47696

ФИЗИКА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Книга

Физика

Для замечаний преподавателя на страницах тетради оставлять поля. Напряженность электрического поля. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме. Применение теоремы Гаусса к расчету поля.

Русский

2013-12-01

3.96 MB

46 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЗИКА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Учебно-методическое пособие

Ростов-на-Дону 2002

УДК 530.1

Ф 48

Составители: В.С.Кунаков,

Ю.М.Наследников,

Р.И.Смирнова,

Н.Г. Последова,

Ю.Ф. Мигаль,

С.И. Егорова

Ф 48 Физика: Методические указания и контрольные задания. Учебно-методич. пособие.  – Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2002. – 165 с.

Цель пособия – оказать помощь студентам-заочникам в изучении курса физики. В пособие включены рабочая программа, основные формулы и законы, примеры решения и оформления задач, контрольные задания.

Предназначено для студентов заочной формы обучения инженерно-технических и инженерно-экономических специальностей, также может быть использовано студентами дневного отделения при подготовке к практическим занятиям, рейтинговому контролю и экзамену по физике.

 

Печатается по решению редакционно-издательского совета Донского государственного технического университета

Научный редактор: д-р техн.наук, проф. В.С. Кунаков

Ф          

ISDN 5-7890-0216-1                            Издательский центр ДГТУ, 2002

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

И ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Прежде чем приступить к выполнению контрольных работ, необходимо прочитать общие указания.

1. За время изучения курса физики студент заочной формы обучения должен представить в деканат в зависимости от специальности от четырех до шести контрольных работ.

2. Контрольные работы выполняются в школьной тетради, на обложке которой приводятся сведения по следующему образцу:

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЗАОЧНЫЙ ДЕКАНАТ

Студент_______________________

  (факультет, специальность)

__________________________________

(группа)

______________________________

(фамилия)

______________________________

(имя)

______________________________

(отчество)

Адрес_________________________

______________________________

Шифр ________________________

за _________ курс

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №_____

_______________________________________________________________

(название дисциплины)

Дата отправления работы в университет ______________ 20___г.

Дата поступления работы в университет_______________20___г.

3. Номера задач, которые студент должен включить в свою контрольную работу, определяются по таблицам вариантов.

4. Если работа выполнена студентом не в соответствии с шифром либо не по настоящему методическому пособию, то она возвращается студенту без рецензирования. В этом случае преподаватель, проверяющий контрольные работы, на обложке тетради объясняет студенту причину возврата и предлагает ему выполнить работу в соответствии с установленными правилами.

5. Условия задач в контрольной работе надо переписать полностью, без сокращений. Решение задач следует сопровождать краткими, но исчерпывающими пояснениями. В необходимых случаях приводить чертежи, выполненные с помощью чертежных принадлежностей. В тех задачах, где требуется начертить график, необходимо правильно  выбрать масштаб и начало координатных осей. Для замечаний преподавателя на страницах тетради оставлять поля.

6. При решении необходимо прежде всего установить, какие физические закономерности лежат в основе данной задачи; затем из формул, выражающих эти закономерности, найти решение задачи в общем (алгебраическом) виде. После этого можно перейти к подстановке численных данных, выраженных в одной и той же системе единиц (как правило, в Международной системе единиц - СИ). Иногда нет надобности выражать все данные в одной и той же системе. Так, например, если в формуле какая-либо физическая величина входит в числитель и в знаменатель, то, очевидно, безразлично, в каких единицах измерять эту величину, необходимо только, чтобы эти единицы были одинаковыми.

7. Целесообразно при подстановке в расчетную формулу значения величин представить в виде произведения десятичной дроби с одной значащей цифрой перед запятой на соответствующую степень десяти. Например, вместо 1250 надо записать 1,25∙103. В таком  виде представляется и окончательный ответ задачи. При получении численного ответа нужно обращать внимание на степень точности окончательного результата. Точность ответа не должна превышать точности, с которой даны исходные величины.

8. В конце контрольной работы студент должен указать, каким учебником или учебным пособием пользовался при решении задач (название учебника, автор, год издания). Это делается для того, чтобы преподаватель в случае необходимости мог указать, какие параграфы студенту надо изучить для исправления работы.

9. Рекомендуется высылать на рецензию одновременно не более одной контрольной работы. Во избежание одинаковых ошибок очередную контрольную работу предлагается высылать после проверки преподавателем предыдущей.

10. Преподаватель после проверки контрольной работы принимает решение допустить студента к собеседованию или не допустить. Если принято решение о недопуске к собеседованию, то студент обязан представить контрольную работу на повторное рецензирование.

11. Окончательное решение по контрольной работе принимает преподаватель во время устного собеседования со студентом. Даты проведения собеседования устанавливаются деканатом заочного факультета.

12. В течение семестра по датам, установленным деканатом заочного факультета, студенты на кафедре физики получают консультации по контрольным работам.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА  КУРСА ФИЗИКИ ДЛЯ ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИХ И ИНЖЕНЕРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ЗАОЧНОГО ФАКУЛЬТЕТА ДГТУ

Введение

Предмет физики. Методы физического исследования: опыт, гипотеза, эксперимент, теория. Роль физики в развитии естествознания и техники.

1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

Предмет механики. Классическая и квантовая механика. Кинематика и динамика. Основные физические модели: материальная точка (частица), абсолютно твердое тело, механическая система, сплошная и сыпучая среды.

1.1. Элементы кинематики

Система отсчета. Скалярные и векторные физические величины. Скорость и ускорение материальной точки. Нормальное и тангенциальное ускорения. Радиус кривизны траектории. Центр кривизны. Кинематика вращательного движения. Угловая скорость и угловое ускорение. Связь между угловыми и линейными характеристиками движения.

1.2. Динамика материальной точки

Основная задача динамики. Границы применимости классической механики. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Масса и импульс тела в классической и релятивистской механике. Второй и третий законы Ньютона. Принцип относительности Галилея. Виды сил в природе и их характеристика. Упругие силы. Силы трения. Сила тяжести и вес тела.

1.3. Законы сохранения

Законы сохранения и симметрия пространства и времени. Закон сохранения импульса. Механическая работа и мощность. Кинетическая энергия. Консервативные и неконсервативные силы. Потенциальная энергия взаимодействия. Потенциальная энергия упругодеформированного тела. Закон сохранения энергии в механике.

1.4. Механика твердого тела

Движение твердого тела. Центр масс (центр инерции) твердого тела. Движение центра масс твердого тела. Момент силы. Момент инерции материальной точки и твердого тела. Теорема Штейнера. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела. Кинетическая энергия тела при плоском движении. Момент импульса механической системы. Закон сохранения момента импульса.

1.5. Колебательные движения

Гармонические колебания. Характеристики гармонических колебаний. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Математический, физический и пружинный маятники. Энергия тела при механических колебаниях. Представление гармонического колебания в виде вращающегося вектора. Сложение колебаний одинакового направления. Биения. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Апериодические колебания. Вынужденные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс.

1.6. Механические волны

Распространение волн в упругой среде. Уравнения плоской и  сферической волн. Волновое уравнение. Скорость упругих волн в твердых телах. Энергия упругой волны. Стоячие волны. Звуковые волны. Скорость звука. Эффект Доплера для звуковых волн.

1.7. Релятивистская механика

Специальная теория относительности. Преобразования Лоренца. Следствия из преобразований Лоренца. Интервал. Сложение скоростей в релятивистской механике. Релятивистское выражение для импульса. Релятивистское выражение для энергии. Преобразование импульса и энергии. Взаимосвязь массы и энергии.

2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

2.1. Предварительные сведения

Статистическая физика и термодинамика. Масса и размеры молекул. Состояние системы. Термодинамические параметры. Внутренняя энергия системы. Идеальный газ. Понятие о температуре. Уравнение состояния идеального газа.

2.2. Статистическая физика

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа. Скорости движение молекул и их опытное определение. Давление газа на стенку сосуда. Средняя энергия молекул. Постоянная Больцмана. Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям. Барометрическая формула. Распределение Больцмана. Число соударений молекул между собой. Средняя длина свободного пробега молекул.

2.3. Термодинамика

Первое начало термодинамики. Работа, совершаемая телом при изменениях объема. Внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа. Адиабатный процесс. Уравнение Пуассона. Политропические процессы. Работа, совершаемая идеальным газом при различных процессах. Второе начало термодинамики. Цикл Карно и его КПД. Энтропия. Основное уравнение термодинамики. Энтропия и вероятность. Статистическое истолкование второго начала термодинамики.

2.4. Реальные газы

Отклонение свойств реальных газов от уравнения Менделеева – Клапейрона. Собственные размеры молекул и межмолекулярные силы. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Изотермы реального газа. Критическое состояние вещества. Внутренняя энергия реальных газов. Эффект Джоуля - Томсона. Получение низких температур.

2.5. Кристаллическое состояние вещества

Отличительные черты кристаллического состояния вещества. Классификация кристаллов. Физические типы кристаллических решеток. Дефекты в кристаллах. Теплоемкость кристаллов.

2.6. Жидкое  состояние вещества

Строение жидкостей. Поверхностное натяжение. Давление под изогнутой поверхностью жидкости. Явление на границе жидкости и твердого тела. Капиллярные явления.

2.7. Физическая кинетика

Явление переноса в газах. Диффузия в газах. Теплопроводность газов. Вязкость газов. Разряженные газы.

3. ЭЛЕКТРОСТАТИСТИКА. ПОСТОЯННЫЙ ТОК

3.1. Электрическое поле в вакууме

Электрический заряд и его свойства. Закон Кулона. Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции. Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме. Применение теоремы Гаусса к расчету поля. Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля. Потенциал электрического поля и его связь с напряженностью. Работа электростатического поля. Электрический диполь. Электрический момент.

3.2. Электрическое поле в диэлектриках

Полярные и неполярные молекулы. Поляризация диэлектриков. Поляризованность. Электрическое поле внутри диэлектрика. Объемные и поверхностные связанные заряды. Вектор электрического смещения. Силы, действующие на заряд в диэлектрике. Сегнетоэлектрики.

3.3. Проводники в электрическом поле

Равновесие зарядов на проводнике. Проводник во внешнем электрическом поле. Электроемкость. Конденсаторы.

3.4. Энергия электрического поля

Энергия взаимодействия системы точечных зарядов. Энергия заряженного проводника. Энергия заряженного конденсатора. Энергия электрического поля.

3.5. Постоянный электрический ток

Электрический ток и его основные характеристики. Условия существования тока. Проводники и изоляторы. Электродвижущая сила источника тока. Закон Ома для неоднородного участка цепи. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа. Работа и мощность постоянного тока. Закон Джоуля-Ленца.

4. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

4.1. Магнитное поле в вакууме

Сила Лоренца. Сила Ампера. Взаимодействие проводников с токами. Индукция магнитного поля. Принцип суперпозиции магнитных полей. Магнитное поле движущегося заряда. Закон Био-Савара-Лапласа. Магнитное поле прямолинейного проводника с током. Магнитное поле контура с током. Магнитный момент. Контур с током в магнитном поле. Момент сил, действующих на контур с током во внешнем магнитном поле. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле. Магнитный поток. Теорема Гаусса для магнитного поля. Циркуляция вектора магнитной индукции. Магнитное поле соленоида и тороида.

4.2. Магнитное поле в веществе

Намагничение магнетика. Намагниченность. Напряженность магнитного поля. Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля. Виды магнетиков. Пара-, диа-, ферромагнетики. Элементы теории ферромагнетизма. Точка Кюри. Доменная структура. Техническая кривая намагничивания. Гистерезис.

4.3. Электромагнитная индукция

Явление электромагнитной индукции. Электродвижущая сила индукции. Токи Фуко. Явление самоиндукции. Ток при замыкании и размыкании цепи. Энергия магнитного поля.

4.4. Уравнения Максвелла

Фарадеевская и Максвелловская трактовки явления электромагнитной индукции. Вихревое электрическое поле. Ток смещения. Система уравнений Максвелла в интегральной форме.

4.5. Движение заряженных частиц

в электрическом и магнитном полях

Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле. Отклонение движущихся заряженных частиц электрическим и магнитным полями. Масс-спектрометр. МГД-генератор. Ускорители заряженных частиц.

4.6. Классическая теория

электропроводности металлов

Природа носителей тока в металлах. Элементарная классическая теория электропроводности металлов. Эффект Холла.

4.7. Электрические колебания

и электромагнитные волны

Свободные колебания в контуре без активного сопротивления. Свободные затухающие колебания. Вынужденные электрические колебания. Резонанс. Электромагнитные волны и их свойства. Энергия электромагнитных волн. Поток энергии. Вектор Умова-Пойтинга. Излучение диполя.

5. ОПТИКА

5.1. Интерференция света

Интерференция световых волн. Когерентность. Способы наблюдения интерференции света. Расчет интерференционной картины от двух когерентных источников. Интерференция света в тонких пленках. Интерферометры.

5.2. Дифракция света

Принцип Гюйгенса – Френеля. Методы наблюдения дифракции. Метод зон Френеля. Дифракция Френеля от простейших преград (круглое отверстие, круглый диск). Дифракция Фраунгофера от щели. Дифракционная решетка. Разрешающая способность дифракционной решетки. Дифракция рентгеновских лучей. Формула Вульфа – Брэгга. Принцип голографии.

5.3. Поляризация света

Естественный и поляризованный свет. Поляризация при отражении и преломлении. Закон Брюстера. Поляризация при двойном лучепреломлении. Одноосные кристаллы. Поляризационные призмы и поляроиды. Закон Малюса. Вращение плоскости поляризации.

5.4. Взаимодействие света с веществом

Дисперсия света. Области нормальной и аномальной дисперсии. Элементарная теория дисперсии. Поглощение света. Эффект Вавилова – Черенкова.

