47194

Разработка занятий имеющих цель повторения материала по теме «Четырехугольники»

Дипломная

Педагогика и дидактика

В процессе повторения у учащихся развивается память. Эмоциональная память опирается на наглядно–образные процессы, постепенно уступает памяти с логическими процессами мышления, которая основана на умении устанавливать связи между известными и неизвестными компонентами, сопоставлять абстрактный материал, классифицировать его, обосновывать свои высказывания.

Русский

2013-11-24

4.48 MB

51 чел.

Введение

В процессе обучения математике важное место отводится организации повторения изученного материала. Необходимость повторения обусловлена задачами обучения, требующими прочного и сознательного овладения ими.

Указывая на важность процесса повторения изученного материала, современные исследователи показали значительную роль при этом таких дидактических приёмов, как сравнение, классификация, анализ, синтез, обобщение, содействующее интенсивному протеканию процесса запоминания. При этом вырабатывается гибкость, подвижность ума, обобщённость знаний.

В процессе повторения у учащихся развивается память. Эмоциональная память опирается на наглядно–образные процессы, постепенно уступает памяти с логическими процессами мышления, которая основана на умении устанавливать связи между известными и неизвестными компонентами, сопоставлять абстрактный материал, классифицировать его, обосновывать свои высказывания.

Повторение учебного материала по математике осуществляется в течение всего учебного процесса: при актуализации знаний — на этапе подготовки и изучения нового материала, при формировании новых понятий, при закреплении изученного ранее, при организации самостоятельных работ различных видов, во время проверки знаний учащихся.

Необходимость повторения изученного ранее материала вызвано самой структурой программы учебного курса математики. Например, учащиеся проходят по учебной программе тему: «Четырёхугольники» в 8 классе, но пользуются ей в 10–11 классах  при изучении темы: «Поверхность тел вращения», «Площадь поверхности», «Объёмы тел» и др. Школьная программа устроена так, что, не повторяя ранее изученного материала, трудно усваивать новый, поэтому, повторение пройденного материала необходимо учащимся. Необходимо отметить также важность и полезность обобщающего повторения. Оно позволяет систематизировать изученный материал, оказывает учащимся практическую помощь в подготовке к экзаменам.

Вышесказанное определяет актуальность темы дипломной работы.

Цель работы: изучение особенностей повторения и разработка занятий имеющих цель повторения материала по теме «Четырехугольники».

Для достижения цели поставлены следующие задачи:

1. Подбор и изучение методической литературы по организации повторения.

2. Изучение теоретических вопросов по теме «Четырехугольники».

3. Разработка занятий по теме «Четырехугольники».

4. Раскрыть основные вопросы организации повторения на уроках математики.

5. Апробация разработанного материала на уроках математики в 8 классе и анализ проведенных занятий.

6. Разработка факультативного занятия.

Структура дипломной работы: введение, две главы, заключение, список используемых источников.

В первой главе изложен теоретический материал по  теме четырехугольники, проиллюстрированный примерами.

Во второй главе предложены разработки уроков и факультативных занятий по теме исследования.

I. Теоретические сведения о четырехугольниках

1.1 Основные определения и свойства четырехугольников

Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки - сторонами четырёхугольника. Стороны четырёхугольника, имеющие общие концы, называются смежными, а не имеющие общих концов – противоположными. Вершины, соединённые стороной называются соседними, а не соединённые – противоположными. Отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырехугольника, называется средней линией.

У каждого четырехугольника две диагонали - это отрезки, соединяющие противоположные вершины четырехугольника. Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются (рис.2), а невыпуклого не пересекаются (рис.1).

Теорема 1: Сумма углов любого четырёхугольника равна 360°.

Действительно, поделив четырехугольник диагональю на два треугольника, получим, что сумма его углов равна сумме углов этих треугольников. Зная, что сумма углов треугольника равна 180°, получаем искомое:=

Теорема 2: Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются, а невыпуклого не пересекаются.

рис.3

Доказательство: 1) Рассмотрим выпуклый четырёхугольник ABCD. Докажем сначала, что вершина С лежит внутри угла BAD. Прямая AD разделяет плоскость на две полуплоскости. Так как четырёхугольник выпуклый, то все его вершины лежат в одной из этих полуплоскостей и, значит, вершина С лежит в той же полуплоскости, что и луч АВ. Обозначим эту полуплоскость буквой а. Аналогично прямая АВ разделяет плоскость на две полуплоскости, причём вершена С и луч AD лежат в одной из этих полуплоскостей. Обозначим её b. Таким образом, точка С лежит как в полуплоскости а, так и в полуплоскости b. Но общая часть этих полуплоскостей и есть внутренняя область угла BAD, поэтому точка С лежит внутри угла BAD.

Точки В и D лежат на разных сторонах угла BAD. Отсюда следует, что луч АС пересекает отрезок BD в некоторой точке О.

Аналогично можно доказать, что луч DB пересекает отрезок АС. Ясно, что точкой их пересечения является та же самая точка О.

Итак, точка О-общая точка отрезков АС и BD, то есть диагонали АС и BD пересекаются в точке О.

рис.4

2) Рассмотрим теперь невыпуклый четырёхугольник ABCD. В таком четырёхугольнике какие-то две соседние вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие соседние вершины.

Пусть вершины С и D лежат по разные стороны от прямой АВ. Тогда в силу утверждения 1) лучи АС и BD не имеют общих точек, то есть диагонали АС и BD четырёхугольника ABCD не пересекаются.

Следствие. Если диагонали четырёхугольника пересекаются, то этот четырёхугольник выпуклый.

  1.  Частные виды четырехугольников:

  1.  Параллелограмм

Параллелограмм-это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

рис.5

Теорема 3: Если диагонали четырёхугольника пресекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник-параллелограмм.

рис.6

Доказательство: Пусть ABCD-данный четырёхугольник и О-точка пересечения его диагоналей.

Треугольники AOD и СОВ равны. У них углы при вершине О равны как вертикальные, а OD=OB и ОА=ОС по условию теоремы.

Значит, углы ОВС и ODA равны, а они являются внутренними накрест

лежащими для прямых AD и ВС и секущей BD. По признаку параллельности

прямых прямые AD и ВС параллельны. Аналогично доказывается параллельность прямых АВ и CD с помощью равенства треугольников АОВ и COD. Так как противолежащие стороны четырехугольника параллельны, то по определению этот четырехугольник-параллелограмм.

Теорема 4: Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

рис.7

Доказательство: Пусть ABCD-данный параллелограмм. Проведём его диагональ BD. Отметим на ней середину О и на продолжении отрезка AO отложим отрезок ,равный AO.

По предыдущей теореме четырёхугольник  есть параллелограмм. Следовательно, прямая  параллельна AD. Но через точку B можно провести только одну прямую, параллельную AD. Значит, прямая  совпадает с прямой ВС.

Аналогично доказывается, что прямая  совпадает с прямой DC.

Значит, точка  совпадает с точкой С. Параллелограмм  совпадает с ABCD. Поэтому его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Теорема 5: Во всяком параллелограмме противоположные стороны равны.

В параллелограмме ABCD проведём диагональ АС. Она разбивает параллелограмм на два треугольника ABC, СDA которые равны, так как имеют общую сторону АС, заключённую между двумя соответственно равными углами:

рис.8

D1=C1 (как углы внутренние накрестлежащие при параллельных AB и CD);

D2=C2(как углы внутренние накрестлежащие при параллельных AD и BC). Из равенства треугольников следует равенство сторон:AB=CD; AD=BC.

Так как заключение обратного предложения можно получить, беря либо часть условия, либо полностью все условие данного предложения, и обратно, то доказанная теорема имеет две обратные теоремы.

Обратные теоремы.

Четырёхугольник будет параллелограммом:

1) если противоположные стороны равны;

2) если две противоположные стороны равны и параллельны.

Замечания: 1°. Четырёхугольник может иметь две равные стороны AB, CD, а две другие ВС, AD параллельные между собою и в то же время не быть параллелограммом (в этом случае он называется равнобочной трапецией).

рис.9

Высотой параллелограмма называется общий перпендикуляр его противоположных сторон. Высотой называется также длина этого перпендикуляра. У параллелограмма две пары противоположных параллельных сторон и соответственно две высоты.

Теорема 6: Площадь параллелограмма равна произведению его стороны и проведённой к ней высоты.

рис.10

Доказательство: Проведем диагональ параллелограмма. Она разбивает его на два треугольника с равными основаниями а и равными высотами h. Площади этих треугольников равны .Площадь S параллелограмма равна сумме площадей этих треугольников.

Значит,

Связь между сторонами и диагоналями параллелограмма

Доказательство: 

Прямоугольник

Ромб

 

Квадрат

Частные случаи параллелограмма

Прямоугольник можно определить как четырехугольник, все углы которого равны. Действительно сумма всех углов четырехугольника равны 360 градусов. И если все углы четырехугольника равны, то каждый из них равен 90 градусов. Следовательно, такой четырёхугольник является прямоугольником.

рис.11

Прямоугольник, конечно, является параллелограммом: его противоположные стороны параллельны как перпендикуляры к одной прямой.

Теорема 7: Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство: Проведём в прямоугольнике ABCD диагонали АС и BD. Прямоугольные треугольники BAD и CDA равны (по двум катетам). Поэтому равны и их гипотенузы: AC=BD. Верно и обратное утверждение.

Теорема 8: Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником.

Доказательство: Пусть в параллелограмме ABCD диагонали равны: AC=BD. Тогда Следовательно, A=D. Аналогично, доказывается, что A=B и B=C. Поэтому A=B=C=D=90, итак, ABCD-прямоугольник.

Ромбом называется четырёхугольник, все стороны которого равны. Ромб является параллелограммом.

рис.12                      рис.13

Свойство ромба: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба.

Доказательство: Пусть диагонали АС и BD ромба ABCD пересекаются в точке О. Так как АО=ОС, то ВО-медиана равнобедренного треугольника ABC. Поэтому ВО-биссектриса и высота этого треугольника. Следовательно, и .

Признаки ромба:

1) Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то параллелограмм является ромбом.

     2) Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то параллелограмм является ромбом.

Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны.

рис.14

Так как стороны квадрата равны, то он является также ромбом. Поэтому квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба:

1.У квадрата все углы прямые.

2.Диагонали квадрата равны.

3.Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом.

2.Трапеция

Трапецией называется четырёхугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами трапеции.

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобокой. Трапеция называется прямоугольной, если один из её углов прямой. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

рис.15

Теорема 9: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство: Пусть ABCD-данная трапеция. Проведём через вершину В и середину Р боковой стороны CD прямую. Она пересекает прямую AD в некоторой точке Е.

Треугольники РВС и PED равны по второму признаку равенства треугольников. У них CP=DP по построению, углы при вершине Р равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущее CD. Из равенства треугольников следует равенство сторон: РВ=РЕ, BC=ED.

Значит, средняя линия PQ трапеции является средней линией треугольника ABE. По свойству средней линии треугольника PQ  АЕ и отрезок

PQ= ½ ·АЕ= 1/2·( AD+ED)

Произвольная трапеция

рис.16

MN-средняя линия трапеции;

Равнобокая трапеция

рис.17

AB=CD, AO=OD, BO=OC

, ACD=DBA

3. Дельтоид

Дельтоидчетырёхугольник, обладающий двумя парами сторон одинаковой длины. В отличие от параллелограмма, равными являются не противоположные, а две пары смежных сторон. Дельтоид имеет форму, похожую на воздушного змея.

рис.18

На чертеже слева дельтоид выпуклый, справа - невыпуклый.

Свойства:

рис.19

  •  Углы между сторонами неравной длины равны.
  •  Диагонали дельтоида (или их продолжения) пересекаются под прямым углом.
  •  В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность, кроме этого, если дельтоид не является ромбом, то существует ещё одна окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон. Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух бо́льших сторон и продолжений двух меньших сторон и окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух бо́льших сторон.

Площадь дельтоида

, где d1 и d2 длины диагоналей.

, где a и b длины неравных сторон, а α угол между ними

Частные случаи

  •  Если угол между неравными сторонами дельтоида прямой, то вокруг него можно описать окружность (вписанный дельтоид).
  •  Если пара противоположных сторон дельтоида равны, то такой дельтоид является ромбом.
  •  Если пара противоположных сторон и обе диагонали дельтоида равны, то дельтоид является квадратом. Квадратом является и вписанный дельтоид с равными диагоналями.

Антипараллелограмм

Нетрудно построить четырёхугольник в несобственном смысле (называемый антипараллелограмом (рис.20)), противоположные стороны которого будут равны. Для этого достаточно в параллелограмме ABCD заменить точку D точкой Е, ей симметричной относительно диагонали АС

Можно получить также антипараллелограм , выбирая точку Еи симметричную с В относительно перпендикуляра, восставленного в середине AC таким образом, чтобы четырёхугольник был равнобокой трапецией. Но эта точка Ел не может быть отличной от Е, так как по определённую сторону от АС существует только одна точка, которая будет одновременно находиться на расстоянии АЕ = ВС от A и на расстоянии СЕ = АВ от С Следовательно, параллелограмм, противоположные стороны которого равны, будет образован двумя непараллельными сторонами и диагоналями равнобочной трапеции.

