47796

ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ І МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА

Книга

Математика и математический анализ

Класичне означення ймовірності появи події Ймовірність одне з основних понять теорії ймовірностей. Знайти ймовірність встановлення верстату що виготовлений: а третім заводом постачальником подія А; б першим заводомпостачальником подія В. Властивості ймовірності Ймовірність вірогідної події дорівнює одиниці. Ймовірність неможливої події дорівнює нулю.

Украинкский

2013-12-02

5.91 MB

69 чел.

ТЕОРІЯ   ЙМОВІРНОСТЕЙ

І  МАТЕМАТИЧНА  СТАТИСТИКА

ДЛЯ   ЕКОНОМІСТІВ

 

 Для кращого засвоєння матеріалу запропоновано наступні піктограми

-  важливий теоретичний матеріал

- приклади розв’язання задач

- розв’язати задачу

- відповісти на питання

- визначні математики

  •  це цікаво!

Розділ 1.1. Види  подій

Події, які відбуваються, можна поділити на три види: вірогідні, неможливі та випадкові.

 Означення: Вірогідною називається подія, яка обов’зково відбувається при здійсненні певною сукупності умов.

   Неможливою називається подія, яка завідомо не відбудеться, якщо буде здійснено певну сукупність умов.

            Випадковою називається подія, яка при здійсненні сукупності умов може відбутися або ні.

  Наприклад: 

  1.  Подія „Вода знаходиться у рідинному стані, якщо температура води за Цельсієм плюс 10 градусів” є вірогідною.
  2.  Подія „Вода знаходиться у твердому стані, якщо температура води за Цельсієм плюс 10 градусів” є неможливою.
  3.  Кидання монети або кубика є випадковою подією.

 

Якщо йдеться про велику кількість подій, які відбуваються в однакових умовах (масові, однорідні, випадкові події), то в цьому випадку вони підпорядковуються певним закономірностям. Встановленням цих закономірностей і займається теорія ймовірностей.

 Предметом теорії ймовірностей є вивчення ймовірностних закономірностей масових однорідних випадкових подій.

 Знання закономірностей, яким підпорядковані масові однорідні випадкові події, дозволяють передбачити як ці події будуть відбуватися.

Методи теорії ймовірностей застосовуються у різних галузях науки і техніки: теорія надійності; теорія масового обслуговування; теоретична фізика; математичне програмування, економічний ризик; інвестування, тощо. Теорія ймовірностей служить для обгрунтування математичної та прикладної статистики, що використовуються при плануванні та організації виробництва, для аналізу економічних і технологічних процесів, тощо.

Види випадкових подій

 Події називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу іншої події в одному і тому ж випробуванні.

Декілька подій утворюють повну групу подій, якщо в результаті випробування з’явиться хоча б одна з цих подій.

  Приклад: 

1. Поява „числа” виключає появу „герба” при одному киданні монети тому ці події є несумісними.

2. Поява одного очка на верхній грані кубика виключає появу іншої кількості очок, тому ці події є несумісними.

3. Подія А – вироблена продукція є конкурентоспроможньою.  Обов’язково відбудуться сумісні події:

А1вироблена продукція є якісною;

         А2  - вироблена продукція має конкурентоздатну ціну.

Розділ 1.2. Класичне означення ймовірності появи події

 Ймовірність – одне з основних понять теорії ймовірностей. Це число, яке характеризує ступінь можливості здійснення події. Кожний з можливих результатів випробування називається елементарним результатом (елементарною подією).

 Означення: Ймовірністю події А називається відношення числа сприятливих цій події випадків до загального числа всіх можливих випадків.

                                                            ,                                              (1.1)

де  т – число елементарних випадків (результатів), які сприяють появі події А;  п – число всіх можливих випадків (елементарних результатів випробування).

  Приклад:

Підприємство придбало 6 однакових верстатів, причому 2 з них виготовлено першим заводом-постачальником, 3 – другим і 1 – третім. Знайти ймовірність встановлення верстату, що виготовлений: а) третім заводом постачальником (подія А);  б) першим заводом-постачальником (подія В).

Рішення

                           а) ;               б) .

Властивості ймовірності

  1.  Ймовірність вірогідної події дорівнює одиниці.

В цьому випадку т=п , тобто .

  1.  Ймовірність неможливої події дорівнює нулю.

В цьому випадку т=0 , тобто .

3. Ймовірність випадкової події є додатнє число, що знаходиться  між нулем і одиницею.

В цьому випадку  (всі випадки за винятком вірогідного і неможливого) , тобто     .

Задачі до розділу 1.2

 Задача 1.2.1

Кидають два кубики. Знайти ймовірність того, що на верхніх гранях з’явиться кількість очок, сума яких буде менше п’яти.

Рішення

Подія А – на верхніх гранях з’являться числа, сума очок яких менше п’яти. Розглянемо всі можливі варіанти появ очок на першому і другому кубиках, виписавши їх:

           1к.     2к.     1к.    2к.    1к.    2к.     1к.    2к.    1к.    2к.     1к.    2к.

             1       1       2       1        3       1       4        1       5       1        6       1

             1       2       2       2        3       2       4        2       5       2        6       2

             1       3       2       3        3       3       4        3       5       3        6       3

             1       4       2       4        3       4       4        4       5       4        6       4

             1       5       2       5        3       5       4        5       5       5        6       5

             1       6       2       6        3       6       4        6       5       6        6       6

На кожному з кубиків може випасти шість різних варіантів, а кількість кубиків два, тому всіх можливих випадків   n = 62 = 36.

Розглянувши всі можливі варіанти оберемо сприятливі, їх буде m=6.

За класичним означенням ймовірності:

.

 

  Задача 1.2.2

Кинуто три монети. Знайти ймовірність того, що хоча б на двох монетах з’явиться „герб”.

Рішення

Розглянемо всі можливі варіанти, їх буде п = 23 = 8  (на одній монеті можливі два випадки, всього монет три ).

1 монета   Г    Г    Г    ч   | ч |   | ч|    | ч |    | ч| 

2 монета   Г    Г    ч    Г   | ч |   | ч |   | ч|     | ч|

3 монета   Г    ч    Г    Г   | ч |   | ч|    | ч|     | ч|

 

Поняття „хоча б на двох монетах ” включає, що „герб” з’явиться або на двох з трьох, або на всіх трьох монетах. Тому кількість сприятливих подій  буде m = 4. За класичним означенням ймовірності:

;

  Задача 1.2.3

Кинуто чотири монети. Знайти ймовірність того, що на трьох з них з’явиться „герб”.

  Задача 1.2.4

Кинуто два гральні кубика. Знайти ймовірність того, що сума очок, що випала, дорівнює восьми, а  різниця чотирьом.

  Задача 1.2.5

Кинуто три гральні кубика. Знайти ймовірність того, що на верхніх гранях з’являться тільки непарні числа очок.

Розділ 1.3. Елементи комбінаторики

  Означення: Різні підмножини, що утворені із будь-яких елементів і відрізняються одна від одної або самими елементами, або порядком їх розташування, називаються сполуками або комбінаціями.

Комбінації бувають трьох видів: розміщення, перестановки і сполучення. Область математики, у якій вивчаються питання про кількість комбінацій, що можна скласти із заданих елементів будь-якої природи, називається комбінаторикою.

Розміщення

  Означення: Розміщенням із п елементів по т називаються такі комбінації, які містять по т елементів, взятих із даних п елементів, і які відрізняються одна від одної або елементами, або порядком елементів.

Число всіх можливих розміщень із п елементів по т послідовних натуральних чисел, з яких найбільшим є  п, визначається за формулою

                                                                         (1.2)

  Приклад:

Набираючи код сейфу бізнесмен забув останні 4 цифри, але пам’ятаючи, що вони всі різні, набрав їх навмання. Знайти ймовірність того, що бізнесмен набере правильно код сейфу з першого разу.

Рішення

      

Перестановки

  Означення: Перестановками називаються комбінації, які складаються з одних й тих  п різних елементів та відрізняються тільки порядком їх розміщення.

Число всіх можливих перестановок визначається за формулою:

                                                 ,                                                   (1.3)

де  (ен-факторіал) – добуток  перших натуральних чисел.

  Приклад:

1. Скільки чотирьохзначних чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3 і 4, якщо кожна з цифр входить до числа тільки один раз?

Рішення

.

2. На підприємстві ввели нову АТС. Скільки телефонних номерів можна скласти з шести цифр, які не повторюються?

Рішення

.

Сполучення

  Означення: Сполученнями називаються комбінації, які складаються з п різних елементів по т елементах та відрізняються хоча б одним елементом.

Число всіх можливих сполучень визначається за формулою:

                                                         .                                     (1.4)

  Приклад:

Кількома способами можна вибрати 2 деталі з ящика, що містить 10 деталей?

Рішення

 За формулою (1.4)

Розділ 1.4. Знаходження ймовірності появи події з застосуванням елементів комбінаторики

  Задача:

Нехай маємо множину із п елементів, які мають властивість рівноможливості випадкового вибору кожного з них. Нехай серед цих заданих п елементів маємо т (тп), які мають задану ознаку ( наприклад, номер, колір, якість, тощо). Випадково здійснюється вибір k елементів (kп). Знайти ймовірність того, що серед обраних k елементів буде l елементів (l) і які мають задану ознаку. Тоді ймовірність цієї події визначається за формулою:

                                                                                    (1.5)

  Наприклад:

В партії з 10 деталей знаходиться 7 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед 6 взятих навмання деталей 4 стандартні.

Рішення

Подія А – серед 6 взятих деталей 4 стандартні.

Задачі до розділу 1.4

  Задача 1.4.1

У відділі працює 6 чоловіків і 4 жінки, за табельними номерами навмання відібрано 7 людей. Знайти ймовірність того, що серед відібраних будуть 3 жінки.

Рішення

Загальне число можливих елементарних результатів випробувань дорівнює числу способів, якими можна з загальної кількості чоловік (10) обрати 7, тобто - кількості сполучень з 7 по 10. Підрахуємо число результатів, що сприятимуть події „серед обраних три жінки”: обрати 3  жінки з 4 можна  способами, при цьому ті, що лишилися 10 – 4 = 6, повинні бути чоловіками, з яких буде обрано 7 – 3 = 4, яких можна обрати   =  способами. Відповідно число сприятливих випадків дорівнює .

Шукана ймовірність дорівнює відношенню кількості сприятливих випадків до загальної кількості випадків:

                         .

  Задача 1.4.2

В ящику 5 стандартних і 3 браковані деталі. Навмання витягли  4 деталі. Знайти ймовірність того, що серед них буде 3 стандартні і 1 бракована деталь.

Рішення

Подія А – серед чотирьох вилучених деталей три  стандартні і одна  бракована.

  Задача 1.4.3

В коробці 15 калькуляторів, серед яких 10 інженерних. Службовець навмання обирає 3 калькулятора. Знайти ймовірність того, що обрані калькулятори будуть інженерними.

  Задача 1.4.4

В групі 11 студентів, серед яких 6 навчаються на „відмінно” і „добре”. За списком обрано 8 студентів. Знайти ймовірність того, що серед обраних студентів 5 навчаються на „відмінно” і „добре”.

  Задача 1.4.5

В партії з 50 деталей, 47 стандартних. Навмання обрано 43 деталі. Знайти ймовірність того, що серед обраних деталей 45 стандартних.

Розділ 1.5. Статистична ймовірність

Класичне визначення ймовірності передбачає, що число подій є скінченим числом, що в реальному житті не завжди відповідає дійсності. У таких випадках застосування класичного означення появи події є неможливим. Тому поряд з класичним визначенням появи події використовують також статистичне визначення ймовірності, коли за ймовірність події приймають відносну частоту або число, що є близьким до неї.

  Означення: Відносною частотою події називається відношення числа випробувань, в яких подія вже відбулася, до загального числа фактично зроблених випробувань.

Таким чином, відносна частота події А визначається за формулою

                                                        ,                                                (1.6)

де  - число появи події;   - загальне число випробувань.

Співставляючи визначення ймовірності і відносної частоти можна зробити висновок: визначення ймовірності не вимагає, щоб випробування дійсно відбулися; визначення віцдносної частоти припускає, що випробування дійсно вже відбулися. Іншими словами, ймовірність обчисляють до проведення досліду, а відносну частоту після його проведення.

Тривалі спостереження показали, що якщо досліди проводяться у однорідних умовах, в кожному з яких число випробувань достатньо велике, тоді відносна частота виявляє властивість сталості. Ця властивість полягає у тому, що у різних дослідах відносна частота змінюється у незначній мірі і тим меше, чим більше зроблено випробувань, коливаючись біля деякого постійного числа. Виявилося, що це постійне число є ймовірністю появи події. Таким чином, якщо дослідним шляхом встановлена відносна частота, то одержане число можна вважати за наближене значення ймовірності.

  Приклад: 

1. При киданні монети 4040 раз, число появи „герба” дорівнює 2048, а відносна частота – 0,5069. При киданні монети 12000 раз, число появи „герба” дорівнює 6019, а відносна частота – 0,5016. При киданні монети 24000 раз, число появи „герба” дорівнює 12012, а відносна частота – 0,5005. Як видно з наведених даних, чим більша кількість випробувань, тим ближче значення відносної частоти до ймовірності випадання „герба” при одному киданні монети, яке дорівнює за класичним означенням 0,5.

2. За даними шведської статистикивідносна частота народження дівчинок за 1935 рік за місяцями характеризується наступними числами: 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473. Відносна частота коливається біля числа 0,482, яке можна прийняти за наближене значення ймовірності народження дівчинок. Зауважимо, що статистичні дані різних країн дають приблизно такі ж значення відносної частоти.

Розділ 2.1. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій

  Означення: Сумою двох подій А і В називається подія А+В, яка полягає в появі події А або події В, або обох цих подій.

Наприклад: 

1. Якщо з гармати зроблено два постріли і подія  А - попадання з першого пострілу, подія В – попадання з другого пострілу, тоді А+В – попадання при першому або при другому пострілі, або при обох пострілах.

Якщо дві події А і В – несумісні, тоді А+В – подія, яка полягає в появі однієї з цих подій.

2. Підприємство одержало більший прибуток за рахунок виконання наступних заходів. Подія  А - збільшення обсягів випуску продукції, подія В – зменшення собівартості продукції, тоді А+В – підприємство або збільшило обсяг випуску продукції, або  зменшило її собівартість, або одночасно і збільшило обсяг і зменшило собвартість продукції.

  Теорема: Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій, не має значення якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

                                          .                                   (2.1)

Доведення

Нехай  п – загальне число можливих елементарних результатів випробування;  т1число результатів сприятливих події А;  т2 - число результатів сприятливих події В.

Число елементарних результатів сприятливих або події А або події В, дорівнює події т12. Значить,

  Приклад: 

1.  Токар виготовив 30 болтів, з яких  10 мідних, 5 зі сплаву нікеля і 15 залізних. Вся вироблена продукція зберігається у ящику.Знайти ймовірність того, що робітник навмання витягне не залізний болт.

Рішення

Подія А -  витягти мідний болт.                           .

Подія В – витягти болт зі сплаву нікеля.            .

Тоді подія А+В – витягти не залізний болт (або мідний, або зі сплаву нікеля)

                               

 2. На конвейєр поступають деталі, що виготовляються трьома верстатами-автоматами. Ймовірність виготовлення деталі першим верстатом-автоматом дорівнює 0,45,  другим – 0,35. Знайти ймовірність того, що деталь була виготовлена або першим, або другим верстатом-автоматом.

Рішення

Подія А+В – деталь була виготовлена або першим, або другим верстатом-автоматом.

