47006

ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ В ПРИМЕНЕНИИ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Доклад

Физика

Считаем также что начальная температура тела одинакова и не зависит от координат т.4 где α коэффициент теплоотдачи от тела к омывающей среде Tw температура стенки тела . С другой стороны плотность теплового потока у стенки тела равна: ∂T ∂ϑ qw = −λ = −λ 4.5 ∂n ∂n w w где λ коэффициент теплопроводности тела ∂T производная температуры в теле по нормали к поверхности.

Русский

2013-11-27

43.9 KB

4 чел.

4.3. ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ В ПРИМЕНЕНИИ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Предположим, что температура среды T f , омывающей рассматриваемое

тело, величина постоянная. Считаем также, что начальная температура тела одинакова и не зависит от координат, т.е. T ( x, y, z,0) = T0 = const

Введем новую переменную

ϑ = T T f  .

(4.2)

Тогда дифференциальное

уравнение теплопроводности

запишется

в виде

ϑ

= a2ϑ

(4.3)

τ

Начальные условия: при τ =0 ϑ =ϑ0 ( x, y, z) , в нашем случае: ϑ0  = const

Используем граничные условия 3-го рода:

qw  =α(Tw Tf ) = αϑw ,

(4.4)

где α  коэффициент теплоотдачи от тела к омывающей среде, Tw - температура стенки тела .

С другой стороны, плотность теплового потока у стенки тела равна:

T

ϑ

qw  = −λ

= −λ

,

(4.5)

n

n

w

w

где λ -  коэффициент теплопроводности

тела,

T

-  производная

температуры в теле по нормали к поверхности.

n  w

Из (4.4) и (4.5) следует:

ϑw  = −

λ

ϑ

,

(4.6)

α

n  w

Таким образом, решение уравнения (4.3) зависит от:

  1.  формы тела; 

  1.  характерного размера тела L; 

  1.  теплофизических свойств тела - a = λ /(cρ) ; 

  1.  начального условия ϑ0 ; 

  1.  условий теплообмена с окружающей средой, т.е. коэффициента теплоотдачи α 

Для тел одинаковой формы имеем:

ϑ =ϑ( x, y, z,τ, L, a,ϑ0 ,α) ,

(4.7)

Совершенно очевидно, что получить универсальную форму решения для функции, зависящей от столь большего количества параметров, невозможно.

Попробуем, используя теорию подобия, уменьшить количество факторов, влияющих на решение.


Используем в качестве масштаба температур ϑ0 , а в качестве масштаба длины - характерный размер тела L. Тогда:

Θ =ϑ /ϑ0 - безразмерная избыточная температура,

x = x / L, y = y / L, z = z / L - безразмерные линейные координаты.

При использовании новых переменных уравнение получаем:

ϑ

= ϑ 0

∂Θ

2ϑ =

ϑ0

,

2

Θ,  где

2

-  оператор Лапласа,

τ

τ

L2

записанный в системе безразмерных координат ( x, y,z ). Тогда уравнение (4.3) примет вид:

Θτ = la2 2Θ

или

∂Θ

=

2

Θ

2

(aτ / L )

Условия однозначности уравнения (4.8) имеют вид:

при τ = 0, Θ =1 ;

на границе тела из (4.6) получаем:

Θn  w  = −αλL Θw ,

В уравнение (4.8) и в граничное условие (4.9) безрпазмерные комплексы - определяющие критерии подобия

 

(4.8)

(4.9)

входят некие aτ / L2 и αL / λ .

Безразмерный комплекс aτ / L2

называется критерием тепловой

гомохронности Фурье Fo = aτ / L2    (см.

гл.  3),  который характеризует

соотношение между временем протекания процесса и временем распространения температурной волны. Безразмерный комплекс αL / λ обозначается через Bi = αL / λ и так же, как и Fo, является критерием подобия процессов нестационарной теплопроводности, в частности, подобия граничных условий 3-го рода. По своему физическому смыслу он характеризует отношение термического сопротивления теплопроводности стенки L / λ к термическому сопротивлению теплоотдачи на границе между телом и окружающей средой

1 / α .

Критерии Fo и Bi называются определяющими критериями, состоящими из независимых переменных и условий однозначности, а функция Θ - определяемой.

В новых переменных уравнение Фурье Кирхгофа имеет вид

∂Θ

=

2

Θ,

(4.10)

Fo

А граничные условия 3-го рода


∂Θ

= −BiΘw ,

(4.11)

n  w

А решением уравнения является функция

Θ = Θ(

,

,

, Fo, Bi) ,

(4.12)

x

y

z

Формула (4.12) означает, что безразмерные температуры двух тел одинаковой формы, равномерно нагретых в начальный момент времени τ = 0, в сходственных точках пространства и времени будут одинаковы, если одинаковы критерии Bi. Например, на поверхности плоской пластины толщиной 2δ (характерный размер L = δ) получаем:

Θw = Θ(Fo, Bi) ,

(4.13)

Зависимость (4.12) можно получить аналитически и с помощью численных методов: они представляются в виде таблиц или номограмм. На рис. 4.1 ... 4.3 приведены примеры номограмм для расчета процессов нагрева и охлаждения простейших тел в среде с постоянной температурой.

.

Пример I. Стальная плита толщиной 2δ = 0.2 м с начальной темпера-турой T0 = 955K опущена в масляную ванну (температура масла принимается

постоянной

и равной Tf  = 355K ).   Считая

коэффициент

теплоотдачи

постоянным

[α =180Вт/( м2 K ) ],  определить

температуру

в плоскости

симметрии и на поверхности плиты через 1 час 23 мин.

