47006

ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ В ПРИМЕНЕНИИ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Доклад

Физика

Считаем также что начальная температура тела одинакова и не зависит от координат т.4 где α – коэффициент теплоотдачи от тела к омывающей среде Tw температура стенки тела . С другой стороны плотность теплового потока у стенки тела равна: ∂T ∂ϑ qw = −λ = −λ 4.5 ∂n ∂n w w где λ коэффициент теплопроводности тела ∂T производная температуры в теле по нормали к поверхности.

Русский

2013-11-27

43.9 KB

4 чел.

4.3. ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ В ПРИМЕНЕНИИ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Предположим, что температура среды T f , омывающей рассматриваемое

тело, величина постоянная. Считаем также, что начальная температура тела одинакова и не зависит от координат, т.е. T ( x, y, z,0) = T0 = const

Введем новую переменную

ϑ = T T f  .

(4.2)

Тогда дифференциальное

уравнение теплопроводности

запишется

в виде

ϑ

= a2ϑ

(4.3)

τ

Начальные условия: при τ =0 ϑ =ϑ0 ( x, y, z) , в нашем случае: ϑ0  = const

Используем граничные условия 3-го рода:

qw  =α(Tw Tf ) = αϑw ,

(4.4)

где α  коэффициент теплоотдачи от тела к омывающей среде, Tw - температура стенки тела .

С другой стороны, плотность теплового потока у стенки тела равна:

T

ϑ

qw  = −λ

= −λ

,

(4.5)

n

n

w

w

где λ -  коэффициент теплопроводности

тела,

T

-  производная

температуры в теле по нормали к поверхности.

n  w

Из (4.4) и (4.5) следует:

ϑw  = −

λ

ϑ

,

(4.6)

α

n  w

Таким образом, решение уравнения (4.3) зависит от:

  1.  формы тела; 

  1.  характерного размера тела L; 

  1.  теплофизических свойств тела - a = λ /(cρ) ; 

  1.  начального условия ϑ0 ; 

  1.  условий теплообмена с окружающей средой, т.е. коэффициента теплоотдачи α 

Для тел одинаковой формы имеем:

ϑ =ϑ( x, y, z,τ, L, a,ϑ0 ,α) ,

(4.7)

Совершенно очевидно, что получить универсальную форму решения для функции, зависящей от столь большего количества параметров, невозможно.

Попробуем, используя теорию подобия, уменьшить количество факторов, влияющих на решение.


Используем в качестве масштаба температур ϑ0 , а в качестве масштаба длины - характерный размер тела L. Тогда:

Θ =ϑ /ϑ0 - безразмерная избыточная температура,

x = x / L, y = y / L, z = z / L - безразмерные линейные координаты.

При использовании новых переменных уравнение получаем:

ϑ

= ϑ 0

∂Θ

2ϑ =

ϑ0

,

2

Θ,  где

2

-  оператор Лапласа,

τ

τ

L2

записанный в системе безразмерных координат ( x, y,z ). Тогда уравнение (4.3) примет вид:

Θτ = la2 2Θ

или

∂Θ

=

2

Θ

2

(aτ / L )

Условия однозначности уравнения (4.8) имеют вид:

при τ = 0, Θ =1 ;

на границе тела из (4.6) получаем:

Θn  w  = −αλL Θw ,

В уравнение (4.8) и в граничное условие (4.9) безрпазмерные комплексы - определяющие критерии подобия

 

(4.8)

(4.9)

входят некие aτ / L2 и αL / λ .

Безразмерный комплекс aτ / L2

называется критерием тепловой

гомохронности Фурье Fo = aτ / L2    (см.

гл.  3),  который характеризует

соотношение между временем протекания процесса и временем распространения температурной волны. Безразмерный комплекс αL / λ обозначается через Bi = αL / λ и так же, как и Fo, является критерием подобия процессов нестационарной теплопроводности, в частности, подобия граничных условий 3-го рода. По своему физическому смыслу он характеризует отношение термического сопротивления теплопроводности стенки L / λ к термическому сопротивлению теплоотдачи на границе между телом и окружающей средой

1 / α .

Критерии Fo и Bi называются определяющими критериями, состоящими из независимых переменных и условий однозначности, а функция Θ - определяемой.

В новых переменных уравнение Фурье Кирхгофа имеет вид

∂Θ

=

2

Θ,

(4.10)

Fo

А граничные условия 3-го рода


∂Θ

= −BiΘw ,

(4.11)

n  w

А решением уравнения является функция

Θ = Θ(

,

,

, Fo, Bi) ,

(4.12)

x

y

z

Формула (4.12) означает, что безразмерные температуры двух тел одинаковой формы, равномерно нагретых в начальный момент времени τ = 0, в сходственных точках пространства и времени будут одинаковы, если одинаковы критерии Bi. Например, на поверхности плоской пластины толщиной 2δ (характерный размер L = δ) получаем:

Θw = Θ(Fo, Bi) ,

(4.13)

Зависимость (4.12) можно получить аналитически и с помощью численных методов: они представляются в виде таблиц или номограмм. На рис. 4.1 ... 4.3 приведены примеры номограмм для расчета процессов нагрева и охлаждения простейших тел в среде с постоянной температурой.

