47145

Определение числовой последовательности и её предела

Доклад

Математика и математический анализ

предел функции одной переменной в точке.бесконечно большие и бесконечно малые функции. Предел функциис его помощью определяются многие др. Определение предела функции в точке по Коши число А принадлежащее R называется пределом функции fх в точке х0 если она определена в некоторой проколотой окрестности точки х0 и если для любого сколь угодно малого числа Е 0 можно указать такое число b=b х0 е 0 что для всех х удовлетворяющих условие 0 xx0 b выполняется неравенство fx e если e 0 b 0 то 0 xx0 b Определение предела функции в...

Русский

2013-11-27

66.64 KB

3 чел.

 1.Определение числовой последовательности и её предела. Св-ва сход-ся послед-ей.

Бесконечная числовая последовательность-числовая функция Хп=J(n), n=1,2,3…,определённая на множестве нат-ых чисел  N. Каждое значение Хп называется элементом (или членом) послед-ти,а число п-номером элемента последовательности.Послед-ть всегда содержит  бесконечное число членов. Пример: (1/п2)=(1,1/22,1/32,1/42); (2)=(2,2,2); (-п)=(1,-1,-3). 1)Последовательность(Хп)наз-ся ограниченной снизу (сверху), если А принадлежит действительным числам и Хп>=А, п принадлежит  натуральным числам (Хп<=А,п принадлежит натуральным числам).

2)послед-ть (Хп) называется ограниченной , если она ограничена сверху и снизу. Пример: (1/п2)- ограничена, число А=2, -2<1/п2<2, для п натуральных; (п)- ограничена снизу; (-п)- ограничена  сверху.

3)Е- окрестность (эпсилон-окрестность) точки а называют любой интервал (а-е, а+е), е>0

а-е______а_______а+е (если убрать точку а то такая последовательность будет называться проколотой).

4)Число а наз-ся пределом числовой последовательности (Хп) при п- стремящемся к бесконечности, если для любого положительного сколько угодно малого числа е существует номер N=N (е), такой что для всех п>=N выполняется равенство [Хп-а]<е. Предел числовой последовательности обозначается lim Хп =а (п стремится к бесконечности).

5)последовательность имеющая конечный предел наз-ся сходящейся, а не иеющая наз-ся расходящейся. Если Хп стремится (при п стремящемяся к бесконечнорсти) к – бесконечности или к + бесконечности, то говорится что бесконечность сходится к бесконечности,т.е. limХп=-+бесконечность (п стремится к бесконечности).

Свойства сходящихся последовательностей:

1.сходящаяся последовательностьимеет единственный предел;

2.сходящаяся последовательность ограничена;

3.если limХп=а и а не=0, то начиная с некоторого номера, члены последовательности имеют тот же знак, что и знак а

4. lim с= С

5. если последовательность (Хп) и  (Уп) сходятся и lim Хп=а, lim=b, с=const, то:

А)lim (Xn+-Yn)= limXn+-limYn=a=-b

Б)lim(c*Xn)=c*limXn=c*a

В)lim (Xn*Yn)=limXn*limYn=a*b

Г)limXn/Yn=limXn/limYn=a/b, b не=0,Ynне=0

Д)lim (Xn)p=(limXn)p=ap

Е)limaxn=alimXn

2.предел функции одной переменной в точке. Односторонние пределы.бесконечно большие и бесконечно малые функции.

Предел функции-с его помощью определяются многие др. матем.понятия.

Определение предела функции в точке по Коши- число А принадлежащее R называется пределом функции f(х) в точке х0, если она определена в некоторой проколотой окрестности точки х0 и если для любого сколь угодно малого числа Е>0 можно указать такое число b=b0, е)>0 что для всех х удовлетворяющих условие  0<|x-x0|<b, выполняется неравенство |f(x)-A|<e  если e>0, b>0, то  0<|x-x0|<b/

Определение предела функции в точке по Гейне- число А принадлежащее R называется пределом функции  f(x) в точке х0, если функция f(x) определенна в некоторой проколотой окрестности точки х0 и если для любой последовательности (хп), хпне=х0, сходящейся к х0, соответствующая последовательность (f(xn)) значений функции сходится к А при п стремящемся к бесконечности. Односторонние пределы функции в точке. Назовём левой полуокрестностью точки хо произвольный интервал (а,хо), а<х0, а правой полуокрестностью точки хо- произвольный интервал (хо, b), хо<b/

Число А наз. Пределом функции в точке хо справа (слева), если функция определена в некоторой правой (левой) полуокрестности точки хо и если для любой последовательности (хп), хп0п0), сходящейся к хо, соответствующая последовательность (f(xg)) значений функции сходится к А. Односторонние пределы обозначают: f(x0+0)= lim f(x)=A-предел слева

F(x0-0)=lim f(x)=A-предел слева

Число А принадлежащее R наз-ся пределом функции при х стремящемся к + бесконечности, если Е>0, b>0, x>B: |f(x)-F|<E.

Бесконечно малая функция- функия в которой х стремится х0, если lim f(x)=0

Бесконечно большая функция-при х стремящемся к х0, если для любого числа е можно указать такое число b=b(x0,e)>0, что для всех х, удовлетворяющих условию 0<|x-x0|<b, выполняется неравенство |f(x)|>e, в этом  случае lim f(x)= бесконечности.