рис.20

Два четырехугольника, имеющие все четыре стороны соответственно равные между собой. Другими словами можно деформировать данный четырехугольник ABCD (в собственном смысле или нет),не изменяя длин его сторон.

Пусть неизменные длины сторон будут АВ = a, BC=b, CD=c, DA = d. Можно построить треугольник ABC со сторонами а и b и произвольным углом, заключенным между ними. Этот треугольник даёт длину АС (диагонали четырехугольника). Каждому значению АС будет соответствовать треугольник ACD, построенный на этом отрезке как на основании и с двумя другими сторонами СD, DA, соответственно равными с, d. Следовательно, угол В будет иметь произвольную величину (по крайней мере, в известных пределах). Четырёхугольник, изменяющийся при соблюдении этих условий, называется шарнирным четырехугольником. Это понятие имеет большое значение в приложениях геометрии.

Согласно предыдущему параллелограмм останется параллелограммом, а антипараллелограмм — антипараллелограммом, если сделать каждый из них шарнирным.

  1.  Симметрия четырехугольников

Пусть F — некоторая фигура плоскости (пространства).

Преобразованием симметрии этой фигуры называется любое движение плоскости (пространства), переводящее фигуру F  на себя.

Заметим, что точки фигуры могут и не быть неподвижными. Обозначим через  множество всех преобразований симметрии фигуры F. Ясно, что е — тождественное преобразование, всегда принадлежит множеству . Если  то говорят, что фигура F обладает симметриями.

Произвольный четырёхугольник вовсе не имеет элементов симметрии (21,a).

Пусть теперь некоторый четырехугольник имеет ось симметрии. Так как не лежащие на оси симметрии вершины должны быть попарно симметричны относительно этой оси, то возможны два случая. Ось симметрии может совпадать с одной из диагоналей четырёхугольника (рис.21,б); такой четырехугольник называется иногда ромбоидом. Если ось симметрии не проходит ни через одну из вершин, то она проходит через середины двух сторон, и получается равнобедренная трапеция (рис.21,в). Если далее, четырехугольник обладает центром симметрии, то его вершины попарно симметричны относительно этого центра, и получается параллелограмм (рис.21,г)

Рассмотрим ещё случай, когда четырехугольник имеет кроме центра симметрии еще две оси симметрии. Эти оси симметрии совпадают с диагоналями или проходят через середины противоположных сторон. Получается ромб (рис.21,д) или прямоугольник (рис.21,е).

Наконец четырехугольник может иметь центр вращения четвертого порядка и четыре оси симметрии. При этом четырехугольник будет квадратом (рис.21,ж).

Получается следующая классификация четырехугольников по их симметрии:

  1.  Симметрия  (отсутствуют элементы симметрии):

а) четырёхугольник общего вида.

  1.  Симметрия  (одна ось симметрии):

б) ромбоид;

в) равнобедренная трапеция.

  1.  Симметрия (центр симметрии):

г) параллелограмм.

  1.  Симметрия  (центр симметрии, две оси симметрии):

д) ромб;

г) прямоугольник.

  1.  Симметрия  (центр вращения четвёртого порядка; четыре оси симметрии):

ж) квадрат.

рис.21

  1.  Свойства произвольных четырёхугольников

Теорема 10: Площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей и синуса угла между ними.

рис.22

Доказательство: Пусть ABCD-данный четырёхугольник. Пусть также О-точка пересечения диагоналей. Тогда

Теореме 11: Во всяком четырёхугольнике середины сторон служат вершинами параллелограмма; отрезки, соединяющие середины двух пар противоположных сторон, и отрезок, соединяющий середины диагоналей, проходят через одну точку и делятся в этой точке пополам.

рис.23

Доказательство: Пусть ABCD (рис.1)- данный четырёхугольник. Обозначим через М и М' середины сторон АВ и CD, через N и N-середины сторон ВС и DA, через Р и Р'-середины диагоналей АС и BD.

Каждый из отрезков MN и MN' параллелен отрезку АС и равен его половине; следовательно, четырёхугольник MNMN-параллелограмм. Применяя то же рассуждение к непростому четырехугольнику ABDC, можно убедиться, что и четырёхугольник MPМР будет параллелограммом. Так как диагонали параллелограмма делятся в точке пересечения пополам, то оба отрезка NN' и РР' проходят через середину О отрезка ММ и делятся в точке О пополам.

Теорема 12 (Вариньона): Четырёхугольник с вершинами в

серединах сторон любого четырёхугольника есть параллелограмм, причём площадь этого параллелограмма равна половине площади исходного четырёхугольника.

рис.24

Доказательство: Пусть ABCD-данный четырёхугольник, а К, L, М и N-середины его сторон. Тогда KL- средняя линия треугольника ABC, а значит, KL параллельно АС. Также LM параллельно BD, MN параллельно AC, a NK параллельно ВD. Следовательно, КL параллельно MN, LM параллельно KN. Значит, KLMN-параллелограмм. Площадь этого параллелограмма-

  1.  Вписанные и описанные четырёхугольники.

Четырёхугольник называете вписанным в окружность, если окружность проходит через все его стороны.

Если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма противолежащих углов равна 180°.

Теорема 13: У любого четырёхугольника, вписанного в окружность, суммы пар противоположных углов равны 180°.

Доказательство: Углы А и С оба опираются на дугу BD только с разных сторон, то есть охватывают всю окружность, а сама окружность - это дуга величиной в 360°, но по теореме, которая твердит, что величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, поэтому можно утвердить, что сумма этих углов (А и С в частности) равна 180°. Тем же способом эта теорема доказывается и для другой пары углов.

рис.25

Из этой теоремы следует:

а) из всех параллелограммов только около прямоугольника можно
описать окружность;

б) около трапеции можно описать окружность только тогда,
когда она равнобедренная.

Четырёхугольник называется описанным около окружности, если окружность касается всех его сторон.

Теорема 14: Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Доказательство: Для доказательства этой теоремы воспользуемся следующей теоремой: Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны, то есть BN=BP, CP=CQ, DQ=DM и AM=AN. Суммируем стороны АВ и CD:

AB+CD=(AN+NB)+(DK+QC)=AM+BP+DM+CP=(AM+MD)+(BP+PC)=AD+

BC, ч.т.д.

Рис.26

Для теоремы 1 и 2 существуют обратные.

Теорема 15: Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°.

рис.27

Теорема 16: В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.

Доказательство: Пусть ABCD-данный четырёхугольник, и у него AB+CD=AD+BC. Проведём биссектрисы его углов А и D. Эти биссектрисы непараллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке О. Опустим из точки О на стороны AB,AD и CD перпендикуляры OK,OL и ОМ. Тогда OK=OL, и OL=OM, а значит, окружность с центром в точке О и радиусом ОК касается сторон AB,AD и CD данного четырёхугольника. Проведём из точки В касательную к этой окружности. Пусть эта касательная пересекает прямую CD в точке Р. Тогда ABPD-описанный четырёхугольник. Следовательно, по свойству описанного четырёхугольника, АВ+DР=АD=ВР. Также, по условию, AB=CD=AD=BC. Следовательно, ВР=РС=ВС, а значит, по неравенству треугольника, точка Р лежит на отрезке ВС. Следовательно, прямые BP и ВС совпадают, а значит, прямая ВС касается окружности с центром в точке О. То есть ABCD-описанный четырёхугольник по определению.

Теорема 17: Любые четыре неравных отрезка длины, каждой из которых меньше суммы длин остальных трёх, могут быть сторонами трёх различных вписанных четырёхугольников, имеющих одинаковую площадь.

Следствие. Площадь четырёхугольника является симметрической функцией длин четырёх его сторон.

Теорема 18: ( Теорема Брахмагупты). Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон а, b, с, d и полупериметр s, то его площадь S равна S=.

рис.28

Изложим один из простейших методов получения формулы Брахмапуры, использующий тригонометрию. На рисунке изображён вписанный четырёхугольник abсd, где Е-вершина, принадлежащая сторонам а и b, F- вершина, принадлежащая сторонам с и d, и n-диагональ, соединяющая две другие вершины. Так как  имеем   и

По теореме косинусов  следовательно, . Так как  также имеем

Возводя в квадрат и складывая полученные выражения, получаем . Следовательно, . Повторно применяя тождество , находим

где

Теорема 19: Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали, пересекающиеся в точке Р, то прямая, проходящая через точку Р и перпендикулярная одной из его сторон, делит противоположную ей сторону пополам.

рис.29

Ссылаясь на рисунок, где вписанный четырёхугольник ABCD- имеет перпендикулярные диагонали АС и BD, а прямая РН перпендикулярна стороне ВС и пересекает сторону DA в точке X, имеем

Следовательно, треугольник XPD-равнобедренный. Аналогично, равнобедренным будет и треугольник ХАР. Поэтому

|XA|=|XP|=|XD|

Теорема 20: (Птолемея). Произведение диагоналей вписанного в окружность четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

рис.30

Доказательство: Рассмотрим вписанный четырёхугольник ABCD. Для удобства введём обозначения: АВ=а, BC=b, CD=c, DA=d, AC=m, BD=n и докажем, что

mn=ac+bd (1)

На диагонали АС возьмём такую точку М, что угол АВМ равен углу DBC. Треугольники АВМ и DBC подобны по двум углам. Следовательно, АВ/ВD=АМ/СD, откуда AB*CD=AM*BD, или

ас=АМ·n (2)

далее, треугольники МВС и ADB также подобны, так как угол МВС равен  углу ABD, а углы ВСМ и BDA равны как вписанные и опирающиеся на одну и ту же дугу. Поэтому

BC/MC=BD/AD. Откуда BC·AD=MC·BD, или

bd=MC·n. (3)

Сложив равенства (2) и (3), получим ас+bd=(АМ+МС)n, или

ac+bd=mn,

что и требовалось доказать.

На основании всего сказанного можно выделить систему задач о свойствах четырёхугольников.

1.6 Теоремы косинусов для четырехугольника

В школьном курсе геометрии широко применяется Теорема косинусов. Для четырехугольников имеют место аналогичные теоремы.

Теорема 21 Квадрат стороны выпуклого четырехугольника равен сумме квадратов трех других сторон без удвоенных произведений пар этих сторон и косинусов углов между ними.

Доказательство 1. Пусть ABCD - данный выпуклый четырехугольник (рис.31): АВ= а, ВС = b, CD = с, DA = х; β –  угол между сторонами а и b, γ – угол между cторонами b и с, μ – угол между сторонами а и с.

Докажем, что - (1)

Сделаем дополнительные построения. Построим параллелограмм АВСЕ, получим ECD = AMD = μ·АЕ = b·СЕ = а. Через точки Е и D проведем прямые, перпендикулярные ВС.

На основании теоремы косинусов из ΔCED следует:  - 2ас·cosμ; из ΔAED следует:  – 2bу·cosφ. Из полученных двух равенств получим:  – 2ас·cosμ – 2bу·cosφ. Найдем значение у·cosφ: у·cos(180° – φ) = = а·cosBCE + с·cos·(l80° – γ). Следовательно, y·cosφ = а·cosβ + с·cosγ.

Подставим найденное значение у·cosφ в выражение для , получим  Теорема доказана.

рис.31

Доказательство 2. Из ΔKLN, вершинами которого являются середины диагоналей и середина стороны ВС четырехугольника ABCD (рис.40), по теореме косинусов получаем  – KN·LN·cosμ. (2)

Причем согласно теореме Эйлера

Учитывая, что  получаем после подстановки значений KL, KN, LN в равенство (2):  Значение е2 и f2 найдем по теореме косинусов из ΔАВС и ΔBCD:   Подставим эти значения в выражение для х2, получим требуемое соотношение: х2 = а2 + b2 + с2 – 2аb·cosβ – 2bс·cosγ – 2ас·cosμ.

Наиболее экономичный вывод соотношения (1) достигается средствами векторной алгебры. Действительно, AD = АВ+ВC+CD, и, возведя обе части этого равенства в квадрат, получим: х2 = а2+b 2 + с2 + 2АВ·ВС + 2ВС·CD + 2CD·АВ. Если известны скалярные произведения длин соответствующих векторов и косинусов углов между ними, то получим соотношение (1).

Последнее доказательство указывает на то, что теорема косинусов может быть распространена также на вогнутые четырехугольники.

Теорема 22 Квадрат произведения диагоналей простого четырехугольника равен сумме квадратов произведений противолежащих сторон без удвоенного произведения всех четырех сторон четырехугольника и косинуса суммы двух его углов.

рис.32

Доказательство. Нужно доказать следующую зависимость между элементами простого четырехугольника:

– 2a·b·с·d·cosφ, где φ – угол, равный сумме углов А и С или В и D, так как cos(А + C) = cos(В + D).

