47871

Основи геометрії

Конспект

Математика и математический анализ

Історичний нарис обґрунтування геометрії Предмет основ геометрії. Відкриття неевклідової геометрії.

Украинкский

2013-12-03

63.5 KB

117 чел.

Навчальна дисципліна: Основи геометрії

Лекційний курс

Тема 1. Історичний нарис обґрунтування геометрії

1. Предмет основ геометрії.

2. Геометрія до Евкліда.

3. "Початки" Евкліда. Критика системи Евкліда.

4. Спроби доведення V  постулату.

5. Дослідження Саккері, Ламберта і Лежандра.

6. Відкриття неевклідової геометрії.

Контрольні запитання

1. Чому не можна довести всі без винятку геометричні твердження і дати означення всім геометричним поняттям?

2. Які поняття в геометрії називаються основними? Які твердження називаються аксіомами?

3. Що таке означення, теорема?

4. Що слід розуміти під терміном «обґрунтування геометрії»?

5. Що являла собою геометрія Стародавнього Сходу?

6. Які основні досягнення геометри в Стародавній Греції?

7. Чому виникла потреба логічного обґрунтування геометрії? Хто із стародавніх учених вперше поставив таке завдання?

8. Охарактеризуйте зміст «Початків» Евкліда.

9. Сформулюйте аксіоми і постулати Евкліда.

10. Назвіть основні недоліки системи Евкліда.

11. Сформулюйте V постулат Евкліда. Яка частина цього постулату виявилась зайвою?

12. Чому саме V постулат Евкліда викликав найбільший інтерес у дослідників «Початків»? Чому виникло тверде переконання, що його можна довести на основі інших постулатів і аксіом Евкліда?

13. Доведіть, що V постулат Евкліда еквівалентний аксіомі паралельних. Які допоміжні твердження для цього треба використати?

14. Чому багатовікові спроби довести V постулат не мали успіху? Яка типова помилка припускалась багатьма вченими? Проілюструйте це на прикладі «доведення» V постулату Проклом.

15. Наведіть приклади тверджень, еквівалентних V постулату.

16. Чим відрізнялись дослідження проблеми V постулату вченими XVIII ст. Саккері, Ламбертом і Лежандром від досліджень їхніх попередників?

17. Розкрийте суть міркувань Саккері. Чи вдалося йому розв'язати проблему V постулату?

18. Проаналізуйте міркування Ламберта. Як близько він підійшов до правильного розв'язання проблеми V постулату?

19. Яким чином намагався розв'язати проблему V постулату французький математик Лежандр? У чому полягає його основна заслуга?

20. Яким чином була розв'язана проблема V постулату К. Гауссом, Я. Бойяї та М.І. Лобачевським? Чому пріоритет у розв'язанні цієї проблеми та створенні неевклідової геометрії було беззаперечно віддано М.І. Лобачевському?  

Тема 2. Елементи геометрії Лобачевського

1. Абсолютна геометрія і аксіома Лобачевського.

2. Паралельні прямі на площині Лобачевського.

3. Властивості прямих на площині Лобачевського.

4. Функція Лобачевського.

5. Властивості трикутників на площині Лобачевського.

6. Поняття про еквідистанту. Основні властивості еквідистант.

7. Поняття про орицикл. Основні властивості орицикла.

8. Теореми про серединні перпендикуляри сторін трикутника та наслідки з них.

Контрольні запитання

1. Що таке абсолютна геометрія? Наведіть кілька тверджень цієї геометрії. Чи є система аксіом абсолютної геометрії повною? Хто вперше ввів термін «абсолютна геометрія»?

2. Сформулюйте аксіому Лобачевського. Що таке площина Лобачевського? Простір Лобачевського?

3. Покажіть, що на площині Лобачевського через дану точку можна провести безліч прямих, які не перетинають дану пряму.

4. Які прямі на площині Лобачевського називаються паралельними даній прямій? Скільки існує таких прямих?

5. Які прямі на площині Лобачевського називаються розбіжними відносно даної прямої, а які — збіжними відносно неї?

6. Що таке кут паралельності? Чому цей кут на площині Лобачевського менший ?

7. Доведіть, що на площині Лобачевського дві паралельні прямі асимптотично зближаються в бік паралельності.

8. Чи можуть паралельні або збіжні прямі на площині Лобачевського мати спільний перпендикуляр? Чи мають такий перпендикуляр розбіжні прямі? Відповідь обґрунтуйте.

