47923

Коливання та хвилі

Конспект

Физика

Змістовий модуль 5 Коливання та хвилі Теоретичне ядро Кінематика гармонічного коливального руху точки Коливальний рух. Елементи акустики Природа звуку Розповсюджуючись в повітрі пружні хвилі досягнув людського вуха визивають специфічні відчуття звуку. Якщо частота цих хвиль лежить в межах від 1620 до 20 000 Гц то такі хвилі називаються звуковими. Звукові хвилі або звук – це коливання пружного середовища що сприймаються нашими органами слуху.

Украинкский

2013-12-04

1.84 MB

28 чел.

VІ. Змістовий модуль 5

Коливання та хвилі

Теоретичне ядро

Кінематика гармонічного коливального руху точки

Коливальний рух. Класифікація коливань. Гармонічні коливання.

Одним з найпоширеніших  типів механічних рухів є коливальний рух або механічні коливання. Коливаннями називаються процеси, які відрізняються тією чи іншою ступінню повторюваності, тобто процеси, яким властива та чи інша ступінь повторюваності або періодичності механічного стану руху точки (тіла).

Приклади: від коливального руху атомів і молекул і до коливальних процесів, що відбуваються в мегасвіті. Вони відіграють як позитивну, так і негативну роль. Коливальні рухи можна поділити на 2 класи: періодичні і аперіодичні. Коливання, при яких механічний стан руху тіла точно  повторюється через рівні проміжки часу, називаються періодичними. В противному випадку – аперіодичними.

Рис. 5.1

Періодичний рух математично описується функцією:

,

де Т– період коливань.

Більшість коливань в природі – аперіодичні. Періодичні коливання поділяються на гармонічні і негармонічні. Найпростішим типом коливальних рухів є гармонічні коливання. Гармонічними називаються коливання, при яких відстань коливальної точки до положення рівноваги (зміщення) змінюється з часом за законом синуса  чи косинуса (тобто згідно гармонічного закону)

                           (5-1)

Одержане рівняння носить назву кінематичного рівняння гармонічних коливань. За характером траєкторії гармонічні коливання можуть бути прямолінійними (пружний маятник) і криволінійними (математичний маятник). Для криволінійних гармонічних коливань рівняння руху має вигляд:

,

де s – дугова координата.

Графік гармонічних коливань (дослід з пісочним маятником):

Рис.5.2

Ангармонічні коливання графічно зображуються наступним чином:

Рис.5.3

Рис.5.4

Кінематичні характеристики гармонічних коливань.

Період – інтервал часу між двома суміжними однаковими механічними станами руху коливальної точки.

Амплітуда – модуль найбільшого зміщення точки від положення рівноваги:

.

Зміщення – відстань точки, яка знаходиться в коливальному русі, від положення рівноваги і виражається прямолінійною або дуговою координатою даної точки: х або s. Визначає положення точки на траєкторії руху.

Фаза – величина, що залежить від часу і визначає як положення, так і напрям коливання в будь-який момент часу. Визначається аргументом sin або cos

,

де φ0 – початкова фаза.

Циклічна (кругова) частота – величина, що визначає число коливань за 2π секунд. Це витікає із формули:

,

 де – лінійна частота, визначає число коливань за одиницю часу. Тоді: .

Фази коливань, що відрізняються на називаються однаковими, так як їм відповідає одне і те ж положення та напрям руху коливної точки. Фази коливань, що відрізняються на π називаються протилежними.

Швидкість і прискорення точки при гармонічному коливанні.

Використаємо рівняння гармонічних коливань:

                               (5-2)

Тоді:      (5-3)                                 , де  – амплітуда швидкості.

Порівнюючи (5.2) і (5.3), робимо висновок, що швидкість приймає максимальне значення тоді, коли точка проходить положення рівноваги і дорівнює 0, тобто коли точка досягає максимального відхилення від положення рівноваги.

Вираз (5.3) перепишемо наступним чином:

             (5-4)

Порівнюючи (5.4) з (5.2), маємо, що швидкість випереджає за фазою зміщення на , тобто за часом: ,  .

Диференціюючи за часом вираз для швидкості, маємо:

; .

, де – амплітуда прискорення.

Порівнюючи останній вираз з (5.2), маємо, що прискорення і зміщення одночасно перетворюються в 0 і одночасно досягають максимального значення.

Якщо останні вираз переписати наступним чином: , то можна зробити висновок, що прискорення випереджає за фазою зміщення на π раз  або на півперіод за часом  , тобто прискорення і зміщення змінюються в протифазі (протилежних фазах).

Так як , а , то   .

Прискорення при гармонічних коливаннях пропорційне зміщенню і направлене до однієї і тієї ж точки – до положення рівноваги.

  

Рис. 5.6.

якщо х > 0, то а < 0;

якщо х < 0, то а > 0.

Зв’язок гармонічного коливання з обертальним рухом. Графічний метод опису гармонічного коливання.

Розглянемо рівномірний обертальний рух математичної точки, описавши його векторним способом. Нехай радіус-вектор , що визначає положення цієї точки відносно плоскої системи відліку ОХУ, рівномірно обертається навколо центра О з кутовою швидкістю ω. Розглянемо проекцію радіус-вектора  на вісь ОХ.

