4770

Методи вирішення завдань лінійного програмування в економіці

Конспект

Информатика, кибернетика и программирование

На практиці для випуску асортименту своєї продукції виробничі підприємства мають у своєму розпорядженні деякий запас, як правило, обмежених ресурсів (сировинних, трудових, енергетичних, паливних, грошових), деякий набір взаємозамінних технолог...

Украинкский

2012-11-26

1.41 MB

61 чел.

Вступ

На практиці для випуску асортименту своєї продукції виробничі підприємства мають у своєму розпорядженні деякий запас, як правило, обмежених ресурсів (сировинних, трудових, енергетичних, паливних, грошових), деякий набір взаємозамінних технологій, устаткування і т.п. Транспортна фірма, що здійснює постачання від підприємств-виробників до замовників-споживачів, має можливість вибору в розподілі вантажу. Економіст або менеджер повинен скласти такий план випуску продукції, при якому досягається найкращий (оптимальний) результат: або підприємство максимізує прибуток, або максимізує випуск продукції, або мінімізує витрати на випуск продукції, або мінімізує виробничі відходи і т.п.

Методи розв’язування подібних завдань вивчаються студентами ВНЗ у дисципліні «Економіко-математичне моделювання», зокрема в її першій частині - математичному програмуванні. Найбільш поширеним є клас задач лінійного програмування (ЗЛП); розгляду методів розв’язання деяких із них присвячені дані методичні вказівки.

Спочатку вивчається графічний метод розв’язання ЗЛП, що дозволяє наочно представити як суть математичної постановки задачі, так і її результат. Потім вивчається розв’язання задачі з використанням убудованого в Microsoft EXCEL for WINDOWS інструмента «Поиск решения». Цей інструмент дозволяє розв’язувати більш складні задачі не тільки лінійного програмування. Традиційний симплексний метод розв’язання ЗЛП дозволяє одержати багато результатів, корисних для економічного аналізу рентабельності випуску окремих видів продукції, аналізу дефіцитності ресурсів, що використовуються, їхньої взаємозамінності. Однак цей метод досить трудомісткий. Вирішити цю проблему дозволяє Microsoft EXCEL із своєю вбудованою можливістю модифікації формул.

Також вивчається розв’язання транспортної задачі, модель якої лінійна, однак розв’язання цієї задачі симплексним методом є досить трудомістким. Для розв’язання цієї задачі розроблений зручний і наочний метод потенціалів, що став класичним. Крім цього методу, розглянуто розв’язок транспортної задачі з використанням інструмента «Поиск решения».


1. МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ

ЗАВДАННЯ 1. Побудувати математичну модель економічної задачі. Розв’язати задачу за допомогою побудованої моделі

  1.  графічним методом,
    1.  з використанням інструмента “Поиск решения”,
    2.  симплексним методом.

Зробити висновки в термінах постановки задачі.

1.1 Розв’язання задач лінійного програмування графічним методом

Розберемо розв’язок однієї задачі оптимального виробничого планування (або задачі про використання ресурсів).

Змістовна постановка задачі. Для виготовлення взуття двох моделей на фабриці використовується два сорти шкіри. Тижневі ресурси робочої сили і матеріалу, витрати праці і матеріалу для виготовлення кожної пари взуття, а також прибуток від реалізації одиниці продукції наведені в таблиці.

Ресурси

Норми витрат ресурсів на один виріб

Загальний запас ресурсів

№1

№2

Рабочий час (люд.-год)

Шкіра I  сорту (шмат.)

Шкіра II сорту (шмат.)

1

3

-

2

1

3

900

900

1200

Прибуток (грн.)

50

70

Скласти план випуску взуття в асортименті, що максимізує щотижневий прибуток.

 Розв’язання. Спочатку складемо математичну модель поставленої задачі. Вона містить у собі змінні задачі, цільову функцію і систему обмежень.

Змінні задачі. Оскільки в задачі потрібно скласти тижневий план випуску взуття, то змінними задачі є:

пар взуття – тижневий план  випуску моделі №1,

пар взуття – тижневий план випуску моделі №2.

Цільова функція задачі. Оскільки прибуток від випуску 1 пари взуття моделі №1 складає 50 грн., а моделі №2 – 70 грн., то загальний тижневий прибуток від випуску  пар взуття моделі №1 і  пар взуття моделі №2 складатиме  (грн.). Таким чином, цільова функція задачі, яку необхідно максимізувати, має вигляд

.

Система обмежень задачі. З урахуванням наведених у таблиці даних можна скласти такі обмеження у вигляді нерівностей.

  •  Робочий час, затрачуваний на випуск запланованого взуття, складає  (люд.-год.). З урахуванням загального фонду робочого часу в 900 люд.-год., який не можна перевищити, одержимо нерівність:

.

  •  Витрата шкіри I сорту (у шматках) на виготовлення запланованої партії взуття представиться за аналогією з попередньою нерівністю:

.

  •  Витрата шкіри II  сорту (у шматках) – відповідно:

.

Якщо обидві частини останньої нерівності поділити на 3, то одержимо:

.

  •  План випуску взуття за смислом не може набувати від’ємних значень, тому останнє обмеження невід’ємності змінних:

.

Таким чином, математична модель задачі має вигляд:

пар взуття – тижневий план  випуску моделі №1,

пар взуття – тижневий план випуску моделі №2,

Математична модель виражається через дві змінні, тому для розв’язання задачі можна застосовувати графічний метод.

На координатній площині  зобразимо множину точок , координати яких задовольняють системі обмежень. Ця множина називається областю припустимих розв’язків (областю припустимих значень).

Спочатку зауважимо, що система обмежень містить нерівності , які означають, що шукана область  лежить у першій чверті. Далі побудуємо прямі

,     (1)

,     (2)

.     (3)

Для цього знайдемо по дві пари точок, через які проходить кожна з цих прямих:

1.  :  (0, 450),  (900, 0);

2.  :  (0, 900),  (300, 0);

3.   : (0, 400),  (500, 400).

Ці прямі з відповідними мітками зображені на рис. 1.1.

Множина точок, які задовольняють нерівності , являє собою півплощину, що обмежена прямою . Оскільки точка О(0,0) задовольняє нерівності ( - вірно), то шукана півплощина містить цю точку; це зображено на рис. 1.1 за допомогою стрілок. Аналогічно, точка О(0,0) задовольняє кожній із нерівностей  і , тому ця точка міститься у відповідних півплощинах (див. рис. 1.1). З урахуванням розташування в першій чверті область припустимих розв’язків  являє собою заштрихований многокутник OABCD.

Рис. 1.1 – Розв’язання задачі лінійного програмування графічним методом

Тепер зобразимо вектор  найшвидшого росту цільової функції , яким є вектор, співспрямований її градієнту. Координатами вектора градієнта (для лінійної відносно змінних функції) є коефіцієнти при змінних цільової функції, тобто . Як вектор  оберемо для зручності побудови вектор

.

Для зображення цього вектора з'єднуємо спрямованим відрізком точки з координатами (0, 0) і (500, 700). Довільна лінія рівня цільової функції (L)  проходить перпендикулярно до вектора .

Для пошуку точки області припустимих розв’язків, у якій цільова функція досягає свого максимуму (мінімуму), необхідно лінію рівня пересувати в напрямку вектора градієнта (відповідно у зворотному напрямку). Крайня точка  області  при такому русі буде відповідати оптимальному розв’язку. У даній задачі такою точкою  буде точка С. Знайдемо її координати, зауваживши, що вона є точкою перетинання прямих (1) і (2). Тому розв’яжемо систему

.

Із першого рівняння виразимо :

.      (4)

Потім підставимо знайдений вираз у друге рівняння:

,

звідки одержимо

Знаючи , за допомогою (4) знаходимо :

.

У результаті дійдемо висновку, що , а точка, яка відповідає оптимальному розв’язку, має координати . Максимальне значення цільової функції:

(грн.).

Відповідь. Для одержання максимального тижневого прибутку, що складає 34200 грн., фабрика повинна випускати 180 пар взуття моделі №1 і 360 пар взуття моделі №2 за тиждень.

1.2 Розв’язання задач лінійного програмування за допомогою інструмента “Поиск решения”

Відповідно до математичної моделі поставленої задачі підготуємо аркуш EXCEL для застосування інструмента «Поиск решения» (див. рис. 1.2):

  1.  комірки В2:D2 резервуємо для оптимальних значень змінних  і  (оптимального плану задачі), що будуть знайдені як результат застосування процедури «Поиск решения»;
  2.  комірку D3 резервуємо для значення цільової функції на оптимальному плані;
  3.  у комірки В3:D3 вносимо значення коефіцієнтів цільової функції;
  4.  комірки В5:С5, В6:С6, В7:С7 заповнюємо коефіцієнтами при змінних у лівій частині відповідних обмежень;
  5.  у комірки F5:F7 записуємо значення правих частин відповідних обмежень;
  6.  у комірки Е5:Е7 вносимо знак нерівності у відповідному обмеженні;
  7.  комірки D5:D7 резервуємо для значень лівих частин системи обмежень на оптимальному плані.

Внесемо формули, помітивши, що значення цільової функції (комірка D3) дорівнює сумі добутків невідомих значень змінних (комірки В2:С2) на коефіцієнти цільової функції (комірки В3:D3), а значення лівих частин системи обмежень (комірки D5, D6 і D7) дорівнюють сумі добутків невідомих значень змінних (комірки В2:С2) на коефіцієнти лівих частин системи обмежень (комірки В5:С5, В6:С6, В7:С7 відповідно). Для цього в цільову комірку D3 вносимо формулу

СУММПРОИЗВ($B$2;$C$2;B3;C3),

яку копіюємо в комірки D5, D6 і D7 з модифікаціями.

Для внесення в комірку D3 зазначених формул необхідно

  1.  поставити курсор у комірку D3;
  2.  викликати “Мастер функций” за допомогою кнопки  (див. рис. 1.2);
  3.  серед категорій майстра функцій вибрати «Математические» (рис. 1.3, а);

 

а)      б)

Рис. 1.3 - Екранна форма «Мастер функций»

  1.  серед вбудованих функцій цієї категорії відмітити
    «СУММПРОИЗВ» (рис. 1.3, б) і натиснути «ОК»;
  2.   в екранній формі (див. рис. 1.4), що з'явилася, поставити курсор у «Массив 1», виділити на аркуші EXEL комірки В2:C2 (відповідають зарезервованим значенням змінних), потім привласнити їм абсолютні адреси натисканням функціональної клавіші F4; перевести курсор у «Массив 2» і виділити на аркуші EXEL комірки В3:С3 (відповідають значенням коефіцієнтів цільової функції).