9. Відомо, що в евклідовій площині дві прямі паралельні, якщо при перетині їх третьою прямою утворюються внутрішні односторонні кути, сума яких дорівнює 2d. Чи будуть такі прямі паралельними на площині Лобачевського? Відповідь обґрунтуйте.

10. Доведіть, що кут паралельності зменшується зі зростанням довжини перпендикуляра р, опущеного із точки на пряму.

11. Що таке функція Лобачевського? Запишіть її аналітичний вираз, дослідіть її поведінку, зробіть відповідні висновки. Як пов'язані між собою геометрія Лобачевського і геометрія Евкліда?   

12. Чому в просторі Лобачевського немає потреби в еталоні-довжини? Відповідь обґрунтуйте.

13. Якою є сума кутів трикутника на площині Лобачевського? Відповідь обґрунтуйте.

14. Доведіть, що на площині Лобачевського не існує подібних, але нерівних трикутників. Якими є на площині Лобачевського два трикутники, якщо їх відповідні кути рівні?

15. Доведіть, що на площині Лобачевського не завжди можна описати коло навколо трикутника. Від чого це залежить?

16. Що називається еквідистантою? Назвіть властивості еквідистанти в площині Лобачевського.

17. Що називається орициклом? Назвіть властивості орицикла в площині Лобачевського.

18. Чому орицикл називають граничною лінією?

19. Сформулюйте теореми про серединні перпендикуляри трикутника в площині Лобачевського. Які лінії можна описати навколо трикутника?

20. Що є спільного між колом, еквідистантою і орициклом?  

Тема 3. Завершення логічного обґрунтування геометрї

1. Проблема несуперечливості геометрії.

2. Система аксіом евклідової геометрії за Гільбертом.

3. Різні шляхи обґрунтування геометрії.

4. Векторне обґрунтування геометрії Евкліда. Система аксіом Вейля.

5. Побудова геометрії за схемою Вейля.

Контрольні запитання

1. Охарактеризуйте етапи розвитку аксіоматичного методу побудови геометрії.

2. Назвіть перші спроби доведення несуперечливості геометрії Лобачевського.

3. Які вимоги повинна задовольняти система аксіом?

4. Яка система аксіом називається несуперечливою? Незалежною? Повною?

5. Що таке реалізація (інтерпретація) системи аксіом?

6. Назвіть основні об'єкти і основні відношення аксіоматики Гільберта.

7. Назвіть аксіоми належності системи Гільберта.

8. Назвіть аксіоми порядку системи Гільберта.

9. Назвіть аксіоми конгруентності системи Гільберта.

10. Назвіть аксіоми неперервності та паралельності системи Гільберта.

11. Назвіть основні об'єкти і основні відношення систем аксіом М. Пієрі та В.Ф. Кагана.

12. Назвіть основні об'єкти та основні відношення векторної системи аксіом Г. Вейля.

13. Назвіть аксіоми додавання системи Г. Вейля.

14. Назвіть аксіоми множення вектора на число системи Г. Вейля.

15. Назвіть аксіоми скалярного добутку векторів.

16. Назвіть аксіоми розмірності та аксіоми відкладання вектора в системі Г. Вейля.

17. Сформулюйте основні наслідки з системи аксіом Г. Вейля. 

Тема 4. Сучасна аксіоматична побудова евклідової геометрї

1. Основні поняття.

2. Аксіоми належності.

3. Аксіоми порядку.

4. Аксіоми міри для відрізків і кутів.

5. Аксіома існування трикутника, рівного даному.

6. Аксіома існування відрізка даної довжини.

7. Аксіома паралельних.

8. Просторові аксіоми.

Контрольні запитання

1. Які поняття є основними в системі аксіом О.В. Погорєлова?

2. Сформулюйте аксіоми належності, доведіть основні наслідки з них.

3. Сформулюйте аксіоми порядку. Яке відношення роз'яснюється в цих аксіомах?

4. Користуючись основними поняттями «точка», «пряма», «лежати між», дайте означення понять «лежати по один бік від даної точки», «відрізок», «промінь».

5. Користуючись аксіомами порядку, доведіть, що кожна точка прямої розбиває її на два різні промені з початком у цій точці.

6. Які промені називаються доповняльними?

7. Користуючись поняттями «точка», «промінь», «відрізок», дайте означення понять «кут», «розгорнутий кут», «трикутник».

8. Сформулюйте і доведіть теорему Паша.

9. Сформулюйте аксіому міри для відрізків. Покажіть, що, користуючись цією аксіомою, можна ввести координати на прямій, тобто кожній точці прямої поставити у відповідність дійсне число. Чи можна, навпаки, виходячи лише з цієї аксіоми та попередніх аксіом, кожному дійсному числу поставити у відповідність точку на прямій?

