Треба пам’ятати при цьому, що сам процес передавання теплоти від нагрівника до робочого тіла не супроводиться виконанням роботи (немає переміщення). Робота може виконуватися в результаті взаємодії робочого тіла з іншим тілом. Саме завдяки цій взаємодії відбувається стискання робочого тіла в другій частині циклу. Далі буде з’ясовано, що здійснити такий циклічний процес, при якому теплота, одержана від нагрівника, повністю перетворюється в механічну роботу, взагалі неможливо.

Розглянутий нами цикл АВСDА – прямий; робоче тіло виконує позитивну роботу (A>0 і Q>0). Так працює теплова машина. Цикл виконаний у зворотному напрямку (АDСВА на рис.),– зворотний. Легко переконатися, що у випадку зворотного циклу буде виконана робота (–А). У відповідності з 1-м началом термодинаміки тоді Q<0, тобто робоче тіло передає теплоту зовнішнім тілам. Маємо справу з холодильною машиною. У холодильній машині робоче тіло виконує зворотний цикл.

§ 2.14. Цикл Карно. Максимальний ККД теплової машини

В якості прикладу колового процесу розглянемо цикл Карно, що складається з двох ізотермічних і двох адіабатичних процесів (див. рис.2.11). Звичайно мова йде про рівноважні процеси. Запропонований цикл – прямий оборотний.

У процесі 1-2 робоче тіло в тепловому контакті з нагрівником, температура якого ; воно одержує від нагрівника кількість теплоти , і ізотермічно розширюється, виконуючи роботу .

У процесі 2-3 відбувається адіабатичне розширення теплоізольованого тіла, воно виконує роботу за рахунок запасу внутрішньої енергії; температура тіла падає від  до .

У процесі 3-4 робоче тіло ізотермічно стискається, перебуваючи в контакті з холодильником, температура якого . Холодильнику віддається кількість теплоти . Робота тіла при цьому .

У процесі 4-1 робоче тіло знову теплоізольоване і адіабатично стискається, виконуючи роботу . Температура зростає від  до .

Введемо поняття коефіцієнта корисної дії (ККД)  теплової машини як відношення виконаної за цикл роботи А до одержаного (за цикл) тепла  від нагрівника:

                                             .                                                (2.47)

Оскільки зміна внутрішньої енергії тіла за цикл рівна нулю, то , де  – кількість теплоти, одержаної робочим тілом за цикл ззовні (від нагрівника та холодильника),

                або     ,     бо  .

Розрахуємо ККД ідеального циклу Карно (робоче тіло – ідеальний газ, а нагрівник і холодильник характеризуються безмежно великими теплоємностями, щоб їх температури під час процесу не могли змінюватися).  та , оскільки відповідні процеси ізотермічні, тому робота газу за цикл . Може здатися, що не врахована робота при адіабатичних процесах, але легко переконатися, що , бо  на основі формули (2.40), адже відповідні прирости температури рівні за величиною, але протилежні за знаком.

Запишемо тепер роботи  та  при відповідних ізотермічних процесах на основі формули (2.27) і маємо

Вияснимо далі зв’язок відношень  та . Для цього запишемо рівняння адіабати 2-3 та 4-1 за формулою (2.44):

Поділимо перше рівняння цієї системи на друге і одержимо

        або         .

Тепер для ККД ідеального циклу Карно маємо остаточно

                                           .                                        (2.48)

Аналіз співвідношення (2.48) показує, що:

1) завжди , бо одиниця могла б бути лише у двох випадках, при  та при , а такі температури практично недосяжні;

2) шлях підвищення ККД теплової машини – збільшення температури нагрівника.

Саді Карно довів також теорему: ККД циклу Карно максимальний і не залежить від природи робочого тіла та конструкцій ідеального теплового двигуна, він визначається лише температурами нагрівника і холодильника.

§ 2.15. Друге начало термодинаміки. Нерівність Клаузіуса

Перший принцип термодинаміки дає кількісне співвідношення для перетворення енергії з одних видів у другі. Другий принцип визначає умови, при яких ці перетворення можливі (визначає можливі напрямки процесів). Є кілька еквівалентних якісних формулювань 2-го принципу термодинаміки.

1. Формулювання У.Томсона (Кельвіна): неможливий процес, єдиним результатом якого є перетворення тепла, одержаного від нагрівника, в механічну роботу.

Інше формулювання: неможливий періодично діючий двигун, який виконував би роботу лише за рахунок охолодження навколишніх тіл (вічний двигун ІІ-го роду неможливий).

2. Формулювання Клаузіуса: неможливий процес, єдиним результатом якого є передача енергії у формі теплоти від холодного тіла до гарячого.

Щоб одержати кількісне формулювання 2-го принципу термодинаміки, скористуємося результатами аналізу ідеальної теплової машини Карно. Для ККД циклу Карно справджується рівність

                                                                        (2.49)

(позначення див. у попередньому параграфі).

Після елементарного перетворення цього співвідношення одержимо

                                          .                                        (2.50)

Відношення кількості теплоти до температури  називають зведеною теплотою. З рівності (2.50) випливає, що сума зведених теплот для циклу Карно рівна нулю.

Всякий інший оборотний цикл можна розглядати як суму безмежної кількості елементарних циклів Карно (для цього досить розбити заданий оборотний цикл рядом адіабат та ізотерм). Для кожного з елементарних циклів справджується рівність типу (2.50). Беручи суму зведених теплот для всіх елементарних циклів Карно, одержимо

                                                .                                          (2.51)

– елементарна зведена теплота (зведена теплота, що відповідає елементарній ділянці процесу); кружечок на символі інтегралу означає, що інтеграл береться по всьому циклу.

Якщо цикл необоротний, то на основі теореми Карно маємо замість (2.49):

.

Повторюючи міркування, які привели вище до співвідношення (2.51), одержимо для необоротного циклу

                                                .                                          (2.52)

Об’єднаємо тепер формули (2.51) і (2.52) в одну і одержимо нерівність Клаузіуса

                                              ,                                            (2.53)

котра є кількісним виразом 2-го принципу термодинаміки (знак рівності відповідає оборотним процесам, нерівності – необоротним процесам). Формулювання нерівності Клаузіуса: сума зведених теплот для будь-якого кругового термодинамічного процесу менша або рівна нулю.

§ 2.16. Ентропія. Закон зростання ентропії

Для оборотного термодинамічного циклу справджується рівність

(див. (2.51) з відповідним роз’ясненням). Але, якщо криволінійний інтеграл по замкнутому контуру рівний нулю, то існує така функція від змінних інтегрування, що повний диференціал від неї дорівнює підінтегральному виразу. Значить, для оборотного термодинамічного процесу  є повним диференціалом деякої функції S, тобто

                                              .                                            (2.54)

Введену таким способом функцію S називають ентропією. Вона визначається лише станом системи і не залежить від шляху, яким система прийшла в цей стан ( незалежно від виду оборотного процесу), тому кажуть, що ентропія є однією з функцій стану системи. Інакше: приріст ентропії тіла при рівноважному переході його з одного стану (А) в інший (В) визначається лише початковим і кінцевим станами тіла:

                                                       (2.55)

(співвідношення (2.55) одержується шляхом інтегрування рівності (2.54)).

Формули (2.54–55) дають прирости ентропії для оборотних процесів. Щоб знайти абсолютне значення S, треба скористуватися теоремою Нернста (третім принципом термодинаміки): ентропія тіла при Т=0 рівна нулю.

Ентропія системи рівна сумі ентропій усіх тіл, що входять у систему.

Оцінимо тепер зміну ентропії у випадку необоротного циклу. Нехай деякий цикл складається з двох процесів: необоротного АМВ та оборотного ANB (див. рис.2.12); в цілому він є необоротним.

На основі нерівності (2.52) для необоротного циклу

.

Але інтеграл по замкнутому контуру можна записати як суму інтегралів по окремих ділянках, тобто

     або                    (2.56)

(за рахунок зміни знаку перед інтегралом у правій частині (2.56) поміняли межі інтегрування).

на основі рівності (2.55), бо ANBоборотний процес. Тому нерівність (2.56) приймає вигляд

                                      .                                 (2.57)

Якби процес АМВ був оборотним, то у (2.57) замість знаку нерівності був би знак рівності (як у (2.55)). Тому для оборотних і необоротних процесів разом можна записати

.

Остання нерівність – по суті інша форма запису нерівності Клаузіуса і теж є кількісним виразом 2-го начала термодинаміки. У диференціальній формі її можна записати так:

(пам’ятаємо, що знак рівності відповідає оборотним процесам, а знак нерівності – необоротним). Ентропія в останніх нерівностях виступає як міра необоротності процесів.

Нехай термодинамічна система ізольована (не має теплообміну з навколишнім середовищем). Тоді  і остання нерівність зведеться до

                                                 .                                             (2.58)

Звідси бачимо, що ентропія ізольованої системи у випадку необоротного процесу зростає, у випадку оборотного – залишається незмінною.

Зазначимо, що в ізольованій системі самостійно протікають процеси, котрі ведуть до вирівнювання температури, тиску, густини, концентрації, тобто до стану рівноваги. Тому можна сказати, що ентропія системи в рівноважному стані є максимальною.

Твердження про те, що ентропія ізольованої системи не може зменшуватися, носить назву закону зростання ентропії. Математичний запис його – нерівність (2.58). Цей закон є одночасно одним із виразів 2-го начала термодинаміки.

§ 2.17. Статистичний зміст другого начала термодинаміки

Друге начало термодинаміки вказує на необоротність процесу перетворення внутрішньої енергії у механічну, тобто на необоротність перетворення хаотичного руху молекул газу у їх напрямлений рух. Якщо напрямлений рух молекул перетворюється у хаотичний повністю, то зворотний процес малоймовірний. Взагалі можна сказати, що всякий необоротний процес – це такий процес, зворотний до якого малоймовірний.

Якщо говорити про окремі стани термодинамічної системи, то можна відзначити, наприклад, велику ймовірність стану газу з рівномірним розподілом молекул по всьому об’єму. Імовірність стану з нерівномірним розподілом не рівна нулю, але менша від попередньої. В системі, що складається з великого числа частинок, “працюють ” закони математичної статистики. Процеси вирівнювання тиску, температури, густини в ізольованій системі багатьох молекул ведуть систему до найімовірнішого стану – стану термодинамічної рівноваги. При цьому ентропія системи збільшується і прямує до свого максимального значення. Ми підходимо до важливого висновку про те, що друге начало термодинаміки виражає статистичні закономірності, яким підлягає величезна сукупність молекул речовини.

Для конкретного термодинамічного стану (макростану) системи, який задається певними значеннями параметрів p, V, T, неважливо, наприклад, що молекула № 1 рухається справа наліво, а молекула № 1001 – знизу вверх чи навпаки. Так само стан усієї системи не залежить від того, чи молекула № 10 в даний момент часу має швидкість 500 м/с, а молекула № 2010 – швидкість 550 м/с, чи навпаки. Термодинамічна ймовірність стану системи (w) – це кількість способів (комбінацій) розподілу частинок системи за швидкостями і координатами, що відповідають даному макростану цієї системи. Больцман показав, що між ентропією системи і термодинамічною імовірністю її стану існує зв’язок

(kстала Больцмана). Тут ентропія виступає як міра ймовірності стану системи або як міра невпорядкованості системи.

З огляду на закон зростання ентропії записана формула Больцмана дозволяє так статистично тлумачити другий принцип термодинаміки: термодинамічна ймовірність стану ізольованої системи при всіх процесах, що відбуваються в ній, не може зменшуватися. Математично статистичний зміст 2-го начала записують так:

.

Якщо 1-ше начало термодинаміки є універсальним законом природи (законом збереження і перетворення енергії), то 2-ге начало – статистична закономірність, що годиться лише для системи з величезної, але скінченної кількості молекул.

У системах з незначною кількістю молекул або в безмежних системах просто не реалізуються рівноважні стани. У згаданих випадках можливі значні випадкові відхилення від рівномірного розподілу частинок по об’єму. Тоді густина (чи концентрація молекул) в різних місцях суттєво відрізняється від деякої середньої густини, що відповідає рівноважному стану системи при заданих Т і р. Такі випадкові відхилення фізичних величин від їх середніх значень називаються флуктуаціями цих величин.

У Всесвіті у зв’язку з його безмежністю можливі особливо великі і тривалі флуктуації, що не допускають стану рівноваги. Тому поширювати дію 2-го начала термодинаміки на Всесвіт (як і на вакуум) не можна. Незаконне застосування цього принципу до Всесвіту привело у свій час Клаузіуса до хибного висновку про неминучість вирівнювання температури всіх тіл у ньому і припинення всіх процесів (“теплова смерть” Всесвіту).

§ 2.18. Ефективний діаметр молекули. Середнє число зіткнень і середня довжина вільного пробігу

Для пояснення, наприклад, явища вирівнювання температури в ізольованій системі необхідно брати до уваги розміри молекул, бо у протилежному випадку молекули не зможуть стикатися і обмінюватися при цьому енергією теплового руху.

Мінімальна відстань, до якої зближуються при зіткненні центри двох молекул, називається ефективним діаметром молекули. Якщо уявляти молекули у вигляді жорстких кульок діаметром d (рис.2.13), то ефективний діаметр співпадає з діаметром кульок. Ближча до дійсності модель пружних кульок. Однак ці моделі грубі, бо насправді молекули не є кульками і відстань, до якої вони можуть зблизитися, залежить від їх енергії. Іншими словами, ефективний діаметр  залежить від температури (з ростом температури зменшується).

Середня відстань, яку проходить молекула за час між двома послідовними зіткненнями, називається середньою довжиною вільного пробігу молекули. Позначимо її символом . Якщо zсереднє число зіткнень однієї молекули з іншими за одиницю часу, то очевидно, що

                                                           ,                                  (2.59)

де  – середня швидкість (її модуль) теплового руху молекул (наприклад, середня арифметична швидкість хаотичного теплового руху у випадку газу).

Розрахуємо величину z для однорідного газу. Нехай одна з молекул рухається зі швидкістю , а всі інші нерухомі (рис.2.14). Під час руху ця молекула буде стикатися з усіма молекулами газу, центри яких знаходяться від траєкторії руху її центра на відстанях, що менші або дорівнюють . За одиницю часу вона проходить шлях, чисельно рівний , і зіткнеться з усіма молекулами, центри яких лежать всередині циліндра завдовжки  і радіусом основи . Якщо nконцентрація молекул, то середнє число зіткнень за одиницю часу (див. означення концентрації (2.6))

.

Точніший розрахунок величини z, коли брати до уваги рухи інших молекул, приводить до уточнення коефіцієнта в цій формулі:

                                           .         (2.60)

Якщо взяти , то при нормальних умовах для повітря (молярна маса 0,029 кг/моль) , , , тобто .

Повне число зіткнень всіх молекул, що знаходяться в одиниці об’єму, між собою

(коефіцієнт 1/2 , щоб не враховувати двічі попарні зіткнення). З урахуванням формули (2.60) вираз (2.59) приймає вигляд

.

Якщо підставити сюди n=p/(kT), взяте з рівняння стану ідеального газу (2.7), то бачимо що, при T=const середня довжина вільного пробігу молекули газу  обернено пропорційна до тиску. Оскільки величина  зменшується з ростом температури, то  при цьому збільшується.

Із зменшенням тиску газу  зростає; однак, коли ця величина стає співмірною з лінійним розміром посудини, то формула  стає неправильною , бо швидше молекули почнуть стикатися зі стінками посудини, ніж між собою. Цю область низьких тисків називають вакуумом, а газ – ультрарозрідженим. В області вакууму   не залежить від р (див. рис.2.15).

Зазначимо, що для кожної посудини величина  своя. Наприклад, якщо лінійний розмір посудини має порядок 10 см, то . При цьому молекул у посудині ще багато (концентрація ).

§ 2.19. Явища перенесення

Займемося тепер процесами, що виникають у системі при порушенні рівноваги. Наука, що вивчає такі процеси, називається фізичною кінетикою, вона базується на уявленні про молекулярну будову речовини і взаємодію молекул.

Всяке порушення рівноваги супроводжується виникненням потоку чи молекул, чи заряду, чи чогось іншого. Тому процеси, якими займається фізична кінетика, називаються процесами перенесення. Ясно, що процеси перенесення є необоротними. Нижче познайомимося з трьома явищами перенесення: дифузії, внутрішнього тертя і теплопровідності.

Явище дифузії полягає у взаємному проникненні і перемішуванні частинок речовини внаслідок неоднаковості густини чи різниці між концентраціями компонент суміші в різних місцях об’єму. Потік маси виникає в напрямку зменшення густини (чи концентрації). Явище описується емпіричним законом Фіка

.