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций:

  1.  Сумма и произведение конечного числа бесконечно малой функции при х стремящемся к хо есть бесконечно малая функция при х стремящемся к хо
  2.  Lim f(x)=A, когда f(x)=A+a(x), где a(x)- бесконечно малая функция при х стремящемся к х0
  3.  Если f(x) бесконечно большая функция при х стремящемся к х0, то 1/f(x)- бесконечно малая функция при х стремящемся к х0. Если f(x) бесконечно малая функция при х стремящемся к хо, то 1/f(x)- бесконечно большая функция, при х стремящемся х0

3.основные правила вычесления пределов. Замечательные пределы.

Первый замечательный предел-  

lim sinx/x=1 или lim x/sinx=1. Учитывая что cos0=1 имеем также что lim tgx/x=1 или lim x/tgx=1

второй замечательный предел-

lim(1+1/x)x=e или lim(1+x)1/x=e

Примеры: a)lim sin4x/x=(0/0)=lim sin4x/4x*4=1*4,т.к. lim sin4x/4x=1

б) lim sin6x/sin4x-(0/0)=lim sin6x/6x*6x*4x/sin4x*1/4x=6/4=3/2 т.к. lim sin6x/6x=1, lim4x/sin4x=1

в) lim (1+3x)1/x= lim(1+3x)1/3x*3=e3 т.к. lim(1+3x)1/3x=e

г)lim(3x-1/3x+1)3x=(1бесконечность)=lim ((3x+1)-2/3x+1)3x= lim(1+(-2)/3x+1)3x=lim(1+9-2)/3x+1)3x+1/-2 * -2/3x+1 *3=elim-6x/3x+1=e-2

первый замечательный предел функции

lim sinx/х=1

lim x/sinx=1

пример: lim sin6x/x=lim 6*sin6x/6x= 6*1=6 (т.к. sin6x/6x=1)

второй замечательный предел функции:

lin(1+1/x)x=e

lim (1+x)1/x=e

Пример: lim (1+5x)7/x=(1бесконечность)= (1+5х/1)7/х= (1+5х/1)1/5х * 5х/1 * 7/х =e35 (т.к. (1+5х/1)1/5х= е)

4Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва функции и их классификация.

Непрерывность функции в точке

1)Функция у=f (х) называется непрерывной в точке хо, если выполнены следующие три условия: 1)функция определена в точке хо и её окрестности. 2)существует конечный предел функции в точке хо. 3)этот предел равен значению функции в точке хо, т.е. lim f(x)= f(x0)

2) Функция у=f (х) называется непрерывной в точке хо, если выполнены следующие  условия: 1)функция определена в точке хо и её окрестности. 2)существуют конечные односторонние  пределы lim f(x)=f(x0-0) и lim f(x)=f(x0+0). 3)эти пределы равны между собой и равны значению функции в точке х0, т.е. lim f(x)-lim f(x)=f(x0)

3) Функция у=f (х) называется непрерывной в точке хо, если выполнены следующие три условия: 1)функция определена в точке хо и её окрестности.2) бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: lim y= lim (f(x0+x)-f(x0))=0

Свойства:

  1.  Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке хо, то функции f(x)+-g(x), c*f(x) (с-постоянная), f(x)*g(x) и  f(x)/g(x) (при условии что g(x0) не = 0) также непрерывна в точке хо
  2.  Если функция u=q (x) непрерывна в точке хо, а функция у=f(u) непрерывна в точке u0=q(x0), то сложная функция у=f(q(x)) непрерывна в точке хо

Непрерывнасть функции на отрезке

Функция у=f(x) наз-ся непрерывной на отрезке [a;b] , если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (в точке а непрерывна справа, т.е. lim f(x)=f(a), а в точке b непрерывна слева, т.е. lim f(x)=f(b))

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

1.если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке (первая теорема Вейерштрасса)

2.если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке она достигает достигает своего наименьшего значения m и наибольшего значения М (вторая теорема Вейерштрасса)

3.если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на его концах принимает значения разных знаков то внутри отрезка существует хотя бы одна точка такая что  функция=0 (теорема Больцано-коши)

Точки разрыва функции и их классификация: точки в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. Если хо-точка разрыва функции y=f(x) то в ней не выполняется хотя бы одно из трёх условий непрерывности функции.

Классификация: 1)точка хо наз-ся точкой разрыва первого рода функции y=f(x) , если в этой точке существуют конечные пределы f(x0-0) и f(x0+0), но они не равны между собой f(x0-0) не= f(x0+0). Величина |f(x0+0)-f(x0-0)| называется при этом скачком функции y=f(x) в точке х0.

2) Точка х0 называется точкой устранимого разрыва функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы f(x0-0) и f(x0+0), они равны между собой: f(x0-0)=f(x0+0) но сама функция y=f(x) не определена в точке х0 или определена но f(x0-0)=f(x0+0)не=f(x0)

3)Точка х0 называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x) если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов (f(x0-0)не=f(x0+0)) не существует или равен бесконечности.

5.Производная функция, её геометрический и экономический смысл.