Рис. 1.4 - Програмування цільової комірки

Після копіювання формул у комірки D5, D6 і D7 вони будуть модифіковані так, як показано на рис. 1.5.

Рис. 1.5 - Програмування комірок, що відповідають значенню цільової функції і значенням лівих частин системи обмежень

Якщо перелік процедур «Сервис» у меню Microsoft EXEL не містить інструмент «Поиск решения», то для додавання цього інструмента в перелік необхідно виконати такі дії:

1) натиснути «Сервис», потім «Надстройки» (рис. 1.6 а);

2) в екранній формі, що з'явилася, відмітити «Поиск решения» (рис. 1.6, б).

 

а)                                                                            б)

Рис. 1.6 - Додавання процедури «Поиск решения» в меню «Сервис» Microsoft EXEL

У результаті пророблених операцій аркуш EXEL готовий для запуску процедури «Поиск решения». Вибираємо в “Сервис” процедуру “Поиск решения” (див. рис. 1.7).

Рис. 1.7 - Запуск процедури «Поиск решения»

В екранній формі «Поиск решения» (див. рис 1.8)

1)  установлюємо цільову комірку $D$3, відзначаючи її на аркуші EXEL;

2) відзначаємо прапорцем тип оптимізації, виходячи з умов задачі: у даному випадку – це максимізація;

3) переводимо курсор в «Изменяя ячейки» і виділяємо на аркуші EXEL комірки $В$2:$С$2, що відповідають зарезервованим значенням змінних;

4) переводимо курсор в «Ограничения», натискаємо «Добавить»;

Рис. 1.8 - Екранна форма «Поиск решения»

Рис. 1.9 -  Екранна форма «Добавление ограничений»

Рис. 1.10 - Екранна форма «Параментры поиска решений»

5) в екранній формі «Добавление ограничений» (рис. 1.9)

а) робимо посилання на комірки (шляхом їхнього виділення на аркуші EXEL), що відповідають лівим частинам системи обмежень $D$5:$D$7; ці комірки містять результат обчислень відповідно до введених раніше формул;

б) установлюємо знак, що відповідає знаку нерівності системи обмежень: у даному випадку це «<=»; якщо не всі обмеження мають однаковий знак, то, розташувавши поруч нерівності одного знака, програмують окремо кожну з груп, що утворилися;

в) переводимо курсор в «Ограничения», посилаючись на комірки, що відповідають правим частинам системи обмежень $F$5:$F$7, виділяючи їх на аркуші EXEL;

г) натискання «ОК» повертає нас в екранну форму «Поиск решения»;

6) натискаємо «Параметри», в екранній формі, що з'явилася, (рис. 1.10) відмічаємо прапорцями «Линейная модель» і «Неотрицательные значения», після чого натискання «ОК» повертає нас до екранної форми «Поиск решения»;

7) натискаємо «Выполнить», у результаті чого (рис. 1.11) на аркуші EXEL у комірках В2:С2 висвічуються шукані значення оптимальних змінних (оптимальний план), у комірці D3  значення цільової функції на оптимальному плані, а в екранній формі, що з'явилися, «Результаты поиска решения», пропонується зробити один з видів звіту, з яких вибираємо звіт по стійкості і натискаємо «ОК». Аркуш «Отчет по устойчивости» представлений на рис. 1.12.

Рис. 1.11 - Результати роботи процедури «Поиск решения»

Рис. 1.12 - Екранна форма аркуша «Отчет по устойчивости»

1.3 Розв’язання задач лінійного програмування симплексним методом

Крок 1. Випишемо математичну модель вихідної задачі:

пар взуття – тижневий план  випуску моделі №1,

пар взуття – тижневий план випуску моделі №2,

Крок 2. Зведемо математичну модель вихідної задачі до канонічного виду, уводячи додаткові невід’ємні змінні . Помітимо, що кількість додаткових змінних відповідає кількості нерівностей у системі обмежень. Оскільки всі нерівності системи обмежень виражаються знаком «≤», то додаткові змінні в систему обмежень увійдуть з коефіцієнтом «+1». У цільову ж функцію вони ввійдуть з коефіцієнтом «0». Канонічний вид запису даної задачі:

   (5)

Крок 3. Побудуємо первинний базис системи обмежень (початковий опорний план задачі).

По-перше, усі вільні елементи системи (5) – невід’ємні. По-друге, основна матриця системи (5)

містить одиничну підматрицю, якій відповідають змінні . Тому ці змінні є базисними, а їхня кількість дорівнює кількості рівнянь системи (5), значить система (5) має первинний базис, який утворено тривимірними одиничними векторами (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1), що відповідають базисним змінним . У результаті одержано: кількість основних змінних , базисних  .

Крок 4. Складаємо першу симплексну таблицю.

  •  Заносимо вихідні дані в таблицю EXEL (див. першу симплексну таблицю на рис. 1.13 і 1.14):
  1.  у комірки D3:H3 вносимо найменування змінних;
  2.  у комірки D2:H2 – коефіцієнти цільової функції при відповідних змінних;
  3.  у комірки D4:H6 – основну матрицю системи (5);
  4.  у комірки А4:А6 – найменування базисних змінних;
  5.  у комірки В4:В6 – коефіцієнти цільової функції при базисних змінних;
  6.  у комірки С4:С6 – стовпець вільних елементів.
    •  Знайдемо опорний план, що відповідає побудованій симплексній таблиці. Для цього ставимо у відповідність змінній базису те значення, що знаходиться у стовпці «» того ж рядка. Якщо змінна не входить у базис, то її значення дорівнює нулю. У даному випадку

,

  •  Заповнюємо комірки С7:Н7:

1) комірка С7 повинна  містити значення цільової функції на зазначеному опорному плані:

,

тому вносимо формулу в цю комірку, як показано на рис. 1.14, а на рис. 1.13 бачимо результат обчислення за цією формулою, тобто грн.;

2) комірки D7:H7 повинні містити значення оцінок оптимальності для зазначеного опорного плану:

,   ;

тому в комірку D7 вносимо формулу (див. рис. 1.14)

СУММПРОИЗВ($B$4:$B$6;D4:D6)-D2,

у який комірки В4:В6 мають абсолютні значення, з тієї причини, що у формулі для  коефіцієнти цільової функції , що містяться в сумі добутків не залежать від . Потім копіюємо формулу з модифікаціями в комірки E7:H7; результати обчислень у цих комірках показані на рис. 1.13.

  •  Перевірка оптимальності опорного плану. Оцінки оптимальності  містять від’ємні значення (див. першу симплексну таблицю на рис. 1.13), тому зазначений опорний план не є оптимальним. Вибираємо серед оцінок оптимальності найбільше за модулем від’ємне значення. У даному випадку це «-70». Стовпець, що відповідає цьому значенню оптимальності, є розв’язувальним стовпцем; виділимо його.
  •  У комірки I4:I6 вносимо значення оцінних обмежень. Для го рядка оцінне обмеження дорівнює , де   вільний елемент цього рядка, а   елемент матриці, що знаходиться в розв’язувальному стовпці го рядка (див. рис. 1.14). Якщо =0 або , то оцінне обмеження такого рядка не розглядаємо. Серед додатних оцінних обмежень вибираємо найменше. У даному випадку – це «400» (див. рис. 1.13). Рядок, що відповідає цьому значенню, є розв’язувальним рядком; виділимо його. Елемент, що стоїть на перетині розв’язувального рядка і розв’язувального стовпця, називається розв’язувальним елементом.

Крок 5. Побудова наступної симплексної таблиці. У загальному випадку, якщо розв’язувальний стовпець має номер , а розв’язувальний рядок  , то подальший алгоритм полягає в наступному.

По-перше, змінну  вводимо до базису замість змінної .

По-друге, робимо перетворення, за яких нова матриця буде мати й стовпець, що містить нулі на всіх місцях, окрім го. Для цього елементи нової симплексної таблиці ,  виражаємо через елементи ,  попередньої симплексної таблиці за формулами:

  •  елементи розв’язувального рядка ділимо на розв’язувальний елемент і записуємо у відповідному за номером рядку нової таблиці:

, ,  при ;    (*)

  •  усі інші елементи нової таблиці розраховуємо за формулами:

, при .   (**)

Тут   розв’язувальний елемент, він міститься в обох формулах (*) і (**) незалежно від  чи , тому йому потрібно привласнити абсолютне значення, тобто після його введення натиснути функціональну клавішу F4. Формула (**) містить для усіх , тому цьому елементу також привласнюється абсолютне значення.

Відповідно до зазначеного алгоритму будуємо другу симплексну таблицю.

  •  Заповнюємо таблицю EXEL (див. другу симплексну таблицю на рис. 1.13 і 1.14):

1) перші два рядки симплексної таблиці не змінюються;

2) змінну   вводимо до базису замість змінної ;

3) у комірках В11:В13 поміщаємо коефіцієнти при базисних змінних; 

4) для заповнення комірок С11:Н13 формулами (див. рис. 1.14) відповідно до співвідношень (*) і (**) вносимо спочатку формули у комірки С11:С13 і копіюємо їх з модифікаціями.

Зауважимо, що в комірки С14:Н14 можна внести як формули, аналогічні коміркам С11:Н11 чи С12:Н12 (див. рис. 1.14), так і формули, аналогічні С7:Н7. Результат буде той самий.

  •  Опорний план, що відповідає другій симплекс-таблиці:

,

а значення цільової функції на ньому  грн.

  •  Аналогічно першій симплексній таблиці в другій симплексній таблиці вибираємо розв’язувальний стовпець, що відповідає найбільшій за модулем від’ємній оцінці  оптимальності (див. другу симплексну таблицю рис. 1.13). Потім обчислюємо оцінні обмеження, за якими вибираємо розв’язувальний рядок.