Тут: m – маса речовини, що переноситься через перпендикулярну до напрямку перенесення поверхню площею ;  – час перенесення,  – градієнт*) густини в напрямку осі z (в напрямку перенесення речовини , з чим пов’язаний знак мінус у правій частині закону;  – густина речовини); D____________

*) Ця назва – данина традиції, в дійсності  – проекція градієнта на вісь z.

коефіцієнт дифузії, . Фізичний зміст параметра D: коефіцієнт дифузії чисельно рівний масі речовини, що переноситься через одиницю площі за одиницю часу при одиничному градієнті густини.

Закон Фіка можна записати ще через число молекул (N), що переносяться внаслідок існування градієнту концентрації dn/dz в напрямку осі z:

                                .                                        (2.61)

Остання форма запису одержується з попередньої, якщо скористатися зв’язком густини з концентрацією  та очевидною рівністю , де  – маса однієї молекули.

Явище внутрішнього тертя (в’язкості) пов’язане з виникненням сил тертя між шарами рідини чи газу, що переміщуються один відносно другого. Механізм явища – накладання хаотичного теплового руху молекул на направлений рух шарів. Для сили внутрішнього тертя справджується емпірично встановлений закон Ньютона

.

Тут: F – сила внутрішнього тертя (її модуль), що виникає між двома паралельними рухомими шарами речовини площею ,  – градієнт швидкості, що характеризує швидкість зміни швидкості  шарів речовини в напрямку осі z, перпендикулярної до напрямку руху шарів (див. рис.2.16);  – в’язкість (або динамічна в’язкість), . Знак “мінус” показує, що сила внутрішнього тертя сповільнює рух шару, при переході до якого  зростає  і навпаки – прискорює рух шару, котрий рухається повільніше.

На рис.2.16 вектори  та  – швидкості двох паралельних шарів;  – сила внутрішнього тертя, що діє з боку шару “2” на шар “1”,  – сила, що діє з боку шару “1” на шар “2”. Ясно, що .

Фізичний зміст коефіцієнта : в’язкість речовини чисельно рівна силі внутрішнього

тертя, що виникає між двома паралельними одиничної площі шарами рухомої рідини чи газу

при одиничному градієнті швидкості шарів у перпендикулярному до руху напрямку.

Зазначимо, що поряд з динамічною в’язкістю  зустрічається кінематична в’язкість    і пов’язана зі в’язкістю текучість .

Якщо вздовж осі z існує градієнт температури , то в напрямку зменшення температури виникає потік тепла через деяку поверхню площею , перпендикулярну до осі. Це – явище теплопровідності. Його описує закон Фур’є (теж емпіричний):

,

де Q – кількість теплоти,  – час протікання процесу,  – теплопровідність речовини . Механізм явища – передача енергії теплового руху молекул при їх зіткненнях. Фізичний зміст коефіцієнта : теплопровідність чисельно рівна кількості теплоти, що проходить через одиничну площадку за одиницю часу при одиничному градієнті температури. Зауваження: не треба плутати теплопровідність з температуропровідністю – мірою теплоінерційних властивостей речовини. Температуропровідність – це швидкість зміни температури речовини.

§ 2.20. Молекулярно-кінетична теорія явищ перенесення

Спробуємо одержати рівняння дифузії (закон Фіка), виходячи з молекулярно-кінетичних уявлень. Відразу зазначимо, що запропонований нижче розрахунок досить грубий, приблизний і стосується лише газів, в той час як установлений Фіком закон справедливий і для рідин, і для твердих тіл.

Нехай зміна концентрації молекул вздовж осі z описується функцією n(z). Позначимо число молекул, що пролітають за деякий невеликий проміжок часу  через площадку  в напрямку осі z, через ; те ж число для протилежного напрямку – через  (див. рис.2.17). За рахунок різниці цих чисел  створюється потік молекул через поверхню площею .

Будемо виходити зі спрощеної моделі, згідно з якою молекули газу рухаються у трьох взаємно перпендикулярних напрямках так, що в напрямку осі z через нашу площадку за проміжок часу  пролітають молекули, число яких , а у протилежному напрямку –  (див. подібну ситуацію в § 3). Тут  – деяка “ефективна” концентрація молекул зліва від площадки,  – справа від неї;  – середня швидкість хаотичного теплового руху молекул газу (газ вважаємо однорідним і всім молекулам приписуємо швидкість ). В якості візьмемо значення функції n(z) у площині, що на відстані середньої довжини вільного пробігу  від нашої площадки зліва (, а в якості – у площині, що на відстані  справа

( . Тоді маємо

.

Параметр  є дуже малою величиною (див. оцінку її в § 2.18), тому скористаємося означенням похідної

і подамо вираз для числа молекул N у вигляді

                                  .                                 (2.62)

Остання рівність правильна, якщо зміна функції n(z) на довжині вільного пробігу набагато менша від самої n(z), тобто . Виконання такої умови ”вимагає” використане нами означення похідної.

Порівняємо тепер співвідношення (2.62) і (2.61). Бачимо, що: 1) ми одержали закон Фіка; 2) попутно маємо явний вигляд коефіцієнта дифузії

.

В межах молекулярно-кінетичних уявлень про газ можна також одержати оцінки в’язкості і теплопровідності:

– питома теплоємність газу при постійному об’ємі,  – густина.

Коефіцієнти D,  і  є характеристиками речовини. Одночасно вони залежать від температури і тиску. Результати аналізу цієї залежності для газів подані графічно (рис.2.18).

Температурна залежність всіх трьох коефіцієнтів близька до  (ясно, що в кожного коефіцієнта своя крива). Залежність від тиску різна в області вакууму і поза нею.

§ 2.21. Реальні гази. Рівняння Ван-дер-Ваальса

При розгляді механізмів теплообміну, явищ перенесення ми зустрічалися з необхідністю відмовитися від моделі молекул-точок, які не можуть при зіткненнях обмінюватися імпульсами і енергіями. Згадувалися кращі моделі молекул – твердих, а потім пружних кульок. Остання модель ідеального газу найкраща. При цьому треба пам’ятати, що такі кульки не взаємодіють на відстані; вони відштовхуються за законами пружного удару лише при безпосередніх зіткненнях.

Реальні молекули складаються з атомів, останні, у свою чергу, – з ядер та електронних оболонок. Лінійні розміри ядер порядку . Атоми і молекули в цілому електронейтральні, бо негативний заряд електронної оболонки в атомі компенсується позитивним зарядом ядра. Однак заряди (їх носії) в атомі можуть бути розташовані несиметрично або асиметрія може виникати при взаємному зближенні молекул; вони при цьому поляризуються ( ), внаслідок чого притягаються. Сили притягання зростають із зменшенням відстані. На дуже близьких відстанях, коли електронні оболонки атомів стикаються (перекриваються), значно сильніше проявляються сили взаємного відштовхування цих оболонок. В цілому, залежність рівнодійної F сил міжмолекулярної взаємодії, що мають електричну природу, від відстані між молекулами можна зобразити графічно так, як на рис.2.19а. F>0 відповідає відштовхуванню, F<0 – притяганню молекул,  – положенню рівноваги системи (рівності сил відштовхування і притягання).

Теорія і дослід показують, що сили міжмолекулярного притягання () та відштовхування () дуже швидко зменшуються із зростанням відстані, але  значно швидше: , . На відстанях, більших від , дія сил міжмолекулярної взаємодії практично не проявляється. Тому цю відстань називають радіусом сфери міжмолекулярної взаємодії.

Внутрішня енергія реального газу крім енергії хаотичного теплового руху містить ще й потенціальну енергію взаємодії молекул (). Залежність останньої від відстані між молекулами схематично зображена на рис.2.19б. Положенню рівноваги сил відштовхування і притягання () відповідає мінімум потенціальної енергії взаємодії.

В реальних газах при звичайних умовах середні відстані між молекулами мають порядок , тому рівняння стану ідеального газу добре описує і реальний газ. Однак із збільшенням тиску відстані між молекулами зменшуються і починає проявлятися взаємодія. Результати розрахунків на основі рівняння Менделєєва-Клапейрона уже не відповідають експериментальним даним.

Ван-дер-Ваальс вніс до рівняння стану ідеальних газів поправки, які враховують сили притягання та розміри молекул. Одержане ним рівняння для одного моля газу має вигляд

                                                                (2.63)

або                                  (2.64)

Величини а та bсталі Ван-дер-Ваальса. Ці величини різні для різних газів і, взагалі кажучи, залежать від температури (але слабо, так що в цьому відношенні їх можна вважати сталими). Поправка  до тиску зумовлена силами міжмолекулярного притягання, які створюють додатковий внутрішній тиск. Поправка b враховує те, що молекули скінченного розміру не можуть наблизитися одна до другої на відстань, рівну нулю, навіть при безмежно великому тиску. Фактично вона враховує наявність сил відштовхування. Обидві сталі визначають експериментальним шляхом. Теорія не дає строгого виводу формул для них. Якщо вважати молекули твердими кульками з діаметром d, то оцінка величини b дає почетверений об’єм молекул у молі газу: , де  – об’єм однієї молекули, так що добуток  рівний власному об’єму одного моля молекул.

З рівняння (2.63) видно, що  та . Значення сталих а та b або безпосередньо пов’язаних з ними величин подаються в довідниках.

Рівняння Ван-дер-Ваальса для довільної маси газу одержують із (2.63), помноживши праву і ліву частини цього співвідношення на кількість речовини і врахувавши, що

                         .                             (2.65)

Зазначимо, що рівняння Ван-дер-Ваальса краще описує реальні гази, ніж рівняння Менделєєва-Клапейрона, але воно все одно наближене, і при надвисоких тисках теж не годиться. Система, що добре описується рівнянням (2.65), називається вандерваальсівським газом.

§ 2.22. Ізотерми Ван-дер-Ваальса. Метастабільні стани. Критична точка

Рівняння (2.64) є кубічним відносно об’єму. Воно має три корені і на діаграмі pV при сталій температурі зображається кривою 3-го порядку, що називається ізотермою Ван-дер-Ваальса (див. рис.2.20а). Горизонталь p*=const на рис. проводиться так, щоб заштриховані площі були однакові (це можна одержати на основі 2-го начала термодинаміки).

Типовий експеримент по ізотермічному стисканню газу (напр., при кімнатній температурі) дає криву, що на рис.2.20б. Зменшення об’єму до  при сталій температурі викликає збільшення тиску (ділянка а-b). Дальше зменшення об’єму не змінює тиску, але починаючи з т.b йде інтенсивна конденсація газу, тобто перетворення газу в рідину. Цей процес продовжується до т.с, що відповідає об’єму . При досягненні об’єму  весь газ перетворюється в рідину. Наступне зменшення об’єму у зв’язку з малою стисливістю рідини призводить до різкого збільшення її тиску.

Якщо рухатися у зворотному напрямку, тобто ізотермічно розширювати рідину, то в т.с почнеться кипіння. У т.b рідини вже не буде, вся випарувалася при кипінні на ділянці с-b. Таким чином, ділянка a-b відповідає станам газу, b-c – суміші рідини та газу, c-d – рідини.

Порівнюючи теоретичну ізотерму з експериментальною (криві а) та б)), бачимо, що теоретична ділянка cefb на досліді спостерігається у вигляді горизонтального відрізка cb прямої. Правда, ділянки ce та bf можна за спеціальних умов спостерігати. Перша з них відповідає станам перегрітої рідини (коли в посудині немає домішок і гладенькі стіни, то затримується кипіння), а друга – станам перенасиченої (переохолодженої) пари (теж коли немає центрів конденсації). При низьких температурах т.е може попасти в область “від’ємних” тисків; такий стан (стани) відомий під назвою “розтягнутої” рідини.

Стани ділянок ce та bf називаються метастабільними (проміжні між стабільними і нестабільними станами). Стани ділянки ef нестабільні (нестійкі) і на досліді не спостерігаються.

Якщо побудувати ізотерми, що відповідають різним температурам, то одержимо картину, що на рис.2.21 (експериментальні криві). Із збільшенням температури ділянка конденсації (кипіння) скорочується і при  стягується в т.К. Для  стану К відповідає  та  (1атм – нормальний тиск). Точка К відповідає критичному стану речовини, в якому зникає різниця між рідиною та газом, рівні нулю питома теплота пароутворення і коефіцієнт поверхневого натягу. При температурі, вищій від , ніяким стисканням газ в рідину перетворити не можна, тому критичною температурою називають граничну температуру, при якій закінчується можливість перетворення газу в рідину.

Справа від “ковпака” (допоміжної параболи), на рис. маємо стани, що відповідають газу; під “ковпаком” – стани двофазної системи “рідина+газ”; зліва – стани рідини.

Значення критичних параметрів можна виразити через поправки Ван-дер-Ваальса а та b:

,         ,        ;

для цього треба підставити у рівняння (2.64) замість р та Т критичний тиск  та критичну температуру , замість нуля у правій частині рівняння записати для критичного стану  і прирівняти в одержаному співвідношенні коефіцієнти при однакових степенях .

§ 2.23. Характер теплового руху в рідинах. Поверхневий натяг. Явище змочування. Капілярні явища

Рідкий стан речовини є проміжним між газоподібним і кристалічним. Рідина, як і кристал, займає певний об’єм, але як газ, займає форму посудини. В рідині, як у кристалі, молекули розміщені впорядковано (в газах у цьому відношенні – повний хаос). Однак впорядковане розміщення молекул рідини характеризується ближнім порядком: впорядковано розміщені практично лише сусіди кожної молекули. З відстанню порядок порушується. В кристалах існує дальній порядок, у межах значного об’єму. При наявності ближнього порядку структуру рідини називають квазікристалічною. Саме у зв’язку з відсутністю дальнього порядку рідини в основному ізотропні.

Молекула рідини якийсь час коливається відносно положення рівноваги (як у вузлі кристалічної решітки твердого тіла), потім вона може перескочити в сусіднє вільне місце. Такий кочовий спосіб життя у всіх молекул рідини. Час осідлості для кожної рідини свій і різко зменшується із збільшенням температури. В останньому випадку збільшується рухливість молекул і, відповідно, зменшується в’язкість рідини.

Рівнодійна сил притягання, що діють на молекулу з боку сусідів у товщі рідини, рівна нулю. На молекули, що знаходяться у поверхневому шарі, діють нескомпенсовані зверху сили, направлені в товщу рідини. Ці молекули (а разом і весь поверхневий шар) володіють додатковою потенціальною енергією – вільною енергією поверхні. Стану стійкої рівноваги відповідає мінімум потенціальної енергії, а значить, мінімум площі поверхні. Тому в рідин проявляється тенденція займати форму кулі.

Сили, що діють у поверхневому шарі і намагаються скоротити вільну поверхню рідини, направлені по дотичній до поверхні. Їх природа – взаємодія між молекулами. Результати вимірювань показали, що модуль такої сили () прямо пропорційний довжині () контура, що обмежує поверхню рідини

                                                    ,                                         (2.66)

– поверхневий натяг. Числове значення  залежить від речовини і від температури (з ростом температури зменшується) . Фізичний зміст коефіцієнта  (на основі виразу (2.66)): поверхневий натяг рівний силі, що діє на одиницю довжини ділянки контура вільної поверхні рідини перпендикулярно до нього. Або (через поверхневу енергію): поверхневий натяг рівний рівний вільній енергії поверхні, що припадає на одиницю площі поверхні рідини (, П – вільна енергія поверхні, S – площа поверхні рідини).

Досліди показують, що поверхня рідини поблизу стінок посудини викривлена. Викривлена вільна поверхня рідини називається меніском. Меніски бувають опуклі та вгнуті. Меніск характеризують крайовим кутом () між змоченою поверхнею стінки і меніском в точці їх дотику. Вгнутому меніску відповідає  (див. рис.2.22а), кажуть, що рідина змочує стінку. Опуклому меніску відповідає  (рис. 2.22б). В цьому випадку кажуть, що рідина не змочує стінку.  відповідає повне змочування,  – повне незмочування. Явище змочування спостерігається, якщо сили притягання між молекулами рідини і молекулами стінки переважають сили притягання між молекулами рідини; явище незмочування – якщо переважають сили притягання між молекулами рідини.

Внаслідок дії сил, що скорочують поверхню рідини, викривлений поверхневий шар чинить на рідину тиск , додатковий по відношенню до зовнішнього тиску. Величина  залежить від коефіцієнта  та кривизни поверхні. Розрахуємо додатковий тиск у випадку сферичного меніску. Для цього перетнемо мислено сферичну краплю рідини діаметральною площиною і розділимо тим самим краплю на дві півкулі (рис.2.23). Внаслідок поверхневого натягу обидві півкулі притягуються одна до другої з силою

(на основі (2.66);). Ця сила діє на поверхню площею , тому виникає тиск

.     (2.67)

В загальному випадку довільної форми поверхні рідини додатковий тиск визначають за формулою Лапласа

,

де  та  – радіуси кривизни будь-яких двох взаємно перпендикулярних нормальних перерізів поверхні рідини в тому місці, для якого розраховують тиск. Видно, що при  з формули Лапласа випливає вираз (2.67).

