47816

Физика. Учебно-методический комплекс

Книга

Физика

Общие свойства и характеристики волновых процессов. Заряды одного знака отталкиваются друг от друга заряды разных знаков притягиваются рис. Шелк Стекло = Мех Янтарь = Рис. Величина элементарного заряда по абсолютной величине в СИ: Электрические заряды присущи многим элементарным частицам в частности электронам и протонам входящим в состав различных атомов из которых построены все тела в природе.

Русский

2013-12-03

1.67 MB

4 чел.

Кафедра Физики

Учебно-методический комплекс по дисциплине

Физика

Часть II

Электричество и магнетизм

Москва 2007г.

Часть II. Электричество и магнетизм.

  1.  Цель обучения

Научить современным методам физического исследования на основе знаний универсальных законов  электромагнитного поля, законов постоянного тока, электромагнитных колебаний и волн. Сформировать навыки решения прикладных задач, умение выделять и моделировать конкретное физическое содержание в прикладных задачах будущей профессиональной деятельности. Сформировать навыки проведения физического эксперимента, использования современного физического оборудования и компьютерных методов обработки результатов.

Содержание лекционного курса «Электричество и магнетизм»

Семестр 3

(34  часа)

Раздел 1. Электростатика /1а, 1б, 2б, 3б, 4б, 6б, 7б/

(8 часов)

1.1. Предмет классической электродинамики. Электрическое поле. Напряженность электрического поля.

Предмет классической электродинамики и границы ее применимости. Два рода электрических зарядов, их дискретность. Кварки. Закон сохранения электрического заряда. Взаимодействие электрических зарядов. Закон Кулона. Системы единиц. Напряженность  электрического поля. Линии напряженности. Принцип суперпозиции электрических полей.

1.2.   Основные уравнения электростатики в вакууме.

Описание свойств векторных полей. Поток вектора напряженности электрического поля в вакууме (теорема Гаусса). Вычисление полей протяженных заряженных тел с помощью теоремы Гаусса. Работа сил электростатического поля. Циркуляция электростатического поля. Потенциал электростатического поля. Градиент потенциала. Эквипотенциальные линии и поверхности. Связь напряженности и потенциала. Диполь. Электрическое поле системы точечных зарядов на больших расстояниях. Основные уравнения электростатики в вакууме.

1.3. Электростатическое поле в диэлектриках.

Диполь во внешнем электростатическом поле. Энергия диполя во внешнем электростатическом поле. Полярные и неполярные молекулы. Поляризация диэлектриков. Вектор поляризации. Поле внутри диэлектрика. Вектор электрического смещения. Диэлектрическая восприимчивость и диэлектрическая проницаемость вещества. Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектриках. Граничные условия на поверхности раздела двух диэлектриков. Сегнетоэлектрики и пироэлектрики.

1.4. Проводники в электростатическом поле. Конденсаторы. Энергия электрического поля.

Идеальный проводник в электростатическом поле. Поверхностные заряды. Поле внутри проводника. Электростатическая защита. Граничные условия на поверхности раздела проводника с вакуумом, проводника с диэлектриком. Электроемкость уединенного проводника и взаимная емкость системы проводников. Конденсаторы. Емкость конденсатора. Энергия взаимодействия электрических зарядов. Энергия системы заряженных проводников. Энергия заряженного конденсатора. Плотность энергии электрического поля.

Раздел 2. Постоянный электрический ток /1а, 1б, 2б, 3б, 4б, 6б, 7б/

(6 часов)

2.1. Постоянный электрический ток.

Условия существования тока. Электродвижущая сила. Источники ЭДС.  Закон Ома для участка цепи в интегральной и дифференциальной формах. Закон Ома для замкнутой цепи.  Работа и мощность постоянного тока. Закон Джоуля - Ленца в интегральной и дифференциальной формах. Закон сохранения энергии для замкнутой электрической  цепи. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа.

2.2. Основы классической теории электропроводности металлов.

Открытие электрона. Природа носителей тока в металлах. Основные положения классической электронной теории проводимости металлов Друде-Лоренца. Вывод законов Ома,  Джоуля - Ленца и Видемана - Франца на основе классической теории электропроводности металлов. Электрическое сопротивление металлов. Затруднения классической теории. Открытие явления сверхпроводимости металлов. Открытие явления высокотемпературной сверхпроводимости диэлектриков (керамик).

2.3. Электрический ток в различных средах.

Электропроводность газов. Процессы ионизации и рекомбинации. Газовый разряд, основные виды газового разряда. Понятие о плазме. Природа носителей заряда в электролитах. Закон Ома для электролитов. Законы электролиза Фарадея. Применение электролиза в металлургии, других технологических процессах. Электрический ток в вакууме. Явление термоэлектронной эмиссии. Работа выхода электрона из металла. Закон Богуславского – Лэнгмюра. Формула Ричардсона. Электронные лампы.

Раздел 3. Магнитное поле постоянного тока. /1а, 1б, 2б, 3б, 4б, 7б, 8б/

(12 часов)

3.1. Магнитное поле.

Взаимодействие элементов тока. Закон Ампера. Магнитное поле. Напряженность магнитного поля в вакууме. Магнитная индукция. Единицы измерения. Закон Био-Савара-Лапласа. Принцип суперпозиции магнитных  полей. Магнитное поле кругового витка с током и прямолинейного отрезка проводника с током. Собственное магнитное поле движущегося заряда.

3.2. Контур с током в постоянном магнитном поле.

Магнитный момент контура с током. Момент сил, действующий на контур с током в магнитном поле. Энергия контура с током в магнитном поле. Работа перемещения проводника с током в постоянном магнитном поле.

3.3. Основные уравнения магнитостатики в вакууме.

Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса для магнитного поля. Соленоидальность магнитного поля. Представление о монополе Дирака. Теорема о циркуляции магнитного поля в вакууме. Напряженность магнитного поля внутри прямого длинного соленоида и тороида.

3.4. Магнитное поле в веществе.

Намагничивание  вещества. Молекулярные токи Ампера. Вектор намагниченности. Вектор напряженности магнитного поля в веществе. Магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость вещества. Граничные условия на поверхности раздела двух магнетиков.

3.5. Основы электронной теории магнетизма.

Магнитные моменты атомов и молекул. Орбитальный магнитный момент электрона. Теорема Лармора. Природа диа- и парамагнетизма. Элементы теории ферромагнетизма. Точка Кюри. Закон Кюри - Вейсса. Доменная структура. Техническая кривая намагничивания ферромагнетиков. Квантовая природа ферромагнетизма. Ферри- и антиферромагнетики. Эффект Мейснера.

3.6. Движение заряженных частиц в постоянных электрическом и магнитном полях.

Отклонение заряженных частиц электрическим и магнитным полями. Сила Лоренца.  Движение заряженных частиц в однородном постоянном магнитном поле. Масс-спектро-граф. Ускорители заряженных частиц. Эффект Холла.

Раздел 4. Квазистационарные электромагнитные поля. Электромагнитные колебания и волны /2а, 1б, 2б, 3б, 5б, 7б, 8б/

(6 часов)

4.1. Явление электромагнитной индукции.

Возникновение электродвижущей силы индукции в движущихся и неподвижных проводниках. Закон электромагнитной индукции Фарадея. Правило Ленца. Явление самоиндукции. Индуктивность. Пример расчета индуктивности соленоида. Переходные процессы в электрических цепях. Энергия магнитного поля. Плотность энергии.

4.2. Электромагнитные колебания.

Колебательный контур. Гармонические колебания в контуре. Формула Томсона. Свободные затухающие колебания. Декремент затухания и добротность колебательного контура. Вынужденные колебания. Резонанс токов и резонанс напряжений. Метод векторных диаграмм. Импеданс электрической цепи. Комплексное сопротивление.

4.3. Уравнения Максвелла.

Вихревое электрическое поле. Гипотеза Максвелла о токе смещения. Система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формах. Магнетизм как релятивистский эффект. Относительность разделения электромагнитного поля на электрическое и магнитное. Взаимопревращаемость переменных  электрических и магнитных полей. Волновое уравнение. Плоская электромагнитная волна как решение уравнений Максвелла. Структура  электромагнитной волны. Электромагнитные волны в прозрачной диэлектрической среде. Плотность потока энергии. Теорема Пойнтинга.  Закон сохранения энергии для электромагнитного поля.

4.4. Общие свойства и характеристики волновых процессов.

Волны. Уравнение монохроматической волны. Плоские, цилиндрические и сферические, скалярные и векторные волны. Поляризация волн. Волновое уравнение. Общее решение волнового уравнения. Бегущие и стоячие волны. Волны в упругой среде. Энергетические соотношения. Вектор Умова-Пойнтинга. Эффект Доплера.


Лекция 1

Предмет классической электродинамики. Электрическое поле. Напряженность электрического поля.

Предмет электродинамики.  Электродинамика - раздел физики, изучающий взаимодействие электрически заряженных частиц и особый вид материи, порождаемый этими частицами – электромагнитное поле.

1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Электростатика – раздел электродинамики, изучающий взаимодействие неподвижных заряженных тел. Электрическое поле, осуществляющее это взаимодействие, называется электростатическим.

1.1. Электрические заряды. Способы получения зарядов. Закон сохранения электрического заряда.

В природе имеется два рода электрических зарядов, условно названных положительными и отрицательными. Исторически положительными принято называть заряды, подобные тем, которые возникают при натирании стекла о шелк; отрицательными – заряды, подобные тем, которые возникают при натирании янтаря о мех. Заряды одного знака отталкиваются друг от друга, заряды разных знаков – притягиваются (рис.1.1).

Шелк + Стекло =

Мех + Янтарь =

Рис.1.1. Положительные и отрицательные заряды.

По своей сути электрические заряды атомистичны (дискретны). Это означает, что в природе существует мельчайший, далее не делимый заряд, получивший название элементарного. Величина элементарного заряда по абсолютной величине в СИ:

Электрические заряды присущи многим элементарным частицам, в частности, электронам и протонам, входящим в состав различных атомов, из которых построены все тела в природе. Следует, однако, отметить, что согласно современным представлениям  сильновзаимодействующие частицы – адроны (мезоны и барионы) – построены из так называемых кварков – особых частиц, несущих дробный заряд. В настоящее время известно шесть видов кварков -  u, d, s, t, b и c – по первым буквам слов: up-верхний, down-нижний, side-way-боковой (или strange-странный), top-вершинный, bottom - крайний и charm-очарованный. Эти кварки разбиваются на пары: (u,d), (c,s), (t,b). Кварки u, c, t имеют заряд +2/3, а заряд кварков d, s, b равен – 1/3. Каждому кварку соответствует свой антикварк. Кроме того, каждый из кварков может находиться в одном из трех цветных состояний (красном, желтом и синем). Мезоны состоят из двух кварков, барионы – из трех. В свободном состоянии кварки не наблюдаются. Это позволяет считать, что элементарным зарядом в природе является все же целочисленный заряд е, а не дробный заряд кварков. Заряд макроскопических тел образуется совокупностью элементарных зарядов и является, таким образом, целым кратным е. 

Для проведения опытов с электрическими зарядами используют различные способы их получения. Самый простой и самый древний способ – натирание одних тел другими. При этом само по себе трение здесь не играет принципиальной роли. Электрические заряды всегда возникают при плотном контакте поверхностей соприкасающихся  тел. Трение (притирание) помогает лишь устранить неровности на поверхности соприкасающихся тел, мешающих их плотному прилеганию друг к другу, при котором создаются благоприятные условия для перехода зарядов от одного тела к другому. Этот способ получения электрических зарядов лежит в основе действия некоторых электрических машин, например, электростатического генератора Ван де Графа (Van de Graaff R., 1901-1967),  применяемого в физике высоких энергий.

Другой  способ получения электрических зарядов основан на использовании явления электростатической индукции. Суть его иллюстрируется рис.1.2. Поднесем к разделенному на две половины незаряженному металлическому телу (не касаясь его) другое тело, заряженное, скажем, положительно. Благодаря смещению некоторой доли имеющихся в металле свободных отрицательно заряженных электронов, левая половина исходного тела приобретет избыточный отрицательный заряд, а правая - такой же по величине, но противоположный по знаку  положительный заряд.  Если теперь в присутствии внешнего заряженного тела развести обе половины в разные стороны и удалить заряженное тело, то каждая из них окажется заряженной. В результате мы получим два новых тела, заряженных  равными по величине и противоположными по знаку зарядами.