Ітераційний процес симплексного методу продовжуємо доти, поки оцінки оптимальності  ( ) містять від’ємні елементи. У даному випадку вже четверта симплексна таблиця не містить від’ємних оцінок оптимальності, тому опорний план, що відповідає їй, є оптимальним:

 ,

а значення цільової функції на ньому  грн. – максимальним.

Відповідь. Для одержання максимального тижневого прибутку, що складає 34200 грн., фабрика повинна випускати 180 пар взуття моделі №1 і 360 пар взуття моделі №2 за тиждень.


Рис. 1.13 Результати розрахунків симплексним методом

Рис.1.14- Формули розрахунку симплексного методу в таблицях EXCEL


2. ДВОЇСТА ЗАДАЧА

ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ

ЗАВДАННЯ 2. Побудувати математичну модель двоїстої задачі. Розв’язати двоїсту задачу симплексним методом. Порівняти отриманий результат із тим, що отримано, виходячи з останньої симплексної таблиці прямої задачі, а також, виходячи зі звіту по стійкості процедури «Поиск решения» прямої задачі. Зробити економічний аналіз результатів.

2.1 Математична модель двоїстої задачі

Випишемо математичну модель прямої (вихідної) задачі:

пар взуття – тижневий план  випуску моделі №1,

пар взуття – тижневий план випуску моделі №2,

Складемо математичну модель двоїстої задачі.

1) Дана пряма задача на максимум, у ній усі нерівності системи обмежень мають знак «≤», тому змінювати форму запису математичної моделі прямої задачі немає необхідності.

2) Випишемо розширену матрицю системи і рядок коефіцієнтів цільової функції

.

3) Складаємо транспоновану матрицю

.

4) Складаємо математичну модель двоїстої задачі

.

Економічний зміст змінних двоїстої задачі визначається економічним змістом відповідних їм нерівностей системи обмежень прямої задачі. Оскільки першій двоїстій змінній відповідає перше обмеження по витратах робочого часу, другій – по витратах шкіри I сорту, третій – по витратах шкіри II сорту, то  грн. – тіньова ціна 1 люд.-год. робочого часу;  грн. – тіньова ціна 1 шматка шкіри I сорту;  грн. – тіньова ціна 1 шматка шкіри I сорту.

2.2 Метод штучного базису розв’язання задач лінійного
програмування

Метод штучного базису розглянемо на прикладі розв’язання двоїстої задачі до задачі про використання ресурсів.

Крок 1. Зведемо математичну модель двоїстої задачі до канонічного вигляду, уводячи додаткові невід’ємні змінні .  Оскільки всі нерівності системи обмежень виражаються знаком «≥», то додаткові змінні ввійдуть у систему обмежень з коефіцієнтом «-1». У цільову функцію додаткові змінні завжди входять з коефіцієнтом «0». Оскільки двоїста задача на мінімум, то складемо допоміжну функцію . Канонічний вигляд запису двоїстої задачі:

.    (6)

Крок 3. Побудова первинного базису.

Основна матриця системи (6)

містить одиничний двовимірний вектор (0; 1), що відповідає змінній , яка увійде у первинний базис. Ця змінна міститься у другому рівнянні системи (6) з коефіцієнтом «1». Щоб отримати одиничну підматрицю у цій матриці, введемо невід’ємну штучну базисну змінну  яку додамо до лівої частини першого рівняння. Штучну змінну  включимо в цільову функцію з коефіцієнтом «-10000». Зазначимо, що абсолютна величина коефіцієнтів при штучних змінних повинна бути на порядок вище за всі абсолютні величини коефіцієнтів цільової функції. У результаті складемо математичну модель розширеної задачі:

.   (7)

Отже, маємо: по-перше, усі вільні елементи системи (7)  невід’ємні; по-друге, основна матриця системи (7)

містить одиничну підматрицю, що утворена двовимірними векторами (0; 1) і (1; 0), котрим відповідають базисні змінні , причому кількість базисних змінних дорівнює кількості рівнянь системи (7), тому система (7) має первинний базис .

Крок 5. Розв’язуємо отриману задачу симплексним методом за алгоритмом, що описано в п. 1.3. Відповідні симплексні таблиці задачі і зразки формул для EXEL наведені на рис. 2.1 і рис. 2.2 відповідно.

Слід зазначити, що ітераційний процес симплексного методу продовжується доти, поки оцінки оптимальності  містять від’ємні елементи.


Рис. 2.1 Результати обчислень методом штучного базису)


Рис.2.2 Формули розрахунку методу штучного базису в таблицях EXCEL


Якщо серед оцінок оптимальності немає від’ємних елементів, однак не всі штучні змінні виключені з базису, то така задача не має розв’язку.

Із третьої симплексної таблиці двоїстої задачі випливає, що всі оцінки оптимальності  невід’ємні і всі штучні змінні виведені з базису. Це означає, що опорний план третьої ітерації є оптимальним:

,

а значення функції   максимальним. Оскільки , то

грн.

2.3 Економіко-математичний аналіз результатів

Спочатку випишемо результати розв’язання прямої і двоїстої задач симплексним методом.

Пряма задача

Двоїста задача

Цільова функція

Основні змінні

Додаткові змінні

Порівняння результатів, отриманих різними способами. 

Звіт по стійкості (рис. 1.12), крім значень оптимальних змінних прямої задачі, містить значення оптимальних основних змінних двоїстої задачі, занесених у стовпчик «Теневые цены»; оптимальні значення додаткових змінних двоїстої задачі можна легко обчислити, якщо підставити оптимальні значення основних змінних в систему рівнянь (6). Результати збігаються з описаними вище.

З останнього рядка симплексної таблиці прямої задачі можна визначити значення двоїстих змінних, а з останньої симплексної таблиці двоїстої задачі - значення змінних прямої задачі так, як це показано на рис. 1.13 і рис. 2.1 відповідно. Як бачимо, результати відповідають знайденим вище.

Цільові функції прямої і двоїстої задач. Із теорем про зв'язок між розв’язками прямої і двоїстої задач випливає, що мінімальне значення цільової функції двоїстої задачі  повинно збігатися з максимальним значенням цільової функції прямої задачі . У даному випадку

= =34200 грн.     (8)

Що стосується прямої задачі, то цільова функція в ній характеризувала тижневий прибуток від реалізації продукції, яку виготовлено на фабриці; і цей прибуток повинен бути максимальним. Для з‘ясування економічного змісту цільової функції двоїстої задачі про використання ресурсів розглянемо ситуацію, коли керівництво фабрики стоїть перед альтернативним вибором: чи здійснювати процес виробництва взуття, чи реалізувати на стороні власні виробничі ресурси (продати, здати в оренду тощо) за ринковими цінами. У разі вибору першої альтернативи, оптимальний розв‘язок прямої задачі саме й дає нам оптимальний план виробництва взуття, за яким прибуток (ефект від виробничої діяльності підприємства) фабрики буде найбільшим. Якщо ж керівництво фабрики вирішує задачу реалізації власних ресурсів на стороні, то, з одного боку, воно прагнутиме реалізувати їх якомога дорожче, проте, з іншого боку, ринкова ціна не повинна штучно завищуватися, інакше ресурси за такими цінами не знайдуть покупця. А отже, керівництво фабрики має призначувати об‘єктивні (незавищенні) ціни («тіньові ціни») на виробничі ресурси, виходячи з того, що корисність обох альтернатив повинна бути однаковою, тобто дохід фабрики від реалізації власних ресурсів за цими цінами, який мінімізується, дорівнюватиме ефекту від здійснення виробничої діяльності, тобто величині прибутку фабрики, який повинен бути максимальним. Цей принцип саме й відбиває співвідношення (8), яке говорить про те, що максимальний прибуток фабрики збігається з її можливим мінімальним доходом у зв‘язку із відмовою від виробничої діяльності і продажем ресурсів на сторону і складає 34200 грн. за тиждень.

Основні змінні прямої задачі. Для одержання максимального прибутку, фабрика повинна випускати  пар взуття моделі №1 і  пар взуття моделі №2 за тиждень.

Додаткові змінні прямої задачі характеризують обсяг невикористаного ресурсу.

1. Третя (додаткова) змінна  відповідає першому обмеженню, причому  люд.-год., тому ресурс робочого часу використаний цілком, що свідчить про його дефіцитність.

2. Четверта змінна  відповідає другому обмеженню, причому  шматків, тому ресурс шкіри I сорту використаний цілком, значить і  цей ресурс дефіцитний.

3. П'ята змінна  відповідає третьому обмеженню, і  шматків, тому 40 шматків шкіри II сорти не використані, значить цей ресурс недефіцитний.

Основні змінні двоїстої задачі. Як уже відзначалося вище, економічний зміст основних змінних двоїстої задачі визначається економічним змістом відповідних їм нерівностей системи обмежень прямої задачі, а саме: їх оптимальні значення кількісно характеризують граничне значення тіньової ціни (об‘єктивної ціни, рівноважної ціни і т.ін.) за одиницю обмеженого ресурсу, вище за яку його залучення (зокрема додаткове залучення) до виробничого процесу буде збитковим для фірми, що втілюється у ситуацію, коли витрати ресурсів на виробництво одиниці продукції, оцінені в грошовому вираженні (), перевищуватимуть зовнішню оцінку одиниці продукції – її ринкову ціну (або як в нашому випадку прибуток) . А відтак, оптимальні основні двоїсті змінні надають керівництву фабрики (менеджерам з питань постачання) цінну додаткову інформацію для прийняття рішень в умовах ринкових відношень: додаткове залучення у виробництво дефіцитних ресурсів доцільно лише за умови, коли ринкова ціна за одиницю такого ресурсу не перевищує його тіньову ціну.

Тіньова ціна для першого обмеження (ресурс робочого часу) складає  грн. за одиницю, для другого обмеження (ресурс шкіри I сорту) –  грн. за одиницю, для третього (ресурс шкіри II сорту) –  грн. за одиницю. Із цього випливає, що

1) , тому ресурс робочого часу дефіцитний, і його збільшення вигідне (рентабельне), а саме: збільшення робочого часу на 1 люд.-год. призведе до збільшення прибутку на 32 грн.;

2) , тому ресурс шкіри I сорту є дефіцитним, і його збільшення рентабельне, а саме: збільшення запасу шкіри I сорту на 1 шматок дасть підприємству прибуток, що складатиме 6 грн.;

3) , тому ресурс шкіри II сорту не є дефіцитним, а збільшення його запасу не рентабельно.

