47921

Динаміка матеріальної точки

Конспект

Физика

ІІ задача обернена: знаючи кінематичний закон руху і масу тіла визначити сили що діють на матеріальну точку. адитивність маси: 3 рівність інертної та гравітаційної маси з точністю: Поняття сили. Сили в природі. Таким чином із визначення поняття сили випливає 2 прояви дії сили: а динамічний прояв – можемо судити по прискоренню яке отримують взаємодіючі тіла; б статичний прояв – по деформації взаємодіючих тіл.

Украинкский

2013-12-04

5.09 MB

16 чел.

ІV. Змістовий модуль 3

Динаміка матеріальної точки

Теоретичне ядро

Основні поняття динаміки. Закони Ньютона.

Предмет і задачі динаміки матеріальної точки.

Динаміка – основна центральна частина механіки, в якій вивчаються закони механічного руху як результат їх взаємодії, тобто закони механічного руху розглядаються разом з причинами, що зумовлюють той чи інший механічний стан матеріальних об’єктів.

В основі динаміки  лежать 3 закони природи, вперше сформульовані І.Ньютоном в 1687 р. у книзі «Математичні принципи натурфілософії» у вигляді чіткої системи 3 взаємозв’язаних тверджень (аксіом), що називають динамічними законами руху Ньютона, або аксіомами механіки.

Закони Ньютона мають емпіричний (дослідний) характер – вони є узагальненням багаточисельних дослідних фактів, що встановлюють взаємозв’язок між рухом тіл і причинами, що спричинили, або змінили цей рух.

Динаміка розв’язує 2 задачі, одна з яких основна:

І задача ( пряма основна задача динаміки): по заданим силам і масі тіла знайти кінематичний закон руху матеріальної точки, що визначає положення і швидкість руху у будь-який момент часу.

ІІ задача (обернена): знаючи кінематичний закон руху і масу тіла, визначити сили, що діють на матеріальну точку.

Рух і взаємодія тіл. І закон динаміки - закон інерції Галілея.

Взаємодія і механічний рух – це ті найпростіші фізичні процеси, які спостерігає людина в навколишньому матеріальному світі.

Основна проблема, яку довгий час не вдавалося розв’язати – це встановлення співвідношень між процесами взаємодії і руху: що первинне, а що вторинне.

Згідно поглядів древньогрецького вченого Аристотеля – природнім механічним станом матеріальних тіл є спокій; для того, щоб рух тіл виник і зберігався незмінним потрібна постійна зовнішня дія з боку інших тіл, а для підтримки механічного руху навіть з постійною швидкістю необхідна зовнішня дія навколишніх тіл.

Ця точка зору панувала в науці з часів великого філософа античного періоду Аристотеля до ХVІ століття.

Видатний італійський вчений Г.Галілей (ХVІ –ХVІІ ст.) на основі дослідів з похилою площиною та підмітивши закономірність в механічному русі тіла при зменшенні тертя та інших зовнішніх впливів, вказав на той граничний випадок механічного руху, який повинен спостерігатися при повній відсутності зовнішніх взаємодій, а саме – рівномірний прямолінійний рух.

Останнє може пояснити, використовуючи досвід Галілея з похилою площиною

Рис. 3.1.

З рис. 3.1 випливає:

 

При  l >> h,   l→∞, a→0.  

Висновки:

а) Взаємодія тіл не є першопричиною руху. Тіла перестають рухатись не тому, що зовнішні дії не підтримують рух, а в тому що ці взаємодії перешкоджають рухові.

б) Взаємодія тіл викликає не рух, а зміну механічного руху або стану тіла, тобто зміну швидкості руху тіла, що приводить до  прискорення.

в)Природнім механічним станом тіл є рівномірний прямолінійний рух. Зовнішні дії матеріальних тіл не викликають рух, а лише змінюють його.

Всі ці висновки були сформульовані Г.Галілеєм у вигляді твердження, яке називається закон інерції Галілея:

Якщо відсутні зовнішні дії, або у випадку їх компенсації, тіло може рухатися поступально з постійною швидкістю або перебувати в стані спокою (тобто рухатись без прискорення).

Інерція – це фізичне явище збереження стану спокою або рівномірного прямолінійного руху матеріальних тіл при відсутності або при компенсації зовнішніх дій на них інших тіл.

Такі тіла називаються вільними (ізольованими), а їх рух називається рухом за інерцією, а механічний стан – інерційним.

Видатний англійський вчений І. Ньютон сформулював закон інерції так (І закон динаміки в системі законів механіки):

Всяке тіло зберігає стан спокою або рівномірного прямолінійного руху доти, поки і оскільки дія з боку інших тіл не спричинює зміну цього стану.

Інерціальні системи відліку. Принцип відносності Галілея.

Як відомо, всякий рух має сенс, якщо вибрана система відліку. Основне значення першого закону Ньютона полягає в тому, що він встановлює критерії існування СВ особливого типу, що називаються інерціальними .

Сучасне формулювання І закону Ньютона:

Існують такі системи відліку, відносно яких тіла при відсутності або при компенсації зовнішніх дій зберігають стан спокою або рухаються поступально з постійною швидкістю.

Інерціальними системами відліку (ІСВ) називається СВ, в яких тіла при відсутності або при компенсації зовнішніх дій зберігають стан спокою або рухаються поступально без прискорення. Отже ІСВ – це системи відліку в яких виконується закони інерції Галілея.   

Поняття інерціальної системи відліку (ІСВ) – абстракція реальних систем відліку. Оскільки абсолютно вільних тіл в природі не існує, то будь-яку систему відліку можна розглядати як інерціальну тільки наближено. При розв’язанні ряду практичних задач вважають за інерціальну СВ зв’язану з Землею (геоцентричну СВ) – нехтують обертовим рухом Землі. З великою  отупінню наближення за ІСВ можна вважати геліоцентричну СВ із початком координат в центрі Сонця. Інерціальні СВ мають важливу фізичну властивість, що була сформульована Г.Галілеєм в одному з важливих принципів класичної механіки – принципі відносності Галілея.

Механічні явища одного і того ж типу у всіх інерціальних системах відліку протікають зовсім однаково, а закони механічних рухів у всіх ІСВ приймають однакову і найпростішу математичну форму.

Всі однакові механічні досліди, проведені  у різних ІСВ, повинні дати однакові результати. Тому, механічні досліди, проведені всередині ІСВ, не дають можливості встановити, чи система перебуває в стані спокою, чи в рівномірному прямолінійному русі.

В принципі відносності Галілея стверджується фізична еквівалентність (рівносильність) всіх ІСВ. Принцип відносності виключає можливість визнання абсолютного руху відносно однієї  із ІСВ, а отже, свідчить про відсутність принципової відмінності між спокоєм і рівномірним прямолінійним рухом.

Висновок: 

  •  Рівномірний прямолінійний рух не впливає на механічні процеси.
  •  Математична форма основних механічних законів зберігається в будь-якій ІСВ.
  •  В ІСВ не тільки механічні явища, як показав пізніше Ейнштейн, а всі фізичні процеси природи сприймаються і описуються найпростіше.

Поняття маси в класичній механіці. Властивість маси.

З дослідів і спостережень випливає, що дія на дане тіло з боку інших тіл викликає зміну його швидкості, тобто надає тілу прискорення. Причому, однакові дії надають різним тілам різні прискорення. Всяке тіло протидіє спробам змінити його попередній механічний стан.

Властивість тіл чинити опір зовнішній дії, зберігаючи свій попередній механічний стан, називають інертністю. В загальному випадку інертність – це властивість матеріальних об’єктів, що виражає збережуваність і незнищуваність початкового стану матеріальних об’єктів.

