47851

Высшая математика

Конспект

Математика и математический анализ

Султанаев Высшая математика Курс лекций для студентов всех специальностей очной и заочной форм обучения...

Русский

2013-12-03

4.3 MB

5 чел.

PAGE  57


EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

                           Государственное образовательное учреждение

              Высшего профессионального образования Тюменской области

                      ТЮМЕНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ

                 МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА

                       Кафедра математики, информатики и естественных наук

                                                          Р.М. Султанаев

                                   Высшая математика

                                                            Курс лекций

                                         для студентов всех специальностей

                                           очной и заочной форм обучения

                                                       (  ЧАСТЬ  2 )

                                                      Тюмень, 2009     

Лекция 1

Функции нескольких переменных

Функции одной переменной не охватывают все зависимости существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции нескольких переменных. В качестве примера функций нескольких переменных будем рассматривать функцию двух переменных, т.к. основные особенности таких многоаргументных зависимостей вполне проявляются и в этом случае.

Функция двух переменных

Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (х;у),и  соответственно f, которое каждой паре чисел (х;у) сопоставляет только одно число Z, f =Z  называется функция двух непременных определенной на множество D и записывается в виде Z= f(х;у). При этом х и у называются независимыми переменными (аргументами),а Z зависимой переменной (функцией)., множество D – называется областью определения функции. Примером такой функции может служить площадь прямоугольника, треугольника и т.д.

Функция двух переменных, как и функции одной переменной может быть задана разными способами (табличный, графический и аналитический). Мы, как правило, будем пользоваться аналитическим способом, когда функция задается с помощью формулы.

  1.  Предел функции

Это понятие вводится аналогично случаю одной переменной. Для этого надо ввести понятие окрестности точки, (δ-окрестность точки М000)). Это будут все внутренние точки круга с центром М0 и радиусом δ. Итак, пусть f(х; у) =.Z определена в некоторой окрестности точки М000), кроме, может быть, этой самой точки. Число А называется пределом Z= f(х; у) при х→х0 и у→у0, если для любого >0 существует δ>0, такое, что для всех х≠х0 и у≠у0 удовлетворяющих неравенству <δ выполняется неравенство │f(x,y)-A│<. Записывают :  или    

     

  1.  Непрерывность функции двух переменных

Z= f(х; у) называется непрерывной в точке М000), если она:

а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности.

б) имеет предел

в) этот предел равен значению функции в точке М0, т.е.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается, называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва могут образовывать целую линию разрыва. Так, функция  имеет линию разрыва у=х.

  1.  Производные и дифференциалы функции нескольких переменных

а) частные производные первого порядка.

Пусть задана функция Z= f(х; у). Т.к. х и у – независимые переменные, то одна из них может меняться, а вторая сохранять свое значение. Дадим х приращение ∆х, сохраняя у=const. Тогда ∆хZ=f(x+∆x,y)-f(x,y). Аналогично получим ∆у Z=f(х,у+∆у)- f(x,y). Полное приращение функции ∆Z=f(x+∆x,у+∆y)-f(x,y). Если существует предел , то он называется частной производной функции Z= f(х;у) в точке М(х;у) по переменной х  и обозначается Zx, ; . Аналогично определяется и частная производная по у Z′=.  Все частные производные находятся по формулам и правилам, полученным раннее для функций одной переменной и при условии, что или х или у – считаются const.

  1.  Частные производные высших порядков

Если Z= f(х;у) имеет частные производные  и  и они являются функциями от (х,у), то их можно продифференцировать и получить частные производные второго порядка  Zxx;  Zxy;  Zyx и  Zyy; аналогичным образом можно ввести и определить частные производные 3, 4 и т.д. порядков. Частные производные, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Это Zxy и Zyx.

Теорема. Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой, т.е.  Zxy=Zyx.

  1.  Дифференцируемость и полный дифференциал функции

Пусть Z= f(х;у) определена в некоторой окрестности точки М(х;у) полное приращение ∆Z=f(x+∆x,у+∆у)-f(x,y). Z= f(х;у) называется дифференцируемой в М(х;у), если ее полное приращение можно представить в виде: ∆Z=А∆х+В∆у+α∆х+β∆у, где α= α(∆х,∆у)→0 и β= β(∆х,∆у)→0 при ∆х→0, ∆у→0. Сумма двух первых слагаемых представляет собой главную часть приращения функции. Главная часть приращения функции, линейная относительно ∆х и ∆у, называется полным дифференциалом функции и обозначается символом dZ=Ax+By. Выражения Ax и By называются частными дифференциалами. Для независимых переменных х и у полагают ∆x=dx, ∆y=dy. Поэтому dZ=Adx+Bdy.

Теорема 1. (необходимое условие дифференцирования функции). Если Z= f(х;у) дифференцируема в точке М(х;у), то она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные  и , причем =А; =В.

Таким образом, можно записать dZ= dx+dy или dZ=dх Z+ dуZ.

Теорема 2.  Если Z= f(х; у) имеет непрерывные частные производные Z′х и Z′у в точке  М (х;у), то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой записанной выше.

Чтобы функция Z= f(х; у) была дифференцируема в точке, необходимо чтобы она имела в ней частные производные и достаточно чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.

Арифметические свойства правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и в случае дифференциалов функции двух и более переменных.

  1.  Дифференциалы высших порядков

Полный дифференциал называется дифференциалом первого порядка. Пусть Z= f(х;у) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дифференциал второго порядка в этом случае определяется по формуле .  Найдем ее d2 Z= d(dx+dy)= (dx+dy)х′ dx+(dx+dy)у′ dу=(dx+dy) dx+(dx+dy)dу, отсюда d2 Z= dx2+2 dx dy+ dy2. Символически это можно записать так: d2 Z=()2Z. Аналогично можно получить формулу

d3 Z= d (d2 Z)==()3Z, а для dn Z=()nZ. Все эти соотношения справедливы лишь в случае, если переменные х и у функции Z= f(х;у) являются независимыми.

  1.  Производная сложной функции. Полная производная

Пусть Z= f(х;у) – функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t х=х(t),у=у(t). В этом случае Z= f(х(t);у(t)) является сложной функцией одной независимой переменной t, а переменные х и у – являются промежуточными переменными.

Теорема. Если Z= f(х;у) дифференцируема в точке М(х,у) и х=х(t),у=у(t) – дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции Z(t )= f(х(t);у(t)) вычисляется по формуле .

Доказательство. Дадим независимой t приращение ∆t. Тогда х=х(t) и у=у(t) получат приращения ∆х и ∆у соответственно. Они в свою очередь вызовут приращение ∆Z функции Z. Так как Z= f(х;у) по условию дифференцируемав М(х,у), то ее полное приращение равно ∆Z=, где α→0 β →0 при ∆х→0 и ∆у→0. Разделим ∆Z на ∆t и перейдем к пределу ∆t→0, тогда ∆х→0 и ∆у→0 в силу непрерывности функций х=х(t); у=у(t) получаем: , т.е.. Ч.т.д.

8.Инвариантность формы полного дифференциала

Используя правила дифференцирования сложной функции, можно показать, что полный дифференциал обладает свойством инвариантности, т.е. сохраняет один и тот же вид, независимо от того являются ли аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных.

Пусть Z= f(х;у), где x, y – независимые переменные, тогда полный дифференциал (1ого порядка) имеет вид dZ=

Рассмотрим сложную функцию Z= f(х; у), где x=x(u,), y=y(u,), т.е. функция

Z= f(x(u,), y(u,))=F(u,), где u,- независимые переменные. Тогда имеем:

dZ===()du+()d=

Выражения в скобках представляют собой полные дифференциалы dx и dy функции x=x(u,) и y=y(u,). Следовательно, dZ=

  1.  Дифференцирование неявной функции

Функция Z= f(х; у) называется неявной, если она задается уравнением F(x,y,z)=0 неразрешенным относительно Z. Найдем частные производные  функции Z заданной неявно. Для этого подставив в уравнение вместо Z функцию f(х;у) получим тождество F(x,y, f(х,у))=0. Частные производные по x и y функции, тождественно равной нулю, также равны нулю.

 F(x, y, f (х, у)) ==0 (y считаем постоянным)

 F(x, y, f (х, у)) ==0 (x считаем постоянным)

Откуда  и

Пример: Найти частные производные функции Z заданной уравнением .

Здесь F(x,y,z)= ; ; ; . По формулам приведенным выше имеем:

и

  1.  Производная по направлению

Пусть функция двух переменных Z= f(x; у) задана в некоторой окрестности т. М (x, y). Рассмотрим некоторое направление, определяемое единичным вектором , где  (см. рис.).

На прямой, проходящей по этому направлению через т. М возьмем т. М1 () так, что длина  отрезка MM1 равна . Приращение функции f(M) определяется соотношением , где  связаны соотношениями . Предел отношения  при  будет называться производной функции  в точке  по направлению  и обозначаться .

=

Если функция Z дифференцируема в точке , то ее приращение в этой точке с учетом соотношений для  может быть записано в следующей форме.

поделив обе части на

и переходя к пределу при   получим формулу для производной функции Z= f(х; у) по направлению:

  1.  Градиент

Рассмотрим функцию трех переменных  дифференцируемой в некоторой точке .

Градиентом этой функции  в точке М называется вектор, координаты которого равны соответственно частным производным  в этой точке. Для обозначения градиента используют символ .=.

.Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке.

Поскольку единичный вектор  имеет координаты (), то производная по направлению для случая функции трех переменных записывается в виде , т.е.  имеет формулу скалярного произведения векторов  и . Перепишем последнюю формулу в следующем виде:

, где  - угол между вектором  и . Поскольку , то отсюда следует, что производная функции по направлению принимает max значение при =0, т.е. когда направление векторов  и  совпадают. При этом .Т.е., на самом деле градиент функции характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в точке.

  1.  Экстремум функции двух переменных

Понятия max, min, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной переменной. Пусть функция Z= f(x; у) определена в некоторой области D и т. М принадлежит к этой области. Точка М называется точкой max функции Z= f(x; у), если существует такая δ-окрестность точки , что для каждой точки из этой окрестности выполняется неравенство . Аналогичным образом определяется и точка min, только знак неравенства при этом изменится . Значение функции в точке max (min) называется максимумом (минимумом). Максимум и минимум функции называются экстремумами.

  1.  Необходимые и достаточные условия экстремума

Теорема: (Необходимые условия экстремума). Если в точке М дифференцируемая функция Z= f(x; у) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: ,.

Доказательство: зафиксировав одну из переменных x или y, ревратим Z= f(x; у) в функцию одной переменной, для экстремума которой вышеописанные условия должны выполняться. Геометрически равенства  и  означают, что в точке экстремума функции Z= f(x; у), касательная плоскость к поверхности, изображающую функцию f(x,y)=Z параллельна плоскости OXY, т.к. уравнение касательной плоскости есть Z=Z0. Точка, в которой частные производные первого порядка функции Z= f(x; у) равны нулю, т.е. ,, называются стационарной точкой функции. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например Z=|-| имеет max в точке O(0,0), но не имеет в этой точке производных.

Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Например, при Z=xy точка O(0,0) является критической. Однако экстремума в ней функция Z=xy не имеет. (Т.к. в I и III четвертях Z>0, а в II и IVZ<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Теорема: (Достаточное условие экстремумов). Пусть в стационарной точке  и некоторой окрестности функция f(x; у) имеет непрерывные частные производные до 2ого порядка включительно. Вычислим в точке  значения , и . Обозначим


Тогда:

  1.  если , то f(x; у) в точке  имеет экстремум max, если А<0 и min, если А>0.
  2.  если , то f(x; у) в точке экстремума не имеет.

В случае если , экстремум в точке  может быть, а может и не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Лекции №№2,3

II. Неопределенный интеграл

  1.  Понятие неопределенного интеграла

В дифференцируемом исчислении мы решали задачу как по данной функции f(x) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию F(x), зная ее производную  (или дифференциал). Искомую функцию F(x) называют первообразной функции f(x).

F(x) – называется первообразной функции f(x) на интервале (a, b), если для любого  выполняется равенство  (или.

Например, первообразной функции  является функция , так как .

Очевидно, что первообразными будут также любые функции , где С – постоянная, поскольку .

Теорема 1. Если F(x) является первообразной функции f(x) на , то множество всех первообразных для f(x) задается формулой , где С – постоянное число.

Док-во. Функция  - первообразная  f(x). Действительно, . Пусть  некоторая другая отличная от  первообразная функции , т.е. =. Тогда для любого  имеем , а это означает, что , где С - . Следовательно, .

Множество всех первообразных функций  для  называется неопределенным интегралом от функции  и обозначается символом . Таким образом =.

Здесь  - называется подынтегральной функцией,  - подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, - знаком неопределенного интеграла. Операция нахождения неопределенного интеграла – интегрированием этой функции.

2. Свойства неопределенного интеграла

а) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции , .

Действительно,  и .

Благодаря этому свойству правильность интегрирования проверяется дифференцированием.

б) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной .

Действительно, .

в) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Действительно, , где .

г) Неопределенный интеграл от алгебраического конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций.

Пусть  и , тогда , где

.

д) инвариантность формулы интегрирования. Если , то и , где - произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

Доказательство. Пусть  – независимая переменная,  - непрерывная функция и  - ее первообразная, тогда . Положим теперь, что , где - непрерывно-дифференцируемая функция. Рассмотрим сложную функцию . В силу инвариантности первого дифференциала имеем: . Отсюда .

Таким образом, формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную.

3. Таблица основных неопределенных интегралов

Пользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, можно получить таблицу основных интегралов путем обращения соответствующих формул дифференциального исчисления (таблица дифференциалов) и использования свойств неопределенного интеграла. Например:

т.к.  , то .

Ниже приводимый список интегралов называется табличным. Необходимо отметить, что в приводимой ниже таблице переменная интегрирования может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной.

Таблица основных интегралов.

  1.    
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  
  12.  
  13.  
  14.  
  15.  
  16.  
  17.  
  18.  

В справедливости приведенных выше формул можно убедиться, взяв дифференциал правой части, который будет равен подынтегральному выражению в левой части формулы.

4. Основные методы интегрирования

1) метод непосредственного интегрирования.

Этот метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам и называется методом непосредственного интегрирования.

Примеры:

1. .

2. .

3. .

2) метод интегрирования подстановкой (замена переменной).

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (т.е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно сделать подстановку приобретается практикой и зачастую делается по интуиции.

Пусть требуется вычислить . Сделаем подстановку , где - функция, имеющая непрерывную производную. Тогда  и на основании инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получим формулу интегрирования подстановкой ′(t)dt. Эта формула называется формулой замены  переменных в неопределенном интеграле. После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной t  интегрирования назад к старой переменной x. Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде  тогда , где . Другими словами, первую формулу можно применить справа налево

Примеры: 1). Получим , тогда  и

2) . Пусть  и . Подставляя, получим 3) . Пусть , тогда ,  3) Метод интегрирования по частям.

Пусть  и – функции, имеющие непрерывные производные, тогда . Интегрируя это равенство, получим или .Полученное соотношение получило название формулы интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисления интеграла  к вычислению интеграла , который может оказаться существенно более простым, чем исходный. Интегрирование по частям состоит в том, что подинтегральное выражение заданного интеграла представляется каким либо образом в виде произведения двух сомножителей u и dv, затем после нахождения v и du используется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу приходится использовать несколько раз. Укажем некоторые виды интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.

а) интегралы вида , , , где Р- многочлен, k – число. Удобно положить , а за dv обозначить все остальное.

б) интегралы вида , , , , , надо положить , а u – все остальное.

в) интегралы вида , , где a и b – числа. За u можно принять функцию .

Примеры: 1) . Пусть ; ; ; (полагая, что с=0). Применяя формулу интегрирования по частям получим

2) . Пусть ;  получим при

3) . ; , следовательно . Для вычисления последнего интеграла снова применили метод интегрирования по частям

Значит . Окончательно

5. Интегрирование рациональных функций.

1) Многочлен. Понятие о рациональных функциях

Функция вида  -, как говорилось ранее, называется многочленом (или целой рациональной функцией). Всякий многочлен должен иметь по крайней мере один корень, действительный или мнимый(корнем многочлена называется такое значение х0 переменной х, при котором многочлен ). Очевидно, что всякий многочлен можно представить в виде , где х1, х2, … хn – корни многочлена,  – коэффициент при хn. Множители (х-х1) в записанном соотношении называются линейными множителями.

Пример: Разложить многочлен  на множители. Корни этого многочлена х1=-1, х2=1, х3=2, следовательно .

Можно доказать, что многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами, т.е. многочлен  можно предоставить в виде:

……

при этом …, все квадратные трехчлены не имеют вещественных корней.

Пример: .

2) Дробно-рациональная функция

Дробно-рациональной функцией называется функция равная отношению двух многочленов, т.е. , где - многочлен степени m, а  - многочлен степени n. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. m<n. В противном случае, если m>n, то дробь называется неправильной. Всякую неправильную рациональную дробь  - путем деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы многочлена  и правильной рациональной дроби , т.е. =+.

Например:

=;

Результат получен при делении столбиком  на , где 15 – остаток деления.

Всякую правильную рациональную дробь можно представить (и причем единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

, где  - некоторые действительные коэффициенты.

Примеры:

1. ;

2. .

Для нахождения неопределенных коэффициентов  используют метод сравнения коэффициентов. Суть метода следующая. Правую часть разложения дроби  приводим к общему знаменателю. В результате получим тождество =, где S(x) – многочлен с неопределенными коэффициентами. Т.к. знаменатели равны, то тождественны и числители, т.е. P(x)=S(x).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему уравнения, решая которую и определим коэффициенты .

Пример:

- представить дробь в виде суммы простейших дробей. Согласно сказанному раннее, получим , т.е.

;

отсюда , т.е. .

Получим: ;

Решая найдем, что, ,В=3,.

Следовательно, .

3) интегрирование простейших рациональных дробей

Найдем интегралы от простейших рациональных дробей:

а)  (1)

б)  (2)

в) вычисление интеграла вида

.

, тогда  и . Сделаем подстановку, положим, . Следовательно, после подстановки получим:

и возвращаясь к x, получим

г) Вычисление интеграла вида , где ,, данный интеграл подстановкой  сводится к сумме двух интегралов   Первый интеграл легко вычисляется: . Вычислим второй интеграл:

К последнему применим интегрирование по частям. Положим u=t, , ;  тогда  Ik-1. Подставляя это значение в выражения для Ik, найдем: . Полученное соотношение дает возможность найти Ik для любого натурального числа х>1.

д) интегрирование рациональных дробей

Рассмотренный выше материал позволяет сформулировать основные правила интегрирования рациональных дробей.

  1.  если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.
  2.  Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей.
  3.  Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

Пример:

(проделав операции пунктов 1) и 2), получим)

=.

Последний интеграл берем методом подстановки x+1=t, тогда x=t-1 и dx=dt. Таким образом,   . Следовательно,

.

6. Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим несколько вариантов нахождения интегралов от тригонометрических функций. Для простоты обозначим  - функцию с переменными , над которыми выполняются рациональные действия (сложение, вычитание, умножение и деление).

  1.  вычисление интегралов типа  сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой , которая называется универсальной. Действительно, ; ; . Поэтому =, где R1(t) – рациональная функция от t. Обычно этот способ довольно громоздок, но всегда приводит к определенному результату. На практике применяют и другие более простые подстановки в зависимости от свойств подынтегральной функции.

а) если функция  нечетна относительно sinx, т.е. =, то можно применить подстановку cosx=t.

б) если  нечетна относительно cosx, т.е. =, то применяют подстановку sinx=t.

в) если функция четная относительно Sinx и Cosx  =, то можно использовать подстановку tgx=t. Такая же подстановка используется, если интеграл имеет вид .

г) интеграл типа .

Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы:

  1.  подстановка sinx=t, если n – целое положительное нечетное число.
  2.  подстановка cosx=t, если m - целое положительное нечетное число.
  3.  формулы понижения порядка ,,

, если m,n – целые неотрицательные числа.

  1.  Подстановка tgx=t, если m+n – четное отрицательное целое число.

Пример:  ;

7. Интегрирование иррациональных функций

Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции.

а) интегралы типа   называются неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей. Их находят следующим образом: под радикалом выделяют полный квадрат:

и делают подстановку.

. При этом первые два интеграла приводятся к табличным, а третий – к сумме двух табличных интегралов.

Пример: . Т.к. , то

. Сделав подстановку , тогда

.

б) Интегралы типа , где Pn(x) – многочлен степени n можно вычислить пользуясь формулой  (1)

где Qn-1(x) – многочлен степени (n-1) с неопределенными коэффициентами, - также неопределенный коэффициент. Все неопределенные коэффициенты находятся из тождества получаемого дифференцированием обоих частей равенства. (1)

после чего необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной х.

в) Дробно-линейная подстановка

Интегралы типа , где a, b, c, d – действительные числа,  - натуральные числа, сводящиеся к интегралам от рациональной путем подстановки k – наименьшее общее кратное знаменателей дробей  Действительно из подстановки , следует, что  и

, т.е. x и dx выражаются через рациональные функции от t. При этом и каждая степень дроби  выражается через рациональную функцию от t.

г) Интегралы типа .

Здесь подынтегральная функция – рациональная функция относительно   и , выделив под радикалом полный квадрат и сделав подстановку , и интегралы данного типа приводятся к интегралам уже рассмотренного типа, т.е. к интегралам типа ;;. Эти интегралы вычисляются с помощью соответствующих тригонометрических подстановок  для интегралов первого типа,  - второго,  - третьего.

Следует отметить, что операции интегрирования функции значительно сложнее операции дифференцирования функций на практике при вычислении интегралов используют различные справочники, содержащие таблицы наиболее часто встречающихся интегралов.

Однако зачастую интеграл выражается через элементарные функции, в этом случае говорят, что интеграл не теряется (или его нельзя найти).

Так, например, нельзя взять интеграл , так как не существует элементарной функции, производная от которой была бы равна .

Лекция 4

III. Определенный интеграл

  1.  Определение определенного интеграла

Пусть в нашем распоряжении есть функция , определенная на отрезке .

  1.  Разобьем отрезок на n произвольных частей точками .
  2.  В каждом из отрезков  выберем произвольную точку  и вычислим значение функции в ней, т.е.величину
  3.  Умножим найденное значение функции  на длину соответствующего отрезка  и получим величину .
  4.  Составим сумму Sn всех таких произведений .Сумма подобного вида называется интегральной суммой функции   на отрезке .
  5.  Обозначим через  длину наибольшего частичного отрезка .
  6.  Найдем предел интегральной суммы при условии  так, что .

Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел равный I, который не зависит от способа разбиения отрезка  на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом функции  на отрезке  и обозначается . Таким образом, . Числа a и b называются нижними и верхними пределами интегрирования,  - подынтегральной функцией, dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования,  - областью интегрирования функции , для которой на отрезке  существует определенный интеграл , называется интегрируемой на этом участке.

Теор. Коши. Если функция  непрерывна на отрезке , то определенный интеграл  существует.

Непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако, неопределенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва.

  1.  

Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть на отрезке  задана непрерывная функция . Нарисуем график этой функции. Фигура ограниченная сверху графиком функции , снизу осью ox, сбоку линиями x=a и x=b называется криволинейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции. Для этого отрезок  разделим точками  на n частей и т.д. повторяя то, что мы делали выше, получим  - будет равна площади ступенчатой фигуры и приближено площади криволинейной трапеции

С уменьшением величины  точность приближения S криволинейной трапеции к S прямоугольной. Точность записанного выше соотношения возрастает. Поэтому за точное значение площади криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn, когда так, что при .

, то есть .

Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. В этом и состоит геометрический смысл определенного интеграла.

3) Работа переменной силы

Пусть материальная точка перемещается под действием силы F, направленной вдоль оси OX и имеющей переменную величину . Найдем работу по перемещению точки М на . . Для определения приближенного значения работы на всем участке , нам надо произвести суммирование на всем отрезке.

.

Точность этого равенства возрастает с уменьшением  и увеличением n. Поэтому за точное значение работы принимается предел этой суммы

.

  1.  Формулы Ньютона-Лейбница

Пусть  - функция, интегрируемая на .

Теорема: Если  - непрерывна на отрезке  и  ее первообразная на отрезке  (=), то имеет место соотношение .

Доказательство:

Для этого отрезок  разделим точками  на n отрезков. Введем средние точки для каждого из отрезков . Рассмотрим соотношение .

Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранже .

Получим: ,

т.е. . Т.к.  непрерывна на , то она интегрируема на , поэтому перейдя к пределу при . Получим:

.

Формула Ньютона-Лейбница позволяет получить удобный способ вычисления определенных интегралов. Чтобы вычислить определенный интеграл от неправильной функции на отрезке  надо найти ее первообразную функцию  и взять разность  значений этой первообразной на концах отрезка .

Пример:

.

  1.  Основные свойства определенного интеграла

Если коротко говорить, то основные свойства в этом случае, в основном, совпадают с основными свойствами неопределенного интеграла. Перечислим их:

1.

2. . Интеграл суммы равен сумме интегралов.

3. .

4. если a<c<b, то . Это свойство называют аддитивностью определенного интеграла.

5. Теорема о среднем. Если  непрерывна на отрезке , то существует такая точка , что   .

Доказательство:

По формуле Ньютона-Лейбница имеем , где . Применяя к разности  теорему Лагранжа, получим , но , т.е.  ч.т.д.

Число  называют средним значением функции на отрезке .

