47870

Многочлени. Властивості многочленів

Конспект

Математика и математический анализ

Ділення многочлена на лінійний двочлен. Розклад многочлена за степенями лінійного двочлена. Означення многочлена Вираз виду: Повністю визначається коефіцієнтами. Многочленомполіномомвід однієї змінної над областю цілісності К називається вираз виду 3 де довільне ціле невідємне число елементи К а деякі символи; називається степенем змінної або невідомого а м коефіцієнтом многочлена 3 або коефіцієнтом при .

Украинкский

2013-12-13

5.51 MB

123 чел.

Лекція №1

              Кільце многочленів та його властивості.

План  

  1.  Кільце многочленів К[x].
  2.  Подільність в К[x].Теорема про ділення з остачею в К[x] , де К – поле.
  3.  Ділення многочлена на лінійний двочлен . Схема  Горнера. Теорема Безу . Розклад многочлена за степенями лінійного двочлена.

1.Кільце многочленів К[x].

З курсу математичного аналізу відомо,що многочленом від однієї змінної є ціла раціональна функція виду:

 (1)

задана на множині дійсних чисел,де коефіцієнти  – довільні задані дійсні числа.

Найпростіші типи многочленів лінійна функція  та квадратний тричлен    відомі зі школи.

В алгебрі многочлени зустрічались у зв’язку з розв’язуванням алгебраїчних  рівнянь вищих степенів з одним невідомим,тобто рівнянь виду:

                           (2)

ліва частина яких є многочлен від однієї змінної. На відміну від аналізу в алгебрі многочлени вважалися цілими раціональними функціями комплексної змінної ,тобто виразами виду (1),в яких коефіцієнти    є комплексні числа ,а змінна  може набувати довільних комплексних значень . Це важливо для розв’язування рівнянь  3-го ,4-го і вищих степенів.

Означення многочлена     

Вираз виду :

Повністю визначається коефіцієнтами  .

      Їх вибирають так щоб над ними можна було виконувати операції додавання та множення за тими правилами ,що і в елементарній математиці , і ці дії мали властивості:

  •  Асоціативність;
  •  Дистрибутивність;
  •  Комутативність.

      Коефіцієнти многочленів повинні належати деякому комутативному кільцю К,без дільників нуля () – області цілісності К.

Означення 1.

Многочленом(поліномом)від однієї змінної над областю цілісності К називається вираз виду (3) , де довільне ціле невід’ємне число   - елементи К, а деякі символи; називається степенем змінної  (або невідомого  ) , а м коефіцієнтом многочлена (3)  або коефіцієнтом при  (.

   Многочлени від однієї змінної   позначатимемо :. Сукупність всіх многочленів від  над областю цілісності К-символом К[].

Означення 2.

Вираз  називається членом або членом го степеня многочлена.

                                                       (4)

нульовим або вільним членом причому записи  рівнозначні. Якщо  (тобто є нульовим елементом області цілісності К) ,то кажуть ,що член многочлена   дорівнює нулю або його немає.

 У виразі для многочлена (4) члени, які дорівнюють нулю можна не писати. Так многочлен:

                                                                (5)

Можна записати коротше :

                                 

Означення 3.

Відмінний від нуля член многочлена ,степінь якого більший за степінь усіх інших відмінних від нуля членів цього многочлена ,називається старшим членом ,його коефіцієнт старшим коефіцієнтом ,а його степінь – степенем многочлена .

    Степінь многочлена позначають deg f.

    Будь-який многочлен  записуватимемо так,щоб запис починався зі старшого члена ,тобто не включати у запис рівних нулю членів ,степінь яких  більший за deg f . Так многочлен (6) подаватимемо у будь-якому з виглядів :

    Будь - який многочлен степеня подаватимемо у вигляді :

                                                     (7)

де   ,а з решти коефіцієнтів частина або всі можуть дорівнювати нулю.

    Таку форму запису називають канонічною . Вживають також назву «многочлен стандартного виду».

- лінійний двочлен.

    Многочлени нульового степеня вважають константами ,цей многочлен називатимемо нуль многочленом:.

    Нуль – многочлен немає ніякого степеня.

Дії над многочленами.

    Нехай дано два многочлени над областю цілісності R.

                    ( К ,                                             (8)

                                            ()                                              (9)

Означення 1.

Многочлени називають рівними між собою і записують  , якщо канонічні форми цих многочленів збігається ,тобто

                   (10)

   Рівність многочленів має властивості рефлексивності ,симетричності та транзитивності,тобто є відношенням еквівалентності на множині К[x] .

Означення 2.

Сумою многочленів  називається многочлен:

            (11).

Те ,що  є сумою многочленів   записують так:

Н1.

Якщо  є К[] , К[] , то й

Н2.

Степінь суми двох многочленів не перевищує більшого зі степенів даних многочленів :

deg

Н3.

Для довільного многочлена К[] і  К[]

                                                                                             (12)

Означення 3.

Добутком многочленів  (8 і 9) називається многочлен:

                          (13)

де

(),

Те що  є добутком многочленів , записують так:

.

   Наведене означення є безпосереднім узагальненням «шкільного» правила множення многочленів.

