47922

Механіка абсолютно твердого тіла (АТТ). Механіка рідин та газів

Конспект

Физика

Змістовий модуль 4 Механіка абсолютно твердого тіла АТТ. Механіка рідин та газів Поняття абсолютно твердого тіла Поряд з найпростішим об’єктом дослідження механічних рухів – матеріальною точкою розглядається інший абстрактний образ реальних матеріальних тіл – абсолютно тверде тіло. Абсолютно тверде тіло – це абстракція матеріального тіла взаємне розташування точок якого залишається незмінним в процесі його руху тобто віддаль між двома довільними точками тіла залишається незмінною за часом. Таким чином абсолютно тверде тіло – це модель...

Украинкский

2013-12-04

1.31 MB

14 чел.

V. Змістовий модуль 4

Механіка абсолютно твердого тіла (АТТ). Механіка рідин та газів

Поняття абсолютно твердого тіла

Поряд з найпростішим об’єктом дослідження механічних рухів – матеріальною точкою, розглядається інший абстрактний образ реальних матеріальних тіл – абсолютно тверде тіло.

Абсолютно тверде тіло це абстракція матеріального тіла взаємне розташування точок якого залишається незмінним в процесі його руху, тобто віддаль між двома довільними точками тіла залишається незмінною за часом.

Таким чином абсолютно тверде тіло – це модель реального матеріального тіла, в якому абстрагується від фактора деформації.

Абсолютно тверде тіло або просто тверде тіло зручно розглядати як систему матеріальних точок (частинок), для якої характерна властивість незмінюваності  віддалі між частинками, тобто це частинний випадок механічної системи.

Поступальний механічний рух та його властивості.

Будь-який механічний рух твердого тіла можна звести до двох простих рухів: поступального і обертального. 

Поступальним називається такий рух, при якому тіло переміщується паралельно самому собі, тобто рух , при якому будь-яка пряма, що проведена в тілі через будь-які дві його точки, переміщується паралельно самій собі в процесі руху.

Приклади рух транспорту кабіни «чортового колеса» і т.д. По типу траєкторії: прямолінійний (лижник під час стрибка з трампліна). 

Із дослідів і спостережень витікає основна властивість поступального руху: всі точки твердого тіла при поступальному русі рухаються однаково, тобто описують одинакові траєкторії і в будь-який момент часу мають однакові вектори швидкості і прискорення (Рис. 5.1).

Рис. 4.1.

  

В момент часу t = t1, т.м. описується радіус-вектором:

відносно нерухомої СВ (OXYZ)

 відносно рухомої СВ (О’Х’YZ’)

Для моменту часу t = t2 

Звідси висновок: для механічного опису поступального руху тіла достатньо описати рух будь-якої його однієї точки. Як правило, описують рух центра мас тіла. 

Обертальний рух твердого тіла та його кінематичні характеристики.

Обертальний рухрух тіла, при якому всі його точки рухаються по однакових кругових траєкторіях, центри яких розміщені на одній прямій, що називається віссю обертання.

Якщо обертальний рух відбувається в СВ, відносно якої вісь обертання нерухома, то говорять, що тіло обертається відносно нерухомої осі.

Всі точки тіла, що знаходяться на осі обертання будуть нерухомими.

Рис. 4.2.

При обертальному русі відносно нерухомої осі обертання всі точки абсолютно твердого тіла рухаються по круговим траєкторіям, що розміщені в площинах, перпендикулярних до осі обертання.

Як відомо, рух точки по колу може бути описаний як лінійними, так і кутовими характеристиками 

Так як лінійні кінематичні характеристики точок тіла залежать від їх віддалі до осі обертання, то вони не можуть служити характеристиками обертового руху твердого тіла в цілому.

З іншого боку, кутові параметри обертового руху  для всіх точок тіла однакові, тому вони можуть одночасно характеризувати обертальний рух тіла як єдиного цілого. Звідси висновок що основними кінематичними характеристиками обертального руху АТТ є кутові величини – вектори кутової швидкості і кутового прискорення:  і

Кутова швидкістьвекторна величина, що характеризує темп обертання і напрям обертання (швидкість зміни кутового переміщення). Вектор направлений по осі обертання таким чином, щоб, дивлячись з кінця його видно обертання тіла проти годинникової стрілки

Кутове прискорення – фізична векторна величина, що характеризує бистроту зміни кутової швидкості.

