4768

Метод искусственного базиса. Понятие двойственной задачи линейного программирования

Контрольная

Информатика, кибернетика и программирование

Метод искусственного базиса М -задача. Для многих задач линейного программирования, записанных в форме основной задачи и имеющих опорные планы, среди векторов Pj не всегда есть m единичных. Рассмотрим такую задачу. Пусть требуется найти максимум...

Русский

2012-11-26

69 KB

94 чел.

Метод искусственного базиса (М-задача).

Для многих задач линейного программирования, записанных в форме основной задачи и имеющих опорные планы, среди векторов Pj не всегда есть m единичных.

Рассмотрим такую задачу:

Пусть требуется найти максимум функции

F = c1x1 + c2x2 + ……+ cnxn    (1)

при условиях

………………………………………     (2)

где bi  0 (i=l, m), m<.n и среди векторов P1, P2, …, Pn нет m единичных.

Определение. Задача, состоящая в определении максимального значения функции

F = c1x1 + c2x2 + ……+ cnxn xn+1- …- Мxn+m   (3)

при условиях

………………………………………      (4)

где M — некоторое достаточно большое положительное число, конкретное значение которого обычно не задается, называется расширенной задачей (М-задачей) по отношению к задаче (1) — (2).

Расширенная задача имеет опорный план

Х=(0; 0; ...; 0; b1; b2; ...;bm).

определяемых системой единичных векторов Pn+1; Рп+2, … Рп+т, образующих базис m-ro векторного пространства, который называется искусственным. Сами векторы, так же как и переменные xn+i (i=l, m), называются искусственными. Так как расширенная задача имеет опорный план, то ее решение может быть найдено симплексным методом.

Теорема Если в оптимальном плане X*=(x*1, x*2, ...; x*n, x*n+1; ...; x*n+m) расширенной задачи (3) — (4) значения искусственных переменных x*n+i=0 (i=1, m), то X*=(x*1, x*2, ...; x*n) является оптимальным планом задачи (1) — (2).

Таким образом, если в найденном оптимальном плане расширенной задачи, значения искусственных переменных равны нулю, то тем самым получен оптимальный план исходной задачи.

Значения индексной строки ∆0, ∆1, …, ∆n состоят из двух частей, одна из которых зависит от M, а другая — нет. Заполняют симплекс - таблицу, которая содержит на одну строку больше, чем обычная симплексная таблица. При этом в (m+2)-ю строку помещают коэффициенты при M, а в (m+1)-ю – слагаемые, не содержащие M. При переходе от одного опорного плана к другому в базис вводят вектор, соответствующий наибольшему по абсолютной величине отрицательному числу (m+2)-й строки. Искусственный вектор, исключенный из базиса, в следующую симплекс-таблицу не записывают. Пересчет симплекс-таблиц при переходе от одного опорного плана к другому производят по общим правилам симплексного метода.

Итерационный процесс по (m+2) -и строке ведут до тех пор, пока:

  1.  либо все искусственные векторы не будут исключены из базиса;
  2.  либо не все искусственные векторы исключены, но (m+2)-я строка не содержит больше отрицательных элементов в индексах ∆1, …, ∆n.

В первом случае базис отвечает некоторому опорному плану исходной задачи и определение ее оптимального плана продолжают по (m+1)-й строке.

Во втором случае, если значение ∆0 отрицательное, исходная задача не имеет решения; если же ∆0=0, то найденный опорный план исходной задачи является вырожденным и базис содержит по крайней мере один из векторов искусственного базиса.

Этапы нахождения решения задачи (1) — (2)

методом искусственного базиса:

  1.  Составляют расширенную задачу (3) — (4).
  2.  Находят опорный план расширенной задачи.
  3.  С помощью обычных вычислений симплекс-метода исключают искусственные переменные из базиса. В результате либо находят опорный план исходной задачи (1) — (2), либо устанавливают ее неразрешимость.
  4.  Используя найденный опорный план задачи (1) — (2), либо находят симплекс-методом оптимальный план исходной задачи, либо устанавливают ее неразрешимость.