Якщо деяка додаткова змінна двоїстої задачі позитивна, то випуск продукції, що відповідає цій змінній є нерентабельним, а величина цієї змінної характеризує розмір збитку від реалізації одиниці цієї продукції: . Дана властивість дозволяє оцінити рентабельність нової продукції (з умови ), якщо відомі планові норми витрат ресурсів на виготовлення її одиниці, а також визначитися з мінімально допустимою (прийнятною) ціною за одиницю продукції, яку планується виробляти (з умови ).

У даній задачі змінна  відповідає обсягу випуску взуття моделі №1, а   моделі №2, причому , тому випуск обох видів виробів вигідний (рентабельний) – грошова оцінка сумарних витрат ресурсів на одну пару взуття дорівнює розміру прибутку.

Взаємозамінність ресурсів. У наступну таблицю внесемо значення коефіцієнтів  взаємозамінності ресурсів.

i \ k

1

2

3

1

1

3/16

0

2

5 ⅓

1

0

3

1

Коефіцієнт  дорівнює 5⅓, це означає, що при зменшенні запасу робочого часу на 1 люд.-год. необхідно додатково збільшити запас шкіри I сорту на 5⅓ шматків, щоб значення цільової функції не змінилося. Ресурс робочого часу більш дефіцитний, ніж ресурс шкіри I сорту, тому коефіцієнт взаємозамінності більш дефіцитного ресурсу менш дефіцитним ресурсом 5⅓ більше 1. Коефіцієнти  і  дорівнюють ∞. Це означає, що замінити зменшення дефіцитних ресурсів робочого часу чи ресурсу шкіри I сорту недефіцитним ресурсом шкіри II сорту не можливо. Коефіцієнти  і  дорівнюють 0. Це означає, що при зменшенні недефіцитного ресурсу шкіри II сорту не потрібне збільшення дефіцитних ресурсів робочого часу чи ресурсу шкіри I сорту.


3. МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТРАНСПОРТНОЇ ЗАДАЧІ

ЗАВДАННЯ 3. У трьох пунктах виробництва А1, А2, А3 зосереджений однорідний вантаж у кількостях відповідно рівних а1, а2, а3 тонн. Даний вантаж споживається в чотирьох пунктах В1, В2, В3, В4, а потреби в ньому в цих пунктах складають b1, b2, b3, b4, тонн відповідно. Відома матриця тарифів по перевезенню 1 тони вантажу з iго пункту виробництва до jго пункту споживання:

.

Скласти план перевезень:

,

при якому сумарні транспортні витрати будуть мінімальними.

Розв’язати поставлену транспортну задачу

3.1 методом потенціалів,

3.2 за допомогою інструмента «Поиск решения».

3.1 Математична модель транспортної задачі

Розглянемо поставлену задачу для таких вихідних даних:

30т, 20т, 40т,

20т, 30т, 20т, 30т,

.

Запишемо їх у вигляді таблиці.

Таблиця 3.1

Пункти виробництва

Пункти споживання

Запаси

3

1

4

2

30

1

4

3

3

20

2

2

4

4

40

Потреби

20

30

20

30

      90

100

До нижнього правого куту цієї таблиці занесемо значення сумарних потреб і сумарних витрат:

т, т.

У даному випадку , тому модель транспортної задачі є відкритою. Відповідно до теореми, для існування в транспортної задачі припустимого плану необхідно і достатньо, щоб її модель була закритою, тобто, щоб .

Збалансуємо дану задачу, уводячи фіктивний пункт виробництва  з запасом вантажу =100-90=10(т). При цьому вартість перевезень із цього пункту в кожний із пунктів споживання дорівнює 0 (див. табл. 3.2).

Таблиця 3.2

Пункти виробництва

Пункти споживання

Запаси

3

1

4

2

30

1

4

3

3

20

2

2

4

4

40

0

0

0

0

10

Потреби

20

30

20

30

      90

100

Складемо математичну модель даної задачі.

  1.  Змінні задачі: – планований обсяг перевезення (у тоннах) з го пункту виробництва в й пункт споживання ( , ). Сукупність змінних  утворить матрицю

.

  1.  Цільова функція задачі виражає транспортні витрати, які необхідно мінімізувати:

.

  1.  Обмеження задачі: на вивіз вантажу

,     (9)

на задоволення потреб у вантажі

,    (10)

    невід’ємність змінних:

( , ).      (11)

Сукупність змінних , що задовольняють обмеженням (9)-(11), утворюють припустимий опорний план. Матриця системи (9)  (10) має ранг на 1 менший кількості рядків цієї системи, тобто на 1 менший від суми кількостей пунктів виробництва і пунктів споживання, у даному випадку це – 7. Це означає, що кількість базисних змінних повинна дорівнювати 7.

3.2 Метод потенціалів розв’язання транспортної задачі

Нульова ітерація транспортної задачі. Підготуємо таблицю (табл. 3.3). Другий рядок і другий стовпець зарезервуємо для значень потенціалів. В останній стовпець внесемо відповідні значення запасів, а в останній рядок – потреб. У праві верхні кути комірок  ( , ) внесемо матрицю транспортних витрат.

Таблиця 3.3  Нульова ітерація транспортної задачі

Запаси

1

1

1

1

0

3

1

4

2

30|0

-2

30

-3

-1

0

1

4

3

3

20|0

20

-3

-2

-2

3

2

2

4

4

40|20|0

Ө

2

2

20

20

-1

0

0

0

0

10|0

Ө

0

0

0

10

Потреби

        20

         0

       30

        0

       20

        0

       30

       20

        0

Крок 1. Побудову вихідного опорного плану здійснюємо методом найменшої вартості. Завантажуючи комірки, відповідні значення обсягів перевезення  будемо заносити в нижні ліві кути комірок  ( , ).

  1.  Вибираємо комірку з найменшою вартістю (транспортним тарифом). Найменша вартість дорівнює 0, а комірок, що відповідають цій вартості  чотири: , , , . Завантажимо, наприклад, комірку  так, щоб . Перерахуємо запаси, що залишилися, =1010=0, і потреби, що залишилися, =30 10=20, а отримані значення запишемо у відповідних комірках таблиці через риску.
  2.  Оскільки запаси четвертого пункту виробництва вичерпані, то завантажувати комірки рядка  поки не будемо. Серед комірок, що залишилися, виберемо комірку з найменшою вартістю. Маємо дві комірки з вартістю 1. Завантажимо спочатку, наприклад, комірку : . Перерахуємо запаси, що  залишилися, і потреби, що залишилися, =3030=0. Потім завантажимо комірку : , 2020=0, =20 20=0.
  3.  На даний момент вичерпані запаси пунктів виробництва ,  і , а також задоволені потреби споживачів  і . У нашому розпорядженні залишилися дві комірки з однаковими вартостями:   і . Завантажимо, наприклад, комірку : , , =2020=0. Тепер завантажимо
    комірку : , , =2020=0.
  4.  Завантажені комірки відповідають базисним змінним транспортної задачі, їхня кількість на даний момент дорівнює 5, однак, як було відзначено вище, повинна дорівнювати 7. Два відсутні елементи поповнюємо, завантажуючи нульовим обсягом перевезення дві вільні комірки з найменшими тарифами. Причому необхідно подбати про те, щоб жодна з цих комірок не утворювала циклу з наявними завантаженими комірками. Під циклом розуміють замкнуту ламану з прямими кутами переломлення у вершинах. За такі комірки оберемо  і .
  5.  Опорний план нульової ітерації утворить матрицю

.

Його елементи задовольняють системі обмежень (9)-(11). Значення цільової функції на цьому плані дорівнює

(у.о.).

Чи є цей план оптимальним? Відповідь на це питання дає метод потенціалів.

Крок 2. Перевірка оптимальності опорного плану.

  1.  Побудова системи потенціалів  ( , ). Кожному постачальнику  поставимо у відповідність потенціал , а споживачу   потенціал . При цьому для кожної базисної змінної відповідні їй потенціали  і  повинні задовольняти рівності

( , ).    (12)

Оскільки базисних змінних 7, то сукупність рівностей (12) утворить систему з 8 рівнянь із 7 невідомими. Ця система має нескінченну множину розв’язків, знайдемо одне з них:

  •  для зручності візьмемо ;
  •  у рядку  знаходиться базисна змінна , тому згідно з (12) ;
  •  у стовпці  знаходиться ще одна (крім ) базисна змінна , тому ;
  •  за базисною змінною  знайдемо ,
  •  за базисною змінною     ;
  •  за базисною змінною     ;
  •  за базисною змінною     ;
  •  за базисною змінною     .
  1.  Знайдемо оцінки оптимальності  для небазисних змінних. Значення  будемо обчислювати за формулою

( , ),

а результат заносити в нижні ліві кути комірок  ( , ), відокремлюючи їх у рамку:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

  1.  Перевірка оптимальності опорного плану:
    •  якщо всі оцінки оптимальності небазисних змінних недодатні, тобто  , то опорний план є оптимальним, і обчислення більше не проводяться;
    •  якщо серед оцінок оптимальності є додатні, то опорний план не оптимальний, і його необхідно поліпшувати.

Оскільки для розглянутого плану деякі з оцінок оптимальності є додатними, то вихідний опорний план не є оптимальним.

Крок 3.

  1.  Визначимо змінну, що вводиться до базису. Серед знайдених оцінок оптимальності виберемо найбільше позитивне значення. Таким є 2, що відповідає 2. У базис необхідно вводити ту з змінних  чи  , якій відповідає менший тариф. У даному випадку . Тому введемо до базису будь-яку із цих змінних, наприклад, .
  2.  Визначимо змінну, що  виводиться з базису. Для цього побудуємо цикл, що проходить через деякі з завантажених комірок і комірку  (що відповідає змінній , яка вводиться з базису). Нагадаємо, що під циклом розуміють замкнену ламану з прямими кутами переломлення у вершинах. Відомо, що цикл у транспортній задачі можна побудувати єдиним чином. У даному випадку цикл виглядає так, як це показано в табл. 3.3. Вершину циклу в комірці  відзначаємо знаком «+», а далі інші вершини позначаємо знаками, що чергуються: «-» або «+», послідовно пересуваючись циклом у будь-якому напрямку. Серед комірок, у які потрапив знак «-», вибираємо комірку з найменшим значенням базисної змінної. У даному випадку це значення дорівнює нулю, воно обведене ромбом, а відповідає воно базисній змінній , котру будемо виводити з базису.
  3.  Побудова нового базису.

