4759

Линейное программирование. Сведения из теории

Контрольная

Информатика, кибернетика и программирование

Математическое программирование представляет собой математическую дисциплину, занимающуюся изучением экстремальных задач и методов их решения. В общем случае постановка задачи математического программирования состоит в нахождении наибольшего...

Русский

2012-11-25

436.5 KB

12 чел.

Введение

Математическое программирование представляет собой математическую дисциплину, занимающуюся изучением экстремальных задач и методов их решения. В общем случае постановка задачи математического программирования состоит в нахождении наибольшего или наименьшего (экстремального) значения функции , при условиях , где  и  заданные функции, а - заданные действительные числа.  Функция  называется целевой функцией, а система неравенств   называется системой ограничений.

Если  и  линейные функции, то соответствующая задача математического программирования называется задачей линейного программирования (ЗЛП).

Основная задача линейного программирования и ее свойства

Основной (канонической) задачей линейного программирования называется задача состоящая в нахождении неотрицательного решения системы  уравнений с  неизвестными (система ограничений)

                                                                                   (1)

при котором целевая функция             (2)     принимает максимальное      

значение. Из алгебры известно, что система линейных уравнений имеет решение, если ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, т.е.  .

Если к тому же , то система имеет единственное решение, и, если это решение является допустимым, то оно и является оптимальным.  Если , то система имеет бесчисленное множество решений. В этом случае  неизвестных объявляются свободными (им придают произвольные значения), а остальные  неизвестных выражаются через свободные.

Любое неотрицательное решение системы ограничений называется допустимым решением или допустимым планом. План  при котором целевая функция  принимает максимальное значение называется оптимальным планом.

Переменные входящие только в одно уравнение системы с коэффициентом +1 называется базисным.

Допустимое решение  при котором свободные переменные равны нулю, а базисные переменные неотрицательны, называется опорным базисным решением.

Множество решений задачи линейного программирования, если оно не пусто, является выпуклым множеством, то есть образует выпуклый многогранник. Каждая вершина этого многогранника определяет опорный план.

Графический метод решения ЗЛП

Если целевая функция и система ограничений являются функциями только двух переменных, то ЗЛП можно решить графическим или геометрическим методом. При этом методе поступают следующим образом:

  1.  Строят область допустимых решений (О.Д.Р.), т. е. область решений системы ограничений.
  2.  Строят линии уровня целевой функции .
  3.  Строят вектор градиента целевой функции , т.е. , указывающий направление наискорейшего возрастания целевой функции.
  4.  Передвигают линии уровня в направлении вектора , находят точки области допустимых решений через которые проходят линии наивысшего и наинизшего уровней.
  5.  Вычисляя значения функции  в этих точках, находят  и .

Рассмотрим пример. Среди всех неотрицательных решений системы  неравенств

       

найти такое, при котором целевая функция  принимает максимальное значение.

 Решение

 1. Так как все неравенства в системе ограничений и целевая функция являются линейными, то данная задача является задачей линейного программирования. Решим ее графическим методом. Построим область допустимых решений. Для этого построим область решения каждого из неравенств. Заменяя знаки неравенств на знаки точных равенств, строим соответствующие прямые. Каждая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Для одной из них выполняется знак , для другой . Чтобы определить знак неравенства для полуплоскости, из нее берется какая-то точка (контрольная) и ее координаты подставляем в соответствующее неравенство: ;    ,   ;    ,     .    Возьмем контрольную точку О(0; 0) и подставим ее в неравенство . Получим , неравенство справедливо и, следовательно, полуплоскость определяемая этим неравенством содержит точку О(0;0). Отметим эту полуплоскость. Аналогично находим области решения второго и третьего неравенств. ,   ,  ;   ,    .    ,  ,   ;     ,    . Объединяя области решений этих трех неравенств, видим, что областью допустимых решений является многоугольник OABCD.

2. Построим линии уровня целевой функции . Положим . Соответствующая линия уровня будет: .  Пусть ,  и ,

.

3. Из начала координат построим вектор , указывающий направление наискорейшего возрастания функции .

4. Передвигая линии уровня целевой функции в направлении вектора , видим, что максимальное значение функция  принимает в точке . Найдем координаты этой точки из решения системы уравнений: ,     ;     ,  ,   .