   Вираз (14) можна переписати :

.

Н4:

Якщо  є  К[], є  К[],то й  є  К[]

Н5:

Якщо  не є нуль-многочлени ,то deg ()=degdeg.            (16)

Н6:

При множені двох многочленів,з яких хоч один нуль-многочлен дістаємо нуль-многочлен.

                                       (17)

Теорема 1:

    Сукупність К[] усіх многочленів над областю цілісності К є область цілісності відносно операції додавання та множення многочленів.

Доведення:

     З наслідків 1 та 4 випливає що сукупність К[] є комутативне кільце відносно заданих операцій:

1.

2. тому , що  є комутативне кільце і

3.Асоціативність додавання многочленів.

Розглянемо три многочлени:

                     []+                        (18)

випливає безпосередньо з асоціативності додавання елементів у кільці К.

   За означенням рівності многочленів співвідношення (18) рівносильне степені рівностей:

(

4.Нульовим елементом в  К[] є очевидно нуль многочлен

Існує в К[] протилежний

6.Для перевірки асоціативності множення многочленів  :

 Якщо  коефіцієнт многочлена  то відповідно до (15)

Але тоді й коефіцієнт многочлена :

є

З другого боку позначаючи через й коефіцієнт многочлена

Дістаємо для   коефіцієнта многочлена  такий вираз :

   Зіставляючи (19) і (20) переконуємось що асоціативність виконується.

7.Дистрибутивний закон

[] випливає з рівності

   Отже К[] – комутативне кільце.

   Покажемо , що К[] – область цілісності, тобто не існує в ньому дільників нуля.

Нехай  є К[].

старші коефіцієнти .

має старший коефіцієнт ,тому  не є нуль многочленом.

2.Подільність в К[].

Слід показати ,що для довільних многочленів   можна подати у вигляді:

                                        (1)

Де  ,або deg  Тут  ділене , дільник , частка,

Степінь остачі повинен бути менший за степінь дільника.

Приклад 1 : Нехай  f(х)= х2-3х+1,  g(х)=х2+1.  Рівність х3-3х+1=(х2+1)х+(-4х+1) свідчить, що f(х) ÷ на g(х) з остачею. Частина S(х)=х,  остача r(х) =-4х+1. Так само g) ділиться на f(х) з остачею: х2+1=0*(х3-3х+1)+х2+1.  S1(х)=0 – частка, r1(х)=х2+1 – остача.

Теорема ( про ділення з остачею в К[х]), де К-поле. Будемо вимагати, щоб К була полем, тобто, щоб в К існувала одиниця і для довільного елемента  а≠0 існував обернений елемент а-1.

Сукупність всіх многочленів над полем Р є область цілісності з одиницею Р[х] відносно додавання і множення многочленів.

Теорема 1 : Довільний многочлен f(х) з кільця Р[х] ділиться з остачею на будь-який многочлен g(х) з цього кільця, відмінний від 0 многочлена, при цьому частина й остача також належать до Р[х] і визначаються однозначно.

Доведення: Встановимо  можливість знайти серед многочленів з кільця Р[х] частку S(х) і остачу r(х) для будь-яких многочленів f(х)= g(х) є Р[х] при g(х)≠0. Нехай f(х)= аnхn+an-1 xn-1+…+a1x+a0,      g(х) = bmxm + bm-1xm-1+…+b1x+b0.

Якщо f(х)=0, то S(х)=0, r(х)=0. Нехай n=deg f(х)<deg g(x)=m тоді S(x)=0, r(x)=f(x). Розглянемо  nm.

Виконаємо доведення методом індукції по n, починаючи з n=0. При n=0, m=0, f(x)=a0, g(x)=b0≠0 тому S(x)= a0/ b0, r(x)=0. S(x) є P(x), бо a0/b0 є Р.

Припустимо, що теорема справедлива для всіх многочленів таких, що deg f <n і доведемо її для многочленів степеня n.

Розглянемо многочлен

Р(х)=f(x)=an/bm xn-m g(x)                  an≠0, bm≠0.

Старший член многочлена аn/bm xn-m g(x)=anxn  тобто старшому члену многочлена f(x). Тому deg P<n і за припущенням індукції Р(х) можна поділити з остачею на g(x);

P(x)= g(x)S1(x) + r1(x), S1(x), r1(x) є P[x], r1(x)=0 або deg r1<deg g.

Отже f(x)- an/bm xn-m g(x)= g(x)S1(x) + r1(x),

Звідси f(x)=g(x) S(x)+r(x),  де  r(x)=r1(x), S(x)=S1(x)+ an/bm xn-m, де S(x) і r(x) є P[x] і що r(x)=0, або deg r= deg r1<deg g.