Поняття миттєвої осі обертання

Миттєва вісь обертаннясукупність точок тіла, що мають для дослідної точки швидкість = 0 відносно нерухомої СВ. Положення миттєвої осі обертання з часом, змінюється відносно нерухомої  СВ, але в кожний окремий момент часу вісь нерухома.

Рис. 4.3.

Приклад: кочення тіла – обертання навколо миттєвих осей обертання, що є точками дотику колеса до площини по якій котиться колесо.

Динаміка обертального руху абсолютно твердого тіла

Поняття моменту інерції та моменту імпульсу твердого тіла

У випадку обертального руху твердого тіла вводиться дві важливі динамічні характеристики руху – момент інерції та момент імпульсу твердого тіла, які є аналогом  відповідних характеристик поступального руху – маси тіла і його імпульсу.

Момент інерції твердого тіла відносно осі обертання – фізична скалярна величина, що чисельно дорівнює сумі моментів інерції його окремих точок відносно загальної  осі обертання.   

                                     (4-1)

Момент інерції матеріальної точки визначається добутком маси точки на квадрат її віддалі до осі обертання.

                                      (4-1а)

За своїм фізичним змістом момент інерції слід розглядати як кількісну міру  інертності твердого тіла по відношенню його до обертального руху, тобто Iz характеризує інертні властивості твердого тіла при його обертальному русі і є аналогом маси тіла .

Момент інерції, як і маса тіла є величина адитивна, тобто момент інерції тіла дорівнює арифметичній сумі моментів інерції,  окремих його частин або частинок.

Для суцільного тіла:

                                   (4-2)                                                   

В загальному випадку при  ;

Моменти інерції тіл правильної геометричної форми

                        (4-3)

Моментом імпульсу твердого тіла відносно осі обертання називається векторна фізична величина, яка визначається добутком моменту інерції тіла на кутову швидкість обертання.

                                     (4-4)

Тобто вектори  – осьові співнаправлені вектори.

Основне рівняння динаміки обертального руху  твердого тіла навколо нерухомої осі.

Мислено розіб’ємо тверде тіло, що обертається навколо нерухомої осі на нескінченно малі елементи з масою , які будуть рухатись по коловим орбітам, розміщеним в площинах перпендикулярних до осі обертання. Нехай радіус довільної траєкторії ri і на кожний елемент тіла діє рівнодійна зовнішніх сил  і результуюча сила внутрішнього походження  .

Запишемо динамічне рівняння руху довільного елемента в проекціях на дотичну до колової траєкторії в даній точці:

Помножимо скалярно на  ri : ; . Враховуючи, що:

динамічне рівняння руху перепишемо наступним чином:

. Проведемо додавання всіх рівнянь по всім точкам твердого тіла:

Враховуючи, що маємо ,  – результуючий момент зовнішніх сил, а – результуючий момент внутрішніх сил дорівнює 0 (внутрішні сили – це сили першої взаємодії, на основі III закону Ньютона їх результуюча = 0).

Нарешті отримаємо: . Враховуючи векторний характер величин , запишемо останній вираз у векторній формі :      

                                            (4-5)  

Одержане рівняння носить назву основного рівняння динаміки обертального руху твердого тіла або II закону Ньютона для обертального руху твердого тіла .

                                   (4-5а)

Кутове прискорення обертального руху твердого тіла прямо пропорційна моменту зовнішніх сил, обернено пропорційне результуючим моменту зовнішніх сил, обернено пропорційні моменту інерції тіл і направлено вздовж осі обертання співпадаючи з вектором .

Рівняння моментів. Закон збереження моменту імпульсу твердого тіла.

Використаємо динамічне рівняння обертального руху:

Так як , , Iz=const; ;

                                     (4-6)

Одержаний вираз носить назву рівняння моментів:

Швидкість зміни кінетичного (обертального) моменту відносно деякої осі дорівнює результуючому моменту всіх зовнішніх сил відносно тієї осі обертання.

Розглянемо випадок, коли на тіло не діють зовнішні сили, або їх дія компенсується, тобто =0. Тоді

              (4-7)

Останній вираз виражає закон збереження моменту імпульсу твердого тіла.

Вектор моменту імпульсу  ізольованого  тіла, (тіла , на яке не діють зовнішні сили або їх дія взаємокомпенсується) залишається незмінним в процесі обертального руху.