, де  (φ0 –кут між вектором і віссю ОХ  в момент часу t=0) а . Тоді одержимо: , тобто маємо рівняння гармонічного коливання матеріальної точки.

Таким чином, проекцію кінця радіус-вектора, що обертається з кутовою швидкістю ω можна розглядати як зміщення точки при гармонічному коливанні, причому циклічна частота коливань дорівнює кутовій швидкості обертання радіус-вектора, а амплітуда коливань – його модулю.

Рис. 5.7.

Звідси випливає графічний метод опису гармонічних коливань, який називають методом векторних діаграм. Він ґрунтується на тому, що гармонічне коливання можна задати за допомогою радіус-вектора математичної точки, що обертається з кутовою швидкістю рівною циклічній частоті коливань, а модуль радіус-вектора дорівнює амплітуді коливань.

Додавання коливань.

а) Додавання коливань одного напрямку з однаковими частотами.

Нехай додаються два гармонічні коливання

, однакового напряму і частоти, але з різними амплітудами і фазами.

Використаємо метод векторних діаграм, згідно якого гармонічне коливання графічно можна представити у вигляді обертаючого радіус-вектора, модуль якого дорівнює амплітуді коливання, а кутова швидкість обертання дорівнює циклічній частоті коливань.

Рис. 5.8.

Таким чином, гармонічні коливання х1 і х2 можна представити як проекції обертаючих з кутовою швидкістю ω векторів  і. Так як ω=соnst, то кут.  γ =сonst → γ=α1 – α2 = ωt+φ02 – ωt-φ01= φ02 – φ01 = const.

Так як сума проекцій векторів і на деяку вісь дорівнює проекції на цю вісь вектора =+, то результуюче коливання можна графічно представити у вигляді проекції вектора , що обертається з тією швидкістю ω (γ =сonst).

Тобто: х=х12cosα, де α= ωt + φ0,   х=А cos( ωt + φ0).

Висновок. Якщо точка одночасно приймає участь в двох гармонічних коливаннях, що відбуваються в одному напрямку з однаковою частотою, то результуюче коливання також буде гармонічним коливанням, що відбувається в тому ж напрямку і з тією ж частотою, що і складові коливання.

Знайдемо початкову фазу і амплітуду результуючого коливання в момент часу t=0 : α1 = φ01, α2 = φ02, α = φ0.

Тоді з рисунка випливає, що

                     (5-5)

Амплітуду результуючого коливання знайдемо, використовуючи теорему косинуса:

, де

           (5-6)

Якщо додати два гармонічні коливання одного напрямку з різними частотами, то вектори  і  обертаються з різними кутовими швидкостями. В результаті чого кут  γ між ними γ= γ(t). Тому, модуль вектора результуючого коливання =+буде змінюватись з часом, так як і його кутова швидкість.

Висновок. Результуюче коливання не є гармонічним.

Додавання двох взаємно перпендикулярних коливань. Фігури Ліссажу.

Нехай одне гармонічне коливання відбувається вздовж осі х, а друге вздовж осі у:

Знайдемо рівняння траєкторії результуючого коливання. Для цього виключимо час t.

(5-7)

   (5-8)

Піднесемо до квадрату і почленно додамо (5.7) і (5.8). Одержимо:

Одержали рівняння еліпса в загальному вигляді. Траєкторія результуючого коливання – крива ІІ порядку еліпс. Орієнтація цього еліпсу залежить від різниці фаз складових коливань.

Розглянемо  окремі випадки:

а) нехай різниця фаз φ01 - φ02 =0.

Тоді:  , тобто

Висновок. При різниці фаз Δφ=0 точка рухається по відрізку прямої, що проходить через початок координат з кутовим коефіцієнтом , обмеженому амплітудами А і В коливань.

Рис. 5.9.

б) якщо φ0102, то рівняння приймає вигляд: , тобто.

В цьому випадку результуюче гармонічне коливання здійснюється з частотою ω навколо точки О по відрізку прямої, що нахилена до осі під кутом .

в) якщо Δφ=π/2, або 3π/2, то одержимо траєкторію результуючого коливання – еліпс, осі якого співпадають з осями координат

В першому випадку рух здійснюється за стрілкою годинника, в другому випадку – проти.

Рис. 5.10.

г) якщо А=В , а Δφ=π/2, або 3π/2, то еліпс перетворюється в коло радіуса R=A=B.  

Рис. 5.11.

Висновок. Додавання двох взаємно перпендикулярних коливань однакової частоти приводить в загальному випадку до руху точки по еліпсу. В деяких випадках еліпс може виродитись в відрізок прямої або коло. При інших співвідношеннях частот коливань, що додаються, траєкторії результуючих коливань мають більш складну форму. Ці складні лінії називаються фігурами Ліссажу.

Динаміка гармонійного руху.

Рух під дією пружних і квазіпружних сил.

а) При прямолінійному гармонійному коливанні прискорення матеріальної крапки змінюється згідно із законом:

                               (5-9)

;    

;     

                      (5-10)

При прямолінійному гармонійному коливанні на матеріальну точку діє сила пропорційна зсуву х і направлена, як і прискорення в сторону, протилежну зсуву ( у бік положення рівноваги ).

