47870

Многочлени. Властивості многочленів

Конспект

Математика и математический анализ

Ділення многочлена на лінійний двочлен. Розклад многочлена за степенями лінійного двочлена. Означення многочлена Вираз виду: Повністю визначається коефіцієнтами. Многочленомполіномомвід однієї змінної над областю цілісності К називається вираз виду 3 де довільне ціле невід’ємне число елементи К а деякі символи; називається степенем змінної або невідомого а м коефіцієнтом многочлена 3 або коефіцієнтом при .

Украинкский

2013-12-13

5.51 MB

112 чел.

Лекція №1

              Кільце многочленів та його властивості.

План  

  1.  Кільце многочленів К[x].
  2.  Подільність в К[x].Теорема про ділення з остачею в К[x] , де К – поле.
  3.  Ділення многочлена на лінійний двочлен . Схема  Горнера. Теорема Безу . Розклад многочлена за степенями лінійного двочлена.

1.Кільце многочленів К[x].

З курсу математичного аналізу відомо,що многочленом від однієї змінної є ціла раціональна функція виду:

 (1)

задана на множині дійсних чисел,де коефіцієнти  – довільні задані дійсні числа.

Найпростіші типи многочленів лінійна функція  та квадратний тричлен    відомі зі школи.

В алгебрі многочлени зустрічались у зв’язку з розв’язуванням алгебраїчних  рівнянь вищих степенів з одним невідомим,тобто рівнянь виду:

                           (2)

ліва частина яких є многочлен від однієї змінної. На відміну від аналізу в алгебрі многочлени вважалися цілими раціональними функціями комплексної змінної ,тобто виразами виду (1),в яких коефіцієнти    є комплексні числа ,а змінна  може набувати довільних комплексних значень . Це важливо для розв’язування рівнянь  3-го ,4-го і вищих степенів.

Означення многочлена     

Вираз виду :

Повністю визначається коефіцієнтами  .

      Їх вибирають так щоб над ними можна було виконувати операції додавання та множення за тими правилами ,що і в елементарній математиці , і ці дії мали властивості:

  •  Асоціативність;
  •  Дистрибутивність;
  •  Комутативність.

      Коефіцієнти многочленів повинні належати деякому комутативному кільцю К,без дільників нуля () – області цілісності К.

Означення 1.

Многочленом(поліномом)від однієї змінної над областю цілісності К називається вираз виду (3) , де довільне ціле невід’ємне число   - елементи К, а деякі символи; називається степенем змінної  (або невідомого  ) , а м коефіцієнтом многочлена (3)  або коефіцієнтом при  (.

   Многочлени від однієї змінної   позначатимемо :. Сукупність всіх многочленів від  над областю цілісності К-символом К[].

Означення 2.

Вираз  називається членом або членом го степеня многочлена.

                                                       (4)

нульовим або вільним членом причому записи  рівнозначні. Якщо  (тобто є нульовим елементом області цілісності К) ,то кажуть ,що член многочлена   дорівнює нулю або його немає.

 У виразі для многочлена (4) члени, які дорівнюють нулю можна не писати. Так многочлен:

                                                                (5)

Можна записати коротше :

                                 

Означення 3.

Відмінний від нуля член многочлена ,степінь якого більший за степінь усіх інших відмінних від нуля членів цього многочлена ,називається старшим членом ,його коефіцієнт старшим коефіцієнтом ,а його степінь – степенем многочлена .

    Степінь многочлена позначають deg f.

    Будь-який многочлен  записуватимемо так,щоб запис починався зі старшого члена ,тобто не включати у запис рівних нулю членів ,степінь яких  більший за deg f . Так многочлен (6) подаватимемо у будь-якому з виглядів :

    Будь - який многочлен степеня подаватимемо у вигляді :

                                                     (7)

де   ,а з решти коефіцієнтів частина або всі можуть дорівнювати нулю.

    Таку форму запису називають канонічною . Вживають також назву «многочлен стандартного виду».

- лінійний двочлен.

    Многочлени нульового степеня вважають константами ,цей многочлен називатимемо нуль многочленом:.

    Нуль – многочлен немає ніякого степеня.

Дії над многочленами.

    Нехай дано два многочлени над областю цілісності R.

                    ( К ,                                             (8)

                                            ()                                              (9)

Означення 1.

Многочлени називають рівними між собою і записують  , якщо канонічні форми цих многочленів збігається ,тобто

                   (10)

   Рівність многочленів має властивості рефлексивності ,симетричності та транзитивності,тобто є відношенням еквівалентності на множині К[x] .

Означення 2.

Сумою многочленів  називається многочлен:

            (11).

Те ,що  є сумою многочленів   записують так:

Н1.

Якщо  є К[] , К[] , то й

Н2.

Степінь суми двох многочленів не перевищує більшого зі степенів даних многочленів :

deg

Н3.

Для довільного многочлена К[] і  К[]

                                                                                             (12)

Означення 3.

Добутком многочленів  (8 і 9) називається многочлен:

                          (13)

де

(),

Те що  є добутком многочленів , записують так:

.