                           

Задачі до розділу 2.1

  Задача 2.1.1

В ящику знаходиться 10 білих, 15 чорних, 20 синіх кульок. Витягли одну кульку. Знайти ймовірність того, що витягли білу або синю кульку.

Рішення

 А – витягли білу або синю кульку. Подія А відбудеться, якщо відбудеться одна з несумісних подій: В – витягли білу кульку або С – витягли синю кульку. Тоді для знаходження ймовірності події А застосуємо теорему додавання ймовірностей несумісних подій:

 

Р(А) = Р(В) + Р(С) ,

де   

  Задача 2.1.2

На полиці книгарні розташовано 15 підручників, причому 4 з них з теорії ймовірностей. Продавець навмання бере 3 підручника. Знайти ймовірність того, що хоча б один з підручників буде з теорії ймовірностей.

Рішення

Подія А – хоча б один з підручників з теорії ймовірностей. Подія А може відбутись за умови, що відбудеться одна з несумісних подій:

В – 1 підручник з теорії ймовірностей;

С – 2 підручника з теорії ймовірностей;

Д – 3 підручника з теорії ймовірностей.

 Тому ймовірність події А знаходимо за теоремою додавання ймовірностей:

                               Р(А)=Р(В)+Р(С)+Р(Д) ,  

де

 ;

 

 

 

;

  Задача 2.1.3

На складі зберігається продукція чотирьох підприємств, що виготовляють комп’ютери, причому 30% продукції з першого підприємства, 20% - другого підприємства, 40% - третього підприємства, 10% - четвертого підприємства. Знайти ймовірність того, що навмання обраний комп’ютер належатиме продукції першого або четвертого підприємства.

  Задача 2.1.4

В коробці зберігаються 14 деталей, причому 5 з них пофарбовані. Робітник навмання бере 4 деталі. Знайти ймовірність того, що серед обраних будуть 3 або 4 пофарбовані деталі.

Розділ 2.2. Ймовірність повної  групи  подій. Протилежні події

  Теорема: Сума ймовірностей подій  , які утворюють повну групу, дорівнює одиниці.

                                                                           (2.2)

Доведення

Оскільки поява однієї з подій повної групи є подія достовірна, а ймовірність достовірної події дорівнює одиниці,  то . Будь-які дві події повної групи несумісні, тому за теоремою додавання   

  Приклад:

Консультаційний пункт університету одержує пакети з контрольними роботами із населених пунктів Інгулець (подія А), Апостолово (подія В)і Нікополь (подія С). Ймовірність одержання пакета з Інгульця дорівнює 0,7, з Апостолово – 0,2. Знайти ймовірність того, що наступний пакет буде одержано з Нікополя.

Рішення

;      ;     .

  Означення: Протилежними називаються дві єдиноможливі події, що утворюють повну групу.

Якщо одну з двох протилежних подій позначити через , тоді другу прийнято позначати  (не А).

  Приклад: З ящика навмання вилучили деталь. Подія “витягли стандартну деталь” є протилежною до події “витягли нестандартну деталь”.

   Теорема: Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці

                                    .                                                  (2.3)

Доведення

Протилежні події утворюють повну групу, а сума ймовірностей подій, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці.

                          ,    ,    .

  Приклад: 

Ймовірність того, що робітник за одну зміну виготовить 10 деталей, дорівнює 0,15;  ймовірність виготовити 9 деталей – 0,2;  виготовити 8 або менше деталей – 0,65. Знайти ймовірність того, що за одну зміну робітник виготовить не менше 9 деталей.

Рішення

Подія А – робітник виготовив не менше 9 деталей, тобто або 9, або 10.

І спосіб:

ІІ спосіб: Подія  - робітник виготовить менше 9 деталей.

                

Розділ 2.3. Множення ймовірностей

  Означення:  Добутком двох подій А і В називають подію , яка полягає в сумісній появі цих подій.

Приклад:

1. Якщо подія А – деталь стандартна, подія В – деталь пофарбована, тоді подія - деталь і стандартна і пофарбована (і та і інша одночасно).

2. Події А, В і С – поява герба при першому, другому і третьому киданні монети відповідно, тоді подія  - поява „герба” при трьох киданнях монети.

Умовна ймовірність

 

 Означення: Умовною ймовірністю  називають ймовірність події В, обчислену в припущенні, що подія А вже відбулася.

 Наприклад:

У ящику 3 стандартні  і 3 браковані деталі. З ящика два рази вилучають по одній деталі. Знайти ймовірність появи стандартної деталі при другому випробуванні (подія В), якщо при першому випробуванні було вилучено браковану деталь (подія А)

Рішення

.

  Теорема: Ймовірність сумісної появи двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другої, обчислену в припущенні, що перша подія вже відбулася

                       .                       (2.4)

Наслідок: Ймовірність сумісної появи декількох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовні ймовірності всіх інших, причому ймовірність кожної наступної події обчислюється в припущенні, що всі попередні події вже відбулися.

.   (2.5)

Порядок, за яким розташовано події, може бути довільним, тобто не має значення яку подію вважати першою, другою і т.п.

Приклад:

В урні 5 білих, 4 чорних і 3 синіх кульки. Кожне випробування полягає у вилученні навмання однієї кульки, не повертаючи її назад. Знайти ймовірність того, що при першому випробуванні з’явиться біла кулька (подія А), при другому – чорна (подія В) і при третьому – синя (подія С).

Рішення

.

        

                                    

  Означення: Подія В називається незалежною від події А, якщо поява події А не змінює ймовірності появи події В, тобто якщо умовна ймовірність події В дорівнює її безумовній ймовірності , тобто поява події А не залежить від появи події В.

  Теорема: Ймовірність сумісної появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій

                                     .                                          (2.6)

 

Практично про незалежність подій судять із змісту задачі. Наприклад, ймовірність влучення кожної з двох гармат не залежить від того, чи влучила інша гармата, тому подія “перша гармата влучила” і подія “друга гармата влучила” є незалежними.

Приклад: 

1. Нехай в кожному з трьох ящиків знаходиться по 10 деталей. У першому – 8, у другому – 7 і у третьому – 9 стандартних деталей. З кожного ящика навмання вилучили по одній деталі. Знайти ймовірність того, що всі три деталі, що вилучено, будуть стандартними.

Рішення

Подія А – з першого ящика вилучили стандартну деталь.

Подія В – з другого ящика вилучили стандартну деталь.

Подія С – з третього ящика вилучили стандартну деталь.

Оскільки події є незалежними, то

                          

  2. Ймовірність появи кожної з трьох незалежних подій  відповідно дорівнюють  . Знайти ймовірність появи тільки однієї з цих подій.

Рішення

Подія  - з’явиться подія  і одночасно не з’являться події  і  .

Подія  - з’явиться подія  і одночасно не з’являться події   і  .

Подія  - з’явиться подія  і одночасно не з’являться події   і .

Подія А – поява однієї з подій .

.

Задачі до розділу 2.3

  Задача 2.3.1

На складі зберігається продукція з трьох партій, відомо, що з I партії 90% продукції відповідає стандарту, з II партії – 80%, з III партії – 85%. З кожної партії обрано по одиниці продукції. Знайти ймовірність того, що всі три одиниці стандартні.

Рішення

Розглянемо події:

 А – продукція I партії стандартна;  

 В – продукція II партії стандартна;  

 С – продукція III партії стандартна.  

Обрання стандартної продукції з I, II, III партій є подіями незалежними, причому такими, що відбуваються одночасно. Тому застосуємо теорему множення ймовірностей незалежних подій.

 Р(А) =0,9

 Р(В) =0,8

 Р(С) =0,85

 

  Задача 2.3.2

Два біатлоністи стріляють по мішенях. Ймовірність влучення для першого біатлоніста 0.85, а для другого - 0.9. Знайти ймовірність того, що влучить у мішень тільки один біатлоніст.

Рішення

Подія А – влучить у мішень тільки один біатлоніст.

Подія А відбудеться у випадку: влучить в мішень тільки перший біатлоніст, а другий не влучить; або у випадку: влучить в мішень другий біатлоніст, а перший не влучить.

Позначимо події:

подія В перший біатлоніст влучить у мішень;

подія С –другий біатлоніст влучить у мішень

і протилежні їм події:

 - перший біатлоніст  не влучить у мішень;

 - другий біатлоніст не влучить у мішень.

Тоді за допомогою теорем додавання й множення ймовірностей отримаємо:

 

                                               Р(А)=Р(В) + Р(С),

 де Р(В)=0,85, Р(С)=0,9 , а протилежні їм події мають ймовірності

= 1 - Р(В) = 1 – 0,85 = 0,15;

= 1 – Р(С) = 1 – 0,9 = 0,1.

Р(А)=

 

  Задача 2.3.3

Відділ технічного контролю перевіряє вироби на стандартність. Ймовірність того, що вироб стандартний 0.75. Знайти ймовірність того, що з трьох перевірених виробів тільки один стандартний.

  Задача 2.3.4

Студент розшукує потрібне йому питання в трьох підручниках. Ймовірність того, що питання міститься в першому підручнику 0,4; в другому підручнику 0,7, а в третьому підручнику 0,75. Знайти ймовірність того, що питання міститься у всіх трьох підручниках.

  Задача 2.3.5

Кинуто три гральних кубики. Знайти ймовірність того, що на верхніх гранях всіх кубиків випаде число 3.

Розділ 2.4. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій

  Означення: Дві події називаються сумісними , якщо поява однієї з них не виключає появи іншої в одному й тому ж випробуванні.

   Наприклад, подія “поява трьох очок при киданні грального кубика” і подія “поява непарного числа очок при киданні грального кубика” є сумісними.

  Теорема: Ймовірність появи однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх сумісної появи

                      .                        (2.7)

Доведення

Оскільки події А і В – сумісні, тоді подія А+В відбудеться, якщо відбудеться одна з трьох несумісних подій: .

.

Подія А відбудеться, якщо відбудеться одна з подій . За теоремою додавання:                                        

                                              

                                              

Аналогічно:                          

                                              

Звідси:                                       

                                           .

При використанні одержаної формули треба мати на увазі, що події А і В можуть бути як залежними, так і незалежними, тому формула (2.7) набуде вигляду

для незалежних подій:   ;                       (2.8)

для залежних подій:       .                      (2.9)

  Наприклад:

Ймовірність одержання сертифікату якості для першого і другого виду виробів відповідно дорівнює =0,7 і =0,8. Знайти ймовірність одержання сертифікату якості хоча б одним виробом підприємства.

Рішення

Подія А – перший вироб одержить сертифікат якості.

Подія В – другий вироб одержить сертифікат якості.

Події А і В незалежні (одержання сертифікату якості першим виробом не залежить від одержання сертифікату другим).

Подія А+В – хоча б один вироб підприємства одержав сертифікат якості, тобто або перший (А), або другий (В), або обидва вироби (АВ), тоді за формулою (2.7)

                           

                             = 0,7+0,8  - 0,7·0,8=0,94.

Розділ 2.5. Завдання до заняття 2

  Питання до заняття 2

1. Що називається сумою двох подій?

2. Які події називаються несумісними?

3. Сформулювати теорему додавання двох несумісних подій.

4.  Сформулювати теорему про ймовірність повної групи подій.

5. Які події називаються протилежними?

6. Сформулювати теорему про суму ймовірностей протилежних подій.

7. Що називається добутком двох подій?

8. Яка ймовірність називається умовною?

9. Сформулювати теорему про ймовірність сумісної появи двох залежних подій.

10. Які події називаються незалежними?

11. Сформулювати теорему про ймовірність сумісної появи двох незалежних подій.

12. Які події називаються сумісними?

13. Сформулювати теорему додавання двох сумісних подій.

Розділ 3.1. Ймовірність появи хоча б однієї події

  Теорема: Ймовірність появи хоча б однієї з подій , незалежних у сукупності, дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей протилежних подій .

                               .                             (3.1)

Доведення

Нехай подія А полягає в появі хоча б однієї з подій  . Подія А і подія  (жодна з подій не настала) протилежні, тому сума їх ймовірностей дорівнює одиниці.

                             .

Звідси

                              ,

                            ,

                                  .

Наслідок: Якщо події мають однакову ймовірність, що дорівнює , тоді ймовірність появи хоча б однієї з цих подій визначається за формулою

                                                .                                          (3.2)

  Наприклад:

1. Ймовірність виготовлення стандартної деталі на одному з трьох верстатів відповідно дорівнюють  =0,8,   = 0,85,   = 0,9. Знайти ймовірність виготовлення хоча б однієї стандартної деталі при роботі на трьох верстатах (подія А).

Рішення

Знайдемо ймовірності протилежних подій (виготовлення нестандартних деталей на кожному з верстатів)

               .

2. Ймовірність того, що подія відбудеться хоча б один раз в трьох незалежних в сукупності випробуваннях, дорівнює 0,964. Знайти ймовірність появи події в одному випробуванні, вважаючи, що ймовірність появи події в кожному випробуванні однакова.

Рішення

Використовуючи формулу (3.2), маємо

 

Задачі до розділу 3.1

  Задача 3.1.1

Від складських приміщень до цеху постачання здійснюються двома вантажними автомобілями. Ймовірність того, що кожна вантажівка вчасно прибуде до цеху дорівнює 0.95. Знайти ймовірність того, що хоча б одна з вантажівок прибуде вчасно.

Рішення

Подія А – хоча б одна з вантажівок прибуде вчасно. Подія А складається з появи хоча б однієї з подій: - вчасне прибуття 1-ї вантажівки;  - вчасне прибуття 2-ї вантажівки, що є незалежними подіями, тоді:

,

,

,

.

   Задача 3.1.2

Пристрій складається з трьох незалежно працюючих елементів. Ймовірність відмови елементів відповідно дорівнюють – 0,06; 0,05 і 0,08. Знайти ймовірність відмови пристрою, якщо для цього достатньо, щоб відмовив хоча б один елемент.

Рішення

Подія А складається з появи хоча б однієї з подій:

- відмовив I елемент;

- відмовив II елемент;

- відмовив III елемент, що є незалежними подіями, тому:

,

де

;

;

;

.

  Задача 3.1.3

Троє стрільців зробили постріл по цілі. Ймовірність влучення в ціль першого стрільця 0,75, другого – 0,65 і третього – 0,9. Знайти ймовірність того, що хоча б один зі стрільців влучить у ціль.

  Задача 3.1.4

Студент розшукує потрібну формулу в двох довідниках. Ймовірність того, що формула міститься в першому  довіднику 0,7, в другому довіднику – 0,65. Знайти ймовірність того, що формула міститься хоча б в одному з довідників.

Розділ 3.2. Формула повної ймовірності

  Теорема: Ймовірність події А , яка може відбутися лише при умові появи однієї з несумісних подій В1, В2, … , Вп , які утворюють повну групу, дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А.

.         (3.3)

Доведення

Подія А може відбутися, якщо відбудеться одна з несумісних подій В1, В2, … , Вп . Тобто поява події А означає здійснення однієї, будь якої з несумісних подій  ,  , … ,  Використовуючи теорему додавання (формула 2.1), одержимо

            .

Оскільки подія А і події В1, В2, … , Вп залежні, тоді  

                                                                                        

                                                                                         ……………………..

                                                                                        

Звідки .

  Наприклад:

У першій коробці міститься 15 приладів, з яких 14 якісних, а у другій – 20 приладів, з яких – 17 якісних. Із першої коробки навмання вилучають прилад і перекладають його у другу коробку. Знайти ймовірність того, що прилад, який вилучили з другої коробки, є якісним.

Рішення

Подія А – з другої коробки вилучили якісний прилад.