6. Если функция сохраняет знак на отрезке , то интеграл  имеет тот же знак, что и функция. Так если  на , то .

7. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке  можно интегрировать. Так если  при , то . Отметим, что дифференцировать неравенства нельзя.

8. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции.  , a<b.

9. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, т.е. .

Доказательство:

По формуле Ньютона-Лейбница . Следовательно, . Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.

  1.  Вычисление определенного интеграла

1) Наиболее простым способом вычисления определенного интеграла является формула Ньютона-Лейбница. Применить этот способ можно во всех случаях, когда может быть найдена первообразная функции  для подынтегральной функции . При вычислении определенных интегралов широко используются методы замены переменной интегрирования по частям.

а) Интегрирование подстановкой

Пусть для вычисления интеграла   от непрерывной функции сделана подстановка . Причем , а  и , тогда .

Пример. Вычислить . Положим , тогда , если , то , если , то . Поэтому

.

б) Интегрирование по частям

Теорема: Если функция  и  имеют непрерывные производные на отрезке, то должно выполняться соотношение:

- формула интегрирования по частям.

Доказательство.

На отрезке  имеет место равенство. Следовательно, функция  - есть первообразная для непрерывной функции , тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:

отсюда

ч.т.д.

Пример.

Положим

Применяя метод интегрирования по частям, получим:

.

  1.  Несобственные интегралы

Определенный интеграл , где промежуток интегрирования конечный, а подынтегральная функция непрерывна на , называется собственным. Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т.е. интегралы от непрерывных функций, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

  1.  Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл 1ого порядка).

Пусть функция непрерывна на промежутке. Если существует конечный предел ,то его называют несобственным интегралом первого порядка и обозначают . Таким образом, =.

В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

Аналогичным образом определяется несобственный интеграл на промежутке . =. Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой:

+, где С – произвольное число. В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функция  на промежутке  и интеграл  сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

Пример: вычислить несобственный интеграл.

а)  интеграл сходится

б)  интеграл расходится, т.к.  не существует.

2) Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл 2ого рода)

Пусть функция непрерывна на  и имеет бесконечный разрыв при x=b. Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают . Таким образом, по определению

=. Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл  сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то интеграл  расходится. Аналогично, если функция терпит бесконечный разрыв в точке x=a, то =. Если функция терпит разрыв во внутренней точке отрезка , то несобственный интеграл второго рода определяется соотношением +. В этом случае интеграл слева называется сходящимся, если  оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.

Пример: Вычислить , при х=0, функция  терпит бесконечный разрыв.

. Следовательно, интеграл расходится.

 

Лекция 5

7. Применение определенных интегралов для расчета геометрических и физических величин различного рода

Рассмотрим каким образом можно найти значение какой-либо физической или геометрической величины А, связанной с изменением какого-либо независимого параметра х, меняющегося в пределах от до b. Считаем, что величина А – аддитивная, т.е. при разбиении  на части, суммарное значение всех частей равно полной величине А, т.е. .

Для определения А можно пойти двумя путями. В первом случае разобьем промежутки изменения параметра х  на части, причем каждой части будет соответствовать свое значение . Каждое такое элементарное слагаемое  можно представить в виде произведения какой-то функции f на элементарный отрезок . То есть .

Тогда приближенное значение , а точное значение .

Указанный способ основан на представлении интеграла как о сумме бесконечного большого числа бесконечно малых величин. Второй путь несколько видоизменен на промежутке изменения х . Выбираем произвольное значение  и рассматриваем промежуток . На этом промежутке  становится функцией . . Затем находим величину приращения  при изменении  на малую величину , т.е. находим дифференциал  функции .

, где  - определяется условиями задачи, учитывая, что  при   находим : .

7.1. Вычисление площадей плоских фигур

Как уже говорилось выше площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси абсцисс , равна определенному интегралу  или . Формула получена путем применения первого способа – метода сумм. Покажем, что именно это  можно получить, используя приращение . При этом получит приращение , представляющее площадь элементарной криволинейной трапеции.  в этом случае есть главная часть приращения  при  и, очевидно он равен произведению , как площади прямоугольника с высотой и с основанием .

Интегрируя полученное соотношение в пределах от  до , получим . Если криволинейная трапеция расположена ниже оси , то ее площадь может быть найдена по формуле . Эти формулы можно объединить в одну . Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми  и  (рис.1) при условии  и прямыми ;  можно найти, используя соотношение: . Если плоская фигура имеет сложную форму, то прямыми, параллельными оси ее следует разбить на части так, чтобы можно было применить выше записанные соотношения (рис.2). Если криволинейная трапеция ограничена прямыми , , осью и кривой ,

то ее площадь находится по формуле

. И, наконец, если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически:  , прямыми ,  и осью , то площадь ее

находится по формуле: , где α и β определяются из равенств и .

7.2 Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть дана плоская кривая АВ, уравнение которой , где  (рис.3). Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена стремится к нулю. Покажем, что если функция  и ее производная  непрерывны на отрезке , то кривая АВ имеет длину, равную . Применим способ №1. Для чего разобьем отрезок  на n частей ,  каждой точке  соответствуют точки ,  на кривой АВ. Проведем хорды , … длины которых обозначим соответственно через ∆L1, L2…∆Ln. Получим ломаную линию M0M1Mn, длина которой равна . Длину хорды (или звена ломаной) найдем по теореме Пифагора из треугольника с катетами ∆xi и ∆yi  , где , . По теореме Лагранжа о конечном приращении функции . Поэтому , а длина ломаной линии M0M1Mn равна (1).

Длина l кривой АВ по определению равна . Заметим, что при  также и  ( и, следовательно, ). Функция  непрерывна на отрезке , так как по условию непрерывна функция . Следовательно, существует предел интегральной суммы, когда . Таким образом,  или (2).

Если уравнение кривой задано в параметрической форме  , где x(t)  и y(t) – непрерывные функции с непрерывными производными и , , то длина l  находится по формуле: . Это соотношение получается из (2) путем подстановки , , .

Пример: Найти длину окружности радиуса R.

Если уравнение окружности записать в параметрической форме  , то .

7.3 Вычисление объема тела

а) Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.

Пусть требуется найти объем тела V при известной площади S сечений этого тела относительно плоскости, перпендикулярной некоторой оси, например, ох; . Применим метод 2.

Через произвольную точку  проведем плоскость , перпендикулярную оси ох. Обозначим через площадь сечения тела этой плоскостью.   считаем известной и изменяющейся непрерывно при изменении . Через  обозначим объем части тела, лежащие левее плоскости . Будем считать, что на отрезке  величина  есть функция от , т.е. . Теперь найдем дифференциал функции . Он представляет собой слой тела, заключенного между параллельными плоскостями, пересекающими ось  в точках  и , который можно приближено принять за цилиндр с основанием  и высотой (рис.1). поэтому дифференциал объема . Тогда для нахождения полного объема это соотношение надо проинтегрировать в пределах от  до .

- полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.

Пример: Найти объем эллипсоида . Если эллипсоид рассечен плоскостью, параллельной плоскости  и на расстоянии  от нее  получим эллипс (см. рис. 2).

.

Площадь этого эллипса равна . Поэтому объем эллипсоида

б) Объем тела вращения

Пусть вокруг оси  вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией  отрезком  и прямыми  и . Полученная от вращения фигура, называется телом вращения. Сечение этого тела - плоскостью, перпендикулярной оси , проведенной через произвольную точку, есть круг радиуса . Следовательно, . Поскольку  - выражение для объема тела вращения вокруг оси . Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции  и прямыми  при условии , то для объема тела, образованного вращением этой трапеции относительно оси , по аналогии с полученным выше можно записать:

в) Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры

Пусть дана материальная плоская фигура (пластина), ограниченная кривой  и прямыми  (рис. 2). Будем считать, что плотность пластины  есть величина . Тогда масса всей пластины , т.е.  Выделим элементарный участок пластины в виде бесконечно малой узкой вертикальной полосы и будем считать его прямоугольником. Его масса равна . Центр тяжести прямоугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Это точка  стоит от оси  на расстоянии , а от оси  на расстоянии . Тогда для элементарных статистических моментов относительно осей  и  получим следующие соотношения:  и . Отсюда ; . Если обозначим координаты центра тяжести плоской фигуры  то получим, что ;, т.е.  или  и .

8. Приближенное вычисление определенного интеграла

Пусть требуется найти определенный интеграл  от непрерывной функции . Если можно найти первообразную  функции , то интеграл находится по формуле Ньютона-Лейбница:

. Но поиск первообразной функции иногда весьма сложен, кроме того не для всякой функции первообразная выражается через элементарные функции. В этих и других случаях прибегают к приближенным формулам, с помощью которых интеграл находится с любой степенью сложности.

8.1. Формулы прямоугольников

Пусть на отрезке  задана непрерывная функция . Требуется вычислить интеграл  численно равный площади соответствующей трапеции. Разобьем основание этой трапеции, т.е. отрезок  на  равных частей длины  с помощью точек . Можно записать, что . В середине каждого отрезка . Построим ординату  графика функции . Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью . Тогда сумма площадей всех прямоугольников даст площадь фигуры, представляющую собой приближенное значение искомого определенного интеграла:. Эта формула и называется формулой прямоугольников. Абсолютная погрешность оценивается с помощью следующего соотношения , где - максимальное значение  на отрезке .

8.2. Формула трапеций

Эту формулу получают аналогично формуле прямоугольников. Только на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной.

Разобьем отрезок  на  равных частей с длиной . Абсциссы точек деления . Пусть  соответствующие им ординаты графика функции, тогда расчетные формулы для этих значений примут вид: ,. Заменим кривую  ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат  и . Тогда площадь криволинейной трапеции с основанием , и высотой :

или  - это формула трапеций. Абсолютная погрешность  приближения, полученного по формуле трапеций, оценивается с помощью формулы:

,  где  - максимальное значение  .

8.3. Формула парабол (Симпсона)

Если заменить график функции  на каждом отрезке  не отрезками прямых, как в случае формулы трапеции, а дугами парабол, то получим более точную формулу вычисления интеграла .

Выводить мы ее не будем, а ограничимся записью конечного выражения:

- это так называемая формула Симпсона.

Абсолютная погрешность оценивается соотношением , где  - максимальное значение .

Лекция 6,7

4. Кратные интегралы

4.1. Двойной интеграл. Основные понятия

Обобщением определенного интеграла на случай функции двух переменных является так называемый двойной интеграл.

Пусть в замкнутой области  плоскости  задана непрерывная функция . Разобьем область  на n элементарных областей  (рис.1), площади которых обозначим через , а диаметры (наибольшие расстояния между точками области) – через . В каждой области  выберем произвольную точку , умножим значение функции в этой точке на  и составим сумму всех таких произведений: . Эта сумма называется интегральной суммой  в области . Рассмотрим предел интегральной суммы, когда n стремится к бесконечности таким образом, что . Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области  на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции  по области  и обозначается  или . Таким образом двойной интеграл определяется равенством . В этом случае функция  называется интегрируемой в области ,  - область интегрирования; х, у – переменные интегрирования, dxdy (или dS) элемент площади.

Для всякой ли функции существует двойной интеграл? Ответ дает следующая теорема:

Теорема. (Достаточное условие интегрируемости функции) Если функция  непрерывна в замкнутой области , то она в этой области интегрируема.

Далее мы будем рассматривать только непрерывные функции, хотя двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций.

4.2. Геометрический смысл двойного интеграла

Рассмотрим задачу по определению объема цилиндрического тела. Пусть это тело ограничено сверху поверхностью ≥0. Снизу замкнутой областью  плоскости  с боков цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси OZ, а направляющей служит граница области (рис.1). Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его объем V. Для этого разобьем область  (проекция поверхности  на плоскости ) произвольным образом на  областей , площади которых равны . Рассмотрим цилиндрические столбцы с основаниями , ограниченные сверху кусками поверхности . На рис.1 один из них выделен. В своей совокупности они составляют тело . Обозначив объем столбика через , получим: .

Возьмем на каждой площади  произвольную точку  и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием  и высотой . Объем этого цилиндра приближено равен объему  цилиндрического столбика, т.е. . Тогда получим . Это равенство тем точнее, чем больше число  и чем меньше размеры элементарных областей . Естественно принять предел этой суммы при условии, что , а  за объем  цилиндрического тела, т.е.  или записать эту сумму .

Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом и состоит геометрический смысл двойного интеграла.

4.3. Основные свойства двойного интеграла

Свойства двойных интегралов аналогичны свойствам интеграла от функции одной переменной. Поэтому мы просто ограничимся перечислением этих свойств.

1) , с-const

2)

3) Если область  разбить линией на две области D1 и D2 такие, что , а пересечение D1 и D2 состоит лишь из линии их разделяющей (рис.1), то .

4) Если в области  имеет место неравенство ≥0 то и . Если в области  функция  и  удовлетворяют неравенству ≥, то и .

5) , так как .