Інертність властива всім матеріальним об’єктам: тілам, полям, частинкам. Для кількісної оцінки інертних властивостей матеріальних тіл служить фізична величина, що називається масою.

Маса – фізична скалярна величина, що є кількісною мірою інертності тіла (точки), що характеризує інертні властивості матеріальних об’єктів. Цю масу називають інертною масою. Маса, яка характеризує гравітаційні властивості матеріальних тіл, називається гравітаційною масою (властивість тіл взаємно притягуватись одне од одного).

Таким чином, маса в класичній механіці – фізична величина, що є універсальною кількісною мірою інертних та гравітаційних властивостей матеріальних об’єктів.

Властивості маси в класичній механіці:

  1.  постійність маси: m = const.
  2.  адитивність маси:

 3) рівність інертної та гравітаційної маси

з точністю: 

Поняття сили. Сили в природі. Фундаментальні взаємодії.

Згідно І закону Ньютона, тіло змінює свій стан спокою або рівномірного прямолінійного руху, тобто набуває прискорення в тому випадку, коли на нього почнуть діяти інші тіла. Прискорення – результат дії одного тіла на інше. Але взаємодія тіл може проявлятись не тільки в наданні тілам прискорення, але і в зміні їх форми та об’єму, тобто в деформації взаємодіючих тіл.

Для кількісної оцінки механічної взаємодії тіл і вводиться фізична векторна величина - сила.

Сила – фізична векторна величина, яка є кількісною мірою інтенсивності механічної взаємодії матеріальних тіл, в результаті якої тіла одержують прискорення або деформуються.

Таким чином, із визначення поняття сили випливає 2 прояви дії сили:

а) динамічний прояв – можемо судити по прискоренню, яке отримують взаємодіючі тіла;

б) статичний прояв – по деформації взаємодіючих тіл.

В класичній механіці:

  •  сила є ковзаючий вектор – вектор, точку прикладання якого можна переміщувати по лінії його дії;
  •  існування сили завжди пов’язано з наявністю у крайньому випадку (2) матеріальних об’єктів, тобто сила в класичному розумінні має безпосереднє матеріальне джерело. Тому, визначаючи силу, необхідно вказати на тіла, з боку якого і на яке діє сила.

Всі сили в механіці поділяються на (2) основні класи:

  •  сили, що виникають при безпосередньому дотиканні тіл (контактна взаємодія);
  •  сили, що діють на деякій віддалі від взаємодіючих тіл, тобто через деякий матеріальний посередник, що називається силовим полем: взаємодія в цьому випадку називається польовою.

За своєю фізичною природою в механіці розрізняють 3 типи сил:

а) сила тяжіння – прояв гравітаційної взаємодії в умовах Землі, відноситься до другого класу сил, що пов’язані з існуванням гравітаційного поля;

б) сила тертя – сили, що виникають при переміщенні одних тіл по поверхні інших;

в) сила пружності (пружні сили) – сили, що виникають в результаті пружної деформації.

Останні дві сили відносяться до контактних взаємодій. Але між силами, що виникають при дії силових полів, принципових відмінностей немає. По суті, вони зумовлені існуванням силових полів. Сили, що виникають при безпосередньому дотиканні тіл, зумовлені силовими полями молекул та атомів, з яких складаються матеріальні тіла.

Фундаментальні взаємодії в природі

До фундаментальних взаємодій належать:

а) гравітаційна;

б) електромагнітна;

в) слабка;

г) сильна, або ядерна;

д) інформаційна.

Гравітаційна взаємодія – взаємодія, що зумовлена взаємним притяганням матеріальних тіл (частинок) одне до одного. Передається через матеріальний посередник – гравітаційне поле. Підкоряється закону всесвітнього тяжіння Ньютона, згідно якого гравітаційна сила зменшується з відстанню по закону оберненого квадрата:

Електромагнітна взаємодія – взаємодія, що виникає між зарядженими тілами (частинками) і передається за допомогою електромагнітного поля. Сили тертя і пружності мають електромагнітну природу. Сюди також належить і вага тіла, яка за природою є силою пружності.

Слабка взаємодія – це взаємодія між окремими елементарними частинками в процесі їх взаємоперетворюваності. Електромагнітна і слабка взаємодія в останній час об’єднані в рамках однієї фізичної теорії.

Сильна взаємодія – взаємодія між елементарними частинками всередині атомного ядра, вона зумовлює ядерні сили, за допомогою яких нуклони об’єднуються в ядра.

 Інформаційна взаємодія: У 90-х роках XX сторіччя відкрито нову, п'яту фундаментальну взаємодію – інформаційну, матеріальним посередником якої виявились торсіонні поля, що слугують носієм інформації у тонкому (надтонкому) світі. Тонкий світ - це світ невидимих «не речовинних» явищ і процесів. В науці до понять тонкого світу відносять: поняття свідомості (філософія, психологія), світ нескінченно малих і нескінченно великих величин (математика).

Термін торсіонне походить від англійського слова «torsion», що означає «обертання».

На основі теоретичних та експериментальних досліджень були встановлені три основні властивості торсіонних полів, які істотно відрізняються від відомих фізичних полів: це властивість переносити інформацію без перенесення енергії, передавати інформацію зі швидкістю, яка перевищує швидкість світла, поширюватися не лише в майбутнє, а й у минуле. Ці поля і породжують фізичний вакуум, під яким розуміють в сучасній науці матеріальне середовище, яке народжує і передає взаємодії.

Однією з фундаментальних теоретичних проблем сучасної  фізики є створення єдиної фізичної теорії поля, в якій мають бути об’єднані всі фундаментальні взаємодії в природі.

Другий закон динаміки.

З першого закону динаміки випливає, що тіло змінює свій механічний стан спокою або рівномірного прямолінійного руху, тобто набуває прискорення, якщо на нього подіє інше тіло. На запитання, яким буде рух тіла під дією сили, дає відповідь ІІ закон Ньютона, що встановлює кількісний взаємозв’язок між величиною діючої сили, прискоренням і масою тіла.

Цей взаємозв’язок можна встановити за допомогою досліду з візком і капельницею.  

Рис. 3.2.

Спочатку встановлюють характер руху візка за допомогою сталої сили. Записуючий пристрій поставить мітки, відстань між якими дорівнює шляхам, пройденим за однаковий проміжок часу Δt. Виявляється, що відношення шляхів, пройдених за проміжки часу Δt, 2Δt, 3Δt …. дорівнює відношенню квадратів цілих чисел 1:22:32:…. Ця умова справедлива для рівноприскореного руху:

Отже, рух візка під дією сталої сили – рівноприскорений. Далі встановлюють залежність прискорення від величини діючої сили при постійній масі:

а) m=const,   

Звідси:  

вектори a і F – колінеарні.

б) якщо F=const, а змінювати навантаження візка, тобто його масу, то прискорення при різних навантаженнях буде різним. Причому, із збільшенням навантаження, прискорення, зумовлене дією однією і тією ж силою, зменшується. Отже:

Об’єднуючи обидва результати досліду, маємо:  

де  a↑↑F, тобто ІІ закон Ньютона носить векторний характер.                                                (3-1)

Висновок. Прискорення, яке отримує тіло під дією прикладеної сили, прямо пропорційне діючій силі, обернено пропорційне масі тіла і направлене в бік діючої сили. Це і  є одним із формулювань ІІ закону Ньютона, що виражає функціональну залежність між кінематичними і динамічними величинами.

Перепишемо останній вираз у вигляді:

                                     (3-1а)

Остання формула є математичним записом ІІ закону динаміки, що називається динамічним рівнянням руху, або основного рівняння динаміки матеріальної точки.

