47889

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернулі

Лекция

Математика и математический анализ

Якщо імовірність появи події А у кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань є сталою то такі випробування називаються незалежними або експериментальними за схемою Бернулі. У кожному експерименті р імовірність події А q імовірність не появи події А. Формула Бернулі : імовірність того що у результаті nнезалежних експериментів за схемою Бернулі подія А зявиться mразів знаходиться за формулою : 1...

Украинкский

2013-12-03

84 KB

1 чел.

Лекція № 4-5

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернулі

1.Нехай проводяться n-випробувань  у кожному з яких подія А може як відбутися так і не відбутися. Якщо імовірність появи події А у кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань (є сталою), то такі випробування називаються незалежними, або експериментальними за схемою Бернулі. У кожному експерименті «р» - імовірність події А, q – імовірність не появи події А. Таким чином, p+q=1. 

Простір елементарних подій для одного експерименту містить 2-елементарні події, а для n експериментів простір містить 2n. Для розв’язку задач на повторювані незалежні випробування застосовують такі формули і теореми.

Формула Бернулі : імовірність того, що у результаті n-незалежних експериментів за схемою Бернулі подія А з’явиться m-разів знаходиться за формулою :

                                                     (1)

Примітка: цю формулу застосовують при n10, а р - будь-яке число.

Приклад 1: Прилад, складений із 10-ти блоків, надійність кожного з них 0,8. Блоки можуть виходити з ладу незалежно один від одного. Знайти імовірність того що :

1) Відмовлять 2 блоки;

2) Відмовлять не менше 2 блоки.

q=0.8; p = 1-0.8=0.2

1) 0.302

2) P10(2≤m≤10) = 1-(P10(0)+ P10(1))=1- (+)=0.732

2.Мода – це найімовірніше число появи випадкової величини. Найімовірнішим числов появи випадкової події у результаті n-незалежних експериментів за схемою Бернулі, називають таке число «m0», якому відповідає найбільша імовірність Рn(m0) і таке  число знаходиться за формулою :

np-q  m0  np+q                                                        (2)

Число  «m0» повинно бути цілим, якщо np+q – ціле число, то кількість «m0» буде дорівнювати «2».

Приклад 2: Імовірність того, що студент складе іспит є сталою величиною 0.8.Нехай у групі 22 студента. Знайти  найімовірніше число студентів, якій складуть іспит.

n = 22; p = 0.8; q=0.2

220.8 – 0.2 m0  22x0.8 + 0.2

17.4 m0  18.4

m0 =18

3. Локальна теорема Ла-Пласа: імовірність того, що в n-випробуваннях (n≥10, p>0.1).У кожному з яких (Р(А)=р, Р(Ᾱ)=q) подія А відбудеться m-разів, знаходять за формулою:

                                                       (3)

де - функція Гауса : - табульована, де

Основні властивості функції Гауса:

1) Функція визначена на всіх проміжках : ;

2) = - парна функція;

3) ,

Приклад 3: У партії міститься 75% виробів 1-го сорту. Із партії беруть навмання 400 одиниць. Знайти імовірність того, що виробів першого сорту виявиться 270 штук.

n=400; p=0.75; q=0.25

4.Формула Пуасона: якщо у кожному з n-незалежних випробувань (0<p<0.1, n>10, m- велике число):

                                                             (4)

де а = np.

Приклад 4: Радіоприлад містить 1000 мікроелементів, які працюють незалежно один від одного, причому кожен може вийти з ладу роботи приладу з імовірністю р=0,002. Обчислити  імовірність, що під час роботи приладу з ладу вийдуть 3 елементи.

n=1000; p=0.002; m = 3

a = np = 1000∙0.002=2

P1000(3) ≈ 0.18044

5. Інтегральна теорема Ла-Паласа: імовірність того, що подія А відбудеться від m1 до m2 разів при проведенні n-незалежних випробувань (Р(А)=р, Р(Ᾱ)=q):

                                                  (5)

де  , а . Тоді як - інтегральна функція Ла-Пласа .

Інтегральна функція Ла-Пласа табульована і має такі властивості:

1) Функція визначена на всіх проміжках : ;

2) = - непарна функція;

3) Ф (0) = 0;

4)

Приклад 5: В електроприладу ввімкнено 500 лампочок . Імовірність того, що одна  лампочка не перегорить є величиною сталою і дорівнює 0,8. Знайти імовірність того, що у разі вмиканні не перегорить від 500 до 390 лампочок.

n= 500; m1=390; m2=500;p=0.8; q = 0.2

6. Відхилення відносної частоти від імовірності.

Імовірність того, що при проведенні n-незалежних випробувань, відхиленні відносної частоти події А від її імовірності за модулем не перевищують Ɛ і визначається за формулою:

                                                     (6)

Приклад 6: Імовірність появи події А у кожному з незалежних випробувань дорівнює 0,5 . Знайти число випробувань n при якому з імовірність 0,7698  можна чекати, що відносна частота відхилення від імовірності  дорівнює 0,02.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46835. Переменные. Инициализация переменных 32.5 KB
  Тип переменных определяется пользователем в разделе описания пере менных:{} В настоящее время в профессиональном программировании принято записывать имена переменных с использованием так называемой венгерс кой нотации. Венгерская нотация это соглашение о наименованиях переменных и функций. Венгерская нотация основывается на следующих принципах: имена переменных и функций должны содержать префикс описывающий их тип; имена переменных и функций...
46837. Independent elements of the sentence 32.5 KB
  Independent elements of the sentence s the term implies generlly re not grmmticlly dependent on ny prticulr prt of the sentence but s rule refer to the sentence s whole. Only occsionlly they my refer to seprte prt of the sentence. Its position is more free thn tht of ny other prts of the sentence nd ccordingly it my occur in different positions in the sentence.
46840. Специфика обучения в дошкольном возрасте 32.5 KB
  Обучение и развитие в дошкольном возрасте С развитием ребенка меняется и характер обучения ребенка. Кро говорит о ребенке 3 лет: уже становится возможным какаято программа обучения и воспитания не школьная программа а программа самого ребенка. Раньше определенного возраста ребенка бесполезно обучать например держать ложку а позже определенного возраста это делать просто бесполезно. В педологии пользуются только нижней границей ниже известного уровня нельзя ребенка обучать тому или ному предмету.
46842. Grammar. Grammatical meaning 32.5 KB
  When we name very general statements about grammar, we are idealizing about the language system, identifying broad patterns. grammar has evolved to fossilitate the expression of basic meanings. Meanings which are so inexpensible and so commonly occuring, that we require an economical means of expressing them. It would be absurd if we had to elaborate entirely new strings of words whenever we wanted to observe things around us. grammatical meaning is closely
46843. Основные принципы построения закладываемые при создании вычислительных систем 32.83 KB
  Вычислительная система ВС совокупность взаимосвязанных и взаимодействующих процессоров или ЭВМ периферийного оборудования и программного обеспечения предназначенную для сбора хранения обработки и распределения информации. Телекоммуникационная вычислительная сеть ТВС это сеть о6мена и распределенной обработки информации образуемая множеством взаимосвязанных абонентских систем и средствами связи; средства передачи и обработки информации ориентированы в ней на коллективное использование общесетевых ресурсов аппаратных...