Вірне і зворотне твердження.

Силу, що задовольняє умові: вона пропорційна зсуву і направлена вбік протилежно зсуву, називають повертаючою а k – коефіцієнтом повертаючої сили.

б) При крутильних гармонійних коливаннях кутове прискорення:  

;    

При гармонійних крутильних коливаннях на тіло діє момент сил прямо пропорційний куту повороту і направлений, як і кутове прискорення убік, протилежний повороту (до положення рівноваги). Момент, що задовольняє відміченим умовам, називається повертаючим, а D – коефіцієнтом повертаючого моменту.

                                (5-10а)

Такими силами, які б змінювалися згідно із законом  , є перш за все сили пружності, які виникають в твердих тілах при малих деформаціях розтягування ( стиснення ), а також кручення.

Проте, окрім сил пружності, існують і інші сили підкоряються вказаним законам.

Сили ( моменти сил ), що підкоряються закону      
( ), але не є пружними, називаються квазіпружними (майже пружними).

Висновок: Отже, гармонійні коливання матеріальної крапки виникають під дією пружних або квазіпружних сил.

Приклади коливань під дією пружних і квазіпружних сил.

а) пружинний маятник.

Рис. 5.12.

б) крутильний маятник

в) коливання плаваючого тіла

Рис. 5.13.

;

Рівняння руху простих механічних коливань систем:

а) Математичний маятник – система, є матеріальною точкою, підвішеною на тонкій невагомій і нерозтяжній нитці.

 

Рис. 5.14.

    

;     

Таким чином при малих кутах відхилення маятника тангенціальна сила пропорційна відхиленню S і направлена вбік протилежно напряму відхилення. Отже, сила є квазіпружною, а коливання маятника – гармонійними. Порівнюючи k=mω02;   тоді :

;                         (5-10б)

Рішення цього рівняння:     

Обертаючий момент:  

Динамічне рівняння руху:  ;  ;   ;

;      ;     ;     ;

                                   (5.11)

Якщо точку, що коливається, не можна представити, як матеріальну точку, маятник називається фізичним.

б)Фізичний маятник – тверде тіло, що має нерухому вісь обертання, яка не проходить через його центр тяжіння.

Будучи виведеним з положення рівноваги, тіло скоює біля осі крутильні коливання.

Рис. 5.15.

Обертаючий момент

При малих кутах  

 I – момент інерції відносно осі обертання.

- приведена довжина фізичного маятника – це довжина такого математичного маятника, який має такий же період коливання, що і даний фізичний маятник.

Обертальний момент:

;

;    ;    ;    ;

                                  (5-12)       

;      ;            (5-13)

Коливальні системи та їх енергія.

Механічні системи, що володіють тією властивістю, що будучи виведеними з положення стійкої рівноваги, і надані потім самим собі, створюють коливання, що називається коливальними системами, а створені ними коливання – власними.

Якщо сили тертя відсутні, то власні коливання називаються вільними.

Енергія коливальної системи складається з кінетичної енергії рухомого елементу системи і потенційної енергії пружної частини системи:

;    

                         (5-14)

Динамічне рівняння вільних(власних) гармонійних коливань.

У разі вільних коливань на рухомий елемент системи діє квазіпружна сила  , використовуючи рівняння другого закону Ньютона     ; ;    ;  
;   ;

Отримуємо динамічне рівняння руху:

– рівняння руху (лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку).

Загальний розв’язок:

теорія диференціальних рівнянь дає таке рішення  , що можна перевірити безпосередньо підставивши його в рівняння руху (5.13). З розв’язку диференційного рівняння одержуємо:

;    .

Тобто, якщо на рухомий елемент системи діє пружна (квазіпружна) сила, то він скоює гармонійні коливання з постійною амплітудою і частотою і розв’язком якого є гармонійна функція  

Гармонійні коливання діляться на вільні і затухаючі.

Вільні коливання – коливання, які відбуваються без впливу зовнішнього середовища, в якому вони здійснюються.

Затухаючі гармонійні коливання.

Нехай на систему, окрім квазіпружної сили діє і сила тертя.

– рух у в'язкому середовищі з малими швидкостями.

     ;    

  – лінійне диференціальне рівняння ІІ порядку з постійним коефіцієнтом.

Для розв’язку динамічного рівняння  застосовуємо підстановку Ейлера:


=ω2 z=0, тобто диференціальне рівняння приведено до динамічного рівняння  вільних коливань з частотою ω і періодом Т:

           

Розв’язок диференційного рівняння такого типу має вигляд:

Але : х=z , і тоді маємо : х=, де  

При  – отримаємо випадок вільних коливань

При ;     – аперіодичних коливань .

Таким чином, диференціальне рівняння затухаючих коливаннь має вигляд :                

                     (5-15)

Тобто коливальна система здійснює затухання гармонійних коливань, амплітуда яких зменшується з часом за експоненціальним законом.

Рис. 5.16. Графік затухаючих гармонійних коливань

Динамічні параметри затухаючих коливань.