Якщо посудина широка, то меніск біля стінки істотної ролі не відіграє. Вільна поверхня рідини в основному горизонтальна. Якщо ж посудина вузька, наприклад, циліндрична тоненька трубка (капіляр), то вся поверхня рідини в ній має форму вгнутого чи опуклого меніска. З достатньою точністю його можна вважати сферичним. Тут додатковий тиск, що виникає під меніском, істотно впливає на рівень рідини в капілярі, сполученому з широкою посудиною з рідиною (рис.2.24). Якщо капіляр змочується рідиною, то в ньому утворюється вгнутий меніск і тиск на рідину стає меншим, ніж у широкій посудині. Рідина піднімається в капілярі (випадок а) на рис.), доки надвишок гідростатичного тиску не компенсує лапласівського зменшення тиску під угнутим меніском, тобто доки не справджуватиметься рівність

(див. формули (2.20) та (2.67)). Звідси знаходимо висоту піднімання рідини в капілярі

.

Якщо капіляр не змочується рідиною, то в ньому утворюється опуклий меніск і тиск на рідину стає більшим, ніж у широкій посудині. Рівень рідини в капілярі знижується (випадок б) на рис.). Висота опускання рідини розраховується за тією ж формулою, що й для піднімання.

В розрахунковій формулі для висоти піднімання (опускання) рівня рідини звичайно замість радіуса кривизни меніска (R) вводять радіус капіляра (r). Як видно з рис.2.25,  (кути  та  рівні, як кути із взаємно перпендикулярними сторонами). Остаточно маємо

.

Капілярні явища суттєві для живлення рослин, клітин живих організмів; їх враховують у будівельній справі, меліорації та інших галузях.

§ 2.24. Характер теплового руху у твердих тілах. Теплоємність і теплове розширення твердих тіл

У твердому стані речовини молекули чи атоми, іони розміщені значно густіше, ніж у рідкому чи газоподібному. Відповідно зростає роль сил взаємодії між ними. Для твердих тіл характерні сталі форма і об’єм. Тепер структурні частинки речовини вже не рухаються поступально, а коливаються відносно деяких положень рівноваги, що відповідають мінімуму їх потенціальної енергії.

Більшість твердих тіл у природі має кристалічну структуру – впорядковане розміщення атомів у вузлах кристалічної решітки, котра володіє більшим чи меншим набором різних елементів симетрії. Для кристалічних твердих тіл характерний дальній порядок.

Кристали володіють анізотропією, тобто залежністю різних фізичних властивостей від напрямку. Анізотропія – прямий наслідок упорядкованого розміщення частинок, з яких, побудовано кристал. Упорядковане розміщення частинок проявляється також у правильній зовнішній огранці кристалу.

Аморфні тверді тіла або перехолоджені рідини (скло, смола, пластмаси) не мають упорядкованої структури. Їх властивості такі, як властивості дуже в’язких рідин. Рідини й аморфні тіла ізотропні, тобто їх фізичні властивості в усіх напрямках однакові.

Розглянемо теплоємність кристалічних твердих тіл. Реальне коливання структурної частинки тіла є результатом накладання трьох взаємно перпендикулярних коливань. Тому кожній частинці треба приписати три коливні ступені вільності. Врахуємо при цьому, що кожний коливний ступінь вільності повинен володіти вдвічі більшою енергоємністю порівняно з поступальним, чи обертальним, адже коливаючись, частинка володіє і кінетичною, і потенціальною енергією, а з поступальним і обертальним рухом пов’язана лише кінетична енергія. Як відомо з теорії коливань, середні значення кінетичної і потенціальної енергії частинки рівні. Тому на кожний коливний ступінь вільності має припадати енергія не 1/2 kT (див. теорему про рівнорозподіл енергії в § 2.10), а 2/2 kT. Значить, на кожну частинку, що коливається у вузлі кристалічної решітки, припадає в середньому енергія, рівна 3 kT. За рахунок цього внутрішня енергія одного моля (принаймні, її частина, пов’язана з тепловим рухом) . Молярна теплоємність твердого тіла при сталому об’ємі тоді

.

Оскільки при сталому тиску об’єм твердого тіла змінюється мало, то приблизно  і говорять просто про молярну теплоємність кристалічного твердого тіла

                                                   .                                       (2.68)

Співвідношення (2.68) – математичний вираз закону Дюлонга і Пті, встановленого у свій час (1819 р.) емпіричним шляхом (вимірювання виконувались в області кімнатних температур). Формулювання закону: молярна теплоємність хімічно простих тіл у кристалічному стані однакова і рівна 3R.

Якщо тверде тіло є хімічною сполукою (наприклад, NaCl), то число часток у молі не співпадає з постійною Авогадро, а рівне , де nчисло атомів у молекулі (для NaCl   n=2). Тому для хімічно складних твердих тіл =3nR (закон Неймана).

Як показали пізніші дослідження, для багатьох речовин закон Дюлонга і Пті (і закон Неймана) добре виконується в області звичайних температур, хоч для деяких речовин зустрічаються значні відхилення (наприклад, для алмазу ), а значення 3R досягається для нього аж при 1800 К). При низьких температурах, як і для газів, теплоємність твердих тіл зменшується; у границі    на досліді прямує до нуля пропорційно  (див. рис.2.26). ). Такий характер температурної залежності теплоємності можна пояснити на основі квантових уявлень (Ейнштейн, Дебай).

Тепер розглянемо теплове розширення твердих тіл. Очевидно, що об’єм кристалу зростає із збільшенням середньої відстані між атомами. Чим же зумовлено збільшення відстані між атомами при нагріванні?

Підвищення температури кристалу означає збільшення енергії теплового руху, тобто теплових коливань атомів у решітці, а отже, зростання амплітуди цих коливань. Але збільшення амплітуди коливань атомів не завжди веде до збільшення середньої відстані між ними. У випадку гармонічних коливань кожний атом настільки наближається до одного зі своїх сусідів, наскільки віддаляється від іншого. Збільшення амплітуди його коливань не веде до зміни середньої міжатомної відстані, а отже, до теплового розширення.

Насправді в кристалічній решітці відбуваються ангармонічні (тобто не гармонічні) коливання атомів. Це зумовлено характером залежності сил взаємодії між атомами від відстані між ними. Як уже згадувалося в § 2.21, ця залежність така, що при великих відстанях між атомами сили взаємодії проявляються як сили притягання, а при зменшенні цієї відстані стають силами відштовхування, які швидко зростають із зменшенням відстані. Це веде до того, що при зростанні амплітуди коливань атомів внаслідок нагрівання кристалу зростання сил відштовхування між атомами переважає над зростанням сил притягання. Інакше кажучи, атому легше віддалитися від сусіда, ніж наблизитися до іншого. Звичайно, це повинно призвести до збільшення середньої відстані між атомами, тобто до збільшення об’єму тіла, при його нагріванні. Звідси випливає, що причиною теплового розширення твердих тіл є ангармонічність коливань атомів у кристалічній решітці.

Кількісно теплове розширення характеризують коефіцієнтами лінійного і об’ємного розширення. Нехай тіло завдовжки  при зміні температури на  змінило свою довжину на

. Коефіцієнт лінійного розширення () визначають із співвідношення

,

тобто він рівний відносній зміні довжини при зміні температури на один кельвін. Так само коефіцієнт об’ємного розширення () визначається формулою

,

тобто коефіцієнт  дорівнює відносній зміні об’єму (), віднесеній до 1К. З цих формул випливає, що (при малих ):

і           

де  і  – початкові довжина і об’єм тіла. .

Внаслідок анізотропії кристалів коефіцієнт  може бути різним у різних напрямках. Це означає, що коли з даного кристалу виточити кулю, то після її нагрівання вона втратить сферичну форму. Лише для кристалів з кубічною симетрією, як і для ізотропних тіл, куля залишиться кулею і після нагрівання (але більшого діаметру !); для таких тіл .

Коефіцієнти лінійного і об’ємного розширення практично залишаються сталими, якщо інтервали температур, у яких їх вимірюють, малі, а самі температури високі. В загальному випадку ці коефіцієнти залежать від температури і при тому так само, як теплоємність. Відношення коефіцієнта теплового розширення до теплоємності твердого тіла не залежить від температури (для даної речовини є сталим). Останнє твердження – закон Грюнайзена (1908 р.).

§ 2.25. Фази і фазові перетворення. Умови рівноваги фаз. Потрійна точка

Фаза – це термодинамічно рівноважний стан речовини, що фізично відрізняється від інших рівноважних станів цієї речовини. Наприклад, розглядаючи ізотерми реальних газів, справа і зверху відносно “ковпака” ми мали справу зі станами однофазної системи – газу; під “ковпаком” – область станів двофазної системи рідина + газ; зліва – знову стани однофазної системи – рідини. Можуть бути двофазні системи тверде тіло + рідина, тверде тіло + газ. Різними фазами є також різні модифікації однієї речовини, наприклад, алмаз і графіт є різними твердими фазами вуглецю, лід зустрічається у п’яти різних фазах.

Фазова рівновага – це одночасне існування термодинамічно рівноважних фаз у багатофазній системі (рідина + насичена пара, вода + лід при температурі плавлення, нормальна + надпровідна фази металу в зовнішньому магнітному полі і т. д.). При певних умовах різні фази однієї речовини можуть бути в рівновазі між собою; рівновага двох фаз можлива лише в певній області температур і тисків. На діаграмі р-Т стани рівноваги двофазної системи зображаються кривою , яка і задає умови рівноваги фаз. Три фази однієї речовини можуть бути в рівновазі лише в одному стані, при одних значеннях Т і р, яким на діаграмі р-Т відповідає потрійна точка. Рівновага більше від трьох фаз однієї речовини неможлива.

Перехід речовини з однієї фази в іншу називається фазовим переходом. Якщо при цьому поглинається чи виділяється теплота, то кажуть, що спостерігається фазовий перехід І-го роду. Фазові переходи, не зв’язані з поглинанням чи виділенням тепла, називаються фазовими переходами ІІ-го роду. Спочатку охарактеризуємо коротко фазові переходи І-го роду.

Перехід речовини з рідкого стану в газоподібний називається випаровуванням, з твердого стану в газоподібний – сублімацією, з газоподібного в рідкий – конденсацією, з твердого в рідкий – плавленням, з рідкого у твердий кристалічний – кристалізацією.

При випаровуванні чи сублімації тіло залишають молекули, що мають достатньо великий запас кінетичної енергії для перемагання сил притягання між молекулами. Тому тіло охолоджується. Кількість теплоти, необхідна для переведення одиниці маси речовини з рідкого стану в газоподібний при тій же температурі, називається питомою теплотою пароутворення:

                                                                    ,                                                                (2.69)

При конденсації та ж кількість теплоти виділяється, рідина нагрівається.

Якщо у процесі випаровування кількість молекул, які покинули рідину, рівна кількості молекул, що конденсувалися, то кажуть, що між рідиною та її парою наступила динамічна рівновага. Пара, що знаходиться в рівновазі зі своєю рідиною, називається насиченою. Насичена пара при даній температурі має максимальну густину і тиск. Із збільшенням температури тиск насиченої пари зростає,

.

У зв’язку з цим температура кипіння зростає із збільшенням тиску, бо при кипінні тиск насиченої пари рівний зовнішньому тиску.

Тверді кристалічні тіла плавляться при постійній температурі. Теплота, що підводиться ззовні, йде на розривання зв’язків між атомами (іонами). Кількість теплоти, необхідна для плавлення одиниці маси речовини, називається питомою теплотою плавлення:

.

Температура плавлення залежить від тиску. Для більшості речовин температура плавлення збільшується з ростом тиску, тобто , а для льоду, чавуну, вісмуту і сурми – навпаки.

Процес кристалізації – зворотний до процесу плавлення. Для кристалізації необхідно охолодити рідину до температури плавлення (до стану (р, Т), що відповідає рівновазі між твердою і рідкою фазою). При кристалізації виділяється та ж кількість теплоти, що була затрачена на плавлення.

Якщо фазові переходи І-го роду характеризуються постійністю температури, змінами ентропії та об’єму, то фазові переходи ІІ-го роду – постійністю об’єму та ентропії, але стрибкоподібною зміною теплоємності. Прикладами фазових переходів ІІ-го роду є: перехід феромагнетиків (заліза, нікелю) при певних тиску і температурі в парамагнітний стан; перехід металів і деяких сплавів у надпровідний стан без зовнішнього магнітного поля; перетворення звичайного рідкого гелію (гелію-І) в іншу модифікацію (гелію–ІІ), що володіє надтекучістю. Фазові переходи ІІ-го роду зв’язані із зміною симетрії: вище точки переходу система володіє, як правило, більшим рівнем симетрії, ніж нижче точки переходу.

§ 2.26. Рівняння Клапейрона-Клаузіуса

Знайдемо явний вигляд похідної від тиску по температурі  у станах рівноваги двофазної системи. Для цього розглянемо елементарний цикл Карно для такої системи (рис.2.27). Робочим тілом є двофазна система, наприклад, рідина + пара. Адіабатична зміна температури розглядається безмежно мала, тому адіабата зображена елементарним відрізком прямої; ізотерма горизонтальна, бо тиск постійний, адже із збільшенням об’єму все більше число молекул рідини переходить у пару. Ізотерма 1-2 відповідає горизонтальній ділянці реальної ізотерми на рис.2.20б. Стани 1 і 2 є станами однофазних систем. Проміжні стани ділянки 1-2 відповідають станам двофазної системи, що відрізняються розподілом маси речовини між фазами.

Нехай маса рідини, що перетворилася в пару у процесі 1-2, рівна m. Введемо питомий об’єм  (об’єм одиниці маси речовини). У процесі 1-2 об’єм робочого тіла одержить приріст , де  та  відповідно питомі об’єми першої і другої фаз робочого тіла.

На фазовий перехід в ізотермічному процесі 1-2 затрачена кількість теплоти

                                                                  ,                                                       (2.70)

взятої від нагрівника;  – питома теплота фазового переходу 1-2 (у нашому прикладі – це r, що у формулі (2.69)).

Коефіцієнт корисної дії циклу Карно (див. формули (2.47), (2.48))

                                                                 .                                                     (2.71)

Робота, виконана за цикл, у нашому випадку

(площа паралелограма на рис.) або

                                                                          .                                       (2.72)

Підставляючи вирази (2.70) та (2.72) у (2.71), одержуємо

або                                                                   .                                                           (2.73)

Співвідношення (2.73) називається рівнянням Клапейрона-Клаузіуса. Воно зв’язує похідну від рівноважного тиску по температурі з теплотою фазового переходу, температурою і різницею питомих об’ємів фаз, що знаходяться у рівновазі.

Зазначимо, що у правій частині виразу (2.71) при виводі співвідношення (2.73) ми записали ККД ідеального циклу Карно. Це було зроблено заради спрощення виводу. Рівняння (2.73) можна одержати в загальному випадку; воно стосується рівноважних станів будь-якої двофазної системи, а не тільки системи рідина + пара.

У відповідності з рівнянням (2.73) знак похідної  залежить від того, якою зміною об’єму – збільшенням чи зменшенням – супроводжується фазовий перехід з поглинанням тепла. При випаровуванні рідини чи твердого тіла об’єм завжди зростає, тому  для кривої випаровування і кривої сублімації може бути лише позитивною: підвищення температури веде до збільшення рівноважного тиску.

При плавленні об’єм, як правило, зростає, так що : збільшення тиску зумовлює підвищення температури плавлення. Однак у деяких речовин, серед яких і вода, об’єм рідкої фази менший від об’єму твердої фази . В цьому випадку  – збільшення тиску супроводжується зниженням температури плавлення. Стиснувши лід, можна, викликати його плавлення при температурі, нижчій від 00С.

§ 2.27. Фазові діаграми

Візьмемо речовину у критичному стані (т. К на рис.2.28) і будемо повільно її охолоджувати (відбирати тепло) без зміни об’єму, так щоб рідина була в рівновазі з парою. При цьому, очевидно, буде знижуватися тиск і двофазна система рідина + газ (пара) проходитиме ряд рівноважних станів, що зображаються кривою КП. Цю криву називають кривою випаровування (залежність тиску насиченої пари від температури). Вона закінчується при деякій температурі , рівній температурі кристалізації речовини при даному тиску. Охолоджуємо далі речовину, а температура її не змінюється, бо йде процес кристалізації і ми якраз забираємо від речовини тепло, що виділяється при кристалізації. Закінчився процес кристалізації і дальше охолодження системи приведе до наступного зниження температури вже твердого тіла. Відповідна крива, що тягнеться до початку координат, відображає рівноважні стани двофазної системи тверде тіло + газ. Вона називається кривою сублімації.