5. Подставим координаты точки  в целевую функцию:

   

Развернутый симплексный метод

Суть этого метода состоит в переходе от одного опорного решения к другому при условии, что значение целевой функции при этом будет увеличиваться. Идею этого метода рассмотрим на примере решения предыдущей задачи:

            

Решение. Перейдем к основной задаче линейного программирования путем введения дополнительных неотрицательных переменных , то есть от системы ограничений вида неравенств перейдем к системе ограничений вида равенств.

          

Ранг матрицы системы уравнений равен рангу ее расширенной матрицы и равен 3, следовательно, система имеет множество решений. Число свободных переменных равно . Пусть это будут  и . Переменные  - базисные. Выразим базисные переменные через свободные: .   Придавая свободным переменным нулевые значения, получим первое опорное решение: , .  Так как коэффициенты при неизвестных   и  в целевой функции положительны, то значения ее можно увеличить за счет увеличения значений переменных  и . Так как коэффициент при  больше, то будем увеличивать значение  за счет увеличения . Сделаем переменную  базисной переменной. Из выражения для  видим, что  можно увеличивать до 120; из выражения для  видим, что  можно увеличивать до 200; из выражения  для  видим, что  можно увеличивать до . Сравнивая эти значения, выбираем наименьшее из них: , иначе переменные ,  могут стать отрицательными. Это значение соответствует базисной переменной  и ее определим свободной. , . Подставляя это значение в выражения для ,  и , получим:  

                                                                             ,  .

Придавая свободным переменным  и  нулевые значения, получим опорное решение .

Так как коэффициент при  в целевой функции  положителен, то ее значение можно увеличивать за счет увеличения переменной   и ее определим базисной.  Для определения свободной переменной найдем =30.

Оно соответствует базисной переменной  и ее определим свободной. ;      . Подставим это в выражения для ,  и .          .

Придавая свободным переменным  и  нулевые значения, получим опорное решение: ,     .

Так как коэффициенты при неизвестных в целевой функции  отрицательны, то дальнейшее увеличение целевой функции невозможно. Итак, ,  .

Симплексный метод

Симплексный метод решения ЗЛП состоит в переходе от одного опорного решения к другому,  при котором значение целевой функции возрастает при условии, что данная задача имеет оптимальный план. Этот переход возможен, если известен какой-то исходный опорный план. Пусть требуется найти максимум функции  при условиях

     

Здесь - заданные числа, причем  и .

Запишем эту задачу в векторной форме. Найти  при условиях , где ,  ,   - скалярное произведение,  и   -  - мерные векторы-столбцы, составленные из коэффициентов при неизвестных и свободных членов.

;  ;  …..  ;   ;   …..;    ; .

Данная задача имеет невырожденный опорный план . Система векторов  имеет ровно  единичных векторов , которые образуют базис. Любой вектор  может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации базисных векторов. Сформулируем признак оптимальности опорного плана. Положим ,  .

Теорема 1. Опорный план  является оптимальным планом ЗЛП, если .   

Теорема 2. Если существует  для некоторого , но среди чисел  нет положительных, то целевая функция не ограничена на множестве ее планов.

Теорема 3. Если опорный план  не вырожден и существует , но среди чисел  есть положительные, то существует опорный план  такой, что .

Эти  теоремы позволяют проверять опорный план на оптимальность. Симплексный метод дает алгоритм перехода от одного опорного плана к другому. Рассмотрим алгоритм табличного симплекс-метода. Пусть среди  есть отрицательные. Выбираем из них наименьшее. Пусть это будет . Тогда вектор будем вводить в базис. Столбец соответствующий этому вектору называется направляющим. Для выбора вектора выводимого из базиса находим  для . Пусть это  соответствует , следовательно, вектор  будем выводить из базиса. Строка соответствующая вектору  называется направляющей, а элемент  стоящий на пересечении направляющего столбца и направляющей строки называется разрешающим. Заполнение следующей таблицы начинаем с заполнения направляющей строки путем деления всех ее элементов на разрешающий. Остальные элементы таблицы рассчитываются по формулам Жордана-Гаусса:

,    ,  

      ;      .

Этот процесс продолжается до тех пор, пока среди  не останется отрицательных. Рассмотрим алгоритм табличного симплекс-метода на примере решения предыдущей задачи.

Пусть требуется найти максимум функции  при ограничениях:        . Запишем систему ограничений в векторной форме: , где

векторы:  ;  ;     ; ;  ;  .

