471

Теория системно-информационного подхода

Контрольная

Информатика, кибернетика и программирование

Информационный принцип максимальной энтропии. Определения количества возможных схем разделения исходной смеси. Задача выбора оптимальной схемы разделения. Оптимальная декомпозиция ректификационной системы. Распределение концентраций компонентов в выходных потоках.

Русский

2013-01-06

1.46 MB

9 чел.

I) Основные положения системно-информационного подхода

Информационный принцип максимальной энтропии был сформулирован американским физиком Е. Джейнсом. Этот принцип используется при решении задач, в которых незнание деталей механизма процесса можно свести к неопределенности статического типа (в нашем случае описание процесса разделения).

Сам принцип можно сформулировать следующим образам:
Если мы делаем выводы на основе неполной информации (выбираем некоторую модель процесса), то должны опираться на такое распределение вероятностей, которое имеет максимальную энтропию, допускаемую уже имеющейся априорной информацией. Этот принцип имеет простое обоснование, дело в том, что все естественные процессы в природе протекают в сторону увеличения энтропии, причем по одной единственной причине: имеется гораздо больше возможностей перейти из состояния с меньшей энтропией в состояние с большей энтропией, чем наоборот.

Результаты,  получаемые на основе принципа максимальной энтропии, следует рассматривать, как наиболее правдоподобные Принцип максимальной энтропии не имеет нормальных доказательств и вводится как постулат.

Задача определения наиболее вероятного состава продуктовых потоков ректификационной колонны.

В качестве основных выбираются следующие уравнения:

Уравнение материального баланса

Уравнения нормировки концентраций

Уравнения,  вводящее свойства  компонентов и фиксирующее степень разделения в колонне

Решение задачи заключается в нахождении таких составов продуктовых потоков , которые максимизируют энтропию:

I) Выбор оптимальной схемы разделения

1.1)  Определения количества возможных схем разделения исходной смеси.

Для разделения смеси на составляющие нам потребуется ректификационная установка, содержащая число колон меньшее на единицу, чем число элементов входящих в состав смеси. При этом последовательность выделения компонента может быть различной, в связи с чем, есть несколько вариантов схем разделения.

В общем случае число вариантов схем разделения N определяется формулой:

Для нашего варианта задания возможно 14 схем разделения.

1.2)  Задача выбора оптимальной схемы разделения

Выбор  оптимального варианта схемы   деления помимо большого  числа эквивалентных схем, затруднен еще тем, что при простом переборе каждого варианта, строго говоря,  необходимо осуществлять оптимизацию режимных и конструктивных параметров для каждой фиксированной структуры.   

В связи с этим представляет интерес рассмотреть  принципиальную возможность использования  для выбора оптимальной схемы критерий оценки организованности системы. Известно, что если  исходная m компонентная  смесь не содержит  неразделяемых компонентов, то  такую смесь  на двухсекционной колонне можно разделить m-1 способом , отделяя в дистиллят различное число компонентов.  Для удобства будем рассматривать  гипотетический случай  полного разделения смеси на две фракции при неограниченно большом числе ступеней разделения.

Представим энтропии потоков в следующем виде:

 

Далее несложно получить, что

Последняя формула имеет структуру информационной энтропии выбора для двух  исходов опыта:

Энтропия выбора максимальна в случае равновероятных исходов, т. е. в оптимальном варианте  y=0.5. Таким образом в случаем отсутствии всяких ограничений необходимо делить смесь пополам, это называется принцып дихотомии.

 

1.2) Возможные схемы разделения исходной смеси расчет суммарной энтропии выбора.

1)

 

2)

3)

 

4)

5)

6)

 

7) 

8)

9)

 

10)

11)

12)

 

13)

 

5)

 

14)

 

1.3) Выбор оптимальной схемы разделения исходной смеси.

Энтропия выбора максимальна в случае равновероятных событий. Это означает, что с точки зрения информационного критерия оптимально делить смесь "пополам" — принцип дихотомии. Последовательно применяя этот принцип на каждой колонне, можно получить оптимальную схему разделения многокомпонентной смеси без перебора вариантов.

