47940

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ. СБОРНИК ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Книга

Математика и математический анализ

Сборник состоит из пояснительной записки, описания практических занятий, которые снабжены общими теоретическими сведениями, контрольными вопросами и заданиями в соответствии с программой и списка рекомендуемой литературы. Сборник практических занятий окажет помощь преподавателям в организации практических занятий, а также может пригодиться студентам при повторении изученного материала и подготовке к экзамену.

Русский

2014-03-31

2.29 MB

140 чел.

1

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Тюменский государственный колледж связи, информатики и управления

СБОРНИК ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ»

для специальности:

230105 «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем»

2005


Одобрен

Цикловой комиссией отделения ИТВТ

Председатель ЦК______ Т.Н.Косыгина

«____»__________ 2005г.

СОСТАВИТЕЛЬ:

Гурьева Анна Александровна

РЕЦЕНЗЕНТЫ:

Косыгина Татьяна Николаевна

председатель ЦК отделения ИТВТ

Аристов С.Р.

главный специалист ООО «Компьютер-Сервис»

Сборник практических занятий по дисциплине «Элементы высшей математики» для подготовки студентов по специальности 230105 «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем».

Сборник состоит из пояснительной записки, описания практических занятий, которые снабжены общими теоретическими сведениями, контрольными вопросами и заданиями в соответствии с программой и списка рекомендуемой литературы.

Сборник практических занятий окажет помощь преподавателям в организации практических занятий, а также может пригодиться студентам при повторении изученного материала и подготовке к экзамену.

Печатается по решению научно – методического совета

Протокол № ___ от  _____________ 2005 г.


СОДЕРЖАНИЕ

Пояснительная записка

5

Практическое занятие №1. Операции над матрицами. Вычисление определителей

6

Практическое занятие №2. Нахождение обратной матрицы

11

Практическое занятие №3. Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера и матричным способом

15

Практическое занятие №4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

20

Практическое занятие №5. Операции над векторами. Вычисление модуля и скалярного произведения

24

Практическое занятие №6. Составление уравнений прямых и кривых второго порядка, их построение

26

Практическое занятие №7. Вычисление пределов с помощью замечательных пределов, раскрытие неопределенностей

31

Практическое занятие №8. Вычисление односторонних пределов, классификация точек разрыва

34

Практическое занятие №9. Вычисление производных функций по определению производной

38

Практическое занятие №10. Вычисление производных сложных функций

40

Практическое занятие №11. Вычисление производных и дифференциалов высших порядков

42

Практическое занятие №12. Полное исследование функции. Построение графиков

44

Практическое занятие №13. Интегрирование заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле

46

Практическое занятие №14. Вычисление определенных интегралов

49

Практическое занятие №15. Вычисление площадей фигур с помощью определенных интегралов

51

Практическое занятие №16. Нахождение области определения и вычисление пределов для функции нескольких переменных

55

Практическое занятие №17. Вычисление частных производных и дифференциалов функций нескольких переменных

58

Практическое занятие №18. Вычисление двойных интегралов

62

Практическое занятие №19. Решение задач на приложения двойных интегралов

65

Практическое занятие №20. Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными; однородных дифференциальных уравнений первого порядка; линейных дифференциальных уравнений первого порядка

68


Практическое занятие №21. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

72

Практическое занятие №22. Нахождение суммы ряда по определению. Исследование сходимости положительных рядов

76

Практическое занятие №23. Исследование сходимости знакочередующихся рядов. Исследование числовых рядов на абсолютную и условную сходимость

81

Практическое занятие №24. Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах

84

Практическое занятие №25. Переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной и обратно

89

Список рекомендуемой литературы

93


ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Сборник практических занятий составлен в соответствии с рабочей программой дисциплины «Элементы высшей математики» для специальности 230105 «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем». Практические занятия занимают важное место при изучении дисциплины «Элементы высшей математики». Цель выполнения работ – формирование навыков решения математических задач при помощи различных методов, позволяющих разрабатывать алгоритмы решения задач различных областей производства, экономики, науки и техники на языке программирования ЭВМ.

В результате изучения дисциплины студент должен:

знать:

  1. основные понятия и методы линейной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа и комплексных чисел;

уметь:

  1. производить операции над матрицами и определителями;
  2. решать системы линейных уравнений;
  3. производить действия с векторами;
  4. решать задачи, используя уравнения прямых и кривых второго порядка на плоскости;
  5. вычислять производные и дифференциалы, неопределенные и определенные интегралы;
  6. вычислять сумму числовых рядов и исследовать на сходимость числовые ряды;
  7. находить частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных, вычислять двойные интегралы;
  8. решать обыкновенные дифференциальные уравнения;
  9. решать задачи, применяя численные методы.

Сборник состоит из пояснительной записки, описания практических занятий, которые снабжены общими теоретическими сведениями, контрольными вопросами и заданиями в соответствии с программой и списка рекомендуемой литературы.

На выполнение каждой работы отводится определенное количество часов в соответствии с тематическим планом.

Форма отчетности указана для каждого занятия.

Выполнять задания рекомендуется в отдельных тетрадях.

Сборник практических занятий окажет помощь преподавателям в организации занятий, а также может пригодиться студентам при повторении изученного материала и подготовке к экзамену.


Практическое занятие №1

Тема: Операции над матрицами. Вычисление определителей

Цель: Формирование навыков выполнения операций над матрицами и вычисления определителей второго, третьего и четвертого порядков.

На выполнение практической работы отводится 2 часа.

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Прямоугольная матрица  размера (-матрица) имеет вид таблицы, состоящей из строк и столбцов:

.

Элемент матрицы находится на пересечении -ой строки и -го столбца, ; .

У нулевой матрицы 0 все элементы равны нулю:

.

Матрица – столбец (-матрица) состоит из одного столбца:

,

а матрица – строка (-матрица) из одной строки:

.

Произведением двух матриц  и называется матрица , каждый элемент которой определяется по правилу строка на столбец, то есть элемент стоки матрицы умножается на элемент столбца матрицы стоящие на соответствующих местах.

Из определения произведения матриц следует, что не любые две матрицы можно перемножать. Произведение имеет смысл только тогда, когда число столбцов первой матрицы-сомножителя равно числу строк второй матрицы-сомножителя, что символически записывается так:

.

Транспонирование -матрицы заключается в замене строк столбцами, а столбцов – строками с теми же номерами:

.

Матрица размера называется суммой двух -матриц и , если каждый элемент матрицы равен сумме соответствующих элементов матриц и :

.

Определителем второго порядка называется число, определяемое равенством

.  (1)

Числа называются элементами определителя; при этом элементы и образуют главную диагональ, а элементы и - побочную диагональ. Таким образом, определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Определителем третьего порядка называется число, определяемое равенством

 (2)

.

Таким образом, каждый член определителя третьего порядка представляет собой произведение трех его элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Эти произведения берутся с определенными знаками: со знаком «плюс» – члена, состоящие из элементов главной диагонали и из элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали; со знаком «минус» – три члена, расположенные аналогичным образом относительно побочной диагонали.

Указанное правило, называется правилом треугольников.

Минором  элемента называется определитель , полученный из вычеркиванием -ой строки и -го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, умноженный на :

.

Определитель -го порядка равен сумме произведений элементов какой – либо строки или столбца на их алгебраические дополнения:

(разложение определителя по элементам -ой строки) или

(разложение определителя по элементам -го столбца).

В частности, для определителя третьего порядка имеем

,

что совпадает с результатом, полученным по формуле (2).

Примеры

Задание 1: Найти сумму и разность матриц и .

Решение: Здесь даны матрицы одного размера , следовательно, существуют их сумма и разность. Согласно определению алгебраической суммы матриц имеем

,

.

Задание 2: Вычислить определители: 1) ;  2) .

Решение: 1) По формуле (1) находим .

2) Разлагая данный определитель, например, по элементам первой строки, находим

.

Тот же результат получится, если воспользоваться формулой (2):

.

Задания для самостоятельной работы

  1. Найдите сумму матриц и .
  2. Транспонируйте матрицу . Укажите размеры данной и транспонированной матриц.
  3. Даны матрицы: , . Произведите указанные действия, а в случае, когда это невозможно, указать причину: 1) ;

2) .

  1. Даны матрицы и . Найдите матрицу .
  2. Вычислите определители второго порядка: а) ;

 б) .

  1. Вычислите определители третьего порядка: а) ;

б) .

  1. Вычислите определитель четвертого порядка .

Вопросы для самоконтроля:

  1. Что называется матрицей? Как установить размеры матрицы?
  2. Назовите линейные операции над матрицами. Как они производятся?
  3. Какие матрицы можно перемножать? Как это делается?
  4. Что называется определителем? Как вычисляются определители второго и третьего порядков?
  5. Что называется минором и алгебраическим дополнением для произвольного элемента определителя?

Практическое занятие №2

Тема: Нахождение обратной матрицы

Цель: Формирование навыков нахождения обратной матрицы.

На выполнение практической работы отводится 2 часа.

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Матрица, состоящая из строк и столбцов, называется квадратной матрицей порядка :

.

Элементы образуют главную диагональ матрицы.

У единичной матрицы  порядка элементы главной диагонали равны единицы, а остальные элементы равны нулю: то есть

.

Для - матриц справедливы равенства .

Каждой - матрице соответствует определитель -го порядка, который состоит из тех же элементов, расположенных в том же порядке, что и в матрице:

.

Произведение двух квадратных матриц всегда определено; при этом определитель матрицы – произведения равен произведению определителей матриц – сомножителей: .

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля , и вырожденной в противном случае .

