4786

Множества в программировании на языке Pascal

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Множества. Множественный тип. Конструктор множества. Операции и отношения. Применения множеств в программировании. Задачи и упражнения. Еще одним сложным стандартным типом данных, определенным в языкеPasca...

Русский

2012-11-27

47 KB

15 чел.

Множества.

1.Множественный тип.

2.Конструктор множества.

3.Операции и отношения.

4.Применения множеств в программировании.

5.Задачи и упражнения.

 1. Множественный тип.

Еще одним сложным стандартным типом данных, определенным в языке Pascal, является множественный тип. Значением множественного типа данных является множество, состоящее из однотипных элементов. Тип элемента множества называется базовым типом. Базовым типом может быть скалярный или ограниченный тип. Таким образом, множество значений множественного типа - это множество всех подмножеств базового типа, включая и пустое множество. Если базовый тип содержит N элементов, соответствующий множественный тип будет содержать 2N элементов.

Характерное отличие множественного типа - определение на нем наиболее распространенных теоретико-множественных операций и отношений. Это делает множественный тип похожим на простые типы данных. Множественные типы описываются в разделе типов следующим образом :

Type < имя типа > = Set of < базовый тип>

  Множественный

  тип

 

Например,

а) Type Beta = Set of 100..200;

б) Type Glas = Set of char ; {Vowel}

в) Type Color = (red, orange, yellow, green, light_blue, blue, violet); 

Paint = Set of Color;

г) Type TwoDigNum = Set of 10..99;

Var A, B: Beta;

llet, flet: Glas;

last, first: Paint;

  Sinit: TwoDigNum;

2. Конструктор множества.

Множества строятся из своих элементов с помощью конструктора множества. Конструктор представляет собой перечисление через запятую элементов множества или отрезков базового типа, заключенное в квадратные скобки [ , ]. Пустое множество обозначается через [].

  конструктор

 Элемент

 конструктора

 

 

Например:

[ ] - пустое множество

[2, 5 ..7] - множество {2, 5, 6, 7}

['A'..'Z', 'O'..'9'] - множество, состоящее из всех прописных латинских букв и цифр

[i + j .. i + 2*j] - множество, состоящее из всех целых чисел между i + j и i + 2j

Отметим, что если в выражении [v1..v2] v1 > v2, множество [v1 .. v2] - пустое.

3. Операции и отношения.

К операндам - однотипным множествам А и В применимы следующие операции :

А + В - объединение А В

А * В - пересечение А В

А - В - разность А \ В

Между А и В определены также отношения порядка и равенства

А = В,   А <> В,  А < В, А <= В,  А > В,   А >= В;

Отношения порядка интерпретируются как теоретико-множественные включения.

Если А - множество и х - элемент базового типа, то определено отношение принадлежности  х  in  A - x принадлежит A ( x A ).

Каждое из отношений, описанных выше, по-существу является операцией, результат которой имеет тип Boolean. Таким образом, если Init - переменная типа Boolean, возможно присваивание Init := A < B. Возможны такие сравнения ( А = В ) = ( С = D ).

Наличие операций над множествами позволяет применять в программах операторы присваивания, в левой части которых стоит переменная типа множества, а в правой - выражение того же типа. Например :

А := А * [1 .. 10] + B ;  B := (А + B)*['A' .. 'Z'] ;

4. Применения множеств в программировании.

При реализации языка размеры множеств всегда ограничены константой, зависящей от реализации. Обычно эта константа кратна длине машинного слова. Это происходит потому, что множества реализованы в виде логических (двоичных) векторов следующим образом: каждой координате двоичного вектора однозначно соответствует один из элементов базового типа. Если элемент a принадлежит представляемому множеству A, то значение координаты вектора, соответствующее a, равно 1. В противном случае значение соответствующей координаты равно 0.

Например, если множество A описано как Set of 0..15, то его представляет 16-ти мерный двоичный вектор, координаты которого перенумерованы от 0 до 15, и i-той координате соответствует элемент i базового типа.

Базовый тип :  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15

Двоичный вектор :  0  0  1  1  0  1  0  1  0  0  0  1    0   1   0    0

Представленное множество : A = [2, 3, 5, 7, 11, 13]

Такой способ реализации позволяет быстро выполнять операции над множествами и проверки теоретико-множественных отношений. Поэтому, например, вместо

For X := 'A' to 'Z' do

    If (X ='A') or (X ='E') or  (X ='I') or (X ='O') or (X='U')

        then Statement1

        else Statement2

лучше написать

 For X := 'A' to 'Z' do

   If X in ['A','E','I','O','U']

                then Statement1

                else Statement2

Последняя форма записи не только лучше читается, но и гораздо быстрее вычисляется.