Формулювання. В ІСВ сила, що діє на матеріальну точку (тіло), дорівнює добутку маси тіла на прискорення, якого воно набуває.

Принцип незалежної дії сил (принцип суперпозиції) – застосовують, коли на тіло масою m діє декілька сил

Прискорення матеріальної точки при одночасній дії на неї декількох сил дорівнює векторній сумі прискорень, що надають точці окремі сили, тобто вектор прискорення, викликаного дією однієї сили, не залежить від дії інших сил.

                                       (3-1б)

Тоді останній вираз носить назву принцип суперпозиції або незалежні дії сил :            

  

                        (3-2)

Останній вираз носить назву векторного динамічного рівняння руху. За допомогою цього рівняння розв’язується основна задача механіки, тому воно носить назву основного рівняння динаміки матеріальної точки. Векторне рівняння руху дає три скалярних рівнянь руху:

Скалярна система рівнянь носить назву динамічних рівнянь руху в координатній формі.       

                                        (3-2а)

Зауваження:

Із ІІ закону Ньютона випливає, що якщо

Тобто: якщо рівнодійна всіх сил, що діють на тіло, дорівнює нулю, то тіло зберігає стан спокою, або рівномірного прямолінійного руху. Таким чином, І закон Ньютона можна формально розглядати окремим випадком ІІ закону. Незважаючи на це, І закон динаміки має глибоке самостійне значення, а саме: він стверджує існування інерціальних систем відліку, в яких і виконується основний закон динаміки. Цей факт говорить про глибокий взаємозв’язок системи законів динаміки Ньютона.

Імпульс точки. Загальна (диференціальна) форма ІІ закону Ньютона.

Розглянемо динамічне рівняння руху:

Тоді

Імпульс матеріальної точки (р) – фізична величина, що є кількісною мірою передачі механічного руху тіл в процесі їх взаємодії і визначається добутком маси точки на її швидкість.

Імпульс точки (кількість руху) характеризує деякий запас механічного руху точки (тіла) і співпадає за напрямом з вектором швидкості.

Фізична векторна величина, яка характеризує часову дію сили і вимірюється добутком вектора сили на проміжок часу, протягом якого вона діє, називається імпульсом сили.Тоді:

                 (3-3)

Формулювання  Ньютона ІІ закону динаміки. 

  1.  Зміна кількості руху матеріальної точки прямо пропорційна прикладеній силі і відбувається в напрямі тієї прямої, вздовж якої ця сила діє.
    1.  Зміна імпульсу матеріальної точки за деякий проміжок часу дорівнює імпульсу прикладених сил.

У випадку змінної сили розбивають час дії сили на нескінченно малі елементарні проміжки часу ∆t→0.

                                            (3-4)

Одержаний вираз носить назву загальної або диференціальної форми ІІ закону Ньютона.

Сила, яка діє на точку (тіло) визначається першою похідною за часом від імпульсу точки, тобто дорівнює швидкості зміни імпульсу матеріальної точки.

Сила – кількісна міра інтенсивності механічної взаємодії тіл, що проявляється в швидкості зміни їх імпульсу.

Останнє формулювання ІІ закону Ньютона є більш узагальненим, так як його можна застосовувати і у випадку змінної маси m=m(t), а також у випадку СТВ Ейнштейна, де m=m(υ).

ІІІ закон динаміки (закон рівності дії і протидії).

У перших двох законах динаміки йдеться мова тільки про силу, що діє на  дане тіло, але не сказано про інші тіла, з боку яких ця сила діє.

Сила, як відомо, характеризує взаємодію щонайменше двох тіл. Роль другого тіла в динамічних процесах і відображена в ІІІ законі динаміки, який вперше сформулював Ньютон, включивши його в систему аксіом механіки.

Формулювання Ньютона. Кожній дії завжди відповідає однакова і протилежна протидія.

Повне формулювання ІІІ закону Ньютона. Сили, з якими взаємодіють 2 тіла (точки), рівні за абсолютними величинами, протилежні за напрямами і напрямлені вздовж прямої, що з’єднує ці тіла.

                                         (3-5)

Сила, що прикладена до одного тіла, називається дією, а та, що прикладена до другого тіла – протидією.

Із третього закону Ньютона випливають такі висновки:

  1.  Сили дії і протидії – одного і того ж походження, тобто мають однакову природу. Поділ на ці сили умовний.
  2.  Сили дії і протидії – дві складові єдиного процесу взаємодії.
  3.  Всяка дія одного тіла на інше носить характер взаємодії, тобто двосторонній характер, або сили в природі існують парами, а взаємодія тіл називається парною взаємодією (сили парної взаємодії). Дія не існує без протидії.
  4.  Сили дії і протидії прикладені до різних тіл і тому не можуть зрівноважувати одна одну.
  5.  Із третього закону Ньютона випливає, що якщо , , , то   . Прискорення, що їх отримують тіла при взаємодії, обернено пропорційні їхнім масам.

Межі застосування третього закону динаміки.

  1.  Третій закон Ньютона не виконується при великих швидкостях взаємодіючих тіл, а також при дуже короткочасовій взаємодії. Він виконується як при контактній взаємодії, так і при взаємодії на деякій відстані один від одного тіл, що знаходяться в стані спокою.

Дослідна частина.

1.Дослід з візками.

2.Дослід з динамометрами.

Межі застосування механіки Ньютона.

а) закони Ньютона сформульовані для матеріальних точок, але можуть бути поширені і на більш складні матеріальні об’єкти: тверде тіло, механічна система і т.д. ;

б) вони строго виконуються в інерціальних системах відліку;

в) мають місце для повільних механічних рухів.() Механіка Ньютона – це „знімок” з достатньо повільних механічних рухів;

г) межі застосування законів Ньютона обмежені описом механічних рухів макротіл, що відбуваються в просторі, який описується геометрією Евкліда із швидкостями далекими від швидкості світла. ().

Методологічне значення законів динаміки.

Закони Ньютона описують 3 основні властивості матеріальних тіл:

1. І закон динаміки – закон інерції, описує інертні властивості матерії і руху, їх нестворюванність і незнищуваність.

2.  ІІ закон динаміки – основний закон механіки, характеризує причинність механічного руху: механічний стан матеріальних об’єктів не може бути змінений без впливу зовнішніх дій.

3. ІІІ закон динаміки – закон рівності дії і протидії, характеризує двухсторонній характер взаємодії.

Динамічні характеристики механічного руху матеріальної точки. Закон збереження.

Поняття енергії. Механічні енергії та її типи.

Як відомо, імпульс точки (кількість руху) за своїм фізичним змістом є кількісною мірою механічного руху, що характеризує деякий запас механічного руху в процесі його переносу (передачі) взаємодіючими тілами.

Але як показують досліди і спостереження застосування такої міри допустимо в тих випадках, коли передача механічного руху від одного тіла до іншого відбувається без перетворення його в інші форми руху матерії.

Дослід з кульками (пружний і нерухомий удари).

Рис. 3.3.

Дві однакові кулі з пластиліну рухаються з рівними, але протилежно направленими швидкостями. Після удару кулі зупиняються: ; . Механічний рух не зник, а перейшов в молекулярну форму руху речовини, тобто в тепловий рух.

Ці досліди і спостереження привели одного із першовідкривачів закону збереження і перетворення енергії Р. Майєра (нім. учений) до думки про те, що всі форми руху матерії можуть бути кількісно визначені за допомогою однієї і тієї ж міри. Ф. Енгельс показав, що такою загальною кількісною мірою є фізична скалярна величина – енергія.