а)Коефіцієнт затухання

Коефіцієнт , що характеризує швидкість затухання коливань, називається коефіцієнтом затухання.

Визначимо фізичний зміст коефіцієнта затухання . Візьмемо відношення 2 амплітуд, розділених за часовим інтервалом в 1 секунду:

 – натуральний логарифм відношення двох амплітуд, розділених інтервалом в 1 с.

б) Логарифмічний декремент затухання

Швидкість затухання також характеризують логарифмічним декрементом затухання, яким називається величина, рівна натуральному логарифму 2 останніх амплітуд, розділених проміжком часу, рівним 1 періоду.   

 

Логарифмічний декремент загасання в  раз більше чим .

Оскільки  й , те .

в)Добротність коливальної системи.

Енергетично коливальна система характеризується добротністю. Під добротністю розуміють збільшене в 2п раз відношення повної енергії системи до енергії неуважної за період:

чим менше енергії розсіюється, тим більше добротність системи.

Можна показати, що

– добротність обернено пропорційна логарифмічному декременту.

Вимушені коливання – коливання, що виникають у коливальній системі при дії на неї зовнішньої сили, що змушує, що періодично змінюється.

Нехай сила, що змушує, змінюється за законом.

Крім  на систему діють: сила, що  повертає, сила тертя .

Рівняння руху:

;  ;

– динамічне рівняння вимушених гармонійних коливань, яке є неоднорідним диференціальним рівнянням  2-го порядки.

Загальне рішення такого рівняння:  – дорівнює сумі загального рішення  – однорідного рівняння й частого рішення  неоднорідного рівняння  за досить великий проміжок часу власні коливання практично згаснуть і залишиться ІІ доданок.

Тому  – описує змушені коливання системи.

Можна показати, що , тобто вимушені коливання являють собою гармонійні коливання з амплітудою тієї ж частоти, яку має сила, що їх змушує. Однак зсув зміщений по фазі на .

                          (5-16)

Амплітуда вимушених коливань залежить від співвідношення частоти вільних (власних) коливань  до частоти сили, що змушує , а також від сили, що  змушує, і .

Графік залежності А=А(ω) має вигляд :

Рис. 5.17.

Резонанс

Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при певному значенні частоти сили, що їх змушує, називається механічним резонансом.

Якщо  то ;  ; ;  ;  ; тому що має місце загасання те вона здобуває деяке максимальне значення.

Частота сили, що змушує, при якій наступає резонанс, називається резонансною частотою.

Резонансна частота й резонансна амплітуда залежать від загасання  системи.

Зі зменшенням ;  ;   .

На практиці  ;

Знайдемо резонансну частоту :

;

;  ;

;

;  ;   .

; .

Елементи акустики

Природа звуку

Розповсюджуючись в повітрі пружні хвилі, досягнув людського вуха, визивають специфічні відчуття звуку. Якщо частота цих хвиль лежить в межах від 16(20) до 20 000 Гц, то такі хвилі називаються звуковими.

Акустикою називається вчення про звук. Звукові  хвилі або звук – це коливання пружного середовища, що сприймаються нашими органами слуху.

Акустика також займається і такими хвилями, які не сприймаються вухом звичайної людини. Пружні хвилі з частотою менше 20 Гц, називаються інфразвуком. Хвилі з частотою, що перевищує 20 000 Гц, називаються ультразвуком.

Звукові хвилі в рідинах і газах можуть бути тільки повздовжніми; в твердих тілах і поперечними. Для виникнення і поширення звукових хвиль необхідна наявність пружного середовища (тверде тіло, повітря, вода). Розріджене повітряне середовище не може передавати звукові коливання, так як молекули, що отримали від джерела звуку деяку кількість руху, не можуть передавати його направлено сусіднім молекулам, а розсіюють при випадкових співударах, котрими обмінюються в хаотичному тепловому русі.

У відсутності середовища (вакуум) – відсутні матеріальні частинки відповідальні за розповсюдження звукових хвиль.

Рис. 5.18.

Виникнення хвилі можливе, якщо середовище здійснює пружний опір деформаціям і має інерцію. Тіло здійснює опір деформаціям як повздовжнім – розтягу та стисненню, так і зсуву. В твердих тілах – поперечні і повздовжні. В рідинах і газах – звукові хвилі повздовжні.

Звукові хвилі в середовищі створюються коливальним тілом. Коливання мембрани мікрофону (телефону) в прилягаючому шарі повітря створюють послідовність розрідження й стиснення розповсюджуючись у всі сторони.

 

Швидкість звуку в твердих тілах, рідинах, газах і її вимірювання.

Швидкість розповсюдження повздовжніх хвиль в пружному середовищі (твердому, рідкому і газоподібному)

           

Залежність швидкості звуку від температури в газах (повітрі)  приймає вид:

   відношення теплоємкостей при p = const, V = const

µ – молярна маса, R – універсальна газова постійна

Найбільші швидкості звуку в твердих тілах, найменші – в газах. Швидкість звуку в твердих тілах для повздовжніх та поперечних хвиль різко відрізняється.

E > N,  

Методи вимірювання швидкості звуку:

з допомогою ехо;

резонансні методи (метод стоячих хвиль);

метод фігур Ліссажу.