Пример. 

Найти минимум функции F= - 2x1 + 3x2 - 6x3 - x4

при ограничениях:

2x1+x2-2x3+x4=24

x1+2x2+4x3≤22

x1-x2+2x3≥10

xi≥0, i=1,4

Решение.

Запишем данную задачу в форме основной задачи: найти максимум функции F=  2x1 - 3x2 + 6x3 + x4

при ограничениях:

2x1+x2-2x3+x4=24

x1+2x2+4x3+x5=22

x1-x2+2x3- x6=10

xi≥0, i=1, 6

В системе уравнений последней задачи рассмотрим векторы из коэффициентов при неизвестных:

Среди векторов P1, Р2,P6 только два единичных (P4 и P5). Поэтому в левую часть третьего уравнения системы ограничений задачи добавим дополнительную неотрицательную переменную х7 и рассмотрим расширенную задачу, состоящую в максимизации функции

F=  2x1 - 3x2 + 6x3 + x4 - Мх7

при ограничениях:

2x1+x2-2x3+x4=24

x1+2x2+4x3+x5=22

x1-x2+2x3- x6 +x7=10

Расширенная задача имеет опорный план Х=(0; 0; 0; 24; 22; 0; 10), определяемый системой трех единичных векторов: P4, P5, Р7.

Понятие двойственной (соапряженной) задачи линейного программирования.

Правила построения двойственной задачи.

С каждой задачей линейного программирования (ЗЛП), которая называется двойственной задачей (или сопряженной) по отношению к исходной задаче, которая называется прямой.

Двойственная задача строится по отношению к прямой задаче, записанной в стандартной форме:

F=c1x1+c2x2+…+cnxn       max    (3.6)

a11x1+a12x2+…+a1nxn ≤ b1,

a21x1+a22x2+…+a2nxn ≤ b2,

………………………………

ak1x1+ak2x2+…+aknxn ≤ =bk,     (3.7)

ak+1,1x1+ak+1,2x2+…+ak+1,nxn=bk+1,

………………………………

am1x1+am2x2+…+amnxn=bm,

xj ≥ 0, , l ≤ n    (3.8)

Задача, состоящая в нахождении минимального значения функции

   

L = b1y1 + b2y2 + … + bmym         (3.9)   

при условиях

 a11y1 + a12y2 +…+ am1ym  ≥ c1

a21y1 + a22y2 +…+ am2ym ≥ c2 

………………………………

a1ly1 + a2ly2 +…+ amlym  ≥ cl     (3.10)

al+1,1y1 + al+1,2y2 +…+ al+1,mym = cl+1 

………………………………

am1y1 + am2y2 +…+ amnym = cm

yi ≥ 0,    ,    k ≤ m    (3.11)

называется двойственной по отношению к задаче (3.6) – (3.8).

Правила построения двойственной задачи приведены в таблице:


Структурные характ
еристики ЗЛП

Задача линейного программирования

Прямая

Двойственная

1. Целевая функция

Максимизация (max)

Минимизация (min)

2. Количество переменных

n переменных

Равно количеству ограничений прямой задачи (3.7),  yi,  т.е. m

3. Количество ограничений

m ограничений

Равно количеству переменных прямой задачи xj, , т.е n

4. Матрица коэффициентов в системе ограничений

5. Коэффициенты при переменных в целевой функции

c1,c2,…,cn      

b1,b2,…,bm

6. Правая часть системы ограничений

b1,b2,…,bm

c1,c2,…,cn      

7. Знаки в системе ограничений

а) xj ≥ 0- условие неотрицательности

j-е ограничение имеет знак «≥»

б) на переменную  xj  не наложено условие неотрицательности

j-е ограничение имеет знак «=»

в) i-е ограничение имеет знак «≤»

переменная  yi≥0

г)  i-е ограничение имеет знак «=»