5.5. Тепловое излучение

Характеристики теплового излучения. Абсолютно черное тело. Закон Кирхгофа. Законы Стефана – Больцмана и Вина. Квантовая гипотеза и формула Планка. Оптическая пирометрия.

5.6. Фотоны

Внешний фотоэффект и его законы. Фотоны. Масса и импульс фотона. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта. Эффект Комптона. Давление света. Опыты Лебедева. Квантовое и волновое объяснение давления света. Корпускулярно – волновой дуализм электромагнитного излучения.

6. ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ

И КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ. ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

6.1. Волновые свойства вещества. Волновая функция

Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества. Формула де Бройля. Соотношение неопределенностей. Уравнение Шредингера. Волновая функция и ее статистический смысл. Принцип причинности в квантовой механике. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме. Квантование энергии и импульса частицы. Линейный гармонический осциллятор.

6.2. Электронная структура атомов и молекул

Атом водорода. Главное, орбитальное и магнитное квантовые числа. Спектр атома водорода. Спин электрона. Принцип Паули. Распределение электронов в атоме по состояниям. Периодическая система элементов Менделеева. Энергетические уровни молекул.

6.3. Элементы квантовой статистики

и физики твердого тела

Квантовые статистики Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака. Распределение электронов проводимости в металле по энергиям при абсолютном нуле температуры. Уровень Ферми. Работа выхода электрона. Энергетические уровни в кристаллах. Валентная зона и зона проводимости. Распределение электронов по энергетическим зонам в металлах, полупроводниках, диэлектриках. Собственная и примесная проводимости полупроводников. Контактные явления. P-n-переход и его вольт-амперная характеристика. Фотоэлектрические явления в полупроводниках.

6.4. Физика атомного ядра и элементарных частиц

Основные характеристики ядер. Состав ядра. Взаимодействие нуклонов. Дефект массы и энергия связи ядра. Радиоактивность. Закон радиоактивного распада. Ядерные реакции и законы сохранения. Мезонная теория ядерных сил. Ядерная энергетика. Управляемый термоядерный синтез. Элементарные частицы и их классификация. Кварки. Типы фундаментальных взаимодействий.

ЛИТЕРАТУРА

основная

1. Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1982-1987. – Т.1-3.

2. Детлаф А.А., Яворский Б.М., Милковская Л.Б. Курс физики. – М.: Высш. шк.,1973-1979. – Т. 1-3.

3. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. –М.: Наука, 1972-1974.

4. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высш. шк.,1999.

5. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. – М.: Высш. шк., 1990.

6. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. – М.: Высш. шк.,1981.

7. Физика: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей вузов./Под ред. А.Г. Чертова – М.: Высш. шк., 1987.

8. Фирганг Е.В. Руководство к решению задач по курсу общей физики. – М.: Высш. шк., 1978.

9. Чертов А.Г. Единицы физических величин. – М.: Высш. шк., 1977.

10. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высш.шк.,1989.

Дополнительная

1. Астахов А.В., Широков Ю.М. Курс физики. – М.: Наука,  1980, тт.1,2.

2. Иродов Е.В. Основные законы электромагнетизма. – М.: Высш.шк., 1991.

3. Орир Д. Физика. – М.: Мир, 1981, тт. 1–2.

4. Горбунова О.И., Зайцев А.М., Красников С.Н. Задачник-практикум по общей физике. – М.: Просвещение,1977.

5. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике. – М.: Наука, 1982.

6. Новодворская Е.М., Дмитриев Э.М. Методика проведения упражнений по физике во втузе. – М.: Высш.шк., 1981.


1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

Основные формулы и законы

Проекция средней скорости на ось x < x> =  проекция среднего ускорения на ось x .

Проекция мгновенной скорости на ось x 

проекция мгновенного ускорения на ось x 

.

 В случае равнопеременного прямолинейного движения формулы для определения пути и скорости движения имеют вид:

S = ,  S =   ,

где S – пройденный путь,  – начальная скорость,  – конечная скорость,   – ускорение движения,  – время движения.

При движении материальной точки по окружности модули угловой скорости и углового ускорения определяются по формулам:

;           ,

где – угол поворота радиуса окружности.

Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движения точки по окружности:

= ·R; а = ε·R; an = ·R,

где – модуль линейной скорости, а модуль тангенциального ускорения, аn модуль нормального ускорения, R – радиус окружности.

При плоском криволинейном движении материальной точки тангенциальное и нормальное ускорения определяются по формулам, приведенным выше, причем R является переменной величиной, называемой радиусом кривизны кривой. Радиус кривизны определяется по формуле:

,

где  – длина дуги кривой,  – угол, опирающийся на .

Так как тангенциальное и нормальное ускорения взаимно перпендикулярны, то модуль полного ускорения

.

Основной закон динамики (второй закон Ньютона) выражается уравнением:

,

где  – сила, действующая на материальную точку (частицу); dt – время действия; m – масса частиц; – скорость движения частиц.

Если масса является величиной постоянной, то  

.

Произведение массы на скорость частицы называется импульсом, . Импульс системы частиц (либо тел) при поступательном движении

,

где N – число частиц, составляющих систему.

Для замкнутой механической системы

=const.

В этом заключается закон сохранения импульса.

Механическая работа, совершаемая телом при малом поступательном перемещении,

dA = F··cosα,

где F модуль силы, действующей на тело;  – модуль перемещения;  α – угол, между векторами силы и перемещения.

В общем случае механическая работа определяется

,

где  FS = F·cosα - проекция силы на направление перемещения.

В случае постоянной силы работа в механике определяется выражением

A = F·S·cosα.

Мощность определяется формулой

,

в случае постоянной мощности

,

где А – работа, совершенная за время t.

Мощность может быть определена по формуле

,

где α – угол, между направлениями силы  и скорости.

Кинетическая энергия частицы либо тела при поступательном движении

.

Потенциальная энергия тела в поле земного тяготения (при условии, что высота значительно меньше радиуса Земли)

EП = m·g·h ,

где g – ускорение свободного падения; h – высота тела от поверхности Земли.

Потенциальная энергия деформированной пружины

,

где k – коэффициент жесткости пружины; x величина деформации пружины.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия частиц массами m1 и m2  

 ,

где G = 6,67·10-11 () – гравитационная постоянная; r – расстояние между частицами.

Сумма кинетической и потенциальной энергии называется полной механической энергией. Для замкнутой механической системы (без учета сил трения) полная механическая энергия остается величиной постоянной. В этом заключается закон сохранения энергии.

В случае абсолютно неупругого удара двух тел массами m1 и m2  тела после удара движутся как единое целое с одинаковой скоростью u, значение которой можно получить из закона сохранения импульса

,

где ux – проекция скорости тел на ось x после удара;  и  - проекции скорости на ось x первого и второго тел до удара.

Скорости тел после центрального упругого удара определяются с применением законов сохранения импульса и энергии и вычисляются по формулам:

;  .

Модуль момента M силы F относительно неподвижной оси определяется по формуле  

M = F·ℓ,

где ℓ – расстояние от линии действия силы до оси вращения.

Момент инерции частицы относительно некоторой оси

Ј = m·R2,

где R – расстояние от частицы до оси.

Момент инерции однородных шара, диска и обруча определяется соответственно по формулам:

Јш =;  Јд = ;  Јо = m·R2,

где m – масса тел; R – их  радиус.

Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно к нему

Ј = ,

где ℓ – длина стержня.

Если для  какого-либо тела известен его момент инерции J0 относительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой оси, параллельной первой, может быть найден по теореме Штейнера

J = J0 + m·a2,

где а – расстояние между осями.

Основной закон динамики вращательного движения выражается уравнением

.

Для замкнутой механической системы

= 0; = const.

В этом заключается закон сохранения момента импульса.

Кинетическая энергия тела при вращении относительно неподвижной оси

,

где J – момент инерции тела относительно оси вращения.

При плоском движении твердого тела кинетическая энергия

,

где Jc – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс;  – скорость центра масс тела.

Уравнение гармонических колебаний имеет вид

x = A·cos (ωt + φ0 ),

где x – смещение точки от положения равновесия; А – амплитуда колебаний; ω – круговая (циклическая) частота; t – время; φ0 – начальная фаза.

Круговая частота

,

где  – частота колебания; T – период колебания.

Скорость и ускорение точки при гармонических колебаниях определяются по формулам:

;.

Восстанавливающая сила

F = -k·x,

где k = m·ω2 - коэффициент упругой (квазиупругой) силы, m – масса материальной точки.

Полная энергия точки, совершающей  гармонические колебания

.

Периоды колебаний:

математического маятника  

,

где ℓ – длина нити;

физического маятника

,

где J момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку подвеса; m – масса тела; d – расстояние от точки подвеса до центра масс;

пружинного маятника

,

где m – масса тела; k – коэффициент упругой силы.

Уравнение затухающих колебаний

x = A0·e-βt·cos (ωt + φ),

 где А0 – амплитуда колебания в момент времени t = 0, е – основание натуральных логарифмов; β –коэффициент затухания.

Амплитуда результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящими по одной прямой,

,

где А1 и А2 – амплитуды слагаемых колебаний; φ1 и φ2 - начальные фазы слагаемых колебаний.

Начальная фаза результирующего колебания может быть определена из формулы

.

Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с одинаковыми частотами,

.

Скорость  распространения волн, длина волны λ , частота  (либо период Т) связаны между собой соотношениями:

;.

Уравнение бегущей волны

,

где y – смещение точки, имеющей координату x; А – амплитуда.

Разность фаз Δφ колебаний двух  точек среды, расстояние Δx между этими точками и длина волны λ связаны соотношением

.

Уравнение стоячей волны имеет вид

.

Расстояние ℓ между соседними пучностями или соседними узлами стоячей волны связано с длиной волны соотношением

.

Скорость распространения поперечных и продольных волн в упругой среде определяется по формулам:

;    ,

где    G модуль сдвига;   Е – модуль упругости (Юнга); ρ – плотность среды.

Примеры решения задач

Пример 1. Зависимость координаты движения частицы от времени имеет вид x = Аtt2t3, где А=2 ; В=3  и С=5 .

Найдите: а) зависимость скорости x и ускорения  от времени;                  б) путь, пройденный телом, скорость x и ускорение  через 2 с от начала движения.

Дано:

x = Аtt2t3,

A = 2 ;

В = 3 ;

С = 5  ;

t = 2 c.

Решение

Для определения зависимости скорости движения частиц от времени  определим  первую производную  от координаты x по времени: , или после подстановки

 x = (2-6t+15t2) .                    (1)    

Для определения зависимости ускорения движения частицы от времени определим первую производную от скорости по времени: , или после подстановки 

= (-6+30t) ;                       (2)

Пройденный путь определим как разность координат   в   моменты   времени   t=2c   и  t=0, т.е. S=x(2)-x(0).После подстановки получим S=32 м. Для определения  скорости и ускорения частицы через 2 с

x = x(t),

 = (t),

- ?

S - ? 

x - ?

после начала движения  воспользуемся соответственно выражениями (1) и (2).После подстановки времени t=2 с получим =50 м/с, =54м/с.

Пример 2. Тело брошено со скоростью =15 под углом =300 к горизонту. Принимая тело за материальную точку, определите нормальное  и тангенциальное  ускорение тела через 1,2 с после начала движения.

Дано:

V0 = 15 ;

= 300;

t= 1,2 с.

Решение

Построим чертеж и определим проекции скоростей  в начальный момент времени, V=V0cosα, V0y=V0sinα. Проекция Vx в процессе движения точки

Рис.1.1

-?

- ?

остается постоянной  по величине и направлению. Проекция Vy0 на ось y изменяется. Для точки С (рис 1.1) ее значение равно 0, т.е. Vy=Vy0-gt=0, откуда определим время, в течение которого материальная точка поднимается до максимальной высоты по формуле , или после подстановки  = 0,75 с.

К моменту времени 1,2 с тело будет находиться на спуске. Полное ускорение в процессе  движения направлено вертикально вниз и равно ускорению свободного падения g . Нормальное ускорение равно проекции ускорения  свободного падения на направление радиуса кривизны, а тангенциальное ускорение - проекции ускорения свободного падения на направление скорости  движения (см. рис.1.1.)  Из треугольников скоростей и ускорений имеем: cosφ=, sin φ = , откуда  =, = , где, t1 = t - t = 0,45 с - время движения от точки 0 до точки, в которой определяются ускорения. После подстановки:

==9,4;==5,5.

Пример 3. Точка движется по окружности радиусом 0,10 м так, что зависимость угла поворота радиуса от времени дается уравнением φ=A+Bt+Ct3, где В=2,00 и С=1,00 . Определите к концу второй секунды вращения: а) угловую скорость ω; б) линейную скорость ;        в) угловое ускорение ε;  г) нормальное ускорение ; д) тангенциальное ускорение .

Дано:

R=0,10 м; 

φ=A+Bt+Ct3;

В=2,00 ;

С=1,00 ;

t=2 c.

Решение

Зависимость угловой скорости от времени определим, взяв первую производную от угла поворота по времени, т.е. ω==В+3Сt2. Для момента времени t=2с:ω=2,00+3·1,00·4с2=14,00. Линейная скорость точки =ω·R, или после подстановки =1,40. Зависимость углового ускорения точки от времени определится  первой производной от  угловой  скорости по  времени,  т.е. ε=ώ=6сt. Для

ω -?  - ?

ε - ? аn-? а - ?

момента времени t=2с ε=12. Нормальное и тангенциальное ускорения определяются по формулам соответственно: = и =ε·R или после подстановки: =19,60 и =1,20.

 Пример 4. Лодка стоит в неподвижной воде. Человек, находящийся в лодке, переходит с носа на корму. На какое расстояние переместится лодка, если ее масса 120 кг, масса человека 60 кг, а длина лодки 3м? Сопротивлением воды пренебречь.

Дано:

М=120кг;

m=60 кг;

L=3м.