Акустичний тиск і швидкість частинок в звуковій хвилі. Інтенсивність звуку.

Звук, поширюючись  в газах (рідинах), створює області стиснення та розрідження, в яких відповідно підвищується і понижується тиск на ∆p по відношенню до тиску p в незбуреному газі.

Величину p називають надмірним звуковим тиском. Нехай в деякому об’ємі середовища розповсюджується звукова хвиля в якій зміщення частинок проходить по закону:

Середній потік хвильової енергії за Т:

Цю величину в акустиці називають інтенсивністю звуку або силою звуку.

Інтенсивністю або силою звуку, називають кількість енергії, що переноситься за одиницю часу через одиницю площі поверхні, перпендикулярно до поширення хвилі.

                   J

Визначимо зв’язок звукового тиску з характеристиками звукової хвилі та середовища.

Рис. 5.19.

Виділимо в середовищі, через яке поширюється плоска хвиля, елемент у вигляді паралелепіпеда з гранню рівною dS. Сила, що діє на цю грань зі сторони хвильового фронту, в момент досягнення хвилі викликає звуковий тиск dp.

F=-dp dS

Ця сила зміщує грань на dx, тоді:

dA=Fdx=-dp dS dx

dS dx=dV

Запишемо рівняння  руху елементарної маси частин середовища у вибраному об’ємі 2V відповідно другого закону Ньютона


Зміна надмірного звукового тиску

,

де  - називається амплітудою надмірного звукового тиску

Акустичний резонанс

    Інтенсивність (сила) звука прямо пропорційна  квадрату  амплітуд звукопоглинання  і зворотно-пропорційна  акустичному протистоянню середовища:

                                     (5-17)

– акустичне протистояння  – залежить тільки від властивостей середовища.

                           (5-18)

Надмірний звуковий тиск рівний добутку акустичного протистояння середовища на швидкість коливань руху частин хвилі.      Зміна надмірного тиску появляється в одній фазі з змінами швидкості частин.

Об’єктивні і суб’єктивні характеристики звуку

    Звук може бути охарактеризований двома системами фізичних величин: характеристик не залежать від особливостей фізіологічного сприйняття звуку людиною – об’єктивними і характеристиками  які спираються на фізіологічному сприйняті звуку – суб’єктивними.

а) Об’єктивні характеристики звуку – це фізичні величини, які описують любий хвильовий процес:

    1) частота звуку υ, вимірюється числом коливань в  одиниці часу (сек.) частин середовища, яка бере участь у хвильовому процесі;

    2) густина потоку звукової енергії (інтенсивність звуку або сила звуку) – кількість енергії, яка переноситься звуковою хвилею в одиниці часу через одиничну ділянку в напрямку розповсюдження хвилі:

 або  

    3) довжина звукової хвилі

    4) швидкість звукової хвилі

    б) Суб’єктивні характеристики звуку  це висота тону, гучність, тембр.

    1) Висота тону – це суб’єктивна характеристика (оцінка) частоти звуку. Чим більша частота, тим вище тон сприйняття звуку.

    2) Гучність – є суб’єктивною оцінкою інтенсивності (сили) звуку. Сприйняття інтенсивності залежить від частоти і амплітуди звуку, а також від природи середовища.

    Досліди показують, що для кожної частоти в області чутних звуків (20 - 20·10³ Гц) має φ так званий поріг чутності. Це мінімальна інтенсивність, менше якої вухо не реагує на звук.

    Гучність прийнято знаходити як lg відношення інтенсивності звуку   деякої інтенсивності, прийнятої за вихідну:

   I0 – нульовий рівень гучності

    Одиниця гучності L називається белом. Звичайно на практиці гучність звуку  виражається в децибелах (дб) – називається фоном.

                                                  (5-19)

 3) Тембр – суб’єктивна оцінка спектрального складу звуку. Найбільш простим звуком є чистий тон (звук) – це слухове відчуття, отримане від простого гармонічного коливання.

   Більш складні звуки являють собою суміш тонів, результатом суперпозиції чистих звуків з частотами υ, 2υ, 3υ

   Висота звуку визначається основною частотою υ.

   Гармоніки з частотою 2υ, 3υ створюють тембр звуку.

Основні кінематичні характеристики

   |вітряк

Поширення коливань в однорідному середовищі

а) Модель однорідного середовища.

Рис. 5.20.

Ті чи інші тіла властиві тою  чи іншою мірою пружності. Це призводить до того, що тіла починають коливатися рівноважного положення. Аналогічні процеси проходять в реальних умовах. Якщо в такому середовищі спричинить коливання однієї точки, то в реальних умовах взаємодія призводить в коливальні рухи сусідні частинки.

Процес поширення коливань частинок в пружному середовищі називається хвильовим процесом або просто хвиля.

Границя, що розрізняє частинки від частинок середовища, які ще не коливаються, називаються фронтом хвилі.

В однорідному і ізотропному середовищі напрям поширення хвилі перпендикулярно її фронту. Якщо фронт хвилі являється площиною, то хвиля називається плоскою, фронт – сферичний, поверхня – сферична. Частинки середовища, захвачено хвильовим процесом, коливаються як маятники, с однаковою частотою навколо свого середнього положення, тобто хвиля не переносить частинки середовища в напрямі свого поширення.