Підготуємо нову таблицю першої ітерації (див. табл. 3.4).

  •  Заносимо в неї дані в умові значення транспортних тарифів, запасів і потреб.
  •  Без зміни необхідно перенести в таблицю значення базисних змінних, не задіяних циклом.
  •  Оскільки виведена з базису змінна дорівнює 0, то змінна, що вводиться з базису, також дорівнюватиме нулю, а значення базисних змінних, що знаходяться у вершинах циклу, у даному випадку не зміняться. Комірка змінної, що виведена з базису, стане в результаті вільною.
  1.  Побудований опорний план першої ітерації утворить ту ж матрицю, що і для вихідного опорного плану, тому значення цільової функції на цьому плані не зміниться:  

,   (у.о).


Таблиця 3.4  Перша ітерація транспортної задачі

-1

1

1

1

0

3

1

4

2

30

-4

30

-3

-1

2

1

4

3

3

20

20

-1

0

0

3

2

2

4

4

40

Ө

0

2

20

20

-1

0

0

0

0

10

Ө

-2

0

0

10

        20

       30

       20

       30

Чи є новий опорний план оптимальним? Для відповіді на це питання повертаємося до кроку 2 і кроку 3, виконуючи послідовно аналогічні дії. Результати цих дій занесені в табл. 3.4.

  •  Будуємо систему потенціалів.
    •  Обчислюємо оцінки оптимальності небазисних змінних.
    •  Перевіряємо план на оптимальність: серед оцінок оптимальності є позитивна ; тому план першої ітерації не оптимальний, і вводиться до базису змінна – .
    •  Будуємо цикл, за допомогою якого визначаємо змінну, що виводиться з базису; такою є .
    •  Будуємо нову таблицю другої ітерації (табл. 3.5), зберігаючи дані умови і значення базисних змінних, не задіяних циклом. Оскільки , то змінна, що вводиться до базису, також буде дорівнювати нулю, а значення базисних змінних, що знаходяться у вершинах циклу, у даному випадку не зміняться.

Таблиця 3.5  Друга ітерація транспортної задачі

1

1

3

3

0

3

1

4

2

30

Ө

-2

30

-1

1

0

1

4

3

3

20

20

-3

0

0

1

2

2

4

4

40

Ө

0

0

20

20

-3

0

0

0

0

10

-2

-2

0

10

        20

       30

       20

       30

Для опорного плану другої ітерації одержимо

,   (у.о.).

Повертаємося до кроку 2 і кроку 3, результати виконаних дій занесені в табл. 3.5. Опорний план другої ітерації не оптимальний. У цьому випадку змінна, що вводиться до базису,  , а та, яка виводиться з базису,  . Зауважимо, що при побудові таблиці третьої ітерації (табл.3.6) значення змінних, задіяним циклом, перераховуємо, додаючи до тих із них, що відмічені знаком «+» значення змінної, що виводиться з базису (тобто «20»), а від змінних, відмічених знаком «-», віднімаємо це значення. Змінна, що вводиться до базису, приймає значення 20. Комірка  виявиться вільною.

Для опорного плану третьої ітерації одержимо

,

(у.о.).

Таблиця 3.6  Третя ітерація транспортної задачі

1

1

3

2

0

3

1

4

2

30

Ө

-4

10

-1

20

0

1

4

3

3

20

20

-3

0

-1

1

2

2

4

4

40

Ө

0

20

20

-1

-2

0

0

0

0

10

Ө

-1

-1

1

10

        20

       30

       20

       30

Із табл. 3.6 бачимо, що опорний план третьої ітерації не оптимальний. Змінна в цьому випадку, що вводиться до базису,  , а змінна, що виводиться з базису,  . Проводимо перерахування базисних змінних. Результати обчислень у четвертій ітерації занесені в табл. 3.7. Для опорного плану цієї ітерації виконана умова оптимальності: всі оцінки оптимальності недодатні.

У результаті маємо

,

(у.о.).

Таблиця 3.7  Четверта ітерація транспортної задачі

0

0

2

2

0

3

1

4

2

30

-3

-1

-2

30

1

1

4

3

3

20

20

-3

0

0

2

2

2

4

4

40

0

30

10

0

-2

0

0

0

0

10

-2

-2

10

0

        20

       30

       20

       30

Зауважимо, що серед оцінок оптимальності останньої ітерації є такі, значення яких дорівнює нулю, тому побудований опорний план не єдиний, для якого цільова функція приймає мінімальне значення 180 у.о.

Відповідь. Найменші сумарні транспортні витрати, що складають 180 у.о., будуть відповідати такому плану перевезень:

  •  з пункту виробництва  необхідно перевозити 30 т вантажу до пункту споживання ;
  •  з пункту виробництва   20 т вантажу до пункту споживання ;
  •  з пункту виробництва   30 т вантажу до пункту споживання  і 10 т – в .

Оскільки пункт  є фіктивним, то споживач залишиться невдоволений на 10 т вантажу.

Результат обчислень можна оформити також у вигляді схеми, показуючи, з якого пункту виробництва в який пункт споживання перевозиться вантаж:

.

3.2 Розв’язання транспортної задачі з використанням інструмента “Поиск решения”

Транспортна задача вже була зведена до закритої моделі. Результат внесений у табл. 3.2. Відповідно до цієї таблиці підготуємо аркуш EXCEL для застосування інструмента «Поиск решения» (див. рис. 3.1).

  1.  Комірки В4:Е7 заповнюємо матрицею транспортних тарифів транспортної задачі, зведеної до закритого вигляду.
  2.  У комірках F4:F7 записуємо обсяги запасів  на підприємстві  ().
  3.  У комірки В8:Е8 вносимо обсяги потреб  споживача  ( ).
  4.   Комірки B11:E14 резервуємо для значень змінних моделі, що будуть знайдені після виконання процедури «Поиск решения».
  5.  Комірка F15 (цільова комірка) резервується для обчислення оптимального значення цільової функції моделі.

Рис. 3.1  Представлення вихідних даних у таблиці EXEL

Після заповнення вихідних даних у цільову комірку F15 вносимо формули СУММПРОИЗВ(В4:Е7; B11:E14), у комірку F11 – СУМ(В11:Е11), що копіюємо з модифікаціями в комірки F12:F14, і в комірку В15 – СУМ(В11:В14), що копіюємо з модифікаціями в комірки С15:Е15. Результат представлений на рис. 3.2.

Рис. 3.2  Формули розрахунку в таблиці EXEL

Рис. 3.3  Екранна форма «Поиск решения»

Рис. 3.4  Результати роботи процедури «Поиск решения» (перший варіант)

Таким чином, усі підготовчі процедури закінчені, тому вибираємо в «Сервис»  інструмент «Поиск решения». Заповнюємо екранну форму, що з'явилася, так, як це показано на рис. 3.3, виконуючи дії, аналогічні описаним у
п. 1.2.

Результат розв’язання транспортної задачі з використанням інструмента «Поиск решения» представлений на рис. 3.4. Оптимальний розв’язок
транспортної задачі в цьому випадку можна представити матрицею

,

а мінімальне значення цільової функції на цьому плані дорівнює

(у.о.).

Як було зауважено вище (перед остаточним записом результатів методу потенціалів), розв’язок даної задачі не єдиний. Другий варіант розв’язку представлено на рис. 3.5. Оптимальний розв’язок транспортної задачі в цьому випадку можна представити матрицею

,

Мінімальне значення цільової функції при цьому не зміниться, а саме:

(у.о).

Зауважимо, що для отримання різних варіантів розв’язку транспортної задачі (якщо розв’язок не єдиний) потрібно повторно запускати на виконання процедуру «Поиск решения» без зміни вхідних даних.

Рис. 3.5  Результати роботи процедури «Поиск решения» (другий варіант)


Відповідь. Найменші сумарні транспортні витрати складають 180 у.о. Це відповідає двом варіантам плану перевезень. Перший варіант:

  •  з пункту виробництва  необхідно перевозити 30 т вантажу до пункту споживання ;
  •  з пункту виробництва   20 т вантажу до пункту споживання ;
  •  з пункту виробництва   30 т вантажу до пункту споживання  і 10 т – в.;
  •  при цьому плані споживач залишиться невдоволений на 10 т вантажу.

Другий варіант:

  •  з пункту виробництва  необхідно перевозити 30 т вантажу до пункту
    споживання ;
  •  з пункту виробництва   10 т вантажу до пункту споживання  і 10 т – в ;
  •  з пункту виробництва   10 т вантажу до пункту споживання  і 30 т – в. ;
  •  при цьому плані споживач залишиться невдоволений на 10 т вантажу.


4. ВАРІАНТИ ІНДИВІДУАЛЬНИХ ЗАВДАНЬ

ЗАВДАННЯ 1. Побудувати математичну модель економічної задачі. Розв’язати задачу за допомогою побудованої моделі

  1.  з використанням інструмента “Поиск решения”,
    1.  графічним методом,
    2.  симплексним методом.

Зробити висновки в термінах постановки задачі.

ЗАВДАННЯ 2. Побудувати математичну модель двоїстої задачі. Розв’язати двоїсту задачу симплексним методом. Порівняти отриманий результат із тим, що отримано, виходячи з останньої симплексної таблиці прямої задачі, а також, виходячи зі звіту по стійкості процедури «Поиск решения» прямої задачі. Зробити економічний аналіз результатів.

  1.  Фірма виготовляє дві моделі А і В книжкових полиць. У таблиці наведені дані по нормах витрат ресурсів (дощок і машинного часу) на одну полицю кожної моделі. У ній же зазначено прибуток від реалізації одного виробу кожного виду і загальний запас ресурсів, який може використовувати фірма протягом тижня. Скільки виробів кожної моделі фірмі необхідно випускати за тиждень для одержання максимального прибутку від їхньої реалізації?

Ресурси

Норми витрат ресурсів на один виріб

Загальний обсяг

ресурсів

А

В

Дошки (м2)

3

4

1700

Машинний час (год.)