   Наведене означення є безпосереднім узагальненням «шкільного» правила множення многочленів.

   Вираз (14) можна переписати :

.

Н4:

Якщо  є  К[], є  К[],то й  є  К[]

Н5:

Якщо  не є нуль-многочлени ,то deg ()=degdeg.            (16)

Н6:

При множені двох многочленів,з яких хоч один нуль-многочлен дістаємо нуль-многочлен.

                                       (17)

Теорема 1:

    Сукупність К[] усіх многочленів над областю цілісності К є область цілісності відносно операції додавання та множення многочленів.

Доведення:

     З наслідків 1 та 4 випливає що сукупність К[] є комутативне кільце відносно заданих операцій:

1.

2. тому , що  є комутативне кільце і

3.Асоціативність додавання многочленів.

Розглянемо три многочлени:

                     []+                        (18)

випливає безпосередньо з асоціативності додавання елементів у кільці К.

   За означенням рівності многочленів співвідношення (18) рівносильне степені рівностей:

(

4.Нульовим елементом в  К[] є очевидно нуль многочлен

Існує в К[] протилежний

6.Для перевірки асоціативності множення многочленів  :

 Якщо  коефіцієнт многочлена  то відповідно до (15)

Але тоді й коефіцієнт многочлена :

є

З другого боку позначаючи через й коефіцієнт многочлена

Дістаємо для   коефіцієнта многочлена  такий вираз :

   Зіставляючи (19) і (20) переконуємось що асоціативність виконується.

7.Дистрибутивний закон

[] випливає з рівності

   Отже К[] – комутативне кільце.

   Покажемо , що К[] – область цілісності, тобто не існує в ньому дільників нуля.

Нехай  є К[].

старші коефіцієнти .

має старший коефіцієнт ,тому  не є нуль многочленом.

2.Подільність в К[].

Слід показати ,що для довільних многочленів   можна подати у вигляді:

                                        (1)

Де  ,або deg  Тут  ділене , дільник , частка,

Степінь остачі повинен бути менший за степінь дільника.

Приклад 1 : Нехай  f(х)= х2-3х+1,  g(х)=х2+1.  Рівність х3-3х+1=(х2+1)х+(-4х+1) свідчить, що f(х) ÷ на g(х) з остачею. Частина S(х)=х,  остача r(х) =-4х+1. Так само g) ділиться на f(х) з остачею: х2+1=0*(х3-3х+1)+х2+1.  S1(х)=0 – частка, r1(х)=х2+1 – остача.

Теорема ( про ділення з остачею в К[х]), де К-поле. Будемо вимагати, щоб К була полем, тобто, щоб в К існувала одиниця і для довільного елемента  а≠0 існував обернений елемент а-1.

Сукупність всіх многочленів над полем Р є область цілісності з одиницею Р[х] відносно додавання і множення многочленів.

Теорема 1 : Довільний многочлен f(х) з кільця Р[х] ділиться з остачею на будь-який многочлен g(х) з цього кільця, відмінний від 0 многочлена, при цьому частина й остача також належать до Р[х] і визначаються однозначно.

Доведення: Встановимо  можливість знайти серед многочленів з кільця Р[х] частку S(х) і остачу r(х) для будь-яких многочленів f(х)= g(х) є Р[х] при g(х)≠0. Нехай f(х)= аnхn+an-1 xn-1+…+a1x+a0,      g(х) = bmxm + bm-1xm-1+…+b1x+b0.

Якщо f(х)=0, то S(х)=0, r(х)=0. Нехай n=deg f(х)<deg g(x)=m тоді S(x)=0, r(x)=f(x). Розглянемо  nm.

Виконаємо доведення методом індукції по n, починаючи з n=0. При n=0, m=0, f(x)=a0, g(x)=b0≠0 тому S(x)= a0/ b0, r(x)=0. S(x) є P(x), бо a0/b0 є Р.

Припустимо, що теорема справедлива для всіх многочленів таких, що deg f <n і доведемо її для многочленів степеня n.

Розглянемо многочлен

Р(х)=f(x)=an/bm xn-m g(x)                  an≠0, bm≠0.

Старший член многочлена аn/bm xn-m g(x)=anxn  тобто старшому члену многочлена f(x). Тому deg P<n і за припущенням індукції Р(х) можна поділити з остачею на g(x);

P(x)= g(x)S1(x) + r1(x), S1(x), r1(x) є P[x], r1(x)=0 або deg r1<deg g.

Отже f(x)- an/bm xn-m g(x)= g(x)S1(x) + r1(x),

Звідси f(x)=g(x) S(x)+r(x),  де  r(x)=r1(x), S(x)=S1(x)+ an/bm xn-m, де S(x) і r(x) є P[x] і що r(x)=0, або deg r= deg r1<deg g.