Тоді мають місце гіпотези (припущення) щодо того, який прилад вилучили з першої коробки:

- з першої коробки вилучили якісний прилад;

- з першої коробки вилучили неякісний прилад.

Тоді:    

Знайдемо умовні ймовірності того, що з другої коробки вилучили якісний прилад, якщо з першої коробки вилучили якісний прилад та якщо з першої коробки вилучили неякісний прилад :

                      ;

                                           

                                       

Задачі до розділу 3.2

  Задача  3.2.1

 

На базі зберігається однотипна продукція трьох підприємств, причому 30% - продукція I підприємства, 50% -  продукція II підприємства, 20% - продукція III підприємства. Якісна продукція I підприємства складає 95%, II підприємства – 80%,  III підприємства -70%. Знайти ймовірність того, що навмання обрана одиниця продукції буде якісною.

Рішення

Подія А - навмання обрана одиниця продукції буде якісною.

Можливі наступні гіпотези:

- обрана продукція належить I підприємству;

- обрана продукція належить II підприємству;

- обрана продукція належить III підприємству.

За умовою задачі, ймовірності цих гіпотез наступні:

;

;

.

Умовна ймовірність того, що одиниця продукції якісна, якщо вона виготовлена на I підприємстві буде

 .

Умовна ймовірність того, що одиниця продукції якісна, якщо вона виготовлена на II підприємстві буде

 .

Умовна ймовірність того, що одиниця продукції якісна, якщо вона виготовлена на III підприємстві буде

 .

 Ймовірність того, що навмання обрана одиниця продукції буде якісною, визначається за формулою повної ймовірності

,

.

  Задача 3.2.2

У інформаційному центрі є комп’ютери двох фірм-виробників. Ймовірність того, що під час виконання розрахунків за деякою програмою комп’ютер першої фірми-виробника вийде з ладу 0,05, другої 0,2. Науковець робить розрахунки на навмання обраному комп’ютері. Знайти ймовірність того, що до кінця виконання розрахунків комп’ютер не вийде з ладу.

  Задача 3.2.3

У першій урні знаходиться 10 кульок, з яких 8 білих, у другій урні – 20 кульок, з яких 4 білі. З кожної урни навмання вилучили по одній кульці а потім з цих двох кульок навмання обрано одну. Знайти ймовірність того, що обрано білу кульку.

Розділ 3.3. Ймовірність гіпотез. Формули Бейєса

   Нехай проведено випробування за результатами якого з’явилася подія А . Знайдемо умовні ймовірності  (ймовірність того, що подія  відбудеться, якщо подія А вже відбулася). Наприклад, для події  

                                  ,

                                               ,

де - повна ймовірність.

У загальному вигляді

             ,         (3.4)

де  

Одержану  формулу (3.4) називають формулою Бейєса (за ім’ям англійського математика, який вивів цю формулу і опублікував у 1764 році). Формула Бейєса дозволяє переоцінити ймовірність гіпотез після того, як стане відомим результат випробування, тобто з’явиться подія А.

  Наприклад: Деталі, що виготовляє цех заводу попадають на перевірку на стандартність до одного з двох контролерів. Ймовірність того, що деталь попаде до першого контролера, дорівнює 0,55, а до другого – 0,45. Ймовірність того, що деталь буде названо стандартною першим контролером – 0,95, а другим – 0,98. Деталь при перевірці було названо стандартною. Знайти ймовірність того, що цю деталь перевірив перший контролер.

Рішення

Подія А – деталь названо стандартною.

Маємо дві гіпотези:   - деталь перевірив перший контролер;

                                              - деталь перевірив другий контролер.

          Подія  - ймовірність того, що стандартну деталь перевірив перший контролер.

Подія  - ймовірність того, що стандартну деталь перевірив другий контролер.

Тоді формула (3.4) набуде вигляду:

                                        ,

                         

                                   

Задачі до розділу 3.3

   Задача 3.3.1

Уздовж бензоколонки проїжджає 60% легкових автомобілів і 40% вантажних автомобілів. Ймовірність того, що заправлятиметься вантажна машина 0,1, для легкової машини ця ймовірність дорівнює 0,2. До бензоколонки під’їхала машина для заправки. Знайти ймовірність того, що це буде вантажна машина.

Рішення

Подія А – до бензоколонки під’їхала для заправки машина.

Можна висунути дві гіпотези:

- машина легкова;

- машина вантажна.

Тоді,   ,   .

Умовна ймовірність того, що заправлятиметься легкова машина:

.

Умовна ймовірність того, що заправлятиметься вантажна машина:

.

Ймовірність того, що до бензоколонки під’їхала для заправки машина, знаходимо за формулою повної ймовірності

,

.

Шукану ймовірність, що для заправки під’їде вантажна машина, знайдемо за формулою Бейєса

,

            .

  Задача 3.3.2

У крамниці для продажу є 15 рушниць, з яких 5 з оптичним прицілом. Ймовірність того, що стрілець влучить у мішень з рушниці з оптичним прицілом 0,95, для рушниці без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,8. Стрілець влучив у мішень з навмання купленої рушниці. Знайти ймовірність того, що стрілець стріляв з рушниці без оптичного прицілу.

  Задача 3.3.3

У наявності є три партії деталей по 30 деталей в кожній. Число стандартних деталей у першій, другій і третій партіях відповідно дорівнює 20, 15 і 10. Із навмання обраної партії навмання вилучено деталь, яка виявилася стандартною. Знайти ймовірність того, що деталь було вилучено із третьої партії.

Розділ 3.4. Завдання до заняття 3

   Теоретичні питання до розділу 3

  1.  Сформулювати теорему про ймовірність появи хоча б однієї події.
  2.  Які події утворюють повну групу?
  3.  Сформулювати теорему про повну ймовірність.
  4.  Що ви розумієте під терміном „гіпотеза”.
  5.  Записати формулу Бейєса та пояснити її складові.

                 

Розділ 4.1. Формула Бернуллі

  Нехай виконується п незалежних випробувань, в кожному з яких подія А може з’явитися або ні. Ймовірність появи події А в кожному випробуванні однакова і дорівнює р. Відповідно, ймовірність того, що подія А не з’явиться в кожному випробуванні також постійна і дорівнює .

Необхідно визначити ймовірність того, що при п випробуваннях подія А з’явиться рівно  раз, тобто не з’явиться  раз, причому не має значення у якій послідовності з’являється подія А. Наприклад,  подія А з’явиться 3 рази у 4-х  випробуваннях: .

Позначимо шукану ймовірність  ймовірність однієї складної події, яка полягає в тому, що в п випробуваннях подія  А з’явиться рівно  раз і не з’явиться  раз, тоді за теоремою множення ймовірностей незалежних подій вона дорівнює . Таких складних подій може бути стільки, скільки можна скласти сполучень з п елементів по k елементах, тобто . Оскільки ці складні події несумісні, тому за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій, шукана ймовірність дорівнює сумі ймовірностей всіх можливих складних подій. Оскільки всі складові однакові, то шукана ймовірність дорівнює ймовірності однієї складної події, помноженої на їх кількість.

                                                  ,                                     (4.1)

або

                                              .

  Приклад:

Ймовірність того, що витрати електроенергії впродовж однієї доби не перевищать встановленої норми, дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що найближчі 6 діб витрати електроенергії протягом 4 будь-яких діб не перевищать норми.

Рішення

 

Задачі до розділу 4.1

  Задача 4.1.1

В ящику 30 виробів: 20 стандартних і 10 підвищеної якості. Витягли підряд 4 вироба, причому кожний вироб повертали назад до ящика перед вилученням другого і вироби в ящику змішувалися. Яка ймовірність того, що серед вилучених 4 виробів будуть 2 стандартні?

Рішення

Ймовірність вилучення стандартного виробу  можна вважати однаковою у всіх чотирьох випробуваннях. Тоді ймовірність протилежної події (вилучення виробу підвищеної якості) дорівнює . Використовуючи формулу Бернуллі (4.1), одержимо:

    

  Задача 4.1.2

Ймовірність появи події А дорівнює 0,4. Яка ймовірність того, що при 10 випробуваннях подія А з’явиться не більше 3 раз?

Рішення.

З умови задачі:

Ймовірність появи події  А 0 раз:  

Ймовірність появи події  А 1 раз:  

Ймовірність появи події  А 2 рази:  

Ймовірність появи події  А 3 рази:  

Ймовірність того, що подія А з’явиться не більше 3 раз, визначається із виразу

                                         

                           

                                  

   Задача 4.1.3

Обчислити ймовірність появи події А рівно 3 рази у 7 випробуваннях, якщо ймовірність появи події у кожному випробуванні однакова і дорівнює 0,6.

  Задача 4.1.4

Ймовірність купівлі одиниці бракованого товару дорівнює 0,1. Знайти ймовірність того, що з 7 куплених одиниць товару 5 буде без браку.

  Задача 4.1.5

Визначити ймовірність того, що у родині, яка має шестеро дітей, буде 2 хлопчика і чотири дівчинки. Ймовірність народження хлопчика вважати рівною 0,51.

  Задача 4.1.6

Два рівносильних гравця грають у шахи. Що є більш вірогідним:

а) виграти одну партію з двох або дві партії з чотирьох?

б) виграти не менше двох партій з чотирьох або не менше трьох партій з п’яти? Вважати, що нічийний результат не береться до уваги.

  Задача 4.1.7

Пристрій складається з трьох основних незалежно працюючих елементів. Пристрій не працює, якщо відмовиться працювати хоча б один його елемент. Ймовірність відмови кожного елемента за певний час дорівнює 0,2. Знайти ймовірність безвідмовної роботи пристрою за певний час, якщо:

а) працюють тільки основні елементи;

б) підключено один резервний елемент;

в) підключено два резервних елемента.

Припускається, що резервні елементи працюють у тому ж режимі, що і основні. Ймовірність відмови кожного резервного елемента дорівнює 0,2 і пристрій не працює, коли працює менше трьох елементів.

Розділ 4.2. Локальна теорема Лапласа

Легко бачити, що в разі великих значень п користуватися формулою Бернуллі достатньо важко. Наприклад, якщо   , тоді за формулою (4.1)   і необхідно зробити обчислення ,які є досить обтяжливими. Тому існує формула, яка дозволяє наближено знайти ймовірність того, що при п випробуваннях подія А з’явиться рівно  раз, якщо число іспитів достатньо велике.

Цю асимптотичну формулу для р=0,5 було знайдено у 1730 році Муавром, а у 1783 році Лаплас узагальнив її для довільної р, відмінної від 0 та 1, тому іноді її називають теоремою Муавра-Лапласа.

  Теорема: Якщо ймовірність р появи події А в кожному випробуванні постійна і відмінна від нуля і одиниці, тоді ймовірність того, що подія А з’явиться в п випробуваннях рівно k раз, наближено дорівнює (тим точніше, чим більше п) значенню функції

                        ,                       (4.2)

            при   .

Існують таблиці, в яких розміщені значення функції  , які відповідають додатнім значенням аргументу . Для від’ємних значень аргументу користуються тією ж таблицею, оскільки функція  є парною, тобто .

  Приклад:

Знайти ймовірність того, що подія А з’явиться рівно 80 раз у 400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події у кожному випробуванні дорівнює 0,2.

Рішення

   

Якщо ж обчислювати ймовірність за формулою Бернуллі, тоді , що майже співпадає з попереднім результатом, тому що п досить велике.

                   

Задачі до розділу 4.2

  Задача 4.2.1

Знайти ймовірність того, що подія А відбудеться рівно 70 раз у 243 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,25.

Рішення

За умовою задачі:  Оскільки п досить велике, то за локальною теоремою Лапласа

                                          .

               

 Значить     

  Задача 4.2.2

Знайти ймовірність того, що подія А відбудеться рівно 1400 раз у 2400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,6.

Рішення

За умовою задачі:  Оскільки п досить велике, то за локальною теоремою Лапласа

                                          .

                

При знаходженні значення функції  було враховано, що вона є непарною, тобто .

 Значить     

  Задача 4.2.3

Ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,51. Знайти ймовірність того, що серед 100 немовлят буде рівно 50 хлопчиків.

  Задача 4.2.4

Ймовірність одержання бракованої деталі для кожного верстату дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що при роботі на  100 верстатах стандартних деталей буде виготовлено 95.

Розділ 4.3. Завдання до заняття 4

  Теоретичні питання до заняття 4 

1. Які випробування називаються повторними?

2. Яка умова використання формули Бернуллі?

3. Записати формулу Бернуллі і пояснити її складові.

4. Яка умова використання локальної теореми Лапласа?

5. Сформулювати локальну теорему Лапласа.

6. Сформулювати основні правила знаходження .

 

Розділ 5.1. Інтегральна теорема Лапласа

  Теорема: Якщо ймовірність р появи події А в кожному випробуванні постійна і відмінна від нуля і одиниці, тоді ймовірність того, що подія А відбудеться у п випробуваннях від k1 до k2 раз, наближено дорівнює визначеному інтегралу

                                           ,           (5.1)

де    .

 

Позначимо  , де - є непарною функцією, тобто , що знаходиться за допомогою таблиці функції Лапласа, причому, якщо , тоді  . Враховуючи вищевикладене одержуємо

 .     

Значить

                                                  .                   (5.2)

  Приклад: 

Ймовірність виходу з ладу одного верстата за одну зміну дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що  протягом однієї зміни від 20 до 25 верстаті будуть працювати безвідмовно, якщо в цій зміні працює 30 верстатів.

Рішення

              

За таблицею функції Лапласа

                              

Використовуючи формулу (5.2) маємо

                                    

Задачі до розділу 5.1

  Задача 5.1.1

Ймовірність появи події в кожному з 100 незалежних випробуваннях однакова і дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що подія з’явиться не менше 75 раз і не більше 90 раз.

Рішення

За умовою задачі:  Оскільки п досить велике, то за інтегральною теоремою Лапласа

,

 .

      

Враховуючи, що функція Лапласа є непарною, тобто Ф(-х)=-Ф(х), маємо

                       

Тоді за формулою (5.2) шукана ймовірність дорівнює

                       

  Задача 5.1.2

У страховій компанії 10 тис. клієнтів, які застрахували своє майно. Страховий внесок складає 2000 грн., ймовірність нещасного випадку р=0,005, страхова виплата клієнту у нещасному випадку складає 200 тис. грн. Визначити розмір прибутку страхової компанії з ймовірністю 0,95.

Рішення.

Нехай у – страхові виплати при нещасних випадках. Тоді прибуток компанії є різницею між сумою страхових внесків і сумою страхових виплат, тобто

                                             .

Задача полягає у знаходженні такого числа N , для якого ймовірність нещасного випадку не перевищувала 1-р, іншими словами повинна виконуватися умова

                                                   .

Визначимо значення аргументу функції Ф(х) при  

                                                  ,

За таблицею функції Лапласа знаходимо, що  тому що х>5. За формулою (5.2)

,

За таблицею функції Лапласа, при значенні  знаходимо  . Тоді

 У цьому випадку можна вважати, що з ймовірністю 0,95 страховій компанії гарантується прибуток  

                 .

   Задача 5.1.3

Обчислити ймовірність появи події А від 50 до 70 раз в 95 випробуваннях, якщо ймовірність появи події у кожному випробуванні однакова і дорівнює 0,7.

  Задача 5.1.4

Обчислити ймовірність появи події А від 60 до 65 рази в 75 випробуваннях, якщо ймовірність появи події у кожному випробуванні однакова і дорівнює 0,8.

  Задача 5.1.5

Ймовірність появи події дорівнює 0,7 у кожному з 2100 незалежних випробувань. Знайти ймовірність появи події: а) не менше 1470 раз;  б) не менше 1470 і не більше 1500 раз;  в) не більше 1469 раз.