Таким чином, енергія – фізична скалярна величина, що є універсальною кількісною мірою будь-яких типів (видів) і форм руху матерії.

Механічна енергія – кількісна міра найпростішої форми руху матерії – механічного руху, що характеризує механічний стан матеріального об’єкту (точки, тіла, механічні системи).

Як показують досліди механічний стан матеріального об’єкту характеризується сукупністю 2 типів параметрів: координат, що визначають взаємне положення тіл і їх швидкостей.

Ці характеристики називаються параметрами механічного стану.

Таким чином, механічна енергія – функція параметрів механічного стану точки, тіла, системи тіл, що залежить від координат, що визначають положення матеріальних об’єктів в просторі і від їх швидкостей.

Звідси: два типи механічної енергії: а) кінетична енергія – енергія руху, що залежить від швидкості; б) потенціальна енергія – енергія положення взаємодіючих тіл.

Тобто повна механічна енергія: Е=К+П (Е=Екр)

Робота і потужність.

Обмін механічного руху між тілами або перехід механічного руху в інші його форми завжди відбуваються в результаті взаємодії. Зв’язані ці процеси із змінною енергії. Поняття роботи історично виникло в зв’язку з необхідністю кількісної оцінки зміни енергії, що передається від одного тіла до другого.

Ф. Енгельс (“Анти-Дюрінг”) дав загальне визначення роботи:

Робота – це зміна форми руху матерії, що розглядається з його кількісного боку”.

Тобто: Робота – фізична скалярна величина, що є кількісною мірою зміни механічної енергії, що відбувається в процесі, як передачі механічного руху, так і перетворення його в інші форми руху взаємодіючих тіл.

На відміну від енергії, що є функцією фізичного стану, робота сили є характеристикою механічного процесу.

Звідси наступне означення роботи сили:

Робота сили або механічна робота – фізична скалярна величина, що характеризує процес дії сили на переміщення точки її прикладання.

Рис. 3.4.

Якщо матеріальна точка під дією постійної сили () здійснила переміщення , то робота визначається скалярним добутком вектора сили на вектор переміщення.

                                                           (3-6)

                                            (3-6а)

а)     ;  

б)     ;  

Якщо на тіло діє змінна сила, то для розрахунку роботи весь пройдений шлях розбивається на нескінченне число нескінченно малих відрізків,

Кожний з яких можна вважати прямолінійним, а силу, що діє на такому відрізку шляху – постійною.

Тоді, робота, що виконується силою на нескінченно малому (елементарному) відрізку траєкторії, називається елементарною роботою.

;  

Повна робота змінної сили, або робота на кінцевому шляху буде дорівнювати алгебраїчній сумі елементарних робіт.

Рис. 3.5.

Переходячи до границі одержаної суми, за умови, що , одержимо вираз для повної роботи:

;  

Таким чином, повна робота

                     (3-7)

Елементарна робота:

                        (3-8)

Повна робота змінної сили визначається за допомогою криволінійного інтеграла від елементарної роботи, що береться по відрізку дуги траєкторії руху.

Потужність. Одна і та ж робота може бути виконана за різний час. Для кількісної оцінки швидкості виконання роботи вводиться поняття потужності.

Потужність – фізична скалярна величина, що характеризує швидкість виконання роботи і вимірюється відношенням роботи до проміжку часу, протягом якого виконується робота.

У випадку змінної сили вводиться поняття середньої потужності і миттєвої потужності:

Істинна або миттєва потужність:

                                     (3-9)

Так, як: , то  

                                    (3-10)

Потужність в загальному випадку визначається першою похідною за часом від роботи сили.

Потужність визначається скалярним добутком вектора сили на вектор швидкості тіла.

Кінетична енергія матеріальної точки. Теорема про зміну кінетичної енергії.

Нехай матеріальна точка масою m рухається під дією прикладеної сили F, здійснюючи переміщення .

Тоді, використовуючи ІІ закон Ньютона в диференціальній формі:

;  

;

                  (3-11)

Зміна кінетичної енергії точки (тіла) дорівнює повній роботі рівнодійної всіх сил, що діють на точку.

Цей висновок носить назву теореми про кінетичну енергію.

Кінетична енергія має властивість адитивності, тобто кінетична енергія систем точок (тіл) дорівнює сумі кінетичних енергій тіл (точок), з яких складається механічна система:

                                                       (3-12)

Потенціальна енергія. Консервативні (потенціальні) сили і системи.

Потенціальна енергія взаємодіючих тіл може бути визначена, якщо вказано взаємне положення тіл і сили, що діють між ними.

Тобто потенціальна енергія – це енергія положення і взаємодії тіл.

Для  того, щоб змінити взаємне розміщення тіл без зміни їх швидкостей необхідно до них прикласти зовнішні сили, які б зрівноважили внутрішні сили, з якими взаємодіють тіла.

Тому можна дати таке означення:

Потенціальна енергія – енергія, що залежить від взаємного розміщення взаємодіючих тіл або частин одного і того ж тіла, і вимірюється тією роботою, яку виконують зовнішні сили, щоб перевести механічну систему без зміни її швидкості із одного стану в інші, тобто:

Підрахуємо роботу тіла, яке переміщається рівномірно () по довільній траєкторії в однорідному полі сили тяжіння.

Рис. 3.6.

Підрахуємо роботу зовнішніх сил: ;

, де

;  ;

;               (3-13)

Висновок:

а) робота сили тяжіння рівна взятій з протилежним знаком зміні потенціальної енергії тіла;

б) робота сили тяжіння не залежить від форми траєкторії, а залежить лише від положення початкової і кінцевої точки переміщення відносно 0-го рівня;

в) потенціальна енергія піднятого тіла в полі сили тяжіння визначається з точністю до деякої адитивності постійної, яка має зміст потенціальної енергії.

Таким чином,   

  або  , а  

Сили, робота яких не залежить від форми траєкторії руху, а залежить лише від положення початкової і кінцевої точок переміщення, називаються консервативними або потенціальними.

Механічні системи, в яких діють потенціальні сили, називаються консервативними.

Приклади: сила тяжіння (гравітаційна сила), сила пружності – консервативні сили.

Робота пружної сили:     

Зв’язок консервативної сили з потенціальною енергією.

Робота консервативної сили: .

З іншого боку: ; якщо , тоді

                                       (3-14)

Консервативна сила дорівнює взятій з протилежним знаком зміні потенціальної енергії, яка припадає на одиницю довжини, що відрахована в бік зростання потенціальної енергії.

Знак (-) вказує на те, що консервативна сила направлена в бік зменшення потенціальної енергії.

Закон збереження повної механічної енергії матеріальної точки в полі потенціальних сил.

Нехай матеріальна точка рухається під дією консервативної сили.

Тоді робота консервативної сили: .

З другого боку, використовуючи теорему про зміну кінетичної енергії:

.

Тоді: ;     

                            (3-15)

Повна механічна енергія матеріальної точки, що рухається під дією потенціальних сил, зберігається в процесі її руху.

Динамічні характеристики обертального руху.

а) Поняття моменту сили.

Досліди та спостереження показують, що механічний стан рівноваги або стан руху тіла може змінити лише така сила, лінія дії якої не проходить через точку його закріплення або вісь обертання.

Для кількісної оцінки взаємного впливу сили і розміщення її лінії дії відносно осі обертання на зміну механічного стану тіла і вводиться фізична векторна величина – момент сили.

Момент сили – фізична векторна величина, що характеризує обертальну здатність сили і визначається векторним добутком радіус-вектора точки на вектор сили:  ;

                     (3-16)

– плече сили.

Плече сили – найкоротша відстань від осі обертання до лінії дії сили.

