47464

Решение геометрических задач, как средство развития самостоятельности мышления учащихся

Реферат

Математика и математический анализ

Они должны не просто знакомиться с теорией предмета а видеть источники возникновения и практическую целесообразность изучения этих вопросов не просто решать задачу указанную учителем приобретая нужные навыки и умения а рассматривать условия в которых возникают задачи данного типа. Решение математических задач приобретает единую учебнопознавательную направленность в том случае когда оно реализует решение одной и той же дидактической задачи изучения математической закономерности на основе анализа частных случаев. Первые описываются...

Русский

2013-12-10

134 KB

11 чел.

РЕФЕРАТ НА ТЕМУ

Гомель, 2008


Содержание

1. Введение                                                                                          4-6

2. Решение геометрических задач, как средство развития       самостоятельности мышления учащихся.                                             6-15

3. Решение задач с практическим содержанием.                         15-17

4. Решение задач на построение.                                                  17-19

5. Примеры задач с использованием уравнений.                        19-21

6. Литература                                                                                  22

Введение.

Совершенствование методов обучения и методической системы в целом является одной из актуальнейших задач современной педагогической науки и включает в себя разработку вопросов всесторонней активизации процесса обучения и воспитания. Особое внимание в этих разработках уделяется необходимости усиления учебно-познавательных связей между изучением учащимися математических сведений и фактов, составляющих теоретическую основу курса, и между их учебной работой в процессе осмысливания и закрепления этого теоретического материала.

Всякий учебный материал имеет свою логическую структуру, на которой держится плоть конкретных фактов и сведений. Вследствие этого становиться очевидным, что учебно-познавательная деятельность должна, кроме математических целей изучения нового материала, ставить перед учащимися цель уяснения логической структуры процесса получения новой информации, уяснения двусторонней связи между изучением теории и практическими задачами.

Отсюда следует, что в сознании учащихся должна отпечататься сама динамика познавательного процесса. Они должны не просто знакомиться с теорией предмета, а видеть источники возникновения  и практическую целесообразность изучения этих вопросов, не просто решать задачу, указанную учителем, приобретая нужные навыки и умения, а рассматривать условия, в которых возникают задачи данного типа.

Решение математических задач, как известно, является основным видом учебной деятельности, посредством которой учащиеся приобщаются к приемам, умениям, навыкам творческой деятельности. Решение математических задач приобретает единую учебно-познавательную направленность в том случае, когда оно реализует решение одной и той же дидактической задачи изучения математической закономерности , на основе анализа частных случаев. Даже фрагментарная, но осознаваемая работа учителя математики по обучению учащихся основным приемам учебной деятельности повышает уровень решения учебных задач учащимися.

По степени общности выделяют такие классы приемов и способов познавательной деятельности:

  •  приемы и способы решения конкретных, отдельных задач и проблем, выполнения тех или иных практических работ;
  •  приемы и способы решения определенных классов задач и проблем;
  •  приемы и способы познавательной деятельности, применяемые в данной теории (или науке);
  •  общенаучные приемы и способы познавательной деятельности.

Первые описываются алгоритмическими предписаниями решения данной отдельной задачи, вторые — класса задач, третьи — логическими операциями и правилами их применения, четвертые — приемами и способами логики познания.

Изложение материала, доказательство предложений, решение задач всегда включает указанные приемы и способы деятельности (в явной или неявной, в осознанной или неосознанной форме). В современных учебных пособиях по математике они, как правило, выделяются недостаточно. Задача состоит в том, чтобы приемы и способы познавательной деятельности постоянно демонстрировались наряду с изучением понятийного аппарата данной теории. Учащийся, не владеющий общими приемами познавательной деятельности, не сможет самостоятельно учиться, самостоятельно творить.

По своей форме приемы и способы деятельности описываются:

а) алгоритмическими предписаниями, алгоритмическими схемами, блок-схемами;

б) правилами и законами логики.

В процессе своей деятельности учащийся пользуется готовыми алгоритмическими предписаниями, правилами и законами или самостоятельно их составляет. В первом случае им выполняется репродуктивная, а во втором — продуктивная деятельность.

Репродуктивный путь формирования того или иного способа деятельности включает такие этапы:

1) разъяснение учащимся схемы деятельности (инструктаж);

2) изучение ими этой схемы;

3) выполнение нескольких упражнений по этой схеме;

4) установление границ применимости этой схемы.

Продуктивный путь формирования того или иного способа деятельности включает:

1) решение проблемы или задачи

2) описание схемы деятельности, ее построение;

3) решение аналогичной проблемы или задачи по составленной схеме деятельности;

4) уточнение схемы деятельности;

5) решение еще одной аналогичной задачи или проблемы обобщенного типа; 6) уточнение полученной ранее схемы деятельности;

7) установление границ пpименимости этой схемы;

8) поиски ее обобщений, конкретизаций и аналогов.

В процессе обучения указанные схемы применяются в развернутой и свернутой форме.

Учителю необходимо осуществлять руководство этим процессом своевременно, и тогда  еще в стенах школы учащиеся приобретают необходимые умения и навыки рациональной организации учебной деятельности. Это, в свою очередь, формирует у них общий стиль рациональной деятельности в целом, различные межпредметные умения и навыки, осознание сущности общих методов познания действительности и самого себя, саморазвитие и самовоспитание средствами разных наук. Использование приемов этой деятельности со временем приобретает свернутый характер, становится основой повышения уровня знаний и развития способностей, создает предпосылки для будущей комфортной профессиональной деятельности.