10. Що означає висловлення: «Промінь проходить між сторонами кута»?

11. Користуючись теоремою Паша, доведіть, що коли промінь проходить між сторонами кута, то він перетинає будь-який відрізок з кінцями на сторонах цього кута.

12. Сформулюйте аксіому міри для кутів. Доведіть теорему про відкладання кута від даного променя.

13. Користуючись поняттями «довжина відрізка» та «градусна міра кута», дайте означення рівності відрізків і кутів, а потім - рівності трикутників.

14. Сформулюйте аксіому відкладання трикутника, рівного даному. Доведіть основні наслідки з неї.

15. Сформулюйте аксіому існування відрізка даної довжини. Користуючись цією аксіомою, доведіть, що кожному дійсному числу можна поставити у відповідність єдину точку на прямій. Яке значення має цей факт?

16. Сформулюйте аксіому паралельних та доведіть основні твердження, які випливають безпосередньо з цієї аксіоми. Яку роль відіграє ця аксіома в евклідовій геометрії?

17. Сформулюйте просторові аксіоми, доведіть основні наслідки з них. 

Тема 5. Дослідження системи аксіом геометрї

1. Завдання обґрунтування системи аксіом.

2. Декартова реалізація системи аксіом евклідової геометрії (за О.В. Погорєловим).

3. Арифметична реалізація векторної системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії.

4. Доведення несуперечливості геометрії Лобачевського.

Контрольні запитання

1. Які вимоги повинна задовольняти система аксіом геометрії?

2. Яка система аксіом називається несуперечливою? Повною? Незалежною?

3. Що таке реалізація (інтерпретація) системи аксіом?

4. Яким чином будується арифметична (декартова) реалізація системи аксіом евклідової геометрії за О.В. Погорєловим? Який конкретний зміст надається в цій реалізації таким основним поняттям як «точка», «пряма», «довжина відрізка», «належати»?

5. Покажіть, що в декартовій інтерпретації основних понять евклідової геометрії виконуються: а) аксіоми належності; б) аксіома існування відрізка даної довжини; в) аксіома паралельних.

6.  Обґрунтуйте несуперечливість системи аксіом евклідової геометрії за О.В. Погорєловим.  

7. Які реалізації системи аксіом математичної теорії називаються ізоморфними?

8. Доведіть, що коли всі реалізації системи аксіом ізоморфні, то ця система аксіом повна.

9. Наведіть схематичне доведення повноти системи аксіом евклідової геометрії за О.В. Погорєловим.

10. Дайте схематичне доведення незалежності аксіоми паралельних та аксіоми існування відрізка даної довжини.

11. Який конкретний зміст надається в арифметичній реалізації основним поняттям системи аксіом Вейля?

12. Обґрунтуйте несуперечливість системи аксіом Вейля в арифметичній інтерпретації.

13. Доведіть незалежність деяких аксіом системи Вейля.

14. Покажіть, що система аксіом Вейля повна.

16. Який конкретний зміст надається основним поняттям площини Лобачевського в інтерпретації Вельтрамі - Клейна?

16.  Наведіть приклади реалізації деяких аксіом абсолютної геометрії в інтерпретації Бельтрамі - Клейна.

17. Доведіть, що в реалізації Бельтрамі – Клейна виконується аксіома паралельності Лобачевського.

18. Який конкретний зміст надається основним поняттям площини Лобачевського в реалізації Пуанкаре?

19. Наведіть приклади реалізації деяких аксіом абсолютної геометрії в інтерпретації Пуанкаре.

20. Доведіть, що в інтерпретації Пуанкаре реалізується аксіома паралельності Лобачевського.        

Тема 6. Аксіоматика шкільного курсу геометрї

1. Огляд різних підходів до аксіоматичної побудови шкільного курсу геометрії.

2. Система аксіом Л.С. Атанасяна.

3. Система аксіом О.Д. Александрова.

4. Система аксіом О.В. Погорєлова.

5. Система аксіом в сучасних підручниках з геометрії.

Контрольні запитання

1. Які ви знаєте підручники з геометрії для середніх навчальних закладів Росії в XIX ст.?

2. Дайте коротку характеристику змісту підручника з геометрії для середньої школи А.П. Кисельова.

3. Дайте коротку характеристику змісту підручника з геометрії для середньої школи за ред. А.М. Колмогорова.

4. Назвіть основні (неозначувані) поняття і відношення в аксіоматиці підручника з геометрії для 7-9 класів за ред. Л.С. Атанасяна.

