47892

Застосування визначеного інтеграла до задач геометрії

Конспект

Математика и математический анализ

Обчислимо значення функції. Тоді а nа інтегральна сума для функції. Поняття функції декількох змінних Поряд з поняттям функції однієї незалежної змінної можна розглянути функцію двох і більше незалежних змінних. Аналогічно можна дати визначення функції трьох і більше змінних.

Украинкский

2013-12-03

15.13 MB

10 чел.

Лекція  21

Застосування визначеного інтеграла до задач геометрії

68. Визначення площі плоскої області

  1.  Якщо y = f(x) C[a;b] і f(x) 0, то (див. пункт 63)

.

  1.  Якщо y = f(x) C[a;b], але змінює знак, то площа заштрихованої області визначається за формулою

.

3. Якщо область D обмежена лініями , , , , то

  1.   Якщо в криволінійній трапеції крива АВ задається параметрично , , , то

.

69.  Площа криволінійного сектора

Розглянемо полярну систему координат:

Якщо вся додатна частина осі х декартової системи координат збігається з полярною піввіссю Ох, початок відліку – з полюсом О, а вісь у буде перпендикулярна до осі х, то формули переходу з полярної в декартову систему координат матимуть вигляд: , . Крива в полярній системі координат задається рівнянням . Наприклад, рівняння кола із центром у точці О і радіусом 2 у декартовій системі координат , у полярній системі  r=2, . А коло із центром у точці  й радіусом 2 у декартовій системі координат  або , у полярній системі   , .

Розглянемо криволінійний сектор, обмежений лініями , , .

Для визначення площі криволінійного сектора розіб'ємо відрізок  довільним чином на n частин  і в кожному інтервалі довільно виберемо кут   . Обчислимо значення функції .

Позначимо площу нескінченно малого криволінійного сектора за  . Тоді , а  - n-а інтегральна сума для функції . Уведемо ранг розбиття , що характеризує дрібність розбиття, причому при ,  .

Якщо , то за теоремою 2 пункту 62 маємо:

, тобто

.

70.  Об'єм тіла обертання

для тіла V відома площа будь-якого перпендикулярного до осі OX  перерізу S(x) C[a;b]. Визначимо об'єм такого тіла. Розіб'ємо відрізок [a;b] довільним чином на n частин: . Через ці точки проведемо площини, перпендикулярні до осі OX. На кожному інтервалі  вибираємо точку  й обчислюємо площу перерізу . Об'єм  між площинами ,  визначимо за формулою , а весь об'єм  і чим дрібніше розбиття, тим точніше остання формула. Ранг розбиття , якщо , то  (але не навпаки). Ясно, що  за теоремою 2 пункт 62. Отже,   .

Розглянемо тіло обертання навколо осі OX.

Обертаючи криву y = f(x) C[a;b] навколо осі OX, одержимо тіло обертання.

Оскільки ,  тоді

.

Лекція  22

71. Довжина дуги кривої

Нехай крива  задана на відрізку  рівнянням .

Означення. Крива на відрізку  називається гладкою, якщо . Визначимо довжину дуги гладкої кривої .

Довільним чином розбиваємо відрізок  на n частин:   (на рисунку ). На дузі кривої  даному розбиттю відповідають точки , де .

Довжина хорди

За теоремою Лагранжа ,  де  .

Тоді  (1).

Довжина вписаної ламаної

.

Щоб визначити довжину дуги кривої , переходимо до границі, коли довжина найбільшої хорди прямує до нуля.

З формули (1) випливає, що якщо ,  то .

Позначимо найб. - ранг розбиття.

Таким чином, , а оскільки функція , то за теоремою 2 пункту 62 границя n-ї інтегральної суми не залежить від способу розбиття відрізка , вибору точок  і дорівнює скінченному числу, тобто

.

72. Довжина дуги, якщо крива  задана параметрично

     Якщо плоска крива   задана параметрично: , ,  ,  і  при , то в інтегралі  можна зробити заміну змінної  і :

 (*)

Зауваження. Якщо крива  лежить у просторі, тобто ,  і , то можна довести, що довжина дуги кривої визначається за формулою

Тут підінтегральний вираз

називають диференціалом довжини дуги.

73. Площа поверхні обертання

Нехай гладка крива  лежить у площині  і задана рівнянням , . Тоді площа поверхні обертання кривої  навколо осі Ох визначається за формулою

 (**)

Доведення.

Розіб'ємо відрізок  довільним чином на n частин   Площини  розбивають поверхню обертання на  n частин, площа бічної поверхні кожної частини як площа бічної поверхні зрізаного конуса дорівнює

Площа всієї поверхні обертання

,

,

оскільки ,  і  лежить між .

Таким чином,  і чим дрібніше розбиття, тим точніша остання формула. Введемо ранг розбиття  і

.

Повторюючи аналогічні розмірковування з п.71, дійдемо формули

.

Зауваження. Якщо гладка крива  задана параметрично, тобто , ,

,  і  при , то

.