Цим показано можливість ділення f(x) на g(x) з остачею. Встановимо єдиність частки S(x) і остачі r(x). Припустимо, що можливі два записи:

f(x)= g(x)S(x)+ r(x), deg r<deg g;

f(x)= g(x)S^(x)+r^(x), deg r^< deg g;

Віднімаючи другу рівність від першої, дістанемо:

g(x) [S(x)- S^(x)]=r(x)- r^(x).          (2)

g(x)≠0 за умовою

Якщо припустити, що r(x) ≠ r^(x), то й S(x) ≠ S^(x) (адже Р[x] не має дільників нуля). Але приходимо до суперечливості. Справді права частина (2) є многочлен степінь якого менший від deg g і меншого від степеня лівої частини рівності (1). Отже (2) можлива коли коли r(x)= r^ (x)    S(x)= S^(x), частка єдина, остача єдина. Теорема доведена.

4. Ділення многочлена на лінійний двочлен. Схема Горнера. Теорема Безу. Розклад  многочлена за степенями лінійного двочлена.  Практичне здійснення ділення з остачею, для двох заданих многочленів ґрунтується на методі, використаному при доведенні теореми 1.

Приклад 1: Нехай f(x)=x4-2x3+x-1, a g(x)=x2-2

Знайдемо : g1(x)=f(x)- an/bm xn-m g(x):

g1(x)=x4-2x3+x-1-x2 (x2-2)=-2x3+2x2+x+1  далі з  g1(x)   так як з f(x);

g2(x)=-2x3+2x2+x-1+2x(x2-2)=2x2-3x-1;

g3(x)=2x2-3x-1-2(x2-2)=-3x+3

deg g3(x)<deg g(x) і тому S(x)=x2-2x+2, r(x)= -3x+3.

X4-2x3+x-1=(x2-2)(x2-2x+2)+ (-3x+3)

Це можна записати :

X4-2x3+x-1   x2-2

Метод невизначених коефіцієнтів

X4-2x3+x-1=(x2-2)S(x)+r(x)                  (3)

cтепінь S(x)≤n-m=2            r(x)<m,    deg r(x)=1.

S(x)=A2x2+A1x+A0                 r(x)=B1x+B0

Підставляючи вирази в рівність (3) маємо:

X4-2x3+x-1=(x2-2)(A2x2+A1x+A0)+(B1x+B0) на підставі означення рівності многочленів коефіцієнти при однакових степенях Х рівні між  собою. Звідси дістанемо:

A2=1, A1=-2, -2A2+A0=0, -2A1+B1=1,  -2A0+B0=-1,

A2=1,  A1=-2, A0=2, B1=-3, B0=3

S(x)=x2-2x+2,  r(x)=-3x+3

У загальному випадку S(x) шукають у вигляді многочлена з невизначеними коефіцієнтами степеня n-m, a r(x)  -  m-1

Нехай g(x)= х-2 – лінійний двочлен. Використаємо метод невизначених коефіцієнтів

anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(x-2)(An-1xn-1+An-2xn-2+…+A1x+A0)+r.     r-const.     (4)

Прирівнюючи коефіцієнти у (4) дістанемо:

аn=An-1,

an-1=An-2- α An-1

……………………..

a1=A0- α A1,

a0= r- α A0,

звідси

                       An-1= an

                       An-2= an-1+ α An-1

                                  An-3=an-2+ α A

                                ……………………..

A0= a1+ α A1

r= a0+ α A0

Формули (5) показують, що поділити многочлен на х- α можна за такою схемою- схемою Горнера:

аn

an-1

an-2

an-3

a1

a0

α

an

An-1

αAn-1+an-1

An-2

αAn-2+an-2

An-3

αAn-3+an-3

An-4

αA1+a1

   A0

αA0+a0

   r

Виконуючи ділення з остачею за цією схемою, кожний наступний коефіцієнт Ак-1  частки й остачу r дістають множенням щойно обчисленого коефіцієнта Ак на α і додаванням до знайденого добутку відповідного коефіцієнта ак даного многочлена.

Приклад 2 : Поділимо за схемою Горнера многочлен х4-3х2+2х-1 на х-2          а4=1, а3=0, а2=-3, а1=2, а0= -1, α=2.

1

0

-3

2

-1

2

1

2

2*2-3=1

2*1+2=4

2*4-1=7

S(x)= x3+2x2+x+4,     r=7

За схемою можна кілька раз ділити на один і той же лінійний двочлен

1

0

-3

2

-1

2

1

2

1

4

7

2

1

4

5

22

Легко перевірити: остача при діленні f(x) на х- α дорівнює значенню многочлена при х= α тобто f(x). Це теорема Безу.

Т.Б для будь-якого елемента α з поля Р остача при діленні многочлена f(x) є P[x] на х- α= f(x).

Доведення : за формулою (1) ділення з остачею маємо:

f(x)=(х- α)S(x)+r,                      (6)

де многочлен r є константа, бо має степінь, нижчий від степеня х- α. Оскільки многочлени, що стоять у лівій і правій частинах (6) рівні між собою, то рівні між собою і їх значення при будь-якому х є Р. Тому взявши х= α, дістанемо f(α)=r, що й треба було довести.

За схемою Горнера зручно багато ділити многочлен на лінійний двочлен. За допомогою такого ділення легко дістати розклад довільного многочлена f(x) за степенями х- α.