(Момент від лат. “movimentum” – рушійна здатність).

З мал. видно, що

Рис. 3.7.

а) Модуль моменту сили дорівнює подвійній площі трикутника побудованого на векторах сили і радіус-вектора.

б) Напрям вектора  визначається за правилом векторного добутку: вектор  направлений  до площини, що визначається векторами  і  так, що якщо дивитись з кінця його на цю площину, то діюча сила буде намагатись повернути тіло навколо т. О проти годинникової стрілки.

в) Поняття моменту імпульсу точки. У випадку обертального руху матеріальної точки вводиться фізична величина – момент імпульсу, що вважається кількісною мірою обертальної частини руху.

Момент імпульсу матеріальної точки відносно довільного центру визначається векторним добутком радіус-вектора точки на її імпульс:

                                      (3-17)

Рис. 3.8.

Момент імпульсу характеризує не тільки модуль і напрям імпульсу, але і положення точки відносно даного центра О.

Момент імпульсу називається кінетичним моментом точки.

Модуль і напрям  визначається аналогічно вектору моменту сили .

,  де  

Закон збереження моменту імпульсу точки при русі під дією центральної сили.

Нехай матеріальна точка рухається під дією сили, лінія дії якої весь час проходить через одну і ту ж нерухому точку О. Така сила називається центральною. Приклади Ц.С.: сила тяжіння (гравітаційна сила), сила пружності – тобто консервативні сили – центральні сили.

Тоді:

Приклад руху точки під дією Ц.С. орбітальний рух Ш.С.З.

Рис. 3.9.

Знайдемо похідну за часом:

, де  ;

Так, як  – центральна сила, то ;  . Тоді:   

                         (3-18)

Момент імпульсу точки, що рухається під дією центральної сили зберігається в процесі її руху.

Динаміка системи матеріальних точок. Закони збереження.

Механічні системи та їх класифікація.

Найпростішим матеріальним об’єктом, механічний рух якого досліджується, є матеріальна точка, що є абстракцією реального матеріального тіла. Але в природі, як правило, маємо справу не з окремими тілами (точками), а з системами тіл, точок. Сукупність матеріальних точок (тіл), рух і положення яких взаємозв’язані між собою, називається системою матеріальних точок (тіл), або механічною системою.

Типи механічних систем:

а) консервативні механічні системи, в яких діють потенціальні сили (сили тяжіння і сили пружності);

б) неконсервативні системи, наприклад, в яких діють сили тертя.

Сили, що діють на точки (тіла) системи поділяються на два класи:

а) внутрішні сили – сили, з якими точки (тіла) механічної системи взаємодіють між собою;

б) зовнішні сили – сили, з якими тіла (точки), що не належать до системи, діють на точки (тіла) даної системи.

Остання класифікація – умовна, в залежності від постановки механічної задачі.

Механічні системи, в яких діють тільки внутрішні сили, називаються замкненими (ізольованими). Якщо на механічну систему діють крім внутрішніх і зовнішні сили, то механічна система називається незамкненою. Але в природі замкнених механічних систем не існує (крім Всесвіту в цілому), так як не існує вільних і ізольованих тіл. Іншими словами, замкнена система – абстракція реальних механічних систем.

Математично умову замкнутості механічної системи можна записати:

тобто, система точок називається замкнутою, якщо результуюча всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю.

Імпульс механічної системи. Рівняння імпульсу механічної системи.

Нехай довільна механічна система складається із n- матеріальних точок з масами m1, m2, m3,….mi,….mn.

Тоді імпульс довільної точки:

Імпульсом механічної системи називається сумарний (результуючий) вектор, який дорівнює геометричній сумі векторів імпульсів окремих точок системи.

Нехай на точки системи діють в загальному випадку змінні сили. Розіб’ємо інтервал часу Δt, протягом якого відбувається взаємодія, на нескінченне число нескінченно малих проміжків dt так, що діюча сила .

Тоді застосуємо II закон Ньютона в загальній диференціальній формі, який встановлює взаємозв'язок між імпульсом точки і імпульсом сили, записавши його для кожної ізольованої точки системи:  або .

Для точки, що належить механічній системі II закон Ньютона запишеться в диференціальній формі:

,

згідно  якого елементарна  зміна   імпульсу  точки   механічної   системи   дорівнює   сумі елементарних імпульсів всіх зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на точку. Нехай на точки системи діють як внутрішні сили, так і зовнішні:

m1:    

m2:     

.…………………..

mi:      

…………………….

mn:    

Тоді для кожної точки системи II закон Ньютона запишеться:                           

Щоб знайти загальну (сумарну) зміну імпульсу всіх точок системи необхідно додати почленно всі рівняння руху:

 – сумарна елементарна зміна імпульсу всієї механічної системи.

– елементарний імпульс результуючої всіх зовнішніх сил.

Якщо додавати імпульси всіх внутрішніх сил, то згідно III закону Ньютона, матимемо:

тоді результуючий вектор внутрішніх сил дорівнює нулю:

і відповідно сумарний імпульс всіх внутрішніх сил теж = 0. Отже маємо:

                  (3-19)

Одержаний вираз носить назву рівняння імпульсів механічної системи:

Елементарна    зміна     імпульсу    механічної    системи     (повний диференціал) дорівнює елементарному імпульсу результуючої всіх зовнішніх сил, що діють на систему;

або:     швидкість   зміни   імпульсу  механічної  системи   дорівнює результуючій всіх зовнішніх сил, що діють на систему.

Закон збереження імпульсу замкненої механічної системи.

 Розглянемо випадок замкнутих механічних систем, для яких виконується умова: .

Тоді, використовуючи рівняння імпульсів, маємо:

                    (3-20)

                      (3-20а)

Одержаний вираз і складає зміст закону збереження імпульсу замкнутих механічних систем.

Сумарний    вектор    імпульсу    замкнутої   механічної    системи залишається величиною постійною в   процесі   її руху,   які   б зміни не відбувались всередині системи.

Фізична   інтерпретація:   в   процесі   взаємодії   матеріальної   точки   (тіла) всередині   системи   лише   обмінюються   своїми   імпульсами,   зберігаючи сумарний імпульс замкнутої механічної системи незмінним. Тобто: внутрішні сили системи не можуть змінити імпульс системи. Зміна імпульсу системи викликається зовнішніми силами. Приклади: легенда барона Мюнхгаузена  та ін.

Центр мас (центр інерції) системи матеріальних точок та його координати.

Поряд з поняттям центра тяжіння, яке вводиться в елементарному курсі фізики, як точки прикладання рівнодійної паралельних сил тяжіння, що діють на окремі елементи тіла, вводиться поняття центра мас тіла (системи), яке є більш загальним.

Для однорідного поля сил тяжіння ці уявні точки геометрично співпадають. Поняття центру тяжіння має сенс тільки для достатньо малих тіл (розміри яких порівняно малі з радіусом Землі), тобто для тіл невеликих розмірів центр мас практично співпадає з центром тяжіння.

Для достатньо великих тіл, розміри яких сумірні або перевищують розміри Землі, ці поняття не співпадають, (наприклад: центр мас озера Байкал). Центр мас – це уявна геометрична точка, що характеризує розподіл маси в тілі (системі тіл) і радіус-вектор якої виражається через радіус-вектори rі окремих точок за формулою:

– маса системи.

Центр мас є точкою прикладання не тільки рівнодійної сил тяжіння, але і рівнодійної будь-яких масових сил за умови. Що сили, що діють на елементи тіла (точки системи) паралельні між собою. Шкільне означення:

Центр мас - це уявна точка перетину ліній дії сил, що діють на елементи тіла, зумовлюючи його поступальний рух (сили інерції). Звідси інша назва — центр інерції.