Решение

Если выбрать ось x так, что ее начало совпадает с начальным положением кормы лодки             (точка 0, рис 1.2.), то зависимости координат           кормы лодки и человека от времени получат вид: xk= ·t;  xч=L- ·t,    где   -  скорость  лодки;

ℓ - ?

– скорость человека. Когда человек  перейдет на корму, то их координаты совпадут и, следовательно, ·t=L-·t, откуда t=. Расстояние, на которое переместилась лодка, равно отрезку 0xk, и определяется по формуле

ℓ=0xk=.                                      (1)

Рис.1.2

Для определения взаимосвязи между скоростями x1 и x2 используем закон сохранения импульса, полагая, что человек и лодка составляют замкнутую систему. Первоначально импульс системы равнялся нулю, так как человек и лодка не перемещались. При движении импульс системы равен М· - m· . По закону сохранения импульса

М·Х1 - m ·Х2=0,

откуда

Х2  = .                                          (2)

После подстановки скорости x2 из формулы (2) в формулу (1) получим

ℓ = ,   или   ℓ = .

После подстановки значений ℓ =  = 1м.

Пример 5. Движущееся тело массой m1 ударяется о неподвижное тело массой m2. Считая удар упругим и центральным, определите, какую часть своей первоначальной кинетической энергии первое тело передает второму при ударе? Задачу решите сначала в общем виде, а затем рассмотрите случаи: 1) m1= m2; 2) m1 = 9m2.

Дано:

m1, m2,;

m1= m2;

m1 = 9m2;

1 , 2=0.

Решение

Пусть скорость первого тела до удара V1. Скорость второго тела до удара 2=0. Кинетическая энергия первого тела до удара Ек1. Предположим, что скорость второго тела после удара равна u2. Тогда кинетическая энергия второго тела после удара ,  а  отношение энергий

- ?

                                         (1)

Для определения скорости второго тела после удара используем законы сохранения импульса и энергии, полагая, что система тел замкнута и в ней действуют только консервативные силы.

                             (2)

Преобразуем систему (2) к виду

                             (3)

Разделив одно на другое  выражения системы (3), получим u1 = u2 –V1, а после подстановки скорости u1 в первую формулу системы (3) получим

 u2 = .                                         (4)

Отношение энергий (1) приобретает вид . Если m1=m2, то =1. При равенстве масс первое тело полностью отдает энергию второму, т.е. первое тело остановится, а второе начнет двигаться со скоростью первого тела. Если m1=9m2, то ==0,36.

Пример 6.  Определите работу растяжения двух соединенных последовательно пружин жесткостями k1=400 и k2=250, если первая пружина растянулась на Δx1 = 0,02 м.

Дано:

k1 = 400;

k2=250;

Δx1 = 0,02 м.

Решение

Работа растяжения обеих пружин равна сумме работ, совершаемых при растяжении каждой из них, т.е.

А = ,                      (1)

где Δx2 - величина растяжения второй пружины (рис.1.3)

А - ?

Рис.1.3

 

Так как пружины соединены последовательно, то силы, действующие на них, одинаковы и могут быть определены по закону Гука F=k1·Δx1=k2·Δx2 . Из последнего равенства  найдем

Δx2 =.                                          (2)

Подставим (2) в формулу (1), получим А=. После подстановки  данных и вычисления А=Нм=0,2Дж.

Пример 7. К диску приложена касательная сила F = 1 кН. Определите угловое ускорение ε, угловую скорость ω и число оборотов N диска через время t = 1с после начала вращения. Масса диска m = 40 кг, а радиус R = 0,2 м. Неподвижная ось вращения проходит через центр диска перпендикулярно его плоскости.

Дано:

F = 1 кН;

t = 1 с;

m = 40 кг;

R = 0,2 м.

Решение

Для определения углового ускорения диска используем основное уравнение динамики вращательного движения

ε=,                                 (1) 

где М=FR - момент силы относительно оси вращения диска; J = ½ m·R2 – момент инерции диска.

ε - ? ω - ?

N - ?

После подстановки значений момента силы и момента инерции в формулу (1) получим ε =. После подстановки числовых данных и вычисления найдем ε==250. Угловую скорость диска через 1с после начала вращения найдем по формуле ω=ε·t, или ω=250·1=250. Для определения числа оборотов диска используем выражения: φ=2·N и φ=,  откуда N=, или N==19,90об.

Пример 8. Горизонтальная платформа, имеющая форму диска, может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы. На краю платформы стоит человек. На какие углы φ1 и φ2 повернутся платформа и человек относительно земли, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя его, вернется в исходную точку. Масса платформы 240 кг, масса человека 60 кг. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

 

Дано:

М = 240 кг;

m = 60 кг.

Решение

Углы поворота φ1 и φ2 платформы и человека определим, соответственно, по формулам:

φ1 = ω1· t                                 (1)  

и

 φ2 = ω2· t,                                (2)  

где ω1 – угловая скорость платформы относительно земли; ω2 – угловая скорость человека относительно земли; t – время поворота платформы. На рис.1.4,а и б показаны положения человека и платформы в начале и в конце движения.

φ1 - ? 

φ2 - ?

Рис.1.4

Из рис. 1.4,б имеем φ12=2π, или с учетом (1) и (2) ω1·t+ω2·t=2π, откуда t=. Угол поворота платформы

 φ11·t=.                                     (3)

Для определения взаимосвязи между угловыми скоростями платформы и человека  воспользуемся законом сохранения момента импульса, полагая, что платформа и человек составляют замкнутую систему тел. До начала движения человека момент импульса системы равен нулю, при движении человека – равен J1·ω1 – J2·ω2 , где J1 = ½М· R2 – момент инерции платформы относительно оси 00 (см. рис.1.4,а); J2 = m· R2 – момент инерции человека относительно оси 00’. По закону сохранения момента импульса J1· ω1 – J2· ω2 = 0,  откуда ω2 = .

 После подстановки угловой скорости ω2 в формулу (3) и преобразования получим φ1=, или φ1=; φ2=.

Пример 9. Определите скорость  ракеты на высоте, равной трем радиусам Земли от ее поверхности, если ракета пущена с Земли с начальной скоростью 0 = 104. Сопротивление воздуха не учитывать. Считать известными радиус R Земли и ускорение свободного падение g на её поверхности.

Дано:

0 = 104;

R = 6,4·106 м;

g = 10 .

Решение

Рассмотрим систему Земля – ракета, полагая, что она является замкнутой, рис.1.5. Так как на тела системы  действуют только консервативные силы, то для решения задачи можно применить закон сохранения механической энергии.

Рис.1.5

-?

Полная механическая энергия ЕI  системы в начальном состоянии I (в данном случае в момент старта ракеты) равна полной механической энергии ЕII системы, когда ракета находится на высоте от поверхности Земли, равной трем радиусам Земли, т.е. ЕI = ЕII, или

Ек1 + Еп1 = Ек2 + Еп2 ,                                   (1)

где Ек1 =–кинетическая энергия ракеты на поверхности Земли; Еп1= - потенциальная энергия системы ракета – Земля в состоянии, когда ракета находится на поверхности Земли; Ек2 =– кинетическая энергия ракеты на высоте 3R от поверхности Земли; Еп2=– потенциальная энергия системы, когда ракета находится на высоте 3R от поверхности Земли. После подстановки в формулу (1) значений энергий получим , или после преобразования, с учетом   g=, получим =. Произведем вычисление: =м/с=0,2∙104м/с.

Пример 10. Материальная точка совершает гармоническое колебание, описываемое уравнением x=(м). Определите амплитуду, период, частоту, циклическую частоту и начальную фазу колебания. Начертите график зависимости смещения точки от времени. По графику определите моменты времени, в которые достигаются максимальная скорость и максимальное ускорение точки.

Дано:

x=(м).

Решение

Запишем уравнение гармонических колебаний  в общем виде: x=Asin(ωt+φ0),  где A - амплитуда колебания; ω - циклическая частота колебания; φ0 – начальная фаза. Сравнивая это уравнение с заданным, получим A=0,15м; ω=; так как ,  то  Т=8с.

А-? T-?  -?

 φ0 - ? ω -?

Частота колебания =, или =0,125 Гц. Начальная фаза колебания φ0=0. На рис.1.6 показан график зависимости смещения точки от времени.

  

Рис.1.6

Максимальная скорость точки будет в те моменты времени, при которых смещение равно нулю, т.е.0с, 4с, 8с, 12с и т.д. Известно, что модуль ускорения точки =|ω2x|.Следовательно, ускорение будет максимальным в моменты максимального смещения точки от положения равновесия, т.е. 2с, 6с, 10с, 14с и т. д.

Пример 11. Определите отношение кинетической энергии материальной точки, совершающей гармоническое колебание, к её потенциальной энергии для моментов времени, при которых смещение от положения равновесия составляет: x1 = ; x2 = ; x3 = , где А – амплитуда колебания.

Дано:

x1 = ;

x2 = ;

x3 = .

Решение

При гармоническом колебании полная механическая энергия W остается величиной постоянной  и может быть определена по формуле

E=Ek+Eп=,                         (1)

где Ек – кинетическая энергия материальной точки, Еп=– потенциальная энергия; k – коэффициент упругой (квазиупругой) силы; x – смещение точки от положения равновесия.

Из выражения (1) определим кинетическую энергию точки Ек=-Еп, или   .

-?  - ?

 - ?

В таком случае отношение энергий , или после преобразования  После подстановки в последнюю формулу значений смещения получим:

=   =  =

Пример 12. Материальная точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинакового направления, уравнения которых имеют вид: x1= 2 cos (2+) см и x2= 3 cos (2+) см. Постройте  векторную диаграмму сложения этих колебаний и напишите уравнение результирующего колебания.

Дано:

x1= 2cos(2+)см;

x2= 3cos(2+)см.

Решение

Из уравнений слагаемых колебаний следует, что они совершаются с  одинаковой частотой, различными амплитудами и начальными фазами. Амплитуда и начальная фаза первого колебания соответственно равны А1=2см,φ; второго    А2 = 3см, φ2=45º.

Для построения векторной диаграммы представим слагаемые колебания с помощью вращающихся векторов А1 и А2 (рис.1.7).

х=x(t)-?

Рис.1.7

Результирующее колебание может быть представлено вращающимся вектором А, который является суммой векторов А1 и А2. Так как частоты вращения векторов А1 и А2 одинаковы, то частота результирующего колебания равна частоте слагаемых колебаний. Поэтому уравнение результирующего колебания будем искать в виде х=Аcos(2+φ), где А - амплитуда результирующего колебания; φ - его начальная фаза. Амплитуду колебания определим по теореме косинусов А=, или после подстановки А = 4,63см.

Для определения начальной фазы колебания воспользуемся выражением tgφ=, или после подстановки и вычисления tgφ==1,95, φ=62050'. Уравнение результирующего колебания x = 4,63cos (2+0,35).

Задание №1

Таблица вариантов для специальностей, учебными планами которых предусмотрено по курсу физики 2 – 6 контрольных работ.

Вариант определяется по последней цифре номера зачетной книжки

Вариант

Номер задачи

0

110

120

130

140

150

160

170

180

1

101

111

121

131

141

151

161

171

2

102

112

122

132

142

152

162

172

3

103

113

123

133

143

153

163

173

4

104

114

124

134

144

154

164

174

5

105

115

125

135

145

155

165

175

6

106

116

126

136

146

156

166

176

7

107

117

127

137

147

157

167

177

8

108

118

128

138

148

158

168

178

9

109

119

129

139

149

159

169

179

 

101. Движения двух материальных точек заданы уравнениями x1=20+4t-3,5t2(м) и x2=2-2t-0,5t2(м). В какой момент времени скорости точек будут одинаковы? Чему равны координаты, скорости и ускорения точек в этот момент времени?

102. Зависимость пройденного телом пути S от времени t задана уравнением S = A+Bt+Ct2, где В = 2 м/с, С = 1 м/с2. Определите среднюю скорость тела за первую, вторую и третью секунды его движения. Чему равно ускорение движения тела?

103. Зависимость координаты x точки от времени t задана уравнением x=A+Bt+Ct2+Dt3 , где А=1м, В=0,1м/с, С=0,14 м/с2, D=0,01 м/с3. В какой момент времени ускорение точки будет равно 1 м/с2? Определите координату и скорость точки в этот момент времени.

104. Тело брошено в горизонтальном направлении со скоростью Vx=15м/с. Чему равно полное ускорение тела? Определите нормальное и тангенциальное ускорения тела через время t=1с после начала движения. Сопротивление воздуха не учитывать.

105. Тело брошено со скоростью V0=10м/с под углом α=450 к горизонту. Чему равно полное ускорение тела? Определите радиус кривизны траектории через время t=1c после начала движения тела. Сопротивление воздуха не учитывать.

106. Движение точки по окружности задано уравнением     S=10-2t+t2. Определите нормальное, тангенциальное и полное ускорения точки через время t=2с после начала движения. Радиус окружности R=4м.

107. Материальная точка совершает плоское движение согласно уравнениям x=A1+B1t+C1t2 и y=A2+B2t. Определите модули скорости и ускорения точки через время t=2c после начала движения, если B1=1м/с, С1=2м/с2 и В2=3м/с.

108. Диск после времени t=1 мин от начала вращения приобретает скорость, соответствующую =12 об/с. Определите угловое ускорение диска и число оборотов за это время. Чему равна угловая скорость диска в этот момент времени?

109. Колесо вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени имеет вид φ=A+Bt+Ct2+Dt3, где В=2 рад/с, С=1рад/с2, D=1рад/с3. Определите радиус колеса при условии, что к концу времени t=3 с движения нормальное ускорение точек обода колеса равно аn=400м/с2. Чему равно угловое ускорение колеса в этот момент времени?

110. Точка движется по окружности радиусом R=0,2 м так, что зависимость угла поворота радиуса от времени имеет вид φ=A-Bt+Ct3, где B=2 рад/с, С=1 рад/с3. Определите для точки зависимости от времени:1) угловой скорости; 2) углового ускорения; 3) линейной скорости;   4) нормального ускорения; 5) тангенциального ускорения.