  Задача 5.1.6

Банк надає кредит населенню і має 1000 клієнтів. Кожному з клієнтів надається кредит 50000 грн. при умові повернення 110% від цієї суми. Ймовірність неповернення кредиту кожним з клієнтів у середньому складає 0,01. Який прибуток гарантується банку з ймовірністю 0,9?

Розділ 5.2. Формула Пуассона

Нехай виконується п незалежних випробувань в кожному з яких ймовірність появи події А дорівнює р. Для визначення ймовірності появи події рівно k раз в цих випробуваннях використовують формулу Бернуллі. Якщо ж п велике, тоді для визначення ймовірності появи використовують локальну теорему Лапласа. Але ця формула непридатна, якщо ймовірність появи події мала (). В цих випадках використовують формулу Пуассона.

  Вважаємо, що добуток   зберігає постійне значення, тобто . Для доведення формули Пуассона використаємо формулу Бернуллі

       

Оскільки ,   тоді  

 

Значить формула Пуассона має вигляд:

                                          .                                        (5.3)

  Приклад:

Завод відправив на базу 10000 якісних виробів. Ймовірність того, що на шляху до бази вироб втратить якість дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що на базу прийде 5 неякісних виробів.

Рішення.

За умовою задачі              

Тоді                       

 Пуассон Сімеон Дені (21.06.1781 – 25.04.1840 рр.) – французький механік, фізик і математик. Пуассон написав більше 300 праць, значна кількість яких відіграла значну роль у становленні сучасної науки. Він покращив способи  застосування теорії ймовірностей взагалі і до питань статистики зокрема, довів теорему, яка стосується закону великих чисел (закон Пуассона), вперше ввівши термін „закон великих чисел”.  

Задачі до розділу5.2

  Задача 5.2.1

 Ймовірність максимального виграшу в лотерею дорівнює 0,0003. Випущено 10000 лотерейних білетів. Знайти ймовірність того, що 4 власника лотерейного білета одержать максимальний виграш.

Рішення.

За умовою задачі

Так як п велике, а р мале, тоді за формулою Пуассона       .

                                               

   Задача 5.2.2

Обчислити ймовірність появи події А рівно 3 рази в 120 випробуваннях, якщо ймовірність появи події у кожному випробуванні однакова і дорівнює 0,06.

  Задача 5.2.3

Обчислити ймовірність появи події А рівно 3 рази при 70 випробуваннях, якщо ймовірність появи події у кожному випробуванні однакова і дорівнює 0,05.

Розділ 5.3. Завдання до заняття 5

  Теоретичні питання до заняття 5 

 

1. Сформулювати інтегральну теорему Лапласа.

2. Сформулювати основні правила знаходження функції Лапласа Ф(х).

3. Яка умова використання формули Пуассона?

4. Записати формулу Пуассона і пояснити її складові.

 

              

Розділ 6.1. Дискретні і неперервні випадкові величини

 Означення: Випадковою величиною називається така величина, яка за результатом досліду (випробування) може набувати того чи іншого значення  (якого саме – заздалегідь невідомо).

       Випадкові величини прийнято позначати останніми великими буквами латинського алфавіту X, Y, Z  і т.п.

  Прикладом випадкових величин можуть бути:

  1.  Кількість стандартних деталей серед 100 виготовлених. Ця величина випадкова і може приймати значення від 0 до 100.
  2.  Витрати на виробництво продукції.
  3.  Значення оцінки на іспиті можуть бути: “2”, “3”, “4”, “5”. Це значення випадкової величини.
  4.  Кількість студентів даного потоку, присутніх  на лекції.

5. Відстань транспортування руди в кар’єрі.

      

 Серед випадкових величин розрізняють дискретні і неперервні.

 Означення: Дискретною випадковою величиною називається така величина, яка приймає окремі ізольовані значення.

       До дискретних випадкових величин можна віднести ті, які описані у наведених вище прикладах 1, 3, 4.

       Множина можливих значень дискретної випадкової величини може бути скінченою або нескінченою множиною.

 Означення: Неперервною випадковою величиною називають таку величину, яка може приймати всі значення з деякого скінченого або нескінченного проміжку.

       До неперервних випадкових величин можна віднести ті, які описані у наведених прикладах 2 і 5.

      Множина можливих значень неперервної випадкової величини нескінченна.

Розділ 6.2. Закон розподілу дискретної випадкової величини

        Нехай дискретна випадкова величина Х може приймати n значень:

 х1, х2,..., хn. Будемо вважати, що всі вони різні (в інакшому випадку їх потрібно об’єднати). Крім того, будемо вважати, що вони розміщені у зростаючому порядку.

   Для повної характеристики дискретної випадкової величини, крім переліку всіх її можливих значень, повинні задаватись ймовірності ,  які відповідають цим можливим значенням.

   Означення: Законом розподілу дискретної випадкової величини називається відповідність між можливими значеннями і їх ймовірностями.

Закон розподілу дискретної випадкової величини можна задавати таблично, аналітично (у вигляді формули) і графічно (у вигляді багатокутника розподілу).

Найбільш зручним є табличний спосіб задання

                                                                                                                    Таблиця 1

Значення випадкової величини Х

...

...

Ймовірність  Р

...

...

        Таблиця 1 є таблицею розподілу дискретної випадкової величини, її також називають законом розподілу дискретної випадкової величини.

        Події х1, х2, ..., хn  є несумісними і єдино можливими, тобто вони утворюють повну групу, тому сума їх ймовірностей дорівнює одиниці

                                               .                               (6.1)

                             

        Ймовірності  обчислюються або за даним значенням випадкової величини , або даються за відомим законом розподілу .

  Приклад: 

В грошовій лотереї розігрується 1000 білетів. Розігрується один виграш у 100 грн., 10 – по 20 грн., 20 – по 10 грн., 100 – по 1 грн. Випадковою величиною Х є вартість можливого виграшу  власника одного лотерейного білета. Скласти закон розподілу випадкової величини Х.

Рішення

     Випадкова величина Х може приймати значення: {0, 1, 10, 20, 100}. Відповідні ймовірності у даному випадку можна знайти за класичним означенням ймовірності появи події (формула 1.1 заняття 1)

  Отже, знаходимо при

                       

                     

                                       

                                   

Закон розподілу даної випадкової величини має вигляд

  

  Х

    0

     1 

      10

     20

    100

  Р

  0,869

 0,100 

   0,020

 0,010 

   0,001

  

Задачі до розділу 6.2

  Задача 6.2.1

Партія із 8 виробів вміщує 5 стандартних. Навмання відбирають 3 вироби. Скласти таблицю закону розподілу числа стандартних виробів серед відібраних.

Рішення

Перелічимо всі можливі значення дискретної  випадкової величини Х – числа стандартних виробів серед відібраних  Х:{0, 1, 2, 3}. За формулою (1.5) заняття 1 знайдемо ймовірності кожного значення дискретної випадкової величини

Зробимо перевірку:

Таким чином, закон розподілу ймовірностей дискретної  випадкової величини Х набуде вигляду

Х

0

1

2

3

Р

Задача 6.2.2

 

Пристрій складається з п’яти незалежно працюючих елементів. Ймовірність відмови кожного елементу однакова і дорівнює 0,3. Скласти закон розподілу числа працюючих елементів.

Рішення

Перелічимо всі можливі значення дискретної  випадкової величини Х – числа працюючих елементів  Х:{0, 1, 2, 3, 4, 5}. Оскільки ймовірність відмови кожного елементу однакова, то і ймовірність безперебійної роботи однакова і дорівнює  Відповідні ймовірності у законі розподілу знайдемо за формулою Бернуллі (формула 4.1 заняття 4)

               

                  

                  

                  

                  

                  

               

Таким чином, закон розподілу ймовірностей дискретної  випадкової величини Х набуде вигляду

Х

0

1

2

3

4

5

Р

0,00243

0,02835

0,1323

0,3087

0,36015

0,16807

 

   Задача 6.2.3

Два гральні кубики одночасно підкидають два рази. Написати закон розподілу дискретної випадкової величини Х – кількості появи непарного числа очок на верхній грані кожного кубика.

  Задача 6.2.4

Ймовірність одержання задатку при заключенні кожного договору дорівнює 0,6. Заключено 8 договори. Знайти закон розподілу випадкової величини Х – кількості одержаних задатків .

  Задача 6.2.5

У партії з 10 телефонних апаратів є 4 несправні. Навмання відібрано 3 апарати. Скласти ряд розподілу дискретної випадкової величини Х – кількості справних апаратів серед відібраних.

Розділ 6.3. Математичне сподівання дискретної випадкової величини та її властивості

 Якщо закон розподілу дискретної випадкової величини невідомий, тоді описати випадкову величину можна за допомогою чисел, що носять назву числових характеристик випадкової величини. До числа важливих числових характеристик відноситься математичне сподівання, яке наближено дорівнює середньому значенню випадкової величини.

Означення: Математичним сподіванням дискретної випадкової  величини називають суму добутків значень випадкової величини на відповідні цим значенням ймовірності

                                   .               (6.2)

  Нехай проведено n випробувань, у яких випадкова величина Х прийняла значення

                                                         х1  -   m1  раз,

                                                         х2   -   m 2  раз,

                                                         .....................

                                                          хk  -    mk  раз.

 Тоді середнє арифметичне значення дорівнює

                                або

                                                        ,

де   - відносні частоти, а  .

       Якщо число випробувань велике, тоді відносна частота наближається до ймовірності,  тобто   тоді середнє арифметичне наближається до математичного сподівання

                                             .

Таким чином, математичне сподівання – це середнє очікуване значення випадкової величини.

  Розглянемо основні властивості математичного сподівання.

Властивість 1. Математичне сподівання сталої величини дорівнює  сталій величині.

де С=const.

Доведення

Якщо випадкова величина у всіх випробуваннях приймає одне й те ж значення С, то ймовірність такої події дорівнює одиниці. Тоді за означенням потрібно цю величину помножити на одиницю

Властивість 2. Сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання

Доведення.

Нехай задано розподіл дискретної випадкової величини Х

Х

х1

х2

...

хn

P

p1

p2

pn

Розглянемо розподіл дискретної випадкової величини СХ

СХ

Сх1

Сх2

...

Схn

P

p1

p2

pn

Тоді математичне сподівання для останнього

.

Властивість 3. Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин X і Y дорівнює добутку їх математичних сподівань

Перевіримо властивість 3 для окремого випадку. Нехай задано закони розподілу дискретних випадкових величин Х і У.

Х

х1

х2

Y

y1

y2

Р

р1

р2

P

q1

q2

Складемо всі значення, які може приймати випадкова величина XY, а також знайдемо відповідні їм ймовірності

ХY

P

Тоді математичне сподівання добутку запишеться

Властивість 4. Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань

                                              

Доведення

Нехай задано закони розподілу дискретних випадкових величин Х і У.

Х

х1

х2

Y

y1

y2

Р

р1

р2

P

q1

q2

Складемо всі значення, які може приймати випадкова величина X+Y. Для цього до кожного можливого значення Х додамо кожне можливе значення У. Тоді випадкова величина X+Y приймає значення: {}. Позначимо відповідні ймовірності . Тоді математичне сподівання випадкової величини  X+Y дорівнює сумі добутків всіх її можливих значень на їх ймовірності

Доведемо, що .

Подія, яка полягає  у тому, що випадкова величина Х приймає значення   з ймовірністю , тягне за собою подію, що полягає у тому, що випадкова величина X+Y приймає значення або  з ймовірністю  і навпаки. Звідси випливає, що .

Аналогічно доводяться твердження

                       .

Тоді

                .

Задачі до розділу 6.3

  Задача 6.3.1

Знайти математичне сподівання кількості очок, що випадають при киданні кубика.

Рішення

Перелічимо всі можливі значення дискретної  випадкової величини Х – кількості очок, що випадають при киданні кубика   Х:{1, 2, 3, 4, 5, 6}. Складемо закон розподілу ймовірностей дискретної  випадкової величини Х.. Ймовірності випадання будь-якої з шести можливих варіантів кількості очок однакові

                                   

Х

1

2

3

4

5

6

Р

 За формулою (6.2) знайдемо математичне сподівання дискретної  випадкової величини Х

               

  Задача 6.3.2

Нехай щодобові витрати на обслуговування і рекламу товару на підприємстві складають у середньому 100 грн., а число продаж протягом доби підпорядковується наступному закону розподілу

Х

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Р

0,05

0,10

0,20

0,30

0,15

0,10

0,05

0,03

0,02

Знайти математичне сподівання щодобового прибутку при ціні на одиницю товару 1000 грн.

Рішення.

За формулою (6.2) знайдемо математичне сподівання дискретної  випадкової величини Х

Щодобовий прибуток можна обрахувати за формулою

П=(1000Х-100), грн.

Шукана характеристика М(П) знаходиться за допомогою властивостей математичного сподівання

М(П)=М(1000Х-100)=1000М(Х)-100=1000·3,17-100=3170-100=3070 грн.

  

  Задача 6.3.3

Знайти математичне сподівання дискретної випадкової величини, яка задана законом розподілу:

а)    

Х

-4

-1

0

2

3

6

Р

0,1

0,2

0,1

0,3

0,1

0,2

б)     

Х

4

5

6

8

10

Р

0,2

0,3

0,1

0,2

0,2

  Задача 6.3.4

Знайти математичне сподівання випадкової величини Z, якщо відомі математичні сподівання Х і У:

а)   Z=X+2У,  М(Х)=4;  М(У)=7;

б)  Z=3X+4У,  М(Х)=3;  М(У)=5;

 в)  Z=X-2У+5,  М(Х)=2;  М(У)=6.

Розділ 6.4. Завдання до заняття 6

  Теоретичні питання до заняття 6

  1.  Дати означення дискретної випадкової величини.
  2.  Дати означення неперервної випадкової величини.
  3.  Дати означення закону розподілу дискретної випадкової величини.
  4.  Дати означення математичного сподівання.
  5.  Перелічити властивості математичного сподівання.

              Індивідуальні завдання до розділу 6

Розділ 7.1. Доцільність введення числової характеристики розсіювання випадкової величини

Досить часто зустрічаються такі випадки, коли випадкові величини мають однакові математичні сподівання, але різні можливі значення.

  Приклад: 

Дискретні випадкові величини Х та У задано наступними законами розподілу

 Х

-0,01

0.01

 Р

0,5

0,5

У

-100

100

  Р

0,5

0,5

Знайдемо математичне сподівання цих величин

                                            

Як видно, математичне сподівання приймає однакові значення, а можливі значення різні, причому дискретна випадкова величина Х має можливі значення ближчі до математичного сподівання, ніж дискретна випадкова величина У. Таким чином, за величиною математичного сподівання не можна судити про можливі значення дискретної випадкової величини, про те, як ці можливі значення розсіяні навколо математичного сподівання. Іншими словами, математичне сподівання повністю не характеризує  дискретну випадкову величину Х.

Тому на ряду з математичним сподіванням вводять і інші числові характеристики, що характеризують відхилення (розсіювання) випадкової величини від її середнього значення: дисперсію і середнє квадратичне відхилення.

Розділ 7.2.  Дисперсія дискретної випадкової величини та її властивості. Середнє квадратичне відхилення

 Перед тим, як перейти  до означення і властивостей дисперсії, введемо поняття відхилення випадкової величини від її математичного сподівання.

Нехай Х – випадкова величина і  - її математичне сподівання. Розглянемо як нову випадкову величину різницю . Відхиленням називається різниця між випадковою величиною та її математичним сподіванням.         