Цим показано можливість ділення f(x) на g(x) з остачею. Встановимо єдиність частки S(x) і остачі r(x). Припустимо, що можливі два записи:

f(x)= g(x)S(x)+ r(x), deg r<deg g;

f(x)= g(x)S^(x)+r^(x), deg r^< deg g;

Віднімаючи другу рівність від першої, дістанемо:

g(x) [S(x)- S^(x)]=r(x)- r^(x).          (2)

g(x)≠0 за умовою

Якщо припустити, що r(x) ≠ r^(x), то й S(x) ≠ S^(x) (адже Р[x] не має дільників нуля). Але приходимо до суперечливості. Справді права частина (2) є многочлен степінь якого менший від deg g і меншого від степеня лівої частини рівності (1). Отже (2) можлива коли коли r(x)= r^ (x)    S(x)= S^(x), частка єдина, остача єдина. Теорема доведена.

4. Ділення многочлена на лінійний двочлен. Схема Горнера. Теорема Безу. Розклад  многочлена за степенями лінійного двочлена.  Практичне здійснення ділення з остачею, для двох заданих многочленів ґрунтується на методі, використаному при доведенні теореми 1.

Приклад 1: Нехай f(x)=x4-2x3+x-1, a g(x)=x2-2

Знайдемо : g1(x)=f(x)- an/bm xn-m g(x):

g1(x)=x4-2x3+x-1-x2 (x2-2)=-2x3+2x2+x+1  далі з  g1(x)   так як з f(x);

g2(x)=-2x3+2x2+x-1+2x(x2-2)=2x2-3x-1;

g3(x)=2x2-3x-1-2(x2-2)=-3x+3

deg g3(x)<deg g(x) і тому S(x)=x2-2x+2, r(x)= -3x+3.

X4-2x3+x-1=(x2-2)(x2-2x+2)+ (-3x+3)

Це можна записати :

X4-2x3+x-1   x2-2

Метод невизначених коефіцієнтів

X4-2x3+x-1=(x2-2)S(x)+r(x)                  (3)

cтепінь S(x)≤n-m=2            r(x)<m,    deg r(x)=1.

S(x)=A2x2+A1x+A0                 r(x)=B1x+B0

Підставляючи вирази в рівність (3) маємо:

X4-2x3+x-1=(x2-2)(A2x2+A1x+A0)+(B1x+B0) на підставі означення рівності многочленів коефіцієнти при однакових степенях Х рівні між  собою. Звідси дістанемо:

A2=1, A1=-2, -2A2+A0=0, -2A1+B1=1,  -2A0+B0=-1,

A2=1,  A1=-2, A0=2, B1=-3, B0=3

S(x)=x2-2x+2,  r(x)=-3x+3

У загальному випадку S(x) шукають у вигляді многочлена з невизначеними коефіцієнтами степеня n-m, a r(x)  -  m-1

Нехай g(x)= х-2 – лінійний двочлен. Використаємо метод невизначених коефіцієнтів

anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(x-2)(An-1xn-1+An-2xn-2+…+A1x+A0)+r.     r-const.     (4)

Прирівнюючи коефіцієнти у (4) дістанемо:

аn=An-1,

an-1=An-2- α An-1

……………………..

a1=A0- α A1,

a0= r- α A0,

звідси

                       An-1= an

                       An-2= an-1+ α An-1

                                  An-3=an-2+ α A

                                ……………………..

A0= a1+ α A1

r= a0+ α A0

Формули (5) показують, що поділити многочлен на х- α можна за такою схемою- схемою Горнера:

аn

an-1

an-2

an-3

a1

a0

α

an

An-1

αAn-1+an-1

An-2

αAn-2+an-2

An-3

αAn-3+an-3

An-4

αA1+a1

   A0

αA0+a0

   r

Виконуючи ділення з остачею за цією схемою, кожний наступний коефіцієнт Ак-1  частки й остачу r дістають множенням щойно обчисленого коефіцієнта Ак на α і додаванням до знайденого добутку відповідного коефіцієнта ак даного многочлена.

Приклад 2 : Поділимо за схемою Горнера многочлен х4-3х2+2х-1 на х-2          а4=1, а3=0, а2=-3, а1=2, а0= -1, α=2.

1

0

-3

2

-1

2

1

2

2*2-3=1

2*1+2=4

2*4-1=7

S(x)= x3+2x2+x+4,     r=7

За схемою можна кілька раз ділити на один і той же лінійний двочлен

1

0

-3

2

-1

2

1

2

1

4

7

2

1

4

5

22

Легко перевірити: остача при діленні f(x) на х- α дорівнює значенню многочлена при х= α тобто f(x). Це теорема Безу.

Т.Б для будь-якого елемента α з поля Р остача при діленні многочлена f(x) є P[x] на х- α= f(x).

Доведення : за формулою (1) ділення з остачею маємо:

f(x)=(х- α)S(x)+r,                      (6)

де многочлен r є константа, бо має степінь, нижчий від степеня х- α. Оскільки многочлени, що стоять у лівій і правій частинах (6) рівні між собою, то рівні між собою і їх значення при будь-якому х є Р. Тому взявши х= α, дістанемо f(α)=r, що й треба було довести.