74. Довжина дуги кривої у полярній системі координат

 крива  задана рівнянням , . Тоді за параметр  візьмемо  й формула  набере вигляду  

        Доведення

Оскільки , то,


Лекція  23

Застосування визначеного інтеграла до задач фізики

75. Маса дуги кривої

Проаналізуємо отримані формули при розв`язанні геометричних задач:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Отже, підінтегральні вирази - це диференціали, складені для відповідного нескінченно малого елемента. Тому, щоб уникнути більших викладень, розглянемо на задачах з фізики новий метод.

Нехай у просторі задана крива

У кожній точці кривої задана погонна  густина  Маса нескінченно малого елемента , тоді .

76. Статичний момент дуги кривої. Координати центра мас  

З фізики відомо, що статичний момент  матеріальної точки маси  щодо деякої осі  дорівнює , де  - відстань від точки до осі.

Нехай у площині задана крива , де  - погонна щільність. Для н.м. елемента дуги кривої статичний момент  щодо осі ОХ:  , а статичний момент всієї кривої . Аналогічно  визначається статичний момент щодо осі ОУ: .

Центр мас точка  має таку властивість, що якщо в цій точці зосередити всю масу кривої , то статичний момент цієї маси щодо осі  збігається зі статичним моментом кривої  щодо осі  (тобто з моментом маси розподіленої по цій кривій).

Таким чином,  або .

Самостійно одержати координати центра мас, якщо крива  задана в декартовій або в полярній системі координат.

77. Момент інерції дуги кривої

Момент інерції  матеріальної точки маси  щодо деякої осі дорівнює , де  - відстань від точки до відповідної осі.

Нехай у площині  задана крива  як у пункті 76. Тоді момент інерції н.м. елемента дуги кривої щодо осі ОХ: , а для всієї кривої L: .

Аналогічно визначається момент інерції щодо осі OY: .

Полярний момент інерції розглядається щодо полюса O: .

Самостійно записати всі ці моменти в декартовій або в полярній системі координат.

78 Робота змінної сили

Нехай точка  рухається уздовж осі  під дією сили , що лежить на осі .

Коли точка  пройде н.м. елемент шляху , сила   зробить роботу . Робота змінної сили  на відрізку  визначається  за формулою .

79. Робота з подолання сили тяжіння

Розглянемо це питання на прикладі про обчислення роботи, яку потрібно зробити, щоб викачати воду з вертикальної циліндричної діжки, що має радіус основи  й висоту .

Щоб підняти н.м. шар води завтовшки  до краю діжки, потрібно зробити роботу:

Тоді робота з викачування всієї води з діжки

.


Лекція   24

80.  Сила тиску на плоску пластину

Нехай круглу пластину радіуса R опустили вертикально у воду так, що її центр перебуває на глибині H під водою.  Визначити силу тиску води на цю пластину.

Складемо диференціал сили тиску води на н.м. елемент пластини:

, - питома вага води, h- відстань від поверхні води до н.м. елемента пластини.     

.

81. Задача про час витікання рідини з посудини з отвором

на дні циліндра  отвір площі s. Циліндрична посудина до країв наповнена рідиною. Якщо рідина нев'язка й силами поверхневого натягу можна знехтувати, то швидкість витікання рідини з отвору s за законом Торрічеллі , тут h – відстані від  рівня рідини до отвору.

- об'єм рідини, що витікає.

- на такий об'єм понизиться рівень рідини в циліндрі ().

Тоді час витікання всієї рідини з посудини

.

Функція декількох змінних

82. Деякі поняття плоскої області D

З геометрії відомо, що пара чисел  зображується точкою М на координатній площині  xoy. Множина цих пар дає плоску область D.

Відстань між двома точками площини визначається за формулою .

Означення. Множина точок площини, координати яких задовольняють нерівність , називається δ – околом точки  й позначається δ(). Геометрично це внутрішня частина кола із центром у точці  й радіусом δ.

Означення. Точка  називається внутрішньою точкою області D, якщо існує δ – окіл точки , що повністю лежить в області D.

Означення. Точка  називається граничною точкою області D, якщо будь-який δ – окіл цієї точки містить як точки, що належать області D, так і ті, що не належать їй.

Означення. Область D називається відкритою, якщо будь-яка точка цієї області є внутрішньою.

Означення. Область D називається замкненою, якщо кожна гранична точка області є так само точкою цієї області. Замкнену область, як правило, позначають .

Означення. Область D називається обмеженою, якщо її можна повністю помістити в деякий круг скінченного радіуса.

Означення. Область D називається зв'язаною, якщо дві її будь-які точки можна з'єднати неперервною кривою, що повністю лежить у цій області.

83. Поняття функції декількох змінних

Поряд з поняттям функції однієї незалежної змінної  можна розглянути функцію двох і більше незалежних змінних.

Означення. Якщо будь-якій точці  за деяким законом f ставиться у відповідність число , то кажуть, що на області D задана функція . Аналогічно можна дати визначення функції трьох і більше змінних.