Решение геометрических задач, как средство развития самостоятельности мышления учащихся

Для тех, кто умеет решать задачи, обучение решению задач представляется очень простым делом, не требующим разработки специальной методики. Чтобы научиться решать задачи, надо их решать. Стоит “попотеть” над решением пяти-шести задач, прежде чем они начинают получаться, решаться. Такой подход требует много времени, и кроме того, он может быть использован только для тех учащихся, которые, во-первых, хотят научиться решать задачи и готовы затратить на это и время и силы, а во-вторых, умеют приняться за дело.

Когда говорим, о необходимости и возможности научить всех учащихся самостоятельно решать задачи, понимая под этим отыскание способа решения, то первая трудность состоит в том, чтобы найти отличные школьные задачи, обладающие несовместимыми свойствами: нужно, чтобы ученик мог ее решить, не зная, как ее надо решать, а учитель мог бы научить ее решать, не показывая, как решать. Чтобы задачу можно было бы использовать для развития мышления учащихся, она, не сводясь к алгоритму, должна быть построена (в отличие от нестандартной задачи) на некотором общем приеме мышления, который можно описать, объяснить учащимся. Особенно ценными являются задачи, на которых можно научить учащихся искать способ решения. Такими являются задачи на доказательство, решаемые в курсе геометрии, особенно в первой половине курса планиметрии.

Ценность геометрических задач на доказательство связана с тем, что на каждом этапе (1 этап - переформулировка условия; 2 этап - отыскание способа решения; 3 этап - выражение условия в словах (устно или письменно)) можно организовать деятельность учащегося, приводящую к отысканию пути решения.

Чтобы “понять условие” задачи можно дать учащимся конкретное указание о том, что надо делать, а именно: “Сделайте чертеж”. Это указание должно выводить учащихся на некоторый почти алгоритмический “кусок решения”. Для самостоятельного решения нужно отбирать задачи, чертеж к которым основан на незнакомой учащимся фигуре. Например, фигуры, изучаемые в курсе 7 класса, - это пересекающиеся или параллельные прямые и отрезки, углы, треугольники (медиана, биссектриса, высота), окружность с диаметром, радиусом, хордами и касательной и др. Важным является умение строить чертежи этих фигур, оно должно быть отработано до навыка.

В начале обучения для самостоятельного решения целесообразно давать условие с буквенными обозначениями, а в дальнейшем учащиеся должны будут сами вводить эти обозначения.

Указание “Сделай чертеж” должно развернуться в такую схему: выделить основную фигуру, начертить ее, введя обозначения, и нанести дополнительные элементы. В геометрических задачах можно на понятном для учащихся языке дать конкретное указание о том, что надо сделать для переформулировки условия, чтобы в нем легко было разобраться.

Поэтому уже простое выполнение чертежа делает возможным распознавание целого ряда понятий, не указанных в условии, а именно понятий, связанных с отношениями принадлежности и порядка. В школьной практике эти отношения при решении задач распознаются, так сказать “по образу”. Например, начертив два отрезка АВ и СД, пересекающиеся в точке О, учащийся сразу называет углы АОС и ВОС вертикальными.

Работа над условием происходит по схеме:

- сделай чертеж;

- отметь на нем равные элементы;

- запиши, что надо доказать.

Такое первичное “раскрытие” условия и представление его на чертеже иногда оказывается достаточным для отыскания решения.

Например, в задаче: «В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС на биссектрисе ВД лежит точка К. Доказать, что ∆АВС = ∆СВК». Чертеж уже дает все необходимые данные для отыскания решения.

При отыскании пути решения одним из наиболее простых актов мышления, который встречается на  всех уровнях - от жестко программированного до творческого, сопровождающиеся “озарением”, - это перебор в той или иной форме, а вернее, в той или  иной степени организованный. При развитом умении решать задачу этот перебор происходит почти мгновенно, поэтому результат выдается быстро. Прежде всего надо, чтобы было из чего выбирать. В данной выше задаче надо выбрать из трех возможных признаков равенства треугольников подходящий.

Общий случай задачи на доказательство сложнее: составляющие достаточного признака заключения могут не быть среди данных условия, а являться следствием из них.

Изменим условие задачи: пусть требуется доказать равенство треугольников АКВ и СКД. Здесь исходных данных недостаточно для перекидывания мостика от условия к заключению. Они появятся только если использовать не только определяющие, а и другие свойства понятий, участвующих в задаче. В данном случае ученик должен вспомнить, что в равнобедренном треугольнике биссектриса является и высотой, и медианой. “Раскрыв” эти два термина, он и получит нужные данные.

Вот в этот момент очень важно удержаться от соблазна подсказать учащимся. Надо направить его мысль по нужному пути, дать такое указание, которое не лишало бы ученика возможности найти нужное звено самостоятельно. Таким указанием может быть следующее: “Отметить на чертеже все известные тебе свойства данных фигур”.

Не беда, что такое полное раскрытие условия оказывается в большинстве случаев излишним и не все сведения будут использованы при решении. Рекомендовать учащимся отразить на чертеже все известные ему свойства фигуры целесообразно для того, чтобы у ученика возникла проблема выбора. В этом случае он не будет лишен возможности самостоятельно найти переход от условия к заключению. Для этого ученик, “выжав” все, что можно из условия, должен обратиться к заключению и вспомнить все посылки, из которых его можно сделать. Для более сложных задач такого однократного раскрытия условия недостаточно (например, нужно дополнительное построение или предварительное доказательство неизвестного ученикам факта).

Отсюда следует вывод: для самостоятельного решения следует отбирать задачи, после полного раскрытия условия которых, можно было бы замкнуть цепочку рассуждений, т.е. из известных учащимся свойств понятий, фигурирующих в задаче, образовать (скомбинировать) известный достаточный признак заключение.

В курсе планиметрии основным способом, помогающим организовывать материал, усвоить всю совокупность свойств фигуры, является создание некоторого образа, связываемого с понятием. Созданию такого образа помогает многократное выполнение одного и того же чертежа, на котором все свойства видны. Этому способствуют и такие методические приемы, как обзор всех свойств, проводимый учителем, или опрос не по отдельным свойствам или теоремам, а по всей совокупности свойств фигуры: “Что ты знаешь о равнобедренном треугольнике?”, “Перечисли все свойства параллелограмма” и т.д.

В основе умения отыскать путь решения задачи лежат не просто знания, а хорошо организованные, системные знания, при которых усвоены не только отдельные факты, но и связи между ними.

Обучение учащихся самостоятельному решению задач требует определенной методики изучения теоретического материала курса, основанной на системном усвоении понятий: каждое математическое понятие есть некоторая система свойств и отношений, обладающая всеми признаками системы (целостностью, структурностью и др.). в этом выражается неразрывность двух сторон обучения: усвоение теоретического материала необходимо для успешного решения задач так же, как и решение задач необходимо для сознательного усвоения теорем.

Задача 2 Рассмотрим возможные рассуждения учащегося при поиске решения задачи: «Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, проведенными к гипотенузе». Постараемся при этом установить, в какой момент учащийся может подойти к «догадке».

Изучаем условие. Выполняем чертеж.

Некоторые углы обозначаем цифрами. Выделяем данные (< АВС = 90°┴ АС, АМ = МС, < АВК = < КВС) и искомое (доказать, что < 2 = <3). Заодно проверяем, что расположение элементов на рисунке  единственно возможное (биссектриса лежит между медианой и высотой).

Отправляемся от искомого. Так как <АВК = <КВС, то для доказательства равенства <2 = <3 достаточно доказать, что <1 = <4. А для этого можно сравнить по величине < 1 и <4 с другими углами. Посмотрим, не равны ли <А и <1. Это возможно, если АМ = МВ.

Получаем следствие из данных. Так как МВ – медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике АВС, то МВ = 1 АС, т. е. МВ =

                                                                                        2

АМ, а значит, <А = <1

Возвращаемся к доказываемому соотношению. Так как < А = <1, то можно доказывать равенство <А = <4.

Возвращаемся к данным. Замечаем, что <А и <4 – острые углы прямоугольных треугольников АВС и ОВС с общим острым углом С, т. е. <А и <4 дополняют угол С до 90°. Значит, <А = <4. Отсюда <1 = <4, и потому <2 = <3.

АЛГОРИТМИЧЕСКИЙ МЕТОД

Задача: «Две окружности имеют общий центр. В одной из них проведен диаметр АВ, в другой – диаметр МК. Доказать, что ВК‌‌‌‌ ‌׀׀ АМ.»

Ученик читает поочередно приведенные указания и выполняет их:

«1) В задаче говорится об окружностях с общим центром и их диаметрах. Начинать построение лучше с окружностей.

2) Проводим окружности, их диаметры,  а затем прямые АМ и ВК.

3) Дано: АВ и МК – диаметры.

Доказать: ВК ׀׀ АМ.

4) Так как диаметр равен двум радиусам, то можно отметить равные отрезки на чертеже».

Далее предлагаю выделить часть чертежа и рассмотреть его отдельно. Теперь учащиеся легко догадываются, как доказать параллельность прямых АМ и ВК, потому что с подобными задачами уже встречались.

Подводя итог решения, подчеркиваю, что для возникновения «догадки» существенное значение имеет прием «выделения части чертежа».

4. Проведите следующие наблюдения и проверьте, в какой мере приведенные факты совпадают с Вашими наблюдениями.

При решении задачи: «Доказать, что параллелограмм, диагонали которого равны, являются прямоугольником» - учащиеся не могли выполнить чертеж. Вот характерное высказывание ученика: «Не могу построить параллелограмм так, чтобы он получился прямоугольником». И далее ученик отказывается от попыток решить задачу. Не может ли список указаний, приведенный в предыдущем упражнении, оказать существенную помощь в решении данной задачи?

При решении задачи: «Доказать, что биссектрисы внутренних углов параллелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник» - некоторые учащиеся проводили биссектрисы от вершин параллелограмма и только до противоположных сторон, не догадываясь продолжить их до взаимного пересечения. Другие старались, чтобы биссектрисы противоположных углов параллелограмма непременно образовали одну линию, хотя бы и кривую. И далее они также прекращали попытки решить задачу. Поможет ли здесь учащимся приведенный список указаний? Здесь лучше дать образец решения задачи?