Проектуючи вектори, що входять до формули радіус-вектора центра мас на координатні осі, маємо:

             (3-21)

Рівняння руху центра мас. Закон збереження швидкості центра мас.

Покажемо, що поступальний рух тіла (системи) як єдиного цілого можна охарактеризувати рухом однієї його точки, вважаючи, що в ній зосереджена маса всіх точок, що входять в систему. Розглянемо формулу радіус-вектора центра мас системи:

Обчислимо похідну за часом від записаного виразу:

Так як   імпульс системи, то:

Таким   чином,   сумарний   імпульс   механічної   системи   дорівнює імпульсу її центру мас, якщо вважати, що в ньому зосереджена маса всієї системи.

 Якщо взяти похідну за часом від останнього виразу, то матимемо:

 згідно рівняння імпульсів,

а прискорення центру мас. Тоді:

                                 (3-22)

Одержаний   вираз   носить   назву  рівняння   руху   центру  мас,  яке   є узагальненням II закону Ньютона, сформульованого для матеріальної точки, на випадок механічної системи.

Центр мас механічної системи рухається як матеріальна точка, в якій зосереджена маса всіх точок системи, під дією результуючої зовнішніх сил, прикладених до системи.

Розглянемо випадок замкнутої механічної системи:

. Тоді ; ;

                      (3-23)

Останній вираз складає зміст закону збереження швидкості руху центра мас замкнутої системи:

Якщо механічна система – замкнута, то її центр мас (інерції) рухається з постійним вектором швидкості, тобто знаходиться в стані спокою або рівномірного прямолінійного руху.

Висновок: змінити рух центру мас системи (тіла) можуть тільки зовнішні сили, а внутрішні сили не можуть впливати на рух центра мас (інерції).

Приклади: рух Сонячної системи, частин заряду після вибуху та інші.

Момент імпульсу механічної системи. Закон збереження моменту імпульсу замкнутих механічних замкнутих механічних систем.

     Поняття моменту імпульсу системи вводиться аналогічно поняттю імпульсу системи:

для довільної матеріальної точки:  ;

для механічної системи:

Моментом імпульсу механічної системи відносно довільного центру називають вектор, що дорівнює геометричній сумі векторів моментів імпульсу всіх точок системи відносно того ж центру.

Розглянемо момент імпульсу довільної точки механічної системи, на яку діють внутрішні сили збоку інших точок системи і рівнодійна зовнішніх сил

Тоді, динамічне рівняння руху прийме вигляд:

Помножимо ліву і праву частину  на  – радіус-вектор і-ї точки і знайдемо суму одержаного виразу за всіма точками векторної системи:

Так як згідно ІІІ закону Ньютона , то неважко показати, що векторна сума моментів всіх внутрішніх сил відносно довільного центра дорівнює 0, тобто:

Тоді одержимо:

                                 (3-24)

Останній вираз називається рівнянням моментів для системи математичних точок відносно довільного центру.

Швидкість зміни моменту імпульсу системи точок відносно довільного центра дорівнює результуючому моменту (геометричній сумі моментів) всіх зовнішніх сил відносно того самого центра.

Розглянемо випадок замкнутої системи точок, для якої , а тому і .

Тоді

  (3-25)

Момент імпульсу замкнутої механічної системи відносно довільного центра залишається величиною постійною в процесі її руху.

У випадку, коли моменти зовнішніх сил відсутні, або компенсують один одного, внутрішні сили не можуть момент імпульсу всієї системи в цілому. Останній висновок слід розуміти як закон збереження моменту імпульсу замкнутої механічної системи.

Закон збереження і перетворення механічної енергії для консервативних механічних систем.

Механічна енергія системи матеріальних точок.

Механічна енергія системи матеріальних точок складається із сумарної кінетичної енергії кожної із частинок системи і сумарної кінетичної енергії зовнішніх і внутрішніх сил взаємодії.

Е = К+П, де , а

Для замкнутих механічних систем , тому , тобто потенціальна енергія замкнутої системи дорівнює сумарній внутрішній енергії парної взаємодії частинок системи.

Механічна енергія, на яку і в якій діють неконсервативні (потенціальні) сили називаються консервативними.

Рівняння зміни повної механічної енергії системи.

Розглянемо, як змінюється механічна енергія механічної системи, що знаходиться під дією консервативних сил.

Нехай на механічну систему, що складається з n-мат. точок  діють:

зовнішні сили:  і внутрішні сили , тобто сили парної взаємодії:

Запишемо динамічні рівняння руху:

Механічні точки системи під дією всіх сил здійснюють елементарні переміщення за елементарні проміжки часу:

Тоді:

Помножмо скалярно праву частину всіх рівнянь на елементарні переміщення , а ліву на рівний тому вираз  . Маємо:

Проведемо по членне додавання одержаної системи. Скорочено це можна записати:

або – елементарна зміна кінетичної енергії всієї системи.

– сума елементарних робіт всіх зовнішніх сил, що діють на систему  – сума елементарних робіт всіх внутрішніх сил.

Але внутрішні сили є консервативними тоді:

– елементарна робота консервативних сил дорівнює зменшенню потенціальної енергії системи.

Тоді останнє рівняння запишеться:

або ;

              (3-26)  

носить назву рівняння зміни механічної енергії. 

Елементарна зміна повної механічної енергії дорівнює елементарній роботі зовнішніх сил.

Вивід закону збереження механічної енергії для консервативних механічних систем.

Якщо на систему не діють зовнішні сили, тобто система замкнута, то ;

       (3-27)

Повна механічна енергія замкнутої механічної системи, в якій діють консервативні сили зберігає свою величину постійною , які б механічні зміни не відбувалися всередині системи.

Це і є закон збереження і перетворення механічної енергії, тобто закон збереження енергії слід розуміти і як закон її перетворення в інші типи в процесі зміни форми руху матерії.

Фізична інтерпретація:

Енергія може перерозподілятися перед точками (тілами) механічної системи, тобто переходити з кінетичної в потенціальну , і навпаки але сумарне значення залишається постійним.

Якщо в ізольованій (замкненій) крім консервативних сил, діють неконсервативні сили, наприклад сили тертя, то механічна енергія зменшується, переходячи в іншу форму руху матерії  - у внутрішню енергію, тобто енергію теплового руху. Сумарна механічна енергія і внутрішня енергія системи залишається постійною, тобто , тобто К+П=U=const; E+U=const

Загальне формулювання закону збереження, перетворення енергії.

Енергія нікуди не зникає і не з’являється знову, а лише переходить від одного тіла (системи тіл) до другого тіла або системи тіл, перетворюючись з однієї форми або типу в іншу форму або тип, кількісно залишаючись незмінною.

Закон збереження енергії є найбільш загальним законом природи. Поряд з законом збереження маси він є проявом узагальненого закону збереження матерії та її руху, відкритого М.В. Ломоносовим в
XVIII ст.

Роль і значення законів збереження та їх зв’язок з геометричною симетрією простору та часу.

а) Закони збереження основних динамічних характеристик механічного руху імпульсу, моменту імпульсу, механічної енергії мають місце для замкнутих механічних систем. Закон збереження енергії виконується тільки в таких ізольованих системах, в яких діють консервативні сили.

б) Закони збереження мають універсальний характер, вони цінні своєю універсальністю та узагальненістю. Вони однаково застосовуються для будь-якого фізичного процесу, що протікає на будь-якому структурному рівні матерії: мега-, макро- або мікросвіті для будь-якої форми руху матерії (механічної, теплової, електродинамічної і т.д.).