Рис.1.2. Опыт, иллюстрирующий явление электростатической индукции.

Проделанный  опыт демонстрирует также  закон сохранения электрического заряда, согласно которому полный  заряд электрически изолированной системы1) остается постоянным:

В нашем конкретном случае полный заряд исходного тела до и после опыта не изменился – остался равным нулю:

1.2. Взаимодействие электрических зарядов. Закон Кулона. Применение закона Кулона для расчета сил взаимодействия протяженных заряженных тел.              

Закон взаимодействия электрических зарядов был установлен в 1785 г. Шарлем Кулоном (Coulomb Sh., 1736-1806). Кулон измерял силу взаимодействия двух небольших заряженных шариков в зависимости от величины зарядов и расстояния между ними с  помощью специально сконструированных им  крутильных весов (рис.1.3). В результате своих опытов Кулон установил, что сила взаимодействия двух точечных зарядов прямо пропорциональна величине каждого из зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, при этом направление действия силы совпадает  с прямой, проходящей через оба заряда:

~  ,           ~  ,          ||.

Другими словами, можем написать:      

 

Коэффициент пропорциональности k зависит от выбора

единиц измерения входящих в эту формулу величин:

Рис.1.3. Крутильные весы Кулона (схема).


В общепринятой сейчас Международной системе единиц измерения (СИ)
закон Кулона записывается, следовательно, в виде:

Необходимо еще раз подчеркнуть, что в таком виде закон Кулона формулируется только для точечных зарядов, то есть таких заряженных тел, размерами которых можно пренебречь по сравнению с расстоянием между ними. Если это условие не выполняется, то закон Кулона должен быть записан в дифференциальной форме для каждой пары элементарных зарядов dq1  и  dq2, на которые «разбиваются» заряженные тела:

.

Тогда полная сила взаимодействия двух макроскопических заряженных тел будет представлена в виде:


Интегрирование в этой формуле производится по всем зарядам каждого тела.

Пример.  Найти силу F, действующую на точечный заряд Q со стороны  бесконечно протяженной прямолинейной заряженной нити (рис.1.4). Расстояние от заряда до нити  a,  линейная плотность заряда нити τ.

Рис.1.4. К расчету силы F.

Искомая сила  F = Fx= /(2πε0a).

1.3. Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции электрических полей.

Взаимодействие электрических зарядов осуществляется через особый вид материи, порождаемой заряженными частицами - электрическое поле. Электрические заряды изменяют свойства окружающего их пространства. Проявляется это в том, что на помещенный вблизи заряженного тела другой заряд (назовем его пробным) действует сила (рис.1.5). По величине этой силы можно судить об «интенсивности» поля, созданного зарядом q. Для того, чтобы сила, действующая на пробный заряд, характеризовала электрическое поле именно в данной точке пространства, пробный заряд, очевидно, должен быть точечным.

Рис.1.5. К определению напряженности электрического поля.

Поместив пробный заряд qпр на некотором расстоянии r от заряда q (рис.1.5), мы обнаружим, что на него действует сила, величина которой

зависит от величины взятого пробного заряда qпр. Легко, однако, видеть, что для всех пробных зарядов отношение F/ qпр будет одно и тоже и зависит  лишь от величин q и r , определяющих поле заряда q в данной точке r. Естественно, поэтому, принять это отношение за величину, характеризующую «интенсивность» или, как говорят, напряженность электрического поля (в данном случае поля точечного заряда):

.

Таким образом, напряженность электрического поля является его силовой характеристикой. Численно она равна силе, действующий на пробный заряд qпр = +1, помещенный в данное поле.

Напряженность поля – вектор. Его направление  совпадает с направлением вектора силы, действующей на точечный заряд, помещенный в это поле. Следовательно, если в электрическое поле напряженностью поместить точечный заряд q, то на него будет действовать сила:

Размерность напряженности электрического поля в СИ: .

Электрическое поле удобно изображать с помощью силовых линий. Силовая линия – линия, вектор касательной к которой в каждой точке совпадает с направлением  вектора напряженности электрического поля в этой точке. Принято считать, что силовые линии начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных (или уходят на бесконечность) и нигде не прерываются. Примеры силовых линий некоторых электрических полей приведены на рис.1.6.

Рис.1.6. Примеры изображения электрических полей с помощью силовых линий: точечного заряда (положительного и отрицательного), диполя, однородного электрического поля.

Электрическое поле подчиняется принципу суперпозиции (сложения), который можно сформулировать следующим образом: напряженность электрического поля, созданного в некоторой точке пространства системой зарядов, равна векторной сумме напряженностей электрических полей, созданных в этой же точке пространства каждым из зарядов в отдельности:

Пример. Найти напряженность электрического поля Е диполя (системы двух жестко связанных точечных зарядов противоположного знака) в точке, находящейся на расстоянии r1 от заряда - q и на расстоянии r2 от заряда +q (рис.1.7). Расстояние между зарядами (плечо диполя) равно l. 


Рис.1.7. К расчету напряженности электрического поля системы двух точечных зарядов.

, где

,   .

Угол α определяется по теореме косинусов: .


Лекция 2

Основные уравнения электростатики в вакууме.

1.4. Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса.

По определению потоком векторного поля  через площадку  называется величина (рис.2.1)


   
Рис.2.1. К определению потока вектора .

Если поле неоднородно или поверхность, через которую вычисляется поток, не является плоской (рис.2.2), то определение потока нужно применить к бесконечно малому элементу поверхности, а именно записать:

Тогда поток через всю поверхность S будет:

                

                Рис.2.2.                                     где .

Заметим, что поток – величина алгебраическая. Знак потока зависит от выбора направления нормали к элементарным площадкам, на которые разбивается поверхность S при вычислении ФЕ. Изменение направления нормали на противоположное изменит знак En, а значит и знак потока ФЕ. В случае замкнутых поверхностей принято считать знак потока положительным, если силовые линии поля выходят из охватываемой области наружу. Численно поток равен количеству силовых линий, пресекающих данную поверхность. Размерность потока в СИ: [ФЕ] = В·м (отметим, что она совпадает с размерностью величины qо).

Окружим точечный заряд q замкнутой сферической поверхностью радиуса r и вычислим поток электрического поля точечного заряда  через эту поверхность (рис.2.3).

По определению имеем:     ,

где  - напряженность электрического поля в направлении внешней нормали, ;  - элемент поверхности, ,   - элемент телесного угла.

Рис.2.3. К доказательству теоремы Гаусса.

Вычисляем:                      

Мы видим, что полученный результат не зависит от формы и размеров выбранной поверхности. Это очевидно, поскольку  поток численно равен количеству силовых линий, пересекающих данную поверхность, и в случае выбора  замкнутой поверхности любой другой формы он не изменится,  так как силовые линии нигде не прерываются.

Если внутри замкнутой поверхности имеется несколько зарядов, то поток их результирующего поля, согласно принципу суперпозиции, будет равен:

В частности, если система зарядов находится вне выбранной поверхности (рис.2.4) или алгебраическая сумма всех зарядов, заключенных под поверхностью, равна нулю, то поток .

                                                                                           Рис.2.4.

Доказанная выше теорема, носит название теоремы Гаусса (Gauss C., 1777–1855). Полная ее формулировка звучит так: поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности (деленной на ):

Отметим, что теорема Гаусса является прямым следствием закона Кулона и является одной из основных теорем электростатики.

  1.    Применение теоремы Гаусса для расчета электрических полей.

В ряде случаев теорема Гаусса позволяет  найти напряженность электрического поля  протяженных заряженных тел, не прибегая к вычислению громоздких интегралов. Обычно это относится к телам, чья геометрическая форма обладает определенными элементами симметрии (шар, цилиндр, плоскость). Рассмотрим некоторые примеры применения теоремы Гаусса для расчета напряженности электрических полей.

Пример 1. Поле равномерно заряженной плоскости.

Электрическое поле, создаваемое бесконечно протяженной равномерно заряженной плоскостью, является однородным – в каждой точке пространства вне плоскости его напряженность всюду одинакова. Направлено это поле перпендикулярно к плоскости в обе стороны (рис.2.5). Поэтому для потока вектора напряженности поля через произвольно выбранную цилиндрическую поверхность, опирающуюся на элемент плоскости ΔS, можем написать: , откуда  , где - поверхностная плотность заряда.      Размерность в СИ: .

Рис.2.5. Поле равномерно заряженной плоскости.

Таким образом, искомая напряженность электрического поля равномерно заряженной плоскости                         .

Пример 2. Поле равномерно заряженной нити (цилиндра).

В данном случае электрическое поле обладает аксиальной симметрией – не зависит от азимутального угла φ и координаты z и направлено вдоль радиус-вектора  (рис.2.6). Поэтому для потока вектора  через выбранную цилиндрическую поверхность с осью, совпадающей с заряженной нитью, имеем: , где   - элемент цилиндрической поверхности; l – длина произвольного участка нити.

С другой стороны, по теореме Гаусса этот поток равен:  причем ,  - линейная плотность заряда нити.

Рис.2.6. Поле равномерно заряженной нити.

Отсюда находим:            .

Искомая напряженность электрического поля равномерно заряженной нити:

.

Пример 3. Поле равномерно заряженного шара.

а) Металлический шар. При равновесии заряды равномерно распределяются по внешней поверхности заряженного шара (рис.2.7). Поэтому при <  (внутри шара) электрическое поле отсутствует:      .

Рис.2.7. Поле равномерно заряженного металлического шара.

Вне шара (>) электрическое поле, созданное равномерно распределенными по его поверхности зарядами, обладает сферической симметрией (направлено по радиальным линиям), поэтому, согласно теореме Гаусса:

.

Видим, что электрическое поле равномерно заряженного металлического шара не зависит от радиуса шара и совпадает с полем точечного заряда.

б) Диэлектрический шар.

Рассмотрим  шар, с условной диэлектрической проницаемостью ε = 1, равномерно заряженный по объему с плотностью заряда   (рис.2.8).

Размерность объемной плотности заряда в СИ: .

Рис.2.8. Поле равномерно заряженного диэлектрического шара.

Полный заряд шара, очевидно, есть:   .

Имеем по теореме Гаусса:

1) Внутри шара (r < R):          ,      где    Δq = - заряд  внутренней области шара, ограниченной выбранной сферической поверхностью радиуса r. Отсюда находим:       .

2) Вне шара (r > R):      ,     откуда      =   ,        

то есть вне заряженного диэлектрического шара электрическое поле такое же, как и в случае  металлического шара.

На рис.2.9 показан качественный ход зависимостей E(r) для металлического и диэлектрического шаров.

металл           Рис.2.9. Зависимость E(r).          диэлектрик

  1.   Работа сил поля по перемещению заряда. Потенциал и разность потенциалов электрического поля.

Как следует из закона Кулона, сила, действующая на точечный заряд q в электрическом поле, созданном другими зарядами, является центральной. Напомним, что центральной называется сила, линия действия которой направлена по радиус-вектору, соединяющему некоторую неподвижную точку О (центр поля) с любой точкой траектории. Из «Механики» известно, что все центральные силы являются потенциальными.  Работа этих сил не зависит от формы пути перемещения тела, на которое они действуют, и равна нулю по любому замкнутому контуру (пути перемещения). В применении к электростатическому полю (рис.2.10):

.

Рис.2.10.  К определению работы сил электростатического поля.                  

То есть, работа сил поля  по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2 равна по величине и противоположна по знаку работе по перемещению заряда из точки 2 в точку 1, независимо    формы пути перемещения. Следовательно, работа сил поля по перемещению заряда  может быть представлена разностью потенциальных энергий заряда в начальной и конечной точках пути перемещения:

.

Введем потенциал электростатического поля φ, задав его как отношение:

,          (размерность в СИ:  ).

Тогда работа сил поля по перемещению точечного заряда q из точки 1 в точку 2 будет:

Разность потенциалов  называется электрическим напряжением. Размерность напряжения, как и потенциала, [U] = B.

