471

Теория системно-информационного подхода

Контрольная

Информатика, кибернетика и программирование

Информационный принцип максимальной энтропии. Определения количества возможных схем разделения исходной смеси. Задача выбора оптимальной схемы разделения. Оптимальная декомпозиция ректификационной системы. Распределение концентраций компонентов в выходных потоках.

Русский

2013-01-06

1.46 MB

9 чел.

I) Основные положения системно-информационного подхода

Информационный принцип максимальной энтропии был сформулирован американским физиком Е. Джейнсом. Этот принцип используется при решении задач, в которых незнание деталей механизма процесса можно свести к неопределенности статического типа (в нашем случае описание процесса разделения).

Сам принцип можно сформулировать следующим образам:
Если мы делаем выводы на основе неполной информации (выбираем некоторую модель процесса), то должны опираться на такое распределение вероятностей, которое имеет максимальную энтропию, допускаемую уже имеющейся априорной информацией. Этот принцип имеет простое обоснование, дело в том, что все естественные процессы в природе протекают в сторону увеличения энтропии, причем по одной единственной причине: имеется гораздо больше возможностей перейти из состояния с меньшей энтропией в состояние с большей энтропией, чем наоборот.

Результаты,  получаемые на основе принципа максимальной энтропии, следует рассматривать, как наиболее правдоподобные Принцип максимальной энтропии не имеет нормальных доказательств и вводится как постулат.

Задача определения наиболее вероятного состава продуктовых потоков ректификационной колонны.

В качестве основных выбираются следующие уравнения:

Уравнение материального баланса

Уравнения нормировки концентраций

Уравнения,  вводящее свойства  компонентов и фиксирующее степень разделения в колонне

Решение задачи заключается в нахождении таких составов продуктовых потоков , которые максимизируют энтропию:

I) Выбор оптимальной схемы разделения

1.1)  Определения количества возможных схем разделения исходной смеси.

Для разделения смеси на составляющие нам потребуется ректификационная установка, содержащая число колон меньшее на единицу, чем число элементов входящих в состав смеси. При этом последовательность выделения компонента может быть различной, в связи с чем, есть несколько вариантов схем разделения.

В общем случае число вариантов схем разделения N определяется формулой:

Для нашего варианта задания возможно 14 схем разделения.

1.2)  Задача выбора оптимальной схемы разделения

Выбор  оптимального варианта схемы   деления помимо большого  числа эквивалентных схем, затруднен еще тем, что при простом переборе каждого варианта, строго говоря,  необходимо осуществлять оптимизацию режимных и конструктивных параметров для каждой фиксированной структуры.   

В связи с этим представляет интерес рассмотреть  принципиальную возможность использования  для выбора оптимальной схемы критерий оценки организованности системы. Известно, что если  исходная m компонентная  смесь не содержит  неразделяемых компонентов, то  такую смесь  на двухсекционной колонне можно разделить m-1 способом , отделяя в дистиллят различное число компонентов.  Для удобства будем рассматривать  гипотетический случай  полного разделения смеси на две фракции при неограниченно большом числе ступеней разделения.

Представим энтропии потоков в следующем виде:

 

Далее несложно получить, что

Последняя формула имеет структуру информационной энтропии выбора для двух  исходов опыта:

Энтропия выбора максимальна в случае равновероятных исходов, т. е. в оптимальном варианте  y=0.5. Таким образом в случаем отсутствии всяких ограничений необходимо делить смесь пополам, это называется принцып дихотомии.

 

1.2) Возможные схемы разделения исходной смеси расчет суммарной энтропии выбора.

1)

 

2)

3)

 

4)

5)

6)

 

7) 

8)

9)

 

10)

11)

12)

 

13)

 

5)

 

14)

 

1.3) Выбор оптимальной схемы разделения исходной смеси.

Энтропия выбора максимальна в случае равновероятных событий. Это означает, что с точки зрения информационного критерия оптимально делить смесь "пополам" — принцип дихотомии. Последовательно применяя этот принцип на каждой колонне, можно получить оптимальную схему разделения многокомпонентной смеси без перебора вариантов.

В соответствии с заданными концентрациями (z1=0,25; z2=0,1; z3=0,05; z4=0,15;  z5=0,45).