Приклади

1. .  Нехай D – область існування цієї функції, тоді вона визначається нерівністю ,  зовнішня частина кола .  D – необмежена, відкрита й зв'язана.

2.

D – необмежена, відкрита й незв'язана, тому що точки  не можна з'єднати неперервною кривою, що повністю лежить у цій області.

3. .

Область D– вкладені одне в одного кільця, радіуси яких ,

D – необмежена, замкнена й незв'язана.

84. Геометричне зображення функції декількох змінних (ФДЗ)

Просторовий графік функції двох змінних – геометричне місце точок (х,y,u), тобто деяка поверхня, задана рівнянням u=f(x,y).

Наприклад:

1. - параболоїд обертання.

Область D – проекція цієї поверхні на площину хоу, тобто вся площина хоу.

2.  - верхня частина півсфери радіуса R.

Область Д – коло з радіусом R.


Лекція  25

85. Границя функції декількох змінних

Означення. Число А називається границею функції  при , якщо для , що для всіх точок М з області завдання функції й задовольняючій нерівності  ,

Таким чином, або .

Означення. Число А називається границею функції  при , якщо для , що для всіх точок М з області завдання функції й задовольняючій нерівності   , таким чином, .

Самостійно дати визначення границь  і .

Приклади

1. Обчислити .

ОДЗ цієї функції вся площина, крім точки О(0;0). Розглянемо границю, коли точка  М прямує  до точки О по прямій .

, границя залежить від шляху, тобто при різних k, набуває різних числових значень, отже вона не .

Границя існує, якщо вона не залежить від шляху.

2. , тому що

.

У цьому прикладі була використана теорема про границю проміжної функції, що справедлива й для ФДЗ.

86. Повторні граничні значення

Для ФДЗ можна визначити граничне значення за однєю зі змінних при фіксованих значеннях інших:

.   Якщо  існує, то можна повторити обчислення границі: . Таким чином, ми прийдемо до поняття повторного граничного значення: .

Приклад

,   ,

,   .

Зауважимо, що , тому що при .

, тобто границя залежить від a і набуває різних числових значень, тобто не .

Теорема. Якщо  задано в  і , крім цього, існують

,  , то .

Доведення

За визначенням границі ФДЗ: , що при   .

.

Далі розглядаємо тільки точки, що задовольняють нерівність . Виберемо одну з них – точку  .

Оскільки , то .

З умови теореми маємо: .

За визначенням границі функції однієї змінної:

, що при   

, тоді при  , тобто .

Аналогічно доводиться, що .

87. Неперервність ФДЗ

Означення. Якщо функція  задана в точці  й , то кажуть, що функція           

 неперервна в точці .

Означення. Якщо функція  неперервна в кожній точці множини D, то кажуть, що вона неперервна на множині D: .

, , тоді  - називають повним приростом функції .

Оскільки , то , або .

88.  Частинні похідні ФДЗ

Крім повного приросту ФДЗ

,

існують частинні прирости:

,

.

Означення. Якщо існує границя відношення частинного приросту ФДЗ до  приросту відповідного аргументу, коли останній прямує до нуля, то його називають частинною похідною й позначають:

,

.

Зауваження. Частинну похідну  обчислюють як похідну функції однієї змінної за умови, що y зафіксовано, аналогічно для  - x зафіксовано.

Приклад.

;

,

.

Зауваження. Взагалі з існування частинних похідних не випливає неперервність функції в даній точці, на відміну від функції однієї змінної.


Лекція   26

89.  Повний диференціал

Означення. Функція  називається неперервно диференційованою в області D, якщо вона диференційована і .

U=f(x,y) неперервно диференційована в D.

 

Тут  між x  і , між  y  і .

     .

Оскільки похідні неперервні в області

Висновок. Повний приріст неперервно диференційованої ФДЗ .

Означення. Головна частина повного приросту неперервно диференційованої ФДЗ, лінійна щодо приросту аргументів, називається повним диференціалом, тобто

Зауваження. Нехай  аналогічно  й .

Остаточно, .

- ця формула дозволяє в наближених обчисленнях використовувати повний диференціал ФДЗ.

90.  Похідна від суперпозиції ФДЗ

1.- неперервно - диференційовані за своїми аргументами, тоді

.

Доведення

,

.

Перейдемо до границі при

,

, тому що - неперервні, то   при

Таким чином, .

2. - неперервно диференційовані за своїми аргументами, тоді

,

.

Доведення аналогічне попередньому випадку 1.

Приклад

.

91. Дотична площина й нормаль до поверхні

Нехай рівняння поверхні   задане в неявному вигляді  й функція  неперервно диференційована в  й в  

Складемо вектор .

Розглянемо тільки випадок, коли .

Розглянемо будь-яку криву, що проходить через  і належить поверхні

.

. Продиференціюємо ліву й праву частини рівності:

де

Відомо з диференціальної геометрії, що вектор - дотичний вектор до кривої . Таким чином, вектор  для будь-якої кривої , що проходить через  і лежить на поверхні . А оскільки всі дотичні проходять через точку  і перпендикулярні до того самого вектора , то вони лежать в одній площині, що називається дотичною площиною, а вектор - нормальним вектором.