0,2

0,5

160

Прибуток від реалізації одного виробу (грн.)

20

40

  1.  Фірма виготовляє два продукти А і В, ринок збуту яких необмежений. Кожен продукт повинний бути оброблений кожною з машин І, ІІ й ІІІ. Час обробки в годинах для кожного з виробів А і В, загальний запас машинного часу за тиждень і прибуток від реалізації виробів наведені нижче в таблиці:

Машина виду

Час обробки одиниці виробу (год.)

Загальний обсяг

машинного часу (год.)

А

В

I

II

III

0,5

0,4

0,2

0,25

0,3

0,4

40

36

36

Прибуток від реалізації одного виробу (грн.)

50

30

Фірмі треба визначити план випуску виробів А і В, при якому прибуток від їхньої реалізації буде максимальною.

  1.  Для виробництва столів і шаф меблева фабрика використовує необхідні ресурси. Норми витрат ресурсів на один виріб даного виду, прибуток від реалізації одного виробу і загальний обсяг наявних ресурсів кожного виду наведені в таблиці.

Ресурси

Норми витрат ресурсів на один виріб

Загальний обсяг

ресурсів

стіл

шафа

Деревина (м3):

I виду

0,2

0.1

40

II виду

0.1

0,3

60

Трудомісткість (люд.-год.)

1,2

1,5

371,4

Прибуток від реалізації одного виробу (грн.)

120

160

Визначити, скільки столів і шаф фабриці варто виготовляти, щоб прибуток від їхньої реалізації був максимальним.

  1.  На промисловому комплексі по виробництву м'яса відгодовують свиней двох порід. Усі дані представлені в таблиці.

Види корму

Потрібна кількість корму (ц) для породи свиней

Запаси корму, ц

I

II

Грубі (сінне борошно, трав’яні)

2

3

1000

Соковиті (коренеплоди, картопля)

4

2

1200

Комбікорми

1

1

380

Продуктивність, ц

3

2,5

Потрібно знайти таке поголів'я свиней кожної породи, щоб продуктивність 1 ц м'яса була максимальною.

  1.  Для виробництва двох видів виробів А і В використовується токарське, фрезерне і шліфувальне устаткування. Норми витрат часу для кожного з типів устаткування на один виріб даного виду наведені в таблиці. У ній же зазначений загальний фонд робочого часу кожного з типів устаткування, а також прибуток від реалізації одного виробу. Визначити план випуску виробів А і В, що забезпечує максимальний прибуток від їхньої реалізації.

Тип устаткування

Витрати часу (верст.-год.)

на обробку одного виробу виду:

Загальний фонд робочого часу устаткування (год.)

А

В

Фрезерне

Токарне

Шліфувальне

1

0,5

0,6

0,8

0,1

1,2

168

180

144

Прибуток від реалізації одного виробу (грн.)

140

180

  1.  Для виробництва двох видів виробів А і В підприємство використовує три види сировини. Норми витрати сировини кожного виду на виготовлення одиниці продукції даного виду наведені в таблиці. У ній же зазначені прибуток від реалізації одного виробу кожного виду і загальний обсяг сировини даного виду, що може бути використано підприємством.

З огляду на те, що вироби А і В можуть виготовлятися в будь-яких співвідношеннях (збут забезпечений), потрібно скласти такий план їхнього випуску, при якому прибуток підприємства від реалізації всіх виробів буде максимальним.

Ресурси

Норми витрат ресурсів (кг) на один виріб

Загальний обсяг

ресурсів (кг)

А

В

I

II

III

12

4

3

4

4

12

300

120

252

Прибуток від реалізації одного виробу (грн.)

30

40

  1.  У цеху по виробництву консервованих фруктів виготовляються два види компотів із трьох видів фруктів (яблука, груші і сливи). Перед відправленням у торгову мережу компоти розливають у банки: компот I виду – у 5-літрові, II виду – у 3-літрові. Усі дані, необхідні для розв’язання задачі, наведені в таблиці.

Фрукти

Витрати фруктів (кг) для компоту виду

Запас, кг

I

II

Яблука

1

0,5

200

Груші

0,3

0,25

65

Сливи

0,75

1

200

Прибуток від реалізації 1 банки компоту, грн.

3

2

Потрібно скласти такий план виробництва двох видів компоту, для якого прибуток був би найбільшим.

  1.  Компанія виготовляє полиці двох розмірів — А і В. Агенти в справах продажу вважають, що за тиждень на ринку може бути реалізовано до 550 полиць. У таблиці наведені дані по нормах витрат ресурсів (дощок і машинного часу) на одну полицю відповідного розміру. У ній же зазначено прибуток від реалізації одного виробу кожного виду і загальний запас ресурсів, який може використовувати фірма протягом тижня

Ресурси

Норми витрат ресурсів на один виріб

Загальний обсяг

ресурсів

А

В

Дошки (м2)

2

3

1200

Машинний час (год.)

0,2

0,5

160

Прибуток від реалізації одного виробу (грн.)

30

40

Скільки полиць кожного типу варто випускати протягом тижня, щоб прибуток від їхньої реалізації був найбільшим?

  1.  На звірофермі можуть вирощувати чорно-бурих лисиць і песців. Для забезпечення нормальних умов їхнього вирощування використовують три види кормів. Кількість кормів кожного виду, які повинні щодня одержувати лисиці і песці, наведено в таблиці. У ній же зазначені загальний обсяг корму кожного виду, що може бути використано звірофермою, і прибуток від реалізації однієї шкурки лисиці і песця. Визначити, скільки лисиць і песців варто вирощувати на звірофермі, щоб прибуток від реалізації їхніх шкурок був максимальним.

Вид корму

Кількість одиниць корму, що повинна отримувати

Загальний обсяг корму

лисиця

песець

I

2

3

180

II

4

1

240

III

6

7

426

Прибуток від реалізації однієї шкурки (грн.)

320

240

  1.  Металургійний цех випускає два види продукції А і Б. Цех має у своєму розпорядженні три види устаткування, кожне з яких  має свій фонд робочого часу і продуктивність, наведені нижче в таблиці. У ній же наведений прибуток від реалізації 1 тонни продукції кожного виду. Скласти план випуску продукції, що забезпечує максимальний прибуток.

Тип устаткування

Продуктивність (т/год.)  виду продукції

Фонд часу (год.)

А

Б

Плавильна піч

Травильний агрегат

Прокатний стан

7

6

2

6

4

1

4200

3000

900

Прибуток від реалізації       1 т продукції (тис. грн.)

4

3

  1.  У цеху підприємства вирішено встановити додаткове устаткування двох видів – I і II. Площа, необхідна для установки одного комплекту устаткування відповідного виду, ціна такого комплекту, а також загальний обсяг ресурсів (виробничих площ і грошових ресурсів), що виділяються підприємством, наведені в таблиці.

Ресурси

Норми витрат ресурсів на один комплект устаткування виду

Загальний обсяг ресурсів за день

I

II

Виробничі площі (м2)

2

1,5

7

Грошові ресурси

(тис. грн.)

2

3

10

Придбання одного комплекту устаткування 1го виду дозволяє збільшити випуск продукції в зміну на 3 одиниці, а одного комплекту устаткування 2го виду – на 4 одиниці. Визначити такий набір додаткового устаткування, що дає можливість максимально збільшити випуск продукції.

  1.  Підприємство має у своєму розпорядженні виробничі потужності чотирьох видів. Норми витрат потужностей (у год.) кожного виду на одиницю продукції кожного із двох типів, загальний запас таких потужностей і прибуток від реалізації одиниці продукції №1 і №2 наведені в таблиці. Скласти план виробництва продукції двох видів, при якому доход підприємства від реалізації всієї продукції виявився б максимальним.

Потужності (у год.)

Норми витрат потужностей (у год.) на одиницю продукції типу

Загальний запас потужностей (год.)

№1

№2

М1

М2

М3

М4

2

1

-

1

1

1

1

-

16

10

6

7

Прибуток від реалізації       одиниці продукції (грн.)

30

40

  1.  На промисловому комплексі по виробництву м'яса відгодовують свиней двох порід. Усі дані представлені в таблиці.

Види корму

Потрібна кількість корму (ц) для породи свиней

Запаси корму, ц

I

II

Грубі (сінне борошно, трав’яні)

2

5

900

Соковиті (коренеплоди, картопля)

4,5

2

1150

Комбікорми

1

1,5

340

Продуктивність, ц

4

5

Потрібно знайти таке поголів'я свиней кожної породи, щоб продуктивність 1 ц м'яса була максимальною.

  1.  Підприємство випускає два види продукції і використовує три типи основного устаткування: токарське, фрезерне і шліфувальне устаткування. Витрати часу на виготовлення  одиниці продукції для кожного з типів устаткування наведені в таблиці. У ній же зазначений загальний фонд робочого часу кожного з типів устаткування, а також прибуток від реалізації одного виробу даного виду. Визначити такий обсяг випуску виробів, при якому загальний прибуток від їхньої реалізації буде максимальним.

Тип устаткування

Витрати часу (верст.-год.) на обробку одиниці продукції виду:

Загальний фонд робочого часу устаткування (год.)

1

2

Фрезерне

Токарне

Шліфувальне

1

2

1

-

1

2

100

280

320

Прибуток від реалізації       1 т продукції (тис. грн.)

80

60

  1.  Кондитерська фабрика для виробництва двох видів карамелі А і В використовує три види вихідної сировини: цукровий пісок, патоку і фруктове пюре. Норми витрат сировини кожного виду на виробництво 1 т карамелі кожного виду наведені в таблиці. У ній же наведені загальні запаси сировини і прибуток від реалізації 1 т продукції. Знайти план випуску карамелі, що забезпечує максимальний прибуток.

Вид сировини

Норми витрат сировини (т) на 1 т карамелі

Загальний обсяг сировини (т)

А

В

Цукровий пісок

Патока

Фруктове пюре

0,8

0,5

-

0,6

0,8

0,1

80

60

8

Прибуток від реалізації       1 т карамелі (тис. грн.)

1,5

2

  1.  Для виробництва двох видів виробів А і В використовуються три види сировини. Норми витрат сировини кожного виду на виробництво одиниці продукції даного виду наведені в таблиці. У ній же наведені загальні запаси сировини і прибуток від реалізації одного виробу.