Використання для одержання швидкого обертання: фігурне ковзання, балет, акробатика(сальто «Морталльо»).

Демонстрація: лава Жуковського – демонстратор з гантелями і велосипедним колесом.

Кінематична енергія обертального руху

Розглянемо кінетичну енергію  довільного елементу , твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі:

.

Кінетична енергія всього тіла:

,

де ( – віддаль елемента до осі обертання).

,

                                       (4-8)

Кінетична енергія обертального руху чисельно дорівнює половині добутку моменту інерції тіла на квадрат його кутової швидкості обертання.

Теорема Штейнера (о паралельних осях ).

Момент інерції тіла відносно довільної осі дорівнює моменту інерції відносно вісі що паралельна даній та проходить через центр мас тіла, складеному з добутком маси тіла на квадрат відстані між вісями.

Рис. 4.4.

Доведення :

Нехай тіло обертається з кутовою швидкістю  навколо вісі  z не проходячи через центр мас тоді: ; обертання с кутовою швидкістю  навколо вісі  z можна розглядати як 2 обертальних рухів з такою ж самою кутовою швидкістю  .  та проходить через центр мас та поступального руху зі швидкістю  в напрямку перпендикулярному до осі Z. Тоді:

; ;

;

Прирівнявши   , отримуємо

                               (4-9)

Робота при обертальному русі

Нехай тверде тіло обертається навколо нерухомої осі OZ, а сила – результуюча сила, прикладена в т. М тіла, знаходиться на віддалі r від осі обертання і направлена по дотичній до траєкторії точки М. При нескінченно малому повороті тіла на кут  т. М прикладання сили зміститься на елементарну довжину дуги траєкторії dS.

Тоді елементарна робота сили F на елементарному шляху dS:

Повна робота при повороті тіла на кут :

                         (4-10)

При обертальному русі робота вимірюється добутком моменту силу на кут повороту. Встановимо взаємозв’язок між роботою і кінетичною енергією при обертальному русі:

                                    (4-11)
Висновок: Зміна кінетичної енергії тіла при обертальному русі дорівнює роботі сил, момент яких надає тілу кутового прискорення.

Потужність при обертальному русі твердого тіла.

                                         (4-12)

Потужність при обертальному русі АТТ визначається добутком моменту прикладених сил на кутову швидкість обертання.

Обертання твердого тіла навколо нерухомої точки і вільних                                       осей. Елементи статики твердого тіла

Поняття вільних осей обертання головні осі і головні моменти інерції.

Теорія і практика показують, що для будь-якого твердого тіла існують три взаємно –перпендикулярних вільних осей, що перетинаються в центрі мас тіла.

Основна їх властивість полягає в тому, що момент інерції тіла відносно. В них приймає максимальне значення відносно другої – мінімальне, а відносно третьої проміжне значення. Ці три взаємно-перпендикулярні вільні осі, що мають таку властивість називаються головними осями інерції, а моменти інерції відносно цих головних осей називаються головними моментами інерції .

Рис. 4.5.

Теорія і досліди показують, що при відсутності зовнішніх дій стійке обертання тіло одержує навколо таких вільних осей, відносно яких момент інерції (найбільший або найменший) приймає екстремальні значення. Обертання буде нестійким відносно осі, для якої момент інерції має проміжне значення.

Приклади і досліди з сірниковою коробкою

Обертання коробки відносно осі OZ і OY – стійке,  а відносно
OX – нестійке. Якщо на обертове тіло діють зовнішні сили, то стійким буде обертання відносно осі, з найбільшим моментом інерції.

Досліди з металевим стержнем і замкнутим ланцюжком. Якщо їх прикріпити до нитки і привести у швидке обертання то вони здійснюватимуть обертальний рух  навколо вільних осей, відносно яких їхні моменти інерції найбільші.

Розглянуті досліди показують, що тіло приведене в обертальний рух зовнішніми силами відносно осі, що не співпадає з вільною віссю «знаходить» цю вільну вісь обертання в процесі руху. Цю властивість вільних осей використовують в техніці машин, які швидко обертаються (турбіни, гвинти , ротори електричних машин і т.д.), де застосовують самоцентруючі вали. Крім цього, досліди показують , що відносно осі з найменшим моментом інерції легше всього створити обертання.