За схемою Горнера зручно багато ділити многочлен на лінійний двочлен. За допомогою такого ділення легко дістати розклад довільного многочлена f(x) за степенями х- α.

Нехай f(x)- многочлен n-го  степеня над полем Р, α-елемент цього поля. Ділення на х- α дає:   f(x)=(х- α) f1(х)+С0, де         (7)

f1(х)-многочлен (n-1)-го степеня з Р[x], a C0-елемент поля Р. Якщо n˃1 маємо :

 f1(x)=(x- α) f2(x) + C1   (8)

 f2(x)=(x- α)f3(x)+C2

                     ……………………………

 fn-1(x)= (x- α)fn(x)+Cn-1

fn(x) є многочлен нульового степеня fn(x)=Cn

Виключаючи з (7) і (8) fn-1(x),fn-2(x),…,f2(x), f1(x) дістанемо:

f(x)=Cn(x- α)n+Cn-1(x-α)n-1+…+C1(x-α)+C0             (9)

Отже, многочлен    f(x) над полем Р ми подали як многочлен такого самого степеня над тим самим полем, але вже від заміненого у=х- α. При цьому коефіцієнти С0, С1, …Сn однозначно визначаються через α коефіцієнти а0, а1, …,аn многочлена  f(х) . А саме, С0 є остача від ділення f(х) першої частки  f1(x) на х- α і т.д. Що ж до Cn то ще є остання частка в процесі послідовного ділення.

Приклад 4: Знайдемо розклад многочлена f(x)5-3х32-2х+1 за степенями двочлена х-1.

1

0

-3

1

-2

1

1

1

1

-2

-1

-3

-2

1

1

2

0

-1

-4

1

1

3

3

2

1

1

4

7

1

1

5

1

1

С5=1, С4=5, С3=7, С2=2, С1=-4, С0=-2

f(х)= (х-1)5+5(х-1)4+7(х-1)3+2(х-1)2-4(х-1)-2.

                                  

 


****************************************************************

Лекція 2

Подільність в кільці многочленів P[x],де Р-поле.

План

1.НСД і НСК елементів кільця P[x]. Лінійне представлення НСД елементів кільця P[x].

2.Незвідні многочлени.

3.Канонічний розклад многочлена.

1. НСД і НСК елементів кільця P[x].

Означення 1:Якщо многочлен d(x) є дільником многочлена f(x) і многочлена g(x),то він називається спільним дільником многочленів f(x) і g(x).

Означення2:Спільний дільник многочленів f(x) і g(x),який ділиться на кожний інший спільний дільник цих многочленів,називається НСД многочленів f(x) і g(x) і позначається – (f,g).

! Якщо d(x) – найбільший спільний дільник (f(x) і g(x),то й кожний многочлен сd(x) ,де с – елемент поля Р,відмінний від нуля,також є НСД цих многочленів.

! З точністю до сталого множника НСД визначається одночасно.

О3:Многочлени  f(x),g(x) є  P[x] називається взаємно-простими,якщо кожний їхній спільний дільник є многочленом нульового елемента (відмінною від нуля константою)

Теорема 1:Для будь-яких двох многочленів f(x) і g(x) є P[x] існує найбільший спільний дільник  d(x),причому d(x) можна подати у вигляді

d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x),

де  u(x) і v(x) – деякі многочлени з P[x].

Спосіб знаходження НСД двох многочленів – алгоритм Євкліда.

Нехай дано два многочлена g(x) i f(x),причому степінь f(x) не менший g(x). Виконаємо послідовне ділення з остачею,яке можна записати за допомогою такої системи рівностей:

f(x)=g(x)(x)+(x),

g(x)=(x)(x)+(x),

                                     (x)=(x)(x)+(x),                               (1)

………………………

(x)=(x)(x)+(x),

(x)=(x).

Після скінченного числа ділень остача (x)=0.

deg(x)<deg g(x), deg(x)< deg(x) і.т. степінь deg(x)<deg (x). Це означає,що або якась з остач (x) дорівнюватиме нулю,або степінь остачі,зменшуючись при кожному ділення принаймні на 1 дорівнюватиме 0.

Якщо deg (x)=0,то =0,бо будь-який многочлен ділиться на многочлен нульового степеня.

Оскільки степінь (x)m-1,де m – степінь g(x),то число кроків у схемі (1) не може перевищувати  m.

Приклад 1. Нехай f(x)=-3+3x-1, g(x)=-1.Застосуємо алгоритм Євкліда.

   

                                             

                                               

                                       

  1.  (f,g)=x-1

Лінійне представлення НСД

Оскільки  d(x)=(x),то з рівностей (1) дістаємо

d=-. (2)

У свою чергу

-

-                     (3)

………………………...

-.                                       (4)

Підставляючи  у  (2)  вираз  (3)  дістанемо:

d=- (- (-))

d=+ (1+)

Виключаючи далі ,…,ми щоразу діставатимемо вираз d через  iякому множники утворені з часток  за допомогою додавання і множення. Процес поступового виключення  припиниться тоді,коли в правій частині рівності з’явиться  i .