1)производной функции f(x) в точке х0 называется число обозначаемое f(x0) и равное f(x0)=lim f(x)-f(x0)/x-x0 (1)

Так как x=x0+дельта х, х-х0=дельта х, то предел (1) может быть записан в виде

f’(x0)=lim f(x0+дельта х)-f(x0)/дельта х=lim дельтаf (x0)/дельта х.

2)Правой производной называется число

f’(x0+0)=lim f(x)-f(x0)/x-x0=lim дельта f(x0)/ дельта х=f+(x0). Аналогично определяется левая производная f(x0-0)

Выясним геометрический смысл производной:

Пусть f(x)-непрерывная функция, определённая в некоторой окрестности точки х0. Рассмотрим две точки А(х0;f0)) и В(х1;f1)), лежащие на графике функции f(x). Прямая АВ называется секущей линией АВ:х-х010=y-f(x0)/f(x1)-f(x0)

Пусть точка В стремится к точке А по графику функции f(x) тогда секущая АВ будет стремится занять своё предельное положение.

Предельное положение наз-ся касательной к графику f(x) в точке х0. Касательная будет существовать если существует предел lim f(x1)-f(x0)/x1-x0=f’(x0)

Уравнение касательной y=f’(x0)(x-x0)+f(x0) следовательно k=f’(x0)=tga следовательно с геометрической точки зрения производная функции в точке численного равна tga где а угол образованный касательной к графику функции f(x) вточке х0, с положительным направлением оси Ох. Прямая перпендекулярна к касательной в точке Хо-наз-ся нормалью к1к2=-1

Уравнение нармали: y=-1/f(x)*(x-x0)+f(x0)

6.Правила дифференцирования функций. Логарифмическое дефференцирование. Производные высших порядков.

1)Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют производные в точке, то функции u+-v, uv, u/v(v(x)не=0) также имеют производные в этой точке, причём:

-(cu)’=cu’,c-число

-(u+-v)’=u’+-v

-(uv)’=uv+uv

-(u/v)’=uv-uv’/v2

2)если функция g(x) имеет производную в точке х0, а функция f(y) имеет производную в точке у0=g(x0), то сложная функция f(g(x)) имеет производную в точке х0

f’(x0)=f’(y0)*g’(x0),y=g(x)

Основные производные:

1)c’=0 (с число)

2)x’=1

3)(xa)’=axa-1(а-число)

4)(ax)’=axlna, 0,a не =1

5)(ex)’=ex

6)(logax)’=1/xlna, 0,a не=1, x.0

7)(lnx)’=1/x,x.0

8)sinx)’=cosx

9)(cosx)’=-sinx

10)(tgx)’=1/cos2x

11)(ctgx)’=-1/sin2x

12)(arctgx)’=1/1+x2

13)(arcctgx)’=-1/1+x2

14)(arcsinx)’=1/корень (1-x2)

15)(arccosx)’=-1/корень (1-x2)

3)Логарифмическое дифференцирование применяют тогда, когда нужно найти производную выражения, содержащего произведения, корни, степени, т.е.выражение, которое легко логарифмируется а также для нахождения производной степенно-показательной функции u(x)v(x)

4)Функция наз-ся заданной неявно если она представлена в виде уравнения F(x;y)=0 т.е. у не выражен явно, или его, в принципе, нельзя выразить явно через х. В этом случае производная находится учитывая что у-функция (у3)’=3y2*y

5)Второй производной от функции y=f(x) называется производная от её первой производной yf’(x). Обозначается вторая производная следующим образом: y”,f”, d2y/dx2, d2f/dx2. Аналогично определяется производные третьего и более высоких порядков. Например производная сотого порядка обозначается как y(`100) или d100y/dx100

7.Правила лопиталя для раскрытия неопределённостей вида 0/0 и бесконечность/бесконечность. Раскрытие неопределённостей вида 0*бесконечность, бесконечность-бесконечность, 1бесконечность, 00

Правило Лопиталя-пусть функция f(x) и g(x) имеют производные в окрестности точки хо тогда: 1)если lim f(x)= lim g(x)=бесконечность, то limf(x)/g(x)=(бесконечность/бесконечность)= lim f’(x)/g’(x), при условии что последний предел существует. 2)если lim f(x)=lim g(x)=0, то lim f(x)/g(x)= (0/0)= lim f’(x)/g’(x), при условии что последний существует.

Следовательно если мы имеем неопределённости бесконечность/бесконечность, 0/0, воспользоваться правилом Лопиталя означает найти производные числителя и знаменателя, а затем вычислить новый предел.

Пример lim sin4x/x=(0/0)=lim(sin4x)’/x= lim4cos4x/1=4*cos0=4*1=4

3)0*бесконечность, пусть f  стремиться к 0, g  стремиться к бесконечности, тогда fg=f/ (1/g)= (0/0)=g/(1/f)= (бесконечность/бесконечность), т.е. мы свели данную неопределённость к 0/0 или бесконечность/бесконечность, после чего можно применять правило Лопиталя

4)бесконечность-бесконечность . Пусть f стремиться к бесконечности, g стремиться к бесконечности, тогда f-g=1/(1/f)- 1/(1/g)=(1/g)-(1/f)/(1/f)*(1/g)=(0/0)

5)1бесконечность,00, бесконечность0. Данные неопределённости также сводятся к неопределённостям  бесконечность/бесконечность или 0/0 . для этого можно воспользоваться формулой fg=einfg=eglnf, f>0. Так, если f  стремиться к 1, g стремиться к бесконечности, то получаем неопределённость 0*бесконечность (так как ln1=0), после чего можно получить бесконечность/бесконечность или 0/0

8.Дифференциал функции.Связь дифференциала и производной.Использование дифференциала в приближенных вычислениях.