Среди системы векторов есть ровно три единичных вектора , которые образуют базис. Задача имеет невырожденный опорный план и ее можно решить табличным симплекс-методом. Составим симплекс-таблицы:

табл.

i

базис

14

10

0

0

0

I

1

2

3

P3

P4

P5

0

0

0

120

200

240

1

1

3

2

4

2

1

0

0

0

1

0

0

0

1

200/1=200

240/3=80

m+1

0

-14

-10

0

0

0

II

1

2

3

P3

P4

P1

0

0

14

40

120

80

0

0

1

4/3

10/3

2/3

1

0

0

0

1

0

-1/3

-1/3

1/3

30

36

120

m+1

1120

0

-2/3

0

0

14/3

III

1

2

3

P2

P4

P1

14

0

10

30

20

60

0

0

1

1

0

0

3/4

-5/2

-1/2

0

1

0

-1/4

1/2

1/2

m+1

1140

0

0

1/2

0

9/2

 

Поясним заполнение симплекс-таблиц. Таблица I. В - строке в столбце  записываем скалярное произведение . В остальных столбцах этой строки записываем , .   ,    и т.д.

Для определения вектора вводимого в базис просматриваем - ю строку. В качестве вектора вводимого в базис можно взять любой вектор, для которого . В нашем примере возьмем вектор Р1 так как он соответствует наименьшему . Столбец, соответствующий вектору Р1 является направляющим.

Для определения вектора выводимого из базиса находим . Это значение соответствует вектору Р5, и его будем вывод из базиса. Эта строка является направляющей. Элемент  является разрешающим элементом. Заполнение таблицы II начинается с заполнения направляющей строки делением всех ее элементов на . Остальные элементы таблицы II вычисляются по формулам Жордана-Гаусса.

Например,  ,    и т.д.

В таблице II в -ой строке, есть отрицательное . Это . Оно соответствует вектору Р2 и этот вектор будем вводить в базис.   соответствует базисному вектору Р3 и его будем выводить из базиса. Элемент является разрешающим. Перерасчет элементов таблицы III осуществляется как и раньше.  В таблице III в -ой строке среди  нет отрицательных, следовательно, получен оптимальный план: ,   =1140.

Покажем соответствие опорных решений и вершин области допустимых решений. Опорное решение  соответствует точке  ОДР (области допустимых решений). Опорное решение  соответствует точке . Опорное (оптимальное) решение  соответствует точке  ОДР.

 

Симплексный метод с искусственным базисом

Мы рассмотрели симплексный метод для основной задачи линейного программирования у которой среди  векторов было ровно  единичных векторов. Но во многих ЗЛП записанных в форме основной задачи не всегда есть  единичных векторов. В этом случае удобно применять метод искусственного базиса. Пусть требуется найти максимум функции

    при условиях    

, ,

Среди векторов , , ….,  нет  единичных векторов.

Назовем эту задачу исходной.

Определение. Задача состоящая в нахождении максимума функции

 при условиях

        и М – некоторое большое положительное число называется расширенной задачей по отношению к исходной задаче. Расширенная задача имеет опорный план  Система векторов . , ….,  имеет ровно  единичных векторов ; , …..,  , которые образуют базис  -мерного пространства. Этот базис называется искусственным базисом.  Переменные называются искусственными. Решение расширенной задачи можно найти симплексным методом. Связь между оптимальными планами исходной и расширенной задач устанавливается следующей теоремой.

Теорема. Если в оптимальном плане расширенной задачи  значения всех искусственных переменных равны нулю, т.е.  , то план  является оптимальным планом исходной задачи.

Решая расширенную задачу симплексным методом,  значения  и  будут состоять из двух слагаемых, одно из которых содержит , а другое не содержит его. Поэтому для удобства расчетов члены не содержащие записываем в -ю строку, а содержащие  в -ю строку. При переходе от одного опорного решения к другому в базис вводится вектор соответствующий наименьшему отрицательному числу в -ой строке. Искусственный вектор исключенный из базиса можно дальше не рассматривать, но если решается двойственная задача, то все искусственные векторы надо сохранять до последней итерации. Итерационный процесс по -ой строке ведут до тех пор пока:

  1.  все искусственные векторы не будут исключены из базиса,
  2.  не все искусственные векторы исключены из базиса, но в -ой строке нет отрицательных элементов в столбцах векторов .

В первом случае решение продолжается по -ой строке как и раньше.

Во втором случае, если в -ой строке элемент стоящий в столбце  отрицателен, то исходная задача не имеет решения, а если он равен нулю, то найденный опорный план исходной задачи вырожден и базис содержит по крайней мере  один из искусственных векторов. Полученный опорный план в общем случае не является оптимальным.