Нехай f(x)- многочлен n-го  степеня над полем Р, α-елемент цього поля. Ділення на х- α дає:   f(x)=(х- α) f1(х)+С0, де         (7)

f1(х)-многочлен (n-1)-го степеня з Р[x], a C0-елемент поля Р. Якщо n˃1 маємо :

 f1(x)=(x- α) f2(x) + C1   (8)

 f2(x)=(x- α)f3(x)+C2

                     ……………………………

 fn-1(x)= (x- α)fn(x)+Cn-1

fn(x) є многочлен нульового степеня fn(x)=Cn

Виключаючи з (7) і (8) fn-1(x),fn-2(x),…,f2(x), f1(x) дістанемо:

f(x)=Cn(x- α)n+Cn-1(x-α)n-1+…+C1(x-α)+C0             (9)

Отже, многочлен    f(x) над полем Р ми подали як многочлен такого самого степеня над тим самим полем, але вже від заміненого у=х- α. При цьому коефіцієнти С0, С1, …Сn однозначно визначаються через α коефіцієнти а0, а1, …,аn многочлена  f(х) . А саме, С0 є остача від ділення f(х) першої частки  f1(x) на х- α і т.д. Що ж до Cn то ще є остання частка в процесі послідовного ділення.

Приклад 4: Знайдемо розклад многочлена f(x)5-3х32-2х+1 за степенями двочлена х-1.

1

0

-3

1

-2

1

1

1

1

-2

-1

-3

-2

1

1

2

0

-1

-4

1

1

3

3

2

1

1

4

7

1

1

5

1

1

С5=1, С4=5, С3=7, С2=2, С1=-4, С0=-2

f(х)= (х-1)5+5(х-1)4+7(х-1)3+2(х-1)2-4(х-1)-2.

                                  

 


****************************************************************

Лекція 2

Подільність в кільці многочленів P[x],де Р-поле.

План

1.НСД і НСК елементів кільця P[x]. Лінійне представлення НСД елементів кільця P[x].

2.Незвідні многочлени.

3.Канонічний розклад многочлена.

1. НСД і НСК елементів кільця P[x].

Означення 1:Якщо многочлен d(x) є дільником многочлена f(x) і многочлена g(x),то він називається спільним дільником многочленів f(x) і g(x).

Означення2:Спільний дільник многочленів f(x) і g(x),який ділиться на кожний інший спільний дільник цих многочленів,називається НСД многочленів f(x) і g(x) і позначається – (f,g).

! Якщо d(x) – найбільший спільний дільник (f(x) і g(x),то й кожний многочлен сd(x) ,де с – елемент поля Р,відмінний від нуля,також є НСД цих многочленів.

! З точністю до сталого множника НСД визначається одночасно.

О3:Многочлени  f(x),g(x) є  P[x] називається взаємно-простими,якщо кожний їхній спільний дільник є многочленом нульового елемента (відмінною від нуля константою)

Теорема 1:Для будь-яких двох многочленів f(x) і g(x) є P[x] існує найбільший спільний дільник  d(x),причому d(x) можна подати у вигляді

d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x),

де  u(x) і v(x) – деякі многочлени з P[x].

Спосіб знаходження НСД двох многочленів – алгоритм Євкліда.

Нехай дано два многочлена g(x) i f(x),причому степінь f(x) не менший g(x). Виконаємо послідовне ділення з остачею,яке можна записати за допомогою такої системи рівностей:

f(x)=g(x)(x)+(x),

g(x)=(x)(x)+(x),

                                     (x)=(x)(x)+(x),                               (1)

………………………

(x)=(x)(x)+(x),

(x)=(x).

Після скінченного числа ділень остача (x)=0.

deg(x)<deg g(x), deg(x)< deg(x) і.т. степінь deg(x)<deg (x). Це означає,що або якась з остач (x) дорівнюватиме нулю,або степінь остачі,зменшуючись при кожному ділення принаймні на 1 дорівнюватиме 0.

Якщо deg (x)=0,то =0,бо будь-який многочлен ділиться на многочлен нульового степеня.

Оскільки степінь (x)m-1,де m – степінь g(x),то число кроків у схемі (1) не може перевищувати  m.

Приклад 1. Нехай f(x)=-3+3x-1, g(x)=-1.Застосуємо алгоритм Євкліда.

   

                                             

                                               

                                       

  1.  (f,g)=x-1

Лінійне представлення НСД

Оскільки  d(x)=(x),то з рівностей (1) дістаємо

d=-. (2)

У свою чергу

-

-                     (3)

………………………...

-.                                       (4)

Підставляючи  у  (2)  вираз  (3)  дістанемо:

d=- (- (-))

d=+ (1+)

Виключаючи далі ,…,ми щоразу діставатимемо вираз d через  iякому множники утворені з часток  за допомогою додавання і множення. Процес поступового виключення  припиниться тоді,коли в правій частині рівності з’явиться  i .

Отже дістанемо                  

d=fu+gv  (5)

Приклад 2: З прикладу 1

d==x-1

(x)=(x)+f(x)=(x)

g(x)=(x)

Означення 4. Спільним кратним многочленів f(x), g(x) є P[x] називається будь-який многочлен S(x) є P[x] такий, що S(x): f(x) і S(x): g(x). Найменшим спільним кратним (НСК) многочленів f(x) і g(x) називається спільне кратне f(x) і g(x),яке ділить будь-яке інше спільне кратне цих многочленів. НСК многочленів f(x) і g(x) позначають [f,g].