Отже дістанемо                  

d=fu+gv  (5)

Приклад 2: З прикладу 1

d==x-1

(x)=(x)+f(x)=(x)

g(x)=(x)

Означення 4. Спільним кратним многочленів f(x), g(x) є P[x] називається будь-який многочлен S(x) є P[x] такий, що S(x): f(x) і S(x): g(x). Найменшим спільним кратним (НСК) многочленів f(x) і g(x) називається спільне кратне f(x) і g(x),яке ділить будь-яке інше спільне кратне цих многочленів. НСК многочленів f(x) і g(x) позначають [f,g].

Теорема 3. Для будь-яких відмінних від нуля многочленів f(x) і g(x) найменше спільне кратне існує і визначається однозначно з точністю до сталого множника

r2(x) = g(x) – r1(x) S2(x)

r2(x) = g(x) – (f(x) – g(x) S1(x)) S2(x)

r2(x) = g(x) – f(x) S2(x) + g (S1(x) S2(x)) = g(x) (1 + S1(x) S2(x)) – f(x) S2(x)

r2(x) = (x3 – 1) (1 + (-  x -) – (x3 – 3x2 + 3x + 1) (-  x -)

V(x) = (   - x), U(x) = ( x -)

НСК = -4(а)

2. Незвідні многочлени.

Означення 1. Многочлен f(x) є P[x] називається незвідним у полі Р, якщо він не є константа і не має дільників, відмінних від константи і від многочленів виду c f(x), де с – константа.

Означення 2. Многочлен  f(x) є P[x] називається звідним у полі Р, коли

deg f ≥1 і коли існують такі многочлени  g(x), S(x) є P[x], що f(x) = g(x) S(x) є P[x], причому deg g ≥1, deg S ≥1.

Звідність чи незвідність многочлена є поняття відносне і залежить від поля Р, над яким многочлен розглядається.

Приклад 3. Многочлен (х2 + 1) незвідний у полі раціональних чисел і в полі дійсних чисел. Він звідний в полі комплексних чисел.

Приклад 4. Многочлен (х2 - 2) незвідний у полі раціональних чисел. Він звідний у полі чисел виду а + b  ( a, b є Q): (х2 - 2) = (х - ) (х + )

Теорема 2. Многочлен першого степеня над довільним полем Р незвідний у цьому полі.

3. Канонічний розклад многочлена

Теорема 3. Кожний многочлен f(x) ненульового степеня над полем Р можна подати у вигляді:

f(x) = p1(x) p2(x) … pl(x),                            (6)

де всі pk(x) є незвідними многочленами у полі Р. Зображення (6) єдине з точністю до сталих множників і до порядку нумерації многочленів pk(x).

Наслідок. Довільний многочлен ненульового степеня над полем Р можна подати у вигляді:

f(x) = [p1(x)]k1 [p2(x)]k2  [pm(x)]km               (7)

Зображення (7) – канонічний розклад многочлена f(x) у полі Р.

Означення 3. Якщо многочлен pi(x) входить у канонічний розклад (7) у степені з показником kj, кажуть, що pj(x) є множником кратності kj многочлена f(x). Множники кратності яких більша за одиницю називаються кратними множниками многочлена.

Приклад 5. Розкладемо f(x) = х3 + х2 – 5х + 3 на незвідні множники в полі раціональних чисел:

f(x) = х3 + х2 – 5х + 3 = (х – 1) (х – 1) (х +3) = (х – 1)2(х + 3)

p1(x) = x – 1 – кратності 2.

P2(x) = x + 3 – кратності 1.

Такий розклад у будь-якому полі, бо це многочлени 1-го степеня.

Приклад 6. f(x) = х4 – х2 + 4 = (х2 – 2) – у полі раціональних чисел.

f(x) = (х -) (х +) – у полі дійсних чисел. Обидва множники кратності 2.

Теорема 4. Якщо многочлени f(x) і g(x) розкладені на незвідні множники у довільному полі Р, то НСД (f,g) дорівнює добутку всіх незвідних множників, які входять у розклад як f(x) так і g(x). Якщо таких спільних незвідних множників немає, то (f,g) = 1.

Приклад 7. Нехай f(x) = (х – 1)2(х + 3), g(x) = (х – 1)3. НСД (f,g) = (х – 1)2, тобто (f,g) = х2 – 2х +1

****************************************************************************

Лекція 3

Корені многочлена

План

  1.  Означення і ознака кореня многочлена. Кратні корені.
  2.  Теорема про найбільшу можливу кількість коренів многочлена.
  3.  Існування кореня многочлена над довільним полем. Формули Вієта.
  4.  Про алгебраїчну і функціональну рівність многочленів. Приклади.

  1.  Означення і ознака кореня многочлена. Кратні корені.

Означення 1:  Коренем многочлена   f(x)є P[x]  називається елемент α поля Р такий, що f(α)=0.

Корінь многочлена f(x) називають також нулем многочлена  f(x).