Приклади:

  1.  Падаюча кішка з будь-якого положення приземляється на лапи;
  2.  Акробат, що виконує сальто в повітрі, навпаки використовує обертання навколо осі з найбільшим моментом інерції. Таке обертання стійке і надійне.

Гіроскоп, його властивості і практичне використання

Гіроскоп – це масивне симетричне тіло, що обертається з великою швидкістю навколо осі симетрії.

Гіроскоп має дві важливі властивості, завдяки яким він набув широке використання .

Перша властивість зрівноваженого гіроскопу з трьома ступенями вільності полягає в тому, що його вісь симетрії при відсутності або компенсації зовнішніх дій, намагається стійко зберігати початкове положення в просторі. Це випливає із закону збереження моменту імпульсу вільного твердого тіла. Можна наближено вважати, що повний момент імпульсу гіроскопа визначається моментом імпульсу власного обертання навколо осі симетрії.

Тоді

Тобто кутова швидкість обертання гіроскопа зберігається як за модулем так і за напрямком. Збереження напряму вектора , означає, що вісь обертання гіроскопа, по якій цей вектор направлений, зберігає своє початкове положення у просторі.

Друга властивість гіроскопа полягає в наступному: якщо до осей симетрії обертального гіроскопа прикласти силу, що намагається повернути його навколо осі, перпендикулярної до осі обертання то гіроскоп «не слухається», він починає повертатись навколо третьої осі, перпендикулярної до двох інших.

Ця властивість носить назву гіроскопічного ефекту. Його можна пояснити слідуючим чином: Якщо на вісь обертання гіроскопу подіяти силою , яка направлена вертикально вниз, то вектор моменту цієї сили:   буде лежати в горизонтальній площині і прикладений в т.0 опори або підвісу гіроскопа. Такий гіроскоп носить назву гіроскопа на карданному підвісі.

Момент сили  намагається повернути вісь гіроскопа у вертикальній площині. Але вона, всупереч сподіванням повертається в горизонтальний площині.

Це можна пояснити, виходячи з основного закону динаміки обертального руху, записаного в формі рівняння імпульсів:

Звідси витікає, що вектор співпадає за напрямком з вектором , він перпендикулярний до осі гіроскопа і знаходиться в горизонтальній площині, тобто через елементарний проміжок часу dt вектор повного моменту імпульсу, а значить і вісь гіроскопа  повернуться в горизонтальній площині на елементарний кут , таким чином, вісь гіроскопа починає обертатись навколо осі, яка паралельна діючій силі .

Процес обертання осі симетрії  гіроскопу відносно осі, паралельній напрямку дії зовнішньої сили називається прецесією.

Так як гіроскоп початково встановлено горизонтально, то його вісь симетрії описує не конус а плоску поверхню. Із рис. 4.6 витікає :

Кутова швидкість прецесії прямо пропорційна величині діючого моменту зовнішніх сил і обернено пропорційна  кутовій швидкості власного обертання. Навколо осі симетрії, прецесія відбувається тим повільніше, чим швидше обертається гіроскоп

Рис. 4.6.

Практичне застосування  гіроскопічного ефекту (на самостійне опрацювання).

Елементи статики АТТ. Умови рівноваги твердого тіла

а) Поняття про ступені вільності

Ступені вільності в механіці називаються незалежні рухи, які можливі для даного тіла чи  системи тіл.

Числом ступеней вільності називається число незалежних рухів, які одночасно можливі для даного тіла або системи тіл.

Матеріальна точка в  результаті  поступального руху в трьох незалежних напрямках. має три ступені вільності.

Числом ступеней вільності називається  число незалежних координат, які повністю визначають положення тіла чи системи тіл.

Вільне тверде тіло  має шість ступенів вільності.  Тобто для опису поступального руху тіла в просторі можна задавати  координати якої-небудь точки тіла (центра мас) та кути повороту відносно трьох взаємно-перпендикулярних осей з початком в центрі мас.

  б) Рівняння руху твердого тіла. Умови рівноваги.

Для опису поступального руху навколо трьох осей, що проходять через центр мас, ми можемо скласти 2 векторних або 6 скалярних рівнянь

                      (4-13)

Рівняння (4.13) називають основними рівняннями динаміки руху твердого тіла.

З рівняння (4.13) випливає , що

 

   або        (4-14)

Для того щоб тіло знаходилось в рівновазі необхідно і достатньо, щоб векторна сума усіх зовнішніх сил (головний вектор) = 0 и щоб векторна сума моментів цих сил відносно будь якого довільного центра = 0.