В соответствии с заданными концентрациями (z1=0,25; z2=0,1; z3=0,05; z4=0,15;  z5=0,45).

Суммарная энтропия выбора всей схемы будет равна сумме энтропий каждой отдельно взятой колонны. То есть .

 

Мы видим что схема полученная по принципу дихотомии является схемой с максимальной энтропией выбора. Энтропия выбора  близка к своему максимальном значению. Данную схему выберем в качестве оптимальной.

II) Оптимальная декомпозиция ректификационной системы

2.1) Распределение концентраций компонентов в выходных потоках.

Согласно концепции четкого разделения принимается, что число компонентов, распределяющихся одновременно между дистиллятом и кубовым продуктом не больше двух, концентрация же остальных в одном из них очень низка и практически не влияет на точность материального баланса.

В условиях достаточных для применения концепции четкого разделения,  работает большинство промышленных установок.

Руководствуясь этой концепцией, обозначим концентрации компонентов в выходных потоках системы.  

2.2) Расчет числа степеней свободы системы.

Характер решения задачи декомпозиции зависит от количества степеней свободы системы N0 которое определяется как разность между  количеством свободных параметров и  независимых уравнений, составленных на основе покомпонентных материальных балансов.  Для случая четкого разделения справедлива следующая формула:

Где: A-число концентраций принимаемых отличными от нуля в выходных потоках системы, a0-число заданных независимых концентраций, m-число компонентов в исходной смеси.

С  экстенсивными параметрами прежде всего связаны концентрации x, а с интенсивными отборы   .

  1.  Постановка задачи оптимальной декомпазиции.   

Под декомпозицией подразумевается расчленение системы на подсистемы с получением всей необходимой информации для проектирования каждой подсистемы в отдельности. Требуется провести декомпозицию четырехколонной ректификационной установки на оптимальные подсистемы, с получением всей необходимой информации о каждой подсистеме. Задачу декомпозиции будем рассматривать с привлечение концепции четкого разделения.

  Согласно концепции четкого разделения принимается, что число компонентов, распределяющихся одновременно между дистиллятом и кубовым продуктом не больше двух, концентрация же остальных в одном из них очень низка и практически не влияет на точность материального баланса.

 В условиях достаточных для применения концепции четкого разделения,  работает большинство промышленных установок.

Характер решения задачи декомпозиции зависит от количества степеней свободы системы N0 которое  рассчитано в предыдущем пункте.

 N0=6 число неизвестных больше числа независимых уравнений оптимальной статики.  В этом случае незакрепленные концентрации выбираются исходя из минимума информационного критерия относительной оценки качества разделения  при соблюдении условий оптимальной статики и  ограничений соблюдения материального баланса.

 Таким образом в общем случае задача сводится  к минимаксной задаче в том смысле, что критерий оценки качества разделения максимизируется,  если  вирируются  относительные отборы и минимизируются если отыскиваются значения свободных концентраций, связанными с экстенсивными параметрами.

  1.  Оптимальная  декомпозиция системы на отдельные подсистемы при наличии двух заданных компонентов.

Согласно пункту 3.1 число степеней свободы N0=6

Использую стратегию   найдем  - отбор продукта по отношению к  питанию системы. В режиме четкого разделения это приводит к условию оптимальной статики.

Для первой колоны:

 

Для ограничения оставшихся  степеней  свободы  используется стратегия .

В качестве незакрепленных переменных выбираем,  x51-, x12+. Через эти, а также две заданные концентрации ( x43-,x24+).

Выразим все концентрации  через заданные и незакрепленные концентрации, для этого используем покомпонентный материальный баланс и условия оптимальной статики.

   

   

если его частные производные равняются нулю.

Предварительно из покомпонентного  материального баланса находим:

  

 

По второй независимой переменной:

  

 

Функция будет иметь экстремум в точке если ее частные производные будут равняется нулю.