Построим ΔАВС (рис.32) вокруг точки А до совмещения стороны АВ со стороной АD (точка  может лежать на AD, на ее продолжении или совместиться с точкой D). Полученный Δ подвергнем гомотетии (в нашем случае растяжению) с центром в точке А и коэффициентом гомотетии k = . При этом точка  совместиться с точкой D, а Δ займет положение Δ. Поскольку  = АВ = а,  = ВС = b,  = АС = с, AD= d и к = d/a, ·k = с·d/a, ·k = b·d/a.

ABC = = , а значит =B + D или 360° – (В+D), то есть равен сумме двух противоположных углов данного четырехугольника. Используя теорему косинусов, определим  из Δ и Δ и полученные выражения приравняем:

– 2b·с·d/а·соs(В+D) = ·d/а·соsА. Заменив cosA выражением  – f/2ad (из ΔABD) и выполнив преобразования, получим искомое соотношение для данного четырехугольника:

– 2аbсd·cos(B + D). Теорема доказана.

Рассмотрим следствия из доказанной теоремы.

Следствие 1. Если сумма какой-либо пары противоположных углов четырехугольника равна 90°, то квадрат произведения диагоналей равен сумме квадратов произведений противоположных сторон четырехугольника. Действительно, если A + C = 90° (или же 270°), то . Это соотношение представляет собой аналог теоремы Пифагора и в известном смысле может быть названо теоремой Пифагора для четырехугольника.

Следствие 2. В параллелограмме с острым углом 45°, квадрат произведения диагоналей равен сумме четвертых степеней неравных сторон.

Действительно,  – 2аbсd·cos(А + C) для параллелограмма:  – 2аbсd·cos90°, отсюда .

Следствие 3. Расстояние от вершины С прямого утла прямоугольного ΔАВС до произвольной точки D его гипотенузы выражается формулой: , где а и b – катеты, t и p – отрезки гипотенузы АВ ΔABC. Рассмотрим вырожденный четырехугольник ABCD (четырехугольник, у которого вершина D лежит между вершинами А и В, то есть является внутренней точкой отрезка АВ), у которого DBA = 180° и ACB = 90°. Очевидно, стороны четырехугольника равны а, b, t, p, а диагонали его АВ = t + p = с и CD = е. Следовательно, , откуда и вытекает требуемое соотношение.

Теоремы Брокара

Перед тем как сформулировать и доказать теорему Брокара следует рассмотреть две задачи.

Задача. Противоположные стороны четырехугольника, вписанного в окружность, пересекаются в точках Р и Q. Найдите длину отрезка PQ, если касательные к окружности, проведенные из Р и Q, равны а и b.

Рис.33

Решение. Пусть ABCD – вписанный четырехугольник. Опишем около ΔADP окружность. Обозначим через М точку пересечения этой окружности с прямой PQ. Имеем DMQ = DAP = BCD. Следовательно, четырехугольник CDMQ - вписанный. Поскольку, по условию, касательные, проведенные из Р и Q к исходной окружности, равны а и b, будем иметь QM·QP = QD·QA = , РМ·PQ = PD·РС = . Сложив эти равенства, получим , PQ = .

Задача. В окружность радиуса R вписан четырехугольник ABCD. Пусть N, Q и Р – соответственно точки пересечения диагоналей этого четырехугольника и продолжений противоположных сторон. Найти стороны ΔPQN, если расстояние от Р, Q и N до центра окружности равны n, m и k.

Рис.34

Решение. Из задачи отрезок PQ = , где а – длина касательной к окружности (О, R), проведенной из точки Q, b – длина касательной к окружности (О, R), проведенной из точки Р. Изобразим эти касательные: QY = а, РХ = b (рис.34).  Из прямоугольного ΔХОР по теореме Пифагора имеем . Из прямоугольного ΔPOY по теореме Пифагора имеем . Откуда найдем PQ = . Для нахождения длины NQ опишем окружность около ΔQCA, обозначим точку пересечения QN с этой окружностью через F. Поскольку АFN = ACQ = DBQ, точки А, В, F и N также лежат на одной окружности. Имеем  (1),  (2). Вычитая (2) из (1), получим . Аналогично получаем .

Теорема 23 (Брокара). Пусть N, Q и Р соответственно точки пересечения диагоналей вписанного четырехугольника и продолжений его противоположных сторон. Доказать, что точка пересечения высот ΔNPQ совпадает с центром окружности, описанной около данного четырехугольника.

Рис.35

Доказательство: Обозначим радиус окружности через R, а расстояние от N, Q и Р до центра через k, m и n. Тогда по задаче . Если О – центр окружности, то для того чтобы QO было перпендикулярно NP, необходимо и достаточно условие:. Аналогично проверяется перпендикулярность других отрезков. Теорема доказана.

  1.   Примеры задач по теме «Четырехугольники»

Задача 1: Доказать, что в любом четырёхугольнике какие-то две противоположные вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.

Решение: Если четырёхугольник ABCD выпуклый, то согласно теореме о свойстве диагоналей выпуклого четырёхугольника его диагонали АС и BD пересекаются и, следовательно, отрезок АС пересекается с прямой BD. Это и означает, что противоположные вершины А и С лежат по разные стороны от прямой BD.

Пусть четырёхугольник ABCD невыпуклый и прямая АВ пересекает сторону CD в точке М. Возможны два случая:

  1.  Точка В лежит на отрезке AM. В этом случае точки А и М лежат по разные стороны от прямой BD.Отрезок MC не пересекается с прямой BD, поэтому точка С лежит по ту же сторону от прямой  BD, что и точка М. Итак, вершина А лежит по одну сторону от прямой BD,а противоположная вершина С, по другую сторону от этой прямой.

рис.36

  1.  Точка А лежит на отрезке BM. В этом случае, так же как и в случае 1),можно доказать, что противоположные вершины B и D лежат по разные стороны от прямой AC.

рис.37

Задача2: Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке P. Расстояние от точек A, B, и P до прямой CD равны a, b, и p. Докажите, что площадь четырехугольника ABCD равна

рис.38

Решение: Пусть площади треугольников ABP, BPC, CPD и DPA  и .

Тогда  и ,а

значит,.Учитывая, что , получаем требуемое.

Задача 3: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R; -угол между его диагоналями. Докажите, что площадь S четырёхугольника ABCD равна 2R

рис.39

Решение: Применяя теорему синусов к треугольникам ABC и ABD, получаем AC=2RsinB и BD=2RsinA. Поэтому .

Задача 4: Докажите, что ломанная АОС делит ABCD на две фигуры равной площади.

рис.40

Решение: Пусть AOB=a и COD=b. Тогда . А так как и, где R-радиус описанной окружности, то . Аналогично .

Задача 5: Известен радиус описанной окружности R.

1)Найдите АР +ВР +СР +DP .

2)Найдите сумму квадратов сторон четырёхугольника ABCD.

Решение: Пусть AOB=2a и COD=2b. Тогда a+b=ADP=PAD=90.Поэтому . Аналогично,.

Задача 6: Найдите сумму квадратов диагоналей, если известны длина отрезка ОР и радиус окружности R.

Решение: Пусть М-середина АС, N-середина BD. AM =АО-ОМ, BN =ВО -ON,поэтому,так как .

Задача 7: Из вершин А и В опущены перпендикуляры на CD, пересекающие прямые BD и АС в точках К и L соответственно. Докажите, что AKLB-ромб.

Решение: Острые углы BLP и ВDC имеют соответственно перпендикулярные стороны, поэтому они равны. Следовательно, BLP= BDC =ВАР. Кроме того, AKBL и ALBK. Поэтому AKLB-ромб.

Задача 8: Докажите, что площадь четырехугольника ABCD равна (AB*CD+BC*AD)/2.

Решение: Возьмём на описанной окружности точку так, что . Так как , то BD-диаметр, а значит,DAB=DCB=90. Поэтому .

Задача 9: Докажите, что расстояние от точки О до стороны АВ равно половине длины стороны CD.

Решение: Проведём диаметр АЕ.и, поэтому . Углы, опирающиеся на хорды ЕВ и CD, равны, поэтому EB=CD. Так как ЕАВ=90, расстояние от точки О до АВ равно ЕВ/2.

Задача 10: В четырехугольнике ABCD углы А и В равны, а DC. Докажите, что тогда ADBC.

рис.41

Решение: Пусть А=В. Достаточно доказать, что если ADBC, то DC. Возьмем на стороне BC точку  так, что BD=AD. Тогда -равнобедренная трапеция. Поэтому D=C.

Задача 11: В трапеции ABCD при основании AD удовлетворяют неравенствам AD90. Докажите, что ACBD.

рис.42

Решение: Пусть В' и C'-проекции точек В и С на основание AD. Так как BABCDC и BB=CC, то ABDC и поэтому BDAC.Следовательно, BD=BD+BBAC+CC=AC.

Задача 12: Докажите, что если два противоположных угла четырехугольника тупые, то диагональ, соединяющая вершины этих углов, короче другой диагонали.

рис.43

Решение: Пусть углы B и D четырехугольника ABCD тупые. Тогда точки В и D лежат внутри окружности с диаметром AC. Так как расстояние между любыми двумя точками, лежащими внутри окружности, меньше ее диаметра, то BDAC.

Задача 13: Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки до трёх вершин равнобедренной трапеции больше расстояния от этой точки до четвёртой вершины.

рис.44

Решение: В равнобедренной трапеции ABCD диагонали AC и BD равны. Поэтому BM+(AM+CM).

Задача 14: Угол А четырёхугольника ABCD тупой; F-середина стороны ВС. Докажите, что 2FA<BD+CD.

Решение: Пусть О-середина отрезка BD. Точка А лежит внутри окружности с диаметром BD, поэтому OA<BD/2. Кроме того, FO=CD/2. Следовательно,CD+BD.

Задача 15: Пусть М и N-середины сторон ВС и CD выпуклого четырёхугольника ABCD. Докажите, что

рис.45

Решение: Ясно, что . Если отрезок AM

пересекает диагональ BD в точке А, то S. Значит,

Задача 16: Точка Р лежит внутри выпуклого четырёхугольника ABCD. Докажите, что сумма расстояний от точки Р до вершин четырёхугольника меньше суммы попарных расстояний между вершинами четырёхугольника.

Решение: Диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Пусть для определённости точка Р лежит внутри треугольника AOB. Тогда AC+BD и CP+DPCB+BA+AD.

рис.46

Задача 17: Докажите, что расстояние от одной из вершин выпуклого четырёхугольника до противоположной диагонали не превосходит половины этой диагонали.

Решение: Пусть AC<=BD. Опустим из вершин А и С перпендикуляры АА и СС на диагональ BD. Тогда АА +СС <=AC<=BD, а значит, АА <=BD/2 или СС <=BD/2

Задача 18: В трапеции ABCD (ADBC, ADBC) на диагонали AC взята точка E такая, что BECD. Доказать, что .

Решение:

рис.47

I способ. По условию BCDE-трапеция, поэтому (рис.47.1).

Аналогично, в трапеции ABCD имеем . Следовательно, .

II способ.

рис.47

 Продолжим прямую BE до пересечения с AD в точке F (рис.47.2 ).

Тогда площадь каждого из треугольников ABC и DEC равна половине площади параллелограмма BCDF ( общая сторона и высота). Следовательно, .

Задача 19: Докажите, что если центр вписанной в четырёхугольник окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей, то этот четырёхугольник-ромб.

рис.48

Решение: Пусть О-центр вписанной окружности и точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD. ТогдаACB=ACD и BAC=CAD. Поэтому треугольники ABC и ADC равны, так как сторона АС у них общая. Следовательно, AB=DA. Аналогично AB=BC=CD=DA.

Задача 20: Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром О. Докажите, что АОВ+ СOD=180.

рис.49

Решение: Ясно, что AOB=180-BAO-ABO=180(A+B)/2 и COD=180-(C+D)/2. Следовательно, AOB+COD=360-(A+B+C+D)/2=180.

Задача 21: Докажите, что если существует окружность, касающаяся продолжений всех сторон выпуклого четырёхугольника АВСВ, и окружность касающаяся продолжений всех его сторон, то диагонали такого четырехугольника перпендикулярны.

Решение: Рассмотрим две окружности, касающиеся сторон данного четырёхугольника и их продолжений. Прямые, содержащие стороны четырёхугольника, являются общими внутренними и внешними касательным» к этим окружностям. Прямая, соединяющая центры окружностей, содержит диагональ четырёхугольника, и, кроме того, она является осью симметрии четырёхугольника. Значит, вторая диагональ перпендикулярна этой прямой.

Задача 22: В трапеции ABCD (ADBC),  Найти площадь трапеции ABCD.

Решение: Пусть h – высота трапеции. Заметим, что  так как основание BC и высота h у них общее, тогда

Задача 23: Диагонали параллелограмма равны 16 м и 12 м, а угол между ними равен 30. Найдите площадь параллелограмма.

Для произвольного четырехугольника верна формула -длина диагоналей, - угол между ними.