   Теорема: Математичне сподівання  відхилення випадкової величини від її математичного сподівання дорівнює нулю, тобто

               

Доведення

Використовуючи  спочатку властивість 4 математичного сподівання, а потім властивості 1 і 2 одержуємо

                 

           Тому це відхилення  у подальшому не розглядається як характеристика розсіювання випадкової величини. У цьому випадку прийнято вивчати квадрат відхилення  

  Означення: Дисперсією або розсіюванням дискретної випадкової величини називається математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання, позначається

                                                                        (7.1)

Якщо  врахувати означення математичного сподівання (див. формулу 6.2), то вираз для дисперсії  із формули (7.1) можна записати у розгорнутому вигляді так

                      

                   (7.2)

Формула (7.1) незручна при обчисленнях, тому перетворимо її і подамо у більш зручному вигляді. Для цього застосуємо теорему.

   Теорема: Дисперсія дорівнює різниці між математичним сподіванням квадрата випадкової величини та квадратом її математичного сподівання

                                                                                (7.3)

Доведення

Із означення дисперсії випливає

                                .    

Оскільки    і     , то ввівши позначення

                                                                                  (7.4)

   отримаємо далі

Таким чином, остаточно отримуємо

                                             , 

де  – математичне сподівання квадрата випадкової величини, знаходиться за формулою (7.4), а  – математичне сподівання за формулою (6.2) заняття 6.

  Приклад: 

  1.  Знайти дисперсію випадкової величини, заданої законом розподілу

Х

1

3

5

Р

0,2

0,5

0,3

Рішення

Знайдемо спочатку математичне сподівання випадкової величини Х

Тепер знайдемо математичне сподівання квадрата випадкової величини, для цього складемо розподіл

Х2

1

9

25

Р

0,2

0,5

0,3

За формулою (7.3) маємо

                                    

   Розглянемо основні властивості дисперсії.

Властивість 1. Дисперсія сталої величини дорівнює нулю

.

 

Доведення

За формулою (7.3) маємо

                                

Властивість 2. Сталий множник можна виносити за знак дисперсії, піднісши його до квадрата, тобто

.

Доведення

За означенням дисперсії маємо

.

Властивість 3. Дисперсія суми двох випадкових величин дорівнює сумі дисперсії цих величин, тобто

                                      .

Доведення

За формулою (7.3) маємо

            Властивість 4. Дисперсія суми випадкової величини  і сталої дорівнює дисперсії випадкової величини

.

Доведення

Використаємо властивості 1 і 3 дисперсії

                                     

Властивість 5. Дисперсія різниці двох випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих випадкових величин

                                        

Доведення

Відповідно до властивостей 2 і 3 маємо:

            

  Означення: Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини називається корінь квадратний із дисперсії і позначається

                                               .                                     (7.5)

Задачі до розділу 7.2

  Задача 7.2.1

Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення кількості очок, що випадають при киданні кубика.

Рішення

Перелічимо всі можливі значення дискретної  випадкової величини Х – кількості очок, що випадають при киданні кубика   Х:{1, 2, 3, 4, 5, 6}. Складемо закон розподілу ймовірностей дискретної  випадкової величини Х.. Ймовірності випадання будь якої з шести можливих варіантів кількості очок однакові

                                   

X

1

2

3

4

5

6

P

 Знайдемо математичне сподівання дискретної  випадкової величини Х:

               

Знайдемо дисперсію дискретної  випадкової величини Х двома способами: за означенням (І спосіб) і за теоремою (ІІ спосіб).

І спосіб

За формулою (7.1) знайдемо дисперсію щодобового продажу товару, для цього враховуючи, що М(Х)=3,5,  складемо таблицю розподілу

 [Х-М(Х)]2

(1-3,5)2

(2-3,5)2

(3-3,5)2

(4-3,5)2

(5-3,5)2

(6-3,5)2

P

ІІ спосіб

Для застосування формули (7.3) складемо таблицю розподілу

X2

1

4

9

16

25

36

P

                                                   .

.

  Задача 7.2.2

Знайти двома способами дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини, яка задана законом розподілу:

а)    

Х

-4

-1

0

2

3

6

Р

0,1

0,2

0,1

0,3

0,1

0,2

б)     

Х

4

5

6

8

10

Р

0,1

0,2

0,1

0,3

Р5

  Задача 7.2.3

Закони розподілу дискретних незалежних випадкових величин Х та У наведено відповідно у таблицях

Х

-2

0

1

3

Р

0,1

0,3

0,4

0,2

У

2

4

6

8

Р

0,2

0,2

0,4

0,2

Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини 3Х+2У.

  Задача 7.2.4

Скласти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа випадання „герба” при п’яти киданнях монети, знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення.

Розділ 7.3. Завдання до заняття 7

  Теоретичні питання до заняття 7

  1.  Сформулювати теорему про математичне сподівання відхилення випадкової величини.
  2.  Дати означення дисперсії.
  3.  Сформулювати теорему, що полегшує обчислення дисперсії.
  4.  Перелічити властивості дисперсії.
  5.  Дати означення середнього квадратичного відхилення.

Розділ 8.1. Функція розподілу (інтегральна функція) та її властивості

Як відомо із заняття 6 неперервною випадковою величиною називають таку величину, яка може приймати всі значення з деякого скінченного або нескінченного проміжку, тому задати її  закон розподілу за допомогою таблиці неможливо.

Таким чином для описання неперервної випадкової величини  необхідно припустити, що відома ймовірність попадання Х у довільний інтервал або відома функція розподілу ймовірностей.

  Означення: Функцією розподілу (інтегральною функцією розподілу) випадкової величини Х називається ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення менше від фіксованого дійсного числа х, тобто

                                                    .                                         (8.1)

Геометрична інтерпретація функції розподілу полягає у наступному. Якщо випадкову величину розглядати як випадкову точку на осі Ох (рис. 1), яка за результатом випробування може зайняти те чи інше положення на цій осі, то функція  є ймовірність того, що випадкова точка Х у результаті випробування попадає лівіше х.

Рис.1. Геометрична інтерпретація всіх можливих значень функції розподілу.

Неперервна випадкова величина має неперервну функцію розподілу, графік якої має форму плавної кривої (рис. 2).

Рис.2. Геометрична інтерпретація функції розподілу неперервної випадкової величини.

Розглянемо загальні властивості функції розподілу.

  Властивість 1: Функція розподілу F(x) є невід’ємною величиною, яка міститься між нулем і одиницею

.

Дійсно, це випливає з означення інтегральної функції як ймовірності і властивості ймовірності.

  Властивість 2: Функція розподілу F(x) є неспадною функцією, тобто , якщо   .

Доведення

Нехай . Подія, яка полягає в тому, що випадкова величина Х приймає значення менше за , складається з двох подій:

  1.  або Х прийме значення менше х1  і  ;

  1.  або Х прийме значення з проміжку   і   .

Тоді за теоремою додавання ймовірностей маємо

     ,

або

                                        .                                        (8.2)

Із формули (8.2) випливає

                 , бо  .

  Наслідок 1: Ймовірність того, що випадкова величина  прийме значення із проміжку , дорівнює приросту функції  на цьому проміжку, тобто

                                    .                                       (8.3)

  Приклад: 

Випадкова величина задана інтегральною функцією

Знайти ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення з проміжку [-2,0).

Рішення

За формулою (8.3) маємо

                                                  ,

тобто

   Наслідок 2: Ймовірність того, що неперервна випадкова  величина Х прийме певне значення дорівнює нулю.

Доведення

Підставимо у формулу (8.3) , , тоді

                                 .

Нехай . Оскільки Х - неперервна випадкова величина, то функція  теж неперервна, внаслідок цього маємо, що приріст  в точці , тобто , а значить

                                                                .                                        (8.4)

Підкреслимо, що формула (8.4) теж тільки для неперервних випадкових величин, на відміну від дискретних.

Враховуючи формулу (8.4), можна записати

                 .

Наприклад: 

.

  Властивість 3: На мінус нескінченності функція розподілу  дорівнює нулю, а на плюс нескінченності функція розподілу дорівнює одиниці, тобто

                              ; .

Зауваження: Сформульоване означення функції розподілу підходить і для дискретної випадкової величини.

 Приклад:

Скласти функцію розподілу ймовірностей випадкової величини  - числа виготовлених деталей двома верстатами, які по черзі постачають деталі на конвейєр, при умові що необхідно виготовити 1 стандартну деталь, якщо ймовірності виготовлення стандартної деталі для кожного з них відповідно дорівнюють 0,85 і 0,90.

Рішення

Для даного прикладу всі можливі значення випадкової величини  Х:  {0,1,2}. Позначимо через   і   випадкові події виготовлення стандартної деталі кожним верстатом з ймовірностями  і  , а через   і   - протилежні події (виготовлення бракованої деталі), ймовірності яких відповідно  і . Знайдемо ймовірність появи випадкової величини Х.

Тобто,

При   - всі браковані,

При   - одна стандартна деталь

При  - дві стандартні деталі,

                

Складемо розподіл випадкової величини Х

Х

0

1

2

Р

0,015

0,220

0,765

                                                

За даними таблиці знаходимо функцію розподілу для дискретної випадкової величини

Ця функція є кусково-неперервною з точками розриву при всіх  Значення F(x) знаходиться так. У перший інтервал  не попадає жодне із значень Х = 0, 1, 2,   тому ймовірність дорівнює 0. Для всіх  лівіше знаходиться одне значення Х=0 з ймовірністю 0,015, тому що

                                                

Для всіх значень , що у третьому інтервалі, лівіше знаходяться два значення Х=0 і Х=1, тому

                                 .

Для інтегральна функція дорівнює

                             

Графік функції F(x) розподілу дискретної випадкової величини для даного прикладу наведено на рис.3.

Рис.3. Графік інтегральної функції розподілу дискретної випадкової величини

Задачі до розділу 8.1

  Задача 8.1.1

Випадкова величина Х задана функцією розподілу

                                          

Знайти ймовірність того, що за результатом випробування величина Х прийме значення, що знаходиться у межах .

Рішення

Ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, що вміщується в інтервалі , дорівнює приросту функції розподілу на цьому інтервалі

                                         .

Поклавши, що , одержуємо

            

  Задача 8.1.2

Випадкова величина Х задана на всій осі Ох функцією розподілу . Знайти ймовірність того, що за результатом випробування величина Х прийме значення, що знаходиться в інтервалі (0, 1).

  Задача 8.1.3

Випадкова величина Х задана функцією розподілу

                                          

Знайти ймовірність того, що за результатом випробування величина Х прийме значення, що знаходиться у межах .

  Задача 8.1.4

Випадкова величина Х задана функцією розподілу

                                          

Знайти ймовірність того, що за результатом випробування величина Х прийме значення: а) менше 0,2;  б) менше 3; в) не менше 3;  г) не менше 5.

Розділ 8.2.  Диференціальна функція розподілу та  її властивості

 Нехай випадкова величина  – неперервна, тоді функція розподілу F(x) теж неперервна. Нехай в околі точки х функція F(x) є диференційованою.

  Означення: Диференціальною функцією розподілу f(x) називають першу похідну інтегральної функції F(x), тобто

                                            .                                                 (8.5)

Властивість 1: Диференціальна функція є невід’ємною

.

Доведення

Ця властивість випливає із означення диференціальної функції як похідної від неспадної функції розподілу F(x). Геометрично це означає, що графік диференціальної функції розміщений або над віссю абсцис, або збігається з нею. Графік диференціальної функції називається кривою розподілу.

   Властивість 2: Ймовірність того, що неперервна випадкова величина прийме значення з інтервалу  дорівнює визначеному інтегралу від диференціальної функції, взятому в межах від а до b, тобто

                                                                               (8.6)

                   

Із наслідку 2  розділу 8.1 маємо

Якщо покласти у формулі (8.6)  і застосувати теорему про середнє значення у визначному інтегралі, то її можна представити

         

Розділивши обидві частини в останній рівності на  , отримаємо

                          

Останнє відношення є середньою щільністю розподілу ймовірностей на проміжку . Якщо перейти до границі при  то отримаємо

                                        .                                   (8.7)

Формула (8.7) задає диференціальну функцію розподілу як щільність розподілу ймовірності неперервної випадкової величини в даній точці. У зв’язку з цим функцію f(x) називають диференціальною функцією розподілу або щільністю розподілу.

  Приклад: 

Дана диференціальна функція випадкової величини. Знайти ймовірність того, що за результатом випробування випадкова величина  прийме значення з інтервалу (0,3 ; 1), якщо диференціальна функція дорівнює

                                              

Рішення

За формулою (8.6)

                        

  Властивість 3: Інтегральна функція розподілу може бути виражена через диференціальну

                                                                                         (8.8)

Доведення

                            

Покладемо у формулі (8.8)  маємо

  Приклад: 

Знайти інтегральну функцію за даною диференціальною функцією

                                           

Рішення

Якщо , тоді   f(x)=0 F(x)=0. Якщо , тоді

                           

Якщо ж , тоді

                         

                                         

   Властивість 4: Інтеграл у нескінченних межах від диференціальної функції дорівнює одиниці

                                                                                               (8.9)

Доведення

Цей вираз є ймовірністю події, яка полягає у тому, що випадкова величина прийме значення, яке належить , тобто є ймовірністю достовірної події, а ймовірність достовірної події дорівнює одиниці.

Геометрично це означає, що вся площа, обмежена віссю абсцис і кривою щільності розподілу, дорівнює одиниці. У цьому є аналогія щільності розподілу гістограми питомих відносних частот для статистичного ряду.

  Приклад: 

Диференціальна функція розподілу випадкової величини   задана рівністю , знайти параметр а.

                                                               Рішення

 

За формулою (8.9) одержуємо

                           

тому що

                               

Задачі до розділу 8.2

  Задача 8.2.1

Дано функцію розподілу неперервної випадкової величини Х

                                          

Знайти щільність (диференціальну функцію) розподілу f(x).

Рішення

Щільність розподілу дорівнює першій похідній від функції розподілу

  Задача 8.2.2

Дано функцію розподілу неперервної випадкової величини Х

                                          

Знайти щільність (диференціальну функцію) розподілу f(x).

  Задача 8.2.3

Неперервна   випадкова    величина   Х   задана   щільністю  розподілу

 в інтервалі , за межами цього інтервалу . Знайти ймовірність того, що Х прийме значення, що належить  інтервалу .

  Задача 8.2.4

Дано щільність розподілу неперервної випадкової величини Х

                                          

Знайти  функцію  розподілу F(x).

Рішення

Для знаходження функції розподілу використаємо формулу (8.8)

                                           .

Якщо тоді   .

.

Якщо , тоді  .

Якщо , тоді

.

Таким чином, шукана інтегральна функція має вигляд

  Задача 8.2.5

Дано щільність розподілу неперервної випадкової величини Х

                                          

Знайти  функцію  розподілу F(x).

  Задача 8.2.6

Дано щільність розподілу неперервної випадкової величини Х

                                          

Знайти  функцію  розподілу F(x).

  Задача 8.2.7

Дано щільність розподілу неперервної випадкової величини Х

                                          

Знайти  функцію  розподілу F(x).

Розділ 8.3. Завдання до заняття 8

  Теоретичні питання до заняття 8

  1.  Яка функція називається інтегральною функцією розподілу?
  2.  Сформулювати властивості інтегральної функції розподілу.
  3.  Що являє собою графік інтегральної функції дискретної випадкової величини?
  4.  Що являє собою графік інтегральної функції неперервної випадкової величини?
  5.  Яка функція називається диференціальною функцією розподілу?
  6.  Сформулювати властивості диференціальної функції розподілу.
  7.  Як визначити ймовірність попадання випадкової величини в заданий інтервал, якщо вона задана інтегральною функцією розподілу.
  8.  Як визначити ймовірність попадання випадкової величини в заданий інтервал, якщо вона задана диференціальною функцією розподілу.