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение в этой точке  можно представить в виде дельта y=f(x0+дельтаx)-f(x0)=A*дельтаx+a(дельтаx)

Для того чтобы функция f(x) была дифференцируемой в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы в точке х0 существовала произвлдная f’(x)=A.

F(x0+дельтаx)-f0)=f’(x0)*дельтаx+a(дельтах)

Функция f’(x0)*дельтаx есть главная линейная часть приращения функции f(x) в точке х0.Эту главную линейную часть приращения функции f(x) и называется дифференциалом функции f(x) в точке х0 и обозначают df(x0)=f’(x0)*дельтаХ, в частности для f(x)=x имеем df=dx=1*дельтаХ=дельтаХ, следовательно df(x0)=f’(x0)dx

Для дифференциалов функций f и g справедливы формулы, подобные формулам для производных функций:

1)d(f+g)=df+dg

2)d(f*g)=g*df+f*dg

3)d(f/g)=(gdf-fdg)/g2

Данные формулы будут широко применяться при вычислении интегралов функций. С помощью дифференциала можно также приближенно вычислить значения функции f для ч, близких к x0, Так как отбросив бесконечно малую функцию в формуле 2, получаем: f(x0+дельтаХ)=f(x0)+f’(x0)дельтаХ

9.Исследование на монотонность функции одной переменной. Точки экстремума. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Пусть задана функция y=f(x) на множестве Х и х0-внутренняя точка множества Х.

Обозначим через U(x0) окрестность точки х0.В точке х0 функция f(x) имеет локальный максимум, если существует такая окрестность U(x0) точки х0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f(x)<=f(x0).

Точки локальных максимума и минимума называются точки локальных экстремумов, а значения функции в них-локальными экстремумами функции.Пусть функция f(x) определена на отрезке[a,b] и имеет локальный экстремум на каком0то из концов этого отрезка.Тогда такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для точки а и левой для точки b  полуокрестностью.

Критическими точками , т.е. точки подозрительные на экстремум функции на интервале [a,b] , являются точки,в которых производная существует и равна 0 либо она не существует или равна бесконечности.

Первое достаточное условие экстремума-пусть непрерывная функция диффиринцируема в некоторой проколотой окрестности U(x0) точки х0, тогда: 1)если f’(x)>0 при х<x0, х принадлежит U0) и f’(x)<0 при х>x0, x принадлежит  U(x0), то в точке х0-локальный максимум

2)если f’(x)<0 при x<x0 х принадлежит U(x0) и  f’(x)>0при x>x0 x принадлежит U(x0), то в точке х0 локальный минимум.

  Функция называется n раз непрерывно-дифференцируемой на некотором промежутке, если на этом промежутке она имеет  непрерывные производные до порядка n включительно (n=0,1,2,….)

  Второе достаточное условие экстремума- пусть функция f(x) дважды непрерывно-дифференцируема. Если х0-стационарная точка (f’(x0)=0) в которой f’’(x0)>0, то в точке х0 функция имеет локальный минимум. Если же  f’’(x0)< 0 то в точке х0 функция имеет локальный максимум.

10.Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба.

1)Функция f(x)  называется выпуклой вниз (вогнутой) на интервале (a;b), если для любых точек х1, х2 принадлежищих (a;b), a<=x1<x2<=b хорда АВ лежит не ниже графика этой функции т.е. если f(x)<=(x)

2) Функция f(x)  называется выпуклой вверх (выпуклой) на интервале (a;b), если для любых точек х1, х2 принадлежищих (a;b), a<=x1<x2<=b хорда АВ лежит не выше графика этой функции т.е. если f(x)>=y(x)

Достаточное условие выпуклости- если f(x)- дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a;b) и: 1)f''(x)>0 и x принадлежит (a:b) то на (a:b) функция f(x) выпукла вниз. 2)f’’(x)<0 и x принадлежит (a;b) то на (a;b) функция  f(x) выпукла вверх. Точка х0 называется точкой перегиба функции f(x), если b-окрестность точки x0, что для всех х принадлежит(х0-b, х0) график функции находится с одной стороны касательной а для всех ч принадлежит (х00+b)-с другой  сторонеы касательной, проведённой к графику функции f(x) в точке х0 т.е. точка х0-точка перегиба функции f(x) если при переходе через точку х0 функция f(x) меняет характер выпуклости:

Необходимое условие существования точки перегиба- если функция f(x) имеет непрерывную в точке х0 производную f’’ и х0-точка прегиба то f’’(x0)=0

Достаточное условие перегиба-если функция  f(x) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки х0  и при переходе через точку х0 производная  f’’(x) меняет знак, то точка х0 является точкой перегиба функции f(x)

11Асимптомы графика функции

Прямая х=х0 называется вертикальной асимптотой графика функции f(x) если хотя бы один из пределов f(x0-0) или f(x0+0) равен бесконечности

Прямая y=kx+b назщывается наклонной асимптотой графика непрерывной функции f(x)  при х стремящемся к + бесконечности или х стремящемся к – бесконечности, если f(x)=kx+b+a(x), lim a(x)=0 т.е. если наклонная асимптота для графика функции f(x) существует, то тразность ординат функции f(x) и прямой у=kx+b в точке х стремится к 0 при х стремящемся к + бесконечности или при х стремящемся к – бесконечности.