111. Ядро, летевшее горизонтально со скоростью V=20м/с, разорвалось на два осколка с массами m1=10кг и m2=5 кг. Скорость меньшего осколка V2 = 90м/с и направлена так же, как и скорость ядра до разрыва. Определите направление и численное значение скорости V1 большего осколка.

112. Снаряд массой m =100 кг, летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью V1=500 м/с, попадает в вагон с песком массой М=104кг и застревает в нем. Определите скорость вагона в следующих случаях: 1) вагон стоял неподвижно; 2) вагон двигался со скоростью V0=10 м/с в том же направлении, что и снаряд; 3) вагон двигался со скоростью 10 м/с в направлении, противоположном движению снаряда.

113. С корабля массой М=750т произведен выстрел из пушки в сторону, противоположную его движению, под углом α=300 к горизонту. Определите изменение скорости корабля, если масса снаряда m=30кг, а его начальная скорость V0=1000 м/с. Как изменится ответ в задаче, если предположить, что направления скорости корабля и снаряда совпадали?

114. Тело массой m1=1 кг движется горизонтально со скоростью V1 = 1м/с и сталкивается со вторым телом массой m2=0,5кг. Определите скорости тел после неупругого удара, если: 1) второе тело до удара покоилось; 2) второе тело до удара двигалось со скоростью 0,5м/с в том же направлении, что и первое тело; 3) второе тело двигалось со скоростью 0,5м/с в направлении, противоположном направлению движения первого тела.

115. Человек массой m1=60 кг, бегущий со скоростью V1=2,5м/с, догоняет тележку массой m2=100кг, движущуюся со скоростью V2=1м/с, и вскакивает на нее.1) С какой скоростью станет двигаться тележка вместе с человеком? 2) С какой скоростью они двигались бы, если бы человек бежал навстречу тележке?

116. В лодке массой m1=120 кг стоит человек массой m2=60 кг. Лодка плывет со скоростью V1=2м/с. Человек прыгает относительно лодки в горизонтальном направлении со скоростью V2=5м/с. Определите скорость лодки после прыжка, если: 1) человек прыгал по направлению движения лодки; 2) человек прыгал в сторону, противоположную скорости лодки.

117. Человек массой m1=70кг стоит на тележке массой m2=30кг. С какой скоростью V1 (относительно пола) будет двигаться тележка, если человек пойдет относительно тележки со скоростью V2 = 1м/с? Трение не учитывать.

118. Тело массой m1=1 кг лежит на горизонтальной поверхности. В него попадает пуля массой m2=0,01 кг и застревает в нем. Скорость пули V=750 м/с и направлена горизонтально. Определите коэффициент трения между телом и поверхностью, если тело вместе с пулей до остановки прошло путь S=25м.

119.Тело массой m1=2 кг движется со скоростью 3м/с и нагоняет второе тело массой m2=3,5 кг, движущееся со скоростью 1м/с. Определите скорости тел после соударения, если: 1) удар был неупругим,     2) удар был упругим. Тела двигались по одной прямой. Удар – центральный.

120. С платформы, масса которой М=2∙104кг, производится выстрел из пушки. Снаряд массой m=25 кг вылетает из орудия со скоростью V1=700м/с. Скорость движения платформы V2=9км/ч. Определите скорость платформы сразу после выстрела в двух случаях:1) направления движения платформы и выстрела совпадают;2) эти направления противоположны.

121. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на легком стержне, и застревает в нем. Масса пули m1=0,01 кг, масса шара m2=0,5 кг. Скорость пули V1=550 м/с. При какой предельной длине стержня шар от удара пули сделает полный оборот вокруг оси вращения? Диаметр шара значительно меньше длины стержня.

122. Стальной шарик массой m=0,03 кг падает с высоты Н1=1м на неподвижную стальную плиту и отскакивает от неё на высоту Н2=0,75м. Определите изменение импульса шарика при ударе и количество теплоты, выделившейся при ударе.

123. Движущееся тело массой m1 ударяется о неподвижное тело массой m2. Считая удар неупругим и центральным, определите, какая часть первоначальной кинетической энергии переходит при ударе в тепло. Предлагается задачу первоначально решить в общем виде, а затем рассмотреть случаи : 1) m1=m2, 2) m1=10m2.

124.Движущееся тело массой m1 ударяется о неподвижное тело массой m2. Считая удар упругим и центральным, определите, какую часть своей первоначальной кинетической энергии первое тело передаст второму при ударе? Предлагается задачу первоначально решить в общем виде, а затем рассмотреть случаи: 1) m1=m2, 2) m1=10m2.

125. Нейтрон массой m0 ударяется о неподвижное ядро атома углерода, масса которого m=12m0. Считая удар центральным и упругим, определите, какую часть своей скорости потеряет нейтрон при ударе?

126. Нейтрон массой m0 ударяется о неподвижное ядро углерода, масса которого m=12m0. Считая удар центральным и упругим, определите, во сколько раз уменьшится кинетическая энергия нейтрона при ударе?

127. Тело массой m1=4кг ударяется о неподвижное тело массой m2=2кг, которое при ударе получит кинетическую энергию Ек=5Дж. Считая удар центральным и упругим, определите кинетическую энергию первого тела до и после удара.

128. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на легком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от точки подвеса стержня до центра шара равно ℓ=1 м. Определите скорость пули, если известно, что стержень с шаром отклонились от удара пули на угол =100.

129. Два тела движутся навстречу друг другу и ударяются неупруго. Скорость первого тела до удара равна V1=2 м/с, скорость второго V2=4 м/c. Общая скорость тел после удара по направлению совпадает с направлением V1 и равна V=1м/c. Во сколько раз кинетическая энергия первого тела была больше кинетической энергии второго тела?

130. Масса снаряда m1=10 кг, масса ствола орудия m2=600кг. При выстреле снаряд получает кинетическую энергию Е1=1,8∙106Дж. Какую кинетическую энергию получает ствол орудия вследствие отдачи?

131.Определите работу, которую надо совершить, чтобы увеличить скорость движения тела от 3 до 9м/с на пути s=10м, если на всем пути действует постоянная сила трения, равная 30Н. Масса тела m=2кг.

132. Постройте графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергии тела от времени, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью 20м/с, для 0t4 через интервал 0,5с. Сопротивление воздуха не учитывать. Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с2.

133. Тело бросили под углом =450 к горизонту с начальной скоростью V0=20м/с. Определите кинетическую, потенциальную и полную энергию камня: 1) спустя одну секунду после начала движения; 2) в высшей точке траектории. Масса тела m=0,5 кг. Сопротивление воздуха не учитывать.

134. Определите работу, которую надо совершить, чтобы сжать пружину на Δℓ1=0,2м, если известно, что сила пропорциональна изменению длины пружины и для сжатия пружины на Δℓ2=0,01м требуется сила F=30Н.

135. Определите работу растяжения двух соединенных последовательно пружин, коэффициенты жесткости которых k1=300 Н/м и k2=600 Н/м, если первая пружина растянулась на Δℓ=0,03м.

136. Материальная точка m=0,01 кг движется по окружности радиусом R=0,1м с постоянным тангенциальным ускорением. Определите это ускорение, полагая, что к концу пятого оборота после начала движения точки ее кинетическая энергия Ек=0,05Дж.

137. Самолет массой m=5·103кг летел горизонтально со скоростьюV1=100 м/с. Определите работу мотора самолета, а также изменение кинетической и потенциальной энергии самолета, если он увеличил высоту на Н=2·103м, а его скорость стала V2=80м/с.

138. Материальную точку, подвешенную на нерастяжимой и невесомой нити длиной ℓ=1м, отклонили от вертикали на угол =300, после чего отпустили. Определите максимальную скорость при движении точки. Какую максимальную кинетическую энергию приобретает точка, если ее масса m=0,2кг?

139. Тело массой m=2кг движется согласно уравнению                   x=10-2t+t2+0,02t3 . Определите мощность в моменты времени t1=2c и t2=5с.

140. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью V0=20м/с. На какой высоте кинетическая энергия тела равна его потенциальной энергии? Чему равна скорость тела на этой высоте?

141. К ободу колеса в форме диска радиусом R=0,4м и массой m=10кг приложена касательная сила F=20Н. Определите угловое ускорение и момент инерции колеса. Через какое время угловая скорость колеса будет соответствовать =10 об/с? Начальная скорость колеса равна нулю.

142. На цилиндр, имеющий возможность вращаться вокруг своей оси, намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m1=2кг. С каким ускорением будет опускаться груз, если масса цилиндра m2=10кг? Трение не учитывать.

143. На цилиндр, имеющий возможность вращаться вокруг своей оси, намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m=4кг. Определите момент инерции цилиндра, если груз опускается с ускорением а=0,5м/с2. Радиус цилиндра R=0,1м.

144. Две гири массами m1=2кг и m2=3кг соединены нитью и перекинуты через блок массой m=1кг. Определите ускорение, с которым движутся гири и силу натяжения нити, к которой прикреплены гири.

145. Шар массой m=0,4кг и радиусом R=0,05м катится без скольжения со скоростью V=0,3м/с. Определите кинетическую энергию шара. Какую часть составляет кинетическая энергия шара вращательного движения от суммарной энергии?

146. Шар массой m=1кг и радиусом r=0,05м вращается со скоростью, соответствующей =3об/с, вокруг оси, проходящей через центр шара. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить угловую скорость вращения вдвое? Чтобы остановить шар?.

147. Колесо, имеющее момент инерции J=250кг·м2, вращается, совершая =20об/с. После того, как на колесо перестал действовать вращающий момент силы, оно остановилось, сделав до остановки N=100об. Определите: 1) момент силы трения; 2) время от начала до конца остановки.

148. Маховик вращается с постоянной скоростью, соответствующей =20 об/с и имеет кинетическую энергию Ек=800Дж. Определите время, в течение которого вращающий момент силы М=80Н·м, приложенный к этому маховику, увеличит частоту вращения в два раза.

149. Определите ускорение движения центров масс шара и обруча, скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости. Угол наклона плоскости к горизонтали =450.Сравните полученный результат с ускорением движения тел по этой плоскости без вращения (при отсутствии трения).

150. Определите скорость движения центров масс диска и обруча, скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости высотой Н=0,5 м. Начальная скорость тел равна нулю. Сравните полученный результат со скоростью движения тел без вращения (при отсутствии трения).

151. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. На краю платформы стоит человек. На какой угол повернется платформа, если человек пойдет по краю платформы и, обойдя ее, вернется в исходную точку. Масса платформы в три раза больше массы человека. Считать платформу однородным диском, а человека - материальной точкой.

152. Горизонтально расположенная платформа вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр, делая = 5об/с. На краю платформы стоит человек. С какой угловой скоростью начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру. Масса платформы в четыре раза больше массы человека. Считать платформу однородным диском, а человека – материальной точкой.

153. Платформа в виде однородного диска вращается по инерции вокруг оси с угловой скоростью, соответствующей 1=0,2об/с. На краю платформы стоит человек. Когда человек перешел в центр платформы, частота вращения возросла до 2=0,3об/с. Определите массу платформы, если масса человека равна m=70кг. Момент инерции человека рассчитывать, как для материальной точки.

154. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит руками мяч массой m=0,4кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью V=15м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии r=0,6м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью ω начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч? Суммарный момент инерции человека и скамьи J=5кг·м2. При вращении мяч остается на расстоянии 0,4м от оси вращения.

155. Человек вращается на скамье Жуковского с частотой 1=0,15об/с и держит в руках стержень массой m=4,2кг и длиной ℓ=1м. Стержень расположен вертикально и совпадает с осью вращения. С какой угловой скоростью станет вращаться скамья с человеком, если он расположит стержень горизонтально: 1) так, что центр масс стержня совпадает с осью вращения; 2) так, что с осью вращения совпадает один из его концов. Момент инерции человека и скамьи равен J=5кг·м2.

156. Горизонтально расположенная платформа вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр, с частотой =0,3об/с. Человек стоит в центре платформы. Определите угловую скорость вращения человека и платформы, если человек перейдет от центра к краю: 1) на расстояние, равное половине радиуса платформы; 2) на расстояние, равное радиусу платформы. Масса платформы в три раза больше массы человека. Платформу считать круглым однородным диском, а человека – материальной точкой.

157. Стержень длиной ℓ=1,2м может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. В стержень попадает пуля, летящая в горизонтальном направлении со скоростью V=500м/с и застревает в нем. Определите угловую скорость вращения стержня, если: 1) пуля попадает в нижнюю точку стержня; 2) пуля попадает в середину стержня? Масса стержня в 1000 раз больше массы пули.

158. Однородный стержень длиной ℓ=1,4м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. В нижний конец стержня неупруго ударяет пуля массой 10 г, вследствие чего стержень начинает поворачиваться с угловой скоростью, соответствующей =0,8 об/с. Определите массу стержня, полагая, что скорость пули V=500 м/с.

159. Горизонтально расположенная платформа массой m=60кг и радиусом R=1,2м вращается с угловой скоростью ω=0,3 рад/с. В центре платформы стоит человек и держит в расставленных руках гантели. С какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции и гантелей от 2,5 до                0,8 кг·м2. Платформу принять за однородный диск.

160. Горизонтально расположенный диск вращается с угловой скоростью, соответствующей 1=5 об/с вокруг вертикальной оси, проходящей через центр диска. На диск падает обруч, вращающийся со скоростью, соответствующей 2=1об/с. Оси вращения диска и обруча совпадают. С какой угловой скоростью будет вращаться система тел, полагая, что после соприкосновения обруч и диск вращаются как единое целое? Задачу решить для двух случаев: 1) направления угловой скорости диска и обруча совпадают; 2) угловая скорость обруча направлена в противоположную сторону угловой скорости диска. Масса и радиус диска и обруча одинаковые.