Всякая невырожденная матрица порядка имеет обратную матрицу того же порядка , удовлетворяющую соотношениям

.

Обратная матрица имеет вид

,  (1)

где - алгебраическое дополнение элемента в определителе матрицы , то есть элементы обратной матрицы находятся по формулам .

Свойства обратной матрицы

(здесь - матрицы, - число)

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  ;
  5.  .


Пример

Задание: Для матрицы  найти обратную матрицу и проверить, что .

Решение: Так как , то матрица имеет обратную матрицу, элементы которой равны .

2) Вычислим алгебраические дополнения элементов для :

;  ;

; ;

; ;

;  ;

.

Теперь, используя формулу (1), находим обратную матрицу

.


Далее вычислим произведение

=

=.

Аналогично находим

. Итак, обратная матрица вычислена правильно.

Задания для самостоятельной работы

  1. Для заданной матрицы найти указанные элементы обратной матрицы :  1) ;  2) ;  3) ;

4) ;  5) ;  6) .

  1. Для матриц и найдите обратные матрицы, и . Проверить, верно, ли они найдены.

Вопросы для самоконтроля:

  1.  Какая матрица называется квадратной?
  2. Какая матрица называется единичной, верхнетреугольной, нижнетреугольной, диагональной?
  3. Дайте определение обратной матрицы. Всегда ли существует обратная матрица?
  4. Как найти обратную матрицу?


Практическое занятие №3

Тема: Решение систем алгебраических уравнений по правилу Крамера и матричным методом

Цель: Формирование навыков решения СЛАУ по правилу Крамера и матричным методом.

На выполнение практической работы отводится 2 часа.

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Пример

Задание: Показать, что система имеет единственное решение и найти его двумя способами: а) по правилу Крамера;

   б) матричным методом.

Решение: Данная система имеет размер (три уравнения и три неизвестных). Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных:

. Матрица квадратная . Вычислим определитель матрицы , используя формулу его разложения по элементам первой строки:

.

Так как определитель системы , то данная система имеет единственное решение. Это решение можно найти по правилу Крамера: ; ; , где - главный определитель системы; , , - вспомогательные определители, которые получаются из главного путем замены соответствующего столбца на столбец свободных членов, и вычисляются аналогично определителю .

;

;

Отсюда по правилу Крамера имеем:

;  ;

.

Решение системы единственно, это совокупность чисел .

Проверка: Подставим найденное решение во все уравнения исходной системы линейных алгебраических уравнений.

  

Так как все уравнения системы обратились в равенства, то решение найдено верно.

Ответ: .

Решим данную систему матричным способом. Рассмотрим матрицы:

; ; ;

- матрица коэффициентов при неизвестных, - матрица – столбец неизвестных, - матрица – столбец свободных членов.

Данную систему можно записать в виде:

;

При умножении матриц каждая строка матрицы умножается на столбец матрицы и в результате получается соответствующий элемент матрицы . Таким образом, последняя матричная запись содержит все три уравнения данной системы линейных алгебраических уравнений. Коротко ее можно записать так:

  (1)

Рассмотрим матрицу , обратную к матрице . Это такая матрица, которая при умножении на данную матрицу дает единичную матрицу : , где .

Умножая обе части матричного равенства (2) на матрицу слева, получим:

,

, и окончательно имеем:

  (2)

Формула (2) используется для нахождения решения системы линейных алгебраических уравнений. Предварительно нужно вычислить обратную матрицу. Обратная матрица вычисляется по формуле:  (3), где - алгебраическое дополнение всех элементов матрицы ,

- главный определитель системы .

В нашем примере .

Найдем теперь алгебраические дополнения для всех элементов матрицы :

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируем ее, то есть поменяем местами столбцы и строки с одинаковыми номерами:

.

Обратную матрицу получим по формуле (3), умножая каждый элемент последней матрицы на число, равное :

.

Решение системы линейных алгебраических уравнений находим по формуле (2) умножением матрицы на матрицу свободных членов :

=

Отсюда следует, что , , .

Найденное решение было проверено выше, и совпадает с результатом, полученным по правилу Крамера.

Ответ: - единственное решение системы.

Задания для самостоятельной работы

Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение и найти его двумя способами:  а) по правилу Крамера;

   б) матричным методом.

.

Вопросы для самоконтроля:

  1. Что называется решение СЛАУ?
  2. Какие случаи могут представиться при решении СЛАУ?
  3. Какие СЛАУ называются совместными, несовместными?
  4. Напишите формулу Крамера. В каком случае они применимы?
  5. При каком условии СЛАУ имеет единственное решение?
  6. Что можно сказать о СЛАУ, если ее определитель равен нулю?
  7. Как записать СЛАУ в матричном виде?
  8. В чем состоит матричный метод решения СЛАУ?

Практическое занятие №4

Тема: Решение систем алгебраических уравнений методом Гаусса

Цель: Формирование навыков решения СЛАУ методом Гаусса

На выполнение практической работы отводится 2 часа.

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Задачи, посвященные решению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом исключения неизвестных для случая, когда СЛАУ имеет бесконечное множество решений (совместная неопределенная СЛАУ). При решении системы предлагается использовать одну из равносильностей метода исключения неизвестных – метод Жордана – Гаусса или метода полного исключения.

В процессе решения система преобразуется в равносильные (эквивалентные) системы, то есть СЛАУ с тем же множеством решений.

К элементарным преобразованиям, сохраняющим равносильность СЛАУ, относятся следующие преобразования:

  1. смена мест уравнений СЛАУ;
  2. отбрасывание одного из двух одинаковых уравнений СЛАУ;
  3. умножение обеих частей какого-либо уравнения на число, отличное от нуля;
  4. замена одного из уравнений СЛАУ уравнением, полученным его почленным сложением с другим уравнением СЛАУ.

Сущность метода исключения состоит в том, что с помощью указанных элементарных преобразований, не нарушающих равносильности СЛАУ, выбранное неизвестное (ведущее) исключается из всех уравнений системы, кроме одного (ведущего уравнения). Метод осуществляется по шагам. На каждом шаге исключается только одно неизвестное. Шаги заканчиваются, когда ведущим побывают все уравнения системы (либо будет получено очевидное противоречие, говорящее об отсутствии решений СЛАУ).

Пример

Задание: Пользуясь методом исключения неизвестных найти общее решение системы линейных уравнений, а также два частных ее решения, одно из которых базисное:

Решение: Система имеет размер (три уравнения, четыре неизвестных). На каждом шаге выбираем одно ведущее уравнение и в нем одно ведущее неизвестное. Ведущим каждое уравнение и каждое неизвестное могут быть только один раз. На следующем шаге их за ведущие брать нельзя.

Шаг первый. Выберем в качестве ведущего уравнения первое, а в нем ведущее неизвестное , так как коэффициент при равен единице, что упрощает вычисления.

Ведущее уравнение, то есть первое, оставляем без изменения. Исключим ведущее неизвестное из второго и третьего уравнений. Для этого нужно преобразовать эти уравнения к виду, когда коэффициенты при в них станут равными нулю.

Умножим обе части ведущего уравнения на число 7 и почленно сложим со вторым уравнением. Аналогично, умножим обе части ведущего уравнения на «-8» и почленно сложим с третьим уравнением. В итоге получим систему, равносильную исходной:

  

  

Теперь переменная содержится только в первом уравнении. Заметим также, что два последних уравнения станут одинаковыми, если в одном из них поменять знаки. Поэтому, отбросим одно из этих уравнений, например, третье.

Шаг второй. Выберем в качестве ведущего второе (другое) уравнение. Так как в нем нет неизвестного с коэффициентом 1, то берем любое неизвестное, с коэффициентом, отличным от нуля, и делим обе части нового ведущего уравнения на этот коэффициент. Например, выберем во втором уравнении в качестве ведущего неизвестное , с коэффициентом «-5», и поделим обе части этого уравнения на «-5»:

  

Чтобы исключить из первого уравнения, умножим обе части ведущего (второго) уравнения на 3 и почленно сложим с первым. Ведущее уравнение перепишем без изменения.

  

Ведущая переменная содержится теперь только во втором (ведущем) уравнении. Так как все уравнения уже были ведущими (каждое на своем шаге), то преобразования закончены.

Выразим из каждого уравнения то неизвестное, которое было в нем ведущим, и поэтому, не содержится в других уравнениях:

.

Получено общее решение данной системы. Переменные и , которые мы выразили, называются базисными. Остальные переменные и - называются свободными, они задаются произвольно (свободно)

Общее решение СЛАУ представляет собой такую запись СЛАУ, когда часть ее переменных, называемых базисными, выражены через оставшиеся переменные, называемые свободными.

Частные решения СЛАУ могут быть получены из общего решения. Для этого задаем произвольно свободные переменные и вычисляем базисные по общему решению.

Например, пусть ; . Тогда

.

Таким образом, получено частное решение системы: . Придавая свободным переменным и другие значения, найдем, аналогичным образом, любое количество частных решений СЛАУ.

Базисное решение СЛАУ, это такое частное решение, когда свободные переменные равны нулю, то есть  ; , тогда . Получено базисное решение системы: .

Проверка: Проверим правильность нахождения двух частных решений, из которых базисное, подстановкой в исходную систему.

1) Проверяем решение :

таким образом, все уравнения СЛАУ выполняются.

2) Проверим решение :

.

Решение удовлетворяет всем уравнениям исходной СЛАУ.

Ответ: - общее решение СЛАУ,

- частное решение СЛАУ,

- базисное решение СЛАУ.

