47006

ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ В ПРИМЕНЕНИИ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Доклад

Физика

Считаем также что начальная температура тела одинакова и не зависит от координат т.4 где α – коэффициент теплоотдачи от тела к омывающей среде Tw температура стенки тела . С другой стороны плотность теплового потока у стенки тела равна: ∂T ∂ϑ qw = −λ = −λ 4.5 ∂n ∂n w w где λ коэффициент теплопроводности тела ∂T производная температуры в теле по нормали к поверхности.

Русский

2013-11-27

43.9 KB

4 чел.

4.3. ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ В ПРИМЕНЕНИИ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Предположим, что температура среды T f , омывающей рассматриваемое

тело, величина постоянная. Считаем также, что начальная температура тела одинакова и не зависит от координат, т.е. T ( x, y, z,0) = T0 = const

Введем новую переменную

ϑ = T T f  .

(4.2)

Тогда дифференциальное

уравнение теплопроводности

запишется

в виде

ϑ

= a2ϑ

(4.3)

τ

Начальные условия: при τ =0 ϑ =ϑ0 ( x, y, z) , в нашем случае: ϑ0  = const

Используем граничные условия 3-го рода:

qw  =α(Tw Tf ) = αϑw ,

(4.4)

где α  коэффициент теплоотдачи от тела к омывающей среде, Tw - температура стенки тела .

С другой стороны, плотность теплового потока у стенки тела равна:

T

ϑ

qw  = −λ

= −λ

,

(4.5)

n

n

w

w

где λ -  коэффициент теплопроводности

тела,

T

-  производная

температуры в теле по нормали к поверхности.

n  w

Из (4.4) и (4.5) следует:

ϑw  = −

λ

ϑ

,

(4.6)

α

n  w

Таким образом, решение уравнения (4.3) зависит от:

  1.  формы тела; 

  1.  характерного размера тела L; 

  1.  теплофизических свойств тела - a = λ /(cρ) ; 

  1.  начального условия ϑ0 ; 

  1.  условий теплообмена с окружающей средой, т.е. коэффициента теплоотдачи α 

Для тел одинаковой формы имеем:

ϑ =ϑ( x, y, z,τ, L, a,ϑ0 ,α) ,

(4.7)

Совершенно очевидно, что получить универсальную форму решения для функции, зависящей от столь большего количества параметров, невозможно.

Попробуем, используя теорию подобия, уменьшить количество факторов, влияющих на решение.


Используем в качестве масштаба температур ϑ0 , а в качестве масштаба длины - характерный размер тела L. Тогда:

Θ =ϑ /ϑ0 - безразмерная избыточная температура,

x = x / L, y = y / L, z = z / L - безразмерные линейные координаты.

При использовании новых переменных уравнение получаем:

ϑ

= ϑ 0

∂Θ

2ϑ =

ϑ0

,

2

Θ,  где

2

-  оператор Лапласа,

τ

τ

L2

записанный в системе безразмерных координат ( x, y,z ). Тогда уравнение (4.3) примет вид:

Θτ = la2 2Θ

или

∂Θ

=

2

Θ

2

(aτ / L )

Условия однозначности уравнения (4.8) имеют вид:

при τ = 0, Θ =1 ;

на границе тела из (4.6) получаем:

Θn  w  = −αλL Θw ,

В уравнение (4.8) и в граничное условие (4.9) безрпазмерные комплексы - определяющие критерии подобия

 

(4.8)

(4.9)

входят некие aτ / L2 и αL / λ .

Безразмерный комплекс aτ / L2

называется критерием тепловой

гомохронности Фурье Fo = aτ / L2    (см.

гл.  3),  который характеризует

соотношение между временем протекания процесса и временем распространения температурной волны. Безразмерный комплекс αL / λ обозначается через Bi = αL / λ и так же, как и Fo, является критерием подобия процессов нестационарной теплопроводности, в частности, подобия граничных условий 3-го рода. По своему физическому смыслу он характеризует отношение термического сопротивления теплопроводности стенки L / λ к термическому сопротивлению теплоотдачи на границе между телом и окружающей средой

1 / α .

Критерии Fo и Bi называются определяющими критериями, состоящими из независимых переменных и условий однозначности, а функция Θ - определяемой.

В новых переменных уравнение Фурье Кирхгофа имеет вид

∂Θ

=

2

Θ,

(4.10)

Fo

А граничные условия 3-го рода


∂Θ

= −BiΘw ,

(4.11)

n  w

А решением уравнения является функция

Θ = Θ(

,

,

, Fo, Bi) ,

(4.12)

x

y

z

Формула (4.12) означает, что безразмерные температуры двух тел одинаковой формы, равномерно нагретых в начальный момент времени τ = 0, в сходственных точках пространства и времени будут одинаковы, если одинаковы критерии Bi. Например, на поверхности плоской пластины толщиной 2δ (характерный размер L = δ) получаем:

Θw = Θ(Fo, Bi) ,

(4.13)

Зависимость (4.12) можно получить аналитически и с помощью численных методов: они представляются в виде таблиц или номограмм. На рис. 4.1 ... 4.3 приведены примеры номограмм для расчета процессов нагрева и охлаждения простейших тел в среде с постоянной температурой.