В т. П, де сходяться криві випаровування і сублімації , у рівновазі знаходяться три фази речовини: тверда, рідка і газоподібна. Цій єдиній точці відповідає температура  і тиск . Це – потрійна точка. Вона визначає умову , при якій одночасно можуть знаходитись у рівновазі три фази речовини.

Температура у потрійній точці є одночасно температурою, при якій плавиться речовина при тиску  (при інших тисках  інша!). Крива, що зображає зв’язок між тиском і температурою плавлення, називається кривою плавлення. Для більшості речовин ця крива нахилена до кривої випаровування , як на рис. 2.28; для окремих речовин її нахил інший (як на рис.2.30). Кривизна кривої плавлення незначна.

Криві випаровування, сублімації та плавлення задають умови рівноваги двофазних систем. Рівноважні стани на тих кривих відрізняються лише співвідношеннями мас речовини у різних фазах відповідно. Ці криві розбивають площину р-Т на три області. Зліва знаходяться рівноважні стани твердої фази речовини, справа – газоподібної, зверху – рідкої. Т.ч. кожна точка діаграми (всієї площини) зображає певний рівноважний стан речовини, що відповідає одній, двом чи трьом фазам. Тому її називають діаграмою стану або фазовою діаграмою.

Для речовин з декількома кристалічними модифікаціями діаграма стану складніша. На рис.2.29 зображена діаграма у випадку двох різних модифікацій. Тепер є дві потрійні точки. ________________

*) Відомо, що об’єм води при замерзанні збільшується. У зв’язку з цим густина льоду менша від густини води (лід плаває на воді).

У точці  в рівновазі знаходяться рідина, газ і перша кристалічна модифікація, в точці  – рідина і обидві кристалічні модифікації речовини.

Діаграма стану будується для кожної речовини на основі експериментальних даних. Маючи її, можна завжди вказати, в якому стані знаходиться речовина при тих чи інших умовах, які перетворення супроводитимуть речовину при різних процесах, як перевести речовину з одного стану в другий.

Якщо, наприклад, взяти речовину у стані 1 на рис.2.30 і піддати її ізобаричному нагріванню, то речовина буде проходити зображену пунктирною прямою 1-2 послідовність станів, що відповідають кристалу, рідині, газу. Якщо цю є речовину взяти у стані 3 і ізобарично нагрівати, то послідовність станів буде інша (пунктирна пряма 3-4): кристал безпосередньо перетворюється в газ, минаючи рідку фазу.

Якщо питомий об’єм кристалу більший від питомого об’єму рідини, то поведінка речовини при деяких процесах може бути своєрідною. Візьмемо, наприклад, таку речовину у стані 5 на рис.2.30 і піддамо її ізотермічному стисканню. Тиск збільшується; процес зобразиться на діаграмі пунктирною прямою 5-6. Речовина проходить таку послідовність станів: газ – кристал – рідина. Така послідовність може спостерігатися лише при температурах, менших від температури .

З діаграми стану випливає, що рідка фаза може існувати в рівноважному стані лише при тисках, які задовільняють умову . Те саме стосується і твердої фази ІІ, що на рис. 2.29. При тисках, менших від  спостерігаються лише переохолоджені рідини.

У більшості речовин потрійній точці відповідає тиск , значно менший від атмосферного тиску. Так для води  і  Для вуглекислоти , а , тому вуглекислота за звичайних умов швидко сублімує, минаючи рідкий стан. Це – так званий сухий лід; він не плавиться, а лише випаровується.

Відмітимо ще одну особливість діаграми стану. Крива випаровування закінчується у критичній точці К. Тому можливий перехід з області рідких станів в область газоподібних, обходячи критичну точку без перетину кривої випаровування (див. зображений пунктиром перехід 7-8 на рис.2.30). В цьому випадку перехід рідина  газ (і навпаки) виконується неперервно, через послідовність однофазних станів. Такий перехід можливий тому, що різниця між рідиною і газом має швидше кількісний, ніж якісний характер; зокрема, в обох цих станах відсутня анізотропія. Перехід же зі стану, для котрого характерна анізотропія, у стан, що не володіє нею, може відбуватися лише стрибком (анізотропія або є, або нема). Так само неможливий неперервний перехід з однієї кристалічної модифікації в іншу. Різні кристалічні модифікації речовини відрізняються притаманними їм елементами симетрії. Оскільки якийсь елемент симетрії або є, або відсутній, то перехід з однієї твердої фази в другу можливий лише стрибком. Тому крива рівноваги двох твердих фаз, як і крива плавлення, не обмежена (йде в безмежність).

РОЗДІЛ 3. ЕЛЕКТРОСТАТИКА І ПОСТІЙНИЙ ЕЛЕКТРИЧНИЙ СТРУМ

§ 3.1.Електричний заряд. Електричне поле. Закон Кулона. Напруженість та індукція електричного поля. Принцип суперпозиції електричних полів

Всі тіла в природі складаються з елементарних частинок, які можна розділити на три групи : частинки з позитивним електричним зарядом, частинки з негативним електричним зарядом і незаряджені або електронейтральні частинки. До позитивно заряджених елементарних частинок відносяться протони, до негативно заряджених – електрони. Їхні електричні заряди рівні за модулем і протилежні за знаком. Модуль електричного заряду протона чи електрона – це найменший заряд в природі, або елементарний заряд, який рівний . Вперше величину електричного заряду в 1909 р. експериментально визначив американський фізик Р.Мілікен.

Однойменні електричні заряди між собою відштовхуються, різнойменні – притягуються. Розділ фізики, який вивчає взаємодію електричних зарядів, нерухомих  в даній системі відліку, називається електростатикою. Численними експериментами було встановлено закон збереження електричного заряду: алгебраїчна сума електричних зарядів в ізольованій системі тіл є величиною постійною.

Точковим електричним зарядом називається заряджене тіло, розмірами якого можна знехтувати в даних умовах. Розглянемо два точкові електричні заряди  і , які розміщені на відстані r один ввід одного, як зображено на рис. 3.1.

В 1785 році французький вчений Ш.Кулон експериментально встановив закон взаємодії нерухомих точкових електричних зарядів.

Закон Кулона: сила взаємодії двох точкових нерухомих електричних зарядів прямо пропорційна добуткові цих зарядів, обернено пропорційна квадратові відстані між ними і напрямлена вздовж прямої, яка сполучає ці заряди:

                                   ,                         (3.1)

де радіус-вектор, проведений від заряду  до заряду ,  – електрична стала,  – діелектрична проникність середовища. Для вакууму . В скалярній формі закон Кулона можна представити у вигляді :

                                         .                                         (3.2)

Однією з основних одиниць в системі СІ, яка характеризує електричні явища, є одиниця сили струму 1А. Одиниця вимірювання електричного заряду 1Кл в системі одиниці СІ є похідною одиницею. Одиниця вимірювання електричного заряду 1Кл рівна електричному зарядові, який проходить через поперечний переріз провідника за 1с при силі постійного струму в провіднику 1А.

Електричні заряди взаємодіють між собою через особливу матеріальну субстанцію яка називається електричним полем. Для характеристики фізичних властивостей електричного поля введемо фізичну величину – напруженість електричного поля. Вмістимо в дану точку електричного поля позитивний точковий електричний заряд . З боку електричного поля на нього буде діяти деяка сила . Напруженістю електричного поля називається векторна фізична величина рівна силі з якою електричне поле діє на одиничний позитивний точковий заряд, вміщений в дану точку поля:

                                                .                                               (3.3)

Напруженість електричного поля створеного точковим електричним зарядом  рівна:

                                              .                                      (3.4)

Модуль вектора напруженості електричного поля точкового заряду  рівний:

                                                  .                                      (3.5)

Напруженість електричного поля є силовою характеристикою поля. Одиницею вимірювання напруженості електричного поля в системі одиниць СІ є 1Н/Кл.

Якщо електричне поле створене системою  нерухомих електричних зарядів, то напруженість результуючого електричного поля в кожній точці простору можна визначити згідно із принципом суперпозиції електричних полів: напруженість електричного поля створеного системою нерухомих електричних зарядів рівна векторній сумі напруженостей полів, створених кожним із зарядів зокрема:

                                            .                                              (3.6)

Для геометричного зображення електричного поля користуються силовими лініями або лініями напруженості електричного поля. Силовою лінією електричного поля називається така лінія, в кожній точці якої вектор напруженості є дотичним до самої лінії. На рис.3.2.а і 3.2.б зображено силові лінії точкових зарядів, а на рис.3.2.в і 3.2.г – системи різнойменних і однойменних точкових зарядів:

Густина силових ліній характеризує величину напруженості електричного поля. Величина напруженості поля пропорційна числу силових ліній, які перетинають одиничну площадку, перпендикулярну до ліній індукції.

Напруженість електричного поля, як це випливає із формул (3.4) і (3.5), залежить від діелектричних властивостей середовища, тобто від діелектричної проникності середовища . Тому введемо нову фізичну величину – індукцію електричного поля, яка не залежить від діелектричних властивостей середовища. Електричною індукцією (електричним зміщенням) називається векторна фізична величина, яка пропорційна до напруженості, не залежить від діелектричних властивостей середовища і визначається рівністю:

                                             .                                          (3.7)

Індукція електричного поля створеного точковим зарядом  рівна:

                                                 .                                         (3.8)

Модуль вектора індукції електричного поля точкового заряду рівний:

                                                .                                              (3.9)

§ 3.2. Потік вектора напруженості та індукції електричного поля. Теорема Остроградського-Гауса

Нехай в просторі існує електричне поле, створене деякими електричними зарядами. Розглянемо деяку поверхню з нескінченно малою площею dS (елементарну поверхню) з одиничним вектором нормалі до поверхні , як зображено на рис.3.3. Нехай в центрі елементарної поверхні напруженість електричного поля рівна .

Елементарним потоком вектора напруженості електричного поля називається скалярна величина, рівна скалярному добуткові вектора напруженості електричного поля і одиничного вектора нормалі на площу елементарної поверхні:

                               ,                     (3.10)

де  – кут між векторами  і .

Подібним чином можна дати визначення елементарного потоку вектора індукції електричного поля, який рівний:

                               .                       (3.11)

Потік вектора напруженості електричного поля через деяку поверхню S визначається за формулою:

                                      .                                             (3.12)

Він пропорційний числу силових ліній, які пронизують цю поверхню.

Потік вектора індукції електричного поля через деяку поверхню S рівний:

                                      .                                            (3.13)

Розглянемо деякий точковий позитивний заряд , який помістимо в центрі сферичної поверхні S радіусом R (рис. 3.4). Обчислимо потік вектора напруженості електричного поля через цю замкнену поверхню

                                .                      (3.14)

Напруженість електричного поля точкового заряду в будь якій точці сферичної поверхні рівна

                                              .                                          (3.15)

Підставимо (3.15) в (3.14), врахуємо, що кут між векторами  і  в даному випадку .

.

Оскільки для всіх точок сферичної поверхні величина R є постійною то, винісши постійні множники за знак інтегралу, отримаємо:

                                         .                                 (3.16)

Але інтеграл по замкнутій поверхні S - це площа сферичної поверхні, яка рівна:

                                                 .                                                   (3.17)

Підставимо вираз (3.17) в (3.16):

                                      .                    (3.18)

Український вчений М.В.Остроградський і німецький вчений К.Гаус довели, що формула (3.18) справедлива для замкненої поверхні довільної форми і довільної кількості електричних зарядів, які знаходяться всередині цієї поверхні. Тому в загальному випадку формулу (3.18) можна представити у вигляді:

                                                .                                   (3.19)

Формула (3.19) - це теорема Остроградського-Гауса для напруженості електричного поля: потік вектора напруженості електричного поля через довільну замкнену поверхню рівний алгебраїчній сумі електричних зарядів, охоплених цією поверхнею, поділеній на діелектричну проникність середовища.

Помножимо рівняння (3.19) на . Враховуючи, що цей множник постійний, внесемо його під знак інтегралу:

                                              .                                    (3.20)

Враховуючи (3.7), отримаємо                                                         

                                                        .                                     (3.21)

Формула (3.21) це теорема Остроградського-Гауса для індукції електричного поля: потік вектора індукції електричного поля через довільну замкнену поверхню рівний алгебраїчній сумі електричних зарядів, охоплених цією поверхнею.

Розглянемо випадок коли електричні заряди розподілені в просторі неперервно з деякою об’ємною густиною . Об’ємною густиною електричного заряду називається фізична величина, рівна електричному зарядові в одиниці об’єму простору:

                                             .                                               (3.22)

Визначимо з цієї формули dq:

                                                .                                              (3.23)

Проінтегрувавши вираз (3.23) по деякому об’єму V визначимо сумарний електричний заряд який міститься в цьому об’ємі:

                                                 .                                            (3.24)

З врахуванням формули (3.24) теорему Остроградського-Гауса (3.19) і (3.21) у випадку неперервного просторового розподілу зарядів можна представити у вигляді:

                                      .                                (3.25)

                                      .                                               (3.26)

У формулах (3.25) і (3.26) інтегрування здійснюється по всьому об’єму V який обмежений замкненою поверхнею S.

§ 3.3. Розрахунок електричних полів за допомогою теореми Остроградського-Гауса

Для розрахунку електричного поля створеного зарядженим тілом необхідно розбити це тіло на точкові заряди і визначити напруженість електричного поля в деякій точці простору за принципом суперпозиції. Для багатьох тіл такі розрахунки математично досить складні. Для деяких симетричних тіл розрахунок електричного поля значно спрощується при використанні теореми Остроградського-Гауса. Розглянемо деякі приклади таких розрахунків.

а) Електричне поле рівномірно зарядженої кулі.

Розглянемо кулю радіусом R рівномірно заряджену по об’єму з об’ємною густиною заряду

                                               .                                              (3.27)

Для рівномірного розподілу заряду можна вважати що

                                                   .                                                 (3.28)

Оскільки об’єм кулі рівний

                                                 ,                                           (3.29)

то підставивши (3.29) в (3.28) одержимо:

                                                  .                                           (3.30)

Виберемо замкнену поверхню S у формі сфери радіусом r, центр якої співпадає з центром зарядженої кулі, як зображено на рис. 3.5. Розглянемо випадок коли , тобто визначимо напруженість електричного поля всередині зарядженої кулі. Запишемо теорему Остроградського-Гауса для випадку неперервного розподілу електричного заряду.

                                                                   (3.31)

або

                                                                  (3.32)

В даному випадку  і , тому

                                           .                                     (3.33)

Виходячи з міркувань симетрії випливає, що величина Е за модулем постійна у всіх точках сферичної поверхні S, тому винесемо Е за знак інтегралу:

                                          .                                   (3.34)

У формулі (3.34) інтеграл по замкненій поверхні рівний площі сферичної поверхні радіусом r а інтеграл по об’єму V рівний об’єму цієї ж сферичної поверхні, тому

                                             ,                                             (3.35)

                                             .                                           (3.36)

Підставимо вирази (3.30), (3.35) і (3.36) у формулу (3.34):

                                             .                                   (3.37)

Отже всередині рівномірно зарядженої по об’єму кулі напруженість електричного поля прямо пропорційна відстані від центру кулі до даної точки.

Розглянемо випадок коли , тобто визначимо напруженість електричного поля ззовні зарядженої кулі (рис. 3.6). Запишемо теорему Остроградського-Гауса.

                                                                      (3.38)

або                                .                         (3.39)

Оскільки вектори  і  мають однаковий напрямок то . Виходячи з міркувань симетрії можна стверджувати, що модуль Е однаковий в усіх точках поверхні S. Врахуємо також, що поверхня S охоплює кулю з зарядом q, тоді вираз (3.39) набере вигляду:

                                               .                                       (3.40)

Підставимо (3.35) в (3.40):

                                               .                                       (3.41)

Із формули (3.41) випливає, що ззовні зарядженої кулі напруженість електричного поля, так само як і для точкового заряду, обернено пропорційна квадратові відстані від центру кулі до даної точки простору.

На рис. 3.7 зображено залежність напруженості електричного поля Е від відстані r .

б) Електричне поле нескінченої рівномірно зарядженої прямої.

Розглянемо нескінченно довгу пряму, рівномірно заряджену електричним зарядом з лінійною густиною заряду .

                                 .                                      (3.42)

Лінійною густиною електричного заряду називається фізична величина рівна електричному зарядові одиниці довжини лінії вздовж якої він розподілений. У випадку рівномірного розподілу електричного заряду

                                              ,                                          (3.43)

де електричний заряд який розподілений вздовж лінії довжиною .

В якості замкненої поверхні виберемо циліндричну поверхню радіусом r, висотою , вісь якої співпадає із зарядженою прямою, як зображено на рис. 3.8. Застосуємо теорему Остроградського-Гауса:

                             .                             (3.44)

Інтеграл по замкненій поверхні S запишемо як суму трьох інтегралів: по бічній поверхні, по першій і другій основах. Сумарний заряд, який охоплений поверхнею S, рівний зарядові на ділянці прямої довжиною . Із формули (3.43) цей заряд рівний:

                                          .                                    (3.45)

Підставимо (3.45) в (3.44):

                                

Оскільки  і , то одержимо:

.