Алгебраїчна сума проекцій зовнішніх сил на відповідні осі координат рівна 0 і алгебраїчна сума моментів цих сил відносно відповідних координат осей рівна 0.

Механіка рідин і газів. Основи гідростатики.

Рідини і гази за своїми властивостями значно відрізняються від твердих тіл: тверде тіло – має власний об’єм та форму, то рідини – лише об’єм, не маючи власної форми, гази – не має ні власного об’єму ні власної форми. Реальним газам та рідинам властиві характерні властивості: стисливість та внутрішнє тертя (в’язкість). При вивчені руху, одночасне урахування цих властивостей значно ускладнює механічну задачу. Для з’ясування загальної картини руху рідин (газів) – використовується модель ідеальної рідини – рідини, яка не має в’язкості та стисливості.

Гідростатика вивчає закони (умови) рівноваги рідини.

Тиск в рідинах і газах.

На рідину, яка знаходиться в деякому елементарному об’ємі V діє два типа сил:

  1.  масові (об’ємні) сили тяжіння  , прикладені у центрі виділеного об’єму.
  2.  До виділеного об’єму рідини прикладені поверхневі сили, які діють зі сторони рідини, що залишилася, перпендикулярно до поверхні, яка обмежена об’ємом V.

Рис. 4.7.

Сили тиску: ,  

За аналогією з АТТ запишемо виділеного об’єму рідини масою m

умову рівноваги ,

              (4-15)

,       (4-16)

Виділений об’єм рідини знаходиться в положенні рівноваги, якщо результуюча масових та поверхневих сил рівні між собою за модулем та протилежно направлені.

Сили, направлені по нормалі до поверхні об’єму рідини називаються направлені силами тиску – або поверхневими силами .

Виділимо деякий елемент поверхні рідини, який охоплює розглянуту точку S. Нехай рівнодіюча поверхневих сил . Тоді

,     – гідродинамічний тиск.

Гідродинамічний тиск – це поверхнева сила, віднесена до одиниці площі поверхні рідини.

Закон Паскаля.

(Блез Паскаль французький вчений ХVII ст.)

Покажемо, що тиск в ідеальній рідині не залежить від орієнтації елемента площі S , що містить досліджувану точку.

Виділимо в середині рідини елементарний об’єм у вигляді довільної тригранної призми на бічні грані якої діють поверхневі сили тиску .

Рис. 4.8.

Використовуючи умову рівноваги, побудуємо замкнутий силовий трикутник авс, який буде подібним АВС (рис. 4.8.)

      З подібності ΔАВС ~ Δabc :               

Зменшуючи площу S, приходимо до співвідношення  ;

  де     ,   ,   ,   

Статичний тиск, тобто тиск у нерухомій рідині однаковий – не залежить від орієнтації площі поверхні рідини S

Закон Паскаля: тиск в будь-якій точці рідини (або газу) однаковий за усіма напрямками, а зовнішній тиск передається рідиною однаково по всьому об’єму.

Застосування закону Паскаля: Гідравлічні механізми (гідравлічний прес, гальма та ін.) – штампування виробів, підіймання важких тягарів.

;      ;      

При великій різниці розмірів поршнів можна отримати великий виграш в силі.

Розподіл тиску у рідинах та газах. (Закон гідростатичного тиску)

Виділимо в однорідній рідині елементарний об’єм рідини у вигляді прямокутного паралелепіпеда.

Рис. 4.9.

Використаємо умову рівноваги виділеного елементу рідини у проекції на вісь Oz аналогічно умови рівноваги твердого тіла:

Зменшуючи паралелепіпед та вважаючи висоту і площу його основи нескінченно малими, отримаємо:

Визначимо закон розподілу тиску в рідині по висоті в залежності від глибини занурення:

;        ;    ;

;     – гідростатичне рівняння.  (4-17)

Наслідок закону гідростатичного тиску:

  1.  тиск рідини на дно не залежить від форми посудини, а тільки від h.
  2.  тиск на елемент бокової стінки судини залежить від його глибини від поверхні.
  3.  вільна поверхня однорідної рідини у сполучених посудинах встановлюється на одній висоті.
  4.  У випадку неоднорідної рідини  висоти їх вільних поверхонь у сполучених посудинах над своєю поверхнею обернено пропорційні густинам рідин.