При последующих итерациях в базис вводится вектор стоящий над нулевым элементом -ой строки. Этот процесс продолжается до тех пор пока в -ой строке над нулевыми элементами -ой строки не останется отрицательных.

Пример. 

                 

Решение. Перейдем к основной ЗЛП, введя дополнительные переменные .

                          

                           

Запишем систему ограничений в векторной форме:

,

Здесь     ; ; ; ; ; .

Видим, что система векторов имеет только один единичный вектор . Поэтому надо ввести два искусственных вектора  и .  Расширенная задача имеет вид:

     ,   .     Решим расширенную задачу табличным методом:

табл.

 i

базис

14

10

0

0

0

I

 1

2

 3

P4

P6

P7

0

6

6

4

-1

1

2

4

1

-1

-2

2

2

1

0

0

0

-1

0

0

1

0

0

0

1

-

3

2

4

0

-1

-2

1

0

0

0

0

5

-10

-3

0

-4

0

1

0

0

II

1

2

3

P4

P6

P3

0

-1

10

2

2

1

-1

1

3

2

-1/2

0

0

1

1

0

0

0

-1

0

0

1

0

10/3

1

-

 4

-2

-2

-3/2

0

0

0

0

 5

-2

1

-2

0

0

1

0

III

1

2

3

P4

P2

P3

0

2

-1

7

1

5/2

5/2

-1/2

3/4

0

1

0

0

0

1

1

0

0

3/2

-1/2

-1/4

14/5

-

10/3

4

-1/2

-11/4

0

0

0

-3/4

IV

1

2

3

P1

P2 

P3

1

2

-1

14/5

12/5

2/5

1

0

0

0

1

0

0

0

1

2/5

1/5

-3/10

3/5

-1/5

-7/10

4

7,2

0

0

0

11/10

9/10

 

Так как среди  в последней таблице нет отрицательных, то получен оптимальный план расширенной задачи ,    .

Поскольку в этом плане все искусственные переменные равны нулю, то план  является оптимальным планом исходной задачи. Итак, , .

Двойственные задачи линейного программирования

Каждой ЗЛП можно определенным образом сопоставить некоторую другую ЗЛП называемую двойственной или сопряженной по отношению к исходной или прямой задаче. Обычно двойственные задачи подразделяются на симметричные и несимметричные. Рассмотрим двойственные симметричные задачи.

Исходная (прямая) задача. Найти максимальное значение функции  

                                          

при условиях       

Соответствующая двойственная ЗЛП состоит в нахождении минимального значения функции

при условиях       

Деление пары задач на исходную и двойственную условно, т.е. задача нахождения минимального значения функции  может считаться исходной, а задача нахождения максимального значения функции  считаться двойственной.

Замечание. Для пары двойственных симметричных задач обязательно требование неотрицательности переменных  и .

Пример. Составить двойственную задачу к заданной.

Исходная задача: найти максимальное значение функции . При условиях: ,    

Решение. Двойственная задача: найти минимальное значение функции  при условиях: ,       .

Дадим определение двойственной задачи к общей задаче линейного программирования.

Исходная задача. Требуется найти максимальное значение функции   при условиях:          

Двойственная задача. Найти минимальное значение функции  при условиях:                       

Выпишем основные правила составления двойственной задачи.

  1.  Если целевая функция исходной задачи исследуется на максимум, то целевая функция двойственной задачи исследуется на минимум и наоборот.
  2.  Если  матрица из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений исходной задачи, то матрицей из коэффициентов при неизвестных двойственной задачи являются ей транспонированная матрица .
  3.  Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений в исходной задаче, а число ограничений в двойственной задаче равно числу переменных в исходной задаче.
  4.  Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи, а свободными членами в системе ограничений двойственной задачи являются коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи.
  5.  Если переменная  исходной задачи неотрицательна, то ое условие в системе ограничений двойственной задачи есть неравенство вида , если целевая функция исследуется на минимум или , если целевая функция исследуется на максимум, а если  принимает любые значения, то  ое условие есть равенство. Аналогично, если ое условие в системе ограничений исходной задачи есть неравенство, то , а если ое условие – равенство, то  может принимать любые значения.

Пример. Исходная задача: 

                                            .

     Двойственная задача: 

                                               .

Каждой из пары двойственных задач являются самостоятельными ЗЛП и могут решаться независимо одна от другой. Однако, их решения связаны между собой и, зная оптимальное решение одной из них, можно указать оптимальное решение другой. Связь между решениями прямой и двойственной задач устанавливается двумя теоремами двойственности.