Індивідуальні завдання до заняття 8

Розділ 9.1. Математичне сподівання неперервної випадкової величини

   Нехай    неперервна    випадкова    величина   Х    задана   диференціальною

функцією f(х).

    Припустимо, що всі значення Х належать відрізку [a,b] . Розіб’ємо цей відрізок на m частин  Δх1, Δх2, .. Δхn,  які не перетинаються і .  Виберемо на кожному з елементарних відрізків по одній точці ). Користуючись формулою математичного сподівання для дискретної випадкової величини , запишемо наближене значення математичного сподівання величини

 

                                                .                                        (9.1)

   Суму (9.1) можна розглядати , як інтегральну суму , тому, переходячи до границі при отримаємо формулу математичного сподівання неперервної випадкової величини

  .

 Означення: Математичним сподіванням неперервної випадкової величини Х , можливі значення якої належать відрізку , називають визначений інтеграл

                                                      .                                     (9.2)

Якщо неперервна випадкова величина задана на всій числовій осі , тобто , тоді

                                                          .                          (9.3)

Задачі до розділу 9.1

  Задача 9.1.1

Випадкова величина Х задана диференціальною функцією (щільністю розподілу) f(x)=2x в інтервалі (0, 1), зовні цього інтервалу f(x)=0. Знайти математичне сподівання випадкової величини Х.

Рішення

Використаємо формулу  (9.3)

                                                   .

                          .

  Задача 9.1.2

Випадкова величина Х задана диференціальною функцією (щільністю розподілу) f(x)=0,5x в інтервалі (0, 2), зовні цього інтервалу f(x)=0. Знайти математичне сподівання випадкової величини Х.

  Задача 9.1.3

Знайти математичне сподівання неперервної випадкової величини Х, що задана інтегральною функцією

                             

Розділ 9.2. Дисперсія та середнє квадратичне відхилення неперервної випадкової величини

    За аналогією до дисперсії дискретної неперервної величини визначається і дисперсія неперервної випадкової величини.

  Означення: Дисперсією неперервної випадкової величини Х , заданої на відрізку [а,b] , називається математичне сподівання квадрата її відхилення   від математичного сподівання

                                                                             

                               .                               (9.4)

Аналогічно для випадку , коли   

                                 .                                       (9.5)

Після перетворення інтегралу (9.4) отримаємо

                                    .

Якщо ж позначити

                                         ,

то формула (9.4) запишеться у вигляді

                                         D(X)=M(X2)-[M(X)]2 .                                             (9.6)

  Аналогічним буде вираз для дисперсії, якщо  , тільки треба брати

                                               

     а  М(Х) за формулою (9.2) із розділу 9.1.

    Означення: Середнє квадратичне відхилення неперервної випадкової величини дорівнює кореню квадратному із дисперсії неперервної випадкової величини:

                                                .                                             (9.7)

  Приклад:  

Знайти математичне сподівання і дисперсію неперервної випадкової величини , заданої інтегральною функцією F(x) , якщо

                                                    

Рішення

Знайдемо відповідну диференціальну функцію

                        

      тоді

                                                     

                                                    

                                                     

Задачі до розділу 9.2

  Задача 9.2.1

Випадкова величина Х задана диференціальною функцією (щільністю розподілу)  в інтервалі , зовні цього інтервалу f(x)=0. Знайти дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х.

Рішення

Знайдемо дисперсію за формулою

                                     .

Спочатку знайдемо математичне сподівання

Тоді дисперсія буде дорівнювати

.

Середнє квадратичне відхилення знайдемо за формулою

.

  Задача 9.2.2

Випадкова величина Х задана диференціальною функцією (щільністю розподілу) f(x)=0,08x в інтервалі (0, 5), зовні цього інтервалу f(x)=0. Знайти дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х.

  Задача 9.2.3

Неперервна випадкова величина Х задана інтегральною функцією

                                

Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х.

Розділ 9.3. Завдання до заняття 9

  Теоретичні питання до заняття 9

1. За якою формулою обчислюється математичне сподівання неперервної випадкової величини, всі можливі значення якої належать проміжку . Пояснити складові формули.

2. За якою формулою обчислюється математичне сподівання неперервної випадкової величини, всі можливі значення якої належать проміжку .

3. Дати означення дисперсії неперервної випадкової величини.

4.  За якою формулою обчислюється дисперсія неперервної випадкової величини, всі можливі значення якої належать проміжку . Пояснити складові формули.

5. За якою формулою обчислюється дисперсія неперервної випадкової величини, всі можливі значення якої належать проміжку .

6. Дати означення середнього квадратичного відхилення неперервної випадкової величини.

Розділ 10.1. Закони розподілу дискретних випадкових величин

Біноміальний закон розподілу

Якщо ймовірність появи події у всіх незалежних випробуваннях однакова, тоді її можна знайти за формулою Бернуллі. У цьому випадку закон розподілу дискретної випадкової величини носить назву біноміального.

 Означення: Біноміальним називають розподіл ймовірностей, які визначаються за формулою Бернуллі.

                                        , де                          (10.1)

Закон названо біноміальним тому, що праву частину рівності (10.1) можна розглядати як загальний член розкладу бінома Ньютона

                 .

Запишемо біноміальний закон у вигляді таблиці

Х

. . .

. . .

0

Р

. . .

. . .

  Приклад:

Монету підкинули два рази. Скласти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа появи „герба”.

Рішення

Ймовірність появи „герба” при кожному киданні монети однакова і дорівнює , відповідно ймовірність випадання „числа”.

Розглянемо всі можливі значення дискретної випадкової величини .

Відповідні ймовірності знайдемо за формулою Бернуллі:

Закон розподілу дискретної випадкової величини Х має вигляд

Х

0

1

2

Р

0,25

0,5

0,25

Для біноміального розподілу справедливі наступні теореми.

  Теорема:  Математичне сподівання числа появи події А в п незалежних випробуваннях дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події у кожному випробуванні

                                                          .                                           (10.2)

Доведення

Будемо розглядати дискретну випадкову величину Х – числа появи події А в п незалежних випробуваннях. Нехай:

                             - число появи події у першому випробуванні;

                             - число появи події у другому випробуванні;

                             .................................................................................

                             - число появи події у -му випробуванні.

Тоді за теоремою додавання , а ймовірність появи події

                         .

Оскільки події є повторними, то .

Тоді: , що і треба було довести.

Іншими словами теорему можна сформулювати: математичне сподівання біноміального розподілу з параметрами п і р дорівнює добутку п·р.

  Приклад: 

Ймовірність влучення в ціль при стрільбі з гармати р=0,8. Знайти математичне сподівання загального числа влучень, якщо зроблено 5 пострілів.

Рішення

Події – влучення при кожному пострілі є незалежними  і повторними, тому розподіл дискретної випадкової величини Х – числа влучень при 5 пострілах з гармати є біноміальним. Тому за формулою (10.2) знайдемо середнє число влучень

                                               .

  Теорема: Дисперсія числа появи події А в п незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність р появи події однакова, дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності появи і не появи події в одному випробуванні

                                                           .                                  (10.3)

Доведення

Розглянемо дискретну випадкову величину Х – числа появи події А в п незалежних випробуваннях

                     , де   - взаємно незалежні події.

Тоді, за властивістю дисперсії

                                   ,

де      .

Для знаходження складових попередньої формули, складемо розподіли

Х

1

0

Х2

1

0

Р

p

q

Р

p

q

Звідси,

Тоді,

                                            .

Іншими словами, дисперсія біноміального розподілу з параметрами п і р дорівнює добутку .

  Приклад: 

Зроблено 10 незалежних випробувань, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює 0,8. Знайти дисперсію випадкової величини Х – числа появи події у цих випробуваннях.

Рішення

Знайдемо ймовірність не появи події

За формулою (10.3)    

Розподіл Пуассона.

  Нехай виконується п незалежних випробувань, при умові, що значення п досить велике, а ймовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює р і значення р є малим (), тоді при заданні закону розподілу для знаходження ймовірності користуються формулою Пуассона

                                                  , де                       (10.4)

Тоді заданий таким чином закон розподілу носить назву розподілу Пуассона.

Геометричний розподіл.

  Нехай проводяться незалежні випробування, в кожному з яких ймовірність появи події А дорівнює р , а . Випробування закінчуються як тільки з’явиться подія А. Таким чином, якщо подія А з’явиться у -му випробуванні, то у попередніх  випробуваннях вона не з’явиться.

Позначимо через Х дискретну випадкову величину – числа випробувань, які треба провести до першої появи події А. Нехай в перших  випробуваннях подія А не наступила, а в -му випробуванні з’явилася. Ймовірність цієї складної події за теоремою множення ймовірностей незалежних подій дорівнює

                                     ,                                     (10.5)

Як видно, формула (10.5) є геометричною прогресією з першим членом , знаменником   

                                               

Тому розподіл, при якому ймовірність появи події А задається формулою (10.5), називається геометричною.

  Приклад: 

Робітник виготовляє вироб до першого бракованого. Ймовірність виготовлення бракованого виробу 0,2. Знайти ймовірність того, що бракований вироб буде третім.

Рішення

                                        

За формулою (10.5) знайдемо ймовірність влучення при третьому пострілі

                                    

Задачі до розділу 10.1

  Задача 10.1.1

Записати біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа появи „герба” при двох киданнях монети. Знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення.

  Задача 10.1.2

Дві гральні кості одночасно кидають два рази. Записати біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа випадання парної кількості очок на двох гральних костях. Знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення.

  Задача 10.1.3

Після відповіді студента на питання екзаменаційного білету екзаменатор задає студенту додаткові питання. Екзаменатор припиняє задавати додаткові питання, як тільки студент не знає заданого питання. Ймовірність того, що студент відповість на будь-яке задане додаткове питання, дорівнює 0,8. Необхідно скласти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа додаткових питань, які задасть викладач студенту та знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення.

  Задача 10.1.4

В партії із 10 деталей є 7 стандартних. Навмання відібрано 3 деталі. Записати біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа стандартних деталей серед відібраних. Знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення.

Розділ 10.2. Закони розподілу неперервних випадкових величин

Закон рівномірного розподілу ймовірностей.

  Означення: Розподіл ймовірностей називається рівномірним, якщо на інтервалі, якому належать всі можливі значення випадкової величини, диференціальна функція має стале значення

                                                                                                          (10.6)

  Приклад:

Шкала вимірювального пристрою поділена в деяких одиницях. Помилку при округленні відрахування до найближчої цілої поділки можна розглядати як випадкову величину Х, яка може приймати із сталою щільністю ймовірності будь-яке значення між двома сусідніми цілими поділками.

   Диференціальна функція рівномірного розподілу

Знайдемо диференціальну функцію рівномірного розподілу, вважаючи, що всі можливі значення випадкової величини Х належать інтервалу , на якому диференціальна функція зберігає стале значення  .

Для  та  ,  

Тому                                              .

                                      ,        

Враховуючи вищевикладене, закон рівномірного розподілу можна записати у вигляді

                                                                               (10.7)

   Інтегральна функція рівномірного розподілу

Знайдемо інтегральну функцію рівномірного розподілу

                                                          .

При ,  , а

При ,  ,  а  

При        а  

Тоді інтегральна функція рівномірного розподілу набуде вигляду

                                                                               (10.8)

Числові характеристики рівномірного розподілу

  Математичне сподівання

             

                                                       .                                               (10.9)       

   Дисперсія

                                                          .                                        (10.10)

  Середнє квадратичне відхилення

                             

  Приклад:

 Ціна поділки вимірювального пристрою дорівнює 0,5 од. Показники округлюються до ближчої цілої поділки. Знайти ймовірність того, що при відрахуванні буде зроблено похибку, яка перевищує 0,01 од.

Рішення

Похибку при округленні відрахування можна розглядати як випадкову величину Х, яка має рівномірний розподіл в інтервалі між двома цілими сусідніми поділками. Довжина інтервалу за умовою задачі дорівнює 0,5 , тому за формулою (10.7)

                                          

Зрозуміло, що похибка відрахування перевищить 0,01, якщо вона буде попадати в інтервал . За формулою (8.6) заняття 8 знайдемо ймовірність того, що при відрахуванні буде зроблено похибку, яка перевищує 0,01 од.

                                      

             

Нормальний розподіл (розподіл Гауса)

 Означення: Нормальним називається розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини, який описується диференціальною функцією.

                                                   .                               (10.11)

Як видно з запису диференціальної функції, нормальний розподіл визначається двома параметрами: математичним сподіванням   і середнім квадратичним відхиленням .

 Означення: Нормальний розподіл з параметрами  і  називається нормованим, його щільність (диференціальна функція) дорівнює

                                                                                              (10.12)

Графік диференціальної функції нормального розподілу для різних значень  наведено на рисунку 10.1. Крива на малюнку носить назву кривої Гауса.

  Рис.10.1. Графік диференціальної функції нормального розподілу

Інтегральна функція нормального розподілу згідно формули (8.7) заняття 8 буде мати вигляд

                                                  .                       (10.13)

Оскільки ця функція є парною, то невизначений інтеграл від неї є непарною функцією і тому, замість інтегральної функції (13) можна використати функцію Лапласа.

                                                                                         (10.14)

  Ймовірність попадання в заданий інтервал нормальної випадкової

             величини

Ймовірність того, що випадкова величина Х , що задана диференціальною функцією , буде приймати значення, що належать інтервалу

                                              .

Якщо ж ця випадкова величина має нормальний розподіл, тобто  

 

                                               ,

тоді

                          .

Зробимо заміну , тоді   і  . Знайдемо нові межі інтегрування

 

                  

Використовуючи формулу (10.14) маємо

                                          .               (10.15)

Нагадаємо, що функція Лапласа є непарною () і її значення знаходяться за розрахованими таблицями.

 Приклад:

Випадкова величина Х розподілена за нормальним законом. Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення цієї величини відповідно дорівнюють 25 і 15. Знайти ймовірність того, що Х прийме такі значення, що:

а) належать інтервалу  ;

б) більше 40;

в) менше 10.

Рішення

За формулою (10.15) визначаємо ймовірність попадання випадкової величини у заданий інтервал

а)     

.

б)

в)

Задачі до розділу 10.2

  Задача 10.2.1

Міський тролейбус ходить строго за розкладом з інтервалом у 20 хвилин. Знайти ймовірність того, що пасажир, що прийшов на зупинку, буде чекати наступний тролейбус менше 5 хвилин.

  Задача 10.2.2

Випадкова величина Х розподілена за нормальним законом. Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення цієї величини відповідно дорівнюють 10 і 2. Знайти ймовірність того, що Х прийме такі значення, що:

а) належать інтервалу  ;

б) більше 20;

в) менше 10.

  Задача 10.2.3

Верстат-автомат штампує деталі. Контролюється випадкова величина Х - довжина деталі, яка має нормальний розподіл з математичним сподіванням 50 мм. Фактична довжина деталі, що виготовляється, коливається в межах від 35 до 65 мм. Знайти ймовірність того, що довжина навмання  взятої деталі буде:

а) більша 60 мм;

б) менша 45 мм.