Дослід: Гідростатичний парадокс.

Рис. 4.10.

4. Закон Архімеда. Архімед (287 – 212 рр. до нашої ери) встановив, що уявна вага тіла, зануреного в рідину або газ, менша дійсного на стільки, скільки важить витіснена тілом рідина або газ.

Рис. 4.11.

Архімедова сила – результат неоднакового тиску рідини на різні ділянки поверхні зануреного тіла: тиск, який здійснює рідина на нижні частини тіла більша тиску на поверхні.

                                                                                     (4-18)

Архімедова сила рівна вазі рідини в об'ємі тіла (зануреної частини тіла)

,  де  

Рис. 4.12.

Формулювання: На будь-яке занурене в рідину (газ) тіло діє виштовхувальна (Архімедова) сила, що дорівнює вазі рідини (газу), яка витіснена цим тілом та прикладена до центру тяжіння (центру мас) витісненого тілом об'єму рідини (газу).

В загальному випадку отримання формули для сили Архімеда можливо зробити таким чином:

;    ;

Запишемо останній вираз в диференційній формі,

;    .

Переходячи до інтегрування по замкнутій поверхні отримаємо:   

                               (4-20)

Пояснення архімедової сили, на основі принципу затвердіння.

Рис. 4.13.

Уявімо собі, що рідина в об'ємі зануреного тіла затверділа, зберігши незмінною свою густину. Вага затверділої частини рідини буде дорівнювати силі тиску, з якою на нього діє оточуюча рідина: ,   (Умова рівноваги рідини).

Якщо помістимо в рідину тверде тіло, то на нього буде діяти виштовхувальна сила, яка дорівнює вазі рідини, що витісняється зануреним тілом.

Умови плавання твердих тіл

Як наслідок закону Архімеда одержуємо умови плавання тіл:

1)

2)   (стан байдужої рівноваги)

3)

Умовою плавання тіл в рідині являється рівність його ваги вазі витісненої ним рідини. В кораблебудуванні об'єм (вага) витісненої кораблем води називається водозаміщенням та служить мірою його плавучості при заданому осіданні.

 

Рис. 4.14.

Використання закону Архімеда при оцінки плавучості та стійкості корабля.                                 

Рівнодіюча сил тиску рідини на кожний елемент поверхні  називається плавучістю корабля. Точку А прикладення цієї сили – центром величини. (рис.4.14) Центр величини співпадає з центром тяжіння витісненого тілом рідини.

При зміні положення корабля центр величини зміщується.

Положення корабля стійке – коли точка А і центр тяжіння С знаходяться  на одній вертикалі.

Для характеристики стійкості корабля вводять поняття метацентра.

Метацентр – точка перетину лінії дії виштовхувальної сили при нахилі корабля з віссю симетрії.

Якщо метацентр знаходиться вище центра тяжіння, то сила тяжіння та виштовхувальна сила при нахилі корпуса утворюють пару, повертаючи корабель в початкове положення.

Отже СМ – можна розглядати як міру стійкості корабля, вважаючи що момент пари ~ СМ. (рис. 4.13).

Сучасна теорія плавучості та стійкості кораблів розвинута в працях російського вченого А.М. Крилова, який створив російську наукову школу кораблебудування, яка розробила ефективний метод боротьби проти непотоплюваності кораблів.

             Кінематика та динаміка ідеальної рідини (газу)

Стаціонарний шаруватий рух рідини.

При русі рідини або газу в даний момент часу кожна частинка в потоці рідини має визначену .

У думках проведемо в рідині плавну лінію так, щоб в кожній її точці миттєва швидкість частинок була направлена по дотичній. Такі лінії називаються лініями струму. Густина таких ліній характеризуватиме абсолютне значення швидкості руху, а їх викривлення – напрями руху частинок.

За допомогою ліній струму зображають розподіл швидкостей в потоці рідини.

Густина ліній струму пропорційна швидкості потоку.

Рух рідини, при якому картина ліній струму не змінюється з часом, називається сталим або стаціонарним.

Іншими словами: якщо швидкість потоку в кожній точці простору зайнятого рідиною не змінюється з часом, то переміщення рідини називається стаціонарним.

При сталому русі лінії струму є в той же час і траєкторіями руху частинок.

При нестаціонарній течії вектор швидкості в кожній точці потоку змінюється з часом.