6) Если функция  непрерывна в замкнутой области , площадь которой S, то в этой области существует такая точка , что . Величину  называют средним значением функции  в области .

4.4.Вычисление двойного интеграла

Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов. Пусть требуется вычислить двойной интеграл , где  непрерывна в . Тогда, как это было показано выше, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью . Найдем этот объем используя метод параллельных сечений. Ранее мы показали, что , где  - площадь сечения плоскостью, перпендикулярной

оси ох, а ,  - уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело. Положим сначала, что область  представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми  и  и кривыми  и , причем функции  и  непрерывны и таковы, что ≤ для всех х. Такая область называется правильной

в направлении оси оу. Любая прямая, параллельная оси оу, пересекает границу области не более, чем в двух точках. Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси ох. . В сечении получим криволинейную трапецию АВС, ограниченную линиями , где , Z=0,  и  (рис.2). Площадь S(x) этой трапеции находим с помощью определенного интеграла. Теперь согласно методу параллельных сечений искомый объем цилиндрического тела может быть найден так: . С другой стороны, выше мы показали, что объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции ≥0 по области . Следовательно . Это равенство обычно записывают в виде : . Полученная формула представляет собой способ вычисления двойного интеграла. Правую часть называют двукратным или повторным интегралом функции  по области . При этом  называют внутренним интегралом. Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, затем берем внешний. Т.е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от а до b.

Если же область  ограничена прямыми ,  , кривыми ,  () для всех у. Т.е. область  правильна в направлении оси ох, то рассекая тело плоскостью  получим . Здесь при вычислении внутреннего интеграла, считаем .

Пример. Вычислить , где  ограничена линиями , , . ;

4.5. Приложения двойного интеграла

Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.

  1.  Объем тела

Как уже говорилось, объем цилиндрического тела можно найти по формуле , где - уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

  1.  Площадь плоской фигуры

Если положить в формуле для объема тела через двойной интеграл =1, то цилиндрическое тело превратить в прямой цилиндр с высотой Н=1. Объем такого цилиндра численно равен, как известно, площади S основания . При этом получится формула для вычисления площади S области  .

  1.  Масса плоской фигуры

Пусть дана плоская пластина  с переменной плотностью γ, которую можно записать  как функцию .

Разобьем пластину на элементарные части , площади которых обозначим через . В каждой области  возьмем произвольную точку . Если область  достаточно мала, то плотность в каждой точке этой области  мало отличаются друг от друга. Считая эту плотность в  величиной постоянной мы можем найти массу : , а так как масса всей пластины , то можно записать . Точное значение m получим, как предел этой суммы при  и  , т.е. .

  1.  Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры

Статические моменты могут быть вычислены с использованием раннее полученных соотношений по следующим формулам:  и , а координаты центра масс фигуры по формулам:  и .

4.6. Тройной интеграл. Основные понятия

Обобщением определенного интеграла на случай функции трех переменных является так называемый тройной интеграл. Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла, поэтому изложим ее в сокращенном виде.

Пусть в замкнутой области V пространства oxyz задана непрерывная функция . Разбив область V сеткой поверхностей на n частей  и выбрав в каждой их них произвольную точку  составим интегральную сумму  для функции  по области V (∆Vi – объем элементарной области Vi). Если предел интегральной суммы существует при неограниченном увеличении числа n таким образом, что каждая Vi стягивается в точку, то его называют тройным интегралом от функции по области V и обозначают  (или ). Таким образом, по определению получаем . Здесь  - элемент объема  - диаметр i-области.

Теорема. Если функция  непрерывна в ограниченной замкнутой области V, то предел интегральной суммы при  b   существует и не зависит ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек  в них.

Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной:

1) , где .

2) .

3) , если , а пересечение V1  и V2 состоит из границы, их разделяющей.

4) , если в V . Если же в V , то и .

5) , так как в случае  любая интегральная сумма имеет вид  и численно равна объему тела.

6) Оценка тройного интеграла

, где m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значение функции  в области V.

7) Теорема о среднем значении

Если функция  непрерывна в замкнутой области V, то в этой области существует такая точка , что , где V – объем тела.

4.7. Вычисление тройного интеграла.

Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов. Пусть областью интегрирования является тело, ограниченное снизу поверхностью , сверху поверхностью , причем  и  (≤) – непрерывные функции в замкнутой области , являющейся проекцией тела на плоскость оху (рис.1). Будем считать область V правильной в направлении оси oz. Любая прямая, параллельная оси oz, пересекает границу области не более, чем в двух точках. Тогда для любой непрерывной в области V функции  имеет место соотношение , сводящее вычисление тройного интеграла к вычислению двойного интеграла от однократного (доказательство этого соотношения мы упускаем). При этом сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной Z при постоянных х и у в пределах изменения Z. Нижней границей интеграла  является аппликата точки АК – точки входа прямой, параллельной оси oz, в область V, т.е. , верхней границей аппликата точки В – точки выхода прямой из области V, т.е. . Результат вычисления этого интеграла есть функция двух переменных х и у. Если область  ограничена  линиями ,  (a<b),  и , где  и  - непрерывные на отрезке  функции, причем ≤ (рис.2), то, переходя от тройного интеграла к повторному получаем формулу: . С помощью этого соотношения и производятся вычисления тройных интегралов.

Пример. Вычислить , где V ограничивается плоскостями , ,  и  (рис.1). Область V является правильной в направлении оси oz (как в направлении ох и оу). Ее проекция на плоскость оху является правильной в направлении оу и ох. Поэтому, применяя выше полученное соотношению имеем .

4.8. Приложения тройного интеграла

1) Объем тела

Объем тела V выражается формулой .

2) Масса тела

Масса тела при заданной плотности  вычисляется с помощью интеграла (тройного) .

3)Статические моменты

Моменты , ,  тела относительно координатных плоскостей oxy, oxz, oyz вычисляются по формулам ,  и .

  1.  Центр тяжести

Координаты центра тяжести тела , , .

 

Лекция 8

V. Числовые ряды

5.1. Основные понятия

Числовым рядом называются выражения вида (1), где действительные или комплексные числа, которые называются членами ряда,  общий член ряда. Этот ряд считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера . Сумма первых  членов ряда называется - частичной суммой ряда и обозначается , т.е. .

Рассмотрим частичные суммы , , . Если существует конечный предел  последовательности частичных сумм ряда (1), то этот предел называется суммой ряда и говорят, что ряд сходится. Записывают так . Если  не существует или , то ряд называется расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Рассмотрим несколько свойств рядов.

Свойство 1. Если ряд (1) сходится и его сумма равна , то ряд (2), где  - произвольное  число также сходится и его сумма равна . Если же ряд (1) расходится, то и ряд (2) расходится.

Свойство 2. если сходится ряд (1) и сходится ряд , а их суммы равны  и  соответственно, то сходятся и ряды , причем сумма каждого равна соответственно .

Заметим, что сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимися, так и расходящимися рядами. И из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть ряд расходящийся.

Свойство 3. если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно.

Из этого свойства также следует, что если ряд (1) сходится, то его остаток  стремится к нулю при , т.е. .

5.2. Необходимый признак сходимости числового ряда

Нахождение -й частичной суммы  и ее предела для произвольного ряда во многих случаях является задачей весьма непростой. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают специальные признаки сходимости. Первым из них является необходимый признак сходимости.

Теорема.  Если ряд (1) сходится, то его общий член  стремится к нулю, т.е. , тогда и  учитывая, что  при . Получаем . Чтд.

Следствие (достаточное условие расходимости ряда). Если  или этот предел не существует или ряд расходится.

Пример: исследовать сходимость ряда . , т.е. ряд расходится. Теорема даст необходимое условие сходимости ряда, не достаточное из условия  не следует, что ряд сходится. Это означает, что существуют расходящиеся ряды для некоторых . В качестве примера можно рассмотреть так называемый гармонический ряд.

Очевидно, что , но ряд расходится. (Доказывать не будем).

5.3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов

Рассмотрим некоторые из достаточных признаков сходимости знакоположительных рядов, т.е. рядов с .

Признаки сравнения рядов. Сходимость или расходимость ряда часто устанавливается путем сравнения его с другим (эталонным) рядом, о котором известно сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы.

Теорема 1.  пусть даны два знакоположительных ряда  и . Если для всех  выполняется неравенство , то из сходимости ряда  следует сходимость ряда , а из расходимости ряда  следует расходимость ряда .

Доказательство:

Из неравенства  следует (1). Пусть ряд  сходится и его сумма равна , тогда . Члены этого ряда положительны, поэтому  и, следовательно, с учетом неравенства (1) .таким образом последовательность  монотонно возрастает  и ограничена сверху числом . По признаку существования предела последовательности  имеет предел , т.е. этот ряд сходится. Если ряд  расходится, то, так как члены ряда неотрицательны, то в этом случае . Тогда с учетом соотношения (1) получим, что , т.е. и ряд  расходится.

Теорема.2. (предельный признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных ряда  и .если существует конечный, отмеченный от 0 предел , то ряды  и сходятся и расходятся одновременно. (Без доказательств).

5.4. Признак Даламбера

В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и записи известных сходящихся и расходящихся рядов признак Даламбера позволяет решить вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самим рядом.

Теорема. Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел , тогда ряд сходится при и расходится при.

Доказательство:

Так как , то по определению предела для любого найдется натуральное число  такое, что при  выполняется неравенство или (2).

Пусть. Можно подобрать так, что число . Обозначим . Тогда из правой части неравенства (2) получаем  или . В силу свойств всех 3 числовых рядов можно считать, что  для всех . Давая номеру  эти значения получим целый набор неравенств:

………..

Т.е. члены ряда  меньше соответствующих членов ряда , который сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем . Но тогда на основании признака сходимости сходится и ряд . Следовательно, сходится и исходный ряд .

Пусть . В этом случае . Отсюда следует, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство  или , т.е. члены ряда с увеличением номера  возрастают, поэтому . На основании следствия из необходимого признака этот ряд расходится.

  1.  Если , то ряд  может быть как сходящимся, так и расходящимся.
  2.  Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражения вида .

Пример.

Исследовать на сходимость ряд. Находим . Так как , то данный ряд по признаку Даламбера сходится.

5.5. Радикальный признак Коши

Иногда удобно пользоваться радикальным признаком Коши для исследования сходимости знакоположительного ряда. Этот признак во многом схож с признаком Даламбера.

Теорема. Пусть дан ряд  с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел . Тогда ряд сходится при   и расходится при .

При  вопрос о сходимости остается открытым. (Без доказательства).

Пример. Исследовать на сходимость ряд . Так как , то применим признак Коши к ряду . Вычисляем , т.е. этот ряд сходится, значит, сходится и исходный ряд согласно свойству 1 числовых рядов.

5.6. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд

Теорема. Если члены знакоположительного ряда  могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывно монотонно убывающей на промежутке  функции  так, что то

  1.  

если сходится, то сходится и ряд .

  1.  если  расходится, то расходится также и ряд .

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции , основанием которой служит отрезок оси  от  до  (рис.1). Построим входящие и выходящие прямоугольники, основаниями которых служат отрезки . Учитывая геометрический смысл определенного интеграла можно записать  или  или  (1).

Случай 1. несобственный интеграл  сходится, т.е. . Поскольку <, то с учетом неравенства (1) имеем , т.е. .Так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху (числом ), то по признаку существования предела, имеет предел. Следовательно, ряд  сходится.

Случай 2.  Несобственный интеграл  расходится, тогда  и интеграл  неограниченно возрастает при . Учитывая, что  (см. 1) получаем, что  при . Следовательно, ряд  расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд . Воспользуемся интегральным признаком Коши. Функция  удовлетворяет условиям теоремы. Поэтому находим . Значит, ряд с общим членом расходится. Ряд , где  – действительное число называется обобщенным гармоническим рядом. Для исследования этого ряда на сходимость применим интегральный признак Коши. Рассмотрим функцию . Эта функция непрерывна, монотонно убывает на промежутке  и . При имеем: . При  имеем гармонический ряд , который расходится (второй способ ). Итак, гармонический ряд сходится при , расходится при .

Рассмотренные признаки сходимости знакоположительных рядов позволяют судить о сходимости практически любого положительного ряда.

5.7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

Признак Лейбница

Рассмотрим важный класс рядов, называемых знакочередующимися. Такими рядами называется ряд вида: , где  для всех . Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (Признак Лейбница).

Теорема Лейбница. Знакочередующийся ряд сходится, если:

  1.  последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е.
  2.  общий член ряда стремится к нулю. При этом сумма ряда удовлетворяет неравенствам .

Доказательство:

Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа  членов ряда. Имеем . Выражения в каждой скобке согласно первому условию теоремы положительно. Следовательно, сумма и возрастает с возрастанием номера .

С другой стороны , можно переписать так: . Легко увидеть, что  . Таким образом, последовательность возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она имеет предел , причем .

Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа  членов ряда. Очевидно, что . Отсюда следует, что . Т.к. в силу второго условия теоремы. Итак,  как при четном , так и при нечетном . Следовательно, наш ряд сходится, причем .

Замечания.

  1.  Исследование знакочередующихся рядов вида  (с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на (-1) к исследованию ряда с + первым членом.
  2.  Соотношение  позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму  данного ряда его частичной суммой . Отброшенный ряд представляет собой также знакочередующийся ряд, сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е. поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.

Пример.

Вычислить сумму ряда . Данный ряд лейбницевского вида. Он сходится. Можно записать . Взяв 5 членов, т.е. заменив на  сделаем ошибку, меньшую чем . Итак, .

Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов

Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Числовой ряд , содержащий бесконечное множество положительных и бесконечных множеств отрицательных членов, называется знакопеременным. Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.

Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд . Если сходится ряд , составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.

Доказательство:

Рассмотри вспомогательный ряд, составленный из членов рядов  и .

.

Очевидно, что для всех , но ряд  сходится в силу условий теоремы и свойства 1 числовых рядов. Следовательно, на основании признака сравнения сходится и ряд . Поскольку данный знакопеременный ряд представляет собой разность двух сходящихся рядов , то на основании свойства 2 числовых рядов ряд сходится.

Отметим, что обратное утверждение несправедливо: если сходится ряд , то это не означает, что сходится ряд .

Пример.

Исследовать сходимость ряда . Для этого ряда выполнены условия признака Лейбница. Следовательно, ряд сходится. Однако ряд, составленный из модулей членов этого ряда, т.е.  расходится (гармонический ряд).

5.8. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов

Знакопеременный ряд называют абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится. Знакопеременный ряд называют условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место: на такие ряды переносятся основные свойства конечных сумм (переместительность, сочетательность, распределительность).

Т.е. абсолютно сходящиеся ряды суммируются, вычитаются как обычные ряды. Суммы таких рядов не зависят от порядка записи членов. В случае условно сходящихся рядов, такие свойства, вообще говоря, не имеют места.

Лекция №9

Степенные ряды

1 Функциональные ряды

1.1 Основные понятия

Ряд, членами которого являются функции от , называется функциональным. . Придавая  определенное значение х0 мы получаем числовой ряд , который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Если полученный числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости ряда, если ряд расходится – точкой расходимости. Совокупность числовых значений аргумента , при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости. В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой суммой от : . Определяется она в области сходимости ряда равенством , где  - частичная сумма ряда. Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особая роль принадлежит рядам, членами которых являются степенные функции аргумента , т.е. так называемые степенные ряды.

Действительные или комплексные числа , , …, … называются коэффициентами ряда, а  - действительной переменной. Ряд расположен по степеням . Рассматривают такие степенные ряды, расположенные по степеням , т.е. ряд вида , где  - некоторое постоянное число. Этот ряд легко приводится к первому, если положить .

1.2. Сходимость степенных рядов

Область сходимости степенного ряда содержит, по крайней мере, одну точку: , в которой ряд сходится.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях , удовлетворяющих неравенству .

Доказательство. По условию ряд  сходится. Следовательно, по необходимому признаку сходимости . Отсюда следует, что величина  ограничена, т.е. найдется такое число , что для всех  выполняется неравенство , . Пусть , тогда величина  и следовательно, , , т.е. модуль каждого члена ряда не превосходит соответствующего члена сходящегося ряда  геометрической прогрессии. Поэтому по признаку сравнения при  степенной ряд абсолютно сходящийся.

Следствие. Если ряд (степенной) расходится при , то он расходится и при всех , удовлетворяющих неравенству .

1.3. Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Из теоремы Абеля следует, что если  есть точка сходимости степенного ряда, то интервал  весь состоит из точек сходимости данного ряда при всех значениях  вне этого интервала ряд расходится.

Интервал  называют интервалом сходимости степенного ряда. Положив , интервал сходимости можно записать в виде . Число  называется радиусом сходимости степенного ряда, т.е.  - это такое число, что при всех , для которых , ряд абсолютно сходится, а  при  ряд расходится. В частности, когда степенной ряд сходится лишь в одной точке , то считаем, что . Если же степенной ряд сходится при всех значениях , то .

Отметим, что на концах интервала сходимости (при  и =-R) сходимость ряда проверяется отдельно.

Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда можно поступить следующим образом. Составим ряд из модулей членов данного степенного ряда  и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует предел , . По признаку Даламбера ряд сходится, если , т.е. ряд сходится при тех значениях , для которых . Ряд, составленный из модулей членов степенного ряда, расходятся при тех значениях , для которых . Таким образом, для степенного ряда радиус абсолютной сходимости  (1).

Аналогично, воспользовавшись радикальными признаками, можно установить, что  (2).

Дополнение:

Если , то можно убедиться, что ряд степенной абсолютно сходится на всей числовой оси. В этом случае . Если , то .

Интервал сходимости степенного ряда по степеням  находят их неравенства  и имеет вид .

Если степенной ряд содержит не все степени , т.е. задан неполный степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят без определения радиуса сходимости в соответствии с формулами (1) и (2), а непосредственно применяя признак Даламбера (или Коши) для ряда, составленного из модулей членов данного ряда.

Пример 1. Найти область сходимости ряда . Воспользуемся формулой (1) , следовательно данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.

Пример 2. Найти область сходимости ряда . Данный ряд неполный. Воспользуемся признаком Даламбера. Для данного ряда имеем , . . Ряд абсолютно сходится, если  или . Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. При  имеем ряд , который сходится по признаку Лейбница. При  имеем ряд , это тоже сходящийся лейбницевский ряд. Следовательно, областью сходимости исходного ряда является отрезок .

1.4. Свойства степенных рядов

1) Сумма  степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости .

2) Степенные ряды  и , имеющие радиусы сходимости соответственно R1 и R2, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности этих рядов не меньше, чем меньшее из чисел R1 и R2,.

3) Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать, при этом для ряда  при  выполняется равенство  (1)

4) Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для степенного ряда при  выполняется равенство  (2). Ряды (1) и (2) имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд. Свойства степенных рядов широко используются в теоретических исследованиях и приближенных расчетах.

2. Некоторые приложения степенных рядов

2.1. Приближенное вычисление значений функций

Пусть требуется вычислить значение функции  при  с заданной точностью . Если функцию  в интервале  можно разложить в степенной ряд  и , то точное значение  равно сумме этого ряда при , т.е. , а приближенное – частичной сумме , т.е.  Точность этого равенства увеличивается с ростом , абсолютная погрешность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда, т.е. , где  Таким образом, ошибку  можно найти, оценив остаток  ряда.

Для рядов лейбницевского типа  . В остальных случаях ряд знакопеременный или знакоположительный составляют ряд из модулей членов ряда и для него стараются найти (подобрать) положительный ряд с большими членами (обычно это сходящийся ряд геометрической прогрессии), который легко бы суммировался и в качестве оценки   берут величину остатка этого нового ряда.

2.2. Приближенное вычисление определенных интегралов

Бесконечные ряды применяются для вычисления неопределенных и определенных интегралов в случае, когда первообразная не выражается в конечном виде через  элементарные функции, либо нахождение первообразной сложно.

Пусть требуется вычислить с точностью до . Если подынтегральную функцию можно разложить в ряд по степеням x и интервал сходимости  включает в себя отрезок , то для вычисления заданного интервала можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычисления определяют так же, как и при вычислении значений функции.

Пример. Вычислить интеграл  с точностью до

Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд Макларена, заменяя x на (–x2)  . Интегрируя обе части равенства на отрезке , лежащем внутри интервала сходимости , получим Получили ряд Лейбницевского типа. Так как , а , то с точностью до 0,001 имеем: .

Лекция №10

VII Ряды Фурье

7.1. Основные понятия

При изучении процессов, имеющих периодический характер,  т.е. процессов, которые через определенный промежуток времени повторяются, более целесообразно разлагать функции, описывающие эти процессы, не в степенной ряд, а в так называемый тригонометрический ряд.

Напомним, что функция , определенная на множестве D, называется периодической с периодом T>0, если при каждом  значение и выполняется равенство .

Для построения графика периодической функции периода T достаточно построить его на любом отрезке длины T и периодически продолжить его на всю область определения.

Отметим основные свойства периодической функции:

  1.  Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих один и тот же период T есть периодическая функция с периодом T.
  2.  Если функция  имеет период T, то функция  имеет период : действительно, .
  3.  Если функция  имеет период T и интегрируема на отрезке , то  при любых   и b.

Доказательство: пусть , тогда , с другой стороны , но . Подставляя полученный результат, получим  ч.т.д.

В частности, . Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции  и . Период этих функций равен 2π, т.е. . Простейшим периодическим процессом является простое гармоническое колебание, описываемое формулой

 (1)

, где А – амплитуда колебаний, ω – частота, φ0 – начальная фаза.

Функцию такого вида называют простой гармонической. Основным периодом этой функции является , т.е. одно полное колебание совершается за промежуток времени  (а ω показывает, сколько колебаний совершает точка в течении 2π единиц времени).

Проведем преобразование этой функции , где

,      (2)

. Отсюда видно, что простое периодическое колебание       описывается функциями и .

Сложное гармоническое колебание, возникающее в результате наложения конечного (или бесконечного) числа простых гармоник, также описывается функциями типа и . Так, функция  или, что равносильно, функция  задает сложное гармоническое колебание. Так как период первой гармонии есть , второй , третьей  и т.д., а период функции  (нулевая гармония) есть любое чисел, то функция  имеет период, равный 2π, т.е. .

Понятно, что при наложении простых гармоник получаем периодическую функцию, описывающую сложное периодическое колебание (периодический процесс). Возникает вопрос: всякую ли периодическую функцию, описывающую периодический процесс, можно представить в виде суммы простых гармоник вида (1) и (2). Если да, то как найти неизвестные параметры каждой из этих гармоник?  Ответим сначала на второй, а затем на первый вопрос.

7.2. Тригонометрический ряд Фурье

С помощью так называемого тригонометрического ряда любую (практически) периодическую функцию можно представить в виде ряда, членами которого являются простые гармоники. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида , где действительные числа a0an, bn (n=1,2…) называются коэффициентами ряда. Этот ряд можно записать в виде . Действительно, положив , , получим  ч.т.д., при этом  и . Свободный член ряда записан в виде  для единообразнополучающихся в дальнейшем формул.

Приведем соотношения, которые нам в дальнейшем пригодятся. Считая m и n целыми и положительными, найдем  (1),    

, при любом n. (2)

(3)

(4)

(5)

Формулы (1-5) показывают, что функции , , … ,  обладают свойством ортогональности – интеграл от произведения любых двух функций этого семейства на интервале, имеющий длину 2π, равен нулю. Кроме того, соотношения (1-5) справедливы и в случае, когда область интегрирования есть отрезок .

Пусть  - произвольная периодическая функция с периодом 2π. Предположим, что функция  разлагается в тригонометрический ряд, т.е.  является суммой ряда  (6)

Так как функция  и сумма ряда имеют период 2π, то ее можно рассматривать в любом промежутке длины 2π. В качестве основного промежутка возьмем отрезок , также удобно взять отрезок  и предположим, что наш ряд на этом отрезке можно почленно интегрировать. Вычислим коэффициенты и . Для этого проинтегрируем обе части ряда в пределах от –π до π. интегралы от всех, кроме нулевого, членов ряда равны 0 в силу формул (1) и (2). Отсюда . Умножив обе части нашего ряда (6) на  и проинтегрировав полученный ряд в пределах от –π до π., получим . В силу соотношений (1) (3) и (4) из этого соотношения при  получим , откуда ,  Аналогично, умножив соотношение (6) на и проинтегрировав почленно на отрезке , найдем ,  Числа , определяемые по приведенным выше формулам, называются коэффициентами Фурье функции , а тригонометрический ряд с такими коэффициентами рядом Фурье функции . Для интегрируемой на отрезке  функции  записывают ~ и говорят, что функции  соответствует ее ряд Фурье. Если ряд Фурье сходится, его сумму обозначают .

7.3 Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле

Выясним условия, при которых знак соответствия (~) можно заменить знаком равенства (=), т.е. условия, при которых ряд Фурье функции  сходится и имеет своей суммой как раз функцию .

Будем рассматривать функции , имеющие период . Такие функции называются 2π-периодическими. Сформулируем теорему, представляющую достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье.

Теорема Дирихле. Пусть 2π-периодическая функция на отрезке  удовлетворяет двум условиям:

1)  кусочно-непрерывна, т.е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1 рода.

2)  кусочно-монотонна, т.е. монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна. Тогда соответствующей функции  ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:

1. В точках непрерывности функции сумма ряда  совпадает с самой функцией .

2. В каждой точке  разрыва функции сумма ряда равна . Т.е. равна среднеарифметическому пределу функции  справа и слева.