Считается, что на бесконечности электрические поля отсутствуют, и значит.  Это позволяет дать определение потенциала как работы, которую нужно совершить, чтобы переместить заряд q = +1 из бесконечности в данную точку пространства. Таким образом, потенциал электрического поля является его энергетической характеристикой

1.7. Связь между напряженностью и потенциалом электрического поля. Градиент потенциала. Теорема о циркуляции электрического поля.

Напряженность и потенциал – это две характеристики одного и того же объекта – электрического поля, поэтому между ними должна существовать функциональная связь. Действительно, работа сил поля по перемещению заряда q из одной точки пространства в другую может быть представлена двояким образом:

Откуда следует, что             

Или

Это и есть искомая связь между напряженностью и потенциалом электрического поля в дифференциальном виде.

- вектор, направленный из точки с меньшим потенциалом в точку с большим потенциалом  (рис.2.11).

,    .

Рис.2.11. Векторыи gradφ.                                                            .

Из свойства потенциальности электростатического поля следует, что работа сил поля по замкнутому контуру (φ1= φ2) равна нулю:

,

поэтому можем написать

Последнее равенство отражает суть второй основной теоремы электростатики – теоремы о циркуляции электрического поля, согласно которой циркуляция поля вдоль произвольного замкнутого контура равна нулю. Эта теорема является прямым следствием потенциальности электростатического поля.

1.8. Эквипотенциальные линии и поверхности и их свойства.

Линии и поверхности, все точки которых имеют одинаковый потенциал, называются эквипотенциальными. Их свойства непосредственно вытекают из представления работы сил поля и иллюстрируются рис.2.12:

1) - работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной линии (поверхности) равна нулю, т. к. .

2) - силовые линии поля  в        каждой точке ортогональны к эквипотенциальной линии (поверхности).

Рис.2.12. Иллюстрация свойств эквипотенциальных линий и поверхностей.

1.9. Потенциалы простейших электрических полей.

Из соотношения , определяющего связь между напряженностью и потенциалом электрического поля, следует формула для вычисления потенциала поля:

где интегрирование производится вдоль силовой линии поля; С – произвольная постоянная, с точностью до которой определяется потенциал электрического поля.

Если направление поля  совпадает с направлением радиус–вектора  (), то вычисления можно производить по формуле:

.

Рассмотрим ряд примеров на применение этой формулы.

Пример1.  Потенциал поля точечного заряда (рис.2.13).

Рис.2.13.                              При  полагают, что , тогда .

Таким образом, потенциал поля точечного заряда определяется по формуле:

Пример 2. Потенциал поля металлического заряженного шара.

а) Изолированный шар (рис.2.14).

при , т.е. внутри шара  = const.

Рис2.14.

Вне шара  .

При   φ = 0,  следовательно, С = 0.

 - вне шара.

Для определения  используем свойство непрерывности потенциала: при переходе через границу поверхности шара, потенциал не претерпевает скачка. Полагая в последней формуле r =R, находим:

- внутри шара.   

б) Заземленный шар (рис.2.15).

                    .

При , то есть   - вне шара.

Рис.2.15.                                                                       Внутри шара    φ(r ≤ 0) = φ0 = 0.

Разность потенциалов U (рис.2.16) двух точек на силовой линии электрического поля заряженного шара определяется по формуле:

.

    Рис.2.16.

Пример 3. Потенциал поля заряженной нити (рис.2.17).

         При :


Рис.2.17.                                                 

                             

Разность потенциалов U (рис.2.17) двух точек на силовой линии поля заряженной нити:

Пример 4. Потенциал поля заряженной плоскости (2.18).

                   

Рис.2.18. 

Разность потенциалов U (рис.2.18) двух точек на силовой линии поля заряженной плоскости:

.


Лекция 3

Электростатическое поле в диэлектриках.

1.10.  Поляризация диэлектриков. Свободные и связанные заряды. Основные виды поляризации диэлектриков.

Явление возникновения электрических зарядов на поверхности диэлектриков в электрическом поле называется поляризацией. Возникающие при этом заряды – поляризационными (рис.3.1).

 

Рис.3.1. Поляризация диэлектрика.

В проводниках (например, металлах) имеются свободные заряды, которые можно разделить (рис.3.2).

Рис.3.2. Разделение свободных зарядов в металле.

В диэлектриках заряды смещаются лишь в пределах отдельных молекул, поэтому их разделить нельзя (рис.3.3). Такие заряды называются связанными.

Рис.3.3. Связанные заряды  разделить нельзя.

Различают следующие основные виды поляризации диэлектриков.

1) Ориентационная поляризация (полярные диэлектрики).

Молекулы таких веществ уже в начальном состоянии имеют собственный дипольный электрический момент (рис.3.4).

Рис.3.4. Полярная молекула воды.

Электрическим диполем называется система двух связанных между собой равных по величине и противоположных по знаку  точечных зарядов. Величина - называется электрическим моментом диполя, - плечо диполя – вектор, направленный от отрицательного заряда к  положительному.

В электрическом поле на диполь действует пара сил (рис.3.5), вследствие чего диполь устанавливается (ориентируется) вдоль силовых линий поля.

- момент пары сил, действующий на диполь в электрическом поле.

Рис.3.5. Диполь в электрическом поле.

2) Деформационная или электронная поляризация (неполярные диэлектрики).

Пример молекул таких веществ: H2, O2. Между атомами в  молекуле действует  ковалентная неполярная связь.  «Центры тяжести» положительных и отрицательных ионов совпадают, поэтому в исходном  состоянии  дипольный электрический момент у такой молекулы отсутствует (рис.3.6).

Рис.3.6. Неполярная молекула водорода.

В электрическом поле электронное облако молекулы деформируется, вследствие чего «центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов смещаются (рис.3.7), и у молекулы появляется наведённый дипольный момент  (β - поляризуемость молекулы).

Рис.3.7. Электронная поляризация.

3) Ионная поляризация (кристаллы).

Ионные кристаллы (например, кристаллы поваренной соли NaCl) построены из положительных и отрицательных ионов, образующих как бы две кристаллические решетки, сдвинутые одна относительно другой на половину периода. Такой кристалл можно рассматривать как одну большую «молекулу» (рис.3.8).

В электрическом поле ионы противоположного знака смещаются друг относительно друга в разные стороны, в результате чего кристалл приобретает макроскопический дипольный электрический момент  (β –  поляризуемость кристалла). Рис.3.8. Ионная поляризация.

4) Сегнетоэлектрики и пироэлектрики.

Сегнетоэлектрики – особый класс диэлектриков, отличительными свойствами которых являются: 1) диэлектрическая проницаемость ε этих веществ может достигать нескольких тысяч (для сравнения, у такого сильного полярного диэлектрика как вода ε=81); 2) зависимость  от  не является линейной; 3) при переполяризации сегнетоэлектрика обнаруживается явление гистерезиса (рис.3.9), то есть запаздывание следования  за изменением поля ; 4) наблюдается сложная зависимость ε от температуры, причем для каждого сегнетоэлектрика существует такая температура (называемая точкой Кюри), выше которой сегнетоэлектрик утрачивает свои свойства и становится обычным диэлектриком.

- обычный диэлектрик (линейная зависимость).                 - сегнетоэлектрик (нелинейная зависимость).     при ,  - остаточная поляризация,                       - коэрцитивная сила.

Рис.3.9. Петля гистерезиса в сегнетоэлектриках.

Все перечисленные свойства сегнетоэлектриков объясняются наличием в них особых областей спонтанной (самопроизвольной) поляризации, называемых доменами, на которые распадается объем сегнетоэлектрика. Каждый из доменов, даже в отсутствие внешнего электрического поля, поляризован до насыщения (максимально). Под действием внешнего поля электрические моменты отдельных доменов поворачиваются как целое, устанавливаясь вдоль направления поля. При поляризации до насыщения весь сегнетоэлектрик  становится  как бы одним большим доменом.

В отличие от сегнетоэлектриков, у которых макроскопический электрический момент в исходном состоянии равен нулю, существует класс похожих веществ, называемых пироэлектриками, которые в исходном состоянии обладают отличной от нуля  макроскопической спонтанной поляризацией. Ее появление связано с тем, что в этих веществах «центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов смещены относительно друг друга. В известном смысле можно сказать, что пироэлектрик – это монодоменный сегнетоэлектрик.

1.11. Вектор поляризации и вектор электрической индукции.

Для количественной характеристики поляризации диэлектриков вводят понятие  вектора поляризации  как полного (суммарного) дипольного момента всех молекул в единице объема диэлектрика:

,        - дипольный момент одной молекулы.

Суммирование производится по всем молекулам, находящимся в объеме V.

Легко видеть, что нормальная составляющая вектора поляризации Рn численно равна поверхностной плотности поляризационных зарядов на  диэлектрике σ (рис.3.10):

Рис.3.10. Вектор поляризации.

Последняя формула дает не только величину, но и знак поляризационных зарядов. В тех точках поверхности диэлектрика, где угол θ между внешней нормалью и вектором острый, σ положительна, а в тех точках, где угол между внешней нормалью и  тупой, σ отрицательна.

Наряду с вектором поляризации , для описания электрического поля в диэлектриках вводят также понятие вектора электрической индукции . По определению:

где  - напряженность электрического поля в диэлектрике.

Для большинства диэлектриков (кроме сегнетоэлектриков) вектор поляризации

.

Безразмерная величина  называется диэлектрической восприимчивостью. Она связана с поляризуемостью молекулы β данного диэлектрика простым соотношением:        α = nβ,  где n – число молекул в единице объема. В этом случае электрическая индукция

.

Постоянная  называется диэлектрической проницаемостью (ε = 1 – для вакуума).

Таким образом, для многих изотропных диэлектриков можно считать, что

1.12. Напряженность электрического поля в диэлектрике.

В соответствии с принципом суперпозиции электрическое поле в диэлектрике векторно складывается из внешнего поля  и поля поляризационных зарядов  (рис.3.11).

  или по абсолютной величине

Мы видим, что величина напряженности поля  в диэлектрике меньше, чем вакууме. Другими словами,  любой диэлектрик ослабляет внешнее электрическое поле.

Рис.3.11. Электрическое поле в диэлектрике.

  Индукция электрического поля  , где , ,   то есть  . С другой стороны, , откуда находим, что ε0Е0 = ε0εЕ и, следовательно, напряженность электрического поля в изотропном диэлектрике есть:

Эта формула раскрывает физический смысл диэлектрической проницаемости и показывает, что напряженность электрического поля в диэлектрике  в  раз меньше, чем в вакууме. Отсюда следует простое правило: чтобы написать формулы электростатики в диэлектрике, надо в соответствующих формулах электростатики вакуума рядом с  приписать . 

В частности, закон Кулона в скалярной форме запишется в виде:

1.13. Основные теоремы электростатики в интегральной и дифференциальной форме.

1) Теорема Гаусса.

                    (вакуум)

                                             (среда)

По теореме преобразования поверхностного интеграла в объемный  (теореме Остроградского) имеем:


откуда следует
дифференциальная форма записи теоремы Гаусса:

где ρ – объемная плотность свободных зарядов;

.

Используя определение , нетрудно показать, что , где - объемная плотность связанных зарядов.

2) Теорема о циркуляции электрического поля.

По теореме преобразования контурного интеграла в поверхностный (теореме Стокса) имеем:

,

откуда следует дифференциальная форма второй основной теоремы электростатики

где                .

1.14. Граничные условия для электрического поля.

При переходе через границу раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями ε1 и ε2 (рис.3.12) необходимо учитывать граничные условия для полей и, которые непосредственно вытекают из основных интегральных теорем электростатики.

    Нормальные составляющие индукции поля непрерывны

Учитывая, что ,   находим также:          

Тангенциальные составляющие электрического поля непрерывны

     

      Поскольку , то    

Рис.3.12. Преломление линий поля при переходе через границу раздела двух диэлектриков.


Лекция 4

Проводники в электростатическом поле. Конденсаторы. Энергия электрического поля.

1.15. Равновесное распределение зарядов на проводниках.