5. Назвіть аксіоми планіметрії підручника з геометрії для 7-9 класів за ред. Л.С. Атанасяна.

6. Назвіть аксіоми стереометри та наслідки з них за підручником з геометрії для 10-11 класів за ред. Л.С. Атанасяна.

7. Дайте характеристику системи аксіом підручника з геометрії для 8-9 класів для шкіл і класів з поглибленим вивченням математики за ред. О.Д. Александрова.

8. Назвіть аксіоми стереометрії підручника з геометрії для 10-11 класів за ред. О.Д. Александрова.

9. З'ясуйте основне завдання у викладанні геометрії за підручником з геометрії для 7-11 класів О.В. Погорєлова.

10. Назвіть основні поняття і відношення аксіоматики підручника з геометрії для 7-11 класів О.В. Погорєлова.

11. Сформулюйте аксіоми планіметрії підручника з геометрії для 7-11 класів О.В. Погорєлова.

12. Сформулюйте аксіоми стереометрії та наслідки з них підручника з геометрії для 7-11 класів О.В. Погорєлова.

13. Дайте характеристику основних особливостей, відмінностей підручника О.В. Погорєлова від інших шкільних підручників з геометрії для середньої школи.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67811. АРИФМЕТИКА МНОГОЧЛЕНІВ 456.5 KB
  Множина всіх многочленів від однієї змінної над полем утворює комутативне кільце з одиницею. Будь-який ненульовий елемент поля можна розглядати як многочлен нульового степеня нуль поля також належить до многочленів його називають нульовим многочленом.
67812. Basic concepts of probability theory 33.17 KB
  For example, a landing two different prizes under only one ticket of a lottery are incompatible events, and a landing the same prizes under two tickets are compatible events. Obtaining marks «excellent», «good» and «satisfactory» by a student at an exam in one discipline are incompatible events and an obtaining...
67813. ПРАВО ВЛАСНОСТІ НА ПРИРОДНІ РЕСУРСИ 132 KB
  В загальних рисах право власності на природні об’єкти встановлено в статті 13 Конституції України, згідно якої земля, її надра, атмосферне повітря, водні та інші природні ресурси, які знаходяться в межах території України, природні ресурси її континентального шельфу, виключної (морської) економічної зони є об’єктами права власності Українського народу.
67814. Минеральная часть агропочв 70.59 KB
  Ассимиляция смектитового компонента это изменение состава и свойств пахотных горизонтов почвы при эрозии а также в ряде регионов при орошении мутными водами. Для дерново-среднеподзолистой супесчаной почвы характерно резкое увеличение количества каолинита по сравнению с содержанием гидрослюд...
67815. ПРОМИСЛОВІ РОБОТИ (ПР) 544 KB
  По типу систем керування сучасні перспективні промислові роботи поділяються на три: види так звані покоління: програмні адаптивні і інтелектуальні з елементами штучного інтелекту. Усі вони мають властивість швидкого перепрограмування на різні операції причому в першому...
67816. ОСНОВИ ОРГАНІЗАЦІЇ САНІТАРНО-ГІГІЄНІЧНОГО ТА ПРОТИЕПІДЕМІЧНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ВІЙСЬК 134.5 KB
  Висвітлити найбільш складні питання навчального матеріалу, актуальні питання теорії та практики, сучасні досягнення науки та техніки, сприяти розвитку творчого мислення студентів і формування у них сучасного світогляду, а також бути основою для організації та проведення...
67817. ПРАВО КОРИСТУВАННЯ ПРИРОДНИМИ РЕСУРСАМИ 215.5 KB
  Об’єктивне право природокористування – сукупність екологічних норм, які визначають підстави виникнення, зміни та припинення права природокористування, встановлюють комплекс прав та обов’язків природокористувачів, формують юридичні засоби захисту прав та інтересів суб’єктів природокористування.
67818. КІНЕМАТИКА ПРОМИСЛОВИХ РОБОТІВ 154.5 KB
  Кожне тіло щовільно рухається в просторі має ортогональну систему координат і 6 степенів вільності свободи можливість руху вздовж кожної з осей і обертання навколо них. Проте як видно з рисунку вся сукупність переміщень кінематичних ланок руки людини зводиться до транспортних переносних рухів...
67819. ОСНОВИ ОРГАНІЗАЦІЇ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ МЕДИЧНИМ МАЙНОМ 135 KB
  Забезпечення медичним майном і медичною технікою організується і здійснюється з метою безперервного і повного задоволення потреб частин, підрозділів в них для надання медичної допомоги пораненим та хворим і їх лікування, проведення санітарно-гігієнічних...