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

Существуют различные методы поиска решения задачи. Учащихся желательно знакомить с ними, показывая, в каких случаях удобнее использовать тот или иной из них.

Найдено, известное решение задачи обычно излагают синтетическим методом, а чтобы найти способ решения, пользуются анализом. Синтез позволяет изложить известное решение задачи быстро и четко. Однако ученику при этом трудно понять, как было найдено решение, как бы он сам мог догадаться решить задачу. Анализ требует большей, чем синтез, затраты учебного времени, но зато позволяет показать ученику, как найти решение, как можно самому догадаться ее решить.

Если анализ используется систематически, то у учащихся формируются навыки поиска решения задач. Поэтому опытные учителя стараются как можно чаще применять на уроках анализ. В школьных учебниках доказательства теорем излагаются, как правило, синтетическим методом.

Анализ в чистом виде вообще не применяется. Если ученик пользуется им при поиске решения задачи, то только до тех пор, пока в его сознании не возникнет идея решения. При решении задачи синтезом в сознании человека проводится и анализ, но часто настолько быстро, подсознательно, что ему кажется, будто он сразу увидел решение, не прибегая к анализу. Чем более сложной для человека является задача, тем в более отчетливой форме он может проследить элементы анализа в своих рассуждениях имевшие место в процессе поиска решения.

Поскольку анализ является неотъемлемой частью решения большинства задач, то ясно, насколько важно обучать школьников процессу анализа. Обучение математике сводится не столько к запоминанию теорем и их доказательств, сколько к овладению методами познания. А так как анализ является одним из важнейших методов познания, то обучение анализу следует рассматривать как огромное приобретение в знаниях и культуре учащихся. Затраченное на это время окупается с лихвой.

При решении задач анализ может выступать в двух формах:

а) когда в рассуждениях двигаются от искомых к данным задачи;

б) когда целое расчленяют на части. Соответственно синтез – это рассуждения: а) когда двигаются от данных задачи к искомым; б) когда элементы объединяют в целое. В литературе по методике математики анализ рассматривался ранее только в форме; а) это приводило к затруднениям в практике обучения.

Ознакомление учащихся с этой формой анализа можно осуществлять двумя способами:

1) сообщаем общую схему метода, затем иллюстрируем ее применение на примерах;

2) показываем применение анализа в форме расчленения при решении задачи. Подводя итог решения, выделяем основные этапы поиска и совместно с учащимися составляем общий план поиска решения задачи. После этого демонстрируем на экране (таблице) общую схему применения анализа в форме расчленения.

Общая схема анализа в форме расчленения: 1) разбиваем условие задачи на отдельные части; 2) выделяем отдельные условия (остальные временно не учитываем); 3) из отобранных условий составляем более легкую вспомогательную задачу; 4) решаем ее и, обнаружив идею решения, переходим к данной задаче.

Анализ в форме расчленения наряду с другой его формой используется часто при решении задач на построение методом подобия.

Пример 1. Решаем следующую геометрическую задачу: «В данный треугольник вписать квадрат так, чтобы все его вершины располагались на сторонах треугольника».

Составляем более легкую вспомогательную задачу: «Построить квадрат так, чтобы три его вершины лежали на сторонах треугольника». Решив эту задачу, учащиеся находят путь перехода к данной задаче. Затем доказывают, что полученная фигура – искомая.

Пример 2. Дана задача: «Построить треугольник по отношению двух сторон, углу между ними и высоте, проведенной к третьей стороне».

Обозначаем отношение сторон через m : n, временно опускаем часть требований задачи и составляем вспомогательную, более легкую задачу: «Построить треугольник по двум сторонам m и n и углу между ними». Построив этот треугольник, учащиеся проводят высоту его АЕ. Откладывают на ней отрезок АО, равный высоте искомого треугольника, и заканчивают решение.

Пример 3. Рассмотрим задачу: «Сторона основная правильной четырехугольной пирамиды равна а, боковое ребро составляет с основанием пирамиды угол а. Через вершину основания пирамиды провести сечение, перпендикулярное противолежащему боковому ребру. Найти площадь сечения».

Если учащиеся не умеют решать ряд простейших, элементарных задач, то о самостоятельном решении данной задачи, а тем более о поиске решения не может быть и речи.

Следовательно, в данном случае перед учителем возникает необходимость предварительного использования метода элементарных задач.

Надо заблаговременно научить учащихся решать следующие задачи:

1) Построить в многограннике сечение, перпендикулярное данному ребру и проходящее через данную точку.

2) Доказать, что в правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро перпендикулярно непересекающей его диагонали основания.

3) Доказать, что площадь плоского четырехугольника равна половине произведения его диагоналей и синуса между ними.

Причем учащиеся должны не только уметь решать эти элементарные задачи, но и помнить их формулировки. Иначе идея решения данной задачи у них не возникнет. При указанных условиях учащийся может воспользоваться анализом в форме расчленения, составляя ряд вспомогательных задач и решая их.

Сначала ученик проводит сечение через точку М перпендикулярно ребру ВК. Здесь он пользуется также анализом в форме рассуждения от искомого к данным. Одновременно он вспоминает ход построения. Если он этого не знает, то анализ мало чем поможет ему. Ученик рассуждает примерно так: «Чтобы искомое сечение было перпендикулярно прямой ВК, оно должно содержать две прямые, перпендикулярные этой прямой. В плоскости ВКМ проводим прямую РМ, перпендикулярную ВК. Она пересечет высоту пирамиды в точке Т. Как провести теперь еще одну прямую, перпендикулярную ребру ВК (новая вспомогательная задача)? Посмотрим, нет ли у нас уже таких прямых, которые перпендикулярны ВК».