Тогда

Задача 24: В параллелограмме ACBM AC=16 м, CB=24 м, CE и CF – соответственно высоты, проведенные к сторонам AM и BM, ECF=60. Найти длину высоты CE.

Решение: По условию в параллелограмме ACBM CEAM и ECF=60, тогда ACE=30. Значит,

Из AEC, где AC=16 м, AE=8 м,

 

Задача 25: Основание трапеции a и b. Найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей.

рис.50

Решение: Так как по условию задачи точка M – середина диагонали AC и точка N – середина BD, то точки M и N лежат на средней линии трапеции EF. Так как EN – средняя линия ABD, то  Аналогично,  Значит,

Задача 26: На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС построен квадрат ABDE в той плоскости от прямой АВ, которой не принадлежит треугольник АВС. Найти расстояние от вершины С прямого угла до центра квадрата, если катеты ВС и АС имеют соответственно длины a и b.

рис.51

Решение: (по теореме Птолемея). Во вписанном в окружность четырехугольнике сумма произведений длин противоположных сторон равна произведению длин диагоналей (теорема Птолемея). Поэтому для вписанного четырехугольника AQBC имеем:

 

но и, следовательно,

, откуда.

Олимпиадные и занимательные задачи по теме: «Четырехугольники»

Задача 27: Можно ли прямоугольник 24*11 разрезать на прямоугольники 5*8?

Решение: Нет, так как вдоль стороны длиной 11 нельзя разместить прямоугольники со сторонами 5 и 8, и, число 11 не представимо в виде 5a+8b, где a, b0.

Задача 28: Три стороны трапеции равны по 10 дм, а острый угол равен 60. Найти длину отрезка, соединяющего центр вписанной окружности с вершиной меньшего основания.

Решение: Пусть в трапеции KNML(NMKL)

KN=NM=ML=10 дм, K=L=60.

Заметим, что ONK+OKN=90 и, так как OKN=30, то ONK=60.

Задача 29: Найти длину средней линии прямоугольной трапеции, вписанной в окружность, если расстояния от центра окружности до концов большей боковой стороны соответственно 6 и 8 дм.

рис.52

Решение: Поскольку O – центр вписанной окружности, то MO и NO – биссектрисы углов KNM и LMN, тогда

т.е. MON=90, тогда , из MON  Заметим, что высота OA OMN является одновременно и радиусом вписанной окружности, тогда откуда OA=4,8 .

Значит, KL=2*OA=9,6(дм).

По свойству описанного четырехугольника KN+LM=KL+MN=10+9,6=19,6(дм),

тогда

Задача 30: Площадь равнобедренной трапеции равна . Найти длину верхнего основания, если боковые стороны равны по 13см, а нижнее основание равно 20 см.

 Задача сводится к решению системы уравнений

где x – длина верхнего основания, h – высота трапеции, y – проекция боковой стороны на нижнее основание.

Далее, выразить y и h через x, тогда получим уравнение  откуда находим x=10 – единственный корень уравнения (поскольку x20).

Задача 31: Диагональ параллелограмма делит его угол в отношении 1/3. Найти углы параллелограмма, если длины сторон относятся как 1/2.

рис.53

Решение: Пусть AB=x, BC=2x, CBD=, ABD=3.

Построим луч BE так, чтобы EBD=. Тогда ABD=3=AEB; BE=AE=ED=x. Значит, ABD=90, A=60, ABC=120.

Задача 32: Основания равнобедренной трапеции 1 и 8. Найти радиус окружности, которая проходит через точку пересечения диагоналей трапеции, касается основания и боковых сторон трапеции.

рис.54

Решения: Через точку P пересечения диагоналей AC и BD проведем EFBC. Известно, что EP=PF(ABCD – равнобедренная трапеция). Пусть EP=PF=x. Из подобия  BEP и ABD, DPF и BCD получим: откуда

В трапеции AEFD, по свойству касательных, проведенных из точки к окружности, имеем:  Так как PK=EM – как высоты трапеции

AEFD, то

Аналогично, найдя высоту TP трапеции BEFC, имеем  Итак,

Задача 33: Биссектрисы углов трапеции делят каждое из ее оснований на 3 равные части. Найти площадь трапеции, если ее высота равна 1.

рис.55

Решение: Пусть AD – большее основание трапеции ABCD.

– биссектрисы ее внутренних углов.

По условию  и  (это единственно возможный случай выполнения условия).

Пусть BC=3x. Так как  – биссектрисы соответствующих углов A и B, то  .

Значит, AB=2x, AD=6x – трапеция равнобедренная. Проведем высоту BM, тогда по теореме Пифагора имеем:  откуда

Следовательно,  или

Задачи на тему «четырехугольники», предлагавшиеся в вариантах ЕГЭ :

Задача 34: Дан четырехугольник, изображенный на клетчатой бумаге. Размер клетки: 1 см х 1 см. Требуется найти площадь четырехугольника.

рис.56

Решение: Как и любую новую неизвестную задачу, эту мы сведем к известной. Очевидно, что на рисунке изображен не просто четырехугольник, а трапеция. Площадь трапеции вычисляется по формуле:

где h - высота, a, b - верхнее и нижнее основания. На рисунке видно, что высота трапеции равна 4 см, верхнее основание 3 см, а нижнее 6 см. Тогда по указанной выше формуле находим:

Таким образом, площадь трапеции равна 18 см2.

Ответ. 18.

Другие способы решения:

1) Достроить неизвестную фигуру до известной (в рассмотренном выше случае можно было достроить четырехугольник до прямоугольника).

2) Разбить неизвестную фигуру на несколько известных (в рассмотренном выше случае можно было разбить четырехугольник на два треугольника и прямоугольник).

Задача 35: Найти площадь трапеции изображенной на рисунке:

рис.57

Решение: Площадь трапеции равна:

,где a, b основание трапеции, а h-высота.

 ,

Ответ:

Задача 36: На рисунке представлен криволинейный треугольник, ограниченный графиком функции y=f(x) и прямыми y=1 и x=2. Его площадь равна 7. Чему равен ?

рис.58

1) 3    2) 7   3) 9   4) 5

Решение: Известно, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x) и прямыми y=0, x=0, x=2, равна  и состоит из заштрихованного криволинейного треугольника и прямоугольника (рис.63) По условию, площадь заштрихованной части равна 7, площадь прямоугольника равна 2, следовательно .

Задача 37: Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите высоту трапеции, если ее площадь равна 25.

Решение:

рис.59

Пусть данная трапеция ABCD(рис.64), О – точка пересечения диагоналей. Так как трапеция равнобедренная, то треугольник BOC равнобедренный, а так как угол BOC – прямой (по условию), то BCO=45°. Проведем высоту MN через точку O. Тогда она делит угол BOC пополам. Поэтому NBO=BON=NOC=NCO=45°. Отсюда BN=NC=NO. Аналогично, AM=MO.

Площадь равна

Ответ:5.

Задача 38: В ромбе ABCD из вершины D на сторону BC опущен перпендикуляр DK. Найдите квадрат стороны ромба, если

Решение:

рис.60

Обозначим угол DCA буквой (рис.68), длину стороны ромба буквой а. Тогда из  DOC имеем

CO=a Cos=6,

Следовательно,  Теперь из прямоугольного треугольника DKC получаем

Наконец, из прямоугольного ADK по теореме Пифагора имеем

Ответ:8.

II Обобщающее повторение по геометрии в 8 классе (на примере темы: "Четырехугольники")

2.1 Роль повторения в обучении

Одним из важнейших вопросов, способствующих дальнейшему повышению успеваемости, достижению глубоких и прочных знаний у учеников является вопрос о повторении ранее пройденного материала, без прочного сохранения приобретенных знаний, без умения воспроизвести в необходимый момент, ранее пройденный материал, изучение нового материала всегда будет сопряжено с большими трудностями и не даст надлежащего эффекта.

"Обучение нельзя довести до основательности без возможно более частых и особенно искусно поставленных повторений и упражнений" [Каменский Я.А ] 

Преподавать математику, не повторяя повседневно на каждом уроке ранее пройденный материал, это значит — передать, пересказать учащимся определенную сумму различных законов, теорем, формул и т. п., совершенно не заботясь о том, насколько прочно и сознательно освоили этот материал наши питомцы; это значит не дать детям глубоких и прочных знаний. Работать так, это, [по меткому выражению Ушинского], уподобиться "пьяному вознице с дурно увязанной кладью: он все гонит вперед, не оглядываясь назад, и привозит домой пустую телегу, хвастаясь только тем. что сделал большую дорогу".

Ранее пройденный материал должен служить фундаментом, на который опирается изучение нового материала, который, в свою очередь, должен обогащать и расширять ранее изученные понятия.

Правильно организованное повторение помогает ученику увидеть в старом нечто новое; помогает установить логические связи между вновь изучаемым материалом и ранее изученным; обогащает память ученика; расширяет его кругозор; приводит знания ученика в систему; дисциплинирует ученика; приучает в нем умение находить необходимый для ответа на поставленный вопрос материал и воспитывает в ученике чувство ответственности.

Повторение пройденного материала должно стать важным элементом в преподавании математики, органической и неотъемлемой частью каждого урока.

2 .2. Виды повторения

Различаются следующие виды повторения ранее пройденного материала:

1.  Вступительное повторение.

2.  Текущее повторение, ранее пройденного материала:

а) повторение пройденного в связи с изучением нового материала (сопутствующие повторению);

б) повторение пройденного вне связи с новым материалом.

3. Tематичеcкoе повторение (обобщающее и систематизирующее повторение законченных тем и разделов программы).

4. Заключительное повторение (организуемое при окончании прохождения большого раздела программы или в конце учебного года).

Цели и время повторения тесно связаны и взаимообусловлены и в свою очередь определяют методы и приемы повторения.

При планировании повторения необходимо отобрать материал, установить последовательность и время повторения, распределить отобранный материал по урокам, установить формы и методы для осуществления повторения, разумеется, надо учитывать и свойство памяти.

Основные требования к организации повторения должны исходить из целей повторения, специфики математики как учебного предмета, её методов.

Первое требование к организации повторения, исходящее из его целей, это определение времени: когда повторять? Оно должно осуществляться по принципу: "Учить новое, повторяя, и повторять, изучая новое" [В. П. Вахтеров].

Это не означает, однако, что нельзя специально отводить уроки для повторения, скажем, для таких вопросов программы, которые трудно увязать с текущим материалом.

План повторения и выбор тем для повторения учитель должен составлять в каждом отдельном случае на основании общих теоретических соображений с учетом того, как усвоен учащимися материал соответствующих разделов.

Можно добавить, что характер урока в связи с переходом учащихся из одного класса в другой значительно меняется. В старших классах существенно перестраивается закрепление и повторение учебного материала. Увеличивается объем фактического материалами, выносимого на закрепление и повторение; поурочное закрепление в ряде случаев переходит и тематическое или перерастает в обобщающее повторение, увеличивается доля самостоятельности учащихся при закреплении и повторении.

Второе требование к организации повторения должно отвечать на вопрос: Что повторять? Исходя из высказываний классиков педагогики, можно выдвинуть следующие положения при отборе учебного материала по различным видам повторения:

1. Не следует повторять все ранее пройденное. Нужно выбрать для повторения наиболее важные вопросы и понятия, вокруг которых группируется новый учебный материал.

2. Выделять для повторения такие темы и вопросы, которые по трудности своей недостаточно прочно усваиваются.

3. Выделять для повторения надо то, что необходимо обобщить, углубить и систематизировать.

4.  Не следует повторять все в одинаковой степени. Повторять основательно надо главное и трудное. При отборе материала для повторения необходимо учитывать степень его связи с вновь изучаемым материалом.

Третье требование к организации повторения математики должно отвечать на вопрос:как повторять?, т. е. осветить те методы и приемы, которыми должно осуществляться повторение. Методы и приемы повторения должны находиться в тесной связи с видами повторения.

При повторении необходимо применять различные приемы и методы, сделать повторение интересным путём внесения, как в повторяемый материал, так и в методы изучения некоторых элементов новизны. Только разнообразие методов повторения может устранить те противоречие, которое возникает ввиду отсутствия желания у части учащихся повторять то, что ими усвоено однажды.

Различные виды повторения тесно взаимодействуют; от своевременного и успешного проведения одного из видов повторения, например, тематического или текущего, зависит продолжительность и успешность повторения другого вида — заключительного повторения или повторения в конце года. Перейдём к краткой характеристике видов повторения.

1. Вступительное повторение.

При повторении в начале учебного года в первый план должно выдвигаться повторение тем, имеющих прямую связь с новым учебным материалом. Новые знания, приобретаемые на уроке, должны опираться на прочный фундамент уже усвоенных.

При повторении в начале года необходимо наряду с повторением тем, тесно связанных с новым материалом, повторить и другие разделы, которые пока не примыкают к вновь изучаемому материалу. Здесь необходимо сочетать обе задачи: провести общее повторение в порядке обзора основных вопросов из материала прошлых лет и более глубоко повторить вопросы, непосредственно связанные с очередным материалом по программе учебного года.