Для того чтобы прямая y=kx+b являлась наклонной асимптотой графика функции f(x) при х стремящемся к + бесконечности или х стремящемся к – бесконечности, необходимо и достаточно существование конечных пределов

Lim f(x)/x=k: lim (f(x)-kx)=b

12Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.Общая схема исследования функции и построения графика.

Схема построения графика: 1)Находим область определения функции 2)исследуем функцию на переодичность, чётность, нечётность 3)исследуем функцию на монотонность и экстремум 4)находим промежутки выпуклости и точки перегиба 5)находим асимптомы графика функции 6)находим точки пересечения графика функции с осями координат 7)строим график

13Понятие функции нскольких независимых переменных. Предел функции двух переменных. Непрерывность.

Число А называется пределом функции при х стремящемся к х0, у стремящемся к у0 (или в точке М00, у0)), если для любого сколь угодно малого положительного числа е>0 существует b=b(e)>0 (зависящее от е) такое, что для всех х не=х0, у не=у0, удовлетворяющих неравенству корень (х-х0)2+(у-у0)2<b, выполняется неравенство |f(x,y)-A|<e. Обозначается предел следующим образом: lim f(x,y)=A или lim f(x,y)=A

Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке M (x0,y0), если 1) f(x,y) определена в точке M0(x0,y0) и её окрестности; 2)имеет конечный предел lim f (x,y); 3)этот предел равен значению функции в точке M0(x0,y0) т.е. f(x,y)=f (x0,y0)

Функция z=f(x,y) называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области. Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. В некоторых функциях точки разрыва образуют целые линии разрыва. Например функция z=3/xy имеет две линии разрыва: ось Ох (у=0) и ось Оу(х=0)

14.Частные производные функции двух независимых переменных.Полный дифференциал. Частные производные высших порядков.

Частной производной функции двух переменных- по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю (если этот предел существует). Обозначсается частная производная так: zx’,zy’ или fx(x,y), fy(x,y).

Полным дифференциаломффункции z=f(x,y) называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных,т.е. dz=zxx+zyy.  При нефиксированных х,у,: dx=x, dy=y,а формулу полного дифференциала можно записать в виде: dz=zxdx+zydy или dz=(dz/dx)*dx+(dz/dy)*dy

Частными производными второго порядка функции z=f(x,y) называются частные производные от частных производных первого порядка. Частные производные второго порядка четыре. Они обозначаются следующим образом:

1)Z’’xx=(zx’)’x или d2z/dx2=d/dx*(dz/dx)

2)z’’xy=(zx’)’y или d2z/dydx=d/dy8(dz/dx)

3)z’’yx=(z’y)’x или d2z/dxdy=d/dx*(dz/dy)

4)z’’yy=(z’y)’y или d2z/dy2=d/dy(dz/dy)

Аналогично определяются частные производные 3-го , 4-го и более высоких порядков. Частные производные второго или более высокого порядка,взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными.

15.Экстремумы функции двух независимых переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Точка М000) называется точкой минимума (максимума) функции z=f(x,y) если существует такая окрестность точки М0, что для всех точек М(х,у) из этой окрестности выполняется неравенство f(x00)<f(x,y),(f(x00)>f(x,y). Точки минимума и максимума функции z=f(x,y) называются точками экстремума,а значения функции в точке М0 сравнивается с её значениями в точках, достаточно близких к М0.

1)Необходимые условия экстремума-если М000)- точка экстремума дифференцируемой функции z=f(x,y), то уё частные производные zx’ и zy’ в этой точке равны нулю: zx’(x00)=0 zy’(x00)=0 Точки в которых частные производные первого порядка равны нулю, наз-ся критическими или стационарными. В критических точках функция z=f(x,y) может иметь экстремум а может и не иметь его.

2)Достаточное условие экстремума- пусть функция z=f(x,y) : а)определена в некоторой окрестности критической точки М000), в которой zx’(x00)=0 и zy’(x0, y0)=0 б)имеет непрерывные частные производные второго порядка zxx’’(x0, y0)=A; zxy’’(x0, y0)=B; zyy’’(x0, y0)=C. Тогда если  дельта= АС-В2>0 ,то функция z=f(x,y) в точке М000) экстремума не имеет. В случае дельта=АС-В2=0 вопрос о наличии экстремума остаётся открытым.

16Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица основных неопределённых интегралов.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b) и для любого x принадлежащего (a,b) выполняется равенство F’(x)=f(x)

Если функция F(x) является первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), то множество всех первообразных для f(x) задаётся формулой F(x)+C, где С-произвольная постоянная.