3. В точках  и  (на концах отрезка) сумма ряда равна .

Таким образом, если функция  удовлетворяет условиям 1 и 2 теоремы Дирихле, то на отрезке  имеет место разложение , причем коэффициенты вычисляются по полученным ранее формулам для (). Это равенство может нарушиться только в точках разрыва функции  и на концах отрезка . В силу периодичности исходной функции и суммы ряда Фурье может быть получено указанное разложение во всей области определения функции. Условиям Дирихле удовлетворяют большинство функций, которые встречаются в различных научных задачах. Однако существуют функции, не удовлетворяющие условиям Дирихле, но при этом разложимые в ряд Фурье, т.е. теорема Дирихле дает лишь достаточное условие разложения функции в ряд, но не необходимое.

7.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Если разлагаемая на отрезке  функция  является четной или нечетной, то это отражается на формулах коэффициентов Фурье и на вид самого ряда. Если функция  четная, то ее ряд Фурье имеет вид   (1), где  и .

Если функция  нечетная, то ее ряд Фурье имеет вид  (2), где .

Доказательство. Как известно, если  интегрируема на симметричном отрезке , то . Если функция - четная, то  - четная функция , а  - нечетная функция .

Если же  - нечетная функция, то, очевидно, функция  - нечетная, а  - четная. С учетом записанного соотношения из формул, ранее записанных для  получаем формулы (1) и (2).

7.5. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода

Разлагать в ряд Фурье можно и периодические функции с периодом, отличным от 2π.

Пусть функция , определенная на отрезке  имеет период 2e , где e – произвольное положительное число) и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле. Сделав подстановку , данную функцию  преобразуем в функцию , которая определена на отрезке  и имеет период . Действительно, если , то , если , то  и при  имеем  , т.е. . Разложение функции  в ряд Фурье на отрезке  имеет вид , где  (),  ().

Возвращаясь к переменной  и заметив, что , , получим , где  () ,  ().

Полученный ряд с коэффициентами, вычисляемые по выше записанным формулам, называется рядом Фурье для функции  с периодом .

Все теоремы, имеющие место для рядов Фурье 2π-периодических функций, остаются в силе и для рядов Фурье функций, период которых . В частности, если  на отрезке  четная, то ее ряд Фурье имеет вид , где , ,  Если  - нечетная функция, то , где ,

Пример. Разложить функцию  на интервале  в ряд Фурье.

Данная функция нечетная, удовлетворяет условиям Дирихле. По полученным только что формулам при  получаем , где ,  Вычислим : ,  Таким образом, , для .

Лекция 11.

VIII. Дифференциальные уравнения (Д.У.)

8.1. Общие сведения на основании понятия о Д.У.

При решении различных задач в различных областях науки, в том числе в экономике, часто используют математические модели, при описании которых применяют уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Такие уравнения и называются дифференциальными. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Так решением уравнения является функция – первообразная для функции .

Если искомая неизвестная функция зависит от одной переменной, то Д.У. называют обыкновенным, в противном случае Д.У. в частых производных. Далее будем рассматривать только обыкновенные Д.У. наивысший порядок производной, входящей в Д.У. называется порядком этого уравнения (например  - обыкновенное уравнение четвертого порядка). Процесс нахождения решения Д.У. называется его интегрированием.

В качестве примера решения задач с использованием Д.У. можно, например, рассмотреть уравнение Циолковского. Обозначим скорость ракеты в некоторый момент времени  через  а массу - . пусть в этот момент времени включается двигатель, причем скорость выхлопных газов равна . Через время масса ракеты уменьшается и станет равной , а скорость увеличится и станет равной . Сравним импульс системы ракеты + выхлопные газы в моменты времени  и  . Первый равен , второй  – импульс выхлопных газов. Итоговое уравнение примет вид (согласно закону сохранения импульса) .

Пренебрегая бесконечно малой второго порядка , получим:

или  – это дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Решая его методом интегрирования получим , считая . Получим . Эта формула определяет изменение скорости ракеты в зависимости от изменения ее массы (формула Циолковского).

8.2. Дифференциальное уравнение первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно записать в виде:

(1)

Уравнение связывает независимую переменную х, искомую функцию у и ее производную у’, если это уравнение можно разрешить относительно у’, то его записывают в виде:

(2)

и называют Д.У. первого порядка, разрешенным относительно производной. Последнее уравнение устанавливает между координатами точки  и угловым коэффициентом у’ касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, Д.У.  даст совокупность направлений (поле направлений) на плоскости ОХУ. Таково геометрическое истолкование Д.У. первого порядка.

Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково называется изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближенного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно получить, если положить что , т.е. .

Д.У. первого порядка, разрешенное относительно производной, можно записать в дифференциальной форме:

где   и  –  известные функции. Последнее уравнение удобно тем, что переменные х и у в нем равноправны, т.е. любую из них можно рассматривать как функцию другой.

Интегрирование Д.У. в общем случае приводит к бесконечному множеству решений, отличающихся друг от друга на постоянные величины.

Чтобы решение Д.У. приобрело конкретный смысл, его надо подчинить некоторым дополнительным условиям. Условие, что при х=х0 функция у должна быть равна заданному числу у0 называется начальным условием. Начальное условие записывается в виде:

или

Общим решением Д.У. первого порядка называется функция , содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:

  1.  Функция является решением Д.У. при каждом фиксированном значении .
  2.  Каково ни было начальное условие, можно найти такое значение постоянной , что функция  удовлетворяет данному начальному условию.

Частым решением Д.У. первого порядка называется любая функция , полученная из общего решения  при конкретном значении постоянной .

Если общее решение Д.У. найдено в неявном виде, т.е. в виде уравнения , то такое  уравнение называется общим интегралом Д.У. Уравнение  в этом случае, называют частным интегралом уравнения.

С геометрической точки зрения  есть семейство интегральных кривых на плоскости ХОУ, а частное решение – одна кривая из этого семейства, проходящая через точку .

Задача нахождения решения Д.У. первого порядка, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.

Теорема 8.1. Существование и единственность решения задачи Коши.

Если в уравнении (2) функция   ее частная производная  непрерывны в некоторой области , содержащей точку , то существует единственное решение  этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что при выполнении ее условий существует единственная интегральная кривая Д.У., проходящая через точку .

1. Уравнения с разделяющимися переменными

Наиболее простым Д.У. первого порядка является уравнение вида:

(3)

В этом уравнении первое слагаемое зависит от х, а второе от у. Проинтегрировав почленно это уравнение, получим:

- это общий интеграл.

Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид:

(4)

Особенности этого уравнения заключаются в том, что коэффициенты при и представляют собой произведения двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая от у. уравнение (4) легко сводится к уравнению (3) путем почленного деления его на . При этом получим:

- общий интеграл.

1) При проведении почленного деления Д.У. на  могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение и установить те решения Д.У., которые не могут быть получены из общего решения, так называемые – особые решения.

2)  Уравнение   также сводится к уравнениям, разделяющимися переменными. Для этого достаточно положить и разделить переменные.

3) Уравнение , где – числа, путем замены  сводится к Д.У. с разделяющимися переменными. Дифференцируя по х, получим:

, т.е.

Откуда – интегрируя это уравнение и заменяя   на , получим общий интеграл исходного уравнения.

Примеры:

  1.  Найти общий интеграл уравнения . Интегрируя, получим  или . Обозначив , получим  – общий интеграл Д.У.
  2.  , преобразуем левую часть. . Делим на . Интегрируя, получим .   или . Поскольку  по условию решения, то решения является особыми решениями и не входят в общий интеграл.

2. Однородные дифференциальные уравнения

К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся однородные Д.У. первого порядка.

Функция  называется однородной функцией n-го порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель х вся функция умножается на хn, т.е.

.

Например, функция  есть однородная функция второго порядка, поскольку

.

Дифференциальное уравнение  называется однородным, если функция есть однородная функция нулевого порядка.

Покажем, что однородное Д.У. можно записать в виде:

(4)

Если – однородная функция нулевого порядка, то по определению . Положив  получим:

Однородное уравнение (4) преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной  или, что то же самое .

Действительно, подставив  и  в уравнение (4), получаем  или , т.е. уравнение с разделяющимися переменными. Найдя его общее решение следует заменить в нем  на . Получим общее решение исходного уравнения.

Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:

(5)

Это уравнение будет однородным, если  и – однородные функции одинакового порядка.

Переписав (5) в виде  и применив в правой части рассмотренное выше преобразование, получим уравнение . При интегрировании уравнений (5) нет необходимости предварительно приводить их к виду (4). Подстановка  сразу преобразует уравнение (5) в уравнение с разделяющимися переменными.

Пример:

Найти общий интеграл уравнения.

- это однородное уравнение. Положим , тогда  и получим

- это уравнение с разделяющимися переменными, поэтому  после интегрирования получим  или .

Если , то , переходя к старым неизвестным, получим  – решение этого уравнения.

3. Линейные уравнения

Д.У. первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде: , где – заданные функции и в частности постоянные.

Особенность этих Д.У. заключается в том, что искомая функция у и ее производная входят в уравнение первой степени не перемножаясь между собой.

Рассмотрим два метода решения этих уравнений. Методы Бернулли и Лагранжа.

  1.  Метод Бернулли

В этом случае решение линейного уравнения ищется в виде  произведения двух функций, т.е. с помощью подстановки, где  и – неизвестные функции от х, причем одна из них произвольная. Так любую у(х) можно записать в виде .

Тогда . Делая подстановку в линейном Д.У. получим  или  (6).

Подберем функцию  так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. решим Д.У. . Итак,   т.е.  или . Ввиду свободы выбора функции  можно принять с=1, тогда . Подставляя найденное значение в (6), получим . Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его. . И возвращаясь к переменным у получим . Это решение исходного линейного Д.У.

   2. Метод Лагранжа

Линейное уравнение решается следующим образом. Рассмотрим соответствующее уравнение без правой части, т.е. уравнение . Оно называется линейным однородным Д.У. первого порядка. В этом уравнении можно провести разделение переменных.  и .Таким образом, , т.е. или , где

Метод Лагранжа состоит в том, что постоянную с в полученном решении заменяем функцией с(х), т.е. полагаем с=с(х). решение линейного уравнения при этом ищем в виде:

(7)

Найдем производную от этого соотношения. Подставляем значения у и у’ в линейное уравнение.

Второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются и окончательно получим. Следовательно. Интегрируя, получим:  .

Подставляя выражение с(х) в (7) получим общее решение линейного Д.У. , что совпадает с результатом полученным методом Бернулли.

В заключении отметим, что зачастую метод Лагранжа называют методом вариации произвольной постоянной, что обусловлено тем, что при решении полагают с=с(х).

ЛЕКЦИЯ 12

8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков

ДУ порядка выше первого называются ДУ высших порядков. Так ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде следующего соотношения

или, если это уравнение можно разрешить относительно старшей производной

              (8)

В дальнейшем мы будем, в основном, рассматривать уравнения типа (8).Решением такого уравнения называется всякая функция   , которая при подстановке  в уравнение обращает его в тождество.

Общим решением такого  ДУ называется функция  

,

где   независящие  от  постоянные удовлетворяющие условиям:

1) является решением ДУ для каждого фиксированного значения  

2) каковым бы ни были начальные условия    ,    существуют единственные значения постоянных   и    такие, что функция   является решением уравнения  (8)  и удовлетворяет начальным условиям.

Всякое решение       уравнения (8) полученное из общего решения    при конкретных значениях  постоянных   называется частным решением.

Решения ДУ (8) записанные в виде называются общим и частным интегралом соответственно.

Как и в случае уравнения первого порядка, нахождение решения (8) удовлетворяющего заданным начальным условиям называется задачей Коши.

Теорема 2.   Если в уравнении (8) функция   и ее частные производные  и    непрерывны в некоторой области  Д  изменения переменных    и  ,

то для всякой точки существует единственное решение уравнения (8)  удовлетворяющее начальным условиям.

Аналогичные соображения и понятия можно сформулировать и для ДУ n-го порядка, которое в общем виде можно записать так:

  или              (9)

если его удается разрешить относительно .

Общим решением ДУ n-го порядка будет являться функция вида содержащей независящие  от x постоянные. Начальные условия для ДУ (9) записываются так:

,        ,

         Решение ДУ (9) получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных   называется частным решением. Решить ДУ n-го порядка означает, что найдено его общее или частное решение в зависимости от заданных начальных условий.

           Сама задача нахождения решения ДУ n-го порядка гораздо сложнее, чем первого. Поэтому рассмотрим лишь решение отдельных видов ДУ высших порядков.

1.Решение путем понижения порядка уравнения.

Суть этого метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению порядок которого ниже.

Рассмотрим три вида уравнений решенных таким способом.

1)    

Порядок этого уравнения можно легко понизить введя  такую, что    , тогда  и после подстановки получим    ,

решив его, найдем     и тогда решая    получим общее решение первоначального уравнения  .