Опыт показывает, что при равновесии электрические заряды распределяются на внешней поверхности проводников (рис.4.1). Поэтому, согласно теореме Гаусса, электрическое поле внутри проводника , а потенциал φ = const.

Рис.4.1. Опыт, иллюстрирующий равновесное распределение зарядов на проводнике.

Из сказанного следует, что при равновесии зарядов поверхность проводника является эквипотенциальной. Вблизи поверхности заряженного проводника силовые линии перпендикулярны его поверхности, и поэтому работа по перемещению заряда вдоль любой линии на поверхности проводника .

При внесении незаряженного проводника в электрическое поле на его внешней поверхности появляются индукционные заряды противоположного знака, электрическое поле которых компенсирует внутри проводника внешнее поле. На этом свойстве проводников основано действие электростатической защиты (рис.4.2).

  Можно

     Нельзя

Рис.4.2. Электростатическая защита.

1.16. Электроемкость проводников. Конденсаторы.

Заряд q, сообщенный уединенному проводнику создает вокруг него электрическое поле, напряженность которого пропорциональна величине заряда. Потенциал поля φ,  в свою очередь, связан с напряженностью поля также пропорциональной зависимостью. Следовательно, заряд и потенциал уединенного проводника связаны между собой линейной зависимостью:

q =

Коэффициент пропорциональности С называется электроемкостью (или просто емкостью) проводника. Емкость проводника зависит от его формы и размеров, а также свойств окружающей проводник среды. Если проводник находится в непроводящей среде с диэлектрической проницаемостью ε, то его емкость увеличивается в ε раз.

Единицы измерения электроемкости в СИ:

Пара проводников, между которыми имеется разность потенциалов, называется простейшим конденсатором. Индуцированные на проводниках заряды равны по величине и противоположны по знаку. Заряд каждой пластины по абсолютной величине

Если пространство между проводниками заполнено средой с диэлектрической проницаемостью ε, то

где С0 -  емкость конденсатора в вакууме.

1.17. Вычисление емкости простых конденсаторов.

Согласно определению, емкость  конденсатора:

,   где  

(интеграл берется вдоль силовой линии поля между обкладками конденсатора).

Следовательно, общая формула для вычисления емкости любого конденсатора есть:

Рассмотрим ряд примеров на применение этой формулы.

Пример 1. Емкость плоского конденсатора (рис.4.3).

,  S – площадь одной пластины.

Рис.4.3. Плоский конденсатор.

Пример 2.  Емкость цилиндрического конденсатора (рис.4.4).

Заряд: , l – длина конденсатора; r1, r2-радиусы электродов

.

Рис.4.4. Цилиндрический конденсатор.

Пример 3. Емкость сферического конденсатора и уединенного шара (рис.4.5; 4.6).

Рис.4.5. Сферический конденсатор.


Рис.4.6. Уединенный шар.             ,    R1 = R            

1.18. Соединение конденсаторов.

Соединение конденсаторов бывает последовательным, параллельным и смешанным.

1) Последовательное соединение.

При последовательном соединении заряды на всех конденсаторах одинаковые, а напряжения разные (рис.4.7).

Рис.4.7. Последовательное соединение конденсаторов.

                              2) Параллельное соединение.

При параллельном соединении напряжения на всех конденсаторах одинаковые = U, а заряды – разные (рис.4.8).

Рис.4.8. Параллельное соединение конденсаторов.

1.19. Энергия системы неподвижных точечных зарядов.

Как мы уже знаем, силы с которыми взаимодействуют заряженные тела, являются потенциальными. Следовательно, система заряженных тел обладает потенциальной энергией. Когда заряды удалены друг от друга на бесконечность, они не взаимодействуют. Положим в этом случае их энергию равной нулю.

Рис.4.9. К определению энергии системы зарядов.

Рассмотрим сначала систему, состоящую из двух точечных зарядов (рис.4.9). Cблизим заряды на заданное расстояние r. При этом мы совершим работу против сил электрического поля, которая пойдет на увеличение потенциальной энергии системы. Сближение зарядов можно произвести, приближая q2 к q1 либо q1 к q2. В обоих случаях  совершается одинаковая работа:

В последней формуле  - потенциал поля 1-го заряда в том месте, где находится второй заряд;  - потенциал поля второго заряда в том месте, где находится первый заряд. С учетом сказанного, эту формулу можно записать также в виде:

.

Рис.4.10. Система трех неподвижных точечных зарядов.

Нетрудно убедиться в том, что потенциальная энергия системы трех неподвижных точечных зарядов (рис.4.10) может  быть представлена в виде:    

                                                                                                                                                   

В общем случае системы n неподвижных точечных зарядов энергия системы определяется по формуле:

1.20. Энергия заряженного проводника и заряженного конденсатора.

Поверхность заряженного проводника (рис.4.11) при равновесии зарядов является эквипотенциальной (φi = φ = const). Следовательно, энергия заряженного проводника:       ,  где q - заряд проводника.

Рис.4.11. Заряженный проводник.

Конденсатор представляет собой пару заряженных проводников (рис.4.12), поэтому имеем:

Рис.4.12. Заряженный конденсатор.

А поскольку заряд , то энергия заряженного конденсатора может быть представлена одной из трех формул:

1.21. Энергия электростатического поля.

Выразим энергию заряженного конденсатора через величины, характеризующие электрическое поле, локализованное в пространстве между его обкладками – напряженность поля Е и объем V, занятый полем. Имеем для напряженности поля:

,    где .

Воспользовавшись формулой для емкости плоского конденсатора , находим:

,       где  - объём конденсатора, откуда следует, что

Мы видим, что энергия электрического поля прямо пропорциональна квадрату его напряженности Е и объёму V, занятому полем. Величину энергии поля, отнесенной к единице объема, называют плотностью энергии:

- плотность энергии электрического поля.


Лекция 5

2. Постоянный электрический ток

2.1.  Характеристики тока. Сила и плотность тока. Падение потенциала вдоль проводника с током.

Всякое упорядоченное движение зарядов называется электрическим током. Носителями заряда в проводящих средах могут быть электроны, ионы,  «дырки» и даже макроскопические заряженные частицы.

За положительное направление тока принято считать направление движения положительных зарядов. Электрический ток характеризуется силой тока – величиной, определяемой количеством заряда, переносимого через воображаемую площадку, за единицу времени:

Для постоянного тока силу тока можно определить как:

Размерность силы тока в СИ:         (ампер).

Кроме этого, для характеристики тока в проводнике применяют понятие плотности токавекторной величины, определяемой количеством заряда, переносимого за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную линиям тока (рис.5.1):

 Рис.5.1. К определению вектора плотности тока

Размерность плотности тока в СИ: .

Покажем, что плотность тока  пропорциональна скорости упорядоченного движения зарядов в проводнике . Действительно, количество заряда, протекающее через поперечное сечение проводника за единицу времени есть (рис.5.2):

,  где  - концентрация зарядов

 .

Рис.5.2. К выводу формулы для плотности тока.

Или в векторном виде:

Как мы знаем, при равновесии зарядов, то есть при отсутствии тока, потенциал всех точек проводника имеет одно и то же значение, а напряженность электрического поля внутри него  равна  нулю (рис.5.3а). При наличии тока  электрическое поле внутри проводника отлично от нуля, и вдоль проводника с током имеет место падение потенциала  (рис.5.3б).

Тока нет:                        

Рис.5.3а. Электрическое поле проводника при отсутствии тока.

Ток есть:                    

Рис.5.3б. Электрическое поле проводника при наличии тока.

Таким образом, для существования тока в проводнике необходимо выполнение двух условий: 1) наличие носителей заряда и 2) наличие электрического поля в проводнике.

2.2.  Закон Ома для однородного участка цепи. Сопротивление проводников.  

Между падением потенциала - напряжением U и силой тока в проводнике I существует функциональная зависимость , называемая вольтамперной характеристикой данного проводника (ВАХ). Вид этой зависимости для разных проводников и устройств может быть самым разнообразным.

Как показывает опыт, для многих проводящих материалов выполняется зависимость:  ,

получившая название закона Ома (Ohm G., 1787-1854)  для однородного участка   цепи. (ВАХ приведена на рис.5.4).


Рис.5.4. ВАХ проводника, подчиняющегося закону Ома.

Коэффициент пропорциональности R называется сопротивлением проводника. Сопротивление однородного проводника (рис.5.5) зависит от материала, из которого он изготовлен, его формы, размеров, а также от температуры.

Рис.5.5. Однородный проводник.

Размерность сопротивления:  [R] = . Кратные единицы измерения: 1кОм = 103Ом ; 1Мом = 106Ом.

ρудельное сопротивление.  Размерность ρ в СИ:  [ρ] = Ом∙м.

Для многих веществ зависимость сопротивления от температуры в широком интервале температур вблизи Т≈300К определяется эмпирической  зависимостью от температуры их удельного сопротивления:

,

где α – температурный коэффициент сопротивления;  - значение    при .

Для металлов , поэтому сопротивление металлов в указанной области температур пропорционально температуре (рис.5.6).

Рис.5.6. Зависимость сопротивления металлов от температуры.

Для электролитов α<0, зависимость их сопротивления от температуры имеет вид, изображенный на рис.5.7. Для разных электролитов α различно.

Рис.5.7. Зависимость сопротивления электролитов от температуры.

 2.3.  Дифференциальная форма закона Ома.

Если проводник неоднороден по своему составу и/или имеет неодинаковое сечение, то  для характеристики тока в различных частях проводника используют закон Ома в дифференциальной форме. Для его вывода выделим внутри проводника  элементарный цилиндрический объем (рис.5.8) с образующими, параллельными вектору плотности тока . Если выделенный объем достаточно мал, его можно считать однородным и применить к нему закон Ома:                                         

   ,   где

                          ,   откуда

Рис.5.8. К выводу закона Ома в дифференциальной форме.

Или в векторном виде:

 

Величина  называется коэффициентом электропроводности или проводимостью материала. Единицей измерения  σ  в СИ является (Ом∙м)-1=См (сименс).

2.4. Сторонние силы. ЭДС источника тока. Закон Ома для неоднородного участка цепи и для замкнутой цепи.

Для протекания электрического тока в проводнике необходимо, чтобы на его концах  поддерживалась разность потенциалов. Очевидно, для этой цели не может быть использован заряженный конденсатор. Действительно, если  включить в цепь проводника заряженный конденсатор (рис.5.9) и замкнуть цепь, то под действием сил электростатического поля заряды придут в движение, возникнет кратковременный ток, после чего установится равновесное распределение зарядов, при котором потенциалы концов проводника выравниваются и ток прекращается. Другими словами, электростатическое поле конденсатора не может осуществить постоянную циркуляцию зарядов в цепи (то есть электрический ток), что является следствием потенциальности электростатического поля – равенства нулю работы сил электростатического поля по замкнутому контуру.  Таким образом, для поддержания постоянного тока в замкнутой цепи необходимо действие сторонних сил неэлектростатического происхождения и не являющихся потенциальными силами.

    Кратковременный ток.

Рис.5.9. Заряженный конденсатор не может служить источником постоянного тока.

Эти силы могут быть обусловлены химическими процессами, диффузией носителей заряда через границу двух разнородных проводников, магнитными полями, другими причинами.

Сторонние силы можно охарактеризовать работой, которую они совершают по перемещению зарядов в замкнутой цепи. Величина, равная работе сторонних сил Аст, отнесенная к единице положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС). Единицей измерения ЭДС в СИ (как и напряжения) является В (Вольт).

Работа сторонних сил по замкнутому контуру не равна нулю (рис.5.10):

Рис.5.10. Источник электродвижущей силы в замкнутой цепи.

Участок цепи, содержащий источник ЭДС, называется неоднородным (рис.5.11). Всякий источник ЭДС характеризуется величиной ЭДС ε и внутренним сопротивлением r.

- напряжение на концах участка цепи.

Рис.5.11. Неоднородный участок цепи.

Закон Ома для неоднородного участка цепи имеет вид:

При соединении концов неоднородного участка цепи идеальным проводником образуется замкнутая цепь, в которойпотенциалы φ1 и φ2  выравниваются и мы приходим к закону Ома для замкнутой (или полной) цепи:

Если сопротивление внешней цепи , то имеем случай короткого замыкания. В этом случае в цепи течет максимальный ток:

При  имеем   разомкнутую цепь. В этом случае ток в цепи равен нулю:

  1.  Напряжение на зажимах источника тока.