З міркувань симетрії випливає, що модуль Е є однаковим в усіх точках бічної поверхні. Тому винесемо Е за знак інтегралу:

                                             .                                     (3.46)

Інтеграл по бічній поверхні рівний площі цієї поверхні:

                                            .                                      (3.47)

Підставимо (3.47) у (3.46):

                                                .                                          (3.48)

З цієї формули випливає, що напруженість електричного поля, створеного нескінченою рівномірно зарядженою прямою обернено пропорційна до відстані між даною точкою простору і прямою. Ця формула справедлива також для нескінченого прямого рівномірно зарядженого циліндра.

в) Електричне поле нескінченної рівномірно зарядженої площини.

Розглянемо нескінченну площину рівномірно заряджену електричним зарядом з поверхневою густиною заряду:

                                               .                                              (3.49)

Поверхневою густиною електричного заряду називається фізична величина рівна електричному зарядові одиниці площі поверхні по якій розподілений заряд. У випадку рівномірного розподілу електричного заряду q по поверхні S поверхнева густина заряду рівна:

                                                     .                                               (3.50)

В якості замкненої поверхні виберемо циліндричну поверхню з площею основи  вісь якої перпендикулярна до зарядженої площини, як зображено на рис.3.9.

Застосуємо теорему Остроградського-Гауса

                                  .                        (3.51)

Інтеграл по замкненій поверхні S запишемо як суму трьох інтегралів. Сумарний заряд, який охоплений поверхнею S рівний зарядові круга площею Sосн., який вирізує циліндр S на зарядженій площині. Виходячи із формули (3.50), цей заряд рівний

                                                                (3.52)

Підставимо (3.52) в (3.51):

                                              Оскільки  і , то

                                .                           (3.53)

Інтеграли по поверхнях основ рівні:

                                                                        (3.54)

Підставимо (3.54) в (3.53):

                                                   .                                           (3.55)

Із формули (3.55) випливає, що напруженість електричного поля, створеного нескінченною рівномірно зарядженою площиною не залежить від відстані до площини, тобто є однаковою в усіх точках простору по обидва боки від зарядженої площини. Це електричне поле є однорідним. Його силові лінії перпендикулярні до зарядженої площини.

§ 3.4. Робота сил електричного поля. Теорема про циркуляцію вектора напруженості електричного поля. Потенціал 

Нехай електричний заряд  здійснює елементарне переміщення  під дією сили  електричного поля напруженістю , як зображено на рис. 3.10. Тоді виконана полем елементарна робота рівна

                                               .                                       (3.56)

Запишемо формулу напруженості електричного поля

                                  .                                         (3.57)

Визначимо з цієї формули силу

                               .                                       (3.58)

Підставимо вираз (3.58) у формулу (3.56)

                                  ,                                 (3.59)

або

                         .       (3.60)

Проінтегрувавши вираз (3.59), одержимо формулу роботи при переміщенні електричного заряду  в електричному полі з напруженістю  вздовж траєкторії

                        .           (3.61)

Нехай точковий електричний заряд  здійснює переміщення в полі іншого точкового електричного заряду , тоді модуль напруженості електричного поля створеного зарядом  рівний

                                          .                                    (3.62)

З рисунка одержимо

                                                 .                                     (3.63)

Підставимо (3.62) і (3.63) у вираз (3.60)

.

Проінтегруємо цей вираз

                                     .                                (3.64)

Отже робота сил електричного поля не залежить від форми траєкторії, а залежить лише від положення початкової і кінцевої точки. Тому електростатичне поле є консервативним. При переміщенні електричного заряду  по замкненій траєкторії точки 1 і 2 будуть співпадати тому . При цій умові, як випливає із формули (3.64) робота буде дорівнювати нулеві. Тоді формула (3.61) набере вигляду

                                                 .                                      (3.65)

Інтеграл по замкнутому контуру  від скалярного добутку вектора напруженості електричного поля  на елементарний вектор довжини контуру  називається циркуляцією вектора напруженості електричного поля. Співвідношення (3.10) – це теорема про циркуляцію вектора напруженості електричного поля: циркуляція вектора електростатичного поля по замкнутому контуру рівна нулю.

Робота консервативних сил рівна зміні потенціальної енергії з протилежним знаком

                            .                      (3.66)

З порівняння формул (3.64) і (3.65) можна одержати формулу потенціальної енергії взаємодії двох точкових зарядів:

                                         .                                  (3.67)

Для характеристики консервативного поля можна використати поняття потенціалу.

Потенціалом електричного поля називається скалярна фізична величина рівна потенціальній енергії одиничного позитивного точкового заряду вміщеного в дану точку поля

                                             .                                               (3.68)

Одиницею вимірювання потенціалу в системі одиниць  є вольт. 1В – це потенціал такої точки поля, в якій точковий позитивний заряд величиною 1Кл має потенціальну енергію 1Дж.

Підставивши вираз (3.67) в (3.68) отримаємо формулу потенціалу точкового заряду

          .              (3.69)

На рис.3.11.зображено залежність потенціалу точкового електричного заряду від відстані графічно.

Продиференціюємо вираз (3.68)

                                      .               (3.70)

Оскільки , то

                                                        .                  (3.71)

Підставимо (3.59) в (3.71), отримаємо:

.                                            (3.72)

Проінтегруємо вираз (3.72) вздовж кривої  при переміщенні із точки 1 в точку 2

   .                                   (3.73)

Формула (3.73) визначає зв’язок між різницею потенціалів і напруженістю електричного поля.

Підставимо вираз (3.73) у формулу (3.61). Отримаємо зв’язок між роботою при переміщенні електричного заряду  в електричному полі та різницею потенціалів

.                                   (3.74)

Нехай точковий електричний заряд  переміщується під дією електричного поля з напруженістю  вздовж осі . Тоді згідно із формулою (3.72) одержимо

,                       (3.75)

де  – проекція вектора  на вісь .

Із формули (3.75) одержимо

.

Якщо потенціал електричного поля  є функцією не лише координати  а також і координат  і , то в останній формулі слід використати поняття частинної похідної. Тоді формула набере вигляду

.                                 (3.76)

подібні формули можна отримати і при переміщенні заряду вздовж осей координат  і :

,                                             (3.77)

.                                               (3.78)

Виразимо вектор напруженості електричного поля  через його проекції на осі координат

,                                (3.79)

де  – орти.

Підставимо (3.76), (3.77) і (3.78) у формулу(3.79)

.                               (3.80)

Формула (3.80) визначає зв’язок між напруженістю електричного поля і потенціалом. Цю формулу можна представити в більш компактному вигляді використовуючи поняття векторного диференціального оператора градієнт

.                           (3.81)

Використовуючи (3.81) формулу (3.80) можна представити у вигляді

= - grad                                         (3.82)

Нехай точковий електричний заряд  взаємодіє з іншими точковими електричними зарядами , ,  ... , . Тоді його потенціальна енергія рівна сумі потенціальних енергій взаємодії з кожним із зарядів

.                                          (3.83)

Поділимо рівність (3.83) на

.                                        (3.84)

Використовуючи означення потенціалу (3.68) формулу (3.83) можна записати у вигляді

.                                            (3.85)

Із формули (3.85) випливає, що потенціал електричного поля, створеного системою зарядів, рівний сумі потенціалів полів, створених кожним із зарядів зокрема.

Для графічного зображення електричних полів поряд із силовими лініями використовуються еквіпотенціальні поверхні. Еквіпотенціальною поверхнею називається така поверхня, в кожній точці якої потенціал електричного поля має однакове значення. Тобто еквіпотенціальна поверхня - це поверхня однакового потенціалу. Силові лінії електричного поля перпендикулярні до еквіпотенціальних поверхонь. На рис.3.12 зображено силові лінії та еквіпотенціальні поверхні точкового позитивного заряду.

§ 3.5. Розрахунок потенціалу електричного поля деяких заряджених тіл

Знайдемо потенціали електричних полів деяких заряджених тіл.

а). Потенціал поля рівномірно зарядженої кулі.

Розглянемо кулю радіусом , рівномірно заряджену по об’єму з об’ємною густиною  і загальним зарядом  ( рис.3.13 ).

Знайдемо різницю потенціалів між двома точками простору 1 і 2 на відстані  і  від центру кулі в середині кулі . Використаємо формулу різниці потенціалів (3.73)

.             (3.86)

Підставимо вираз (3.37) напруженості електричного поля всередині зарядженої кулі у формулу (3.86)

                                                            (3.87)

Знайдемо різницю потенціалів між двома точками простору 1 і 2 на відстані  і  від центру кулі ззовні кулі  і , як зображено на рис. 3.14.

Підставимо вираз (3.41) напруженості електричного поля ззовні від зарядженої кулі у формулу (3.86)

    .      (3.88)

Формула (3.88) справедлива також і для точкового електричного заряду .

б). Потенціал поля нескінченної рівномірно зарядженої прямої

Розглянемо нескінченно довгу пряму рівномірно заряджену електричним зарядом з лінійною густиною заряду . Знайдемо різницю потенціалів між двома точками простору 1 і 2 на відстані  і  від прямої

( рис. 3.15 ). Підставимо вираз (3.48) напруженості електричного поля зарядженої прямої у формулу (3.86)

.       (3.89)

в). Потенціал поля нескінченої рівномірно зарядженої площини

Розглянемо нескінчену площину рівномірно заряджену електричним зарядом з поверхневою густиною заряду . Знайдемо різницю потенціалів між двома точками простору 1 і 2 на відстані  і  від площини, як зображено на рис. 3.16. Підставимо вираз (3.55) напруженості електричного поля нескінченої рівномірно зарядженої площини у формулу (3.86)

.            (3.90)

г). Потенціал поля електричного диполя.

Електричним диполем називається система двох однакових за модулем різнойменних зарядів. Плечем диполя називається вектор  напрямлений від негативного заряду до позитивного. Дипольним моментом називається векторна фізична величина, рівна добутку позитивного заряду на плече диполя

.                                             (3.91)

Знайдемо потенціал електричного поля в точці А як суму потенціалів двох точкових зарядів, які визначимо за формулою (3.69)

.                     (3.92)

Розглянемо випадок, коли точка А знаходиться на великій відстані від центра диполя порівняно із модулем плеча диполя ( рис. 3.17 ). В цьому випадку можна вважати, що ; ; , тоді можна використати наближені формули

                                    , .                            (3.93)

Підставимо (3.93) в формулу (3.92)

                                    .                (3.94)

§ 3.6. Провідники в електричному полі. Електроємність відокремленого провідника

Провідниками називаються тіла, які мають вільні електричні заряди, тобто такі заряджені частинки, які можуть вільно переміщатись по об’єму провідника. Розглянемо для прикладу металевий провідник, в якому вільними зарядами є електрони. Кожен електрон має негативний електричний заряд, модуль якого рівний елементарному зарядові.

Вмістимо провідник в електричне поле. На рис. 3.18 провідник вміщений в однорідне зовнішнє-електричне поле. Під дією зовнішнього поля з напруженістю  електрони в провіднику будуть переміщатись в напрямку, протилежному до напрямку поля , внаслідок чого в провіднику виникне внутрішнє електричне поле , протилежне за напрямком до зовнішнього. Переміщення електронів буде продовжуватись до тих пір, поки внутрішнє поле повністю не зкомпенсує зовнішнє. При цьому напруженість результуючого електричного поля всередині провідника стане рівною нулеві. Таким чином, зовнішнє електричне поле не може проникнути всередину провідника. Тобто електричне поле всередині провідника завжди відсутнє. Це стосується і того випадку, коли всередині провідника є порожнини.

Явище виникнення в провіднику внутрішнього електричного поля, рівного за величиною і протилежного за напрямком до зовнішнього, називається електростатичною індукцією. Це явище використовується для захисту електронних приладів та інших об’єктів від впливу зовнішнього електричного поля. З цією метою електричний прилад вміщують в замкнену металеву оболонку, яку, як правило, заземлюють. Такий метод захисту називається електростатичним захистом.

Слід зазначити, що явище електростатичної індукції в повній мірі стосується лише постійного, тобто статичного електричного поля. Змінне електричне поле частково може проникати вглиб провідника.

На основі формули (3.82) можна встановити зв’язок між потенціалом  і напруженістю  електричного поля

Оскільки всередині провідника , то , а отже .

Таким чином, потенціал електричного поля всередині провідника і на його поверхні є постійною величиною, а сама поверхня провідника є еквіпотенціальною. Силові лінії електричного поля завжди перпендикулярні до еквіпотенціальних поверхонь. Внаслідок цього силові лінії зовнішнього електричного поля біля провідника викривляються таким чином, що стають перпендикулярними до поверхні провідника як зображено на рис. 3.18. Ця властивість провідників використовується для створення електричних полів потрібної конфігурації за допомогою провідників спеціальної форми в електронних лампах, електронно-променевих трубках, електронних мікроскопах. В цих електронних приладах за допомогою провідників спеціальної форми (електродів) створюють елементи електронної оптики – електронні лінзи, дзеркала, призми.

Надамо деякому відокремленому провідникові заряду . Цей заряд розподілиться по поверхні провідника таким чином, що потенціал всіх точок поверхні і об’єму стане рівним . Напруженість електричного поля всередині провідника дорівнюватиме нулеві. Експериментально встановлено, що між величиною електричного заряду  і потенціалом поверхні провідника  існує пряма пропорційна залежність

.                                               (3.95)

Величина  називається електричною ємністю провідника або електроємністю.

.                                                            (3.96)

Електроємністю відокремленого провідника називається фізична величина рівна зарядові, який необхідно надати провідникові, щоб змінити його потенціал на одиницю. Електроємність залежить від форми, розмірів провідника, діелектричної проникності оточуючого середовища і не залежить від матеріалу провідника, його агрегатного стану, наявності в провіднику порожнин.

Одиницею вимірювання електроємності в системі одиниць  є 1Фарад. 1Фарад – це електроємність такого провідника, потенціал якого змінюється на 1В при зміні його заряду на 1Кл.

Визначимо електроємність провідника у формі кулі радіусом . Надамо йому електричного заряду . Приймемо у формулі (3.88) що для поверхні кулі  і , а для іншої точки, яку віддалимо на нескінченно велику відстань (), потенціал приймемо рівним нулеві . Таким чином, із виразу (3.88) отримаємо формулу потенціалу поверхні зарядженої кулі.

.                                          (3.97)

Підставимо (3.97) у формулу (3.96) і отримаємо формулу електроємності кулі

.                                          (3.98)

§ 3.7. Конденсатори. Електроємність конденсатора. З’єднання конденсаторів

Здатність провідника накопичувати електричний заряд характеризується його електроємністю, вона пропорційна до розмірів провідника. Однак електроємність навіть великого за розміром провідника є малою і недостатньою для практичного використання. Розглянемо систему двох провідників розділених діелектриком, яку будемо називати конденсатором. Зарядимо кожен із провідників рівними за величиною і протилежними за знаком зарядами. Це рівнозначно перенесенню деякого електричного заряду з одного провідника (обкладки конденсатора) на інший. Внаслідок взаємного притягання між протилежними за знаком зарядами обкладок конденсатора кожен із провідників конденсатора має значно більшу накопичувальну здатність, ніж відокремлений провідник. Тому електроємність конденсатора є значно більшою, ніж електроємність відокремленого провідника.

Електроємністю конденсатора називається фізична величина, рівна зарядові, який необхідно перенести з однієї обкладки на іншу, щоб різниця потенціалів між ними змінилась на одиницю

,                                      (3.99)

де  і  – потенціали обкладок,  – різниця потенціалів.

За формою обкладок конденсатори поділяють на плоскі, циліндричні і сферичні.

Розглянемо плоский конденсатор, який складається з двох плоских паралельних обкладок площею  кожна, які знаходяться на відстані  одна від одної ( рис. 3.19 ). Нехай між обкладками міститься діелектрик з діелектричною проникністю  і обкладки заряджені зарядами  і .

Напруженість електричного поля між обкладками рівна

,                               (3.100)

де  і  – напруженості полів, створених кожною з обкладинок. Будемо вважати розміри обкладок конденсатора значно більшими ніж відстань між ними. Тоді величини  і  можемо визначити за формулою (3.55) напруженості електричного поля створеного нескінченою рівномірно зарядженою площиною

.                         (3.101)

Різницю потенціалів знайдемо за формулою (3.73)

.              (3.102)

Підставляючи (3.102) в (3.99), одержимо формулу електроємності плоского конденсатора

.                                             (3.103)

Напруженості електричного поля ззовні від конденсатора, створеного однією та іншою обкладками, взаємно компенсуються. Тому результуюча напруженість електричного поля ззовні від конденсатора рівна нулю.