Теорема1:  Елемент α є Р  є коренем многочлена  f(xP[x]  тоді і тільки тоді, коли лінійний двочлен  х- α  є дільником многочлена с

Доведення:

За т. Безу остача від ділення f(x) на х- α дорівнює f(α). Отже, f(x) х- α тоді і тільки тоді, коли f(α)=0, тобто α – корінь многочлена  f(x).

Ця ознака – необхідна і достатня умова того, щоб α – був коренем многочлена.

Означення 2: Елемент α є Р називається коренем многочлена  f(x)є P[x], якщо f(x) ділиться на х-α .

Означення 3: Елемент α є Р називається  k-кратним коренем (або коренем k-ї  кратності) многочлена  f(x)є P[x], якщо  f(x) ділиться на  (х але не ділиться на .

Отже, кратність кореня  α многочлена  f(x)  є найбільше з натуральних чисел  m таких, що  є дільником  f(x) у кільці P[x].

Корені кратності  1 називаються простими, корені кратності 2 і більше- кратними, двократні і трикратні корені  іноді називають подвійними та потрійними.

Якщо f(x)-нуль-многочлен, то будь-який елемент α є Р є його  коренем, причому кратність цього кореня не можна визначити, бо нуль-многочлен ділиться на  при довільному натуральному m.  α є Р k-кратним коренем многочлена,  f(xP[x] тоді і тільки тоді , коли f(x)=g(x), (1)  де g(x)-многочлен над полем Р для якого α не є коренем.

Приклад 1:

f(x)=

«1» - подвійний , «2» - потрійний корінь многочлена.

Приклад 2:

Многочлен  f(x)= над полем  Q має n-кратний корінь α=0.

Теорема (про найбільшу можливу кількість коренів многочлена).

Нехай f(xP[x], є Р  є коренем ,  f(x) кратності  , є-коренем f(x) кратності  …,є Р- коренем f(x) кратності , причому  при  і. Тоді, згідно з (1) можна записати

f(x)=                 (2)

де   не ділиться на .

Оскільки  f(x) має ділитись на (але не на (), а  взаємно простий з   то з  (2)  видно, що  ділиться на    (але не на ( ), тобто

f(x)= , де   - многочлен, який не має своїми коренями  і   .

Продовжуючи міркувати в такий же спосіб (тобто, по суті, застосовуючи метод математичної індукції ),дістанемо :

f(x)=…,  (3)

де  - многочлен, для якого жодний ж елементів   не є коренем. З (3) видно, що  deg f =+…+deg m , тобто

+…+= n

Отже, число коренів многочлена f(x) у полі Р не може перевищувати степеня цього многочлена, коли навіть кожний корінь ураховували стільки разів,  яка кратність.

Теорема 2: Число усіх можливих коренів многочлена f(x) над полем Р не перевищує його степеня.

3.Існування кореня многочлена над довільним полем. Формули Вієта.

Наведемо приклади многочленів над полем Р, які не мають жодного корення у цьому полі.

над полем Q не має рац. коренів. Многочлен   над полем R не має дійсних коренів. Але кожній з цих многочленів має корені в деякому розширенні розглядуваного поля, а саме:  має корені  корені .

Теорема 3 (Кронекера): Якщо  довільний многочлен над полем Р, для якого то існує  розширення К поля Р, в якому є корінь .

Теорема 4: Для будь-якого многочлена степеня   існує таке розширення L поля Р, в якому  розкладається на лінійні множники.

Означення 1: Поле L, в якому многочлен  розкладається на лінійні многочлени, називають полем розкладу цього многочлена.

Приклад 1.

 не розкладається на множники в.

 в кінці многочленів над полем чисел виду     в кінці многочленів  над полем R дійсних чисел     над полем дійсних чисел, всі множники лінійні, тому С  поле розкладу.

Означення 2: Поле Р називається алгебраїчно замкнутим, якщо воно є полем розкладу для будь-якого многочлена  ненульового степеня.

Приклад: поле С  комплексних чисел. Твердження про алгебраїчну замкненість цього поля  основна теорема теорії многочленів.

Наслідок 1: Многочлен  n-го степеня має у полі розкладу n коренів.

Наслідок 2: У полі розкладу многочлен  має канонічний розклад виду , де  різні корені многочлена  .

Теорема 5 (Вієта): Якщо корені многочлена , то

,

,  (3)

……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………….

 

Символ  cлід тут розмістити так, що сума береться по всіх  комбінаціях з n індексів 1,2,3,…, n по k.

Для доведення формул (3) досить виконати множення у правій частині рівності:

3. Формули Вієта.

Ф. Вієт (1540-1603)  видатний французький математик.

4. Про алгебраїчну і функціональну рівність многочленів.

Приклади.

Алгебраїчна рівність:

Означення 1: Многочлени  називають рівними між собою і записують , якщо канонічні форми цих многочленів збігаються: тобто .

Нехай многочлен над областю цілісності R, а С – деяке комутативне кільце що є розширенням R. Якщо α – будь-який елемент з С то має сенс вираз:

, бо в (1) С визначено дії множення і додавання над елементами α, . Вираз (1) утворений з  заміного символа х елементом α. Позначають f(α) і називають значенням многочлена f(х) при х=α.