в) В усій історії  фізики – закони збереження єдині фізичні закони, що зберегли свою силу і значення при зміні одних фізичних теорій іншими (СТО Ейнштейна, квантова фізика).

г) Філософське (методологічне) значення: Закон збереження є прояв загального закону природи: закону збереження матерії та її руху.

Закони збереження, одержані як наслідки II і III законів Ньютона, які, як відомо, мають значно обмежені межі застосування порівняно з законами збереження. Закони збереження, як зазначено, мають значно ширший, більш узагальнений характер, порівняно з законами Ньютона. З цього логічного протиріччя випливає важливий висновок: існують більш  загальні фундаментальні принципи , з яких можна одержати закони збереження, тобто вони мають більш глибокі корені. Такими принципами походження є властивості геометричної симетрії простору та часу; а саме з властивості однорідності часу випливає закон збереження механічної енергії; з властивості однорідності простору – закон збереження імпульсу і з властивості ізотропності простору – закон збереження моменту імпульсу.

                                            

Пружні сили

Всі тверді тіла здатні під впливом зовнішніх сил змінювати свою форму чи об’єм, тобто деформуватися.

Тіла, в яких після припинення дії зовнішніх сил деформація повністю зникає, а початкова форма тіла та його об’єм повністю відновлюються, називаються абсолютно пружними, а сама деформація – пружність. В іншому випадку – непружною (пластичною). Властивість тіл відновлювати форму і об’єм після припинення дії зовнішніх сил називається пружністю.

Пружність – властивість багатьох твердих тіл і перш за все кристалічних. В природі не існує абсолютно пружних і абсолютно непружних тіл. Але багато речовин при малих або повільних деформаціях ведуть себе як абсолютно пружні – інші деформації незначні.

Внутрішні сили які виникають в пружних тілах при невеликих деформаціях називають пружними. Ці сили при усуненні зовнішніх сил повертають тілу його початкову форму та об’єм. Вони відносяться до фундаментальних електромагнітних взаємодій.

Типи пружної деформації.

Існує багато різноманітних пружних деформацій: одностороннє розтягування (стиснення), всестороннє розтягування (стиснення), вигин, здвиг, кручення та ін. Однак не всі типи деформацій є незалежними. Можна показати, що любу пружну деформацію можна звести до сукупності двох деформацій, які називаються основними: розтягування (стиснення), та зсув.

Закон Гука в загальній формі.

При любій деформації в тілі виникають пружні сили.

В 1675р. англійський фізик, сучасник Ньютона, Роберт Гук з’ясував, що величина і напрям сил пружності залежать як від типу, так і від величини деформації.

Формулювання: 

а) при будь-якій малій деформації сила пружності прямо пропорційна величині деформації і направлена в сторону, обернену переміщенню частинок речовини: ;

б) малі деформації тіла прямо пропорційні прикладеним зовнішнім силам.  ~

Закон Гука для різноманітних деформацій.

а) деформація одностороннього розтягування (стиснення).

Характеристики деформації:

Абсолютне видовження ;

Рис. 3.10.

Відносна деформація (відносне видовження) – число, що показує на яку частину збільшилась чи зменшилась початкова довжина стержня.

Сила пружності, що виникає в розтягнутому стержні оцінюється по зовнішній силі.

З умови рівноваги:

;

~;  

–коефіцієнт пружності, який характеризує властивості даного матеріалу.

– зусилля або механічне напруження – зовнішня сила, прикладена до одиниці площі.

– модуль Юнга.

                                            (3-28)

;

В границях пружної деформації : .

Відносне подовження прямо пропорційне зусиллю.

 ,  де ;

                                 (3-29)

Знак «-» вказує на те, що напрямок сили пружності протилежний направленню розтягування (тобто деформації).  називається коефіцієнтом сили пружності або просто пружністю (жорсткістю).

Фізичний зміст модуля Юнга:

, , то

Модуль Юнга чисельно дорівнює механічному напруженню (зусиллю), яке викликає відносне видовження рівне одиниці, тобто зусиллю, яке розтягує (стискає) предмет вдвічі. Окрім каучуку жоден матеріал не витримує такого розтягування; матеріал розривається при значно менших розтягуваннях.

                         (3-29*)

При малих деформаціях напруження, що виникає всередині тіла прямо пропорційне відносній деформації.

(Демонстрація розтягування гумового шнура або трубки).

Коефіцієнт Пуассона

Досліди показують, що деформація лінійного розтягування супроводжується зменшенням поперечного розміру зразка, а деформація стискання – збільшенням поперечного розміру. Зміна поперечних розмірів тіла характеризується коефіцієнтом відносного поперечного стиснення (розтягування).

, де  – поперечний розмір тіла до деформації;

– абсолютне значення зміни поперечних розмірів тіла.

Досліди показують, що для всіх тіл з одного й того ж матеріалу відношення коефіцієнта поперечного стиснення (розтягування) до відносної лінійної деформації  є величина стала:

.

в честь французького математика і фізика називається коефіцієнтом Пуассона або модулем поперечного стиснення.

~ 0,5 (не перевищує для всіх відомих матеріалів).

б) деформація зсуву

Рис. 3.11.

Відношення абсолютного зсуву  до довжини між рухомими і нерухомими шарами, називається відносним зсувом

абсолютне зміщення (зсув) шару відносно нерухомого шару.

При малих кутах зсуву

Із-за малої деформації абсолютний зсув дорівнює виміряному в радіанах куту зсуву.

При зсуві в середині тіла виникають пружні сили які при статичних деформаціях зрівнюють зовнішню силу, називаються силою зчеплення.

Із-за малої деформації абсолютний зсув прямо пропорційний зовнішній силі зчеплення, довжині границі зміщення від нерухомої сторони та  площі рухомого шару.

 

коефіцієнт зсуву: на практиці  – модуль зсуву.

– напруга

   

При малих деформаціях відносний зсув прямо пропорційний напрузі.

При малих деформаціях пружна напруга прямо пропорційна відносному зсуву.

в) деформація кручення і закон Гука (самостійно)

Границі пружності і міцності.

Рис. 3.12.

Пружна деформація любого виду підкоряється закону Гука, але не для будь-яких напружень. Але закон Гука має місце тільки в деякій мірі: коли деформація лежить нижче деякої границі, яка визначається експериментально.

Пружна деформація любого виду підкоряється закону Гука, але не для будь-яких напружень. Закон Гука має місце тільки в деякій мірі: коли деформація лежить нижче деякої границі, визначається експериментально.

Рис. 3.13.

СД – область пластичної деформації;

ОС – залишкова деформація – деформація, що залишається після дії зовнішніх сил.

ОВ – залишкова деформація;

С – тіло повністю відновлює форму;

ОВ – залишкова деформація розтягування;

ОF – залишкова деформація стиснення;

ОМ – пружна післядія.

Граничне значення напруги, при якому ще не виникають залишкові деформації називаються границею пружності.

Напруга, при якої залишкова деформація досягає величини, тобто деформація збільшується без збільшення навантаження, тобто тіло «тече», називаються границею тягучості. Максимальна напруга, виникає в тілі до руйнування називається границею пружності. В інженерних розрахунках .

Пружна післядія і пружний гістерезис.

Реальні тверді тіла мають слабку залежність: . Ця залежність не міститься у законі Гука.

Досліди показують, що після початку дії зовнішньої сили деформація досягає відповідного значення не відразу а лише по закінченню певного проміжку часу. Після закінчення дії зовнішньої сили деформація зникає також не миттєво, тобто тіло повільно відновлює свою форму і об’єм. Це явище називається пружною післядією.

Для ліквідації залишкової деформації тіло треба стиснути (розтягнути).