Розглянемо циліндричний конденсатор, який складається з двох коаксіальних циліндричних провідників з радіусами  і , які вставлені один в одний. Нехай між циліндрами міститься діелектрик з діелектричною проникністю  і обкладки заряджені електричними зарядами  і .

Напруженість електричного поля всередині внутрішнього циліндра рівна нулю, оскільки електричне поле всередині провідника відсутнє.

Напруженість електричного поля в просторі між циліндрами створюється лише зарядом внутрішнього циліндра і рівна . Зовнішній циліндр тут електричного поля не створює, оскільки цей простір для нього є внутрішнім.

Напруженість електричного поля ззовні від циліндра радіусом  рівна нулю, оскільки тут електричні поля від обох циліндрів взаємно компенсуються.

Різницю потенціалів між обома циліндрами знайдемо за формулою (3.89)

,                               (3.104)

де  – лінійна густина заряду

.                                              (3.105)

Підставимо (3.105) в (3.104)

.                                (3.106)

Підставимо (3.106) у формулу (3.99) і одержимо формулу електроємності циліндричного конденсатора

.                             (3.107)

Розглянемо сферичний конденсатор, який складається з двох концентричних сферичних провідників з радіусами  і . Нехай між сферичними провідниками міститься діелектрик з діелектричною проникністю  і обкладки заряджені електричними зарядами  і       ( рис. 3.21 )

Напруженість електричного поля всередині внутрішнього сферичного провідника рівна нулю.

Напруженість електричного поля в просторі між сферичними провідниками створюється лише зарядом внутрішньої кулі і рівна .

Напруженість електричного поля ззовні від сферичного провідника радіусом  рівна нулю, оскільки тут електричні поля від обох заряджених сферичних провідників взаємно компенсуються.

Різницю потенціалів між обома сферичними провідниками знайдемо за формулою (3.88)

.                          (3.108)

Підставимо (3.108) у формулу (3.99) і одержимо формулу електроємності сферичного конденсатора

.                                     (3.109)

Для практичних потреб конденсатори часто з’єднують між собою в батареї. Найбільш поширеними є паралельне і послідовне з’єднання конденсаторів.

Розглянемо паралельне з’єднання конденсаторів при якому позитивно заряджені обкладки всіх конденсаторів з’єднують в один полюс, а негативно заряджені обкладки – в інший полюс

( рис.3.22 ).

При паралельному з’єднанні конденсаторів напруга на всіх конденсаторах однакова, а заряд батареї конденсаторів рівний серії зарядів на кожному з них

.                                           (3.110)

                        .                        (3.111)

Підставивши (3.110) і (3.111) у формулу (3.99), одержимо формулу електроємності при паралельному з’єднанні конденсаторів

.                                            (3.112)

Розглянемо послідовне з’єднання конденсаторів при якому негативно заряджена обкладка першого конденсатора з’єднується з позитивно зарядженою обкладкою другого, негативно заряджена обкладка другого конденсатора з’єднується з позитивно зарядженою обкладкою третього конденсатора і т.д

( рис.3.23 ).

При послідовному з’єднанні конденсаторів заряди всіх конденсаторів однакові, а напруга батареї конденсаторів рівна сумі напруг на кожному із них

.                                               (3.113)

.                                          (3.114)

Підставивши (3.113) і (3.114) у формулу (3.99), одержимо формулу електроємності при послідовному з’єднанні конденсаторів

.                                                (3.115)

§ 3.8. Енергія зарядженого тіла і конденсатора. Енергія і густина енергії електричного поля

Розглянемо відокремлений провідник з електроємністю  і електричним зарядом . Потенціал провідника рівний

.                                              (3.116)

Перенесемо з нескінченності, де потенціал рівний нулю, елементарний заряд  на поверхню провідника. При цьому електричним полем буде виконана робота

.                                       (3.117)

Між однойменними електричними зарядами  і  діють сили відштовхування. Тому при наближенні елементарного заряду  до заряду  переміщення відбувається в напрямку протилежному до напрямку дії сили. Внаслідок цього електричне поле виконує від’ємну роботу.

Зміна потенціальної енергії рівна виконаній роботі з протилежним знаком, тобто

.                                (3.118)

Підставивши (3.116) в (3.118) і проінтегрувавши, дістанемо формулу енергії зарядженого провідника

,                    (3.119)

де А – постійна інтегрування. Будемо вважати, що енергія незарядженого провідника рівна нулю

;   .                                  (3.120)

Підставимо умови (3.120) у вираз (3.119) і визначимо постійну інтегрування А

.                                             (3.121)

Підставимо (3.121) у формулу (3.119) і одержимо формулу потенціальної енергії зарядженого провідника

.                                          (3.122)

Використовуючи формулу (3.116) можна отримати інші формули для енергії зарядженого провідника:

;    .                             (3.123)

Розглянемо конденсатор з електроємністю с, якому наданий електричний заряд q. Напруга між обкладками конденсатора рівна

.                                            (3.124)

Перенесемо з однієї обкладки на іншу елементарний заряд dq. При цьому електричним полем буде виконана від’ємна робота, оскільки переміщення заряду dq здійснюється проти сили електричного поля

.

Зміна потенціальної енергії конденсатора рівна виконаній роботі з протилежним знаком, тому вона рівна

.                               (3.125)

Підставимо (3.126) і використовуючи формулу (3.124) отримаємо формули енергії зарядженого конденсатора

.                           (3.127)

Знайдемо густину енергії зарядженого плоского конденсатора. Підставимо вираз для електроємності плоского конденсатора (3.103) у формулу (3.127)

.                 (3.128)

Введемо позначення

,                                         (3.129)

де v – об’єм простору між обкладками плоского конденсатора. Підставимо (3.129) і вираз (3.101) напруженості електричного поля всередині плоского конденсатора у формулу (3.128)

.                                    (3.130)

Враховуючи зв’язок між напруженістю та індукцією електричного поля (3.7) формулу (3.130) можна представити також у вигляді

.                                      (3.131)

Формули (3.130) і (3.131) виражають енергію зарядженого плоского конденсатора через такі характеристики електричного поля як напруженість та індукція, а також через об’єм простору в якому локалізоване електричне поле. Тому можна зробити висновок, що електричне поле володіє енергією.

Густиною енергії електричного поля називається фізична величина рівна енергії електричного поля в одиниці об’єму простору де міститься електричне поле

.                                             (3.132)

Якщо електричне поле однорідне, то густину енергії електричного поля можна визначити за формулою

.                                                     (3.133)

Підставимо вирази (3.130) і (3.131) у формулу (3.133). отримаємо формули густини енергії електричного поля

.                                    (3.134)

Із формули (3.132) визначимо диференціал енергії електричного поля

.                                            (3.135)

Підставимо (3.134) в (3.135)

.                  (3.136)

Проінтегруємо вираз (3.136) по деякому об’єму

.                 (3.137)

Ці формули дозволяють визначити енергію неоднорідного електричного поля.

§ 3.9. Діелектрики в електричному полі. Поляризація діелектриків

Діелектриками (або ізоляторами) називаються речовини, які в нормальних умовах не проводять електричний струм. Насправді реальні діелектрики, хоч і дуже погано, але проводять електричний струм. Їхній питомий опір досягає , що в  разів більше ніж питомий опір провідників.

В діелектриках за нормальних умов майже відсутні вільні електричні заряди. Заряджені частинки в діелектриках зв’язані в атомах, молекулах чи в кристалічній гратці. В зовнішньому електричному полі заряджені частинки можуть зміщуватись на невеликі відстані в межах атомів, молекул чи відносно вузлів кристалічної гратки, тобто поляризуватись, але не можуть переміщуватись по всьому об’єму діелектрика.

Всі діелектрики можна розділити на три типи: неполярні діелектрики, полярні діелектрики та іонні кристали.

Неполярними називаються діелектрики, в молекулах яких центри розподілу позитивних і негативних зарядів співпадають. В зовнішньому електричному полі центри позитивних і негативних зарядів (електронів) зміщуються в протилежних напрямках, що приводить до виникнення дипольного моменту. При цьому виникає внутрішнє електричне поле, яке частково компенсуватиме зовнішнє. Поляризація таких діелектриків називається електронною. До неполярних діелектриків відносяться гази  та інші.

Полярними називаються діелектрики, в молекулах яких центри розподілу позитивних і негативних зарядів не співпадають. Молекули таких діелектриків можна вважати електричними диполями. При відсутності зовнішнього електричного поля внаслідок теплового руху дипольні моменти молекул орієнтовані хаотично. Тому сумарний дипольний момент і електричне поле в довільному макроскопічному об’ємі діелектрика рівне нулю. В зовнішньому електричному полі диполі молекул будуть повертатись орієнтуючись вздовж силових ліній поля. Внаслідок цього виникне внутрішнє електричне поле, яке частково компенсуватиме зовнішнє. Поляризація таких діелектриків називається орієнтаційною. До полярних діелектриків відносяться гази , рідини  та інші речовини.

Іонні кристали – це тверді тіла кристалічна гратка яких складається з позитивно та негативно заряджених іонів. В зовнішньому електричному полі іони частково зміщуються від положень рівноваги. При цьому виникає внутрішнє електричне поле, яке частково компенсує зовнішнє. Поляризація таких діелектриків називається іонною. До іонних кристалів відносяться  та інші.

Всі діелектрики при поляризації деформуються. Це явище називається електрострикцією.

Помістимо діелектрик в електричне поле плоского конденсатора (рис.3.24). Внаслідок поляризації діелектрика на його протилежних поверхнях виникнуть зв’язані електричні заряди протилежних знаків з поверхневою густиною  . В об’ємі діелектрика позитивні і негативні заряди будуть взаємно компенсувати один одного. Однак, кожна молекула діелектрика буде мати деякий дипольний момент .

Вектором поляризації називається векторна сума електричних дипольних моментів молекул одиниці об’єму поляризованого діелектрика

,                                      (3.138)

де Nчисло молекул в об’ємі V.

Експериментально встановлено, що дипольний момент неполярних молекул прямо пропорційний до напруженості електричного поля

,                                       (3.139)

де  – поляризованість молекули, яка є різною для молекул різних видів. Підставимо вираз (3.139) у формулу (3.138)

,                    (3.140)

де  – концентрація молекул.

Введемо позначення

,                                           (3.141)

– діелектрична сприйнятливість або поляризованість одиниці об’єму діелектрика. Підставимо (3.141) у формулу (3.140)

.                                          (3.142)

У випадку слабкого електричного поля ця формула справедлива і для полярних діелектриків.

Для неполярних діелектриків діелектрична сприйнятливість  не залежить від температури. Для полярних діелектриків діелектрична сприйнятливість обернено пропорційна абсолютній температурі і визначається за формулою Дебая-Ланжевена

,                                    (3.143)

де  – дипольний момент полярної молекули,  – постійна Больцмана.

Знайдемо величину вектора поляризації, розглядаючи поляризований діелектрик як великий електричний диполь

.                           (3.144)

Із формул (3.142) і (3.144) отримаємо

;   .                              (3.145)

Напруженість результуючого електричного поля рівна

,                                       (3.146)

де  – напруженість електричного поля при відсутності діелектрика,  – напруженість поля, створеного поляризаційними зарядами. Поляризаційні заряди на протилежних гранях діелектрика утворюють дві паралельні різнойменно заряджені площини з поверхневою густиною заряду . Тому напруженість поля поляризаційних зарядів рівна

.                                             (3.147)

Підставимо (3.145) в (3.147), одержимо

.                                             (3.148)

Підставимо (3.148) в (3.146), дістанемо

;   .                              (3.149)

Діелектричною проникністю середовища називається фізична величина, рівна відношенню напруженості електричного поля у вакуумі до напруженості електричного поля у середовищі при інших однакових умовах

.                                             (3.150)

Підставивши (3.149) в (3.150), отримаємо

.                                 (3.151)

Між індукцією та напруженістю електричного поля існує зв’язок

.                                           (3.152)

Підставимо (3.151) в (3.152) і використаємо (3.142)

;

.                                       (3.153)

Між діелектричною проникністю і поляризованістю молекул неполярного діелектрика існує зв’язок

.                                        (3.154)

Це співвідношення називається рівнянням Клаузіуса-Мосотті.

Для полярних діелектриків діелектрична проникність може бути визначена за формулою

.                                (3.155)

Полярні молекули діелектрика в електричному полі повертаються і орієнтуються вздовж силових ліній поля. Поряд з цим відбувається і електронна деформаційна поляризація молекул. Тому діелектрична проникність полярних діелектриків складається з орієнтаційної частини  і деформаційної частинки , яка набагато менша від орієнтаційної.

Серед великої кількості діелектриків зустрічаються такі, які мають дуже великі значення діелектричної проникності. Ці діелектрики називаються сегнетоелектриками. Їхня назва походить від назви одного із цих діелектриків – сегнетової солі (подвійна натрієво-калієва сіль винної кислоти ). Діелектрична проникність сегнетової солі при кімнатній температурі досягає 10000. До сегнетоелектриків належать також титанат барію , титанат свинцю , ніобат літію , дигідрофосфат калію  та інші. Усі сегнетоелектрики мають кристалічну будову, причому їхня кристалічна гратка не має центру симетрії.

Висока діелектрична проникність сегнетоелектриків пов’язана з наявністю в них самовільних (спонтанних) поляризованих областей при відсутності зовнішнього електричного поля. Ці області спонтанної поляризації називаються доменами. У сусідніх доменах орієнтація дипольних моментів різна. Тому вектор поляризації великого кристалу сегнетоелектрика в середньому рівний нулю і при відсутності зовнішнього електричного поля сегнетоелектрик є неполяризований ( рис. 3.25 ). Якщо сегнетоелектрик внести в зовнішнє електричне поле, то вектори поляризації доменів встановлюються в напрямі, близькому до напрямку поля і сегнетоелектрик поляризується в цілому. Між вектором поляризації сегнетоелектрика  і напруженістю зовнішнього електричного поля  існує складна залежність, яка називається діелектричним гістерезисом (запізненням) (рис. 3.26). Із збільшенням напруженості зовнішнього електричного поля величина вектора поляризації зростає і потім досягає насичення . Якщо після цього напруженість електричного поля зменшувати і довести до нуля, то величина вектора поляризації буде зменшуватись із запізненням і досягне деякого залишкового значення . Залишкова поляризація зникне лише при накладанні певного електричного поля протилежного напрямку . Напруженість  поля, при якій усувається залишкова поляризація даного діелектрика, називається його коерцитивною силою. Аналогічною є залежність вектора поляризації від напруженості електричного поля і при його зворотному напрямку.

Діелектрична проникність сегнетоелектриків суттєво залежить від температури. Її високе значення проявляється лише в певному температурному інтервалі. Температура, вище і нижче від якої сегнетоелектричні властивості значно послаблюються, називається точкою Кюрі. Коли температура сегнетоелектрика досягає точки Кюрі, зростає тепловий рух частинок, порушується орієнтація дипольних моментів в областях спонтанної поляризації, домени руйнуються і сегнетоелектрик перетворюється в звичайний діелектрик.

Перетворення сегнетоелектриків у точці Кюрі в звичайні полярні діелектрики відбувається без будь-якого виділення прихованої теплоти і є фазовим переходом другого роду.

Під час поляризації під дією електричного поля різнойменно заряджені частинки в діелектрику зміщуються в протилежних напрямках, що приводить до його деформації. Це явище називається електрострикцією. Значна електрострикція проявляється в сегнетоелектриках, в кристалах кварцу та інших діелектриках. Цим діелектрикам властиве і зворотнє явище. Якщо діелектрик деформувати то на гранях перпендикулярних до напрямку деформації виникають протилежні за знаком заряди. Це явище називається п’єзоелектричним ефектом.

Явище електрострикції і п’єзоелектричний ефект знайшли широке застосування в електромеханічних перетворювачах, випромінювачах і приймачах звуку, ультразвуку, стабілізаторах електромагнітних коливань, тощо.

Існують діелектрики, які здатні тривалий час зберігати стан поляризації. Такі діелектрики називаються електретами. Поляризовані електрети є електричними аналогами постійних магнітів. Вони використовуються як джерела постійного електричного поля в схемах телефонного зв’язку, електрометрах, дозиметричних радіаційних приладах, тощо.

§ 3.10. Електричний струм. Закон Ома для ділянки кола. Закон Ома в диференціальній формі

Серед великої кількості електричних явищ важливе наукове, теоретичне і практичне значення, мають явища пов’язані із переміщенням електричних зарядів, тобто електричним струмом.