З аналітичної геометрії рівняння площини: ,

тоді - рівняння дотичної площини,  рівняння прямої:

,

тоді - рівняння нормалі.

Зауваження. Якщо рівняння поверхні  задане в явному вигляді ,  або  то  й рівняння дотичної площини й нормалі набере вигляду

.
Лекція  27

92. Похідні від функцій, заданих неявно

  1.  Функція однієї змінної .

       .

  1.  Функція двох змінних .

, тому що  (y – незалежна змінна).

Аналогічно   .

                                  

93.  Частинні похідні й диференціали вищих порядків

Означення.  - називається частинною похідною другого порядку від функції  за аргументом  двічі. Аналогічно визначаються  , , .

Теорема. Якщо функція  в має частинні похідні , , , ;  , - неперервні в точці , то в цій самій точці вони й однакові  (без доведення).

Зауваження. З теореми випливає, що частинні похідні другого й вище порядків, які неперервні в точці М, не залежать від порядку диференціювання, тобто, наприклад, .

Означення. - називається диференціалом другого порядку.

= .

Таким чином,

.

Зауваження

1. Якщо  - незалежні змінні, то   й  тоді  .

2.  Якщо  - незалежні змінні, то  й .

94.  Формула Тейлора для функції двох змінних

    З пунктів 40, 41  формула Тейлора для функції однієї змінної має такий вигляд:

де ,  між  і .

Розглянемо функцію , що має в  неперервні частинні похідні до ( ) порядку включно.

, ,  ,

.

За формулою Тейлора для функції однієї змінної:

, де  ,  між   між

95. Екстремум ФДЗ. Необхідна ознака існування екстремуму

 Означення. Якщо для ,   то .

Аналогічно визначається ;  ,  називаються екстремальними значеннями функції.

Означення. Точка називається стаціонарною, якщо .

Теорема (Необхідна ознака існування екстремуму)

Якщо функція  набуває у точці  свого екстремального значення, то в точці  або дорівнюють нулю, або нескінченності, або не існують.

Доведення

 Крива - лінія перетину поверхні  й площини , тоді  задана рівнянням  Аналогічно доводиться, що  й ін. випадки.

Приклад.

, (р>0) –

гіперболічний параболоїд.

,

.

У точці  , однак у точці  екстремуму немає, тому що в  порушуються визначення максимуму, мінімуму.


Лекція   28

96. Достатня ознака існування екстремуму

Теорема. Нехай у  функція  має неперервні частинні похідні до 3-го порядку включно і точка  є стаціонарною, тоді:

  1.  при є екстремум, якщо , то в точці, якщо  ,то в точці ;
  2.  при - екстремуму немає ;
  3.  при - потрібні додаткові дослідження.

Тут  

Доведення.  За формулою Тейлора

Оскільки точка - стаціонарна, то .

оскільки похідні неперервні, то вони обмежені; ,  - обмежені, то

Таким чином , отже:

1) якщо , то  і в точці ;

2) якщо , то  і в точці ;

3) якщо  , то необхідні додаткові дослідження;

4) якщо   змінює знак, то екстремуму немає, тому що порушується визначення максимуму,  мінімуму.

Використовуючи означення других похідних, обчислених  в точці , одержимо:

 

  1.  якщо , , то   точка ;

якщо  , , то  точка ;

  1.  якщо , то

при  ,

при , що є розв’язком рівняння  ,   

. Таким чином,  змінює знак, отже, при  екстремуму немає;

3) якщо - потрібні додаткові дослідження.

 і  залежно від знака А і значення кута .

Приклад.

всі точки прямої  підозрілі на екстремум.

У цьому випадку екстремум будемо називати нестрогим, тобто в точках, що лежать на прямій , нестрогий мінімум.

Зауваження. Якщо осі x, y розгорнути на кут , то, використовуючи формули переходу ,   отримаємо

Тут - нові координати.

Рівняння  в новій системі координат: , таким чином, ми розглядаємо параболічний циліндр.

97. Умовний екстремум

Визначити екстремум функції , якщо змінні x і y зв'язані умовою  

Тут функція U двічі диференційована по x, y і

Оскільки з умови , то - функція однієї змінної, з огляду на це визначимо точки, підозрілі на екстремум:

Система (1) дозволяє визначити точки, підозрілі на екcтремум, тому що використовували тільки необхідну умову існування екстремуму. Для достатньої умови існування екстремуму у точці визначимо

і  за знаком (див. пункт 96) установлюємо наявність екстремуму і його вигляд.

Приклад. У точках  і  перебувають джерела світла інтенсивності  відповідно. Визначити точку, у якій висвітлення буде мінімальним. Нехай .

.

Точка підозріла на екстремум.

Таким чином,  = .