В залежності від напрямки поширення коливань відносно напрямку руху хвилі розрізняють два види хвиль: поперечні і поздовжні. В Поздовжній хвилі частинки коливаються вздовж напрямку хвилі, в поперечній – перпендикулярно до напрямку поширення хвилі.

Довжина хвилі вимірюється тією величиною, на яку переміщається хвильовий процес.

  

– дисперсійне рівняння

Швидкість поширення хвилі.

З моделі однорідного середовища видно, що швидкість поширення коливань маятника залежить від жорсткості пружини і маси маятника. Швидкість хвильового процесу тим вища, чим вища пружність середовища (Е – модуль Юнга). В реальному середовищі швидкість залежить від виду хвилі.

Залежність υ хвилі від маси коливальної частинки  швидкість хвильового процесу залежить від густини середовища: із збільшенням густини швидкість зменшується

В поздовжніх хвилях зміщення частинок призводить до додаткових деформацій зсуву N.

Для рідин і газів N = 0, то поперечні хвилі в одному середовищі поширюватись не можуть.

В твердих тілах поширюються як поперечні так і поздовжні хвилі.

Так  як  , швидкість поздовжньої хвилі більша, ніж швидкість поперечної. 

Рівняння площини бігучої хвилі.

Записати рівняння хвилі – це значить записати для кожної точки середовища закон зміни зміщення як функцію часу. В загальному виді: . Зупинимося на конкретному випадку плоскої синусоїдальної хвилі, в якої зміщення: . В однорідному середовищі (мотузка, струна) хвильовий процес також описує .

Візьмемо мотузку і зовні вплинемо на неї, змусимо точку О коливатись вздовж тієї , що або перпендикулярно осі X, або паралельно їй за законом    

По мотузці пошириться хвиля.

Через деякий час , хвильовий процес досягне точки з координатою X і втягне її в коливальні рухи.

Очевидно, що в даний момент часу t точка X буде мати таке ж зміщення і такий напрямок руху, які мала точка О в попередній момент часу:

Тому закони коливання в точці X

– синусоїда.

Для поперечних хвиль цей графік визначає і дійсне положення частинок в просторі в даний момент часу t0.

Відбувається неперервні рухи синуса:

Рис. 5.21.

Зв’язок з типом деформації. Для поперечної хвилі графік показує наскільки і в яку сторону  змістилась кожна частинка від свого положення рівноваги.

    – хвильове число, показує скільки  довжин хвиль поміщається на відрізку  довжиною
м.

 

Миттєвий розподіл зміщення, швидкості прискорення і деформації в поширеній хвилі.

Миттєвий розподіл зміщення:

Швидкість частинки, що має координату X=const:

 X=const

Прискорення:

Миттєве прискорення має найбільше значення для точок зміщення яких в даний момент найбільше.

Миттєвий розподіл деформації :

 t=const

Енергія пружної хвилі.

В середовищі, де поширюється плоска поздовжня хвиля умовно позначимо елементарний об’єм  настільки малий (≥≥ менше довжини хвилі), щоб швидкості і деформації були постійними

– відносна деформація.

Виділимо об’єм що має кінетичну енергію:

Виділимо об’єм що має потенціальну енергію

Повна енергія:

Миттєва густина енергії:

– середня густина енергії пропорційна густині середовища, квадрату амплітуди і квадрату частоти.

Хвиля не переносить частинки середовища в напрямку свого руху. Тобто при поширені хвилі середовище отримує додатковий запас енергії,  хвиля переносить енергію від джерела коливання на все більші проміжки середовища, але не переносить частинки середовища.

Кількість енергії, що переносить хвиля за одиницю часу (1с) через площу в 1м2 розміщено перпендикулярно до напрямку поширення хвилі називається густиною потоку енергії або інтенсивністю хвилі.

Інтенсивність хвилі:

Хвиля в результаті свого проходження через площу S=1m2/1c така кількість енергії що має паралелограм

Рис. 5.22.

Розглянемо  швидкість хвилі як вектор, напрям якого співпадає з напрямом поширення хвилі, надамо густині потоку векторну величину:

 

Вектор густини потоку енергії був введений російським фізиком Умовим (1874) і називається вектор Умова. Н.А. ( видатний російський фізик, дослідник вчення про рух енергії).

 

|   Інтерференція механічних хвиль

Сферичні хвилі. Хвильове рівняння

Поверхня, що сполучає в даний момент точки хвилі, що коливається в одній фазі, називається хвильовою поверхнею.

Хвилі, які ми раніше розглядали, хвильова поверхня яких є площиною – плоскі хвилі – фронт хвилі і хвильова поверхня площини.

Якщо середовище, в якому розповсюджуються хвилі, не обмежене, то хвилі від джерела можуть розповсюджуватися у всі сторони.