Теорема 3. Для будь-яких відмінних від нуля многочленів f(x) і g(x) найменше спільне кратне існує і визначається однозначно з точністю до сталого множника

r2(x) = g(x) – r1(x) S2(x)

r2(x) = g(x) – (f(x) – g(x) S1(x)) S2(x)

r2(x) = g(x) – f(x) S2(x) + g (S1(x) S2(x)) = g(x) (1 + S1(x) S2(x)) – f(x) S2(x)

r2(x) = (x3 – 1) (1 + (-  x -) – (x3 – 3x2 + 3x + 1) (-  x -)

V(x) = (   - x), U(x) = ( x -)

НСК = -4(а)

2. Незвідні многочлени.

Означення 1. Многочлен f(x) є P[x] називається незвідним у полі Р, якщо він не є константа і не має дільників, відмінних від константи і від многочленів виду c f(x), де с – константа.

Означення 2. Многочлен  f(x) є P[x] називається звідним у полі Р, коли

deg f ≥1 і коли існують такі многочлени  g(x), S(x) є P[x], що f(x) = g(x) S(x) є P[x], причому deg g ≥1, deg S ≥1.

Звідність чи незвідність многочлена є поняття відносне і залежить від поля Р, над яким многочлен розглядається.

Приклад 3. Многочлен (х2 + 1) незвідний у полі раціональних чисел і в полі дійсних чисел. Він звідний в полі комплексних чисел.

Приклад 4. Многочлен (х2 - 2) незвідний у полі раціональних чисел. Він звідний у полі чисел виду а + b  ( a, b є Q): (х2 - 2) = (х - ) (х + )

Теорема 2. Многочлен першого степеня над довільним полем Р незвідний у цьому полі.

3. Канонічний розклад многочлена

Теорема 3. Кожний многочлен f(x) ненульового степеня над полем Р можна подати у вигляді:

f(x) = p1(x) p2(x) … pl(x),                            (6)

де всі pk(x) є незвідними многочленами у полі Р. Зображення (6) єдине з точністю до сталих множників і до порядку нумерації многочленів pk(x).

Наслідок. Довільний многочлен ненульового степеня над полем Р можна подати у вигляді:

f(x) = [p1(x)]k1 [p2(x)]k2  [pm(x)]km               (7)

Зображення (7) – канонічний розклад многочлена f(x) у полі Р.

Означення 3. Якщо многочлен pi(x) входить у канонічний розклад (7) у степені з показником kj, кажуть, що pj(x) є множником кратності kj многочлена f(x). Множники кратності яких більша за одиницю називаються кратними множниками многочлена.

Приклад 5. Розкладемо f(x) = х3 + х2 – 5х + 3 на незвідні множники в полі раціональних чисел:

f(x) = х3 + х2 – 5х + 3 = (х – 1) (х – 1) (х +3) = (х – 1)2(х + 3)

p1(x) = x – 1 – кратності 2.

P2(x) = x + 3 – кратності 1.

Такий розклад у будь-якому полі, бо це многочлени 1-го степеня.

Приклад 6. f(x) = х4 – х2 + 4 = (х2 – 2) – у полі раціональних чисел.

f(x) = (х -) (х +) – у полі дійсних чисел. Обидва множники кратності 2.

Теорема 4. Якщо многочлени f(x) і g(x) розкладені на незвідні множники у довільному полі Р, то НСД (f,g) дорівнює добутку всіх незвідних множників, які входять у розклад як f(x) так і g(x). Якщо таких спільних незвідних множників немає, то (f,g) = 1.

Приклад 7. Нехай f(x) = (х – 1)2(х + 3), g(x) = (х – 1)3. НСД (f,g) = (х – 1)2, тобто (f,g) = х2 – 2х +1

****************************************************************************

Лекція 3

Корені многочлена

План

  1.  Означення і ознака кореня многочлена. Кратні корені.
  2.  Теорема про найбільшу можливу кількість коренів многочлена.
  3.  Існування кореня многочлена над довільним полем. Формули Вієта.
  4.  Про алгебраїчну і функціональну рівність многочленів. Приклади.

  1.  Означення і ознака кореня многочлена. Кратні корені.

Означення 1:  Коренем многочлена   f(x)є P[x]  називається елемент α поля Р такий, що f(α)=0.

Корінь многочлена f(x) називають також нулем многочлена  f(x).

Теорема1:  Елемент α є Р  є коренем многочлена  f(xP[x]  тоді і тільки тоді, коли лінійний двочлен  х- α  є дільником многочлена с

Доведення:

За т. Безу остача від ділення f(x) на х- α дорівнює f(α). Отже, f(x) х- α тоді і тільки тоді, коли f(α)=0, тобто α – корінь многочлена  f(x).

Ця ознака – необхідна і достатня умова того, щоб α – був коренем многочлена.