Множество всех первообразных функций F(x)+C для функции f(x) на интервале (a,b) называется неопределённым интегралом от функции f(x) на этом интервале и обозначается символом S f(x)dx, где S-знак интеграла; f(x)-подынтегральная функция; f(x)dx- подынтегральное выражение; х-переменная интегральная. Таким образом S f(x)dx=F(x)+C,где F(x)-некоторая первообразная для f(x) на интервале (a,b). С-произвольная постоянная.

СВОЙСТВА: 1)производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению: (S f(x)dx)’=f(x); d(S f(x)dx)=f(x)dx. 2)неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: S dF(x)=F(x)+C. 3)постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла: S cf(x)dxS f(x)dx, c-const. неопределённых интегралов: S (f(x)+-g(x)dx= S f(x)dx+-S g(x)dx. 5)если S f(x)dx=F(x)+C, а u=f(x)- произвольная функция, имеющая непрерывную производную , то S f(u)du=F(u)+c.

ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ:

1)S0*dx=C; 2)S18dx=Sdx=x+C;3)Sxadx=xa+1/a+1 +C; 4)S dx/x=ln|x|+C; 5)S axdx=ax/lna +C; 6)Sexdx= ex+C; 7)S sinxdx=-cosx+Сж8)S cos xdx= sinx+С 9) S dx/cos2x=tg+C; 10)S dx/sin2x=-сtgx+C; 11)S dx/корень 1-x2= arcsinx+C; 12)Sdx/корень a2-x2=arcsinx/a+C; 13)S dx/корень x2+-a2=ln|x+корень x2+-a2|+c; 14) S dx/1+x2=arctgx+C; 15) S dx/a2+x2=1/a arctgx/a+C; 16)S dx/x2-a2=1/2a ln |x-a/x+a|+C.

17.Замена переменной в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям.

Метод замены переменной-пусть требуется вычислить интеграл S f(x)dx, который не вычисляется непосредственно. Сделаем замену переменной x=g(t) где g(t)-дифференцируемая функция. Тогда dx=g’(t)dt и исходный интеграл приобритает вид S f(x)dx=S f(g(t))*g’(t)dt- эта формула называется формулой замены переменной в неопределённом интеграле.После вычисления интеграла в правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t к исходной переменной х.

Метод интегрирования по частям-пусть u=u(x) и v=v(x)- две дифференцируемые функции. По свойству дифференциала d(uv)=udv+vdu или udv=d(uv)-vdu. Интегрируя обе части последнего равенства и учитывая, что S d(uv),получаем: S udv=uv-S vdu- это формула интегрирования по частям. А)первая группа интегралов: S P(x)lnxdx; S P(x)arcsinxdx; S P(x)arccosxdx; S P(x)arctgxdx; S P(x)arcctg xdx; S P(x)lng(x)dx. Б)вторая группа: S P(x)ekxdx, S P(x)sinkxdx, S P(x)coskxdx. В) третья группа:  S eaxsinbxdx, S eaxcosbxdx, S sin(lnx)dx, S cos(lnx)dx.

18.Интегрирование простейших рациональных дробей.

Рациональной дробью называется дробь вида Pn(x)/Qm(x), где Pn(x)  и Qm(x)- многочлены от переменной  х степени m и  n соответственно.  Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя,т.е. n<m, и неправильной-в противном случае (n>m). Простейшей рациональной дробью называется правильная дробь одного из следующих видов: 1)А/х-а; 2)А/(х-а)к; 3)mx+n/x2+px+q; 4)mx+n/(x2+px+q)k

Интегралы от рациональных дробей 1) 2) находятся методом замены переменной.

19.Определённый интеграл и его свойства.Геометрический смысл определённого интеграла.

Если существует конечный предел интегральной суммы и он не зависит от спосаба разбиения отрезка [a,b]на частичные отрезки, ни от выбора точек z1 в них, то это предел называется определённым интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a,b] и обозначается Sab f(x)dx.

Таким образом: Sab f(x)dx=lim Mf(z1)x1-в этом случае функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a,b] Числа a И b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x)-подынтегральной функцией, f(x)dx-подынтнгральным вырожением, х-переменной интегрирования, отрезок [a,b] называется промежутком интегрирования.

Геометрический смысл:  пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная неотрицательная функция y=f(x). Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y=f(x), снизу-осью Oх, слева и справа-прямыми х=а и х=b

Свойства: 1)Значение определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования Sab f(x)dx= Sab f(z)dz=Sab f(t)dt=…; 2)определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю Sab f(x)dx=0; 3)Sab  f(x)dx=-Sabf(x)dx; 4)постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла: Sab c*f(x)dxSabf(x)dx;

5)определённый интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций: Sab(f(x)+-g(x))dx=Sabs(x)dx+-Sabg(x)dx; 6)если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b] и a<c<b, то Sabf(x)dx=Sabf(x)dx=Sacf(x)dx+Scbf(x)dx; 7)(теорема о среднем).Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] то на этом отрезке существует точка с принадлежащая [a,b] такая что Sabf(x)dx=f(c)*(b-a)

20.Формула Ньютона-Лейбница.Замена переменной в определённом интеграле.

Формула- если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x)-какая либо её первообразная на этом отрезке, то справедливо следующая формула: Sabf(x)dx=F(x)ba=F(b)-F(a)- формула ньютона-лопиталя.