При змінні зовнішньої пружності залежність Р від Е буде виражатися петлею, яка називається петля пружного гістерезису. 

Площа петлі гістерезиса пропорційна енергії, що виділяється в тілі (нагрівання) при кожному циклі періодично змінюючої деформації. Чим більша площа петлі гістерезиса, тим більше виділена енергія і тим сильніше нагрівається тіло.

Відповідальні деталі машин виготовляють з металу з вузькою петлею гістерезиса.

Явище пружного гістерезиса полягає у відставанні деформації від зміни прикладеної напруги.

Потенційна енергія пружної деформації тіла.

Зовнішня сила, переміщаючи частини деформованого тіла, здійснює деяку роботу проти внутрішніх сил, виникаючих в тілі під час деформації.

При деформаціях, для яких справедливий закон Гука, можна вважати, що вся робота зовнішніх сил іде лише на збільшення потенційної енергії.

   

 

На таку ж величину змінюється потенціальна енергія розтягнутої пружини. В нерозтягненому стані

.

Густина енергії.

Енергія пружно деформованого тіла, що припадає на одиницю його об’єму:

Елементи динаміки точки(тіла) змінної маси.

Поняття про реактивний рух.

Одним із яскравих проявів закону збереження імпульсу є реактивний рух.

Реактивним рухом називається рух тіл, що виникає при відділенні від тіла частинки його маси або приєднанні до нього маси з деякою відносною швидкістю.

Реактивний рух – це рух, що виникає внаслідок зміни маси тіла, тобто рух тіла змінної маси  М=М(t)

Приклади: ракетна техніка, приклади реактивного руху в природі демонстрації (сегнорове колесо, реакція витікання струменя води і т.д.)

Сила, з якою відбувається відділення або приєднання частинок речовини; яка діє на тіло змінної маси, називається силою реакції відділення або приєднання, тобто реактивною силою.

Реактивна сила може бути 2 типів:

а) як результат відділення від тіла частини його маси;

б) як результат приєднання до тіла рухомої маси.

Загальні закони динаміки тіла (точки) змінної маси були відкриті і досліджені російськими вченими І.В. Мещерським і
К.Е. Ціолковським – основоположниками теоретичної космонавтики.

Основне рівняння динаміки точки змінної маси (рівняння Мещерського).

Розглянемо реактивний рух на прикладі руху ракети, моделюючи її матеріальною точкою змінної маси.

Зробимо деякі припущення:

а) нехай частинки газу, що відділяються від ракети з елементарною масою взаємодіють з ракетою маси М тільки в момент їх безпосереднього контакту.

б) зміна маси ракети відбувається неперервно (без стрибків) – існування похідної .

Нехай в деякий момент часу t – маса ракети – М, а швидкість нерухомої СВ –  

За елементарні проміжки dt відділена частинка маси (-dM)

(dM=М(t +dt)-M(t)<0)

з швидкістю відносно тієї ж СВ –  

Рівнодійна всіх зовнішніх сил:

Рис. 3.14.

В момент відділення частинки між нею і ракетою починає діяти реактивна сила,що є внутрішньою силою системи ракета-частинка.

Обчислимо елементарну зміну імпульсу розглянувши системи за елементарний час dt:

 (t+dt)

                        (3-30)    

Одержане рівняння носить назву рівняння Мещерського.

                               (3-30а)

формула реактивної сили:  

Реактивна сила залежить від відносної швидкості відділення (приєднання) частинок і від швидкості зміни маси тіла.

а)  – маса елементу – відділення;

б)  – маса зростає – приєднання;

в)  

Рівняння Мещерського

                              (3-30б)

Скорочена форма запису рівняння Мещерського

Формула Ціолковського.

Важливий вклад в механіку тіл змінної маси стосовно до конкретних завдань реактивної техніки вніс російський вчений  К.Е. Ціолковський (1903 р. ”Исследование мировых пространств реактивными приборами”), в якому теоретично доведена і обгрунтована можливість практичного використання реактивного руху для освоєння космосу.

Основна ідея цих досліджень – ідея про використання багатоступінчастих ракет для космічних польотів.

Розглянемо найпростіший реактивний рух ракети – прямолінійний горизонтальний рух без дії сили опору повітря         (в безповітряному просторі)

Рис. 3.15.

Використаємо рівняння Мещерського в проекціях на вибрану систему координат

, де М=М(t)

Відокремлюємо змінні:

Інтегруючи ліву і праву частини, одержимо:

 (для )                    (3-31)

Остання формула носить назву формули Ціолковського.

Кінцева швидкість, яку досягає ракета при відсутності дії зовнішніх сил, прямо пропорційна відносній швидкості відділення частинок відносно стартової маси ракети в даний момент часу.

В момент повного згорання палива:

і тоді

Відношення – число Ціолковського.

Обчислимо максимально можливу швидкість однієї ступені ракети

а)  – визначається максимально допустима температура згорання палива;

б)  – визначається міцність конструкції матеріалу ракети. Конструкція не може мати масу меншу 10% загальної маси

Тоді:

Т.ч. в ідеальному випадку не можливо досягти I космічної швидкості:

Звідси ідея: Використання багатоступінчатих ракет. Запишемо закон руху ракети:  

   


h

a

g

α

0

z/

x/

y/

y

x


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63738. Заключение трудового договора 16.07 KB
  Ограничения отказа в заключении трудового договора. Стоит отдельно отметить что есть категории граждан по отношению к которым не допускается необоснованный отказ в заключении трудового договора.
63739. Изменение трудового договора 15.21 KB
  После заключения трудового договора могут возникнуть различные обстоятельства требующие пересмотра условий состоявшегося трудового договора их изменения или даже прекращения его действия расторжения.
63740. Прекращение трудового договора 14.4 KB
  Перевод работника с его соглашения к другому нанимателю или на выборную должность Расторжение трудового договора заключенного не определённый срок по желанию работника Расторжение контракта по требованию работника...
63741. Контракт как вид трудового договора 14.99 KB
  Преимущество письменной формы контракта состоит в том что все условия контракта фиксируются в едином акте обязательном для сторон. Письменная форма повышает гарантии сторон в реализации достигнутых договоренностей по важнейшим условиям труда.
63742. Рабочее время 14.64 KB
  К рабочему относится также время работы выполненной по предложению распоряжению или с ведома нанимателя сверх установленной продолжительности рабочего времени сверхурочная работа работа в государственные праздники праздничные и выходные дни.
63743. Время отдыха 15.34 KB
  Термин время отдыха означает: во-первых совокупность правовых норм регулирующих составную часть элемент трудовых отношений между нанимателем и работником а именно отношения по поводу осуществления конституционного права на отдых.
63744. Трудовые отпуска. Порядок предоставления трудовых отпусков 15.83 KB
  Отпуск временное освобождение от работы в будние дни на определённый период времени для отдыха и иных социальных целей с сохранением прежней работы. Порядок предоставления трудовых отпусков регулируется ст.
63745. Социальные отпуска 14.18 KB
  Работникам предоставляются следующие виды отпусков: трудовые отпуска. социальные отпуска: по беременности и родам; по уходу за детьми; в связи с обучением; в связи с катастрофой на Чернобыльской АЭС; по уважительным причинам личного и семейного характера.
63746. Понятие трудовой дисциплины. Меры и порядок применения дисциплинарных взысканий 15.49 KB
  Для отдельных категорий работников с особым характером труда могут предусматриваться также и другие меры дисциплинарного взыскания статья 204. Право выбора меры дисциплинарного взыскания принадлежит нанимателю. При выборе меры дисциплинарного взыскания должны учитываться тяжесть дисциплинарного...