Лекція  29

98. Найбільше й найменше значення функції в замкненій області

Схема визначення  в

  1.  Для функції  визначаємо точки, підозрілі на екстремум із системи      .
  2.  Визначаємо значення функції  в тих точках, які належать області .
  3.  Оскільки функція   на границі   є функцією однієї змінної: , то найбільше й найменше значення цієї функції знаходяться на кінцях відрізка  або у внутрішніх точках, підозрілих на екстремум. Визначаємо значення функції в цих точках і на кінцях відрізка (для дослідження на границі можна використовувати пункт 97).
  4.  Із всіх отриманих значень функції   вибираємо найбільше й найменше.

Приклад

;  Область  обмежена лініями .                

  1.    .  

Точка   підозріла на екстремум і  .

 

 

               

.

  1.  Границя області  розпадається на три частини.

~.

,

,    

.

Точка  , що лежить на границі  , підозріла на екстремум.        

~ ,

, .

Точка , що лежить на границі , підозріла на екстремум.

,

,

~ ,

         .

Цю точку ми вже досліджували, вивчаючи границю  .

  1.  Вибираємо найменше й найбільше значення:

       .

99. Задача про об'єм криволінійного циліндра

.

Криволінійний циліндр – це тіло, що обмежене циліндричною поверхнею (напрямна – крива , твірні паралельні осі ), площиною   й поверхнею .

.

Для визначення об'єму криволінійного циліндра розіб`ємо область  довільним чином на  частин.

На кожній ділянці довільним чином вибираємо точки  й обчислюємо .

Позначимо площу кожної ділянки через . Побудуємо прямі циліндри з нижньою основою   й висотою  . Ясно, що об'єм криволінійного циліндра наближено дорівнює сумі об'ємів таких “волокон” – прямих циліндрів:  .

Суму  називають -ю інтегральною й вона залежить від способу розбиття області  й вибору точок , і чим дрібніше розбиття, тим точніша рівність . Навколо кожного  опишемо коло з діаметром.   називається рангом розбиття. Якщо   , то    й усі   стягуються в точки.

Означення. Якщо границя послідовності –х інтегральних сум  при  існує, то вона називається подвійним інтегралом від функції  по області  й позначається  .


Лекція   30

100.  Задача про визначення маси неоднорідного тіла

Нехай густина у кожній точці обмеженої області V описується неперервною й додатно визначеною функцією .

Розіб'ємо область V довільним чином на n частин і в кожній частині довільно виберемо (·) . Позначимо об`єм кожної частини через  . Обчислимо густину . Оскільки , а об’єм  дуже малий, то можна вважати, що густина для цієї частини й дорівнює , тоді маса цього нескінченно малого елемента , а маса всієї області

(**),

n-а інтегральна сума (**) залежить від способу розбиття області V і вибору точок , чим дрібніше розбиття, тим точніша рівність (**). Навколо кожної частини  опишемо сферу з діаметром . Ранг розбиття ,  й чим дрібніше розбиття, тим ближче  до нуля.

.

Означення. Якщо границя послідовності n-х інтегральних сум (**) при  існує, то він називається потрійним інтегралом від функції  по області V і позначається .

Зауваження. Аналогічно можна визначити кратний інтеграл в n-мірному просторі, де точки   має n координат, - обмежена область n-вимірного простору, функція :

,

тут - міра нескінченно малого елемента (н.м. елемента) довільного розбиття області , - довільна точка цього н.м. елемента, - ранг розбиття.

101. Формулювання теореми про існування кратного інтеграла

Якщо   ,  - зв'язана, обмежена й замкнена область, то f(M) інтегрована в області , тобто границя n-ї інтегральної суми існує, не залежить від способу розбиття області   й вибору точок .

Зауваження. У пункті 62 наведено доведення інтегрованості функції однієї змінної, яка є частковим випадком ФДЗ. Аналогічно доводиться й дана теорема, тобто шляхом визначення границь верхньої й нижньої сум Дарбу.

102  Властивості кратних інтегралів

Виходячи із властивостей границь і кінцевих сум, можна записати такі властивості кратних інтегралів:

1)  , де С – const;

2) ;

3) якщо область  розбивається на дві області  й  без спільних внутрішніх точок, то

(у доведенні останньої властивості беремо загальну границю областей  і  однієї з поверхонь розбиття);

4) якщо  , то  - міра області інтегрування;

5) якщо m, M – найменше й найбільше значення підінтегральної функції f(M) в області інтегрування з мірою , то

(доведення випливає зі справедливості нерівності:

).

103 Теорема про середнє

Якщо ,  - зв'язана, обмежена й замкнена область, то в  знайдеться принаймні одна така точка , що  

(доведення випливає із властивості 5 і неперервності функції , див. п.64).

104.  Обчислення кратних інтегралів

Означення. Плоска область D називається правильною в напрямку осі OY, якщо будь-яка пряма, паралельна осі OY, перетинає її границю не більш ніж у двох точках.

Теорема. Подвійний інтеграл від неперервної функції по правильній області D  дорівнює повторному інтегралу від цієї функції по області  D, тобто

.