Означення 2: Елемент α є Р називається коренем многочлена  f(x)є P[x], якщо f(x) ділиться на х-α .

Означення 3: Елемент α є Р називається  k-кратним коренем (або коренем k-ї  кратності) многочлена  f(x)є P[x], якщо  f(x) ділиться на  (х але не ділиться на .

Отже, кратність кореня  α многочлена  f(x)  є найбільше з натуральних чисел  m таких, що  є дільником  f(x) у кільці P[x].

Корені кратності  1 називаються простими, корені кратності 2 і більше- кратними, двократні і трикратні корені  іноді називають подвійними та потрійними.

Якщо f(x)-нуль-многочлен, то будь-який елемент α є Р є його  коренем, причому кратність цього кореня не можна визначити, бо нуль-многочлен ділиться на  при довільному натуральному m.  α є Р k-кратним коренем многочлена,  f(xP[x] тоді і тільки тоді , коли f(x)=g(x), (1)  де g(x)-многочлен над полем Р для якого α не є коренем.

Приклад 1:

f(x)=

«1» - подвійний , «2» - потрійний корінь многочлена.

Приклад 2:

Многочлен  f(x)= над полем  Q має n-кратний корінь α=0.

Теорема (про найбільшу можливу кількість коренів многочлена).

Нехай f(xP[x], є Р  є коренем ,  f(x) кратності  , є-коренем f(x) кратності  …,є Р- коренем f(x) кратності , причому  при  і. Тоді, згідно з (1) можна записати

f(x)=                 (2)

де   не ділиться на .

Оскільки  f(x) має ділитись на (але не на (), а  взаємно простий з   то з  (2)  видно, що  ділиться на    (але не на ( ), тобто

f(x)= , де   - многочлен, який не має своїми коренями  і   .

Продовжуючи міркувати в такий же спосіб (тобто, по суті, застосовуючи метод математичної індукції ),дістанемо :

f(x)=…,  (3)

де  - многочлен, для якого жодний ж елементів   не є коренем. З (3) видно, що  deg f =+…+deg m , тобто

+…+= n

Отже, число коренів многочлена f(x) у полі Р не може перевищувати степеня цього многочлена, коли навіть кожний корінь ураховували стільки разів,  яка кратність.

Теорема 2: Число усіх можливих коренів многочлена f(x) над полем Р не перевищує його степеня.

3.Існування кореня многочлена над довільним полем. Формули Вієта.

Наведемо приклади многочленів над полем Р, які не мають жодного корення у цьому полі.

над полем Q не має рац. коренів. Многочлен   над полем R не має дійсних коренів. Але кожній з цих многочленів має корені в деякому розширенні розглядуваного поля, а саме:  має корені  корені .

Теорема 3 (Кронекера): Якщо  довільний многочлен над полем Р, для якого то існує  розширення К поля Р, в якому є корінь .

Теорема 4: Для будь-якого многочлена степеня   існує таке розширення L поля Р, в якому  розкладається на лінійні множники.

Означення 1: Поле L, в якому многочлен  розкладається на лінійні многочлени, називають полем розкладу цього многочлена.

Приклад 1.

 не розкладається на множники в.

 в кінці многочленів над полем чисел виду     в кінці многочленів  над полем R дійсних чисел     над полем дійсних чисел, всі множники лінійні, тому С  поле розкладу.

Означення 2: Поле Р називається алгебраїчно замкнутим, якщо воно є полем розкладу для будь-якого многочлена  ненульового степеня.

Приклад: поле С  комплексних чисел. Твердження про алгебраїчну замкненість цього поля  основна теорема теорії многочленів.

Наслідок 1: Многочлен  n-го степеня має у полі розкладу n коренів.

Наслідок 2: У полі розкладу многочлен  має канонічний розклад виду , де  різні корені многочлена  .

Теорема 5 (Вієта): Якщо корені многочлена , то

,

,  (3)

……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………….

 

Символ  cлід тут розмістити так, що сума береться по всіх  комбінаціях з n індексів 1,2,3,…, n по k.

Для доведення формул (3) досить виконати множення у правій частині рівності:

3. Формули Вієта.

Ф. Вієт (1540-1603)  видатний французький математик.

4. Про алгебраїчну і функціональну рівність многочленів.

Приклади.

Алгебраїчна рівність:

Означення 1: Многочлени  називають рівними між собою і записують , якщо канонічні форми цих многочленів збігаються: тобто .

Нехай многочлен над областю цілісності R, а С – деяке комутативне кільце що є розширенням R. Якщо α – будь-який елемент з С то має сенс вираз:

, бо в (1) С визначено дії множення і додавання над елементами α, . Вираз (1) утворений з  заміного символа х елементом α. Позначають f(α) і називають значенням многочлена f(х) при х=α.

Кожному  відповідає за цим правилом єдиний елемент  f(α).

Теорема 2: Якщо f(х) — будь-який многочлен над областю цілісності R, а С – деяке комутативне кільце, яке є розширенням R, то поставивши кожному елементу  у відповідність елемент f(α), дістаємо функцію .

Наслідок : Якщо R — область цілісності, що є числовим полем , то многочлени  рівні між собою тоді і тільки тоді, коли їх значення в довільний точці області R рівні між собою.