Вид сировини

Норми витрат сировини (кг) на один виріб

Загальний обсяг сировини (кг)

А

В

I

II

III

5

2

2

2

2

5

300

150

300

Прибуток від реалізації одного виробу (грн.)

30

40

Фірмі треба визначити план випуску виробів А і В, при якому прибуток від їхньої реалізації буде максимальним.

  1.  Трикотажна фабрика для виготовлення светрів і кофточок використовує чисту вовну, силон і нітрон, запаси якого складають відповідно 190, 120 і 80 кг. Кількість пряжі кожного виду (у кг), необхідної для виготовлення 10 виробів, а також прибуток від їхньої реалізації наведені в таблиці.

Вид сировини

Витрати пряжі на 10 шт.

Светри

Кофточки

Вовна

3

2

Силон

2

1

Нітрон

1

1

Прибуток (у.о.)

50

30

Установити план випуску виробів, що максимізує прибуток.

  1.  Завод-виробник високоточних елементів для автомобілів випускає два різні типи деталей: Х і V. У таблиці наведені дані по нормах витрат ресурсів на одну деталь кожного типу. У ній же зазначені прибуток від реалізації однієї деталі кожного типу і загальний запас ресурсів, який може витратити фірма протягом тижня

Ресурси

Норми витрат ресурсів на один виріб

Загальний обсяг

ресурсів

X

V

Металеві стрижні (кг)

Листовий метал (кг)

Робочий час (люд.-год.)

2

5

1

5

2

2

10 000

10 000

4 000

Прибуток від реалізації однієї деталі (грн.)

90

120

Скільки деталей кожного типу варто робити, щоб максимізувати загальний прибуток за тиждень?

  1.  Фірма виготовляє дві моделі А і В письмових столів. Їхнє виробництво обмежене наявністю сировини (дошки) і часом машинної обробки. У таблиці наведені дані по нормах витрат ресурсів на один стіл відповідної моделі. У ній же зазначені прибуток від реалізації одного виробу і загальний запас ресурсів, які має в розпорядженні фірма протягом тижня

Ресурси

Норми витрат ресурсів на один виріб

Загальний обсяг

ресурсів

А

В

Дошки (м2)

6

4

2000

Машинний час (год.)

0,25

0,5

180

Прибуток від реалізації одного виробу (грн.)

100

160

Скільки столів кожної моделі фірмі необхідно випускати за тиждень для одержання максимального прибутку від їхньої реалізації?

  1.  Автозавод випускає дві моделі автомобілів: «Каприз» і (більш дешеву) «Фіаско». У таблиці наведені дані по нормах витрат ресурсів на одну модель кожного типу. У ній же зазначені прибуток від реалізації однієї моделі кожного типу і загальний запас ресурсів, який може витрачати фірма протягом тижня

Ресурси

Норми витрат ресурсів на одну модель автомобіля

Загальний обсяг

ресурсів на тиждень

«Каприз»

«Фіаско»

Робочий час (люд.-год.)

- некваліфіковані робітники

- кваліфіковані робітники

Витрати на комплектуючі (у.о.)

30

40

500

40

20

1500

40000

32000

900000

Прибуток від реалізації одного автомобіля (у.о.)

1000

750

Робітники, що здійснюють доставку, працюють п'ять днів на тиждень і можуть забрати з заводу не більш 210 машин у день. Який обсяг випуску кожної моделі Ви б рекомендували? Що б Ви рекомендували для підвищення прибутку фірми?

  1.  Цех випускає два види виробів. Представлена нижче таблиця містить інформацію про витрати ресурсів на одиницю виробу, про загальний запас ресурсів, про ціни продажу одного виробу.

Ресурси

Норми витрат ресурсів на один виріб

Загальний обсяг

ресурсів

1

2

Устаткування (верст.-год.)

Сировина (кг)

Електроенергія (кВт/год.)

0,2

1

2

0,3

4

4

78

850

880

Ціна одного виробу (грн.)

30

100

Скільки необхідно виготовляти виробів кожного виду, щоб вартість продукції була максимальною?

  1.  Швейною фабрикою для виготовлення двох видів виробів можуть бути використані тканини трьох артикулів. Норми витрат тканини всіх артикулів на пошиття одного виробу даного виду наведені в таблиці. У ній же наведене наявна в розпорядженні фабрики загальний обсяг тканини даного артикула і ціна одного виробу даного виду.

Артикул тканини

Норми витрат тканини (м) на один виріб виду

Загальний обсяг тканини (м)

1

2

I

II

III

1

-

3

-

1

2

150

150

600

Ціна  одного виробу (грн.)

80

60

Визначити, скільки виробів кожного виду повинна виготовити фабрика, щоб вартість продукції була максимальною.

  1.  На ткацькій фабриці для виготовлення двох артикулів тканини використовуються ткацькі верстати двох видів, пряжа і барвники. У таблиці представлена продуктивність верстатів кожного виду, норми витрат пряжі і вовни, ціна 1 м тканини даного артикула, а також загальний фонд робочого часу верстатів кожного виду, фонд пряжі і барвників.

Ресурси

Норми витрат ресурсів на 1 м тканини артикула

Загальний обсяг ресурсів

1

2

Продуктивність верстатів (верст.-год.)

Пряжа (кг)

Барвники (кг)

0,06

1,0

0,01

0,03

1,5

0,01

600

15000

120

Ціна 1 м тканини (грн.)

80

50

Скласти такий план виготовлення тканини, відповідно якому будуть виготовлені тканини кожного артикула, з максимальною загальною вартістю

  1.  Швальня виготовляє костюми і сукні з двох видів тканин. У таблиці наведені дані по нормах витрат тканин на один виріб. У ній же зазначені прибуток від реалізації одного виробу і загальний запас тканин, які має використати у своєму розпорядженні майстерня.

Тканина

Норми витрат тканини на один виріб

Загальний обсяг ресурсів (м2)

сукня

костюм

Вид №1 (м2)

1,5

1,6

139

Вид №2 (м2)

0,5

1

65

Прибуток від реалізації одного виробу (грн.)

30

50

Визначити, скількох суконь і костюмів треба зшити майстерні, щоб домогтися найвищої рентабельності виробництва.

  1.  Для будівництва будинків обрані два проекти. По кожному з проектів відома: тривалість різних видів будівельних робіт, кількість будівельних об'єктів, на яких можна вести одночасно ці види робіт, а також житлова площа будинку.

Вид робіт

Тривалість виконання (дні) для типового проекту

Кількість об’єктів будівництва, на яких можна одночасно вести роботи

А

В

Закладка фундаменту

Монтажні роботи

Інші роботи

20

8

30

30

7

15

15

4

12

Житлова площа (м2)

3000

2000

Скласти план будівництва, який максимізує введення житлової площі протягом року (300 робочих днів).

  1.  У деякій лікарні лікують два види хвороб: напади і травми хребта. У таблиці наведений час лікування одного хворого в хірургічній палаті, час використання для хворого томографічного сканера і час лікування хворого. У ній же наведено загальний обсяг зазначених ресурсів у рік.

Ресурси

Час лікування одного хворого

Загальний обсяг ресурсів

Нападии

Травми

Хірургічна палата (год.)

Томографічний сканер  (год.)

Місця (дні)

-

1

4

2

1

10

2600

2600

14600

Уряд забезпечує винагороду за кожен випадок лікування: 1000 дол. за лікування нападу і 2000 дол. за операцію на хребті. Якщо припустити, що лікарня може вільно приймати рішення про кількість пацієнтів, прийнятих для кожного виду лікування, то потрібно з'ясувати, яке поєднання пацієнтів принесе лікарні найбільший доход.

  1.  Приватна виробнича фірма спеціалізується на виробництві технічних лаків. Представлена нижче таблиця містить інформацію про витрати ресурсів на 1 кг відповідного лаку, про загальний запас ресурсів, про ціни продажу і відповідні витрати виробництва для одиниці полірувального і матового лаків.

Ресурси

Норми витрат ресурсів на 1 кг лаку

Загальний обсяг ресурсів на день

матового

полірувального

Рабочий час (люд.-год.)

0,1

0,2

400

Хімічна суміш (г)

0,05

0,02

100

Ціна продажу 1 кг, грн.

13

16

Витрати виробництва на 1 кг, грн.

9

10

Технологічні можливості заводу дозволяють випускати не більш 3000 кг лаку в день. Адміністрації даної компанії необхідно визначити щоденні обсяги виробництва кожного виду лаку, що дозволяють одержувати максимальний загальний доход на тиждень.

  1.  З пункту А до пункту В щодня вирушають пасажирські і швидкі поїзди. У таблиці зазначені кількості вагонів різних типів, з яких щодня можна комплектувати поїзди, і число пасажирів, на які розраховані вагони. Визначити оптимальне число швидких і пасажирських поїздів, при якому кількість перевезених пасажирів буде максимальною.

Тип

вагону

Кількість вагонів (шт) кожного типу в составі:

Парк вагонів, шт.

Число пасажирів в одному вагоні, люд.

швидкого

пасажирського

багажний

1

-

1

12

поштовий

1

-

-

18

жорсткий

4

58

8

88

купейний

6

40

4

79

м’який

4

32

2

35

  1.  З пункту А до пункту В щодня вирушають пасажирські і швидкі поїзди. У таблиці зазначені кількості вагонів різних типів, з яких щодня можна комплектувати поїзди, і число пасажирів, на яких розраховані вагони. Визначити оптимальне число швидких і пасажирських поїздів, при якому кількість перевезених пасажирів буде максимальною, за умови, що пропускна здатність дороги обмежує число пасажирських потягів до шести на день.

Тип

вагону

Кількість вагонів (шт) кожного типу в составі:

Парк вагонів, шт.

Число пасажирів в одному вагоні, люд.

швидкого

пасажирського

багажний

1

-

1

12

поштовий

1

-

-

18

жорсткий

4

58

8

88

купейний

6

40

4

79

м’який

4

32

2

36

  1.  Для будівництва будинків обрані два проекти. По кожному з проектів відома: тривалість різних видів будівельних робіт, кількість будівельних об'єктів, на яких можна вести одночасно ці види робіт, а також житлова площа будинку.