Доведення

З одного боку, , з іншого .

як площа криволінійної трапеції.

Остаточно: .

Приклад. Обчислити , якщо ,  

Лекція 31

105.  Заміна змінних у кратних інтегралах

З теореми про існування кратних інтегралів (п.101) випливає, що інтеграл не залежить від способу розбиття області D.

  1.  Декартова система координат

      Розбиваємо область D лініями , .

.

Таким чином, у декартовій системі координат .

Для потрійного інтеграла   - площини, які розбивають область V на нескінченно малі прямокутні паралелепіпеди й .

  1.  Полярна система координат

     У цій системі координат точка  :   формули переходу. У цьому випадку розбиваємо область D лініями , тобто концентричними колами й променями.

Таким чином, з точністю до нескінченно малих другого порядку малості .

Тобто .

Зауваження. Загальний випадок зміни змінної в подвійному інтегралі дивись п.182.

3. Циліндрична система координат

, де  - формули переходу. Розбиваємо область V поверхнями ,  концентричні циліндричні поверхні, напівплощини, що виходять із осі OZ, і площини, перпендикулярні до осі OZ.

.

тобто в циліндричній системі координат .

Зауваження. Можна припустити, що при записуванні кратного інтеграла  в новій системі координат, де      ,

                            ,

                             ……………………

                            ,

диференціал міри , тут множник називають якобіаном.

Доведено, що якобіан дорівнює:

.

Наприклад, у циліндричній системі координат

4. Сферична система координат

Оскільки , то формули переходу мають вигляд: , , , при цьому  

Поверхні розбиття тіла V на нескінченно малі елементи: - концентричні сфери, - конічні поверхні з вершинами в точці О,  - напівплощини, що виходять із осі OZ.

і тоді

.

Приклад

Обчислити інтеграл , якщо V~

Обчислювати цей інтеграл зручніше у сферичній системі координат

 

.


Лекція  32

106.  Застосування кратних інтегралів до задач фізики

  1.  Маса неоднорідної пластини

Надалі під пластиною будемо мати на увазі тіло, що має форму прямого циліндра, для якого h<<S, де h - висота циліндра, S - площа поперечного перерізу,              h = const.

Оскільки h мале, то густина не залежить від змінної z, тобто вона не змінюється уздовж будь-якого перпендикуляра до площини x. Розмірність густини .

Густина , а D – зв'язана, обмежена, замкнена область. Виділяємо елементарну частину області D з площиною dS, яка настільки мала, що можна вважати густину на цій ділянці сталою. Тоді маса елементарної частини , а маса всієї пластини:

.

    Подібні міркування дозволяють уникнути побудови n-ї інтегральної суми й граничного переходу в кожній конкретній задачі.

Зауваження. До таких самих результатів можна прийти, якщо використовувати пункти 100 і 104:

тут розмірність густини .

2. Момент інерції

З фізики відомо, що момент інерції матеріальної точки  щодо осі Ox: , де m – маса, d – відстань від точки до осі. Тоді момент інерції нескінченно малого елемента пластини D визначається за формулою . Аналогічно .

Зауваження. Якщо розглядати неоднорідне тіло, то

, ,  – моменти інерції щодо відповідних площин, а  – момент інерції щодо полюса О.

3. Центр мас

Позначимо центр мас неоднорідної пластини буквою С, тоді , , де , –  статичні моменти пластини щодо відповідних осей, m – маса пластини.

Статичний момент нескінченно малого елемента пластини:

, , .

Отже, , .

Зауваження. Аналогічно визначаються координати центра мас неоднорідного тіла:

, , .

107.  Вектор-функція скалярного аргументу і її границя

Означення. Якщо  відповідає певний вектор , то кажуть, що на множині T визначений вектор-функція скалярного аргументу

.

Означення. Лінія L, описувана кінцем радіуса-вектора , називається годографом вектор-функції.

Зауваження. Якщо t – час, то годограф – це траєкторія руху точки .

Означення. Якщо    таке, що при  й  , то  називається границею вектор-функції  при , тобто .

Наслідок. , тоді

. Оскільки

то, аналогічно , .

Отже,  для того, щоб , необхідно й достатньо, щоб , , .

Означення. Вектор-функція  називається неперервною в точці , якщо , тобто , або .

108. Похідна вектор-функції

Означення. Якщо існує границя , то вона називається похідною вектор-функції й позначається .

Наслідок. Оскільки , то з існування  існування границь , ,  і навпаки.

Таким чином для того, щоб  мала похідну, необхідно й достатньо, щоб , ,  були диференційовані.


Лекція  33

109. Геометричний зміст похідної вектор-функції

При   й хорда  розвертається до положення дотичної: .

Геометричний зміст похідної вектор-функції:  лежить на дотичній, проведеній до годографа , і напрямлена у бік зростання параметра .

Зауваження. Годограф  можна розглядати як графік функції, заданої параметрично:

~ .

Означення.  називається особливою, якщо  або не існує.