161. Определите значение второй космической скорости, т.е. такой скорости, которую надо сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно преодолело земное тяготение и навсегда покинуло Землю. Радиус Земли R = 6,4·106м.

162. Определите скорость движения Земли по орбите, полагая, что масса Солнца M=2·1030кг и расстояние от Земли до Солнца r=1,5·1011м. Орбиту Земли считать круговой.

163. Космический корабль летит с Земли на Луну. В какой точке прямой, соединяющей центры Земли и Луны он будет притягиваться к Земле и Луне с одинаковыми по величине силами? Считать, что масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а радиус Земли в 3,7 раза больше радиуса Луны.

164. На какое расстояние от поверхности Земли удалилось бы тело при сообщении ему скорости V=5·103м/с, направленной вертикально вверх, если бы атмосфера у Земли отсутствовала?

165. С какой скоростью упадет метеорит на поверхность Луны, полагая, что его скорость вдали от Луны равна нулю? Атмосфера на Луне отсутствует. Масса Луны 7,3·1022кг, радиус Луны 1,7·106м.

166. Определите скорость движения ракеты на высоте, равной радиусу Земли, если она запущена с Земли с начальной скоростью V0=104м/с. Радиус Земли 6,4·106м, масса Земли 6·1024кг.

167. Метеорит падает на Солнце с расстояния, которое можно считать бесконечно большим. Начальная скорость метеорита равна нулю. Какую скорость будет иметь метеорит в момент, когда его расстояние от Солнца будет равно r=1,5∙1011 м?

168. Ракета пущена с Земли с начальной скоростью V0=1,5·104м/с. К какому значению стремится скорость ракеты, если расстояние ракеты от Земли будет бесконечно увеличиваться? Сопротивление воздуха не учитывать. Считать, что ракета взаимодействует только с Землей.

169. Ракета, пущенная вертикально вверх, поднялась на высоту, равную половине радиуса Земли и начала падать обратно на Землю. Определите начальную скорость ракеты. С какой скоростью двигалась ракета на высоте, равной ¼ радиуса Земли? Масса Земли 6·1024кг, радиус Земли 6,4·106м.

170. Земля и Венера движутся по орбитам вокруг Солнца, средние радиусы которых R1=1,5·1011м (Земля) и R2=1,08·1011м (Венера). Определите отношение их линейных скоростей.

171. Уравнение движения точки имеет вид x=5cоsсм. Определите: 1) период колебания; 2) начальную фазу колебания; 3) максимальную скорость точки; 3) максимальное ускорение точки.

172. Уравнение движение точки задано в виде x=2sint. Постройте график зависимости x=x(t).По графику определите моменты времени, в которые: 1) точка имеет максимальную скорость; 2) точка имеет максимальное ускорение.

173. Материальная точка массой 0,05кг совершает колебания согласно уравнению x=0,04sin(t+/3)м. Определите максимальную силу, действующую на точку, и полную энергию точки.

174. Материальная точка массой m=0,02кг совершает гармонические колебания согласно уравнению x=0,05sin() м. Постройте график зависимости от времени (в пределах двух периодов) кинетической, потенциальной и полной энергии точки.

175. Определите отношение потенциальной энергии точки, совершающей гармоническое колебание, к ее кинетической энергии для моментов времени: 1) t=T/8, 2) t=T/6, 3) t=T/4, где Т – период колебания. Начальная фаза колебания равна нулю.

176.Полная энергия материальной точки, совершающей гармоническое колебание Е=3·10-5 Дж, а амплитуда колебания А=3см. При каком смещении точки от положения равновесия на нее действует сила F=3·10-5 Н?

177.Определите отношение потенциальной энергии точки, совершающей гармоническое колебание, к ее кинетической энергии для моментов, когда смещение точки от положения равновесия составляет: 1) x=A/4, 2) x=A/3, 3) x=A/2, где А - амплитуда колебания.

178. Точка одновременно участвует в двух колебаниях одинакового направления, описываемых уравнениями x1=0,02 sin() и x2=0,03 sin(). Запишите уравнение колебания, полученное в результате сложения этих колебаний.

179. Определите амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного в результате сложения двух, одинаково направленных колебаний, уравнения которых имеют вид: x1=0,03sin(5t+) м и x2=0,04 sin 5t (м).

180. Материальная точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинакового направления с одинаковыми частотами, амплитудами А1=5см и А2=10см и разностью фаз Δφ=/3. Запишите уравнение результирующего колебания.

2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА

Основные формулы и законы

Состояние идеального газа описывается уравнением Менделеева - Клапейрона

где Р – давление газа, V – его объем, m – масса газа, M – масса одного моля газа, R – универсальная газовая постоянная, Т – абсолютная температура газа; отношение  определяет число молей газа, которое также можно выразить через число молекул газа N и постоянную Авогадро NА, т.е. = =.

Уравнение Менделеева – Клапейрона можно записать в другой форме:

где  - концентрация молекул,  - постоянная Больцмана.

Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями уравнения Менделеева – Клапейрона:

а) изотермический процесс: Т=const, m=const, PV=const (закон Бойля–Мариотта);

б) изобарический процесс: Р=const, m=const,  =const (закон Гей–Люссака);

в) изохорический: V=const, m=const,  =const (закон Шарля);

г) объединенный газовый закон: m=const, =const.

Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов

Р = Р12+...+Рn = ,

где n – число компонентов смеси газов, Pi – парциальные давления смеси газов.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа

P = ,

где m0 – масса одной молекулы,  - средняя квадратичная скорость движения молекул.

Скорости молекул:

- средняя квадратичная;

- средняя арифметическая;

- наиболее вероятная,

где m – масса газа.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

,

средняя полная кинетическая энергия молекулы

,

где i – число степеней свободы молекулы.

Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в единицу времени,

,

где σ – эффективный диаметр молекул.

Средняя длина свободного пробега молекул газа

.

Молярные теплоемкости газа при постоянном объеме Сv и постоянном давлении Ср:

,         .

Молярная С и удельная с теплоемкости связаны между собой соотношением

.

Внутренняя энергия идеального газа

.

Первое начало термодинамики

Q = ΔU +A,

где Q - количество теплоты, сообщенное телу; ΔU – изменение внутренней энергии тела; А - работа, совершенная системой против внешних сил.

Работа расширения газа:  - в общем случае;

А=Р(V2–V1) – при изобарном процессе;

- при изотермическом процессе;

- при адиабатном процессе.

Уравнения Пуассона, связывающие параметры идеального газа при адиабатном процессе:

PV   = const, TV -1 = const, TP = const,

где =  - показатель адиабаты.

Термический КПД цикла

η=,

где Q1 – количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя;  Q2 - количество теплоты, переданное рабочим телом холодильнику.

КПД цикла Карно

η==,

где Т1 и Т2 – абсолютные температуры соответственно нагревателя и холодильника.

Коэффициент поверхностного натяжения жидкости

,

где F – сила поверхностного натяжения, действующая на контур длиною ℓ, ограничивающий поверхность жидкости; ΔЕ – изменение свободной энергии поверхностной пленки; ΔS - изменение площади поверхности жидкостной пленки.

Давление, создаваемое изогнутой поверхностью жидкости (формула Лапласа)

,

где R 1 и R2 - радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных сечений поверхности жидкости. В случае сферической поверхности , где R – радиус сферы.

Высота подъема жидкости в капиллярной трубке

,

где  – краевой угол; при полном смачивании стенки трубки жидкостью =0, при полном несмачивании стенки трубки жидкостью =,       R – радиус канала трубки, ρ – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения.

Высота подъема жидкости между двумя близкими параллельными друг другу плоскостями

,

где d – расстояние между плоскостями.

Примеры решения задач

Пример 1. Смесь кислорода и азота при температуре t=270С находится под давлением Р=2,3·102 Па. Масса кислорода составляет 75% от общей массы смеси. Определите концентрацию молекул каждого из газов.

Дано:

Т=300 К;

Р=2,3·102 Па;

m1=0,75 m;

k=1,38·10-23 1/моль;

М1=0,032 кг/моль;

М2=0,028 кг/моль.

Решение

Смесь газов принимаем за идеальный газ, описываемый уравнением Менделеева – Клапейрона

Р = nkT,                             (1)

где n=n1+n2 (2) - концентрация смеси газов,       n1 – концентрация молекул кислорода, n2 – концентрация молекул азота, k – постоянная Больцмана.

Из выражений (1) и (2) имеем

n1 - ?  

n2 - ?

n1+n2 = .                                       (3)

Выразим концентрацию n1 через концентрацию n2. По условию задачи масса кислорода

m1 = 0,75 m,                                          (4)

где m – масса смеси.

Массу кислорода можно выразить также через концентрацию n1 и объем газа:

m1 = ,                                       (5)

где М1 – молярная масса кислорода, NA – число Авогадро, V – объем газа.

Приравняв правые части выражений (4) и (5), получим

n1 = .                                      (6)

Масса азота m2=0,25m, или иначе m2=. Приравняв значения m2 из последних двух формул, найдем

n2=.                                        (7)

Из выражений (6) и (7) имеем

 n2 = .                                           (8)

Подставив в формулу (3) значение n2 из последнего выражения, получим n1 =. После подстановки значений и вычисления n1=0,40·1023 (1/м3), n2=0,15·1023 (1/м3).

Пример 2. В закрытом сосуде объемом V=1 м3 находится m1=1кг азота и m2=1,5 кг воды. Определите давление в сосуде при температуре t=6000С, зная, что при этой температуре вся вода превратится в пар.

Дано:

V=1 м3;

m1=1 кг;

m2=1,5 кг;

Т=873 К;

M1=0,028 кг/моль;

M2=0,018 кг/моль;

R=8,3 .

Решение

По закону Дальтона давление в сосуде после превращения воды в пар

Р=Р12 ,                             (1)

где Р1 - давление азота, Р2 – давление водяного пара. Состояние азота в сосуде определяется уравнением Менделеева - Клапейрона  

                          (2)

где M1 – молярная масса азота, R – универсальная газовая постоянная.  Аналогично для водяного пара

Р - ?

,                                          (3)

где M2 – молярная масса водяного пара.

Из уравнений (2) и (3) имеем: , . После подстановки давлений Р1 и Р2 в выражение (1) имеем  Используя числовые значения, получим Р = 8,62·105 Па.

 Пример 3. Определите число молекул воздуха в аудитории объемом V=180 м3 при температуре t=220С и давлении Р=0,98·105 Па. Какова концентрация молекул воздуха при этих условиях?

Дано:

V=180 м3;

Т=295 К;

R=8,31;

Р=0,98· 105 Па;

NA=6,02·1023.

Решение

Число молей воздуха в аудитории

                          (1)

где – NA - число Авогадро, m – масса воздуха в аудитории, М – молярная масса воздуха.

Из выражения (1)

N = .                           (2)

N - ? , n - ?

Число молей воздуха в аудитории можно выразить, используя уравнение Менделеева - Клапейрона   откуда  После подстановки  из последней формулы в выражение (2) получим

.                                           (3)  

Используя числовые значения, определим N = 0,43·1028. Проверим единицы измерения правой части выражения (3)  . Концентрацию (число молекул в единице объема) определим по формуле , после подстановки n=0,24·1026.

Пример 4. Определите среднюю квадратичную скорость молекул некоторого газа, плотность которого при давлении Р=1,1·105 Па равна ρ=0,024. Какова масса одного моля этого газа, если значение плотности дано для температуры 270 С?

Дано:

Р = 1,1·10 5 Па;

ρ = 0,024 ;

Т = 300 К.

Решение

     Для определения средней квадратичной скорости движения молекул используем основное уравнение молекулярно-кинетической теории в таком виде:

,                           (1)

где m0 – масса одной молекулы газа, n – концентрация молекул.

Так как m0n = ρ, то уравнение (1) можно записать

- ?;

M - ?

в таком виде: , откуда ,после подстановки числовых значений и вычисления получим

  .

Для определения массы одного моля газа используем уравнение Менделеева - Клапейрона  откуда . Так как , то , или . После подстановки числовых значений и вычисления

.

Пример 5. Определите внутреннюю энергию m=0,4 кг азота при температуре t=270 С. Какие части составляют энергии молекул поступательного и вращательного движений от внутренней энергии азота?

Дано:

m = 0,4 кг;

t = 270 С;

Решение

Внутренняя энергия идеального газа определяется выражением , где М - молярная масса азота; ί – число степеней свободы молекул азота; R – универсальная газовая постоянная; Т – абсолютная температура газа. Молекула азота состоит из двух атомов, поэтому число степеней  свободы   равно   5.   Учитывая,   что для азота

U - ? ,  - ?

- ?

М = 0,028 , после подстановки числовых значений и вычисления получим

 

На поступательное движение молекул азота из пяти приходится три степени свободы, поэтому , а отношение , или  На вращательное движение молекул азота из пяти приходится две степени свободы, поэтому , а отношение , или

Пример 6. Плотность некоторого двухатомного газа при нормальных условиях ρ = 1,43 . Определите молярные и удельные теплоемкости этого газа при постоянном объеме и постоянном давлении.

Дано:

ρ = 1,43  

Р0 = 105 Па;

Т0 = 273 К;

R = 8,31.

Решение

Молярные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении определяются соответственно по формулам:

   (1)      и     ,        (2)

где ί – число степеней свободы молекулы (для двухатомного газа ί = 5), R – универсальная газовая постоянная.  После подстановки числовых значений

Сv - ? Cp- ?

cv -? cp-?

и вычисления получим: , . Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении определяются по формулам:  и , где М – молярная масса газа. Для определения молярной массы газа используем уравнение Менделеева – Клапейрона , или . Так как , то . Формула для определения молярной теплоемкости , , или с учетом формулы (1) и (2) , . После подстановки числовых значений и вычисления сV=,    

.