Теперь ученик сблизил данные и искомые задачи настолько, что в соответствии с закономерностью V.1 может вспомнить необходимую ему сейчас теорему. А если ученик не помнит теорему о том, что диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды перпендикулярна не пересекающему ее боковому ребру? Тогда ему придется составить и решить еще одну вспомогательную задачу: «Доказать, что АС ┴ ВК» и т. д.

Таким образом, при решении более сложной (для ученика) задачи анализ используется в различных формах и совместно с синтезом. При этом поиск решения может быть успешно завершен только при одновременном использовании ряда методов обучения, в частности метода элементарных задач.

ПЕРЕФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ

При решении задачи с использованием анализа целесообразно четко формулировать «промежуточные» задачи, возникающие по ходу поиска решения. Такой способ решения называют переформулировкой задачи. Этот способ приводит к следующим, на наш взгляд, удачным методическим ситуациям:

1) Усилия учащихся в каждый момент поиска сосредоточиваются на его основных этапах.

2) Выделяемые вспомогательные задачи разбивают на отдельные логические части все рассуждение, а оно бывает иногда довольно громоздким, что затрудняет некоторых учащихся. Рассуждение разбивается на этапы, выделяется как бы план поиска решения. Все это приводит к осознанию идеи поиска решения в целом, а значит, к его лучшему усвоению 3) При подведении итога решения задачи легче выделить и рекомендовать для запоминания (использования в дальнейшем) выделенные при поиске решения вспомогательные задачи – теоремы.

Пример 1. Найти объем правильной треугольной пирамиды, если ее высота Н составляет с плоскостью боковой грани угол φ.

Учащиеся затрудняются строить угол между прямой и плоскостью в непривычных ситуациях. При решении данной задачи некоторые учащиеся интуитивно угадывают, что < ОЕМ = φ, где ЕО – высота, ЕМ – апофема пирамиды. Но они не могут этого обосновать. Поэтому в первые же моменты поиска решения выделяем и четко формулируем первую вспомогательную задачу:

«Построить угол между высотой правильной треугольной пирамиды и ее боковой гранью».

Учащиеся рассуждают: «Так как угол между прямой и плоскостью есть угол между прямой и плоскостью есть угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость, то надо построить проекцию отрезка ОЕ на плоскость АЕС. Для этого надо через точку О провести перпендикуляр к плоскости АЕС».

Выделяем вторую вспомогательную задачу:

«Через основание высоты правильной пирамиды провести перпендикуляр к боковой грани».

«Для этого надо, - объясняет учащийся, - провести прямую, перпендикулярную двум пересекающимся прямым грани. А для этого в свою очередь достаточно в плоскости ОЕМ провести прямую ОК, перпендикулярную ЕМ, и доказать, что ОК перпендикулярна еще одной прямой плоскости АЕС. Докажем, что ОК ┴ АС, или, что то же самое, АС ┴ ОК. Действительно, АС ┴ ЕМ (апофеме пирамиды), АС ┴ ОЕ (высоте пирамиды).

Следовательно, АС ┴ (ОЕМ) и АС ┴ ОК.

Итак, ОК ┴ (АЕС), значит, ЕК – проекция ОЕ на плоскость АЕС и < ОЕМ =φ».

Теперь учащиеся легко завершают поиск решения: «Для вычисления объема пирамиды достаточно знать ее высоту (известно) и площадь основания. Так как основание – правильный треугольник, то для вычисления его площади достаточно знать сторону. Ее легко найти, если будет известна высота основания ВМ. Но ВМ = 3 ∙ ОМ, а ОМ легко найти из треугольника ОЕМ».

ИНДУКТИВНЫЙ МЕТОД

Индуктивный метод может быть широко использован при поиске решения задачи.

Выполняя по возможности более точный чертеж, учащиеся из рисунка усматривают свойства фигур. На основе этого делают определенные выводы, а затем доказывают их. Желательно на конкретных примерах убеждать учащихся в том, что такое «рассматривание», анализирование рисунка, выявление его особенностей с последующим обязательным доказательством своих выводов очень полезно при поиске решения задачи. Такое «изучение» рисунка наталкивает часто на удачные идеи, существенно облегчающие поиск решения задачи.

Как правило, применение индуктивного метода занимает небольшую часть времени в сравнении со всем временем, затраченным на поиск решения задачи. По этой причине от внимания многих учащихся «ускользает» польза применения индукции. Они не успевают заметить, что именно «натолкнуло» их на «догадку». Отсюда ясно, что при поиске решения задачи в классе желательно особо подчеркивать, выделять те моменты, когда индуктивный метод помогает обнаружить идею решения. Убеждаясь на опыте в пользе этого метода, учащиеся начинают все шире использовать его по своей инициативе.

Во многих случаях индуктивный метод желательно сочетать с переформулировкой задачи. Идею решения, возникшую при рассмотрении частных случаев, формулируем в виде промежуточной, вспомогательной задачи. Тем самым более четко оттеняется индуктивный метод и переформулировка задачи.