Задания для самостоятельной работы

Пользуясь методом исключения неизвестных, найти общее решение системы линейных уравнений, а также два частных ее решения, одно из которых базисное.

.

Вопросы для самоконтроля:

  1. Дайте определение эквивалентных (равносильных) СЛАУ.
  2. Назовите элементарные преобразования, не нарушающие равносильности СЛАУ.
  3. В чем состоит сущность метода Жордана – Гаусса для решения СЛАУ? Как осуществляется этот метод? Когда он применим?
  4. Что называется общим решение СЛАУ?
  5. Какие переменные называются базисными, а какие свободными?
  6. Как найти частное решение СЛАУ? Сколько частных решений имеет СЛАУ?
  7. Что называется базисным решением СЛАУ? Сколько базисных решений имеет СЛАУ?


Практическое занятие №5

Тема: Операции над векторами. Вычисление модуля и скалярного произведения

Цель: Формирование навыков выполнения операций над векторами и вычисления модуля и скалярного произведения векторов.

На выполнение практической работы отводится 2 часа.

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Отрезок называется направленным, если один из его концов считается началом отрезка, а другой – его концом.

Вектором называется направленный отрезок. Вектор, заданной парой несовпадающих точек, обозначается символом . Точка называется началом, а точка - концом вектора.

Расстояние || называется диной (модулем) вектора .

Вектор , концы которого совпадают, называется нулевым вектором. Длина нулевого вектора равна нулю.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: .

Скалярное произведение векторов  и выражается через их координаты по формуле .

Угол между двумя векторами  и находится по формуле .

Если отрезок разделен точкой в отношении , то координаты точки находятся по формулам

, .

Если , то получаются формулы для нахождения координат середины отрезка:

, .

Пример

Задание: Отрезок, концы которого А(-11;1) и В(9;11), разделен в отношении 2:3:5 (от А к В). Найти точки деления.

Решение: Обозначим точки деления от А к В через С и D. По условию , , , и АС:СD:DВ=2:3:5. тогда С делит АВ в отношении ; значит ; ; таким образом точка С имеет координаты (-7;3).

 Точка D служит серединой АВ, поэтому ; . Тогда D(-1;6).

Задания для самостоятельной работы

  1. Найдите координаты вектора , если , .
  2. Точка делит АВ в отношении 1:4 (от А к В). Найдите точку А, если В(-6;-1).
  3. Найдите точку М, равноудаленную от осей координат и от данной точки А(4;-2).
  4. Вычислите угол между векторами и .
  5. Даны векторы , и . Определите координаты вектора:  а) ;

б) .

  1. Найдите скалярное произведение векторов и .
  2. Вычислите и , если:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

  1. Найдите скалярное произведение векторов:

1) и ;

2) и ;

3) и ;

4) и .

Вопросы для самоконтроля:

  1. Дайте определение вектора.
  2. Что понимается под длиной или модулем вектора?
  3. Какие векторы называются коллинеарными?
  4. Что мы понимаем под произведением вектора на число?
  5. Что называется суммой векторов? Какие правила нахождения сумм векторов существуют?
  6. Что называется разностью двух векторов? Как построить разность двух векторов?
  7. Дайте определение скалярного произведения двух векторов?
  8. По какой формуле вычисляется скалярное произведение в координатах?
  9. По какой формуле вычисляется угол между двумя векторами в координатах?

Практическое занятие №6

Тема: Составление уравнений прямых и кривых второго порядка, их построение

Цель: Формирование навыков составления уравнений прямых и кривых второго порядка, их построения

На выполнение практической работы отводится 2 часа.

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Уравнение первой степени относительно переменных и , то есть уравнение вида при условии, что коэффициенты и одновременно не равны нулю, называется общим уравнением прямой.

Уравнение вида называется векторным уравнением прямой. Если его переписать в координатной форме, то получится уравнение .

Каноническое уравнение прямой записывается в следующем виде , где и - координаты направляющего вектора прямой.

Уравнение прямой в отрезках на осях имеет вид , где и - соответственно абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями и .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид , где - угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к оси , а - ордината точки пересечения прямой с осью .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид , где - угловой коэффициент прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и , имеет вид . Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки и , находится из соотношения .

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки этой плоскости, называемой центром.

Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом имеет вид .

Уравнение окружности с центром в точке и радиусом имеет вид .

Уравнение окружности в общем виде записывается так: , где , , и - постоянные коэффициенты.

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная , большая расстояния между фокусами .

Уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси , имеет вид , где - длина большей полуоси; - длина малой полуоси.

Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная , меньшая расстояния между фокусами .

Уравнение гиперболы, фокусы которого лежат на оси , имеет вид , где - длина действительной полуоси; - длина мнимой полуоси.

Параболой называется множество точек на плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось и ветви направлены вверх, имеет вид , где (параметр параболы) – расстояние от фокуса до директрисы. Уравнение ее директрисы .

Пример

Задание 1: Построить прямую .

Решение: Найдем точки пересечения прямой с осями и .

Пусть .

Пусть .

Изобразим найденные точки на координатной плоскости и соединим их, таким образом, получим прямую заданную уравнением (рис. 1).

0

рис. 1

Задание 2:  Построить прямую .

Решение:  Перепишем уравнение в виде: , то есть и . Таким образом, получаем точки и , прямая проходящая через точки и является искомой (рис. 2).

0

рис. 2

Задание 3: Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку .

Решение:  Вектор коллинеарен искомой прямой. Для составления уравнения прямой используем каноническое уравнение прямой: . Таким образом, подставив в данное уравнение , , , получим искомое уравнение прямой проходящей через начало координат и точку :

.

Задание 4: Составить уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору .

Решение:  Пусть - произвольная точка искомой прямой. Вектор перпендикулярен вектору . Так как векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, то есть . Записав произведение этих векторов в координатной форме, получим:

. Уравнение искомой прямой имеет вид .

Задания для самостоятельной работы

  1. Проверить принадлежат ли точки , , и прямой .
  2. Построить прямые:

1) ;   2) ;  3) ;

4) ;  5) ; 6) ;

7) ;   8) ; 9) .

  1. Построить фигуру, ограниченную линиями , , и . Вычислить площадь этой фигуры.
  2. Преобразуйте уравнения следующих прямых к уравнениям в отрезках на осях:

1) ;   2) ;

3) ;   4) ;

5) .

  1. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку : 1) ;

2) .

  1. Составить уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору :

1) ; ;

2) ; .

  1. Составить уравнение окружности, проходящей через точки:

1) , , ;

2) , , ;

3) , , .

  1. Составьте уравнение эллипса, если две его вершины находятся в точках и , а фокусы в точках и :

1) , , , ;

2) , , , ;

3) , , , .

Вопросы для самоконтроля:

  1. Какое уравнение называется общим уравнением прямой?
  2. Какой вид имеет векторное уравнение прямой?
  3. Какое уравнение называется каноническим уравнением прямой?
  4. Запишите уравнение прямой в отрезках на осях и уравнение прямой с угловым коэффициентом.
  5. Какой вид имеют уравнения прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении и прямой, проходящей через две данные точки?
  6. Что называется окружностью, эллипсом, гиперболой, параболой?

Практическое занятие №7

Тема: Вычисление пределов с помощью замечательных пределов, раскрытие неопределенностей

Цель: Формирование навыков вычисления пределов с помощью замечательных пределов, раскрытия неопределенностей

На выполнение практической работы отводится 2 часа.

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Число называется пределом функции при , стремящемся к , если для любого числа найдется такое число , что при всех , удовлетворяющих неравенству , будет выполнено неравенство .

Вычисление предела функции следует начинать с подстановки предельного значения аргумента , ( - число или один из символов , , ) в выражение, определяющее эту функцию. При этом приходится сталкиваться с двумя существенно различными типами примеров.

I. Если основная элементарная функция определена в предельной точке , то .

Имеют место основные теоремы, на которых основано вычисление пределов элементарных функций.

  1. Если - постоянная величина, то .
  2. Если - постоянная величина, то .
  3. Если существуют конечные пределы и , то:

;

;

.

II. Функция в предельной точке не определена. Тогда вычисление предела требует в каждом случае индивидуального подхода. В одних случаях (наиболее простых) вопрос сводится к применению теорем о свойствах бесконечно малых и бесконечно больших функций и связи между ними.

Более сложными случаями нахождения предела являются такие, когда подстановка предельного значения аргумента в выражение для приводит к одной из неопределенностей:

, , , , , , .

Тогда вычисление предела заключается в раскрытии полученных неопределенностей.

Здесь могут оказаться полезными:

первый замечательный предел , ( - радианная мера угла);

второй замечательный предел .

Кроме того, при раскрытии неопределенностей используют следующие приемы:

  1. сокращение дроби на критический множитель при ;
  2. избавление от иррациональности в числителе или знаменателе дроби;
  3. разложение многочленов на линейные или квадратичные множители при , .

Пример

Вычислить пределы:

Задание 1: 1) ;   2) ;

 3) ; 4) .

Решение: 1) , при , (на ноль делить нельзя). Таким образом, есть величина бесконечно малая, а обратная ей величина - бесконечно большая. Поэтому при произведение есть величина бесконечно большая, то есть .

2)   =

=.

3) ; умножим числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель .

=

= .

4) ; вынесем за скобки, получим (при  , , - бесконечно малые величины и их пределы равны нулю).

Задание 2: 1) ;  2) .

Решение: 1) ; выполним преобразования и воспользуемся вторым замечательным пределом.

.

2) .