Суммарная энтропия выбора всей схемы будет равна сумме энтропий каждой отдельно взятой колонны. То есть .

 

Мы видим что схема полученная по принципу дихотомии является схемой с максимальной энтропией выбора. Энтропия выбора  близка к своему максимальном значению. Данную схему выберем в качестве оптимальной.

II) Оптимальная декомпозиция ректификационной системы

2.1) Распределение концентраций компонентов в выходных потоках.

Согласно концепции четкого разделения принимается, что число компонентов, распределяющихся одновременно между дистиллятом и кубовым продуктом не больше двух, концентрация же остальных в одном из них очень низка и практически не влияет на точность материального баланса.

В условиях достаточных для применения концепции четкого разделения,  работает большинство промышленных установок.

Руководствуясь этой концепцией, обозначим концентрации компонентов в выходных потоках системы.  

2.2) Расчет числа степеней свободы системы.

Характер решения задачи декомпозиции зависит от количества степеней свободы системы N0 которое определяется как разность между  количеством свободных параметров и  независимых уравнений, составленных на основе покомпонентных материальных балансов.  Для случая четкого разделения справедлива следующая формула:

Где: A-число концентраций принимаемых отличными от нуля в выходных потоках системы, a0-число заданных независимых концентраций, m-число компонентов в исходной смеси.

С  экстенсивными параметрами прежде всего связаны концентрации x, а с интенсивными отборы   .

  1.  Постановка задачи оптимальной декомпазиции.   

Под декомпозицией подразумевается расчленение системы на подсистемы с получением всей необходимой информации для проектирования каждой подсистемы в отдельности. Требуется провести декомпозицию четырехколонной ректификационной установки на оптимальные подсистемы, с получением всей необходимой информации о каждой подсистеме. Задачу декомпозиции будем рассматривать с привлечение концепции четкого разделения.

  Согласно концепции четкого разделения принимается, что число компонентов, распределяющихся одновременно между дистиллятом и кубовым продуктом не больше двух, концентрация же остальных в одном из них очень низка и практически не влияет на точность материального баланса.

 В условиях достаточных для применения концепции четкого разделения,  работает большинство промышленных установок.

Характер решения задачи декомпозиции зависит от количества степеней свободы системы N0 которое  рассчитано в предыдущем пункте.

 N0=6 число неизвестных больше числа независимых уравнений оптимальной статики.  В этом случае незакрепленные концентрации выбираются исходя из минимума информационного критерия относительной оценки качества разделения  при соблюдении условий оптимальной статики и  ограничений соблюдения материального баланса.

 Таким образом в общем случае задача сводится  к минимаксной задаче в том смысле, что критерий оценки качества разделения максимизируется,  если  вирируются  относительные отборы и минимизируются если отыскиваются значения свободных концентраций, связанными с экстенсивными параметрами.

  1.  Оптимальная  декомпозиция системы на отдельные подсистемы при наличии двух заданных компонентов.

Согласно пункту 3.1 число степеней свободы N0=6

Использую стратегию   найдем  - отбор продукта по отношению к  питанию системы. В режиме четкого разделения это приводит к условию оптимальной статики.

Для первой колоны:

 

Для ограничения оставшихся  степеней  свободы  используется стратегия .

В качестве незакрепленных переменных выбираем,  x51-, x12+. Через эти, а также две заданные концентрации ( x43-,x24+).

Выразим все концентрации  через заданные и незакрепленные концентрации, для этого используем покомпонентный материальный баланс и условия оптимальной статики.

   

   

если его частные производные равняются нулю.

Предварительно из покомпонентного  материального баланса находим:

  

 

По второй независимой переменной:

  

 

Функция будет иметь экстремум в точке если ее частные производные будут равняется нулю.