Находим частные производные и приравниваем их к  0:

 

 

Видно что оба этих условия выполняются если: =1 и=1

Решая эти уравнения совместно с ограничениями мат. Баланса получаем:

x51-= 0,9874,  x12+= 0.9860,

А из условий материального баланса:

   

   

Докажем что в данной точке функция имеет минимум:

 

Найдем промежуточные концентрации:

Дистиллят  первой колонны (питание второй колонны):

 

 

Кубовый остаток второй колонны (питание третьей колонны):

                   

Кубовый остаток третьей колонны (питание четвертой колонны)

               

     

Рассчитаем оптимальные доли отбора дистиллята и кубового остатков:

В первой колонне:

Отбор кубового остатка:        x1=z5=0,45;

Отбор дистиллята: y1=1-z5=0.55

Во второй колонне:

Отбор кубового остатка: х2=0.545;

Дистиллята : у2=0.455

В третьей колонне:

Отбор кубового остатка: х3=

Дистиллята : у3=

В четвертой колонне:

Отбор кубового остатка: x4=

Дистиллята : у4=

Все данные занесем в таблицу:

1 колонна:             

1

0,25

0,4545

-

2

0,1

0,1818

-

3

0,05

0,0909

-

4

0,15

0,2626

0,0126

5

0,45

0,0102

0,9874

2 колонна:     

1

0,454

0,986

0.0116

2

0,1818

0,014

0.3217

3

0,0909

-

0.1667

4

0,2656

-

0.4811

5

0,0072

-

0.0189

3 колонна:          

1

0.0116

0.0233

-

2

0.3217

0.6434

-

3

0.1667

0.3212

0,0121

4

0.4869

0.0121

0,95

5

0.0131

-

0,0379

4 колонна:        

1

0.0234

0,0349

-

2

0.6433

0,95

0,0302

3

0.3096

0,0151

0.9334

4

0.0237

-

0.0364

5

-

-

-

  1.  Оптимальная  декомпозиция системы на отдельные подсистемы при наличии трех заданных компонентов.

Число степеней свободы N0=5.  Заданны следующие концентрации  . При этом концентрацию берем из предыдущего пункта.

В качестве независимой переменной выбираем  x12+. Далее все операции аналогично 2.4

                    

 

Решая эти уравнения совместно с ограничениями мат. Баланса получаем:

x12+= 0.9860,

А из условий материального баланса:

   

   

Дистиллят  первой колонны (питание второй колонны):

 

 

Кубовый остаток второй колонны (питание третьей колонны):

                   

Кубовый остаток третьей колонны (питание четвертой колонны)

               

     

Результаты сведем в таблицу

1 колонна:             

1

0,25

0,4545

-

2

0,1

0,1818

-

3

0,05

0,0909

-

4

0,15

0,2626

0,0126

5

0,45

0,0102

0,9874

2 колонна:     

1

0,454

0,986

0.0116

2

0,1818

0,014

0.3217

3

0,0909

-

0.1667

4

0,2656

-

0.4811

5

0,0072

-

0.0189

3 колонна:          

1

0.0116

0.0233

-

2

0.3217

0.6434

-

3

0.1667

0.3212

0,0121

4

0.4869

0.0121

0,95

5

0.0131

-

0,0379

4 колонна:        

1

0.0234

0,0349

-

2

0.6433

0,95

0,0301

3

0.3096

0,0151

0.9334

4

0.0237

-

0.0365

5

-

-

-

В ходе декомпозиции мы фактический выяснили выходные концентрации для каждой из колонн. Результаты декомпозиции, в двух постановках задач практический не отличаются.  

III) Расчет наиболее вероятных составов продуктовых потоков ректификационных колонн

3.1)Постановка задачи:

Обозначим концентрации компонентов в дистилляте , в кубовом остатке  в питании  (). Долю отбора дистиллята будем обозначать , — доля отбора кубового остатка: , , где — мольные расходы дистиллята, кубового остатка и питания соответственно.