*******************************************************************************

Лекція 4

 

Кратні множники многочлена

План.

  1.  Похідна многочлена. Властивості. Схема обчислення похідних в точці.
  2.  Незвідні кратні множники многочлена.
  3.  Задача відокремлення кратних множників.
  4.  Ознака кратності кореня многочлена.

  1.  Похідна многочлена. Властивості. Схема обчислення похідних в точці.

Похідною .від многочлена f’(x)=nanxn-1+(n-1)an-1xn-2+…+2a2x +a1(*).

Похідна від многочлена нульового степеня, а також похідну від нуль-многочлена беруть рівною нулю.

Похідна від многочлена над полем Р є знову многочлен над полем Р.

Будемо розглядати многочлени та їх похідні над полем дійсних чисел.

deg f’=degf-1.

Для многочленів над полем дійсних чисел(як і для диференційованих функції) справедливі, як відомо, такі правила диференціювання:

[f(x)+g(x)]’=f’(x)+g’(x)   (1)

[f(x)*g(x)]’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)   (2)

І, зокрема,

[cf(x)]’=cf’(x) – (c - константа)   (3)

Справедливість цих рівностей не залежить від того, над яким полем ці многочлени розглядають, бо вони означають просто рівність відповідних коефіцієнтів многочленів в обох частинах рівностей.

Пояснимо цю думку на прикладі формули (1). Якщо дано два многочлена з кільця R[x]:

f(x)=anxn +an-1xn-1+…+a1x+a0,

g(x) = bmxm +bm-1xm-1+…+b1x+b0,  (n≥m), то 

f(x)+g(x)= anxn +an-1xn-1+…+(am+bm)xm+…+(a1+b1)x+(a0+b0).

Переходячи до похідних за правилом (*), помічаємо, що формула (1) означає просто тотожну рівність многочленів:

nanxn-1+(n-1)an-1xn-2+…+m(am+bm)xm-1+…+(a1+b1)= [nanxn-1+(n-1)an-1xn-2+…+mamxm-1+…+a1] +[mbmxm-1+…+b1](4)

Можна розглядати f’(x), f’’(x), f’’’(x),…fk(x). При цьому fk(x) – визначають як похідну f(k+1)x, fk(x)=0, k>n, fn(x)=n!an(anсталий коефіцієнт f(x)).

  1.  Незвідні кратні множники многочлена.

Всякий многочлен над полем Р можна єдиним способом подати у вигляді добутку многочленів нижніх степенів, незвідних у цьому полі:

f(x)=[p1(x)]k1[p2(x)]k2…[pi(x)]ki   (5)

Якби для кожного многочлена був відомий канонічний розклад (5), тоді було б досить розглядати лише незвідні множники, степінь яких, як правило, значно нижчий за степінь даного многочлена.

Покажемо, що в деяких випадках можливо розробити загальний метод розкладання многочлена на множники, хоч цей розклад не буде таким повним, як зображення (5).

Виберемо у розкладі (5) ті незвідні множники pi(x), кратність яких ki  дорівнює 1, і позначимо добуток цих множників через µ1(x):

µ1(x)=pi1(x) pi2(x)… pis(x)

Тепер утворимо добуток тих множників pj(x) – кратність яких kj =2, тобто тих, які входять у (5)зі степенем 2.

µ2(x)=pj1(x) pj2(x)… pjs(x)

µ2(x) – добуток самих незвідних множників, а не їх квадратів, так що в розклад входить [µ2(x)]2.

µ3(x) – добуток незвідних множників кратності 3 і т.д.

Розклад (5) можна записати:

f(x)= µ1(x)[ µ2(x)]2[ µ3(x)]3…[ µm(x)]m,   (6)

або ж f= µ1 µ22 µ33... µmm.

Якщо множників кратності k<m в розкладі (6) немає природно вважають µk=1.

Розклад (6) доцільний тоді, коли в (5) існують кратні множники. Якщо ні, то f(x)= µ1 (x).

Приклад 1.

f(x)= x13-5x12+6x11+4x10-9x9+5x8-6x7-4x6+8x5=x5(x-2)3(x2+1)(x+1)2(x-1).

µ1=(x2+1)(x-1)=x3-x2+x-1, µ2=x+1, µ3=x-2, µ4=1, µ5=5.

f(x)= µ1(x)*[ µ2(x)]2*[ µ3(x)]3*[ µ4(x)]4*[ µ5(x)]5.

В цьому прикладі розклад многочлена f(x) на множники µk(x) дає змогу повністю знайти всі його корені, тому , що ми вміємо розвязувати рівняння 1-3 степенями.

№3

Задача відокремлення кратних множників

   Задача зображення многочлена у вигляді (6) називається відокремленням кратних множників .

 Теорема 1:

 Якщо незвідний у даному числовому полі P многочлен g(x) є множником кратності k≥2 для многочлена f(x), то він є множником кратності k-1 для похідної    f (x). Якщо g(x)  є множником першої кратності многочлена f(x), то він не входить у розклад похідної f (x) на незвідні многочлени.