Кожному  відповідає за цим правилом єдиний елемент  f(α).

Теорема 2: Якщо f(х) — будь-який многочлен над областю цілісності R, а С – деяке комутативне кільце, яке є розширенням R, то поставивши кожному елементу  у відповідність елемент f(α), дістаємо функцію .

Наслідок : Якщо R — область цілісності, що є числовим полем , то многочлени  рівні між собою тоді і тільки тоді, коли їх значення в довільний точці області R рівні між собою.

*******************************************************************************

Лекція 4

 

Кратні множники многочлена

План.

  1.  Похідна многочлена. Властивості. Схема обчислення похідних в точці.
  2.  Незвідні кратні множники многочлена.
  3.  Задача відокремлення кратних множників.
  4.  Ознака кратності кореня многочлена.

  1.  Похідна многочлена. Властивості. Схема обчислення похідних в точці.

Похідною .від многочлена f’(x)=nanxn-1+(n-1)an-1xn-2+…+2a2x +a1(*).

Похідна від многочлена нульового степеня, а також похідну від нуль-многочлена беруть рівною нулю.

Похідна від многочлена над полем Р є знову многочлен над полем Р.

Будемо розглядати многочлени та їх похідні над полем дійсних чисел.

deg f’=degf-1.

Для многочленів над полем дійсних чисел(як і для диференційованих функції) справедливі, як відомо, такі правила диференціювання:

[f(x)+g(x)]’=f’(x)+g’(x)   (1)

[f(x)*g(x)]’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)   (2)

І, зокрема,

[cf(x)]’=cf’(x) – (c - константа)   (3)

Справедливість цих рівностей не залежить від того, над яким полем ці многочлени розглядають, бо вони означають просто рівність відповідних коефіцієнтів многочленів в обох частинах рівностей.

Пояснимо цю думку на прикладі формули (1). Якщо дано два многочлена з кільця R[x]:

f(x)=anxn +an-1xn-1+…+a1x+a0,

g(x) = bmxm +bm-1xm-1+…+b1x+b0,  (n≥m), то 

f(x)+g(x)= anxn +an-1xn-1+…+(am+bm)xm+…+(a1+b1)x+(a0+b0).

Переходячи до похідних за правилом (*), помічаємо, що формула (1) означає просто тотожну рівність многочленів:

nanxn-1+(n-1)an-1xn-2+…+m(am+bm)xm-1+…+(a1+b1)= [nanxn-1+(n-1)an-1xn-2+…+mamxm-1+…+a1] +[mbmxm-1+…+b1](4)

Можна розглядати f’(x), f’’(x), f’’’(x),…fk(x). При цьому fk(x) – визначають як похідну f(k+1)x, fk(x)=0, k>n, fn(x)=n!an(anсталий коефіцієнт f(x)).

  1.  Незвідні кратні множники многочлена.

Всякий многочлен над полем Р можна єдиним способом подати у вигляді добутку многочленів нижніх степенів, незвідних у цьому полі:

f(x)=[p1(x)]k1[p2(x)]k2…[pi(x)]ki   (5)

Якби для кожного многочлена був відомий канонічний розклад (5), тоді було б досить розглядати лише незвідні множники, степінь яких, як правило, значно нижчий за степінь даного многочлена.

Покажемо, що в деяких випадках можливо розробити загальний метод розкладання многочлена на множники, хоч цей розклад не буде таким повним, як зображення (5).

Виберемо у розкладі (5) ті незвідні множники pi(x), кратність яких ki  дорівнює 1, і позначимо добуток цих множників через µ1(x):

µ1(x)=pi1(x) pi2(x)… pis(x)

Тепер утворимо добуток тих множників pj(x) – кратність яких kj =2, тобто тих, які входять у (5)зі степенем 2.

µ2(x)=pj1(x) pj2(x)… pjs(x)

µ2(x) – добуток самих незвідних множників, а не їх квадратів, так що в розклад входить [µ2(x)]2.

µ3(x) – добуток незвідних множників кратності 3 і т.д.

Розклад (5) можна записати:

f(x)= µ1(x)[ µ2(x)]2[ µ3(x)]3…[ µm(x)]m,   (6)

або ж f= µ1 µ22 µ33... µmm.

Якщо множників кратності k<m в розкладі (6) немає природно вважають µk=1.

Розклад (6) доцільний тоді, коли в (5) існують кратні множники. Якщо ні, то f(x)= µ1 (x).

Приклад 1.

f(x)= x13-5x12+6x11+4x10-9x9+5x8-6x7-4x6+8x5=x5(x-2)3(x2+1)(x+1)2(x-1).

µ1=(x2+1)(x-1)=x3-x2+x-1, µ2=x+1, µ3=x-2, µ4=1, µ5=5.

f(x)= µ1(x)*[ µ2(x)]2*[ µ3(x)]3*[ µ4(x)]4*[ µ5(x)]5.