.

Пример I. Стальная плита толщиной 2δ = 0.2 м с начальной темпера-турой T0 = 955K опущена в масляную ванну (температура масла принимается

постоянной

и равной Tf  = 355K ).   Считая

коэффициент

теплоотдачи

постоянным

[α =180Вт/( м2 K ) ],  определить

температуру

в плоскости

симметрии и на поверхности плиты через 1 час 23 мин.

Решение. Пренебрегая в первом приближении зависимостью теплофизических свойств стали от температуры, примем в рассматриваемом

интервале

температур λ20Вт/( м K )  и a = 4 106 м2 / c .  Тогда значения

определяющих критериев Fo и Bi будут

Fo =

aτ

=

4 106 83 60

= 2 ,

δ

2

2

0.1

Bi = αδ

=

180 0.1

= 0.9

λ

20

Пользуясь номограммами,  приведенными на рис. 4.1а, 4.1б,

находим, что безразмерная температура в плоскости симметрии равна:

ΘЦ

=

TЦ Tf

= 0.3

,

T0

Tf

а на поверхности пластины:

Θ

=

TW  Tf

= 0.2

,

W

T0

Tf

Откуда:


TЦ = 0.3 (T0 Tf ) +T f  = 0.3 (955  355) + 355 = 535K ,

TW  = 0.2 (T0 T f ) +T f  = 0.2 (955  355) + 355 = 475K


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9054. Социальная дифференциация. Теория классов и теория стратификации 14.29 KB
  Социальная дифференциация. Теория классов и теория стратификации. В зависимости от конкретных исторических обстоятельств материально-производственной сферы общественной жизнедеятельности людей складываются определенные социальные отношения. В зависи...
9055. Субъекты истории 17.08 KB
  Субъекты истории. История - процесс и результат общественного развития - реализуется через деятельность преследующих свои цели людей. Люди выступают движущими силами, или субъектами в истории, поскольку они, по Гегелю, способны осознавать...
9056. Схоластика как форма философствования 14.76 KB
  Схоластика как форма философствования. Схоластика - господствовавшая форма философствования в XI-XV вв. Была на службе церкви и преподавалась в университетах, например, в Болонском, потому и получила такое название (schola - школа). Являла...
9057. ФИЛОСОФИЯ, ЕЕ ПРЕДМЕТ И РОЛЬ В ЖИЗНИ ЛЮДЕЙ 18.16 KB
  Философия, ее предмет и роль в жизни людей. Слово философия, предложенное Пифагором, в переводе с греческого обозначает любовь к мудрости, любомудрие. Под мудростью подразумевается любовь к мысли о мире в целом, дар открывать в предметах и явлениях ...
9058. ФИЛОСОФИЯ Ф.АКВИНСКОГО И НЕОТОМИЗМ 16.5 KB
  Философия Ф.Аквинского и неотомизм. Фома Аквинский (1225-1275) - центральная фигура схоластической философии. Его именем названо такое философское течение, как томизм. Основные работы - Сумма против язычников, Сумма теологии. Он был чл...
9059. Человек и его сущность 14.29 KB
  Человек и его сущность. Учение о человеке - антропология - важнейший раздел любой философской системы. Впервые вопрос о том, что есть человек, был серьезно поставлен Сократом, хотя он и не дал никакого определения. Человек оказывался неким...
9060. Человек как личность. Свобода и ответственность личности 15.46 KB
  Человек как личность. Свобода и ответственность личности. Человек не рождается личностью, а становится ею, обретая свою сущность в процессе общественной жизни. Всякий человек есть личность, но человек - родовое, общее, а личность - единичн...
9061. Философия элейской школы. Ксенофан, Парменид и Зенон 14.63 KB
  Философия Элейской школы. Наиболее известными представителями философской школы города Элея были Ксенофан, Парменид и Зенон. Ксенофан (565-478 гг.) выступал против традиционной религии. Он критиковал антропоморфизм богов, язвительно замечая, что есл...
9062. Этнические общности людей. Нации и национальные государства 13.5 KB
  Этнические общности людей. Нации и национальные государства. Общество этнически дифференцировано. Этнос - стабильная группа людей, характеризуемая устойчивыми особенностями социокультурного развития их жизнедеятельности (язык, общность психичес...