Находим частные производные и приравниваем их к  0:

 

 

Видно что оба этих условия выполняются если: =1 и=1

Решая эти уравнения совместно с ограничениями мат. Баланса получаем:

x51-= 0,9874,  x12+= 0.9860,

А из условий материального баланса:

   

   

Докажем что в данной точке функция имеет минимум:

 

Найдем промежуточные концентрации:

Дистиллят  первой колонны (питание второй колонны):

 

 

Кубовый остаток второй колонны (питание третьей колонны):

                   

Кубовый остаток третьей колонны (питание четвертой колонны)

               

     

Рассчитаем оптимальные доли отбора дистиллята и кубового остатков:

В первой колонне:

Отбор кубового остатка:        x1=z5=0,45;

Отбор дистиллята: y1=1-z5=0.55

Во второй колонне:

Отбор кубового остатка: х2=0.545;

Дистиллята : у2=0.455

В третьей колонне:

Отбор кубового остатка: х3=

Дистиллята : у3=

В четвертой колонне:

Отбор кубового остатка: x4=

Дистиллята : у4=

Все данные занесем в таблицу:

1 колонна:             

1

0,25

0,4545

-

2

0,1

0,1818

-

3

0,05

0,0909

-

4

0,15

0,2626

0,0126

5

0,45

0,0102

0,9874

2 колонна:     

1

0,454

0,986

0.0116

2

0,1818

0,014

0.3217

3

0,0909

-

0.1667

4

0,2656

-

0.4811

5

0,0072

-

0.0189

3 колонна:          

1

0.0116

0.0233

-

2

0.3217

0.6434

-

3

0.1667

0.3212

0,0121

4

0.4869

0.0121

0,95

5

0.0131

-

0,0379

4 колонна:        

1

0.0234

0,0349

-

2

0.6433

0,95

0,0302

3

0.3096

0,0151

0.9334

4

0.0237

-

0.0364

5

-

-

-

  1.  Оптимальная  декомпозиция системы на отдельные подсистемы при наличии трех заданных компонентов.

Число степеней свободы N0=5.  Заданны следующие концентрации  . При этом концентрацию берем из предыдущего пункта.

В качестве независимой переменной выбираем  x12+. Далее все операции аналогично 2.4

                    

 

Решая эти уравнения совместно с ограничениями мат. Баланса получаем:

x12+= 0.9860,

А из условий материального баланса:

   

   

Дистиллят  первой колонны (питание второй колонны):

 

 

Кубовый остаток второй колонны (питание третьей колонны):

                   

Кубовый остаток третьей колонны (питание четвертой колонны)

               

     

Результаты сведем в таблицу

1 колонна:             

1

0,25

0,4545

-

2

0,1

0,1818

-

3

0,05

0,0909

-

4

0,15

0,2626

0,0126

5

0,45

0,0102

0,9874

2 колонна:     

1

0,454

0,986

0.0116

2

0,1818

0,014

0.3217

3

0,0909

-

0.1667

4

0,2656

-

0.4811

5

0,0072

-

0.0189

3 колонна:          

1

0.0116

0.0233

-

2

0.3217

0.6434

-

3

0.1667

0.3212

0,0121

4

0.4869

0.0121

0,95

5

0.0131

-

0,0379

4 колонна:        

1

0.0234

0,0349

-

2

0.6433

0,95

0,0301

3

0.3096

0,0151

0.9334

4

0.0237

-

0.0365

5

-

-

-

В ходе декомпозиции мы фактический выяснили выходные концентрации для каждой из колонн. Результаты декомпозиции, в двух постановках задач практический не отличаются.  

III) Расчет наиболее вероятных составов продуктовых потоков ректификационных колонн

3.1)Постановка задачи:

Обозначим концентрации компонентов в дистилляте , в кубовом остатке  в питании  (). Долю отбора дистиллята будем обозначать , — доля отбора кубового остатка: , , где — мольные расходы дистиллята, кубового остатка и питания соответственно.

Математическая формулировка задачи поиска закона распределения компонентов смеси между продуктовыми потоками сводится к следующему: требуется найти такие значения  и , которые бы доставляли максимальное значение энтропии  при соблюдении следующих ограничений:

                (1)

        (2)

      (3)

Уравнение (1) — уравнение материального баланса по компоненту i, уравнение (2) — условие нормировки, уравнение (3) вводит свойства компонентов и означает, что колонна работает в режиме, характеризующимся средним значением энергетического параметра равного.

3.2)Решение задачи расчета наиболее вероятных составов продуктовых потоков ректификационных колонн:

Для решения задачи используем метод неопределенных множителей Лагранжа. Так как для многокомпонентной смеси система ограничений не является замкнутой, то необходимо добавить уравнения. Введем множители Лагранжа  для ограничений (1)–(3) и составим функцию Лагранжа:

Взяв производные по  и , приравняв их к нулю, получаем необходимые условия максимума энтропии.

                      (4)

                              (5)

Эти уравнения вместе с тремя уравнениями ограничений составляют замкнутую систему.

Решение системы

Из уравнений 4-5 получаем  что при  и

                                                                (6)

                                                                             (7)

Исключая множитель , путем использования ограничения 1,  находим

                                                         (8)

                                                         (9)

Для исключения множителя y, можно было бы воспользоваться уравнением (2). Однако поступаем иначе. В практике расчетов бывает задана не величина  

<a>, а концентрация одного из компонентов в одном из продуктов.

Записав уравнения (6) и (7) для заданного компонента и поделив одно из них на другое, получаем:

Подставляя в выражения (8),(9) получаем:

                                                                        (10)

                                                                     (11)

Где Ai=(ayi-axi)-(ayn-axn).

Можно записать, что:

                        (12)

где Кэ эффективная константа фазового равновесия компонента, принятого за эталонный (за эталонный обычно принимается самый высококипящий компонент смеси).  αi=Ki/Kэ--эффективная  относительная летучесть компонента i.

Введя относительные летучести (12) в уравнения (10)  и (11), а также используя  уравнение материального баланса (1) , получаем:

При заданной концентрации в дистилляте .

,  

Значение параметра  находится из уравнения

Если задана концентрация в кубовом остатке, тогда

,  

Значение параметра  находится из уравнения

– номер колонны

– летучесть компонентов (, , , , )

– число тарелок

1 колонна:              1=10,96

1

0,25

0,45450

-

2

0,1

0,18181

-

3

0,05

0,09087

-

4

0,15

0,26242

0,01260

5

0,45

0,0104

0,98740

2 колонна:      2=33,94

1

0,45450

0,98600

0.01170

2

0,18181

0,01400

0.32168

3

0,09087

-

0.16659

4

0,26242

-

0.48110

5

0,0104

-

0.01893

3 колонна:            3=18,84

1

0.01170

0.02314

-

2

0.32168

0.64325

-

3

0.16659

0.32114

0.01215

4

0.48110

0.01247

0,95

5

0.01893

-

0.03785

4 колонна:          4=26,3

1

0.02314

0.03471

-

2

0.64325

0.95

0.03001

3

0.32114

0.01529

0.93258

4

0.01247

-

0.03741

5

-

-

-

В сравнении с результатами, полученными при решении задачи декомпозиции данные этой таблицы более точны, так за ректификационную колонну взята более точная модель.

IV)  Идентификация математической модели каждой колоны

Модель, которую мы составляли, ранее не включает в себя множество допущений. Так, например мы предполагали, что колонна работает в режиме полного орошения.  В промысленных аппаратах такой режим не соблюдается, так как дистиллят во многих  случаях является конечным продуктом и отбор его должен быть максимален.

Данные:  z1=0.25; z2=0.1;  z3=0.05;  z4=0.15;  z5=0.45.

-совпадают с предыдущими пунктами.

 

Найти:  i.
Используем модель приведенную  в пункте 3. Изменяя   
i получаем    

1 колонна:        1=9.61

1

0,25

0.455

-

2

0,1

0.182

-

3

0,05

0.091

-

4

0,15

0.248

0.03

5

0,45

0.024

0.97

2 колонна: 2=30.5

1

0,45450

0.973

0.04

2

0,18181

0.027

0.321

3

0,09087

-

0.166

4

0,26242

-

0.454

5

0,0104

-

0.019

3 колонна:     3=22

1

0.01170

0.023

-

2

0.32168

0.643

-

3

0.16659

0.33

0.012

4

0.48110

0.004

0,95

5

0.01893

-

0.038

4 колонна:   4=22.45

1

0.02314

0.035

-

2

0.64325

0.95

0.064

3

0.32114

0.015

0.9

4

0.01247

-

0.036

5

-

-

-

 

V) Расчетное исследование выбор оптимального отбора продуктов для каждой колонны системы в проектной и поверочной постановке задачи.