Вид робіт

Тривалість виконання (дні) для типового проекту

Кількість об’єктів будівництва, на яким можна одночасно вести роботи

А

В

Закладка фундаменту

Монтажні роботи

Інші роботи

20

10

30

30

5

15

10

5

12

Житлова площа (м2)

3000

2000

Скласти план будівництва, який максимізує введення житлової площі протягом року (300 робочих днів).


ЗАВДАННЯ 3
. У трьох пунктах виробництва А1, А2, А3 зосереджений однорідний вантаж у кількостях відповідно рівних а1, а2, а3 тонн. Даний вантаж споживається в чотирьох пунктах В1, В2, В3, В4, а потреби в ньому в цих пунктах складають b1, b2, b3, b4, тонн відповідно. Відома матриця тарифів по перевезенню 1 тони вантажу з iго пункту виробництва до jго пункту споживання:

.

Скласти план перевезень:

,

при якому сумарні транспортні витрати будуть мінімальними.

Розв’язати поставлену транспортну задачу

3.1 методом потенціалів,

3.2 за допомогою інструмента «Поиск решения».


№ вар

ПАРАМЕТРИ МОДЕЛІ

a1

a2

a3

b1

b2

b3

b4

c11

c12

c13

c14

c21

c22

c23

c24

c31

c32

c33

c34

1

25

50

20

15

15

40

30

1

8

2

3

4

7

5

1

5

3

4

4

2

46

30

35

20

30

16

10

1

2

6

3

4

8

1

5

9

7

3

4

3

60

70

20

30

30

30

50

2

4

5

1

2

3

9

4

3

4

22

5

4

30

20

40

50

20

20

15

5

2

4

1

3

5

6

7

11

5

3

1

5

45

15

20

30

25

25

10

9

4

1

4

5

6

7

10

2

1

4

3

6

60

65

70

40

60

70

30

2

4

3

2

3

1

2

3

5

4

1

5

7

50

40

20

30

25

25

20

3

2

4

1

2

3

1

5

3

2

7

4

8

20

10

40

35

25

10

15

4

1

2

6

5

3

4

8

2

5

1

4

9

50

10

10

25

25

20

10

5

6

4

2

1

5

3

8

1

2

4

1

10

45

25

20

30

15

30

40

2

1

5

1

4

2

6

3

1

5

2

4

11

60

70

10

40

25

35

20

5

4

1

2

6

3

1

2

4

5

3

2

12

25

25

30

20

25

25

15

4

8

6

7

2

1

5

1

1

3

5

4

13

20

20

40

30

25

15

20

6

4

1

2

5

8

3

1

5

4

2

6

14

60

10

40

30

40

20

10

1

2

4

5

6

8

2

3

2

5

7

1

15

30

50

20

15

10

40

30

3

1

5

6

4

2

1

5

3

7

4

5

16

45

35

70

20

60

55

55

6

1

4

5

2

3

2

1

4

5

2

3

17

30

70

50

10

40

20

60

5

1

4

2

6

3

8

2

4

5

1

3

18

70

10

20

45

10

35

20

6

1

5

4

2

3

2

5

4

7

9

2

19

20

50

40

45

20

45

5

4

5

3

2

8

4

1

6

2

5

4

1

20

30

20

45

25

25

30

20

1

5

3

4

2

1

5

7

4

2

1

4

21

60

10

50

30

40

40

25

5

1

9

3

2

7

5

6

1

2

4

3

22

30

70

20

65

15

30

5

6

4

2

1

4

5

3

8

5

1

3

5

23

50

40

60

35

45

50

30

2

4

1

5

3

2

5

6

7

4

5

9

24

40

30

20

25

35

25

15

1

5

2

4

8

3

6

7

4

2

1

5

25

50

40

60

40

60

25

35

2

4

1

9

8

3

6

10

2

4

5

7

26

20

30

50

45

25

20

15

6

4

1

5

7

10

2

3

5

6

11

2

27

25

35

50

30

10

30

25

5

8

4

3

1

2

7

5

2

1

2

6

28

50

40

20

20

40

30

25

2

4

5

8

9

7

3

1

6

2

5

2

29

25

45

30

40

20

25

20

6

4

5

8

1

2

3

7

5

1

2

4

30

30

20

45

25

25

30

20

8

7

5

1

2

12

4

5

8

6

2

4


СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

  1.  Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах і задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов. - М.: Высш. шк., 1986.-319с., ил.
  2.  Гасс С. Линейное программирование. - М.: Наука, 1961.  303 с.
  3.  Кузнецов А. В., Холод И. И. Математическое программирование. - Минск: Высшая школа, 1984. – 221 с.
  4.  Сакович В.А. Исследование операций (детерминированные методы і модели): Справочное пособие. - Мн.: Выш. шк., 1984.-256с.
  5.  Таха Х. Введение в исследование операций. В 2 кн.  Кн.1.  Пер. с англ. – М.: Мир, 1985.-479с., ил.
  6.  Цегелик Г.Г. Лiнiйне програмування.- Л.: Свiт, 1995. – 216 с.
  7.  Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математическое программирование» (линейное программирование) для студентов экономических специальностей / Сост. Туровцев Г.В., Нудный И.П. – Запорожье, ЗГИА, 1984.-31с.
  8.  Математическое программирование. Конспект лекций для студентов экономических специальностей дневного і заочного отделений /Глущевский В.В., Исаенко А.Н. – Запорожье: ЗГИА, 2003. – 150с. 
  9.  Исследование операций. Методические указания к выполнению практических і лабораторных заданий (тема: "Решение задач линейного программирования с использованием Microsoft EXCEL for WINDOWS") для студентов ЗГИА экономических специальностей дневного і заочного отделений /Глущевский В.В., Исаенко А.Н. – Запорожье: ЗГИА, 2003. – 40с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37176. Доходы бюджета 42 KB
  Доходы бюджета необходимо рассматривать прежде всего как фактор влияющий на совокупное потребление путем оказания влияния на уровень доходности социальных групп и виды деятельности. Доходы бюджета способны воздействовать на хозяйственную активность на объемы выпускаемой продукции и техническое оснащение производства на равновесие цен на отраслевое и территориальное размещение инвестиций. Доходы бюджета выражают экономические отношения возникающие в процессе формирования основного общегосударственного фонда денежных средств между...
37177. Расходы бюджета 29 KB
  По своему материальновещественному воплощению бюджетные расходы представляют собой денежные средства направляемые на финансовое обеспечение задач и функций государства и местного самоуправления. Посредством такой формы функционирования бюджета как бюджетные расходы образуются доходы нетрудоспособных граждан и оказывается поддержка другим социальнонезащищенным слоям населения. Бюджетные расходы способны оказывать активное влияние на формирование экономического роста приоритетное финансирование научных исследований развитие прогрессивных...
37178. Межбюджетные отношения 36.5 KB
  Низкая доля собственных доходов в бюджетах субъектов Федерации и местных бюджетах заметно снижает заинтересованность на местах в наращивании налогового потенциала в своевременном и полном поступлении налогов в бюджетную систему. Межбюджетные трансферты из федерального бюджета бюджетам бюджетной системы Российской Федерации предоставляются в форме: дотаций на выравнивание бюджетной обеспеченности субъектов Российской Федерации; субсидий бюджетам субъектов Российской Федерации; субвенций бюджетам субъектов Российской...
37179. Бюджетный процесс 30 KB
  В соответствии с Бюджетным кодексом правительство России вносит на рассмотрение Государственной Думы проект федерального бюджета на очередной финансовый год не позднее 26 августа. В первом чтении принимаются основные параметры бюджетапроходит в течение 30 дней со дня его внесения в Государственную думу. Рассматривается: прогнозируемый объём доходов в очередной год и плановый период с выделением объёма нефтегазовых доходов; приложения с нормативами распределения доходов между уровнями бюджетной системы; общий объём расходов; ...
37180. Возникновение бюджета 30 KB
  По экономической сущности государственный бюджет это денежные отношения возникающие у государства с юридическими и физическими лицами по поводу распределения национального дохода в связи с образованием и использованием бюджетного фонда предназначенного для финансирования экономики социальнокультурных мероприятий нужд обороны и государственного управления. Благодаря ей можно прогнозировать социальноэкономические последствия бюджетной политики. Бюджет играет важную экономическую социальную и политическую роль в воспроизводственном...
37181. Бюджетное устройство 90.5 KB
  Бюджетная система унитарного государства состоит из двух звеньев – государственного и местных бюджетов. Бюджетная система федеративных госуда рств тр ехзвенная и состоит из федеративного федерального бюджета бюджетов членов субъектов федерации и местных бюджетов. Бюджетный кодекс РФ далее БК РФ даёт следующее определение бюджетной системы: Основанная на экономических отношениях и государственном устройстве РФ регулируемая нормами права совокупность федерального бюджета бюджетов субъектов РФ местных бюджетов и бюджетов государственных...
37182. Право регулирования денежного обращение страны 92.5 KB
  Главными задачами правового регулирования денежного обращения в России являются: обеспечение четкого разделения правовых полномочий и ответственности в сфере денежного обращения между Президентом РФ законодательной и исполнительной властями; поддержание необходимого темпа роста денежной массы в обращении и правильного соотношения между наличным и безналичным денежным обращением с целью стабильного и эффективного функционирования экономики страны; обеспечение законодательной и исполнительной власти правовыми нормами и инструментами...
37183. Денежно – кредитная политика 86 KB
  Согласно комментариям к федеральному закону О Центральном банке Российской Федерации Банка России денежно – кредитная политика определяется как основная часть единой государственной экономической политики проявляющаяся в воздействии на количество денег в обращении с целью достижения стабильности цен обеспечения максимально возможной занятости населения а также роста реального объёма производства. В отличие от первого определения второе подчёркивает возможность влияния денежно – кредитной политики не только на сферу обращения но и...
37184. Современные коммерческие банки 34.5 KB
  Коммерческие банки выступают основным звеном банковской системы. Независимо от формы собственности коммерческие банки являются самостоятельными субъектами экономики. Таким образом коммерческие банки осуществляют должны осуществлять комплексное обслуживание клиентов что отличает их от специальных кредитных организаций небанковского типа выполняющих ограниченный круг финансовых операций и услуг.