В цьому прикладі розклад многочлена f(x) на множники µk(x) дає змогу повністю знайти всі його корені, тому , що ми вміємо розвязувати рівняння 1-3 степенями.

№3

Задача відокремлення кратних множників

   Задача зображення многочлена у вигляді (6) називається відокремленням кратних множників .

 Теорема 1:

 Якщо незвідний у даному числовому полі P многочлен g(x) є множником кратності k≥2 для многочлена f(x), то він є множником кратності k-1 для похідної    f (x). Якщо g(x)  є множником першої кратності многочлена f(x), то він не входить у розклад похідної f (x) на незвідні многочлени.

 Наслідок . Для того, щоб многочлен f(x) не мав кратних множників необхідно і достатньо, щоб f(x) був взаємно простим зі своєю похідною  f (x).

  Наше завдання полягає в тому, щоб знаючи лише коефіцієнти многочлена f(x), визначити .

Оскільки  є добутком незвідних множників многочлена f(x), які мають кратність k=1, то в f (x)жодний з цих множників (Т.1) входити не буде,  є добутком незвідних множників f(x) кратності 2.

У f (x)усі ці множники входять з кратністю одиниця, тобто f (x)має своїм множником добуток (x) усіх цих незвідних множників, але вже у першому степені. Аналогічно, якщо f(x) має множником , то f (x) матиме множник .

   Отже f =…,

де не ділиться на  

НСД (f , f ) є добутком усіх множників, які входять у розклади як f (x), так і f (x):

Знайдемо : …, де  не ділиться на (i=2,…,m).

 Далі:

                                                                                       (7)

  . Знайдемо кожний з множників окремо:

   Поділимо f на :

,

аналогічно :

,          (8)

,

.

З (7) та(8) множники  дістанемо безпосередньо :

                         ; , …, ,                             (9)

      У довільного многочлена над полем P можна відокремити кратні множники за допомогою скінченного числа раціональних дій над деякими многочленами.

     Приклад 2

 Відокремити кратні множники многочлена

  

 Знайдемо спочатку многочлени :  — НСД f(x) і f (x)=  Застосувавши алгоритм Евкліда, дістанемо:

Далі маємо  і знаходимо  

  =>      тому

 Обчислимо многочлени :

   

  

 Знаходимо множники  , =;  ,

Маємо f (x)=.

№4

Ознака кратності кореня многочлена.

Теорема:

 Для того, щоб α був коренем кратноті k  многочлена f(x) необхідно, щоб

f(α)=f’(α)=…=                                    (9)

Нб.: Нехай α є коренем f(x) — кратності k, це означає що x- α є незвідним множником k-i кратності многочлена f(x). За Т.1 (x- α) є незвідним множником похідної f (x)кратності k-i, тобто α є  коренем (k-1) –ї кратності многочлена f (x)

Аналогічно, є коренем (k-2) –ї кратності многочлена -ї кратності   і т.д. Нарешті x-α своїм множником кратності 1, а  цього множника не має зовсім, і тому , за наслідком з теореми Безу ≠0. Отже (9) справджуеться.

Дт.  Нехай справджується умова (9). Тоді α є коренем многочлена  Позначимо кратність цього кореня через l і покажемо, що l=k.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78701. ЭРИКСОН ЭРИК 31 KB
  По Эриксону главной частью структуры личности является не бессознательное ИД как у Фрейда но сознаваемая часть Эго которая стремится в своем развитии к сохранению своей цельности и индивидуальности.
78703. Повреждения и заболевания конечностей 201.94 KB
  Стадия декомпенсации -– боли в покое изменения цвета кожи вынужденное положение конечности. Признаками перелома кости являются боль отечность тканей патологическая подвижность и крепитация костных отломков нарушение функции при возникновении смещения отломков деформация конечности.
78704. Социальная стратификация 152.5 KB
  Постоянное ранжирование социальных статусов и ролей в социальной системе. Социологи называют социальной стратификацией расположение индивидов и групп сверху вниз по горизонтальным слоям или стратам по признаку неравенства в доходах уровне образования объеме власти профессиональном престиже.
78706. В.А. Сухомлинский. Вклад в развитие педагогической науки 39.4 KB
  Сначала Сухомлинский подался было в медицинский техникум но вскоре ушел оттуда поступил на рабфак досрочно закончил его и был принят в педагогический институт. На дневном отделении учился Сухомлинский всего два года в 1935 г.
78707. Технологии политической агитации (политическая реклама, пропаганда, связи с общественностью) 58.5 KB
  Технологии политической агитации довольно разнообразны и их выбор диктуется определенными условиями как то: личность политического лидера условия региона и т. Технологии политической агитации относятся к видам деятельности которые требуют высочайшей компетенции персонала и их руководителей.
78708. Права и обязанности учеников в школе 38.99 KB
  Какие права связаны с правом на образование Право на образование следует рассматривать как совокупность прав: 1 на выбор образовательного учреждения или образовательной программы; 2 на получение образования в соответствии с установленными стандартами...