4768

Метод искусственного базиса. Понятие двойственной задачи линейного программирования

Контрольная

Информатика, кибернетика и программирование

Метод искусственного базиса М -задача. Для многих задач линейного программирования, записанных в форме основной задачи и имеющих опорные планы, среди векторов Pj не всегда есть m единичных. Рассмотрим такую задачу. Пусть требуется найти максимум...

Русский

2012-11-26

69 KB

100 чел.

Метод искусственного базиса (М-задача).

Для многих задач линейного программирования, записанных в форме основной задачи и имеющих опорные планы, среди векторов Pj не всегда есть m единичных.

Рассмотрим такую задачу:

Пусть требуется найти максимум функции

F = c1x1 + c2x2 + ……+ cnxn    (1)

при условиях

………………………………………     (2)

где bi  0 (i=l, m), m<.n и среди векторов P1, P2, …, Pn нет m единичных.

Определение. Задача, состоящая в определении максимального значения функции

F = c1x1 + c2x2 + ……+ cnxn xn+1- …- Мxn+m   (3)

при условиях

………………………………………      (4)

где M — некоторое достаточно большое положительное число, конкретное значение которого обычно не задается, называется расширенной задачей (М-задачей) по отношению к задаче (1) — (2).

Расширенная задача имеет опорный план

Х=(0; 0; ...; 0; b1; b2; ...;bm).

определяемых системой единичных векторов Pn+1; Рп+2, … Рп+т, образующих базис m-ro векторного пространства, который называется искусственным. Сами векторы, так же как и переменные xn+i (i=l, m), называются искусственными. Так как расширенная задача имеет опорный план, то ее решение может быть найдено симплексным методом.

Теорема Если в оптимальном плане X*=(x*1, x*2, ...; x*n, x*n+1; ...; x*n+m) расширенной задачи (3) — (4) значения искусственных переменных x*n+i=0 (i=1, m), то X*=(x*1, x*2, ...; x*n) является оптимальным планом задачи (1) — (2).

Таким образом, если в найденном оптимальном плане расширенной задачи, значения искусственных переменных равны нулю, то тем самым получен оптимальный план исходной задачи.

Значения индексной строки ∆0, ∆1, …, ∆n состоят из двух частей, одна из которых зависит от M, а другая — нет. Заполняют симплекс - таблицу, которая содержит на одну строку больше, чем обычная симплексная таблица. При этом в (m+2)-ю строку помещают коэффициенты при M, а в (m+1)-ю – слагаемые, не содержащие M. При переходе от одного опорного плана к другому в базис вводят вектор, соответствующий наибольшему по абсолютной величине отрицательному числу (m+2)-й строки. Искусственный вектор, исключенный из базиса, в следующую симплекс-таблицу не записывают. Пересчет симплекс-таблиц при переходе от одного опорного плана к другому производят по общим правилам симплексного метода.

Итерационный процесс по (m+2) -и строке ведут до тех пор, пока:

  1.  либо все искусственные векторы не будут исключены из базиса;
  2.  либо не все искусственные векторы исключены, но (m+2)-я строка не содержит больше отрицательных элементов в индексах ∆1, …, ∆n.

В первом случае базис отвечает некоторому опорному плану исходной задачи и определение ее оптимального плана продолжают по (m+1)-й строке.

Во втором случае, если значение ∆0 отрицательное, исходная задача не имеет решения; если же ∆0=0, то найденный опорный план исходной задачи является вырожденным и базис содержит по крайней мере один из векторов искусственного базиса.

Этапы нахождения решения задачи (1) — (2)

методом искусственного базиса:

  1.  Составляют расширенную задачу (3) — (4).
  2.  Находят опорный план расширенной задачи.
  3.  С помощью обычных вычислений симплекс-метода исключают искусственные переменные из базиса. В результате либо находят опорный план исходной задачи (1) — (2), либо устанавливают ее неразрешимость.
  4.  Используя найденный опорный план задачи (1) — (2), либо находят симплекс-методом оптимальный план исходной задачи, либо устанавливают ее неразрешимость.

Пример. 