Для первой колонны:

 

Для второй колоны:

 

Для третьей колоны:

Для четвертой колоны:


1

 5

2

 1

3

 z4

4

4

3

2

1

2

3

 z4

4

z1, z2, z3, z4, z5

x3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67924. ПРЕЗУМПЦИЯ ВИНОВНОСТИ КАК ПРИНЦИП ГРАЖДАНСКОГО ПРАВА 74 KB
  Это очевидно связано с тем что правовые презумпции в том числе в гражданском праве традиционно рассматриваются как некий юридико-технический феномен состоящий в предположении какого-либо факта существующим. Различия во взглядах состоят пожалуй лишь в оценке степени вероятности заключенного в правовой презумпции предположения.
67925. ПРАВОВОЙ СТАТУС ФЕДЕРАЛЬНОЙ ТАМОЖЕННОЙ СЛУЖБЫ И ЕЕ МЕСТО В ОРГАНИЗАЦИИ ИСПОЛНИТЕЛЬНОЙ ВЛАСТИ В РОССИИ 94.5 KB
  Раскрывая основные элементы правового статуса Федеральной таможенной службы определяя ее место в системе исполнительной власти в России следует указать что исполнительная власть осуществляется той совокупностью органов которая закреплена в Конституции Российской Федерации а именно...
67926. ОСНОВНЫЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ТАМОЖЕННЫХ ОРГАНОВ РОССИИ 125.5 KB
  В развитии таможенных органов России можно выделить несколько этапов: дореволюционный период советский период и период деятельности таможенных органов в Российской Федерации с начала 90х годов до настоящего времени. Проблемы таможенной политики организации таможенных органов нашли освещение в трудах...
67927. НЕДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ СДЕЛОК, СОВЕРШЕННЫХ БЕЗ СОГЛАСИЯ ТРЕТЬИХ ЛИЦ 60 KB
  Гражданский кодекс Российской Федерации указывает на сделки которые могут быть признаны недействительными из-за отсутствия согласия третьих лиц на их совершение. Юридически значимой для действительности таких сделок является воля не только сторон сделки но и третьих лиц не выступающих сторонами сделки.
67928. ВОЗВРАЩЕНИЕ УГОЛОВНОГО ДЕЛА ПРОКУРОРУ: ОЦЕНКА ОСНОВАНИЙ 91.5 KB
  Статья 237 Уголовно-процессуального кодекса Российской Федерации впервые предусматривает возвращение судом уголовного дела прокурору не выполняя при этом обвинительной функции. Причем закон в указанной норме позволяет суду наряду со сторонами проявлять инициативу и без заявленных участниками...
67929. ПОНЯТИЕ ГРАЖДАНСКО-ПРАВОВОЙ ОТВЕТСТВЕННОСТИ 73 KB
  Довольно длительное время в юриспруденции юридическая ответственность в частности гражданско-правовая трактовалась в негативно-ретроспективном аспекте. Однако в философской литературе было признано что позитивный и негативный аспекты ответственности необходимо всегда рассматривать в их взаимосвязи и взаимообусловленности.
67930. Вибрационная диагностика. Назначение систем вибрационного мониторинга и диагностики 475 KB
  Оба комплекса включают в себя прибор обеспечивающий измерение и анализ вибрации а также программное обеспечение для персонального компьютера предназначенное для автоматической постановки диагноза и прогноза состояния диагностируемых узлов. Обязательным условием использования обоих комплексов является...
67931. Microsoft Excel 2007. Оформление итогов и создание сводных таблиц 132.5 KB
  На третьем листе построить диаграмму изменения спроса на мармелад, предварительно скопировать на этот лист исходные данные. На диаграмме вставить метки значения, для этого: перейти в режим редактирования диаграммы, выделив ее; в области Работа с диаграммами на вкладке Конструктор выбрать макет диаграммы...
67932. Microsoft Excel 2007. Абсолютная и относительная адресация 66.5 KB
  При изменении позиции ячейки содержащей формулу изменяется и ссылка. При копировании формулы вдоль строк и вдоль столбцов ссылка автоматически корректируется. Абсолютная ссылка ячейки в формуле всегда ссылается на ячейку расположенную в определенном месте. При изменении позиции ячейки содержащей...