Щоб вивчити сталий рух всього потоку рідини доцільно розбити весь об'єм на елементарні об'єми, які називаються трубками струму, і вивчати рух в кожній такій трубці.

Трубкою потоку називається, в думках вибрана частина потоку, бічна поверхня яка складена з ліній струму (цівка диму в потоці повітря, цівка забарвленої рідини).

Рівняння нерозривності струменя.

Рис. 4.15.

Нехай трубка потоку  і > і . Тоді маса рідини проходить через, за 1 секунду (за )

Через :  ;

Демонстрація трубок і ліній струму.

Трубки струму є як би непроникною трубкою. Частина потоку рідини знаходиться усередині трубки струму. Поперечний перетин трубки настільки малий, що швидкість рідини в усіх точках перетину однакова.

Для сталого тиску:

;

Це рівняння нерозривності для реальної рідини, що стискається.

Якщо рідина не стискається, то .

;                             (4-21)

Таким чином, рівняння нерозривності визначає розподіл швидкостей потоку: швидкість більша в тих місцях, де трубка струму вужча, вона зменшується у напрямі розширення трубки струму. (Русло річки або трубки, по якій протікає рідина).

Приклад: У вузьких місцях – дуже сильний потік води  (будівництво дамб).

Динаміка ідеальної рідини.

Основний закон гідродинаміки (рівняння Бернуллі).

У думках виділимо всередині сталого потоку рідини трубку струму, настільки малого поперечного перетину, щоб:   по всьому перетину.

Розглянемо елементарну масу рідини, обмежену перетинами  і, в яких  

Рис. 4.16.

Знайдемо зміну повної енергії виділеної маси за малий проміжок часу .

За цей час дана маса рідини просувається вправо, обмежена перетинами, .

Частина рідини,  ніяких енергетичних змін не випробовує. Енергетичні зміни полягають у тому, що маса рідини  між та, така ж  як при переміщенні в положення .

Тоді повна енергія переміщеної маси рідини в І положенні:

у новому положенні:  

Отже, при переміщенні з першого в друге положення повна енергія змінилася на величину:

Згідно закону збереження енергії: зміна повної енергії повинна дорівнювати роботі зовнішніх сил тиску на  і .

Повна робота зовнішніх сил:

Використовуючи рівняння нерозривності струменя:

;    – об'єм даної маси рідини.

Тоді:

;          

Так, як  і  – довільні, то  

                   (4-22)   

носить назву рівняння Бернуллі.

Рівняння Бернуллі (1738 р.) (Данило Бернуллі – член Петербурзької академії наук.)

Основне рівняння гідродинаміки справедливе для стаціонарного руху ідеальної рідини. Але його в наближенні можна застосувати і для реальних рідин.

Рівняння Бернуллі – наслідок закону збереження механічної енергії.

Фізичне значення вхідних в рівняння доданків.

Всі доданки мають розмірність тиску.

а) Р – називається тиск усередині руху рідини (статичний тиск) – вимірюється манометром, нерухомий щодо поточної рідини (на практиці манометром з мембраною, площина якого паралельна лініям струму.);

б) доданок  – гідродинамічний тиск, показує на яку величину зменшився тиск усередині рідини внаслідок її руху;

в) доданок  – гідравлічний тиск, що показує на скільки зменшився статичний тиск при піднятті трубки на висоту h.

Інтерпретація рівняння Бернуллі: в сталому русі ідеальної рідини повний тиск, що складається з динамічного, гідравлічного і статичного, однаковий для всіх поперечних перетинів трубки потоку.

Постійна Бернуллі має значення тиску усередині рідини, що покоїться, на рівні, прийнятому за початок відліку.

Рис. 4.17.

Рівняння Бернуллі показує, що в поточній рідині статичний тиск зменшується із збільшенням швидкості потоку і підняттям трубки струму над нульовим рівнем.

Наслідки:

  1.  У будь-якому місці горизонтально розташованої трубки струму повний тиск залишається величиною постійною.
  2.  Для S = const,  V = const, тиск p+gh – називається гідростатичним тиском.

Рис. 4.18.

Формула Торрічеллі

Розглядаючи посудину з отвором внизу, як трубку струму, можна записати рівняння Бернуллі для  і :

Рис. 4.19.