Как видно из рис.5.12:

 или     

Рис.5.12. Напряжение на зажимах источника тока.

График зависимости приведен на рис.5.13.

При коротком замыкании V = 0.

V = ε   для разомкнутой цепи.

Рис.5.13. Зависимость V от сопротивления внешней нагрузки R.

2.6. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа.

Электрическая цепь, содержащая в себе узлы, называется разветвленной. Узел – место в цепи, где сходятся три или более проводников (рис.5.14). Для расчета разветвленных цепей применяют правила Кирхгофа (Kirchhoff G.,1824-1887), являющиеся прямым следствием основных законов теории электричества. Этих правил  два.

Рис.5.14. Участок разветвленной цепи.

Первое правило: алгебраическая сумма всех токов, сходящихся в узле равна нулю:

Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда в применении к узлу, через который протекают постоянные токи.  Если в цепи имеется N узлов, то  пишется  N -1 уравнение для любых узлов.

Второе правило: для любого замкнутого контура, выделенного внутри разветвленной цепи, алгебраическая сумма падений напряжений на сопротивлениях равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре:

Второе правило Кирхгофа является следствием равенства нулю циркуляции электро- статического поля по замкнутому контуру, то есть следствием его потенциальности.

. 2.7. Соединение сопротивлений.

Соединение сопротивлений бывает последовательным, параллельным и смешанным.

1) Последовательное соединение.

При последовательном соединении ток, текущий через все сопротивления, одинаковый, а падения напряжения разные (рис.5.15).

Рис.5.15. Последовательное соединение сопротивлений.

  , откуда следует, что

 

2) Параллельное соединение.

При параллельном соединении падения напряжения на всех сопротивлениях одинаковые, а токи, текущие в них, разные (рис.5.16).

Рис.5.16. Параллельное соединение сопротивлений.

  ,  откуда следует, что

2.8. Работа и мощность постоянного тока. Закон ДжоуляЛенца.

.При протекании по проводнику электрического тока проводник нагревается. Нагревание происходит за счет работы, совершаемой силами поля над носителями заряда:

,

Рис.5.17. Проводник с током.

Джоуль (Joule J., 1818-1889) и независимо от него Э.Х.Ленц (1804-1865) установили экспериментально, что количество теплоты,  выделяющейся в проводнике, пропорционально квадрату силы тока, сопротивлению проводника и времени протекания тока:

Если сила тока изменяется со временем, то за промежуток времени Δt = t2t1 выделится теплота:

Написанные соотношения выражают собой закон Джоуля – Ленца.

Если теплоту измерять в калориях, то: .

Количество теплоты, выделяющееся в единице объема проводника за единицу времени, называется удельной мощностью:

,    где  - плотность тока.

Это соотношение представляет собой закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме:                  

Работа, производимая током за единицу времени, называется мощностью:

.

Размерность мощности в СИ: (ватт).

2.9. КПД источника тока.

Перемещая электрические заряды по замкнутой цепи, источник тока совершает работу. Различают полезную и полную работу источника тока. Полезная работа – это та, которую совершает источник по перемещению зарядов во внешней цепи; полная работа – это работа источника по перемещению зарядов во всей цепи:

-  полезная работа;

-  полная работа.

Соответственно этому, различают полезную и полную мощность источника тока:

Коэффициентом полезного действия (КПД) источника тока называют отношение:

Выясним, при каком сопротивлении внешней цепи  полезная мощность максимальна.

Имеем: ,     где ;

, откуда

.

Рис.5.18. Зависимость Рполезн от R.

Условие  называется условием согласования источника и нагрузки. В этом случае мощность, выделяемая источником во внешней цепи, максимальна (рис.5.18). Отметим, что при выполнении условия согласования КПД источника тока , то есть максимальная полезная мощность и максимальный КПД несовместимы. Из приведенного графика видно также, что одну и ту же полезную мощность можно получить при двух различных сопротивлениях внешней нагрузки .


Лекция 6

Основы классической теории электропроводности металлов.

2.10. Природа носителей тока в металлах.

Для выяснения природы носителей тока в металлах был поставлен ряд опытов.

Опыт Рикке (Riecke C., 1845-1915).  В 1901г. Рикке осуществил опыт, в котором он пропускал ток через стопку цилиндров с тщательно отполированными торцами Cu-Al-Cu (рис.6.1). Перед началом опыта образцы были взвешены с высокой степенью точности (Δm = ±0,03 мг). Ток пропускался в течение года. За это время через цилиндры прошел заряд q = 3,5∙106 Кл.

По окончании опыта цилиндры были вновь взвешены. Взвешивание показало, что пропускание тока не оказало никакого влияния на вес цилиндров. При исследовании торцевых поверхностей под микроскопом также не было обнаружено проникновения одного металла в другой. Результаты опыта Рикке свидетельствовали о том, что носителями тока в металлах являются не атомы, а какие-то частицы, которые входят в состав всех металлов.

Такими частицами могли быть электроны, открытые в 1897г. Томсоном (Thomson J., 1856-1940) в опытах с катодными лучами. Чтобы отождествить носители тока в металлах с электронами, необходимо было определить знак и величину удельного заряда носителей. Это было осуществлено в опыте Толмена и Стюарта (Tolman R., 1881-1948,  Stewart B., 1828-1887).

Опыт Толмена и Стюарта. Суть опыта, проведенного в 1916г., состояла в определении удельного заряда носителей тока при резком торможении проводника (рис.6.2). В опыте для этой цели использовалась катушка из медного провода длиной 500м, которая приводилась в быстрое вращение (линейная скорость витков составляла 300м/с), а затем резко останавливалась. Заряд, протекавший по цепи за время торможения, измерялся с помощью баллистического гальванометра.

Найденный из опыта удельный заряд носителя тока , оказался очень близким к величине удельного заряда электрона, откуда был сделан вывод о том, что ток в металлах переносится электронами.

2.11. Основные положения классической электронной теории проводимости металлов Друде – Лоренца.

Исходя из представлений о свободных электронах как основных носителях тока в металлах, Друде (Drude P., 1863-1906) разработал классическую теорию электропровод-ности металлов, которая затем была усовершенствована Лоренцем (Lorentz H., 1853-1928).

Основные положения этой теории сводятся к следующим:

1). Носителями тока в металлах являются электроны, движение которых  подчиняется законом классической механики.

2). Поведение электронов подобно поведению молекул идеального газа (электронный газ).

3). При движении электронов в кристаллической решетке можно не учитывать столкновения электронов друг с другом.

4).  При упругом столкновении электронов с ионами электроны полностью передают им  накопленную в электрическом поле энергию.

Средняя тепловая скорость хаотического движения электронов при Т300К составляет  .

При включении электрического поля на хаотическое движение электронов накладывается упорядоченное движение (называемое иногда «дрейфовым»), происходящее с некоторой средней скоростью ;  возникает направленное движение электронов – электрический ток. Плотность тока определяется по формуле.

Оценки показывают, что при  максимально допустимой плотности тока в металлах    j = 107 А/м2 и концентрации носителей 1028 – 1029м-3 ,  . Таким образом, даже при очень больших плотностях тока средняя скорость упорядоченного движения электронов .

2.12. Вывод законов Ома, Джоуля-Ленца и Видемана-Франца на основе теории Друде-Лоренца.

 Закон Ома.

Ускорение, приобретаемое электроном в электрическом поле  (рис.6.3).

Рис.6.3. К выводу закона Ома.

На пути свободного пробега  λ максимальная скорость электрона достигнет величины

,

где τ - время свободного пробега: .

Среднее значение  скорости упорядоченного движения есть:

.

Подставив это значение в формулу для плотности тока, будем иметь:

,  

Полученная формула представляет собой закон Ома в дифференциальной форме:

,

где σ – удельная электропроводность металла:

.

Закон Джоуля - Ленца

Кинетическая энергия электрона, которую он имеет к моменту соударения с ионом:

.

При столкновении с ионом энергия, полученная электроном в электрическом поле  , полностью передается иону. Число соударений  одного электрона в единицу времени равно , где λ – длина свободного пробега электрона. Общее число столкновений за единицу  времени в единице объема равно .  Тогда количество тепла, выделяющегося в единице объема проводника за единицу времени будет:

.

Последнюю формулу можно представить в виде закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме:

,

где ρ =1/σ – удельное сопротивление металла.

Закон Видемана-Франца.

Из опыта известно, что металлы, наряду с высокой электропроводностью, обладают также высокой теплопроводностью. Видеман (Wiedemann G., 1826-1899) и Франц (Franz R.,) установили в 1853г. эмпирический закон, согласно которому отношение коэффициента теплопроводности κ к коэффициенту электропроводности σ для всех металлов приблизительно одинаково и изменяется пропорционально абсолютной температуре:

.

Рассматривая электроны как одноатомный газ, можем на основании кинетической теории газов написать для коэффициента теплопроводности электронного газа:

,

где  - удельная теплоемкость одноатомного газа при постоянном объеме.

Разделив κ на σ, приходим к закону Видемана-Франца:

.

Подставив сюда k = 1,38·10-23 Дж/К  и  е = 1,6·10-19 Кл, найдем, что

,

что очень хорошо согласуется с экспериментальными данными.

2.13. Затруднения классической теории электропроводности металлов. Сверхпроводимость металлов. Открытие высокотемпературной сверхпроводимости.

Несмотря на достигнутые успехи, классическая электронная теория проводимости металлов Друде-Лоренца не получила дальнейшего развития. Связано это с двумя основными причинами: 1) трудностями, с которыми столкнулась эта теория при объяснении некоторых свойств металлов; 2) созданием более совершенной квантовой теории проводимости твердых тел, устранившей затруднения классической теории и предсказавшей ряд новых свойств металлов.

Выделим основные затруднения теории Друде-Лоренца:

 1. Согласно классической теории, зависимость удельного сопротивления металлов от температуры в то время, как на опыте в широком интервале температур вблизи  Т≈300К для большинства металлов наблюдается зависимость ρ ~ Т. 

 2. Хорошее количественное совпадение с законом Видемана-Франца оказалось в известной степени случайным. В первоначальном варианте теории Друде не учитывал распределение электронов по скоростям. Позже, когда Лоренц учел это распределение, оказалось, что отношение

,

что значительно хуже согласуется с экспериментом. Согласно же квантовой теории,

.

3.  Теория дает неправильное значение теплоемкости металлов.  С учетом теплоемкости электронного газа С=9/2R, а на практике С=3R, что примерно соответствует теплоемкости диэлектриков.

4. Наконец, теория оказалась полностью неспособной объяснить открытое в 1911г. Камерлинг-Оннесом (Kamerligh-Onnes H., 1853-1926) явления сверхпроводимости (полного исчезновения сопротивления) металлов при низких температурах, а также существования остаточного сопротивления, в сильной степени зависящего от чистоты металла (рис.6.4).

Интересно отметить, что в отношении низкотемпературных сверхпроводников (металлов) действует правило: металлы с более высоким удельным сопротивлением ρ имеют и более высокую критическую температуру сверхпроводящего перехода Ткр (см. таблицу).

                       Таблица. Свойства низкотемпературных сверхпроводников.     

Металл

Удельное сопротивление,

           10-8 Ом∙м  

Тк , К

Титан

Алюминий

Ртуть

Свинец

1,7

2,5

94

22

0,4

1,2

4,1

7,2

Феноменологическая теория низкотемпературной сверхпроводимости была создана в 1935г. Ф.и Г. Лондонами (London F., 1900-1954, London H., 1907-1970), но лишь спустя почти полвека (в 1957г.) явление сверхпроводимости получило окончательное объяснение в рамках микроскопической (квантовой) теории, созданной Дж.Бардиным,  Л. Купером и Дж. Шриффером (Bardeen J., Cooper L., Schrieffer J.).

В 1986г. Дж. Беднорцем (Bednorz J.) и К. Мюллером (Müller K.) было открыто явление высокотемпературной сверхпроводимости в керамических металлоксидах (лантана, бария и др. элементов), являющихся диэлектриками при комнатной температуре. Критическая температура перехода в сверхпроводящее состояние для этих материалов около 100К.