Решение. Пренебрегая в первом приближении зависимостью теплофизических свойств стали от температуры, примем в рассматриваемом

интервале

температур λ20Вт/( м K )  и a = 4 106 м2 / c .  Тогда значения

определяющих критериев Fo и Bi будут

Fo =

aτ

=

4 106 83 60

= 2 ,

δ

2

2

0.1

Bi = αδ

=

180 0.1

= 0.9

λ

20

Пользуясь номограммами,  приведенными на рис. 4.1а, 4.1б,

находим, что безразмерная температура в плоскости симметрии равна:

ΘЦ

=

TЦ Tf

= 0.3

,

T0

Tf

а на поверхности пластины:

Θ

=

TW  Tf

= 0.2

,

W

T0

Tf

Откуда:


TЦ = 0.3 (T0 Tf ) +T f  = 0.3 (955  355) + 355 = 535K ,

TW  = 0.2 (T0 T f ) +T f  = 0.2 (955  355) + 355 = 475K


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31238. Электронная таблица Excel. Современные возможности и достоинства приложения 1.46 MB
  Назначение данного курса – научить читателей эффективно использовать средства программы Microsoft Excel и понимать суть производимых приложением операций. Рассказать обо всех функциях и возможностях этой программы – не было главной целью проекта, а хотелось продемонстрировать, как применять Excel для достижения успеха в учебной и профессиональной деятельности.
31239. Технология приготовления блюда «Рыбные рулетики». Технология приготовления бисквитного торта «Кудрявый мальчик» 3.66 MB
  Технология приготовления блюда Рыбные рулетики. Технология приготовления бисквитного торта Кудрявый мальчик. Технология приготовления блюда Рыбные рулетики. Технология приготовления бисквитного торта Кудрявый мальчик.
31240. «Менеджмент организации» Методические рекомендации 650.5 KB
  Квалификационная работа по специальности Менеджмент организации: Методические рекомендации по выполнению квалификационной работы.Выполнение квалификационной работы. Цели и задачи дипломной работы. Выбор темы дипломной работы проекта и его утверждение.
31241. СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МАРКЕТИНГОВОЙ ПОЛИТИКИ КАК ФАКТОР ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ (НА ПРИМЕРЕ МУП «ЭЛЕКТРОТРАНС» Г. ЧЕРЕПОВЦА) 693 KB
  Теоретической и методологической основой дипломной работы являются подходы к решению задач исследования маркетинга предприятия используемый набор инструментов приемов и методов предлагаемый отечественными и зарубежными авторами. Проведенные маркетинговые исследования позволяют понять каким образом компания должна организовать сбыт своей продукции как надо проводить кампанию по продвижению на рынки новых изделий строить стратегию рекламы; определить какие виды продукции проданные какому потребителю и в каком регионе принесут...
31242. ВАЗ-2110. Техническая характеристика двигателя ВАЗ-2110 и его эксплуатационная характеристика 867.5 KB
  Компоновка двигателя отличается простотой и удобством обслуживания. Все узлы двигателя требующие регулировки или ухода установлены в легкодоступных местах. центры придерживались хотя бы данному принципу проектирования участка текущего ремонта по двигателям ВАЗ2110 то эффективность ремонта двигателя ВАЗ2110 значительно возросла. Отделение текущего ремонта двигателя автомобилей ВАЗ2110 является основной ее частью так как за время эксплуатации и использования некачественных горючесмазочных материалов возникает некорректная работа двигателя.
31243. Разработка фирменного стиля ювелирного салона «Линда» 390.5 KB
  Фирменный стиль – это и средство формирования имиджа компании, а также определенный носитель информации. Компоненты фирменного стиля помогают потребителю отличить Вашу продукцию от других. Соблюдение фирменного стиля фирмой, очень положительно влияет на фактор доверия к этой фирме, так как считается, что в фирме присутствует образцовый порядок как в производстве, так и в любой другой деятельности.
31244. Искусство ассамбляжа 459.5 KB
  Задачи: изучить основные тенденции современного искусства; сопоставить время создания нового направления и технику известных деятелей ассамбляжа; постигнуть идеологические побуждения каждого автора на создание работ; определить последствия для развития современного искусства в связи с изобретением новой техники а впоследствии и направления в искусстве. В результате исследования данного направления современного искусства были созданы несколько изобразительных работ в рамках правил поставленной темы.assemblage техника визуального искусства...
31245. Особенности организации лабораторного практикума в обучении информационному моделированию в школьном курсе информатики 808.5 KB
  На основе анализа учебно-методической литературы по предмету изучить сущность понятий «объект», «модель», «моделирование» и их виды, классификацию; На основе анализа документов, регламентирующих изучение информатики в школе определить место изучаемой темы в структуре современного курса информатики и ее содержание; На основе изучения методической литературы ознакомиться с методическими основами преподавания темы и с системой работы учителя по обучению информационному моделированию в школе с использованием прикладных задач.
31246. УГОЛОВНАЯ ПОЛИТИКА РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ, НАПРАВЛЕНИЯ И ТЕНДЕНЦИИ НА СОВРЕМЕННОМ ЭТАПЕ 315.5 KB
  Предмет исследования - понятие, развитие, место, социальная роль уголовной политики современной Республики Беларусь, её стратегические целевые установки, основы механизма и магистральные направления совершенствования