.

Пример I. Стальная плита толщиной 2δ = 0.2 м с начальной темпера-турой T0 = 955K опущена в масляную ванну (температура масла принимается

постоянной

и равной Tf  = 355K ).   Считая

коэффициент

теплоотдачи

постоянным

[α =180Вт/( м2 K ) ],  определить

температуру

в плоскости

симметрии и на поверхности плиты через 1 час 23 мин.

Решение. Пренебрегая в первом приближении зависимостью теплофизических свойств стали от температуры, примем в рассматриваемом

интервале

температур λ20Вт/( м K )  и a = 4 106 м2 / c .  Тогда значения

определяющих критериев Fo и Bi будут

Fo =

aτ

=

4 106 83 60

= 2 ,

δ

2

2

0.1

Bi = αδ

=

180 0.1

= 0.9

λ

20

Пользуясь номограммами,  приведенными на рис. 4.1а, 4.1б,

находим, что безразмерная температура в плоскости симметрии равна:

ΘЦ

=

TЦ Tf

= 0.3

,

T0

Tf

а на поверхности пластины:

Θ

=

TW  Tf

= 0.2

,

W

T0

Tf

Откуда:


TЦ = 0.3 (T0 Tf ) +T f  = 0.3 (955  355) + 355 = 535K ,

TW  = 0.2 (T0 T f ) +T f  = 0.2 (955  355) + 355 = 475K


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42655. Строение полукружных каналов, их функциональное значение, связь с другими отделами уха и черепа 14.75 KB
  Задний лабиринт представлен системой полукружных каналов. Это три костных трубки просветом до 0.5 мм, изогнутые полукругом. Оба конца полукружных каналов открываются в преддверие.
42656. Строение перепончатой улитки, особенности звуковосприятия, нарушения слуха при поражении кортиева органа 15.29 KB
  Кортиев орган - рецепторная часть слухового анализатора, расположенная внутри перепончатого лабиринта. Воспринимает колебания волокон, расположенных в канале внутреннего уха, и передаёт в слуховую зону коры больших полушарий, где и формируются звуковые сигналы.
42657. Розробка програм зі складеними типами даних 14.81 KB
  Аномалии развития. Чаще всего отмечаются отклонения в строении надгортанника. Он может быть недоразвитым и даже совсем отсутствовать. Иногда надгортанник оказывается резко деформированным: расщепленным на несколько долей, свернутым в трубку. Существенного влияния на функцию голосоречеобразования дефекты надгортанника обычно не оказывают.
42658. Место расположения и строения Кортиева органа, его назначение, нарушения слуха при его патологии 14.77 KB
  В большинстве врожденных дефектов внутреннего уха отмечается недоразвитие кортиева органа, причем неразвившимся оказывается именно специфический концевой аппарат слухового нерва — волосковые клетки
42659. Роль органов дыхания в механизмах фонации. Строение и функция дыхательных мышц и их иннервация. Теории голосообразования 14.7 KB
  При обычном дыхании голосовая щель широко раскрыта и имеет форму равнобедренного треугольника. Вдыхаемый и выдыхаемый воздух при этом беззвучно проходит через широкую голосовую щель.
42660. Преддверно-улитковый нерв, его периферический и центральный отделы. Нарушения слуха проводникового и центрального характера 15.31 KB
  Преддверно-улитковый нерв - (VIII пара черепно-мозговых нервов) нерв специальной чувствительности, отвечающий за передачу слуховых импульсов и импульсов, исходящих из вестибулярного отдела внутреннего уха.
42661. Строения и функция черпаловидных хрящей, их связь с голосообразованием, иннервация 14.77 KB
  Черпаловидные хрящи имеют приблизительно форму трехгранных пирамид, вершина которых обращена кверху, а основание лежит на «печатке» перстневидного хряща, образуя в этом месте перстне-черпаловидный сустав
42662. Звукопроводящий и звуковоспринимающий характер нарушения слуха. Их проявление на аудиограмме 14.66 KB
  Звукопроводящий аппарат состоит из органов наружного и среднего уха: ушной раковины, слухового прохода, барабанной перепонки и системы слуховых косточек.
42663. Три части полости гортани. Их строение и функции. Голосообразование 15.37 KB
  Гортань выполняет функции дыхания, звукообразования и защиты нижних дыхательных путей от попадания в них инородных частиц.Полость гортани. В полости гортани различают три отдела: преддверие, межжелудочковый отдел и подголосовую полость.