Задания для самостоятельной работы

Вычислить пределы:

1) ;  2) ; 3) ;

4) ;  5) ;  6) ;

7) ;  8) ;  9) ;

10) ;  11) ;        12) ;

13) ;  14) ;  15) ;

16) .

Вопросы для самоконтроля:

  1. Что называется пределом функции?
  2. Каким образом определяется число ?
  3. Сформулируйте основные теоремы вычисления пределов.
  4. Запишите формулы соответствующие первому и второму замечательным пределам.
  5. Какие приемы используются при раскрытии неопределенностей?

Практическое занятие №8

Тема: Вычисление односторонних пределов, классификация точек разрыва

Цель: Формирование навыков вычисления односторонних пределов, классификации точек разрыва

На выполнение практической работы отводится 2 часа.

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть .

Функция называется непрерывной в точке , если существует конечный предел функции в этой точке, который равен значению функции в точке , то есть .

Примером непрерывной функции может служить любая элементарная функция, которая непрерывна в каждой точке своей области определения.

Точка называется точкой разрыва функции , если эта функции определена в некоторой окрестности точки , но в самой точке не удовлетворяет условию непрерывности.

Точки разрыва функции делятся два типа. К точкам разрыва I рода относятся такие точки, в которых существуют конечные односторонние пределы: (левый предел) и (правый предел). К точкам разрыва II рода относятся те точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.

Заметим, что точки разрыва I рода подразделяются в свою очередь на точки устранимого разрыва (когда ) и на точки скачка функции (когда ); в последнем случае разность называется скачком функции в точке .

Пример

Задание 1: Вычислите односторонние пределы: 1) ;

      2) .

Решение: 1) Пусть . Тогда при функция , а, следовательно, и есть отрицательная бесконечно малая, поэтому функция - отрицательная бесконечно большая, то есть .

При функция , а, следовательно, и - положительная бесконечно большая функция, то есть .

2) Пусть . Тогда при имеем: - отрицательная бесконечно малая функция; следовательно, и . Отсюда .

Если , то при получим: - положительная бесконечно малая функция; следовательно, и , тогда . Имеем, .

Задание 2: Даны функции:  1) ;  2) . Найти точки разрыва и исследовать их характер.

Решение: 1) Функция определена при всех значениях , кроме . Так как эта функция является элементарной, то она непрерывна в каждой точке своей области определения, состоящей из двух промежутков и .

Следовательно, единственной точкой разрыва является точка (функция определена в окрестности этой точки, в самой же точке нарушается условие непрерывности – функция в ней неопределена). Для исследования характера разрыва найдем левый и правый пределы этой функции при стремлении аргумента к точке разрыва : , .

Следовательно, при функция имеет бесконечный разрыв; есть точка II рода.

2) Рассуждая аналогично, получим, что точкой разрыва заданной функции является . Найдем односторонние пределы этой функции в точке : , .

Таким образом, левый и правый пределы исследуемой функции при конечны, но не равны между собой. Поэтому точка I рода, причем точка скачка функции.

Задания для самостоятельной работы

  1. Вычислите односторонние пределы:

1) ;  2) ;              3) ;

4) ; 5) ;               6) .

  1. Для данных функций найти точки разрыва и исследовать их характер:

1) ;  2) ;  3) ;

4) ; 5) ;   6) .

  1. Исследуйте на непрерывность функции:

1) ;  2) ;   3) ;

4) ;  5) ;   6) ;

7) ;  8) в точке .

Вопросы для самоконтроля:

  1. Дайте определение непрерывной функции.
  2. Что называется точкой разрыва?
  3. На какие два типа делятся точки разрыва? Дайте определение.
  4. Какие пределы называются односторонними?
  5. Какая точка называется точкой устранимого разрыва?
  6. Какая точка называется точкой скачка? Что называется скачком?


Практическое занятие №9

Тема: Вычисление производных функций по определению производной

Цель: Формирование навыков вычисления производных функций по определению производной

На выполнение практической работы отводится 2 часа.

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Производной функции  в точке (производной первого порядка) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда последнее стремится к нулю: .

Если этот предел конечен, то функция называется дифференцируемой в точке ; в противном случае (то есть если он не существует или равен бесконечности) – не дифференцируемой. В том случае, когда предел есть бесконечность, говорят, что функция имеет в точке бесконечную производную.

Дифференциалом  функции  (дифференциалом первого порядка) называется главная часть ее приращения, пропорциональная приращению независимой переменной .

Дифференциал независимой переменной равен ее приращению :

.

Дифференциал любой дифференцируемой функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной:

.    (1)

Соотношение (1) остается в силе и тогда, когда есть функция другого аргумента – в этом заключается инвариантность формы первого дифференциала.

Из соотношения (1) получаем , то есть производная первого порядка функции равна отношению первого дифференциала функции к дифференциалу ее аргумента.

Пример

Задание: Пользуясь определением производной, найти производную и дифференциал функции . Вычислить .

Решение: Найдем приращение функции , соответствующее данному приращению аргумента :

.

Тогда

и

.

По формуле (1) находим дифференциал функции:

.

Подставляя в выражение для значение , получим

.

Задания для самостоятельной работы

  1. Найдите производные и дифференциалы от указанных функций, пользуясь непосредственно определением производной:

1) ;  2) ;  3) ;

4) ;  5) ; 6) ;

7) ;  8) ;  9) .

  1. Дана функция . Найти .
  2. Дана функция . Найти .
  3. Дана функция . Найти , а затем вычислить , .
  4. Дана функция . Найти , .
  5. Дана функция . Найти , .
  6. Дана функция . Показать, что .
  7. Показать, что функция не дифференцируема в точке .

Вопросы для самоконтроля:

  1. Дайте определение производной первого порядка.
  2. Какая функция называется дифференцируемой? Какая функция называется не дифференцируемой?
  3. Что называется дифференциалом первого порядка?
  4. Сформулируйте определение дифференциала функции.
  5. В чем заключается инвариантность формы первого дифференциала.
  6. Сформулируйте общее правило нахождения производной функции.

Практическое занятие №10

Тема: Вычисление производных сложных функций

Цель: Формирование навыков вычисления производных сложных функций

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Пусть и - дифференцируемые функции. Тогда сложная функция есть также дифференцируемая функция, причем

, или (1)

Это правило распространяется на цепочку из любого количества дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, ее составляющих.


Пример

Задание: Найдите производные функций: 1) ;

2) .

Решение: 1) Предположим, что , где . Тогда по формуле (1) найдем

.

2) Предполагая, что , , , получим

.

Задания для самостоятельной работы

Вычислить производные заданных функций:

1) ; 2) ;  3) ;

4) ;  5) ;  6) ;

7) ;  8) ;   9) ;

10) ; 11) ;  12) .

Вопросы для самоконтроля:

  1. Дайте определение производной функции.
  2. Перечислите правила нахождения производной функции.
  3. Какие функции называются дифференцируемыми?
  4. Какая функция называется сложной?
  5. Как найти производную сложной функции?


Практическое занятие №11

Тема: Вычисление производных и дифференциалов высших порядков

Цель: Формирование навыков вычисления производных и дифференциалов высших порядков

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Производная второго порядка (вторая производная) от функции есть производная от ее первой производной: .

Производная третьего порядка (третья производная) от функции есть производная от ее второй производной: .

Производная n – го порядка (n – я производная) от функции есть производная от ее (n – 1) – ой производной: .

Дифференциал второго порядка (второй дифференциал) функции есть дифференциал от ее первого дифференциала: .

Дифференциал третьего порядка (третий дифференциал) функции есть дифференциал от ее второго дифференциала: .

Дифференциал n – го порядка (n – ый дифференциал) функции есть дифференциал от ее (n – 1) – ого дифференциала: .

Примеры

Задание 1: Найти , , , …, если .

Решение:  ,

 ,

 ,

 , , .

Задание 2: Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функции .

Решение:  ,

 ,

 .

Задания для самостоятельной работы

  1. Найти производные второго порядка:

1) ;   2) ;

3) ;     4) ;

5) ;     6) ;

7) ;      8) ;

9) .

  1. Дана функция . Найти , , .
  2. Найти производные третьего порядка:

1) ;     2) ;  3) .

  1. Найти дифференциалы первого и второго порядков функции .
  2. Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функций:

1) ;     2) ;

3) .

  1. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Вопросы для самоконтроля:

  1. Что называется производной второго порядка?
  2. Что называется производной n – го порядка?
  3. Что называется дифференциалом функции?
  4. Что называется дифференциалом второго порядка?
  5. Что называется дифференциалом n – го порядка? По какой формуле он вычисляется?


Практическое занятие №12

Тема: Полное исследование функции. Построение графиков

Цель: Формирование навыков исследования функции и построения графиков

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Общая схема построения графиков функций

  1. Найти область определения функции.
  2. Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической.
  3. Найти точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений).
  4. Найти асимптоты графика функции.
  5. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы.
  6. Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.
  7. Построить график, используя полученные результаты исследования.

Пример

Построить график функции .

Решение: 

  1. Функция определена на всей числовой оси, то есть .
  2. Данная функция не является ни четной, ни нечетной; кроме того, она не является периодической.
  3. Найдем точку пересечения графика с осью : полагая , получим . Точки пересечения графика с осью в данном случае найти затруднительно.
  4. Очевидно, что график функции не имеет асимптот.
  5. Найдем производную: . Далее, имеем    Точки и делят область определения функции на три промежутка: , и . В промежутках и  , то есть функция возрастает, а в промежутке  , то есть функция убывает. При переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку - с минуса на плюс. Значит, , .
  6. Найдем вторую производную: ; , . Точка делит область определения функция на два промежутка и . В первом из них , а во втором , то есть в промежутке кривая выпукла вверх, а в промежутке выпукла вниз. Таким образом, получаем точку перегиба .
  7. Используя полученные данные, строим искомый график (рис. 1).

0

(0; -3)

(3; -3)

(1; 1)

(2; -1)

рис.1

Задания для самостоятельной работы

Исследуйте следующие функции и постройте их графики:

1) ;   2) ;

3) ;   4) ;

5) ;   6) ;

7) ;   8) ;

9) ;  10) ;

11) ;   12) .

Вопросы для самоконтроля:

  1. Дайте определение возрастания и убывания функции.
  2. Дайте определение экстремума функции.
  3. Как найти наибольшее и наименьшее значения функции?
  4. Сформулируйте определение асимптоты. Перечислите основные виды асимптот.
  5. Сформулируйте общую схему исследования функции для построения графика.

Практическое занятие №13

Тема: Интегрирование заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле

Цель: Формирование навыков нахождения неопределенных интегралов методами замены переменной и по частям

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Проинтегрировать функцию - значит найти ее неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании основных свойств неопределенного интеграла и таблицы простейших интегралов.

В основе интегрирования способом подстановки (или замены переменной) лежит свойство инвариантности формул интегрирования, которое заключается в следующем: если , то , где - произвольная дифференцируемая функция от .

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок следующих двух типов:

  1.   - где - новая переменная, а - непрерывно дифференцируемая функция. В этом случае формула замены переменной такова:

 (1)

Функцию стараются выбирать таким образом, чтобы правая часть формулы (1) приобрела более удобный для интегрирования вид;

  1.  , где - новая переменная. В этом случае формула замены переменной имеет вид

 (2)

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

   ,   (3)

где и - непрерывно дифференцируемые функции от . С помощью формулы (3) отыскание интеграла сводится к нахождению другого интеграла , ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.

При этом в качестве берется функция, которая при дифференцировании упрощается, а в качестве - та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Так, при нахождении интегралов вида

  

за следует принять многочлен , а за - соответственно выражения , ; при отыскании интегралов вида

 

за принимаются соответственно функции , , , а за - выражение .

Примеры

Найти интегралы:  1) ;   2) .

Решение: 1) Данный интеграл окажется табличным, если под знаком дифференциала будет находиться аргумент подынтегральной функции . Так как , то . Следовательно, подстановка приводит рассматриваемый интеграл к табличному: . Возвращаясь к старой переменной , окончательно получим .

2) Предполагая , , найдем , . Следовательно,

.


Задания для самостоятельной работы

Найти интегралы методом непосредственного интегрирования:

1) ;    2) ;

3) ;  4) ;

5) ;   6) ;

7) ;    8) ;

9)

Найти интегралы способом подстановки:

1) ;    2) ;   3) ;

4) ;    5) ;    6) ;    7) ;   8) ;   9) .

Найдите интегралы при помощи интегрирования по частям:

1) ;   2) ;   3) ;   4) ;   5) ;   6) .

Вопросы для самоконтроля:

  1. Что называется первообразной? Перечислите свойства первообразной функции.
  2. Что называется неопределенным интегралом?
  3. Какие свойства неопределенного интеграла вы знаете?
  4. Перечислите основные формулы интегрирования.
  5. Какие методы интегрирования вы знаете? В чем заключается их сущность?


Практическое занятие №14

Тема: Вычисление определенных интегралов

Цель: Формирование навыков вычисления определенного интеграла при помощи формулы Ньютона – Лейбница

На выполнение работы отводится 2 часа

Требования к выполнению работы:

  1. Ответить на теоретические вопросы.
  2. Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Функция, интегрируемая на промежутке , если при любых разбиениях промежутка , таких, что при произвольном выборе точек (где ), сумма при стремится к пределу .

Предел называют определенным интегралом от функции на промежутке и обозначают , то есть .

Число называется нижним пределом интеграла, - верхним. Промежуток называется промежутком интегрирования, - переменной интегрирования.

Для вычисления определенного интеграла от функции в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл , служит формула Ньютона – Лейбница: . То есть определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.


Примеры

Вычислить следующие определенные интегралы:

1) ;  2) ;  3) .

Решение: 1) ;

2) ;

3) .

Задания для самостоятельной работы

Вычислить определенные интегралы:

  1.  ;  2) ;  3) ;

4) ;  5) 6) ;

7);    8) ;

9) ;  10) ;  11) ;

12) ;  13) ;  14) ;

Вопросы для самоконтроля:

  1. Что называется интегральной суммой для функции на отрезке?
  2. Дайте определение определенного интеграла.
  3. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.
  4. В чем заключается суть формулы Ньютона – Лейбница?

Практическое занятие №15

Тема: Вычисление площадей фигур с помощью определенных интегралов

Цель: Формирование навыков вычисления площадей фигур с помощью определенных интегралов

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Определенный интеграл широко применяется при вычислениях различных геометрических фигур и физических величин.

Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью и двумя прямыми и , где , (рис. 1).

х

y

0

x=a

x=b

рис. 1

Так как дифференциал переменной площади есть площадь прямоугольника с основанием и высотой , то есть , то, интегрируя это равенство в пределах от до , получим .

Если криволинейная трапеция прилегает к оси так, что , (рис. 2), то дифференциал переменной площади равен , откуда .

x

y

0

a

b

рис. 3

x

y

0

y=c

y=d

рис. 2

В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой , осью и прямыми и , лежит под осью (рис.3), площадь находится по формуле .

x

y

0

a

b

c

рис. 4

Если фигура, ограниченная кривой , осью и прямыми и , расположена по обе стороны от оси

x

(рис. 4), то .

y

0

a

b

рис. 5

Пусть фигура ограничена двумя пересекающимися кривыми и , и прямыми и , где и (рис. 5). Тогда ее площадь находится по формуле .

Примеры

Задание: Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями:

 1) , , и ;

 2) , , и .

Решение: 1) Строим прямую по двум точкам и .

-3

2

x

y

0

A (4; 0)

B (0; 2)

Выразим через , получим . Найдем площадь полученной фигуры:

Ответ:

x

y

0

1

3

2) - квадратичная функция; ; график – парабола, ветви направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы: , отсюда следует, что . Таким образом, вершина параболы имеет координаты: . Найдем площадь полученной фигуры:

.

Ответ:

Задания для самостоятельной работы

  1. Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми , , и осью абсцисс.
  2. Найти площадь фигуры, заключенной между осями координат и прямыми и .
  3. Найти площадь фигуры, ограниченной ветвью гиперболы и прямыми , .
  4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой , прямыми , и осью абсцисс.
  5. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой , осями координат и прямой .
  6. Найти площадь фигуры, заключенной между прямыми , , и .
  7. Найти площадь фигуры, отсекаемой от параболы прямой .
  8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .
  9. Найти площадь фигуры, заключенной между параболами и .
  10. Вычислить площадь фигуры, заключенной между кривыми и .

Вопросы для самоконтроля:

  1.  По какой формуле вычисляется площадь фигуры, находящейся над осью ?
  2.  По какой формуле вычисляется площадь фигуры прилегающей к оси ?
  3.  По какой формуле вычисляется площадь фигуры, находящейся под осью ?
  4.  По какой формуле вычисляется площадь фигуры расположенной по обе стороны оси ?
  5.  По какой формуле вычисляется площадь фигуры, ограниченной двумя пересекающимися кривыми?

Практическое занятие №16

Тема: Нахождение области определения и вычисление частных значений для функции нескольких переменных

Цель: Формирование навыков нахождения области определения и вычисления частных значений для функции нескольких переменных

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Уравнение

(неявная форма)  (1)

или

  (явная форма)   (2)

определяет переменную как функцию независимых переменных . Областью определения функции переменных является множество точек  -мерного пространства, в которых функция принимает определенное действительное значение.

При уравнение (1) определяет функцию трех переменных

или ,

Областью определения которой является множество точек трехмерного пространства .

При уравнение (1) определяет функцию двух переменных

или .

Частным значением  функции называется такое ее значение, которое соответствует системе значений .

Примеры

Задание 1: Найти области определения функций:

 1) ;  2) .

Решение: 1) Область определения функции состоит из всех точек плоскости, для которых , то есть . Таким образом, искомая область есть круг с центром в начале координат и радиусом 1. она является замкнутой, так как включает свою границу – окружность .

2) Так как логарифм определен только при положительных значениях аргумента, то , откуда . Следовательно, областью определения данной функции служит внутренняя часть круга с центром в начале координат и радиусом 3. эта область открытая, поскольку она не включает свою границу – окружность .

Задание 2: Найти частное значение функции в точке .

Решение: Подставляя в выражение функции значения и , получим .

Задания для самостоятельной работы

  1. На плоскости построить область изменения переменных и , заданные нижеследующими неравенствами. Указать тип области.

1) ;   2) ;

3) ;  4) .

  1. Найти области определения функций:

1) ;    2) ;

3) ;     4) ;

5) ;    6) ;

7) ;    8) .

  1. Вычислить частные значения функций:

1) при и ;

2) в точке ;

3) при и .

  1. Дана функция . Вычислить , , , , , , .

  1. Доказать, что для функции выполняется равенство .

  1. Периметр треугольника равен 18. Выразить площадь треугольника как функцию двух его сторон и . Определить и построить область возможных значений и .

Вопросы для самоконтроля:

  1. Что называется функцией нескольких переменных?
  2. Что называется областью определения функции переменных?
  3. Что называется частным значением функции двух переменных?
  4. Что называется границей области?
  5. Какая область называется замкнутой, а какая открытой?

Практическое занятие №17

Тема: Вычисление частных производных и дифференциалов функций нескольких переменных

Цель: Формирование навыков вычисления частных производных и дифференциалов функций нескольких переменных

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Частная производная (первого порядка) функции нескольких переменных по одному из независимых аргументов определяется как производная этой функции по соответствующему аргументу при условии, что остальные переменные считаются постоянными. При вычислении частных производных используются обычные формулы дифференцирования.

Частной производной функции двух независимых переменных и  по аргументу  называется производная этой функции по при постоянном . Аналогично, частной производной функции  по аргументу  называется производная этой функции, вычисленная при постоянном . Частные производные обозначаются следующим образом: , , , .

Полный дифференциал дифференцируемой функции в некоторой точке есть выражение вида:

,   (1)

где и вычисляются в точке , а дифференциалы независимых переменных равны их приращениям: , .

Формула (1) для дифференциала остается в силе, если и являются функциями каких-либо других аргументов – в этом заключается свойство инвариантности полного дифференциала первого порядка.

Аналогично определяется и вычисляется полный дифференциал функции любого числа независимых переменных.

Теоремы и формулы для дифференциалов функций двух, трех и так далее аргументов аналогичны соответствующим теоремам и формулам для функции одного аргумента.

Примеры

Задание 1: Найти частные производные следующих функций:

 1) ;

 2) ;

 3) .

Решение: 1) При нахождении частной производной по будем рассматривать как величину постоянную. Тогда получим

.

Аналогично, рассматривая как величину постоянную, найдем частную производную по :

.

2) Имеем

;

.

3) Здесь есть функция трех независимых переменных , и . При вычислении частной производной по каждой из этих переменных две другие следует считать постоянными величинами. Следовательно,

; ;

(так как при дифференцировании по и по берется производная от показательной функции, а при дифференцировании по - от степенной функции).

Задание 2: Вычислить полный дифференциал функции в точке .

Решение: Находим частные производные:

;

;

;

.

Таким образом, по формуле (1) получим .

Задания для самостоятельной работы

  1. Найти частные производные следующих функций:

1) ;  2) ;

3) ;  4) ;  5) ;

6) ;  7) ;  8) ;

9) ; 10) ; 11) ;

12) ;  13) .

  1. Найти полные дифференциалы заданных функций:

1) ;  2) ;  3) ;

4) ;  5) ; 6) ;

7) ;  8)  9) .

  1. Вычислить значения полных дифференциалов функций:

1) при , , , ;

2) при , , , ;

3) при , , , ;

4) при , , , , , .

  1. Проверить, что функция удовлетворяет уравнению .

Вопросы для самоконтроля:

  1. Что называется частной производной функции по аргументу ?
  2. Что называется частной производной функции по аргументу ?
  3. Дайте определение полного дифференциала функции в некоторой точке.
  4. В чем заключается свойство инвариантности полного дифференциала первого порядка?

Практическое занятие №18

Тема: Вычисление двойных интегралов

Цель: Формирование навыков вычисления двойных интегралов

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Пусть в некоторой ограниченной замкнутой области плоскости задана непрерывная функция , где точка . Разобьем эту область произвольным образом на частичных плоских ячеек , имеющие площади . В каждой такой ячейке выберем по одной произвольной точке и вычислим значения функции во взятых точках. Составим так называемую интегральную сумму функции по области :

.  (1)

Двойным интегралом от функции по области называется предел интегральной суммы (1) при стремлении к нулю наибольшего из диаметров всех ячеек данного разбиения:

  (2)

Диаметром фигуры называется наибольшее из расстояний между ее точками.

Основные свойства двойного интеграла

  1. Двойной интеграл по области от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме двойных интегралов от слагаемых функций по этой же области:

.

  1. Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла:

.

  1. Область интегрирования двойного интеграла можно разбить на части, то есть если область состоит из двух непересекающихся областей и , то

.

Примеры

Задание 1: Вычислить повторный интеграл .

Решение: Вычислим сначала внутренний интеграл по переменной , считая постоянным:

 

.

Задание 2: Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной прямыми , , и .

Решение:      Область является простой относительно осей и (рис. 1), поэтому для вычисления интеграла можно использовать любую из формул или . Сначала вычислим двойной интеграл по первой формуле: . Вычислив внутренний интеграл по переменной при постоянном , находим

. Подставив это выражение во внешний интеграл, получим .

Теперь вычислим двойной интеграл по второй формуле . Найдем внутренний интеграл: . Далее найдем внешний интеграл: , то есть получили тот же ответ.

рис. 1

Задания для самостоятельной работы

  1. Вычислить повторные интегралы:

1) ;    2) ;

3) ;    4) ;

5) ;     6) .

  1. Вычислить двойные интегралы по областям, ограниченным указанными линиями:

1) , , ;

2) , , ;

3) , , , , ;

4) , , , ;

5) , , ;

6) , , , .

Вопросы для самоконтроля:

  1. Что называется интегральной суммой функции в области ?
  2. Дайте определение двойного интеграла.
  3. Перечислите основные свойства двойного интеграла.
  4. Какие случаи расположения области относительно осей координат возникают при вычислении двойных интегралов? Запишите формулы вычисления двойных интегралов для каждого из этих случаев.
  5. Какие интегралы называются повторными или двукратными?

Практическое занятие №19

Тема: Решение задач на приложения двойных интегралов

Цель: Формирование навыков решения задач на приложения двойных интегралов

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Площадь плоской области в прямоугольных координатах вычисляется по формуле

;    (1)

а в полярных координатах – по формуле

.    (2)

Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , снизу областью и сбоку прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости   область (рис. 1), вычисляется по формуле

рис. 1

      (3)

Примеры

Задание: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , , , .

Решение: Тело, ограниченное заданными поверхностями, представляет собой вертикальный параболический цилиндр, расположенный в первом октанте. Сверху тело ограничено плоскостью , сбоку параболическим цилиндром и плоскостями и . Найдем точки пересечения параболы и прямой : . Таким образом, получим одну точку пересечения .

Значение не рассматриваем, так как цилиндр расположен в первом октанте. Область запишем в виде системы неравенств и .

Согласно формуле (3), получим

(куб. ед.)

Задания для самостоятельной работы

  1. Вычислить площадь плоской фигуры в прямоугольных координатах, если область ограничена линиями:

1) , ;   2) , , ;

3) , ;   4) , ;

5) , ;   6) , .

  1. Вычислите объемы тел, ограниченных заданными поверхностями:

1) , , , , ;

2) , , , , ;

3) , , , , ;

4) , ,, , ;

5) , , , .

Вопросы для самоконтроля:

  1. По какой формуле вычисляется площадь плоской области в прямоугольных координатах?
  2. По какой формуле вычисляется площадь плоской области в полярных координатах?
  3. По какой формуле находится объем тела, ограниченного поверхностями?


Практическое занятие №20

Тема: Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными; однородных дифференциальных уравнений первого порядка и линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Цель: Формирование навыков решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными; однородных дифференциальных уравнений первого порядка и линейных дифференциальных уравнений первого порядка

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную , искомую функцию и ее производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

, , .

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Так, общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

.

Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные:

,

а затем проинтегрировать обе части полученного равенства:

.

Уравнение вида , где и - функции от , называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. В частности и могут быть постоянными величинами.

Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где и - новые функции от .

Примеры

Задание 1: Найдите общее решение уравнения .

Решение: Разделив переменные, имеем . Интегрируем обе части полученного уравнения:

; .

Так как произвольная постоянная может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо мы написали . Потенцируя последнее равенство, получим .

Это и есть общее решение данного уравнения.

Задание 2: Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям при .

Решение: Разделив переменные, имеем . Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

;   ,

или

 ,  .

Это общее решение данного уравнения. Для нахождения значения произвольной постоянной подставим значения и в выражение для общего решения: , или , откуда .

Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям, имеет вид .

Задание 3: Найдите общее решение уравнения .

Решение: Это линейное уравнение: здесь , . Положим и продифференцируем это равенство по :

.

Подставив теперь выражения для и в данное уравнение, получим

,

или

.  ()

Так как одну из вспомогательных функций или можно выбрать произвольно, то в качестве возьмем одно из частных решений уравнения . Разделив в этом уравнении переменные и проинтегрируя, имеем , ;  ,   (произвольную постоянную принимаем равной нулю, так как находим одно из частных решений).

Подставим теперь выражение для в уравнение (); тогда получим уравнение , или .

Отсюда находим ; .

Зная и , теперь получим общее решение данного уравнения:

.

Задания для самостоятельной работы

  1. Найдите общее решение уравнений:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ;  5) ;

6) ;  7) ;

8) .

  1. Найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

1) ; при ;

2) ; при ;

3) ; при ;

4) ; при ;

5) ; при ;

6) ; при ;

7) ; при .

  1. Найдите общие решения уравнения:

1) ;    2) ;

3) ;    4) ;

5) ;   6) .

Вопросы для самоконтроля:

  1. Какое уравнение называется дифференциальным?
  2. Что называется решением дифференциального уравнения?
  3. Какое решение дифференциального уравнения называется общим?
  4. Какое решение дифференциального уравнения называется частным?
  5. Какие дифференциальные уравнения называются уравнениями первого порядка?
  6. Какие дифференциальные уравнения называются уравнениями с разделяющимися переменными?

Практическое занятие №21

Тема: Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Цель: Формирование навыков решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Уравнение, содержащее производные (или дифференциалы) не выше второго порядка, называется дифференциальным уравнением второго порядка. В общем виде уравнение второго порядка записывается следующим образом:

.

Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

,   (1)

где и - постоянные величины.

Для отыскания общего решения уравнения (1) составляется характеристическое уравнение 

   ,   (2)

которое получается из уравнения (1) заменой , и на соответствующие степени , причем сама функция заменяется единицей.

Тогда общее решение дифференциального уравнения (1) строится в зависимости от корней и характеристического уравнения (2). Здесь возможны три случая.

I случай: Корни и - действительные и различные. В этом случае общее решение уравнения (1) имеет вид

   .   (3)

II случай: Корни и - действительные и равные: . Тогда общее решение уравнения (1) записывается так:

   .   (4)

III случай: Корни и - комплексно – сопряженные: , . В этом случае общее решение уравнения (1) записывается следующим образом:

  .  (5)

Примеры

Задание 1: Решить уравнение: .

Решение: Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: . Отсюда следует, что , . Так как корни характеристического уравнения действительные и разные, то общее решение данного дифференциального уравнения согласно формуле (3) запишется так: .

Задание 2: Найти частное решение уравнения , если и при .

Решение: Составим характеристическое уравнение . Решая его, получим, , . Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид: , то есть .

Для нахождения искомого частного решения нужно определить значения постоянных и . Подставив в общее решение значения и , получим .

Продифференцировав общее решение и подставив в полученное выражение значения и , имеем , отсюда следует, что . Из данного выражения находим: , .

Таким образом, искомое частное решение имеет вид .

Задание 3: Решить уравнение .

Решение: Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: , . Характеристическое уравнение имеет равные действительные корни; поэтому согласно формуле (4) общее решение данного дифференциального уравнения записывается в виде .

Задание 4: Найдите частное решение уравнения , если и при .

Решение: Так как характеристическое уравнение имеет равные действительные корни , то общее решение данного дифференциального уравнения записывается в виде

.

Дифференцируя общее решение, имеем

.

Подставив начальные данные в выражение для и , получим систему уравнений

, или , откуда и . Следовательно, искомое частное решение имеет вид .

Задания для самостоятельной работы

  1. Решите уравнения:

1) ;  2) ;

3) ;   4) ;

5) ;   6) ;

7) ;   8) .

  1. Найдите частные решения уравнений:

1) ; и при ;

2) ; и при ;

3) ; и при .

  1. Решите уравнения:

1) ;  2) ;

3) .

  1. Найдите частные решения уравнений:

1) ; и при ;

2) ; и при .

Вопросы для самоконтроля:

  1. Какие дифференциальные уравнения называются уравнениями второго порядка?
  2. Какие уравнения называются линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка?
  3. Какой вид имеет характеристическое уравнение? Для чего необходимо его нахождение?
  4. Какие случаи возможны при нахождении общего решения дифференциального уравнения второго порядка?


Практическое занятие №22

Тема: Нахождение суммы ряда по определению. Исследование сходимости положительных рядов

Цель: Формирование навыков нахождения суммы ряда по определению и исследования сходимости положительных рядов

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Числовым рядом называется сумма вида

,  (1)

где числа , , , …, , …, называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член называется общим членом ряда.

Суммы

,

,

,

………………

,

составленные из первых членов рядя (1), называются частичными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм , , , …, …. Если при бесконечном возрастании номера частичная сумма ряда стремится к пределу , то ряд называется сходящимся, а число - суммой сходящегося ряда, то есть или . Эта запись равносильна записи .

Если частичная сумма ряда (1) при неограниченном возрастании не имеет конечного предела (в частности, стремится к или к ), то такой ряд называется расходящимся.

Если ряд сходится, то значение при достаточно большом является приближенным выражением суммы ряда .

Разность называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, то есть , и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

Для знакоположительных числовых рядов имеет место признак сравнении, при помощи которого можно установить сходимость или расходимость.

Признак сравнения. Если члены положительного ряда

,    (2)

начиная с некоторого номера, не превосходят соответствующих членов ряда

,    (3)

то из сходимости ряда (3) следует сходимости ряда (2), а из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (3).

При исследовании рядов на сходимость и расходимость по этому признаку часто используются геометрическая прогрессия  , которая сходится при и расходится при , и гармонический ряд , являющийся расходящимся рядом.

Примеры

Задание 1: Найти сумму членов ряда:

1) ;

2) .

Решение: 1) Находим частичные суммы членов ряда:

;  ; ;

; ….

Запишем последовательность частичных сумм: , , , , …, , … . Общий член этой последовательности есть . Следовательно, . Последовательность частичных сумм имеет предел, равный . Итак, рая сходится и его сумма равна .

2) Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, в которой , . Используя формулу , получим . Значит, ряд сходится и его сумма равна 1.

Задание 2: С помощью признака сравнения исследовать на сходимость ряды:

 1) ;

 2) .

Решение: 1) Сравним данный ряд с рядом

.    

Ряд сходится, так как его член образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем . При это каждый член исследуемого ряда меньше соответствующего члена ряда . Поэтому, согласно признака сравнения, данный ряд сходится.

2) Сравним данный ряд с гармоническим рядом

.   

Каждый член исследуемого ряда, начиная со второго, больше соответствующего члена ряда . Так как гармонический ряд расходится, то, согласно признаку сравнения, расходится и данный ряд.

Задания для самостоятельной работы

  1. Найдите первые пять членов ряда по его заданному общему члену:

1) ;    2) ;

3) ;   4) ;

5) ;  6) ;

7) ;   8) ;

9) .

  1. Найти формулу общего члена ряда по его данным первым членам:

1) ;    2) ;

3) ;

4) ;   5) ;

6) ;

7) ;  8) .

  1. Вычислите сумму членов ряда:

1) ;

2) ;

3) ;

4)

  1. Пользуясь признаком сравнения, исследовать на сходимость следующие ряды:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Вопросы для самоконтроля:

  1. Что называется числовым рядом, членами ряда, общим членом ряда?
  2. Что называют частичными суммами ряда?
  3. Какой ряд называется сходящимся, расходящимся?
  4. Что называется остатком ряда?
  5. Сформулируйте признак сравнения для знакоположительного числового ряда.
  6. Какие известные ряды используются при исследовании рядов на сходимость и расходимость?


Практическое занятие №23

Тема: Исследование сходимости знакочередующихся рядов. Исследование числовых рядов на абсолютную и условную сходимость

Цель: Формирование навыков исследования сходимости знакочередующихся рядов; исследования числовых рядов на абсолютную и условную сходимость

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Числовой ряд

  (1)

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд (1) называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки. Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов. Если члены знакочередующегося ряда (1) монотонно убывают по абсолютной величине и общий член стремиться к нулю при , то ряд (1) сходится.

Этот признак служит достаточным признаком сходимости знакочередующихся рядов.

Знакопеременный ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

 ,   (2)

составленный из абсолютных величин его членов, то есть всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Если знакопеременный ряд (1) сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд (2) расходится, то данный ряд (1) называется условно (неабсолютно) сходящимся. Заметим, что из расходимость ряда (2) в общем случае не следует расходимость ряда (1).

Для установления абсолютной сходимости знакопеременного (и знакочередующегося) ряда используются те же признаки, что и для сходимости ряда с положительными членами.

Для решения вопроса об абсолютной или условной сходимости знакочередующегося ряда необходимо рассмотреть ряд, составленный из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда.

Если при исследовании этого ряда с помощью одного из признаков сходимости (признака Даламбера, признака сравнения рядов) ряд окажется сходящимся, то данный знакочередующийся ряд сходится абсолютно; если же ряд окажется расходящимся, то знакочередующийся ряд сходится условно.

Примеры

Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение: 1) Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: и . Следовательно, согласно признаку Лейбницу, ряд сходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно.

Ряд , составленный из абсолютных величин членов данного ряда, который, как, известно, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.

2) Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают , но . Ряд расходится, так как признак Лейбница не выполняется.

3) Используя признак Лейбница, получим ; , то есть ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: . Это геометрический ряд вида  , который сходится. Поэтому данный ряд сходится абсолютно.

4) Используя признак Лейбница, имеем ; , то есть ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного рада: , или . Это обобщенный гармонический ряд, который расходится, так как . Следовательно, данный ряд сходится условно.

Задания для самостоятельной работы

  1. Используя признак Лейбница, исследуйте сходимость знакочередующегося ряда:

1) ;   2) ;

3) ;   4) .

  1. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующиеся ряды:

1) ;  2) ;

3) ;   4) ;

5) ;   6) ;

7) ;  8) ;

9) .

Вопросы для самоконтроля:

  1. Какой ряд называется знакопеременным?
  2. Какой ряд называется знакочередующимся?
  3. Сформулируйте признак Лейбница для знакочередующихся рядов.
  4. Какой ряд называется абсолютно сходящимся, условно сходящимся?
  5. Какие признаки используются для установления абсолютной сходимости  знакопеременного ряда?

Практическое занятие №24

Тема: Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах

Цель: Формирование навыков выполнения действий над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Комплексными числами называются числа вида , где и - действительные числа, а число , определяемое равенством , называется мнимой единицей.

Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Представление комплексного числа в виде , где , называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Произведение комплексных чисел и находится по формуле:

то есть

, .

Таким образом, при умножении двух комплексных числе, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Частное комплексных чисел и находится по формуле:

,

то есть

, .

Таким образом, при делении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули делятся, аргументы вычитаются.

При возведении комплексного числа в -ую степень используется формула

,

которая называется формулой Муавра.

Для извлечения корня -ой степени из комплексного числа используется формула

,

где - арифметический корень, .

Степень с комплексным показателем определяется равенством

.

Можно доказать, что

,

то есть

.   (1)

В частности, при получается соотношение

,

которое называется формулой Эйлера.

Для комплексных показателей остаются в силе основные правила действий с показателями; например, при умножении чисел показатели складываются, при делении – вычитаются, при возведении в степень – перемножаются.

Показательная функция имеет период, равный , то есть . В частности, при получается соотношение .

Тригонометрическую форму комплексного числа можно заменить показательной формой: .

Умножение, деление, возведение в целую положительную степень и извлечение корня целой положительной степени для комплексных чисел, заданных в показательной форме, выполняются по следующим формулам:

;

;

;

, где .

Примеры

Задание 1: Выполните действия:

1) ;

2) .

Решение: 1) По формуле умножения комплексных чисел заданных в тригонометрической форме получим

2) По формуле деления комплексных чисел заданных в тригонометрической форме получим


Задание 2:
Возвести в степень .

Решение: По формуле Муавра получим

Задание 3: Найти: 1) ;  2) .

Решение: 1) По формуле Эйлера получим

;

2) По формуле (1) получим .

Задание 4: Найти: 1) ; 2) ; 3) , если ; .

Решение: 1) По формуле умножения комплексных чисел, заданных в показательной форме получим

.

2) По формуле деления комплексных чисел, заданных в показательной форме получим

.

3) По формуле возведения комплексных чисел, заданных в показательной форме, в степень получим

.

Задания для самостоятельной работы

  1. Найдите произведение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

  1. Выполните деление в тригонометрической форме:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

  1. Найдите:

1) ;  2) ;  3) ;  4) ;

5) ;  6) ; 7) ;  8) .

  1. Дано ; . Найдите

1) ;   2) ;   3) .

  1. Решите уравнения:

1) ;

2) ;

3) .


Вопросы для самоконтроля:

  1. Дайте определение комплексного числа.
  2. Какие числа называются комплексно – сопряженными?
  3. Какие комплексные числа называются равными?
  4. Дайте определение тригонометрической формы комплексного числа.
  5. Как умножаются и делятся комплексные числа, заданные в тригонометрической форме?
  6. Как возводится в степень комплексное число, заданное в тригонометрической форме?
  7. По какой формуле извлекается корень -ой степени из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме?
  8. Как записывается комплексное число в показательной форме?
  9. Что называется тождеством Эйлера?
  10. Какие действия выполняются над комплексными числами, заданными в показательной форме? Запишите формулы.

Практическое занятие №25

Тема: Переход от алгебраической формы к показательной и тригонометрической и обратно

Цель: Формирование навыков выполнения перехода от алгебраической формы комплексного числа к показательной и тригонометрической и обратно

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой комплексного числа. Переход от алгебраической формы записи к тригонометрической и обратно осуществляется по формулам

; ;

; .

Для представления комплексного числа в тригонометрической форме необходимо найти: 1) модуль этого числа; 2) одно из значений аргумента этого числа. В силу многозначности тригонометрическая форма комплексного числа также неоднозначна.

Формула Эйлера устанавливает связь между тригонометрическими функциями и показательной функцией. Заменив в ней на и на , получим

; .

Складывая и вычитая эти равенства, получим

; .

Эти две простые формулы, также называемые формулами Эйлера и выражающие тригонометрические функции через показательные, позволяют алгебраическим путем получить основные формулы тригонометрии.

Примеры

Задание 1: Представить в тригонометрической форме числа:

1) ;  2) .

Решение: 1) Здесь , , . Поскольку вектор, изображающий число лежит на положительной полуоси , главное значение аргумента поэтому

или

.

2) Здесь , , . Точка, изображающая число , лежит во II четверти; , . Значит,

или

.

Задание 2: Представить в алгебраической форме числа:

1) ; 2) .

Решение: 1) Подставив значения , в данное равенство, получим .


2) Имеем

.

Задание 3: Представить в показательной форме числа:

1) ; 2) .

Решение: 1) Здесь , , , . По формуле получим .

2) Здесь , , , , . По формуле имеем .

Задания для самостоятельной работы

  1. Представьте в тригонометрической форме комплексные числа:

1) ;   2) ;  3) ;

4) ;  5) ;  6) ;

7) ;  8) ;  9) .

  1. Представьте в алгебраической форме числа:

1) ;  2) ;

3) ;   4) ;

5) ; 6) .

  1. Представьте в показательной форме числа:

1) ;    2) ;  3) ;

4) ;  5) ;  6) .

  1. Представьте в алгебраической форме комплексные числа:

1) ;   2) ;  3) .


  1. Найдите действительные числа и , такие, чтобы выполнялись равенства:

1) ;

2) ;

3) .

Вопросы для самоконтроля:

  1. Как осуществляется переход от записи комплексного числа, заданного в алгебраической форме, к его тригонометрической форме?
  2. Как осуществляется переход от записи комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, к его алгебраической форме?
  3. Как осуществляется переход от записи комплексного числа, заданного в алгебраической форме, к его показательной форме и обратно?


Список рекомендуемой литературы

  1.  Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, - 1997
  2.  Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. – М.: Высшая школа, 1986
  3.  Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. Для инженеров и учащихся ВТУЗов. – М.: Наука, 1980
  4.  Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1972
  5.  Дадаян А.А. Математики: Учебник. – М.: ФОРУМ: ИНФРА – М, 2003
  6.  Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах 2 – х ч. Ч. 1. – М.: Высшая школа, 1999
  7.  Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах 2 – х ч. Ч. 2. – М.: Высшая школа, 1999
  8. Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С. Сборник задач по математике: Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1999
  9.  Шипачев В.С. Задачи по высшей математике. – М.: Высш. Шк., 1997


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26533. ОСНОВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ СТРАН ЦЕНТРАЛЬНОЙ И ЮГО-ВОСТОЧНОЙ ЕВРОПЫ В МЕЖВОЕННОЕ ВРЕМЯ (НА ПРИМЕРЕ ПОЛЬШИ И ВЕНГРИИ) 56 KB
  Ачади История венгерского крепостного крестьянства; Трайнин Национальные противоречия в АвстроВенгрии и ее распад. социалистическую партию Венгрии. Советская республика в Венгрии просуществовала 133 дня.
26534. Гражданская война в Испании (1936-1939) 51 KB
  У Испан б неск альтернитив п е воен устройства. Некот совет ист полаг что испан гражд W –битва 2х идеологий комлибо подлен демократи фаш.О личности Франко его иконописцы представл святым каудильо благожетелем исп.
26535. Международные отношения в кон. 1930-х гг. Мюнхенский сговор и пакт Молотова – Риббентропа 41.5 KB
  До начала мирового эк. кризиса 1929-33 гг. сохранялась стабильность в отношениях между гос-вами, соблюдались договоры, заключенные в Версале и Вашингтоне. С нач. кризиса проявилась неустойчивость сущ. сис-мы международных отношений, началось ее разрушение.
26538. ГНИЕНИЕ МЯСА. УСЛОВИЯ И ФАКТОРЫ, ВЫЗЫВАЮЩИЕ ГНИЕНИЕ МЯСА 21.62 KB
  ГНИЕНИЕ МЯСА. УСЛОВИЯ И ФАКТОРЫ ВЫЗЫВАЮЩИЕ ГНИЕНИЕ МЯСА. Гниение самый опасный вид порчи мяса так как при этом процессе разрушаются белковые соединения и образуются вещества опасные для человека. Из составных частей мяса гниению наиболее подвержены мышечная ткань и субпродукты.
26539. ИЗМЕНЕНИЯ В ЖИРЕ В ПРОЦЕССЕ ПРОИЗВОДСТВА И ХРАНЕНИЯ (ГИДРОЛИЗ,ОКИСЛЕНИЕ, ОСАЛИВАНИЕ) 3.31 KB
  ГИДРОЛИЗ характеризуется присоединением к молекуле жира воды в результате чего она расщепляется на глицерин и жирные кислоты. Данный процесс начинается после разделки мясной туши и извлечения жира. Накопление свободных жирных кислот снижает питательную ценность жира и ускоряет развитие в нем окислительных процессов. ОСАЛИВАНИЕ вид порчи жира характеризующийся накоплением в нем предельных оксикислот.
26540. ИСТОРИЯ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ ВСЭ 5.17 KB
  всэ явились общественное производство мяса и мясных продуктов и создание мясной промышленности. В 1925г – первые в СССР Правила ветсан осмотра убойных животных исследования и браковки мясных продуктов. 30е годы – строительство крупных механизированных мясокомбинатов зарождение молочной и пищевой промышленности в связи с этим – кафедры мясоведения реорганизованы в кафедры ВСЭ с основами технологии переработки продуктов животноводства. врачей являются Правила ветеринарного осмотра убойных животных и всэ мяса и мясных продуктов1988 и...
26541. БАКТЕРИЦИДНАЯ ФАЗА МОЛОКА И ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ЕЕ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ 2.99 KB
  БАКТЕРИЦИДНАЯ ФАЗА МОЛОКА И ФАКТОРЫ ВЛИЯЮЩИЕ НА ЕЕ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ. Продолжительность данной фазы при различных температурах молока следующая: при 37С 2 часа при 30С 3 часа при 25С 6 часов при 10С 24 часа при 5С 36 часов и при 0С 48 часов. При нагревании молока до 70С и выше бактерицидные вещества разрушаются и микрофлора попавшая в такое молоко размножается беспрепятственно. На бактерицидную фазу влияют промежуток времени с момента выдаивания до охлаждения молока чем короче этот промежуток времени тем продолжительнее...