Само повторение следует проводить как в классе, так и дома. При решении вопроса, какой материал должен быть повторен в классе и какой оставлен учащимся для самостоятельного повторения дома, нужно исходить из особенности материала.  Наиболее трудный материал повторяется в классе, а менее трудный задается на дом для самостоятельной работы.

2. Текущее повторение пройденного

Текущее повторение в процессе изучения нового материала — весьма важный момент в системе повторения. Оно помогает устанавливать органическую связь между новым материалом и ранее пройденным.

Текущее повторение может осуществляться в связи с изучением нового материала, например, при доказательстве новой теоремы. В этом случае повторяется материал, естественно увязывающийся с новым материалом. Повторяемый материал здесь входит составной и неотъемлемой частью во вновь изучаемый материал.

В результате этого доказательство теоремы воспринимается учащимися легко, а дальнейшая работа учителя — воспроизведение доказанного и упражнения, обеспечивающие вторичное осмысление теоремы и её закрепление.

Все связи с новым материалом, когда повторяемый материал не находит естественной увязки с новым и его приходится повторять на специальных уроках.

Также текущее повторение осуществляется в процессе разбора упражнений и включается в домашнее задание. Оно может быть проведено в начале или в конце урока, во время опроса учащихся.

При текущем повторении вопросы и упражнения могут быть предложены учащимся из различных разделов программы.

Текущее повторение дополняется сопутствующим повторением, которое нельзя строго планировать на большой период. Сопутствующее повторение не вносится в календарные планы, для него не выделяется специальное время, но оно является органической частью каждого урока. Сопутствующее повторение зависит от материала, привлекаемого для изучения очередного вопроса, от возможности установить связи между новым и старым, от состояния знаний учащихся в данный момент. Успех сопутствующего повторения в значительной степени обусловливается опытом и находчивостью учителя. Сопутствующим повторением учитель по ходу работы помогает устранить неточности в знаниях, напоминает вкратце пройденное, связывает прошлый материал с новым.

3. Тематическое повторение

В процессе работы над математическим материалом особенно большое значение приобретает повторение каждой законченной темы или целого раздела курса.

При тематическом повторении систематизируются знания учащихся по теме на завершающем этапе его прохождения или после некоторого перерыва.

Для тематического повторения выделяются специальные уроки, на которых концентрируется и обобщается материал одной какой-нибудь темы.

В процессе работы над темой вопросы, предлагаемые учащимся по каждому разделу, следует вновь пересмотреть; оставить наиболее существенные и отбросить более мелкие.  Обобщающий характер вопросов при тематическом повторении отображается и на их количестве. Учителю приходится основной материал темы охватить в меньшем числе вопросов.

Повторение на уроке проводится путём беседы с широким вовлечением учащихся в эту беседу, после чего обычно проводится контрольная работа.

Контрольная работа по теме должна включать все ее основные вопросы. После выполнения контрольной работы проводится разбор характерных ошибок и организуется повторение для их устранения.

При тематическом повторении полезно составить вопросник, а затем логический план по теме и завершить работу составлением итоговых схем. Таблица или схема экономно и наглядно показывает общее для понятий, входящих в данную тему, их взаимосвязь в логической последовательности.

Процесс составления таблиц в одних случаях, подбор и запись примеров после анализа готовой таблицы является одновременно и формами письменных упражнений при обобщающем и систематизирующем повторении.

Последовательное изучение различных особых случаев при повторении  полезно закончить их классификацией, что поможет учащимся яснее различить отдельные случаи и группировать их по определенному признаку.

4. Заключительное повторение

Повторение, проводящееся на завершающем этапе изучения основных вопросов курса математики и осуществляемое в логической связи с изучением учебного материала по данному разделу или курсу в целом, принято называть заключительным повторением.

Цели тематического повторения и заключительного повторения аналогичны, материал повторения (отбор существенного) весьма близок, а приемы повторения в ряде случаев совпадают.

Заключительное повторение учебного материала преследует цели:

1. Обзора основных понятий, ведущих идей курса соответствующего учебного предмета; напоминания в возможно крупных чертах пройденного пути, эволюции понятий, их развития, их теоретических и практических приложений.

2. Углубление и по возможности расширение знаний учащихся по основным вопросам курса в процессе повторения.

3. Некоторой перестройки и иного подхода к ранее изученному материалу, присоединения к повторному материалу новых знаний, допускаемых программой с целью его углубления.

2.3. Содержание и методика обобщающего повторения на примере темы: «Четырехугольники»

Решением одной из важных задач общеобразовательной и профессиональной школы является усиление прикладной направленности обучения. В этой связи важно выработать у учащихся умение при решении конкретных вопросов ориентироваться на существенные свойства объектов и явлений.  Большие возможности для формирования такого умения имеются при изучении темы "Четырёхугольники".

Предлагаемый материал представляет большие возможности для организации разных форм коллективной учебно-познавательской деятельности учащихся, формирования их диалектико–материалистического мировоззрения, закладывает фундамент для развитая умения применять геометрические знания при решении вопросов жизненно–практического и производственного характера. Также предлагаются разработки факультативных занятий по подготовке учащихся к ЕГЭ и олимпиадам. Применение данного материала позволяет систематизировать и закреплять знания по теме: «Четырехугольники».

Предлагаем несколько разработок уроков на примере темы «четырехугольники».

Тема курса

Тема занятия

Количество часов

Тип занятия по дидактической цели

План занятия

Систематизация знаний по теме: «Четырехугольники»

Тема: «Повторения основных свойств параллелограмма»

1

Занятия на применение знаний и умений

  1.  Организационный момент.
  2.  Актуализация знаний.
  3.  Решение задач.
  4.  Проверочная работа.
  5.  Подведение итогов урока.

Систематизация знаний по теме: «Четырехугольники»

Тема: «Решения задач по теме «параллелограмм»

1

Занятия на применение знаний и умений

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний учащихся.

4. Решение задач.

5. Самостоятельная работа.

6. Подведение итогов урока.

Систематизация знаний по теме: «Четырехугольники»

Тема: «Основные свойства четырех угольников»

1

Занятия на применение знаний и умений

  1.  Организационный момент.
  2.  Актуализация знаний учащихся.
  3.  Работа с карточками.
  4.  Самостоятельная работа.
  5.  Подведение итогов работы.

Систематизация знаний по теме: «Четырехугольники»

Тема: «Трапеция»

1

Занятия на применение знаний и умений

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний учащихся

3. Работа над ошибками.

4. Изучение нового материала.

5. Работа в рабочих тетрадях.

6.Подведения итогов урока.


Занятие 1

Тема: «Повторение основных свойств параллелограмма»

Цели урока:

  •  Вспомнить основные определения, свойства, теоремы, изученные в теме «параллелограмм»,
  •  Закрепить знания о свойствах и признаках параллелограмма в процессе решения задач.

Задачи:

  1.  Повторить определения параллелограмма, биссектрисы, угла.
    1.  Вспомнить теоремы о противоположных углах, сторонах; сумме углов четырехугольника, свойства диагоналей параллелограмма.
    2.  Вспомнить основные методы решения задач.

Ход урока:

  1.  Организационный момент.

Сообщить тему, сформулировать цель урока

  1.  Актуализация знаний учащихся.

Решение письменно у доски и в тетрадях задачу.

К доске вызывается один ученик и решает два пункта задачи вместе с классом.

Задача: Дано: АВСД – параллелограмм

Доказать:  1) АВ || СД

  1.  ВС || АД
  2.  АВ = СД
  3.  ВС = АД
  4.  АО = ОС
  5.  ВО = ОД
  6.  А = С
  7.  В = Д
  8.  А + В = 1800
  9.  С + В = 1800
  10.  С + Д = 1800
  11.  А + Д = 1800

Вопросы к задаче: п.1 Определение параллелограмма;

                               п.3 Теорема о противоположных  сторонах;

                               п.5 Свойства диагоналей параллелограмма;

                          п.7 Теорема о противоположных углах;  

                          п.9 Теорема о сумме углов четырехугольника.

После решения задачи учащимся задается вопросы: 1)Какие частные случаи параллелограмма вам известны? 2) Какими свойствами обладают эти параллелограммы?

III. Решение задач

Решите письменно на доске и в тетрадях задачи, выполнив рисунок и записав краткое решение.

К доске вызываются три ученика и решают по одной задаче самостоятельно, на местах учащиеся также работают самостоятельно. По окончании работы решения задач с доски проверяют учащиеся, исправляют имеющиеся ошибки, предлагают наиболее рациональные способы решения.

Задача 1:  Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.

Решение: 

рис.61

ABK – равнобедренный, AB=BK=CD=14см, BC=AD=14+7=21см,

P = (21+14)·2=70

Ответ: 70см.

Наводящие вопросы:

- определение биссектрисы;

- что вы можете сказать о ABK, если AK ,b- биссектриса BAD параллелограмма ABCD?

- Чему равна сторона параллелограмма ABCD?Его периметр?

Задача 2:  Найдите периметр ромба ABCD, если B=60°, AC=10,5см.

Решение:

рис.62

B+A=180°A=180°-60°=120°, т.к AC – биссектриса ABAC=1/2·120=60°. Аналогично, BCA=60°ABC – равносторонний AB=10.5, P=10.5·4=42.

Проверочная работа

Вариант 1

Задача 1: Диагонали прямоугольника АВСД пересекаются в  точке О. Найдите угол между диагоналями, если АВО = 30°

Задача 2: Дано AK – медиана KAD=30°, KCD=47°. Найдите D.

Вариант 2

Задача 1: Диагонали ромба КМНР пересекаются в точке О. Найдите углы треугольника КОМ, если угол МНР = 80°.

Задача 2: BH – высота, AH=7, HD=12, ABH=30°. Найти периметр.

  1.  Подведение итогов урока

Собрать тетради для проверки проверочной работы. Домашнее задание: решить задачу:

№394 Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпали с данными точками. Сколько таких параллелограммов можно построить?

Занятие 2

Тема: «Решение задач по теме «Параллелограмм

Цели урока:

  •  Закрепить знания о свойствах и признаках параллеоограмма в процессе решения задач
  •  Совершенствовать новые решения задач

Задачи урока:

  1.  Повторить определения параллелограмма, равнобедренного треугольника, биссектрисы угла.
  2.  Вспомнить свойства диагоналей параллелограмма, его периметр, теорему о противоположных сторонах.
  3.  Закрепить основные методы решения задач по теме: «Параллелограмм».

Ход урока

  1.  Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

  1.  Актуализация знаний учащихся

Работа у доски, работа по индивидуальным карточкам и проверка домашнего задания проводится одновременно.

Работа у доски

Подготовить у доски доказательства признаков параллелограмма (3 ученика). Учащиеся работают самостоятельно.

Проверка домашнего задания

Проверить решение домашней задачи. Один из учащихся по указанию учителя готовит решение задачи на переносной доске. Решение заслушать после проверки задачи по готовым чертежам.

Задача 3: Периметр параллелограмма ABCD равен 50см, С=30°, а перпендикуляр BH к прямой CD равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма.

рис.63

Решение:

В BCH H=90,C=30BC=2*HB, т.е. BC=13см.

P=AB+BC+CD+DA,

AB=DC, BC=DA как противолежащие стороны параллелограмма, значит, 2*AB+13*2=50

Таким образом, AB=12 см, тогда CD=AB=12см, AD=BC=13см.

Ответ:CD=AB=12см, AD=BC=13см.

Наводящие вопросы:

  •  Что вы можете сказать о BCH? Можно ли найти другие его стороны?
  •  Как можно найти стороны параллелограмма, если известно, что периметр параллелограмма равен 50см.

Работа по индивидуальным карточкам

(3-6 учеников получают задание на карточках и работают самостоятельно)

  1.  Уровень
  2.  Точка E и K – середины сторон AB и CD параллелограмма ABCD. Докажите, что AECK-параллелограмм.
  3.  Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O, причем AC=2дм, AO=10см, BD=1,5дм, BO=7см. Выясните, является ли  ABCD параллелограммом?
  4.  Уровень

1.В параллелограмме ABCD на сторонах AB и CD отмечены соответственно точки M и N так, что BMC=AND. Докажите, что AMNC-параллелограмм?

2.Точки A и B делят диагональ MK параллелограмма MNKP на три равные части. Является ли четырехугольник ANBP-параллелограммом? Ответ обоснуйте.

  1.  Уровень
  2.  Дано ABCD-параллелограмм, MC=CK, AP=CN

Доказать, MNKP- параллелограмм.

рис.64

  1.  Через точку пересечения диагоналей O параллелограмма ABCD проведена прямая MN, пересекающая стороны AD и BC в точках M и N соответственно. Является ли MBND параллелограммом? Ответ обоснуйте.

Решение задач по готовым чертежам (рис.65)

Решение с последующей самопроверкой по готовым ответам. (В это время учитель может выслушать доказательства признаков параллелограмма).