Замена переменной- пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда если: 1)функция x=g(t) и её производная g’(t) непрерывна при  t [a,b]; 2)множеством значений  функции x=gt)  при t[a,b]; 3) g(a)=a g(b)=b, то справедлива формула Sabf(x)dx=Sabf[g(t)]*g’(t)dt-формула замены переменной в определённом интеграле.

21.Интегрирование по частям в определённом порядке.

Пуст функция u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b] тогда имеет  место следующая формула интегрирования по частям. Sabudv=uv|ab-Sabvdu.

22.приложения определённого для вычисления площадей плоских фигур, длин дуг плоских кривых.

Площадь криволинейной трапеции: пусть функция y=f(x) неотрицательна и непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда согласно геометрическому смыслу определённого интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции, снизу-осью Ох, слева и справа-прямыми х=a и х=b s=SabF(x)dx/

Объём тела вращения: пусть криволинейная трапеция,ограниченная графиком непрерывной на отрезке [a,b] функции y=f(x) ,осью Ох, прямыми х=a и х=b, вращается вокруг оси Ох. Тогда объём полученного тела вращения вычисляется по формуле: Vx=пSabf2(x)dx=пSaby2dx.

Длина дуги плоской кривой: пусть кривая АВ, заданная уравнением y=f(x) где a<=x<=b, лежит в плоскости Оху. Под длиной дуги Ав понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу,когда число звеньев ломанной стремиться к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю. Если функция y=f(x) и её производная y’=f’(x) непрерывна на отрезке [a,b]? То длина дуги кривой Ав вычисляется по формуле: L=Sabкорень 1+(f’(x))2*dx=Sabкорень1+y2*dx

23.Обыкновенные дифференциальные уравнения. Общее и частное решение. Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши.

Уравнение F(x,y,y’,yn….,у(n))=0, связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию у=у(х) и её производные у’,yny(n) (наличие хотя бы одной производной обязательно), называются дифференциальным уравнением: yn=f(x,y,y’,….y(n-1). Дифференцированное уравнение, в котором неизвестная функция у зависит от одной переменной х, называется обыкновенным (ОДУ). Если же дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию нескольких переменных и её частные производные, то оно называется уравнением в частных производных. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Решением  дифференциального уравнения n-го порядка называется любая функция, которая задана на промежутке, имеет на этом промежутке производную порядка n и обращает уравнение в верное равенство в каждой точке данного промежутка.

График решения дифференцированного уравнения называется интегральной кривой. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения. Решение может быть задано в неявном виде Ф(х,у)=0. В этом случае его называют интегралом дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция y=g(x112….Сn)

Общий интеграл: Ф(х,у,С12….Сn)

Частное решение дифференциального уравнения: y=g(x,C1020….Сn0).

Частный интеграл: Ф(х,у, С1020….Сn0)=0

24.дифференциальное уравнение с раздельными и разделяющимися переменными. Общее решение.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида yf(x)*g(y) или уравнение вида f1(x)g1(y)dx+f2(x)g2(y)ddy=0. Заметим что первое уравнение можно привести к виду второго уравнения и наоборот. Так как y’=dy/dx=f(x)*g(y), то умножив две части уравнения на dx, будем иметь: dy=f(x)g(y)dx следовательно f(x)g(y)dx-dy=0. Теперь разделим на g1(y)*f2(x) и получим (f1(x)*g1(y)/g1(y)*f2(x))dx+(f2(x)*g2(y)/g1(y)*f2(x))dy=0 следовательно( f1(x)/F2(x))dx+(g2(y)/g1(y))dy=0 отсюда получаем общий интеграл уравнения S(f1(x)/f2(x))dx+S(g2(y)/g1(y))dy=C.

25.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.Общее решение.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y’+P(x)y=f(x). Если в этом уравнении правая часть не равна 0, то оно называется линейным неоднородным, а если равна 0, то линейным однородным. Существует несколько методов интегрирования линейных дифференцированных уравнений первого порядка:

1)Метод подстановки (метод Бернулли):  y=u(x)*v(x)

2)Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа): y’+P(x)y=f(x)

26.Числовые ряды.Сходимость.Необходимый признак сходимости числового ряда.

Числовым рядом или просто рядом называется выражениет9сумма) вида а12+….+аn+Man. Числа а1а2-называются членами ряда, аn-общим или n-ым членом ряда. Пусть аn=1/n, тогда ряд 1+1/2+1/3+….+1/n…=M1/n (гармонический ряд); пусть an=1/na, тогда ряд 1+1/2a+1/3a+…+1/na+…=M1/na (обобщённый гармонический ряд); пусть an=aqn-1, тогда ряд a+aq+aq2+….+aqn-1+…=Maqn-1 (ряд геометрической прогрессии). Из членов ряда 1 образуем числовую последовательность частных сумм s1,S2….Sn, где Sn=a1+a2+…an-сумма n первых членов ряда, которая называется n-й частичной суммой. Ряд 1 называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел,т.е. limSn=S. В этом случае число S называется суммой ряда 1 и пишется так:a1+a2+…an=S. Ряд 1 называется расходящимся если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела. Расходящемуся ряду не приписывают никакой суммы.

27.Достаточные признаки сходимости для положительных числовых рядов.