Рассмотрим сначала простейший пример, где индукция выступает незаметно.

Задача 1. Точки М, К, Е  лежат на сторонах треугольника АВС, АК – биссектриса угла А, МК ׀׀ АС, МЕ ׀׀ ВС. Доказать, что АМ = ЕС.

Чтобы доказать равенство отрезков АМ и ЕС, пытаемся заметить их такими отрезками, которые принадлежали бы одной фигуре. Рассматриваем чертеж. Из него видно, что отрезки ЕС и МК как будто равны (индуктивный метод). Если это удается доказать, тогда задачу можно будет свести к доказательству того, что АМ = МК. Докажем наше предположение.

Так как по условию противоположные стороны четырехугольника МКСЕ попарно параллельны, то он параллелограмм и, значит, ЕС = МК. Итак, наше предположение оправдалось, и теперь решение задачи действительно можно свести к доказательству равенства отрезков АМ и МК, которые принадлежат одной фигуре – треугольнику АМК.

В треугольнике АМК стороны АМ и МК будут равны, если равны лежащие против них углы 1 и 2. Это и остается доказать.

Переходим к данным задачи. Пытаемся получить следствия из тех данных, которые мы еще не использовали. Так как АК – биссектриса, то <1=<3.

Теперь вместо равенство углов 1 и 2 можно доказать, что <2=<3.

Вновь переходим к данным и замечаем, что эти углы действительно равны, так как они накрест лежащие при параллельных прямых МК и АС. Отсюда АМ = МК и АМ = ЕС.

Решение задач с практическим содержанием

К задачам с практическим содержанием (практическим задачам) относятся геометрические задачи на вычисление.

Решение всех этих задач подчиняется единой общей схеме, которую постепенно формирую у учащихся.

Схема состоит из следующих этапов:

1. Изучение задачи.

Осуществление структурного анализа задачи:

а) выделение объектов, входящих в задачу, и отношений между ними;

б) выделение величин, рассматриваемых в задаче;

в) установление отношений между величинами;

г) составление соотношений между величинами.

2.Составление плана решения задачи в общем виде.

3.Построение математической модели (составление уравнения или неравенства, применение готовых соотношений формул, тождеств и т.п.).

4.Решение задачи в рассматриваемой математической модели.

5.Проверка правильности моделирования, решения в рассматриваемой модели.

6.Исследование полученных решений в данной практической ситуации, получение окончательного ответа.

7.Поиск других способов решения задачи. Выделение рационального.

8.Описание решения задачи, выделение общей схемы решения.

9.Составление обратных задач, их решение.

10.Установление границ применения способа решения задачи (для задач с другим практическим содержанием и другими числовыми данными).

11.Составление обобщенной задачи, ее решение и исследование.

В минимально свернутом виде придерживаемся лишь этапов 1, 2, 3, 4, 6,. В нужный момент развертываем до полной схемы.

По способам поиска решения задачи следует выделить такие основные пути:

а) аналитический (составлением выражений, уравнений и неравенств и их решением);

б) матричный (составлением таблиц с двумя и тремя входами) для исследования ситуации;

в) графический (использованием рисунков и чертежей);

г) применение известных образцов (по аналогии или обобщению).

1.Зачада. 

Пусть, например, после ознакомления с теоремой Пифагора учащиеся решают задачу: «Найдите высоту дерева по данным, указанным на рисунке».

Условие задачи определяет два числовых данных: длину катета, являющегося основанием треугольника (а = 14 м), и величину угла, противолежащего этому катету (30°).

Изменяя заданную длину катета а, учитель выясняет, анализируя с классом ответы отдельных учащихся, что при этом ход решения задачи и этапы рассуждений не меняются. В общем виде решение дается записью:

При получении буквенных выражений ответа необходимо каждый раз обсуждать с учащимися, при каких значениях букв имеет смысл полученный результат. Например, очевиден ответ учащихся на этот вопрос при условии, что а < 0, а = 0. При положительных значениях а полученный результат имеет смысл, однако и здесь должны быть свои наименьшие и наибольшие значения. Так, наибольшие значения а, очевидно, определяются наибольшим значением искомой высоты дерева.

Совсем иное положение возникает при изменении другого числового данного — величины угла при вершине. В общем случае, когда эта величина произвольна, аналитический подход становится невозможным (если не применять тригонометрии). Учащиеся — при помощи наводящих вопросов и комментариев учителя — приходят к графическому способу построения данного треугольника (в определенном масштабе) и измерения искомого элемента.

После разбора этих задач целесообразно спросить учащихся: нет ли других, таких же «удобных» числовых данных величины угла при вершине, при которых становится возможным аналитический способ решения задачи. (Многие учащиеся самостоятельно находят ответ: 60° и 45°.)

Эти дополнительные вопросы, казалось бы, фиксируют внимание учащихся на частных случаях. Однако именно анализ частных случаев является зачастую основой для разбора соответствующих практических ситуаций. К примеру, в рассматриваемой, ситуации для учащихся становится ясной простота решения задачи при условии, что величина угла при вершине треугольника равна 45° (здесь искомая высота всегда равна длине данного катета). После этого можно сообщить, что именно такой треугольник чаще всего строится работниками лесного хозяйства, когда требуется определить высоту определенного дерева и предлагаю учащимся найти идею самодельного прибора (модели равнобедренного прямоугольного треугольника), с помощью которого можно быстро определять искомую высоту дерева: она равна расстоянию человека до основания дерева плюс высота человека.