  1.  Рисунок 1. ABCD-параллелограмм. Найти: С,D
  2.  Рисунок 2. MNKP-параллелограмм. Найти: MP,PK
  3.  Рисунок 3. Найти углы параллелограмма ABCD.
  4.  Рисунок 4. ABCD-параллелограмм. Найти его периметр
  5.  Рисунок 5. ABCD-параллелограмм. Найти: AD
  6.  Рисунок 6. ABCD-параллелограмм. Найти: P,AED
  7.  Рисунок 7. NBFD-параллелограмм. AD=4см, NB=5см. Найти: BC,CD
  8.  Рисунок 8. ABCD-параллелограмм. P=20см. Найти: MN,MP
  9.  Рисунок 9. BNDM-параллелограмм.AB/BC=4/5, P=18см. Найти: AD,DC

рис.65

Ответы:

  1.  C=64, D=116
    1.  MP=4см, PK=10см
    2.  B=D=115,A=C=65
    3.  P=16см
    4.  AD=10см
    5.  P=30см, AED=90
    6.  BC=4см, CD=5см
    7.  MN=3см, MP=7см
    8.  AD=5см, DC=4см

  1.  Решение задач

Решите письменно на доске и в тетрадях задачи, выполнив рисунок и записав краткое решение.

К доске вызываются два ученика и решают по одной задаче самостоятельно, на местах учащиеся также работают самостоятельно. По окончании работы решения задач с доски проверяют учащиеся, исправляют имеющиеся ошибки, предлагают наиболее рациональные способы решения.

Задача 4: Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если ВК=15 см, КС=9 см.

Решение:

рис.66

ABK-равнобедренный, AB=BK=CB=15см, BC=AD=15+9=24см, P=(15+24)*2=78см

Ответ: 78см

Наводящие вопросы:

- Что вы можете сказать о ABK, если AK-биссектриса BAD параллелограмма ABCD?

- Чему равны стороны параллелограмма ABCD? Его периметр?

Задача 5: В параллелограмме MNPQ проведен параллелограмм NH к прямой MQ, причем точка H лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что MN=3 см, HQ=15 см, MNH=30°.

рис.67

Решение:

В MNP H=90,N=30, MN=3смMN=6см

MNPQ-параллелограммMN=PQ=6см, NP=MQ=8см.

Ответ: MN=PQ=6см, NP=MQ=8см.

Наводящие вопросы:

-Что вы можете сказать о MNH? Какую из его сторон можно найти?

-Найдите стороны параллелограмма MNPQ

  1.  Самостоятельная работа

Задания I уровня предлагаются менее подготовленным учащимся, задания III уровня – самым подготовленным, задания II уровня – всем остальным, что составляет большинство класса. Учащихся, выполняющих задания I и III уровня необходимо предупредить о критериях оценивания их работ. Верное решения всех заданий I уровня может быть максимально оценено в 4балла, для получения оценки «5» решающим задания III уровня необходимо верное решения или решения с негрубыми ошибками третьего задания. Ни в коем случае нельзя навязывать задания I и III уровней учитель может их только рекомендовать учащимся.

  1.  Уровень

1 вариант

1. В четырехугольнике ABCD AB || CD, AC=20см, BD=10см, AB=13см. Диагонали ABCD пересекаются в точке O. Найдите периметр COD.

2. Из вершины B параллелограмма ABCD с острым углом A проведен перпендикуляр BK к прямой AD; BK=AD/2. Найдите C, D.

3. Середина отрезка BD является центром окружности с диаметром AC, причем точки A, B, C, D не лежат на одной прямой. Докажите, что ABCD-параллелограмм.

  1.  вариант

1. В четырехугольнике ABCD AB||CD, BC||AD, O-точка пересечения диагоналей. Периметр AOD равен 25см, AC=16см, BD=14см. Найдите ВС.

2. В параллелограмме ABCD с острым углом A из вершины B опущен перпендикуляр BK к прямой AD; AD=BK. Найдите C, D.

3. Дан параллелограмм ABCD. На продолжении диагонали AC за вершины A и C отмечены точки M и N соответственно так, что AM=CN. Докажите, что MBND-параллелограмм.

  1.  Уровень

1 вариант

1. В четырехугольнике ABCD A+B=180, ABCD. На сторонах BC и AD отмечены точки M и K соответственно так, что BM=KD. Докажите, что точки M и K находятся на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей четырехугольника.

2. На сторонах PK и MH параллелограмма MPKH взяты точки A и B соответственно, MP= PB=AK; MPB=60. Найдите углы параллелограмма и сравните отрезки BM и AH.

3. На основании AC равнобедренного ABC отмечена точка K, а на сторонах AB и BC-точки M и P соответственно, причем PK=MB, KPC=80,C=50. Докажите, что KMBP-параллелограмм.

2 вариант

1. В четырехугольнике MPKH PMK=HKM, PKMH. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, пересекающая стороны PK и MH в точках A и B соответственно. Докажите, что AP=HB.

2. На сторонах BC и AD параллелограмма ABCD взяты точки M и K, AB=BM=KD, AMB=30. Найдите углы параллелограмма и сравните отрезки AM и CK.

3. В треугольнике MPK M=65.На сторонах MK, MP, PK отмечены точки A, B, C соответственно так, что середина стороны PK-точка C, AM=KC, BP=AC, BAM=50. Докажите, что BPCA-параллелограмм.

  1.  уровень

1 вариант

  1.   В выпуклом четырёхугольнике ABCD A+B=B+C=180. Через точку О пересечения диагоналей четырёхугольника проведена прямая, пересекающая стороны DC и AD в точках М и К соответственно; ВОМ=90°. Докажите, что ВК=ВМ.
  2.  На сторонах DC и CD параллелограмма ABCD отмечены точки М и Н соответственно так, что отрезки ВН и MD пересекаются в точке О; ВНD=95°, DMC=90°, BOD=155°. Найдите отношение длин отрезков АВ и MD и углы параллелограмма.
  3.  Точки М и К являются соответственно серединами сторон АВ и ВС АВС. Через вершину С вне треугольника проведена прямая, параллельная АВ и пересекающая луч МК в точке Е. Докажите, что КЕ=АС:2.

2 вариант

  1.  В выпуклом четырёхугольнике МРКН М+Р=180°, MKH=RMP. На сторонах MP и РК отмечены точки А и В так, что РВ=РА. Отрезок АВ проходит через точку пересечения диагоналей четырёхугольника. Докажите, что НРАВ
  2.  На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD взяты точки К и М соответственно. Отрезки ВМ и КР пересекаются в точке О, BOD=140o, DKB=110°, BMC=90°. Найдите отношение длин отрезков МС и AD и углы параллелограмма.
  3.  Точки А и В принадлежат соответственно сторонам РЕ и ЕТ РЕТ Прямая, проходящая через вершину Т вне треугольника, пересекает луч АВ в точке К так, что АР=КТ, АВ=ВК=ВР:2. Докажите, что точка А является серединой отрезка РЕ.

Ш Подведение итогов урока

Собрать тетради для проверки самостоятельной работы.

Домашнее задание: Решить задачи №375,3 80,3

Задача №375: Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7см и 14см.

Задача №373: Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, С=30° а перпендикуляр BH к прямой CD равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма.

Задача №380: На сторонах AB, BC, CD и DA четырехугольника ABCD отмечены соответственно точки M, N, P, и Q так, что AM=CP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA. Докажите, что ABCD и MNPQ – параллелограммы.

Задача №383: На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки P и Q так, что PB=QD. Докажите, что четырехугольник APCQ – параллелограмм.

Занятие 3

Тема: «Основные свойства четырехугольников»

Цели урока:

  •  Вспомнить основные понятия, свойства и теоремы, изученные в теме «четырехугольники»
  •  Совершенствовать способы решения задач.

Задачи:

  1.  Повторить определения четырехугольника, трапеции, острого угла.

2. Вспомнить теоремы о противоположных углах, сторонах; сумме углов четырехугольника, свойства диагоналей параллелограмма.

3. Вспомнить основные методы решения.

Ход урока:

  1.  Организационный момент.

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

  1.  Актуализация знаний учащихся.

Вопросы для повторения задаются вначале урока и адресованы всему классу.

Вопросы:

  1.  Дайте определения четырехугольника.
  2.  Какие виды четырехугольников вы знаете?
  3.  Дайте определения трапеции, параллелограмма, квадрата, ромба и прямоугольника.

Работа у доски и по индивидуальным карточкам проводится одновременно.

Работа у доски:

Подготовить у доски доказательство площади параллелограмма и площади трапеции (2 человека). Учащиеся работают самостоятельно.

Работа с карточками:

Три или шесть учеников получают задания на карточках и работают самостоятельно.

Карточка 1.

    1) Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма, если одна сторона на 3 см больше другой.

  1.  Сторона ромба равна 6 см, а один из его углов равен 150°. Найти площадь ромба.

Карточка 2.

  1.  Найдите углы B и D равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD  и BC, если A=36°.
  2.  Острый угол параллелограмма равен 30°, а высоты, проведенные из вершины тупого угла, равны 2 и 3 см. Найти площадь параллелограмма.

Карточка 3.

  1.  Найдите периметр ромба ABCD, если B=60°, AC=10,5 см.
  2.  Найдите площадь трапеции ABCD с основанием AB и CD, если D=30°, AB=2 см, CD=10 см, DA=8 см.

Решение задач по готовым чертежам (рис. 68)

  1.  Рисунок 1. MNPS – прямоугольная трапеция. Найти S.
  2.  Рисунок 2. MNKP-параллелограмм. Найти: MP,PK
  3.  Рисунок 3. Найти углы параллелограмма ABCD.
  4.  Рисунок 4. ABCD-параллелограмм. Найти его периметр
  5.  Рисунок 5. ABCD-трапеция. Найти BK.
  6.  Рисунок 6. ABCD-параллелограмм. Найти: P,AED
  7.  Рисунок 7. NBFD-параллелограмм. AD=4см, NB=5см. Найти: BC,CD
  8.  Рисунок 8. ABCD-трапеция. MN=0,5BC, MP=NL, AP=1. Найти PL.
  9.  Рисунок 9. BNDM-параллелограмм.AB/BC=4/5, P=18см. Найти: AD,DC

рис.68

Самостоятельная работа

Вариант 1.

  1.  Стороны параллелограмма равны 10 и 3. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне делят противоположные стороны на три отрезка. Найдите эти отрезки.
  2.  В трапеции ABCD с большим основанием AD, диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD, BAC=CAD. Найти AD, если P=20, D=60°.
  3.  Найти площадь равнобокой трапеции, если меньшее основание равно 18, высота равна 9 и острый угол 45°.

Вариант 2.

  1.  , ABCD – параллелограмм, AB=14. Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса A? Найдите отрезки, которые образуются при пересечении.
  2.  Основания прямоугольной трапеции ABCD равны 4 и 7 см, а один из углов равен 60°. Найти большую боковую сторону трапеции.
  3.  Найти площадь равнобедренной трапеции, если ее основания равны 18 и 30 см, а диагонали взаимноперпендикулярны.

III. Подведение итогов урока

Собрать тетради для проверки самостоятельной работы.

Занятие 4

Тема:« Трапеция»

Цели урока:

•Ввести понятие трапеции и ее элементов, познакомить учащихся с равнобедренной и прямоугольной трапециями.

•Рассмотреть некоторые свойства равнобедренной трапеции.

•Научить учащихся применять полученные знания в процессе решения задач.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся

1. Работа над ошибками самостоятельной работы с использованием готовых ответов и указаний к задачам (можно объединить учащихся одного варианта по группам для того, чтобы они могли проконсультироваться друг у друга или вместе разобраться в решении задачи).

1уровень

I вариант

1.См. рис.69.1 . АВСО - параллелограмм, тогда СО = АВ = 13 см, ОС = АО = 10 см, BD= ОD = 5 см (объясни).

РCOD= 10 + 5 + 13 = 28 см

2. См. рис.69.2 . ВК = АВ/2, тогда А = 30° (объясни), значит С = 30°, D = 150° (объясни).

3. См. рис.69.3. В четырехугольнике АВСD диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит АВСD - параллелограмм.

рис.69

II вариант

1. См. рис. 69.4. АВСD - параллелограмм, тогда АО = СО = 8 см, ВО = DО = 7 см (объясни).

Т. к. РАОО = 25 (см), то ВС = АИ = 10 (см).

2. См. рис. 69.5. АК = ВК, тогда АА = 45° (объясни),С = 45°, D=135° (объясни).

3. См. рис. 69.6. АВСD - параллелограмм, тогда АО = СО, ВО = DO. В четырехугольнике МВND диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит МВND - параллелограмм.

II уровень

I вариант

1. См. рис. 70.1.

а) Докажите, что АВСD - параллелограмм и ВС\\ АD.

б) Докажите, что ВОМ = DОК и ОМ = ОК.

2.  См. рис. 70.2.

а) Докажите, что МРВ - равносторонний, М= 60°,= 60°.