Положительные ряды: ряды,для которых an>=0, n=1,2,3…пусть даны два положительных ряда: 1)a1+a2+…+an+…=Man 2)b1+b2+…+bn+..=Mbn. Тогда1)из сходимости второго  ряда следует  сходимость первого ряда; 2)из расходимости первого ряда следует расходимость второго ряда.

28.Знакочередующиеся ряды.Абсолютная и условная сходимость.Достаточный признак  Лейьница.

Знакочередующимся рядом называются ряды, у которого любые ряды стоящие члены имеют противоположные знаки. Такие ряды удобнее записывать в виде:  a1-a2+a3-an+….+(-1)n-1*an+… Для определения сходимости знакочередующихся рядов существует весьма простой достаточный признак. Для того чтобы знакочередующиеся ряды сходились, достаточно, достаточно чтобы абсолютные значения его членов убывали и стремились к нулю при возрастании n. Таким образом,если a1>=a2>=a3>=…. И liman=0, то знакочередующийся ряд сходится.Ряд называется абсолютно сходящимся если сходится ряд, составленный из абсолютныхвеличин его членов. Сходящийся ряд называется условно сходящимся, если ряд расходится.

29.Степенные ряды.Теорема Абеля.Радиус,интервал и область сходимости степенного ряда.

Степенным рядом называется функциональным рядом вида a0+a1(x-a)+a2(x-a)2+…+an9x-a)n+..=Man(x-a)n, где ааа-постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами степенного ряда; а-некоторое постоянное число, х-переменная, принимающая значения их множества действительных чисел. При а=0 степенной ряд принимает вид  a0+a1x+a2x2+….+anxn+..=Manxn. Степенной ряд называют рядом по степеням разности (х-а),ряд 2 –рядом по степеням х.

Если переменной х придать какое-либо значение,то степенной ряд 1 или 2 превращается в числовой ряд, который может сходится или расходиться.

Областью сходимости степенного ряда называется множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится.Для нахождения области сходимости степенного ряда важную роль играет следующая теорема. Теорема Абеля-если степенной ряд сходится при х=х0не=0,то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству |x|<|x0|; чесли же ряд 2 расходится при х=x0не=0, то он расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству |x|>|x0|.

30.Ряды Тейлора И маклорена.

Пусть f(x) –дифференцируемая бесконечное число раз функция в окрестности точки x=a,т.е.имеет производные любых порядков. Рядом Тейлора- функции f(x) в точке х=а называется степенной ряд f(a)+f’(a)/1!(x-a)+f’’(a)/2!(x-a)2+…+fna/n!(x-a)n+…=Mfna/n!(x-a)n в частном случае при а=0 ряд называется рядом Маклорена: f(0)+f’(0)/1!x+f’’(0)/2!x2+….+fn(0)/n!xn+…=Mfn(0)/n!xn 



 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55361. Медіа-клуб 111 KB
  Мета проекту: формувати комунікативні та соціальні компетентності учнів виховувати активну життєву позицію школярів; допомагати у набутті молодим поколінням соціального досвіду...
55362. Народна казка як скарбниця духовних надбань людства у процесі адаптації п’ятикласників до навчання в середній школі 142.5 KB
  Гідним прикладом для згуртування нового учнівського колективу є дії, вчинки, кращі риси ментальності українського характеру – доброта, милосердя, взаєморозуміння, взаємодопомога – героїв народних казок, творів, які вивчаються саме в цей важливий адаптивний період.
55363. Наша школа + енергозбереження 67 KB
  Актуальність даного проекту полягає в тому що проблема сьогодення енергетика й енергозбереження є актуальною не лише для нашої школи а й для нашої країни загалом. В цьому переконалися наші учні приймаючи вже кілька років участь в Міжнародному конкурсі Енергія і середовище мета якого знайти нові шляхи енергозбереження в нашій країні.
55364. Володимир Сосюра – співець землі донецької 100 KB
  Мета проекту: дослідити, вивчити й узагальнити факти з життя В.Сосюри; ознайомитись із творчим доробком поета, тематикою його творів; на основі цих досліджень розробити урок літератури рідного краю
55366. Та сторона мила, де мати народила 35 KB
  Мета проекту: - виховати почуття поваги до звичаїв та обрядів; - відчуття належності до України; - сформувати у школярів гуманістичні громадянські орієнтири.
55367. ЧОРНОБИЛЬ-ДОВГИЙ СЛІД ТРАГЕДІЇ 68 KB
  За 25 років після Чорнобильського вибуху світ принципово змінив свої підходи як щодо використання ядерної енергії, так і щодо ядерної та радіаційної безпеки. На даному етапі розвитку людства ядерну енергетику не можна розглядати як безпечну та перспективну...
55368. Інтернет. Соціальні мережі 232.5 KB
  Мета уроку: підвести підсумки роботи над проектом Інтернет. В цьому навчальному році в школі відбулись великі зміни ми маємо під’єднання шкільної мережі до швидкісного Інтернету.
55369. У душах людських хай палає тепло, людське милосердя хай творить добро 138.5 KB
  Мета: розвивати в учнів доброзичливість вміння співчувати милосердя; виховувати дітей у дусі відродження українських традицій благодійності; залучати школярів до практичної благодійності. Бесіда на тему Що таке милосердя?