47889

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернулі

Лекция

Математика и математический анализ

Якщо імовірність появи події А у кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань є сталою то такі випробування називаються незалежними або експериментальними за схемою Бернулі. У кожному експерименті р імовірність події А q імовірність не появи події А. Формула Бернулі : імовірність того що у результаті nнезалежних експериментів за схемою Бернулі подія А зявиться mразів знаходиться за формулою : 1...

Украинкский

2013-12-03

84 KB

1 чел.

Лекція № 4-5

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернулі

1.Нехай проводяться n-випробувань  у кожному з яких подія А може як відбутися так і не відбутися. Якщо імовірність появи події А у кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань (є сталою), то такі випробування називаються незалежними, або експериментальними за схемою Бернулі. У кожному експерименті «р» - імовірність події А, q – імовірність не появи події А. Таким чином, p+q=1. 

Простір елементарних подій для одного експерименту містить 2-елементарні події, а для n експериментів простір містить 2n. Для розв’язку задач на повторювані незалежні випробування застосовують такі формули і теореми.

Формула Бернулі : імовірність того, що у результаті n-незалежних експериментів за схемою Бернулі подія А з’явиться m-разів знаходиться за формулою :

                                                     (1)

Примітка: цю формулу застосовують при n10, а р - будь-яке число.

Приклад 1: Прилад, складений із 10-ти блоків, надійність кожного з них 0,8. Блоки можуть виходити з ладу незалежно один від одного. Знайти імовірність того що :

1) Відмовлять 2 блоки;

2) Відмовлять не менше 2 блоки.

q=0.8; p = 1-0.8=0.2

1) 0.302

2) P10(2≤m≤10) = 1-(P10(0)+ P10(1))=1- (+)=0.732

2.Мода – це найімовірніше число появи випадкової величини. Найімовірнішим числов появи випадкової події у результаті n-незалежних експериментів за схемою Бернулі, називають таке число «m0», якому відповідає найбільша імовірність Рn(m0) і таке  число знаходиться за формулою :

np-q  m0  np+q                                                        (2)

Число  «m0» повинно бути цілим, якщо np+q – ціле число, то кількість «m0» буде дорівнювати «2».

Приклад 2: Імовірність того, що студент складе іспит є сталою величиною 0.8.Нехай у групі 22 студента. Знайти  найімовірніше число студентів, якій складуть іспит.

n = 22; p = 0.8; q=0.2

220.8 – 0.2 m0  22x0.8 + 0.2

17.4 m0  18.4

m0 =18

3. Локальна теорема Ла-Пласа: імовірність того, що в n-випробуваннях (n≥10, p>0.1).У кожному з яких (Р(А)=р, Р(Ᾱ)=q) подія А відбудеться m-разів, знаходять за формулою:

                                                       (3)

де - функція Гауса : - табульована, де

Основні властивості функції Гауса:

1) Функція визначена на всіх проміжках : ;

2) = - парна функція;

3) ,

Приклад 3: У партії міститься 75% виробів 1-го сорту. Із партії беруть навмання 400 одиниць. Знайти імовірність того, що виробів першого сорту виявиться 270 штук.

n=400; p=0.75; q=0.25

4.Формула Пуасона: якщо у кожному з n-незалежних випробувань (0<p<0.1, n>10, m- велике число):

                                                             (4)

де а = np.

Приклад 4: Радіоприлад містить 1000 мікроелементів, які працюють незалежно один від одного, причому кожен може вийти з ладу роботи приладу з імовірністю р=0,002. Обчислити  імовірність, що під час роботи приладу з ладу вийдуть 3 елементи.

n=1000; p=0.002; m = 3

a = np = 1000∙0.002=2

P1000(3) ≈ 0.18044

5. Інтегральна теорема Ла-Паласа: імовірність того, що подія А відбудеться від m1 до m2 разів при проведенні n-незалежних випробувань (Р(А)=р, Р(Ᾱ)=q):

                                                  (5)

де  , а . Тоді як - інтегральна функція Ла-Пласа .

Інтегральна функція Ла-Пласа табульована і має такі властивості:

1) Функція визначена на всіх проміжках : ;

2) = - непарна функція;

3) Ф (0) = 0;

4)

Приклад 5: В електроприладу ввімкнено 500 лампочок . Імовірність того, що одна  лампочка не перегорить є величиною сталою і дорівнює 0,8. Знайти імовірність того, що у разі вмиканні не перегорить від 500 до 390 лампочок.

n= 500; m1=390; m2=500;p=0.8; q = 0.2

6. Відхилення відносної частоти від імовірності.

Імовірність того, що при проведенні n-незалежних випробувань, відхиленні відносної частоти події А від її імовірності за модулем не перевищують Ɛ і визначається за формулою:

                                                     (6)

Приклад 6: Імовірність появи події А у кожному з незалежних випробувань дорівнює 0,5 . Знайти число випробувань n при якому з імовірність 0,7698  можна чекати, що відносна частота відхилення від імовірності  дорівнює 0,02.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55880. Волновая оптика 1.91 MB
  По электромагнитной теории Максвелла свет - это электромагнитные волны которые в вакууме распространяются со скоростью с = 3108 м с скорость света а в любой другой прозрачной среде их скорость меньше.
55881. Дифракция световых волн 686.5 KB
  Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске Для описания дифракции в ближней зоне дифракция Френеля Френель предложил метод зон метод зон Френеля. Размер зон Френеля Пренебрегая величинами второго порядка малости получим...
55882. Поляризация световых волн 537 KB
  Степенью поляризации называется величина 31 где Imx и Imin соответственно максимальная и минимальная интенсивности частично поляризованного света пропускаемого поляризатором. Для естественного света Imx=Imin и P = 0 для плоскополяризованного Imin= 0 и P = 1.
55883. Дисперсия света 171 KB
  Графически эта зависимость выглядит следующим образом: Зависимость показателя преломления вещества от частоты длины волны света или зависимость скорости световых волн от его частоты длины волны называется дисперсией света.