– тиск в струмені води, яка  витікає з отвору, рівний ;

– тиск, над вільною поверхнею води; 

– швидкість переміщення рідини в посудині мала.

Враховуючи це: ;

Звідси:       ;

При  (тиск на вільній поверхні рівний атмосферному):

   – формула Торрічеллі         (4-23) 

Таку ж швидкість має матеріальна точка яка вільно падає з       висоти H.

Застосування рівняння Бернуллі: вимірювання повного тиску всередині рухомої рідини: трубки Піто – трубка з отвором перпендикулярним потоку.

Трубка Прандтля – комбінація трубки Піто з манометричною трубкою, що вимірює статичний тиск. Трубкою Прандтля вимірюють динамічний тиск і використовують для визначення швидкості витікання рідини.  

Реакція витікаючого струменя. Використовування енергії рухаючої рідини (газу).

Нехай з посудини через отвір витікає рідина. Згідно формули Торрічеллі: . Якщо площа отвору, то маса витікаючої за  час рідини рівна, де .

Імпульс, що виноситься рідиною:

.

Тоді на витікаючу рідину згідно другого закону Ньютона діє сила: направлена в бік струменя.

Така сила діє на рідину з боку посудини. По третьому закону Ньютона і рідина діє на посудину (трубку) з рівною, але протилежно направленою силою.

;                     (4-24)

Рух, викликаний цією силою, є реактивним рухом.

Силу реакції поточної рідини використовують в парових (газових) і водяних турбінах.

Демонстрація реакції течії:

Рис. 4.20.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

Нульовий рівень Ер 

t=t2

//

0

M/

z//

y//

x//

t=t1

M

/

0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45048. ІЧ- ТА ПМР-СПЕКТРОСКОПІЯ В АНАЛІЗІ НОВОСИНТЕЗОВАНИХ L-ЦИСТЕЇНУ 160 KB
  Метою даної роботи є: ідентифікація, встановлення фізико – хімічних властивостей речовин, які були синтезовані в лабораторії біотехнології ФАР Запорізького Національного Університету, за допомогою ІЧ-, Фур’є – спектроскопії, спектроскопії ядерного магнітного резонансу, тонкошарової хроматографії, хромато – мас – спектрометрії; навчитися працювати та розшифровувати спектри даних методів
45049. Ландшафтное проектирование. История. Семантика садов 4.84 MB
  Дизайн является проектной деятельностью и связан с культурой нового типа – проектной культурой., объединившей научно-техническую и гуманитарную культуры на качественно ином уровне, когда определяющей чертой современного мышления стала проектность, связанная с творческой деятельностью человека и соответствующая новому положению человека в мире...
45050. Электрические сети 3.43 MB
  Электрические сети. Номинальное напряжение сети соответствует номинальному напряжению электроприемников подключенных к этой сети. Сети напряжением ниже 1000В называют сетями низкого напряжения НН.
45051. Повышение надежности эксплуатации сетей с резистивным заземлением нейтра 1.14 MB
  Номинальное напряжение сети соответствует номинальному напряжению электроприемников подключенных к этой сети. Сети напряжением ниже 1000В называют сетями низкого напряжения НН. Сети напряжением выше 1000В называют сетями высокого напряжения ВН.
45054. Оценка материально-производственных запасов 50.5 KB
  Материально–производственные запасы, на которые текущая рыночная стоимость в течении года снизилась либо которые морально устарели, полностью или частично потеряли свое первоначальное качество, отражаются в бухгалтерском балансе на конец отчетного года за вычетом резерва под снижение стоимости материальных ценностей
45055. Гусеничные тракторы. Технические характеристики 987.4 KB
  По назначению трактора делятся на промышленные сельскохозяйственные и лесопромышленные. Устройство гусеничного трактора. Любая схема гусеничного трактора отображает три основные составные части трактора: двигатель трансмиссию и ходовую часть. Полужесткая ходовая переносит большие нагрузки и облегчает точность управления навесного оборудования при движении трактора.
45056. Нрафик работы и отдыха водителей, производящих автомобильные перевозки грузов по маршруту Екатеринбург-Эрзурум (Турция)-Анталья (Турция) 493.5 KB
  При производстве работ одним водителем время на дорогу занимает 253:48 часа. Два рабочих дня время управления достигает 10 часов. Среднее время управления в неделю 9 часов за смену. При управлении двумя водителями общее время на доставку груза составляет 197:44 часа.