б) Докажите, что АКН - равносторонний, АКН = МРВ, тогда МВ = АН, М = К = 60°, Р=Н = 120°.

3.  См. рис. 70.3.

а) Найди В и докажи, что МВ || КР.

б) Докажи, что МВРК- параллелограмм.

рис.70

1.См. рис. 70.4.

а) Докажи, что АВСD - параллелограмм и РО = НО.

б) Докажи, что РОА = HOB и РА= НВ.

2.  См. рис. 70.5.

а) Докажи, что АВМ- равнобедренный, В = 120°, ВАD = 60°.

б) Докажи, что АВМ = КDС и АМ = КС, В = D = 120°, А = С = 60°.

3.  См. рис. 70.6.

а) Докажи, что в АВМ,  МА = ВА.

б) Докажи, что ВРСА - параллелограмм.

III уровень

I вариант

1) См. рис.71.1 .

а) Докажи, что АВСD - параллелограмм и АО= СО.

б) Докажи, что АОК = СОМ и КО = МО.

в) Докажи, что ВКО = ВМО и ВК= ВМ.

2) См.71.2 рис.

МDС = 60°, МСD = 30° (объясни).

МD = СD/2, АВ : МD = 2 : 1, С = А = 30°, В = В= 150°

3) См. 73.3рис. .

а) Докажи, что MBK = ЕСK и EC = МВ = АМ, КЕ = МК = МЕ/2.

б) Докажи, что АМЕС - параллелограмм и МЕ = AС, т. е. КЕ = АС/2.

рис.71

II вариант

1) См. рис. 73.4.

а) Докажи, что МРКН - параллелограмм и МО = ОК.

б) Докажи, что МOA= КОВ и АО = ОВ.

в) Докажи, что РО  AB и РH  AB.

2) См. рис.73.5 .

КDС = 50°, МСВ = 60°, СВМ = 30° (объясни).

СМ = ВС/2; МС : АО = 1: 2; АС = АА = 60°, АВ = АО = 120°.

3. См. рис.73.6 .

а) Докажи, что РАКТ- параллелограмм и РЕ \\ КТ.

б) Докажи, что АЕВ = КТВ и АЕ = КТ=РА, т.е.А- середина РЕ.

Решение задач на готовых чертежах с целью подготовки к изучению нового материала

1.  Рис. 74.1. Найти: х.

2.  Рис. 74.2. Найти: у.

3.  Рис. 74.3. Найти: z.

III. Изучение нового материала

Ввести понятие трапеции, ее оснований и боковых сторон. В тетрадях учащихся и на доске рисунок (рис. 4) и записи: АВСD - трапеция, если

ВС  АD.

АВ и СD - боковые стороны

ВС и АО - основания.

2. Ввести понятия равнобедренной трапеции, прямоугольной трапеции.

рис.74

В тетрадях учащихся и на доске рисунки и записи:

Рис. 74.5. Равнобедренная трапеция.

Рис. 74.6. Прямоугольная трапеция.

3. Ввести понятие средней линии трапеции.

В тетрадях учащихся и на доске рисунок и записи:

Рис. 74.7. М- середина АВ, N - середина СD,

МN - средняя линия трапеции.

Исследование свойств равнобедренной трапеции

Разбить класс на небольшие группы и предложить задания:

1.Исследовать углы равнобедренной трапеции.

2.Исследовать диагонали равнобедренной трапеции. Результаты исследований выслушать и обсудить, на доске и в тетрадях записать:

Свойства равнобедренной трапеции:

1. Рис. 75.1. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Доказательство: Проведем СЕ || АВ.

АВСЕ - параллелограмм (АВ \\СЕ, ВС\\ АD).

СD = АВ = СЕ, CDЕ - равнобедренный, 1=2

АВ || СЕ, тогда 2. = 3.

1=2=3..

АВС= 180° -3 = 180° -А = ВСD.

2. Рис. 75.2. В равнобедренной трапеции диагонали равны.

Доказательство: АВС = DСВ (АВ = DС, ВС - общая сторона,

АВС = DCD), тогда АС = ВD.

Изучение признаков равнобедренной трапеции

Задание: Сформулируйте утверждения, обратные свойствам равнобедренной трапеции, и выясните их справедливость.

рис.75

Результаты работы выслушать и обсудить, на доске и в тетрадях записать:

Признаки равнобедренной трапеции:

1; Рис. 75.3. Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.

Доказательство: Проведем СЕ || АВ.

АВСЕ - параллелограмм, тогда АВ = СЕ, А = СЕО. СЕD - равнобедренный (D = СЕD), тогда СЕ = СD

АВ=СЕ = СD, тогда АВСD - равнобедренная трапеция.

2. Рис. 75.4. Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

Доказательство: Проведем СК\\ ВD.

ВСКD - параллелограмм (СК || ВD, ВС || АК).

AСК- равнобедренный (АС=ВD = СК),1=2.

СК || ВD, 2 = З, тогда 1=3.

АВD = DСА (АС = ВО, АО - общая сторона, 1 = 3), тогда

АВ = СD, т. е. АВСD - равнобедренная трапеция.

IV. Работа в рабочих тетрадях Решить задачи № 16, 18.

Задача № 16. Ответ: АМ = 71°, АР = 143°.

Задача № 18. Ответ: АО = 22 см.

V. Подведение итогов урока

Домашнее задание

П. 44, вопросы 10, 11; выучить признаки и свойства равнобедренной трапеции;

Решить задачи № 386, 387, 390; повторить № 384 (устно); решить задачу № 17 из рабочей тетради.

2.4 Анализ проведенных занятий

Разработанные занятия были апробированы в 8 «Б», «Г» классах школы №206.

В 8 «Б» классе были проведены занятия, предлагаемые выше, в 8 «Г» - обобщающего повторения проведено не было. После занятий была проведена самостоятельная работа по теме: «Четырехугольники».

Результаты самостоятельной работы приведены в таблице.

Количество задач

Количество учащихся, где было проведено обобщающее повторение.8 «б»

Количество учащихся, где не было проведено обобщающее повторение.8 «г»

3-4

13

7

0-2

8

14

Проведённый эксперимент показывает, что класс, в котором было проведено обобщающее повторение, легче работает с пройденным материалом, быстрее решает задачи, поясняют, каким методом решается задачи, обосновывают свой ответ.

2.5 Факультатив, как ведущая форма внеклассной работы по математике на примере темы «Четырехугольники»

Назначение факультативных занятий состоит в развитии способностей и интересов учащихся в сочетании с общеобразовательной подготовкой; зарождение интереса к математике на первичном уровне, поддерживать его до познавательного уровня и тем самым создавать основы для выбора профиля.

Целью организации факультативных занятий является расширением кругозором учащихся, развитие математического мышления, формирование активного познавательного интереса к предмету, воспитание мировоззрения и ряда личностных качеств средствами углубленного изучения математики.

Также целью внеклассных форм занятий является развитие определенных сторон мышления и черт характера учащихся. Не преследуя в качестве основной цели расширение или углубления фактических занятий по математике.

Основная задача факультативных занятий: учитывая интересы и склонности учащихся, расширить и углубить знания по предмету, обеспечить усвоение ими программного материала, ознакомить школьников с некоторыми общими идеями современной математики, раскрыть приложения математики на практике.

На факультативных занятиях могут использоваться разнообразные формы проведения занятий, лекций практические работы, обсуждение заданий по дополнительной литературе, доклады учеников, составление рефератов, экскурсий:

- Лекционно-семинарской системы при изучении ряда тем курса позволяет учителю излагать учебный материал крупными порциями и на этой основе высвободить время для повторения вопросов теории и решении задач. Кроме того, такая организация занятий обеспечивает усиление практической и прикладной направленности преподавании, приобщение учащихся к активной работе с учебной литературой, повышения уровня их подготовки. Как правило одна две лекции на которых излагается весь теоретический материал изучаемого раздела. Одна из существенных особенностей школьной лекции заключается в том, что учитель непрерывно следит за процессом усвоения материала непосредственно на уроке.

- Уроки практических занятий. Основным видом занятий является самостоятельная работа учащихся по закреплению и углублению теоретического материала, изложенного на лекции. На уроках практических занятий проводится целенаправленная работа по выработке у учащихся умений и навыков решения основных типов задач.

- Уроки-семинары. Возможно проведение семинаров различных типов. Наибольшее распространение у учителей математики получили семинары, посвященные повторению, углублению и обобщению пройденного материала.

- Полезная форма работы подготовка учениками рефератов. Выполнение таких заданий важно, прежде всего, в отношении развития навыков самообразования, удовлетворение индивидуальных интересов учеников. Одновременно ( индивидуальное задание должно иметь ценность для всех участников факультативной группы. Очень большое значение для успешности усвоения материала имеет подбор задач.

Итак, из всего выше сказанного выделим методические рекомендации по организации математических факультативов:

1. Взаимосвязь в содержании, формах и методах организации учебной работы и факультативных занятий;

2. Обеспечивать взаимосвязь (по содержанию) уроков и факультативных занятий;

3. Единство в содержании факультативных занятий различных разделов математики;

4. Активизация самостоятельной работы учащихся;

5. Построение учебного процесса как совместная исследовательская деятельность учащихся;

6. Использование наглядных пособий; применение конспект-таблиц на лекциях;

7. Использование системы ключевых задач по темам на факультативных занятиях;

8. Использование историко-математического материала на факультативных занятиях;

9. Принципы занимательности занятий;

10. Построение занятий проблемного изучения материала.

2.6 Разработка факультатива по геометрии по теме «Четырехугольник»

В соответствии с темой выпускной квалифицированной работы были разработаны дополнительные занятия, благодаря которым будет расширен кругозор учащихся. Это:

1. дать дополнительные знания по геометрии, благодаря чему расширить кругозор учащихся;

2. привить интерес к геометрии;

3. побудить к более вдумчивому изучению предмета;

4. способствовать развитию логического и образного мышления;

5. привить умения рассуждать при решении задач;

6. научить объяснять решения последовательно и неторопливо;

7. повысить уровень развития ребят;

8. расширить и углубить знания учащихся по теме «Четырехугольники», в частности, рассмотреть вопросы, выходящие за рамки школьной программы.


Тема курса

Тема занятия

Количество часов

Тип занятия по дидактической цели

План занятия

Систематизация знаний по теме: «Четырехугольники»

Тема: «Подготовка к ЕГЭ (на примере темы: «Четырехугольники»)».

1

Занятия на применение знаний и умений

  1.  Организационный момент.
  2.  Актуализация знаний.
  3.  Решение задач.
  4.  Подведение итогов..

Систематизация знаний по теме: «Четырехугольники»

Тема: «Теорема Птолемея»

1

Занятия на применение знаний и умений

  1.  Организационный момент.
  2.  Актуализация знаний
  3.  Изучение новой теоремы.
  4.  Решение задач.
  5.  Подведение итогов.

Систематизация знаний по теме: «Четырехугольники»

Тема: «Теорема косинусов для четырехугольника».

1

Занятия на применение знаний и умений

  1.  Организационный момент.
  2.  Актуализация знаний
  3.  Знакомство с новой теоремой.

4. Решение задач.

  1.  Подведение итогов.


Занятие 1

Факультатив по подготовке к ЕГЭ (на примере темы: «Четырехугольники»)

Цели

  1.  Подготовка учащихся к ЕГЭ.
  2.  Совершенствование навыков решения задач.
  3.  Развитие нестандартного видения задач.

Задачи:

  1.  Приобретать навыки, необходимые для решения задач уровня В и С.
  2.  Вспомнить основные свойства четырехугольников.

Ход урока:

1. Решение по готовым чертежам:

1) Найдите площадь квадрата АВСD. Размер каждой клетки 1 см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

рис.76

Ответ:

2) Найдите площадь параллелограмма ABCD. Размер каждой клетки 1 см·1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

рис.77

Ответ:

3) Найдите площадь трапеции ABCD. Размер каждой клетки 1 см·1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

рис.78

Ответ:

4) Найдите площадь трапеции ABCD. Размер каждой клетки 1 см·1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

рис.79

Ответ:

  1.  Решения задач

а) Уровня В

Задача 1: Дан ромб ABCD с острым углом B. Площадь ромба равна 320, а синус угла В равен 0,8. Высота CH пересекает диагональ BD в точке K. Найдите длину отрезка CK.

рис.80

Решение:

Задача 2: Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите высоту трапеции, если ее площадь равна 25.

Решение:

рис.81

Ответ: 5

Вопросы к задачам:

К задаче1:

  •  Как можно найти CH?
  •  Как можно найти сторону ромба? (В какие треугольники входит сторона BC?)
  •  Как выразить OCK через ABC?

К задаче 2:

  •  Какими способами можно найти площадь трапеции?
  •  Что мы можем найти из ACH?

b) Уровень С:

Задача 3: В трапеции ABCD известны боковые стороны AB=27, CD=28 и верхнее основание BC=5. Известно, что CosBCD=-2/7. Найдите AC.

рис.82

Решение:

Ответ:28.