Означення. Крива  називається гладкою, якщо  неперервно диференційована функція без особливих точок.

Теорема. Довжина нескінченно малої дуги гладкої кривої еквівалентна стягуючій її хорді, тобто

 

 (без доведення).

Зауваження. Перша важлива границя є окремим випадком цієї теореми, тому що

.

110.  Дотична й нормальна площини до кривої в просторі

Нехай  - гладка крива. Оскільки вектор  лежить на дотичній, то він є напрямним вектором цієї прямої.  - точка дотику.

Рівняння дотичної: .

У той же час вектор  перпендикулярний до нормальної площини, тобто

й рівняння нормальної площини:

.

111. Механічний зміст похідної вектор-функції

Нехай матеріальна точка  рухається по годографу вектор-функції .

Уведемо в розгляд початок відліку точку О і дугову координату S, що спрямована у напрямку руху . Тоді  й . Оскільки , тут  - вектор-хорда,  - довжина дуги, то за теоремою пункту 109 , вектор  лежить на дотичній, тобто  - одиничний вектор дотичної,  що спрямований у напрямку руху точки , а . Отже,  .

Механічним змістом похідної вектор-функції за часом  є вектор швидкості матеріальної точки  під час руху по кривій .

112. Задача про визначення маси неоднорідної матеріальної лінії

Нехай матеріальна лінія є гладкою кривою , що задається вектор-функцією . Погонна густина цієї лінії . Розмірність густини, де  - розмірністи маси й довжини лінії.

Довільним чином ділимо криву  на  частин і на кожній дузі  вибираємо точку . Вважаємо густину на дузі  рівною , тоді маса дуги  , де  - довжина дуги .

Маса всієї матеріальної лінії

  (*).

І чим дрібніше розбиття, тим точніша ця рівність.

Найбільшу з довжин дуг  позначимо буквою  й назвемо рангом розбиття. Якщо , то дуги  стягуються в точки, а . Сума (*) залежить від способу розбиття лінії  й вибору точок .

Визначимо , якщо він існує, то його називають криволінійним інтегралом по довжині дуги й позначають .

Фізичний зміст криволінійного інтеграла по довжині дуги - маса матеріальної лінії

.

113.  Задача про роботу змінної сили під час руху точки по кривій

Нехай точка  рухається уздовж кривої , що  є годографом вектор-функції . До точки прикладена сила

.

Визначити роботу сили  при переміщенні  з  в ,  - гладка, а . Довільним чином розбиваємо криву  на  частин і на кожній дузі  вибираємо точку . Оскільки дуга  досить мала, а  неперервна, то можна вважати, що на цій ділянці сила стала й . І тоді робота сили  на ділянці : .

А робота на всій кривій : , і чим дрібніше розбиття, тим точніша ця формула. Найбільшу з довжин дуг  позначимо буквою , що називають рангом розбиття. Якщо , то  (але не навпаки). Сума  залежить від способу розбиття кривої  й вибору точок . Розглянемо      (*).

Означення. Якщо границя (*) існує, то вона називається криволінійним інтегралом за координатами і позначається .

Криву  називають контуром інтегрування.

Таким чином, робота змінної сили  під час руху точки по кривій  дорівнює криволінійному інтегралу

.


Лекція  34

114. Формула зв'язку криволінійних інтегралів за координатами  і довжиною дуги

Нехай L - гладка крива, задана вектор-функцією  

Розглянемо одиничний дотичний вектор

, вектор

Запишемо теорему пункту 109 через диференціали:

.

Криволінійний інтеграл за координатами

 тут   .

Таким чином, криволінійний інтеграл за координатами   існує, якщо існує криволінійний інтеграл за довжиною дуги  й навпаки.

115. Формулювання теореми існування криволінійного інтеграла

Теорема. Якщо - гладка крива, а вектор-функція  

, то існує криволінійний інтеграл за координатами , тобто існує границя n-ї інтегральної суми  (пункт 113), що не залежить від способу розбиття кривої   L і вибору точок .

Зауваження. Оскільки L - гладка, а F(M), то  теж неперервна на L.

Доведення

а оскільки крива L гладка, то  неперервно диференційовані й без особливих точок, тобто , аналогічно - неперервні на  L функції.

Отже,  .

Із зауваження й формули зв'язку випливає, що якщо  й L - гладка, то криволінійний інтеграл за довжиною дуги теж існує.

116. Дві основні властивості криволінійних інтегралів

1. Криволінійний інтеграл за довжиною дуги AB не залежить від вибору напрямку інтегрування, тобто

.

Доведення

За означенням

,  

- довжина дуги  не залежить від напрямку її виміру.

2. Криволінійний інтеграл за координатами залежить від вибору напрямку інтегрування, тобто

Доведення

За визначенням

   

          

, що й потрібно було довести.

Зауваження. Якщо контур АВ замкнений, то криволінійний інтеграл записують так:

.

117 . Обчислення криволінійних інтегралів

Почнемо із криволінійного інтеграла за координатами:

Обчислимо .