Теория высокотемпературной сверхпроводимости в настоящее время находится в стадии разработки и пока далека от своего завершения. Неясен даже механизм возникновения высокотемпературной сверхпроводимости.


Лекция 7

Электрический ток в различных средах.

2.14. Электрический ток в электролитах. Законы электролиза Фарадея.

Электролиты относятся к так называемым проводникам второго рода. В отличие от металлов и полупроводников (проводников первого рода), протекание тока в которых не сопровождается какими-либо химическими превращениями, в электролитах протекание тока всегда сопровождается химическими превращениями. Электролитами являются растворы солей, кислот и щелочей в воде и некоторых других жидкостях, а также расплавы солей, являющихся в твердом состоянии ионными кристаллами.

Носителями тока в электролитах являются положительные и отрицательные ионы, на которые диссоциируют (расщепляются) молекулы растворенного вещества. Степень диссоциации характеризуется коэффициентом диссоциации α, показывающим, какая доля  молекул растворенного вещества находится в диссоциированном состоянии. Коэффициент диссоциации зависит от химической природы растворителя и концентрации растворяемого вещества. В частности, чем ниже концентрация растворяемого вещества, тем выше коэффициент диссоциации.

Если в электролит ввести твердые проводящие электроды и подать на них напряжение, то ионы придут в движение - возникнет электрический ток (рис.7.1). Положительные ионы (катионы) движутся к отрицательному электроду (катоду); отрицательные ионы (анионы) – к положительному электроду (аноду).

Рис.7.1. Электрический ток в электролите.

Достигнув соответствующих электродов, анионы и катионы отдают избыточные или получают недостающие электроны и превращаются в нейтральные молекулы. Таким образом, прохождение электрического тока через электролит сопровождается выделением на электродах составных частей электролита. Это явление называется электролизом. Основные законы электролиза были установлены в 1836г. Майклом Фарадеем (Faraday M., 1791-1867):

Первый закон Фарадея. Количество вещества, выделившегося на каждом из электродов при электролизе, пропорционально заряду, протекшему через электролит:

,

где К- электрохимический эквивалент, зависящий от природы вещества.

Второй закон Фарадея. Электрохимический эквивалент всех веществ пропорционален их химическому эквиваленту:

  

где  - атомный вес,  - валентность химического элемента;  -число Фарадея.

Выделение вещества на электродах начинается лишь с некоторого напряжения, называемого пороговым напряжением разложения электролита Up. Начиная с этого напряжения, в электролите появляется ток, плотность которого подчиняется закону Ома:

где n+ и n- - концентрация положительных и отрицательных ионов, соответственно; q+ и q- - заряды ионов; u+и u- - подвижности ионов; σ – электропроводность электролита.

Подвижность ионов зависит от их природы и свойств растворителя. С повышением температуры подвижность ионов возрастает. В электролитах подвижность ионов очень мала. Так, для водных растворов при комнатной температуре она составляет 10-8-10-7  (для сравнения, подвижность электронов в металлах ~10-4).

Если молекула диссоциирует только на пару ионов, то  и  . В этом случае

На рис.7.2 представлена ВАХ электролита: , R – сопротивление слоя электролита между электродами.

Рис.7.2. Вольтамперная характеристика электролита.

Электролиз находит самые разнообразные технические применения:  гальванопластика и гальваностегия; электрометаллургия; электрополировка металлов; получение тяжелой воды и другие.

2.15. Электропроводность газов. Основные виды газового разряда. Плазма.

В естественном состоянии газы не являются проводниками электрического тока. Для получения электрического тока в газе его необходимо ионизировать, то есть создать в нем носители заряда. При ионизации молекул газа образуются положительно и отрицательно заряженные ионы и свободные электроны. Следовательно, носителями тока в газах являются ионы и электроны. Процесс, обратный ионизации, называется рекомбинацией. При рекомбинации ионы и электроны вновь объединяются, образуя нейтральные молекулы. Постоянный электрический ток в газе возможен лишь тогда, когда процессы ионизации превалируют над процессами рекомбинации.

Протекание электрического тока в газе называют газовым разрядом. Различают несамостоятельный и самостоятельный газовые разряды. Для поддержания несамостоятельного газового разряда требуется внешний ионизатор. Внешними ионизаторами могут служить ультрафиолетовые и рентгеновские лучи, пучки быстрых заряженных частиц, ионизирующие излучения радиоактивных веществ (α- ,β-, γ- лучи); нагрев газа до высокой температуры (термическая ионизация).  Самостоятельный газовый разряд поддерживается за счет внутренних процессов ионизации, которые протекают в газе при приложении электрического поля.

В таблице 1 перечислены основные типы самостоятельного газового разряда и процессы, обусловливающие их.

Таблица 1. Типы самостоятельного газового разряда.

Тип разряда

Давление

Факторы, поддерживающие

разряд

Тлеющий

<1-2 мм. рт.ст.

Ионизация электронными ударами, вторичная эмиссия               электронов с катода.

Коронный

атмосферное

Ионизация электронными ударами при высокой напряженности электрического поля (> 3∙106 В/м).

Искровой

атмосферное

Ионизация электронными ударами при высокой напряженности электрического поля (> 3∙106 В/м), ионизация газа излучением искры.

Дуговой

атмосферное

Термоэлектронная эмиссия

К самостоятельному виду газового разряда следует отнести также такое явление, как шаровая молния. Следует сказать, что природа этого явления до сих пор не установлена. Существуют десятки моделей шаровой молнии, но ни одна из них не объясняет полностью всех особенностей этого необычного явления.

Для снятия ВАХ газового разряда применяют установку, упрощенная схема которой показана на рис.7.3. В трубке, заполненной исследуемым газом, имеется специальное окошко, через которое поступает ионизирующее излучение (обычно используют ультрафиолетовые или рентгеновские лучи). Газоразрядная трубка снабжена двумя электродами (катодом и анодом), включенными в измерительную цепь, содержащую источник напряжения, которое подается на трубку.

Рис.7.3. Установка для снятия вольтамперной характеристики газового разряда.

Типичная ВАХ газового разряда приведена на рис.7.4. Зависимость силы тока от напряжения  имеет сложный нелинейный вид, то есть она не подчиняется закону Ома.

Рис.7.4. Вольтамперная характеристика газового разряда.

Области несамостоятельного газового разряда соответствует область напряжений U<Uгаш; области самостоятельного газового разряда – область U>Uзажиг. Отметим, что всегда Uгаш<Uзажиг, что обусловлено присутствием остаточных носителей тока при снятии обратной ветви ВАХ. Насыщение тока наступает тогда, когда все носители тока достигают электродов при данной мощности внешнего ионизатора.

Особым состоянием вещества является плазма. Плазма – это практически полностью ионизированный газ, в котором плотности положительных и отрицательных зарядов одинаковы. Плазма, возникающая при газовом разряде называется низкотемпературной или газоразрядной. Плазма, возникающая вследствие высокой температуры разогрева вещества, называется высокотемпературной или изотермической. Также плазму характеризуют по степени ионизации (см. таблицу 2).

Таблица 2. Классификация плазмы.

По степени ионизации

По температуре

Слабо ионизованная (α~ долей %).

Частично ионизованная (α~ 1%).

Сильно ионизованная (α~ 100%).

Низкотемпературная (Тi < 105 К)

Высокотемпературная (Тi~ 106 -108 К)

Концентрация носителей тока в плазме очень велика, поэтому плазма обладает хорошей электропроводностью. А поскольку подвижность электронов примерно на три порядка величины больше, чем у ионов, электропроводность плазмы обусловлена в основном электронами.

2.16. Электрический ток в вакууме. Работа выхода электрона из металла. Явление термоэлектронной эмиссии.

Под вакуумом обычно понимают такое состояние разреженной среды (газа), когда можно пренебречь столкновениями между молекулами; в этом случае длина свободного пробега молекул газа сравнима с размерами сосуда.

Для получения электрического тока в вакууме необходимо создать в эвакуированном объеме направленный поток заряженных частиц. Для этого катод вакуумного устройства подвергают одному из видов воздействия, перечисленных в таблице 3, вследствие чего возникает эмиссия (испускание) свободных электронов. При приложении электрического поля между катодом и анодом электроны устремляются к положительно заряженному аноду – возникает электрический ток.

 Таблица 3. Основные виды эмиссии электронов.

Вид эмиссии

Условия возникновения

Ионно-электронная

Бомбардировка катода

положительными ионами.

Вторичная электронная

Бомбардировка анода

электронами.

Термоэлектронная

Нагрев катода.

Фотоэлектронная

Воздействие на катод

электромагнитным излучением.

Во многих вакуумных электронных устройствах и приборах  используют явление термоэлектронной эмиссии. Термоэлектронная эмиссия - это испускание электронов нагретыми телами (обычно металлами) в вакуум или другую среду.

Для того, чтобы покинуть поверхность твердого или жидкого тела электрону необходимо преодолеть потенциальный барьер, то есть совершить работу. Минимальная энергия, которую надо затратить, чтобы удалить электрон из твердого или жидкого вещества в вакуум (в состояние с равной нулю кинетической энергией), называется работой выхода электрона.  

Понять происхождение работы выхода электрона из металла можно, исходя из следующих соображений. Случайное удаление электрона из металла (вследствие тепловых флуктуаций энергии электрона) создает в том месте, которое покинул электрон, избыточный положительный заряд ионов кристаллической решетки (рис.7.5). Возникающие при этом силы «электростатического изображения» заставляют электрон (скорость которого не очень велика) вернуться  обратно в металл.  Таким образом, отдельные электроны все время покидают поверхность металла и возвращаются обратно в него. В результате поверхность металла оказывается окруженной тонким (~10-9м) облаком отрицательно заряженных электронов. Это облако совместно с положительными зарядами ионов приповерхностного слоя металла образует двойной электрический слой. Силы, действующие в таком слое на электрон, направлены внутрь металла, то есть препятствуют удалению электрона с поверхности металла.

Рис.7.5. Двойной электрический слой у поверхности металла.

Типичные значения работы выхода электрона из металла (таблица 4)   Авых ~ 2-5 эВ (1 эВ = 1,6∙10-19 Дж).

                                        Таблица 4. Работа выхода электрона.

Металл

Работа выхода, эВ

Cs

1,9

Na

2,3

Ag

4,7

W

4,5

W + Cs

1,6

Pt

5,3

Pt + Cs

1,4

Минимальными значениями Авых обладают щелочные металлы. Работа выхода очень чувствительна к состоянию поверхности металла. Так, например, нанесение на поверхность вольфрама тонкой пленки оксида цезия снижает работу выхода с 4,5 эВ до 1,6 эВ (см. таблицу 4). Работа выхода электрона из металла не зависит от температуры.

Рассмотрим работу вакуумного диода – двухэлектродной электронной лампы с подогревным катодом (рис.7.6).

Рис.7.6. Схема включения вакуумного диода для снятия ВАХ.

При отсутствии напряжения между анодом и катодом (U=0) через диод течет слабый ток I0  (рис.7.7). Его существование обусловлено тем, что часть электронов, покидающих катод вследствие термоэлектронной эмиссии, достигает анода за счет собственной кинетической энергии. Если на анод подать отрицательное напряжение, электроны будут испытывать торможение и терять свою кинетическую энергию. При некотором напряжении U = Uз<0 , называемом задерживающим потенциалом, когда самые быстрые электроны перестанут достигать анода – ток через диод прекратится.

Следовательно, по величине задерживающего потенциала можно оценить максимальную скорость , с которой электроны покидают катод при данной температуре его разогрева. Принимая во внимание, что вблизи анода скорость электронов , имеем на основании закона сохранения энергии:    , откуда находим:

.

При подаче на анод положительного напряжения электроны будут испытывать ускорение. В цепи диода появится ток, величина которого зависит от напряжения по закону Богуславского-Лэнгмюра (Богуславский С.А., 1883-1923; Langmuir I., 1881-1957) или, как говорят, «закону трех вторых»:

,

где  С – некоторая постоянная, зависящая от конструкционных особенностей диода.