На практике можно понизить порядок путем последовательного интегрирования уравнения. Т.к.    , то наше уравнение можно записать в виде  , тогда интегрируя уравнение   получим     или  

Интегрируя  последнее уравнение по х найдем         

т.е.        -  общее решение данного уравнения.

Если дано уравнение  ,то проинтегрировав его последовательно n раз ,найдем общее решение уравнения:

Пример:   

- общее решение.     

2)     .

Обозначим  ,где  - новая неизвестная функция. Тогда  и наше уравнение примет вид: . Пусть  - общее решение полученного уравнения. Тогда заменяя  Р на  получаем  . Это уравнение можно интегрировать      .  Частным случаем рассмотренного уравнения является  . Оно интегрируется тем же способом : . Получаем    с разделяющимися переменными.

Если задано уравнение вида  б то его порядок можно понизить на k  единиц положив  .Тогда   и уравнение примет вид

Частным случаем последнего уравнения служит     или    . С помощью замены  это уравнение сводится к ДУ первого порядка.

Пример:  Полагая   получим   - уравнение с разделяющимися переменными  интегрируя получим  , возвращаясь к исходной переменной   

3) Уравнение вида  .

Для понижения порядка этого уравнения введем функцию зависящую от переменной ,полагая  . Дифференцируя это равенство по  с учетом, что  получим     ,   т.е.

тогда после подстановки получим . Пусть  является общим решением этого уравнения. Заменяя функцию  на    получаем    -  ДУ с разделяющимися переменными. Интегрируя его найдем общий интеграл нашего уравнения.    . Частным случаем ДУ является  уравнение .Это уравнение решается при помощи аналогичной подстановки  и  .

Точно также решается уравнение , его порядок понижается на единицу заменой  по правилу дифференцирования сложной функции  .

 и т.д.

2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Уравнение вида         где -          

заданные функции (от) называют  линейным ДУ n-го порядка .

Оно содержит искомую функцию и все ее производные лишь в первой степени. Функции   называются коэффициентами  уравнения, а  - его свободным членом .Если  то уравнение называется однородным линейным дифференциальным уравнением. Если , то уравнение называется неоднородным.

Разделив уравнение на  и обозначив

можно записать уравнение в виде приведенного уравнения

         (10)

В дальнейшем будем рассматривать уравнения типа (10) считая, что свободный член и коэффициенты являются непрерывными функциями ( на некотором интервале .

  1.  Линейные однородные ДУ второго порядка

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ)  второго

порядка         (11)

Теорема 3   Если функции  и   являются частными решениями уравнения (11) , то решением этого уравнения является также функция  , где  и  произвольные постоянные.

Из теоремы вытекает, что если  и   - решения уравнения (11),то решениями этого уравнения будут также функции и . Решение содержит две постоянные величины  и .Возникает вопрос : будет ли это решение общим решением уравнения (11)? Для ответа на этот вопрос необходимо ввести понятие линейной зависимости и линейной независимости функций.

     Функции и  называются линейно независимыми на интервале  если равенство

               (12)

выполняется тогда и только тогда , когда .Если хотя бы одно из чисел или  отличны от нуля и равенство (12) выполняется ,то функции  и  называются линейно зависимыми на .Очевидно, что функции  и  линейно зависимы, тогда  и только тогда когда они пропорциональны т.е. для всех  выполняется равенство  или , где .

Например, функции и  линейно зависимы, т.к.  а  и  линейно независимы  т.к. .

Оказывается, что совокупность любых двух линейно независимых на интервале  частных решений   и   ЛОДУ второго порядка определяет фундаментальную систему решений этого уравнения: любое произвольное решение может быть получено как комбинация .

Теперь можно сформулировать при каких условиях только что приведенная комбинация будет общим решением  уравнения (11).

Теорема 4   ( Структура общего решения ЛОДУ второго порядка)

Если два частных решения и  ЛОДУ (11) образуют на интервале  фундаментальную систему, то общим решением этого уравнения является функция             (12)

где  - произвольные const.

Согласно теореме 3 функция (12) является решением уравнения (11).Поэтому остается доказать, что это решение общее, т.е. что из него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

 где .

Это легко можно доказать, но мы этого делать не будем.

  1.  Линейные однородные ДУ n- го порядка.

Полученные выше результаты можно распространить на линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка, имеющие вид

  (13)

1. Если функция  является частным решением уравнения (13), то его решением является и функция  .

2. Функции  называются линейно независимыми на , если равенство  выполняется лишь в случае, когда все числа , в противном случае (если хотя бы одно из чисел  не равно нулю) функции  -

линейно зависимы.

3. Частные решения  уравнения (13) образуют фундаментальную систему решений  на , если они линейно независимые решения в этом промежутке.

  1.  Общее решение ЛОДУ(13) имеет вид , где - произвольные постоянные,  - частные решения уравнения (13), образующие фундаментальную систему.

8.4. Решение ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

1.Решение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных дифференциальных уравнений является  ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Пусть одно ЛОДУ второго порядка.

   (14)

Где p и gconst величины.

Для нахождения общего решения этого уравнения достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему (Теорема 4).

Будем искать частные решения этого уравнения в виде где k – некоторое число. Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для   и  в наше уравнение получим  

т.е.  или

.

Это уравнение называется характеристическим уравнением ДУ (14).Для его составления достаточно заменить в уравнении (14)  соответственно на  и 1.

При решении характеристического уравнения возможны следующие три случая:

  1.  корни  и уравнения действительны и различны .

В этом случае частными решениями уравнения (14) является функция .

Они образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы) ,следовательно общее решение уравнения (14)в соответствии с формулой (12) имеет вид :

            (15)

Пример: Решить уравнение

Составим  характеристическое уравнение , решая его получим .Запишем общее решение данного уравнения , где - произвольные const.

  1.  корни  и  характеристического уравнения действительные и равные

.В этом случае имеем лишь одно частное решение

.Кроме того можно показать ,что наряду с  решением (14) будет и .

Действительно,  подставив  в (14) получим :

Но  т.к.  - корень этого характеристического уравнения ,

т.к. по условию .

Поэтому  т.е.   является решением уравнения (14).Частные решения   и образуют фундаментальную систему решений ,следовательно в этом случае общее решение ЛОДУ (14) имеет вид

(16)

  1.  корни  и  комплексные
    В этом случае частными решениями уравнения (14)являются  и .По формуле Эйлера  тогда имеем

   (14)

Найдем два действительно частных решения уравнения, для этого составим две линейных комбинации решений  и .

 и  

Функции  и   являются решениями уравнения (14),что следует из свойств решений ЛОДУ второго порядка (Теорема 3).Эти решения образуют фундаментальную систему решений, так как они являются линейно независимыми. Поэтому общее решение уравнения (14)  запишется в виде

 (17)

Пример:    

Запишем характеристическое уравнение , здесь , тогда общее решение уравнения примет вид

Таким образом, нахождение общего решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами (14) сводится к нахождению корней характеристического уравнения  и выше полученных формул для общих решений (15),(16),(17) уравнений, не прибегая к вычислению интегралов.

ЛЕКЦИЯ  13

2. Решение ЛОДУ  n –го порядка с постоянными коэффициентами.

Задача нахождения общего решения ЛОДУ n-го порядка  с постоянными коэффициентами

 (18)

Где  - числа ,решается аналогично случаю уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Покажем как это делается.

Частные решения уравнения (18) будем также искать в виде ,где kconst.Характеристическим для этого уравнения является алгебраическое уравнение n-го порядка         (19)

Последнее уравнение имеет, как известно, n корней (в их числе могут быть и комплексные).Обозначим их через .Кстати, не все из корней уравнения (19) обязаны быть различными так, например, уравнение  имеет два одинаковых корня k=2.В этом случае говорят, что корень один k=2  и имеет кратность mk=2 .

Если mk=1 ,то такой корень называют простым.

Вариант 1. Если все корни уравнения (19) действительны и просты, то функции

являются частными решениями уравнения (18) и образуют  фундаментальную систему решений (линейно независимых). Поэтому общее решение уравнения (18) запишется в виде

Пример:  Решить

Характеристическое уравнение примет вид  и имеет корни .Следовательно     -    общее решение нашего уравнения.

Вариант 2.  Все корни характеристического уравнения действительные, но не все простые (есть корни имеющие кратность ) Тогда каждому простому корню k соответствует одно частное решение вида ,а каждому корню k кратности  соответствует m частных решений .

Пример:   

Характеристическое уравнение    имеет корни  , следовательно

- общее решение.

Вариант 3. Среди корней уравнения (19) есть комплексные корни. Тогда каждой паре  простых комплексно сопряженных корней соответствует два частных решения

и ,а каждой паре корней кратности  соответствуют 2m частных решений вида

Эти решения, как можно доказать, образуют фундаментальную систему решений.

Пример:  

Характеристическое уравнение  имеет корни  , следовательно

 -  общее решение уравнения.

  1.  Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ)

1.Структура общего решения ЛНДУ второго порядка.

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка

  (20)

Где  - заданные непрерывные на (a,b) функции ,уравнение  левая часть которого совпадает с левой частью нашего уравнения называется соответствующим ему однородным уравнением .

Теорема : Общим решением уравнения (20) (y) является сумма его произвольного частного решения y* и общего решения  соответствующего однородного уравнения  т.е.. Доказательство этой теоремы опустим.

2.Метод вариации произвольных постоянных.

Рассмотрим ЛНДУ (20) .Его общим решением, согласно только, что приведенной теоремы является соотношение .  Чаcтное решение y* уравнения (20) можно найти ,если известно общее решение соответствующего однородного уравнения методом вариации произвольных постоянных  (метод Лагранжа) состоящий в следующем: пусть  - общее решение однородного уравнения.Заменим в общем решении постоянные   и неизвестными функциями  и и подберем их так, чтобы функция была решением уравнения (20).Найдем производную

 

Подберем функции  и  так, чтобы ,  (21),     тогда

, а .

Подставляя выражения для y* ,и  в уравнение (20) получим

Или

Поскольку  и  - решение соответствующего однородного уравнения, то выражения в квадратных скобках равны нулю, и поэтому

  (22)

Таким образом, функция y* будет частным решением уравнения (20) если  и

удовлетворяют системе уравнений (21) и (22).

    (23)

Определитель системы  ,так как это определитель для фундаментальной системы частных решений   и  однородного уравнения .Поэтому система (23) должна иметь единственное решение   и  , где  и - некоторые функции от x. Интегрируя эти функции находим  и , а затем , в соответствии с формулой для у* составляем частное решение уравнения (20).

Пример : ;

Найдем общее решение  соответствующего однородного уравнения . Имеем

Следовательно, .Теперь найдем частное решение у* исходного уравнения .Оно, как говорилось выше, ищется в виде .Для нахождения  и составим систему уравнений

      

Решаем ее  

  ;   


Запишем частное решение данного уравнения .Следовательно,  общее решение данного уравнения имеет вид

.

При нахождении частных решений ЛНДУ может оказаться полезной следующая теорема:

Теорема: Если правая часть уравнения (20) представляет собой сумму двух функций , а  и  - частные решения уравнений  и   соответственно, то функция  является частным решением данного уравнения.

3.Решение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Рассмотрим  ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами т.е. уравнение

   (24)

Где p и g – некоторые числа согласно вышеприведенной теореме. Общее решение этого уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения у* неоднородного. Частное решение может быть найдено методом  вариации произвольных постоянных.

Однако, для уравнений с постоянными коэффициентами существует более простой способ нахождения у* ,если правая часть  уравнения имеет «специальный вид»:

I .     или II.  

Cуть  метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части f(x) уравнения (24) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами , затем подставляют его в уравнение (24) и из полученного тождества находят значение коэффициентов.

Вариант 1. Правая часть имеет вид  , где - многочлен степени n.

Уравнение (24) запишется в виде   (25)

В этом случае частное решение y* ищется в виде . Здесь r – число кратности , как корня характеристического уравнения.

(т.е. r – число, показывающее, сколько раз  является корнем уравнения ), а  - многочлен степени n , записанный неопределенными коэффициентами

а) Пусть  не является корнем характеристического уравнения  т.е.

. Следовательно,

После подстановки функции y* и ее производных в уравнение (25) и сокращения на , получим :  (26)

Слева многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, справа – многочлен степени n , но с известными коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему (n + 1) алгебраических уравнений для определения коэффициентов .

б) Пусть  является однократным (простым) корнем характеристического уравнения

,т.е. . В этом случае искать решение в форме

нельзя , т.к. , и уравнение (26)принимает вид

.

В левой части многочлен степени  (n-1) , а в правой многочлен степени  n .Чтобы получить тождество многочленов в решении у* нужно иметь многочлен тоже степени

(n-1), поэтому частное решение у* следует искать в виде (в частном решении (25) положить (r = 1)).