Пример 7. Азот массой m=0,2кг нагревают от t1=500C до t2=1000C. Определите изменение внутренней энергии газа, работу расширения газа и количество теплоты, полученное газом при изобарном и изохорном процессах.

 

Дано:

m = 0,2 кг;

t1 = 500 C;

t2 = 1000 C;

R = 8,31 ;

M = 0,028 .

Решение

Для решения задачи применим первый закон термодинамики

Q = ∆U + A,                           (1)

где Q – количество теплоты, подводимое к газу,              ∆U – изменение внутренней энергии, ∆A – работа, совершаемая газом. Изменение внутренней энергии

 ,                      (2)

где М – молярная масса азота, ί – число степеней свободы молекул азота (так как молекула азота состоит из двух атомов, то ί=5), ∆Т – изменение температуры.

∆U1 -? A1 - ? Q1 -?

∆U2 -? A2 - ? Q2 -?

Работа, совершаемая газом,

A = P∆V,                                               (3)

где Р – давление газа, ∆V – изменение объема.

Первоначально рассмотрим изобарный процесс. Изменение внутренней энергии можно определить по формуле (2). После подстановки числовых значений и вычисления, получим  Для определения работы, совершенной газом при изобарном процессе, запишем уравнение состояния газа до и после нагревания:

            (4)     и     .                  (5)

Вычтем из уравнения (5) уравнение (4), получим , или  После подстановки числовых значений получим  Количество теплоты, полученное газом, определим по формуле (1):

Q1 = 0,74∙104 Дж + 0,29∙104 Дж = 1,03∙104 Дж.

При изохорном процессе изменение внутренней энергии определяется, как и в случае изобарного процесса, и следовательно, ΔU2=0,74·104 Дж. Так как объем при этом процессе не изменяется, т.е. ΔV = 0, то из формулы (3) следует A2=0. Количество теплоты, полученное газом (формула 1) при таком процессе, равно изменению внутренней энергии Q2 = ΔU2 = 0,74·104 Дж.

Пример 8. Кислород, занимающий при давлении Р=105 Па объем V1 = 0,04 м3, расширяется так, что объем увеличивается в два раза. Определите конечное давление и работу, совершенную газом при изобарном, изотермическом и адиабатном процессах.

Дано:

Р = 10 5 Па;

V = 0,04 м3;

V1 = 0,08 м3.

Решение

1. При изобарном процессе Р=const, следовательно, Р1=Р=105 Па. Работа при изобарном процессе А1=РΔV=105 (0,08м3–0,04м3)=0,4·104Дж.

2. При изотермическом процессе начальные и конечные значения давления и объема связаны между собой выражением РV=P2V1, откуда

P1 - ? P2 - ? P3 - ?

A1 - ? A2 - ? A3 - ?

Для определения работы газа при изотермическом процессе необходимо воспользоваться выражением dA=PdV, так как в процессе расширения давление изменяется. Выразив из уравнения Менделеева – Клапейрона (m – масса газа, М – молярная масса кислорода, Т – абсолютная температура) давление и подставив его в формулу работы, получим  Так определяется работа при элементарно малом расширении газа. Вся работа , или после интегрирования  так как , то . После подстановки числовых значений и вычисления А2=105 

3. При адиабатном процессе давление и объем связаны между собой уравнением Пуассона PVγ = P3V1γ, где γ =  молярная теплоемкость газа при постоянном давлении,  - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Так как молекула кислорода состоит из двух атомов, то i = 5, а отношение  Из уравнения Пуассона , или после подстановки и вычисления Р3=105Па . Работа, совершаемая газом при адиабатном расширении, равна убыли внутренней энергии, т.е. , где Т3 – абсолютная температура газа после адиабатного расширения. Запишем уравнение состояния до и после адиабатного расширения газа  и , где Т3 – абсолютная температура газа после адиабатного расширения. Из последних двух уравнений , а следовательно, . После подстановки числовых значений и вычисления

Пример 9. Углекислый газ (СО2), начальная температура которого Т1 = 360К, адиабатически сжимается до 0,05 первоначального объема. Определите изменение внутренней энергии и совершенную газом работу, если масса газа m=0,02кг.

Дано:

Т1 = 360К;

V2 = 0,05V1 ;

m = 0,02кг.

Решение

Адиабатный процесс происходит без теплообмена с окружающей средой, поэтому в первом законе термодинамики Q=∆U+A следует считать Q=0. Поэтому изменение внутренней энергии  где i – число степеней свободы молекул  углекислого  газа  (так  как молекула

∆U - ? A - ?

СО2 состоит из трех атомов, то i = 6), М = 0,044 - молярная масса углекислого газа, Т2 – температура газа после адиабатного сжатия. Температура и объем газа до и после адиабатного сжатия связаны между собой уравнением Пуассона , где ,  - молярная теплоемкость газа при постоянном давлении,  - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. После подстановки и вычисления находим  В таком случае , а изменение внутренней энергии углекислого газа  После подстановки числовых значений и вычисления ; ;  = 6,9·103Дж.

Пример 10. Рабочим телом в цикле Карно является воздух, масса которого m=7,25 кг. В состоянии I (рис.2.1) давление и температура воздуха равны: Р1=0,21·107Па и Т1=505К, а в состоянии III Р3=0,26·105Па и Т3=252К. Определите полезную работу цикла.

Дано:

m =7,25 кг;

Р1 = 0,21·107Па;

Т1 = 505 К;

Р3 = 0,26·105Па;

Т3 = 252 К.

Решение

Цикл Карно – процесс, в котором рабочее тело (в данном случае воздух) приводят в тепловой контакт последовательно с нагревателем, потом с холодильником, температуры которых T1 и Т3. Работа, совершаемая рабочим телом в тепловой машине, определяется выражением

A=Q1– Q2 ,                           (1)

где Q1 – количество  теплоты,  полученное рабочим

A - ?

Рис.2.1

телом от нагревателя, Q2 – количество теплоты, отданное рабочим телом холодильнику.

При работе машины по циклу Карно рабочее тело на участке           I–II (изотермическое расширение ΔU=0) получает количество теплоты Q1, равное работе расширения, т.е.

,            (2)

где М – молярная масса воздуха,       V1 – объем газа в I состоянии,           V2 – объем газа во II состоянии. На участке III – IV (изотермическое сжатие, ΔU = 0) рабочее тело отдает количество теплоты Q2, равное работе сжатия

.                                       (3)

После подстановки в формулу (1) Q1 и Q2 из выражений (2) и (3) получим

                              (4)

Для определение объемов V1 и V3 запишем уравнение Менделеева - Клапейрона для I и III состояний:  и . Из этих двух уравнений после подстановки и вычисления получим: V1=0,5м3, V3=19,8 м3.

Для определения объемов V2 и V4 эапишем уравнение Пуассона для адиабатного расширения (II-III)  и адиабатного сжатия (IV-I) , где , так как число степеней свободы для воздуха  = 5. Из последних двух уравнений после подстановки и вычисления получим: V2=3,5 м3 и V4=2,83 м3. Работу цикла определим по формуле (4), после подстановки и вычисления ,

Пример 11. Определите изменение свободной энергии ΔW поверхности мыльного пузыря при изотермическом увеличении его объема от V1 = 5 см3 до V2 = 10 см3.

Дано:

V1 = 5·10-6 м3;

V2 = 10·10-6 м3;

α = 4·10-2 .

Решение

У мыльного пузыря (как и у любой пленки) две поверхности - внешняя и внутренняя, площади которых практически одинаковы из-за малой толщины пленки. Поэтому свободная энергия поверхности W=2αS, а ее изменение

ΔW = 2αΔS,                          (1)

где α – коэффициент поверхностного натяжения

∆W - ?

мыльной воды, ΔS –изменение площади поверхности пузыря.

Изменение площади пузыря определим по формуле

ΔS = 4r22 – 4r12,                                        (2)

где r1 и r2 - радиусы пузыря при начальном и конечном объемах (пузырь принимается за сферу). Выразив радиусы через объемы:  и  и подставив их значения в формулу (2), получим

.                                  (3)

Изменение свободной энергии определим по формуле (1) после подстановки ΔS из формулы (3) . После вычислений ΔW=8·3,14·4·10-2 

                                      Задания №2

Таблица вариантов для специальностей, учебными планами которых предусмотрено по курсу физики 2 - 6 контрольных работ.

Вариант

Номер задачи

0

210

220

230

240

250

260

270

280

1

201

211

221

231

241

251

261

271

2

202

212

222

232

242

252

262

272

3

203

213

223

233

243

253

263

273

4

204

214

224

234

244

254

264

274

5

205

215

225

235

245

255

265

275

6

206

216

226

236

246

256

266

276

7

207

217

227

237

247

257

267

277

8

208

218

228

238

248

258

268

278

9

209

219

229

239

249

259

269

279

201.В сосуде объемом V=3·10-3 м3 находится газ при нормальных условиях. Определите число молекул газа в сосуде и концентрацию молекул.

202. Сколько молекул содержится в 1г: 1) воды, 2) кислорода,      3) азота, 4) углекислого газа?

203. В сосуде объемом V = 4·10-3м3 находится кислород массой m = 0,02 кг. Определите концентрацию молекул в сосуде.

204. Газ находится в цилиндре под поршнем при нормальных условиях. Во сколько раз изменится концентрация молекул газа: 1) при увеличении объема газа в 5 раз при прежней температуре; 2) при увеличении температуры газа до t = 1000С при прежнем давлении?

205. Деталь покрыта слоем серебра толщиной d = 1 мкм. Площадь поверхности детали S = 3·10-3 м2.Сколько атомов серебра содержится в покрытии?

206. Плотность некоторого газа ρ=5·10-3 , а средняя квадратичная скорость молекул этого газа равна 600 .Определите давление, которое оказывает газ на стенки сосуда.

207. В сосуде объемом V = 2·10-3 м3 находится m = 0,02 кг азота под давлением P = 0,9·105 Па. Определите: 1) среднюю квадратичную скорость молекул газа, 2) число молекул, находящихся в сосуде, 3) плотность газа.

208. Определите среднюю квадратичную скорость молекул газа, плотность которого при давлении P = 0,95·105 Па равна ρ = 0,082 . Чему равна молярная масса этого газа, если температура t = 270 С?

209. Какой объем занимает смесь азота массой m1 = 0,2 кг и кислорода массой m2 = 0,3 кг при нормальных условиях?

210. Определите число молей и концентрацию молекул газа, объем которого V = 2,4·10-4 м3, температура t = 270 С и давление Р=0,5·105Па.

211. В сосуде находится смесь m1 = 0,02 кг углекислого газа и m2 = 0,015 кг кислорода. Определите плотность этой смеси при температуре t = 270 С и давлении Р = 1,5·105 Па.

212. В закрытом сосуде объемом V=0,5 м3 находится m1=0,45 кг воды и m2 = 0,8 кг азота. Определите давление в сосуде при температуре t = 5000 С, полагая, что при этой температуре вся вода превращается в пар.

213. В закрытом сосуде находится m1=0,015 кг азота и m2=0,018кг кислорода при температуре t=270 С и давлении Р=5·105 Па. Определите объем и молярную массу смеси газов.

214. При каком давлении следует наполнить воздухом баллон объемом V1 = 2·10-3 м3, чтобы при соединении его с баллоном объемом V2 = 4·10-3 м3, содержащим воздух при давлении Р2 = 0,1 МПа, установилось общее давление Р = 0,25 МПа ?

215. В баллоне объемом V = 6·10-2 м3 находится кислород при температуре t = 270С. Определите массу израсходованного кислорода, если давление в баллоне уменьшилось на ΔP = 100 кПа. Процесс считать изотермическим.

 216. В баллоне объемом V = 0,01 м3 находится гелий под давлением Р = 106 Па и при температуре t = 270С. Определите давление в баллоне после того, когда из баллона выпустили m = 0,01 кг гелия, а температура понизилась до 170С.

217. Газовая смесь, состоящая из кислорода и азота, находится в баллоне под давлением Р = 106 Па. Зная, что масса кислорода составляет 20 % от массы смеси, определите парциальные давления Р1 и Р2 отдельных газов.

218. В сосуде емкостью V = 0,02 м3 содержится смесь водорода и азота при температуре t = 270С и давлении Р = 1,2·106 Па. Масса смеси m = 0,145 кг. Определите массу водорода и азота в сосуде.

219. Определите плотность углекислого газа, находящегося в сосуде под давлением Р = 2·105 Па и имеющего температуру t = 70C.

220. В баллоне находится газ при температуре t1 = 170C. Во сколько раз уменьшится давление газа, если половина его выйдет из баллона, а температура уменьшится до t2 = 00C?

221. Определите среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы и температуру газа при давлении Р=0,1Па, если концентрация молекул газа

222. Определите кинетическую энергию, приходящуюся в среднем на одну степень свободы молекулы азота при температуре Т=500К, а также кинетическую энергию молекулы поступательного и вращательного движений. Чему равна полная кинетическая энергия молекулы?

223. Определите кинетическую энергию молекулы углекислого газа поступательного движения при температуре t = 00C, а также полную кинетическую энергию одной молекулы и кинетическую энергию молекул одного моля такого газа.

224. Газ находится в сосуде объемом V =0,05 м3 под давлением Р=2·105 Па. Определите суммарную кинетическую энергию поступательного движения молекул газа.

225. В сосуде содержится кислород массой m = 0,1кг при температуре t = 270С. Определите суммарную кинетическую энергию всех молекул поступательного движения и полную кинетическую энергию молекул газа.

226. Двухатомный газ массой m = 0,5 кг и плотностью ρ = 2 находится под давлением Р = 0,8·105 Па. Определите суммарную кинетическую энергию молекул газа при этих условиях.

 227. В сосуде, объем которого V = 2,5·10-3 м3, находится азот массой m = 0,01 кг при температуре t = 170С. Принимая газ за идеальный, определите его внутреннюю энергию и давление на стенки сосуда.