При построении серии логически связанных друг с другом учебных заданий важно, какое из них явится первичным, исходным. При этом, учитывая интересы фронтальной работы, нередко приходится руководствоваться, прежде всего, соображениями доступности решения данной задачи, принципом «от простого к сложному».

Решение задач на построение

Задачи на построение занимают особое место в курсе геометрии. Во-первых, они позволяют моделировать те или иные практические ситуации, а во-вторых, устанавливают связь между геометрией и черчением, геометрией и рисованием. Кроме того, они обеспечивают хорошую подготовку к решению нестандартных задач, развивают логическое мышление.

Общая схема решения задач на построение известна. Она состоит из четырех этапов: анализа, построения, доказательства, исследования. Этой схемы придерживались еще в Древней Греции (IV—III вв. до н. э.).

Схема имеет свернутый характер.

Полная схема решения задачи на построение включает:

1. рассмотрение практической ситуации, например, связанной с разметкой изделий различной формы или с графическими работами (в черчении или рисовании);

2. формулировку задачи;

3. анализ задачи;

4. составление общего плана решения задачи (указание последовательности решаемых элементарных задач);

5. построение фигуры данными инструментами;

6. проверку правильности построения фигуры. Доказательство того, что построенная фигура искомая;

7. исследование обобщением задачи. В исследование входит поиск условий, при которых задача имеет решение, их количество в каждом из выделенных случаев. Запись условий, при которых задача имеет решение, осуществляется на алгебраическом языке (посредством составления соотношения между заданными элементами);

8. решение задачи для каждого из выделенных случаев при исследовании;

9. поиск других способов решения, выделение рационального;

10. составление других задач, решаемых данным методом. Рассмотрение обобщенных и аналогичных задач.

Задача.  Построить треугольник по основанию, прилежащему к нему углу и сумме длин двух других его сторон.

Р е ш е н и е. Пусть ∆АВС построен. Какие его элементы даны и какие из них непосредственно можно построить? Можно построить основание и прилежащий к нему угол. Как использовать сумму двух других его сторон? (Рис.  ). Многие учащиеся предлагают продолжить сторону АС за точку С и отложить СD = BC. Если соединить точки B и D, то получим ∆ABD, который можно построить по двум сторонам и углу между ними. Поможет ли он построить ∆АВС?  ∆ABD состоит из ∆АВС и ∆ВСD, причем ∆ВСD равнобедренный и одна из его вершин совпадает с точкой С – вершиной ∆АВС, который требуется построить. Но две его вершины А и В построены, - значит нужно построить вершину С. Будем строить вершину С в ∆ВСD. Известно, что ∆ВСD равнобедренный и ВD – его основание. Что нужно построить в ∆ВСD, чтобы на AD получить точку С? Очевидно, перпендикуляр к BD в его середине. Намечается последовательность построения. Приводим два рисунка: предварительный, для анализа (рис. 1), и построение (рис. 2); на этом рисунке выполняемые построения занумерованы в последовательном порядке, чтобы легче возобновить в памяти план решения.

Исследование задачи. Должны выполняться следующие условия:

а). <А меньше 180ْ

и сумма двух сторон должна быть больше основания; только при выполнении этих условий задача будет иметь решение. В этом случае в ∆ABD  <D< <B и перпендикуляр к отрезку BD в его середине пересечет сторону AD. Задача при этих условиях имеет одно решение.

Предлагаю учащимся сформулировать условие аналогичной задачи для построения прямоугольного треугольника. В этом случае достаточно задать катет и сумму длин другого катета  и гипотенузы. Ее решение предлагаю в качестве домашней работы.

Опыт показывает, что решение задач на построение в соответствии с указанной схемой формирует умение анализировать, синтезировать, обобщать, доказывать, строить алгоритмы операций, выполняемых данными инструментами, проводить исследование, искать рациональные способы и т.п. Поэтому они и впредь занимают и будут занимать важное место в математическом образовании.

Решение задач с помощью уравнений.

Методика работы над решением задач (исходя из моего опыта) состоит из следующих этапов:

1). прочтение условия задачи и выделение величин, о которых говорится в условии;

2).установление зависимости между величинами условия задачи;

3).выбор и обозначение неизвестных, исходя из вопроса задачи (или иногда вспомогательных величин);

4).перевод условия задачи на язык алгебры, т.е выражение значений всех величин через введенные неизвестные и числовые данные условия;

5).выделение в условии значения какой-либо величины, при помощи которой можно составить уравнение, составление уравнения;

6).решение  уравнения;

7).проверка найденных значений и запись ответа.

Естественно, что при решении задач сначала рассматриваются более простые, т.е. те из них, которые сводятся к уравнению вида F(x) = a, а затем  - задачи, решение которых сводится к уравнению вида F1(x)= F2(x), и далее задачи, для решения которых приходится, разбивая условие задачи на составные части, находить значения некоторых вспомогательных величин и только после этого искать ответ на основной вопрос задачи. Задачи последнего вида требуют более глубокого анализа и догадки для их решения. Сюда, в частности, относятся задачи на составление систем уравнений с несколькими неизвестными.