Приклад: джерелом коливання в ізотропному однорідному середовищі служить пульсуюча кулька малих розмірів. В даному випадку хвильова поверхня – сфера, центр якої розташований в точці виникнення коливань. Радіус цієї сфери рівний відрізку, на який розповсюджуються коливання за t, тобто R= vt. Фронт хвилі – теж сферична поверхня. Такі хвилі називаються сферичними.

~ — амплітуда хвильового процесу обернено пропорційна відстані від центру хвиль.

Дослід: Ванна з водою і кулька на пружині.

Розповсюджуючись, хвилі приводять в коливальний рух все більше число частинок середовища. Оскільки енергія коливальних рухів, яка повідомляється частинкам середовища від джерела, середовища джерелом хвиль, розподіленим між все великим їх числом, амплітуда сферичних хвиль убуває обернено пропорційно до відстані від центру їх виникнення.

Тому рівняння сферичної хвилі матиме вигляд:

ξ

Рівняння плоскої хвилі:

ξ

Закон розподілу в хвилі деформацій або миттєвий розподіл деформації в хвилі:

 ξ                  (5-20)

Закон зміни з часом прискорення частинок:

              (5-21)

Продиференціюємо по  миттєву деформацію:

і порівняємо з (5.21):

є диференціальним рівнянням хвильового руху і називається хвильовим рівнянням.

Рішенням його є рівняння, що описують плоскі гармонійні хвилі, що біжать.

Часто в середовищі розповсюджується одночасно декілька хвиль.

Приклад: сферичні хвилі, що виникли від кинутого в ставок каменя. Картина кругового розповсюдження не спотворюється присутністю інших хвиль. При розповсюдженні в середовищі декількох систем хвиль кожна з них розповсюджується так, як ніби інші хвилі відсутні.

Принцип суперпозиції. Когерентні хвилі

Властивість незалежного поширення одиночного хвильового процесу називається принципом суперпозиції.

Слідством цього принципу є те, що зсув частинки середовища у будь-який момент часу рівний геометричній сумі зсувів, яке одержує частинка, беручи участь в кожному з складових процесів.

Явище накладення двох або більше хвиль, що приводить до стаціонарного посилення коливань середовища в одних точках простору і ослабленню в інших, тобто явище, при якому відбувається перерозподіл енергії коливань в просторі, називається інтерференцією хвиль.

Інтерференція хвиль спостерігається при накладенні таких хвиль, які мають:

  •  однакову частоту;
  •  постійну в часі різницю фаз в кожній точці простору;
  •  створюють коливання уздовж однієї прямої.

Хвилі, що задовольняють цим трьом умовам і джерела, що створюють їх, називаються когерентними.

Інтерференція механічних хвиль. Умова максимуму і мінімуму

Хай в середовищі розповсюджується дві плоскі хвилі, що мають частоту . Візьмемо на плоских джерелах т.О1 і т.О2 і проведемо з них два промені. Уздовж проміння розповсюджуються хвилі, в яких зсув змінюється згідно із законом:

Рис. 5.23.

У точці В складаються коливання

Початкові фази:

;

Складання дає результат коливання:

, де

, де  = різниці найкоротших відстаней, що проходять хвилями від джерел коливання до даної точки середовища, називається різницею ходу хвиль.

Амплітуда результуючих коливань залежить від різниці фаз між хвилями, що інтерферують:

або від різниці ходу хвиль, що інтерферують.

Результуюча амплітуда досягає максимуму при зрушенні фаз:

, де n=0,1,2,…, тобто, тобто при парному числі напівхвиль або при цілому числі хвиль.

Мінімум результуючої амплітуди, тобто мінімум інтерференційної картини спостерігається при:

, тобто при різниці ходу:

,

тобто у разі непарного числа напівхвиль.

Принцип Гюйгенса

У 1960 р. Гюйгенсом (голландським фізиком) був запропонований метод побудови фронту хвилі у момент часу t+∆t, якщо відоме його положення у момент часу t і швидкість розповсюдження хвиль в даному середовищі.

На основі досвідчених фактів Гюйгенс дійшов висновку, що кожна точка фронту хвилі є самостійним джерелом сферичних вторинних хвиль, огинання яких дає нове положення фронту хвилі.

Рис. 5.24.

Принцип Гюйгенса дозволяє легко    одержати відомі з досліду закони віддзеркалення і заломлення.

Френель (французький учений) пояснив, чому немає хвилі у зворотному напрямі (явище принципу Гюйгенса-Френеля інтерференції).

Стоячі хвилі

Особливий випадок інтерференції представляє результат складання двох зустрічних хвиль з однаковою частотою і амплітудою. Такі хвилі, що виникають як результат складання двох зустрічних хвиль з однаковою амплітудою і частотою, називаються стоячими хвилями.

Припустимо, що падаюча і відображена плоскі хвилі розповсюджуються в середовищі без згасання, володіючи однаковою амплітудою А0. Хай х співпадає з одним з променів. Початок координат помістимо в точці, в якій обидві хвилі мають одну фазу =0.

Тоді рівняння падаючої хвилі:

.

Результуючий зсув:

Це і є рівняння стоячої хвилі. З цього рівняння виходить, якщо ми зафіксуємо деяку точку з координатами х1, то для частинки, що знаходиться в цій точці, рівняння гармонійних коливань матиме амплітуду, що змінюється згідно із законом:

У точках, де , амплітуда результуючого коливання у будь-який момент часу рівна 0. Такі точки називаються вузлами. У ці точки падаюча і відображена хвилі приходять в протифазах.