Крива АВ задана рівняннями , .

За теоремою Лагранжа , де  лежить між  і ;

, тому що x=x(t) - неперервна.

Оскільки інтеграл не залежить від вибору точок  (пункт115), то нехай , тоді  ,

тобто криволінійний інтеграл зводиться до визначеного.

Остаточно: .

Аналогічно: .

.

З пункту 114 випливає, що метод обчислення криволінійного інтеграла за довжиною дуги такий самий, що й метод обчислення криволінійного інтеграла за координатами.

Оскільки  то

Приклади.

1.  Визначити роботу сили .

Уведемо параметризацію кривої L

 

2. Визначити роботу сили  під час руху точки М по прямій від точки А(1,0,4) до точки В(7,4,2).

3. Визначити масу параболи , якщо  - густина.


Лекція  35

118.  Формула Гріна

Теорема.  область  правильна уздовж осі  й , функції , , ,   , тоді   , де  - замкнений контур (границя області D) з обходом проти ходу годинникової стрілки.

Доведення.

 

де  - замкнений контур з обходом проти годинникової стрілки.

Аналогічно , тоді .

119. Умови незалежності криволінійного інтеграла від шляху інтегрування

Означення. Якщо , то кажуть, що криволінійний інтеграл не залежить від шляху інтегрування.

, , ,   , де  - правильна область уздовж осей  , .

Чотири рівносильні умови:

  1.  Інтеграл , узятий за будь-яким замкненим контуром , дорівнює нулю.
  2.  Інтеграл  не залежить від шляху інтегрування.
  3.  Вираз  є повним  диференціалом деякої функції , визначеної в області .
  4.  В області : .

Доведення проводимо за схемою .

1. Оскільки ,  - будь-який замкнений контур в області .

, тобто інтеграл не залежить від шляху інтегрування .

  1.  Позначимо

тому що  .

Таким чином, , аналогічно доводиться, що . Отже, .   ( )

Визначимо цю функцію:

3. Оскільки , , то  при    

4. Для будь-якого замкненого контура  L, що повністю  лежить в D,

, тому що  в D.  .

Таким чином, усі чотири умови рівносильні.

120. Механічні застосування криволінійного інтеграла за довжиною  дуги (список формул)

густина матеріальної лінії L

  1.  Моменти інерції матеріальної лінії:

  1.  Статичні моменти матеріальної лінії:

  1.  Координати центра мас матеріальної лінії

 

PAGE  176


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55573. Додавання і віднімання раціональних чисел 54 KB
  Мета: удосконалити вміння застосовувати правила додавання та віднімання дробів до розв’язування вправ і задач; розвивати пізнавальний інтерес, математичну мову; виховувати відповідальне відношення до навчання
55574. Квадратный километр и квадратный миллиметр 46.5 KB
  Цели : познакомить с новыми единицами измерения площади: квадратный километр и квадратный миллиметр; научить детей заменять одни единицы площади другими; развивать умение использовать в работе изученные квадратные и линейные единицы измерения...
55575. АЛГОРИТМ ИДЕАЛЬНОГО РАЗУМА 139.5 KB
  В статье раскрыты моменты: функции обработки информации доминанты функций обработки информации единицы измерения естественного и искусственного интеллектов моделирование функций обработки информации тестирование работы искусственного интеллекта.
55576. Развитие речи на уроках русского языка 86 KB
  Если например на уроках русского языка ученики осознают структуру текста типа рассуждения и научатся создавать такие тексты они смогут более доказательно и четко отвечать на вопросы которые начинаются словом...
55577. Буквы о и а в корне –кос- - -кас- 114 KB
  Оборудование: Доска презентация по теме словообразование презентация Сказка о двух братьях Кос и Кас раздаточный материал. Назовите основные способы образования слов в русском языке с примерами.
55578. Читання як спосіб іншомовної комунікації 38 KB
  Враховуючи ці особливості формування компетенції в читанні та той факт що читання поряд з усним мовленням є найбільш розповсюдженим способом іншомовної комунікації пропоную у якості домашнього читання для учнів...
55579. РІЗНОМАНІТНІСТЬ УРОКІВ ЧИТАННЯ ЯК ШЛЯХ ПІДВИЩЕННЯ ЯКОСТІ ЧИТАННЯ В ПОЧАТКОВИХ КЛАСАХ 105.5 KB
  Всім давно відомо що знання фантазія логіка думки і міркувань любов до рідної мови уміння зв’язно логічно і образно розповідати виховуються читанням. Від учителя початкових класів в значній мірі залежить чи полюблять діти читання...
55580. Шляхи формування самостійного читача в системі позакласного читання 135 KB
  З читання як самостійної діяльності дитини у світі книг починається її самоосвіта самовиховання формування високих художніх смаків розвиток духовних сил. Читання практична діяльність.
55581. READING 104.5 KB
  God blessed the monastery when Ukraine became independent. In 1993 it was opened by the efforts of many people. Mother Superior Vira and nuns of the abode accepted the responsibility to restore the old monastery.