228. Некоторая масса азота находится в сосуде под давлением Р=105 Па и при температуре Т=300К. Внутренняя энергия газа U=6,3·104Дж. Определите массу газа, его объем и концентрацию молекул.

229. Определите число молекул двухатомного газа, объем которого V = 10-5 м3, давление Р = 5·104 Па и температура t = 270C. Какова внутренняя энергия этого газа ?

230. Определите внутреннюю энергию кислорода массой m=0,03 кг при температуре t = 170C. Какие части от этой энергии составляют: 1) суммарная кинетическая энергия молекул поступательного движения; 2) суммарная кинетическая энергия молекул вращательного движения?

231. Определите молярную и удельную теплоемкости азота при: 1) V = const; 2) Р = const.

232. Определите молярную и удельную теплоемкости при постоянном объеме: 1)хлористого водорода; 2) паров воды; 3) окиси азота.

233. Определите молярную и удельную теплоемкости при постоянном давлении: 1)кислорода; 2) паров ртути; 3) окиси углерода.

234. Определите отношение молярных теплоемкостей Ср и Сv для: 1) азота; 2) паров воды.

235. Удельная теплоемкость некоторого двухатомного газа Ср=. Определите молярную массу этого газа.

236. Плотность некоторого двухатомного газа при нормальных условиях ρ=1,43. Определите удельную теплоемкость этого газа при постоянном объеме и постоянном давлении.

237. Определите удельную теплоемкость при постоянном объеме газовой смеси, состоящей из 60% кислорода и 40% азота.

238. Определите удельную теплоемкость при постоянном давлении газовой смеси, состоящей из 40% кислорода и 60% азота.

239. Определите отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме для смеси, состоящей из m1=5 г гелия и m2 = 10 г водорода.

240. Двуатомный газ под давлением Р = 240 кПа и при температуре Т=300К занимает объем V = 0,01м3. Определите теплоемкость этого газа при постоянном давлении.

241. Определите среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при давлении Р = 105 Па и температуре t = 270С. Эффективный диаметр молекулы воздуха принять равным σ = 0,3·10-9м.

242. Определите среднее число столкновений в единицу времени молекул азота при температуре t = 1270С, если средняя длина свободного пробега молекул .

243. Определите среднее число столкновений между собой молекул кислорода за t=1с при давлении Р=0,53·105 Па и температуре t=270С.

244. Определите среднюю длину свободного пробега молекул гелия при условии, что его плотность ρ = 0,021 .

245. В сосуде объемом V = 5·10-5 м3 находится кислород массой m= 0,5·10-3кг. Определите среднюю длину свободного пробега молекул кислорода при этих условиях.

246. Под каким давлением находится азот, если средняя длина свободного пробега молекул , а температура газа Т=300К.

247. Определите плотность водорода при условии, что средняя длина свободного пробега молекул .

248. Определите среднюю продолжительность свободного пробега молекул гелия при температуре t = 00С и давлении 1Па.

249. Определите среднее число столкновений молекул водорода между собой, находящихся в 0,5·10-3 м3, за время t = 1с при нормальных условиях.

250. Воздух откачан из баллона до давления Р =10-4 Па. Определите: 1) плотность воздуха в сосуде; 2) число молекул воздуха в единице объема сосуда (концентрацию); 3) среднюю длину свободного пробега молекул. Температура воздуха t =270С. Эффективный диаметр молекулы воздуха σ = 0,3·10-9м. Молярная масса воздуха μ = 0,029.

251. Кислород массой m = 0,01кг находится под давлением Р=0,3·106 Па и при температуре t = 100С. После нагревания при постоянном давлении газ занял объем V2 = 0,01 м3. Определите количество теплоты, полученное газом, и внутреннюю энергию газа до и после нагревания.

252. Азот массой m = 0,012 кг находится в закрытом сосуде объемом V = 2·10-3 м3 при температуре t =270С. После нагревания давление в сосуде стало равным Р1 = 1,3·106Па. Какое количество теплоты было сообщено газу при нагревании?

253. В сосуде объемом V = 2,5·10-3 м3 находится углекислый газ под давлением Р =0,5·106 Па. Какое количество теплоты необходимо сообщить, чтобы: 1) при постоянном давлении объем газа увеличить в два раза; 2) при постоянном объеме давление газа увеличить в два раза.

254. В закрытом сосуде находится азот массой m = 0,2 кг при давлении Р1 = 0,1·106 Па и температуре Т1=300К. После нагревания давление в сосуде увеличилось в пять раз. До какой температуры нагрели газ? Определите количество теплоты, сообщенное газу.

 255. Какое количество теплоты надо сообщить воздуху массой m=2,9·10-3 кг для нагревания его: 1) при постоянном давлении на ΔΤ1=100К; 2) при постоянном объеме на ΔΤ2=50К.

256. Какую массу азота можно нагреть при постоянном давлении от температуры t1 =270С до температуры t2 =1270С, сообщая ему количество теплоты Q = 1000 Дж?

257. В закрытом баллоне объемом V = 0,03 м3 находится воздух при давлении Р = 0,1·106 Па. Определите количество теплоты, которое надо сообщить воздуху, чтобы увеличить давление в два раза.

258. Воздух массой m = 0,29 кг находится в закрытом сосуде при температуре Т=300К. Какое количество теплоты надо сообщить воздуху, чтобы увеличить среднюю квадратичную скорость молекул воздуха в три раза? (число степеней свободы молекул воздуха i = 5, молярная масса воздуха М = 0,029).

259. Какое количество теплоты потребуется для нагревания водорода массой m=0,3кг от температуры Т1=300К до температуры Т2=400К при: 1) постоянном объеме: 2) постоянном давлении? Какая работа совершается газом в обоих случаях?

260. Азот массой m = 0,5 кг расширяется изотермически при температуре Т=300К, причем объем газа увеличивается в три раза. Определите: 1) изменение внутренней энергии газа; 2)работу, совершенную газом; 3) количество теплоты, полученное газом.

261. Тепловая машина, работающая по циклу Карно, отдает холодильнику за один цикл Q2 = 1,4·104 Дж тепла. Определите температуру нагревателя тепловой машины, если температура холодильника Т2=300К, а работа цикла А= 5·103 Дж.

262. Газ, являющийся рабочим телом в цикле Карно, за цикл получил от нагревателя Q1=4·103 Дж тепла и совершил работу А=2,5·103Дж. Определите температуру нагревателя, если температура холодильника t2 = 00C.

263. Во сколько раз изменится коэффициент полезного действия в цикле Карно при повышении температуры нагревателя от Т1=400К до  =500К при неизменной температуре холодильника Т2=300К.

264. Тепловая машина, работающая по циклу Карно, имеет температуру холодильника t2 = 00C. Определите температуру нагревателя, если за один цикл машина отдает холодильнику 0,6 количества теплоты, полученного от нагревателя.

265. Тепловая машина работает по циклу Карно. Абсолютная температура нагревателя в четыре раза больше абсолютной температуры холодильника. Какую долю теплоты, получаемой за один цикл от нагревателя, газ отдает холодильнику?

266. Определите работу изотермического расширения А1 тепловой машины, работающей по циклу Карно, если КПД машины η = 0,4, а работа изотермического сжатия А2 = 800Дж.

267. Газ, совершающий цикл Карно, получает от нагревателя Q1=0,8·104Дж тепла. Определите работу газа, если температура нагревателя в три раза больше температуры холодильника.

268. Тепловая машина работает по циклу Карно. За один цикл холодильник получает 30% тепла, полученного рабочим телом от нагревателя, которое равно Q1 = 500 Дж. Определите: 1) КПД цикла; 2) работу, совершенную при полном цикле.

269. Тепловая машина работает по циклу Карно. Рабочее тело за каждый цикл получает от нагревателя Q1 = 800 Дж. Определите работу за цикл, если температура нагревателя Т1=450К, а холодильника Т2=300К.

270. Тепловая машина, работающая по циклу Карно, совершает за цикл работу А = 8·104 Дж. Температура нагревателя t1 = 1500C, температура холодильника t2 = 00C. Определите: 1) КПД машины; 2) количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя; 3) количество теплоты, переданное рабочим телом холодильнику.

271. Глицерин поднялся в капиллярной трубке на высоту h=20мм. Определите коэффициент поверхностного натяжения α глицерина, если радиус канала трубки r = 0,5 мм.

272. В воду опущена на малую глубину стеклянная трубка с радиусом внутреннего канала r = 0,5 мм. Определите объем воды, вошедший в трубку.

273. Две капли ртути радиусом по 0,5 мм слились в одну каплю. Какая энергия выделилась при этом слиянии?

274. Во сколько раз давление внутри мыльного пузыря радиусом r = 2,5 мм больше атмосферного, равного 105 Па?

 275. Пузырек воздуха радиусом r = 10-3 мм находится в воде у самой ее поверхности. Определите плотность воздуха в пузырьке, если атмосферное давление Р0 = 105 Па, а температура воды t = 270C.

276. Две вертикальные параллельные друг другу стеклянные пластины частично погружены в спирт. Расстояние между пластинами d=0,2 мм, их ширина ℓ = 20 см. Считая смачивание полным, определите высоту подъема спирта между пластинами.

277. Каплю ртути радиусом r = 2мм разделили на две одинаковые капли. Какова работа А была совершена при делении против сил поверхностного натяжения?

278. Вода по каплям вытекает из вертикальной трубки внутренний радиус которой r = 0,5мм. Определите радиус капли в момент отрыва, принимая ее за сферическую. Радиус шейки капли в момент отрыва принять равным радиусу внутреннего канала трубки.

279. Определите изменение температуры капли ртути, полученной от слияния двух одинаковых капель радиусом по 0,5мм.

280. Определите силу притяжения двух одинаковых стеклянных пластинок размерами  см, расположенных параллельно друг другу на расстоянии d = 0,01 мм, если пространство между ними заполнено водой. Считать мениск вогнутым с радиусом r, равным половине расстояния между пластинами.

3. ЭЛЕКТРОСТАТИКА. ПОСТОЯННЫЙ ТОК

Основные формулы и законы

Электрическое поле в вакууме

Закон Кулона

где 12 – сила взаимодействия между зарядами Q1 и Q2; r – расстояние между зарядами;  – радиус-вектор, имеющий направление от заряда Q1 к заряду Q2;  – электрическая постоянная.

Напряженность электрического поля

,

где  – сила, действующая на пробный заряд Q.

Напряженность электрического поля, создаваемая точечным зарядом:

где r – расстояние от заряда Q до точки, в которой определяется напряженность; – радиус-вектор, имеющий направление от заряда в данную точку поля, если заряд Q положительный, и к заряду, если он отрицательный.

Принцип суперпозиции электрических полей системы точечных зарядов и непрерывно распределенных в пространстве зарядов:

Объемная , поверхностная  и линейная  плотность                 заряда:

Напряженность поля, создаваемого распределенными зарядами по объему, поверхности и вдоль линии:

где  – радиус-вектор, направленный от выделенного элемента dV, dS или dl к точке, в которой вычисляется напряженность.

Теорема Гаусса для электростатического поля:

где  – поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность;  – алгебраическая сумма зарядов внутри этой поверхности.

Теорема о циркуляции вектора напряженности электрического поля вдоль замкнутого контура:

Потенциал и разность потенциалов электростатического поля:

где  – потенциал поля; WП – потенциальная энергия пробного заряда Q, находящегося в данной точке поля (при условии, что потенциальная энергия заряда, удаленного в бесконечность, равна нулю); 1 и 2 - значения потенциала поля в точках 1 и 2.

Связь потенциала с напряженностью:

а)  в общем случае;

б)  в случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией;

в) E = (12)/d в случае однородного поля.

Принцип суперпозиции для потенциала электростатического поля системы точечных зарядов и непрерывно распределенных в пространстве зарядов:

Потенциал поля, создаваемого распределенными зарядами по объему, поверхности и вдоль линии:

Напряженность и потенциал поля, создаваемые проводящей заряженной сферой радиусом R на расстоянии r от центра сферы:

где Q – заряд сферы.

Напряженность и потенциал поля, создаваемые бесконечной равномерно заряженной прямой линией или бесконечно длинным цилиндром:

где r – расстояние от нити или оси цилиндра до точки, в которой определяются напряженность поля или потенциал.

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью:

Работа сил поля по перемещению заряда Q из точки поля с потенциалом 1 в точку с потенциалом 2:

A12 = Q(12).

Электрический момент диполя:

где Q – заряд; – плечо диполя (векторная величина, направленная от отрицательного заряда к положительному и численно равная расстоянию между зарядами).

Момент сил, действующий на диполь, помещенный в однородное электрическое поле:

где  – угол между векторами pe и E.

Потенциальная энергия (механическая) диполя в электрическом поле:

Электрическое поле в диэлектриках

Диэлектрическая проницаемость среды:

а) =1+, где  – диэлектрическая восприимчивость диэлектрика (в общем случае);

б) =E0/E, где Е0 и Е – напряженности электрического поля соответственно в вакууме и диэлектрике (в случае бесконечного однородного и изотропного диэлектрика).

В последнем случае все соотношения электростатики вакуума могут быть обобщены на электростатику диэлектриков простой заменой в формулах 0 на 0.

Поляризованность диэлектрика:

где V – физически бесконечно малый объем диэлектрика,– электрический момент i – молекулы; N – общее число молекул;                Pn – проекция поляризованности на внешнюю нормаль к выделенной поверхности; ´ – поверхностная плотность связанных зарядов.

Вектор электрического смещения:

где Dn – проекция электрического смещения на внешнюю нормаль к выделенной поверхности;  – поверхностная плотность свободных зарядов.

Проводники в электрическом поле

Электроемкость

где – потенциал проводника; U – разность потенциалов пластин конденсатора.