Електричним струмом називається впорядковане переміщення електричних зарядів. Для існування електричного струму необхідно, щоб в середовищі були вільні електричні заряди і щоб в середовищі існувало електричне поле. Речовини, які містять вільні електричні заряди здатні переміщуватись по всьому об’єму тіла під дією електричного поля називаються провідниками. Вільні електричні заряди в провідниках називаються носіями струму. Носіями електричного струму в металах є електрони, в електролітах – позитивно й негативно заряджені іони, в газах – електрони та іони. За напрямок струму приймається напрямок переміщення позитивних зарядів.

Силою струму називається скалярна фізична величина, рівна зарядові, який проходить через поперечний переріз провідника за одиницю часу

.                                                (3.156)

У випадку постійного струму сила струму рівна

.                                                    (3.157)

Одиницею вимірювання сили струму в системі одиниць СІ є ампер (А). Ця одиниця є однією із основних в системі СІ.

Для характеристики розподілу електричного струму по перерізу провідника і його напрямку в просторі користуються поняттям густини струму.

Густиною струму називається векторна фізична величина, яка чисельно рівна силі струму, який проходить через одиничний поперечний переріз провідника, перпендикулярний до напрямку струму і має напрямок швидкості позитивно заряджених частинок

.                                            (3.158)

У випадку однорідного струму модуль густини струму рівний

.                                                      (3.159)

В процесі проходження електричного струму сили електричного поля виконують деяку роботу по переміщенню заряду. Однак, електричні заряди можуть переміщуватись і під дією сил іншої природи або сторонніх сил. Для характеристики цієї роботи використовується поняття електричної напруги.

Електричною напругою на ділянці кола називається скалярна фізична величина, яка рівна роботі електричних і сторонніх сил по переміщенню одиничного позитивного заряду на цій ділянці

.                                               (3.160)

У випадку постійного струму напруга рівна

.                                              (3.161)

Одиницею вимірювання електричної напруги в системі одиниць СІ є вольт (В). Один вольт рівний напрузі при якій виконується робота в 1Дж при переміщенні електричного заряду 1Кл на даній ділянці кола.

Німецький фізик Г.Ом експериментально відкрив закон, який встановлює зв’язок між силою струму в провіднику і напругою на його кінцях

,                                             (3.162)

де  – електричний опір провідника.

Формула (3.162) – це закон Ома для однорідної ділянки кола: сила струму в провіднику прямо пропорційна прикладеній напрузі і обернено пропорційна опору провідника.

Опір провідника характеризує здатність провідника перешкоджати проходженню по ньому струму за рахунок перетворення енергії струму у внутрішню енергію провідника. Одиницею вимірювання опору є Ом. Один Ом це опір такого провідника по якому протікає струм силою 1А при прикладеній напрузі 1В.

Величина обернена до електричного опору називається електричною провідністю провідника

.                                             (3.163)

Одиницею вимірювання провідності є Сіменс (См). Один Сіменс рівний електричній провідності провідника опором 1Ом.

Електричний опір провідника залежить від його геометричних розмірів і матеріалу, з якого виготовлений провідник

,                                            (3.164)

де  – довжина провідника,  – площа його поперечного перерізу,  – питомий опір провідника, який залежить від матеріалу з якого виготовлений провідник, і його температури. Величина обернена до питомого опору, називається питомою електропровідністю

.                                             (3.165)

Опір і питомий опір металевого провідника є лінійною функцією температури

                                  (3.166)

,                                       (3.167)

де  і  – опір і питомий опір при температурі ,  – температурний коефіцієнт опору,  – температура по шкалі Цельсія.

При температурі близькій до абсолютного нуля опір деяких провідників стає рівним нулю. Це явище називається надпровідністю. Воно було відкрите Камерлінг-Онессом у 1911 р. Якщо в замкнутому колі складеному з надпровідника, створити електричний струм, то він циркулюватиме тривалий час практично не зменшуючись протягом тижнів і місяців.

Виділимо в провіднику елементарний циліндр довжиною  і площею поперечного перерізу . Нехай до циліндра прикладена різниця потенціалів  і по ньому тече струм силою  ( рис. 3.27 )

Тоді формули (3.162) і (3.164) наберуть вигляду

.                    (3.168)

.                                          (3.169)

Підставимо (3.169) в (3.168) і використаємо (3.158), дістанемо

.                     (3.170)

Врахуємо, що

.                                  (3.171)

Підставимо (3.171) у вираз (3.170):

;     .                                      (3.172)

Формули (3.172) можна представити також у векторній формі

;   .                                      (3.173)

Формули (3.173) – це закон Ома в диференціальній формі для однорідної ділянки кола.

В ізотропному провіднику носії струму в кожній точці рухаються в напрямку вектора . Закон Ома в диференціальній формі зв’язує густину струму в кожній точці всередині провідника з напруженістю електричного поля в тій самій точці.

Оскільки напрямлений рух носіїв струму створюється електричним полем в провіднику, то можна вважати, що середня швидкість  напрямленого руху зарядів прямо пропорційна до напруженості поля в провіднику

,                                         (3.174)

де коефіцієнт пропорційності  називається рухливістю носіїв струму. Рухливість носіїв струму чисельно рівна швидкості їх напрямленого руху, якої вони набувають в провіднику під дією електричного поля з одиничною напруженістю.

Виразимо силу і густину струму через середню швидкість  впорядкованого руху носіїв струму в провіднику. За час  через поперечний переріз провідника  переноситься заряд

,                          (3.175)

де  – концентрація носіїв струму,  – заряд носія струму. Сила струму рівна

;    .                      (3.176)

Підставимо вираз (3.176) у формулу (3.159) отримаємо формулу густини струму

.                                  (3.177)

Підставимо вираз (3.174) у формулу (3.177), дістанемо

.                                    (3.178)

Порівняємо формулу (3.178) із виразом (3.172). Отримаємо формулу питомої електропровідності речовини

.                                     (3.179)

Отже, питома електропровідність провідника прямо пропорційна електричному зарядові носія струму, рухливості носіїв і їх концентрації.

§ 3.11. Електрорушійна сила джерела струму. Закон Ома для неоднорідної ділянки кола і для повного кола

Розглянемо два провідники заряджені електричними зарядами до потенціалів  і . З’єднаємо ці провідники третім провідником по якому потече електричний струм силою І (рис. 3.28). Будемо підтримувати силу струму постійною. Для цього з допомогою спеціального пристрою силами неелектричної природи будемо переносити електричні заряди в зворотному напрямку таким чином, щоб різниця потенціалів між тілами залишалась постійною. Сили неелектричної природи, які переносять заряди в даному пристрої, називаються сторонніми. Пристрій, в якому сторонні сили переносять електричні заряди між двома тілами і підтримують постійною різницю потенціалів між ними називається джерелом струму, а тіла, між якими підтримується постійною різниця потенціалів, називаються полюсами джерела струму. Замкнутий контур , утворений джерелом струму і провідником, під’єднаним до його полюсів, утворюють електричне коло.

Знайдемо роботу, яку необхідно виконати, щоб перемістити деякий заряд  по замкнутому контуру

.                             (3.180)

Ця робота складається з роботи електричних сил і роботи сторонніх сил. Оскільки електростатичні сили консервативні, то робота цих сил по замкнутому контурі рівна нулю

.                                         (3.181)

Підставивши (3.181) у вираз (3.180), дістанемо

.                                       (3.182)

Введемо фізичну величину , яка називається електрорушійною силою

.                                (3.183)

Електрорушійною силою називається фізична величина, рівна роботі сторонніх сил по переміщенню одиничного позитивного заряду по замкнутому електричному колу.

Розглянемо неоднорідну ділянку електричного кола, тобто таку ділянку, яка містить джерело електричного струму з електрорушійною силою  і внутрішнім опором, тобто опором самого джерела струму . Нехай до ділянки кола прикладена різниця потенціалів  ( рис. 3.29 ). Нехай опір провідників ділянки рівний  і по провідниках ділянки тече постійний струм силою . Згідно із законом Ома для ділянки кола (3.162), сила струму рівна

,                                              (3.184)

де  – повний опір ділянки кола. Згідно з означенням електричної напруги у випадку постійного струму за формулою (3.161), одержимо

.                                   (3.185)

Із формули (3.183) робота сторонніх сил рівна

.                                                 (3.186)

Робота електростатичних сил рівна

.                                  (3.187)

Підставимо (3.186) і (3.187) у формулу (3.185)

.                                          (3.188)

Підставимо (3.188) у вираз (3.184), одержимо

.                                             (3.189)

Формула (3.189) – це закон Ома для неоднорідної ділянки кола: сила струму в неоднорідній ділянці кола прямо пропорційна сумі електрорушійної сили на ділянці, різниці потенціалів на кінцях ділянки і обернено пропорційна повному опору ділянки.

Розглянемо повне замкнене електричне коло, яке можна отримати з неоднорідної ділянки кола, з’єднавши точки 1 і 2 (рис.3.30).

В цьому випадку потенціали цих точок зрівняються  і вираз (3.179) набере вигляду

.                                       (3.190)

Отриманий вираз – це закон Ома для повного кола: сила струму в колі прямо пропорційна електрорушійній силі джерела струму і обернено пропорційна повному опору кола.

§ 3.12. Розгалужені електричні кола. Закони Кірхгофа. З’єднання провідників

Для розрахунку складних розгалужених електричних кіл зручно користуватись законами Кірхгофа, які є наслідками закону збереження електричного заряду і законів Ома.

Вузлом електричного кола називається місце з’єднання трьох або більше провідників. Розглянемо деякий вузол А (рис.3.31). В стаціонарному випадку заряд і потенціал точки А повинен залишатись постійним. Виходячи із закону збереження електричного заряду можна записати

,               (3.191)

де  – заряди, які за деякий однаковий проміжок часу надходять до вузла А чи виходять із нього. Продиференціюємо вираз (3.191)

.         (3.182)

Враховуючи формулу (3.156) вираз (3.192) можна представити у вигляді

.                     (3.193)

Будемо вважати сили струмів, які сходяться у вузлі, алгебраїчними величинами. Зокрема, струми, які ідуть до вузла, будемо вважати додатними, а струми, які ідуть від вузла, будемо вважати від’ємними. Тоді в загальному випадку, коли у вузлі сходиться  провідників, формулу (3.193) можна представити у вигляді

.                                     (3.194)

Формула (3.194) є математичним записом першого закону Кірхгофа: алгебраїчна сума сил струмів, які сходяться у вузлі, рівна нулю. При цьому струми, які йдуть до вузла вважаються додатніми, а струми, які йдуть від вузла – від’ємними.

Розглянемо довільний замкнутий контур, який умовно виділимо в складному розгалуженому електричному колі (рис. 3.32). Будемо вважати, що внутрішні опори джерел струму рівні нулю. На кожній ділянці контуру виберемо довільним чином напрямки струмів. Виберемо довільним чином напрямок обходу по контуру, який будемо вважати додатнім. Запишемо для кожної ділянки контуру закон Ома для неоднорідної ділянки кола

                   (3.195)

Помножимо кожне з рівнянь системи (3.195) на опори  відповідно

                                     (3.196)

Додамо алгебраїчно рівняння системи (3.196)

.        (3.197)

Якщо виділений контур містить n ділянок, то формула (3.197) в загальному випадку може бути представлена у вигляді

.                                   (3.198)

Це математичний запис другого закону Кірхгофа: при обході по замкнутому контурі алгебраїчна сума добутків сил струмів на опори рівна алгебраїчній сумі електрорушійних сил. При цьому струм вважається додатнім, якщо його напрямок співпадає з напрямком обходу за контуром; електрорушійна сила вважається додатною, якщо при обході здійснюється перехід через неї із знаку “мінус” на знак “плюс”.

Серед різних видів з’єднання провідників найпростішими і найважливішими є послідовне і паралельне з’єднання.

Розглянемо послідовне з’єднання провідників. При цьому з’єднанні електричне коло не має розгалужень, усі провідники ввімкнені в коло по черзі, один за одним. На рис.3.33 показано з’єднання двох провідників з опорами  і . При проходженні постійного струму електричний заряд не нагромаджується в жодному з провідників. За один і той же проміжок часу через поперечний переріз кожного з провідників проходить один і той же заряд, а значить сила струму в усіх провідниках однакова

.                                                   (3.199)

При проходженні заряду послідовно через усі провідники виконується робота, яка рівна сумі робіт виконаних на кожному провіднику. Тому загальна напруга рівна сумі напруг на всіх провідниках

.                                        (3.200)

Поділимо вираз (3.200) на силу струму І. Врахувавши при цьому (3.199), одержимо

.                                       (3.201)

Із закону Ома для ділянок кола (3.162) випливає, що

.                                                 (3.202)

З врахуванням формули (3.202) вираз (3.201) набере вигляду

.                                       (3.203)

Формула (3.203) дозволяє визначити загальний опір при послідовному з’єднанні двох провідників. Якщо послідовно з’єднано n провідників, то формула (3.203) набере вигляду

.                                                 (3.204)

Розглянемо паралельне з’єднання двох провідників з опорами  і  (рис. 3.34). При такому з’єднанні початки всіх провідників з’єднуються в одному вузлі, а кінці провідників – в іншому вузлі. Оскільки потенціали початків провідників у вузлі А рівні , а потенціали кінців провідників у вузлі В рівні , то різниці потенціалів і напруги на всіх провідниках однакові

.                                     (3.205)

У випадку постійного струму в будь-якій точці електричного кола, в тому числі і у вузлі А, заряди не накопичуються. Тому сила струму, який надходить до вузла А повинна дорівнювати сумі сил струмів, які виходять з цього вузла.

.                                             (3.206)

Поділимо вираз (3.206) на напругу  і врахувавши (3.195), одержимо

.                                        (3.207)

Із закону Ома для ділянки кола отримаємо

.                                               (3.208)

З врахуванням виразу (3.208) формула (3.207) набере вигляду

.                                       (3.209)

Формула (3.209) дозволяє визначити загальний опір при паралельному з’єднанні двох провідників. Якщо паралельно з’єднано n провідників то формула (3.209) набере вигляду

.                                        (3.210)

§ 3.13. Робота і потужність струму. Закон Джоуля-Ленца

Розглянемо ділянку кола опором R до якої прикладена напруга U і по якій тече струм силою І. Із означення електричної напруги (3.160) визначимо елементарну роботу по переміщенню по колу елементарного заряду dq

.                                   (3.211)

Із означення сили струму (3.156) визначимо елементарний заряд

.                                       (3.212)

Підставимо вираз (3.212) у формулу (3.211)

.                                         (3.213)

Проінтегруємо вираз (3.203) і отримаємо формулу роботи електричного струму

.                                       (3.214)

У випадку постійного струму, коли , , робота електричного струму визначається за формулою

.                                      (3.215)

Потужність рівна роботі виконаній за одиницю часу

.                                            (3.216)

Підставимо (3.213) у формулу (3.216). Отримаємо формулу потужності струму

.                                                   (3.217)

Якщо електричний струм не виконує роботу проти зовнішніх сил і не змінюється внутрішня енергія провідника то, як випливає з першого закону термодинаміки, робота струму рівна кількості теплоти, яка виділяється в провіднику

.                                 (3.218)

З закону Ома для ділянки кола випливає

.                                             (3.219)

Підставимо (3.219) у формулу (3.218)

.                                        (3.220)

У випадку постійного струму формула (3.220) набере вигляду

.                                            (3.221)

Формули (3.220) і (3.221) – це закон Джоуля-Ленца в інтегральній формі: кількість теплоти, яка виділяється в провіднику при проходженні електричного струму, прямо пропорційна квадрату сили струму, опору провідника і часу проходження струму

Розглянемо циліндричний провідник з площею поперечного перерізу , довжиною , по якому тече струм силою . Тоді за час  в ньому виділиться кількість теплоти , яка згідно з формулою (3.221) рівна

.                                 (3.222)

З формул (3.164) і (3.159) отримаємо

;       .                         (3.223)

Підставимо (3.223) у формулу (3.222)

                        (3.224)

де  – об’єм провідника.

Питомою тепловою потужністю струму називається фізична величина, рівна кількості теплоти, яка виділяється в одиниці об’єму провідника за одиницю часу

.                                          (3.225)

Підставимо (3.224) у формулу (3.225) отримаємо

.                                              (3.226)

Формула (3.226) – це закон Джоуля-Ленца в диференціальній формі: питома теплова потужність струму прямо пропорційна питомому опору провідника і квадратові густини струму.

Використовуючи формули (3.173) вираз (3.226) можне бути представлений у вигляді

             .                           (3.227)

Формули (3.227) – це другий варіант закону Джоуля-Ленца в диференціальній формі: питома теплова потужність струму прямо пропорційна питомій електропровідності провідника і квадрату напруженості електричного поля.