в) Пусть  является двукратным корнем характеристического уравнения , т.е. . В этом случае , а поэтому уравнение (26) принимает вид . Слева стоит многочлен степени n-2. Понятно, что чтобы иметь слева многочлен степени n ,частное решение у* следует искать в виде

( т.е. в частном решении  уравнения (25) надо положить r =2).

Вариант 2. Правая часть уравнения (24) имеет вид

, где - многочлены степени n и m соответственно, - действительные числа. Уравнение (24) запишется в виде    (27)

Можно показать, что в этом случае частное решение у* последнего уравнения следует искать в виде

 (28) , где

r – число , равное кратности  , как корня характеристического уравнения , - многочлены степени с неопределенными коэффициентами, - наивысшая степень многочленов ,т.е.

= max (n, m).

Примечания:

  1.  При подстановке функции (28) в (27) приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения .
  2.  Формула (28) сохраняется и в случаях, когда .
  3.  Если правая часть уравнения (24) есть сумма вида I или II то для нахождения у* следует использовать теорему о наложении решений.

Пример:  

Найдем общее решение  ЛОДУ , его характеристическое уравнение

имеет корень  кратности 2. Значит . Находим частное решение исходного уравнения .В нем правая часть  есть формула вида

, причем  не является корнем характеристического уравнения . Поэтому , частное решение ищем как частное решение уравнения (25) в виде ,т.е. , где A и B – неопределенные коэффициенты .Тогда . Подставив  в исходное уравнение получим  , или . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  получаем систему уравнений , отсюда А=1,В=-2.

Поэтому частное решение данного уравнения имеет вид . Следовательно,

- искомое общее решение уравнения.

4.Решение ЛНДУ n- го порядка  с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.

Рассмотрим линейное неоднородное ДУ n-го порядка

, где - заданные непрерывные функции на (a,b). Соответствующее ему однородное уравнение имеет вид

Теорема:   Общее решение ЛНДУ n-го порядка равно сумме частного решения у* неоднородного уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения т.е. . Частное решение ЛНДУ n-го порядка может быть найдено, если известно общее решение однородного уравнения, методом вариации произвольных постоянных. Оно ищется в виде - частные решения, образующие фундаментальную систему однородного уравнения.

Система уравнений для нахождения неизвестных  имеет вид

Однако,  для ЛНДУ n – го порядка с постоянными коэффициентами, правая часть которого имеет специальный вид, частное решение у* может быть найдено методом неопределенных коэффициентов.

Метод подбора частного решения у* уравнения , а правая часть f(x) имеет специальный вид описанный в п.3 для случая n =2, переносится без всякого изменения и на случай уравнения, имеющего порядок .

Пример:  

Найдем ,

Отсюда  

Найдем у*  , следовательно

. Тогда , откуда А= -1,В=0 и получим . Следовательно функция  является общим решением уравнения.

Лекция 14

  1.  Системы дифференциальных уравнений

Для решения многих практических задач в различных областях науки и техники нередко требуется использовать не одну, а много функций. Нахождение этих функций может привести к нескольким ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную . Совокупность всех этих ДУ и образует систему. Системой ДУ  называется совокупность ДУ каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производные. Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей n искомых функций , следующий :

Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной, т.е. система вида

     (1)

Называется нормальной системой ДУ . При этом предполагается, что число уравнений равно числу искомых функций.

Замечание: Во многих случаях системы уравнений и уравнения высших порядков можно свести к нормальной системе (1).

Так система трех ДУ второго порядка

  

описывающая движение точки в пространстве, путем введения новых переменных   , и  можно привести к нормальной системе ДУ.

Подобную операцию можно производить и с системами уравнений, содержащих производные более старшего порядка. Отсюда следует полезность изучения именно нормальных систем.

Решением системы (1) называется совокупность из n функций    удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы. Начальные условия для системы (1) имеют вид .  (2)

Задача Коши для системы ставится так: найти решение системы уравнений (1) удовлетворяющее начальным условиям (2).Условия существования и единственность решения определяется теоремой Коши.

Теорема Коши: Если в системе (1) все функции непрерывны вместе со своими частными производными по  в некоторой области - мерного пространства, то в каждой точке  этой области существует, и притом единственное, решение системы, удовлетворяющее начальным условиям (2).

Меняя в области Д точку  (т.е. начальные условия) получим бесчисленное множество решений, которое можно записать в виде решения зависящего от n произвольных постоянных :

Это решение является общим, если по заданным начальным условиям (2) можно однозначно определить постоянные  , из системы уравнений

Решение, получающееся из общего, при конкретных значениях постоянных   () называется частным решением системы (1) .

  1.  Решение нормальных систем.

Одним  из основных методов решения нормальной системы ДУ является метод сведения системы к одному ДУ высшего порядка. (Обратная задача – переход от ДУ к системе – рассмотрена ранее) Сам метод основан на следующих соображениях : пусть задана система нормальных ДУ (1).Продифференцируем по х любое, например, первое уравнение

Подставив в это равенство значение производных   из системы (1) получим

. Продолжая этот процесс (дифференцируем- подставляем- получаем ) найдем : . Соберем все уравнения в систему

     (3)

Из первых (n-1) уравнений системы (3) выразим функции  через  функцию  и ее производные . В результате получим:

     (4)

Найденные значения  подставим в последнее из уравнений системы (3).Получим одно ДУ n-го порядка относительно искомой функции y

. Пусть его решение есть .

Продифференцировав его (n-1) раз и подставив значения производных  в уравнения системы (4) найдем функции .

.

Пример:  Решить систему уравнений

Продифференцируем первое уравнение :, подставляем  в полученное равенство .

Составим систему уравнений . Из первого уравнения системы выражаем  z   через y и :      (5)

Подставляем  z   во второе уравнение последней системы :

т.е.

Получили ЛОДУ второго порядка. Решаем его: характеристическое уравнение имеет вид

, - общее решение уравнения.

Найдем функцию z .Значения  подставим в выражение z  через  (5).Получим : .

Таким образом, общее решение данной системы уравнений имеет вид:

, .

2.Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим еще один способ решения нормальной системы уравнений (1) в случае, когда она представляет собой систему линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами, т .е. систему вида

Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравнений с тремя неизвестными функциями

   (6)  

Здесь все коэффициенты   - постоянные.

Будем искать частное решение этой системы в виде

, где  - постоянные, которые надо подобрать (найти) так, чтобы решение удовлетворяло нашей системе.Подставляя эти функции в систему и сокращая на множитель  получим:

или      (7)

Систему (7) можно рассматривать как однородную систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными . Чтобы эта система имела не нулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю.

Этот определитель является характеристическим уравнением системы (6)Раскрыв определитель, получим уравнение третьей степени, относительно К. Рассмотрим все возможные случаи:

  1.  Корни характеристического уравнения действительны и различны : . Для каждого корня  напишем систему (7)и определим коэффициенты (один из коэффициентов можно считать равным единице). Таким образом, получим:

Для корня  частное решение системы (6):

Для корня  

Для корня  .

Можно показать, что эти функции образуют фундаментальную систему и поэтому общее решение системы (6) запишется в виде

Пример:   Решить систему  

Характеристическое уравнение имеет вид

  или .

Частные решения системы ищем в виде

.

Найдем . При система (7) имеет вид

Последняя система имеет бесчисленное множество решений .Положив получим  и получим частные решения . При  система (7) имеет вид . Положив получим  .Значит корню соответствуют частные решения . Общее решение системы запишется в виде .

  1.  Корни характеристического уравнения различны, но среди них есть комплексные

.Вид частных решений в этой ситуации определяют также как и в 1) .

Пример:   Найти частное решение системы

Составляем и решаем характеристическое уравнение

Для  получим   отсюда

Частное решение системы . Для   получим

Отсюда находим  . Частное комплексное решение системы . В полученных решениях  выделим действительную  и мнимую  части :

Корень приведет к тем же самым решениям.

Таким образом, общее решение системы примет вид

Выделим частное решение системы. При заданных начальных условиях получим систему уравнений для определения

Следовательно, искомое решение имеет вид

  1.  Характеристическое уравнение имеет корень кратности .Решение системы, соответствующее кратному корню, следует искать в виде:

Это решение зависит от  произвольных постоянных. Постоянные определяются методом неопределенных коэффициентов. Выразив все коэффициенты через m из них, полагаем поочередно один из них равным единице, а остальные равными нулю. Получим m линейно независимых частных решений системы (6).

Пример:   Решить систему уравнений

Составим характеристическое уравнение

Корню соответствует система

Полагая,  находим . Получаем первое частное решение

. Двукратному корню соответствует решение вида . Подставляя это решение в исходную систему, получим:

После сокращения на  и перегруппировки

 Эти равенства выполняются лишь тогда, когда

Выразим все коэффициенты через два из них (m=2) , например А и В из второго уравнения B=F,тогда с учетом первого D=B.  Из четвертого уравнения находим

E=A-D, или Е=A-B. Из третьего C=E-B т.е. . Коэффициенты A и B – произвольные.

Полагая А=1,В=0, найдем : С=1,D=0, Е=1, F=0.

Полагая А=0,В=1, найдем : С=-2, D=1, E=-1, F=1.

Получим два линейно независимых частных решения, соответствующих двукратному корню .

.

И общее решение исходной системы примет вид


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33674. Оперативно-розыскная деятельность 13.68 KB
  К задачам оперативнорозыскной деятельности относятся: выявление предупреждение пресечение и раскрытие преступлений а также выявление и установление лиц их подготавливающих совершающих или совершивших; осуществление розыска лиц скрывающихся от органа дознания следствия и суда уклоняющихся от уголовного наказания а также розыска без вести пропавших; получение информации о событиях или действиях создающих угрозу государственной военной экономической или экологической безопасности Российской Федерации. К оперативнорозыскным...
33675. Розыск скрывшехся обвиняемых 11.05 KB
  Элементы розыска: 1 проверить уклоняется человек или нет 2 сбор сведений о возможном местонахождении 3 объявление розыска и поручение его органам дознания 4 5 Производство СД и ОРМ а также тактических операций с целью отыскания места сокрытия человека.
33677. Виды осмотра в уголовно-процессуальном законодательстве 12.97 KB
  Выделяют три основных этапа осмотра места происшествия: начальный основной и дополнительный этапы. Статьей 178 УПК установлен общий порядок осмотра трупа на месте его обнаружения. Осмотр трупа состоит из двух стадий: общего и детального осмотра.
33678. Особенности осмотра трупа на месте происшествия и фиксация результатов 15.45 KB
  Как относительно друг друга расположены части тела как голова относительно частей помещения Какая имеется одежда в каком она состоянии фасон модель Если юрист не знает то пусть не говорит сколько хлопка синтетики. Если на открытых частях тела есть признаки крови и т. то нужно начинать с частей тела а не одежды. Осмотр закрытых частей тела.
33679. Тактика освидетельствования 25.5 KB
  Освидетельствование осуществляется для установления на теле человека следов преступления наличия особых примет и иных признаков позволяющих судить о связи данного человека с расследуемым событием. При судебномедицинском освидетельствовании разрешаются специальные вопросы из области судебной медицины о причинах и давности причинения телесных повреждений о степени их тяжести о врожденных или приобретенных анатомических или физических аномалиях и др. Следственное освидетельствование позволяет выяснить такие вопросы: имеются ли на теле...
33680. Допрос 29 KB
  При проведении допроса в конфликтной ситуации следователь использует следующие тактические приемы: следователь и подозреваемый либо обвиняемый разъясняет допрашиваемому значение чистосердечного признания и дачи правдивых показаний; выявляет мотивы дачи ложных показаний и устраняет эти мотивы; убеждает с помощью логических доводов в бессмысленности попыток дачи ложных показаний; максимально детализирует и конкретизирует показания допрашиваемого; предъявляет доказательства изобличающие допрашиваемого начиная с самого веского либо наоборот;...
33681. Допрос подозреваемого (обвиняемого) 12.71 KB
  В соответствии с этим следователю необходимо попытаться выяснить причины конфликта и направить усилия на их устранение для формирования условия получения достоверных показаний. Основные приемы установления психологического контакта с допрашиваемым в конфликтной ситуации: 1 убедить допрашиваемого в объективности следователя внушить уважение к следователю; 2 вызвать интерес к даче показаний к процессу общения со следователем; 3 проявлять заботу о соблюдении прав допрашиваемого и об удовлетворении его за конных интересов; 4 создать и...
33682. Бесконфликтная ситуация допроса 11.48 KB
  В связи с объективным характером этой ситуации тактическая задача следователя при допросе может быть сведена к одному но весьма существенному положению: не сделать ситуацию допроса конфликтной не спровоцировать своими действиями поведением конфликт с допрашиваемым. Дело в том что успех допроса как и любого иного вида человеческого общения зависит не только от объективных но и от субъективных факторов. Необдуманная форма вызова лица на допрос оказавшаяся неприятной или нежелательной для допрашиваемого длительное ожидание под дверями...