47006

ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ В ПРИМЕНЕНИИ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Доклад

Физика

Считаем также что начальная температура тела одинакова и не зависит от координат т.4 где α – коэффициент теплоотдачи от тела к омывающей среде Tw температура стенки тела . С другой стороны плотность теплового потока у стенки тела равна: ∂T ∂ϑ qw = −λ = −λ 4.5 ∂n ∂n w w где λ коэффициент теплопроводности тела ∂T производная температуры в теле по нормали к поверхности.

Русский

2013-11-27

43.9 KB

4 чел.

4.3. ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ В ПРИМЕНЕНИИ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Предположим, что температура среды T f , омывающей рассматриваемое

тело, величина постоянная. Считаем также, что начальная температура тела одинакова и не зависит от координат, т.е. T ( x, y, z,0) = T0 = const

Введем новую переменную

ϑ = T T f  .

(4.2)

Тогда дифференциальное

уравнение теплопроводности

запишется

в виде

ϑ

= a2ϑ

(4.3)

τ

Начальные условия: при τ =0 ϑ =ϑ0 ( x, y, z) , в нашем случае: ϑ0  = const

Используем граничные условия 3-го рода:

qw  =α(Tw Tf ) = αϑw ,

(4.4)

где α  коэффициент теплоотдачи от тела к омывающей среде, Tw - температура стенки тела .

С другой стороны, плотность теплового потока у стенки тела равна:

T

ϑ

qw  = −λ

= −λ

,

(4.5)

n

n

w

w

где λ -  коэффициент теплопроводности

тела,

T

-  производная

температуры в теле по нормали к поверхности.

n  w

Из (4.4) и (4.5) следует:

ϑw  = −

λ

ϑ

,

(4.6)

α

n  w

Таким образом, решение уравнения (4.3) зависит от:

  1.  формы тела; 

  1.  характерного размера тела L; 

  1.  теплофизических свойств тела - a = λ /(cρ) ; 

  1.  начального условия ϑ0 ; 

  1.  условий теплообмена с окружающей средой, т.е. коэффициента теплоотдачи α 

Для тел одинаковой формы имеем:

ϑ =ϑ( x, y, z,τ, L, a,ϑ0 ,α) ,

(4.7)

Совершенно очевидно, что получить универсальную форму решения для функции, зависящей от столь большего количества параметров, невозможно.

Попробуем, используя теорию подобия, уменьшить количество факторов, влияющих на решение.


Используем в качестве масштаба температур ϑ0 , а в качестве масштаба длины - характерный размер тела L. Тогда:

Θ =ϑ /ϑ0 - безразмерная избыточная температура,

x = x / L, y = y / L, z = z / L - безразмерные линейные координаты.

При использовании новых переменных уравнение получаем:

ϑ

= ϑ 0

∂Θ

2ϑ =

ϑ0

,

2

Θ,  где

2

-  оператор Лапласа,

τ

τ

L2

записанный в системе безразмерных координат ( x, y,z ). Тогда уравнение (4.3) примет вид:

Θτ = la2 2Θ

или

∂Θ

=

2

Θ

2

(aτ / L )

Условия однозначности уравнения (4.8) имеют вид:

при τ = 0, Θ =1 ;

на границе тела из (4.6) получаем:

Θn  w  = −αλL Θw ,

В уравнение (4.8) и в граничное условие (4.9) безрпазмерные комплексы - определяющие критерии подобия

 

(4.8)

(4.9)

входят некие aτ / L2 и αL / λ .

Безразмерный комплекс aτ / L2

называется критерием тепловой

гомохронности Фурье Fo = aτ / L2    (см.

гл.  3),  который характеризует

соотношение между временем протекания процесса и временем распространения температурной волны. Безразмерный комплекс αL / λ обозначается через Bi = αL / λ и так же, как и Fo, является критерием подобия процессов нестационарной теплопроводности, в частности, подобия граничных условий 3-го рода. По своему физическому смыслу он характеризует отношение термического сопротивления теплопроводности стенки L / λ к термическому сопротивлению теплоотдачи на границе между телом и окружающей средой

1 / α .

Критерии Fo и Bi называются определяющими критериями, состоящими из независимых переменных и условий однозначности, а функция Θ - определяемой.

В новых переменных уравнение Фурье Кирхгофа имеет вид

∂Θ

=

2

Θ,

(4.10)

Fo

А граничные условия 3-го рода


∂Θ

= −BiΘw ,

(4.11)

n  w

А решением уравнения является функция

Θ = Θ(

,

,

, Fo, Bi) ,

(4.12)

x

y

z

Формула (4.12) означает, что безразмерные температуры двух тел одинаковой формы, равномерно нагретых в начальный момент времени τ = 0, в сходственных точках пространства и времени будут одинаковы, если одинаковы критерии Bi. Например, на поверхности плоской пластины толщиной 2δ (характерный размер L = δ) получаем:

Θw = Θ(Fo, Bi) ,

(4.13)

Зависимость (4.12) можно получить аналитически и с помощью численных методов: они представляются в виде таблиц или номограмм. На рис. 4.1 ... 4.3 приведены примеры номограмм для расчета процессов нагрева и охлаждения простейших тел в среде с постоянной температурой.

.