Математическая формулировка задачи поиска закона распределения компонентов смеси между продуктовыми потоками сводится к следующему: требуется найти такие значения  и , которые бы доставляли максимальное значение энтропии  при соблюдении следующих ограничений:

                (1)

        (2)

      (3)

Уравнение (1) — уравнение материального баланса по компоненту i, уравнение (2) — условие нормировки, уравнение (3) вводит свойства компонентов и означает, что колонна работает в режиме, характеризующимся средним значением энергетического параметра равного.

3.2)Решение задачи расчета наиболее вероятных составов продуктовых потоков ректификационных колонн:

Для решения задачи используем метод неопределенных множителей Лагранжа. Так как для многокомпонентной смеси система ограничений не является замкнутой, то необходимо добавить уравнения. Введем множители Лагранжа  для ограничений (1)–(3) и составим функцию Лагранжа:

Взяв производные по  и , приравняв их к нулю, получаем необходимые условия максимума энтропии.

                      (4)

                              (5)

Эти уравнения вместе с тремя уравнениями ограничений составляют замкнутую систему.

Решение системы

Из уравнений 4-5 получаем  что при  и

                                                                (6)

                                                                             (7)

Исключая множитель , путем использования ограничения 1,  находим

                                                         (8)

                                                         (9)

Для исключения множителя y, можно было бы воспользоваться уравнением (2). Однако поступаем иначе. В практике расчетов бывает задана не величина  

<a>, а концентрация одного из компонентов в одном из продуктов.

Записав уравнения (6) и (7) для заданного компонента и поделив одно из них на другое, получаем:

Подставляя в выражения (8),(9) получаем:

                                                                        (10)

                                                                     (11)

Где Ai=(ayi-axi)-(ayn-axn).

Можно записать, что:

                        (12)

где Кэ эффективная константа фазового равновесия компонента, принятого за эталонный (за эталонный обычно принимается самый высококипящий компонент смеси).  αi=Ki/Kэ--эффективная  относительная летучесть компонента i.

Введя относительные летучести (12) в уравнения (10)  и (11), а также используя  уравнение материального баланса (1) , получаем:

При заданной концентрации в дистилляте .

,  

Значение параметра  находится из уравнения

Если задана концентрация в кубовом остатке, тогда

,  

Значение параметра  находится из уравнения

– номер колонны

– летучесть компонентов (, , , , )

– число тарелок

1 колонна:              1=10,96

1

0,25

0,45450

-

2

0,1

0,18181

-

3

0,05

0,09087

-

4

0,15

0,26242

0,01260

5

0,45

0,0104

0,98740

2 колонна:      2=33,94

1

0,45450

0,98600

0.01170

2

0,18181

0,01400

0.32168

3

0,09087

-

0.16659

4

0,26242

-

0.48110

5

0,0104

-

0.01893

3 колонна:            3=18,84

1

0.01170

0.02314

-

2

0.32168

0.64325

-

3

0.16659

0.32114

0.01215

4

0.48110

0.01247

0,95

5

0.01893

-

0.03785

4 колонна:          4=26,3

1

0.02314

0.03471

-

2

0.64325

0.95

0.03001

3

0.32114

0.01529

0.93258

4

0.01247

-

0.03741

5

-

-

-

В сравнении с результатами, полученными при решении задачи декомпозиции данные этой таблицы более точны, так за ректификационную колонну взята более точная модель.

IV)  Идентификация математической модели каждой колоны

Модель, которую мы составляли, ранее не включает в себя множество допущений. Так, например мы предполагали, что колонна работает в режиме полного орошения.  В промысленных аппаратах такой режим не соблюдается, так как дистиллят во многих  случаях является конечным продуктом и отбор его должен быть максимален.

Данные:  z1=0.25; z2=0.1;  z3=0.05;  z4=0.15;  z5=0.45.

-совпадают с предыдущими пунктами.