§ 3.14. Електричний струм в металах. Термоелектронна емісія. Контактні явища

Метали є добрими провідниками електричного струму. Носіями струму в металах є електрони провідності, які мають негативний електричний заряд, модуль якого рівний елементарному зарядові. Електрони провідності виникають внаслідок відщеплення валентних електронів від атомів. Тому концентрація електронів провідності рівна добутку валентності металу на концентрацію атомів. Метали мають кристалічну будову. У вузлах кристалічної гратки розміщені іони. В просторі між іонами рухаються електрони провідності. В класичній електронній теорії провідності металів, яку створили П.Друде і Г.Лоренц, електрони провідності вважаються електронним газом, який розглядається як одноатомний ідеальний газ.

Розглянемо металевий провідник в електричному колі, по якому протікає електричний струм. Нехай в провіднику існує електричне поле напруженістю , під дією якого відбувається рух електронів провідності. З боку електричного поля на електрон буде діяти сила

,                                            (3.228)

де  – заряд електрона. Згідно з другим законом Ньютона можна записати

,                                                    (3.229)

де  – маса електрона. Підставимо вираз (3.228) у формулу (3.229) і визначимо прискорення електрона

.                                                (3.230)

Електрони в провіднику зазнають зіткнень як між собою так і з іонами кристалічної гратки, а також з домішками і дефектами кристалічної гратки. Рух електронів характеризується середнім часом вільного пробігу . На хаотичний тепловий рух електронів буде накладатись впорядкований рух під дією електричного поля. За час вільного пробігу електрон досягне деякої максимальної швидкості впорядкованого прискореного руху, яка рівна

.

Середня швидкість впорядкованого руху рівна половині максимальної, тому

.                          (3.231)

Підставимо вираз (3.231) у формулу густини струму (3.178), одержимо

.                             (3.232)

Введемо позначення

.                                       (3.233)

Підставимо (3.233) у формулу (3.232)

.                                            (3.234)

Формула (3.234) – це закон Ома в диференціальній формі, а вираз (3.233) – це питома електропровідність провідника.

Розглянемо поверхню металу, яка межує із вакуумом. Частина електронів провідності внаслідок теплового руху будуть вилітати з приповерхневого шару металу у вакуум і утворять біля поверхні електронну хмарку. Внаслідок явища електростатичної індукції поверхня металу зарядиться позитивним зарядом, який перешкоджатиме подальшому вилітанню електронів з металу і повертатиме частину електронів з електронної хмарки. Внаслідок цього встановиться динамічна рівновага, при якій число електронів, які вилітають з поверхні металу за одиницю часу, буде дорівнювати числу електронів, які за цей же час повертаються з електронної хмарки в метал. Для того, щоб за цих умов перенести електрон з поверхні металу у вакуум, необхідно виконати деяку роботу, яка називається роботою виходу електронів з речовини. Кожна речовина характеризується своїм значенням роботи виходу. З підвищенням температури число електронів, які переходять з поверхні металу у вакуум, зростає. Термоелектронною емісією називається явище випромінювання електронів поверхнею нагрітих до високої температури тіл.

Приведемо в контакт два різних метали, які мають роботи виходу електронів  і  і концентрації електронів провідності  і . Внаслідок явища дифузії електронів провідності вони будуть переходити в метал, де їхня концентрація менша, а робота виходу більша. Внаслідок цього метал з меншою концентрацією електронів і з більшою роботою виходу зарядиться негативно, а інший метал – позитивно. Між металами виникне контактна різниця потенціалів і приконтактне електричне поле, яке буде перешкоджати подальшій дифузії. Внаслідок цього встановиться динамічна рівновага, при якій число електронів, які за одиницю часу переходять з одного металу в інший внаслідок дифузії, буде дорівнювати числу електронів, які за цей же час переходять в зворотному напрямку внаслідок контактної різниці потенціалів. Величина контактної різниці потенціалів рівна

,                          (3.235)

де  – заряд електрона,  – стала Больцмана,  – абсолютна температура.

Італійський вчений А.Вольта експериментально встановив два закони.

Перший закон Вольта: в місці контакту двох металів виникає контактна різниця потенціалів, яка залежить від хімічного складу металів і від температури.

Другий закон Вольта: при послідовному з’єднанні кількох різних металів при однаковій температурі різниця потенціалів між крайніми металами не залежить від хімічних властивостей проміжних провідників, а визначається лише хімічними властивостями крайніх металів.

§ 3.15. Електричний струм в електролітах

Більшість чистих рідин погано проводить електричний струм. При розчиненні в рідині інших речовин її електропровідність значно збільшується. Наприклад, чиста вода дуже погано проводить електричний струм. При розчиненні у воді солей, кислот або лугів, вона стає добрим провідником електрики.

Молекули води, як і інших полярних діелектриків, є електричними диполями, тобто являють собою системи двох однакових за величиною і протилежних за знаком зарядів. При розчиненні іонної сполуки у воді дипольні молекули води орієнтуються навколо молекули розчиненої речовини і послаблюють хімічний зв’язок в молекулі. Внаслідок теплового руху, зіткнень з іншими молекулами, така молекула розчиненої речовини розпадається на іони. Явище розпадання молекул на іони при розчиненні називається електролітичною дисоціацією, а самі розчини називаються електролітами. Крім дисоціації в розчині відбуваються і зворотні процеси рекомбінації або молізації, тобто утворення молекул при зіткненні двох протилежних за знаком іонів.

Ступінь дисоціації розчиненої речовини характеризується коефіцієнтом дисоціації , який рівний відношенню кількості молекул дисоційованих на іони  до загальної кількості молекул розчиненої речовини

.                                             (3.236)

Кількість молекул, які дисоціюють в одиниці об’єму за одиницю часу, пропорційна до кількості недисоційованих молекул, тому

,                          (3.237)

де  – коефіцієнт пропорційності. Кількість молекул рекомбінованих в одиниці об’єму за одиницю часу пропорційна як числу позитивних так і числу негативних іонів

.                                 (3.238)

При сталій температурі в електроліті існує динамічна рівновага між процесами дисоціації та рекомбінації, тому швидкості цих процесів рівні між собою

.                                       (3.239)

Підставимо (3.237) і (3.238) у вираз (3.239)

.

Звідси

,                                        (3.240)

де  – постійна величина. Формула (3.240) пов’язує коефіцієнт дисоціації із концентрацією розчиненої речовини. В слабких розчинах з малою концентрацією розчиненої речовини . Із формули (3.240) випливає, що при цьому коефіцієнт дисоціації , тому в слабких розчинах майже всі молекули дисоційовані. Із збільшенням концентрації розчину коефіцієнт дисоціації зменшується. В сильно концентрованих розчинах  і, як випливає із формули (3.240)

.                                        (3.241)

Тобто, в сильно концентрованих розчинах коефіцієнт дисоціації обернено пропорційний квадратному кореню із концентрації розчиненої речовини.

Зануримо в посудину з електролітом два електроди і приєднаємо їх до джерела електричного струму. Між електродами виникне електричне поле під дією якого іони разом з хаотичним тепловим рухом будуть здійснювати впорядковане переміщення. Позитивно заряджені іони (катіони) будуть рухатись до негативного електроду (катоду), негативно заряджені іони (аніони) будуть рухатись до позитивного електроду (аноду). На електродах іони нейтралізують свої заряди і перетворюються в нейтральні частинки. Таким чином, проходження електричного струму через електроліт супроводжується явищем електролізу – виділенням на електродах складових частин розчиненої речовини та інших речовин, які можуть виникати внаслідок вторинних хімічних реакцій. Провідники, в яких проходження струму супроводжується електролізом, називаються провідниками другого роду або електролітами. Англійський вчений М.Фарадей експериментально встановив два закони електролізу.

Перший закон електролізу Фарадея: маса речовини, яка виділяється на кожному з електродів, прямо пропорційна величині заряду, який переноситься через електроліт

,                                        (3.242)

де  – електрохімічний еквівалент. Він чисельно рівний масі речовини, яка виділяється в результаті електролізу при проходженні електричного заряду в 1Кл. При проходженні постійного струму силою  протягом часу  електричний заряд рівний

.                                           (3.243)

Підставимо вираз (3.243) у формулу (3.242) тоді перший закон електролізу набере вигляду

.                                          (3.244)

Другий закон електролізу Фарадея: електрохімічний еквівалент речовини прямо пропорційний хімічному еквіваленту

,                                        (3.245)

де  – хімічний еквівалент речовини, рівний відношенню атомної маси речовини  до її валентності ,  – постійна Фарадея.

Підставивши (3.245) у формулу (3.243) і (3.244) отримаємо об’єднаний закон електролізу Фарадея

;       .                   (3.246)

Для електролітів справедливий закон Ома в диференціальній формі

,                                (3.247)

де j – густина струму, q– заряд іона,  та  – рухливості катіонів та аніонів,  – напруженість електричного поля.

§ 3.16. Електричний стум в газах. Плазма

Гази складаються з електрично нейтральних атомів і молекул і за нормальних умов є діелектриками. Гази починають проводити електричний струм при їх іонізації внаслідок якої електрони відщеплюються від молекул. При іонізації утворюються позитивно заряджені іони і електрони, частина яких може приєднуватись до нейтральних молекул і перетворювати їх в негативно заряджені іони. Таким чином, носіями електричного струму в іонізованих газах є позитивно заряджені іони-катіони, негативно заряджені іони-аніони і електрони. Для іонізації молекули газу необхідно виконати деяку мінімальну роботу, яка називається роботою іонізації. Іонізація газу може відбуватись внаслідок нагрівання газу до високої температури, опромінення його ультрафіолетовим світлом, рентгенівськими і радіоактивними променями. В іонізованому газі при зіткненнях між собою протилежно заряджених частинок утворюються нейтральні молекули. Цей процес називається рекомбінацією іонів. Процес рекомбінації супроводжується світінням газу. Проходження електричного струму через газ називається газовим розрядом. Розряди в газах поділяються на самостійні і несамостійні.

Несамостійним називається електричний розряд в газі, який існує при наявності зовнішнього іонізатора і припиняється після припинення дії іонізатора. Вольт-амперна характеристика несамостійного розряду представлена на рис.3.35. При малих напругах (ділянка ОА) сила струму прямо пропорційна напрузі. На цій ділянці справджується закон Ома

,               (3.248)

де  – заряд іона,  – число пар іонів в одиниці об’єму,  і  – рухливості катіонів та аніонів,  – напруженість електричного поля. При напрузі більшій від  закон Ома порушується. На ділянці В-С струм досягає насичення. Величина струму насичення рівна

,                                           (3.249)

де  – заряд електрона,  – інтенсивність іонізатора, тобто число пар одновалентних іонів, які іонізатор утворює щосекунди в просторі між електродами. При напрузі  починається ударна іонізація молекул, сила струму знову зростає і розряд переходить в самостійний.

Самостійним називається електричний розряд в газі, який може продовжуватись і після припинення дії зовнішнього іонізатора. При деякій досить великій напрузі, яка називається напругою запалення або напругою пробою, електрони протягом часу вільного пробігу набувають достатньо великої енергії і, стикаючись з нейтральними молекулами, іонізують їх. Вторинні електрони також іонізують молекули газу внаслідок чого кількість електронів та іонів лавиноподібно зростає. В залежності від тиску газу, величини прикладеної напруги та інших умов можуть існувати різні види самостійного розряду: тліючий, іскровий, китичний, коронний і дуговий розряд.

Тліючий розряд відбувається при низькому тиску газу. Вигляд розряду, який відбувається при тиску 0,1 – 10 Па зображено на рис.3.36. Біля катоду виникає перше катодне світіння В. За ним спостерігається перший катодний темний простір Крукса С. Він переходить в жевріюче негативне світіння Д. Далі міститься другий темний проміжок Фарадея Е. Решта розрядної трубки заповнена позитивним світінням F. На графіку зображено розподіл потенціалу вздовж розрядної трубки. Найбільший спад потенціалу в області С. Тут під впливом сильного електричного поля позитивні іони набувають великого прискорення і рухаючись до катоду вибивають з нього електрони , рух яких від катоду до аноду теж дуже прискорюється в цій області. В прикатодній області В відбувається рекомбінація катіонів, яка супроводжується світінням. Потрапляючи в область D, електрони набувають великої енергії, достатньої для ударної іонізації молекул газу внаслідок якої втрачають частину енергії. В цій області утворюється основна кількість катіонів, які підтримують розряд. Поле в області D слабке, в ній спостерігається тліюче світіння, яке є наслідком рекомбінації іонів. В області Е прискорюються електрони, які виникли внаслідок іонізації і електрони вторинної емісії, які втратили частину енергії в області D. В області позитивного стовпа F велика концентрація іонів та електронів, тому ця ділянка має добру електропровідність і малий спад потенціалу. В позитивному стовпі спостерігається світіння внаслідок рекомбінації іонів і переходу молекул із збудженого стану в основний.

Тліючий розряд використовується в лампах денного світла, газонаповнених електронних приладах, рекламних газорозрядних трубках, плазмових екранах телевізорів, при катодному розпиленні матеріалів.

Китичний розряд виникає в повітрі під впливом сильного електричного поля, коли відбувається ударна іонізація газу. Його можна спостерігати під час грози на вістрях громовідводів, антен та інших предметів. Оскільки біля вістря електричне поле неоднорідне, то розряд має вигляд китиці.

Коронний розряд виникає в повітрі між провідниками, які перебувають під високою напругою. При цьому біля провідників виникає світіння у вигляді оболонки або корони, яка оточує провідник. І китичний, і коронний розряди відбуваються в дуже неоднорідному електричному полі при напрузі між провідниками, меншій від пробивної.

Виникнення коронного розряду в високовольтних лініях електропередач приводить до втрат електричного струму і електроенергії. Для зменшення цих втрат у високовольтних лініях електропередач використовують проводи великого діаметру або системи проводів з метою зменшення напруженості електричного поля.

Іскровий розряд виникає в повітрі при високій напрузі, яка рівна напрузі пробою. При цьому повітряний проміжок між електродами пробивається іскрою у вигляді яскравого зигзагоподібного тонкого каналу з розгалуженнями. В іскрових каналах відбувається інтенсивний процес іонізації, нагрівання газу до високої температури, яка може досягати 100000 К і зростання тиску до сотень атмосфер. Тому іскровий розряд супроводжується звуковими ефектами у формі тріску, грому. Прикладом іскрового розряду є блискавка. Сила струму в блискавці може досягати сотень тисяч ампер. Головний канал блискавки має діаметр 10-25 см, довжина блискавки досягає декількох кілометрів. У твердих і рідких діелектриках іскра руйнує саму речовину. При малій довжині розрядного проміжку іскровий розряд спричиняє руйнування аноду. Це явище використовується в електроіскровому методі різання, свердління та інших методах високоточної обробки металів. Іскровий розрядний проміжок використовують для захисту ліній електропередач і електронних приладів від перенапруги, зокрема при грозових розрядах.

Дуговий розряд виникає в повітрі при низькій напрузі і великій густині струму. Для запалення дугового розряду електроди наближають до їх взаємного дотику. Внаслідок проходження електричного струму електроди в місці контакту нагріваються до високої температури, після чого електроди розводять на невелику відстань. При цьому в проміжку між електродами спалахує яскрава електрична дуга. Основною причиною дугового розряду є інтенсивна термоелектронна емісія з катоду і термічна іонізація молекул повітря в проміжку між розжареними електродами. При атмосферному тиску температура катоду досягає 30000С. Електрони, бомбардуючи анод, утворюють в ньому кратер і нагрівають до температури 40000С. Температура газу в каналі електричної дуги досягає 50000С – 60000С. Сила струму в дузі може досягати тисяч ампер при напрузі в декілька десятків вольт. Дуговий розряд використовують в дугових лампах, як джерелах світла, для зварювання і різання металів, в дугових печах для виплавки сталі, чавуну.

В усіх видах електричного розряду газ перебуває в іонізованому стані і являє собою плазму.

Плазмою називається стан газу з високою ступінню іонізації. Плазма має високу електропровідність провідників. Об’ємна густина позитивних і негативних зарядів практично однакова, тому плазма є електронейтральною. Будь-яка заряджена частина в плазмі оточена іонами чи електронами протилежного знаку, таким чином, що на деякій відстані від зарядженої частинки створене нею електричне поле стає рівним нулю. Ця відстань називається дебаївським радіусом екранування, який рівний

,                                       (3.250)

де  – постійна Больцмана,  – абсолютна температура,  – заряд електрона,  – концентрація катіонів або електронів. Якщо в плазму вмістити точковий електричний заряд , то залежність потенціалу створеного ним електричного поля від відстані визначається формулою

.                                (3.251)

Розглянемо плазму при високій температурі в стані термодинамічної рівноваги. В ній відбуваються процеси термічної іонізації молекул і зворотні процеси рекомбінації заряджених частинок, швидкості яких однакові. При цьому температури електронної та іонної підсистем є однаковими. Така плазма називається ізотермічною. 

При проходженні через плазму електричного струму поряд з термічною відбувається ударна іонізація молекул. В цьому випадку температура електронної підсистеми може