47889

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернулі

Лекция

Математика и математический анализ

Якщо імовірність появи події А у кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань є сталою то такі випробування називаються незалежними або експериментальними за схемою Бернулі. У кожному експерименті р імовірність події А q – імовірність не появи події А. Формула Бернулі : імовірність того що у результаті nнезалежних експериментів за схемою Бернулі подія А з’явиться mразів знаходиться за формулою : 1...

Украинкский

2013-12-03

84 KB

1 чел.

Лекція № 4-5

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернулі

1.Нехай проводяться n-випробувань  у кожному з яких подія А може як відбутися так і не відбутися. Якщо імовірність появи події А у кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань (є сталою), то такі випробування називаються незалежними, або експериментальними за схемою Бернулі. У кожному експерименті «р» - імовірність події А, q – імовірність не появи події А. Таким чином, p+q=1. 

Простір елементарних подій для одного експерименту містить 2-елементарні події, а для n експериментів простір містить 2n. Для розв’язку задач на повторювані незалежні випробування застосовують такі формули і теореми.

Формула Бернулі : імовірність того, що у результаті n-незалежних експериментів за схемою Бернулі подія А з’явиться m-разів знаходиться за формулою :

                                                     (1)

Примітка: цю формулу застосовують при n10, а р - будь-яке число.

Приклад 1: Прилад, складений із 10-ти блоків, надійність кожного з них 0,8. Блоки можуть виходити з ладу незалежно один від одного. Знайти імовірність того що :

1) Відмовлять 2 блоки;

2) Відмовлять не менше 2 блоки.

q=0.8; p = 1-0.8=0.2

1) 0.302

2) P10(2≤m≤10) = 1-(P10(0)+ P10(1))=1- (+)=0.732

2.Мода – це найімовірніше число появи випадкової величини. Найімовірнішим числов появи випадкової події у результаті n-незалежних експериментів за схемою Бернулі, називають таке число «m0», якому відповідає найбільша імовірність Рn(m0) і таке  число знаходиться за формулою :

np-q  m0  np+q                                                        (2)

Число  «m0» повинно бути цілим, якщо np+q – ціле число, то кількість «m0» буде дорівнювати «2».

Приклад 2: Імовірність того, що студент складе іспит є сталою величиною 0.8.Нехай у групі 22 студента. Знайти  найімовірніше число студентів, якій складуть іспит.

n = 22; p = 0.8; q=0.2

220.8 – 0.2 m0  22x0.8 + 0.2

17.4 m0  18.4

m0 =18

3. Локальна теорема Ла-Пласа: імовірність того, що в n-випробуваннях (n≥10, p>0.1).У кожному з яких (Р(А)=р, Р(Ᾱ)=q) подія А відбудеться m-разів, знаходять за формулою:

                                                       (3)

де - функція Гауса : - табульована, де

Основні властивості функції Гауса:

1) Функція визначена на всіх проміжках : ;

2) = - парна функція;

3) ,

Приклад 3: У партії міститься 75% виробів 1-го сорту. Із партії беруть навмання 400 одиниць. Знайти імовірність того, що виробів першого сорту виявиться 270 штук.

n=400; p=0.75; q=0.25

4.Формула Пуасона: якщо у кожному з n-незалежних випробувань (0<p<0.1, n>10, m- велике число):

                                                             (4)

де а = np.

Приклад 4: Радіоприлад містить 1000 мікроелементів, які працюють незалежно один від одного, причому кожен може вийти з ладу роботи приладу з імовірністю р=0,002. Обчислити  імовірність, що під час роботи приладу з ладу вийдуть 3 елементи.

n=1000; p=0.002; m = 3

a = np = 1000∙0.002=2

P1000(3) ≈ 0.18044

5. Інтегральна теорема Ла-Паласа: імовірність того, що подія А відбудеться від m1 до m2 разів при проведенні n-незалежних випробувань (Р(А)=р, Р(Ᾱ)=q):

                                                  (5)

де  , а . Тоді як - інтегральна функція Ла-Пласа .

Інтегральна функція Ла-Пласа табульована і має такі властивості:

1) Функція визначена на всіх проміжках : ;

2) = - непарна функція;

3) Ф (0) = 0;

4)

Приклад 5: В електроприладу ввімкнено 500 лампочок . Імовірність того, що одна  лампочка не перегорить є величиною сталою і дорівнює 0,8. Знайти імовірність того, що у разі вмиканні не перегорить від 500 до 390 лампочок.

n= 500; m1=390; m2=500;p=0.8; q = 0.2

6. Відхилення відносної частоти від імовірності.

Імовірність того, що при проведенні n-незалежних випробувань, відхиленні відносної частоти події А від її імовірності за модулем не перевищують Ɛ і визначається за формулою:

                                                     (6)

Приклад 6: Імовірність появи події А у кожному з незалежних випробувань дорівнює 0,5 . Знайти число випробувань n при якому з імовірність 0,7698  можна чекати, що відносна частота відхилення від імовірності  дорівнює 0,02.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18560. Математические модели: имитационные, теоретические, эмпирические 17.12 KB
  Математические модели: имитационные теоретические эмпирические. Имитационная модель определяется как такая алгоритмическая ММ которая отражает поведение объекта во времени при задании различных внешних воздействий на объект. Теоретические ММ создаются в резуль...
18561. Методика получения математических моделей 18.33 KB
  Методика получения математических моделей. включает в себя следующие операции: 1. Выбор свойств объекта которые подлежат отражению в модели. Выбор основан на анализе возможных применений модели и определяет степень универсальности ММ. 2. Сбор исходной информаци...
18563. Компонентные и топологические уравнения на иерархическом уровне Б 317.82 KB
  Лекция 9 Компонентные и топологические уравнения на иерархическом уровне Б. При получении математических моделей ММ элементов уровня Б чаще применяют теоретический подход. При этом сложный объем разбивается на элементы участки. Далее производится усреднение зна...
18565. Объект проектирования и его математическая модель 70.25 KB
  Лекция 3. Объект проектирования и его математическая модель. Математическая модель – это совокупность математических объектов чисел переменных векторов множеств и т.д. и отношений между ними которая адекватно отображает некоторые свойства проектируемого объекта...
18566. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПРОЕКТИРОВАНИИ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ 221 KB
  ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПРОЕКТИРОВАНИИ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ Инженерная деятельность человека связанна прежде всего с разработкой технических объектов с их проектированием. Проектирование это комплекс работ по изысканиям исследованиям расчетам и конструированию и
18567. Системы автоматизированного проектирования и их место среди других автоматизированных систем 99 KB
  Системы автоматизированного проектирования и их место среди других автоматизированных систем Структура САПР Как и любая сложная система САПР состоит из подсистем рис. 1.1. Различают подсистемы проектирующие и обслуживающие. Проектирующие подсистемы непосредствен...
18568. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ СИНТЕЗА ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ 69 KB
  МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ СИНТЕЗА ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ Постановка задач параметрического синтеза Место процедур синтеза в проектировании Сущность проектирования заключается в принятии проектных решений обеспечивающих выполнение будущим объектом предъявляемых к