Рассмотрим несколько примеров решения задач на составление уравнений.

Задача 1. Летящий навстречу стае гусь спрашивает вожака: «Сколько гусей в стае?». Вожак отвечает: «Если бы нас было столько, да еще столько, да полстолько, да четверть столько, да ты, гусь, с нами, то всего было бы 100». Сколько гусей в стае?

После прочтения условия вводится неизвестное число:

Х - число гусей в стае;

Далее условие задачи переводится на язык алгебры с соответствующими записями:

- если бы нас было столь – х гусей,

- да еще столько – х,

- да еще полстолько – ½ х,

- да еще четверть столько – ¼ х,

- да ты гусь – 1,

- то всего было бы – 100.

Таким образом, с помощью данного в условии числа 100можно составить уравнение:  х + х + ½ х + ¼ х +1 = 100; решая его, получим: х = 36. Проверка условия приводит к тождеству 100 = 100. Ответ: в стае 36 гусей.

Задача2. На обработку детали рабочий затрачивает на 7 мин времени меньше ученика. Сколько деталей каждый из них обрабатывает за 4 ч, если за это время рабочий обработал на 28 деталей больше ученика?

Сначала выясняем, о каких величинах говорится в условии: время выполнения работы, время обработки одной детали и разность времени обработки деталей рабочим и учеником. Затем выясняем зависимость между величинами: число деталей, обработанных каждым, равно частному от деления рабочего времени на время обработки одной детали. Вводим неизвестное: пусть ученик обработал х деталей, тогда рабочий обработал (х+28) деталей. Каждый работал 4 ч = 240 мин и на обработку одной детали затратил: рабочий -  240/(х+28) минут, а ученик – 240/х  минут. Составим уравнение:

240/х – 240/(х+28) = 7. Решая его, получим уравнение: 7х2 + 7∙28х = 240∙28, деля все члены на 7, получим более простое уравнение: х2 + 28х – 960  = 0, из которого находим х1 = 20. Число х2 отрицательное и не является реальным для задачи. Таким образом, ученик обработал 20 деталей, а рабочий – 48 деталей. Проверяем решение по условию: ученик тратит на обработку детали 240: 20 = 12 (мин), рабочий – 240: 48 = 5 (мин), 12 – 5 = 7 (мин). Задача решена верно.

Эту задачу можно решить другим способом, показав учащимся табличный способ записи условия задачи и вводя неизвестное – время, затрачиваемое рабочим на обработку одной детали. Пусть оно равно х минут, тогда ученик затратит на каждую деталь (х + 7) минут. Запишем в виде таблицы условие задачи согласно проведенному анализу условия:

Рабочий

Ученик

Время на обработку 1 детали

Х минут

Х + 7 минут

Общее время работы

240 мин

240 мин

Число обработанных деталей

240/х

240/(х+7)

В условии осталось неиспользованным число 28 (деталей). С его помощью составим уравнение: 240/х – 240/(х+7) = 28.

При решении задач с помощью уравнений ориентирую учащихся на применение табличного способа записи условия задачи: это упорядочивает ход их мыслей. После выяснения величин, о которых говорится в условии задачи, выписываем эти величины и,  введя обозначение, производим запись значений рассматриваемых величин, переводя условие задачи на язык алгебры. Также приучаю учащихся к наибольшему упрощению составленных уравнений, чтобы облегчить вычисления.

ЛИТЕРАТУРА:

1.Г.Н.Яковлева Геометрия: теория ее использования для решения задач.

“Математика в школе”, 1985 г.

2. С.И. Демидова. Самостоятельная деятельность учащихся при обучении математики (формирование умений самостоятельной работы).

3. Е.Смирнова, И.Шарыгин Геометрия - витамин для мозга. 7-9 классы; приложение “Первое сентября”, №10, 2004 г.

4. П.В. Стратилапов. О системе работы учителя математики.

М. «Просвещение», 1984 г.

5.Болтянский В.Г., Груденов Я.И. Как учить поиску решения задач “Математика в школе”, №1  1988 г.

8. Зильберберг Н.И. Формы работы учителя Р.Г. Хазанкина

“Математика в школе”, №2  1986 г.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48799. Зеркальная антенна 895.5 KB
  Расчёт геометрических параметров зеркала и облучателя. Широко используются зеркала с параболической формой поверхности параболоид вращения усечённый параболоид вращения параболический цилиндр также распространены сферические зеркальные антенны двухзеркальные антенны.Расчёт геометрических параметров зеркала и облучателя. Форма излучающей поверхности и профиль зеркала выбирается исходя из назначения антенны и требований предъявляемых к ее электрическим характеристикам.
48800. Будівництво міжміської волокно-оптичної лінії Тернопіль -- Новоград-Волинський 515.5 KB
  Використовуючи коефіцієнти заломлення розраховуємо відношення коефіцієнтів заломлення по формулі: Згасання розсіювання розраховується по формулі дБ км: Згасання на поглинання розраховується по формулі дБ км: Згасання на поглинання в інфрачервоному спектрі...
48803. Расчет тепловой схемы комбинированных парогазовых установок 1.88 MB
  Указанные особенности позволяют существенно повысить КПД производства электроэнергии путем объединения в одной парогазовой установке (ПГУ) высокотемпературного подвода в ГТУ и низкотемпературного отвода тепла в конденсаторе паровой турбины