Теорема 1. Если одна из пары двойственных задач имеет оптимальный план , то и вторая имеет оптимальный план , причем . Если же целевая функция одной из задач неограниченна, то другая вообще не имеет планов.

Теорема 2. План  исходной задачи и план  являются оптимальными планами тогда и только тогда, когда для любого  выполняется равенство:  .

То есть всякий раз, когда ое ограничение двойственной задачи при подстановке оптимального плана обращается в строгое неравенство,  ая переменная исходной задачи равна нулю. Если ая переменная двойственной задачи положительна, то ое ограничение исходной задачи есть строгое равенство.

Рассмотрим применение этой теоремы на примере решения задачи 1.

Исходная задача:

                              

                              

Двойственная задача:

                                

                              .

Ранее было найдено оптимальное решение ,   .

При подстановке этого решения в систему ограничений исходной задачи видим, что второе ограничение обращается в строгое неравенство  следовательно, двойственная переменная . Так как  и  положительны, то первое и второе ограничения двойственной задачи есть строгие равенства: .

А так как , то имеем систему уравнений . Решая эту систему, получим: ,       . Таким образом, оптимальный план двойственной задачи будет . . Видим, что

Замечание. Решение двойственной задачи можно найти также исходя из решения исходной задачи табличным симплексным методом.

Справедлива теорема: Пусть симплексным методом найден оптимальный план исходной задачи и этот план определяется базисом: , где  - номер последней симплекс-таблицы. И пусть  - вектор-строка из коэффициентов при неизвестных целевой функции, соответствующая этому базису. Тогда оптимальный план двойственной задачи будет  , где матрица  - матрица обратная матрице , составленной из компонент векторов  взятых из первой симплекс-таблицы.

Так в задаче 1 оптимальный план  определяется базисом . Матрица . Ей обратная матрица .    Вектор-строка . Тогда оптимальный план =  = .        ,        .

Задания к расчетно-графической работе

(индивидуальному домашнему заданию)

Задача о выпуске продукции  при ограниченных  ресурсах

      Мебельная фабрика выпускает два вида изделий: шкафы и столы. В производстве применяется оборудование трех типов: фрезерные, сверлильные и шлифовальные станки. Нормы времени работы каждого вида оборудования в час, необходимые для изготовления одного изделия каждого вида, а также ресурсы рабочего времени для каждого вида оборудования известны и приведены в таблице.

Изделие

Станки

фрезерные

сверлильные

шлифов.

шкаф

а1

а2

а3

стол

b1

b2

b3

Ресурс  времени

Т1

Т2

Т3

            

Фабрика получает прибыль от изготовления одного шкафа в размере с1 руб. и одного стола – в размере с2 руб. Требуется определить план выпуска изделий каждого вида, при котором время работы оборудования не превышало бы допустимого ресурса и была получена наибольшая общая прибыль. Исходные данные выбрать из таблицы.

Методические указания

    Для решения задачи необходимо выполнить следующие пункты:

  1.  Составить математическую модель задачи.
  2.   Решить полученную задачу линейного программирования графически.
  3.   Решить полученную задачу симплексным методом. Показать соответствие опорных решений и вершин допустимой области.
  4.  Решить составленную задачу на ЭВМ путем обращения к программе симплексного метода.

 