Таким образом, ток, текущий через диод, не подчиняется закону Ома, то есть вакуумный диод является нелинейным элементом.  Это свойство диода используется во многих радио- и электротехнических устройствах, в частности, для детектирования (выделения) радиосигналов и выпрямления переменных напряжений.

Когда все электроны, покидающие катод, достигают анода, наступает насыщение тока (рис.7.7). Строгий квантовомеханический расчет показывает, что плотность тока насыщения  jнас  зависит от температуры катода  Т  согласно формуле:

,

где  В = 1,2∙106 А/(м∙К)2 - постоянная величина, одинаковая для всех металлов;  k = 1,38∙10-23 Дж/K – постоянная Больцмана.

Эта формула носит название формулы Ричардсона-Дэшмана (Richardson O., 1879-1959; Deshman J.,).

Имея экспериментальные зависимости  jнас(Т), можно довольно точно определить работу выхода электрона из металла. Для этого применяют метод прямых Ричардсона. Суть его состоит в следующем. Прологарифмировав формулу Ричардсона-Дэшмана, получим:

.

Отсюда видно, что если построить эту зависимость в «спрямляющих координатах» , то она будет иметь вид прямой линии с отрицательным наклоном (рис.7.8).

Рис.7.8. Прямая Ричардсона.

Работу выхода Авых определяют по тангенсу угла наклона экспериментальной зависимости  jнас(Т), построенной в этих координатах:

,  откуда .


Лекция 8

3. МАГНИТОСТАТИКА

Магнитостатика – раздел электродинамики, изучающий взаимодействие постоянных электрических токов и магнитные поля, создаваемые этими токами.

Постоянное магнитное поле.

3.1. Взаимодействие проводников с током. Закон Ампера.

Известно, что постоянный магнит оказывает действие на проводник с током (например, рамку с током); известно также обратное явление – проводник с током оказывает действие на постоянный магнит (например, на магнитную стрелку компаса) – рис.8.1.

Рис.8.1. Действие постоянного магнита на рамку с током и проводника с током на магнитную стрелку компаса.

Естественно поставить вопрос: а не может ли один проводник с током оказывать непосредственное действие на другой проводник с током? Положительный ответ на этот вопрос дал в 1820г. Ампер (Ampere A., 1775-1836), установивший силовой закон взаимодействия проводников с током.

Рис.8.2. Взаимодействие двух прямолинейных проводников с током.

Так, два прямолинейных параллельных проводника (рис.8.2) притягиваются, если токи в них текут в одном направлении и отталкиваются, если токи имеют противоположное направление.

Для того, чтобы сформулировать закон Ампера в современном виде, введем понятие элемента тока как вектора, равного произведению силы тока I на элемент длины проводника (рис.8.3). Элемент тока в магнитостатике играет ту же роль, что и точечный заряд в электростатике.

Рис.8.3. Элемент тока.

Своими опытами Ампер установил, что сила взаимодействия двух элементов тока:

1) ;

2) ;

3)  -  зависит от взаимной ориентации элементов тока.

Объединяя эти результаты, можем написать закон Ампера в виде:

Углы θ1 и θ2 характеризуют ориентацию элементов тока (рис.8.4); Коэффициент пропорциональности k зависит от выбора системы единиц измерения.

Рис.8.4. Взаимодействие двух элементов тока.

В системе СИ: , где  - магнитная постоянная.

Закон Ампера является аналогом закона Кулона в магнитостатике и выражает собой силу взаимодействия двух элементов тока. Однако в отличие от закона Кулона, он имеет более сложное написание, что обусловлено тем, что элемент тока (в отличие от точечного заряда) характеризуется не только величиной, но и направлением в пространстве. Заметим, что согласно закону Ампера  (см. рис.8.4). Это кажущееся противоречие с третьим законом Ньютона связано с тем, что в действительности мы имеем дело не с элементами токов, а с замкнутыми макроскопическими токами, для которых третий закон Ньютона выполняется.

В векторной форме закон Ампера записывается следующим образом:

.

3.2. Закон Био-Савара-Лапласа. Принцип суперпозиции магнитных полей.

Движущиеся электрические заряды (токи) изменяют свойства окружающего их пространства – создают в нем магнитное поле. Это поле проявляется в том, что на помещенные в нем проводники с током действуют силы. Силовой характеристикой магнитного поля является индукция поля , играющая роль аналога напряженности электрического поля , которая характеризует силовое действие электрического поля на заряды.

Как установили на опыте Био (Biot J., 1774-1862) и Савар (Savart F., 1791-1841) индукция магнитного поля, создаваемого проводниками с током различной конфигурации, во всех случаях пропорциональна силе тока в проводнике I и зависит от расстояния r до точки, в которой определяется поле. Анализируя результаты опытов Био и Савара, Лаплас (Laplace P., 1749-1827) пришел к выводу, что магнитное поле любого тока может быть вычислено как результат векторного сложения (суперпозиции) магнитных полей, создаваемых отдельными элементами тока. Это правило получило название принципа суперпозиции магнитных полей.

Для магнитной индукции поля, создаваемого элементом тока , Лаплас получил формулу, названную впоследствии законом Био-Савара-Лапласа:

,

где коэффициент k имеет то же значение, что и в законе Ампера (в СИ: ).

Направление вектора образует с векторами  и  правовинтовую систему (рис.8.5).

θ

                                                                               

Рис.8.5. Взаимная ориентация векторов ,  и в законе Био-Савара-Лапласа.

Наряду с индукцией , для характеристики магнитного поля вводят также понятие напряженности магнитного поля -  величины, определяемой в вакууме как:

.

Единицей измерения индукции поля  в СИ является Т (Тесла); напряженность магнитного поля  измеряется в А/м.

С помощью закона Био-Савара-Лапласа напряженность магнитного поля, создаваемого элементом тока  в точке , рассчитывается по формуле:

.

Или в скалярном виде:

,

где θ – угол между элементом длины тока  и радиус-вектором , проведенным в точку наблюдения (рис.8.5).

Возвращаясь к закону Ампера, мы можем сказать, сила взаимодействия между двумя элементами тока есть результат действия магнитного поля одного элемента тока на другой. Другими словами, можем написать:

,

где

- напряженность магнитного поля, созданного элементом первого тока в том месте, где находится элемент второго тока.

Следовательно, на любой элемент проводника с током, находящегося в магнитном поле с индукцией , действует сила:

.

Эта формула является аналогом соответствующей формулы в электростатике

,

определяющей силу, действующую на точечный заряд q, помещенный в электрическое поле напряженностью  .

Полная сила, действующая на проводник с током, находящийся в магнитном поле, определяется по формуле:

,

где интегрирование производится по всей длине проводника.

В частности, для прямолинейного отрезка проводника с током длиной l, расположенного под углом θ к силовым линиям однородного магнитного поля с индукцией В, имеем:

Эту формулу часто называют силой Ампера.

3.3. Примеры вычисления магнитных полей с помощью закона Био-Савара-Лапласа.

1) Напряженность магнитного поля в центре кругового витка с током.

В данном случае имеем, согласно закону Био-Савара-Лапласа (рис.8.6):

,

откуда находим после интегрирования по всей длине витка – окружности радиуса R:

 .                          

.

Рис.8.6. Магнитное поле в центре кругового витка с током.

 

2) Отрезок проводника с током конечной длины и бесконечно длинный проводник с током

В этом случае имеем (рис.8.7):

Рис.8.7. Магнитное поле прямолинейного проводника с током.

,

где

,     ,    ,

тогда

.

Интегрируя это выражение в пределах от  x1  до  x2 , находим:

где  .

Переходя в этой формуле к пределу при  и , получим формулу для расчета напряженности магнитного поля прямолинейного проводника с током бесконечной длины:

.

3) Магнитное поле движущегося заряда.

Любой проводник с током создает в окружающем пространстве магнитное поле. Но ток в проводнике – есть направленное движение зарядов. Следовательно, можно допустить, что источником магнитного поля являются движущиеся заряды. Тогда магнитное поле, созданное  проводником с током в некоторой точке пространства, будет представлять собой суперпозицию магнитных полей, созданных в этой же точке пространства каждым из движущихся зарядов в отдельности.

Пусть – скорость упорядоченного движения зарядов в проводнике; q – заряд носителя тока (в металлах q = - e). Для элемента тока можем написать:

dNq,

где n = dN/dV – концентрация зарядов,  dN – число зарядов в элементе объема dV = Sdl.

На основании закона Био-Савара-Лапласа, напряженность магнитного поля, созданного одним движущимся зарядом, будет:

или в векторном виде

.

Эта формула отражает релятивистскую (относительную) сущность магнитного поля. Она показывает, что магнитное поле проявляется как результат относительного движения заряда. Отметим,  что приведенная формула справедлива при скоростях движения заряда  (с=3∙108 м/с – скорость света в вакууме).


Лекция 9

Контур с током в магнитном поле.

3.4. Магнитный момент тока.

Мо многих случаях приходится иметь дело с замкнутыми токами, размеры  которых малы по сравнению с расстоянием от них до точки наблюдения. Такие токи будем называть элементарными. Пример подобных токов мы имеем во всех атомах – это движущиеся по замкнутым орбитам электроны. Эти токи, вследствие малости атомных размеров можно считать элементарными.

Рассмотрим плоский круговой виток с током радиуса R (рис.9.1).  Характеристиками  витка являются: сила тока I, текущего по витку, площадь S, обтекаемая током и ориентация витка в пространстве, определяемая направлением единичного вектора нормали  к плоскости витка. Совокупность всех этих трех характеристик образует магнитный момент витка с током, который по определению равен:

Рис.9.1. Круговой виток с током.

В теории магнетизма магнитный момент кругового витка с током играет такую же важную роль, как и электрический дипольный момент в теории электричества.

3.5. Магнитное поле на оси кругового витка с током.

Согласно закону Био-Савара-Лапласа, индукция магнитного поля, создаваемого элементом тока dl на расстоянии r от него есть

,

где α – угол между элементом тока и радиус-вектором , проведенным из этого элемента в точку наблюдения;  r - расстояние от элемента тока до точки наблюдения.

В нашем случае α = π/2, sinα = 1; , где а – расстояние, отсчитываемое от центра витка до рассматриваемой точки на оси витка. Векторы  образуют в этой точке конус с углом раствора при вершине 2 = π - 2β, где β – угол между отрезками а и r.

Из соображений симметрии ясно, что результирующее магнитное поле на оси витка будет направлено вдоль этой оси, то есть вклад в него дают только те составляющие, которые параллельны оси витка:

.

Результирующую величину индукции магнитного поля B на оси витка получим, проинтегрировав это выражение по длине контура от 0 до R:

или, подставив значение r:

.

В частности, при а = 0  находим индукцию магнитного поля в центре кругового  витка с током:

Этой формуле можно придать другой вид, воспользовавшись определением магнитного момента витка с током:

.

Последнюю формулу можно записать в векторном виде (см. рис.9.1):

.

3.6. Момент сил, действующих на контур с током в магнитном поле.

Поместим в однородное магнитное поле с индукцией  плоский прямоугольный контур (рамку) с током (рис.9.2).

Рис.9.2. Рамка с током в магнитном поле.

Согласно закону Ампера, на каждый элемент тока рамки действует сила

.

Результирующая всех этих сил, как нетрудно убедиться, создает пару сил  и  , стремящихся развернуть плоскость рамки перпендикулярно  силовым линиям магнитного поля. Если a – короткая сторона рамки, то величина действующей на нее силы будет      . Момент пары сил по величине равен:

,

где b – длинная сторона рамки ( - плечо силы F, α – угол между нормалью к плоскости рамки и силовой линией магнитного поля).

Следовательно, можем написать:

,

где S = ab – площадь рамки.

Учитывая, что магнитный момент рамки , последнюю формулу можно переписать в векторном виде:

    

3.7. Энергия контура с током в магнитном поле.

Контур с током, помещенный в магнитное поле, обладает запасом энергии. Действительно, чтобы повернуть контур с током на некоторый угол  в направлении, обратном направлению его поворота в магнитном поле, необходимо совершить работу против сил, действующих на этот контур со стороны  поля. По величине эта работа равна

.