В системе Turbo-Pascal максимальное количество элементов в множестве равно 256. Таким образом, в качестве базового типа можно выбрать, например, Char или отрезок 0..255. В заключение раздела приведем пример программы, использующей множественные типы данных.

Пример. Построить множество всех простых чисел из отрезка 2..n  (n 255).

Метод, с помощью которого мы это сделаем, известен как "Решето Эратосфена". Суть этого метода в следующем: Пусть Prime - строимое множество простых чисел и Grating - множество, называемое решетом. Алгоритм начинает работу с Prime = []; Grating = [2..n].

 Шаг основного цикла:

 а. Наименьший элемент Grating поместить в Prime;

 б. Удалить из Grating все числа, кратные этому элементу;

 Алгоритм заканчивает работу при Grating = []

Program EratosfenGrating;

   Const n = 255;

      Var Grating, Prime: set of 2 .. n ;

             i, Min : integer ;

 Begin

   Grating := [2 .. n] ; Prime := [] ; Min := 2;  {инициализация}

   While Grating <> [] do begin    {основной цикл}

      While not(Min in Grating) do   {поиск наименьшего элемента в решете}

         Min := Min + 1;

         Prime := Prime + [Min] ;    {пополнение множества простых чисел}

         For i := 1 to n div Min do    {исключение кратных из решета}

           Grating := Grating - [i*Min];

    end;

    Writeln('Primes: ');     {вывод множества простых чисел}

     For i := 1 to n do  

        If i in Prime then write(i, ', ')

End.

Отметим, что доступ к элементу множества в языке не предусмотрен. В этом - еще одно качественное отличие множественного типа от других сложных типов данных. Поэтому, например, для вывода множества Prime приходится перебирать все элементы базового типа и каждый из них проверять на принадлежность Prime.

5. Задачи и упражнения.

1. Записать с помощью конструктора множество X, составленное из латинских букв a, b, c, d, i, j, k, x, y, z.

2. Записать с помощью конструктора множество из трех основных цветов множественного типа Paint.

3. Записать с помощью конструктора множество целых решений квадратного неравенства x^2 +p*x + q < 0 в предположении, что корни соответствующего квадратного уравнения лежат в интервале [0; 255]

4. Записать с помощью конструктора множество простых чисел-близнецов из интервала 1..30.


Имя типа

=

 Set

of  

 Базовый тип

 Элемент конструктора

  [

  ]

 ,

 ..

Выражение

Выражение

Выражение


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29464. Признак Дирихл 50.3 KB
  Признак Дирихле теорема указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемостибесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика ЛежёнаДирихле. Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода Пусть выполнены условия: и имеет на ограниченную первообразную то есть ; функция ; .
29465. Метод среднего арифметического в числовых рядах 44.37 KB
  Утверждение: Сумма расходящегося ряда равна по методу средних арифметических. Итого и ряд имеет сумму по методу средних арифметических. [править]Необходимый признак Из предыдущего пункта вытекает необходимый признак: Утверждение: Если ряд суммируется методом средних арифметических то .
29466. Функциональные последовательности и функциональные ряды. Понятие равномерной сходимости 23.15 KB
  Понятие равномерной сходимости Равномерная сходимость функционального ряда Пусть функции комплексной переменной z. Важнейшим понятием для теории таких рядов является понятие равномерной сходимости. Желание избавится от z и приводит к понятию равномерной сходимости функционального ряда. Каждое значение x ∈ I для которого последовательность 3 имеет некоторый конечный предел принадлежит области сходимости этой последовательности.
29470. Необходимый признак сходимости(расходимости) гармонического ряда 23.45 KB
  Необходимый признак сходимостирасходимости гармонического ряда Необходимый признак сходимости ряда. Если то ряд расходится это достаточный признак расходимости ряда. Также следует запомнить понятие обобщенного гармонического ряда:1 Данный ряд расходится при . Еще раз подчеркиваю что почти во всех практических заданиях нам совершенно не важно чему равна сумма например ряда важен сам факт что он сходится.
29471. Признак Даламбера в предельной и непредельной форме 168.98 KB
  При́знак дАламбе́ра или Признак Даламбера признак сходимости числовых рядов установлен Жаном дАламбером в1768 г. Если для числового ряда существует такое число что начиная с некоторого номера выполняется неравенство то данный ряд абсолютно сходится; если же начиная с некоторого номера то ряд расходится. Признак сходимости дАламбера в предельной форме[править] Если существует предел то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если а если расходится. Если то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.
29472. Признак коши (радикальный) 15.45 KB
  Радикальный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд .в При признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак.