47924

Неінерціальні системи відліку. Елементи СТВ Ейнштейна

Конспект

Физика

Змістовий модуль Неінерціальні системи відліку. Теоретичне ядро Рух в неінерціальних системах відліку. Неінерціальні системи відліку та їх класифікація. Системи відліку які рухаються рівномірно та прямолінійно відносно інерціальної системи називаються інерціальними.

Украинкский

2013-12-04

839 KB

32 чел.

VІІ. Змістовий модуль 6

Неінерціальні системи відліку . Елементи СТВ Ейнштейна.

Теоретичне ядро

Рух в неінерціальних системах відліку.

Неінерціальні системи відліку та їх класифікація.

Системи відліку, які рухаються рівномірно та прямолінійно відносно інерціальної системи, називаються інерціальними. Неінерціальними називаються системи відліку, які рухаються з прискоренням відносно інерціальної системи.

Розрізняють 2 типи НІСВ:

а) НІСВ, яка рухається поступального відносно ІСВ з постійним або змінним прискоренням;

б) НІСВ, яка обертається з постійною або змінною кутовою швидкістю відносно вибраної осі.

В ІСВ виконуються закони Ньютона.

Неінерціальними вважаються СВ, в яких не виконуються закони Ньютона:

а) І закон – в НІСВ тіло, на яке не діє інша сила не зберігає свій стан спокою або прямолінійного рівномірного руху.

б) ІІ закон – тіло може мати прискорення без дії на нього з боку інших тіл.

в) ІІІ закон – тіло, перебуваючи під дією деякої сили, не чинить протидії, так як немає тіла, до якого прикладена ця протидія.

2. Рух в НІСВ, що переміщується з постійним прискоренням.

Розглянемо рух кулі у вагоні, з яким пов’язана СВ – К', що переміщається  поступально з прискоренням . Проведемо дослідження в таких випадках:

Рис. 6.1.

а) вагон знаходиться в стані спокою або рухається з постійною швидкістю

m = : спостерігач, що знаходиться в К і К'  пояснює спокій кульки однаковим чином:

 i = 0

б) вагон рухається з прискоренням: спостерігач, що знаходиться в К і К' пояснює рух кулі по-різному: причини для зміни руху кулі немає – в нерухомій СВ – К. 

в) в рухомій СВ К' – куля рухається з прискоренням  а'.

Крім того прискорення тіл в рухомій СВ не залежить від маси тіла, воно однакове для всіх тіл. Система відліку К' рухається з прискоренням, взятому з протилежним знаком:

а' – прискорення, виміряне в К';

а - прискорення, виміряне в К' відносно ІСВ К.

Прискорений рух тіла (кулі) в К' можна пояснити як результат дії на кулю сили, що називається силою інерції; яку згідно ІІ закону Ньютона можна виразити:

Так як , то  –  

Сили інерції та їх властивості.

Сили, що не викликаються безпосередньо взаємодією тіла одне з одним, а є результатом прискореного руху самої системи відліку, називаються силами інерції. Вони здатні проявляти динамічну та статичну дію (подібно звичайним силам Ньютона).

Отже, в системі відліку, що рухається з прискоренням на всі тіла діє сила інерції, що рівна добутку маси тіла на прискорення системи відліку, взятому з протилежним напрямом.

                                         (6-1)

Особливості сил інерції, їх природа.

1) Вперше пояснення природи сил інерції було дано в ЗТВ Ейнштейна, де вважається, що походження сил інерції може бути пояснене взаємодією не окремих матеріальних тіл, а взаємодією даного тіла з сукупністю всіх тіл Всесвіту.

2) Сили інерції пропорційні масі тіла, на яке діє ця сила і це родича її з силою тяжіння, тому вона, як і сила тяжіння, відноситься до категорії масових сил, які діють на кожний елемент тіла.                           т = m

3)  Хоча сили інерції і не мають безпосереднього матеріального джерела, вони цілком реальні. Вони проявляються як в динамічних, так і статичних ефектах.

Сили інерції, як і звичайні сили Ньютона, можуть викликати деформацію тіл, відхилення рухомих тіл від вертикалі. Вони виконують все те, що виконують звичайні сили.

Рис. 6.2.

Динамічне рівняння руху в НІСВ.

Рівняння руху в НІСВ мають такий самий вигляд, як і в ІСВ, тільки в суму діючих на тіло сил входять поряд з силами Ньютона і сили інерції:

m =∑ Ньютон + ін

Динамічне рівняння руху в НІСВ, що рухається поступально з деяким прискорення, має вигляд:

m = ∑Ньютон – m

Слід відзначити, що закони збереження не виконуються в НІСВ.

В Ньютоновій механіці закон збереження імпульсу і енергії системи матеріальних точок справедливий для замкнутих систем.

В НІСВ цей закон не виконується, тому що не існує того тіла, що породжує силу інерції, яке треба ввести в замкнуту систему.

 

Обертальна неінерціальна СВ

Рис. 6.3.

Нехай НІСВ обертається в постійною кутовою швидкістю. У випадку постійного руху  НІСВ проявляється 2 типа сил інерції;

а) Відцентрові сили, що визначається тільки положенням тіла в системі відліку і не залежать від швидкості тіла в цій системі;

б) коріолісові сили, які залежать від швидкості тіла і не залежать від його положення в системі відліку.    

Рис. 6.4.

На тіло, що знаходиться в стані спокою в системі відліку, що обертається діє тільки відцентрова сила, а на тіло, що рухається – і відцентрова, і коріолісова сили інерції.

а) Відцентрова сила інерції

Розглянемо рівномірне обертання тіла,

що прикріплене до пружини з закріпленим кінцем.

Для спостерігача, що знаходиться в нерухомій системі відліку К тіло, пов’язане з пружиною, рухається по колу, так як на нього діє сила, перпендикулярна   і направлена до центру.

Цією силою є сила пружності , яка викликає доцентрове прискорення:

       пр = mп

  a п = υ2/r = ω2r , то Fпр = m ω2r

Для спостерігача в системі відліку К система знаходиться в спокої. Розтяг пружини пояснюється тим, що на тіло почала діяти дяка сила, яка прагне видалити її від центру. Сила, що з’явилася в К не має безпосереднього джерела належність до сил інерції, обумовленим прискореним рухом самої системи відліку. Стан спокою, що встановився  в К пояснюється тим, що сила пружності врівноважує сили інерції:

ін = –пр

пр = m ω2

ін = – m ω2

Сила інерції, направлена по радіусу від центра системи, що обертається. Тому і називається відцентровою силою інерції.

доц = – mп = m

Відцентрова сила пропорційна масі тіла, квадрату кутової швидкості, обертаючому систему відліку і відстані від точки до осі обертання.

б) Сила інерції Коріоліса

Розглянемо дослід з диском, який може обертатися навколо вертикальної осі.

а) диск не обертається

Рис. 6.5.

Якщо зробити так, щоб диск обертався рівномірно, то рух кульки буде сприйматися по різному :

для К – кулька рухається прямолінійно і рівномірно, через відсутність тертя не з’являються причини для зміни швидкості;

для К' – рух кульки криволінійний з відносною швидкістю, що збільшується. Але рух по криволінійній траєкторії пояснюється тим, що діюча на тіло сила  має складову, направлену нормально до вектора швидкості, тобто  на кульку діє сила, перпендикулярна до її швидкості, не викликає взаємодії її з яким-небудь іншим тілом. Ця сила називається силою інерції Коріоліса. (Гаспар Коріоліс – французький фізик, відкрив цей тип сил інерції).

Визначимо, від яких величин залежить сила Коріоліса.

Сила Коріоліса викликає прискорення тіла, яке називається додатковим прискоренням або прискоренням Коріоліса. Визначимо це прискорення, з’ясуємо його природу і залежність від кінематичних параметрів.

Розглянемо наступну задачу: Нехай матеріальна точка рухається рівномірно по осі ОХ, яка одночасно обертається рівномірно навколо нерухомої осі z. Швидкість точки в нерухомій системі відліку К має 2 складові: швидкість обертального руху СВК і відносна швидкість, що паралельна радіусу, швидкість, що направлена від осі ОХ.

Рис. 6.6.

Тоді за елементарний проміжок часу dt обидві складові швидкості отримають по 2 приросту:

  1.  = υd = Rd

= dR; dR = υdt

  1.   = υdt
  2.  = υd
  3.  

Тоді:

= dυ/dt =  + + '+'

a = υdt/dt = R d/dt = 2R = an

a = dυ/dt = υdt/dt = υ

a= υ d/dt = υ

a = dυ/dt = a відносне прискорення тіла.

a + a = aкор

aкор = υ + υ = 2υ

Векторна форма запису рівняння Коріоліса має вигляд:

= 2[]                                     (7-3)

Коріолісове прискорення визначається подвійним  векторним добутком кутової швидкості обертального руху НІСВ і відносно швидкості руху в НІСВ. Введення сил інерції дозволяє скоротити ІІІ закон Ньютона  і надати рівнянню руху форму, як у  ІСВ.

Коріолісова сила як і Коріолісове прискорення обумовлена сумісним взаємовпливом обертального руху НІСВ і відносного руху матеріальної точки. Напрям вектора коріолісового прискорення знаходиться за правилом векторного добутку

Так як

                                      (7-4)

=>

Рівняння руху в системі відліку, що обертається.

                     (7-5)

Для складових рівняння руху в НІСВ , що рівномірно обертається необхідно враховувати не тільки Ньютонівські, але і всі сили інерції (доцентрові і Коріолісові).

                                        Всесвітнє тяжіння

 

Рух планет. Закони Кеплера.

На початку XVII ст. нім. вчений Іоанн Кеплер після 20-літнього опрацювання даних спостереження датського вченого астронома Тихо Браге за рухом планет встановив закони їх руху, Які лежали в основі небесної механіки:

I-й закон: Планети обертаються навколо Сонця по плоским кривим еліпсам, в одному із фокусів яких знаходиться Сонце.

II-й закон: Радіус вектор, який проведений від Сонця до планети, за однаковий проміжок часу описує рівні площі. (Закон площ).

III-й закон: Квадрати часу обертання планет навколо Сонця відносяться, як куби великих півосей їх орбіт.

Вивід закону всесвітнього тяжіння.

Відкриття законів Кеплера: кінематичних законів небесної механіки, поставило певну механічну задачу: найти силу, під дією якої здійснюється рух планет.

І.Ньютон, маючи геніальну інтуїцію, зміг відкрити Загальний закон всесвітнього тяжіння. Він показав, що закони Кеплера та основні закони динаміки дозволяють зробити висновок про існування сили тяжіння планет до Сонця, яка прямо пропорційна масам планет, і обернено пропорційна квадрату їх відстані від Сонця.

Щоб  спростити міркування, уявимо, що планети рухаються по круговим орбітам(це припущення близьке до істини).

Дійсно по третьому закону Кеплера:

Так як планети рухаються по кругових орбітах, то:

,    ,    ,      тоді

,   ,  ,   ,

,  ,  ,    ,

Сила, яка діє на планету зі сторони Сонця, обернено пропорційна квадрату відстані планети від Сонця і прямо пропорційне її масі.

 k – коефіцієнт пропорційності вісі маси системи.

Відповідно III закону Ньютона: Fпс = –Fсп

 

Об’єднуючі ці дві формули, отримуємо закон, якому підкоряється гравітаційна взаємодія (всесвітнє тяжіння), вперше відкритий та сформульований геніальним англ. вченим І.Ньютоном в 1687р. в «Математичних початках натуральної філософії».   

Закон тяжіння Ньютона. Постійна тяжіння.

Ньютон вперше відкрив фактичне існування у природі гравітаційних взаємодій. Всім тілам в природі властиво притягуватися один до одного. Сила взаємодії 2-х матеріальних точок прямо пропорційно добутку мас взаємодіючих точок  і обернено пропорційно квадрату відстані між ними:

– коефіцієнт пропорційності, який називається гравітаційною постійною.

Сила тяжіння відноситься до фундаментальних взаємодій.

В законі всесвітнього тяжіння Ньютона був  узагальнений ряд часткових експериментальних факторів (порівняння величини прискорення, особливості руху планет).

Перевірку закону,  Ньютон провів дослідження руху комет, рух супутників планет Юпітера і Сатурна.

Багаторазові перевірки в земельних умовах показали, що він справедливий для всіх випадків взаємодії тіл, що взаємне притягання тіл – універсальна властивість і прояв в усьому, що нас оточує у світі.

Закони всесвітнього тяжіння встановлені для тіл, прийняті за мат. точки.

Гравітаційна постійна та її вимірювання

[] ===

m=m2 = 1кг;  r = 1м;;

Гравітаційна постійна чисельно дорівнює силі, з якою 2 тіла одиничної маси притягуються, розташовані на відстані 1м один від одного.

Чисельне значення  вперше винайдено англійським вченим Кавендишем (1798р).

Важкість такого досвіду полягала у тому, що сили, діючі між тілами у будь-якому експерименті дуже малі. Першу думку висловив Ньютон:

              ;

Рис. 6.7.

Дослід Кавендиша з обертовими вагами.

= 6,67*10-11  2/кг;

Постійна тяжіння відноситься до світових фундаментальних констант. Вона характеризує, з кількісного боку, фундаментальну властивість матерії – гравітацію.

Поле тяжіння та його характеристика.

Сили тяжіння відносяться до фундаментальних гравітаційних взаємодій. На питання про походження сил тяжіння, фізика поки ще не може відповісти. Але незважаючи на це:

а) Закон всесвітнього тяжіння має  велику сферу застосування: він справедливий для тіл, які знаходяться в спокої, або повільно рухаються.

б) Закон всесвітнього тяжіння вказує лише, від чого залежить сила взаємного притягання тіл, а не пояснює механізм передачі дії на відстані через вакуум.

Згідно сучасному світосприйняттю, будь-яка взаємодія тіл, у тому числі і гравітаційна, на відстані, здійснюється через  особливий матеріальний посередник – силове поле, яке називається гравітаційним полем або полем тяжіння.

Для кількісної характеристики гравітаційного поля в кожній його точці вводиться фізична величина – напруженість гравітаційного поля. Вона вимірює силу з якою поле тяжіння діє на пробне тіло одиничної маси, яка знаходиться  в данні точці поля.

Рис. 6.8.

         ;        

;          ;           ;

Вектор напруженості направлений до центру, в котрому покладений токовий заряд поля. Таке поле називається центральним.

                        ;

Потенціал гравітаційного поля. Потенційна енергія взаємодії.

 А – робота сил тяжіння здійснююча при переміщенні мат. точки з масою m1  із даної точки поля в нескінченність чи
А=П= – потенціальна енергія гравітаційної взаємодії 2 мат. точок при

Крім векторної характеристики поля – напруженості, виділяють силову дію поля. Вводиться скалярна характеристика поля, зв’язана з роботою сил поля. Ця енергетична характеристика називається потенціалом даної точки поля.

Нехай пробне тіло масою m переміщується по довільній траєкторії між т.1 і 2 в поле тяжіння:

Рис. 6.9.

;

при

,                         ,

,   .

Гравітаційна та інертна маса.

;  ;

;

           =1;         .

Досліди Етвеша (французький вчений).

Ньютон до 10-3, Етвеш (1899) до 10-8, Дікке (1964) до 10-11, Барвінський та Попов (1971) до 10-12 кг.

Рівняння тяжіння та інертної маси вказує, що матерія володіє не тільки гравітаційними, а й інертними властивостями, які нерозділені один від одного.

Принцип еквівалентності Ейнштейна.

Всі тіла незалежно від маси і хімічного складу, отримують в даному гравітаційному полі однакові прискорення. Тому вони рухаються зовсім однаково, якщо тільки однакові початкові умови. Таку ж властивість має тіло, яке вільно рухається, якщо їх рух приймати відносно довільної неінерційної системи, тобто вказує, які властивості має інерційна сила.

Аналогом  між силами тяжіння і силами інерції є відправною точкою при побудові загальної теорії відносності (ЗТВ) Ейнштейна, або релятивістської теорії гравітації Ейнштейна.

Еквівалентність неінерційної системи відліку гравітаційного поля називають принципом еквівалентності Ейнштейна.

                                                                                                  

                                                          

Створений на початку 20 року ХХ ст.

Космічні швидкості.

I  космічна швидкість – мінімальна швидкість, котру необхідно надати тілу, щоб вивести його на орбіту навколо Землі.

, т.я  υmin , то h=0 – нульова орбіта.

      

II космічна швидкість – мінімальна швидкість, яка надається тілу, щоб воно могло, долаючи силу тяжіння Землі, покинути Землю (вийти за його межі).

E=K+П=

, то П=0, К=0, Е=0

=       ;

III космічна швидкість – початкова швидкість, яка надається тілу, щоб воно могло відійти за межі Сонячної системи.

Принцип еквівалентності ЗТВ Ейнштейна.

Для системи відліку, яка поступально та прискорено рухається:

Як  відмічалось в експериментальному курсі фізики усі тіла, незалежно від їх мас та хімічного складу, отримують у даному гравітаційному полі однакові прискорення (g=const). Якщо однакові початкові умови, то вони рухаються однаково.

Ту же властивість мають тіла, яке вільно рухаються, якщо їх рух роздивлятися відносно якої-небудь НІСВ, тобто вказану властивість мають також сили інерції.

Як відмічалося в експериментальному курсі фізики всі тіла, незалежно від їх мас і хімічного складу, отримують в даному гравітаційному полі однакові прискорення (g=const). Якщо однакові початкові умови, то вони рухаються однаково.

Таку ж властивість мають вільно рухаючи тіла, якщо їх рух роздивляються відносно будь-якої НІСВ, тобто вказаною властивістю володіють також сили інерції. Ця аналогія між силами тяжіння і силами інерціями є відправною точкою при будуванні СТВ чи релятивістській теорії гравітації Ейнштейна. Відповідно до цього принципу:

Всі фізичні явища(у тому числі і механічні, в гравітаційному полі відбуваються  за таким принципом, як і в відповідному силовому полі сил інерції, якщо, силова характеристика напруженості обох полів у відповідних точках простору співпадають, а початкові умови однакові для всіх тіл замкнутої системи).

Рис. 6.11.

Приклад.

Нехай ліфт нерухомо висить на дроті чи рух рівномірний відносно Землі. Всі тіла в ліфті піддаються дії земного тяжіння. Всі тіла, вільно падають відносно ліфту з g=const.

Основи  релятивістської механіки

 

Релятивістською називають механіку, що описує рух тіл із великими швидкостями, тобто швидкостями, порівнянними зі швидкістю поширення світла у вакуумі.

Експериментальні основи релятивістської механіки

Якщо закони механіки однакові в інерціальних системах відліку, то чому б i всім іншим законам, наприклад законам електродинаміки, також не бути однаковими в інерціальних системах відліку? Напевне, було б навіть дивно, якби інші закони залежали від цілком випадкового вибору системи відліку.

Однак, як не дивно, це так. Наприклад, якщо для переходу від однієї системи до іншої використати перетворення Галілея, то рівняння Максвелла, що описують електромагнітні поля, набирають різного вигляду в різних інерціальних системах відліку. Цей висновок формулюється так: рівняння Максвелла не інваріантні відносно перетворень Галілея.

Неприємності з’являються i при cпpo6i застосувати правило додавання швидкостей до процесу поширення електромагнітних хвиль (світла). Згідно з цим правилом

Рис. 6.12. Залежність маси тіла від швидкості

,

а отже, швидкість світла мала б бути різною в різних системах відліку.

Однак найточніші досліди Майкельсона-Mopлi переконливо довели, що швидкість світла у вакуумі не  залежить від руху системи відліку i що вона однакова в ycиx інерціальних системах.

Наведемо деякі експериментальні факти.

Під час дослідження руху заряджених частинок у прискорювачах було виявлено, що при великих швидкостях руху частинки в однорідному полі прискорення зі збільшенням швидкості стає меншим (рис. 6.12).

Рис. 6.13.

Оскільки сила в однорідному полі стала, то зменшення прискорення тільки  за  рахунок  збільшення  iнертнoї  маси, бо

F = ma = const

Дослідним шляхом удалося знайти універсальну зaлeжнicть маси тіла від його швидкості, придатну для будь-яких тіл (рис. 6.13.):

,

де с – швидкість світла у вакуумі; υ – швидкість руху тіла; m – маса тіла, що рухається (маса руху); m0 – маса тіла, що покоїться (маса спокою).

Маса спокою – це маса тіла в системі відліку, відносно якої тіло знаходиться в стані спокою. Таку систему називають власною системою.

Таким чином у релятивістській динаміці: маса залежить від швидкості руху.

Залежність маси від швидкості — це перша «неприємність», яка з’являється в механіці під час руху тіла з великими швидкостями, але не остання.

Існування граничної швидкості

Взаємодія матеріальних частинок у механіці Ньютона описується через взаємну потенціальну енергію, яка залежить тільки від координат і не залежить від часу. При цьому припускається, що дія передається миттєво, тобто з нескінченно великою швидкістю.

Якби в якийсь момент часу Сонце розкололось на дві частини, то в той самий момент змінився б і рух Землі. Дослід показує, що коли з одним із тіл відбувається будь-яка зміна, то на іншому тілі це позначається не відразу, бо швидкість поширення взаємодії скінчена. Більш того, вона є максимально можливою швидкістю, перевищити яку матеріальні частинки не можуть, бо вони б долетіли раніше, ніж дійшла взаємодія.

У тих самих дослідах з прискорення заряджених частинок було виявлено, що не вдається збільшити їхню швидкість нескінченно.

Розглядаючи рис. 6.13., доходимо такого висновку: граничною швидкістю руху матеріальних частинок є швидкість світла у вакуумі.

З принципу відносності випливає, що швидкість поширення взаємодії однакова в усіх інерціальних системах відліку, тобто вона має бути універсальною константою.

Сповільнення часу в системі відліку, яка рухається.

Середній час життя π+-мезонів, що перебувають у спокої, дорівнює τ = 2,5·10-6 с. Вони часто породжуються космічними променями у верхніх шарах атмосфери. Якщо припустити, що мезони рухаються з максимально можливою швидкістю — швидкістю світла, с = 3·108 м/с, то максимальна відстань, яку вони можуть пролетіти за цей час, становитиме 750 м (s = сτ).

Але ж мезони виявляють поблизу поверхні Землі. Це означає, що вони пролетіли 20-30 км. Оскільки мезони не можуть мати швидкість, більшу за швидкість світла, то залишається припустити таке: у системі відліку, яка рухається, час тече повільніше, ніж у нерухомій системі.

Це припущення можна перевірити в прискорювачах, вимірявши довжину пробігу штучно народжених мезонів залежно від їхньої енергії або, що те саме, — від швидкості. Дослід підтверджує, що інтервал часу в різних системах відліку різний і виражається залежністю:

,

де  Δt і Δt' — інтервали часу в системах К і К'.

Отже, під час руху з великими швидкостями такі величини, як маса і тривалість часу будуть різними в різних інерціальних системах відліку, а також, що існує гранична швидкість передавання впливу і гранична швидкість руху.

Пояснити всі ці аномалії вдалося Альберту Ейнштейну – творцеві теорії відносності. Явища, що в них відбуваються, описує частинна, або спеціальна, теорія відносності. Для неінерціальних систем
А. Ейнштейн створив
загальну теорію відносності.

Постулати Ейнштейна

В основу частинної теорії відносності покладено два постулати, сформульовані А. Ейнштейном.

ПОСТУЛАТ 1.

Фізичні закони однакові в усіх інерціальних системах відліку.

ПОСТУЛАТ 2.

Швидкість світла у вакуумі не залежить від руху джерела і однакова в усіх інерціальних системах відліку.

Якщо другий постулат – експериментальний факт, то перший – результат філософського осмислення навколишнього світу. На його користь говорять механічні досліди при не дуже великих швидкостях руху тіл, а також відсутність аргументів на користь існування якихось виняткових, абсолютних систем відліку.

Перетворення Лоренца

Рис. 6.14.

Природно, що, прийнявши постулати Ейнштейна, потрібно відмовитися від перетворень Галілея. У випадку великих швидкостей виявилися придатними перетворення координат і часу, запропоновані Лоренцом.

Нехай інерціальна система К' (рис. 6.14) рухається зі сталою швидкістю  відносно інерціальної системи К вздовж суміщених осей х і х. Тоді перетворення Лоренца мають вигляд:

Проаналізуємо перетворення Лоренца.

1. При швидкостях руху тіла, набагато менших від швидкості світла, перетворення Лоренца мають переходити в перетворення Галілея. Справді, якщо  <<с, то

2. Перетворення Лоренца переходять у перетворення Галілея і за припущення, що с→∞. При обговоренні дослідів, які привели нас до висновку про існування граничної швидкості, ми висловили припущення про те, що ніякі впливи не можуть передаватися з нескінченно великою швидкістю. А в класичній механіці припускається, що швидкість впливу нескінченно велика, вплив передається миттєво. Таким чином, той граничний перехід, який ми розглядаємо, також приводить нас у класичну механіку.

3.Перетворення Лоренца потребують зміни правил додавання швидкостей. Нехай матеріальна точка рухається зі швидкістю и відносно системи К. Знайдемо її швидкість и' відносно системи К'.

У класичній механіці правило додавання швидкостей

и' = и–υ

дістаємо диференціюванням перетворень координат Галілея.

У релятивістському випадку формула додавання швидкостей виводиться трохи інакше. За визначенням швидкість матеріальної точки в системі К'

.

Але

Підставимо вирази для dх' та dt' у формулу швидкості и':

.

Звичайно  – швидкість тіла в системі К.

Тоді

.

Це і є релятивістський закон додавання швидкостей. Проаналізуємо здобуту формулу.

1. Формула переходить у класичну:

и′ = и - υ,

при υ<<с; и<<с або с→∞.

2. Ні при яких значеннях швидкостей, аж до граничних, відносна швидкість не може перевищити швидкості світла. Справді, нехай швидкості и і υ напрямлені назустріч одна одній. Тоді слід і в чисельнику і в знаменнику поставити знак «плюс». Для зручності обчислень поділимо обидві частини виразу на швидкість світла:

.

Візьмемо граничний випадок: u = с та υ = с, тобто матеріальна точка рухається відносно системи К зі швидкістю світла, а спостерігач рухається разом із системою К' назустріч їй також із швидкістю світла (рис. 6.15).

Рис. 6.15.

І що ж він бачить:

.

А він бачить, що точка рухається назустріч йому тільки зі швидкістю світла, а не з подвійною швидкістю світла, як це випливало з класичної формули додавання швидкостей.

Цього, звичайно, слід було чекати, бо перетворення Лоренца не тільки не суперечать постулатам Ейнштейна, але й можуть бути виведені за умови, що швидкість світла стала величина в усіх інерціальних системах відліку.

Релятивістське правило додавання швидкостей стверджує існування граничної швидкості.

Просторові і часові співвідношення

Відносність часових інтервалів

На відміну від перетворень Галілея в перетвореннях Лоренца просторові і часові характеристики виявляються взаємозв'язаними, і це приводить до досить дивних, на перший погляд, наслідків.

Відносність поняття одночасності

Якщо в системі К (рис. 6.16.) у точках А і В одночасно відбулись дві події, то в цій системі інтервал часу між подіями дорівнює нулю:

 Δt=tB – tA= 0.

Рис. 6.16.

Потрібно б попередньо домовитись, яким чином ми встановили, що події були одночасними в цих, можливо, далеких одна від, одної точках. Найпростіший спосіб — це скористатися сталістю швидкості світла. Встановимо приймач світла точно посередині між точками А і В. Якщо він зафіксує, що світловий сигнал із точки А прийшов одночасно із сигналом з точки В, то це й означатиме, що події в обох точках відбулися одночасно. Зрозуміло, що сигнали випускалися в моменти подій.

З точки зору спостерігача в системі К' подія в точці А відбулась у момент часу

,

а подія в точці В – в момент часу

Інтервал часу між подіями в системі К':

Відразу бачимо, що коли Δt = 0, то Δt' може й не дорівнювати нулю через другий член у квадратних дужках. Отже, події, одночасні в одній системі відліку, можуть бути не одночасними в іншій. Звідси випливає висновок: одночасність відносна.

Згідно з формулою можливі випадки, коли події, одночасні в одній системі, будуть фіксуватися як  одночасні і в іншій системі:

  •  хАВ – події відбуваються в тій самій точці,
  •  υ = 0 – системи відліку нерухомі одна відносно одної,
  •  с →∞ – сигнал поширюється з нескінченною швидкістю.

Відмінність інтервалів часу між подіями

Розглянемо тепер випадок, коли в системі К події відбуваються неодночасно. Наприклад, подія в точці В відбулася пізніше, ніж у точці А. Інтервал часу в системі К більший за нуль: Δt=tB – tA> 0. Інтервал часу в системі К'  ми щойно записували. Перепишемо його таким чином:

,

де  – час, потрібний для того, щоб світло з точки А дійшло до точки В.

Тепер бачимо, що знак Δt′ визначається різницею членів у квадратних дужках, точніше величиною другого члена, в який входить швидкість системи К' відносно системи К. Цілком можливі випадки, коли другий член буде більший, ніж перший, і тоді  Δt′ буде менше за нуль. Виходить, що в цій системі спостерігач зафіксує іншу послідовність подій, ніж спостерігач у першій системі.

Виникає якась дивна ситуація. В одній системі відліку відбулися дві події в цілком визначеній послідовності. Наприклад, подія в точці А відбулася раніше, ніж подія в точці В. А спостерігач в іншій системі відліку може зафіксувати або таку саму послідовність подій, або протилежну. Можлива й одночасність. Тут немає ніякої містики, бо будь-які спостереження пов'язані з передаванням сигналів зі швидкістю світла, а вона кінцева. Усі «дива», які дістаємо з перетворень Лоренца, легко пояснюються порівнянням часу поширення світла з однієї точки в іншу та інтервалу часу між подіями.

Якщо подія в точці В є наслідком події в точці А, то вона ніяк не може відбутися раніше, ніж інформація про «подію-причину» дійде до точки В, тобто не раніше, ніж через інтервал часу δtАВ. Тому Δt завжди більше за  і вираз  завжди більший за нуль. Висновок: причинно-наслідковий зв'язок не порушується.

Відносність часу

Покажемо тепер відносність самого поняття часу. Нехай у точці А, нерухомій відносно системи К', відбувається низка подій протягом часу t'=t'2 – t'1. За цей час точка А відносно системи К зміститься на відстань х2 – х1 = υt, бо вона рухається зі сталою швидкістю υ разом із системою відліку К'. Скористаємося формулою для зв’язку інтервалів часу:

Оскільки t2 – t1= t, то

Звідси випливає, що час у різних системах відліку перебігає по-різному. Час, який відлічується в рухомій системі відліку К, буде більшим, ніж у нерухомій, тобто у власній системі відліку К'.

Власний час завжди буде найменшим.

Цей ефект підтверджується розглянутими раніше дослідами з π+ -мезонами. Варто наголосити на оборотності часу. Якщо в обох системах відбуватимуться події однакової тривалості, то кожному спостерігачеві чужий процес уявлятиметься сповільненим.

Відносність довжини відрізків

Нехай довжина відрізка в системі К' дорівнює l' = х'2 – х'1. Визначаючи координати х2 і х1  в системі К, знайдемо довжину відрізка в цій системі:

l = х2 – х1.

Згідно з перетворенням Лоренцa

і тоді

Звичайно здобуту формулу записують так:

Отже, спостерігач, розташований у системі К, побачить відрізок меншої довжини, ніж спостерігач у системі К'.

Довжина відрізка найбільша у власній системі відліку.

Простір-час

Доходимо таких висновків:

– довжина інтервалів часу в різних інерціальних системах відліку різна:

Δt ≠Δt';

– довжина просторових інтервалів у різних інерціальних системах відліку також різна:

Δl ≠Δl';

Тепер згадаємо, що кількість інерціальних систем нескінченно велика і погодимося із сумним висновком про відносність просторових і часових характеристик. Звідси недалеко й до думки про відносність всього сущого або навіть до сумнівів щодо реальності навколишнього світу.

Але ж має бути щось, не змінюване з переходом від однієї випадково вибраної інерціальної системи відліку до іншої, так само випадково вибраної системи? Бо як же можуть фізичні закони бути одними й тими самими в різних системах відліку?

Підказка для пошуку таких незмінних (інваріантних) величин міститься в самих перетвореннях Лоренца, в яких «перемішані» просторові і часові характеристики.

Пошуки завершились успіхом, і на сцені з’явився просторово-часовий інтервал або просто інтервал Δs. Він складений із просторових і часових інтервалів:

Звичайно, це інтервал у системі відліку К. Інтервал у системі К':

Користуючись перетвореннями Лоренца, легко довести, що інтервал у будь-якій інерціальній системі відліку однаковий:

Δs =Δs' .

Просторово-часовий інтервал інваріантний відносно перетворень Лоренца.

Але зміст інваріантності інтервалу не вичерпується цим. Зміст набагато глибший. У цій формулі відображене зовсім нове розуміння таких фундаментальних понять, як простір і час.

Простір і час утворюють єдину форму існування матерії.

Не можна окремо розглядати простір і час. Про це образно сказав Мінковський: «Простір сам по собі і час сам по собі зануряться в ріку забуття, а залишиться жити їхній своєрідний союз».

Ґрунтуючись на понятті інтервалу, Мінковський запропонував доволі струнку геометричну інтерпретацію просторово-часових змін.

Квадрат модуля звичайного вектора в просторі трьох вимірів дорівнює сумі квадратів трьох його проекцій на осі координат:

За цією аналогією Мінковський запропонував вважати просторово-часовий інтервал також вектором, який має чотири проекції: три просторові – Δх, Δу, Δz і одну часову – Δt, де i – уявна одиниця .

Рис. 6.17.

Тоді

Тобто кожну подію, яка відбувається в даний момент часу в даній точці, слід зображати світовою точкою в чотиривимірному просторі. Така точка має три просторові координати й одну часову. Світова точка рухається в цьому чотиривимірному просторі по так званих світових лініях.

На рис.6, як приклад, зображено світові лінії для нерухомої матеріальної точки, для точки, що рухається зі сталою швидкістю, і для точки, що рухається зі сталим прискоренням.

Релятивістська динаміка.

З’ясуємо, як виглядають закони динаміки в релятивістській області.

Перший закон динаміки це закон інерції. Якщо в одній системі відліку тіло рухається зі сталою швидкістю, то воно має рухатися без прискорення і в іншій системі відліку. 

Згідно з правилом додавання швидкостей швидкість матеріальної точки в системі К'

Але υ = соnst, бо системи відліку інерціальні; с = соnst, бо швидкість світла стала в усіх інерціальних ситемах відліку, а отже, і u' = соnst. Маємо висновок:

Перший закон динаміки інваріантний відносно перетворень Лоренца.

Другий закон динамікиу класичній динаміці швидкість зміни імпульсу матеріальної точки дорівнює силі, прикладеної до неї:

– імпульс матеріальної точки.

У релятивістському випадку зміст закону не змінюється. Так само сила викликає зміну імпульсу. Але якщо раніше, тобто при малих швидкостях, зміна імпульсу відбувалась лише за рахунок зміни швидкості, то при великих швидкостях слід враховувати ще й зміну маси зі зміною швидкості руху. Тому релятивістський імпульс

Рис. 6.18.

Залежність імпульсу від швидкості ілюструє рис. 6.18. При малих швидкостях маса практично дорівнює масі спокою (m ≈ m0) і зміна імпульсу зумовлюється тільки зміною швидкості. Якщо швидкість наближається до швидкості світла, зміна релятивістського імпульсу визначається в основному зміною релятивістської маси.

Якби маса не залежала від швидкості, то, у принципі, тіло можна було б розігнати до будь-якої швидкості (пунктирна лінія). Але залежність маси від швидкості не дозволяє матеріальному тілу перевищити швидкості, яка дорівнює швидкості світла у вакуумі.

Релятивістський імпульс, як і маса, прямує до нескінченності з наближенням швидкості до швидкості світла. У дослідах з розгону заряджених частинок досягнуто швидкостей, що становлять 0,9987 від швидкості світла. Маса при цьому збільшувалась у 2000 раз.

Третій закон динамікияк показали прямі досліди із зіткнення елементарних частинок, взаємодія двох частинок не змінює їхнього повного імпульсу, або, інакше кажучи, швидкість зміни імпульсу однієї частинки дорівнює швидкості зміни імпульсу іншої.

Зв'язок маси і енергії.

Та обставина, що маса тіла виявилась залежною від його швидкості, наводить на думку про існування безпосереднього зв'язку маси і кінетичної енергії. Розкладемо в ряд вираз для релятивістської маси:

Для не занадто точних обчислень можна обмежитись двома першими членами розкладу:

Перемноживши всі члени на с2, дістанемо:

Звідси кінетична енергія тіла

Отже, кінетична енергія тіла справді пов’язана з масою тіла, точніше, з різницею мас тіла, що рухається, і тіла, що перебуває у спокої.

Наприклад, якщо під час нагрівання газу швидкості молекул зростають, то це означає, що інертна маса рухомих молекул також зростає.

Запишемо ще раз формулу зв’язку маси й енергії:

Усі члени рівняння повинні мати однакову розмірність, а отже, кожний член рівняння – це якась енергія. Член  визначається масою спокою m0, і тому його назвали енергією спокою.  

Член m0с2 – це сума енергії спокою і кінетичної енергії, тобто енергії руху. Ця енергія дістала назву повної енергії.

Повна енергія дорівнює сумі енергії спокою і кінетичної.

Енергія спокою по суті є енергією потенціальною, а точніше – енергією взаємодії частинок. Природно припустити, що й потенціальна енергія пов'язана з масою.

Повна потенціальна енергія системи частинок, що взаємодіють, перебуваючи у спокої, дорівнює їхніх енергій спокою та енергії взаємодії, яка називається енергією зв'язку W:

Але

Тоді енергія зв'язку:

Різницю маси спокою всієї системи і суми мас спокою всіх частинок називають дефектом маси і позначають так:

Отже, енергія зв'язку визначається дефектом маси:

Те, що маса атома не дорівнює сумі мас частинок, які утворюють атом, можна легко підтвердити, заглянувши в таблиці мас. Таким чином, виявлено напрочуд простий і універсальний зв'язок маси й енергії: будь-яка зміна енергії супроводжується зміною маси.

Проте це не означає, що маса перетворюється в енергію або навпаки. Навіть при анігіляції електрона  і позитрона, коли замість них з'являються тільки кванти світла (фотони), маса не зникає, залишається маса руху фотонів.

Зауваження. Швидкість світла настільки велика, що мізерні зміни маси  відповідають величезним виділенням енергії. Під час вибуху першої  атомної бомби потужністю 20 000 тонн тринітротолуолу маса  всього попелу, який осів після вибуху, була лише на один грам менша, ніж початкова маса матеріалу, який розщепився.

Зв’язок енергії та імпульсу

При зміні маси змінюється як повна енергія, так і імпульс. Знайдемо зв’язок повної енергії і релятивістського імпульсу.

Повна енергія

.

Поділимо обидві частини рівняння на швидкість світла с і піднесемо до квадрата:

Релятивістський імпульс

.

Піднесемо до квадрата обидві частини рівняння:

.

Віднімемо від Е22 квадрат імпульсу р2:

Помноживши на с2, остаточно дістанемо:

.

На перший погляд, формула як формула, зв'язок як зв’язок. Але у праву частину формули входять маса спокою і швидкість світла, які не змінюються при переході від однієї системи до іншої, тобто вони інваріантні. А звідси висновок: комбінація енергії та імпульсу однакова в усіх інерціальних системах відліку;

Залишається тільки згадати, що повна енергія й імпульс не зберігають свого значення з переходом до іншої системи відліку, оскільки вони залежать від швидкості руху системи відліку υ.

Зовсім недавно нам траплялася аналогічна ситуація з просторовими та часовими інтервалами, які теж змінювались із переходом до іншої системи відліку. Вихід з цієї неприємної ситуації було знайдено введенням просторово-часового інтервалу, однакового в усіх інерціальних системах відліку (Δs=Δs'), який є комбінацією просторових і часових інтервалів. Тоді ж було зроблено достатньо революційний висновок про єдність простору-часу.

Тепер нам також не залишається нічого іншого, як визнати, по-перше, що величина Е2 – р2с2 є інваріант, а по-друге, що існує єдина сутність: енергія-імпульс. Звідси випливає такий висновок: зміна імпульсу з переходом до іншої інерціальної системи відліку неодмінно супроводжується зміною повної енергії, а збереження імпульсу враз тягне за собою збереження повної енергії.

Раніше інваріантом був просторово-часовий інтервал:

,

тепер інваріантом буде величина

Можна і цей інваріант тлумачити як вектор, що має чотири проекції: три проекції імпульсу на прямокутні осі координат і четверту проекцію на уявну вісь iE. Просторово-часовий інтервал вдалося сконструювати завдяки тому, що просторові і часові характеристики вже були пов'язані між собою в перетвореннях Лоренца. Слід припустити, що мають існувати перетворення Лоренца також для енергії та імпульсу. Вони справді існують і мають такий вигляд:

Якщо нам відомі значення енергії та імпульсу в системі К, то можна розрахувати енергію та імпульс у системі К'.

Енергія, імпульс і маса фотона.

Фотонами називають найдрібніші частинки світла, або кванти світла. Корпускулярні, або квантові, властивості світла проявляються, наприклад, у явищах фотоефекту або при дослідженні тиску світла. Фотон, як і будь-яка інша матеріальна частинка, має масу, імпульс та енергію.

І все-таки фотон відрізняється від інших частинок тим, що завжди рухається зі сталою швидкістю, яку ніяк не можна змінити.

Швидкість фотона дорівнює швидкості світла, і вона однакова в усих інерціальних системах відліку.

Але тоді з'являються певні утруднення з масою. При υ→с релятивістська маса прямує до нескінченності згідно з формулою

Але цього не може бути! Можна припустити, що маса спокою m0 дорівнює нулю, і це цілком слушно. Дослід   підтверджує,   що   маса   спокою   фотона   в   багато   разів   менша   від   маси   електрона: m0<4·10-21 me.

Висновок: частинка з нульовою масою спокою завжди рухається зі швидкістю світла.

Проте маса руху, тобто інертна маса, у фотона є.

Спочатку визначимо інші характеристики фотона: енергію та імпульс. Енергія фотона, як відомо, залежить від частоти електромагнітної хвилі ν:

E=h ν,

де  h = 6,63 ·10-21 Дж · с – стала Планка.

Імпульс фотона знайдемо, скориставшись зв'язком енергії та імпульсу:

Оскільки m0 = 0, то імпульс фотона

А тепер можна знайти і масу фотона, бо його імпульс p=mc. Маса фотона

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63635. ВАРТİСТЬ İ ОПТИМİЗАЦİЯ СТРУКТУРИ КАПİТАЛУ 787.31 KB
  Перше наукове визначення капіталу дав Аристотель. У перелічених визначеннях категорія капіталу пов’язується з речовою формою і не враховує грошового капіталу який не можна ототожнювати з засобами виробництва і який призначається для їх придбання для забезпечення безперервності руху капіталу у сферах виробництва та обігу.
63637. Захватно-опорные приспособления 1.8 MB
  Захваты для закрепления образцов при испытании на одноосное растяжение. В зависимости от материала испытываемого образца различают захваты для испытаний жестких материалов металлы пластмассы керамика и резины полимерных пленок текстильных нитей и тканей.
63640. Демократия. Конституционные основы демократии в РФ 74.79 KB
  Власть народа от demos –народ и krtos власть –это форма политического строя основанная на признании народа источником власти действии принципов равенства и свободы. Демократия –форма государственно-политического устройства общества основанная на признании народа в качестве источника власти...
63642. Objectives of macroeconomic analysis and macroeconomic policy 503.5 KB
  Тhe GDP deflator reflects what’s happening to the overall level of prices in the economy. In most systems of national accounts the GDP deflator measures the ratio of nominal (or current-price) GDP to the real (or chain volume) measure of GDP.
63643. УПРАВЛIННЯ IНВЕСТИЦIЯМИ 304.68 KB
  Економічна сутність інвестицій та їх класифікація Ефективне управління інвестиціями обумовлює необхідність: з’ясування сутності інвестицій та можливості їх реалізації в різних формах; розробки і реалізації інвестиційної стратегії як головної мети інвестиційної діяльності...