 Наслідок . Для того, щоб многочлен f(x) не мав кратних множників необхідно і достатньо, щоб f(x) був взаємно простим зі своєю похідною  f (x).

  Наше завдання полягає в тому, щоб знаючи лише коефіцієнти многочлена f(x), визначити .

Оскільки  є добутком незвідних множників многочлена f(x), які мають кратність k=1, то в f (x)жодний з цих множників (Т.1) входити не буде,  є добутком незвідних множників f(x) кратності 2.

У f (x)усі ці множники входять з кратністю одиниця, тобто f (x)має своїм множником добуток (x) усіх цих незвідних множників, але вже у першому степені. Аналогічно, якщо f(x) має множником , то f (x) матиме множник .

   Отже f =…,

де не ділиться на  

НСД (f , f ) є добутком усіх множників, які входять у розклади як f (x), так і f (x):

Знайдемо : …, де  не ділиться на (i=2,…,m).

 Далі:

                                                                                       (7)

  . Знайдемо кожний з множників окремо:

   Поділимо f на :

,

аналогічно :

,          (8)

,

.

З (7) та(8) множники  дістанемо безпосередньо :

                         ; , …, ,                             (9)

      У довільного многочлена над полем P можна відокремити кратні множники за допомогою скінченного числа раціональних дій над деякими многочленами.

     Приклад 2

 Відокремити кратні множники многочлена

  

 Знайдемо спочатку многочлени :  — НСД f(x) і f (x)=  Застосувавши алгоритм Евкліда, дістанемо:

Далі маємо  і знаходимо  

  =>      тому

 Обчислимо многочлени :

   

  

 Знаходимо множники  , =;  ,

Маємо f (x)=.

№4

Ознака кратності кореня многочлена.

Теорема:

 Для того, щоб α був коренем кратноті k  многочлена f(x) необхідно, щоб

f(α)=f’(α)=…=                                    (9)

Нб.: Нехай α є коренем f(x) — кратності k, це означає що x- α є незвідним множником k-i кратності многочлена f(x). За Т.1 (x- α) є незвідним множником похідної f (x)кратності k-i, тобто α є  коренем (k-1) –ї кратності многочлена f (x)

Аналогічно, є коренем (k-2) –ї кратності многочлена -ї кратності   і т.д. Нарешті x-α своїм множником кратності 1, а  цього множника не має зовсім, і тому , за наслідком з теореми Безу ≠0. Отже (9) справджуеться.

Дт.  Нехай справджується умова (9). Тоді α є коренем многочлена  Позначимо кратність цього кореня через l і покажемо, що l=k.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72317. Условия успешной речевой коммуникации 14.79 KB
  Различают два вида речи: внешнюю и внутреннюю. Восприятие речи процесс слушания или чтения включает следующие стадии:переход с акустического или графического кода на код внутренней речи; расшифровка синтаксических структур грамматических форм; понимание общего плана высказывания...
72319. Интегрированные маркетинговые коммуникации. Эволюция понятия и основные элементы 27.14 KB
  Интегрированные маркетинговые коммуникации концепция совместного использования всех видов маркетинговых коммуникаций исходя из единых целей. Возникает эффект синергии который позволяет добиться эффективности труднодостижимой при использовании отдельных видов маркетинговых коммуникаций.
72320. Изучение удовлетворенности и неудовлетворенности потребителя. Метод изучения восприятия потребителем качества услуг, основанной на теории разрывов 38.85 KB
  Теоретики маркетинга считают, что удовлетворенный потребитель: вероятно, купит товар в следующий раз; будет делиться хорошими отзывами о товаре с другими людьми. Таким образом, потребитель будет выступать в роли личного источника информации, который, как известно, является наиболее эффективным.
72321. Антимонопольное законодательство РФ и иные НПА о защите конкуренции. Предмет и цели Закона о защите конкуренции. Сфера применения Закона о защите конкуренции 18 KB
  В соответствии с Законом о конкуренции на товарных рынках антимонопольное законодательство включает: Конституцию Российской Федерации; федеральные законы; указы Президента РФ; постановления и распоряжения Правительства РФ.
72322. Наука о правовом регулировании отношений в сфере конкуренции и монополий. Конкурентное право как отрасль юридической науки и учбеная дисциплина 15 KB
  Наука конкурентного права включает как деятельность по получению новых знаний так и её результат систему знаний об особенностях правового регулирования конкуренции. Таким образом наука конкурентного права содержит определенные утверждения о состоянии правового регулирования...
72323. Принципы правового регулирования конкуренции и монополий 30 KB
  Правовое регулирование конкуренции пронизывают основополагающие начала, то есть принципы конкурентного права. Они обеспечивают целенаправленное воздействие на конкуренцию и предпринимательскую деятельность её участников. Можно выделить общеправовые и специальные принципы регулирования конкуренции.
72324. Физиологические действия метеорологических условий на человека 15.56 KB
  Температура воздуха влияет на теплообмен. Низкая температура воздуха увеличивая теплоотдачу создает опасность переохлаждения организма возможность простудных заболеваний. Степень насыщения воздуха водяными парами называется влажностью.