Электроемкость плоского конденсатора:

где S – площадь пластины (обкладки) конденсатора; d – расстояние между пластинами.

Электроемкость сферического конденсатора:

где r и R – радиусы внутренней и внешней обкладок.

Электроемкость цилиндрического конденсатора:

где l – длина конденсатора; r и R – радиусы внутренней и внешней обкладок.

Электроемкость батареи конденсаторов:

а)  при последовательном соединении;

б)  при параллельном соединении,

где N – число конденсаторов в батарее.

Энергия электрического поля

Энергия заряженного конденсатора:

Энергия и объемная плотность энергии электрического поля:

Постоянный электрический ток

Сила и плотность постоянного тока:

где dQ – заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время dt; S – площадь поперечного сечения проводника.

Связь плотности тока со средней скоростью <> направленного движения заряженных частиц:

где Q – заряд частицы, n – концентрация заряженных частиц.

Закон Ома (в интегральной форме):

                       

а) для неоднородного участка цепи (содержащего ЭДС), где E – ЭДС источника тока; R – полное сопротивление участка цепи (сумма внешнего и внутреннего сопротивлений);                 (12) – разность потенциалов на концах участка цепи;

б)  для однородного участка цепи (не содержащего ЭДС);

в)  для замкнутой (полной) цепи,

где R – внешнее сопротивление цепи; r – внутреннее сопротивление цепи.

Сопротивление R и проводимость Q проводника:

где  – удельное сопротивление;  – удельная проводимость; l – длина проводника; S – площадь поперечного сечения проводника.

Сопротивление системы проводников:

а)  при последовательном соединении;

б)  при параллельном соединении,

где Ri – сопротивление i-го проводника.

Закон Ома в дифференциальной форме:

а) , для неоднородного участка цепи, где  – плотность тока;  – удельная проводимость;  – напряженность электрического поля;  - напряженность поля сторонних сил;

б)  для однородного участка цепи.

Правила Кирхгофа:

а)  – первое правило;

б) εк – второе правило,

где  – алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле;  – алгебраическая сумма произведения сил токов на сопротивления участков замкнутого контура; εK – алгебраическая сумма ЭДС.

Работа тока:

A = IUt,  A = I 2Rt,  A = U 2t/R.

Первая формула справедлива для любого участка цепи, на концах которого поддерживается напряжение U, последние две – для участка, не содержащего ЭДС.

Мощность тока: 

P = IU,  P = I 2R,  P = U 2/R.

Закон Джоуля-Ленца:

а) Q = I 2Rt  в интегральной форме;

б) уд =j 2   в дифференциальной форме,

где  уд = dQ/(dVdt) – удельная тепловая мощность тока;  – удельное сопротивление; j – плотность тока.

Примеры решения задач

Пример 1. В вершинах квадрата находятся одинаковые по величине точечные заряды  Q1 = Q2 = Q3 = Q4 = 1 нКл. Определить величину заряда Q0, который надо поместить в центр квадрата, чтобы система зарядов находилась в равновесии.

Решение

Все заряды, расположенные в вершинах квадрата, находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре квадрата, чтобы какой-нибудь один из четырех зарядов, например Q1, находился в равновесии. Заряд Q1 будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю (рис.3.1):

                +++=0,                         (1)

где  , ,, – силы, с которыми соответственно действует на заряд Q1 заряды Q2, Q3, Q4, Q0.

В проекции на ось Х уравнение (1) запишется в виде

F12 cos 450 + F14 cos 450 + F13F10 = 0 .

Применив закон Кулона и имея в виду, что Q1=Q2=Q3=Q4=Q,  найдем

откуда . Произведем вычисления:

Q0 = 0,95Q = 0,95 нКл.

Пример 2. Два точечных электрических заряда Q1=1 нКл и Q2=–2 нКл находятся в вакууме на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить напряженность Е и потенциал  поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удаленной от заряда Q1 на расстояние r1=9 см и от заряда Q2 на расстояние r2=7 см. Какая сила, будет действовать на точечный заряд Q΄=1 пКл, если его поместить в точку А?

Решение

Согласно принципу суперпозиции электрических полей каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Напряженность  электрического поля в искомой точке будет равна геометрической сумме напряженностей 1 и 2 полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

Модуль вектора  найдем по теореме косинусов (рис.3.2):

                              (1)

где – угол между векторами 1 и 2, который может быть найден из треугольника со сторонами r1, r2 и d:. В данном случае во избежание громоздких записей удобно значение cos вычислить отдельно:

Напряженность электрических полей, создаваемых соответственно зарядами Q1 и Q2:

                         (2)

Подставляя выражения для Е1 и Е2 из (2) в (1) и вынося общий множитель 1/(4) за знак корня, получаем

                         (3)

Сила, действующая на заряд Q΄,

 F = Q΄E.                                                (4)

В соответствии с принципом суперпозиции электростатических полей потенциал результирующего поля, создаваемого двумя зарядами Q1 и Q2 , равен алгебраической сумме потенциалов, т.е.

=1 +2 .                                           (5)

Потенциал поля точечного заряда Q на расстоянии r от него выражается формулой

                                            (6)

В нашем случае согласно формулам (5) и (6) получаем

                                 (7)

Подставив в формулы (3), (4) и (7) численные значения физических величин, произведем вычисления:

Пример 3. Тонкий диск радиусом r = 10 см равномерно заряжен с поверхностной плотностью = 5 мкКл/м2. Найти напряженность и потенциал электростатического поля в точке А, лежащей на оси диска на расстоянии а=1 м от него (рис.3.3).

Решение

Чтобы найти потенциал в точке А, надо применить принцип суперпозиции электростатических полей. Разобьем диск на элементарные кольца толщиной dx. Площадь кольца радиусом х равна 2xdx, а заряд кольца dQ=·dS=2xdx. Потенциал поля кольца равен сумме потенциалов, созданных всеми его точечными элементами. Так как последние равноудалены от точки А, то заменив заряд кольца точечным зарядом той же величины, удаленным на расстояние  от точки А, найдем потенциал поля кольца, используя формулу для потенциала поля точечного заряда:

Интегрируя, определим потенциал поля диска:

                         (1)

Из соображений симметрии ясно, что вектор напряженности электрического поля  направлен в точке А вдоль оси диска. Поэтому для нахождения модуля  также можно применить разбиение диска на кольца с выделением на кольце точечного заряда и последующим использованием принципа суперпозиции для напряженности электрического поля в виде интеграла: E=∫dE. Однако, имея ответ (1), поступим проще. Рассматривая величину а как переменную, используем формулу, связывающую Е и  в случае поля, обладающего осевой симметрией:

                             (2)

Проверим, дают ли правые части полученных выражений для  и Е соответствующие единицы потенциала (В) и напряженности электрического поля (В/м):

 

Выразим физические величины, входящие в формулы (1) и (2), в единицах системы СИ (= 5·10-6 Кл/м2; r=0,1 м; =8,85·10-12 Ф/м; =1 м) и произведем вычисления:

Пример 4. Два коаксиальных диска радиусами R1=10 см и R2=5см расположены на расстоянии d=2,4 мм друг от друга (рис.3.4). Диски заряжены равномерно с поверхностной плотностью, равной =20мкКл/м2. Определить силу электрического взаимодействия дисков.

Рис.3.4

          Решение

Найдя площадь дисков и зная поверхностную плотность их зарядов, можно вычислить заряды дисков. Однако было бы ошибкой вычислять затем силу их взаимодействия по закону Кулона, который применим лишь для точечных зарядов.

Можно сначала по закону Кулона найти силу взаимодействия двух бесконечно малых элементов дисков, а затем, суммируя эти силы по обеим плоскостям (т.е. производя двойное интегрирование), определить полную силу взаимодействия дисков.

Однако существует другой, более простой путь решения задачи. Каждый из двух взаимодействующих зарядов находится в поле другого заряда. При этом напряженность поля заряженного диска радиусом R1 в тех точках, где расположен второй диск, можно вычислить, не прибегая к интегрированию. Действительно, все точки диска R2 находятся близко от диска R1 и далеко от его краев. Это значит, что диск R1 можно рассматривать как бесконечную равномерно заряженную плоскость, напряженность электрического поля которой определяется с помощью теоремы Гаусса и задается формулой  Тогда искомую силу F можно найти, исходя из того, что поле диска R1 будет однородным в пределах диска R2, по формуле

F = Q2E ,                                                 (1)

где Q2S2 = – заряд диска радиусом R2.

Подставив выражение для Е и Q2 в формулу (1), получим

                                  (2)

Выразим в единицах СИ входящие в формулу (2) величины: R2=5·10-2 м; =2·10-5 Кл/м2; = 8,85·10-12 Ф/м. Выполнив вычисления, найдем

Пример 5. Заряд Q=2 мкКл распределен по тонкому кольцу радиусом r=10 см. Найти работу сил поля при перемещении точечного заряда Q' =1 нКл из центра кольца на бесконечность.

Решение

Так как неизвестно, как распределен заряд Q по кольцу, то ничего нельзя сказать о напряженности Е поля этого заряда. А это значит, что непосредственно вычислить работу как интеграл  здесь непросто. С помощью же понятия потенциала и формулы для работы сил электростатического поля по перемещению заряда Q ' из точки поля с потенциалом 1 в точку с потенциалом 2 запишем A12=Q '(12). Решение задачи упрощается. В самом деле, так как все элементы кольца находятся на одном и том же расстоянии r от центра кольца, то потенциал в этой точке 1 = Q/(). А потенциал на бесконечности 2=0. Следовательно, работа

                                  (1)

Выразим в единицах СИ входящие в формулу (1) величины: Q=2·10-6 Кл; r=0,1 м; Q'=10-9 Кл; =8,85·10-12 Ф/м. Выполнив вычисления, найдем

Пример 6. Точечный заряд Q=1 нКл находится на расстоянии =10 см от безграничной проводящей плоскости. Найти работу А, которую совершит электрическая сила, действующая на заряд Q при его медленном удалении на очень большое расстояние от плоскости.

Решение

Рис.3.5

Действие проводящей плоскости с ее индуцированными зарядами можно заменить действием точечного заряда Q, являющегося зеркальным отображением данного заряда Q в проводящей плоскости (рис.3.5,а.). Действительно, плоскость, проходящая посередине между двумя точечными зарядами +Q и Q перпендикулярно к линии, соединяющей эти заряды, является эквипотенциальной. Потенциал ее равен нулю (потенциал каждой из точек равен ). Если в этой плоскости будет находиться неограниченная или же заземленная проводящая поверхность, то поле между зарядами не изменится.

Сила, действующая на заряды, определяется полем зарядов +Q и Q, эквивалентным полю сформулированному в задаче.

По определению работа электрической силы при элементарном перемещении dx (рис.3.5,б)

                                   (1)

где Fx – электрическая сила взаимодействия заряда Q с фиктивным зарядом-изображением Q’ = – Q. Проинтегрировав выражение (1) по х от  до ∞, найдем

                               (2)

Проверим наименование единиц в формуле (2):

Выразим физические величины, входящие в формулу (1), в единицах СИ (Q = 10-9 Кл; = 0,1 м; = 8,85·10-12 Ф/м) и произведем вычисления:

Замечание. Попытка решить эту задачу другим способом – через потенциал – приводит к неверному результату (он вдвое отличается от полученного нами). Это связано с тем, что соотношение A=Q(12) справедливо только для потенциального поля. В системе же отсчета, связанной с проводящей плоскостью, электрическое поле индуцированных зарядов не потенциально: перемещение заряда Q приводит к изменению распределения индуцированных зарядов, и их поле оказывается зависящим от времени.

Пример 7. Диполь с электрическим моментом ре=4 нКл·м находится в однородном электрическом поле напряженностью Е=30 кВ/м. Вектор ре составляет угол =600 с направлением силовых линий поля. Определить произведенную внешними силами работу А поворота диполя на угол =300.

Решение

 Из исходного положения (рис.3.6) диполь можно повернуть на угол двумя способами: или по часовой стрелке до угла , или против часовой стрелки до угла . В первом случае диполь поворачивается под действием сил поля, во втором случае поворот может быть произведен только под действием внешних сил против сил поля. Итак, в первом случае работа внешних сил отрицательна, а во втором случае – положительна.

Работу, совершаемую при повороте диполя, можно вычислить двумя способами: 1) непосредственно интегрированием выражения элементарной работы; 2) с помощью соотношения между работой и изменением потенциальной энергии диполя в электрическом поле.

1-й способ. Элементарная работа при повороте диполя на угол  dA=Md=pe E sind, а полная работа при повороте на угол от  до

                     (1)

Работа внешних сил при повороте диполя по часовой стрелке

A1 = – pe E (cos1 – cos0) , cos1 > cos,               (2)

против часовой стрелки

   A2 = pe E (cos0 – cos2) , cos0 > cos2.              (3)

Выразим в единицах СИ входящие в формулы (2) и (3) величины: ре = 4·10-9 Кл·м; Е = 3·104 В/м. Выполнив вычисления, найдем:

2-й способ. Работа А внешних сил связана с изменением потенциальной энергии  соотношением A12=Wп2Wп1 , где Wп1 и Wп2 – потенциальная энергия системы соответственно в начальном и конечном состояниях. Так как потенциальная энергия диполя в электрическом поле выражается формулой Wp=–e =–peEcos, то

A=–peE(cos–cos) ,                                      (2)

Что совпадает с формулой (1), полученной первым способом.

Пример 8. Плоский конденсатор, между обкладками которого помещена стеклянная пластинка (=6) толщиной d=1 мм, заряжен до U=220 В. Пренебрегая величиной заряда между пластиной и обкладками, найти поверхностную плотность s свободных зарядов на обкладках конденсатора, а также поверхностную плотность s связанных зарядов на стекле.

Решение

Так как касательная составляющая векторов  и  в данном случае отсутствует (поле однородное), то

D=Dп=σ ,       (1)            и