на переменную  yi   не наложено условие неотрицательности

Примечание

  1.  Прямая задача на максимум и двойственная на минимум являются взаимодвойственными задачами. Поэтому можно считать задачу (3.9) – (3.11) прямой ЗЛП , а задачу (3.6) – (3.8) – двойственной к ней задачей. При этом правила построения двойственной ЗЛП сохраняются, лишь с тем изменением, что исходной считается задача на минимум.
  2.  Если исходная задача решается на  max (min), а в системе ограничений ) i-е (j-е) ограничение имеет знак «≤» («≥»), то для построения двойственной задачи необходимо:

а) либо домножить обе части  i-го (j-го) неравенства на (-1) и поменять знак на «≤» («≥»)

б) либо привести  i-е (j-е) ограничение к равенству путем введения дополнительной переменной xn+i≥0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53460. У Інтернет–клубі 97.5 KB
  Мета: повторити і поглибити знання учнів про дієслово як частину мови, його(ЇЇ) граматичні ознаки; виробляти вміння розпізнавати дієслова серед інших частин мови; розвивати зв’язне мовлення, пам’ять, мислення; вчити учнів працювати з прикладними програмами; виховувати інформаційну культуру, любов до рідної мови.
53461. Винаходи. Досягнення науковців 33 KB
  Good morning, boys and girls! Today we’ll continue to work with the topic “Inventions and gadgets”. You have already done exercises and spoken about it with your teacher and now you’ll show your abilities. At this lesson we’ll revise all the vocabulary on the topic; we shall practice listening, reading, speaking and writing skills. Of course, we’ll make predictions using Future Indefinite and “to be going to…”.
53462. Оптимизация процедуры Heap_sort, особенности 19.42 KB
  ирамидальная сортировка (англ. Heapsort, «Сортировка кучей») — алгоритм сортировки, работающий в худшем, в среднем и в лучшем случае (то есть гарантированно) за Θ(n log n) операций при сортировке n элементов
53463. Оптимизация процедуры Shell_sort, особенности 26.29 KB
  Сортировка Шелла — алгоритм сортировки, являющийся усовершенствованным вариантом сортировки вставками. Идея метода Шелла состоит в сравнении элементов, стоящих не только рядом, но и на определённом расстоянии друг от друга.
53464. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕРАКТИВНОЙ ДОСКИ НА УРОКАХ ФИЗИКИ В ФОРМИРОВАНИИ ИКТ КОМПЕТЕНТНОСТИ 30.23 KB
  Использование интерактивной доски один из самых перспективных и востребованных. Также с помощью различных программ учитель может создать компьютерную модель урока с которой затем можно работать с помощью интерактивной доски. Из практики обучения я могу предложить следующие формы работы с интерактивной доской PenBord: Активные презентации.
53465. Разработка конспекта обобщающего урока математики в 4 классе по теме Дроби 91.5 KB
  Познавательная деятельность учащихся через использование мультимедийных технологий. Разумное использование в учебном процессе наглядных средств обучения играет важную роль в развитии наблюдательности внимания речи мышления учащихся. В отличие от обычных технических средств обучения ИКТ позволяют не только насытить обучающегося большим количеством готовых строго отобранных соответствующим образом организованных знаний но и развивать интеллектуальные творческие способности учащихся. задействованы все каналы восприятия учащихся –...
53467. Использование приемов технологии РКМЧП на уроках истории 1012 KB
  На этом этапе не допускается критика ваших сочинений мы просто попытаемся определить что вы уже знаете в конце урока вы сами определите какие ошибки были вами допущены. Обычно в начале урока предлагаю обучающимся выделить из предложенных мной утверждений верные и неверные.
53468. Использование проектной игры на уроках ИЯ 28 KB
  Методы есть совокупность способов и приемов совместной согласованной деятельности учителя и учащихся а также учащихся друг с другом в процессе которой последними достигается определенный уровень владения ИЯ и оказывается существенное развивающее воздействие на личность обучаемого на его способности и готовность пользоваться изучаемым языком как средством социального взаимодействия и взаимопонимания с представителями иной культуры средства познания последней. Учащиеся самно или под руководством учителя занимаются поиском разрешения...