Розділ 10.3. Завдання до заняття 10

  Теоретичні питання до заняття 10

  1.  Дати означення біноміального закону розподілу дискретної випадкової величини.
  2.  За якою формулою знаходиться математичне сподівання дискретної випадкової величини, що має біноміальний розподіл? Пояснити її складові.
  3.  За якою формулою знаходиться дисперсія дискретної випадкової величини, що має біноміальний розподіл? Пояснити її складові.
  4.  Дати означення розподілу Пуассона.
  5.  Дати означення геометричного розподілу.
  6.  Дати означення рівномірного розподілу неперервної випадкової величини.
  7.  За якою формулою визначається диференціальна функція рівномірного розподілу неперервної випадкової величини.
  8.  За якою формулою визначається інтегральна функція рівномірного розподілу неперервної випадкової величини.
  9.  Дати означення нормального розподілу неперервної випадкової величини.
  10.   Якими параметрами задається нормальний розподіл неперервної випадкової величини.
  11.   Що є графіком диференціальної функції нормального розподілу неперервної випадкової величини.
  12.   Як знайти ймовірність попадання в заданий інтервал нормально розподіленої випадкової величини?

     

Розділ 11.1. Предмет і задачі математичної статистики

Математична статистика займається встановленням закономірностей, яким підкоряються масові випадкові явища, грунтується на використанні методів теорії ймовірностей до статистичних даних – результатів спостережень.

Першою задачею математичної статистики є визначення способів збору і групування статистичних даних, які одержано за результатами спостережень або спеціально поставлених експериментів.

Другою задачею математичної статистики є розробка методів аналізу статистичних даних в залежності від мети дослідження.

  Основні терміни: Вибірковою сукупністю або просто вибіркою називають сукупність випадково відібраних об’єктів. Генеральною сукупністю називають сукупність об’єктів, з яких роблять вибірку. Обсягом сукупності називають число об’єктів цієї сукупності.

 Наприклад: Якщо із 1000 деталей відібрано для обстеження 100 деталей, тоді обсяг генеральної сукупності 1000 деталей, а вибіркової – 100.

Нехай із генеральної сукупності вилучено вибірку, причому х1 спостерігалася п1 раз, х2 – п2 раз, ... , хк - пк раз і  - обсяг вибірки. Значення xi називають варіантами, а послідовність варіант, записаних у порядку зростання називають варіаційним рядом. Число спостережень кожної варіанти називають її частотою, а їх відношення до обсягу вибірки  - відносними частотами.

  Означення: Статистичним розподілом вибірки називається перелік варіант та відповідних їм частот. Статистичний розподіл можна задати у вигляді послідовності інтервалів та відповідних їм частот (як частоту, що відповідає інтервалу, приймають суму частот, які попали в даний інтервал).

 Приклад:

Дано статистичний розподіл вибірки

2

6

12

3

10

7

Записати розподіл відносних частот.

Рішення

За означенням відносної частоти , тоді враховуючи, що обсяг вибірки п=20:

                                  

Тому статистичний розподіл відносних частот буде

2

6

12

3

10

7

Розділ 11.2. Емпірична функція розподілу

Нехай відомий статистичний розподіл величини Х. пх – число спостережень, при яких спостерігалося значення Х<x,  nзагальне число спостережень (обсяг вибірки). Відносна частота події Х<x дорівнює . Якщо змінюється х , тоді змінюється і відносна частота, тобто відносна частота  є функцією від х. Оскільки ця функція знаходиться емпіричним (експериментальним) шляхом, то її називають емпіричною.

  Означення: Емпіричною функцією розподілу називають функцію F*(x), яка визначає для кожного значення х відносну частоту події  Х<x.

                                               ,                                           (11.1)

де пх число варіант, менших за х;  п – обсяг вибірки.

Властивості емпіричної функції

1. Значення емпіричної функції належать відрізку [0; 1]

F*(x )є [0; 1].

2. Емпірична функція F*(x) є неспадною функцією.

3. Якщо х1 найменша варіанта, тоді F*(x)=0 при  х<x1; якщо хk - найбільша варіанта, тоді F*(x)=1 при  х>xk .

 Приклад:

 Побудувати емпіричну функцію за даним розподілом вибірки

 

2

6

10

12

18

30

Рішення

Знайдемо обсяг вибірки п=12+18+30=60.

  1.  Так як  xmin = 2, тоді за властивістю 2:  F*(x)=0 при х<2.
  2.  Для х<6, х1=2, п1=12,тоді  при .
  3.  Для х<10, х1=2, х2=6,  п2=12+18=30, тоді  при .
  4.  
  5.  Оскільки  xmax = 10, тоді за властивістю 2  F*(x)=1 при х>10;

Тоді шукана емпірична функція має вигляд:

                                  

Побудуємо графік емпіричної функції

 11.3. Графічна інтерпретація статистичного ряду

Для наочності будують різні графічні зображення статистичного розподілу, зокрема полігон і гістограму.

  Означення: Полігоном частот (відносних частот) називається ламана, відрізки якої з’єднують точки з координатами 1,п1), (х2,п2),...,(хк,пк) або 1,W1), (х2,W2),...,(хк,Wк).

Для побудови полігона частот на осі абсцис відкладають варіанти xi , а на осі ординат – відповідні їм частоти ni, або відповідні відносні частоти Wi.  

 Приклад: 

Побудувати полігон відносних частот наступного розподілу

2

4

6

10

0,4

0,2

0,1

0,3

Рішення

 Означення: Гістограмою частот (відносних частот) називається східчаста фігура, яка складається з прямокутників, основами яких служать часткові інтервали довжиною h , а висоти дорівнюють відношенню .

Площа гістограми частот дорівнює обсягу вибірки п, а відносних частот – одиниці.

 Приклад:

Статистичний розподіл задано таблицею

 Частинний                    Частоти

інтервал

  1.  4
    1.  6
    2.  16
    3.  36
    4.  24

30-35                     10

  1.   4

Побудувати гістограму частот даного розподілу.

Рішення

Для побудови гістограми складемо таблицю

 

 Частинний                    Частоти  Середина   Висота

              інтервал                                                       інтервалу              стовпця

5-10                       4              7,5              0,8

10-15                     6     12,5     1,2

15-20                     16     17,5             3,2

20-25                     36     22,5              7,2

25-30                     24     27,5     4,8

   30-35                     10     32,5     2,0

35-40                      4     37,5     0,8

  Задача 11.3.1

Дано вибірку даних про складання іспиту з дисципліни „Вища математика” студентам спеціальності „Економіка підприємства”

2 3 3 2 5 4 4 2 5 4 3 2

5 4 3 2 2 4 3 2 2 4 3 2

2 3 4 5 4 3 5 4 3 5 4 3

2 4 3 2 3 4 3 3 4 3 4 4

4 3 4 3 4 3 4 3 4 4 4 3

3 4 4

Для даної вибірки:

  1.  Скласти варіаційний ряд та статистичний розподіл.
  2.  Знайти емпіричну функцію та побудувати її графік.
  3.  Побудувати полігон відносних частот.
  4.  Побудувати гістограму відносних частот.

Рішення

1. Для складання варіаційного ряду знайдемо найбільше і найменше значення функції та розмах

Оскільки розмах невеликий або розмах досить великий, але багато однакових варіант, то будемо складати дискретний розподіл. Для цього складемо варіаційний ряд (розташуємо кожну варіанту в порядку зростання) і підрахуємо для кожної варіанти відповідні частоти (кількість відповідних варіант). Одержані результати занесемо до таблиці (стовпчики 2 і 3 таблиці).

№ п/п

Варіанта

хі

Частота

пі

Відносна частота

Накопичена відносна частота

Висота гістограми

1

2

3

4

5

6

1.

2

12

0,19

0,19

0,19

2.

3

21

0,33

0,52

0,33

3.

4

24

0,38

0,90

0,38

4.

5

6

0,10

1,00

0,10

5.

63

1,00

Обсяг вибірки п=63.

2. Знайдемо емпіричну функцію розподілу

Оскільки  xmin = 2, тоді за властивістю 2 емпіричної функції:  F*(x)=0 при х<2.

Для х<3, х1=2, п1=12,тоді  при .

Для х<4, х1=2, х2=3,  п2=12+21=33, тоді  при .

Для х<5, х1=2, х2=3,х3=4  п2=12+21+24=57, тоді  при .

Оскільки  xmax = 5, тоді за властивістю 2 емпіричної функції:  F*(x)=1 при х>5.

Тоді шукана емпірична функція має вигляд (дивись стовпчик 5 таблиці)

                                  

Побудуємо графік емпіричної функції

3. Побудуємо полігон відносних частот, тобто ламану, що з’єднує точки з координатами

4. Побудуємо гістограму відносних частот, тобто східчасту фігуру з основою  (відстань між сусідніми варіантами) і висотою  (дивись стовпчик 6 таблиці)

  Задача 11.3.2

Дано вибірку даних про вагу студентів спеціальності „Економіка підприємства”

58 63 59 59 67 53 53 69 68 55 67 53

45 73 50 66 59 54 68 58 90 72 51 71

63 55 81 46 44 58 59 61 44 53 74      65

63 62 51 63 67 59 67 65 62 69 81 75

52 70 49 72 60 56 71 52 44 77 47 51

66 72 90 73 56 69 78 63 69 74

Для даної вибірки:

1. Скласти варіаційний ряд, статистичний розподіл.

  1.  Знайти емпіричну функцію та побудувати її графік.
  2.  Побудувати полігон відносних частот.
  3.  Побудувати гістограму відносних частот.

Рішення

1. Для складання варіаційного ряду знайдемо найбільше і найменше значення функції та розмах

Оскільки розмах великий, то будемо складати неперервний розподіл. Для цього  за формулою Стерджесса знайдемо кількість інтервалів, на які будемо розбивати розмах:

                                                 ,                                                  (11.2)

де N – кількість інтервалів;  п – обсяг вибірки.

Для нашої вибірки п=70 , тому

                                      

Довжину інтервалу  визначаємо за формулою

                                                            .                                                        (11.3)

Довжина інтервалу для нашої вибірки  (округлення бажано робити до цілого парного числа).

 Після цього складемо варіаційний ряд (розташуємо кожний інтервал в порядку зростання) і підрахуємо для кожного інтервалу  відповідні частоти (кількість відповідних варіант, причому в інтервал входить варіанта, що стоїть на початку інтервалу і не входить та, що стоїть у кінці). Одержані результати занесемо до таблиці (стовпчики 2 і 3 таблиці).

№ п/п

Інтервал

хі – хі+1

Частота

пі

Середина інтервалу

хі*

Відносна частота

Накопичена відносна частота

Висота гістогра-ми

1

2

3

4

5

6

7

1.

44 - 50

7

47

0,10

0,10

0,017

2.

50 - 56

13

53

0,19

0,29

0,032

3.

56 - 62

12

59

0,17

0,46

0,028

4.

62 - 68

15

65

0,21

0,67

0,035

5.

68 - 74

14

71

0,20

0,87

0,033

6.

74 - 80

5

77

0,07

0,94

0,012

7.

80 - 86

2

83

0,03

0,97

0,005

8.

86 - 92

2

89

0,03

1,00

0,005

9.

70

1,00

Обсяг вибірки п=70.

2. Знайдемо емпіричну функцію розподілу.

Оскільки  xmin = 44, тоді за властивістю 2 емпіричної функції:  F*(x)=0 при х<44.

Для х<50, х1=[44; 50), п1=7,тоді  при .

Для х<56, х1=[44;50), х2=[50;56),  п2=7+13=20, тоді     при .

Для х<62, х1=[44;50), х2=[50;56), х3=[56;62)  п3=7+13+12=32, тоді  при .

Для х<68, х1=[44;50), х2=[50;56), х3=[56;62), х4=[62;68)  п4=7+13+12+15=47, тоді  при .

Для х<74, х1=[44;50), х2=[50;56), х3=[56;62), х4=[62;68), х5=[68;74)    п5=7+13+12+15+14=61, тоді  при .

Для х<80, х1=[44;50), х2=[50;56), х3=[56;62), х4=[62;68), х5=[68;74), х6=[74;80)    п6=7+13+12+15+14+5=66, тоді  при .

Для х<86, х1=[44;50), х2=[50;56), х3=[56;62), х4=[62;68), х5=[68;74), х6=[74;80), х7=[80;86) п7=7+13+12+15+14+5+2=68, тоді  при .

Для х<92, х1=[44;50), х2=[50;56), х3=[56;62), х4=[62;68), х5=[68;74), х6=[74;80), х7=[80;86), х8=[86;92)    п8=7+13+12+15+14+5+2+2=70, тоді  при .

Оскільки  xmax = 92, тоді за властивістю 2 емпіричної функції:  F*(x)=1 при х>92.

Таким чином, шукана емпірична функція має вигляд (дивись стовпчик 5 таблиці):

                                  

Побудуємо графік емпіричної функції

3. Побудуємо полігон відносних частот, тобто ламану, що з’єднує точки з координатами  

4. Побудуємо гістограму відносних частот, тобто східчасту фігуру з основою  (відстань між сусідніми варіантами) і висотою  (дивись стовпчик 6 таблиці)

Розділ 11.4. Завдання до заняття 11

  Теоретичні питання до розділу 11

  1.  Сформулювати основні задачі математичної статистики.
  2.  Дати означення генеральної та вибіркової сукупності.
  3.  Що називається обсягом виборки?
  4.  Дати означення відносної частоти.
  5.  Дати означення варіаційного ряду.
  6.  Дати означення статистичного розподілу.
  7.  Яка функція називається емпіричною?
  8.  Сформулювати властивості емпіричної функції.
  9.  На вашу думку, що є аналогом емпіричної функції в теорії ймовірностей?
  10.   Дати означення полігону частот і полігону відносних частот.
  11.   Дати означення гістограми частот і гістограми відносних частот.

Розділ 12.1. Генеральна та вибіркова середні. Властивості середньої

  Означення:  Генеральною середньою називається середнє арифметичне значень ознаки генеральної сукупності. Вибірковою середньою називається середнє арифметичне значень ознаки вибіркової сукупності.

Надалі ми не будемо уточнювати про який вид середньої йдеться, а будемо називати її середньою арифметичною.

Середня арифметична визначається за формулою:

1) якщо всі варіанти різні     ;                      (12.1)

2) якщо варіанти зустрічаються з певними частотами  

                                ,                    (12.2)

де п – обсяг генеральної або вибіркової сукупності.

  Приклад:

Генеральна сукупність задана таблицею розподілу

2

4

6

8

2

3

4

1

Знайти генеральну середню.

Рішення

 Обсяг генеральної сукупності , тоді за формулою (12.2)

Властивості середньої

  Властивість 1: Якщо всі варіанти збільшити (зменшити) в одне й те ж число раз, то середня арифметична теж збільшиться (зменшиться) у стільки ж раз.

Доведення

Якщо кожну варіанту збільшити в раз, тоді за формулою (12.2) маємо

                                                    .

  Властивість 2: Якщо всі варіанти збільшити (зменшити) на одне й те ж число, тоді середня арифметична збільшиться (зменшиться) на те ж саме число.

Доведення

Нехай кожна варіанта збільшилася на число С, тоді за формулою (12.2) маємо

           

Розділ 12.2. Генеральна і вибіркова дисперсії та середнє квадратичне відхилення

Для характеристики розсіювання значень кількісної ознаки Х навколо свого середнього значення вводять ще одну числову характеристику – дисперсію.

  Означення: Генеральною дисперсією називається середнє арифметичне квадратів відхилення значень ознаки генеральної сукупності від її середнього значення. Вибірковою дисперсією називається середнє арифметичне квадратів відхилення значень ознаки вибіркової сукупності від її середнього значення.

Дисперсія визначається за формулою:

  1.  якщо всі варіанти різні

                  ;               (12.3)

2) якщо варіанти зустрічаються з певними частотами  

           .       (12.4)

  Приклад: 

Сукупність задана таблицею розподілу

3

6

8

12

3

5

8

4

Знайти дисперсію.