Пример I. Стальная плита толщиной 2δ = 0.2 м с начальной темпера-турой T0 = 955K опущена в масляную ванну (температура масла принимается

постоянной

и равной Tf  = 355K ).   Считая

коэффициент

теплоотдачи

постоянным

[α =180Вт/( м2 K ) ],  определить

температуру

в плоскости

симметрии и на поверхности плиты через 1 час 23 мин.

Решение. Пренебрегая в первом приближении зависимостью теплофизических свойств стали от температуры, примем в рассматриваемом

интервале

температур λ20Вт/( м K )  и a = 4 106 м2 / c .  Тогда значения

определяющих критериев Fo и Bi будут

Fo =

aτ

=

4 106 83 60

= 2 ,

δ

2

2

0.1

Bi = αδ

=

180 0.1

= 0.9

λ

20

Пользуясь номограммами,  приведенными на рис. 4.1а, 4.1б,

находим, что безразмерная температура в плоскости симметрии равна:

ΘЦ

=

TЦ Tf

= 0.3

,

T0

Tf

а на поверхности пластины:

Θ

=

TW  Tf

= 0.2

,

W

T0

Tf

Откуда:


TЦ = 0.3 (T0 Tf ) +T f  = 0.3 (955  355) + 355 = 535K ,

TW  = 0.2 (T0 T f ) +T f  = 0.2 (955  355) + 355 = 475K


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72562. Правовые системы России и Белоруссии и правовая культура 94 KB
  Одна из актуальных задач юридической науки исследование закономерностей и тенденций культурно-правового прогресса в исторической ретроспективе. Союзное государство должно стать наследником и продолжателем российской государственности новым звеном в цепи: Русь Российская Империя Российская Советская...
72563. КОНСТИТУЦИОННО-ПРАВОВОЙ СТАТУС ЦЕНТРАЛЬНОГО БАНКА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 128 KB
  В статье 75 Конституции где говорится о Центральном банке устанавливается что денежная эмиссия осуществляется исключительно Центробанком России. Таким образом Конституция во-первых выделяет основную функцию Банка России и во-вторых причисляет его к органам государственной власти.
72564. ГРАЖДАНСКО-ПРАВОВАЯ ПРИРОДА ДОГОВОРА АРЕНДЫ 145 KB
  По договору аренды имущественного найма арендодатель наймодатель обязуется предоставить арендатору нанимателю имущество за плату во временное владение и пользование или во временное пользование. Договор аренды входит в группу договоров регулирующих отношения по передаче имущества во временное пользование.
72565. ПРОБЛЕМЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕР ГОСУДАРСТВЕННОГО ПРИНУЖДЕНИЯ (ВОЗДЕЙСТВИЯ) ЗА НАРУШЕНИЕ БЮДЖЕТНОГО ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 104.5 KB
  Указанное обстоятельство в свете известных организационных политических криминалистических и других проблем функционирования бюджетной системы Российской Федерации и развития системы бюджетного федерализма подчеркивает насущность задачи совершенствования механизма правовой...
72566. ПРАВОВЫЕ МОДЕЛИ ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМ БЮДЖЕТНОГО КОНТРОЛЯ В ЕВРОПЕЙСКИХ СТРАНАХ 104 KB
  Специальные контрольные органы призванные проводить мероприятия направленные на защиту бюджетных интересов созданы и функционируют в большинстве стран мира но далеко не во всех. Ранее же вопросами бюджетного контроля занималась королевская полиция островов.
72567. СОВРЕМЕННЫЕ ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ ЖИЛИЩНЫХ ПРАВООТНОШЕНИЙ 185.5 KB
  До принятия Жилищного кодекса РСФСР под жилищными правоотношениями обычно понимались лишь гражданско-правовые отношения по пользованию гражданами жилыми помещениями и эти отношения регулировались гражданским законодательством.
72568. СБЛИЖЕНИЕ И ГАРМОНИЗАЦИЯ ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВ: ПОНЯТИЕ И МЕЖДУНАРОДНО-ПРАВОВАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА 104.5 KB
  Качественная система права и законодательства основа для установления новой эпохи сотрудничества и взаимодействия не только граждан и их ассоциаций в пределах отдельных стран но в масштабах международного сообщества. поправок внесенных в российское законодательство.
72569. КОНСТИТУЦИОННОЕ ПРАВО ЧЕЛОВЕКА НА ДОСТОЙНУЮ ЖИЗНЬ И ДОСТОЙНОЕ ЕЕ ЗАВЕРШЕНИЕ 128 KB
  Статья 7 Конституции Российской Федерации провозглашает Россию социальным государством политика которого направлена на создание условий обеспечивающих достойную жизнь и свободное развитие человека. Под достойной жизнью понимают прежде всего материальную обеспеченность на уровне...
72570. ПРОБЛЕМЫ РАССМОТРЕНИЯ В СУДЕ ДЕЛ ОБ ОСПАРИВАНИИ ОТЗЫВА ЛИЦЕНЗИИ, ПРЕДПИСАНИЙ, А ТАКЖЕ ДЕЛ О ПРИНУДИТЕЛЬНОЙ ЛИКВИДАЦИИ БАНКОВ 112 KB
  После отзыва лицензии временная администрация действует от имени кредитной организации во всех иных судебных делах в том числе и в тех где другой стороной спора является Центральный банк России. В практике Арбитражного суда города Москвы были дела, когда после отзыва лицензии у банка...