 

Найти:  i.
Используем модель приведенную  в пункте 3. Изменяя   
i получаем    

1 колонна:        1=9.61

1

0,25

0.455

-

2

0,1

0.182

-

3

0,05

0.091

-

4

0,15

0.248

0.03

5

0,45

0.024

0.97

2 колонна: 2=30.5

1

0,45450

0.973

0.04

2

0,18181

0.027

0.321

3

0,09087

-

0.166

4

0,26242

-

0.454

5

0,0104

-

0.019

3 колонна:     3=22

1

0.01170

0.023

-

2

0.32168

0.643

-

3

0.16659

0.33

0.012

4

0.48110

0.004

0,95

5

0.01893

-

0.038

4 колонна:   4=22.45

1

0.02314

0.035

-

2

0.64325

0.95

0.064

3

0.32114

0.015

0.9

4

0.01247

-

0.036

5

-

-

-

 

V) Расчетное исследование выбор оптимального отбора продуктов для каждой колонны системы в проектной и поверочной постановке задачи.

Для первой колонны:

 

Для второй колоны:

 

Для третьей колоны:

Для четвертой колоны:


1

 5

2

 1

3

 z4

4

4

3

2

1

2

3

 z4

4

z1, z2, z3, z4, z5

x3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8122. Фреймы, как модель представления знаний. Управление выводом во фреймовых системах 92 KB
  Фреймы, как модель представления знаний. Управление выводом во фреймовых системах. (Конспект) Фрейм (от англ. Frame - рамка, несущая конструкция) - структура для описания стереотипной ситуации, содержащая множество характеристик ситуации...
8123. Семантические сети. Вывод на семантических сетях 89.5 KB
  Семантические сети. Вывод на семантических сетях. (Конспект) Формально, семантическая сеть (СС) представляет собой помеченный ориентированный граф. Вершины СС соответствуют сущностям предметной области - объектам, событиям, свойствам, процессам...
8124. Поиск в пространстве состояний. Формальная постановка задачи. Обобщенный алгоритм поиска. Критерии оценки стратегий 116.01 KB
  Поиск в пространстве состояний.Формальная постановка задачи. Обобщенный алгоритм поиска. Критерии оценки стратегий. Многие задачи,в частности игры и головоломки,могут быть представлены как задачи поиска в пространств...
8125. Методы неинформированного поиска. Поиск в ширину, в глубину, однородной стоимости, ограниченный по глубине поиск 142.53 KB
  Методы не информированного поиска. Поиск в ширину,в глубину, однородной стоимости, ограниченный по глубине поиск. Основная проблема в области поиска - нахождение хорошей стратегии поиска для заданной задачи. Страт...
8126. Методы неинформированного поиска. Поиск с итеративным углублением, двунаправленный поиск. Поиск c удовлетворением ограничений. Cложность методов поиска 241.79 KB
  Методы не информированного поиска. Поиск с итеративным углублением, двунаправленный поиск. Поискc удовлетворением ограничений. Cложность методов поиска. Итеративно углубляющийся поиск. В ограниченном по глубине пои...
8127. Методы информированного поиска. Поиск сначала лучший. A*-поиск. 316.08 KB
  Методы информированного поиска. Поиск сначала лучший. A*-поиск. Методы не информированного (слепого) поиска в большинстве случаев неэффективны. Эффективность поиска может быть повышена за счет использования дополнительны...
8128. Альфа-бета отсечение 392 KB
  Альфа-бета отсечение (конспект) При минимаксном поиске количество состояний игры, которые должны быть исследованы в процессе поиска, экспоненциально зависит от количества ходов. Эту зависимость, к сожалению, невозможно устранить, но существует возмо...
8129. Архитектура доски объявлений (ДО) 238 KB
  Архитектура доски объявлений (ДО). (Конспект) Архитектура ДО. В первой половине 70-х годов по заказу Управления перспективных исследований США DARPA рядом американских университетов была выполнена пятилетняя исследовательская программа, направленная...
8130. Модели представления и обработки неопределенных знаний. Коэффициенты уверенности Шортлифа 71 KB
  Модели представления и обработки неопределенных знаний. Коэффициенты уверенности Шортлифа. (Конспект) Представление и обработка в ЭС неопределенных знаний Экспертным знаниям, как правило, присуща неопределенность. В инженерии знаний принято выделять...