Рішення

 Обсяг генеральної сукупності , тоді за формулою (12.2) знайдемо середню арифметичну

За формулою (12.4) знайдемо дисперсію

                     

Як видно з означення,  дисперсія характеризує відхилення від середньої у квадратних одиницях, що при розв’язанні задач змістовного характеру є незручним, тому вводять ще одну числову характеристику, яка характеризує розсіювання – середнє квадратичне відхилення.

  Означення: Середнім квадратичним відхиленням називається корінь квадратний із дисперсії

                                                                                             (12.5)

Розділ 12.3. Формула для обчислення дисперсії. Властивості дисперсії

Як видно з попереднього розділу, обчислення дисперсії за означенням є досить громіздким, тому існує більш простий спосіб її обчислення.

  Теорема: Дисперсія дорівнює середньому квадратів значень ознаки мінус квадрат загальної середньої.

                                               .                                        (12.6)

Доведення

Позначимо

                                                           ,                                  (12.7)

і враховуючи, що  , тоді  

                                        

 Приклад:

У попередньому прикладі обчислити дисперсію за допомогою теореми і формули (12.6).

Рішення

Для знаходження середнього квадрата ознаки складемо таблицю

9

36

64

144

3

5

8

4

Тоді  за формулою (12.7)

           

Враховуючи, що , застосуємо формулу (12.6)

                                  

  Властивості дисперсії

 Властивість1: Якщо всі варіанти збільшити (зменшити) в одне й те ж число  раз, тоді дисперсія збільшиться (зменшиться) в  раз.

Доведення

Якщо кожну варіанту збільшити  в  раз, тоді середнє арифметичне також збільшиться в  раз, тобто якщо  , тоді  .

                                       

  Властивість 2: Збільшення або зменшення варіант на одну і ту ж постійну величину не змінює дисперсію.

Доведення

.

  Властивість 3: При збільшенні та зменшенні частот в одну й ту ж кількість раз дисперсія не зміниться.

Доведення

                                  .

  Задача 12.3.1 

Для вибірки задачі 10.3.1 заняття 10 знайти вибіркову середню, дисперсію (за означенням і теоремою) та середнє квадратичне відхилення.

Рішення

Використаємо статистичний розподіл задачі 10.3.1 розділу 10 та складемо розрахункову таблицю.

№ п/п

хі

пі

1

2

3

4

5

6

7

8

1.

2

12

24

-1,38

1,9044

22,8528

48

2.

3

21

63

-0,38

0,1444

3,0324

189

3.

4

24

96

0,62

0,3844

9,2256

384

4.

5

6

30

1,62

2,6244

15,7464

150

5.

63

217

50,8572

771

За формулою (12.2) і четвертим стовпцем таблиці знайдемо вибіркову середню (середнє значення оцінки за іспит)

                              

Знайдемо дисперсію за означенням, використовуючи формулу (12.4) і 5-7 стовпці таблиці

                          

Для знаходження дисперсії за теоремою, спочатку знайдемо середню квадрата за допомогою формули (12.7) і восьмого стовпця таблиці

                                              .

Тоді за формулою (12.6) знайдемо дисперсію

                             

За формулою (12.5) знайдемо середнє квадратичне відхилення

                                                           

  Задача 12.3.2

Для вибірки задачі 10.3.2 заняття 10 знайти вибіркову середню, дисперсію (за означенням і теоремою) та середнє квадратичне відхилення.

Рішення

Використаємо статистичний розподіл задачі 10.3.2 розділу 10 та складемо розрахункову таблицю.

За формулою (12.2) і четвертим стовпцем таблиці знайдемо вибіркову середню (середня вага студента)

                                                

Знайдемо дисперсію за означенням, використовуючи формулу (12.4) і 5-7 стовпці таблиці

п/п

Середина інтервалу

хі*

Частота

пі

1

4

3

4

5

6

7

8

1.

47

7

329

-16,2

262,44

1837,08

15463

2.

53

13

689

-10,2

104,04

1352,52

36517

3.

59

12

708

-4,2

17,64

211,68

41772

4.

65

15

975

1,8

3,24

48,6

63375

5.

71

14

994

7,8

60,84

851,76

70574

6.

77

5

385

13,8

190,44

952,2

29645

7.

83

2

166

19,8

392,04

784,04

13778

8.

89

2

178

25,8

665,64

1331,28

15842

9.

70

4424

7369,16

286966

                          

Для знаходження дисперсії за теоремою, спочатку знайдемо середню квадрата за допомогою формули (12.7) і восьмого стовпця таблиці

.

Тоді за формулою (12.6) знайдемо дисперсію

                             

За формулою (12.5) знайдемо середнє квадратичне відхилення

                                                   

Розділ 12.4. Завдання до заняття 12

  Теоретичні питання до заняття 12

  1.  Дати означення генеральної та вибіркової середньої.
  2.  У чому відмінність між генеральною та вибірковою середньою?
  3.  Записати формулу для обчислення середньої, якщо всі варіанти різні.
  4.  Записати формулу для обчислення середньої, якщо  варіанти зустрічаються з певною частотою.
  5.  Що характеризує середня вибіркова?
  6.  Сформулювати властивості середньої.
  7.  Що характеризують дисперсія та середнє квадратичне відхилення?
  8.  Дати означення генеральної та вибіркової дисперсії.
  9.  Записати формулу для обчислення дисперсії, якщо всі варіанти різні.
  10.  Записати формулу для обчислення дисперсії, якщо  варіанти зустрічаються з певною частотою.
  11.   Сформулювати теорему про обчислення дисперсії та пояснити значення складових у формулі обчислення дисперсії.
  12.   Сформулювати властивості дисперсії.
  13.   У чому відмінність між дисперсією і середнім квадратичним відхиленням?

Розділ 13.1. Коефіцієнт варіації

  Означення: Коефіцієнт варіації дорівнює вираженому у відсотках відношенню середнього квадратичного відхилення до вибіркової середньої

                                                    .                                           (13.1)

Коефіцієнт варіації служить для характеристики середньої, наскільки вона добре представляє статистичний ряд. Якщо варіаційні ряди мають однакові середні, тоді ряд з меншим коефіцієнтом варіації буде більш представницьким, тобто вибірка більш правильно представляє пропорції  генеральної сукупності.

Якщо полігон варіаційного ряду не має значного скосу, тоді коефіцієнт варіації як правило менше 30%. Якщо коефіцієнт варіації більший за 100%, тоді можна зробити висновок, що спостереження є неоднорідними.

У задачах економічного  спрямування за допомогою коефіцієнта варіації можна оцінити ризик від впровадження нової виробничої програми підприємства тощо.

 Приклад: 

Знайти коефіцієнт варіації для вибірки, яка задана статистичним розподілом

1

2

4

6

4

5

6

5

Знайти дисперсію.

Рішення

 Обсяг генеральної сукупності , тоді за формулою (12.2) заняття 12 знайдемо середню арифметичну

Для знаходження середнього квадрата ознаки складемо таблицю

1

4

16

36

4

5

6

5

Тоді  за формулою (12.7) заняття 12 знайдемо квадрат середньої

           

Враховуючи, що , застосуємо формулу (12.6) заняття 12 для знаходження дисперсії

                                  

За формулою (12.5) заняття 12 знайдемо середнє квадратичне відхилення

                                                     .

Тоді за формулою (13.1) знайдемо коефіцієнт варіації

                                            .

Розділ 13.2. Медіана варіаційного ряду

  Означення: Медіаною варіаційного ряду називається варіанта, яка припадає на середину варіаційного ряду.

Для дискретного розподілу медіана знаходиться досить просто. Можуть мати місце два випадки.

1). Обсяг сукупності є непарним числом :

                                            .

Медіаною цього розподілу є варіанта  , тому що до неї і після неї знаходиться по  варіанти, тобто

.

2) Обсяг сукупності є парним числом, тоді за медіану приймають напівсуми варіант, що знаходяться в середині ряду

.

Медіана цього розподілу є напівсумою варіант  і  , тому що до неї і після неї знаходиться по  варіанти, тобто

.

Для неперервного розподілу, медіану можна обчислити за формулою

                                          ,                                 (13.2)

де   - початкове значення медіанного інтервалу;   - накопичена частота інтервалу, який знаходиться перед медіанним інтервалом;   - частота медіанного інтервалу;   - довжина медіанного інтервалу (шаг);  - обсяг сукупності.

  Приклад: 

Дано розподіл 49 промислових підприємств за швидкістю обігових коштів. Знайти медіану даного розподілу.

  Швидкість обігу,        Кількість                         

  в днях,                                            підприємств

  20 – 30    8

  30 – 40    11

  40 – 50    16

  50 – 60    9

  60 – 70    5

  Всього:    49

Рішення

Знайдемо середину ряду  

Розділимо вибірку на дві частини: меншу за 24,5 і більшу за 24,5.

Значить медіанний інтервал (40 – 50). Тоді:

За формулою (13.2) обчислимо медіану

             

Розділ 13.3. Мода варіаційного ряду

 Означення: Модою варіаційного ряду називається варіанта, що найбільш часто зустрічається, тобто має найбільшу частоту.

Як видно з означення, при дискретному розподілі знаходження значення моди не потребує будь-яких складних обчислень. Із статистичного розподілу обирається найбільша частота і варіанта, яка їй відповідає і є модою.

Для неперервного розподілу мода обчислюється за формулою

                                                              (13.3)

де   - початкове значення модального інтервалу;   - довжина модального інтервалу (шаг);   - частота модального інтервалу;   - частота інтервалу, який знаходиться перед модальним;  - частота інтервалу, який знаходиться після модального.

 Приклад: 

Для попереднього прикладу про розподіл 49 промислових підприємств за швидкістю обігових коштів, знайти моду даного розподілу.

Рішення

За формулою (13.3) обчислимо моду статистичного ряду. Оскільки , то інтервал (40 – 50) є модальним.

                   

  Ляпунов Олександр Михайлович (6.06.1857 – 3.11.1918 рр.) – російський математик і механік, професор, академік. Зробив важливий внесок до теорії ймовірностей, дав просте і строге доведення центральної граничної теореми у більш загальній формі, для цього розробив оригінальний метод характеристичних функцій, який широко застосовується у сучасній теорії ймовірностей.

Розділ 13.4. Асиметрія і ексцес

Для введення таких числових характеристик, як асиметрія і ексцес, необхідно спочатку ввести поняття моментів варіаційного ряду.

Моменти варіаційного ряду

  Означення: Початковим моментом  варіаційного ряду порядку називається середня арифметична -ї степені варіант, тобто

                                                           .                           (13.4)

При , одержимо початковий момент нульового порядку

                                                

При , одержимо  початковий момент першого порядку, який є середнім арифметичним.

                                                

  Означення: Центральним моментом  статистичного ряду порядку  називається середнє арифметичне -тих степеней відхилень варіант від їх середніх

                                                            .                           (13.5)

При , одержимо отримаємо центральний момент нульового порядку

                                                  

При , одержимо  центральний момент першого порядку

                

При , одержимо  центральний момент другого порядку, який є дисперсією

                                                

Асиметрія і ексцес

 Означення: Коефіцієнтом асиметрії А називається відношення центрального моменту третього порядку до куба середнього квадратичного відхилення

                                                            .                        (13.6)

Якщо у варіаційному ряді більше варіант таких, що , тоді коефіцієнт асиметрії додатній, та має місце правостороння асиметрія. Якщо ж , тоді має місце лівостороння асиметрія.

 Означення: Ексцесом або коефіцієнтом крутості Е називається зменшене на три одиниці відношення центрального моменту четвертого порядку до четвертої степені середнього квадратичного відхилення

                                                 .                    (13.7)

Якщо , тоді криві менш круті і називаються плоско вершинними, якщо      - більш круті, мають більш гостру вершину і називаються гостро вершинними.

 Приклад: 

Для попереднього прикладу про розподіл 49 промислових підприємств за швидкістю обігових коштів, знайти асиметрію і ексцес.

Рішення

Для знаходження асиметрії і ексцесу складемо розрахункову таблицю

№п/п

-

1

2

3

4

5

6

7

8

2

20 – 30

8

25

200

2699,66

-49592,75

911018,82

3

30 – 40

11

35

385

770,63

-6450,17

53987,92

4

40 – 50

16

45

720

42,51

69,29

112,94

5

50 – 60

9

55

495

1217,31

14157,32

164649,63

6

60 - 70

5

65

325

2339,28

50598,63

1094448,37

7

49

2125

7069,39

8782,32

2224217,68

Обсяг генеральної сукупності , тоді за формулою (12.2) заняття 12 знайдемо середню арифметичну

Тоді  за формулою (12.4) і (12.5) заняття 12 знайдемо дисперсію і середнє квадратичне відхилення

.

За формулою (13.6) знайдемо асиметрію

За формулою (13.7) знайдемо ексцес

                   

   

Розділ 13.5. Завдання до заняття 13

   Теоретичні питання до заняття 13

  1.  Дати означення коефіцієнта варіації.
  2.  Що характеризує коефіцієнт варіації?
  3.  Дати означення медіани варіаційного ряду.
  4.  Як обчислюється медіана при дискретному розподілі, якщо обсяг виборки є непарним?
  5.  Як обчислюється медіана при дискретному розподілі, якщо обсяг виборки є парним?
  6.  Як обчислюється медіана при неперервному розподілі? Записати формулу та пояснити її складові.
  7.  Дати означення моди варіаційного ряду?
  8.  Як обчислюється мода при дискретному розподілі?
  9.  Як обчислюється мода при неперервному розподілі? Записати формулу та пояснити її складові.
  10.   Дати означення початкового моменту варіаційного ряду. Записати формулу та пояснити її складові.
  11.   Дати означення центрального моменту варіаційного ряду. Записати формулу та пояснити її складові.
  12.   Дати означення асиметрії. Записати формулу та пояснити її складові.
  13.   Що характеризує асиметрія?
  14.   Дати означення ексцесу. Записати формулу та пояснити її складові.
  15.   Що характеризує ексцес?

Розділ 14.1. Метод добутків для обчислення вибіркової середньої і дисперсії

В занятті 13 було розглянуто обчислення середньої вибіркової за означенням і два способи обчислення дисперсії (за означенням і за розрахунковою теоремою). Наведені вище приклади є універсальними і не мають обмежень в застосуванні. Але існує більш спрощений спосіб обчислення середньої вибіркової і дисперсії, який зручний при неперервному розподілі, коли кожний інтервал має однакову довжину або при дискретному, коли відстань між варіантами (шаг) є однаковою. Цей метод має назву метода добутків.

  Розглянемо алгоритм застосування метода добутків.

1. В перший стовпець таблиці записують вибіркові варіанти (середини інтервалів), розташовуючи їх у порядку зростання.

2. У другий стовпець записують відповідні частоти варіант.

3. В третій стовпець записують умовні варіанти , причому за хибний нуль  беруть варіанту, яка розташована приблизно в середині варіаційного ряду.

4. В четвертий стовпець записують добуток умовних варіант і відповідних частот, обчислюють .

5. У п’ятий стовпець записують добуток  квадратів умовних варіант і знаходять .

6. Обчислюють умовні моменти  

                                                                 (14.1)

7. Обчислюють вибіркову середню і дисперсію за формулами

                                                                                           (14.2)  

                                                                                       (14.3)

  Приклад: 

Знайти методом добутків вибіркову середню і дисперсію статистичного розподілу.

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

5

2

3

4

6

7

3

2

8

10

Рішення

Обсяг вибірки  За хибний нуль приймемо варіанту, яка припадає на середину варіаційного ряду 10, відстань між сусідніми варіантами . Складемо розрахункову таблицю.

№ п/п

1

2

5

-4

-20

80