Параметры

Варианты

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

a1

5

3

3

3

5

1

1

3

3

3

3

2

2

3

1

a2

4

5

1

3

4

2

4

3

2

5

1

5

1

2

3

a3

5

4

4

3

4

1

5

2

1

1

2

3

5

2

3

b1

2

4

4

2

2

4

2

3

3

4

5

4

5

5

3

b2

1

4

1

4

1

4

1

4

4

4

3

5

2

3

3

b3

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

4

0

0

T1

258

228

223

180

220

147

94

147

165

192

238

168

210

273

104

T2

186

284

62

258

158

170

159

170

166

256

118

280

91

171

174

T3

205

126

153

174

153

28

190

82

54

47

123

146

371

119

145

c1

8

7

5

5

11

11

9

12

6

10

10

9

7

9

7

c2

3

7

6

5

3

40

16

14

7

9

27

12

16

14

15

Параметры

Варианты

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

a1

4

4

2

1

4

3

2

4

3

3

1

3

1

5

2

a2

3

5

4

4

5

2

5

4

3

2

2

4

1

3

3

a3

3

4

3

3

5

1

1

4

5

4

1

1

1

4

1

b1

2

5

3

5

4

3

3

4

2

3

2

4

1

2

2

b2

5

5

5

2

2

1

1

3

4

4

3

5

2

4

1

b3

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

T1

166

250

163

170

168

159

151

268

176

150

77

199

55

191

90

T2

247

275

293

140

147

81

163

236

244

152

129

254

87

179

95

T3

91

171

197

70

135

30

29

161

284

150

63

24

47

148

30

c1

14

5

9

6

10

7

9

13

5

10

10

14

12

10

14

c2

11

6

12

23

8

5

5

12

4

11

18

18

23

11

6


Список литературы

Основная литература

  1.  Красс М.С., Чупырков Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании.  - М: Дело, 2001.
  2.  Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М:  - ЮНИТИ, 2002.
  3.  Исследование операций в экономике. /Под ред. Н.Ш. Кремера. -  М: ЮНИТИ, 1997.
  4.  Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении. - М: Дело, 2002.
  5.  Мажукин В.И., Короева О.П. Математическое моделирование в экономике. В 2-ч частях. - М: Флипта-МосГУ, 2004.
  6.  Шелобаев С.И. Экономико-математические методы и модели. – М: ЮНИТИ-ДАМА, 2005.

Дополнительная литература

  1.  Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова А.Н. Высшая математика в упражнениях и задачах, т.1, М: Высшая школа – 2003, 304с.
  2.  Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова А.Н. Высшая математика в упражнениях и задачах, т.2, М: Высшая школа – 2003, 415с.
  3.  Экономико-математические методы и прикладные модели./Под ред. Фдосеева В.В. – М: ЮНИТИ, 2001.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6427. Печатная электроника для дешевых электронных систем. Состояние технологии и развитие оборудования. 21.59 KB
  Печатная электроника для дешевых электронных систем. Состояние технологии и развитие оборудования. Аннотация. В последние годы печать стала сильно интересна как метод получения дешевых и массовых электронных систем. Печать допускает использование це...
6428. РЕАБИЛИТАЦИЯ ЖЕРТВ ПРЕСТУПЛЕНИЙ КАК ПРАВОВАЯ ПРОБЛЕМА 22.21 KB
  Статья посвящена анализу правового института реабилитации в уголовном процессе Российской Федерации, а также кругу участников судопроизводства, которые, по мнению автора, должны обладать правом н...
6429. Зигмунд Фрейд. Влечения и их судьба 116 KB
  З. Фрейд. Влечения и их судьба Нам часто приходилось слышать, что наука должна строиться на основании ясных и точно определенных исходных положений. В действительности никакая, даже самая точная, наука не начинает с таких определений. Настоящее нача...
6430. Проблема обучения и умственного развития в школьном возрасте 118.5 KB
  Проблема обучения и умственного развития в школьном возрасте Вопрос об отношении обучения и развития ребенка в школьном возрасте представляет собой самый центральный и основной вопрос, без которого проблемы педагогической психологии и педагогическог...
6431. Манипулятивные технологии в системе массовых коммуникаций 167.5 KB
  Манипулятивные технологии в системе массовых коммуникаций. Введение. Определение манипуляции. Признаки манипуляции. Психология манипуляции. Манипуляция на уровне психических процессов. Манипуляция на уровне психологиче...
6432. Проверка гипотезы совпадения экспериментального закона с теоретическим по критерию Колмогорова 25.47 KB
  Проверка гипотезы совпадения экспериментального закона с теоретическим по критерию Колмогорова Этапы задания и результаты их реализации. Задание 1. Разобраться в теоретическом материале Задание 2. Проверить с помощью критерия Колмогорова, подч...
6433. Новейшая история стран Латинской Америки 2.19 MB
  Предисловие Проблемы новейшей истории стран Латинской Америки занимают видное место в отечественной исторической науке. Начиная с 50-х годов было опубликовано много работ по тем или иным вопросам истории региона и отдельных латиноамерикански...
6434. Американская стратегия для ХХI века 152 KB
  Введение Всегда непредсказуемая, мировая история сделала в 1990-е годы нашего века удивительный поворот. После полустолетия биполярного противостояния мир потерял прежнее равновесие и новую систему международных отношений возглавили Соединенные Штат...
6435. Исламская экономика: универсальная теория развития или одна из моделей третьего пути 151.5 KB
  Исламская экономика: универсальная теория развития или одна из моделей третьего пути? Статья посвящена различным теориям развития в мусульманском мире во второй половине XX - начале XXI в., среди них - арабский социализм, исламский социали...