Найти минимум функции F= - 2x1 + 3x2 - 6x3 - x4

при ограничениях:

2x1+x2-2x3+x4=24

x1+2x2+4x3≤22

x1-x2+2x3≥10

xi≥0, i=1,4

Решение.

Запишем данную задачу в форме основной задачи: найти максимум функции F=  2x1 - 3x2 + 6x3 + x4

при ограничениях:

2x1+x2-2x3+x4=24

x1+2x2+4x3+x5=22

x1-x2+2x3- x6=10

xi≥0, i=1, 6

В системе уравнений последней задачи рассмотрим векторы из коэффициентов при неизвестных:

Среди векторов P1, Р2,P6 только два единичных (P4 и P5). Поэтому в левую часть третьего уравнения системы ограничений задачи добавим дополнительную неотрицательную переменную х7 и рассмотрим расширенную задачу, состоящую в максимизации функции

F=  2x1 - 3x2 + 6x3 + x4 - Мх7

при ограничениях:

2x1+x2-2x3+x4=24

x1+2x2+4x3+x5=22

x1-x2+2x3- x6 +x7=10

Расширенная задача имеет опорный план Х=(0; 0; 0; 24; 22; 0; 10), определяемый системой трех единичных векторов: P4, P5, Р7.

Понятие двойственной (соапряженной) задачи линейного программирования.

Правила построения двойственной задачи.

С каждой задачей линейного программирования (ЗЛП), которая называется двойственной задачей (или сопряженной) по отношению к исходной задаче, которая называется прямой.

Двойственная задача строится по отношению к прямой задаче, записанной в стандартной форме:

F=c1x1+c2x2+…+cnxn       max    (3.6)

a11x1+a12x2+…+a1nxn ≤ b1,

a21x1+a22x2+…+a2nxn ≤ b2,

………………………………

ak1x1+ak2x2+…+aknxn ≤ =bk,     (3.7)

ak+1,1x1+ak+1,2x2+…+ak+1,nxn=bk+1,

………………………………

am1x1+am2x2+…+amnxn=bm,

xj ≥ 0, , l ≤ n    (3.8)

Задача, состоящая в нахождении минимального значения функции

   

L = b1y1 + b2y2 + … + bmym         (3.9)   

при условиях

 a11y1 + a12y2 +…+ am1ym  ≥ c1

a21y1 + a22y2 +…+ am2ym ≥ c2 

………………………………

a1ly1 + a2ly2 +…+ amlym  ≥ cl     (3.10)

al+1,1y1 + al+1,2y2 +…+ al+1,mym = cl+1 

………………………………

am1y1 + am2y2 +…+ amnym = cm

yi ≥ 0,    ,    k ≤ m    (3.11)

называется двойственной по отношению к задаче (3.6) – (3.8).

Правила построения двойственной задачи приведены в таблице:


Структурные характ
еристики ЗЛП

Задача линейного программирования

Прямая

Двойственная

1. Целевая функция

Максимизация (max)

Минимизация (min)

2. Количество переменных

n переменных

Равно количеству ограничений прямой задачи (3.7),  yi,  т.е. m

3. Количество ограничений

m ограничений

Равно количеству переменных прямой задачи xj, , т.е n

4. Матрица коэффициентов в системе ограничений

5. Коэффициенты при переменных в целевой функции

c1,c2,…,cn      

b1,b2,…,bm

6. Правая часть системы ограничений

b1,b2,…,bm

c1,c2,…,cn      

7. Знаки в системе ограничений

а) xj ≥ 0- условие неотрицательности

j-е ограничение имеет знак «≥»

б) на переменную  xj  не наложено условие неотрицательности

j-е ограничение имеет знак «=»

в) i-е ограничение имеет знак «≤»

переменная  yi≥0

г)  i-е ограничение имеет знак «=»

на переменную  yi   не наложено условие неотрицательности

Примечание

  1.  Прямая задача на максимум и двойственная на минимум являются взаимодвойственными задачами. Поэтому можно считать задачу (3.9) – (3.11) прямой ЗЛП , а задачу (3.6) – (3.8) – двойственной к ней задачей. При этом правила построения двойственной ЗЛП сохраняются, лишь с тем изменением, что исходной считается задача на минимум.
  2.  Если исходная задача решается на  max (min), а в системе ограничений ) i-е (j-е) ограничение имеет знак «≤» («≥»), то для построения двойственной задачи необходимо:

а) либо домножить обе части  i-го (j-го) неравенства на (-1) и поменять знак на «≤» («≥»)

б) либо привести  i-е (j-е) ограничение к равенству путем введения дополнительной переменной xn+i≥0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24068. Фолиевая кислота – витамин В9, Вс 32.5 KB
  Всасывание фолатов осуществляются с помощью специфического механизма активного транспорта требует затраты энергии и обеспечивает поступление фолиевой кислоты в кровоток против концентрационного градиента. Недостаток биотина нарушает образование активной формы витамина тетрагидрофолиевой кислоты. Первая стадия образования коферментных форм это восстановление фолиевой кислоты в тетрагидрофолиевую кислоту при участии дегидрофолатредуктазы. Наиболее важной функцией коферментных форм фолиевой кислоты является их участие в биосинтезе пуриновых...
24069. Витамин В12-кобаламин 40.5 KB
  Коферментная форма витамина В12дезоксиаденозилкобаламин необходима для функционирования метилмалонилКоАмутазы которая обеспечивает изомеризацию метилмалонилКоА в сукцинилКоА: С разветвленной цепью Жирные кислоты С нечетным числом атомов С Холестерин Изолейцин Метионин Треонин Нарушения обмена витамина В12. Это нарушение приводит к накоплению метилмалонилКоА. МетилмалонилКоА ингибирует пируваткарбоксилазу и это нарушает превращение пирувата в оксалоацетат и в результате тормозится глюконеогенез развивается гипогликемия...
24070. Аскорбиновая кислота (витамин С) 98 KB
  Аскорбиновая кислота являясь донором водорода участвует в окислительновосстановительных реакциях и превращается при этом в дегидроаскорбиновую кислоту: Аскорбиновая кислота участвует в следующих биохимических процессах: Гидроксилирование триптофана в 5гидрокситриптофан синтез серотонина. Аскорбиновая кислота метгемоглобин ДАК гемоглобин ДАК глутатион АК окисленный глутатион Аскорбиновая кислота восстанавливает метгемоглобин в гемоглобин сама окисляется в дегидроксиаскорбиновую кислоту. Дегидроксиаскарбиновая кислота...
24071. Функции витамина А 38 KB
  Наиболее изучено участие витамина А в зрительном акте. Нарушения обмена витамина А. Ранним признаком недостаточности витамина А является нарушение темновой адаптации и ночная слепота.
24072. Витамин D. Функции витамина D 52 KB
  Витамин D групповое обозначение нескольких веществ стероидной природы. Образование витамина D3 происходит из холестерина в коже человека при действии ультрафиолетового облучения. Ни один из витаминов не применяется в таких количествах особенно у детей до 1 года.
24073. Белки плазмы крови 47.5 KB
  Плазма составляет около 55 от объема крови. Из 910 сухого остатка плазмы крови на болю белков приходится 6585. Для разделения белков плазмы крови используют следующие методы: Высаливание.
24074. Строение гемоглобина 82 KB
  Строение гемоглобина. В молекуле гемоглобина белковый компонент представлен белком глобином небелковый компонент гем. За счет еще одной координационной связи к атому железа может присоединяться молекула кислорода с образованием оксигемоглобина.
24075. Синтез гема 41 KB
  При восстановлении биливердина НАДФ Н2 образуется билирубин. Билирубин плохо растворимое соединение и в крови связывается с альбумином. В виде комплекса альбуминбилирубин идет транспорт билирубина кровью в клетки печени. В печени билирубин соединяется с глюкуроновой кислотой с образованием моно 20 и диклюкуронидов 80 они хорошо растворимы в воде.
24076. Распад гема 27 KB
  остающихся в сыворотке крови после осаждения белков. в сыворотке крови является ценным диагностическим показателем при многих заболеваниях. определяют в надосадочной жидкости после удаления осажденных белков сыворотки крови центрифугированием с помощью азотометрического метода Кьельдаля в его многочисленных модификациях колориметрических и гипобромитных методов. в сыворотке крови равна 2040 мг 100 мл или 143286 ммоль л.