У точках, де , амплітуда результуючого коливання має максимум, рівний подвоєній амплітуді зсуву складових хвиль. Ці точки називаються пучностями.

У пучності падаюча та відображена хвилі приходять в одній фазі.

Положення вузлів визначається умовою:

де n=0,1,2,…

Звідки координати вузлових крапок:

.

Відстань між двома сусідніми вузлами рівна:

      .

Звідки:

Відстань між двома сусідніми пучностями рівна так само .

Відстань між сусідніми вузлом і пучністю:

Рис. 5.25.

Графік носить умовний характер, на ньому показано, в яких межах коливаються різні точки середовища, в якій утворилася стояча хвиля.

Стояча хвиля зсувів супроводжується утворенням стоячих хвиль швидкостей і деформацій. Найбільшого значення деформація досягає у вузлах зсуву і перетворюється в 0 в пучностях.

Рис. 5.26.

У стоячій хвилі, на відміну від тієї, що біжить не відбувається зміни повної енергії, оскільки падаючі і відображені хвилі однакової амплітуди несуть однакову енергію в протилежних напрямах. Тому повна енергія результуючої стоячої хвилі залишається постійною. Відбувається лише перехід енергії з потенційної в кінетичну і навпаки.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 

ds

dx

ω


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25057. Народная культура 44.5 KB
  Попкультура совокупность произведений различных видов искусства музыки живописи скульптуры прикладного искусства и т. Попкультура ныне включает в себя музыку кинематограф и мультипликацию литературу средства массовой информации включая комиксы и Интернет моду кулинарию рекламу спорт туризм дизайн и множество других элементов. Культура приобретает приставку поп в случае если она превращается в нечто большее чем просто игру разума или творческое рефлексирование некое произведение должно стать широко популярным в обществе....
25058. Мистецтво. Поп-культура 31.5 KB
  Будучи складовою духовної культури мистецтво дає можливості людини виявити художньотворчі здібності утвердитися на рівні самодостатнього суб’єкта. Мистецтво включає в себе всі види художньої творчості – літературу архітектуру скульптуру живопис графіку декоративно прикладне мистецтво музику танок театр кіно та інші види людської діяльності.
25059. Культурологія. Основні завдання культурології 34.5 KB
  Тому важливим завданням теорії культури є пізнання сутності культури і виявлення законів та механізмів функціонування конкретних форм і сторін культури. аналіз культури як системи культурних феноменів; 2. виявлення ментального змісту культури; 3.
25060. Функции искусства 34 KB
  социальная функция проявляется в том что искусство оказывает идейное воздействие на общество преобразуя тем самым социальную реальность; компенсаторная функции позволяет восстановить душевное равновесие решить психологические проблемы убежать на время из серой повседневности компенсировать недостаток красоты и гармонии в каждодневной жизни; прогностическая функция отражает способность искусства строить прогнозы и предугадывать будущее; познавательная функция позволяет познавать действительность и анализировать ее при помощи...
25061. Культура - це багатогранна проблема історичного розвитку 33 KB
  Уже в цьому змісті терміна мова виразила важливу особливість єдність культури людини її діяльності. Світ культури будьякий його предмет чи явище сприймаються не як наслідок природних сил а як результат зусиль самих людей спрямованих на удосконалення обробіток перетворення того що дано безпосередньо природою. Відомо багато визначень культури. Виділяють дві форми культури: матеріальну і духовну а в рамках духовної культури політичну наукову естетичну професійну та інші форми.
25063. Мистецтво 42.5 KB
  Розвиток мистецтва як елемента духовної культури обумовлюється як загальними закономірностями буття людини й людства так і естетичнохудожніми закономірностями естетичнохудожніми поглядами ідеалами й традиціями. Таким чином критерієм мистецтва є здатність викликати відгук у інших людей. Твори мистецтва почали створювати ще в доісторичні часи проте деякі автори схильні вважати мистецтвом тільки професійну діяльність людей мистецтва в сучасних країнах Заходу. Література про власне концепції мистецтва надзвичайно обширна.
25064. Спілкування як комунікація. 37 KB
  Суб'єктами спілкування можуть бути як індивід так і група. Ціль спілкування це те ради чого у людини виникає даний вид активності. Цілі спілкування є засобом задоволення багатьох різноманітних потреб: соціальних культурних пізнавальних творчих естетичних потреб інтелектуального зростання етичного розвитку і ряду інших.
25065. Що таке моральність 39.5 KB
  Вони насамперед виражені в поняттях добра і зла. Відповідність людських дій і вчинків категоріям добра і зла становить основу моральних відносин у суспільстві. Систему усвідомлених норм традицій правил поведінки почуттів та уявлень що віддзеркалюютіп:я через розуміння добра і зла які є наслідком усього суспільноісторичного досвіду людства ми й називаємо моральною культурою суспільства. Вона витворюється непомітно але завжди реалізується самим людським життям мірою в ньому добра і зла.