Совершенная над контуром работа идет на увеличение его энергии. Поворачиваясь в первоначальное положение, контур возвратит затраченную на его поворот работу, совершив ее над какими-либо телами. Следовательно, запасенная контуром энергия есть:

.

(при выводе этой формулы мы приняли, что при  энергия контура W, определенная с точностью до произвольной постоянной, равна нулю).

Полученную формулу можно написать также в виде:

Устойчивое равновесие

Неустойчивое равновесие

Рис.9.3. Положения равновесия контура с током в магнитном поле.

Из приведенной формулы видно, что устойчивому положению равновесия контура с током в магнитном поле (рис.9.3) соответствует ориентация, при которой векторы  и  параллельны (α = 0); в этом случае энергия контура минимальна и равна . Неустойчивому положению равновесия соответствует ориентация, при которой векторы  и  антипараллельны (α = π); в этом случае энергия контура максимальна и равна .

3.8. Контур с током в неоднородном магнитном поле.

Если контур с током находится в неоднородном магнитном поле (рис.9.4), то на него, помимо вращающего момента , действует также сила , обусловленная наличием градиента магнитного поля. Проекция этой силы на направление касательной к силовой лини поля в данной точке определяется по формуле:

.

Рис.9.4. Контур с током в неоднородном магнитном поле.

Согласно написанной формуле, сила, действующая на контур в неоднородном магнитном поле, зависит от взаимной ориентации векторов  и . Если эти векторы параллельны, то сила положительна и контур будет втягиваться в область более сильного поля; если векторы  и антипараллельны, то сила отрицательна и контур будет выталкиваться из поля (рис.9.4)

3.9. Работа, совершаемая при перемещении контура с током в магнитном поле.

Рассмотрим отрезок проводника с током, способный свободно перемещаться по двум направляющим во внешнем магнитном поле (рис.9.5). Магнитное поле будем считать однородным и направленным под углом α по отношению к нормали к плоскости переме-щения  проводника.

Рис.9.5. Отрезок проводника с током в однородном магнитном поле.

Как видно из рис.9.5, вектор  имеет две составляющие  и , из которых только составляющая создает силу, действующую в плоскости перемещения проводника. По абсолютной величине эта сила равна:

,

где I – сила тока в проводнике; l – длина проводника; B – индукция магнитного поля.

Работа этой силы на элементарном пути перемещения ds есть:

.

Произведение lds равно площади dS, заметанной проводником при движении, а  величина BdScosα равна потоку магнитной индукции dФ через эту площадь. Следовательно, можем написать:

dA=IdФ.

Рассматривая отрезок проводника с током как часть замкнутого контура и интегрируя это соотношение, найдем работу при перемещении контура с током в магнитном поле:

A = I2 – Ф1)   

где Ф1 и Ф2 обозначают поток индукции магнитного поля через площадь контура соответственно в начальном и конечном положениях.


Лекция 10

Основные уравнения магнитостатики в вакууме.

3.10. Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса в магнитостатике. Вихревой характер магнитного поля.

Потоком вектора через какую-либо поверхность S называется интеграл:

,

где - проекция вектора на нормаль к поверхности S в данной точке (рис.10.1).

Рис.10.1. К определению потока вектора магнитной индукции.

Прежде чем сформулировать теорему Гаусса в магнитостатике, вспомним, что в электростатике аналогичная теорема формулировалась как:

,

где интеграл берется по замкнутой поверхности S, окружающей электрические заряды (qs – алгебраическая сумма зарядов, заключенных под этой поверхностью); - вектор электрической индукции ( в вакууме).

Казалось бы, что в полной аналогии с электростатикой мы могли бы написать:

,

подразумевая под  алгебраическую сумму неких «магнитных зарядов», охваченных замкнутой поверхностью S, и являющихся источниками магнитных полей с результирующей индукцией  (в вакууме).

Но, как оказалось, в природе нет магнитных зарядов, подобных электрическим, а источниками магнитных полей являются движущиеся заряды, то есть электрические токи. Следует, однако, заметить, что законы классической электродинамики допускают существование частиц с одним магнитным полюсом – магнитных монополей. В квантовой механике магнитный монополь – это стабильная частица, несущая положительный или отрицательный магнитный заряд, величина которого значительно превосходит величину элементарного электрического заряда. Впервые гипотезу о существовании магнитного монополя высказал в 1931г. один из основателей квантовой механики Поль Дирак (Dirac P., 1902-1984), поэтому эту частицу называют также монополем Дирака. Тщательные поиски монополя Дирака не увенчались успехом, поэтому вопрос о их существовании остается пока открытым.

Полагая, таким образом, что, приходим к следующей формулировке теоремы Гаусса в магнитостатике:

.

Равенство нулю потока магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность означает, что силовые линии магнитного поля нигде не обрываются и, следовательно, являются замкнутыми (рис.10.2).

Рис.10.2. К формулировке теоремы Гаусса в магнитостатике.

Поля, силовые линии которых замкнуты, называются вихревыми или соленоидальными.

3.11. Теорема о циркуляции магнитного поля. Магнитное напряжение.

Циркуляцией магнитного поля   вдоль замкнутого контура l называется интеграл:

,

где  - проекция вектора на направление касательной к линии контура в данной точке.

Соответствующий интеграл для электрического поля  в электростатике, как мы знаем, равен нулю, что отражает свойство потенциальности электростатического поля:

.

Магнитное поле не является потенциальным, оно, как было показано выше, является соленоидальным. Поэтому следует ожидать, что циркуляция магнитного поля вдоль замкнутого контура в общем случае отлична от нуля. Чтобы найти ее величину, выполним сначала некоторые вспомогательные действия.

Как известно, интеграл, взятый между двумя любыми точками 1 и 2 в электрическом поле, есть электрическое напряжение между этими точками:

.

По аналогии мы можем ввести понятие «магнитного напряжения», определив его как:

.

Вычислим магнитное напряжение между двумя точками 1 и 2, взятыми на силовой линии магнитного поля прямолинейного проводника с током (рис.10.3).

Рис.10.3. К вычислению магнитного напряжения проводника с током.

Напряженность магнитного поля на расстоянии r от оси проводника определяется по формуле:

.

Тогда:

,

где  - длина дуги окружности, вдоль которой производится интегрирование.

При обходе по всей силовой линии (окружности) угол  и, следовательно:

.

Мы видим, что при обходе по замкнутому контуру, охватывающему проводник с током, циркуляция магнитного поля оказывается отличной от нуля и численно равной силе тока, текущего в проводнике; также она не зависит от  формы и размеров выбранного контура.

Если контур, охватывающий проводник, не является плоским, то при перемещении вдоль контура радиальный отрезок, соединяющий проводник с текущей точкой контура, будет не только поворачиваться вокруг проводника, но и перемещаться вдоль него. Однако суммарный угол поворота проекции этого отрезка на плоскость, перпендикулярную току, все равно будет равен 2π, то есть результат останется тем же.

В том случае, когда контур не охватывает проводник с током, радиальный отрезок при обходе контура будет поворачиваться сначала в одну сторону, а потом в другую. При этом суммарный угол поворота (с учетом знака направления обхода) будет равен нулю.

В общем случае, если контур охватывает несколько проводников с током (рис.10.4),

Рис.10.4. К формулировке теоремы о циркуляции магнитного поля.

то обобщением полученного результата будет написание выражения, составляющего содержание теоремы о циркуляции магнитного поля:

,

где в правой части стоит алгебраическая сумма всех токов, охваченных данным контуром, причем ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода контура правилом правого винта и отрицательным, если ток имеет противоположное направление.

3.12. Магнитное поле соленоида и тороида.

Применим полученные результаты для нахождения напряженности магнитного поля на оси прямого длинного соленоида и тороида.

1) Магнитное поле на оси прямого длинного соленоида.

Соленоид представляет собой катушку, намотанную на цилиндрический каркас. Если длина соленоида много больше его диаметра, то такой соленоид называют длинным (в отличие от короткой катушки с противоположным соотношением размеров). Магнитное поле максимально внутри соленоида и направлено вдоль его оси. Вблизи оси соленоида магнитное поле можно считать однородным.

Для нахождения напряженности магнитного поля на оси прямого длинного соленоида с помощью теоремы о циркуляции магнитного поля, выберем контур интегрирования, как показано на рис.10.5.

Рис.10.5. К расчету напряженности магнитного поля на оси соленоида.

На участке 1-2 направление магнитного поля совпадает с направлением обхода контура, а его напряженность постоянна в силу однородности поля. На участках 2-3 и 4-1 вне соленоида проекция магнитного поля на направление обхода равна нулю. Наконец, на участке 3-4, удаленном достаточно далеко от соленоида, можно считать, что магнитное поле отсутствует.

С учетом сказанного имеем:

,

где

,     ,       ,       .

Но согласно теореме о магнитном напряжении этот интеграл равен , где N – число витков соленоида, сцепленных с контуром интегрирования. Следовательно

,

откуда находим:                                    ,

где через   обозначено число витков на единицу длины соленоида.

2) Магнитное поле на оси тороида.

Тороид представляет собой катушку, намотанную на каркас, имеющий форму тора. Магнитное поле тороида целиком сосредоточено внутри него и является неоднородным. Максимальное значение напряженность магнитного поля имеет на оси тороида.

Рис.10.6. К расчету напряженности магнитного поля на оси тороида.

Для нахождения напряженности магнитного поля вблизи оси тороида применим теорему о циркуляции магнитного поля, выбрав контур интегрирования, как показано на рис.10.6.

Имеем:

.

С другой стороны, этот интеграл равен , откуда следует, что

.


+

l

V

_

Рис.6.2. К опыту Толмена-Стюарта с инерцией  электронов.

Рис.6.4. Зависимость сопротивления металлов от температуры.

          (Тк – температура перехода в сверхпроводящее состояние)

1-металл с примесями

2-чистый металл

Зависимость сопротивления металлов от температуры

в широком диапазоне температур вблизи Т= 300 К.

Тк – температура перехода в сверхпроводящее состояние

  1.  металл с примесями
  2.  чистый металл

Up

U

I

Upнапряжение разложения  электролита

Рис.7.7. Вольтамперная характеристика вакуумного диода.

Iнас

U

I

Uз

~U3/2

I0 

I

 

R

I

ds

 

1) Система называется электрически изолированной, если через ограничивающую ее поверхность невозможен перенос зарядов, т.е. протекание электрического тока.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55824. Правописание гласных в приставках ЗА- НА- НАД- 44 KB
  Цель: научить детей правильно писать приставки с гласной буквой А. Обучить детей правильно писать приставки. Закрепить умения детей находить приставки в словах. Давайте выделим приставки поставим ударение и подчеркнём букву безударного гласного в приставках.
55825. Правописание О-Е после шипящих и Ц в окончаниях существительных 64 KB
  Цель урока: обучающая: познакомить учащихся с орфограммой и её графическим обозначением на письме; формировать умение распознавать условия выбора орфограммы: часть речи часть слова ударение...
55826. Глаголы - исключения 48 KB
  Цель: познакомить учащихся с глаголами-исключениями, продолжить работу по определению спряжения глаголов и правописанию личных окончаний глаголов...
55827. Имя существительное 57.5 KB
  Цель: Обучить детей различать имя существительное от остальных частей речи и правильно писать окончания с помощью склонений и падежей. Обучить детей правильно писать окончания с помощью склонений и падежей.
55828. Правописание О-Е после шипящих и Ц в окончаниях существительных 54.5 KB
  По вертикали: 4душем 5свечой 6больницей Время на выполнение упражнения 5 минут. На выполнение задания не более 5 минут. Письменное выполнение упражнения в тетрадях. На выполнение задания 8 минут.
55829. Синтаксис и пунктуация 53 KB
  Цель: Обучить детей правильно разбирать предложения и ставить знаки препинания. Закрепить умения детей разбирать предложения по частям речи. Разберём по членам предложения и частям речи.
55830. Русский язык и культура речи 57.5 KB
  Язык – это совокупность средств речевого взаимодействия людей. Язык является орудием мышления. Русский язык (в мире 500 млн. человек знают русский язык) Язык это форма существование национальной культуры, проявление духа нации.