Подведение итогов:

Сегодня мы рассмотрели решения типовых задач ЕГЭ на тему четырехугольников. Приобрели навыки решения задач.

Занятие 2

Тема: Теорема Птолемея

Цель: Познакомить учащихся с теоремой Птолемея и рассмотреть задачи, при решении которых она применяется.

Задача:

  1.  изучить теорему Птолемея
  2.  научится пользоваться теоремой при решении задач

Ход занятий:

I Учитель сообщает цель занятия

II. Доклад ученика о Птолемее

III. Рассматривается теорема Птолемея

Теорема (Птолемея). Во всяком выпуклом четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон ( см. глава 1, пункт 1.6,теорема 20)

Решим некоторые задачи:

Задача 1: Дан параллелограмм ABCD. Окружность, проходящая через точку A, пересекает отрезки AB, AC, AD в точках P, Q, R соответственно (рис.83 ). Докажите, что AP·AB+AR·AD=AQ·AC.

рис.83

 

Доказательство: Применим теоремы Птолемея к четырехугольнику APQR. Получаем AP·AB+AR·QP=AQ·PR. Так как BC  AD, то BCA=DAC (накрест лежащие). Так как QPR и QAR опираются на дугу, то они равны, значит ACB=QAR=QPR. Так как ACB=QAR=QPR и PQR=180°-PAR=ABC, то RQPABC (по двум углам), а значит RQ/PQ/PR=AB/BC/CA. Так как BC=AD, имеем AP·AB+AR·AB=AQ·AC. Что и требовалось доказать.

Задача 2. Если точка P лежит на дуге CD окружности описанной вокруг квадрата ABCD (рис.84 ), то PA(PA+PC=PB(PB+PD).

рис.84

Решение: Применим теорему Птолимея к четырехугольникам PABC и PDAB, получим AB·PC+BC·PA=AC·PB, AB·PD+AD·PB=PA·BD. Пусть AB=BC=CD=AD=a, по теореме Пифагора имеем АС =BD=. Получили  разделим оба равенства на а, получим, вычитаем из равенства (1) равенство (2), получаем

Подведение итогов:

 На сегодняшнем уроке мы познакомились с новой теоремой, и закрепили полученные знания решением задач.

Занятие 3

Тема: Теорема косинусов для четырехугольника

Цель: Познакомить учащихся с теоремой и научить применять ее при решении задач.

Задачи:

1. Научиться применять теорему косинусов для четырехугольника  при решении задач.

Ход занятия:

1. Учитель сообщает цель занятия – познакомиться с теоремой косинусов для четырехугольника, которую вы можете применять при решении различных задач.

2. Объяснение нового материала.

Теорема 1. Квадрат стороны выпуклого четырехугольника равен сумме квадратов трех других сторон без удвоенных произведений пар этих сторон и косинусов углов между ними.(см. глава 1, пункт 1.6).

3. Решаем задачи:

Задача 1. Стороны четырехугольника равны a, b, с и  d . Известно, что в этот четырехугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Докажите, что его площадь равна .

Подсказка: Воспользуйтесь теоремой косинусов и свойством описанного четырехугольника.

Решение. Пусть угол между сторонами a и b равен α. Тогда угол между сторонами c и d равен 180° - α. Выразим двумя способами по теореме косинусов квадрат диагонали, соединяющей вершины двух других углов: a2 + b2 – 2ab  = c2 + d2 + 2cd  или a2 + b2 – 2ab  = c2 + d2 + 2cd . Отсюда находим, что 2(ab + cd)  = a2 + b2c2d2. Поскольку в четырехугольник можно вписать окружность, то a + c = b + d или ab = dc. Тогда a2 + b2 – 2ab = c2 + d2 – 2cd => a2 + b2c2d2 = 2(abcd) => 2(ab + cd)  = 2(abcd) =>  = (abcd)/(ab + cd).

Пусть S – площадь данного четырехугольника. Тогда S = 1/2ab  + 1/2cd  = ½ (ab + cd) = ½ (ab + cd) = ½ (ab + cd)  =  = .

Задача 2. Точка К – середина стороны AD прямоугольника ABCD (рис.85). Найдем угол между BK  и диагональю АС, если известно, что AD:AB= .

рис.85

Решение: Воспользуемся методом вспомогательного параметра. Положим АВ = а, тогда AD = a. Выразим через a все стороны треугольника АМК и применим теорему косинусов для стороны АК. Это позволит вычислить косинус искомого угла АМК, Обозначим его через х.

Отрезки АО и ВК – медианы треугольника АВD. Значит, МК = 1/3·ВК, АМ = 2/3АО, так как по теореме о том, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке (ее называют центром тяжести или центроидом треугольника) и делятся в этой точке в отношении 2:1, считая от вершины. Имеем МК=1/3ВК=1/3=1/3+=а/6,

АМ = 2/3 АО = 1/3АС = 1/3=1/3+a2 = a/3.

В треугольнике АМК получаем АК = a, АМ = a/3, МК = а/6, по теореме косинусов АК2=АМ2 + МК2 – 2АМ · МК·cos x, то есть (a /2)2 = (a/3)2 + (а/6)2 – 2a/3· а/6 · cos x и далее a2/2 = a2/3 + a2/6 – (a2)/3·cos x, откуда находим: cos x = 0 и, следовательно, х=90°. Итак, угол между ВК и АС прямой.

Подведение итогов:

 На сегодняшнем уроке мы познакомились с новой теоремой, и закрепили полученные знания решением задач.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Прочное усвоение знаний является главной задачей процесса обучения, это очень сложный процесс. В него входят восприятие учебного материала, его запоминание и осмысливание, а также возможность использования этих знаний в различных условиях.

У различных авторов при исследовании вопросов организации повторения выделены следующие принцыпы:

1. Преподавание математики не может стоять на должном уровне, а знания учащихся не будут достаточно полными и прочными, если в работе учителя отсутствует система повторительно-обобщающих уроков.

2. Перед началом учебного года или четверти необходимо тщательно спланировать материал для повторения, указать виды повторения, через которое оно может проводится, т.е. устанавливается, какой материал будет проводится параллельно с изучением новой темы и какой на специально отведенных уроках повторения.

3. Необходимо систематически практиковать текущее повторение.

Повторение учебного материала требует от учителя творческой работы. Он должен обеспечить четкую связь между видами повторения, осуществить глубоко продуманную систему повторения.

При разработке занятий был систематизирован теоретический материал по теме школьного курса математики, подобраны задачи на тему «Четырехугольники», которые могут быть использованы при подготовки дополнительных занятий на тему: «Систематизация знаний по теме: «Четырехугольники» я старалась сделать их интересными, познавательными. Материал собран в единое пособие, что позволяет использовать его на занятиях, имеющих целью – повторение систематизации знаний по теме «Четырехугольники».

Основные вопросы которые вынесены на эти занятия:

  •  Закрепить знания о свойствах и признаках четырехугольников в процессе решения задач
  •  Вспомнить основные понятия, свойства и теоремы, изученные в теме «четырехугольники»
  •  Совершенствовать способы решения задач.

Разработанные занятия были апробированы в 8 «Б», «Г» классах школы №206.

Проведённый эксперимент показывает, что класс, в котором было проведено обобщающее повторение, легче работает с пройденным материалом, быстрее решает задачи, поясняют, каким методом решается задачи, обосновывают свой ответ.

Кроме того, мною разработаны факультативные занятия по теме четырехугольники, целью которых является изучение материала выходящего за рамки школьного курса, а также решение задач представленных в ЕГЭ.

Считаю, что поставленные задачи выполнены, цель достигнута.

Список использованных источников

1. Аракелян, О.А. Некоторые вопросы повторения математики в средней школе М.: Учпедгиз, 1960.-123стр.

2. Басова, Л.А., Шубин, М.А., Эпштейн, Л.А. Лекции и задачи по математике: из опыта работы летней физико–математической школы в Карелии. М.: 1981.-74 стр.

3. Беляев, Е.А., Киселёва, Н.А., Перминов, В.Я. Некоторые особенности развития математического знания. М:. 1975.-200 стр.

4. Бескин, Н.М. Методика геометрии. Учебник для педагогических институтов. М: Учпедгиз. 1947. – 186 стр.

5. Богоявленский, Д.Н., Менчинская, Н.М. Психология усвоения знаний в школе. М.:, 1959. – 223стр.

6. Глейзер. История математики в школе (4–6 кл.). М.: Просвещение, 1981. – стр.185.

7. Жафяров, А.Ж. Математика ЕГЭ. Н: 2009 - стр.42.

8. Жуков, Н.И. Философские проблемы математики. Минск, 1977. – стр.54.

9. Кабанова–Меллер, Е.Н. Психология формирования знаний и навыков. М.: 1962. – стр.113.

10. Каменский, Я. А. Избранные педагогические сочинения. Т.2-М: Педагогика, 1982. – стр.304.

11. Карри, Х.Б. Основания математической логики. М.: 1969. – стр.139.

12. Кедровский, О.И. Методологические проблемы развития математического познания. Киев, 1977. – стр.264.

13. Колесникова, С.И Математика интенсивный курс подготовки к ЕГЭ. М.: 2008 - стр.171.

14. Колягин, Ю.М.  и др. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика М.: Просвещение , 1980 - стр.112

15. Кудрявцев, Л.Д. Современная математика и её преподавание. М.: 1981. – стр.154

16. Менчинская, А.А. Психологические вопросы развивающего обучения и новые программы. «Советская педагогика», 1968. – стр.65

17. Молодший, В.Н. Очерки по философским вопросам математики. М.: 1969.- стр.

18. Моноезон, Е.И. Методика и результаты изучения знаний учащихся. «Советская педагогика», 1962. - стр.142

19. Петров, Ю.Н. Философские проблемы математики. М.: 1973. - стр.198

20. Поба, Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: 1975 - стр.118.

21. Проверочные задания по математике для учащихся 5–8 и 10 классов средней школы. М.: «Просвещение» 1992. - стр.140

22. Реньи, А. Диалоги о математике. М.: 1969. - стр.13

23. Рузавин Г.И. О природе математического знания. М.: 1968. - стр. 111

Семенова, А.Л, Ященко, И.В. Типовые тестовые задания ЕГЭ. М.: 2010. - стр.36.

24. Славков, С. Аспекты на математические познания. София.: 1971. стр.97

25. Срода, Р.Б. Повторение на уроках математики. Издательство газеты "Волга" Астрахань: 1950. - стр.26

26. Ушинский, К.Д. Избранные труды. Изд. Дрофа, 2005. – стр.205.

27. Школьный факультатив по математике. Межвузовский сборник. Издательство Саратовского педагогического института: 1993. стр.157.

28. Эрдниев, П.М. Обучать математике активно, творчески, экономно. «Народное образование», 1962. - стр.174.

29. Эрдниев, П.М. Сравнение и обобщение при обучении математике, М.: Учпедгиз, 1960. - стр.137.

30. Фёдоров, И.Г. Некоторые методологические проблемы математики. М.: 1975. - стр.142.

31. school-collection.edu.ru Текстовые задачи.

82


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59148. Правда, обпалена війною... (Аналіз кіноповісті Україна в огні) 28 KB
  Мета: ознайомити учнів зі змістом кіноповісті проаналізувати твір; закріпити вивчене про кіноповість характеротворення поетику; розвивати творчу уяву і аналітичне мислення; виховувати національну гідність.
59150. Написання рядкової літери н (ен), складів, слів із нею 30.5 KB
  Мета: Вчити учнів писати малу букву н, склади та слова з нею; розвивати вміння правильно розміщувати букви на рядках, закріплювати знання назв елементів букв, виховувати у дітей увагу, старанність, спостережливість.
59151. Уроки з розвитку звязного мовлення. А вже весна, а вже красна... 58.5 KB
  Як правило на цих уроках більше говорить учитель навчаючи дітей переказувати а учні слухають як це робити. Учитель при необхідності коректує відповіді допомагає та згадує батьків тих учнів які працюють у журналістиці акцентуючи увагу на тому що робить спеціаліст кожного профілю.
59152. Козацькі забави. Уроки з фізичної культури 75.5 KB
  Вихідне положення руки зчеплені внизу 12 руки вгору піднятися на носки і потягнутися 34 опускаючи руки через сторони повернутися у вихідне положення. Вихідне положення ноги нарізно руки на пояс 1 нахил вправо з одночасним поворотом тулуба вправо 2 вихідне положення 34 те ж але в іншу сторону.
59153. Якими є моральні норми і правила співжиття у людському суспільстві 61 KB
  Хід: Звучить п’єса Боккерині Менует Вчитель: Ми з вами діти живемо в оточенні інших людей і нам не байдуже те як вони відносяться до нас. Вчитель: До питань співіснування в суспільстві зверталися ще в Стародавній Греції.
59155. Урок читання 56 KB
  На швидкість читання впливають багато факторів: рівень мовленнєвого розвитку кут зору читця вміння артикулювати постановка дихання характер тексту образ слова розвиток периферичного зору...